Uc 02_fundamentos Da Eletrotecnica

SRIE AUTOMAO INDUSTRIAL

FUNDAMENTOS DE ELETROTCNICA

CONFEDERAO NACIONAL DA INDSTRIA CNIRobson Braga de AndradePresidente

DIRETORIA DE EDuCAO E TECNOLOgIARafael Esmeraldo Lucchesi RamacciottiDiretor de Educao e Tecnologia

SENAI-DN SERVIO NACIONAL DE APRENDIZAgEM INDuSTRIAL

Conselho Nacional

Robson Braga de AndradePresidente

SENAI DEPARTAMENTO NACIONALRafael Esmeraldo Lucchesi RamacciottiDiretor-Geral

Gustavo Leal Sales FilhoDiretor de Operaes

SRIE AUTOMAO INDUSTRIAL

FUNDAMENTOS DE ELETROTCNICA

SENAIServio Nacional de Aprendizagem Industrial Departamento Nacional

SedeSetor Bancrio Norte . Quadra 1 . Bloco C . Edifcio Roberto Simonsen . 70040-903 . Braslia DF . Tel.: (0xx61)3317-9190 http://www.senai.br

2012. SENAI Departamento Nacional

2012. SENAI Departamento Regional do Rio grande do Sul

A reproduo total ou parcial desta publicao por quaisquer meios, seja eletrnico, mecnico, fotocpia, de gravao ou outros, somente ser permitida com prvia autorizao, por escrito, do SENAI Departamento Regional do Rio Grande do Sul.

Esta publicao foi elaborada pela equipe da Unidade Estratgica de Desenvolvimento Educacional UEDE/Ncleo de Educao a Distncia NEAD, do SENAI do Rio Grande do Sul, com a coordenao do SENAI Departamento Nacional, para ser utilizada por todos os Departamentos Regionais do SENAI nos cursos presenciais e a distncia.

SENAI Departamento NacionalUnidade de Educao Profissional e Tecnolgica UNIEP

SENAI Departamento Regional do Rio Grande do SulUnidade Estratgica de Desenvolvimento Educacional UEDE/Ncleo de Educao a Distncia NEAD

FICHA CATALOGRFICA

S491f Servio Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Nacional Fundamentos da eletrotcnica / Servio Nacional de Aprendizagem Industrial.Departamento Nacional, Servio Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Regional do Rio Grande do Sul. Braslia: SENAI/DN, 2012. 188 p.: il. (Srie Automao Industrial)

ISBN 978-85-7519-502-4

1.Eletrotcnica 2. Matemtica 3. Magnetismo 4. Eletromagnetismo. I.Servio Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Regional do Rio Grande do Sul. IITtulo .III.Srie

CDU- 621.3

Bibliotecrio Responsvel: Enilda Hack- CRB 599/10

Lista de ilustraesFigura 1 - Pizza ..................................................................................................................................................................25Figura 2 - Fraes prrias ..............................................................................................................................................26Figura 3 - Fraes imprrias .........................................................................................................................................26Figura 4 - Fraes aparentes ........................................................................................................................................26Figura 5 - Fraes equivalentes ...................................................................................................................................26Figura 6 - Nmeros mistos ............................................................................................................................................27Figura 7 - Decimais infinitos inteiros .........................................................................................................................30Figura 8 - Decimais infinitos fracionrios ................................................................................................................30Figura 9 - Converso decimal binrio .......................................................................................................................36Figura 10 - Converso decimal hexadecimal .........................................................................................................37Figura 11 - Funo de 1 grau ......................................................................................................................................41Figura 12 - Funo de 1 grau - 1 ................................................................................................................................42Figura 13 - Funo de 1 grau - 2 ................................................................................................................................42Figura 14 - Funo de 1 grau - 3 ................................................................................................................................43Figura 15 - Funo de 1 grau - 4 ................................................................................................................................43Figura 16 - Funo de 2 grau ......................................................................................................................................43Figura 17 - Vrtice e eixo de simetria ........................................................................................................................45Figura 18 - Sistema com 2 LEDs ..................................................................................................................................45Figura 19 - Grfico da funo logartmica ...............................................................................................................47Figura 21 - Trigonometia bsica arco ........................................................................................................................49Figura 22 - Trigonometia bsica ngulo ..................................................................................................................49Figura 20 - Potencimetro logartmico ....................................................................................................................49Figura 23 - Trigonometia bsica .................................................................................................................................50Figura 24 - Arco com o ngulo determindado ......................................................................................................50Figura 25 - Pitgoras .......................................................................................................................................................51Figura 26 - Ciclo trigonomtrico .................................................................................................................................51Figura 27 - Funo seno .................................................................................................................................................52Figura 28 - Valores notveis do seno .........................................................................................................................52Figura 29 - Grfico da funo seno ............................................................................................................................52Figura 30 - Funo cosseno ..........................................................................................................................................53Figura 31 - Valores notveis do cosseno ..................................................................................................................53Figura 32 - Grfico da funo cosseno .....................................................................................................................53Figura 33 - Funo tangente ........................................................................................................................................54Figura 34 - Valores notveis do tangente ................................................................................................................54Figura 35 - Grfico da funo tangente ...................................................................................................................54Figura 36 - Relao trigonomtrica ...........................................................................................................................55Figura 37 - Teorema de Pitgoras ...............................................................................................................................55Figura 38 - Bola de bilhar ..............................................................................................................................................59Figura 39 - tomo ............................................................................................................................................................60Figura 40 - Experincia de Rutherford ......................................................................................................................60Figura 41 - Modelo planetrio do tomo ................................................................................................................61Figura 42 - tomo 1 .........................................................................................................................................................61Figura 43 - Mquinas eletrostticas antigas ...........................................................................................................62Figura 44 - Repulso ........................................................................................................................................................64Figura 45 - Atrao...........................................................................................................................................................64

Figura 46 - Eletrosttica .................................................................................................................................................64Figura 47 - Pulseira antiesttica ..................................................................................................................................64Figura 48 - Aterramento ................................................................................................................................................64Figura 49 - Eletrizao por contato ............................................................................................................................65Figura 50 - Equacionamento da distribuio de cargas .....................................................................................65Figura 51 - Equacionamento da distribuio de cargas1 ..................................................................................65Figura 52 - Equacionamento da distribuio de cargas2 ..................................................................................66Figura 53 - Eletrizao por atrito ................................................................................................................................66Figura 54 - Eletrizao por induo ...........................................................................................................................67Figura 55 - Tenso eltrica ............................................................................................................................................68Figura 56 - Simbologia do voltmetro em um circuito eltrico .......................................................................69Figura 57 - Simbologia de uma fonte .......................................................................................................................69Figura 58 - Pilha ................................................................................................................................................................69Figura 59 - Pilhas em srie ............................................................................................................................................69Figura 60 - Pilhas em srie e contrapostas ..............................................................................................................69Figura 61 - Corrente eltrica .........................................................................................................................................70Figura 62 - Simbologia do ampermetro no circuito eltrico ...........................................................................70Figura 63 - Simbologia do ampermetro ligado em srie a um circuito eltrico ......................................70Figura 64 - Caminho do eltron livre ........................................................................................................................71Figura 65 - Simbologia do ohmmetro no circuito ...............................................................................................71Figura 66 - Simbologia do ohmmetro ligado em paralelo no circuito eltrico ........................................71Figura 67 - Resistncia eltrica ....................................................................................................................................73Figura 68 - Tenso alternada ........................................................................................................................................74Figura 69 - Determinao da corrente eltrica ......................................................................................................77Figura 70 - Determinao da tenso eltrica .........................................................................................................78Figura 71 - Determinao da resistncia eltrica .................................................................................................79Figura 72 - Multmetro ..................................................................................................................................................80Figura 73 - Osciloscpio ................................................................................................................................................83Figura 74 - Osciloscpio 1 .............................................................................................................................................83Figura 75 - Represeno caracterstica Lei de Ohm .............................................................................................88Figura 76 - Bipolo hmico .............................................................................................................................................88Figura 77 - Bipolo hmico 1 .........................................................................................................................................89Figura 78 - Resistores em srie ....................................................................................................................................89Figura 79 - Resistores em paralelo .............................................................................................................................90Figura 80 - Resistores em paralelo 1 ..........................................................................................................................90Figura 81 - Resistores em paralelo 2 ..........................................................................................................................91Figura 82 - Resistores em paralelo 3 ..........................................................................................................................91Figura 83 - Circuito eltrico ..........................................................................................................................................92Figura 84 - Rede eltrica ................................................................................................................................................92Figura 85 - Circuito eltrico 1 .......................................................................................................................................93Figura 86 - Representao de circuitos eltricos ..................................................................................................93Figura 87 - Circuito ..........................................................................................................................................................94Figura 88 - Representao das malhas ADEFA e BCDEB ....................................................................................94Figura 89 - Malha ..............................................................................................................................................................95Figura 90 - Malha 1 ..........................................................................................................................................................95Figura 91 - Malha 2 ..........................................................................................................................................................95Figura 92 - Malha 3 ..........................................................................................................................................................95Figura 93 - Malha ABEFA ................................................................................................................................................95

Figura 94 - Malha BCDEB ...............................................................................................................................................95Figura 95 - Esquema de circuito .................................................................................................................................97Figura 96 - Esquema de circuito 1 ..............................................................................................................................98Figura 97 - Esquema de circuito 2 ..............................................................................................................................98Figura 98 - Esquema de circuito 3 ..............................................................................................................................98Figura 99 - Circuito ligado em srie ........................................................................................................................ 103Figura 100 - Circuito ligado em srie 1 .................................................................................................................. 104Figura 101 - Circuito .................................................................................................................................................... 105Figura 102 - Circuito 1 ................................................................................................................................................. 106Figura 103 - Divisores de tenso e corrente ........................................................................................................ 109Figura 104 - Divisor de corrente .............................................................................................................................. 109Figura 105 - Circuito misto ......................................................................................................................................... 110Figura 106 - Circuito 3 ................................................................................................................................................. 111Figura 107 - Circuito 4 ................................................................................................................................................. 111Figura 108 - Circuito misto 1 ..................................................................................................................................... 111Figura 109 - Circuito 5 ................................................................................................................................................. 111Figura 110 - Circuito equivalente ............................................................................................................................ 112Figura 111 - Teorema da superposio - circuito .............................................................................................. 112Figura 112 - Teorema da superposio - circuito 1 ........................................................................................... 113Figura 113 - Teorema da superposio - circuito 2 ........................................................................................... 113Figura 114 - Teorema de Thvenin - circuito ...................................................................................................... 115Figura 115 - Teorema de Thvenin - circuito 1 .................................................................................................... 115Figura 116 - Teorema de Thvenin - circuito 2 .................................................................................................... 116Figura 117 - Teorema de Thvenin - circuito 3 .................................................................................................... 116Figura 118 - Teorema de Thvenin - circuito 4 .................................................................................................... 116Figura 119 - Teorema de Norton - circuito .......................................................................................................... 117Figura 120 - Teorema de Norton - circuito 1 ........................................................................................................ 118Figura 121 - Teorema de Norton - circuito 2 ........................................................................................................ 118Figura 122 - Teorema de Norton - circuito 3 ........................................................................................................ 118Figura 123 - Teorema de Norton - circuito 4 ........................................................................................................ 119Figura 124 - Hidreltrica ............................................................................................................................................. 121Figura 125 - Grfico da tenso alternada em graus .......................................................................................... 121Figura 126 - Grfico da tenso alternada em radiano...................................................................................... 121Figura 127 - Tenso e corrente alternada - grfico 1 ........................................................................................ 122Figura 128 - Grficos de ciclos e perodos de diversas formas de onda CA ............................................. 122Figura 129 - Circuito resistivo puro ......................................................................................................................... 124Figura 130 - Circuito resistivo puro - grafico senoidal ..................................................................................... 124Figura 131 - Circuito resistivo puro - grfico fasorial ........................................................................................ 124Figura 132 - Circuito indutivo puro ........................................................................................................................ 125Figura 133 - Circuito induivo puro - diagrama fasorial .................................................................................... 126Figura 134 - Circuito capacitivo puro ..................................................................................................................... 126Figura 135 - Circuito capacitivo puro - diagrama fasorial ............................................................................... 126Figura 136 - Circuito RLC em paralelo 2 ................................................................................................................ 127Figura 137 - Fios enrolados em forma helicoildal ............................................................................................. 131Figura 138 - Simbologia de bobinas ...................................................................................................................... 131Figura 139 - Indutores ................................................................................................................................................. 133Figura 140 - Associao em srie aditiva .............................................................................................................. 134Figura 141 - Associao em srie subtrativa ....................................................................................................... 134

Figura 142 - Associao em paralelo - circuito ................................................................................................... 135Figura 144 - Perfil magntico de Automvel ...................................................................................................... 135Figura 143 - Associao em paralelo - circuito 1................................................................................................ 135Figura 145 - Bobinas .................................................................................................................................................... 136Figura 146 - Sensor indutivo ..................................................................................................................................... 136Figura 147 - Simbologia capacitores ...................................................................................................................... 137Figura 148 - Capacitores de diferentes capacitancias ...................................................................................... 137Figura 149 - Capacitor em paralelo ........................................................................................................................ 138Figura 150 - Capacitor em paralelo 1 ..................................................................................................................... 138Figura 151 - Associao de capacitores em srie .............................................................................................. 139Figura 152 - Capacitor ................................................................................................................................................. 140Figura 153 - Capacitor eletroltico de 25uF 100V .............................................................................................. 140Figura 154 - Capacitores cermicos ........................................................................................................................ 141Figura 155 - Capacitores plsticos .......................................................................................................................... 141Figura 157 - Capacitor de Von Musschenbroek ................................................................................................. 142Figura 156 - Capacitores eletrolticos..................................................................................................................... 142Figura 158 - Esquema eltrico .................................................................................................................................. 145Figura 159 - Esquema eltrico 1 .............................................................................................................................. 146Figura 160 - Grfico senoidal .................................................................................................................................... 146Figura 161 - Representao fasorial ....................................................................................................................... 146Figura 162 - Grfico senoidal 1 ................................................................................................................................. 147Figura 163 - Representao fasorial 1 .................................................................................................................... 147Figura 164 - Grfico senoidal 2 ................................................................................................................................. 148Figura 165 - Representao fasorial 2 .................................................................................................................... 148Figura 166 - Grfico senoidal com trs tenses ................................................................................................. 148Figura 167 - Representao fasorial 3 .................................................................................................................... 148Figura 168 - Resoluo de circuitos RLC - circuito ............................................................................................. 149Figura 169 - Resoluo de circuitos RLC - representao fasorial ................................................................ 149Figura 170 - Resoluo de circuitos RLC - representao fasorial 1 ............................................................ 149Figura 171 - Resoluo de circuitos RLC - representao fasorial 2 ............................................................ 150Figura 172 - Resoluo de circuitos RLC - circuito 1 ......................................................................................... 150Figura 173 - Resoluo de circuitos RLC - representao fasorial 3 ............................................................ 150Figura 174 - Resoluo de circuitos RLC - representao fasorial 4 ............................................................ 150Figura 175 - Impedncia no circuito RLC em srie - representao fasorial ............................................ 151Figura 176 - Impedncia no circuito RLC em srie - representao fasorial 1 ......................................... 151Figura 177 - Impedncia no circuito RLC em srie - representao fasorial 2 ......................................... 152Figura 178 - Impedncia no circuito RLC em srie - representao fasorial 3 ......................................... 152Figura 179 - Impedncia no circuito RLC em srie - representao fasorial 4 ......................................... 152Figura 180 - Impedncia no circuito RLC em srie - representao fasorial 5 ......................................... 152Figura 181 - Impedncia no circuito RLC em srie - representao fasorial 6 ......................................... 152Figura 182 - Impedncia da associao - Pitgoras .......................................................................................... 153Figura 183 - Impedncia da associao - Pitgoras 1 ...................................................................................... 153Figura 184 - Impedncia no circuito RLC em srie - circuito ......................................................................... 153Figura 185 - Circuito RLC em paralelo .................................................................................................................... 154Figura 186 - Circuito RLC em paralelo 1 ................................................................................................................ 155Figura 187 - Circuito RLC em paralelo - grfico senoidal ................................................................................ 155Figura 188 - Circuito RLC em paralelo - representao fasorial .................................................................... 155Figura 189 - Circuito RLC em paralelo - grfico senoidal 1 ............................................................................. 156

Figura 190 - Circuito RLC em paralelo - representao fasorial 1 ................................................................ 156Figura 191 - Circuito RLC em paralelo - representao fasorial 2 ................................................................ 156Figura 192 - Circuito RLC em paralelo - circuito ................................................................................................. 156Figura 193 - Circuito RLC em paralelo - circuito 1 .............................................................................................. 157Figura 194 - Determinao grfica da frequncia de ressonncia .............................................................. 157Figura 195 - Representao fasorial da correntes na ressonncia .............................................................. 158Figura 196 - Ressonncia - circuito ......................................................................................................................... 159Figura 197 - Im ............................................................................................................................................................. 163Figura 198 - Material ferromagntico .................................................................................................................... 164Figura 199 - Material paramagntico..................................................................................................................... 164Figura 200 - Im 2 ......................................................................................................................................................... 164Figura 201 - Im 3 ......................................................................................................................................................... 164Figura 202 - Diviso de Im ....................................................................................................................................... 164Figura 203 - Propriedades dos ims ....................................................................................................................... 165Figura 204 - Linhas de fora representando o campo magntico .............................................................. 165Figura 205 - Experincia ............................................................................................................................................. 165Figura 206 - Im 4 ......................................................................................................................................................... 165Figura 207 - Circuito no-energizado .................................................................................................................... 166Figura 208 - Circuito energizado ............................................................................................................................. 166Figura 209 - Limalhas de ferro distribudas aleatoriamente ......................................................................... 166Figura 210 - Circuito energizado com linhas de induo do campo magntico ................................... 167Figura 211 - Regra da mo direita ........................................................................................................................... 167Figura 212 - Atrao ..................................................................................................................................................... 167Figura 213 - Repulso .................................................................................................................................................. 168Figura 214 - Campo eletromagntico em espira ............................................................................................... 168Figura 215 - Direo campo eletromagntico em espira ............................................................................... 169Figura 216 - Campo eletromagntico em espira 1 ........................................................................................... 169Figura 217 - Carretel ..................................................................................................................................................... 170Figura 218 - Bobina sem ncleo de ferro.............................................................................................................. 170Figura 219 - Bobina com ncleo de ferro ............................................................................................................. 170Figura 220 - Espiral da bobina .................................................................................................................................. 170Figura 221 - Espiral da bobina 1 .............................................................................................................................. 170Figura 222 - Representao da regra da mo direita ....................................................................................... 171Figura 223 - Representao da regra da mo direita 1 .................................................................................... 171Figura 224 - Eletroim ................................................................................................................................................. 172Figura 225 - Eletroim 1 .............................................................................................................................................. 172Figura 226 - Circuito Magntico .............................................................................................................................. 172Figura 227 - Entreferro ................................................................................................................................................ 173Figura 228 - Entreferro 1 ............................................................................................................................................. 173Figura 229 - Tipos de ncleo ..................................................................................................................................... 175Figura 230 - Forma de onda ...................................................................................................................................... 175Figura 231 - Transformador com mais de uma bobina ................................................................................... 175Figura 232 - Derivao central.................................................................................................................................. 175Figura 233 - Transformador trifsico ...................................................................................................................... 176Figura 234 - Autotransformador trifsico ............................................................................................................. 176

Tabela 1: Tcnico em Automao Industrial ............................................................................................................19Tabela 2: Nomenclatura das casas decimais ............................................................................................................29Tabela 3: Mltiplos e submltiplos do sistema mtrico ......................................................................................32Tabela 4: Prefixos de converses .................................................................................................................................33Tabela 5: Dgitos hexadecimais ....................................................................................................................................36Tabela 6: Resistividade dos principais tipos de condutores ..............................................................................73Tabela 7: Fora eletromotriz gerada por diferentes eletrodos ..........................................................................74Tabela 8: Relao dos resultados adquiridos ....................................................................................................... 100Tabela 9: Principais tipos de capacitores ............................................................................................................... 140

Quadro 1 - Fontes de energia geradoras de fora eletromotriz ......................................................................73Quadro 2 - Observao da malha ABEFA .................................................................................................................95Quadro 3 - Observao da malha BCDEB .................................................................................................................96

Lista de Abreviaturas

ABNT: Associao Brasileira de Normas Tcnicas.

IHM: Interface homem mquina.

ANEEL: Agencia Nacional de Energia Eltrica.

CLP: Controlador lgico programvel.

MVA: Mega Volt Amper.

Y: Estrela.

: Tringulo.

PVI: Parcela varivel por indisponibilidade.

VE: Tenso de entrada.

VS: Tenso de sada.

FCA: Fator de correo de agrupamento.

FCT: Fator de correo de temperatura.

RFF: Rel falta de fase.

TC: Transformador de corrente.

S: Potncia aparente.

PE: Proteo equipotencial

NBR: Norma Brasileira Regulamentadora.

N: Nmero.

NA: Normalmente Aberto

NF: Normalmente Fechado

A/D: Analgico para digital

Term.: Termomagntico

Q.T: Queda de tenso

IEC: International Electrotechnical Commission (Comisso Eletrotcnica Internacional).

CC ou DC: Corrente contnua

I: Entrada analgica

IRR: Receptor Infravermelho (Infrared Receiver)

IRT: Transmissor Infravermelho (Infrared Transmiter)

LED: Diodo emissor de luz (Ligth Emmiting Diode)

Q: Sada rel

V: volts - Unidade de medida de tenso

: ohms - Unidade de medida de resistncia eltrica

BCD: Cdigo binrio decimal

CI: Circuito integrado

GND: Ponto comum ou terra

MOS: Metal oxide semiconductor

A: ampre

Ca: Corrente alternada

Cc: Corrente contnua

: Litro

RPM- Rotaes por minuto

V: volt

W: watt

Ladder: Linguagem de contatos eltricos

R: Resistor

Vs/Vo: Tenso de sada

Ve/Vi: Tenso de entrada

1 Introduo ......................................................................................................................................................................19

2 Conceitos .........................................................................................................................................................................212.1 Potncia de base dez .................................................................................................................................21

2.1.1 Representando quantidades numricas com potncia de dez ...............................222.1.2 Operaes aritmticas com potncias de dez ................................................................24

2.2 Nmeros fracionrios e decimais ..........................................................................................................252.2.1 Nmeros fracionrios ..............................................................................................................252.2.2 Nmeros decimais ....................................................................................................................29

2.3 Mltiplos e submltiplos .........................................................................................................................322.3.1 Caractersticas do sistema mtrico decimal ....................................................................322.3.2 Prefixos mtricos .......................................................................................................................32

2.4 Converso de base numrica .................................................................................................................342.4.1 Sistema de numerao binrio ............................................................................................352.4.2 Converso binrio decimal ....................................................................................................352.4.3 Converso decimal binrio ....................................................................................................362.4.4 Sistema de numerao hexadecimal .................................................................................362.4.5 Converso de hexadecimal para decimal ........................................................................372.4.6 Converso de decimal para hexadecimal ........................................................................37

2.5 Sistema linear ...............................................................................................................................................372.5.1 Classificao dos sistemas lineares .....................................................................................382.5.2 Equao linear ............................................................................................................................382.5.3 Sistema linear com soluo por matrizes .........................................................................39

2.6 Funes de 1 grau, 2 grau, exponencial, logartmica e trigonomtricas ............................412.6.1 Funo de 1 grau .....................................................................................................................412.6.2 Funo de 2 grau .....................................................................................................................432.6.3 Funo exponencial .................................................................................................................452.6.4 Propriedades de potenciao ..............................................................................................462.6.5 Equaes exponenciais...........................................................................................................462.6.6 Funo logartmica ...................................................................................................................462.6.7 Trigonometria bsica ...............................................................................................................49

2.7 Representao grfica de funes ........................................................................................................512.7.1 Funo seno ................................................................................................................................512.7.2 Funo cosseno .........................................................................................................................522.7.3 Funo tangente .......................................................................................................................53

2.8 Relaes trigonomtricas ........................................................................................................................552.8.1 Teorema de Pitgoras ..............................................................................................................552.8.2 Relaes trigonomtricas de ngulos ...............................................................................56

Sumrio

3 Conceitos de eletricidade bsica ............................................................................................................................593.1 Eletrosttica ..................................................................................................................................................59

3.1.1 Carga eltrica ..............................................................................................................................613.1.2 Princpios de eletrosttica ......................................................................................................633.1.3 Fora eltrica A lei de Coulomb........................................................................................67

3.2 Grandezas eltricas ....................................................................................................................................683.2.1 Tenso eltrica............................................................................................................................683.2.2 Corrente eltrica ........................................................................................................................703.2.3 Resistncia eltrica ...................................................................................................................71

3.3 Fontes de energia .......................................................................................................................................733.4 Potncia e energia eltrica ......................................................................................................................753.5 Instrumentos de medidas ........................................................................................................................77

3.5.1 Classificao dos instrumentos de medidas eltricas .................................................773.5.2 Medio de corrente ................................................................................................................773.5.3 Medio de tenso ...................................................................................................................783.5.4 Medio da resistncia ............................................................................................................793.5.5 Medio por meio de multmetro digital .........................................................................803.5.6 Osciloscpio ................................................................................................................................82

4 Lei de Ohm e Kirchhoff ...............................................................................................................................................874.1 Lei de Ohm ....................................................................................................................................................874.2 Associao dos resistores .........................................................................................................................894.3 Leis de Kirchhoff ..........................................................................................................................................91

4.3.1 Aplicao das leis de Kirchhoff para a determinao de intensidades de correntes e tenses em redes eltricas .......................................................................................93

5 Circuitos de corrente contnua ............................................................................................................................. 1035.1 Circuitos srie de corrente contnua ................................................................................................. 103

5.1.1 Clculo da tenso na associao em srie .................................................................... 1035.1.2 Clculo da resistncia equivalente de associao em srie ................................... 104

5.2 Circuito paralelo de corrente contnua ............................................................................................ 1065.2.1 Resistncia equivalente de associao paralela ......................................................... 1075.2.2 Associao paralela de resistores de mesmo valor .................................................... 1085.2.3 Associao paralela de dois resistores .......................................................................... 1085.2.4 Divisores de tenso e corrente .......................................................................................... 1095.2.5 Divisor de corrente ................................................................................................................ 109

5.3 Circuito misto ............................................................................................................................................ 1105.4 Teorema da superposio ..................................................................................................................... 1125.5 Teorema de Thvenin ............................................................................................................................. 1155.6 Teorema de Norton ................................................................................................................................. 1175.7 Circuitos corrente alternada ................................................................................................................ 120

5.7.1 Tenso e corrente alternada ............................................................................................... 1215.7.2 Circuito resistivo puro .......................................................................................................... 124

5.7.3 Circuito indutivo puro .......................................................................................................... 1255.7.4 Circuito capacitivo puro ...................................................................................................... 1265.7.5 Ressonncia ............................................................................................................................. 128

6 Indutores e capacitores ........................................................................................................................................... 1316.1 Indutores ..................................................................................................................................................... 131

6.1.1 Indutncia (L) ........................................................................................................................... 1326.1.2 Associao de indutores ...................................................................................................... 133

6.2 Capacitores ................................................................................................................................................. 1366.2.1 Capacitncia ........................................................................................................................... 1376.2.2 Associao de capacitores .................................................................................................. 1376.2.3 Reatncia capacitiva (XC) .................................................................................................... 1396.2.4 Principais tipos de capacitores .......................................................................................... 140

7 Circuitos RLC em corrente alternada .................................................................................................................. 1457.1 Circuitos RLC em CA ................................................................................................................................ 145

7.1.1 Associao RLC em srie...................................................................................................... 1457.1.2 Resoluo de circuitos RLC ................................................................................................. 1497.1.3 Impedncia no circuito RLC em srie .............................................................................. 1517.1.4 Circuito RLC em paralelo ..................................................................................................... 1547.1.5 Circuito RLC srie na ressonncia ..................................................................................... 157

8 Magnetismo, eletromagnetismo e transformadores ................................................................................... 1638.1 Magnetismo e eletromagnetismo ..................................................................................................... 163

8.1.1 Campo magntico ................................................................................................................. 1658.1.2 Eletromagnetismo ................................................................................................................. 1668.1.3 Campo eletromagntico em espiras ............................................................................... 1688.1.4 Fora de atrao eletromagntica em eletroims ..................................................... 171

8.2 Transformadores....................................................................................................................................... 1738.2.1 Transformador monofsico ................................................................................................ 1738.2.2 Transformadores com mais de uma bobina no primrio e no secundrio ....... 1758.2.3 Transformador trifsico ........................................................................................................ 1768.2.4 Autotransformador trifsico............................................................................................... 176

Referncias ........................................................................................................................................................................ 179

Minicurrculo dos Autores ........................................................................................................................................... 180

ndice .................................................................................................................................................................................. 181

Nesta unidade curricular conheceremos os principais assuntos que contribuem para o desen-volvimento das competncias de um tcnico em Automao Industrial, que proporcionar a aqui-sio de fundamentos tcnicos e cientfi cos necessrios Automao Industrial, bem como capaci-dades sociais, organizativas e metodolgicas adequadas a diferentes situaes profi ssionais.

Esta unidade curricular Fundamentos da Eletrotcnica permite aos alunos, por meio dos fundamen-tos de eletroeletrnica aplicveis aos sistemas de controle e automao, a construo de uma base con-sistente que possibilite o desenvolvimento das competncias profi ssionais do Tcnico em Automao Industrial. Considera o desenvolvimento de fundamentos matemticos, eltricos e eletrnicos. (DCN-DN)

Ainda nesta unidade curricular iremos reconhecer fundamentos de eletricidade aplicveis aos sistemas de controle e automao. importante identifi car os tipos de instrumentos de teste. Aplicar fundamentos de eletricidade na medio de grandezas eltricas. E ainda, inter-pretar representaes grfi cas aplicveis aos sistemas automatizados de manufatura.

A seguir so descritos na matriz curricular os mdulos e as unidades curriculares previstos e as respectivas cargas horrias.

Tabela 1: Tcnico em Automao Industrial

MDuLOS DENOMINAO uNIDADES CuRRICuLARES CARgAHORRIA

CARgA HORRIAMDuLO

Mdulo Bsico Fundamentos Tcnicos e

Cientfi cos

Fundamentos da Comunicao 100h

140h

100h

340h

Fundamentos da Eletrotcnica

Fundamentos da Mecnica

Mdulo

Introdutrio

Fundamentos Tcnicos e

Cientfi cos

Acionamento de Dispositivos

Atuadores

Processamento de Sinais

160 h

180 h

340h

Especfi co I Manuteno e Implemen-

tao de Equipamentos e

Dispositivos

Gesto da Manuteno

Implementao de Equipamentos

Dispositivos

Instrumentao e Controle

Manuteno de Equipamentos e

Dispositivos

34h

136h

102h

68h

340 h

Especfi co II Desenvolvimento de

Sistemas de Controle e

Automao

Desenvolvimento de Sistemas de

Controle

Sistemas Lgicos Programveis

Tcnicas de Controle

100h

160h

80h

340h

Fonte: SENAI

Introduo

1

2Conceitos

Para iniciarmos os estudos de Fundamentos de Eletrotcnica h a necessidade da compre-enso de alguns conhecimentos relativos aos fundamentos tcnicos e cientfi cos, so eles:

Potncia de base dez;

Nmeros decimais e fracionrios;

Mltiplos e submltiplos;

Converso de base numrica;

Resoluo de sistemas lineares;

Funes de 10 grau, 20 grau, exponencial, logartmica e trigonomtricas;

Representao grfi ca de funes;

Relaes trigonomtricas.

2.1 pOTNCIA DE bASE DEz

Potncia de base dez uma forma prtica de representar e utilizar algebricamente quanti-dades numricas e tambm converter unidades de medidas maiores em unidades de medidas menores e vice-versa. A potncia de base dez possui algumas propriedades que so utilizadas nestas converses, so elas:

Propriedades:

Multiplicao de potncias = conserva a base e soma os expoentes.

10m x 10n = 10(m+n)

Diviso de potncias = conserva a base e diminui os expoentes.

10m : 10n = 10m / 10n = 10(m-n)

Potncia de potncias = conserva a base e multiplica os expoentes.

(10m)n = 10(m.n)

AUTOMAO INDUSTRIAL22

Veja alguns exemplos destas propriedades:

102 x 103 = 10(2+3) = 105

103 : 102 = 10(3-2) = 101

(102)3 = 10(2x3) = 106

Compreenda, ainda, as seguintes propriedades:

100 = 1

101 = 10

10-1 = 1/10

10-n = (10-1)n = 1 / 10n

10n =

10 x 10 x 10 x 10....... x 10 n de fatores

Sendo n>0:O n indica quantas vezes multiplicamos um nmero pela base dez.

Assim:

1x100 =1x1=1

1x101 =1x10=10

1x102 =1x10 x 10=100

2x102 =2x10x10=200

Sendo n

2 CONCEITOS 23

Para representar numerais menores que a unidade (1) como numerais inteiros, devemos deslocar a casa decimal, ou seja, deslocar a vrgula para a direita, at ob-ter uma casa de inteiros. A seguir, multiplicamos o nmero obtido por 10 elevado a uma potncia negativa igual ao nmero de casas decimais deslocadas.

Observe:

0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6

0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

>

Deslocamos a vrgula 19 vezes para a direita 1,6

Agora, devemos multiplicar o numeral obtido (1,6) por 10, 10 elevado a uma potncia negativa igual ao nmero de casas deslocadas (19). Fica, por-tanto, 1,6x10-19.

Considere, agora, a distncia percorrida pela luz durante um ano. Essa gran-deza denominada 1 ano-luz e equivale distncia de 94600000000000 metros. Para representar essa distncia em metros com potncia de dez, devemos des-locar a casa decimal, ou seja, a vrgula para a esquerda, at obter uma casa de inteiros. A seguir, multiplicamos o nmero obtido por 10, elevado a uma potncia igual ao nmero de casas deslocadas.

Assim:

9 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9, 4, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1>

9,46 Deslocamos a vrgula 13 vezes para a esquerda

Agora, multiplicamos o nmero obtido por 10, elevado a uma potncia igual ao nmero de casas deslocadas. Fica, portanto, a distncia percorrida pela luz du-rante um ano, igual a 9,46x1013 metros.

Para converter um nmero expresso como uma potncia positiva de 10 num nmero decimal, deslocamos a casa decimal para a direita tantas casas ou posi-es quanto o valor do expoente.

Exemplos:

3,14x102 = 314

234,16x106 = 234160000


Para converter um nmero expresso como uma potncia negativa de 10 num nmero decimal, deslocamos a vrgula para a esquerda tantas casas quanto o valor do expoente.

Exemplos:

567,67x10-2 = 5,6767

345,8x10-3 = 0,3458

2.1.2 opeRaes aRitmticas com potncias de dez

Adio e subtrao:

Para efetuar a adio de dois ou mais numerais expressos em potncia de 10, somamos ou subtramos os numerais conservando o expoente, quando estes fo-rem iguais, conforme demonstrado no exemplo a seguir.

Exemplos:

5x103 +15x103 = (5+15)x103 = 20x103

5x103 - 15x103 = (5-15)x103 = -10x103

Porm, quando os expoentes no so iguais, devemos ajust-los ao mesmo ex-poente antes de efetuar a adio, conforme demonstrado no exemplo a seguir.

Exemplo:

6x103 + 9x102 -> 60x102 + 9x102 = (60+9)x102 = 69x102

>

>>

>

Observe que 6x103 = 60x102. Quando diminumos em uma vez o expoente devemos aumentar uma casa decimal.

Multiplicao:

Para efetuar a multiplicao de dois ou mais numerais expressos em potncia de 10, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes.

Exemplo:

8x102 x 4x105 = (8x4)(2+5) = 32x107

Diviso:

Para efetuar a diviso de dois ou mais numerais expressos em potncia de 10, dividimos os coeficientes e subtramos os expoentes.

Exemplo:

8x105 4x102 = (84)(5-2) = 2x103

2 CONCEITOS 25

A diviso de dois ou mais numerais expressos em potncia de 10 resolveram, por exemplo, o problema de repartir grandes quantidades de terras em pedaos menores.

SAIBA MAIS SAIBA MAIS

Vamos compreender melhor a importncia do uso destes nmeros.

2.2 NMEROS FRACIONRIOS E DECIMAIS

Por muito tempo o ser humano utilizou apenas os nmeros inteiros; porm, com o passar do tempo e a necessidade de efetuar medies, foi necessria a criao de outros tipos de nmeros, surgindo, ento, os nmeros fracionrios ou racionais. Eles resolveram o problema, de por exemplo, repartir grandes quanti-dades de terras em pedaos menores. Vamos compreender melhor a importncia do uso destes nmeros.

2.2.1 nmeRos FRacionRios

Os numerais fracionrios surgiram para facilitar a representao e a opera-o com os nmeros no-inteiros utilizados no cotidiano.

Quando dividimos a unidade (inteiro) em partes iguais e tomamos uma ou mais partes, estamos tomando uma frao da unidade. Fazendo uma analogia com uma pizza, ela inteira a unidade, e cada pedao cortado dela uma frao da pizza.

Figura 1 - PizzaFonte: Autor

As fraes so representadas pelo conjunto dos nmeros racionais, represen-tado pela letra Q.

Defi nimos os nmeros racionais como:

Q= { ab a Z; b Z* }

Dos resultados acima temos, ento, que:

Q vem de quotient e signifi ca quociente.

Z representa o conjunto dos nmeros inteiros

Z* representa o conjunto dos nmeros inteiros excluindo o zero.


No exemplo da pizza, dividimos a unidade em seis partes iguais e tomamos uma parte. O pedao da pizza que tomamos representado pela frao: a/b , onde: a o numerador e b o denominador. Numa frao, lemos em primeiro lugar o numerador e em segundo lugar o denominador. Quando o denominador um nmero natural entre 2 e 9, devemos ler como: 2 = meio; 3 = tero; 4 = quar-to; 5= quinto; 6 = sexto; 7 = stimo; 8 = oitavo e 9 = nono.

Como exemplo temos: 1/6, neste caso lemos: um sexto. Porm quando o de-nominador maior do que 10, lemos o numeral, acompanhado da palavra avos.

Retomando o exemplo da pizza se fosse tamanho famlia, ela estaria dividida em 12 pedaos, ou seja, cada pedao desta pizza seria representado como 1/12 e sendo assim, lemos um doze avos.

Fraes prprias: so as fraes menores que a unidade.

Figura 2 - Fraes prriasFonte: Autor

1 V Numerador Nas fraes prprias, o numerador menor que o denominador.2 V Denominador

Fraes imprprias: so fraes maiores que a unidade.

Figura 3 - Fraes imprriasFonte: Autor

7 Nas fraes imprprias, o numerador maior que o denominador.4

Fraes aparentes: so fraes em que o numerador sempre mltiplo do denominador.

Figura 4 - Fraes aparentesFonte: Autor

12 As fraes aparentes repre-sentam inteiros.4

Fraes equivalentes: so fraes que representam o mesmo valor.

Figura 5 - Fraes equivalentesFonte: Autor

Para obtermos uma frao equivalente a outra, bas-ta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo nmero.

2 CONCEITOS 27

Nmeros mistos: so nmeros que representam uma parte inteira e mais uma frao.

=

Figura 6 - Nmeros mistosFonte: Autor

Extrao de inteiros: a representao de uma frao imprpria por um nmero misto. Sendo a frao imprpria 34 , represent-la com um nmero misto significa evidenciar a parte inteira e a parte fracionria. Para tanto, devemos divi-dir o numerador pelo denominador. O quociente ser a parte inteira. O resto ser o numerador e conservamos o mesmo denominador.

Assim:

4 33 1 quociente1 resto

1 inteiro , sobra 1 Dai: inteiro V 1 1 sobra3 denominador

obtendo uma frao imprpria a partir de um nmero misto:

Multiplicamos a parte inteira pelo denominador e adicionamos o numerador ao produto obtido, mantendo o denominador.

Considere agora o nmero misto 1 131 x 3 + 1 = 4

parte inteira denominador numerador (numerador da frao)

Executando:

Dai: 1 13 -> 43

Reduo de fraes ao mesmo denominador

Para reduzir duas os mais fraes ao mesmo denominador, devemos efetuar trs procedimentos:

1 Calcular o m.m.c. (mnimo mltiplo comum).

2 Dividir o m.m.c. pelos denominadores das fraes dadas.


3 Multiplicar o quociente encontrado em cada diviso pelo numerador da res-pectiva frao. O produto encontrado o novo numerador.

Tendo as fraes: 34 ; 12 ;

56

1 Determinao do m.m.c:

4 2 6 2

2 1 3 2

1 1 3 3

1 1 1 12

2 Diviso do mmc pelos respectivos denominadores:

12 4 = 3

12 2 = 6

12 6 = 2

3 Multiplicao dos respectivos numeradores pelo quociente encontrado:

3x312

6x112

2x512 Ficando, ento:

912

612

1012

operao com fraes

Adio e subtrao

Adio e subtrao com o mesmo denominador: Adicionamos ou subtramos os numeradores e mantemos o denominador.

Assim: 78 + 58 =

128 ou

78 -

58 =

28

Adio e subtrao de fraes com denominadores diferentes: reduzimos as fraes ao mesmo numerador calculando o mmc e procedemos, agora, soma ou subtrao de fraes com o mesmo denominador.

Assim: 34 + 25 =

1520 +

820 =

2320 ou

34 -

25 =

1520 -

820 =

720

Multiplicao:

A multiplicao de fraes efetuada multiplicando os numeradores entre si e os denominadores entre si.

Assim: 56 x 74 =

3524

Numa multiplicao de fraes, costumamos simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetu-la. Exemplo:

Simplificado

>

45

x 58

-> 45

x 58

-> 41

x 18

= 48

= 12

2 CONCEITOS 29

Diviso de fraes:

A diviso de duas fraes efetuada multiplicando a primeira frao pela fra-o inversa da segunda.

Alguns procedimentos devem ser observados:

1 Transformar os nmeros mistos em fraes imprprias, se for o caso.

2 Transformar os nmeros inteiros em fraes aparentes, se for o caso.

3 Simplificar.

4 Multiplicar os numeradores e os denominadores entre si.

5 Extrair os inteiros.

Exemplo: 47 35 =

47 x

53 =

2021

34 57 =

34 x

75 =

2120 = 1

120

2.2.2 nmeRos decimais

Os numerais decimais surgiram da necessidade de efetuar operaes aritmti-cas por meio de nmeros inteiros sem o uso de fraes. O mtodo foi desenvolvi-do por Simon Stevin (1548-1620), matemtico e engenheiro holands.

Os nmeros decimais tm origem nas fraes decimais. Como por exemplo:

A frao 12 d origem ao numeral decimal 0,5.

casa decimal:

Casa decimal a posio que um algarismo (signo grfico que representa um nme-ro) ocupa aps a vrgula. A vrgula separa a parte inteira da parte fracionria do nmero.

Tabela 2: Nomenclatura das casas decimais

VALOR NOME CASAS DECIMAIS

1x10-1 dcimo 1

1x10-2 centsimo 2

1x10-3 milsimo 3

1x10-4 dcimo de milsimo 4

1x10-5 centsimo de milsimo 5

1x10-6 milionsimo 6

1x10-7 dcimo de milionsimo 7

1x10-8 centsimo de milionsimo 8

1x10-9 bilionsimo 9


CONTINuAO TAbELA 2: Nomenclatura das casas decimaisVALOR NOME CASAS DECIMAIS

1x10-10 dcimo de bilionsimo 10

1x10-11 centsimo de bilionsimo 11

1x10-12 trilionsimo 12

1x10-13 dcimo de trilionsimo 13

1x10-14 centsimo de trilionsimo 14

1x10-15 quatrilhonsimo 15

1x10-16 dcimo de quatrilhonsimo 16

1x10-17 centsimo de quatrilhonsimo 17

1x10-18 quintilhonsimo 18

1x10-19 dcimo de quintilhonsimo 19

1x10-20 centsimo de quintilhonsimo 20

Fonte: Autor

Decimais Infinitos

Tambm chamados de dzima peridica, apresentam repetio de algarsmos.

Exemplo:

2,222222222222...

Representao:

INTEIROS FRACIONADOS

Classe dos milhes Classe dos milhares Classe das unidadesdcimo centsimos milsimos

c d u c d u c d u

c: centena d: dezena u: unidade

Figura 7 - Decimais infinitos inteirosFonte: Autor

Para separar as classes dos inteiros usamos o ponto, e para separar a parte in-teira da parte fracionria usamos a vgula.

Exemplo:

Figura 8 - Decimais infinitos fracionriosFonte: Autor

2 CONCEITOS 31

operaes com nmeros decimais

Adio e subtrao

Para adicionar nmeros decimais, devemos posicionar o nmero inteiro abaixo de nmero inteiro, vrgula abaixo de vrgula e casa decimal abaixo de casa decimal.

Exemplos:

Somando os nmeros:

3, 456


2.3 MLTIpLOS E SUbMLTIpLOS

Em 1795 foi introduzido na Frana o Sistema Mtrico Decimal que, por sua ra-cionalidade, logo se espalhou por todo o mundo. Vrios sistemas foram utilizados desde ento, a exemplo do Metro-Quilograma-Segundo (MKS) e do Centmetro--Grama-Segundo (CGS), que usavam as bases do sistema mtrico decimal, at que em 1960, durante a 11 Conferncia de Pesos e Medidas realizada em Paris, foi formulado um novo sistema baseado tambm do Sistema Mtrico Decimal, ao qual se denominou Sistema Internacional de Unidades (SI). Este Sistema passa por revises peridicas.

At meados do sculo XVIII, as unidades de medida eram arbitrrias, variando de um pas para outro, o que trazia enormes transtornos nas converses. Por causa disso, os cientistas propuseram unidades de medida universais.

VOC SABIA?

2.3.1 caRacteRsticas do sistema mtRico decimal

O sistema mtrico de base decimal e apresenta mltiplos e submltiplos, ra-cionalmente escolhidos, utilizando prefi xos gregos e latinos, segundo potncias de dez, conforme demonstrado no quadro a seguir:

Tabela 3: Mltiplos e submltiplos do sistema mtrico

Valores Prefi xos Smbolos Valores Prefi xos Smbolos

1018 exa E 100 1 unidade fundamental

1015 peta P 10-1 deci d

1012 tera T 10-2 centi c

109 giga G 10-3 mili m

106 mega M 10-6 micro

103 quilo k 10-9 nano n

102 hecto h 10-12 pico p

101 deca d 10-15 femto f

100 1 unidade fundamental

10-18 atto a

Fonte: Autor

2.3.2 pReFixos mtRicos

Em eletricidade bsica algumas unidades de medidas podem ser ou muito pequenas ou muito grandes para serem expressas. Por exemplo: no caso de resis-tncia frequentemente so utilizados valores de resistncia da ordem de milhares de ohms. O prefi xo k (quilo) uma forma conveniente de se representar mil, assim como o prefi xo M (mega), milho.

2 CONCEITOS 33

Dessa forma, um resistor de 12.000 (ohm: unidade de medida para resistncia eltrica) pode ser representado, convenientemente, por 12k (doze quiloohm), e um resistor de 1.000.000 de ohms pode ser representado por 1M (um megaohm). Os prefi xos kilo e mega referem-se aos mltiplos da unidade fundamental.

No caso da corrente eltrica, muito frequente a utilizao de milsimos ou milionsimos de ampres (A = unidade de medida de intensidade de corrente eltrica). Assim, uma corrente de 0,001A pode ser representada por 1mA (miliam-pre), que um submltiplo da unidade fundamental, enquanto uma corrente de 0,000002A pode ser representada por 2A (microampres).

Veja a seguir alguns exemplos do uso destes prefi xos nas converses:

Tabela 4: Prefi xos de converses

12.500 12,5k ou 12k5

4.700.000 4,7M ou 4M7

35.000V 35kV

1.500V 1,5kV

0,0034 A 3,4mA

200mA 0,2A

14.000A 0,014A ou 14mA

2.200W 2,2kW

Fonte: Autor

Frequentemente necessrio converter uma unidade de medida maior em outra menor ou vice-e-versa, principalmente quando desejamos efetuar opera-es como soma e subtrao.

Assim, para somar 0,23V (V (volt) = unidade de medida de tenso eltrica) com 2mV, necessrio que as unidades de medidas sejam iguais, ou V (volt) ou mV (milivolt), ou seja necessitamos igualar as unidades de medida. E para tal deve-mos fazer com que 0,23V se transforme em 230mV.

Logo: 230mV + 2mV = 232mV ou, ainda, podemos transformar 2mV em 0,002V, neste caso temos: 0,23V + 0,002V = 0,232V.

FIQUE ALERTA

Quando o deslocamento no sentido vertical for para cima, desloque a vrgula para a esquerda.

Quando o deslocamento no sentido vertical for para baixo, desloque a vrgula para a direita.

Considere sempre a unidade fundamental (UF) = 100.

Lembre-se de que qualquer nmero inteiro pode ser mentalizado como um nmero precedido de uma vrgula e zeros, em conformidade com a aproximao desejada.

Vejamos os exemplos de converso de unidades a seguir:

Converter 12.000mV em V (volt):


Analisando a Tabela 4, anterior, verificamos que, para converter 12.000mV para V (volt), o deslocamento no sentido vertical ocorre para cima. Isto significa que devemos deslocar a vrgula para a esquerda. Mas, quantas casas devemos deslo-car esquerda? A diferena entre os expoentes do mV (10-3) para a unidade fun-damental (100) 3. Logo, devero ser deslocadas trs casas esquerda.

Assim: 12.000mV = 12V

Levando em conta que 12.000 pode ser escrito como 12.000,00... e deslocando a vrgula 3 casas esquerda, teremos ento 12,000, que representado por 12.

Converter 4.500V em kV (kilovolt):

Neste caso, o deslocamento vertical tambm para cima e por isso a vrgu-la deve ser deslocada esquerda. A diferena entre os expoentes tambm 3. Logo: 4.500V = 4,5kV.

Um resistor de 33.000 pode ser representado como 33x(1x103) onde na base 10, o expoente 3 faz o deslocamento em trs casas, sendo assim: 33.000 = 33k .

2.4 CONvERSO DE bASE NUMRICA

Na grande maioria das vezes, ao ouvirmos a palavra nmeros, a associamos ao sistema decimal, porque com ele que estamos acostumados a operar. O sis-tema decimal est fundamentado em algumas regras que so base para qualquer outro sistema. Sendo assim, importante estudar estas regras e aplic-las aos sis-temas de numerao binria, decimal e hexadecimal.

Uma das regras demonstra que um dgito (numeral) no sistema decimal (base 10) tem dois significados: um o valor propriamente dito do dgito, e o outro est relacionado com a posio do dgito no nmero (peso).

Vamos compreender melhor com o seguinte exemplo:

O numeral 7 no nmero 70 corresponde a sete dezenas, ou seja 7 x 10, de-vido posio que ele ocupa no nmero. Este princpio aplicvel a qualquer sistema de numerao onde os dgitos possuem pesos determinados por seu posicionamento. Sendo assim, um sistema de numerao genrico pode ser expresso da seguinte maneira:

N = dn . Bn + . . . + d3. B3 + d2. B2 + d1 . B1 + d0 . B0

Onde:

N = representao do nmero na base B

dn = dgito na posio n

B = base do sistema utilizado

n = valor posicional do dgito.

2 CONCEITOS 35

Veja como o nmero 1587 fica representado no sistema decimal:

N = d3 . B3 + d2 . B2 + d1 . B1 + d0 . B0

1587 = 1 . 103 + 5 . 102 + 8 . 101 + 7 . 100

1000 + 500 + 80 + 7

2.4.1 sistema de numeRao binRio

O sistema binrio utiliza dois dgitos (base 2) para representar qualquer quan-tidade. De acordo com a definio de um sistema de numerao qualquer, o n-mero binrio 1101 pode ser representado da seguinte forma:

1101 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20

1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

Note que os ndices foram especificados em notao decimal, o que possibilita a con-verso binria-decimal como descrito acima. Atravs do exemplo anterior, podemos no-tar que a quantidade de numerais necessria para representar um nmero qualquer, no sistema binrio, muito maior quando comparada ao sistema decimal. A grande vanta-gem do sistema binrio reside no fato de que, possuindo apenas dois dgitos, eles so fa-cilmente representados por uma chave aberta e uma chave fechada, ou um rel ativado e um rel desativado, ou um transistor saturado e um transistor cortado; o que torna sim-ples a implementao de sistemas digitais mecnicos, eletromecnicos ou eletrnicos.

Em sistemas eletrnicos, o dgito binrio (0 ou 1) chamado de BIT, enquanto um conjunto de 8 bits denominado BYTE.

2.4.2 conveRso binRio decimal

A converso de um nmero do sistema binrio para o sistema decimal efe-tuada simplesmente adicionando os pesos dos dgitos binrios 1, como mostra-mos os exemplos a seguir:

Soluo:

a) 11010 = 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20

11010 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0

11010 = 26 (D)

b) 1100100 = 1 . 26 + 1 . 25 + 0 . 24 + 0 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20

1100100 = 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0

1100100 = 100 (D)


2.4.3 conveRso decimal binRio

Para converter um nmero decimal em binrio, dividimos sucessivamente o nmero decimal por 2 (base do sistema binrio), at que o ltimo quociente seja 1. Os restos obtidos das divises e o ltimo quociente compem um nmero bi-nrio equivalente, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo: Converter os seguintes nmeros decimais em binrio:

Figura 9 - Converso decimal binrioFonte: Autor

2.4.4 sistema de numeRao hexadecimal

O sistema hexadecimal, ou sistema de base 16, largamente utilizado nos compu-tadores de grande porte e em vrios microcomputadores. Neles so utilizados 16 sm-bolos para representar cada um dos dgitos hexadecimais, conforme a tabela a seguir:

Tabela 5: Dgitos hexadecimais

N DECIMAL DgITO HEXADECIMAL N bINRIO

Decimal Hexa Binrio

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

10 A 1010

11 B 1011

12 C 1100

13 D 1101

14 E 1110

15 F 1111

Fonte: Autor

2 CONCEITOS 37

Note que as letras A, B, C, D, E, F representam dgitos associados s quantida-des 10, 11, 12,13, 14, 15, respectivamente.

2.4.5 conveRso de hexadecimal paRa decimal

Novamente aplicamos a Tabela 2 para o sistema hexadecimal a definio de um sistema de numerao qualquer. Assim, temos:

N = d3.163 + d2.162 + d1.161 + d0.160

Para efetuar a converso, basta adicionar os membros da segunda parcela da igualdade, como ilustrado nos exemplos a seguir:

Converter em decimal os seguintes nmeros hexadecimais:

a) 23 (H) = 2 . 161 + 3 . 160

23 (H) = 2 . 16 + 3 . 1

23 (H) = 32 + 3

23 (H) = 35(D)

b) 3B (H) = 3 . 161 + B . 160

3B (H) = 3 . 16 + B . 1

3B (H) = 48 + 11

3B (H) = 59 (D)

Observe que o dgito hexadecimal B, no exemplo (b), equivale ao nmero 11 decimal, como indica na Tabela 2.

2.4.6 conveRso de decimal paRa hexadecimal

A converso decimal hexadecimal efetuada atravs das divises sucessivas do nmero decimal por 16, como demonstrado no exemplo a seguir.

Exemplo: Converter os seguintes nmeros decimais em hexadecimal:

Figura 10 - Converso decimal hexadecimalFonte: Autor

2.5 SISTEMA LINEAR

Sistema linear um mtodo algbrico para solucionar equaes matemticas com duas ou mais variveis.


2.5.1 classiFicao dos sistemas lineaRes

Os sistemas lineares so classificados, quanto ao nmero de solues, da seguinte forma:

Sistema linear

Possvel ou compatvelquando admite soluo

DeterminadoAdmite uma nica soluoIndeterminadoAdmite infi nitas solues

Impossvel ou incompatvelquando no admite soluo

2.5.2 equao lineaR

Toda equao da forma a1x1 + a2x2 + ... + axxx = b denominada equao linear, em que:

a1, a2, ..., an so coefi cientes.

x1, x2, ..., xn so as incgnitas.

b um termo independente.

Exemplo:

a) 2x1 - 3x2 + x3 = 5 uma equao linear de trs incgnitas.

b) x + y - z + t = 1 uma equao linear de quatro incgnitas.

FIQUE ALERTA

Quando o termo independente b for igual a zero, a equao linear ser denominada equao linear homognea. Exemplo: 5x+y = 0 .

Uma equao linear no apresenta termos da forma x2, x3, x5,1 2 3 etc.; isto , cada termo da equao tem uma nica incgnita cujo expoente sempre 1.

As equaes 3x1 + 2x2 = -32 e 4x.y + z = 2 no so lineares.

A soluo de uma equao linear a n incgnitas a sequncia de nmeros reais que, colocados respectivamente no lugar de x1, x2, ..., xn, tornam verdadeira a igualdade dada.

Uma soluo evidente da equao linear homognea 3x + y = 0 (0,0).

Exemplos:

1) Dada a equao linear 4x - y + z = 2, encontre uma de suas solues.

Resoluo: Vamos atribuir valores arbitrrios a x e y e obter o valor de z.

2 CONCEITOS 39

x = 2 4.2 - 0 + z = 2

Vy = 0 z = -6

Resposta: Uma das solues a tripla ordenada (2, 0, -6).

2) Dada a equao 3x - 2y = 5, determine a para que a dupla (-1, a ) seja a soluo da equao.

Resoluo:

(-1, a) V

x = -1V

y = a

3.(-1) - 2 a = 5-3 - 2 a = 5-2 a = 8 -> a = -4

Resposta: a = 4

2.5.3 sistema lineaR com soluo poR matRizes

Denominamos sistema linear de m equaes nas n incgnitas x1, x2, ..., xX todo sistema da forma:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2... V a11, a12, ..., a1n, b1, b2, ..., bn so nmeros reais....

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn

Se o conjunto ordenado de nmeros reais a satisfizer todas as equaes do sistema, ser denominado soluo do sistema linear.

Observaes:

Se o termo independente de todas as equaes do sistema for nulo, isto , b1 = b2 = ... = bn, o sistema linear ser dito homogneo. Veja o exemplo:

2x + y - z = 0

x + y + 4z = 0

5x - 2y + 3z = 0

Uma soluo evidente do sistema linear homogneo x = y = z = 0.

Esta soluo chama-se soluo trivial do sistema homogneo. Se o sistema ho-mogneo admitir outra soluo em que as incgnitas no forem todas nulas, a soluo ser chamada de soluo no trivial.


Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma soluo, eles so ditos sis-temas equivalentes. Veja o exemplo:

S1:x + 3y = -5

V S1 = {(1,-2)} S2:

3x + y = 22

V S2 = {(1,-2)}2x - y = 4

-x + y = -13

Como os sistemas admitem a mesma soluo {(1, -2)}, S1 e S2 so equivalentes.

Dentre suas variadas aplicaes, as matrizes so utilizadas na resoluo de um sistema de equaes lineares por ser um processo mais adequado.

Retomando o sistema linear especificado, temos:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2......am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn

Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:

a11 a12 ... a1n

.

x1

=

b1a21 a22 ... a2n x2 b2... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ...

am1 am2 ... amn xn bn

v v v

matriz constituda pelos

coeficientes das incgnitas

matriz coluna consti-

tuda pelas incgnitas

matriz coluna dos ter-

mos independentes

Observe que, se voc efetuar a multiplicao das matrizes indicadas, obter a soluo do sistema apresentado. Se a matriz constituda pelos coeficientes das incgnitas for quadrada, seu determinante ser o principal do sistema.

Exemplo:

Seja o sistema: 2x1 + 5x2 - x3 = 04x1 - 3x2 + 6x3 = -17x1 + x2 - 2x3 = 8

Ele pode ser representado por meio de matrizes da seguinte forma:

2 CONCEITOS 41

2 5 -1 x1=

0

4 -3 6 x2 -1

7 1 -2 x3 8

2.6 FUNES DE 1 gRAU, 2 gRAU, ExpONENCIAL, LOgARTMICA E TRIgONOMTRICAS

As funes so importantes como modelos de fenmenos naturais.

2.6.1 Funo de 1 gRau

A funo linear determinada pela expresso y = A.x + B. As variveis x e y tm domnio no conjunto dos nmeros reais R. As constantes A e b so os coeficientes da funo. A varivel y a varivel dependente; ou seja, o valor de y depende do valor atribudo a x. Ento, dizemos que y funo de x.

O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domnio da funo, e os valores determinados de y formam o conjunto imagem da funo. O grfico de uma funo linear uma reta; isto significa que a varivel dependente y tem variao constante, dada pelo valor do coeficiente A. Veremos que a relao linear entre duas variveis tem muita aplicabilidad

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