Tutorial Sap2000 Carregamento Harmônico

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia de Estruturas EES 529 - Introdução à Dinâmica das Estruturas Professor: Marco Antônio Vecci Autor: Pedro Ivo Diniz Costa Análise dinâmica de viga submetida a carregamento harmônico (Solução analítica e numérica) Deseja-se analisar a resposta dinâmica de uma viga bi-apoiada com massa concentrada no meio do vão submetida a uma excitação dinâmica gerada por uma força desbalanceada também aplicada no meio do vão, como indicado na figura a seguir: Massa concentrada: Mc = 1000 kg, gerando a força Fc = 10000 N. Massa da viga: Mb = 119,1 kg Força desbalanceada = 1500 N cos(Ω). Viga em aço ASTM A36 (E= 2,0 x 10 11 N/m 2 ), L = 4 m Seção transversal da viga com as seguintes dimensões (perfil S7x20): 2 98,04 mm 3 177,80 mm 9,96 mm 11,43 mm A 3793,54 mm² 17648213 mm 4 Solução Analítica Frequência natural do primeiro modo de vibração do sistema: = 2 = 2 2 3 3 ( + 0,49 ) = 27,96 Flecha devido ao carregamento estático gerado pelo peso da massa concentrada: =− 3 48 = 3,77

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Tutorial sobre como realizar um carregamento harmônico em uma viga bi-apoiada utilizando o Sap2000 e as funções Time History e Steady State. Soluções analíticas calculadas para comparar os valores.

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Universidade Federal de Minas Gerais

Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia de Estruturas

EES 529 - Introdução à Dinâmica das Estruturas

Professor: Marco Antônio Vecci

Autor: Pedro Ivo Diniz Costa

Análise dinâmica de viga submetida a carregamento harmônico

(Solução analítica e numérica)

Deseja-se analisar a resposta dinâmica de uma viga bi-apoiada com massa concentrada no meio do vão

submetida a uma excitação dinâmica gerada por uma força desbalanceada também aplicada no meio

do vão, como indicado na figura a seguir:

Massa concentrada: Mc = 1000 kg, gerando a força Fc = 10000 N.

Massa da viga: Mb = 119,1 kg

Força desbalanceada 𝐹ℎ = 1500 N cos(Ω𝑡).

Viga em aço ASTM A36 (E= 2,0 x 1011 N/m2), L = 4 m

Seção transversal da viga com as seguintes dimensões (perfil S7x20):

𝑡2 98,04 mm

𝑡3 177,80 mm

𝑡𝑓 9,96 mm

𝑡𝑤 11,43 mm

A 3793,54 mm²

𝐼 17648213 mm4

Solução Analítica

Frequência natural do primeiro modo de vibração do sistema:

𝜔 𝑛 = 2𝜋𝑓 𝑛 = 2𝜋 2

𝜋√

3𝐸𝐼

𝐿3(𝑀𝑐 + 0,49𝑀𝑏)= 2𝜋7,96 𝐻𝑧

Flecha devido ao carregamento estático gerado pelo peso da massa concentrada:

𝛿𝑐 = −𝐹𝑐𝐿3

48𝐸𝐼= 3,77 𝑚𝑚

2

Flecha devido ao peso próprio:

𝛿𝑏 = −5𝑞𝐿4

384𝐸𝐼= 0,28 𝑚𝑚

Onde 𝑞 =𝑀𝑏𝑔

𝐿= 292

𝑁

𝑚.

Flecha máxima devido à excitação dinâmica da força desbalanceada:

𝛿𝑑𝑖𝑛 (max) =𝛿𝑠𝑡

√[1 − (Ω

𝜔𝑛)

2

] + (2𝜁Ω

𝜔𝑛)

2

= 5,67 𝑚𝑚

Onde 𝛿𝑠𝑡 = −|𝐹ℎ|𝐿³

48𝐸𝐼= 0,57 𝑚𝑚 é o carregamento estático equivalente devido ao peso da massa

desbalanceada, 𝜁 = 0,05 e Ω = 𝜔 𝑛 = 2𝜋 7,96 𝐻𝑧.

A flecha total calculada é de 9,72 mm. O deslocamento máximo do vão não deve ultrapassar L/350 ou

seja, 𝛿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 < 11,43mm.

Solução Numérica via SAP2000

Modelagem Geométrica

Tela inicial do SAP 2000:

No canto inferior direito, selecione as unidades a serem utilizadas na análise (N, m, C). Clique no Menu

“file -> new model” para visualizar os modelos estruturais.

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Clique em “Beam” para visualizar a viga e definir os dados de entrada.

Defina o número de elementos (Number of Spans), o comprimento de cada elemento (Span Length) e

desmarque as restrições automáticas (Restraints). Clique em “ok” e o modelo aparecerá. As

propriedades da seção transversal (Section Properties) serão inseridas posteriormente.

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Feche a janela do ‘’3-D View’’. Para mudar o tipo dos apoios, selecione o primeiro e último nó, clique no

menu ‘’Assign -> Joint -> Restraints’’ para aparecer a configuração dos apoios.

Escolha o tipo de apoio da rótula, clique “OK” e observe que os apoios foram inseridos.

Definição do material e seção transversal da viga

Clique no menu “Define -> Materials”.

Pode-se adicionar um novo material (diferente dos listados anteriormente), clicando em “Add New Material” e seguir as orientações. Pode-se conferir ou modificar as propriedades do material em “Modify/Show Material”.

Para adicionar um material da biblioteca interna do programa, clique “Add New Material Quick”. Escolha “Material Type -> Steel” e “Specification -> ASTM A36”. Clique “OK”.

Selecione todos os segmentos da viga bi-apoiada, clique no menu “Assign -> Frame -> Frame Section”.

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Pode-se adicionar uma nova seção clicando em “Add New Property”. Aqui será importada uma seção

normatizada clicando em “Import New Property”.

Escolha o tipo de seção em “Frame Section Property Type –> Steel”. Caso não tenham sido importadas,

procure “SECTIONS.PRO” em “C:\Program Files (x86)\Computers and Structures\SAP2000 14”.

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Escolha a seção S7X20 e clique em “OK”.

Para aplicar o material à viga, escolha “A36” em “Material”. Pode-se observar as propriedades

dimensionais em “Section Properties” e pode-se multiplicar uma propriedade por um fator em “Set

Modifiers”. Clique “OK”, selecione S7X20 e clique “OK” novamente para aplicar as propriedades.

Para ver a orientação da viga clique no Menu “View → Set Display Options → General → Extrude View”, e “OK”. Clique na opção de visualização “3-D” e confira se a viga está na orientação correta. Desmarque a opção do menu “View → Set Display Options → General → Extrude View” e clique “OK”.

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Definição das massas

Para definir as massas do sistema é necessário definir a origem da mesma. Define-se a origem da massa

no programa como segue: menu “Define -> Mass Source”. Escolha a opção “From Element and

Additional Masses”

Para adicionar a massa concentrada, selecione o nó onde ela será aplicada (nó central) e o menu

“Assign -> Joints -> Masses”. Adicione a massa de 1000kg nas direções desejadas e clique “OK”.

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Definição dos carregamentos

Crie os padrões de carregamento clicando no menu “Define -> Load Pattern”. Deve-se criar um padrão

do tipo “DEAD” para os carregamentos estáticos e “LIVE” para carregamentos dinâmicos clicando em

“Add New Load Pattern”. Clique “OK”. Pode-se desconsiderar o peso próprio dos elementos ao definir o

“Self Weigth Multiplier” como zero, o que deve ser feito para o carregamento dinâmico.

Selecione o nó onde ela será aplicada (nó no meio do vão da viga) e clique em “Assign -> Joint Loads ->

Forces”, escolha o “Load Pattern Name -> Estatico” e adicione o módulo da força causada pela massa

concentrada Fc na direção Z em “Force Global Z”. Clique “OK”

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Repita o procedimento anterior para o módulo do carregamento dinâmico.

Função Time History

Pode-se introduzir o carregamento dinâmico de duas formas: Através da função Time History para

calcular os deslocamentos em cada instante ou através da função Steady State para o deslocamento de

regime permanente no domínio da frequência.

Para criar a função Time History, selecione o Menu “Define -> Functions -> Time History”. Em “Choose

Function Type to Add”, coloque “Cosine” e clique em “Add New Function”. Coloque o período em

“Period” igual a 1/7,895 (frequência de ressonância pelo SAP) e peça para realizar 50 ciclos em

“Number of Cycles”. Coloque “Coseno” para o “Function Name”.

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É preciso criar os casos de carregamento para as funções em “Define -> Load Cases”. Os casos “Estatico”

e “Dinamico” foram criados automaticamente, junto com “MODAL”. Clique em “Add New Load Case”.

Selecione o tipo de carregamento (Load Case Type) como “Time History”. Em “Loads Applied”, selecione

“Dinamico” em “Load Name” e “Coseno” no campo “Function”, clique “Add”. Defina 1000 passos de

tempo em “Number of Output Time Steps” e coloque cada passo de tempo com duração de 0,01

segundos. Nomeie o caso como TH em “Load Case Name”. Mantenha o amortecimento default como

“Modal Damping” igual “Constant at 0,05”. Clique “OK”

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Função Steady State

Para o regime permanente, selecione “Define -> Functions ->Steady State”. Clique em “Add New

Function” e adicione as frequências 0 e 1, “Value” igual a 1. Renomeie como Steady State e clique “OK”.

Defina o caso do carregamento em “Define -> Load Cases -> Add New Load Case”. Em “Load Case Type”,

escolha “Steady State”. Em “Loads Applied” insira o carregamento com “Load Name” Dinamico e função

“SteadyState”. A análise será com apenas uma frequência, assim em “Frequency Step Data” coloque

“First Frequency” e “Last Frequency” como 7,895 e “Number of increments” igual a 1.

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Neste caso o SAP2000 usa o amortecimento histerético. Pelo documento do Help, pode-se aproximar o

“hysteretic stiffness coefficient" como duas vezes o amortecimento viscoso modal em frequências

próximas às dos modos de vibração.

Em “Other Parameters”, clique em “Modify/Show” e defina o “Stiffness Proportional Coefficient” como

0,1 e Clique em “OK” três vezes.

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Combinação de carregamentos

Pode-se criar uma combinação de carregamentos com os respectivos fatores no Menu “Define -> Load

Combinations”. Clique em “Add New Combo”, adicione os casos Time History e Estatico. e clique “OK”.

Análise

No menu “Analyse ->Set Analysis Options”, clique em “Plane Frame” para que só se considere as

deformações no plano XZ. Clique em “OK”.

Para efetuar a análise, clique no menu “Analyze -> Run Analysis”. Coloque os casos Estatico, MODAL, TH

e SS para rodar clicando em “Run/Do Not Run Case”. Selecione a opção “Analysis Monitor Options ->

Always Show”. Clique “Run Now”

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Pós processamento

Confira na janela da análise caso haja algum aviso.

Para ver os resultados gráficos de um caso, clique no menu “Display ->Show Deformed Shape”.

Selecione “Case/Combo Name -> Modal”, clique “OK” e em “Start Animation” na parte inferior direita

para assistir o modo de vibração. Transite entre os diferentes modos com as setas ao lado de “Start

Animation”.

Para ver o resultado do Time History, selecione o nó central e clique no menu “Display -> Show Plot

Functions”.

Selecione o nó em “List of Functions”, “Add” e “Define Plot Functions”. Selecione novamente o nó e

clique em “Modify/Show Plot Function”. Selecione o deslocamento em “Displ” e an direção “UZ”. Clique

em “OK” duas vezes e “Display” para ver o gráfico do deslocamento no tempo.

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Para o resultado do Steady State, selecione o nó do meio do vão, clique em “Display -> Show Tables”.

Em “Select Load Cases”, escolha “SS” (Steady State) e clique “OK”. Na cascata de opções, escolha

“ANALYSIS RESULTS -> Joint Output -> Displacements”, clique “OK” e procure pelos valores máximos de

deslocamento. O menu “Show Tables” permite ver todos os detalhes de sua análise.

O resultado da análise é visto ao selecionar o nó do meio do vão e clicar em “Display -> Show Tables”.

Em “Select Load Cases” escolha “Estatico” e clique “OK”. Na cascata de opções, escolha “ANALYSIS

RESULTS -> Joint Output -> Displacements”, clique “OK” e procure pelos valores de deslocamento.

O resultado da combinação dos carregamentos pode ser visto em “Display ->Show Deformed Shape”.

Selecione “Case/Combo Name -> COMB1” e “OK”. As forças, momentos e tensões podem ser

visualizadas a partir do menu “Display->Show Forces/Stress->Frames/Cables”

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Pode-se exibir o resultado dos deslocamentos no domínio da frequência utilizando a função “Steady

State”. Para isso, antes de realizar a análise, defina uma faixa de frequência a serem analisadas no caso

de carregamento SS em “Define -> Load Cases -> SS -> Modify”. Escolha a frequência inicial e final da

faixa em “First Frequency” e “Last Frequency”, por exemplo de 1 a 20. Defina o número de incrementos

em “Number of increments”, por exemplo 100. Clique em “OK” duas vezes e efetue a análise.

Para observar os resultados no domínio da frequência, selecione o menu “Display -> Show Plot

Functions”. Escolha SS em “Load Case” e marque a opção Magnitude. Adicione o deslocamento do nó

no centro do vão em “Vertical Functions” e “FREQUENCY” em “Horizontal Plot Function” e clique em

“Display”.

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Resultados das análises para diversos procedimentos utilizados

A) Flecha no meio do vão devido aos carregamentos estático e dinâmico, com massa

concentrada e distribuída (peso próprio da viga) - fn = 7,9 Hz, ζ = 0,05.

No de modos de vibração = até 16, Frequência do carregamento desbalanceado = 7,9 Hz.

Número de elementos

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

2 -4,122 -5,704 -9,826 41,9 58,1

4 -4,122 -5,711 -9,833 41,9 58,1

8 -4,122 -5,712 -9,834 41,9 58,1

16 -4,122 -5,712 -9,834 41,9 58,1

No de elementos = 16, Frequência do carregamento desbalanceado = 7,9 Hz

Número de modos de vibração

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

1 -4,122 -5,712 -9,834 41,9 58,1

2 -4,122 -5,712 -9,834 41,9 58,1

8 -4,122 -5,712 -9,834 41,9 58,1

16 -4,122 -5,712 -9,834 41,9 58,1

No de elementos = 16, Nº de modos de vibração = 16

Frequência de excitação (Hz)

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

4 -4,12 -0,77 -4,89 84,3 15,7

8 -4,12 -5,46 -9,58 43,0 57,0

16 -4,12 -0,18 -4,30 95,8 4,2

No de elementos = 16, Nº de modos de vibração = 16

Frequência de excitação (Hz)

Flecha dinâmica (mm)

Steady State Time History

4 -0,61 -0,77

8 -5,57 -5,46

16 -0,18 -0,18

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B) Flecha no meio do vão devido aos carregamentos estático e dinâmico, sem a massa

concentrada- Fn = 33,6 Hz, ζ = 0,05.

No de modos de vibração = até 16, Frequência do carregamento desbalanceado = 33,6 Hz.

Número de elementos

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

2 -0,280 -5,586 -5,866 4,8 95,2

4 -0,280 -5,622 -5,902 4,7 95,3

8 -0,280 -5,619 -5,899 4,7 95,3

16 -0,280 -5,619 -5,899 4,7 95,3

No de elementos = 16, Frequência do carregamento desbalanceado = 33,6 Hz

Número de modos de vibração

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

1 -0,280 -5,618 -5,898 4,7 95,3

2 -0,280 -5,618 -5,898 4,7 95,3

8 -0,280 -5,618 -5,898 4,7 95,3

16 -0,280 -5,619 -5,899 4,7 95,3

No de elementos = 16, Nº de modos de vibração = 16

Frequência de excitação (Hz)

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

10 -0,28 -0,93 -1,21 23,1 76,9

34 -0,28 -5,36 -5,64 5,0 95,0

70 -0,28 -0,16 -0,44 63,6 36,4

No de elementos = 16, Nº de modos de vibração = 16

Frequência de excitação (Hz)

Flecha dinâmica (mm)

Steady State Time History

10 -0,63 -0,63

34 -5,48 -5,37

70 -0,16 -0,16

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C) Flecha no primeiro quarto do vão devido aos carregamentos estático e dinâmico neste

ponto, com massa concentrada e distribuída - Fn = 10,3 Hz, ζ = 0,05.

No de modos de vibração = até 16, Frequência do carregamento desbalanceado = 10,3 Hz.

Número de elementos

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

4 -2,37 -3,23 -5,60 42,3 57,7

8 -2,37 -3,23 -5,60 42,3 57,7

16 -2,37 -3,23 -5,60 42,3 57,7

No de elementos = 16, Frequência do carregamento desbalanceado = 10,3 Hz

Número de modos de vibração

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

1 -2,37 -3,23 -5,60 42,3 57,7

2 -2,37 -3,23 -5,60 42,3 57,7

8 -2,37 -3,23 -5,60 42,3 57,7

16 -2,37 -3,23 -5,60 42,3 57,7

No de elementos = 16, Nº de modos de vibração = 16

Frequência de excitação (Hz)

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

5 -2,37 -0,42 -2,79 84,9 15,1

10 -2,37 -2,80 -5,17 45,8 54,2

20 -2,37 -0,12 -2,49 95,2 4,8

No de elementos = 16, Nº de modos de vibração = 16

Frequência de excitação (Hz)

Flecha dinâmica (mm)

Steady State Time History

5 -0,42 -0,42

10 -2,37 -2,80

20 -0,12 -0,12

20

D) Flecha no primeiro quarto do vão devido aos carregamentos estático e dinâmico neste

ponto, sem massa concentrada - Fn = 33,6 Hz, ζ = 0,05.

No de modos de vibração = 16, Frequência do carregamento desbalanceado = 33,6Hz.

Número de elementos

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

4 -0,20 -2,80 -3,00 6,7 93,3

8 -0,20 -2,81 -3,01 6,6 93,4

16 -0,20 -2,81 -3,01 6,6 93,4

No de elementos = 16, Frequência do carregamento desbalanceado = 33,6 Hz

Número de modos de vibração

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

1 -0,20 -2,80 -3,00 6,7 93,3

2 -0,20 -2,81 -3,01 6,6 93,4

8 -0,20 -2,81 -3,01 6,6 93,4

16 -0,20 -2,81 -3,01 6,6 93,4

No de elementos = 16, Nº de modos de vibração = 16

Frequência de excitação (Hz)

Flecha (mm) Flecha (%)

Estática Dinâmica Total 100 x

Est./total 100 x

Din./total

10 -0,20 -0,35 -0,55 36,4 63,4

34 -0,20 -2,68 -2,88 6,9 93,1

70 -0,20 -0,03 -0,23 87,0 13,0

No de elementos = 16, Nº de modos de vibração = 16

Frequência de excitação (Hz)

Flecha dinâmica (mm)

Steady State Time History

10 -0,43 -0,43

34 -2,73 -2,68

70 -0,03 -0,03