normal

Prof. Dr. Jhames SampaioUniversidade de Brasília

‣ lei dos 68,2 - 95,4 - 99,7%‣ definição

‣ normalização

‣ calculando probabilidades

a curva em formato de sino

A distribuição normal também é chamada distribuição gaussiana, distribuição de Gauss ou distribuição de Laplace–Gauss, em referência aos matemáticos, físicos e astrônomos francês Pierre–Simon Laplace (1749 – 1827) e alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855).

notação:

Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição normal se, dados os parâmetros e , sua função densidade é dada por:

‣ unimodal e simétrica‣ formato de sino

‣ segue rígidas diretrizes de como os dados se distribuem ao redor da média

‣ muitas variáveis na vida real apresentam distribuição aproximadamente normal

a distribuição normal

a distribuição normal

‣ uma das vantagens da distribuição n o r m a l r e s i d e n a s d i f e r e n t e s possibilidades para a função densidade e, consequentemente, alocação dos dados em termos de posição central e dispersão

68,2 - 95,4 - 99,7%

prat

ican

doUm médico coletou uma série de medições de pulso cardíaco que seguem a distribuição normal. Ele reportou apenas 3 estatísticas: a média (=110 batidas por minuto), o mínimo (=65 batidas por minuto) e o máximo (=155 batidas por minuto). Qual das opções abaixo tem a maior probabilidade de ser desvio padrão da distribuição?

(a) 5

(b) 15

(c) 35

(d) 90

110�±�(3×5)�=�(95,�125)��

110�±�(3×15)�=�(65,�155)��

110�±�(3×35)�=�(5,�215)110�±�(3×90)�=�(-160,�380)�

15565 110

prat

ican

doUm escritório gestor de admissões quer testar qual dentre dois candidatos teve melhor desempenho, de acordo com a padronização de seus exames, em relação àqueles que realizaram o mesmo exame: Patrícia que conseguiu 1800 no exame SAT ou João que conseguiu 24 no exame ACT? O exame SAT teve distribuição N(1500, 3002) e o exame ACT N(21, 52).

Patrícia João

‣ o valor (Z) padronizado de uma observação representa o número de desvios padrões que ele está acima ou abaixo da média

‣ score Z de média = 0‣ observações atípicas: |Z| > 2‣ definido para qualquer forma de distribuição

padronizando observações

observado - médiaZ = desvio padrão

prat

ican

doUm escritório gestor de admissões quer testar qual dentre dois candidatos teve melhor desempenho, de acordo com a padronização de seus exames, em relação àqueles que realizaram o mesmo exame: Patrícia que conseguiu 1800 no exame SAT ou João que conseguiu 24 no exame ACT. O exame SAT teve distribuição N(1500, 3002) e o exame ACT N(21, 52).

Patrícia

João

1800 - 1500300 = 1

24 - 215 = 0,6

PatríciaJoão

‣ dizemos que uma variável aleatória é normal padrão se possui distribuição normal com média zero e variância um

normal padrão

‣ representamos a normal padrão pela letra Z

notação:

‣ a função densidade de uma normal não possui primitiva conhecida

calculando probabilidades

‣ o que se faz é calcular a integral numericamente para, assim, obtermos as probabilidades desejadas

‣ na prática, utilizamos computadores ou a tabela da normal padrão

‣ a distribuição normal é determinada unicamente por suas média e variância, isto é, se somarmos ou multiplicarmos valores a uma variável normal ela continua normal; muda-se apenas os valores da média e variância

calculando probabilidades

normalizando uma normal qualquer

obtendo uma normal qualquer a partir de uma normal padrão

1,25 > pnorm(1.25, mean = 0, sd = 1)

[1] 0.8943502

R

calculando probabilidades

0,89435

prat

ican

doAs notas do SAT tem distribuição N(1500, 3002). Patrícia marcou 1800 no SAT. Quantos porcento fi c a r a m a b a i x o d e Patrícia?

0,84134

Z�=�

P(Z�<�1)�=�

1800�-�1500300 =�1

0,84134

> pnorm(1800, mean = 1500, sd = 300)

[1] 0.8413447

R

prat

ican

doAs notas do SAT tem distribuição N(1500, 3002). Patrícia marcou 1800 no SAT. Quantos porcento ficaram entre 1600 e 2200?

1600�-�1500300

=�0,33

2200�-�1500300 =�2,33

P(0,33�<�Z�<�2,33)

=�P(Z�<�2,33)�-�P(Z�<�0,33)�

prat

ican

doAs notas do SAT tem distribuição N(1500, 3002). Patrícia marcou 1800 no SAT. Quantos porcento ficaram entre 1600 e 2200?

0,3608

P(0,33�<�Z�<�2,33)

=�0,3608

=�P(Z�<�2,33)�-�P(Z�<�0,33)�

=�0,99010�-�0,62930

prat

ican

doAs notas do SAT tem distribuição N(1500, 3002). Patrícia marcou 1800 no SAT. Quantos porcento ficaram entre 1600 e 2200?

> pnorm(2200,1500,300)-pnorm(1600,1500,300)

[1] 0.359626

R

0,3608

prat

ican

doAs notas do ACT tem distr ibu ição N(21, 52) . Quan to s po r c en to ficaram abaixo de 18?

P(Z�<�-0,6)�

18�-�215

=

=�-0,6

P(Z�>�0,6)

=�1�-�P(Z�<�0,6)

P(Z�<�-t)=�P(Z�>�t)=�1�-�P(Z�<�t)

-t t0

prat

ican

doAs notas do ACT tem distr ibu ição N(21, 52) . Quan to s po r c en to ficaram abaixo de 18?

P(Z�<�-0,6)�= P(Z�>�0,6)

=�1�-�P(Z�<�0,6)

=�1�-�0,72575

=�0,27425

0,27425

prat

ican

doAs notas do ACT tem distr ibu ição N(21, 52) . Quan to s po r c en to ficaram abaixo de 18?

0,27425> pnorm(18,21,5)

[1] 0.2742531

R