espaços não-equiprováveis

Prof. Dr. Jhames SampaioUniversidade de Brasília

‣ caso finito‣ caso infinito

espaços gerais: não-equiprováveis‣ nem sempre faz sentido atribuir ao espaço amostral de um experimento

a mesma probabilidade para os seus elementos

‣ por meio de exemplos iremos motivar alguns casos

caso finito

caso infinitodiscreto

contínuolimitado

ilimitado

equiprovável

caso finitonão-equiprovável

os axiomas 1, 2 e 3 são satisfeitos

Suponha que um pequeno torneio de pré-temporada será disputado pelos times Corinthians, Flamengo, Palmeiras, São Paulo e Vasco. O torneio permite apenas um vencedor, que irá receber um prêmio em dinheiro e uma taça do torneio. Levando em consideração confrontos passados estima-se que o time do Corinthians tem duas vezes menos chances de ganhar o torneio do que o Flamengo, o time do Flamengo tem três vezes mais chances de ganhar do que o Palmeiras, o Palmeiras tem duas vezes mais chances de ganhar que o São Paulo e, por sua vez, o time do São Paulo tem três vezes mais chances de ganhar o torneio do que o Vasco. Quais as probabilidades de ganhar para cada time?

exemplo

S�=�{�C�,�F�,�P�,�S�,�V�}��

caso infinitodiscreto

os axiomas 1, 2 e 3 são satisfeitos

Suponha que a quantidade de partículas emitidas por uma substância radioativa tenha metade da probabilidade para cada aumento de uma unidade. Determine a distribuição de probabilidades deste experimento e calcule a probabilidade de se emitir uma quantidade par de partículas.

exemplo

S�=�{�0,��1,��2,��3,��4,�…}��

caso infinitocontínuo limitado

Suponha que um aluno de uma universidade tenha no máximo 30 dias par a so luc ionar um problema matemático e estamos interessados nas probabilidades associadas ao tempo demandado para a solução do problema. Suponha também que a probabilidade deste aluno solucionar o problema em intervalos de mesmo tamanho é a mesma. Nestas condições, nomeie o espaço amostral e proponha uma medida de probab i l idade adequada ao experimento. satisfaz o axioma 2

satisfaz o axioma 1

caso infinitocontínuo limitado

Suponha que um aluno de uma universidade tenha no máximo 30 dias par a so luc ionar um problema matemático e estamos interessados nas probabilidades associadas ao tempo demandado para a solução do problema. Suponha também que a probabilidade deste aluno solucionar o problema em intervalos de mesmo tamanho é a mesma. Nestas condições, nomeie o espaço amostral e proponha uma medida de probab i l idade adequada ao experimento.

i n t e r v a l o s d e mesmo tamanho possuem a mesma probabilidade

distribuição uniforme

caso infinitocontínuo limitado

Suponha que um aluno de uma universidade tenha no máximo 30 dias par a so luc ionar um problema matemático e estamos interessados nas probabilidades associadas ao tempo demandado para a solução do problema. Suponha também que a probabilidade deste aluno solucionar o problema em intervalos de mesmo tamanho é a mesma. Nestas condições, nomeie o espaço amostral e proponha uma medida de probab i l idade adequada ao experimento.

‣ como a integral possui a propriedade aditiva para intervalos disjuntos, segue que para uma sequência de intervalos disjuntos

satisfaz o axioma 3

caso infinitocontínuo limitado

Suponha que um aluno de uma universidade tenha no máximo 30 dias par a so luc ionar um problema matemático e estamos interessados nas probabilidades associadas ao tempo demandado para a solução do problema. Suponha também que a probabilidade deste aluno solucionar o problema em intervalos de mesmo tamanho é a mesma. Nestas condições, nomeie o espaço amostral e proponha uma medida de probab i l idade adequada ao experimento.

‣ conjuntos elementares, por exemplo {5}, possuem probabilidade zero

caso infinitocontínuo limitado

‣ perceba que esta ideia nos permite definir medidas de probabilidade das mais variadas possíveis

‣ basta defini-la como a área abaixo do gráfico de uma função contínua onde a área total é igual a 1

caso infinitocontínuo ilimitado

‣ se nosso espaço amostral for ilimitado, por exemplo , podemos aplicar a mesma ideia, bastando que a integral seja 1 para todo o intervalo

prat

ican

doUm par de dados com cores distintas é lançado até que a soma 5 ou 7 apareça. Qual a probabilidade de que a soma 5 apareça primeiro?

5nem�5�nem�7 5nem�5�nem�7

nem�5�nem�7

nem�5�nem�7

nem�5�nem�7

nem�5�nem�7

5

5.�.�.

1º Lançamento

2º Lançamento

3º Lançamento

4º Lançamento

soma 5 nem 5, nem 7

4/36 26/36

{(1,4);�(2,3);�(3,2);�(4,1)}

{(1,6);�(2,5);�(3,4);�(4,3);�(5,2),�(6,1)}

prat

ican

doUm par de dados com cores distintas é lançado até que a soma 5 ou 7 apareça. Qual a probabilidade de que a soma 5 apareça primeiro?

4/36

26/36 4/36

26/36 26/36

26/36 26/36 26/36

4/36

4/36

.�.�.

1º Lançamento

2º Lançamento

3º Lançamento

4º Lançamento

x

x x

x x x

(26/36)0 4/36x

(26/36)1 4/36x

(26/36)2 4/36x

(26/36)3 4/36x

.�.�.

+

+

+

.�.�.

prat

ican

doUm par de dados com cores distintas é lançado até que a soma 5 ou 7 apareça. Qual a probabilidade de que a soma 5 apareça primeiro?

(26/36)0 4/36x (26/36)1 4/36x

(26/36)2 4/36x (26/36)3 4/36x

+ +

+ + … =(26/36)0 4/36x

1�-�26/36=25

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