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Universidade Federal do ABC – UFABC Universidade Aberta do Brasil – UAB

FOMENTO AO USO DAS TECNOLOGIAS DE COMUNICAÇÃO E

INFORMAÇÃO NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO – TICs

Modalidade: Educação a Distância

Tutorial – Objeto Derivadas Ferramentas Interativas para Cálculo Diferencial e Integral,

Geometria e Álgebra Linear (m-learning)

Coordenação: Prof. Dr. Márcio Fabiano da Silva

Tutores:

Teófilo Andrade Farfán

Heleno Quevedo de Lima

Santo André, junho de 2012

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Objeto Derivadas

Neste tutorial, vamos explorar a ferramenta “Derivadas de Funções Reais”.

Para acessá-la, clique na aba Análise de FUV (funções de uma variável) e selecione a

aba Derivadas, conforme Figura 1.

Figura 1 – Acesso ao Objeto Derivadas no menu principal

O primeiro passo é escolher uma função dentre o seguinte grupo de funções básicas:

linear, quadrática, polinomial, logarítmica, exponencial, inversa, seno, cosseno,

tangente, arco-seno, arco-cosseno e arco-tangente. Por exemplo, selecionamos a função

quadrática (Figura 2).

Figura 2 – Escolha da Função

Aparecerá o gráfico da função ( ) , com , e .

Para mudar o valor dos parâmetros , e , basta clicar na respectiva caixa de diálogo e

digitar o valor que você deseja. Por exemplo, vamos atribuir e e .

Ou seja, ( ) . Agora, pressione o botão “Desenhar”, conforme a Figura 3.

Figura 3 – Atribuindo valores aos parâmetros a, b e

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Se você mudar de ideia, basta repetir este processo. Uma vez atribuídos os valores

desejados de , e , pressione o botão “Fixar”.

O próximo passo consiste em selecionar o valor de no qual deseja-se calcular a

derivada da função, ou seja, a inclinação da reta tangente ao gráfico de ( ) em .

Há duas possibilidades para atribuir o valor de :

i) Digitar o valor desejado na caixa do e pressionar a tecla “enter” em seu

teclado (Figura 4);

Figura 4 – Atribuindo o valor de diretamente na caixa de texto

ii) Mover o cursor sobre o gráfico da função e dar um clique sobre o ponto

desejado, Figura 5.

Figura 5 – Definindo o valor de a partir do movimento do curso sobre a curva da função

Para qualquer uma das duas possibilidades, a caixa ( ) é automaticamente

carregada e corresponde ao valor conforme Figura 6.

Figura 6 – Para cada automaticamente é carregado o valor correspondente ( )

Digite aqui:

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Caso você escolha a possibilidade (i), logo após pressionar a tecla “enter” aparecerá

na tela de visualização à reta tangente ao gráfico de ( ) em . Caso você escolha

a possibilidade (ii), à medida que o cursor move-se sobre o gráfico de ( ), são

mostradas na tela de visualiazação as respectivas retas tangentes ao gráfico de ( ) em

.

O próximo passo é comparar a razão incremental ( ) ( ) ⁄ com o

limite da razão incremental ( ) ( ) ⁄ . Para selecionar um valor de

, basta digitar um número real positivo na caixa e pressionar o botão “Atualizar ”.

O valor aparece como default, ilustrado na Figura 7.

Figura 7 – Atualizando o valor

Para exemplificar, vamos selecionar e . Neste caso, a razão incremental

é igual a e seu limite é . Agora, atualize como sendo . Não se esqueça de

pressionar “Atualizar ”. Neste caso, a razão incremental é igual a e seu limite é .

A seguir, digite na caixa e pressione “Atualizar ”. Neste caso, a razão

incremental é igual a e seu limite é . Finalmente, digite na caixa e

pressione “Atualizar ”. Neste caso, a razão incremental é igual a e seu limite é

.

Na Figura 8, observe que à medida que torna-se cada vez mais próximo de

(zero), os valores da razão incremental e do limite da razão incremental tornam-se cada

vez mais próximos. Isto corresponde ao conceito de derivada em um ponto. Também

observe que para todos os valores de escolhidos, o limite da razão incremental é igual

a . Por definição, este limite é a derivada de ( ) , ou seja, ( ) , em

. Isto é, ( ) ( ) .

Figura 8 – Quanto mais próximo de zero for h, mais próximo serão os valores da razão incremental e do

limite da razão incremental.

Para Para Para Para

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A última caixa da ferramenta é carregada automaticamente logo após ser

selecionado (Figura 9). Ela mostra a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) em

, ou seja, ( ) ( ), onde ( ).

Figura 9 – Equação da reta tangente ao gráfico de ( )

Para trabalhar com outro exemplo, basta pressionar o botão “Reiniciar” e repetir o

processo.