Trigonometria do triângulo retângulo. Ângulos. Circunferência unitária

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MA092 - Geometria plana e anal´ ıtica Segundo semestre de 2017 Sexta lista de exerc´ ıcios Trigonometria do triˆ anguloretˆangulo. ˆ Angulos. Circunferˆ encia unit´ aria. 1. Os pontos abaixo est˜ ao na circun- ferˆ encia unit´ aria. Encontre a coorde- nada que falta. (a) P (x, 4/5), x negativo. (b) P (-1/3,y), y positivo. (c) P (x, - 3/2), x positivo. (d) P (2/3,y), y negativo. 2. Converta para radianos. (a) 15 . (b) -72 . (c) 144 . (d) 225 . (e) 290 . (f) 330 . (g) -30 . (h) 1080 . 3. Converta para graus. (a) π/5. (b) -3π/4. (c) 5π/6. (d) 7π/3. (e) 2π. (f) 2. (g) -0, 8. (h) π/12. 4. Encontre as coordenadas dos pontos da circunferˆ encia unit´ aria associados aos ˆ angulos abaixo. (a) θ =3π/2. (b) θ =7π/6. (c) θ =2π/3. (d) θ = -3π/4. (e) θ =4π/5. 5. Encontre ˆ angulos entre 0 e 360 (ou entre 0e2π) que sejam coterminais aos ˆ angulos abaixo. (a) θ = 540 . (b) θ = 1063 . (c) θ = -30 . (d) θ = -730 . (e) θ = -5π/4. (f) θ =8π/3. (g) θ = 25π/6. (h) θ = -11π/5. 6. Encontre um ˆ angulo positivo e um negativo que sejam coterminais aos ˆ angulos abaixo. (a) θ = 120 . (b) θ = -75 . (c) θ = π/3. (d) θ = -3π/2. 7. Calcule o menor ˆ angulo (em graus) entre os ponteiros de um rel´ ogio que marca 1 h. 8. Calcule o comprimento do arco definido, em uma circunferˆ encia de raio r = 5 m, por um ˆ angulo central de 32, 4 . 9. Calcule a medida do ˆ angulo θ da figura. Forne¸ca a resposta em graus e em ra- dianos. 10. Determine o seno, o cosseno e a tan- gente dos ˆ angulos α e β de cada triˆ angulo. (a) (b) 11. Determine os comprimentos dos lados dos triˆ angulos abaixo. (a)

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MA092 - Geometria plana e analıtica Segundo semestre de 2017

Sexta lista de exercıciosTrigonometria do triangulo retangulo. Angulos. Circunferencia unitaria.

1. Os pontos abaixo estao na circun-ferencia unitaria. Encontre a coorde-nada que falta.

(a) P (x, 4/5), x negativo.

(b) P (−1/3, y), y positivo.

(c) P (x,−√

3/2), x positivo.

(d) P (2/3, y), y negativo.

2. Converta para radianos.

(a) 15◦.

(b) −72◦.

(c) 144◦.

(d) 225◦.

(e) 290◦.

(f) 330◦.

(g) −30◦.

(h) 1080◦.

3. Converta para graus.

(a) π/5.

(b) −3π/4.

(c) 5π/6.

(d) 7π/3.

(e) 2π.

(f) 2.

(g) −0, 8.

(h) π/12.

4. Encontre as coordenadas dos pontos dacircunferencia unitaria associados aosangulos abaixo.

(a) θ = 3π/2.

(b) θ = 7π/6.

(c) θ = 2π/3.

(d) θ = −3π/4.

(e) θ = 4π/5.

5. Encontre angulos entre 0◦ e 360◦ (ou entre0 e 2π) que sejam coterminais aos angulosabaixo.

(a) θ = 540◦.

(b) θ = 1063◦.

(c) θ = −30◦.

(d) θ = −730◦.

(e) θ = −5π/4.

(f) θ = 8π/3.

(g) θ = 25π/6.

(h) θ = −11π/5.

6. Encontre um angulo positivo e um negativoque sejam coterminais aos angulos abaixo.

(a) θ = 120◦.

(b) θ = −75◦.

(c) θ = π/3.

(d) θ = −3π/2.

7. Calcule o menor angulo (em graus) entre osponteiros de um relogio que marca 1 h.

8. Calcule o comprimento do arco definido, emuma circunferencia de raio r = 5 m, por umangulo central de 32, 4◦.

9. Calcule a medida do angulo θ da figura.Forneca a resposta em graus e em ra-dianos.

10. Determine o seno, o cosseno e a tan-gente dos angulos α e β de cadatriangulo.

(a) (b)

11. Determine os comprimentos dos ladosdos triangulos abaixo.

(a)

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(b)

(c)

12. Em um triangulo retangulo, a hipote-nusa mede 2

√5 e um angulo interno α

e tal que cos(α) =√

5/3. Determine asmedidas dos catetos.

13. Em um triangulo retangulo, a hipote-nusa mede

√10 e um angulo interno α

e tal que tan(α) = 3. Determine as me-didas dos catetos.

14. (0,8 pt) Em um triangulo retangulo, ahipotenusa mede 5 e um angulo internoα e tal que tan(α) = 2. Determine asmedidas dos catetos.

15. Esboce um triangulo retangulo comum angulo agudo que satisfaca a me-dida abaixo. Das funcoes trigo-nometricas seno, cosseno e tangente,determine as que faltam em cada caso.

(a) sen(θ) = 4/5.

(b) cos(θ) =√

3/2.

(c) tan(θ) = 1.

16. Sabendo que os angulos α e β sao com-plementares e que sen(α) = 3/4, deter-mine sen(β) e cos(β).

17. Sabendo que os angulos α e β sao comple-mentares e que cos(α) = 1/7, determinesen(β) e cos(β).

18. Determine o valor de x em cada figuraabaixo.

(a)

(b)

19. Uma rampa tem altura h = 1, 5m eangulo de inclinacao igual a 15◦. De-termine seu comprimento, c.

20. Parado a 120m do centro da base deuma torre, um topografo descobre queo angulo de elevacao do topo da torremede 69, 7◦. Determine a altura apro-ximada da torre.

21. Uma escada com 3,2 m de compri-mento foi encostada em uma parede,fazendo um angulo de 65◦ com o solo,que e horizontal. Determine a que al-tura do chao a escada foi encostada naparede.

22. O telhado de uma casa e mostrado nafigura abaixo. Determine a area dotelhado, ou seja, a area em cinza na

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figura.

23. Em homenagem ao dia dos namorados,uma fabrica de chocolates criou umacaixa de bombons cuja tampa tem oformato abaixo. Determine a area dasuperfıcie da tampa da caixa. Dica:some as areas dos polıgonos indicadosna figura.

24. Determine as medidas x, y e h indica-das na figura abaixo.

25. Para montar uma estrela, e precisojuntar alguns triangulos como o que emostrado abaixo (observe que o mesmotriangulo esta destacado na estrela).Determine a area da estrela.

26. O logotipo de certa empresa e uma le-tra E estilizada, como mostra a figuraabaixo. Determine a area da figura.Dica: note que o logotipo possui umacerta simetria.

27. Eratostenes de Cirene, cientista grego, de-terminou com admiravel precisao a circun-ferencia da Terra. No solstıcio de verao, eleobservou que, ao meio dia, os raios de solincidiam perpendicularmente ao solo na ci-dade de Siene (atual Assua), enquanto osmesmos raios formavam um angulo de 7, 2◦

com a vertical em Alexandria, que ficava 800km a norte de Siene. Supondo que a Terrae perfeitamente esferica, descubra o raio e acircunferencia do planeta usando a estrategiade Eratostenes (medidas atuais indicam umacircunferencia meridional de 40.008 km e umraio medio de 6371 km).

28. Um topografo descobriu que o anguloentre o solo e o topo de um predio e de50, 2◦, quando medido a uma distanciade 50m da base do mesmo. Qual e aaltura do edifıcio?

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29. Para determinar a largura de um rio,Joao parou em um ponto A e mi-rou o ponto mais proximo da mar-gem oposta, denominado C na figuraabaixo. Em seguida, Joao caminhou10 m ao longo da margem, chegandoao ponto B, de onde mirou novamenteo ponto C na margem oposta, desco-brindo que o angulo entre AB e BCmedia 65, 5◦. Qual a largura daqueletrecho do rio?

30. Presa ao chao, uma pipa voa fazendo umangulo de 42◦ com o solo. Se a linha, com50 m de comprimento, esta completamenteesticada, a que altura voa a pipa?

31. Para fabricar uma calha, um serra-lheiro faz duas dobras em uma chapametalica com 30 cm de largura, comomostra a figura. Sabendo que o anguloentre a lateral da calha e a horizontalmede 60◦, determine a area da secaotransversal da calha.

32. A figura abaixo mostra um retangulo no qualfoi inscrito um paralelogramo cinza. Deter-mine as medidas x, y e z, bem como a areado paralelogramo.

33. A figura abaixo mostra uma ponte estaiadasimetrica. Calcule a altura h do cabo internoe o comprimento c do cabo central.

34. A figura abaixo mostra uma escultura for-mada por dois triangulos cinza. Determineas medidas x, y e z, bem como o angulo α.

35. Um jogador de sinuca quer acertar uma bolasituada na posicao S de uma mesa retangu-lar, dando uma tacada em uma bola locali-zada no ponto R, como mostrado na figura aesquerda.

(a) Determine y para que a bola siga a tra-jetoria da figura a esquerda.

(b) Infelizmente, o jogador deu uma tacadaque levou a bola ao ponto V , como mos-trado a direita. Determine a a distanciax entre V e o canto da mesa.

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Respostas

1. a. x = −3/5; b. y = 2√

2/3;c. x = 1/2; d.

√5/3.

2. a. π/12; b. −2π/5; c. 4π/5;d. 5π/4; e. 29π/18; f. 11π/6;g. −π/6; h. 6π.

3. a. 36◦; b. −135◦; c. 150◦;d. 420◦; e.360◦; f. 114, 592◦;g. −45, 837◦; h.15◦.

4. a. x = 0; y = −1;b. x = −

√3/2; y = −1/2;

c. x = −1/2; y =√

3/2;d. x = −

√2/2; y = −

√2/2;

e. x ≈ −0, 809; y ≈ 0, 588.

5. a. 180◦; b. 343◦; c. 330◦;d. 350◦; e. 3π/4; f. 2π/3;g. π/6; h. 9π/5.

6. a. 480◦ e −240◦; b. 285◦ e −435◦;c. 7π/3 e −5π/3; d. π/2 e −7π/5.

7. 30◦

8. 0, 9π m

9. 28, 65◦ ou 1/2 rad

10. a. sen(α) = cos(β) = 513 ,

cos(α) = sen(β) = 1213 ,

tan(α) = 512 ; tan(β) = 12

5 .

b. sen(α) = cos(β) = 3√13

13 ,

cos(α) = sen(β) = 2√13

13 ,tan(α) = 3

2 ; tan(β) = 23 .

11. a. 25 e 25√

3;b. 20

√3/3 e 40

√3/3;

c. 12 e 12√

2.

12. 4√5

3 e 103

13. 3 e 1

14.√

5 e 2√

5

15. ...

16. sen(β) =√

7/4, cos(β) = 3/4.

17. sen(β) = 1/7, cos(β) = 4√

3/7.

18. a. 160√

3/3; b. 20√

3.

19. c = 5, 97 m.

20. h ≈ 324 m.

21. 2,9 m.

22. 1603

√3 m2

23. 72 + 140√

3 cm2

24. h = 4, x = 4 + 4√

3, y = 4√

2

25. AT ≈ 7, 656 cm2. A = 10AT ≈ 76, 56 cm2.

26. 89√

3 + 169/2 cm2

27. Raio = 6366,2 km.Circunferencia = 40.000 km.

28. 60 m.

29. 21,94 m.

30. 33,46 m.

31. 75√

3 cm2

32. x ≈ 5, 196 cm, y ≈ 7, 464 cn, z = 6 cm,A ≈ 44, 783 cm2

33. h = 45 m. c ≈ 64, 03 m.

34. x ≈ 2,89 m, y ≈ 5,02 m, z ≈ 2,90 m,α ≈ 49, 1◦

35. (a) y = 0, 56 m (b) x = 1, 225 m