Tudo Sobre Matemática

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GUIDG.COM – PG. 1 Conteúdo programático de Reforço de Física e Matemática Conteúdos Notação: Significado: Definição / Descrição:

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Conteúdo de matemática básica

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GUIDG.COM PG. 10 GUIDG.COM PG. 10 GUIDG.COM PG. 10 Contedo programtico de Reforo de Fsica e Matemtica Contedos

Notao: Significado: Definio / Descrio:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 O sistema decimal. Algarismos Indo-Arbicos Utiliza-se estes smbolos, que chamamos de algarismos (por homenagem ao matemtico Al-Khowarizmi) para representar quantidades, objetos... 0 para nenhuma unidade, 1 para uma unidade, 2 para duas unidades... usado internacionalmente na cincia e na maioria dos pases.

N Naturais N o conjunto dos nmeros naturais. So os nmeros que vo de 0, 1, 2, 3 ... + (l-se mais infinito). Todo nmero natural seguido imediatamente por outro nmero natural chamado sucessor, ou seja: N N = {0,1,2,3,4, ...}. O antecessor de 1 0, e a definio o nmero que antecede, isto que vem antes (sinnimo: predecessor). O smbolo N* usado para indicar o conjunto de nmeros naturais sem o zero, ou seja: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Z Inteiros O conjunto dos nmeros inteiros o conjunto dos nmeros naturais acrescido dos seus opostos (os naturais negativos). representado pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemo significar "nmero". Z = {... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} O smbolo Z* usado para indicar o conjunto de nmeros inteiros, sem o zero: Z* = {... , -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} O smbolo Z+ usado para indicar o conjunto de nmeros inteiros no negativos: Z+ = {0,1,2,3,4,...} O smbolo Z@ usado para indicar o conjunto de nmeros inteiros, nopositivos: Z@= {..., -3, -2, -1, 0} CO smbolo Z+ usado para indicar o conjunto de nmeros inteiros positivos: ZC+= {1,2,3,4,5, ...} CO smbolo Z@ usado para indicar o conjunto de nmeros negativos: ZC@= {-1, -2, -3, -4, -5...}

Como todos os nmeros naturais tambm so nmeros inteiros, dizemos que N um subconjunto de Z ou que N est contido em Z: N Z.

Q Racionais Quando dividimos um nmero inteiro (a) por outro nmero inteiro (b) obtemos um nmero racional. Todo nmero racional representado por uma parte inteira e uma parte fracionria. A letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, j que um nmero racional um quociente de dois nmeros inteiros. Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o nmero racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o nmero racional 0,5. Ambos tm um nmero finito de casas aps a vrgula e so chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o nmero de casas aps a vrgula infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos d o nmero racional 0,33333... a chamada dzima peridica. Podemos considerar que os nmeros racionais englobam todos os nmeros inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os nmeros inteiros. Q = {a/b | a Z e b Z*}. Lembre-se que no existe diviso por zero!. O smbolo Q* usado para indicar o conjunto de nmeros racionais no nulos: Q* = {x Q | x 0} O smbolo Q+ usado para indicar o conjunto de nmeros racionais no negativos: Q+ = {x Q | x 0} O smbolo Q- usado para indicar o conjunto de nmeros racionais no positivos: Q- = {x Q | x 0} O smbolo Q*+ usado para indicar o conjunto de nmeros racionais positivos: Q*+ = {x Q | x > 0} O smbolo Q*- usado para indicar o conjunto de nmeros racionais negativos: Q*- = {x Q | x < 0}

I ou Irracionais Quando a diviso de dois nmeros tem como resultado um nmero com infinitas casas depois da vrgula, que no se repetem periodicamente, obtemos um nmero chamado irracional. O nmero irracional mais famoso o pi ( ).

ou R Reais O conjunto formado por todos os nmeros racionais e irracionais o conjunto dos nmeros reais, indicado por R. Indicamos por R* o conjunto dos nmeros reais sem o zero, ou seja, o smbolo R* usado para representar o conjunto dos nmeros reais no-

nulos: R* = R - {0} O smbolo R+ usado para indicar o conjunto de nmeros reais nonegativos: R+ = {x R | x 0} O smbolo R- usado para indicar o conjunto de nmeros reais nopositivos: R- = {x R | x 0} O smbolo R*+ usado para indicar o conjunto de nmeros reais positivos: R*+ = {x R | x > 0} O smbolo R*- usado para indicar o conjunto de nmeros reais negativos: R*- = {x R | x < 0}

C ou C*somente 3 ano Complexos Um nmero complexo representa-se por a+bi, sendo a a parte real e b a parte imaginria. Unidade imaginria: define-se a unidade imaginria, representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever ento: i =p@w1 .

ou {} Vazio Significa que o conjunto no tem elementos, um conjunto vazio. Ex: A={1,2,3} B={4,5,6} A B={} ou A B=

*Falar de conjuntos

Unio L-se como "A unio B" Ex: A={5,7,10} B={3,6,7,8} A B = {3,5,6,7,8,10}

Interseo L-se como "A interseo B" Ex: A={1,3,5,7,8,10} B={2,3,6,7,8} A B={3,7,8}

Pertence Indica relao de pertinncia. Ex: 5 . Significa que o 5 pertence aos nmeros naturais.

No pertence No pertence . Ex: -1 N. Significa que o nmero -1 no pertence aos nmeros naturais.

Esta contido Ex: N ou seja, o conjunto dos nmeros naturais est contido no conjunto dos nmeros inteiros.

No esta contido Ex: R ou seja, o conjunto dos nmeros reais no est contido no conjunto dos nmeros naturais.

Contm Ex: Z N, ou seja, o conjunto dos nmeros inteiros contm o conjunto dos nmeros naturais.

| Tal que Barra reta (vertical) Ex: R+ = {x R | x 0} significa que R+ o conjuntos dos nmeros pertencentes aos reais TAL QUE esses nmeros sejam maiores ou iguais a zero.

\ Menos, sem Barra para esquerda. Teoria dos conjuntos (Complemento terico) A \ B, significa que o conjunto que contm todos os elementos de A menos os elementos de B. Ex: A={1,2,3,4,5} e B={1,3,5} Ento A \ B = {2,4} OBS: A barra pra direita ( / ) indica diviso.

Existe Indica existncia. Ex: 9 x 2 Z | x > 3 Significa que: Existe x pertencente ao conjunto dos nmeros inteiros tal que x maior que 3. (O existe pode aparecer ainda, como um E ao contrario e cortado, que representa inexistncia. Ex: 9+ x B. (no existe x em B) Sendo B={0,1,2,3}, e x = 9, no existe x no conjunto B.

Portanto Utilizado em expresses, equaes, e etc. Exemplo em logaritmos: log2 4 =x^ 2x =42x =4 2x =22#x=2

Para todo Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja". Ex: x > 0, x positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x positivo.

( ) Parnteses - I Por ordem de resoluo o primeiro a se resolver. O parnteses na matemtica pode ter vrias aplicaes, vamos citar algumas: 1 f(x) = 3x+2 Aqui est representando a funo de 1grau, ou funo afim, o parnteses neste caso, guarda o espao para valores que sero substitudos no lugar de X. Veja: supondo que x = 3/2 + 4 f(3/2+4) = 3(3/2 + 4) + 2

para resolver voc pode aplicar a propriedade distributiva, ou tirar o mnimo antes de multiplicar, os dois caminhos levam ao mesmo lugar, pois a multiplicao uma operao comutativa. Substituindo f(x) por y. y = 3(3/2+4) + 2 = 9/2 + 12 + 2 = 9/2 + 14 = (9 + 28)/2 = 37/2 Ou y = 3(11/2) + 2 = 33/2 + 2 = (33+4)/2 = 37/2 Pode tambm representar um intervalo aberto (igualmente o colchetes para fora). Veja X tal que x, est entre 3 e 4, inclusive 3 e exclusive 4. {x R | 3 x< 4} Ou [ 3 , 4 ) = [ 3 , 4 [ olha o parnteses aqui. Tem o mesmo papel que o colchetes para fora Ou seja representa um intervalo aberto, no qual os valores tendem a esse valor, mas no o atinge. Como se fosse o seu limite.

[ ] Colchetes - II Por ordem de resoluo o segundo a se resolver. Em funes/intervalos, representa incluso; exemplo: [0;1] Entre 0 e 1. (inclusive o 0 e 1) 0 x 1 (L-se: x maior ou igual a zero e menor ou igual a 1) ]2;4] Entre 2 e 4. (exclusive 2 e inclusive 4) 2 < x 4 (L-se: x maior que dois e menor ou igual a 4) ]-6;2[ Entre -6 e 2. (exclusive -6 e exclusive 2) -6 < x < 2 (L-se: x maior que menos seis e menor que 2)

{ } Chaves - III Por ordem de resoluo o terceiro a se resolver. ---- o conjunto de... Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c.

+ Adio L-se como "mais" Ex: 2+3 = 5 (L-se: dois mais trs igual a cinco). Significa que se somarmos 2 e 3 o resultado 5.

Mais ou Menos Indicao de um valor x com duplo sinal. Ex: 5 = +5 e 5 Quando delta maior que zero, a equao de segundo grau apresenta duas razes devido a presena do sinal mais ou menos contida na fatorao da equao de segundo grau. Apenas no Brasil conhecida como frmula de Bskara (consulte a histria)

- Subtrao L-se como "menos" Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado 2. O sinal - tambm denota um nmero negativo. Por exemplo: (-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado -4.

/ ou ou : Diviso L-se como "dividido" Ex: 6/2 = 3, significa que se dividirmos 6 por 2, o resultado 3.

*ou B ou . Multiplicao L-se como "multiplicado" Ex: 8*2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado 16. 2*3 = 3*2 (L-se duas vezes trs igual a trs vezes dois) 2 e 3 so fatores, 6 o resultado da multiplicao, tambm chamado de produto. Implicao imediata da multiplicao: A ordem dos fatores no altera o produto

% Per cento, Por cento, Porcentagem Indicador de frao por cento (100). Porcentagem = Por cento, ou seja um nmero por 100 (Sobre 100, dividido por cem). 10% = 10/100 = 0,1 20% = 20/100 = 0,2

= Igual, Igualdade L-se como "igual a" Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor. Por exemplo: 3+5 = 7+1

Diferente Ex: 13 31 (13 diferente de 31). Ex: x=5, y=2 Logo x y

Aproximadamente (=3,1415...) Pi aprox. 3,14 Ex: Pi um nmero irracional, resultado da diviso do valor da circunferncia pelo dimetro, por ser um nmero indeterminado em casas aps a vrgula, atribumos a ele um valor simplificado que comumente falado em matemtica como 3,1415.... para este podemos ler como aproximadamente 3,14 ( 3,14).

Equivalente 2/41/2 (L-se: equivalente , ou equipolente ) EX: x= 16 , y=4 logo x y (o sinal cortado significa no equivale)

t Congruente ngulos Congruentes: Definio Dois segmentos de reta so chamados congruentes quando tiverem a mesma medida, na mesma unidade. Exemplo Os segmentos de reta , da figura, tm medida 4 cm, portanto so congruentes. e

Indica-se:

< > Comparao Desigualdade Estrita. menor que, maior que x < y significa que x menor que y x > y significa que x maior que y

Comparao Desigualdade no estrita. menor ou igual a, maior ou igual a x y significa: x menor ou igual a y; x y significa: x maior ou igual a y

xn =x A x A x=y Potenciao Definio dos termos da potenciao L-se: x elevado ensima potncia igual ao produto de x, n vezes, que igual a y. x = base n = expoente ou potncia (determina o nmero de fatores) x.x.x... = produto de fatores ( determinado pelo expoente) y = produto (em alguns livros definido como potncia) Exemplos: 1 =1 21 =232 =3x3=9 Existem vrias propriedades, consulte Propriedades da Potenciao.

x2=n X ao quadrado igual a n comum alunos terem dvidas nesse caso, por isso destacamos com um exemplo: x = 9 ? Aqui vem a seguinte pergunta, que nmero elevado ao quadrado igual a nove? E voc responde 3! (certo), mas esquece que pode ser (-3) tambm. Portanto no cometa mais esse erro, existem dois nmeros que elevados ao quadrado so iguais a nove. Isto :

x 2 = 9 x 2 @9 = 0ento:x 2 @32 = 0 diferena de quadrados:veja a forma fatorada: `x + 3a`x @3a= 0portanto x + 3 = 0 ou x @3 = 0 x =@3 ou x = 3Podendo ser escrita da seguinte forma: x2 = n ento: x = n exemplo: x2 = 9 ento: x = 9 = 3S ={3,3}

! Fatorial , n fatorial (n!) O Smbolo / Sinal de exclamao na matemtica definido como fatorial. Fatorial que vm da palavra fator. A definio de n fatorial a seguinte: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 Ex: Para n=6, teramos: n! = 6*5*4*3*2*1

Radical O smbolo do radical deriva da letra r devido ao nome em latim radix quadratum (raiz quadrada), interpreta-se geometricamente como o lado do quadrado. n x L-se: Raiz ensima de x. OBS: quando no houver nmero no ndice esta ser sempre quadrada: Ex: 16 = +4 (Raiz quadrada de 16) 3 27 = +3 (Raiz cbica de 27) 4 16 = +2 (Raiz quarta de 16) i r =z ( ) Radical (sinal) ( r ) Radicando (dentro) ( i ) ndice (fora) ( z ) Raiz (resultado) Importante: A raiz quadrada de um nmero sempre positiva. x = | x | 2

log Logaritmo Ex: log28 = 3 O logaritmo de 8 na base 2 3, pois elevando 2 ao expoente 3 obtemos 8. Nunca esquea, se no tiver base no logartmo, definimos como sendo na base 10.

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ln (l) Logaritmo (n) neperiano logartmo natural logen = y Logartimo neperiano o logartmo cuja base o numero "e". e = 2,718281828.... Ex: log e 8 = 2,079441542... porque e 2,079441542 = 8

e Nmero de Euler e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287... L-se nmero de ilar ou tambm: nmero de Napier, constante de Nper, nmero neperiano, constante matemtica e nmero exponencial. Publicado em 1618 por John Napier

Constante de Euler-Mascheroni *letra grega Gama minscula teoria dos nmeros. = 0,577215664901532860606512090082402431... A sexta constante matemtica importante, foi calculado com centenas de casas decimais. No se sabe se um nmero irracional.

i Unidade imaginaria i =p@w1 i utilizado para representar a raiz de menos um Consulte Nmeros Complexos

Pi (Minsculo) *letra grega = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288... O nmero definido como sendo a razo entre a circunferncia de um crculo e o seu dimetro. Mas este nmero tem outras personalidades. tambm um nmero irracional e um nmero transcendente. Em trigonometria = 180 Tambm conhecido como constante de Arquimedes ou nmero de Ludoph.

pw2 Constante de Pitgoras *Raiz quadrada de dois. pw2 = 1.41421 35623 73095 04880 16887

Nmero de Ouro Letra grega Fi minscula =1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811...

w@x = fbFffqfbf2@ff4acfff 2aRazes da Equao de Segundo Grau Ocorre de escrevermos Bskara, mas o certo Bhaskara. apenas aqui no Brasil, que comum tornou-se atribuir crditos ao Matemtico Bhaskara, e o mtodo para extrair as razes, como frmula de Bhaskara. (Consulte a histria). Essa frmula se obtm quando fatora-se a equao de segundo grau,

completa-se os quadrados e isola-se a varivel (x). Vite tambm props outro mtodo para extrao das razes (devem existir mais), mas essa a forma mais fcil mesmo, e como na matemtica trabalha-se repetidamente com equaes de segundo grau, ser fcil a memorizao. Essa a equao de segundo grau igualada zero: ax2+bx+c=0 a, b, c so os coeficientes, e x a varivel. E foi a partir dela que surgiu a frmula, o problema consistia em achar os valores de x para os quais tornam a equao verdadeira, ou seja que valores de x tornam a equao nula. Publicamos um artigo demonstrando essa frmula, verifique o ndice de Matemtica Bsica.

Pesquisa de Razes Racionais Razes da equao polinomial quando o grau maior que 2. Este mtodo chamado Pesquisa de razes, por que raramente na primeira tentativa se acha uma soluo para o problema. No entanto ele sugere um caminho, resumimos a definio abaixo. (A) Razes Racionais: Seja a funo polinomial P(x) = 0 de grau n. a0 xn +a1 xn+1 ++an@2 x2 +an@1 x+an =0 ban 0 e a0 0c As possveis razes so o(s) nmero(s) x = p/q (p e q nmeros primos), onde p divisor Inteiro de an (termo independente) e q divisor Inteiro de a0 (coeficiente do termo de maior grau). (B) Razes Inteiras: Um caso particular se an divisvel por a0 , for um nmero inteiro. Ento obtemos sem tantas tentativas as razes, que so os divisores inteiros de an. (Mas o teorema que abrange mais amplamente o primeiro mesmo). Exemplo para (A): Determinar em C as razes da funo polinomial: f (x) = 2x3 + x2 + x 1 Soluo. I ) 2x3 + x2 + x 1 = 0 II) As razes possveis so x = p/q, onde p divisor inteiro de -1 e q divisor inteiro de 2 . III) D(-1) = { 1} = p D(2) = {1, 2} = q IV) Razes possveis: x = p/q { 1 , 1/2 }

V) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinmio e testar as possveis razes. VI) Verifica-se que 1/2 raiz do polinmio, e a funo polinomial dividida sem resto, assim re-escrevemos P(x): P(x) = (2x+2x+2)(x-1/2) VII) Com o Mtodo para extrao das razes da eq. De segundo grau temos o conjunto soluo, com duas razes imaginrias: ---------------- Exemplo para (B): Determinar as razes: f (x) =2x-11x+17x-6=0 De acordo com o teorema B, as razes possveis, j que -6 divisvel por 2, so apenas os divisores inteiros de -6. D(-6) = {1, 2, 3, 6} Pesquisando as razes pelo dispositivo de Briot-Ruffini: Vemos que 2 raiz, simplificando a funo: f (x) = (x 2) (2x2 7x + 3) S = {1/2, 2, 3} Logo notamos tambm que existe outra raiz inteira, 3. E aqui se esclarece que se utilizarmos o teorema A, a raiz j seria sugerida, no entanto o conjunto das razes possveis aumentaria de oito razes possveis para doze. Utilizando o mtodo A, o conjunto das razes possveis : x = p/q={ -, , 1, 3/2, -2, 2, 3, -3, 6} Portanto esteja consciente de utilizar o mtodo adequado.~

Teorema Auxiliar: O Teorema de Bolzano sugere duas implicaes e resumimos abaixo omitindo a demonstrao: Considere a funo polinomial de coeficientes Reais: f x` aa0 xn +a1 xn+1 ++an@2 x2 +an@1 x +an E dois nmeros tais que a < b , f (a) . f (b) 0 1 Se f (a) . f (b) < 0 , Ento em f (x) existe um nmero impar de razes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinmio. (se for trs, ento uma ou trs razes). 2- Se f (a) . f (b) > 0 , Ento em f (x) no existe, ou existe um nmero par de razes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinmio. (se for seis, ento no existem razes, ou h duas, ou quatro ou seis razes). Este teorema resolve questes de anlise, por exemplo: Analise a funo polinomial e verifique quantas razes h no intervalo (0, 1). f(x) = x5 2x2 + 3x +1 . Soluo: Pelo teorema P(0).P(1) > 0 , ento no h razes, ou h duas, ou quatro razes no intervalo dado. (isto porque o polinmio de quinto grau).

Produtos Notveis 1) Quadrado da soma ou diferena de dois termos: a+ ba22=a22 + 2ab+ b22 `a@ba =a @ 2ab+ b `

2) Diferena de Quadrados: a2 @ b2 =`a+ baA`a @ ba 3) Cubo da soma ou diferena de dois termos: a+ ba33=a33+ 3a22b+ 3ab22+ b33 `a @ ba =a @ 3a b+ 3ab @ b `

4) Soma ou diferena de Cubos: a3 + b3 =`a+ baAba22@ ab+ b22c a3@ b3 =`a @ baAba + ab+ b c

Binmio de Newton No se assuste com a seguinte frmula, pois ela muito simples, e foi desenvolvida com a inteno de facilitar o clculo. A forma `x + aan 8 n > 1 2 Z , expandida da seguinte maneira e aplicvel a todas as formas demonstradas anteriormente em Produtos notveis.

x+a n =xn + fffffAxn@1Aa+nffffAff`ffffnfffff@ffffffff1fffaffffAxn@2Aa2 + n a1!2!`

n+ ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffA`n @1aA`n @2aAxn@3Aa3+ 3!+ ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff` @1a`n@2a2 AxAan@1 +an n n`n @1a! Procedimento, para o lado direito da igualdade: 1 o primeiro termo (x) sempre elevado ao expoente n. 2 o segundo termo, o expoente vezes x elevado a uma unidade a menos que o n inicial. Multiplique isso por a. 3 o terceiro o produto de n pelo expoente de x do segundo termo, ou seja: n e (n 1). Divida isso pelo nmero de termos escritos, ou seja, dois. Multiplique por x elevado a duas unidades reduzidas do n inicial. Multiplique por a elevado a uma unidade a mais que a do segundo termo. A dica memorizar os passos, deduzir os produtos notveis (que possam ser) pelo Binmio de Newton, e por ltimo demonstrar a frmula at o quarto termo. Depois disso repetio.

ffffffffffAB Segmento de reta Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a figura (*) constituda por eles e por todos os pontos que esto entre eles. Exemplo O segmento de reta determinado por A e B representado por , dizemos que A e B so suas extremidades, e representamos por AB a medida de .

kjAB ou kuj Vetor Geometria Analtica, lgebra Linear. Vetor, verifique a definio formal. Segmento de reta orientado. kuj= ABkj= B@AEx: se A x1 ,y1 ,z1 e B x2 ,y2 ,z2a ento ABk`j= B@Aa=`x2@` x1 ,y2@ y1 ,z2@ z1a

Produto escalar Geometria Analtica, lgebra Linear. Esta notao implica que devemos multiplicar as cordenadas do vetor u pelas de v, e ento obter o produto escalar. Tambm representasse por: kujAkvj Exemplo: kuj=b1,2,3c e vkj=b4,5,6c ento =kujAkvj=b1,2,3cAb4,5,6c= 4 + 10 + 18 = 32

`a

d P,b c Distncia de um ponto a um Plano d P,b c=LLLffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffax0 + 2by0 +2cz0 + dfMMMffff qa + b + c2 a,b,c so as coordenadas do vetornormaldo planox0 ,y0 ,z0 so as cordenadas do ponto qualquer d =@ax1@ by1@cz1 onde x` 1 ,y1 ,z1aso as coordenadas de umponto pertencente ao planoA Ex: A distncia entre o ponto P(-4,2,5) ao plano :2x + y + 2z + 8 = 0 d P,b c=LLLffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff2`@ 4a+21 2` a2 + 2 52` a+ 8fMMMfffq2 +1 + 2 d P,b c= 4uc

d Pb 1,P2c Distncia entre dois pontos GEOMETRIA ANALTICA Utilizando como base o teorema de Pitgoras, pode-se calcular a facilmente a distancia entre dois pontos no plano cartesiano. seja: P1`x1, y1,z1a e P2`x2,y2,z2akj ento a distncia d P2b 1,P2c=| P2 1P2|2 wd Pb 1,P2c=q`x2@x1a +`y2@y1a +`z2@z1a kjOu seja a distncia o mdulo do vetor P1,P2 Ex. A distncia entre P(7,3,4) e Q(1,0,6) wd P,Qb c=q`1@7a2+`0@3a2+`6@4a2 =p49w=7 u.c. u.c. : unidades de comprimento

iX= m f i` a iNotao Sigma Somatrio" * letra grega Sigma maiscula iXi = m f i` a= f m` a+ f m` +1a+ f m` +2a+f n` a i o ndice da soma ( um smbolo arbitrrio, pode assumir o valor de qualquer letra) m o limite inferior n o limite superior f (i) a funo 5Ex: X k2 =12 +22 +32 +42 +52 k =1

Produto (Aritmtica) *letra grega Pi Maisculo Produto em, at, de...

|x| Mdulo / Valor absoluto de x |-5| = 5 L-se: o mdulo de menos cinco igual cinco. Significa geometricamente a distancia do valor de x at zero. (veja a definio de mdulo para mais informaes).

|x| =q`xa2 w|9| =q`9a2 = 9 Definio: O mdulo de x x se x for maior ou igual a zero ou o mdulo de x -(x) se x for menor que zero. Definio em linguagem matemtica: x, se x 0V

|x| @x, se x