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MARÍNDIA LEIDENS BITTARELLO

UM ESTUDO A RESPEITO DA EXPLORAÇÃO DE

POLÍGONOS COM O SOFTWARE GEOGEBRA

Monografia apresentado à disciplina Trabalho

de Graduação II, Curso de Matemática,

Departamento de Ciências Exatas e da Terra,

Universidade Regional e Integrada do Alto

Uruguai e das Missões – Campus de Erechim.

Orientação:

Profª. Dra. Nilce Fátima Scheffer.

ERECHIM

2010

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Agradecimentos

Agradeço a todas as pessoas que contribuíram para a realização deste trabalho.

Em especial a minha família pelo apoio e pé no chão;

A minha mãe que desde que eu era criança me apresentou à matemática;

A professora Nilce pelos ensinamentos e orientação na área da pesquisa.

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“A matemática olhada corretamente, possui não apenas verdade, mas

suprema beleza, uma beleza fria e austera, como aquela da escultura, sem

apelo a qualquer parte de nossa natureza mais fraca, sem as encantadoras

armadilhas da pintura ou da música, mas sublimemente pura, e capaz de uma

rigorosa perfeição que somente a maior das artes pode exibir.”

Bertrand A. W. Russell

(1872 – 1970)

Filósofo e matemático

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Resumo

Este trabalho apresenta os resultados de um trabalho de conclusão de curso. Com o título de

Um Estudo a Respeito da Exploração de Polígonos com o Software Geogebra, esta pesquisa

apresenta uma investigação a respeito da inserção das TIC no ensino da matemática e a

utilização de softwares para facilitar e promover a aprendizagem. Como problematização tem:

Quais as contribuições do Software Geogebra na exploração e construção de polígonos? O

objetivo geral é investigar as contribuições do Software Geogebra na exploração e construção

de polígonos e suas propriedades, considerando as diferentes possibilidades oferecidas pelo

Software Geogebra. A reflexão teórica aborda temas como as Tecnologias Informática e

Comunicação, O software gratuito e a formação do professor, além das Políticas públicas e a

utilização de tecnologias no ensino de Matemática. Apresenta-se também uma proposta

exploratória, onde são desenvolvidas atividades de construção e exploração de polígonos

regulares a partir dos recursos disponibilizados pelo software Geogebra. Com este trabalho,

percebemos que as estratégias educacionais com as TIC oferecem novas possibilidades ao

processo educativo, o que consequentemente implica em uma nova postura do professor e

compartilhamento de informações.

Palavras-chave: Tecnologias de Informação e Comunicação. Estudo de polígonos. Software

Geogebra.

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1- Interface do Geogebra............................................................20

FIGURA 2- Barra de ferramentas do Geogebra........................................20

FIGURA 3 - Botão mover.......................................................................20

FIGURA 4 - Novo ponto...........................................................................20

FIGURA 5- Reta definida por dois pontos.............................................22

FIGURA 6 - Reta perpendicular................................................................22

FIGURA 7 – Polígonos...........................................................................22

FIGURA. 8- Circulo definido.................................................................22

FIGURA 9- Elipse..................................................................................23

FIGURA 10- Ângulos............................................................................23

FIGURA 11-Reflexão com relação a reta..............................................23

FIGURA 12- Seletor..............................................................................24

FIGURA 13- Deslocar eixos..................................................................24

FIGURA 14- Triângulo eqüilátero.........................................................25

FIGURA 15- Quadrilátero.....................................................................26

FIGURA 16- Pentágono........................................................................27

FIGURA 17- Hexágono........................................................................28

FIGURA 18- Octógono.........................................................................29

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Sumário

INTRODUÇÃO..............................................................................................................6

Seção 1

As TIC no Ensino de Matemática.......................................................................7

Seção 2

O Software gratuito e a Formação do Professor...............................................10

Seção 3

As Políticas Públicas e a utilização de tecnologias no Ensino de

Matemática................................................................................................................14

Seção 4

Metodologia da Pesquisa..................................................................................18

4.1 Proposta Exploratória..................................................................................20

CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................33

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICA........................................................................35

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INTRODUÇÃO

Considerando os processos de mudança que a educação vem passando e as

dificuldades em interpretar e buscar estratégias para resolver situações problemas envolvendo

a geometria e construção de polígonos, este trabalho que tem por título “Um estudo a respeito

da exploração de Polígonos com o Software Geogebra”, busca fazer um estudo a respeito da

utilização das TIC e apresentar uma proposta diferenciada de exploração geométrica com o

auxílio de um software gratuito de matemática.

As atividades desenvolvidas sobre polígonos regulares voltam-se para o Ensino

Fundamental, onde a partir da construção é possível observar características básicas, sobre os

polígonos regulares, como os elementos de um polígono (vértices, lados, ângulos internos), a

soma dos ângulos internos e a proporcionalidade das medidas de comprimento dos lados do

polígono regular.

Esta pesquisa apresenta uma investigação a respeito da inserção das TIC

(Tecnologias, Informática e Comunicação) no ensino da matemática, e a utilização de

software para facilitar e promover a aprendizagem matemática.

Parte do problema: Quais as contribuições do Software Geogebra na exploração e

construção de polígonos? Investiga também as contribuições do Software Geogebra na

exploração e construção de polígonos e suas propriedades, considerando as diferentes

possibilidades oferecidas pelo Software Geogebra.

Nas três primeiras secções apresenta-se uma reflexão teórica sobre as TIC no ensino,

sobre o software gratuito e a formação do professor, bem como as Políticas Públicas e a

utilização de tecnologias no ensino de Matemática.

Na apresentação da Proposta Prática destaca-se o software, os comandos básicos, a

construção dos principais polígonos regulares como o triângulo, o quadrado, pentágono,

hexágono e octógono, juntamente com uma análise da construção e exploração de cada um

dos polígonos e após as considerações finais.

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Seção 1

As TIC no Ensino de Matemática

Muitos estudos são realizados, considerando possibilidades de trabalho pedagógico

com a utilização da Informática e dos softwares gratuitos presentes no mercado.

A Informática e outras mídias fazem parte da educação atual, abrangendo práticas que

enriquecem o trabalho exploratório desenvolvido pelo professor na sala de aula,

principalmente nos níveis Fundamental e Médio.

As tecnologias segundo Cláudio e Cunha (2001), já deixaram de ser modismo e são

necessárias a um bom profissional. As tecnologias implicam em novas atitudes humanas,

exigindo outro perfil do indivíduo no mercado de trabalho, que seja criativo, crítico,

capacitado para trabalhar em sua profissão.

Assim os educadores, não podem ignorar os avanços tecnológicos que ocorrem no

mundo, segundo Perrenoud e Thurler (2000), as TIC não transformam somente as formas de

comunicação, mas também as de trabalhar, de pensar e de decidir.

Para Scheffer et all (2004), é possível destacar que a inserção dos meios tecnológicos

nas aulas de Matemática desempenha um papel fundamental uma vez que se inverte a ordem

de exposição da teoria, permitindo primeiro a experimentação e, posteriormente, a construção

de conjecturas e conceitos, uma combinação que torna as aulas investigativas, críticas e

cooperativas, promovendo maior interação entre estudantes, professores, conhecimento e

tecnologias.

Nos dias de hoje, ainda há muita resistência ao uso das TIC, por falta de conhecimento

e familiaridade do professor com elas, nesse sentido, torna-se importante destacar que as

tecnologias que se apresentam hoje para o ensino, não resolvem os problemas do ensino, mas

podem auxiliar o processo de ensino e de aprendizagem.

Isso é expresso por Skovsmose (2001), quando sublinha que ao utilizar a conjunção

“educação matemática e tecnologia” associa-se a tecnologia a um equipamento utilizado na

educação matemática ou computadores na sala de aula, mas, o que se constata, é a presença

das tecnologias em diferentes aspectos da vida social. Essa incorporação de tecnologias na

prática pedagógica do professor de Matemática pode gerar transformações significativas na

aprendizagem.

Essa visão da matemática nos remete à expressão “educação matemática crítica”

(Skovsmose, 2001), que se manifesta na orientação de problemas, na organização de projetos

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favorecendo a interdisciplinaridade, aspectos a serem valorizados na escola em situações de

ensino na busca da formação para a cidadania.

Ao conceituar Educação Matemática Crítica, Skovsmose, esclarece que:

Educação Matemática critica não é para ser entendida como um ramo especial da

educação matemática. Não pode ser identificada com certa metodologia de sala de

aula. Não pode ser constituída por um currículo especifico. Ao contrario, eu vejo a

educação matemática critica como definida em termos de algumas preocupações

emergentes da natureza critica da educação matemática. (SKOVMOSE, 2001. p.73)

A educação matemática crítica possibilita um enfoque diferenciado, não permitindo

uma prática imediata, por isso seu uso no cotidiano da sala de aula impede relações concretas

com os conteúdos desenvolvidos dentro do currículo nas diferentes séries do ensino regular,

apresentando mesmo assim sua relevância no que se refere ao desenvolvimento pleno do

educando e permitindo-lhe uma análise mais eficaz no cotidiano fora da escola.

Portanto, a incorporação das tecnologias de informação e comunicação, ou seja, de

computadores com suas mais diversas ferramentas de utilização, na prática pedagógica do

professor de Matemática torna-se fundamental, gerando transformações na cultura de seus

usuários (professores e estudantes), além de modificar a cultura profissional do educador.

Isto, por sua vez, requer reflexões acerca de sua formação, inicial e continuada, pensando em

uma nova experiência, a qual incorpora o uso de tecnologias em seu fazer profissional.

Para Bairral (2009) os processos de formação de professores de matemática podem se

desenvolver nos mais diversos ambientes, (ora na Universidade enquanto graduação, ora nas

escolas, como campo de trabalho), nos quais se produzem diferentes relações entre

formadores de professores e estudantes para professor.

Sendo assim a aprendizagem pode ocorrer de diversas formas, e acontece

constantemente, no que se refere ao aluno-professor e enquanto professor-aluno.

Na visão de Levy (2001) quando se refere à Educação do Futuro, destaca que a

educação é uma atualização da cultura, e não somente no plano de seu conteúdo, mas

sobretudo no plano de seu gesto exploratório, consciente,e acrescenta que a nossa educação

irá agora se acelerar a um ritmo bem mais rápido do que até então. Isso leva, nós professores

formadores, a refletir e propor alternativas inovadoras para o ensino, participando assim de

uma dinâmica viva que envolve o ser humano.

A exploração ampliada das mídias digitais e dos espaços virtuais tridimensionais

transforma, não apenas as formas de comunicação, através da leitura e escrita de textos, mas a

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produção, reprodução e armazenamento das informações, através de sons, imagens e

movimentos (Kenski, 2008).

Para a mesma autora, o uso adequado de tecnologias digitais inovadoras em projetos

educacionais torna possível o uso ampliado de nossas memórias e todas as nossas conhecidas

e latentes formas racionais, emocionais, intuitivas, artísticas, estéticas, verbais e não verbais

de superar desafios, lidar com novos problemas e avançar no conhecimento. O que possibilita

também, participar da emancipação educacional e social por meio de frequentes processos de

interação, comunicação, colaboração e partilha de aprendizagens.

Consequentemente o impacto das tecnologias reflete-se de maneira enfática sobre a

própria natureza do que é ciência, e do que é conhecimento. Exige assim uma reflexão mais

profunda sobre as concepções do que é o saber e sobre as formas de ensinar e aprender.

Um trabalho com essas características ganha espaço nos dias atuais com pesquisas da

natureza prático-teóricas do professor que venham a contribuir na formação e no processo de

ensino e de aprendizagem.

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Seção2

O Software Gratuito e a formação do Professor

Quando se fala em tecnologias e computadores no ensino, refere-se também ao

software gratuito educacional, ferramenta importante para o aluno na construção do seu

conhecimento matemático.

Segundo Scheffer (2006), o software educativo pode ser definido como um conjunto

de recursos informatizados cujo objetivo, ao ser usado no ensino é facilitar a aprendizagem,

ele permite ao estudante construir conhecimentos, desenvolver habilidades como resolução de

problemas, leitura, imaginação, criatividade e resolução de exercício sobre os conteúdos que

já conhece.

Para Cano (2001 apud LIMA E GIRAFFA, 2006, p. 1), o software educativo pode ser

definido como “um conjunto de recursos informáticos projetados com a intenção de serem

usados em contextos de ensino e de aprendizagem”. Para a autora esses conjuntos de recursos

devem facilitar e promover a aprendizagem. Sendo importante também, relacionar a

tecnologia disponível com a metodologia de trabalho do professor a fim de proporcionar uma

aprendizagem significativa em Matemática.

A autora explicita a finalidade da exploração dos softwares, podendo ampliar ou

reduzir a ênfase em determinados aspectos, atentando sempre para as dificuldades dos alunos

e sua conveniência no caso concreto a ser trabalhado. Com treinamentos constantes realizados

sobre estas utilizações, os professores poderão empenhar-se no uso destes recursos, e

possibilitar uma efetiva aprendizagem, uma vez que na educação estas tecnologias estão

adentrando lentamente se comparadas aos demais setores da sociedade.

A utilização de software gratuito na educação é uma alternativa a ser considerada tanto

em escolas públicas quanto em escolas particulares, por serem flexíveis e estratégicos para a

condução bem sucedida de conteúdos, além de apresentar custo zero.

Esses ambientes informatizados, na área da educação, segundo Scheffer, Bressan e

Rovani (2008) contribuem para o enriquecimento das experiências e possibilitam a construção

de um trabalho mais abrangente e investigativo onde o foco principal é a construção do

conhecimento, por parte do aluno, e o software é visto como um meio auxiliar nesse processo.

Além de facilitar a compreensão pelos alunos, o trabalho utilizando estes ambientes,

amplia a forma de abordagem do assunto permitindo que os mesmos encontrem soluções de

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outras dúvidas emergentes, de outros pontos já abordados em temas já desenvolvidos

anteriormente que deixaram de ser explorados por motivos diversos. A visualização gráfica

gera encantamento ao mesmo tempo em que desperta o desejo de se permitir construir com

precisão, uma vez que tal possibilidade só será alcançada graças à utilização destes recursos.

Assim sendo, o mais importante não é o próprio software, mas sim o modo como ele

será utilizado. Com isso, o entendimento do professor em relação à tecnologia que estará

utilizando é de fundamental importância. A criação de um ambiente reflexivo e investigativo

pode trazer mudanças profundas à formação e à cultura docente, o que vem a ser confirmado

por Scheffer 2009, quando destaca que as tecnologias implicam em novas atitudes humanas,

exigindo outro perfil do professor e dos alunos.

Nesse sentido ao refletirmos sobre o perfil do educador matemático, trazemos Bairral

(2009) que ao referir-se ao professor diz que ele é um profissional que deve constantemente

aprender a aprender e refletir criticamente sobre sua prática de modo a promover a interação

entre as tecnologias e o cenário educacional.

Bittar (2009) também concorda com os autores quando destaca que muitas vezes a

informática é usada como “apêndice” do curso habitual; ou seja, o professor dá a aula da

maneira usual e tradicional e ao fazer uso do computador, não o faz devidamente, muitas

vezes deixa de explorar todo potencial que o software pode oferecer.

Sendo assim percebemos que o perfeito domínio das tecnologias permite que se utilize

o computador mais constantemente, possibilitando desta forma um aprofundamento do ensino

e permitindo uma melhor compreensão, ao contrário de usar o computador como simples

complemento.

Constatou-se assim que o computador e suas ferramentas não são explorados em sua

potencialidade e sua utilização não é capaz de oportunizar mudanças significativas no

processo de ensino e aprendizagem. Bittar afirma ainda, que integrar o computador (software)

à prática pedagógica significa que o mesmo poderá ser usado em diversos momentos do

processo de ensino, sempre que for necessário e de forma a contribuir com o processo de

aprendizagem do aluno.

As investigações matemáticas na sala de aula possibilitam uma compreensão

abrangente dos conteúdos matemáticos, bem como o desenvolvimento de capacidades e

habilidades, de formulação, de resolução e teste de conjecturas.

Quando se trabalha com números, exploram-se aspectos geométricos, aspectos de

contagem, conservação e classificação, desenvolvem-se capacidades de visualização espacial

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e diferentes formas de representação, introduzindo o aluno na construção de novos

conhecimentos.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), o aluno desenvolve capacidades de

formular e conduzir investigações. Diante do estudo voltado à investigação, os alunos

trabalham com problemas, participando em todas as fases, que vão desde o processo de

formulação, coleta, organização, e análise de dados, proporcionando ao estudante as

conclusões. Neste momento implica-se o bom uso dos ambientes informatizados, pois assim

os alunos chegam à produção de conhecimento.

Diante das ideias abordadas, a disseminação das tecnologias, voltadas à educação

básica e principalmente no ensino de matemática, pode ser vista como uma proposta

educativa diferenciada, auxiliando na construção de significados e no desenvolvimento do

processo de ensino e aprendizagem.

Para tanto, outro passo importante em busca da utilização da Informática em sala de

aula, é a formação do professor, pois segundo Scheffer e Sachet (2007, p.45) “O mais

importante não é o próprio software, mas sim, como ele será utilizado”. Ou seja, é preciso que

o professor esteja preparado para a correta exploração dos recursos tecnológicos.

Segundo Fiorentini, (2003), a tentativa de utilizar as tecnologias de informação e

comunicação na formação de professores e no ensino da Matemática, em um ambiente de

trabalho reflexivo e investigativo, pode trazer mudanças profundas à formação e à cultura

docente. Sendo assim, essas tecnologias implicam em uma nova postura do professor.

Essa posição do autor deixa clara a importância de um trabalho teórico prático com a

formação inicial de professores de matemática.

Tendo em vista as constantes mudanças que ocorrem na vida escolar, torna-se

relevante analisar que a aprendizagem passa, obrigatoriamente, pelo fato de levar em conta a

flexibilidade dos futuros docentes e seus conceitos sobre o ensino. Tardif (2008) destaca que

ensinar futuros docentes é, obrigatoriamente, partir dessas crenças e submetê-las a um

trabalho de transformação, principalmente por uma prática reflexiva.

Deste modo, o professor que está em contato ou utiliza ambientes informatizados e

busca mudanças significativas para o ensino, pode proporcionar a seus alunos momentos de

reflexão, e interação, tornando-se também agente na construção de seu conhecimento.

Maltempi (2008) é outro autor que defende a formação de professores ao afirmar que

novas posturas são requeridas do professor quando este passa a incorporar tecnologias em

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suas aulas. Essas tecnologias mudam o ambiente em que o professor trabalha e tem impacto

importante no desenvolvimento das aulas.

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Seção 3

As Políticas Públicas e a Utilização de Tecnologias no Ensino de Matemática

Diante do crescente espaço que as tecnologias informáticas vêm ganhando nos

contextos educacionais, os PCN’s (1998) apontam os recursos tecnológicos como uma das

possibilidades de “fazer Matemática” na sala de aula, recursos auxiliares no processo de

construção de conhecimento, promovendo a autonomia dos estudantes. Assim consideram os

documentos oficiais:

“[...] é fato que as calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos estão

cada vez mais presentes nas diferentes atividades da população.

O uso desses recursos traz significativas contribuições para se repensar sobre o

processo de ensino e aprendizagem de Matemática [...]”(BRASIL, 1998, p.43)

Há uma necessidade de se perceber que as mudanças tecnológicas ocorrem

constantemente e que cada aluno possui uma máquina capaz de realizar operações diversas e

que já na tenra idade eles a manipulam, mesmo antes de vir para a escola. Cabe ao professor a

tarefa de promover uma melhor utilização e também uma significação desta conquista hoje já

ao alcance de todos.

Segundo Brandão (apontamentos feitos em palestra) o aluno é considerado como

“nativo” no que se refere à era digital, enquanto que o professor é visto como “imigrante”

nessa nova era da tecnologia. Ou seja, os alunos da Educação Básica já nasceram num mundo

digitalizado, e consequentemente desenvolveram mais habilidades nessa área, já o professor

vem de uma época em que o principal recurso era o livro didático, ou seja, qualquer menção a

tecnologia causa um desconforto por parte do professor uma vez que isso representa um

campo desconhecido para a maioria.

A presença da informática no processo de construção de conceitos matemáticos e na

formação do educando, tem despertado pesquisas e reflexões, que diante do crescente espaço

que as tecnologias informáticas vêm ganhando nos contextos educacionais, os Parâmetros

Curriculares Nacionais tornam evidente a importância da relação entre matemática e

tecnologias:

“[...] embora seja comum, quando nos referimos às tecnologias ligadas à Matemática,

tomarmos por base a informática e o uso de calculadoras, estes instrumentos, não

obstante sua importância de maneira alguma constitui o centro da questão.” (BRASIL, 2000, p. 41)

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A questão principal não se limita apenas aos instrumentos tecnológicos, mas

principalmente ao direcionamento e a correta exploração desses recursos.

Além disso, os PCNs ainda apontam possibilidades de como utilizar os computadores

com variadas finalidades, especificamente para o ensino e aprendizagem da Matemática, bem

como consideram que:

“o bom uso que se possa fazer do computador na sala de aula também depende da

escolha de softwares, em função dos objetivos que se pretende atingir e da

concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo”(BRASIL,

2000, p.44)

Assim, como os professores examinavam e indicavam livros didáticos para seus

alunos adotando critérios os mais diversos, deverão agora explorar os softwares educacionais,

para que sua utilização proporcione uma aprendizagem efetiva dentro dos diferentes

conteúdos a serem explorados.

Para promover e estimular a implementação do uso de tecnologias informáticas nas

escolas brasileiras, em 1981 ocorreu um Seminário Nacional para discutir programas voltados

para o uso de tecnologias nas escolas, segundo Borba e Penteado (2007), a partir deste evento

surgiram projetos como: Educom, Formar e Proninfe. O objetivo principal era criar centros

pilotos em universidades públicas, principalmente para desenvolver pesquisas sobre as

aplicações do computador na educação.

Atualmente as escolas públicas de vários estados brasileiros, estão desenvolvendo

novos programas para oferecer ao professor estratégias de intervenção pedagógica que

favoreçam a construção de aprendizagens a partir do desenvolvimento das competências de

leitura, produção de texto e resolução de problemas.

Segundo o Referencial Curricular das Lições do Rio Grande:

“Não adianta instalar laboratório de informática nas escolas se, nas salas de aula, o

ensino continuar a ser desenvolvido apenas com quadro negro, giz e livro didático. E

o laboratório for um espaço utilizado uma ou duas vezes por semana para aprender

informática ou bater papo na internet, em geral com o atendimento de um professor

específico, enquanto os professores do currículo continuam a não utilizar softwares

educacionais” (Lições do Rio Grande, 2009.p.7)

.

O laboratório de informática disponibilizado nas escolas deve vir a contribuir de forma

significativa, no processo de aprendizagem dos alunos. A afirmação implica também em um

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preparo por parte dos professores do currículo, que devem inteirar-se das novas tecnologias e

saber fazer um bom uso delas.

Para, Miskulin (2003) há necessidade de que universidades e políticas públicas de

formação de professores passem a valorizar o desenvolvimento da capacidade crítica dos

futuros professores. A mesma autora destaca também que, com a disseminação das

tecnologias, uma nova cultura profissional se estabelece, o que implica em novos cenários,

novas linguagens, novos conhecimentos e novas maneiras para atuar no meio educacional.

Com relação ao ensino e a aprendizagem da Matemática na Educação Básica, os

documentos oficiais destacam que cabe à Matemática apresentar ao estudante informações e

instrumentos necessários para a cidadania.

Essa afirmação desencadeia a reflexão de que trabalhar apenas com listas de

exercícios, domínio de conceitos e utilização de fórmulas não evidencia um ensino voltado

para explorações dinâmicas e críticas, possibilitando o desenvolvimento de atitudes positivas

a partir de discussões, leituras, observações e experimentações conduzindo o estudante à

construção da significação matemática. Assim, a utilização de tecnologias mediada pelo

professor, pode auxiliar os estudantes a verem a matemática como um dos meios para

conhecer, compreender e atuar no mundo.

O Referencial Curricular das Lições do Rio Grande (2009) também aponta que e

importante utilizar esse espaço didático, (os laboratórios) para que os professores

desenvolvam aulas específicas das suas disciplinas. Para isso os professores precisam estar

capacitados para usarem a tecnologia da informação – os laboratórios com os

microcomputadores e os softwares educacionais – como recursos didáticos em suas aulas. A

partir dessa necessidade surgem os cursos de formação continuada para oportunizar aos

professores acesso as tecnologias.

Assim pode-se afirmar que, com as políticas públicas atuais, a incorporação das

tecnologias já é algo possível e acessível para a maioria das escolas públicas. No entanto,

também devem ser desenvolvidas competências e habilidades em matemática para que a

utilização destas tecnologias desperte interesse e entusiasmo pelo ato de aprender, ensinar e

construir significados matemáticos. Assim, de acordo com os PCNs (2000), os recursos

tecnológicos devem ser tratados como instrumentos de produção e de comunicação, que

utilizados adequadamente possuem suas limitações e potencialidades.

Richit e Maltempi (2009) argumentam que urgem políticas públicas que fomentem a

efetiva incorporação de tecnologias na prática pedagógica de docentes de cursos de

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licenciatura. Não só na forma de disciplinas isoladas tratando de informática na educação,

mas fundamentalmente nas disciplinas de conteúdo específico, de modo que o futuro docente

possa vivenciar a aprendizagem tendo por referência o uso pedagógico das tecnologias.

As potencialidades a serem exploradas são muitas, apresentam métodos interativos,

que possibilitam aos estudantes desenvolver estratégias, estabelecer relações e utilizar seus

próprios erros para discussão de conceitos desenvolvendo assim raciocínio e autonomia.

18

Seção 4

Metodologia da pesquisa

Esta pesquisa pode ser caracterizada como do tipo bibliográfica e exploratória. Para

Gil (2007, p.48) pesquisa bibliográfica e aquela “... desenvolvida com base em material já

elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos”. E as pesquisas

exploratórias, segundo Gil (2007), tem o objetivo de proporcionar maior familiaridade com o

problema, com vistas a torná-lo mais explicito testar e construir hipóteses.

Com esta pesquisa objetiva-se construir uma proposta exploratória voltada à discussão

do tema Polígonos e suas propriedades com a utilização do Software Geogebra, onde serão

apresentadas atividades pedagógicas, voltadas à exploração do tema polígonos, a serem

construídas a partir dos recursos disponibilizados do Software Geogebra.

Para a coleta dos dados necessários a elaboração desta pesquisa, foram investigados os

recursos e ferramentas disponíveis no programa do software, bem como os conteúdos

relacionados ao tema polígonos regulares, apresentados em livros didáticos do Ensino

Fundamental.

A organização dos dados culminará com a elaboração da Proposta que terá a seguinte

estrutura:

- Apresentação do software;

- Interface e comandos básicos;

- Atividades práticas de aplicação;

- Comentários analíticos.

Na apresentação do software poderemos encontrar o endereço disponível na internet

para o download e também algumas informações sobre a funcionalidade do programa. A

partir deste software e possível fazer a exploração geométrica no plano cartesiano e também a

exploração algébrica.

Na interface e comandos básicos conheceremos todas as ferramentas disponíveis para

as construções que se pretende fazer.

Na sequencia, foram elaboradas cinco atividades, abordando o tema polígonos

regulares. Os conceitos abordados em cada atividade são triângulo equilátero, quadrilátero,

pentágono, hexágono, octógono, soma dos ângulos internos e cálculo da área dos polígonos.

Logo abaixo da construção na tela do computador, segue algumas perguntas que direcionam

para uma analise matemática, onde é possível observar características dos polígonos

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regulares, como número de lados, nomenclatura, número de ângulos internos, a fórmula para

encontrar o valor de cada ângulo interno das figuras e a fórmula da para encontrar o valor da

área das figuras construídas.

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4.1- Proposta exploratória

Nesta seção pretende-se apresentar uma proposta exploratória a respeito do software

Geogebra e o estudo de polígonos. As atividades são voltadas para a partir da 7ª série do

Ensino Fundamental. Tem por objetivos caracterizar os principais polígonos regulares a partir

da construção geométrica, identificar algumas características como congruência dos lados,

ângulos internos, soma dos ângulos internos e o cálculo da área do polígono. Para a

construção de cada polígono serão apresentados os conceitos que podem ser explorados, as

atividades exploratórias e algumas considerações que podemos observar.

4.2- Apresentação do software

O software GeoGebra é um software gratuito, voltado para o estudo da matemática de

uma forma dinâmica, abrangendo Geometria, Álgebra e Cálculo. O software permite

estabelecer relações entre suas respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos níveis

de ensino. Pode ser encontrado no endereço: http://www.geogebra.org. Além de possuir uma

boa interface que possibilita a exploração e manipulação rápida das figuras, possibilita medir

ângulos, distâncias, transladar, girar e refletir sobre a construção. Possibilita explorar as

propriedades das figuras geométricas. Assim é possível analisar as características específicas

dos polígonos, estabelecer relações e descobrir propriedades.

http://www.geogebra.org/

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4.3- Interface do software Geogebra e comandos básicos

O software apresenta a seguinte interface (figura1):

Fig. 1 – Interface do Geogebra

Fonte: Geogebra

Observamos que a janela inicial está dividida em duas partes: à esquerda é possível a

representação algébrica, que pode ser fechada se necessário, e à direita a representação

geométrica. Na tela inicial ainda temos a barra de ferramentas (Figura 2):

Fig. 2- Barra de ferramentas

Fonte: Geogebra

Cada janela da barra de ferramentas disponibiliza os seguintes comandos, conforme

figuras 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11 e 12:

Fig. 3- Botao mover Fig. 4- Novo ponto

Fonte: Geogebra Fonte: Geogebra

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Fig. 5 – reta definida por dois pontos Fig. 6- Reta perpendicular


Fig. 7 - Poligonos Fig. 8- Circulo definido


23

Fig. 9 - Elipse Fig. 10- Ângulos


Fig. 11- Reflexão com relação a uma reta

Fonte: Geogebra

24

Fig. 12 - seletor Fig. 13- Deslocar eixos


4.4 Atividades práticas de aplicação

Na construção dos polígonos vamos seguir os passos: clicar em polígonos, polígonos

regulares. Marcar dois pontos qualquer na tela aparecerá uma nova janela onde se deve

digitar o número total de lados do polígono; clicar em ok e aparecerá a construção na tela.

Esta atividade pode ser trabalhada a partir da 7ª série do Ensino Fundamental e os

principais conceitos explorados são construção de polígonos regulares como o triângulo

equilátero, o quadrilátero, pentágono regular, hexágono regular, o octógono, os ângulos

internos de cada polígono e também a área de cada uma das figuras.

4.4.1 Construção de um triângulo equilátero

Conceitos a serem explorados:

-Triângulo equilátero

-Ângulo interno

-Área do triângulo equilátero

Atividades exploratórias:

-Marcar os ângulos internos, selecionar a opção ângulos e clicar nos vértices do polígono.

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- Determinar a medida dos lados

-Determinar a soma dos ângulos internos

-Determinar a área da figura

-Caracterizar as principais propriedades do triângulo equilátero, conforme figura 14:

Fig. 14 – Triângulo equilátero

A partir da construção da figura 14, podemos observar que o triângulo equilátero é

formado por três lados iguais de medidas 3 centímetros cada lado. Como em um polígono o

número de ângulos internos é igual ao numero de lados, há três ângulos internos, cuja medida

é de 60º cada ângulo, somando 180º. Para encontrar a área do triângulo equilátero de lado l

teremos que obter a altura h do triângulo, o comprimento da base será o ponto médio da base,

portanto 2

l e substituir na fórmula da área do triângulo equilátero que é dada por a=

4

3²l

Com esta atividade observamos algumas características do triangulo equilátero. É um

polígono regular, pois apresenta todos os lados e todos os ângulos internos iguais. A soma dos

ângulos internos resulta em 180º, que representa outra característica de triângulo.

4.4.2 Construção do quadrilátero


26

-Quadrilátero

-Ângulos internos

-Área do quadrilátero


-Marcar os ângulos internos




-Caracterizar as principais propriedades de um quadrilátero, conforme figura 15:

Fig.15 – Quadrilátero

Como vimos na figura 15, temos um quadrilátero, onde a medida de cada uma dos

lados vale 4 centímetros. A figura possui quatro lados iguais logo apresentará quatro ângulos

internos. Os ângulos deste quadrilátero são chamados de ângulos retos medindo 90º cada

ângulo, somando 360º. Para obtermos o valor da área do quadrilátero, aplicamos a formula de

área do quadrado a= l 2

Com esta construção, podemos observar que a característica do quadrilátero são os

quatro lados iguais e os ângulos retos internos somando 360°. A medida dos ângulos internos

torna os lados paralelos entre si.

27

4.4.3 Construção de um Pentágono

Conceitos a serem abordados:

Pentágono

Ângulos internos

Área de um pentágono






-Caracterizar as principais propriedades do um pentágono, conforme figura 16:

Fig.16- Pentágono

Na construção acima, obtemos um polígono com 5 lados iguais e cinco ângulos

internos, medindo 108º cada um, somando 540º. Este polígono é chamado de pentágono.

Em um polígono de n lados, em que n ≥ 3, a soma das medidas dos ângulos internos,

representada por Si, é dada por Si = (n-2) x 180°. Isso pode ser demonstrado no cálculo dos

ângulos internos do pentágono, onde:

Si = (5 -2) x 180º

Si = 540º. Logo se fizermos o valor de Si ÷ n teremos 540º ÷ 5 =108º, o valor de cada

ângulo interno. Para determinarmos o valor da área, basta aplicar a fórmula

e obtermos o valor do seu espaço interno do pentágono.

28

E possível observar que polígonos de cinco lados de qualquer medida sempre terão o

mesmo ângulo interno, isso evidencia outra característica importante que é a congruência

presente nas figuras regulares.

4.4.4 Construção de um Hexágono

Conceitos a serem abordados:

Hexágono

Ângulos internos

Área de um hexágono






-Caracterizar as principais propriedades de um hexágono, conforme figura 17:

Fig.17- Hexágono

Na construção acima, temos um polígono formado por 6 lados iguais o qual

chamamos de hexágono regular. A medida de cada um dos lados é de 2,8 centímetros.

Para determinarmos as medidas dos ângulos interno temos:

29

Si = (n-2) x 180º

Si = (6-2) x 180º

Si =720º. Com a medida total dos ângulos internos, basta dividirmos pelo número de

lados do hexágono que teremos: 720º ÷ 6 = 120º, portanto cada ângulo interno do hexágono

vale 120º. A fórmula da área do hexágono é dada por a = 64

3²l

Observa-se que para o cálculo da área, dividimos o hexágono em seis triângulos

equiláteros, aplica-se a área do triângulo equilátero, que já vimos na primeira atividade, e

multiplicamos por seis, assim termos o valor da área na figura construída.

4.4.5 Construção de um Octógono


Octógono

Ângulos internos

Área de um octógono






-Caracterizar as principais propriedades do octógono, conforme figura 18:

Fig.18- Octógono

30

Na figura acima, temos o octógono que é um polígono formado por oito lados iguais, e

neste caso mede 2 centímetros cada um dos lados. Para determinar as medidas dos ângulos

internos do octógono vamos fazer:

Si = (8-2) x 180º

Si = 1080º

Logo, 1080º ÷ 8 = 135º é o valor de cada ângulo interno do octógono.

Ao aplicarmos a formula 84

3²l encontraremos um valor para a área do octógono.

A origem da palavra polígono vem do grego polygonon, Poli muitos, diversos e gono

ângulos. Polígono é então, uma figura de vários ângulos. Em um polígono o número de

ângulos é igual ao numero de lados, dizemos também que um polígono é uma figura de vários

lados.

No caso do polígono regular, o polígono apresenta, além de todos os ângulos internos

iguais, todos os lados congruentes. A regularidade presente nesses polígonos os torna únicos.

Com a construção e exploração dos polígonos, podemos perceber a característica

principal dos polígonos regulares que é a congruência dos lados de cada figura. Também

percebemos a medida dos ângulos internos que pode ser feito algebricamente a partir da

formula Si = (n-2) x 180º, ou com o software, que disponibiliza um comando para determinar

essa medida. Com a medida do ângulo interno de cada um dos vértices pode-se também

explorar os ângulos externos.

Utilizar os recursos computacionais possibilita uma ampla visualização de detalhes

conferidos a partir do uso deste recurso tecnológico permitindo uma compreensão racional da

proposta apresentada. É neste momento que os alunos analisam criticamente o que estão

realizando e visualizam as respostas tanto na forma gráfica como na forma algébrica.

Os detalhes oferecidos pelo software prendem a atenção e despertam a curiosidade,

motivando o aluno para um trabalho criativo, onde, além de ser construtor de sua aprendizagem

também proporciona o trabalho em grupo, pois quando um dos alunos termina a sua tarefa logo se

disponibiliza a ajudar o colega, propiciando uma maior interação entre os alunos.

31

4.5 Análise da proposta exploratória

Um trabalho com TIC possibilita ao professor aspectos positivos como novas formas

de promover uma aprendizagem significativa, uma vez que o aluno tem parte na construção

de seus conceitos cognitivos.

Ao considerar a Educação Matemática e as possibilidades de trabalho pedagógico com

a utilização de softwares gratuitos no ensino de matemática, autores como: Scheffer, et all

(2004), Kaiber e Conceição, (2007) destacam a experimentação, a construção de conjecturas e

conceitos, aulas investigativas, críticas e cooperativas como possibilidades que promovem

interação entre estudantes, professores, conhecimento e tecnologias.

É importante considerar que a inserção dos computadores por si só não garante maior

qualidade ou eficiência no ensino e na aprendizagem no geral, muito menos em Matemática,

esta disciplina requer um esforço contínuo de professores e estudantes para chegar à

compreensão de determinados conceitos com diferentes materiais e tecnologias. Por esse

motivo é que tanto se destaca a formação do professor e os cursos e aperfeiçoamentos para

profissionais que já atuam no magistério.

Diante disso, a presença da informática no processo de construção de conceitos

matemáticos e de formação do educando tem despertado discussões, pesquisas e reflexões,

que perante o crescente espaço que as tecnologias informáticas vêm assumindo nos contextos

educacionais, tornam evidente a importância da relação entre matemática e tecnologias.

A utilização de tecnologias, especialmente de softwares gratuitos de matemática,

representam uma contribuição, tanto para os professores no desenvolvimento de suas aulas,

quanto para os estudantes na atribuição de significados matemáticos.

Isso vem a ser confirmado por Bittar (2006) ao dizer que a verdadeira integração da

tecnologia somente acontecerá quando o professor vivenciar o processo, ou seja, quando a

tecnologia for considerada um instrumento importante de aprendizagem para todos, inclusive,

para o professor, afinal somos reflexos de nossas experiências.

Diante do exposto até aqui, se aposta em uma formação profissional, inicial e

continuada, que garanta não apenas o acesso as TIC, mas também o aprendizado e

familiaridade com as mesmas. Para tanto, não basta serem revistas a forma ou metodologia de

ensino. Vale também, uma reflexão quanto às contribuições e restrições à construção do

conhecimento matemático.

32

Esta proposta busca apresentar subsídios que possam contribuir na prática em sala de

aula. Proporcionar espaço para que o aluno faça as construções, promover um estudo

direcionado a partir de perguntas exploratórias, e fazer uma análise da atividade feita.

Proporcionam momentos diferenciados no processo de ensino e aprendizagem

Quando trabalhamos com lápis e papel somente, nem sempre conseguimos destacar todos

os aspectos importantes na exploração de figuras geométricas. Com o auxilio de recursos

tecnológicos como a visualização e manipulação torna-se possível uma melhor compreensão

desses conceitos geométricos.

Contudo, o trabalho desenvolvido a partir de tecnologias proporciona vantagens ao mesmo

tempo em que exige dedicação, estudo adequado do software, além de aprofundamentos por parte

do professor.

33

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A incorporação das tecnologias é algo possível, que deve ser previsto na escola, pois

os equipamentos tecnológicos estão se tornando mais baratos, sendo acessíveis a todas as

escolas, inclusive as públicas.

Ao direcionar o olhar para questões didáticas de sala de aula trazidas pelo uso da

informática na educação vale destacar também a importância da criatividade, que segundo

Pais (2002), é vista como o resultado de uma persistente experiência de trabalho, habilidades

fundamentais para sucesso da aprendizagem. O autor considera que um dos primeiros

desafios surgidos com a utilização do computador na escola é o de desenvolver competências

e habilidades suficientes à seleção de informações pelo próprio sujeito da aprendizagem.

Nesse sentido, pode-se considerar Bittar (2009), quando destaca que é preciso

oportunizar aos professores o acesso às tecnologias, de modo que estas venham auxiliar e

favorecer o processo de aprendizagem, possibilitando novas maneiras de pensar, bem como,

propiciar mudanças significativas no processo de ensino e de aprendizagem.

Nos cursos de formação de professores evidencia-se que a integração da tecnologia, a

correta exploração de recursos tecnológicos no ensino de matemática e implantação de

softwares gratuitos de matemática na escola, proporciona um novo cenário na construção de

conceitos de aprendizagem.

Para Maltempi (2008) as tecnologias representam uma oportunidade para mudanças na

educação, em especial da prática docente, da centrada no professor (ou tradicional) para a

centrada nos alunos, de forma a atender os anseios e demandas de conhecimento destes.

No entanto, também devem ser desenvolvidas algumas competências e habilidades em

matemática para que a utilização destas tecnologias desperte no aluno interesse e entusiasmo

em aprender para que seja capaz de construir significados matemáticos que vão muito além do

simples decorar conceitos e regras. Como afirmam os PCNs do Ensino Médio, os recursos

tecnológicos devem ser tratados como instrumentos de produção e de comunicação,

utilizando-os adequadamente e reconhecendo suas limitações e potencialidades.

Segundo Pais (2001) com a utilização da informática na educação, surge a indagação

sobre quanto o computador pode liberar o aluno do exercício de memorização inexpressiva e

34

incrementar as práticas criativas de resolução de problemas. Para o mesmo autor, o

conhecimento exigido na era tecnológica é muito mais do que apenas colecionar informações.

Em face disso podemos concordar que as aulas desenvolvidas em ambientes

informatizados possibilitam novas formas de pensar, e principalmente resolver problemas de

forma expressiva, despertando o senso critico nos alunos.

Diante disso, Kenski (2008) afirma que professores e alunos vivenciam e incorporam

novas formas de ensinar e aprender, mediadas por tecnologias inovadoras, que auxiliam na

prática profissional cotidiana.

A sociedade impõe o uso da tecnologia na educação porque grande parte da população

está em um crescente contato com ela no seu dia-a-dia. Dessa forma, cada vez mais as escolas

recebem alunos usuários de tecnologias, habituados a elas, os quais naturalmente pressionam

pelo seu uso na educação ao trazerem tecnologias para a sala de aula ou ao relacionarem as

atividades realizadas na escola com a possibilidade de serem elaboradas com o apoio de

tecnologias.

Observa-se que a realização de um trabalho feito a partir de um recurso tecnológico,

onde e possível a exploração, manipulação, visualização das construções, como foram feitas

nas atividades sugeridas na proposta, proporcionam um trabalho diferenciado, onde o aluno

amparado pelo professor e por algum recurso tecnológico torna-se responsável por sua

aprendizagem. Busca-se desenvolver um trabalho para que o aluno seja capaz de construir

seus próprios conceitos, analisar conclusões e verificar a construção do processo de

aprendizagem.

35

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38

UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES

– CAMPUS ERECHIM

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS NATURAIS E DA TERRA

CURSO DE MATEMÁTICA

MARÍNDIA LEIDENS BITTARELLO

UM ESTUDO A RESPEITO DA EXPLORAÇÃO DE

POLÍGONOS COM O SOFTWARE GEOGEBRA

ERECHIM

2010

UM ESTUDO A RESPEITO DA EXPLORAÇÃO DE POLÍGONOS … · 2 “A matemática olhada corretamente,...

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