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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.1)

77Ajuste de Curvas

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.2)

Método dos mínimos quadradosMétodo dos mínimos quadrados• Aplicação típica:

– Prever o comportamento de uma variável dependente (Y) a partir do valor de uma variável independente (x)

– Logo: Y é uma VA cuja distribuição depende de x

Y

X

f(Y)

Y = + x

x1 x2 x3

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.3)

Método dos mínimos quadradosMétodo dos mínimos quadrados• Caso linear:

Y = + x +

– onde é uma variável aleatória

• uma estimativa de Y pode ser obtida a partir de:

bxay ˆ

– onde a e b são constantes

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.4)

mmq - caso linearmmq - caso linearPara cada ponto experimental (xi, yi) o erro será:

)(ˆ iiii xbayyye

n

iii xbay

1

2)(

n

i

n

ii

n

iiii

n

i

n

iii

xbxayx

xbnay

1 1

2

1

1 1

e o erro quadrático:

que, quando minimizado em relação a “a” e “b”, leva às equações normais:

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.5)

inferências baseadas nos estimadores do mmqinferências baseadas nos estimadores do mmq

definindo:

n

i

n

iii

n

iixx x

nxxxS

1

2

1

22

1

1)(

n

i

n

iii

n

iiyy y

nyyyS

1

2

1

22

1

1)(

n

i

n

ii

n

iiii

n

iiixy yx

nyxyyxxS

1 111

1))((

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.6)

inferências baseadas nos estimadores do mmqinferências baseadas nos estimadores do mmq• a solução das equações normais é:

xx

xy

SS

b

xbya

n

i

xxxyyyiie n

SSSxbay

nS

1

222

2/)(

)]([21

• a variância é estimada a partir das somas dos erros quadráticos residuais por:

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.7)

intervalos de confiança para os coeficientesintervalos de confiança para os coeficientes

xxea

xxe

SStb

Sx

nSta

1..:

1.:

2/

2

2/

• Intervalos de confiança para e :

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.8)

intervalos de confiança para os coeficientesintervalos de confiança para os coeficientes

intervalos de confiança para + x0

xx

oe S

xxn

Stxba2

2/0)(1..)(

xx

oe S

xxn

Stxba2

2/0)(11..)(

x

y

intervalos de predição

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.9)

regressão curvilinearregressão curvilinear

Linearizar onde for possível:a) y = x

log y = log + x log

b) y = 1/( + x)1/y = + xz = + x, sendo z = 1/y

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ajustes de polinômiosajustes de polinômios

y = 0 + 1 x + 2 x2 + ... + p xp

Equações normais:y = n b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xp

xy = n b0 x + b1 x2 + b2 x3 + ... + bp xp+1

:

xpy = n b0 xp + b1 xp+1 + b2 xp+2 + ... + bp x2p

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regressão múltiplaregressão múltipla

y = 0 + 1 x1 + 2 x2 + ... + r xr

Equações normais: (ex. r = 2)y = n b0 + b1 x1 + b2 x2

x1y = b0 x1 + b1 x12 + b2 x1x2

x2y = b0 x2 + b1 x1x2 + b2 x22

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verificação da adequabilidade do modeloverificação da adequabilidade do modelo

Para verificar se o modelo de regressão escolhido é adequado, deve-se:

1. Plotar os resíduos2. Verificar a normalidade dos resíduos

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.13)

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5

y = 2,0006x + 3,2369

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5

y = 3,2229x + 2,3971

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.14)

notação matricialnotação matricial

O sistema de equações:

2210

1110

yxbbyxbb

Pode ser escrito na notação matricial como:

2

1

1

0

2

1

11

yy

bb

xx

Cuja solução é:

2

11

2

1

1

0

11

yy

xx

bb

[x]{b} = {y}

{b} = [x]-1{y}

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.15)

notação matricialnotação matricial

O sistema de equações redundantes (mais equações que incógnitas):

3310

2210

1110

yxbbyxbbyxbb

Também pode ser escrito na notação matricial como:

3

2

1

1

0

3

2

1

111

yyy

bb

xxx

Porém, sua solução não pode ser obtida da mesma forma que o caso anterior porque matrizes não quadradas não possuem inversa.

[x]{b} = {y}

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.16)

notação matricialnotação matricial

Para resolver sistemas de equações redundantes, faz-se:

Cuja solução é:

3

2

1

3211

0

3

2

1

321

111

111

111

yyy

xxxbb

xxx

xxx

Que equivale à solução pelo método dos mínimos quadrados

{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}

[x]T[x]{b} = [x]T{y}

3

2

1

321

1

3

2

1

3211

0 111

111

111

yyy

xxxxxx

xxxbb

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.17)

exemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmqexemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmq

Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4)

4,72,52,30,1

1,710,510,310,11

1

0

bb

y = -0,003227 + 1,044 x

4,72,52,30,1

1,70,50,30,11111

1,710,510,310,11

1,70,50,30,11111

1

0

bb

14,8980,16

41,8510,1610,1600,4

1

0

bb

044,1003227,0

1

0

bb

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.18)

ajuste de um polinômioajuste de um polinômio

Ajustar um polinômio do tipo:

nk

knnn

k

k

y

yy

b

bbb

xxx

xxxxxx

2

1

2

1

0

2

2222

1211

1

11

{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}

y = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bk xk

Notação matricial:

[x]{b} = {y}

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.19)

ajuste de uma funçãoajuste de uma função

Ajustar uma função do tipo:

nk

nnn y

yy

b

bbb

xxx

xxxxxx

2

1

2

1

0

2

2222

1211

)cos()ln(1

)cos()ln(1)cos()ln(1

{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}

y = b0 + b1 ln(x) + b2 cos(x2) + ... + bk x

Notação matricial:

[x]{b} = {y}

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.20)

cálculo dos resíduoscálculo dos resíduos

nknn

k

k

xxx

xxxxxx

x

21

22221

11211

1

11

][

ny

yy

y2

1

}{

kb

bbb

b2

1

0

}{

No caso geral em que:

A variância do resíduo pode ser estimada por:

}ˆ]{[}{}ˆ]{[}{1

1)ˆ(1

1ˆ1

22 bxybxykn

yykn

Tn

iii

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.21)

cálculo da matriz de covariânciacálculo da matriz de covariância

)(),(),(),(

),(),()(),(),(),(),()(

][

210

121101

020100

kkkk

k

k

bvârbbcôvbbcôvbbcôv

bbcôvbbcôvbvârbbcôvbbcôvbbcôvbbcôvbvâr

C

Matriz de covariância:

que pode ser estimada por:

12 ][][ˆ][

xxC T

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.22)

intervalos de confiança para coeficientesintervalos de confiança para coeficientes

jjknjjjjknj CtbbCtb .ˆˆ.ˆˆ 2,2/

2,2/

Para cada parâmetro (coeficiente) calculado:

que leva à seguinte estimativa de intervalo de confiança para valores interpolados pela equação:

}{][][}{ˆˆ

}{][][}{ˆˆ

01

02

,2//

/01

02

,2//

0

00

xxxxt

xxxxt

TTknxxy

xxyTT

knxxy

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.23)

intervalos de confiança para predição:intervalos de confiança para predição:

Para predição de valores a partir da equação ajustada, são estimados os seguintes intervalos de confiança:

}){][][}{1(ˆˆ

}){][][}{1(ˆˆ

01

02

,2/0

001

02

,2/0

xxxxty

yxxxxty

TTkn

TTkn

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.24)

exemplo 2: cálculo de resíduos e variânciaexemplo 2: cálculo de resíduos e variância

Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4)

y = -0,003227 + 1,044 x

0091,0017,0071,0041,0

044,1003277,0

1,70,50,30,11111

4,72,52,30,1

044,1003227,0

1

0

bb

resíduos:

35500,0044,1003277,0

1,70,50,30,11111

4,72,52,30,1

044,1003277,0

1,70,50,30,11111

4,72,52,30,1

1141ˆ 2

T

variância:

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exemplo 2: covariâncias e intervalosexemplo 2: covariâncias e intervalos

matriz de covariâncias:

0,00017210,0006928-0,0006928-0,003675

][][ˆ][12 xxC T

Intervalos de confiança para os parâmetros ajustados:

367500,0*0,003547ˆ367500,0*0,003547ˆ3,025,0003,025,00 tbbtb

jjknjjjjknj CtbbCtb .ˆˆ.ˆˆ 2,2/

2,2/

0083,00147,0 0 b 046,1042,1 1 b