PPrrooffeessssoorr:: PPaauulloo DDiisscciipplliinnaa:: MMaatteemmttiiccaa

www.colegiowr.com.br

NNoommee::

33AANNOO // CCUURRSSOO

TTUURRMMAA::

DDAATTAA:: 0011 // 0099 // 22001144

1. (G1 - ifce 2014) Considere um relgio analgico de doze horas. O ngulo obtuso formado entre os ponteiros que indicam a hora e o minuto, quando o relgio marca exatamente 5 horas e 20 minutos, a) 330. b) 320. c) 310. d) 300. e) 290. 2. (Unesp 2014) A figura mostra um relgio de parede, com 40 cm de dimetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.

Usando a aproximao 3, a medida, em cm, do arco externo do

relgio determinado pelo ngulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horrio mostrado, vale aproximadamente a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20. 3. (Uece 2014) Usando a expresso clssica do desenvolvimento da

potncia n(a b) , onde a e b so nmeros reais e n um nmero

natural, pode-se resolver facilmente a equao 4 3 2sen x 4sen x 6sen x 4senx 1 0. Ento, para os

valores de x encontrados, teremos que cosx igual a

a) 1.

b) 3

.2

c) 2

.2

d) 0.

4. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x tg x. O valor de

sen x

a) 3 1

.2

b) 1 3

.2

c) 5 1

.2

d) 1 5

.2

5. (Uece 2014) Se p e q so duas solues da equao

22sen x 3sen x 1 0 tais que senp senq, ento o valor da

expresso 2 2sen p cos q igual a

a) 0. b) 0,25. c) 0,50. d) 1.

6. (Fgv 2013) O relgio indicado na figura marca 6 horas e

a) 7

5513

minutos.

b) 5

5511

minutos.

c) 5

5513

minutos.

d) 3

5411

minutos.

e) 2

5411

minutos.

7. (G1 - ifce 2012) O valor de cos (2 280)

a) 1

.2

b) 1

.2

c) 2

.2

d) 3

.2

e) 3

.2

8. (G1 - ifal 2012) Considerando-se o arco trigonomtrico

23rad,

3

assinale a alternativa falsa.

a) 1380 . b) d trs voltas e para no 4 quadrante.

c) sen sen 60 .

d) cos cos 60 .

e) d trs voltas e para no 1 quadrante. 9. (Fgv 2012) Em certa cidade litornea, verificou-se que a altura da

gua do mar em um certo ponto era dada por

xf(x) 4 3cos

6

em que x representa o nmero de horas decorridas a partir de zero hora de determinado dia, e a altura f(x) medida em metros.

Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a mar atingiu a altura de 2,5 m

naquele dia? a) 5 e 9 horas b) 7 e 12 horas c) 4 e 8 horas d) 3 e 7 horas e) 6 e 10 horas

2

10. (Fgv 2012) No intervalo 0,4 , a equao 3 2sen x 2sen x 5senx 6 0 tem razes cuja soma :

a) 2 b) -2 c) 6

d) 2

e) 3

11. (Ucpel 2011) Sendo x 0, 2 e 22sen x 3cosx 0, ento x vale

a) 3

b) 2

3

c) 2

5

d) 3

4

e) 5

6

12. (Unemat 2010) Quanto ao arco 4555, correto afirmar. a) Pertence ao segundo quadrante e tem como cngruo o ngulo de

55 b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como cngruo o ngulo de

75 c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como cngruo o ngulo de

195 d) Pertence ao quarto quadrante e tem como cngruo o ngulo de

3115 e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como cngruo o ngulo de

4195

13. (Fgv 2010) No intervalo [0, ], a equao

21

senxsen x 88 4

admite o seguinte nmero de razes:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

14. (Fgv 2009) Resolvendo a equao 2 4log (sen x) log (cosx)

no intervalo 0 x 90 o valor de x tal que:

a) 45 x 60

b) 30 x 45

c) 0 x 30

d) 75 x 90

e) 60 x 75 15. (Ufscar 2007) O conjunto soluo da equao

sen [ (8/9) + (8/27) + (8/81) ... ] = cos x,

com x [0,2[,

a) {2/3, 4/3}. b) {5/6, 7/6}. c) {3/4, 5/4}. d) {/6, 11/6}. e) {/3, 5/3}.

16. (Pucrj 2006) Os ngulos (em graus) entre 0 e 360 para os quais

sen cos so:

a) 45 e 90 b) 45 e 225 c) 180 e 360 d) 45, 90 e 180

e) 90, 180 e 270 17. (Ufrgs 2005) O nmero de solues da equao 2cos x = sen x que

pertencem ao intervalo [-16/3, 16/3]

a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.

18. (Mackenzie 2014) Seja 2g x x xcos sen . Se

g x 0 e 3

,2

ento x vale

a) somente 1 b) somente 1 c) 1 ou 0 d) 1 ou 1 e) 1 ou 0 19. (Acafe 2014) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produo de ostras e mexilhes, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da gua na regio do sul da ilha, em Florianpolis. Para isso, efetuou medies durante trs dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medies iniciaram s 5 horas da manh do primeiro dia (t = 0) e os dados foram representados

pela funo peridica t

T(t) 24 3cos ,6 3

em que t indica

o tempo (em horas) decorrido aps o incio da medio e T(t), a temperatura (em C) no instante t. O perodo da funo, o valor da temperatura mxima e o horrio em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observao valem, respectivamente: a) 6h, 25,5C e 10h. b) 12h, 27C e 10h. c) 12h, 27C e 15h. d) 6h, 25,5C e 15h. 20. (Insper 2014) A figura mostra o grfico da funo f, dada pela lei

4 4f(x) (sen x cos x) (sen x cos x)

O valor de a, indicado no eixo das abscissas, igual a

a) 5

.12

b) 4

.9

c) 3

.8

d) 5

.6

e) 2

.3

3

21. (Uece 2014) Se f : R R a funo definida por senxf(x) 2 1, ento o produto do maior valor pelo menor valor

que f assume igual a a) 4,5. b) 3,0. c) 1,5. d) 0.

22. (Uepb 2013) Sendo f(x) 4cos x 2cosx,2

o valor de

7f

4

:

a) 2

b) 2

c) 2 d) 1

e) 2

2

23. (Unioeste 2013) Uma loja do ramo de som vende instrumentos musicais e renova todo ms seu estoque de violas em 60 unidades. A funo que aproxima o estoque de violas da loja ao longo do ms

xf(x) 30 cos 1 ,

30

sendo que x o dia do ms

(considerando o ms comercial de 30 dias) e f(x) o estoque ao final do dia x. Nos termos apresentados, correto afirmar que a) ao final do ms, metade do estoque ainda no foi vendido. b) a loja vende metade do seu estoque at o dia 10 de cada ms. c) no dia 15 de cada ms, metade do estoque do ms foi vendido. d) ao fim do ms, a loja ainda no vendeu todo o estoque de violas. e) o estoque em um determinado dia do ms exatamente metade do

estoque do dia anterior. 24. (Uern 2013) A razo entre o maior e o menor nmero inteiro que pertencem ao conjunto imagem da funo trigonomtrica

2y 4 2cos x

3

a) 2.

b) 1

.3

c) 3.

d) 1

.2

25. (Epcar (Afa) 2013) Uma piscina com ondas artificiais foi programada de modo que a altura da onda varie com o tempo de acordo com o modelo

x x x

f x 3 sen sen sen2 4 4 2

em que y f x

a altura da onda, em metros, e x o tempo, em minutos. Dentre as alternativas que seguem, assinale a nica cuja concluso NO condiz com o modelo proposto. a) A altura de uma onda nunca atinge 2 metros. b) Entre o momento de deteco de uma crista (altura mxima de uma

onda) e o de outra seguinte, passam-se 2 minutos. c) De zero a 4 minutos, podem ser observadas mais de duas cristas. d) As alturas das ondas observadas com 30, 90, 150,... segundos so

sempre iguais.

4

Gabarito: Resposta da questo 1: [B]

O ngulo percorrido pelo ponteiro das horas em 20 minutos

corresponde a 20

10 .2

Desse modo, o menor ngulo formado

pelos ponteiros dos minutos e das horas, s 5 horas e 20 minutos,

igual a 30 10 40 . Em consequncia, o maior ngulo formado

por esses ponteiros igual a 360 40 320 .

Observao: Dizemos que um ngulo obtuso se

90 180 . Resposta da questo 2: [B]

Cada minuto do relgio corresponde a 6

o, portanto,

60 6 66 . Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30, temos:

60min 30

54min

Logo, 27 , portanto o arco pedido mede 66 + 27 = 93.

Calculando, em centmetros, o comprimento do arco de 93, temos:

93 2 2031cm (considerando, 3)

360

Resposta da questo 3: [D]

4 3 2 4sen x 4sen x 6sen x 4senx 1 0 (senx 1) 0 senx 1 0 senx 1

Utilizando a relao Fundamental, temos: sen

2x + cos

2x = 1

1

2 + cos

2 x = 1

cos

2 x = 0

Portanto, cosx = 0. Resposta da questo 4: [C]

Sabendo que senx

tgx ,cosx

com x k2

e

2 2cos x 1 sen x, vem

2

2

2

senxcosx tgx cosx

cosx

cos x senx

sen x senx 1

111senx

42

1 5senx

2 2

5 1senx .

2

Resposta da questo 5: [B]

2

2

2sen x 3sen x 1 0

( 3) 4 2 1

1

senx 1( 3) 1senx

senx 1/ 22 2

2 2 2 2 2 2 2 2sen p cos q sen p (1 sen q) sen p sen q 1 1 (1/ 2) 1 1/ 4 0,25.

Resposta da questo 6: [C]

Seja 6 horas e x minutos a hora marcada no relgio. O ngulo , percorrido pelo ponteiro das horas em

30x 55

6

minutos, tal que

3055

306 2 552 6

13 360

360.

13

Portanto,

x 360x 2

2 13

720x

13

5x 55 .

13

Resposta da questo 7: [A] 2280 = 360.6 + 120

Logo, cos (2 280) = cos 120 = 1

.2

Resposta da questo 8: [E]

23 53 2

3 3

[A] Verdadeira, pois 23 23 180

13803 3

.

[B] Verdadeira, pois 23 5

3 23 3

.

5

[C] Verdadeira, pois 3

sen sen 602

.

[D] Verdadeira, pois 1

cos cos 602

.

[E] Falsa, pois d trs voltas e para no 4 quadrante. Resposta da questo 9: [C]

xf(x) 4 3cos

6

x2,5 4 3cos

6

x1,5 3cos

6

x 1cos

6 2

x 2 x 4k.2 ou k.2 para k inteiro

6 3 6 3

Para k = 0, temos x = 4 ou x = 8. Para k = 1, temos x = 16 (no convm) ou x = 20 h (no convm). Resposta: 4h e 8h. Resposta da questo 10: [E] Sabendo que senx = 1 uma das razes da equao polinomial na incgnita senx, temos:

23 2 senx 1 sen x senx 6 0sen x 2sen x 5senx 6 ,0 logo:

5senx 1 x ou x

2 2

senx 3 (no convm) ou senx 2 (no convm)

Portanto, a soma pedida 3 . Resposta da questo 11: [A]

2

2

2

2

2 (1 cos x) 3 cosx 0

2

2se

2cos x 3 cosx 0

2cos x 3 cosx 2 0

n x 3cosx 0

Resolvendo a equao do segundo grau na incgnita cosx, temos:

1cosx ou cosx 2 (no convm)

2

Portanto, o valor pedido x .3

Resposta da questo 12: [E] Dividindo 4555 por 360 obtemos quociente 12 e resto 235 Conclumos, ento que o arco tem extremidade no terceiro quadrante. Dividindo 4195 por 360 obtemos quociente 11 e resto 235 Conclumos, ento que 4555 cngruo de 4195 Logo a resposta E a correta. Resposta da questo 13:

[B]

8

1

483

senx

xsen

8

12

3 223

senx

xsen

3.sen2x = 2senx

1

4(.4)

12.sen

2x = 8senx 1

12.sen

2x - 8senx + 1 = 0

Resolvendo a equao do segundo grau na incgnita senx, temos:

senx = 1

2 ou senx =

1

6

Observando a circunferncia trigonomtrica, notamos que a equao possui quatro razes no intervalo dado.

Resposta da questo 14: [A] Resposta da questo 15: [B] Resposta da questo 16: [B] Resposta da questo 17: [C] Resposta da questo 18: [D]

Sabendo que 3

cos 02

e

3sen 1,

2

vem

2 23 3x x cos sen 0 x 1 02 2

x 1.

Resposta da questo 19: [C] O perodo da funo dado por

212 h.

6

A temperatura mxima ocorre quando t

cos6 3

atinge seu valor

mximo, ou seja, quando t

cos 1.6 3

Logo, tem-se que o

resultado mxT 24 3 1 27 C.

6

Queremos calcular o menor valor positivo de t para o qual se tem

tcos 1.

6 3

Assim,

t tcos 1 cos cos0

6 3 6 3

t0 2k

6 3

t 12k 2, k .

Tomando k 1, segue-se que t 10 h.

Resposta da questo 20: [A]

Lembrando que 2 2sen cos 1 e sen2 2sen cos ,

temos

4 4

2 2 2 2

f(x) (senx cosx) (senx cosx)

[(senx cosx) (senx cosx) ][(senx cosx) (senx cosx) ]

(1 2senxcosx 1 2senxcosx)(1 2senxcosx 1 2senxcosx)

4 2senxcosx

4sen2x.

Logo, como o perodo de f 2

,| 2 |

segue-se que a o maior

nmero real pertencente ao intervalo 0, ,2

tal que

f(a) 2 4sen2a 2

sen2a sen6

5a ou a .

12 12

Portanto, 5

a .12

Resposta da questo 21: [A]

Se sen x 1, ento 1f(x) 2 1 3 (maior valor).

Se sen x 1, ento 13

f(x) 2 12

(menor valor).

Logo, o produto pedido ser 3 9

3 4,5.2 2

Resposta da questo 22: [C]

Sabendo que cos( x) cosx, temos

7 9 7f 4sen 2cos

4 4 4

4sen 2cos4 4

2sen4

2.

Resposta da questo 23:

[C]

[A] Falsa, pois ;30

f(30) 30 cos 1 30( 1 1) 0.30

[B] Falsa, pois ;10 1

f(10) 30 cos 1 30 1 45.30 2

[C] Verdadeira, pois ;15

f(15) cos 1 30(0 1) 30.30

[D] Falsa, pois f(30) = 0. [E] Falsa, pois os nicos valores inteiros so de f(x) so f(30), f(10) e f(15). Resposta da questo 24: [B]

Supondo que a funo esteja definida de em , segue-se que a sua

imagem

Im [ 4 2 ( 1), 4 2 1] [ 6, 2].

Portanto, o resultado igual a 2 1

.6 3

Resposta da questo 25: [C]

2

x x x 3 x xf x 3 sen sen sen 2 cos x sen sen

2 4 4 2 2 4 4 2

3 x x 3 xsen sen sen

2 2 2 2 2

[A] Verdadeira. O mximo que uma onda atinge 3/2 1 = 1,5 m.

[B] Verdadeira. O perodo da funo 2 min.

2

[C] Falsa. As cristas sero observadas para x = 1 e x = 3.

[D] Verdadeira. sen2 30

2

= sen2 90

2

= sen2 150 .

2

Resposta da questo 26:

[D] Resposta da questo 27:

[A] Resposta da questo 28:

[D]