UFSC - ENERGIA · ... pois faltam dados que garantam que os pontos M e N sejam médios. ... x . sen...

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UFSC Matemática (Amarela)

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Resposta da UFSC: 01 + 02 + 08 = 11Resposta do Energia: 01 + 08 = 09

Resolução

01. Correta.

y

x

x + y = 180 y = 180 x

y = x + 32 30’ x + 32 30’ =

o o

o o

180 x

2x = 180 32 30’

x = 90 16 15’ x = 45

o

o o

o o o

73 ’’

02. Correta.

C

x

N

8

A

z

1

M4 Y B

16

MN // BC segue que o triângulo ABC é semelhante ao AMN. ABC AMN ≈

Então,

88

16 44

xz

y

32 + 8y = 32 + 4x 2y = x

Se M e N forem pontos médios de AB e AC , respectivamente, então o perímetro do ABC é 40 cm, pois y = 4 e x = 8. Daí, PERABC = 8 + 8 + 16 + 4 + 4 = 40 cm.

Mas, se M e N não forem pontos médios, podemos ter: y = 203

e x = 403

. Daí segue que

PERABC 8403

16203

4 48 cm.

A razão de semelhança entre os triângulos fica igual a 38

.

88

16 44

83

8403

8166

4203

483

24 4038

166

12 2034

83

xz

y

66438

166

3234

83

6424

166

3212

83

É um contraexemplo em que o perímetro do triângulo ABC é igual a 48 cm. Logo, o item não pode ser consi-derado como correto, pois faltam dados que garantam que os pontos M e N sejam médios. Assim, o perímetro do triângulo ABC não é necessariamente 40 cm.

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04. Incorreta.

14

2 34 2

o

o

)

)

A = 6 . 50 3

= 3750 3 cm

A = (100 . ) = 10 000

H

22

33 cm2

08. Correta.

A = a 3

A’ = b 3

A" = c 3

A

2 2 2

4 4 4

== A’ + A"

a 3 =

b 3 +

c 3 a = b + c

2 2 22 2 2

4 4 4⇒

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Resposta: 01 + 02 + 04 = 07

Resolução

01. Correta.

= 30 . H . M

= 30 . 3 . 25

= 90

=

112

112

137 5,

447 5 47 5, , = o

02. Correta.

f(x) = cos 2

. x

p = 2|c|

= 22

= 2 . t

2 = t

t

t

Logo, f(x) é periódica de período p = t, portanto f(x) repete

valores a cada acréscimo de t em x; em outras palavras:

f(x + t) = f(x).

04. Correta.

sec x + cosec x = 1

cos x +

1

sen x =

sen x + cos x

cos2 2

2 2

2 2

22 2

2 2 2 2 2

x . sen x1

cos x . sen x =

1

cos x .

1

sen x = sec x . cosec x2

08. Incorreta. sec x = 2 cos x = 1

cos x = 2→ →

2 2

Logo, no intervalo 0o ≤ x ≤ 720o temos 4 soluções.

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Resposta: 11

Resolução

Z = 5 + 5i

|Z| = 5 + 5 = 5 2

tg = b

= 5

= 1 =

2 2

a 5

45

Z = 5 2 . (cos 45 + i . sen 45 )

U = Z . j

j = U

o

o o

Z =

110 . (cos 0 + i . sen 0 )

5 2 . (cos 45 + i . sen 45

o o

o o )) =

110 (cos( 45 ) + i . sen ( 45 ))

j = 110

2

2

o o

5 2

5 2 2 2

ii = 11 11i = a + bi a = 11

b = 11

2a + b =

22 . 11 + ( 11) = 22 11 = 11

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Resposta: 01 + 08 + 16 = 25

Comentário

AB

+ + + + + + + + – – – –

– – – – + + + + + + + +

1

4

– – – – + + + + – – – –

1

4

1

1

01. Correta. A = área de cobertura da moldura. A = 8 . 1,5 . 2 + 7 . 1,5 . 2 = 24 + 21 = 45 m2

02. Incorreta.

2 14 1

1 0

2 1 4 14 1

0

2 24 1

0

xxx x

xxx

( )

A x = 1

B x == 14

AB

S = x R/x <

1 ou x > 1

4

04. Incorreta. a ⊕ b = a + b + 2ab (1 ⊕ 3) = 1 + 3 + 2 . 1 . 3 = 10 (1 ⊕ 3) ⊕ x = 10 ⊕ x = 10 + x + 2 . 10 . x = 220 21x = 210

x = 10

08. Correta. x = número de descontos de 1 real R(x) = receita em função do número de descontos

de 1 real

R(x) = (21 – x) . (600 + 100 x) R(x) = –100x2 + 1500x + 12 600

xba

x

x

v

v

v

21500200

7 5

,

Preço = 21 – 7,5 = 13,5

16. Correta. f(x) = 6x – 1 f(g(x)) = 30x + 29 f(g(x)) = 6 g(x) – 1 30x + 29 = 6 g(x) – 1 30x + 30 = 6 g(x) 5x + 5 = g(x) g(–1) = 5 . (–1) + 5 g(–1) = 0

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Resposta: 01 + 02 + 04 + 1623

Comentário

01. Correta. M = 2000 . 1,1472 = 2294,40

02. Correta. Se x1 = x2 = x3, xA = xG , mas, por outro lado, se x1 ≠ x2 ≠ x3, então xA > xG , em que xA é a média

aritmética e xG é a média geométrica. Para o trabalhador, é vantagem o maior reajuste do salário.

04. Correta. ( )2 2 1301

nn

k

Para n = 1, temos a1 = 2 . 1 + 2 = 4; Para n = 2, temos a2 = 2 . 2 + 2 = 6; Para n = 3, temos a3 = 2 . 3 + 2 = 8; Para n = 4, temos a4 = 2 . 4 + 2 = 10.

Em que os termos constituem uma P.A. (4, 6, 8, 10, ...) cuja soma é igual a 130. Então:

S = (a + a ) . n

2

130 = (4 + a ) . n

2260 = (4 + 2n + 2) .

n1 n

n

n

260 = 2n + 6n

n + 3n 130 = 0

n’ = 13

n" = 10

2

2 −−

e an = a1 + (n – 1) . ran = 4 + (n – 1) . 2an = 4 + 2n – 2an = 2n + 2

Portanto, n = k = 10.

08. Incorreta. Considere os raios dos círculos: 3; 3

; 3

; 3

; ...2 4 8

e as respectivas áreas 9 ; 9

; 9

; 9

; ... 4 16 64

que

é uma P.G. infinita de a1 = 9π e q = 14

. Logo, Sa

q

13

11

9

114

934

94

3

.

S∞ = 12π cm2

16. Correto. Temos a média das alturas:

X = 117,5 + 125,4 + 107,3 + 120 + 116,4 + 108,7 + 117,5 + 1169 + 179,2

X = 1161,0

= 129 cm

9

9

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Resposta: 01 + 04 + 16 = 21

Comentário

01. Correta.

x

a

y

b

2

2

2

2

225 4001

c a b

c

c

c

c d

2 2 2

2 225 400

625

25

2 50 60

02. Incorreta.

x y

a

a

b

b

2 2

2 2

25 41

25

5

4

2

a b c

c

c

c

2 2 2

2

2

25 4

21

21

c = 21

5

04. Correta.

A

k

kAx

1

11 A

det A = k2 + 1

A =–1

K –1

K 2+1 K 2+1

1 K

K 2+1 K 2+1

A =–1 K –1

1 K

–1

K 2+1= –1

–1 = K 2+1

K 2K 2= 0= 0

K = 0

08. Incorreta. (A2 x 3 . B

x3 x 2)2 x 2

det (A . Bx) = existe, pois A . Bx é quadrado.

16. Correta.

1

1

x + 2y + 3z = 520

x + 3y + 5z = 760

x + 2y + 3z = 520

yy + 2z = 240

y + 2z = 240

x + y + z = 280

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Resposta: 04 + 08 + 16 = 28

Comentário

01. Incorreta. Praça → P(5, 3) Igreja → I(3, 5)

reta PI = 0 x + y 8 = 0

���:

5 3 5

3 5 3

x

y

O bando B(8, 1) não obedece a essa equação da reta , logo o ponto B não está na reta PI���

.

02. Incorreta. A reta r que passa pelo banco B(8, 1) e é perpendicular à reta s que passa pela igreja I(3, 5) e pelo hotel H(10, 5) tem equação x = 8, pois é uma reta paralela ao eixo y e passa por x = 8.

04. Correta. Escola → E(2, 2) Praça → P(5, 3)

d =PE ( ) ( )5 2 3 2 9 1 102 2

Assim, a circunferência terá raio R = 10, e sua equação será: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 102, que equivale a x2 + y2 – 10x – 6y + 24 = 0.

08. Correta. d = kmEH ( ) ( )10 2 5 2 64 9 732 2

16. Correta.

D

2 8 10 3 2

2 1 5 5 22 40 50 6 16 10 15 10 47

Área = |D|

km2

472

23 5 2= = ,

32. Incorreta. O ponto (3, 4) não pertence à circunferência calculada no item 04.

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Resposta: 04

Comentário

01. Incorreta.

02. Incorreta. ATLETA

P6

61802, 2

2! . 2!6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

2 . 2= = =!

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04. Correta.

Para escolha das 4 letras: C

C

26, 4

26, 4

26 . 25 . 24 . 23

4 . 3 . 2 . 1

14 950

=

=

Para escolha dos 3 números: C

C

10, 3

10, 3

10 . 9 . 8

3 . 2 . 1

120

=

=

3 4

Trocar a ordem de 7 caracteres distintos: P7 = 7! = 5040

Portanto, 14 950 . 120 . 5040 = 9.041.760.000. (Apenas com caracteres distintos já são mais de 450 milhões de placas possíveis.)

08. Incorreta.

BOLAS

Brancas

1

3

5

2

4

6

1

3

5

Pretas

Probabilidade condicional. B → ser bola branca Í → ser número ímpar

P B ÍP B Í

P Í

P B Í

( | )( )

( )

( | ) , %

25

0 4 40 de ser branca, sabendo qque foi ímpar.

16. Incorreta.

x

H

probabilidade 2 homens (filho)

2 mulheres (filhas)

12�

. 1

. 1

. 1

= 1

2! . 2!4 . 3 2, 2

2 2 2 16

44

H M M

P

� � �� ��� ���

! .. 2 . 12 . 2

Portanto, x = 1

. 6

= 3

probabilidad

6

16 1 88

3

y ee 2 casais 1 homem (filho)

1 mulher (filha) cada cas

aal

Cada casal: 1

. 1

= 1

2 2 4

2 22

H M

P

� ����¤

!

Portanto, cada casal: 1

. 2

= 1

ter 1 filho e 1 filha.

y

4 1 2

= 1

. 1

= 1

x > y

3 >

1

1 casal 2 casalo o

2 2 4

8 4

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Resposta: 01 + 08 = 09

Comentário

01. Correta.

x x x x x x x

x x x x

4 3 2 3 2

4 3 2

2 2 4 2 0 1

2 0

x

2 . .

2 2 4

140

212

4

12

2

12

12

x x

R

R

3

721

2

R

02. Incorreta. f(x) = 1 . (x + 1) . (x – 1) . (x – 3) f(x) = (x2 – 1) . (x – 3) f(x) = x3 – 3x2 – x + 3 b – a = –1 – (–3) ↓ ↓ = 2 a = –3 b = –1

04. Incorreta. t(x) = (x – 0)2 . (x + 1) . (x – 2) t(x) = (x2 – 2ax + a2) . (x2 – x – 2) t(x) = x4 – x3 – 2x2 – 2ax3 + 2ax2 + 4ax + a2x2 – a2x – 2a2

t(x) = x4 + (–2a – 1)x3 + (a2 + 2a – 2)x2 + (–a2 + 4a)x – 2a2

–2a – 1 = –7 –2a = –6 a = 3 → ímpar

08. Correta.

A x xx x

( ) ( )( )

2 22

. (x + 2) + Bx . (x + 2) + Cx . . . (x + 2)

Ax A Bx Bx Cx Cx

x x

x

x xA B C x B

2 2 2

3 3

2

4 2 2

4

4 2

42 2

( ) ( CC x A

x x

x

x x

A B C

)

4

4

4 2

4

0

3 3

16. Incorreta. Não menciona que os coeficientes de P(x) são reais, assim não podemos concluir o número de raízes reais e imaginárias.

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Resposta: 001 + 08 = 9

Comentário

01. Correta.

H = 2

R = 14

V = πR2HV = 3 . 142 . 2V = 1176 mm3

V = 1,176 cm3

1 cm = 10 mm1 cm3 = 1000 mm3

massa = 20 . 1,176 = 23,52 g

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02. Incorreta. Volume do tronco = VT = ?

Vv

Hh

Vv

Vv

vV

v V v v VT T

2 2100

80

12564

64125

664125

61125

48 8V

vV

T , %

04. Incorreta.

V A

x x

B

. H

V = 6 . . H v = 6 . x .

2 2 234

1 34

3 3 2( ) ( xx

Vx x x

12

3 3 6 3 3 32

3 2

)

08. Correta.

9

8

� = 8 2

4 2

9

H

9 4 2

81 32

49

7

2 2 2

2

2

( ) H

H

H

H cm