Tunelamento em Teoria Quântica de Campos · Tunelamento em Muitas Dimens~oes Assim como no caso...
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Introducao N-dimensional T.C. Metodo de Aproximacao Metodo Variacional Conclusao Bibliografia
Tunelamento em Teoria Quantica de Campos
Leonardo Peixoto de MouraOrientador: Prof. Dr Gabriel Flores Hidalgo
Universidade Federal de Itajuba - UNIFEI
March 29, 2017
Universidade Federal de Itajuba - UNIFEI
Introducao N-dimensional T.C. Metodo de Aproximacao Metodo Variacional Conclusao Bibliografia
Sumario
1 Introducao
2 N-dimensional
3 T.C.
4 Metodo de Aproximacao
5 Metodo Variacional
6 Conclusao
7 Bibliografia
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Introducao N-dimensional T.C. Metodo de Aproximacao Metodo Variacional Conclusao Bibliografia
Aproximacao WKB em Mecanica Quantica
• Dado equacao de Schrodinger unidimensional independente do tempode uma partıcula de massa unitaria
−~2
2
d2ψ
dx2+ V (x)ψ = Eψ .
• Podemos reescreve-la da seguinte maneira
d2ψ
dx2= −p
2
~2ψ(x) ,
onde p(x) =√
2[E − V (x)] .
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Aproximacao WKB em Mecanica Quantica
• Em uma regiao classica, ou seja, E > V temos uma solucao do tipo
ψ(x) = A(x)eiϕ(x) .
• Substituindo essa equacao acima na equacao de Schrodinger temos
ψ(x) ∼=C√p(x)
e±i~∫dxp(x) .
• Em uma regiao para E < V
ψ(x) ∼=C√|p(x)|
e±1~∫dx|p(x)| ,
onde C e uma constante real.
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Aproximacao WKB em Mecanica Quantica
• Exemplo
Figure: Espalhamento de uma barreira retangular com uma ondulacao emcima [3] .
• Para (x < 0) ψ(x) = Aeikx +Be−ikx .E para (x > a) ψ(x) = Feikx .
• A Taxa de tunelamento e dada por T = |F |2|A|2 .
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Aproximacao WKB em Mecanica Quantica
• O comportamento da funcao de onda e dado na figura a seguir
Figure: Estrutura qualitativa da funcao de onda paro o espalhamento deuma barreiro alta e ampla [3] .
• Para (0 ≤ x ≤ a)
ψ(x) ∼=C√|p(x)|
e1~∫dx|p(x)| +
D√|p(x)|
e−1~∫dx|p(x)| .
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Aproximacao WKB em Mecanica Quantica
• A taxa de tunelamento e dada por
T ∼= e−2γ ,
onde
γ ≡ 1
~
∫ a
0dx|p(x)| .
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Introducao
• Dado um campo escalar em quatro dimensoes do espaco-tempo cominteracoes nao relativıstica, onde
L =1
2∂µφ∂µφ− U(φ) ,
onde
Figure: Potencial com dois mınimos relativos φ± [10] .
• Onde, apenas φ− e um mınimo absoluto.
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Introducao
• O que devemos calcular?
• O que devemos calcular e probabilidade de decaimento do falso vacuopor unidade de tempo e volume Γ/V .
• A Expressao e da forma
Γ
V= Ae−B/~ [1 +O(~)] , (1)
onde A e uma correcao quantica e B e o termo mais relevante.
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Introducao
• O que devemos calcular?
• O que devemos calcular e probabilidade de decaimento do falso vacuopor unidade de tempo e volume Γ/V .
• A Expressao e da forma
Γ
V= Ae−B/~ [1 +O(~)] , (1)
onde A e uma correcao quantica e B e o termo mais relevante.
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Tunelamento em Muitas Dimensoes
• Dado uma partıcula de massa unitaria movendo se em uma dimensao.
L =1
2q2 − V (q) . (2)
E V (q) e da forma
Figure: Potencial V (q) [10] .
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Tunelamento em Muitas Dimensoes
• A largura associada a essa penetracao e dada pela equacao (1). OndeB e dado por:
B = 2
∫ σ
q0
dq(2V )1/2 . (3)
• Para um problema em mais de uma dimensao temos
L =1
2~q · ~q − V (~q .) (4)
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Tunelamento em Muitas Dimensoes
• Assim como no caso unidimensional escolhemos o mınimo local, ~q0,como um zero do potencial, e o σ no caso unidimensional esubstituıdo por uma superfıcie de zero, Σ.
B = 2
∫ ~σ
~q0
ds(2V )1/2 , (5)
• onde(ds)2 = dq · dq .
• E ~σ e algum ponto em Σ.
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Tunelamento em Muitas Dimensoes
• E a integral sobre esse caminho e tal que B e mınimo, ou seja
δB = δ2
∫ ~σ
~q0
ds(2V )1/2 = 0 . (6)
• A mesma equacao pode ser escrita em uma forma mais conhecida.
δ
∫ds [2(E − V )]1/2 = 0 . (7)
d2~q
dt2= −∂V
∂~q, (8)
1
2
d~q
dt· d~qdt
+ V = E . (9)
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Tunelamento em Muitas Dimensoes
• E a integral sobre esse caminho e tal que B e mınimo, ou seja
δB = δ2
∫ ~σ
~q0
ds(2V )1/2 = 0 . (6)
• A mesma equacao pode ser escrita em uma forma mais conhecida.
δ
∫ds [2(E − V )]1/2 = 0 . (7)
d2~q
dt2= −∂V
∂~q, (8)
1
2
d~q
dt· d~qdt
+ V = E . (9)
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Tunelamento em Muitas Dimensoes
• O problema variacional (6) e da mesma forma, exceto que E = 0 e osinal de V (~q) e invertido, e o ponto ~σ nao e fixo.
• Fixando ~σ temos do problema (6) dado pro
d2~q
dτ2=∂V
∂~q, (10)
com1
2
d~q
dτ· d~qdτ− V = 0 . (11)
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Tunelamento em Muitas Dimensoes
• Assim temos
δ
∫dτLE = 0 , (12)
onde
LE =1
2
d~q
dτ· d~qdτ
+ V . (13)
• Pela equacao (11) temos
limτ−→−∞
~q = ~q0 . (14)
• Pela a invariancia de translacao
d~q
dτ
∣∣∣∣0
= ~0 . (15)
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Tunelamento em Muitas Dimensoes
• Novamente pela equacao (11)∫ ~σ
~q0
ds(2V )1/2 =
∫ 0
−∞dτLE . (16)
• Assim concluımos que B e a acao Euclidiana total para o salto.
B =
∫ ∞−∞
dτLE (17)
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Tunelamento em Teoria de Campos
• A equacao de movimento Euclidiana em Teoria Quantica de Campos e(∂2
∂τ2+∇2
)φ = U ′(φ) . (18)
• As condicoes de contorno do salto sao
limτ−→±∞
φ(τ, ~x) = φ+ , (19)
∂φ(0, ~x)
∂τ= 0 . (20)
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Tunelamento em Teoria de Campos
• O coeficiente B e
B = SE =
∫dτd3x
[1
2
(∂φ
∂τ
)2
+1
2(∇φ)2 + U
]. (21)
• Para B ser finito e necessario que
lim|~x|−→±∞
φ(τ, ~x) = φ+ . (22)
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Tunelamento em Teoria de Campos
• Fazendo uma mudanca de variavel ρ =√τ2 + |~x|2 podemos escrever
a equacao (18), o coeficiente B e as condicoes de contorno comosegue
d2φ
dρ2+
3
ρ
dφ
dρ= U ′(φ) (23)
B = SE = 2π2∫ ∞0
ρ3dρ
[1
2
(∂φ
∂ρ
)2
+ U(φ)
], (24)
∂φ
∂ρ
∣∣∣∣0
= 0 , (25)
limρ−→∞
φ(ρ) = φ+ . (26)
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Aproximacao de Parede Fina
• Considerando uma funcao simetrica em φ
U+(φ) = U+(−φ) , (27)
U+ =λ
8
(φ2 − µ2
λ
)2
. (28)
• Com mınimosU ′(±a) = 0 . (29)
• E definimos µ2 = U ′′(±a).
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Aproximacao de Parede Fina
• Adicionando um pequeno termo que quebre a simetria de U+, temos
U = U+ +ε
2a(φ− a) , (30)
onde ε e um numero positivo.
• A menor ordem nao trivial de ε,
φ± = ±a . (31)
• E ε e a densidade de energia entre o verdadeiro e falso vacuo.
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Aproximacao de Parede Fina
• Desconsiderando o termo de atrito na equacao (23) e a dependenciade ε em U obtemos
d2φ
dx2= U ′+(φ) , (32)
onde x e a variavel espacial em uma teoria unidimensional.
• A solucao fundamental e uma funcao de x, φ1(x), definida por
x =
∫ φ1
0
dφ
[2U+(φ)]1/2. (33)
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Aproximacao de Parede Fina
• Para essa solucao a acao unidimensional e dada por
S1 =
∫dx
[1
2
(dφ1dx
)2
+ U+
]=
∫ a
−adφ [2U(φ)]1/2 . (34)
• Para µ|x| � 1
φ1 = ±(a−Ke−µ|x|
), (35)
S1 =µ3
3λ. (36)
E K = 2a .
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Aproximacao de Parede Fina
• Em termos de φ1, podemos expressar analiticamente nossa descricaoaproximada do salto
φ = −a, ρ� R ,
φ = φ1(ρ−R), ρ ≈ R ,
φ = a, ρ� R .
• Precisamos calcular R agora
SE = 2π2∫ ∞0
ρ3dρ
[1
2
(dφ
dρ
)2
+ U
]= −1
2π2R4ε+ π2R3S1 . (37)
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Aproximacao de Parede Fina
• O primeiro termo vem do interior da bolha, o segundo termo da walL)variando em relacao a R, obtemos
dSEdR
= 0 = −2π2R3ε+ 6π2R2S1 . (38)
• Com isso chegamos em
B =π2µ12
6ε3λ4. (39)
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Metodo Variacional
• Escolhemos uma funcao que respeitasse as condicoes de contornoencontrada pelo Coleman.
φ(ρ) = φ+
(1− ae−bρ2
). (40)
• E o Potencial escolhido e
U(φ) = λ(φ2 − 1
)2+ εφ+ U0 . (41)
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Metodo Variacional
• Escolhemos uma funcao que respeitasse as condicoes de contornoencontrada pelo Coleman.
φ(ρ) = φ+
(1− ae−bρ2
). (42)
• E o Potencial escolhido e
U(φ) = λ(φ2 − 1
)2+ εφ+ U0 . (43)
• U0 e escolhido de tal forma a retirar as divergencias.
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Metodo Variacional
• Antes de calcular B analisamos o potencial
dU
dφ
∣∣∣∣φ+
= 0⇒ φ3+ − φ+ = − ε
4λ. (44)
• Chegamos em um B
B = π2{a2φ2+
2b+λφ2+b2
[a4φ2+
16− 4
9φ2+a
3 +a2
2
(3φ2+ − 1
)]}. (45)
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Metodo Variacional
• Analisando B como funcao B(a, b). Pontos crıticos
∂B
∂a= 0⇒ b = −λ
(φ2+a
2
4− 4
3φ2+a+ 3φ2+ − 1
), (46)
∂B
∂b= 0⇒ b = −4λ
(φ2+a
2
16− 4
9φ2+a+ 3φ2+ − 1
). (47)
• Dessa duas equacoes obtemos a
a =9
4φ2+
(9φ2+ − 3
). (48)
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Metodo Variacional
• Usando as equacoes (34) e (36) obtemos b
b =λ
64
(−4833φ2+ + 3862− 729
φ2+
). (49)
• Usando a equacao cubica (32) tiramos uma raiz aproximada para φ+
φ+ ∼= 1− ε
8λ. (50)
• Usando essa raiz nos obtemos um b < 0, e isso viola uma dascondicoes de contorno que a funcao deve respeitar.
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Referencia Bibliograficas I
S. Weinberg .The quantum theory of fields,Vol.2. Cambridge university press, 1996.
T. Damour, B. Duplantier, and V. Rivasseau,Gravitation and Experiment: Poincare Seminar 2006. Progress inMathematical Physics..Springer, 2007. , ano 2007.
D. GriffitthIntroduction to Quantum Mechanics,.Prentice Hall, 1995.
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Referencia Bibliograficas II
B. D. e. F. L. C. Cohen-Tannoudji,Quantum Mechanics,vol. 1. WllEY-VCH, 2nd ed., 1977.
D. Griffitth,The Quantum to Elementary Particle Physics.WllEY-VCH, 2 ed., 2008.
J. J. Sakurai and J. J. Napolitano,Modern quantum mechanics.2 ed., 2013.
P. Ramond,Field Theory A Modern Primer.Westview, 2nd ed.
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Referencia Bibliograficas III
e. F. E. H. G. B. Arfken, H. J.Weber,Mathematical Methods For Physicists.Elsevier, 7nd ed., 2013.
B. Hatleld,Quantum Field Theory Of Point Particles and Strings.Perseus Books, 1991.
S. Coleman,Fate of the false vacuum:Semiclassical theory .1977.
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