Trigonometria Super Resumida

8/6/2019 Trigonometria Super Resumida

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RAZÕES TRIGONOMÉTRICASNO TRIÂNGULO

RETÂNGULOProfessora Telma Castro SilvaISERJ – 2011

Versão resumida



O triângulo é uma das figuras mais simples emais importantes da Geometria, objeto deestudos desde os povos antigos.

O triângulo possui propriedades e definiçõesde acordo com o tamanho de seus lados emedida dos ângulos internos.Quanto aos lados, o triângulo pode serclassificado da seguinte forma:

Equilátero:

Isósceles:Escaleno:

possui todos os lados com medidasiguais.

possui dois lados com medidasiguais.possui todos os lados com medidasdiferentes.

=

=

==

= =

―

≡



Equilátero:

Isósceles:Escaleno:

possui todos os lados com medidas iguais. possui dois lados com medidas iguais.

possui todos os lados com medidas diferentes.



Equilátero:Isósceles:

Escaleno:

possui todos os lados com medidas iguais. possui dois lados com medidas iguais. possui todos os lados com medidas diferentes.

Equilátero ouEquiângulo:Isósceles:

Escaleno:

possui três ângulos iguais.possui dois ângulos iguais.possui todos os ângulos diferentes.

Lembre-se que a soma dos três ângulosinternos de qualquer triângulo é sempreigual a 180°



Quanto aos ângulos, os triângulos podem serdenominados:

Acutângulo:

Obtusâng

ulo:

Retângulo:

possui os ângulos internos commedidas menores que 90°(ângulos agudos).possui um dos ângulos com

medida maior que 90° (ânguloobtuso).possui um ângulo com medida de90°, chamado ângulo reto.



No triângulo retângulo existem algumasimportantes relações e uma delas é o

Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte:“A soma dos quadrados dos catetos é

igual ao quadrado da hipotenusa”.

Essa relação é muito importante na geometriae atende inúmeras situações envolvendo

medidas. h i p o t e n u s a

c a

t e

to

cateto

(hipot)2 = (cat)2 +(cat)2



As relações trigonométricas existentes notriângulo retângulo admitem três casos: seno,

cosseno e tangente.

α

h i p o t e n u s a catetooposto

cateto adjacente



Vamos determinar as relações deacordo com o triângulo ABC com lados

medindo a, b e c.

•A

a

B •

b

•C

c

a2 = b2+ c2



•A

a

B •

b

•C

c

a2 = b2+ c2



•

A

a

B •

b

•C

c

a2 = b2+ c2

No triângulo retângulo os doisângulos agudos sãoCOMPLEMENTARES⇓



Razões Trigonométricas Especiais



Relação Fundamental daTrigonometria

•

A

a

B •

b

•C

c α



Outra relação entre as razõestrigonométricas

•

A

a

B •

b

•C

c α

Vamos calcular oquociente:



1) Determine as medidas x e y dos lados dostriângulos abaixo:

a)

5km

xy

45o

b)

10m30o

x

y 4cm

xy

60o

c)

Exercícios



2) Para determinar a altura de uma torre, umtopógrafo coloca um teodolito a 100m desua base e obtém um ângulo de 30º,

conforme ilustra a figura. Sabendo que aluneta do teodolito está a 1,70m do chão,qual é a altura aproximada da torre?

x

1,7

h = x +1,7



20° 60 m

3) Um navio se encontra a 60 m. de umfarol. Calcule a altura desse farol, que é

visto de um ponto de observação de navio,sob um ângulo de 20°?Dados: sen 20° = 0,34 e cos 20° =0,94



20°

h

60Ângulo = 20°

Cateto oposto = hCateto adjacente =60

tg 20°???!!!



4) Sabendo que sen x = 0,3 , com 0° < x <90°, obtenha os valores de cos x e tg x :



Questões complementares

1) Queremos encostar uma escada de 8 m decomprimento em uma parede, de modo que elaforme um ângulo de 60º com o solo. A quedistância da parede devemos apoiar a escada

no solo?



60

°

8 m

x

Hipotenusa = 8

Ângulo = 60°Cateto adjacente= x

Resposta: 4m



20°

c 3 m

2) Veja a ilustração abaixo:

Qual é o comprimento dessa rampa?(Use as razões para o ângulo de 20° dadas anteriormente)



20°

3 m

c

Hipotenusa = cÂngulo = 20°Cateto oposto =3

Resposta: c =



Ø a) AC = 10 km

Ø b) AD = 2,5 kmØ c) BC = 5√3 km

Ø

d) O ângulo BÂD mede 60°Ø e) A velocidade média do

barco é de 15 km/h

3) Na figura abaixo, em que o ponto Blocaliza-se a leste de A, a distância AB = 5 km.Neste momento, um barco passa pelo ponto C,a norte de B, e leva meia hora para atingir oponto D. A partir destes dados, assinale o quefor correto.

__



30

°

60°

60

° 5

x

Hipotenusa = AB

= 5Ângulo = 30°Cateto oposto =AD = x

⊿ ABD:

Hipotenusa = AB = 5Ângulo = 30°Cateto adjacente =

BD = y

y



30

°

60°

60

° 5

x

Hipotenusa = BC

= zÂngulo = 30°Cateto oposto =BD = y

⊿BCD:

y

z



30

°

60°

60

° 5

x

⊿BCD:

y

z

w

Hipotenusa = BC

= zÂngulo = 60°Cateto oposto =CD = w

7,5 km em meia hora ⇒15 km em uma

hora∴ Velocidade = 15 km h



30

°

60°

60

° 5

x

⊿

BCD:

y

z

w

7,5 km em meia hora ⇒15 km em uma

hora∴ Velocidade = 15 km h

Outra solução...

ou



30

°

60°

60

° 5

x y

z

w

Resposta: Todas as alternativas estãocorretas

) i d i l



4) Um agrimensor quer determinar a largurade um rio. Como não pode efetuardiretamente essa medida, ele procede da

seguinte forma:

Com esses dados, que medida, em metros, eleachou para a largura do rio?

• Do ponto A, situado numadas margens do rio, eleavista o topo D, de um

morro na margem oposta,sob um ângulo de 60° coma horizontal;

• Afastando-se 12 m, emlinha reta, até o ponto B,ele observa novamente otopo do morro segundo umângulo de 45° com ahorizontal.



Dicas para a resolução da4ª questão

Considere:

x = largura do rio;

y = altura do morro.

Para resolver esteproblema, utilize doistriângulos, ∆ ACD e ∆BCD.



45°

O triângulo BCD éisósceles e, portanto, y =

x + 12

Ângulo = 60°Cateto oposto = CD

= yCateto adjacente =AC = x

⊿ACD:



Resposta: 16,4 m



5) Na figura abaixo, determine as medidas dosângulos internos do ∆ ABC:

ATENÇÃO! O triângulo ABC NÃO é retângulo...

ACH



Hipotenusa = AC =4

Ângulo =Cateto adjacente =HC = 2

⊿ ACH:

x

⊿ ACH:



60°

Hipotenusa = AB

=Ângulo =Cateto oposto =AH =

⊿ ABH:



60°45°



Fontes de referência:

• Agrupamento de Escolas de Avanca Prof. Dr. Egas Moniz

http://aeavanca.hopto.org/aeavanca/

• Trabalho do Professor Alexandre Mello

http://materessurib.wordpress.com/

• Trabalho dos Professores Maria Cristina Kessler e ClaudioGilberto de Paula

http://unisinos.br/blog/ensinopropulsor/

• Colégio Militar de Fortaleza

h // f i b b /




http://www.cmf.ensino.eb.br/

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