PROCESSO SELETIVO 2008 RESOLUÇÃO 1

1 – Matemática Rosane Soares Moreira Viana, Olímpio Hiroshi Miyagaki, Laerte Dias de Carvalho, Marines Guerreiro

1.1 – QUESTÕES DISCURSIVAS 01. Considere, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos )0,0(A = , )0,2(B = , )2,6(C = e

)(D yx,= , onde 223 xxy −+= , com 0>y . Encontre:

a) a equação da reta r que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta s que passa pelos pontos A e C.

b) as coordenadas do ponto D de modo que o triângulo ABD tenha área máxima. c) a área do quadrilátero ADBE, onde D é o ponto encontrado no item b) e E é o ponto da reta r cuja

distância ao ponto B é a menor possível. CONTEÚDO:

FUNÇÃO DO 2O GRAU – Estudo do vértice da parábola: coordenadas do vértice, valor máximo. GEOMETRIA

ANALÍTICA – Coordenadas cartesianas no plano. Distância de um ponto a uma reta. Perpendicularismo. GEOMETRIA PLANA – Área de polígonos. RESOLUÇÃO:

a) Sabe-se que o coeficiente angular, sm , da reta que passa por )0,0(A = e )2,6(C = é 3

1

06

02=

−

−=sm .

Como r e s são retas perpendiculares, então o coeficiente angular, rm , da reta r, é 3m

1m −=

−=

sr . Logo,

equação da reta r é dada por xy 3−= .

b) Note que a área )(xS do triângulo ABD, em função de x , é dada por:

22 23)23(22

1)( xxxxxS −+=−+⋅⋅= com 31 <<− x .

Assim, )(xS é máxima quando 1v =x , que é a abscissa do vértice da parábola. Como 4(1) =S , tem-se que

as coordenadas do ponto D, de modo que o triângulo ABD tenha área máxima, são )4,1(D = .

c) Seja t a reta perpendicular à reta r , passando por B. Para obter o ponto E, basta determinar o ponto de

interseção desta reta com a reta r. A equação da reta t é dada por 3

2

3

1−= xy . Para determinar as

coordenadas do ponto E devemos resolver a equação 3

2

3

13 −=− xx , donde

5

1=x . Logo,

−=5

3,

5

1E .

r

s

t

C

B E

D

A

2 RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 2008

Como a área dos triângulos ABD e ABE são, respectivamente, 4 e 5

3, tem-se que a área do quadrilátero

ADBE é 5

34 + , ou seja,

5

23.

PROCESSO SELETIVO 2008 RESOLUÇÃO 3

02. Determine:

a) as raízes complexas da equação 083 =+x .

b) o polinômio )(xp de grau 5, sabendo que as raízes complexas da equação 083 =+x são também

raízes do polinômio, que 8)0( −=p , que a soma das raízes de )(xp é 1 e que o produto das mesmas é

16. CONTEÚDO:

POLINÔMIOS – Raízes de polinômios. CONJUNTOS NUMÉRICOS – Números Complexos: raízes n-ésimas de números complexos. RESOLUÇÃO:

a) Como 2−=x é uma raiz da equação 083 =+x então o polinômio 8)( 3 += xxf é divisível pelo

monômio 2)( += xxg . Dividindo )(xf por )(xg , obtemos o quociente 42)( 2 +−= xxxq , ou seja,

)42)(2(8 23 +−+=+ xxxx .

Como as raízes de )(xq são i31± , tem-se que as raízes do polinômio )(xf são:

2− , i31+ e i31− .

b) Como as raízes de 8)( 3 += xxf são também raízes de um polinômio )(xp de grau 5, então denotando-

se por 1r e 2r as outras raízes complexas de )(xp , tem-se:

))()(8()( 213 rxrxxaxp −−+= , onde .*RIa∈

Agora, como 8)0( −=p , obtém-se

88 21 −=rra ,

ou seja,

121 −=rra (1)

Por outro lado, como a soma das raízes de )(xp é 1 e o produto é 16, tem-se

131312 21 =+−+++− + rrii e 1631()31(2 21) =⋅−⋅+⋅− ⋅ rrii

ou seja, 121 =+ rr (2)

e 221 −=⋅ rr (3)

Substituindo (3) em (1), vem

2

1=a .

De (2) tem-se que 12 1 rr −= e substituindo em (3) vem

2)1( 11 −=− rr ⇔ 0212

1 =−− rr .

Logo, 11 −=r ou 21 =r . Se 11 −=r , então 22 =r . Se 21 =r , então 12 −=r . Portanto o polinômio )(xp é

dado por

)2)(1)(8(2

1)( 3 −++= xxxxp .

4 RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 2008

03. Para medir a altura h de uma montanha, um topógrafo se posiciona em um ponto A , ao sul da montanha, e

mede o ângulo =α 60°, que é a elevação da montanha nesse ponto. Caminhando 240 m a leste de A e posicionando-se em um ponto B, ele mede outro ângulo de elevação que é =β 30°, conforme ilustra a figura

abaixo. Calcule: a) o valor, em graus, do ângulo b) a altura h da montanha, em metros.

CONTEÚDO:

GEOMETRIA PLANA – Relações métricas em triângulos. GEOMETRIA NO ESPAÇO – Paralelismo e perpendicularismo: reta e plano perpendiculares. TRIGONOMETRIA – Tangente. Relações trigonométricas em um triângulo retângulo. RESOLUÇÃO:

a) O ângulo é 90°, pois o segmento de reta AB é perpendicular ao plano que contém o triângulo AOC. b) Tem-se que

tg 60° = 3AO

=h

e tg 30° = 3

3

BO=

h

donde

3AO

h= e h3BO = .

Note que o triângulo OAB é retângulo e portanto, pelo Teorema de Pitágoras, tem-se

222 240AO)((BO) += ⇒ 22

2 2403

)3( +

=

hh

ou seja, 660h = m.

β α

240 m

C

B A

h

CAB.

CAB

β α

240 m

C

B A

h

O

PROCESSO SELETIVO 2008 RESOLUÇÃO 5

04. Faça o que se pede:

a) Esboce o gráfico da função IRIR: →f definida por xxf −= 3)( .

b) Encontre o conjunto solução da inequação 1

2

2

3

13

+−

−

≤

x

xx

xx , em RI .

CONTEÚDO:

FUNÇÃO EXPONENCIAL – Inequações exponenciais. Gráfico. FUNÇÕES – Funções crescentes.

RESOLUÇÃO:

a)

b) A inequação 1

2

2

3

13

+−

−

≤

x

xx

xx , para 1−≠x , é equivalente à inequação 1

2

233 +

−− ≤ x

xx

xx . Como a

função xxg 3)( = é crescente, então basta analisar a inequação

1

22

+

−≤−x

xxxx

que é equivalente a

01

22 ≤

+

−−−x

xxxx

ou seja,

01

( )12≤

+

−x

xx.

Como 02 ≥x , IR∈∀ x , basta resolver a inequação 01

1≤

+

−x

x. De acordo com o dispositivo prático abaixo

conclui-se que o conjunto solução da inequação 1

2

2

3

13

+−

−

≤

x

xx

xx é { }11 ;IR ≤<−∈ xx .

x

y

x

y

0

1

sinal de 1: x +

1

+−

+ +−

+

sinal de 1:x −

−1

− +−

sinal de :x + 1x − 1

•

•

•

o

o

•