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Universidade Federal do ABC – UFABC Universidade Aberta do Brasil – UAB

FOMENTO AO USO DAS TECNOLOGIAS DE COMUNICAÇÃO E

INFORMAÇÃO NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO – TICs

Modalidade: Educação a Distância

Tutorial – Objeto Limites Ferramentas Interativas para Cálculo Diferencial e Integral,

Geometria e Álgebra Linear (m-learning)

Coordenação: Prof. Dr. Márcio Fabiano da Silva

Tutores:

Teófilo Andrade Farfán

Heleno Quevedo de Lima

Santo André, junho de 2012

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Objeto Limites

Neste tutorial, vamos explorar a ferramenta “Limites de Funções Reais”.

Para acessá-la, clique na aba Análise de FUV (funções de uma variável) e selecione a

aba Limites, conforme Figura 1.

Figura 1 – Acesso ao Objeto Limites no menu principal

O primeiro passo é escolher uma função dentre o seguinte grupo de funções básicas:

linear, quadrática, polinomial, logarítmica, exponencial, inversa, seno, cosseno,

tangente, arco-seno, arco-cosseno e arco-tangente (Figura 2).

Figura 2 – Escolha da Função

Por exemplo, selecionamos a função linear. Aparecerá o gráfico da função ( )

, com e (Figura 3). Para mudar o valor dos parâmetros e , basta

clicar na respectiva caixa de diálogo e digitar o valor que você deseja. Por exemplo,

vamos atribuir e .

Figura 3 – Função Linear

Função Linear

Parâmetros da

Função Linear

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Agora, pressione o botão “Desenhar”. Se você mudar de ideia, basta repetir este

processo. Uma vez atribuídos os valores desejados de e , pressione o botão “Fixar”

(Figura 4).

Figura 4 – Fixando os valores dos parâmetros da função

O próximo passo consiste em selecionar o valor de próximo do qual deseja-se

calcular o limite da função. Há duas possibilidades para atribuir o valor de :

i) Mover o cursor sobre o gráfico da função e dar um clique sobre o ponto

desejado, de acordo com Figura 5;

Figura 5 – Deslocando o cursor sobre a reta da função

ii) Digitar o valor desejado na caixa do e pressionar a tecla “enter” em seu

teclado (Figura 6).

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Figura 6 – Digitando o valor diretamente na caixa do

Para qualquer uma das duas possibilidades, a caixa é automaticamente carregada e

corresponde ao valor ( ). Também automaticamente passa-se ao próximo passo:

“seleção de ε” (letra grega epsilon).

Para selecionar um valor para ε, basta mover o cursor sobre a tela do gráfico da

função e dar um clique quando você obtiver o valor desejado. Vamos selecionar o valor

.

Figura 7 – Selecionando o valor de

Observe que o número real positivo ε corresponde, na definição de limite, ao raio da

vizinhança de . Assim, ao atribuir-se o valor de ε:

a) Automaticamente são calculados os valores de e (Figura 8);

Figura 8 – Valores de e

𝒙𝟎

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b) Automaticamente traçam-se na janela do gráfico as retas horizontais (tracejadas

e na cor verde) e , que delimitam a faixa entre os pontos

e (conforme a Figura 9);

Figura 9 – Retas horizontais e

c) Automaticamente destacam-se os pontos do gráfico da função que pertencem à

faixa delimitada por e , e os pontos do domínio que têm e

como imagens (Figura 10).

Figura 10 – Pontos do domínio que têm e como imagens

d) Automaticamente passa-se ao próximo passo: seleção de δ (letra grega delta),

que corresponde ao raio da vizinhança centrada em (Figura 11).

Figura 11 – Seleção de δ, que corresponde ao raio da vizinhança centrada em

𝑦 𝜀

𝑦 𝜀

𝒙𝟎 𝜹 𝒙𝟎 𝜹

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Lembre-se de que existe o limite de uma função próximo a um ponto quando para

todo , existir um δ positivo tal que todos os pontos que pertencem ao intervalo

entre e têm suas imagens pela função pertencentes à faixa entre e

.

Desta forma, os possíveis valores de δ que garantem a existência do limite da

( ) , próximo de , e com , estão representados pelas retas

verticais azuis tracejadas que aparecem quando movemos o cursor próximo de . No

nosso caso, por exemplo, garante a existência do limite. No entanto, não

seria possível (Figura 12).

Figura 12 – Limite de uma função próximo a um ponto

Para trabalhar com outro exemplo, basta pressionar o botão “Reiniciar” e repetir o

processo.

𝒙𝟎 𝟏 𝟓

𝒇(𝒙𝟎) 𝟐𝒙𝟎 𝟏

𝒚𝟎 𝜺

𝒚𝟎 𝜺

𝒙𝟎 𝜹 𝒙𝟎 𝜹