Um Caso de Aplicação Da Lógica Fuzzy - o Modelo Coppe-Cosenza de Hierarquia Fuzzy

XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produo - Ouro Preto, MG, Brasil, 21 a 24 de out de 2003

ENEGEP 2003 ABEPRO 1

Um caso de aplicao da Lgica Fuzzy o Modelo Coppe-Cosenza de Hierarquia Fuzzy

Olga Moraes Toledo (CEFET-MG, COPPE UFRJ), [email protected] Carlos Alberto Nunes Cosenza (COPPE, UFRJ) , [email protected]

Resumo As aplicaes da Lgica Fuzzy se expandiram em vrias direes. A interpretao atravs da lgica fuzzy de uma estrutura de dados um caminho muito natural e intuitivamente plausvel para a formulao e resoluo de problemas. O Modelo Coppe-Cosenza de Hierarquia Fuzzy tem a Lgica Fuzzy em suas bases. Os sistemas fuzzy so capazes de utilizar, em sua modelagem, informaes imprecisas e ambguas e tornam este modelo capaz de trabalhar com uma vasta maioria de problemas de hierarquizao que tm por caracterstica a sua complexibilidade e a no exigncia de preciso. Palavras chave: Lgica Fuzzy, Hierarquia Fuzzy, Conceitos Bsicos. 1- Introduo Aristteles, filsofo grego (384 - 322 a.C.), foi o fundador da cincia da lgica formal, e estabeleceu um conjunto de regras rgidas para que concluses pudessem ser aceitas logicamente vlidas. O emprego da lgica de Aristteles leva a uma linha de raciocnio lgico baseado em premissas e concluses. Como, por exemplo: se observado que "todo ser vivo mortal" (premissa 1), a seguir constatado que "Sarah um ser vivo" (premissa 2), como concluso temos que "Sarah mortal".

Conta-se que Epimnides de Creta disse, certa vez: "Todos os cretenses so mentirosos". Com isso, criou um problema aparentemente sem soluo. Esse impasse pode ocorrer com paradoxos que dependem do uso de conceitos cujo domnio de referncia inclui o conceito em si mesmo. No modelo cretense, a simples afirmativa "o que estou dizendo no verdadeiro" gera uma contradio intrnseca: se a afirmativa verdadeira, est demonstrada a sua falsidade; se falsa, pode-se entender que contm a verdade. Esse o paradoxo de Creta, retomado na era moderna por Groucho Marx: "No me interessa pertencer a clubes que me aceitem como scio".

Esses paradoxos foram expressos matematicamente por Godel e Tarski [Godel, 1962]. Segundo o teorema de Godel, um sistema complexo formalizado (postulado como um axioma) no pode se auto-avaliar. Isso significa que um sistema lgico de certa complexidade no pode fugir s suas contradies ocultas.

Acostumou-se a ouvir que o pensamento humano lgico, e de fato o ser humano tenta remover de seu raciocnio tudo o que contrarie os padres da lgica. Refere-se aqui lgica formal, que pode ser considerada um representante do conhecimento clssico de mundo. Sua sistematizao comeou com Aristteles e continuou at os lgicos modernos. Essa espcie de lgica tem influenciado a filosofia de modo relevante, e vem sendo adotada como modelo de raciocnio humano. Trata-se de um instrumento indispensvel para fazer raciocnios operacionais em situaes concretas.

Devido sua complexidade, o pensamento requer uma multiplicidade de sistemas lgicos e mesmo no-lgicos. Na matemtica, lida-se principalmente com uma lgica do tipo axiomtico, isto , diz-se que uma proposio demonstrada quando deduzida de outras,



aceitas como verdadeiras. Desse modo, o raciocnio lgico-matemtico tem muitas caractersticas tautolgicas. A mente humana no pode ser vista como uma mquina de deduzir, uma espcie de engenhoca processadora de signos/smbolos. Ela deve estabelecer estratgias que tornem possvel evidenciar tautologias a princpio no percebidas.

O homem deve descobrir o mundo e organiz-lo em sua mente. Na maior parte do tempo, apresentam-se dados nebulosos, vagos, contraditrios. Os especialistas, com suas assertivas competentes procuram evitar o espectro da impreciso que ronda as cincias do conhecimento. Porm, em vez de ignorar ou tentar eliminar a impreciso, necessrio aprender como lidar com ela. Entre o raciocnio lgico a no-lgico h reas de sombra e mesmo buracos negros. Isso ocorre porque a lgica formal baseada no silogismo, na deduo e na induo. Ela tautolgica e se baseia na confirmao (deduo) ou na generalizao (induo) de suas premissas.

A lgica auto-organizacional se desenvolve custa de erros. Avana a partir deles, fazendo novos progressos e criando estruturas organizacionais diferenciadas. Em 1965, o matemtico Zadeh elaborou uma teoria qual deu o nome de lgica no-formal ou lgica nebulosa ou lgica fuzzy (fuzzy logic). Os conjuntos fuzzy so uma generalizao da teoria de conjuntos convencional idealizada como um caminho matemtico para representar as incertezas da vida cotidiana [Zadeh, 1965]. A interpretao atravs da lgica fuzzy de uma estrutura de dados um caminho muito natural e intuitivamente plausvel para a formulao e resoluo de variados problemas. Crianas rapidamente aprendem como interpretar e implementar instrues fuzzy, por exemplo, quando determinamos que elas devem ir para cama por volta das dez horas. Seres humanos assimilam e usam dados fuzzy, regras nebulosas, e informao imprecisa, pois justamente como se tornam aptos a tomar decises sobre situaes que se mostram governadas pela casualidade.

As regras dessa lgica variam de acordo com as circunstncias. Com a ajuda de arranjos nebulosos (fuzzy sets), e da heurstica de modelos tericos imprecisos, possvel uma aproximao s formas de raciocnio humano. Com essa espcie de lgica, que envolve axiomas no rigorosos, pode-se usar cadeias de inferncia do seguinte tipo: numa primeira instncia, "a", depois "b"; numa segunda instncia, "a", depois "no-b"; numa terceira instncia, "a", depois "mais ou menos b"; e assim por diante.

Uma das primeiras questes formuladas sobre esta lgica, e a que ainda se mostra mais freqente, a que opta por relacionar impreciso com probabilidade, ou seja, seria a lgica fuzzy apenas um inteligente disfarce de modelos estatsticos. Certamente que no , e para ilustrar, temos o exemplo a seguir. Considere o conjunto que contm todos os lquidos do universo como objetos e o subconjunto L como sendo o de todos os lquidos potveis, ou apropriados para beber. Suponha que um viajante no deserto, sedento, depara-se com duas garrafas, A e B, e no rtulo da garrafa A est escrito seu grau de pertinncia ( ) fuzzy com o conjunto L : (A L) = 0,91 e no rtulo da garrafa B a probabilidade de pertencer a L : prob (B L) = 0,91. Confrontado com o par de garrafas, devendo escolher apenas uma para beber e familiarizado com os conceitos bsicos da lgica fuzzy ele imediatamente entende que a garrafa A pode conter , por exemplo, gua do pntano ou colhida diretamente de um rio, mas no deve conter lquidos como cido clordrico. O grau de pertinncia 0,91 significa que o contedo de A razoavelmente similar aos lquidos perfeitamente potveis, como gua pura. Por outro lado, a probabilidade de B ser potvel igual a 0,91 significa que depois de vrios experimentos, o contedo de B foi estimado em potvel em 91% dos testes. Neste caso, a chance de o contedo de B ser desagradvel e possivelmente letal de uma em dez. Ento, o viajante deve optar por beber gua do pntano, escolhendo a garrafa A .



Em resumo, este exemplo mostra que os dois tipos de modelos possuem filosoficamente diferentes tipos de informao: graus de pertinncia fuzzy representam similaridades de objetos para definir propriedades imprecisamente e possibilidades que contm informaes sobre freqncias relativas.

Com base nos conceitos at agora considerados, pode-se dividir o pensamento em dois tipos: concreto e difuso. O concreto apoiado pela lgica formal e tenta ser exato. Procura eliminar o erro, a desordem. a ambigidade, a impreciso e a contradio. O pensamento difuso aproximativo, nebuloso, tenta lidar com a impreciso, a contradio e a ordem/desordem natural das coisas. Procura pensar simultaneamente em ordem/desordem /organizao, por meio de processos lgicos e no-lgicos.

A Lgica Fuzzy est vocacionada para a manipulao de conceitos mal definidos utilizando-se de variveis lingsticas no lugar de variveis numricas. E outro equvoco comum sobre os modelos fuzzy tem sido a de que eles oferecem uma substituio aos modelos baseados em lgica formal, ou probabilsticos. De fato, todo conjunto crisp est contido em um fuzzy, mas no o inverso.

A introduo do uso da lgica fuzzy permite ao modelo a utilizao simultnea de variveis qualitativas e quantitativas sendo capaz de gerar resultados quantitativos a partir de dados qualitativos. Segundo Zadeh, quanto maior a complexibilidade de um sistema, maior a eficincia de um sistema em lgica fuzzy, em detrimento de outros mtodos que no podem ser modelados a partir de informaes imprecisas ou ambguas, fig 1.1. Equaes Matemticas Mtodos de

Preciso Modelagem livre

Do Modelo Sistemas fuzzy Complexibilidade do sistema

Fig. 1.1 Complexibilidade de um sistema em funo da preciso do modelo

2- O Modelo de Hierarquia Fuzzy O Modelo de Hierarquia Fuzzy , de um modo geral, um modelo de alocao de recursos que avalia o nvel de satisfao de um conjunto de atributos/fatores necessrios a um determinado projeto ou solicitados por ele em contraponto a disponibilidade destes atributos/fatores por diferentes alternativas. O grau de satisfao medido atravs da comparao da importncia de cada fator para o projeto e a quantidade e qualidade da disponibilidade deste fator em cada alternativa. Tem-se que ressaltar tambm que, obedecendo aos pressupostos do modelo voltados para a hierarquizao das alternativas, o modelo no permite a penalizao de uma alternativa que no disponha de um fator no solicitado, ou aquela que dispe de mais fatores que os solicitados, explicitando sua riqueza adicional, podendo atender a outras solicitaes e capaz de gerar economias externas.

A maior utilidade deste mtodo a tomada de deciso entre diferentes perfis de diferentes graus de importncia aos fatores gerais e especficos, com elevado nmero de alternativas.

Considere F={fi | 1,...,n} como um conjunto finito de atributos/fatores denotado genericamente como f. Ento o conjunto fuzzy A~ em f um conjunto de pares ordenados A~ =(f, (f) f r ), onde A~ a representao fuzzy da Matriz de Solicitao A=(ij)hxm e,



f~ a funo de pertinncia representando o grau de importncia dos fatores: Crtico, Condicionante, Pouco Condicionante e Irrelevante.

De forma anloga, seja B~ = { (f, B~ (f) ) f F} onde B~ a representao fuzzy da Matriz de Disponibilidade B, onde B~ (f) uma funo de pertinncia representando os nveis dos fatores disponibilizados pelas diversas alternativas: Superior, Bom, Regular e Fraco.

Para cada projeto, as variveis lingsticas podem ser adequadas, determinadas atravs da hierarquia pretendida.

O conjunto A~ no possui os elementos, apenas explicita os fis desejados, pertencentes apenas a B~ , definindo os seus contornos: escalas, nveis de qualidade, etc, sob o ponto de vista da Lgica Fuzzy.

A matriz B~ que contm os fis atende A~ por aproximao. O f1 do conjunto A

~ no necessariamente igual ao f1 disponvel em B

~ .

Ento teremos a matriz de Solicitao dos fatores pelos projetos ou das necessidades dos fatores em relao ao projeto.

Fij Solicitao dos Fatores pelos Projetos f1

w1

f2

w2

... fj

wj

... fn

wn

A1 a11 a12 ... a1j ... a1n

A2 a21 a22 ... a2j ... a2n

... ... ... ... ... ... ...

Ai ai1 ai2 ... aij ... ain

... ... ... ... ... ...

Am am1 am2 ... amj ... amn

Onde :

A1, A2,...,Am o conjunto de atributos solicitados pelos projetos ou necessrios a eles;

f1, f2,..., fn o conjunto de fatores;

w1, w2, ..., wn o grau de importncia de cada fator para o conjunto do projeto;

aij = coeficiente fuzzy do atributo i , com relao ao fator j.

E tambm a Matriz de Disponibilidade dos fatores para as Alternativas, que a matriz que determina o coeficiente fuzzy destes fatores em relao a sua disponibilidade para cada alternativa.



Fij Disponibilidade dos Fatores para as Alternativas B1 B2 ... Bk ... Bm

f1 w1 b11 b12 ... b1k ... b1n

f2 w2 b21 b22 ... b2k ... b2k

... ... ... ... ... ... ... ...

fj wj bj1 bj2 ... bjk ... bjn

... ... ... ... ... ... ... ...

Fn wn bn1 bn2 ... bnk ... bnm

Onde:

B1, B2,..., bm o conjunto de alternativas;

w1, w2, ..., wn o grau de importncia dos fatores os projetos;

f1, f2,..., fn o conjunto de fatores;

bjk: coeficiente fuzzy da alternativa k, com relao ao fator j.

O prximo passo a operao entre as matrizes. Seja ento a matriz C~ = A~ B~ = ( c~ ik)hxm a matriz representativa do agregado das comparaes de Solicitao/Disponibilidade de cada fator. Ento o produto a~ ij b~ jk = c~ ik , para dois elementos genricos a~ ij e b~ jk, executado atravs do seguinte operador:

Disponibilidade de fatores (S)

a~ ij b~ jk 0 ... 1 0 0+ 0++

... 1

Requerimento Dos Fatores

1 0 1

Onde:

c~ ik o coeficiente fuzzy da alternativa k com relao ao projeto i e, 0+= 1/n! e 0++ =1/n (n= nmero de fatores considerados), so as quantidades limites e definidos como nfimo e pequenos valores (>0). Na realidade, h um infinito nmero de valores c~ ik no intervalo [0,1];

n= nmero de fatores considerados;

se a~ ij = b~

jk, o indicador ser igual a 1;

se b~ jk > a~ ij o coeficiente derivado maior do que 1;

se a~ ij > b~

jk o coeficiente fuzzy igual a zero;

se no h requerimento por um determinado fator, mas existe disponibilidade, os valores fuzzy so aqueles includos no intervalo [0+, 0++].



A matriz de resultados ( ) apresenta os ndices que indicam se todos os fatores requeridos por determinado projeto esto sendo atendidos pelas alternativas em estudo e representa todas as possibilidades do projeto em relao a cada alternativa. Definido como :

= [ ik ] , representa ndices em relao aos fatores requeridos, ou seja, o elemento ik representa o ndice dos fatores satisfeitos na adequao do projeto i na alternativa k. Ento, estes ndices tero o seguinte significado com relao aos seus valores:

ik = 1 : a alternativa k atende ao requerimento no nvel pretendido;

ik 1 : a alternativa k oferece mais condies do que o requerido.

3- Concluso O Modelo de Hierarquia Fuzzy um modelo cientfico baseado em lgica fuzzy, cujos dados sero compilados de modo eficiente e, seguramente, os resultados indicaro quais os pontos que iro encontrar melhor adequao para a atividade ou evento estudado , dentro das condies especificadas no requerimento e mapeadas segundo as alternativas pesquisadas, ou seja dentro da hierarquia pretendida.

O sistema no restrito a aplicaes de estratgias futuras, podendo tambm ser empregado para confirmar ou monitorar situaes j estabelecidas. vivel tambm a simulao de alteraes nos dados para prospectar novas configuraes de alternativas.

Vale ressaltar que o principal diferencial do Modelo a incorporao de variveis externas anlise puramente econmica do projeto em questo. Sendo, portanto, uma ferramenta de apoio deciso nica capaz de reunir em um s modelo variveis qualitativas e quantitativas, facilitando seu uso, podendo ser adequado s especificidades de cada projeto.

Portanto, abre-se um infindvel leque de aplicaes, onde a maior preocupao do analista de projeto deve ser a formatao do sistema, de modo a garantir a consistncia e confiabilidade dos resultados. 4- Referncias BEZDEK, J.C., 1993. Fuzzy Models : What are they, and Why?- , IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol.1, no.1, pp.1-5

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