UC18.Resistência Dos Materiais

Curso Técnico em Mecânica

Resistência dos Materiais

Armando de Queiroz Monteiro NetoPresidente da Confederação Nacional da Indústria

José Manuel de Aguiar MartinsDiretor do Departamento Nacional do SENAI

Regina Maria de Fátima TorresDiretora de Operações do Departamento Nacional do SENAI

Alcantaro CorrêaPresidente da Federação das Indústrias do Estado de Santa Catarina

Sérgio Roberto ArrudaDiretor Regional do SENAI/SC

Antônio José CarradoreDiretor de Educação e Tecnologia do SENAI/SC

Marco Antônio DociattiDiretor de Desenvolvimento Organizacional do SENAI/SC

Confederação Nacional das Indústrias

Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial

Curso Técnico em Mecânico

Resistência dos Materiais

José Vieira

Florianópolis/SC2010

É proibida a reprodução total ou parcial deste material por qualquer meio ou sistema sem o prévio consentimento do editor. Material em conformidade com a nova ortografia da língua portuguesa.

Equipe técnica que participou da elaboração desta obra

Coordenação de Educação a DistânciaBeth Schirmer

Revisão Ortográfica e NormatizaçãoFabriCO

Coordenação Projetos EaDMaristela de Lourdes Alves

Design educacional, Ilustração, Projeto Gráfico Editorial, Diagramação Equipe de Recursos Didáticos SENAI/SC em Florianópolis

AutorJosé Vieira

SENAI/SC — Serviço Nacional de Aprendizagem IndustrialRodovia Admar Gonzaga, 2.765 – Itacorubi – Florianópolis/SCCEP: 88034-001Fone: (48) 0800 48 12 12www.sc.senai.br

Ficha catalográfica elaborada por Kátia Regina Bento dos Santos - CRB 14/693 - Biblioteca do SENAI/SC Florianópolis. V658r

Vieira, José Resistência dos materiais / José Vieira. – Florianópolis : SENAI/SC, 2010. 65 p. : il. color ; 28 cm.

Inclui bibliografias.

1. Materiais - Resistência. 2. Sistema métrico. I. SENAI. Departamento Regional de Santa Catarina. II. Título.

CDU 620.17

Prefácio

Você faz parte da maior instituição de educação profissional do estado. Uma rede de Educação e Tecnologia, formada por 35 unidades conecta-das e estrategicamente instaladas em todas as regiões de Santa Catarina.

No SENAI, o conhecimento a mais é realidade. A proximidade com as necessidades da indústria, a infraestrutura de primeira linha e as aulas teóricas, e realmente práticas, são a essência de um modelo de Educação por Competências que possibilita ao aluno adquirir conhecimentos, de-senvolver habilidade e garantir seu espaço no mercado de trabalho.

Com acesso livre a uma eficiente estrutura laboratorial, com o que existe de mais moderno no mundo da tecnologia, você está construindo o seu futuro profissional em uma instituição que, desde 1954, se preocupa em oferecer um modelo de educação atual e de qualidade.

Estruturado com o objetivo de atualizar constantemente os métodos de ensino-aprendizagem da instituição, o Programa Educação em Movi-mento promove a discussão, a revisão e o aprimoramento dos processos de educação do SENAI. Buscando manter o alinhamento com as neces-sidades do mercado, ampliar as possibilidades do processo educacional, oferecer recursos didáticos de excelência e consolidar o modelo de Edu-cação por Competências, em todos os seus cursos.

É nesse contexto que este livro foi produzido e chega às suas mãos. Todos os materiais didáticos do SENAI Santa Catarina são produções colaborativas dos professores mais qualificados e experientes, e contam com ambiente virtual, mini-aulas e apresentações, muitas com anima-ções, tornando a aula mais interativa e atraente.

Mais de 1,6 milhões de alunos já escolheram o SENAI. Você faz parte deste universo. Seja bem-vindo e aproveite por completo a Indústria do Conhecimento.

Sumário

Conteúdo Formativo 9

Apresentação 11

12 Unidade de estudo 1

Sistemas de Unidades

Seção 1 - Sistema Internacio-nal de Unidades

Seção 2 - Unidades funda-mentais de referência

Seção 3 - Unidades inglesas de referência

18 Unidade de estudo 2

Princípios e Concei-tos Fundamentais

Seção 1 - Grandezas físicas

Seção 2 - Física aplicada

Seção 3 - Centro de gravi-dade

Seção 4 - As três leis de Newton

Seção 5 - Equilíbrio de forças e momentos

Seção 6 - Treliças

13

13

15

36 Unidade de estudo 3Solicitações Mecânicas

Seção 1 - Força normal e tensões

Seção 2 - Esforços de tração e compressão

Seção 3 - Esforços de cisalha-mento

Seção 4 - Esforços de torção

Seção 5 - Esforços de flexão

Seção 6 - Esforços de flamba-gem

Finalizando 59

Referências 61

37

37

45

46

52

56

19

20

22

26

27

31

8 CURSOS TÉCNICOS SENAI

Conteúdo Formativo

9RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Carga horária da dedicação

Carga horária: 60 horas

Competência

Aplicar os conceitos de resistência dos materiais para o dimensionamento de peças e componentes mecânicos em máquinas e equipamentos.

Conhecimentos

▪ Física aplicada;

▪ Grandezas físicas e unidades de medida;

▪ Dilatação;

▪ Solicitações mecânicas (tração, compressão, cisalhamento, flexão, torção, flamba-gem);

▪ Cálculos de reações;

▪ Diagrama de equilíbrio de força;

▪ Centro de gravidade de figuras simples e compostas;

▪ Diagrama comparativo entre tensão e deformação.

Habilidades

▪ Ler, interpretar e aplicar manuais, catálogos e tabelas técnicas;

▪ Identificar os diversos tipos de materiais (com base nas propriedades mecânicas);

▪ Aplicar conceitos de resistência dos materiais;

▪ Identificar o tipo dos esforços aplicados às estruturas e conjuntos mecânicos;

▪ Aplicar as equações de equilíbrio para determinar a intensidade dos esforços apli-cados às estruturas e conjuntos mecânicos;

▪ Dimensionar componentes mecânicos submetidos às solicitações mecânicas.


Atitudes

▪ Assiduidade;

▪ Pró-atividade;

▪ Relacionamento interpessoal;

▪ Trabalho em equipe;

▪ Cumprimento de prazos;

▪ Zelo com os equipamentos;

▪ Adoção de normas técnicas, de saúde e segurança no trabalho;

▪ Responsabilidade ambiental.

Apresentação

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Neste momento, em que vivemos num mundo globalizado, sabemos que é fundamental e importante o desenvolvimento pessoal e profissio-nal. A sociedade e os núcleos trabalhistas almejam sempre indivíduos capacitados e bem formados, profissionais com atitude ética, com ações pró-ativas, buscando cada vez mais seu desenvolvimento e crescimento.Convidamos você a iniciar, a partir de agora, esta nova etapa de desen-volvimento através de uma formação aprofundada em conhecimentos, mergulhando em uma abordagem dinâmica e integrada dos assuntos tratados nesta unidade curricular. A Unidade Curricular de Resistência dos Materiais foi desenvolvida de forma clara e objetiva, com o intuito de fornecer conhecimentos e fun-damentos mecânicos e físicos com base em um aprendizado interessante e atraente, contribuindo para o crescimento profissional. Procuramos estabelecer ligações com atividades cotidianas com vistas ao aperfeiçoa-mento profissional, pessoal e social.Então, aceita o convite? Seja bem-vindo e bom curso!

José Vieira

José Vieira, nascido em 15 de agosto de 1959, em Jaraguá do Sul (SC), graduou-se em Tec-nologia Mecânica pelo CEFET/UNERJ de Jaraguá do Sul (1995), fez pós-graduação nível de es-pecialização em Tecnologia Me-cânica na UFSC/UNERJ – Jaraguá do Sul (1997). Tem Licenciatura Plena e participou do Programa Especial de Formação Pedagógi-ca para Formadores da Educa-ção Profissional na UNISUL – Pa-lhoça/SC (2006).Trabalhou com desenvolvimen-to profissional na indústria, com larga experiência em processos de fabricação destinados à con-fecção de estampos para corte e dobra de chapas, moldes para injeção de alumínio e plásticos. Atualmente atua como Especia-lista de Ensino no SENAI/SC e na coordenação de cursos técnicos e superiores na área de Mecâ-nica.

11

Unidade de estudo 1

Seções de estudo

Seção 1 – Sistema Internacional de UnidadesSeção 2 – Unidades fundamentais de referênciaSeção 3 – Unidades inglesas de referência


Conmetro: Conselho Nacio-nal de Metrologia, Normali-zação e Qualidade Industrial.

As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender me-lhor as unidades de medida adotadas no Brasil. Segundo as informações publicadas pelo Inmetro, podemos acompanhar a evolução dos siste-mas de medidas desde sua origem.Segundo as informações postadas pelo Inmetro, a necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. Por muito tempo cada país, cada região teve o seu próprio sistema de medidas, com base em unidades arbitrárias e imprecisas como, por exemplo, aquelas que se referenciavam no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, e o côva-do. Em 1789, numa tentativa de solucionar os problemas decorrentes dessa inexatidão, o governo republicano francês pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa “constante natural”. Assim foi elaborado o Sistema Métrico Decimal. Posterior-mente, muitos outros países adotaram esse mesmo sistema, inclusive o Brasil, aderindo à “Convenção do Metro”. O Sistema Métrico Decimal estipulou, inicialmente, três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma.

Seção 1Sistema Internacional de Unidades

Com o desenvolvimento científico, técnico e tecnológico das indústrias e a intercambiabilidade das peças de máquinas e equipamentos em geral, passou-se a exigir medições cada vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960 o Sistema Métrico Decimal foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades, mais complexo e sofisticado, adotado tam-bém pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1988 do Conmetro, tornando-se de uso obrigatório em todo o território nacio-nal.

Seção 2Unidades fundamentais de referência

No Sistema Internacional de Unidades (cuja sigla, muito utilizada, é SI) distinguem-se duas classes: unidades de base e unidades derivadas.Sob o aspecto científico, a divisão das unidades nessas duas classes é ar-bitrária porque não é uma imposição da física. Entretanto, a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), levando em consideração as vanta-gens de se adotar um sistema prático único para ser utilizado mundial-mente nas relações internacionais, no ensino e no trabalho científico, de-cidiu basear o SI em sete unidades perfeitamente definidas, consideradas independentes sob o ponto de vista dimensional. Observe o quadro 1.

Sistemas de Unidades

Inmetro: Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial.

Côvado: “Antiga unidade de medida equivalente a

três palmos, ou seja, 66 cm; cúbito” (FERREIRA, 2010).


Unidades de base

Unidade Símbolo Grandeza

metro m comprimento

quilograma kg massa

segundo s tempo

ampere A corrente elétrica

kelvin K temperatura termodinâmica

mol mol quantidade de matéria

candela cd intensidade luminosaQuadro 1 – Unidades de Base

A segunda classe de unidades do Sistema Internacional abrange as uni-dades derivadas, isto é, as unidades que podem ser formadas combinan-do-se unidades de base segundo relações algébricas que interligam as grandezas correspondentes. Diversas dessas expressões algébricas, em razão de unidades de base, podem ser substituídas por nomes e símbo-los especiais, o que permite sua utilização na formação de outras unida-des derivadas. Acompanhe o quadro.

Exemplos de unidades derivadas

Grandeza Unidade Nome da unid. Símbolo

velocidade metro/segundo m/s m/s

aceleração metro/segundo ao quadrado m/s² m/s²

força quilograma x metro/segundo ao quadrado Newton N

pressão Newton/metro quadrado Pascal Pa

Quadro 2 – Unidades Derivadas

Há um conjunto de prefixos adotado para uso das unidades do SI, a fim de exprimir os valores de grandezas que são muito maiores ou muito menores do que as unidades padrão.Na tabela seguinte estão alguns exemplos de prefixos que podem ser aplicados com qualquer unidade de base e com as unidades derivadas com nomes especiais. Veja.


Prefixo Símbolo Fator de multiplicação

terra T 10¹²= 1 000 000 000 000

giga G 109 = 1 000 000 000

mega M 106 = 1 000 000

quilo K 10³ = 1 000

hecto h 10² = 100

deca da 10

unidade - - - - - -

deci d 10-1 = 0,1

centi c 10-2 = 0,01

mili m 10-3 = 0,001

micro µ 10-6 = 0,000 001

nano n 10-9 = 0,000 000 001

Tabela 1 – Prefixo, Múltiplos e Submúltiplos

Para formar o múltiplo ou submúltiplo de uma unidade, basta colocar o símbolo do prefixo desejado na frente da unidade.Exemplo: 10³ m = 1 000 m = 1Km

Seção 3Unidades inglesas de referência

O uso de unidades inglesas disseminou-se através da Grã-Bretanha e de suas colônias. Essas unidades formam a base do Sistema Imperial, anti-gamente utilizado nos países da Comunidade das Nações, e no sistema usual utilizado nos Estados Unidos. Apesar da grande semelhança entre os dois sistemas, existem também diferenças notáveis.Desde 2007, os únicos países do mundo que ainda adotam esse sistema são: Libéria, Birmânia e Estados Unidos.Nos Estados Unidos, o sistema para medir comprimento baseia-se na polegada, no pé, na jarda e na milha.

Grandeza Unidade Comparativo Sistema Métrico

polegada in (“) 2,54 cm

pé foot (‘) 30,48 cm

jarda yd 91,44 cm

milha mi 1.609,344 mTabela 2 – Unidades de Comprimento

O uso da expressão “En-glish System” ou “English

Unit” é comum nos Estados Unidos, mas é problemática e pode ser ambígua. Geralmen-te, refere-se ou ao Sistema Im-perial ou ao Sistema Comum dos EUA, e nos casos em que os dois sistemas divergem, não fica claro qual sistema está sen-do utilizado. Algumas pessoas nos Estados Unidos também denominam o sistema de “Bri-tish System”.

Jarda: “Unidade de medida de comprimento, do siste-

ma inglês, equivalente e três pés ou 0,9144 m” (FERREIRA, 2010).


Para medir área, o sistema utiliza como unidade de referência as uni-dades da polegada, do pé, da jarda e da milha quadrada (sq = square = quadrada).


polegada quadrada sq in ou in² 6,4516 cm²

pé quadrado sq ft ou ft² 929,0304 cm²

jarda quadrada sq yd ou yd² 0,83612736 m²

milha quadrada sq mi ou mi² 2,589988110336 km²

Tabela 3 – Unidades de área

A polegada, o pé, a jarda e a milha cúbica também são utilizados com frequência para medir o volume, mas existem dois grupos de unidades específicas mais apropriados para a medição do volume de líquidos e de materiais secos.


polegada cúbica cu in ou in³ 16,387064 cm³

pé cúbico cu ft ou ft³ 28,316846592 dm³

jarda cúbica cu yd ou yd³ 764,554857984 dm³

milha cúbica cu mi ou mi³ 4,1681818254406 km³

Tabela 4 – Unidades de Volume

Unidades para medir volume em materiais secos:

Grandeza Unidade Comparativo Comparativo Sistema Métrico

pinto pt - 550,610471358 ml

quarto qt 2 pt 1,10122094272 l

galão gal 4 qt 4,40488377086 l

peck pk 2 gal 8,80976754172 l

Tabela 5 – Unidades de Volume para Materiais Secos


Unidades para medir volume em materiais líquidos:

Grandeza Unidade Comparativo Comparativo Sistema Métrico

pinto pt - 473,176473 ml

quarto qt 2 pt 0,946352946 l

galão gal 4 qt 3,785411784 l

barril pk 42 gal 158,987294928 lTabela 6 – Unidades de Volume para Materiais Líquidos

Neste trabalho, apresentamos uma síntese com os principais tópicos relacionados à unidade curricular de Resistência dos Materiais. Para informações mais detalhadas sobre o assunto, você poderá acessar diretamente o site: http://www.inmetro.gov.br, em Unidades Legais de Medida.

Unidade de estudo 2

Seções de estudo

Seção 1 – Grandezas físicasSeção 2 – Física aplicadaSeção 3 – Centro de gravidadeSeção 4 – As três leis de NewtonSeção 5 – Equilíbrio de forças e momentosSeção 6 – Treliças


Em todas as construções, as peças e componentes mecânicos devem ser dimensionados adequadamen-te para suportar os esforços im-postos sobre eles. Para entender os efeitos gerados, utilizaremos os princípios da estática a fim de determinar tanto as forças atuan-tes como as forças internas sobre seus vários elementos.As dimensões de um elemento, seu deslocamento e sua estabili-dade não dependem apenas das cargas internas, mas também do tipo de material com o qual foi fabricado.

Consequentemente, o enten-dimento e a determinação precisa do comportamento do material serão de vital importância para o desenvol-vimento das equações da me-cânica dos materiais.

Os textos que tratam dos pro-blemas relacionados ao dimen-sionamento de componentes e estruturas compreendem maté-rias específicas para as unidades de projetos, que além de verificar todas as condições de esforços aplicados, preocupam-se também com sua viabilidade. Neste traba-lho usaremos somente os concei-tos relacionados à unidade de Re-sistência dos Materiais. Há muita descoberta ainda por vir. Fique antenado!

Princípios e Conceitos Fundamentais

Tempo: O tempo, na mecâ-nica Newtoniana, é absoluto e uniforme. Absoluto pelo fato de existir independen-temente da matéria e do es-paço e, uniforme, porque em qualquer ocasião ele trans-corre da mesma forma, não evoluindo mais depressa ou mais devagar em função da região do espaço, ou da pre-sença de matéria, do fenô-meno físico que ocorra, ou de qualquer outra circuns-tância.

Seção 1Grandezas físicas

As grandezas mais importantes utilizadas para o dimensionamen-to de estruturas e componentes mecânicos são: o comprimento, a massa, o tempo e a força. Veja-mos cada uma delas.

▪ Comprimento: é necessário para localizar a posição de um ponto no espaço, descrevendo assim a dimensão do sistema físico. Uma vez definida uma unidade padrão de comprimento, podemos definir quantitativa-mente as distâncias e as proprie-dades geométricas de um corpo. ▪ Massa: é uma propriedade

da matéria pela qual podemos comparar a ação de um corpo com a de outro. Esta propriedade fornece desde uma medida quan-titativa da resistência da matéria até mudanças de velocidade. ▪ Tempo: embora os princípios

da estática sejam independentes do tempo, esta grandeza tem uma função muito importante no estudo da dinâmica. ▪ Força: podemos definir força

como a interação entre dois ou mais corpos. É um agente externo empurrando ou puxando um corpo sobre o outro, o qual muda ou tende a mudar o estado de repouso ou movimento de um corpo. Também pode mudar sua direção e forma. Esta interação pode ocorrer quando existe con-tato direto entre os corpos, como no caso de alguém tentar levantar uma caixa ou mesmo quando existe uma distância de separação


entre os corpos, mas existe uma atração entre eles. Nesse último caso, podemos citar como exem-plo as forças gravitacionais ou as forças magnéticas. Em quaisquer dos exemplos, a força é comple-tamente caracterizada pelo seu módulo, direção, sentido e ponto de aplicação.

A força gravitacional está relacio-nada à quantidade de matéria dos corpos e apresenta uma relação direta com a concentração des-sa matéria. Podemos dizer que a força gravitacional relaciona-se à massa dos corpos e é diretamente proporcional à ela. Quanto maior a massa dos corpos, maior será a força entre eles. Entretanto, no caso de um corpo localizado na superfície da Terra, ou próximo a ela, existe uma única força gra-vitacional de módulo significativo que age entre a Terra e o corpo. A essa força damos o nome de peso. Podemos desenvolver uma ex-pressão matemática aproximada para encontrar o peso de um cor-po. Se admitirmos a Terra como uma esfera que não gira, tendo uma densidade e uma massa de corpo constantes, temos: P = m.g.

A unidade de força Newton (N) é derivada da equaçãoF = m.a. Assim, 1 Newton é igual à força necessária para impor a 1 quilograma de mas-sa uma aceleração de 1 m/s² (N = kg.m/s²). Se o peso de um corpo deve ser determi-nado em Newtons, para efei-to de cálculos, podemos dizer que o valor de 1 g (aceleração da gravidade) equivale a 9,81 m/s², onde um corpo com massa de 1 kg tem um peso de 9,81 N.

Seção 2Física aplicada

Uma grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido. Se a grande-za ficar bem definida apenas com o conhecimento de seu valor nu-mérico e da sua unidade, chama-remos essa grandeza de escalar. O tempo, a massa, a energia e o espaço percorrido são exemplos de grandezas escalares.Por outro lado, se além do mó-dulo e da unidade, uma grandeza física necessitar de uma direção e de um sentido para ser bem de-finida, será chamada de grandeza vetorial. A velocidade, a acelera-ção e o deslocamento são exem-plos de grandezas vetoriais.Para que possamos representar geometricamente uma grandeza vetorial, utilizamos uma conven-ção matemática chamada vetor. O vetor é um segmento de reta orientado usado para determinar o módulo, a direção e o sentido de uma grandeza física (aplicação de uma força), como mostrado na figura a seguir.

Figura 1 – Representação Gráfica de um Vetor

A inclinação do vetor representa-da pelo ângulo θ determina a di-reção da grandeza que ele repre-senta; a seta representa o sentido, e seu tamanho é proporcional ao módulo da grandeza. Utilizamos uma letra do alfabeto sobrescrita por uma seta para representarmos um vetor. Observe na figura que segue.

Figura 2 – Vetor Indicando a Direção de uma Força

Somente podemos dizer que dois vetores são iguais quando eles possuírem mesmo módulo, mes-ma direção e mesmo sentido.Um vetor é representado grafi-camente por de um segmento orientado. A representação gráfi-ca permite-nos executar uma série de operações com vetores como a soma e a subtração. Para execu-tar essas operações, utilizamos os métodos do polígono e do para-lelogramo.Imagine que queiramos somar os três vetores abaixo.

Figura 3 – Vetores Indicando a Dire-ção e o Módulo

Pelo método do polígono, vamos enfileirando os vetores, tomados ao acaso, fazendo coincidir a ori-gem de um vetor com a extremi-dade do anterior. Veja como fazer:

Figura 4 – Representação do Posicio-namento dos Vetores


O vetor soma →R (ou resultante)

terá seu início na origem do pri-meiro vetor e o final na extremi-dade do último vetor.

Figura 5 – Representação da Resultante dos VetoresFonte: SENAI/MG (2004).

Embora esse método seja gráfico, podemos identificar perfeitamen-te o módulo do vetor resultante.O método do paralelogramo so-mente pode ser empregado para somarmos vetores de dois em dois. Vamos somar os dois veto-res da figura seguinte:

Figura 6 – Vetores Posicionados no EspaçoFonte: SENAI/MG (2004).

Inicialmente, devemos fazer coin-cidir as origens dos dois vetores. Note que os dois vetores formam entre si um ângulo θ.

Figura 7 – Vetores Posicionados no mesmo Ponto de Origem

A partir da extremidade de um dos vetores, traçamos uma reta paralela ao outro.

Figura 8 – Representação do Paralelo-gramo

O vetor soma →R (ou resultante) terá origem na origem comum dos dois vetores e extremidade no encontro das paralelas traçadas.

Figura 9 – Resultante da soma de vetores

O módulo do vetor resultante é dado pela expressão:

2.a.b.cosθ+b²+a²=R

a. Quando o ângulo θ = 0°, os vetores possuem a mesma di-reção e mesmo sentido.

R = a + b

b. Quando o ângulo θ = 180°, os vetores possuem a mesma di-reção, mas sentidos opostos.

R = a - b(a>b)

c. Quando o ângulo θ = 90°, os vetores são perpendiculares entre si.

²b+²a=R

Outra maneira de obtermos o ve-tor resultante de uma composição vetorial é a utilização do procedi-mento algébrico. Com esse pro-cedimento, podemos aplicar a lei dos senos e a lei dos cossenos, conforme demonstrado a seguir.

Lei dos senos

Os módulos e a direção dos com-ponentes de uma força podem ser determinados com a lei dos senos.

Figura 10 – Lei dos Senos

Relembrando: as funções trigo-nométricas básicas são as relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângu-los. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângu-lo é indicado pela letra x. Observe o quadro que segue.


Função Notação Definição

seno sen(x)

medida do cateto oposto a x

medida da hipotenusa

cosseno cos(x)

medida do cateto adjacente a x

medida da hipotenusa

tangente tan(x)

medida do cateto oposto a x

medida do cateto adjacente a x

Quadro 3 – Funções Trigonométricas

Lei dos cossenos

O módulo e a força resultante po-dem ser determinados com a lei dos cossenos.

ccos.B.A²B+²A=C -

Decomposição de ve-tores

Com a decomposição de veto-res, a partir de um vetor inicial podemos obter outros dois. A decomposição do vetor deverá ser em componentes ortogonais. Observamos um vetor →V inclina-do com um ângulo α em relação à horizontal, conforme representa-do na figura.

Figura 11 – Representação do Posicio-namento de um Vetor

Para efetuar a decomposição do vetor →V devemos inicialmente traçar um sistema de eixos car-tesianos de tal forma que a sua origem coincida com a origem do próprio vetor.

Figura 12 – Posicionamento do Vetor no Eixo das Coordenadas

Da extremidade do vetor →V de-senhamos duas retas, uma paralela ao eixo x e outra paralela ao eixo y. As interseções entre as retas desenhadas e os eixos cartesianos determinam as componentes or-togonais do vetor →V .

Figura 13 – Decomposição do Vetor no eixo das coordenadas

Podemos entender essas proje-ções como sendo pedaços do vetor →V desenhados nos eixos cartesianos. Os módulos dessas componentes são:

( ) αcos.VxVetor =

( ) αsen.VyVetor =

DICA Essas expressões serão muito utilizadas na decom-posição de forças para os cálculos das treliças.

Seção 3Centro de gravidade

Para determinar o centro de gra-vidade de uma figura plana, pode-mos dividi-la em figuras geomé-tricas, cujos centros de gravidade são conhecidos, tais como: qua-drados, retângulos, triângulos, cír-culos, semicírculos etc. Por meio do somatório do momento está-tico e da área total dessas figuras, determinamos as coordenadas do centro de gravidade.Para relembrar, apresentamos uma sequência com o centro de gravidade de algumas figuras pla-nas conhecidas. Vamos juntos!


Quadrado

Figura 14 – Ponto de Equilíbrio do Quadrado

Xe = Ye = a 2

Retângulo

Figura 15 – Ponto de Equilíbrio do Retângulo

Xe = b 2

Ye = h 2

Triângulo

Figura 16 – Ponto de Equilíbrio do Triângulo

Xe = b 3

Ye = h 3


Círculo

Figura 17 – Ponto de Equilíbrio do Círculo

Semicírculo

Figura 18 – Ponto de Equilíbrio do Semicírculo

Quadrante

Figura 19 – Ponto de Equilíbrio do Quadrante


Como exemplo, calcular o centro de gravidade da figura:

Figura 20 – Desenho para Simulação do Cálculo do Centro de Gravidade

Para solucionar o problema, iniciamos dividindo a figura em formas geométricas conhecidas e traçamos o eixo de coordenadas situando a figura no espaço.

Figura 21 – Divisão em Formas Conhecidas

Na sequência, determinamos a área e traçamos as coordenadas para cada figura do sistema.


Fig. Área da figura(F) Coord. X Coord. Y (X. F) (Y. F)

1 20 x 20 = 400 10 30 4000 12000

2 60 x 20 = 1200 30 10 36000 12000

∑ F = 1600 ∑ X.F = 40000 ∑ Y.F = 24000

Tabela 7 – Cálculo do Centro de Gravidade

151600

24000Y

YFY ===

∑∑

251600

40000F

XFX ===

∑∑

Para melhor visualização, o resultado pode ser apresentado conforme a figura.

Figura 22 – Centro de Gravidade

Seção 4 As três leis de Newton

Todos os preceitos da mecânica de corpos rígidos são formalizados com base nas três leis de movimento de Newton, cuja validade é assegurada por observações experimentais. Essas leis aplicam-se aos movimentos de partículas medidos segundo um sistema de referência sem aceleração. Elas podem ser estabelecidas em poucas palavras, conforme a seguir.

A primeira lei de Newton ou princípio da inércia – Um corpo que esteja em movimento ou em repouso tende a manter seu estado inicial.


Uma partícula originalmente em repouso, ou movendo-se em uma linha reta com velocidade cons-tante, permanecerá nesse estado de movimento desde que não seja submetida à ação de uma força desbalanceadora.

Figura 23 – Representação de uma

Partícula em Equilíbrio

Fonte: SENAI/MG (2004)

A segunda lei de Newton ou princípio fundamental da dinâmi-ca – A resultante das forças que agem num corpo é igual ao pro-duto de sua massa pela aceleração adquirida. Se a força F é aplicada a uma partícula de massa m, esta lei pode ser expressa matematica-mente como:

F = m.a

Quanto maior a força aplicada a um corpo, maior a aceleração que ele adquire. Quanto maior a mas-sa de um corpo, menor será a ace-leração que ele adquire.

Figura 24 - Representação de uma

Partícula em Movimento


A terceira lei de Newton ou lei da ação e reação – Para toda força aplicada, existe outra de mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto.

Figura 25 – Representação de duas

partículas interagindo


Seção 5Equilíbrio de forças e momentos

Princípio da ação e reação: toda ação sobre um corpo produz uma reação igual e oposta, de modo que ação e reação são duas forças iguais, mas de sentido contrário. Para solucionar um problema envolvendo o princípio da ação e reação, precisamos elaborar o diagrama de corpo livre do ob-jeto em estudo, em que fazemos a análise do corpo isoladamente, isto é, livre de vínculos físicos. O módulo, a direção e o sentido das forças externas conhecidas devem ser claramente mostrados no dia-grama. Deve-se tomar muito cui-dado para ser indicado o sentido das forças exercidas sobre o cor-po, e não o das forças exercidas pelo corpo livre. Para que um determinado corpo esteja em equilíbrio estático, é ne-cessário que sejam satisfeitas as seguintes condições:

▪ Que a resultante das forças que atuam sobre o corpo seja nula.

0Fx =∑ , 0Fy =∑ , 0Fz =∑ ,

▪ Que o somatório dos momen-tos que atuam sobre um ponto qualquer do corpo seja nulo.

0M=∑

Convenções

∑ Fx = 0 → (+)

∑ Fy = 0 ↑ (+)

∑ M = 0 (+)

Quadro 4 – Convenções para Indicar o Sentido das Forças

Exemplo 1: Determinar as rea-ções nos apoios da viga carregada conforme mostra a figura 26.

Figura 26 – Desenho de uma viga

carregada

Desenho esquemático da solicitação

Diagrama de corpo livre

∑ M = 0 (+)

∑ Ma = 0 ∑ Mb = 0

Rb(a+b)=P.a Ra(a+b)=P.b

( )b+aa.P

=Rb ( )bab.P

Ra+

=


Exemplo 2: Calcular as forças e as reações nos apoios da viga carregada conforme figura.

Figura 27 – Viga Carregada com Cargas Concentradas

a. Iniciamos o cálculo das reações nos apoios (Ra e Rb) com a decom-posição das forças nos eixos de coordenadas (x e y) conforme o dia-grama ilustrado na figura.

Figura 28 – Diagrama de Forças em Equilíbrio

b. Decomposição das forças

8030.senF y1 ×°= 8030.cosF x1 ×°=

805,0F y1 ×= 80866,0F x1 ×=

kgf40=F y1 kgf28,69=F x1

6045.senF y2 ×= 6045.cosF x2 ×=

60707,0F y2 ×= 60707,0F x2 ×=

kgf42,42=F y2 kgf42,42=F x2


c. Satisfazendo as condições de equilíbrio das forças

0Fy =∑ ↑ (+) 0Fx =∑ , → (+)

042,4220040BRAR =−−−+

042,4228,69xR =−+

kgf42,282=BR+AR

082,26xR =+

kgf)82,26(=xR

d. O somatório dos momentos deverá ser nulo.

0M=∑ (+)

0)8BR()642,42()4200()240(M =×−×+×+×=∑

8)52,25480080(BR ÷++=

852,1134

BR =

kgf82,141=BR

e. Substituindo na equação:

kgf42,282=BR+AR

42,282)82,141(AR =+

82,14142,282AR −=

kgf60,140=AR

Carga distribuída

Até o momento procuramos trabalhar somente com as cargas concen-tradas, isto é, que atuam somente em um determinado ponto. A carga distribuída que veremos no próximo tópico atua ao longo de toda uma superfície e pode ser:

Carga distribuída uniforme – Quando o carregamento é distribuído uniformemente por um determinado comprimento ou por toda a su-perfície.

Figura 29 – Carga Uniformemente Distribuída


Carga variável – Quando a carga não segue uma uniformidade na sua distribuição, podendo ser progressiva ou disforme.

Figura 30 – Carga Distribuída Variável

Podemos citar como exemplo de cargas distribuídas o peso próprio de uma viga, as paredes de um reservatório de água, o peso de uma laje sobre uma parede.

Para melhor compreensão do assunto, acompanharemos o desenvolvi-mento dos cálculos para solução do problema proposto.

a. Determinar as reações nos apoios da viga conforme figura abaixo.

Figura 31 – Viga Carregada com Cargas Distribuídas

Como podemos observar, para essa condição a carga está uniformemen-te distribuída e sua resultante atuará no ponto central da viga, em relação aos apoios “A” e “B”. Podemos criar um diagrama de esforços para a viga, melhorando a visualização das forças aplicadas.

Figura 32 – Diagrama de Forças com Distribuição Uniforme

b. O somatório dos momentos deverá ser nula, onde:

0M=∑ (+)

0MA =∑ 0MB =∑

2qAR

×=

2qBR

×=

2q=AR

2

q=BR


Seção 6Treliças

Denomina-se treliça o conjunto de barras interligadas entre si por rótulas, sob a forma geométrica triangular, que visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de resistir apenas a esforços nor-mais. As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para vencer grandes vãos e suportar maiores cargas. Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais fre-quente é o de treliças planas, que será o estudado em nosso curso. A denominação treliça plana de-ve-se ao fato de que todos os ele-mentos do conjunto pertencem a um único plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes, viadutos, coberturas, guindastes, torres etc.Para compreender uma treliça, é necessário inicialmente que co-nheçamos a força desenvolvida em cada um de seus elementos e aos seus pontos de união, quando a mesma estiver submetida a um carregamento.

Para verificar as condições de equilíbrio e fazermos o di-mensionamento das barras, devemos conhecer algumas regras básicas:

▪ todas as cargas devem ser aplicadas nos nós.

▪ os elementos das treliças são unidos nos nós (rótulas) através de pinos, parafu-sos ou solda. Assim, cada elemento estará, por con-venção, recebendo apenas uma força de tração ou de compressão. Rótulas não absorvem momentos.

Podemos utilizar dois métodos para o dimensionamento das treliças pla-nas. O método dos nós ou o método das seções.

Método dos nós

Pelo fato de os elementos de uma treliça serem todos retilíneos e apoia-rem-se num mesmo plano, as forças atuantes em cada nó são coplanares e concorrentes. Consequentemente, o equilíbrio dos momentos deverá ser atendido em cada nó, satisfazendo as condições.

Σ Fx=0

Σ Fy=0

Ao utilizar o método dos nós, é necessário construir o diagrama de cor-po livre, observando os seguintes passos:

▪ determinação das reações de apoio. ▪ iIdentificação do tipo de solicitação em cada barra (barra tracionada

ou barra comprimida) ▪ verificação do equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando-se sempre

os cálculos pelo nó que tenha o menor número de incógnitas.

Exemplo: Determinar as forças normais nas barras da treliça.

Figura 33 – Treliça Analisada pelo Método dos Nós


a. Cálculo das reações de apoio

As reações de apoio em RA e em RB são iguais, pois a carga P está apli-cada simetricamente aos apoios. Portanto,

2P

RR BA ==

b. Identificação dos esforços nas barras

As barras 1 e 5 estão comprimidas, pois equilibram as reações de apoio. A barra 3 está tracionada, pois equilibra a ação da carga P no nó D. As barras 2 e 4 estão tracionadas, pois equilibram as componentes horizon-tais das barras 1 e 5.

c. Cálculo dos esforços nas barras

Inicia-se o cálculo dos esforços pelo nó A, que juntamente com o nó B, é o que possui o menor número de incógnitas.

Figura 34 – Diagrama do nó “A”

Determinada a força na barra 2, o nó que se torna mais simples para os cálculos é o nó D.

Figura 35 – Diagrama do Nó “D”


Para determinar a força normal na barra 5, utiliza-se o nó B.

Figura 36 – Diagrama do Nó “B”

As forças normais nas barras 4 e 5 podem ser determinadas através da simetria da estrutura e do carregamento aplicado.

Métodos das Seções ou Método de Ritter

Para calcular as cargas axiais atuantes nos elementos de uma treliça pla-na, através do método de Ritter, devemos proceder da seguinte maneira:Separar a treliça em duas partes.Tomar uma das partes para verificar o equilíbrio. Ao secionar a treliça, deve-se garantir que o corte a intercepte de tal forma que se apresentem no máximo três incógnitas na parte em estudo, para que possa haver solução através das equações de equilíbrio.

É importante ressaltar que entrarão nos cálculos somente as barras da tre-liça onde foram cortadas as forças ativas e reativas da parte adotada para a verificação de equilíbrio.

Repetir o procedimento, até que todas as barras da treliça estejam cal-culadas.Neste método podemos considerar todas as barras tracionadas, ou seja, barras que “puxam” os nós. As barras que apresentarem o sinal negativo nos cálculos estarão sendo comprimidas.

Exemplo: Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.

Figura 37 – Treliça Analisada pelo Método das Seções


A altura h é determinada através da tangente de 53°:

m33,1h53.tgh 0 =∴=

a. Cálculo das reações de apoio

As reações de apoio em RA e em RB são iguais, pois a carga P está apli-cada simetricamente aos apoios. Portanto:

2P

RR BA ==

b. Cálculo dos esforços nas barras

Para determinar a carga axial nas barras 1 e 2, aplica-se o corte AA na treliça e adota-se a parte à esquerda do corte para verificar o equilíbrio.

Figura 38 – Indicações dos Cortes

Figura 39 – Seção da Treliça (A – A)


Através do corte BB, determinam-se as forças nas barras 3 e 4.

Figura 40 – Seção da Treliça (B – B)

Como a treliça é simétrica, pode-se concluir que:

F7 = F1 = - 0,625 P F6 = F2 = + 0,375 P F5 = F3 = + 0,625 P

Figura 41 – Treliça com as Barras Calculadas

Depois de conhecer os princípios e conceitos fundamentais relaciona-dos aos materiais, agora vamos estudar solicitações mecânicas. Vamos juntos!

Unidade de estudo 3

Seções de estudo

Seção 1 – Força normal e tensõesSeção 2 – Esforços de tração e compressãoSeção 3 – Esforços de cisalhamentoSeção 4 – Esforços de torçãoSeção 5 – Esforços de flexãoSeção 6 – Esforços de flambagem


Solicitações Mecânicas

Seção 1 Força normal e tensões

Por meio dos cálculos de estática, é possível determinar as forças externas atuantes sobre um de-terminado elemento. No entanto, com os cálculos de resistência dos materiais torna-se possível o estu-do dos efeitos causados por essas forças no seu interior.De maneira geral, os elementos a serem dimensionados não são considerados perfeitamente rígi-dos, fazendo com que as forças aplicadas no conjunto gerem for-ças e tensões internas, promoven-do sua deformação. A resistência dos materiais visa justamente di-mensionar esse componente para evitar que ocorram deformações críticas e, com isso, permitir que resistam aos mais diversos tipos de solicitações que lhe são impos-tos.O primeiro passo para solucionar um problema de resistência dos materiais é identificar as forças internas a que o corpo ou compo-nente está sujeito. Um dos méto-dos para identificar essas forças é o método das seções transversais, que utiliza o princípio de que os esforços internos devem sempre resistir às forças externas.

Força normal – Define-se como força normal ou axial aquela for-ça que atua perpendicularmente sobre a área de uma seção trans-versal da peça. A denominação normal ocorre em virtude de a força ser perpendicular à seção transversal da peça. Observe a imagem.

Figura 42 - Sentido da Força em Rela-

ção ao Eixo

Seção 2Esforços de tração e compressão

Podemos afirmar que uma peça está submetida a esforço de tração ou compressão quando uma car-ga normal F atuar sobre a área de seção transversal da peça, na di-reção do eixo longitudinal. Quan-do a carga atuar com o sentido dirigido para o exterior da peça (puxando), a mesma estará tracio-nada. Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior da peça (apertando), a mesma estará comprimida. Veja!

Figura 43 - Sentido das Tensões em Relação às Forças

Esforços internos: Força nor-mal e tensões.


Tensões

As tensões atuantes em cada se-ção de um componente mecâni-co podem ser determinadas pela força interna existente e da área da seção transversal. A direção da tensão depende do tipo de solicitação, ou seja, da direção das cargas atuantes. As tensões provocadas por tração, compressão e flexão ocorrem na direção perpendicular à área da seção transversal, por isso são chamadas de tensões normais, representadas pela letra grega “sigma” (σ).A expressão matemática que defi-ne o valor da tensão normal é:

σ = F A

σ = tensão normal. Sua unida-de padrão é o Pa (Pascal) onde (1 Pa = 1 N / m²).F = força normal ou axial. Sua unidade padrão é o N (Newton).A = área da seção transversal da peça. Sua unidade padrão é o m².

Exemplo: Uma barra de seção cir-cular com 50 mm de diâmetro é tracionada por uma carga normal de 36.000 N. Determine a tensão normal (σ) atuante na barra.

Figura 44 - Barra Circular Sujeita a Tração

As tensões normais também poderão ser representadas nos cálculos com outras unidades de medidas, onde no final deverão ser convertidas para as unidades conhecidas ou padrões. Podemos citar como unidades usuais para tensões normais:

kgf/m² kgf/cm² kgf/mm² N/m² N/mm² kp/mm² Lb/pol²

Algumas equivalências para conversões de unidades:

Unidades equivalentes

1 N / mm² = 100 N / cm² 1 Pa = 1 N / m²

1 kgf = 9,8 N 1 Mpa = 1 N / mm²

1 kgf / cm² = 14,223 lb / pol² 1kN / mm² = 102 kp / mm²

Tabela 8 – Unidades equivalentes

Todos os elementos construtivos sob o efeito de esforços de tração ou compressão apresentam deformações que podem ser classificadas como elástica ou plástica. As deformações elásticas são aquelas que são rever-síveis e desaparecem quando a tensão é removida.As deformações plásticas são provocadas por tensões que ultrapassam o limite de elasticidade dos materiais e são irreversíveis porque resultam do deslocamento permanente dos átomos e não desaparecem quando a tensão é removida. De uma maneira geral, para efeito de dimensionamento, devemos con-siderar somente as deformações elásticas, pois não é desejável que a peça sofra deformações plásticas ou permanentes, que possam provocar sua ruptura prematura. Todo corpo, quando tracionado ou comprimido, apresenta um alongamento ou encurtamento (∆ℓ), a partir do qual o comprimento inicial “ℓo” passa para um comprimento final “ℓ” sob a ação da força, causando assim uma variação no comprimento (∆ℓ).


Figura 45 - Variação do Comprimento

pela Tração e Compressão nas Peças

Se essa variação do comprimento for relacionada com o compri-mento inicial do corpo de prova, tem-se o valor do alongamento por unidade de comprimento (ε), chamado de deformação.

Figura 46 - Alongamento por Tração

A deformação (ε) é adimensional, ou seja, sem unidade, portanto representamos seu valor em por-centagem em relação à medida inicial.

ο.100Δ

%

A deformação transversal (εt) determina-se através do produto entre a deformação unitária (ε) e o coeficiente de Poisson (ν).

ν.εε.t

Como:

οο

οΔ

ε

podemos deduzir que:

Ενσ

ε.t

ou

Δνε.t

Figura 47 - Deformação Transversal Causada pelo Alongamento

O coeficiente de Poisson (ν) é a relação entre a deformação (ε) e a estricção (ψ). O valor do coeficiente de Poisson flutua para diversos materiais em uma faixa relativamente estreita. Geralmente está nas proximi-dades de 0,25 a 0,35. Em casos extremos podem atingir valores baixos como 0,1 para alguns con-cretos e elevados como 0,5 para borracha.Essa constante é característica de cada material.

Material Coeficiente

Aço v = 0,30

F. fundido v = 0,25

Borracha v = 0,50

Tabela 9 - Coeficiente de Poisson

O módulo de elasticidade é a constante determinada a partir da relação entre a tensão (σ) e a deformação (ε) na região elástica de um material. Ao cessarmos a tensão, se o valor do módulo de elasticidade não tiver sido ultra-passado, o material retorna ao seu comprimento original.O módulo de elasticidade (E), também conhecido como “Módu-lo de Young”, é característico para cada material e seus valores são en-contrados em tabelas. Desde que


a deformação (ε) é adimensional, a dimensão (unidade) do módulo de elasticidade (E) é a mesma da tensão (σ), isto é, força por unidade de área (Pa) ou (N/m²). Para diversos materiais, os valores de (E) são idênticos para os esforços de tração e compressão. Seu valor pode ser obtido pela ex-pressão:

εσ

Ε

E = Módulo de elasticidade. Sua unidade padrão é o Pascal (Pa).σ = tensão normal. Sua unidade padrão é o Pascal (Pa).ε = deformação longitudinal na região elástica do material.

Lei de Hooke

Para muitos cálculos da resistên-cia dos materiais é importante sa-ber qual a relação existente entre a tensão (σ) e a deformação (ε) den-tro do limite elástico dos materiais durante a aplicação do esforço. A lei que rege esse comportamento denomina-se Lei de Hooke.Quando submetidos a esforços de tração ou compressão, os corpos sólidos deformam-se inicialmen-te dentro de um limite, no qual a deformação ocorrerá somente enquanto a força estiver atuando. Quando essa força deixar de atu-ar, a forma do corpo será resta-belecida. Verifica-se que, variando a força, existe uma relação linear entre a tensão, a área e a deforma-ção, isto é:

Ε.εσ

O coeficiente de proporcionalida-de (E) é denominado módulo de elasticidade e é característico de cada material.A validade da Lei de Hooke σ ≤ σP , sendo σP a chamada ten-são limite de proporcionalidade.

Diagrama de tensão x deformação

Para a disciplina que estuda a Resistência dos Materiais, é ne-cessário termos conhecimentos sobre o comportamento de todos os elementos estruturais, quando submetidos a esforços externos. Para obtermos essas informações, são realizados ensaios mecânicos em amostras dos materiais, cha-madas de corpo de prova.

Figura 48 - Desenho Esquemático de

um Corpo de Prova

Um dos ensaios mais utilizados para esta análise é o ensaio de tração, onde o corpo de prova é submetido a uma carga normal (F). À medida que aumentamos a força de tração, observamos um alongamento no comprimento do corpo de prova, e uma redução na área da seção transversal devido à perda de resistência local. A esse fenômeno é dado o nome de es-tricção (ψ). Após ter começado a estricção, um carregamento mais baixo é o suficiente para a defor-mação do corpo de prova, até a sua ruptura.


Figura 49 - Comparativo entre os Corpos de Prova para Material Dúctil e Frágil

Corpo de prova, material ductel

Corpo de prova, material frágil

Estricção (ψ) e ruptura Ruptura

A partir da medição da variação dessas grandezas, realizada pela máqui-na de ensaio, são obtidos os diagramas de tensão x deformação.Com a utilização dos diagramas (σ x ε), podemos analisar uma série de materiais quanto ao seu comportamento mecânico e fazer sua classifica-ção quanto à ductilidade ou fragilidade.Os materiais dúcteis, como o aço, o cobre, o alumínio e outros, são caracterizados por apresentarem escoamento a temperaturas normais. O corpo de prova é submetido a um carregamento crescente, e com isso seu comprimento aumenta, de início lenta e proporcionalmente ao carregamento. Desse modo, a parte inicial do diagrama é uma linha reta com grande coeficiente angular. Entretanto, quando é atingido um valor crítico de tensão, o corpo de prova sofre uma grande deformação com pouco aumento da carga aplicada.

Figura 50 - Representação da Tensão x Deformação


Analise o quadro evidenciando a mudança de comportamento mecânico dos materiais dúcteis e sua classificação quanto à ductibilidade.

Nº Ponto Avaliação do gráfico Tensão x deformação materiais dúcteis

1 0 - A ▪ O material obedece à Lei de Hooke. A tensão no ponto “A” é a σP (tensão limite de

proporcionalidade).

2 A - B

▪ A curva começa a se afastar da reta “OA” até que em “B” começa o chamado escoa-mento. ▪ O ponto “B” marca o fim da zona elástica. Se tirarmos o carregamento, permanecerá

uma pequena deformação residual (0,001).

3 B - D

▪ Escoamento. Caracteriza-se por um aumento relativamente grande de deformação com variação pequena da tensão. ▪ Depois do escoamento, o material estará encruado (endurecimento por deformação

a frio). ▪ No ponto “B” começa a zona plástica do material.

4 E - F

▪ No ponto “E” inicia-se a fase de ruptura, caracterizada pelo fenômeno da estricção, que é uma diminuição da seção transversal do corpo de prova.

▪ A ruptura ocorre no ponto “F” (εr ≥ 5% , normalmente ). ▪ As tensões correspondentes aos pontos “E” e “F” chamam-se, respectivamente, ten-

são máxima (σmax) e tensão de ruptura (σr).

Tabela 10 - Avaliação do Gráfico Tensão x Deformação para Materiais Dúcteis

Figura 51 - Gráfico Tensão x Deformação para Materiais Frágeis

Os materiais frágeis, como fer-ro fundido, vidro e pedra, são ca-racterizados por uma ruptura que ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação do material. Então, para os mate-riais frágeis não existe diferença entre tensão de resistência e ten-são de ruptura. Além disso, nos materiais frágeis a deformação até a ruptura é muito pequena em relação aos materiais dúcteis. Não há estricção e a ruptura se dá em uma superfície perpendicular ao carregamento.


Analise o quadro evidenciando a mudança de comportamento me-cânico dos materiais frágeis e sua classificação quanto à fragilidade.

Nº Ponto

Avaliação do

gráfico Tensão

x Deformação

Materiais Frágeis

01 O - A

Não apresentam fenômenos de escoamento. A ruptura acontece com uma pequena deformação.

(εr ≤ 5%)Tabela 11 - Avaliação do Gráfico Tensão x Deformação Materiais Frágeis

O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de construção, vi-sando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo. Seus valores dependem do maior ou menor conhecimento do material, da confiabilidade do processo de cálculo e do caso de aplicação da carga.O coeficiente de segurança é sem-pre representado por um número maior do que um (1), que pode ser obtido através de uma tabela téc-nica de engenharia ou fornecido pela norma de projeto do compo-nente em fabricação.Para determinar os índices aplica-dos na composição do coeficiente de segurança, precisamos conhe-cer os tipos de carregamentos im-postos ao sistema.Podemos classificar os esforços em três tipos. Acompanhe.

Carga estática: ocorre quando a carga aplicada é constante com o pas-sar do tempo. Podemos citar como exemplo a força exercida por um parafuso que fixa um quadro na parede ou uma luminária no teto.

Figura 52 - Representação de Carga Estática

Carga intermitente: sua ação é gradual até atingir os valores máximos e mínimos num determinado espaço de tempo. Podemos citar como exemplo os dentes de uma engrenagem reta, a corrente de uma talha suspendendo uma carga.

Figura 53 - Representação de Carga Intermitente

Carga alternada: neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia do ponto máximo positivo para o ponto máximo negativo ou vice versa, constituindo a pior situação para um material.

Quando um material está sujeito a ciclos repetitivos de tensões ou defor-mações, podem ocorrer falhas por fadiga do material. Os valores típicos do limite de resistência à fadiga para materiais empregados em constru-ção mecânica são informados pelos próprios fornecedores dos materiais ou encontrados em normas técnicas.Podemos citar como exemplo os esforços sofridos por um fuso de esfe-ras em um centro de usinagem e a ação das molas em geral.


Figura 54 - Representação de Carga Alternada

O coeficiente de segurança, em função das situações apresenta-das, deve utilizar a seguinte ex-pressão:

k = x.y.z.w

Fatores utilizados para as solicita-ções: (y).

Fator y Tipo de solicitação

1 Para carga constante

2 Para carga intermitente

3 Para carga alternadaTabela 12 - Valores de Y para Formar o Coeficiente de Segurança

Fatores utilizados para tipo de cargas: (z)

Fator z Tipo de carga

1 Para carga gradual

1,5 Para choques leves

2 Para choques bruscos

Tabela 13 - Valores de z para formar o Coeficiente de Segurança

Fatores utilizados para alguns ma-teriais: (x)

Fator x Tipo de material

1,25 a

1,5Para aços de qualidade

1,5 a 2 Para aços comuns

4 a 8 Para ferro fundido

2,5 a

7,5Para madeira

Tabela 14 - Valores de x para Formar o Coeficiente de Segurança

Fatores utilizados para falhas de fabricação: (w)

Fator w Falhas de fabricação

1 a 1,5 Para aços

1,5 a 2 Para ferro fundido

Tabela 15 - Valores de w para Formar o

Coeficiente de Segurança

Tensão Térmica

Alem das tensões já conhecidas, as mudanças de temperatura tam-bém podem provocar deforma-ções nos materiais. Para os ma-teriais isotrópicos homogêneos, uma mudança na temperatura (∆t) provoca uma deformação li-near (εxyz) uniforme em cada dire-ção. Matematicamente, podemos definir a equação da deformação térmica como:

εx = εy = εz = α.∆t

Sendo α o coeficiente de dilatação térmica do material que é deter-minado experimentalmente e que dentro de uma faixa moderada de temperatura, permanece razoavel-mente constante. Seus valores são fornecidos em tabelas próprias, seguindo as características de cada material. Para materiais isotrópi-cos, uma pequena deformação térmica linear pode ser aditada às deformações lineares decorrentes da tensão. Assim podemos incluir a deformação térmica na equação.

Ε.α.ΔtΔ

ΕΕ.εσ

Se a temperatura de uma barra prismática varia de ∆t (tf - to), seu comprimento sofrerá uma varia-ção de ∆ℓ (ℓf - ℓo ).

Figura 55 - Variação do Comprimento

pelo Aumento de Temperatura

Para anular o alongamento ocor-rido pelo aumento da temperatu-ra (∆ℓ = ℓ.α.∆t) deve ser aplicada uma força (F) de contenção tal que:

A tensão admissível (σ adm) é indicada como a ideal para o ma-terial nas circunstâncias de traba-lho. Geralmente essa tensão deve ser mantida na região de defor-mação elástica do material, porém existem situações em que a ten-são admissível deverá estar muito próxima da região de deformação plástica, visando a redução de peso e custo da estrutura.A tensão admissível é determina-da através da relação entre tensão de escoamento (σe) e o coeficien-te de segurança (K) para os ma-teriais dúcteis e tensão de esco-amento (σe) e tensão de ruptura (σr) para os materiais frágeis.


Para anular o alongamento ocor-rido pelo aumento da temperatu-ra (∆ℓ = ℓ.α.∆t) deve ser aplicada uma força (F) de contenção tal que:

F = σ.A

A tensão admissível (σ adm) é indicada como a ideal para o ma-terial nas circunstâncias de traba-lho. Geralmente essa tensão deve ser mantida na região de defor-mação elástica do material, porém existem situações em que a ten-são admissível deverá estar muito próxima da região de deformação plástica, visando a redução de peso e custo da estrutura.A tensão admissível é determina-da através da relação entre tensão de escoamento (σe) e o coeficien-te de segurança (K) para os ma-teriais dúcteis e tensão de esco-amento (σe) e tensão de ruptura (σr) para os materiais frágeis.

Os valores característicos da tensão admissível são tabela-dos e sua escolha é feita em função do tipo de material, do tipo de esforço e do tipo de solicitação existente na seção dimensionada.

Matematicamente, podemos ex-pressar a tensão admissível pelas seguintes fórmulas:

▪ Para materiais dúcteis:

Kσe

σadm

São aqueles que, ao serem sub-metidos a um ensaio de tração, apresentam deformação elástica (reversível) e plástica (irreversível) antes de romper-se. São exemplos de materiais dúcteis: aço, alumí-nio, cobre, bronze, latão, níquel.

▪ Para materiais frágeis:

Kσr

σadm

São aqueles que, ao serem subme-tidos a um ensaio de tração, não apresentam deformação plástica, passando da deformação elástica para o rompimento. São exem-plos de materiais frágeis: concre-to, vidro, cerâmica, gesso, cristal, acrílico.

Seção 3Esforços de cisalhamento

As tensões provocadas por torção e cisalhamento atuam na direção tangencial à área da seção transversal da peça e, por isso, são chamadas de tensões tangenciais ou cisalhantes. São representadas pela letra grega “tau” (τ).

A tensão de cisalhamento também é caracterizada como sendo a intensidade média da força atuante por unidade de área da seção transversal da peça, pois as tensões atuantes são distribuídas de maneira não uniforme pela área de corte. O resultado obtido pela equação da tensão definida por cisalhamento representa uma tensão média da região do corte.Na maior parte dos materiais metálicos,a tensão de cisalhamen-to (τ) está relacionada com a pró-pria tensão de ruptura do material (σr). Para o dimensionamento po-demos utilizar os valores corres-pondentes.

cisr 0,7τσ

A expressão matemática que defi-ne o valor da tensão cisalhante é:

AcisQ

τ

τ = tensão de cisalhamento. Sua unidade padrão é o Pa (Pascal).Q = Carga cortante. Sua unidade padrão é o N (Newton).Acis = área da seção transversal da peça. Sua unidade padrão é o m².


Figura 56 - Tensão de Cisalhamento

As condições de cisalhamento podem ocorrer de duas formas:

▪ simples, onde temos apenas uma área com espessura fina sujeita ao corte. As forças de atrito entre as partes podem ser desprezadas. ▪ duplo, onde temos duas ou mais áreas sobrepostas sujeitas ao corte.

A força cortante atua em cada área presente na conexão dos compo-nentes.

Como observado durante o estudo das tensões normais, as tensões de cisalhamento também poderão aparecer nos cálculos com outras unida-des de medida, onde no final deverão ser convertidas para as unidades padrão. Podemos citar como unidades usuais para tensões de cisalha-mento:

Kgf/m² Kgf/cm² Kgf/mm² N/m² N/mm² kp/mm² Lb/pol²

ν)2(1

EG

Por exemplo: calcular os valores de G para o aço.E = 2,10 x 106 kp/cm².v = 0,3

Respondendo à questão: G = 8,08 x 105 kp/cm²

É possível traçarmos diagramas de tensão x deformação para o caso do cisalhamento, de manei-ra análoga à do ensaio de tração, sendo que sua configuração é se-melhante.Para efetuar os cálculos relativos às forças cortantes ou as tensões de cisalhamento, devemos obser-var que em muitos casos utiliza-mos as tensões de ruptura do ma-terial, pois o objetivo é evidenciar o secionamento do material.

Seção 4Esforços de torção

Uma peça é submetida a um es-forço de torção quando nela for induzido um torque em uma de suas extremidades e um contra-torque na extremidade oposta. Quando o sistema apresentar ple-na liberdade para a deformação das seções transversais, denomi-namos de torção uniforme, que encontramos nos eixos e nos per-fis sem engastamento. Se um eixo é submetido a um torque externo, pela condição de equilíbrio um torque interno também deverá ser desenvolvido. O torque é definido pelo produto entre a carga “F” a distância entre o ponto de aplica-ção da mesma, e o centro da seção transversal da peça. No caso de ei-xos, temos:

Deformação do cisa-lhamento

Com a aplicação das forças cor-tantes, além das tensões também ocorrem as distorções das peças. A distorção é a variação do ângu-lo medido em radianos, portan-to, adimensional, sendo expresso através da relação entre a tensão de cisalhamento atuante e o mó-dulo de elasticidade do material.

Figura 57 - Representação da Deforma-

ção por Cisalhamento

Gτ

γ

Onde:γ = distorção (rad)τ = tensão de cisalhamento atuante (Pa)G = Módulo de elasticidade transversal do material (Pa)

Uma vez que durante a aplicação cisalhante o material obedece à Lei de Hooke, existe uma propor-cionalidade entre a tensão (τ) e a deformação (γ). O coeficiente de proporcionalidade (G) chama-se módulo de elasticidade transversal e é uma propriedade mecânica de cada material. Podemos mostrar a relação entre G e E como sendo:


Mt = 2.F.ℓ

Onde:Mt = momento torçor em N.m

F = carga aplicada em N.ℓ = distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal.

Figura 58 - Momento Torçor

Para determinar o momento torçor ou torque, em transmissões mecâni-cas construídas por motores, eixos, polias, engrenagens e rodas de atrito, usamos as seguintes expressões:

Figura 59 - Torque

Mt = Ft.r

Onde: Mt = Torque (N.m)Ft = Força tangencial (N)r = Raio da peça (m)

No caso de árvores acionadas por motores, o momento torçor pode ser calculado com a equação:

nN

71620Mt

Onde:N = Potência do motor em (cv)n = Rotação do motor (rpm)Mt = Momento torçor (kgf.cm)

A expressão matemática que de-termina o torque pode ser assim escrita:

fπ2P

T

Onde: T = Torque. (N.m ; KN.m ; Lb.in.)P = potência. (W)f = frequência (Hz)


Para converter rotações por mi-nuto (rpm) em hertz (Hz), basta dividir por 60.Assim:

60

nf

Onde:f = frequência em hertzn = rotações por minuto

Potência é a realização de um tra-balho por uma unidade de tempo, onde podemos concluir:

tempotrabalho

tτ

P

Como:

sFτ

Conclui-se que:

tsF

P

Mas se:

ts

v

Temos a seguinte expressão:

P = F x v

Onde:P = Potência em (W)F = força. (N) v = velocidade (m/s²)

Nos movimentos circulares, utili-zamos a seguinte expressão:

P = Ft x vp

Onde:P = Potência em (W)Ft = força tangencial (N)vp = velocidade periférica (m/s²)

Podemos escrever a equação que determina a potência (P) da se-guinte forma:

60n2π

TP

Portanto:

30nTπ

P

Onde:P = Potência em (W)T = Torque (N.m)n = rotações por minuto (rpm)

Quando a potência não for for-necida em watt (W), veja algumas equivalências.

Unidades Equivalentes

para Potência

1 hp = 745,7 W1 hp

= 550 ft.Lb/s

1 cv = 735,5 W1 hp

= 6600 in.Lb/s

1 kp.m/s

= 9,81 W

1 cv

= 75 kp.m/s

1 kW

= 102 kp.m/s1 kW = 1,36 cv

Tabela 16 - Unidades Equivalentes

Ângulos de distorção (γ) e de torção (θ) em peças de seção cir-cular. Consideramos uma barra de comprimento (ℓ) submetida a um momento de torção. O tor-que atuante provoca na barra um deslocamento na seção transver-sal, formando no comprimento uma deformação denominada distorção (ℓ), que é determinada em radianos através da tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do ma-terial.


Figura 60 - Ângulo de Distorção na Barra Cilíndrica

Gτ

γ

Onde:

γ = distorção (radianos).τ = tensão atuante (Pa).G = Módulo de elasticidade trans-versal do material (Pa).

Na seção transversal da barra há uma rotação que forma um ângu-lo de torção ( ) que pode ser defi-nido através da fórmula:

GJpMt

θ

Onde:

θ = ângulo de torção (radianos)Mt = momento torçor ou torque (N.m; N.mm;...)ℓ = comprimento da peça (m; mm...)

G = módulo de elasticidade trans-versal do material. (Pa)Jp = momento de inércia da área de seção transversal. (m4; mm4;...)

Para conversão do resultado para graus, multiplique por 180 e divi-da por “π”.

πGJp

180Mtθ

No dimensionamento de peças, a torção admite somente deforma-ções elásticas. A tensão de traba-lho é fixada pelo fator de seguran-ça “n” ou pela tensão admissível.Para calcular o momento de inér-cia da área da seção transversal Jp, devemos conhecer a forma geo-métrica do elemento utilizado no projeto. Como exemplo prático, descrevemos a fórmula de Jp para os seguintes casos:Eixo maciço:

2Rπ

Jp4

Onde:

32dπ

Jp4

R = raio externo.

Eixo oco (tubo):

)r(R2π

Jp 44

Onde:

32)d(Dπ

Jp44

R = raio externo.r = raio interno.

A unidade de Jp pode ser o: mm4, cm4, m4, in4.

Tensões Tangenciais

As tensões tangenciais produzidas pelo momento de torção são per-pendiculares aos raios e propor-cionais a eles, onde a constante de proporcionalidade é: Mt / Jp. Logo:

rJp

Mtτ


Tensão de cisalhamento

A tensão de cisalhamento na torção (τ max) pode ser determinada atra-vés da equação. Para:

oτ0R

Para:

RmaxWpMt

RmaxJpMt

JpRmaxMt

τmax

Onde:

3τMt

1,72d

Para seção circular vazada, de diâmetros “D” e “d”, o módulo pode ser descrito:

D16)d(Dπ

Wp44

Para o dimensionamento de árvo-res devemos observar as condi-ções de resistência dos materiais, utilizando somente os valores correspondentes às tensões ad-missíveis por material.

Exemplo

Qual a força máxima que pode ser aplicada na árvore oca conforme figura abaixo, fabricada a partir de um aço ABNT 1050? Determinar a deformação sofrida, sabendo-se que G = 800 000 kgf /cm, e que o comprimento da árvore é de 800 mm.

Figura 61 - Desenho da Árvore Oca

Pela definição de módulo de resis-tência polar, sabe-se que:

RJp

Wp

Onde:

WpMt

τmax

τmax = tensão máxima devido a torção. Sua unidade pode ser: N.m; KN.m; Lb.in.Mt = torqueRmax = raio externo da peça.Jp = momento de inércia polar da área de seção transversal.Wp = módulo de resistência po-lar.

Ao analisarmos esta expressão, constatamos que a tensão aumen-ta à medida que o ponto analisado aproxima-se da periferia e que no centro da seção transversal a ten-são é nula.

As tensões de torção comparti-lham uma propriedade comum a todas as tensões tangenciais, onde em planos perpendiculares as ten-sões tangenciais são iguais e con-vergem ou divergem da intersec-ção destes planos. Para a seção circular cheia de diâ-metro “d”, o módulo de resistên-cia “Wp” vale.

16dπ

Wp3

Onde:

3τπ

16Mtd


Cálculo do momento de inércia polar:

32)d(Dπ

Jp44

Onde:

32)5(7π

Jp44

Onde:

Jp = 174,36cm2

Cálculo do módulo de resistência polar:

RJp

Wp

Onde:

3,5174,36

Wp

Onde:

Wp = 49,82cm3

Cálculo do momento torçor:

τmax = 11,5kgf/mm2

τmax = 1150kgf/cm2

WpMt

τmax

Onde:

Mt = Wp x τmax

Mt = 49,82 x 1150

Onde:

Mt = 57293kgf.cm

Cálculo da força:

Mt = Ft x r

Onde:

3,557293

rMt

Ft

Onde:

Ft = 16369,43kgf

Cálculo da deformação:

GJpMt

θ

Onde:

174,368000008057293

θ

Onde:

θ = 0,032859rad

Para converter o resultado para graus, multiplicamos por 180 e di-vidimos por Pi (π)

o1,88θ3,14174,36800000

1808057293θ

πGJp180Mt

θ

o1,88θ3,14174,36800000

1808057293θ

πGJp180Mt

θ

o1,88θ3,14174,36800000

1808057293θ

πGJp180Mt

θ


Seção 5Esforços de flexão

Uma viga esta submetida à flexão quando em suas seções transversais o esforço solicitado é o momento fletor, acompanhado ou não de forças cortantes. A seção “x” da barra em figura esta solicitada parte a compressão e parte a tração, isto é, as linhas superiores da barra são comprimidas e as linhas inferiores tracionadas.

Figura 62 – Representação das Tensões no Momento Fletor

O momento fletor (Mf) representado na figura pode ser definido como a soma algébrica dos momentos em relação a x, de todas as forças que precedam ou que sigam a seção, conforme demonstrado no exemplo a seguir.

Figura 63 – Momento Fletor em Relação a Seção X

Neste exemplo o momento fletor em relação a x é expresso pela equa-ção:

Mf = (F1.a) – (R1.b) + (F2.c)

O procedimento de análise utilizado consiste basicamente em determi-nar como varia o momento fletor ao longo de uma estrutura, obtendo seu valor máximo, através das condições básicas de equilíbrio. Partindo deste princípio, fazemos o mesmo com a força cortante, encontrando

também seu valor máximo. Deste método terão origem dois diagra-mas, um para momento fletor e outro para força cortante. Primei-ramente, algumas regras devem ser observadas:

▪ consideramos uma estrutura sujeita a flexão pura somente se o valor do momento for dife-rente de zero e o valor da força cortante for igual a zero (M ≠ 0 e V = 0). ▪ consideramos uma estrutura

sujeita a flexão simples somen-te se o valor do momento e da força cortante forem diferentes de zero (M ≠ 0 e V ≠ 0). ▪ por convenção, a parte esquer-

da da estrutura é tomada como a origem do plano de coordenadas, gerando valores de x positivos para a direita. ▪ observam os tais valores para

determinar as equações matemá-ticas que expressam a variação do momento e da força cortante.

Figura 64 – Ponto de Origem e

Sentido das Forças em X

Se tomarmos o lado esquerdo da estrutura, a força cortante será di-recionada para baixo (↓) e o mo-mento fletor terá sinal positivo (sentido anti-horário).

Figura 65 – Por convenção, Mo-

mento Fletor Positivo


Se tomarmos o lado direito da estrutura, a força cortante será direciona-da para cima ( -) e o momento fletor terá sinal negativo (sentido horário).

Figura 66 – Por Convenção, Momento Fletor Negativo

Em estruturas sujeitas as cargas concentradas, o momento fletor varia linearmente ao longo dos trechos descarregados. Para traçarmos um diagrama basta calcular os momentos fletores nas seções em que são aplicadas as forças e unir os valores por meio de retas.A seção mais solicitada é aquela em que o momento fletor é máximo, conforme podemos observar no exemplo abaixo.Calcular as reações de apoio e fazer o diagrama do momento fletor para as seções indicadas na figura abaixo (carregamento concentrado).

Figura 67 – Diagrama Momento Fletor

∑ FV = 0 Por convenção (↑ +)

R1 + R2 = 55 kgf.

∑ M1 = 0 Por convenção

(15 x 4) – (40 x 4) + (R2 x 8) = 0

R2 = 12,5 kgf

R1 + R2 = 55 kgf; onde R1 = 42,5 kgf.

Mf1 = 15 x 0 = 0

Mf2 = 15 x 2 = 30 kgf

Mf3 = 15 x 4 = 60 kgf

Mf4 = (15 x 6) – (42,5 x 2) = 5 kgf

Mf5 = (15 x 8) – (42,5 x 4) = -50 kgf.

Mf6 = (15 x 10) – (42,5 x 6) + (40 x 2) = -25 kgf

Mf7 = (15 x 12) – (42,5 x 8) + (40 x 4) = 0

Forças cortantes

Um ponto qualquer de uma barra fletida, além das tensões normais de tração e compressão prove-nientes do momento fletor, está sujeito também a tensões tangen-ciais de cisalhamento provenien-tes de forças cortantes.Chama-se de força cortante “Q” da seção “x” a soma algébrica de todas as forças que precedem ou seguem a seção.

Figura 68 – Barra fletida. Tensão de

Tração, Compressão e Cisalhamento

Exemplo para força cortante na secção “x”. Por convenção: forças (↑ +)

Figura 69 – Forças Cortantes

Desse modo, calculam-se as for-ças cortantes de cada seção da barra e com esses valores traça-se o diagrama, conforme exemplo a seguir.


Forças cortantes para as secções: 1; 2; 3; e 4.

Figura 70 – Diagrama para Forças Cortantes

Q = -P1 + R1

Q1 = -10 kgf.

Q2 = -10 + 38 = 28 kgf.

Q3 = -10 + 38 – 20 = 8 kgf.

Q4 = (-10 + 38 – 20 – 28)

Q4 = -20 kgf,

Módulos de flexão

Como já estudamos no item anterior, a flexão é a solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça, tanto em compressão como em tração. Dependendo do tipo de seção e de sua posição relativa, con-forme mostra o exemplo abaixo, podemos empregar maior ou menor resistência, alterando a linha de centro geométrica.

Figura 71 – Alteração no Módulo de Flexão pela Posição Relativa da Peça

Os módulos de flexão Wf para os vários tipos de secções são encontra-dos em tabelas. Os mais comuns podemos definir como:

Para figuras planas:

6hb

W2

f

×=

Para figuras cilíndricas:

32dπ

W3

f

×=

A unidade padrão para o módu-lo de resistência a flexão é o m³. Quanto maior for o módulo de resistência a flexão, maior será a resistência da peça flexionada.No dimensionamento de peças a flexão, admitimos somente de-formações elásticas. O fator de trabalho é fixado pelo fator de se-gurança, ou pela tensão admissí-vel. Toda secção crítica sujeita ao rompimento por fadiga deve ser verificada, através dos cálculos da tensão a flexão, que é determina-da pela fórmula.

f

ff W

Mσ = ; onde;

σf = Tensão na flexão.Mf = Momento fletor.Wf = Módulo de resistência a fle-xão.

Exercício de fixação: Dimensio-nar o eixo representado na figura abaixo quanto à flexão e o cisalha-mento: Material – Aço SAE 1030. ( =trσ 53 kgf / mm²).


Figura 72 – Diagrama para Momento Fletor e Forças Cortantes

τcis = 0,7 x trσ

τ cis = 37 kgf / mm2

=fσ 8 kgf / mm² = 800 kgf / cm²

Por convensão: R1 = R2 = 250 kgf

Mf1 = 0 Por convenção

Mf2 = (-250 x 25) = -6250 kgf

Mf3 = (-250 x 50) + (500 x 25) = 0

Q1 = 250 kgf

Q2 = 250 – 500 = -250 kgf

Q3 = 250 – 500 + 250 = 0

Dimensionar o eixo quanto a flexão:

∴=f

ff W

Mσ ∴

×=

32dπ

Mσ 3

ff

3

f

f

σπ

M32d ∴

××

= ∴××

= 3

800π625032

d d = 4,3cm

Dimensionar quanto à forças cortantes ou cisalhamento.

∴=seção

maxcis S

Pτ ∴

×=

4dπ

250τ

2cis ∴××

=37π

4250d d = 2,93.mm


Seção 6Esforços de flambagem

Conforme mostrado na figura 73, quando uma barra prismática for submetida a uma carga “P” em direção ao seu eixo longitudinal, pode ocorrer um encurvamento lateral, conhecido como flambagem. A carga na qual se inicia esse fenômeno é determinada como sendo a carga de flambagem “Pfl” e a tensão resultante é determinada como “σfl”.

Figura 73 – Barra Sujeita à Flambagem

Em função do tipo de fixação das suas extremidades, as peças apre-sentam diferentes comprimentos livres de flambagem “f ”, que são de-monstrados na figura 74.

Figura 74 – Comprimentos de Flambagem

Devido ao formato, certas barras flambam com mais facilidade do que outras. Esse fato pode ser expresso através do índice de esbeltez, repre-sentado pela letra grega “lambda” (λ). O índice de esbeltez é definido pela relação entre o comprimento de flambagem “f ”, e o raio de giração mínimo da seção transversal da barra, onde:

min

f

iλ

= onde: J

λ f=

λ = índice de esbeltez (adimensio-nal).f = comprimento de flambagem (m; mm....).Imin = raio de giração mínimo da secção da barra (m; mm....)J = momento de inércia. Depende da forma geométrica da secção do material.

Assim, uma barra mais esbelta (λ com maior valor) flamba com menor tensão, enquanto uma bar-ra menos esbelta (λ com menor valor) flamba com uma tensão maior. A representação gráfica da função que relaciona a tensão de flambagem com o índice de es-beltez para cada material pode ser acompanhada com a curva traça-da no gráfico abaixo.

Figura 75 – Curva para Análise de

Flambagem das Peças

σncp = Tensão de proporcionalida-de a compressão.λo = Índice de esbeltez corres-pondente a σncp.

Analisando a curva do gráfico, podemos notar que: uma barra com λ > λo (muito esbelta) flamba com uma tensão σfl abaixo da ten-são de proporcionalidade.Outra barra com λ > λo (pou-co esbelta) flamba somente com uma tensão σfl acima de σcp. Nes-se caso, pode ocorrer inclusive a ruptura do material antes da barra flambar.


No caso em que λ > λo (pouco esbelta), o cálculo da tensão de flexão σccp ou da carga “Pfl” é determinada com seguinte expressão:

2f

2

fL

JEπP

××= ; e

SJEπ

σ 2f

2

fL ×××

=

; onde:

E = módulo de elasticidade do materialJ = momento de inércia. Depende da forma geométrica da secção do materialS = área da secçãof = comprimento de flambagem

Com o tema Esforços de Flambagem concluímos, aqui, esta unidade curricular. Esperamos que você tenha aproveitado as tantas descobertas que lhe reservamos.


Finalizando

No desenvolvimento deste material, levamos em consideração o perfil formativo do curso e mui-tos momentos de práticas vivenciadas em atividades da indústria. Os temas e conhecimentos abordados são de fundamental importância para o crescimento pro-fissional, pessoal e social. No mundo do trabalho e na sociedade, o aluno poderá oportunizar sua capacitação, tornando-se um conhecedor e um disseminador de ações relacionadas à Resistência dos Materiais. Terminamos este trabalho sabedores de que muito mais poderia ser feito, mas temos a certeza de que atingimos os objetivos propostos. Desejamos a você que utilizou este material um cresci-mento profissional aprofundado em conhecimentos, habilidades e atitudes.Siga em frente e sucesso!

Referências


▪ ARRIVABENE, Vladimir. Resistência dos materiais. São Paulo: Makron Books, 1994. 400 p.

▪ BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo, SP: Makron Books, 1995. 1255 p.

▪ FERREIRA, A. B. de H. Dicionário eletrônico Aurélio. 3. ed. Curitiba: Positivo, 2010.

▪ MELCONIAN, Sarkis. Elementos de máquinas. São Paulo: Érica, 2000. 342 p.

▪ MELCONIAN, Sarkis. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 11. ed. São Paulo: Érica, 2000. 360 p.

▪ POPOV, E. P.. Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo, SP: Edgard Blücher, 1978. 534 p.

▪ SENAI. Resistência dos materiais. Divinópolis, MG: Departamento Regional de Minas Gerais. Centro de Formação Profissional Anielo Greco, 2004. Apostila.

▪ SENAI. Resistência dos materiais. Sabará, MG: Departamento Regional de Minas Gerais. Centro de Formação Profissional Michel Michels, 2005. Apostila.

Anexo


Anexo 1 – Características dos principais aços empregados na construção mecânica

Classif.

ABNTAços

1010 1020 1030 1040

Laminado Trefilado Laminado Trefilado Laminado trefilado Laminado Trefilado

Cara

cter

ístic

as

mec

ânic

as

σr 33 37 39 43 48 53 53

σe 18 31 21 36 26 45 29

Along.

%10cm 28 20 25 15 20 12 18

HB 95 105 111 121 137 149 149

solicitado Correg. TENSÃO ADMISSÍVEL SEGUNDO BACH (kg/mm²)

σ–t

I 8,0 10,0 10,0 14,0 13,5 15,5 15,0

II 5,0 6,5 9,0 9,0 8,5 10,0 9,5

III 3,5 4,5 4,5 6,5 6,0 7,5 7,0

σ–c

I 8,0 10 10 14,0 13,5 15,5 15,0

II 5,0 6,5 9,0 9,0 8,5 10,0 9,5

III 3,5 4,5 4,5 6,5 6,0 7,5 7,0

σ–f

I 8,5 11,0 11,0 15,0 14,5 17,0 16,5

II 5,5 7,0 7,0 10,0 9,5 11,0 10,5

III 4,0 5,0 5,0 7,0 6,5 8,0 7,5

τ–t

I 5,0 6,5 6,5 8,5 8,0 10,0 9,5

II 3,0 4,0 4,0 5,5 5,0 6,5 6,0

III 2,0 3,0 3,0 4,0 3,5 5,0 4,5


Classif.

ABNTAços Aços fundido

1050 3525AF 4524AF 6015AF 6020AF 7010AF

laminado Trefilado ----------- ----------- ------- ------- ---------

Cara

cter

ístic

as

mec

ânic

as

60 63 70 35 45 60 60 70

50 35 59 22 42

12 15 10 25 24 15 20 10

170 179 197 130 170 180 200

solicitado Correg. TENSÃO ADMISSÍVEL SEGUNDO BACH (kg/mm²)

σ–t

I 21,0 20,0 22,0 6,5-10,0 10,0-15,0 12,5-19,0 12,5-19,0 14,021,0

II 13,5 12,5 14,5 4,5-6,5 6,5-9,5 8,0-12,0 8,0-12,0 9,0-13,0

III 9,0 8 10,0 3,0-4,5 4,5-7,0 5,5-8,5 5,5-8,5 6,0-9,5

σ–c

I 21,0 20,0 22,0 7,5-11,0 11,6-16,5 14,0-20,5 14,0-20,5 15,5-23,0

II 13,5 12,5 14,0 4,5-7,0 7,0-10,5 8,5-13,0 8,5-13,0 9,5-14,5

III 9,0 8 10,0 3,0-4,5 4,5-7,0 5,5-8,5 5,5-8,5 6,0-9,5

σ–f

I 23,0 22,0 24,0 7,5-11,0 11,0-16,5 14,0-20,5 14,0-20,5 15,5-23,0

II 15,0 14,0 16,0 4,5-7,0 7,0-10,5 8,5-13,0 8,5-13,0 9,5-14,5

III 10,5 9,5 11,5 3,0-5,0 5,0-7,5 6,0-9,0 6,0-9,0 7,0-10,5

τ–t

I 12,5 11,5 13,5 4,5-6,5 6,5-9,5 8,0-12,0 8,0-12,0 9,0-13,0

II 8,0 7,0 9,0 2,5-4,0 4,0-6,0 4,5-7,5 4,5-7,5 5,5-8,4

III 6,0 5,0 7,0 2,0-30 3,0-4,5 3,5-5,5 3,5-5,5 4,0-6,0


Anexo 2 – Características dos principais materiais empregados na construção mecânica

MATERIAL

Módulo de elasticidade Tensão de ruptura (kg/cm²) Tensão de escoamento (kg/

cm²)Tensão de admissível (kg/

cm²)

E (km/cm²)

G (km/cm²) στr

= σfrσcr

σcr = στr

στe = σfe

σceσce

= σteσt = σf σc σc = σt

Aço fundido 2 000 000 850 000 5040 5040 3600 2736 2736 2 000 ----- ------- -----

Aço para estruturas 2 000 000 850 000 4320 4320 3240 2520 2520 1900 1400 1400 900

Aço doce 2 200 000 850 000 4680 5760 2376 3240 4320 2400 ------- ------- -----

Aço meio carbono 2 000 000 850 000 5760 7200 2880 4320 5760 3200 -------- ------- -----

Aço duro 2 000 000 850 000 8640 11520 4320 7200 10080 5400 -------- ------- -----

Alumínio fundido 700 000 --------- 1080 864 864 468 396 350 -------- ------- -----

Alumínio laminado 700000 --------- 1872 --------- ------ 936 --------- 700 500-

600 ------- -----

Alvenaria de tijolo ------------- --------- ------- 200 ------ --------- -------- ------- --------- 5-10 -----

Borracha 1000 --------- ------- -------- ------ -------- --------- ------- --------- ---- -----

Bronze fosforoso 1 000000 --------- 3600 -------- ------ 1728 --------- ------- --------- ----- -----

Cobre fundido --------- --------- 1800 2880 2160 432 --------- ------- --------- ------ ----

Cobre em fios 1 200 000 -------- ------- --------- ------ ------ --------- ------- 800-1000 ----- -----

Cobre laminado 1 200 000 480 000 2520 2304 ------ 720 --------- ------- --------- ----- -----

Concreto 144000 -------- ------ -------- ------ ------- -------- ------- -------- 40-50 -----

Duralumínio 750 000 --------- 5400 -------- ------ 3400 --------- ------- 1000 ------- -----

Ferro fundido 800 000 --------- 1296 5760 1440 432 1440 300 200-300 1000 -----

Ferro forjado 2 000 000 700 000 3600 3600 3024 1944 1944 1400 1200-1400

1200-1400 -----

Latão comum 650 000 ------- 1512 2160 2592 432 ------- 300 --------- --------- -----

Madeira (II fibra) 108 000 -------- 720 460 ------ 237 150 ------ 80-100 60-75 -----

Pinho (II Fibra) 105225 -------- ------- ------ ------ ------ --------- ------- 87,3 51,4 6,3

Pinho (I fibra) 105225 -------- ------- --------- ------ -------- --------- ------- 87,3 15,4 9,5

Pedra 504000 --------- ------- --------- ------ -------- --------- ------- --------- 50-100 -----

Textolite (fibra) 30000 ---------- 1270 1680 ------ 750 1150 ------- --------- --------- -----

UC18.Resistência Dos Materiais

Documents

Transcript of UC18.Resistência Dos Materiais