Um modelo simplificado para ondas sonoras complexas

Eduardo Peixoto de Oliveira , Walter dos Santos Motta Junior Universidade Federal de Uberlândia

Faculdade de Matemática, Campus Santa Mônica

39.440-092, Uberlândia, MG

dudupeixoto@yahoo.com.br , wmotta@ufu.br

Palavras-chave: Modelagem, Som, Séries de Fourier, Ouvido Humano

Resumo: No presente trabalho, trazemos uma abordagem a fim de se obter um modelo matemático

que represente, de forma satisfatória, o modelo físico de ondas sonoras através de algumas

simulações realizadas e resultados estudados e/ou obtidos usando a chamada Análise de Fourier. Num primeiro momento apresenta-se, de forma simplificada, o que vem a ser o som e, em seguida,

uma breve discussão sobre o aparelho auditivo humano. Por fim, fazemos a discussão de alguns

resultados conhecidos e lançamos mãos destes para exemplificar uma onda, inicialmente complexa, por uma onda quadrada de amplitude definida, expandindo-a em Série de Fourier. Far-se-á também

uma discussão do sinal provocado por tal som passando-se do domínio do tempo para o domínio da

frequência através da Transformada de Fourier.

1 Introdução O som é um fenômeno vibratório resultante de variações da pressão no ar, sendo, portanto, uma onda mecânica. Tais variações se dão em torno da pressão atmosférica e se propagam

longitudinalmente a uma velocidade média de 340 m/s a 20°C, caracterizadas principalmente por três

aspectos físicos: frequência (número de oscilações por unidade de tempo do movimento vibratório do

som, sendo então um problema periódico); intensidade, que representa a quantidade de energia transportada pelo som, sendo traduzida pela amplitude do mesmo; e o timbre, que nada mais é do que

a forma da onda sonora (figura 1) e que permite distinguirmos a fonte emissora do som.

Figura 1. O cérebro humano distingue os diferentes tipos de som

O estudo das frequências que compõem um som complexo é feita através de uma análise espectral, a chamada Análise de Fourier, que relaciona a forma com a frequência do som. É possível demonstrar

que qualquer forma de onda pode ser decomposta em componentes senoidais. A mais baixa das

frequências que formam o espectro é chamada de frequência fundamental . Neste trabalho, por

meio dos modelos analíticos conhecidos desenvolvemos modelos numéricos que visam a representação de tal fenômeno.

2 O ouvido humano O ouvido humano é responsável por receber e transformar vibrações provocadas no ar (som) em

impulsos nervosos. Ele é muito sensível e consegue detectar níveis mínimos de energia (o que pode

variar de pessoa para pessoa), sendo dividido basicamente em três partes: ouvido externo, ouvido médio e ouvido interno.

O mecanismo da audição é simples: o som é captado pelo ouvido externo e levado por um canal ao

ouvido médio, onde a energia da onda sonora é transformada em vibrações internas da estrutura óssea e gera ondas de compressão no ouvido interno, o qual interpreta tais ondas e produz um fluxo de

impulsos nervosos transmitidos ao cérebro.

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Figura 2. Partes do ouvido

Na seção seguinte, faremos uma abordagem sobre o processamento de sinais e de como descrever

uma onda sonora através de uma série trigonométrica. Executamos algumas simulações neste contexto

com o auxílio do MATLAB ® e embasados em [4].

3 Análise de uma onda sonora através da Análise de Fourier Para fazermos uma abordagem de uma onda sonora descrita pela sua amplitude ao longo do tempo e/ou do espaço, devemos nos ater a algumas definições, discutidas por Carvalho em [1], sobre a

análise de sinais, mais especificamente:

Definição 3.1. Uma função , em um dado espaço de sinais, é chamada de sinal

contínuo. Para nossa avaliação consideraremos U como um subconjunto da reta e o contradomínio

também. Observa-se que a denominação “contínuo” deve ser atribuída ao domínio e ao contra-

domínio de f, sendo que f poderá ser, ou não, uma função descontínua.

Definição 3.2. É usual definirmos f , como na definição 3.1, como um sinal analógico se f for contínua

e como um sinal digital caso f seja descontínua.

Para construirmos um modelo que descreva o sinal desejado, podemos lançar mão de duas técnicas:

(i) modelo temporal de sinais, no qual o parâmetro é o tempo; e (ii) uma análise espectral, onde o

domínio é a frequência. Em ambos, estaremos interessados em analisar a amplitude da onda sonora.

Proposição 3.3. Uma onda sonora (sinal sonoro) pode ser aproximada por uma função f(t) que satisfaz

à definição 3.1.

Teorema 3.4. Um sinal f periódico, de período T, atendendo às condições de Dirichlet, ver [3], pode

ser descrito como uma séria da forma:

Os coeficientes 0a , ia e ib , ni 1 , são os chamados coeficientes de Fourier e são calculados da

seguinte maneira:

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A equação (1) representa a chamada forma trigonométrica da Série de Fourier, e nos permite

interpretar o sinal f(t) relacionado com sua frequência . Também é importante ressaltar que tal

ferramenta é utilizada quando se tem problemas periódicos, como exemplo, considere uma onda sonora do tipo onda quadrada, com efeito próximo ao de uma onda complexa:

Figura 3. Onda complexa e onda quadrada

Para o caso simplificado da figura 4, tem-se: ;

; logo o sinal pode ser

represento pela série de Fourier de tf :

Para exemplificar o que é discutido em [3] sobre a convergência das séries de Fourier, fizemos

simulações numéricas utilizando o MATLAB ®, nas quais, aumentando o número de termos da soma dada em (3) verificamos que a série tende à função, como representado na figura 3.

Para a análise de um sinal arbitrário (não necessariamente periódico), devemos obter um

“continuum” de frequências (ver [1]), tal objetivo é alcançado através da Transformada de Fourier:

Definição 3.5. Dado um sinal , absolutamente integrável, com por partes. Sendo i a

unidade imaginária, definimos a Transformada de Fourier de f como a função:

A transformada de Fourier tem por objetivo detectar as frequências do sinal f e enxergá-las sobre a

ótica de um sinal periódico com frequência , representado pelo núcleo desta transformação (ver [3],

capítulo 9). A expressão (4) representa uma “densidade” da frequência do sinal f em todo seu domínio. Assim conseguimos entender e analisar os sinais provenientes das ondas sonoras, de forma

semelhante ao cérebro. Também foram desenvolvidas algumas análises, com o auxílio de linguagem

computacional, para evidenciar a passagem entre estes dois domínios.

Referências [1] CARVALHO, P.C. e outros. “Métodos Matemáticos e Computacionais em Música”, Notas em Matemática Aplicada – Títulos publicados para o XXXII CNMAC-2009, IMPA, 2009

[2] FIGUEIREDO, D.G., “Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais”, Instituto de

Matemática Pura e Aplicada, CNPq (Projeto Euclides), Rio de Janeiro, 1977. [3] OLIVEIRA, E.C. & TYGEL, M., “Métodos Matemáticos para Engenharia”, 2ed, SBM, Rio de

Janeiro, 2010.

[4] WILSON, H.B., “Advanced mathematics and mechanics applications using MATLAB®”, 3rd

edition, Chapman & Hall/CRC, 2003

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