UFOP Controle de Processos por Computador. Redução de Subsistemas Múltiplos Diagrama de blocos...

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Controle de Processos por Computador

Redução de Subsistemas Múltiplos

• Diagrama de blocos– Geralmente são utilizados para projeto e análise no

domínio da freqüência– Diagramas de blocos com múltiplos subsistemas

podem ser reduzidos a um único bloco (função de transferência total do sistema físico)

– Elementos de um diagrama de blocos• Sinais• Sistema• Junção somadora• Ponto de distribuição de sinais


• Topologias comuns na interconexão de subsistemas– Associação em cascata– Associação em paralelo– Associação com retroação


e E s R s C s H s

C sC s G s E s E s

G s

1C s C s G s H s

R s C s H s C s H s R s C s R sG s G s G s

1

C s G s

R s G s H s


• Manipulação de blocos para a criação de formas conhecidas

Ci(s)


C sE s R s X s e C s G s E s E s

G s

C sR s X s

G s

C s G s R s G s X s

a)

C s R s G s X s

1 1

iC s

C s R s X sG s G s

b)

1i iC s C s C s G s C s

G s


• Aplicação imediata a sistemas de segunda ordem

E(s)

k

G ss s a


E s R s C s e C s G s E s

21

C s G s k

R s G s s as k

sendo k

G ss s a

desenvolvendo...

Continuação

Estabilidade

• Um sistema linear invariante no tempo é dito estável se para qualquer entrada limitada obtêm-se apenas respostas limitadas

• Sistemas a malha fechada contendo pólos apenas no semiplano “s” negativo são estáveis– Do ponto de vista de sinais, sistemas causais

possuem região de convergência da transformada de Laplace à direita do pólo mais próximo de +

• Se a região de convergência incluir o eixo complexo jω, o sistema é estável (transformada de Fourier converge)

• Se a região de convergência não incluir o eixo complexo jω, o sistema é instável (transformada de Fourier não converge)

Estabilidade

Estabilidade

• Critério de Routh-Hurwitz– Permite verificar a estabilidade de um sistema

sem a necessidade de calcular os pólos de malha fechada

– Permite determinar quantos pólos se encontram no semi-plano “s” esquerdo, no direito e sobre o eixo jω

– Não permite determinar as coordenadas dos pólos

Estabilidade• Procedimento para a geração da tabela de Routh básica (válida para sistemas com

pólos no semi-plano esquerdo ou direito)– Criar uma tabela onde o número de linhas é igual a ordem do sistema (número de raízes do

denominador) + 1, ou seja, de sn,sn-1,...,s0

• As linhas serão rotuladas em ordem decrescente das potências de “s”– O número de colunas é igual (ordem + 1) / 2, com arredondamento para cima– O preenchimento da primeira linha

• Atribui-se os coeficientes salteados a partir da primeira coluna, começando pelo valor correspondente a maior potência de “s”

– O preenchimento da segunda linha• Atribui-se os coeficientes salteados a partir da primeira coluna, começando pelo valor correspondente

à segunda maior potência de “s”– Para as demais linhas, cada elemento será igual ao negativo do determinante de uma

matriz quadrada de dimensão 2, cuja primeira coluna é formada pelos dois elementos da tabela das duas linhas imediatamente acima e da primeira coluna, e cuja segunda coluna será igual aos elementos da tabela localizados nas duas linhas imediatamente acima e da coluna à direita. Cada determinante é dividido pelo valor da tabela existente na primeira coluna e linha superior

• Interpretação– O número de pólos que se encontra no semi-plano direito de “s” é igual ao número de

mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh– Se não houver mudanças de sinal na primeira coluna, então todos os pólos se encontram

no semi-plano esquerdo (sistema estável)

Estabilidade

Estabilidade

• Caso ocorra um zero na primeira coluna, substituir por ϵ e, no final da análise, fazer ϵ tendendo a 0- e 0+

Exemplo:

5 4 3 2

10

2 3 6 5 3T s

s s s s s

Erros de Estado Estacionário

• Erro de estado estacionário é a diferença entre a entrada de referência e a saída observada para t →

• Entradas utilizadas para teste


• Análise de erros para sistemas estáveis


• Sistemas com retroação unitária

– Exemplo: para uma entrada em degrau, o erro será

1 1LaplaceC s KE s E s C s e t c tk k

1Laplace dc tk sC s E s E s C s e t

s k k dt

(a)

(b)


– Representação do erro do sistema com retroação unitária em termos de:

• Função de transferência de malha fechada T(s)• Função de transferência de malha aberta G(s)

E s R s C s


– Erro de estado estacionário em termos de T(s)

• Sendo e , tem-se que

• Deseja-se avaliar e( )– Pode-se utilizar o teorema do valor final, deduzido a

partir da propriedade da transformada de Laplace da derivada de uma função f(t)

E s R s C s C s R s T s

1E s R s T s

0

0stdf t df tL e dt sF s f

dt dt

0 00

lim 0 lim 0st

s s

df te dt f f sF s f

dt

Condições iniciais nula

0lims

f sF s


Logo o erro de estado estacionário pode ser obtido por

– Erro de estado estacionário em termos de G(s)

• Sendo e , tem-se que

• Utilizando-se o teorema do valor final, obtém-se

Continuação

0

lim limt s

e e t sE s

0

lim 1s

e sR s T s

E s R s C s C s E s G s

1

R sE s

G s

0

lim1s

R se s

G s

Erros de Estado Estacionário• O mesmo raciocínio pode ser utilizado para a

análise de entradas em rampa e em parábola– Entrada em degrau

– Entrada em rampa:

– Entrada em parábola:

Continuação

00

1 1lim

1 1 limss

se s

G s G s

2

00

1 1lim

1 limss

se s

G s s sG s

3

2 200

1 1lim

1 limss

se s

G s s s G s


• Constantes de erro estático– Parâmetros para a especificação de

desempenho de erro em estado estacionário– Os limites definidos para o cálculo de erro em

estado estacionário são denominadas constantes de erro estático. Então:

• Constante de posição Kp:

• Constante de velocidade Kv:

• Constante de aceleração Ka:

0

limps

K G s

0

limvs

K sG s

2

0limas

K s G s


• Tipo de Sistema– É dado pelo número de integrações puras no

percurso direto, sendo representado pelo termo 1 / sn da função de transferência G(s)

– São analisados os sistemas Tipo 0, Tipo 1 e Tipo 2

Técnica do Lugar das Raízes

• Representação gráfica dos pólos de malha fechada em função da variação de um parâmetro do sistema

• Permite avaliar a estabilidade

• Permite projetar os parâmetros que caracterizam a resposta transitória de um sistema (tempo de subida, instante de pico etc.)


• Conhecimentos necessários:– Determinação dos pólos da função de

transferência a malha fechada do sistema– Representação vetorial de números

complexos


• Função de transferência a malha fechada– Em sistemas de controle em malha fechada,

é necessário fatorar o denominador para a obtenção dos pólos


• Representação vetorial de números complexos

– Então uma função de transferência F(s) pode ser escrita como

ja jb Me M

1

1

m

iin

ll

s zF s

s p


– Além disso, o módulo e o ângulo de F(s) podem ser calculados por:

– Exemplo: dada a função F(s), determine M e ɵ

1

1 1

1

m

i m ni

i lni l

ll

s zM e s z s p

s p

3 4

2 4 1

3 4 1 4 2s j

j sF s

j j s s


• Definição do lugar das raízes– É a representação do percurso dos pólos a

malha fechada à medida que o ganho é modificado (K ≥ 0)

– Exemplo: dado o sistema abaixo em malha fechada, determine o lugar das raízes

Técnica do Lugar das Raízes Note que, para a função de transferência em

malha fechada T(s),

tem-se um pólo quando

ou seja,

1

KG sT s

KG s H s

Continuação

1 1 2 1 180 , 0, 1, 2, 3,...KG s H s c c o

1 2 1 180KG s H s e KG s H s c o

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