Uma Abordagem Inspirada no Recozimento Determin´ıstico para … · 2017. 11. 28. · Uma...

Universidade Federal de Sergipe

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica

Uma Abordagem Inspirada no Recozimento

Determinıstico para Escapar de Mınimos

Locais em Navegacao por Campos

Potenciais Artificiais

Nara Strappa Facchinetti Doria

Orientador: Prof. Eduardo Oliveira Freire

Co-orientador: Prof. Joao Carlos dos Santos Basılio

Sao Cristovao, Fevereiro de 2013

Uma Abordagem Inspirada no Recozimento

Determinıstico para Escapar de Mınimos

Locais em Navegacao por Campos

Potenciais Artificiais

Nara Strappa Facchinetti Doria

Orientador: Prof. Eduardo Oliveira Freire

Co-orientador: Prof. Joao Carlos dos Santos Basılio

Dissertacao apresentada ao programa de Pos Graduacao em Engenharia Eletrica da

Universidade Federal de Sergipe, como parte dos requisitos necessarios a obtencao do

grau de Mestre em Engenharia Eletrica.

Sao Cristovao, fevereiro de 2013

Dedicatoria

A vovo Valdo (in memorian), por ter sido o comeco de tudo.

Agradecimentos

Primeiramente, agradeco ao meu orientador Eduardo Freire, por sua dedicacao e

competencia na minha orientacao, por toda sua paciencia e por ter me feito continuar.

Agradeco ainda por sua preocupacao em me proporcionar uma formacao completa, tanto

na pesquisa, como no estagio docencia, sempre com grande disponibilidade e boa vontade

ao me ajudar e por todo o conhecimento que compartilhou comigo. Agradeco ate mesmo

pelas conversas difıceis que tivemos, pois, sem duvida, elas me fizeram crescer bastante.

Muito obrigada por tudo. Sem voce, eu nao teria conseguido.

Agradeco ao Prof. Basılio, meu co-orientador, por ter aceitado nosso convite e por

todas as sugestoes valiosas para meu trabalho. Gostaria de agradecer tambem ao Prof.

Jugurta, por ter participado de toda a evolucao deste trabalho desde a ideia inicial, na

escolha do tema, passando tambem pela minha banca de qualificacao e de defesa final. Ao

prof. Pablo, por ter participado de minha banca e pelas sugestoes para esta dissertacao.

Agradeco a Elyson e Lucas, por terem contribuıdo com ideias de toda a parte inicial

do desenvolvimento deste trabalho, e a todo o pessoal do GPRUFS, pela companhia no

Labic. Agradeco a secretaria do PROEE, Mayane, por toda ajuda e amizade durante o

meu perıodo do mestrado.

Agradeco a minha famılia, por todo apoio. A minha mae, Isaura, por todo amor

e confianca e por ter compreendido a minha ausencia em casa durante esses anos de

mestrado. Ao meu pai, por acreditar em mim e por estar junto de mim na fase mais

difıcil deste trabalho. A minha avo Norma e a Tia Nida, por serem meu porto seguro,

pelo amor e carinho sempre. A minha irma Francis, por toda sua preocupacao e confianca,

por compreender meu distanciamento nos momentos de casulo, enquanto terminava meu

trabalho e pelas ilustracoes do recozimento determinıstico. A minha irma Lua, por estar

ao meu lado em Aracaju, por me lembrar a todo instante que eu tinha que terminar meu

mestrado e pela dica do ∆θ - nao esquecerei disso :). Ao meu namorado Davi, pelo amor

e companheirismo sempre, por estar sempre disposto a me ajudar e por entender meus

momentos de estresse.

Ao restante da minha famılia em Aracaju, Nilo, Re e Nicolas, por fazerem com que eu

me sentisse em casa, esquecendo um pouco da saudade e por me cobrarem constantemente

com a velha frase: “E o mestrado? Cade? Acabou?” Aos meus primos chegados, Barbara,

Clara e Breno, por completarem a famılia em terras sergipanas. Em especial a Breno, por

ter sido de tudo um pouco: primo, amigo, medico e psicologo.

A Sandy, por mesmo de longe se fazer presente, me apoiando sempre e por ter divido

comigo o desespero dos momentos finais da entrega da minha dissertacao.

Aos meus colegas do Ifs, por todo apoio na fase final deste trabalho. Em especial, a

Leila e Dany por estarem vivendo o mesmo drama, dividindo aflicoes. A Tania e Edson,

por tornarem os cafezinhos muito mais agradaveis. E a Fabio e Pipoca, pelas constantes

“ameacas”, me fazendo correr contra o tempo.

Aos meus caes, Sushi e Tio, pela companhia e alegria incondicionais, me fazendo

relaxar, ainda que nos momentos mais difıceis.

A Capes, pelo apoio financeiro durante o desenvolvimento deste trabalho.

Muito obrigada a todos voces.

“Do or do not! There is no try.”

Yoda

Sumario

Lista de Tabelas

Resumo

Abstract

1 Introducao p. 20

2 Algoritmos de Otimizacao p. 25

2.1 Recozimento simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

2.2 Recozimento determinıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

3 Metodo de Campos Potenciais Artificiais com LME inspirado no

recozimento determinıstico p. 35

3.1 Metodo dos Campos potenciais artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

3.2 Trabalhos Correlatos - LME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

3.2.1 Obstaculo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

3.2.2 Campos potenciais com LME inspirado no recozimento simulado p. 39

3.3 Campos Potenciais com LME inspirado no recozimento determinıstico . p. 42

4 Experimentos por simulacao p. 45

4.1 Ambiente utilizado nas simulacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

4.2 Simulacoes no ambiente de teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

4.3 Ambiente A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

4.3.1 Simulacoes com o metodo dos Campos Potenciais Artificiais puro p. 52

4.3.2 Simulacoes com Campos Potenciais em conjunto com o metodo

inspirado no Recozimento Simulado . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

4.3.3 Simulacoes com Campos Potenciais com o Metodo do Obstaculo

Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

4.3.4 Simulacoes com Campos Potenciais com o metodo inspirado no

Recozimento Determinıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

4.3.5 Comparativo dos resultados para o ambiente A1 . . . . . . . . . p. 65

4.4 Ambiente A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66

4.4.1 Simulacoes com o metodo dos Campos Potenciais Artificiais puro p. 66




inspirado no Obstaculo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73


inspirado no Recozimento Determinıstico . . . . . . . . . . . . . p. 75


4.5 Ambiente A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81

4.5.1 Simulacoes com Campos Potenciais Puro . . . . . . . . . . . . . p. 81



4.5.3 Simulacoes com Campos Potenciais em conjunto com o Obstaculo

Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87




4.6 Ambiente A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 95





Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 100




4.7 Ambiente A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 108





Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 112




4.8 Analise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 120

5 Conclusoes e trabalhos futuros p. 124

Referencias p. 126

Lista de Figuras

1 Recozimento determinıstico - explicacao grafica . . . . . . . . . . . . . p. 29

2 Mapa do ambiente (a) e campos potenciais correspondentes (b) . . . . p. 36

3 Explicacao grafica do obstaculo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

4 Ambientes com temperaturas diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

5 Posicionamento dos sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

6 Resultado da simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

7 Posicao do robo nos eixos x e y e θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

8 Velocidades em x, y e θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

9 Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda . . p. 49

10 Resultado da simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

11 Posicao do robo nos eixos x e y e θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

12 Velocidades em x, y e θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

13 Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda . . p. 52

14 Resultado da simulacao - Campos potenciais puros no Ambiente A1 . . p. 53

15 Posicao do robo nos eixos x e y e θ - Campos potenciais puros no

Ambiente A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

16 Velocidades em x, y e θ - Campos potenciais puros no Ambiente A1 . . p. 54

17 Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda -

Campos potenciais puros no Ambiente A1 . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

18 Resultado da simulacao - Recozimento Simulado no Ambiente A1 . . . p. 56

19 Posicoes em x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A1 . . . . . p. 57

20 Velocidades em, x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A1 . . . p. 57

21 Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada rodas -

Recozimento Simulado no Ambiente A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

22 Resultado da simulacao - Obstaculo Virtual no Ambiente A1 . . . . . . p. 59

23 Posicoes em x, y e θ - Obstaculo Virtual no Ambiente A1 . . . . . . . . p. 60

24 Velocidades em x, y e θ - Obstaculo Virtual no Ambiente A1 . . . . . . p. 60


Obstaculo Virtual no Ambiente A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

26 Resultado da simulacao - Recozimento Determinıstico no Ambiente A1 p. 62

27 Posicoes em x, y e θ - Recozimento Determinıstico no Ambiente A1 . . p. 63

28 Velocidades em x, y e θ - Recozimento Determinıstico no Ambiente A1 p. 63


Recozimento Determinıstico no Ambiente A1 . . . . . . . . . . . . . . . p. 64

30 Comparativo de caminhos para o ambiente A1 . . . . . . . . . . . . . . p. 65


32 Posicoes em x e y e θ - Campos potenciais puros no Ambiente A2 . . . p. 67






37 Velocidades em x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A2 . . . p. 71















48 Comparativo de caminhos para o ambiente A2 . . . . . . . . . . . . . . p. 80


50 Posicoes em x, y e θ - Campos potenciais puros no Ambiente A3 . . . . p. 82






55 Velocidades em x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A3 . . . p. 85













65 Comparativo de caminhos no ambiente A3 . . . . . . . . . . . . . . . . p. 94








72 Velocidades em, x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A4 . . . p. 99









79 Posicoes em x,y e θ - Recozimento Determinıstico no Ambiente A4 . . . p. 105


81 Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada - roda








87 Resultado da simulacao - Campos potenciais com recozimento simulado

no Ambiente A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 111




91 Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda.-








97 Comparativo de caminhos no ambiente A5 reduzido. . . . . . . . . . . . p. 122

Lista de Tabelas

1 Parametros utilizados na simulacao do Metodo dos Campos Potenciais

Puro, para o ambiente A1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

2 Parametros de desempenho medidos na simulacao do Metodo dos

Campos Potenciais Puro, para o ambiente A1. . . . . . . . . . . . . . . p. 55


com o recozimento simulado, para o ambiente A1. . . . . . . . . . . . . p. 58


Campos Potenciais com o recozimento simulado, para o ambiente A1. . p. 58


com o obstaculo virtual, para o ambiente A1. . . . . . . . . . . . . . . . p. 61


Campos Potenciais com o obstaculo virtual, para o ambiente A1. . . . . p. 61


com o recozimento determinıstico, para o ambiente A1. . . . . . . . . . p. 64


Campos Potenciais com o recozimento determinıstico, para o ambiente A1. p. 64

9 Parametros de desempenho obtidos com o Ambiente A1 . . . . . . . . . p. 66













16 Parametros utilizados nas simulacoes para o metodo do Recozimento

Determinıstico no Ambiente A2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78



18 Parametros obtidos com o Ambiente A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81
































35 Parametros de desempenho medidos nas simulacoes para o metodo do

Recozimento Determinıstico no Ambiente A4. . . . . . . . . . . . . . . p. 104

















Campos Potenciais com o recozimento determinıstico, para o ambiente

A5.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 118

45 Parametros de desempenho obtidos com o Ambiente A5 . . . . . . . . . p. 118

46 Resumo dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 122

Resumo

O Metodo dos Campos Potenciais Artificiais e amplamente utilizado para navegacaode robos moveis por sua facilidade de implementacao e baixo custo computacional. Nessaabordagem, o ambiente e modelado com base em campos potenciais. Pontos de destinosao modelados como atratores, ao passo que obstaculos sao vistos como repulsores e umafuncao e usada para modelar o campo potencial gerado por cada um dos obstaculos edestinos e a sua influencia sobre o robo. Sendo o gradiente negativo do campo a forcaque impulsiona o movimento do robo, ha a possibilidade de surgimento de pontos demınimos, onde a forca se anula, diferentes do mınimo global. Este e um problemaexistente no metodo, que pode impedir que o robo chegue ao seu ponto de destino.Nesse contexto, o presente trabalho apresenta uma nova abordagem para escapar depontos de mınimos locais por sistemas autonomos que implementam o metodo doscampos potenciais artificiais, inspirada no recozimento determinıstico. E apresentado umestudo comparativo entre a tecnica desenvolvida neste trabalho e mais dois metodos jaconhecidos: recozimento simulado para escapar de mınimos locais e o metodo do obstaculovirtual. Os resultados obtidos mostram que o algoritmo inspirado no recozimentodeterminıstico pode ser usado para escapar de mınimos locais, pois esse metodo foicapaz de produzir resultados satisfatorios quando comparado com outras solucoes classicasexistentes.

Palavras-chave: Robotica movel, Campos Potenciais Artificiais, Mınimos Locais,Recozimento Determinıstico.

Abstract

The Artificial Potential Fields approach is widely used in mobile robot navigation dueto its easy implementation and low computational cost. In this approach, the environmentis seen as a potential surface, where the goal point is modeled as an attractor point andthe obstacles are considered repulsor points. A potential field function is used to modelall the environment, calculating the influence over the robot. The force that moves therobot is the descendent gradient of the field. Local minima appear when this gradient(the force) becomes equal to zero. This situation prevents the robot from arriving at thegoal point. This work presents a new algorithm to escape from local minima points in theenvironment. This new algorithm is inspired in the deterministic annealing algorithm.A comparative study between the developed method and two known methods, simulatedannealing to escape from local minima, and the method of virtual obstacle, is carriedout. The results show that the proposed algorithm can be used to perform local minimaescape, since this approach was capable to produce satisfactory results when comparedwith other classical existent solutions.

Key words: Mobile robots, Artificial Potential Fields, Local Minima, DeterministicAnnealing.

20

1 Introducao

Em sistemas roboticos autonomos, e essencial que o robo possa se deslocar do seu

ponto inicial para seu objetivo, sendo capaz de desviar de obstaculos que venham a surgir

no caminho. Para isso, e necessario que o robo tenha a capacidade de decisao de qual sera

a proxima atitude a ser tomada. Surge, portanto, o Problema de Selecao de Atitude. Aos

esquemas de controle capazes de solucionar esse problema, e dado o nome de Mecanismos

de Selecao de Atitude, ou Arquiteturas de Navegacao.

Diferentes formas de implementacao de arquiteturas de navegacao surgiram nas

ultimas decadas. Em algumas dessas arquiteturas, a tarefa de navegacao e feita por

meio da minimizacao de uma funcao de custo. Como exemplo, ha o Metodo dos Campos

Potenciais Artificiais (Khatib, 1986), onde o ambiente e modelado com base em campos

potenciais. Pontos de destino sao modelados como atratores, ao passo que obstaculos sao

vistos como repulsores e uma funcao e usada para modelar o campo potencial gerado por

cada um dos obstaculos e destinos e a sua influencia sobre o robo. Sendo o gradiente

negativo do campo a forca que impulsiona o movimento do robo, ha a possibilidade de

surgimento de pontos de mınimos, onde a forca se anula, diferentes do mınimo global.

Este e um problema existente no metodo, que impede que o robo chegue ao seu ponto de

destino e, para contorna-lo, diferentes abordagens foram propostas.

Em linhas gerais, as diferentes abordagens utilizadas para solucionar o problema dos

mınimos locais em sistemas que implementam o Metodo dos Campos Potenciais Artificiais

podem ser classificadas em tres categorias:

- Evitar mınimos locais (LMA - Local Minima Avoidance),

- Escapar dos mınimos locais (LME - Local Minima Escape),

- Remover mınimos locais (LMR - Local Minima Removal).

Um estudo comparativo entre essas tres classificacoes de solucoes pode ser visto em

Zhang et al. (2010), no qual as principais diferencas entre elas sao salientadas. As

1 Introducao 21

solucoes baseadas na remocao dos mınimos locais, apesar de solucionarem completamente

o problema dos mınimos locais, apresentam alguns problemas, entre eles, esta a restricao

a certos tipos de obstaculos, o alto custo computacional para navegacao em tempo real

e a necessidade de algum conhecimento inicial a respeito do ambiente. As abordagens

baseadas em evitar os pontos de mınimos locais necessitam de uma disponibilidade de

informacoes previas sobre o ambiente e geralmente sao implementadas em esquemas

hierarquicos, por exemplo o metodo dos campos potenciais artificiais representa uma

camada em baixo nıvel com o objetivo de evitar colisoes em obstaculos, enquanto uma

outra camada em nıvel mais alto deve ser adicionada a fim de estabelecer objetivos

intermediarios ate o ponto de destino. Para a determinacao de objetivos intermediarios,

geralmente e necessario um conhecimento previo do ambiente. Chang e Yamamoto (2009)

desenvolveram um algoritmo classificado como LMA e sem necessidade de conhecimento

previo do ambiente. No entanto, este algoritmo constroi um mapa de forma incremental,

a medida em que planeja um caminho a seguir. A construcao incremental desse mapa e

responsavel por um alto custo computacional. A outra abordagem, baseada em escape

dos pontos de mınimos locais, ao contrario das outras duas, permitem que o robo fique

preso em um ponto de mınimo local e, apos isto, e acionado algum mecanismo de

escape deste ponto. No entanto, essa categoria nao evita que o robo caia em pontos de

mınimos. Contudo, por conta do seu baixo custo computacional e por nao necessitarem

de conhecimento previo do ambiente, abordagens de escape ainda sao bastante utilizadas.

Entre as diversas solucoes encontradas na literatura, tem-se a de Cen et al. (2007),

em que e utilizada uma coordenacao de campos potenciais com a qual e possıvel

resolver alguns dos problemas do Metodo dos Campos Potenciais Artificiais, tais como

o de mınimos locais, oscilacao entre multiplos obstaculos e a navegacao em ambientes

dinamicos. Para isso, foi desenvolvida uma funcao com parametros sintonizaveis, atraves

da qual e feita uma coordenacao dos campos potenciais existentes na “janela”atual.

Entende-se por janela atual o conjunto dos obstaculos detectados no momento e o objetivo

local estabelecido. Para a otimizacao dos parametros, sao usados Algoritmos Geneticos. A

funcao de coordenacao representa uma equacao em funcao das velocidades linear e angular

do robo e dos angulos entre a direcao atual e as direcoes do i-esimo caminho possıvel e da

direcao do objetivo. E feita, entao, uma soma ponderada e o caminho referente ao menor

valor desta soma e seguida. Apos a escolha do melhor caminho a ser seguido, um objetivo

local e estabelecido. A partir da velocidade para o caminho otimo, dois fatores usados no

calculo do vetor de coordenacao (substituto das forcas atratoras, na abordagem original)

sao configurados, de forma a permitir a atracao do robo pelo objetivo, evitando que o

1 Introducao 22

mesmo fique preso em mınimos locais.

Ja em Kim e Khosla (1992) e apresentada uma implementacao dos Campos Potenciais

Artificiais por meio de funcoes harmonicas. Tais funcoes sao capazes de construir um

campo potencial sem mınimos locais no ambiente. Dessa forma, o unico ponto de mınimo

passa a ser o mınimo global, fazendo com que o robo seja direcionado ao seu objetivo sem

que fique preso em um ponto de mınimo local. No entanto, essa abordagem possui um

elevado custo computacional, o que faz com que nao seja uma abordagem amplamente

utilizada.

Em Velagic et al. (2006) e mostrada uma forma de escapar dos mınimos locais com uma

adaptacao dos Campos Potenciais Artificiais, onde nao ha a necessidade de armazenar

informacoes sobre o ambiente ja visitado. O robo reconhece se ira oscilar entre dois

pontos e ficar, portanto, em loop, por meio da orientacao da forca resultante. Caso a

forca resultante atual possua mesma direcao e sentido oposto a anterior, o que significa

que o robo sera empurrado para o ponto de onde veio, esse ponto pode ser reconhecido

como um mınimo local no ambiente e o sistema mudara a forma de controle. Quando

isso ocorre, as forcas atrativas sao desprezadas para que as acoes de desviar do obstaculo,

e nao cair no ponto de mınimo, possuam maior prioridade que a acao de atingir o alvo,

e o sistema considera apenas a forca repulsiva do obstaculo mais proximo. Dessa forma,

ha a tentativa de escapar dos mınimos locais, que em algumas configuracoes pode vir a

falhar, como por exemplo, no caso em que, ao escapar de um ponto de mınimo, o robo

passa a perceber dois obstaculos, posicionados um em cada lado do robo, a uma mesma

distancia, fazendo com que este fique preso em um novo ponto de mınimo.

Iraji e Manzuri-Shalmani (2007) usam um conceito de obstaculo virtual localizado no

ponto de mınimo, fazendo com que o robo se sinta repelido por este ponto. Esse conceito

ja havia sido apresentado anteriormente em Lee e Park (2003) e baseia-se em estabelecer

um campo potencial com valor maximo no ponto de mınimo. Com isso, quando o robo

encontra-se preso, o valor total do campo potencial e dado pela soma do campo potencial

da configuracao original e do valor estabelecido para o ponto de mınimo.

O recozimento simulado1 (Kirkpatrick et al., 1983) e usado em Janabi-Sharifi e Vinke

(1993b) e Park e Lee (2002) para fazer com que o robo escape do mınimo local. Quando o

robo esta preso em um ponto de mınimo, o algoritmo do recozimento simulado e executado.

Nessa execucao, e verificado o valor do campo potencial em uma posicao da vizinhanca.

Caso o valor seja menor que o valor atual, o robo passa para essa nova posicao. Caso

1Simulated Annealing

1 Introducao 23

contrario, a nova configuracao e aceita sob determinada probabilidade, que e maior em

altas temperaturas, sendo que a temperatura representa um parametro do recozimento

simulado. Este algoritmo e executado ate que se consiga sair do mınimo local. Portanto,

com o uso do recozimento simulado, e possıvel que o robo siga por determinados pontos

onde a funcao de custo nao e minimizada, momentaneamente, a fim de escapar de um

mınimo local. Com base nas informacoes mostradas sobre as tres abordagens, percebe-se

que as baseadas em LME geralmente exigem menor esforco computacional, alem de nao

necessitarem de conhecimento previo do ambiente. Entre as solucoes desta classificacao,

encontra-se o metodo de Janabi-Sharifi e Vinke (1993b) baseado no recozimento simulado

para evitar mınimos locais.

Nesse contexto, o objetivo desta dissertacao de mestrado consiste no desenvolvimento

de uma nova abordagem para escapar de mınimos locais em robos moveis que

implementam o Metodo dos Campos Potenciais Artificiais, inspirada no Recozimento

Determinıstico2, que se trata de um metodo de otimizacao, desenvolvido com base no

Recozimento Simulado, cuja principal diferenca esta na forma como o ruıdo e inserido:

enquanto que no Recozimento Simulado esse ruıdo e externo a funcao de custo, no

recozimento determinıstico ele se torna um parametro interno a funcao. Uma explicacao

mais aprofundada a cerca desses metodos de otimizacao e dada no capıtulo 2.

Com a abordagem proposta, e possıvel fazer com que o robo escape de pontos de

mınimos locais no ambiente, dando a possibilidade da conclusao da tarefa de navegacao

ainda que o ambiente possua mınimos locais. Alem disso, sao mostrados os resultados de

dois outros metodos ja existentes (Campos potenciais com o recozimento simulado e com

o obstaculo virtual) e entao e feita uma comparacao entre os resultados obtidos nas tres

metodologias.

Os experimentos realizados neste trabalho levam em conta um robo movel, com

rodas, realizando um planejamento local em um ambiente previamente desconhecido.

No entanto, a solucao aqui proposta pode ser expandida para o uso em outros sistemas

roboticos que implementem o metodo dos campos potenciais artificais. Durante a

navegacao, um mapa do ambiente e armazenado em uma matriz de obstaculos a

medida que os sensores vao percebendo obstaculos, dotando o sistema de memoria, com

informacoes acerca do ambiente ja visitado. Os campos ponteciais gerados sao discretos,

uma vez que calcula-se o valor do campo potencial para cada elemento da matriz onde

foram armazenadas as posicoes dos obstaculos.

2Deterministic annealing

1 Introducao 24

Este texto esta organizado da seguinte forma. No capıtulo 2 sao apresentados

os metodos de otimizacao do Recozimento Simulado e Determinıstico. No capıtulo 3

apresenta-se o metodo dos Campos Potenciais Artificiais e o trabalho proposto. Alem

disso, sao mostrados tambem outros dois metodos LME que foram implementados neste

trabalho a fim de se fazer um estudo comparativo entre o metodo proposto e outros

existentes na literatura. No capıtulo 4 sao apresentados os resultados obtidos em

simulacoes e sao feitas consideracoes relevantes a respeito dos mesmos. No capıtulo

5 sao apresentadas as conclusoes tiradas a partir dos resultados obtidos e possıveis

direcionamentos para trabalhos futuros.

25

2 Algoritmos de Otimizacao

Neste capıtulo, serao apresentados os algoritmos de otimizacao que fazem parte do

escopo deste trabalho. Na secao 2.1 sera apresentado o Recozimento Simulado e na secao

2.2 o Recozimento Determinıstico.

2.1 Recozimento simulado

O recozimento simulado e um algoritmo de otimizacao global, proposto por

Kirkpatrick et al. (1983) que, sob certas condicoes, garante atingir uma solucao global

otima atraves da minimizacao de uma funcao de custo C. O algoritmo do recozimento

simulado foi inspirado no Algoritmo de Metropolis (Metropolis et al., 1953), mostrando

como, a partir desse ultimo, e possıvel aplicar tecnicas da Mecanica Estatıstica em

problemas de otimizacao.

O algoritmo de Metropolis simula a evolucao de um solido em equilıbrio termico e

evolui da seguinte forma: a cada passo do algoritmo e feita uma pequena modificacao na

posicao de um atomo e, como consequencia, a quantidade de energia (E) do sistema e

alterada. Analisa-se, entao, a variacao dessa energia (∆E). Se ∆E 6 0, a movimentacao

do atomo e aceita e essa nova configuracao passa a ser o ponto de partida para o proximo

passo. Caso ∆E > 0, a nova configuracao e aceita sob uma probabilidade P (∆E) =

exp(− ∆E

kBT). Um numero aleatorio de uma distribuicao uniforme e gerado no intervalo

entre (0, 1). Comparando esse numero com P (∆E), a nova configuracao e aceita se o

numero gerado for menor que P (∆E). Caso contrario, a configuracao original e usada

para o proximo passo de execucao.

Substituindo a energia do solido pela funcao de custo C e com a diminuicao progressiva

e lenta da temperatura, tem-se o recozimento simulado, proposto por Kirkpatrick et al.

(1983). As configuracoes citadas no Algoritmo de Metropolis foram substituıdas por um

conjunto de parametros ({xi}) e a temperatura passa a ser simplesmente um parametro

2.1 Recozimento simulado 26

de controle de mesma unidade que a funcao de custo. O processo do recozimento simulado

consiste em iniciar o sistema a ser otimizado com uma alta temperatura e, aos poucos, ir

diminuindo a temperatura ate que o sistema “congele” e mudancas nas configuracoes nao

ocorram mais.

O algoritmo do recozimento simulado, por ser derivado do Algoritmo de Metropolis,

segue aceitando movimentos enquanto a funcao de custo for menor do que a atual e,

em casos de um valor maior, aceita a nova configuracao sob determinada probabilidade.

Em contraste com outros algoritmos de otimizacao que executam apenas em direcoes que

reduzem a funcao de custo C, o recozimento simulado permite que uma nova configuracao

seja aceita ainda que haja o aumento momentaneo de C. A partir dessa caracterıstica,

e possıvel escapar de uma regiao de atracao de um mınimo local (Theodoridis e

Koutroumbas, 2008).

Uma implementacao em pseudo-codigo e apresentada no algoritmo 1.

Algoritmo 1: Pseudo-codigo do recozimento simulado

1 inıcio

2 k := 0;

3 Tk := Tmax;

4 enquanto Tk > Tcrit faca

5 enquanto Nao chegou ao estado de equilıbrio para T faca

6 ∆Cij = Cj − Ci;

7 //sendo i a configuracao atual e j a nova configuracao

8 se ∆Cij ≤ 0 entao

9 Aceite;

10 senao se exp (−∆Cij

Tk) > random[0, 1) entao

11 Aceite;

12 se Aceito entao

13 Atualize a configuracao para j;

14 Tk+1 := f(Tk);

15 k := k + 1;

Com a analise do algoritmo exposto, em conjunto com a funcao de probabilidades,

e possıvel perceber que para altas temperaturas a probabilidade de aceitar uma nova

configuracao e alta. A medida que a temperatura vai diminuindo, o sistema tende a

2.2 Recozimento determinıstico 27

aceitar com maior probabilidade configuracoes com menor valor de C (linha 9). Mantendo-

se T sempre maior que zero, garante-se uma probabilidade nao nula de se escapar de um

mınimo local. O valor da temperatura e atualizado apos o sistema entrar em um estado de

equilıbrio para o valor de temperatura atual (linha 13). Esse estado de equilıbrio ocorre

quando nao ha mais mudancas nas configuracoes. Em seguida, o numero de iteracoes (k)

e atualizado, na linha 15.

O recozimento simulado foi adaptado para permitir seu uso em diversas areas, entre

elas, o posicionamento de celulas (placement) em circuitos integrados, como proposto

por Kirkpatrick et al. (1983), utilizado em Rose et al. (1990), e adaptado por Mallela e

Grover (1988); nesse ultimo, o recozimento simulado e implementado em dois estagios,

melhorando o desempenho. Outros exemplos de uso ocorre na reconstrucao de imagens

com alto grau de ruıdo, como visto em Kearfott e Hill (1990); em pesquisas na area de

redes de computadores, para deteccao de intrusos (Ni e Zheng, 2007), e em agrupamentos

em redes moveis ad hoc (Turgut et al., 2003) e tambem no planejamento de caminhos em

robotica movel (Gao e Tian, 2007), (Xingce et al., 2008), (Park e Lee, 2002). Em Janabi-

Sharifi e Vinke (1993a), o recozimento simulado e utilizado em conjunto com o Metodo

dos Campos Potenciais Artificiais, que tem por objetivo fazer com que o robo escape de

pontos de mınimo locais. Nesse uso em especıfico, a funcao de custo a ser minimizada e

dada pelo campo potencial total do ambiente, que corresponde a soma de todos os campos

repulsivos (gerados pelos obstaculos) e pelo campo atrator (gerado pelo destino).

2.2 Recozimento determinıstico

O recozimento determinıstico, proposto por Rose (1991), surgiu a partir do conceito

do recozimento simulado, porem, devido a forma de implementacao, com o ruıdo inserido

na funcao de custo, evita-se a movimentacao aleatoria na superfıcie de energia.

Esse metodo possui tres caracterısticas notaveis: i) a habilidade de se

evitar muitos mınimos locais fracos1; ii) possibilidade de aplicacao em diferentes

estruturas/arquiteturas; iii) a capacidade de minimizar a funcao custo de forma correta,

mesmo quando seus gradientes se anulam em quase todos os lugares (Rose, 1998). Diante

de tais caracterısticas, surge a possibilidade de uso do recozimento determinıstico para

evitar os mınimos locais em sistemas que implementam o metodo dos campos potenciais

1Definicao: (Mınimo local fraco) Um ponto x∗ ∈ ℜ e um minimizador local fraco de uma funcaoescalar f se existe uma vizinhanca V de x∗ tal que f(x∗) 6 f(x) para todo x ∈ V . O valor f(x∗) sera omınimo local fraco.


artificiais.

A diferenca entre o recozimento simulado e o recozimento determinıstico esta no fato

de que ao inves de se incorporar o ruıdo na movimentacao sobre a superfıcie de energia,

o ruıdo e incorporado na funcao de custo. A funcao de custo e parametrizada por meio

de uma variavel de controle β (o inverso da temperatura, 1/T ). Entende-se por ruıdo

inserido na funcao de custo, a alteracao feita nessa por meio da atualizacao constante

dos valores da temperatura. Com β = 0, a funcao de custo geralmente sera convexa

e o mınimo global da funcao sera facilmente identificado (Rose, 1991). Dessa forma,

o recozimento determinıstico pode ser visto como uma abordagem que primeiramente

localiza um mınimo global, com a temperatura infinita (β = 0) e, a medida que ocorre o

resfriamento (aumenta-se β), passa a caminhar em direcao ao mınimo, que a cada passo

de execucao, tende ao mınimo global do sistema que e alcancado em temperatura igual a

0.

De uma forma simples, a execucao do recozimento determinıstico pode ser descrita

utilizando a seguinte analogia:

1- Considere uma superfıcie com alguns objetos posicionados sobre a mesma. Esta

representara a funcao de custo a ser minimizada por meio do recozimento determinıstico.

2- Estica-se um lencol sobre esses objetos. Essa configuracao inicial, na qual o lencol

encontra-se praticamente esticado, pode ser relacionada ao inıcio da execucao do algoritmo

do recozimento determinıstico, com a temperatura inicial elevada.

3- Uma esfera metalica e solta sobre o lencol e esta tende para o mınimo global nesta

configuracao. Com isto, concorda-se com o que foi dito anteriormente, onde o algoritmo do

recozimento determinıstico inicia sua execucao encontrando um mınimo global da funcao

de custo com um alto valor de temperatura.

4- Lentamente, o lencol vai se acomodando sobre os obstaculos. A medida que isso

ocorre, a esfera se desloca em direcao ao mınimo global de cada uma dessas configuracoes

intermediarias. Relacionando ao algoritmo do recozimento determinıstico, essa acao e

vista como o processo de resfriamento e a perseguicao do ponto de mınimo global.

5- Por fim, com o lencol acomodado sobre os objetos, fazendo com que o ambiente

tenha a mesma forma da configuracao inicial, a esfera esta no ponto de mınimo global da

superfıcie. Isso equivale a funcao de custo de volta a sua forma original, com o ponto de

mınimo localizado. Nesse ponto, tem-se T = 0.

Graficamente, esta analogia pode ser explicada de acordo com a sequencia mostrada


na figura 1.

(a) Objetos sobre a superfıcie (b) Lencol completamente esticado -Temperatura alta

(c) Lencol se acomodando - Resfriamento (d) Lencol acomodado - temperatura baixa

Figura 1: Recozimento determinıstico - explicacao grafica

Considerando o caso em que o resfriamento nao e feito de forma suficientemente lenta,

ha a possibilidade de a esfera, em uma dada configuracao intermediaria, nao conseguir

alcancar o ponto de mınimo nessa configuracao. Com isso, a sua chegada ao mınimo

global pode ser comprometida. E possıvel observar tambem que, considerando o valor

inicial da temperatura ja em 0, a possibilidade da esfera conseguir alcancar o mınimo

global da superfıcie passa a ser muito pequena. Isso ocorre devido as grandes chances da

esfera estacionar em algum ponto de mınimo local antes de alcancar o global.

Matematicamente, o conceito do recozimento determinıstico e demonstrado em Rose

(1991) no contexto de agrupamento, onde a funcao de custo a ser minimizada e dada pela

distorcao entre o elemento a ser agrupado e o centroide de um dado grupo.

Essa demonstracao sera feita de forma a contextualizar a origem do algoritmo e mais

adiante sera mostrado como essa abordagem foi adaptada para o contexto desse trabalho.


Considere, inicialmente, a seguinte funcao:

E =∑

x

∑

j

P (x ∈ Cj)d(x, yj) (2.1)

A equacao 2.1 representa a energia do sistema, sendo nesse caso a distorcao

esperada. O termo d(x, yj) representa a medida de distorcao de um ponto x para um

determinado vetor yj e P (x ∈ Cj) define a probabilidade de x pertencer ao grupo de

pontos representados por yj. A princıpio, quando nao ha conhecimento a respeito das

probabilidades de associacao, e aplicado o princıpio da maxima entropia para realizar a

estimacao.

O princıpio da maxima entropia, proposto por Jaynes (1957), sugere que entre todas

as distribuicoes de probabilidade que satisfazem um determinado conjunto de parametros,

escolha aquela que maximiza a entropia.

Para aplicar o princıpio da entropia, supoe-se inicialmente que o conjunto Y = {yj} e

fixo. Essa hipotese sera descartada posteriormente, a medida que o sistema for otimizado.

Com Y fixo, e possıvel assumir que as probabilidades de associacao de cada ponto sao

independentes. A entropia e representada pela seguinte equacao:

H = −∑

x

∑

j

P (x ∈ Cj)logP (x ∈ Cj). (2.2)

A fim de maximizar a entropia, utiliza-se a distribuicao de Gibbs para a distribuicao

de probabilidade. Entao, tem-se

P (x ∈ Cj) =e−βd(x,yj)

Zx

, (2.3)

sendo Zx a funcao de particionamento, dada por:

Zx =∑

k

e−βd(x,yk) (2.4)

O parametro β e o multiplicador de Lagrange e no recozimento determinıstico e

inversamente proporcional a temperatura. Esse multiplicador sera um parametro crucial

do processo de recozimento. E possıvel notar que a diminuicao da distorcao e feita com

o aumento de β. Ha tambem uma relacao entre β e a probabilidade de associacao. Para

β = 0, ha distribuicoes uniformes, nas quais cada ponto esta igualmente associado a todos


os conjuntos. A medida em que β aumenta, a distribuicao passa a ser mais discriminatoria,

causando, em β = ∞, a associacao de cada ponto com o agrupamento mais proximo, com

probabilidade igual a 1.

Uma instancia de um dado sistema e definida como um conjunto de amostras Y = yj

e uma particao do conjunto de associacoes V = vxj, em que

vxj =

{

1, se x ∈ Cj,

0, caso contrario.(2.5)

Para cada instancia, e associada uma distorcao representada pela seguinte equacao:

D(Y, V ) =∑

x

∑

j

vxjd(x, yj), (2.6)

sendo essa uma distorcao especıfica para essa solucao de agrupamento forte. Para estimar

a distribuicao de probabilidades, e aplicado o princıpio de maximizacao da entropia na

equacao

E = 〈D(Y, V )〉 =∑

Y,V

P (Y, V )D(Y, V ), (2.7)

obtendo-se:

P (Y, V ) =e−βD(Y,V )

∑

Y ′,V ′ e−βD(Y ′,V ′). (2.8)

A instancia mais provavel e aquela que maximiza 2.8, ou seja, aquela com a menor

distorcao.

Considere a probabilidade marginal

P (Y ) =∑

V

P (Y, V ), (2.9)

como sendo o somatorio realizado em todos os conjuntos de associacao legais. Um conjunto

de associacao legal define uma particao em que cada ponto esta relacionado exatamente

a um unico agrupamento. Usando 2.4 e 2.6, obtem-se


∑

V

e−βD(Y,V ) =∏

x

∑

k

e−βd(x,yk) =∏

x

Zz(Y ) = Z(Y ) (2.10)

Assim a probabilidade marginal (2.9), pode ser reescrita como:

P (Y ) =Z(Y )

∑

Y ′ Z(Y ′). (2.11)

Reescrevendo 2.11 sob a forma de Gibbs, obtem-se

P (Y ) =e−βF (Y )

∑

Y ′ e−βF (Y ′), (2.12)

sendo F (Y ′) dado pela seguinte equacao:

F (Y ′) = −1

βlogZ(Y ). (2.13)

A funcao F, como definida aqui, representa a energia livre na analogia com a mecanica

estatıstica. Maximizar a probabilidade P (Y ) requer minimizar a energia F .

Relacionando as equacoes 2.4 e 2.10, tem-se a funcao de custo expressa em termos da

distorcao dada por:

F = −1

β

∑

x

log(∑

k

e−βd(x,yk)). (2.14)

O conjunto Y de pontos que minimiza a energia livre satisfaz a seguinte condicao:

∂

∂yjF = 0 , ∀j. (2.15)

Derivando a equacao 2.14, obtem-se

∑

x

P (x ∈ Cj)∂

∂yjd(x, yj) = 0, (2.16)

sendo P (x ∈ Cj) a probabilidade de associacao. Normalizando 2.16, tem-se

〈∂

∂yjd(x, yj)〉j = 0. (2.17)


Para o processo de recozimento, foram feitas algumas restricoes a respeito da distorcao,

quais sejam:

1. d : RS ×RS → [0,∞) e contınua;

2. d(x, y) e uma funcao convexa em y, para um x fixo;

3. d(x, y) → ∞ para ‖y‖ → ∞ para um x fixo.

Considerando a equacao de energia livre representada em 2.16, pode-se obter o mınimo

local desta funcao com um metodo de otimizacao escolhido (por exemplo, o gradiente

descendente). Para β = 0, as probabilidades de associacao sao uniformes e 2.16 pode ser

reescrita como:

∂

∂yj

∑

x

d(x, yj) = 0. (2.18)

Para β = 0, a funcao de custo e convexa e converge para um unico

ponto: o mınimo global nessa configuracao. A fim de evitar que a execucao

se direcione a um mınimo local, e inserido o processo do recozimento. Assim,

a execucao e feita de acordo com o algoritmo 2, apresentado a seguir.

Algoritmo 2: Pseudo-codigo do recozimento determinıstico

1 inıcio

2 QdtGrupos:= n;

3 β = 0;

4 enquanto Nao convergiu faca

5 Fixe o vetor de centroides;

6 Calcule a associacao de probabilidades;

7 Otimize o vetor de centroides;

8 Atualize o valor de β;

O recozimento determinıstico vem sendo aplicado em diversas areas, tais como

segmentacao (Mitra et al., 2000; Cho et al., 2000; Wang et al., 2006; Lee et al., 2008),

classificacao de imagens (Chitroub et al., 2000) e estimacao de parametros (Okamura

et al., 2010).

Rose (1991) sugere varias aplicacoes do seu metodo: agrupamento (tarefa para a qual

o metodo foi desenvolvido), resolucao do problema do caixeiro viajante, e aponta como


uma direcao futura o uso na navegacao em robotica. Partindo dessa sugestao e tendo em

vista o uso do recozimento simulado em navegacao de robos moveis, surge a ideia de se

utilizar o recozimento determinıstico em conjunto com o metodo dos campos potenciais

artificiais, na resolucao do problema dos mınimos locais proposto neste trabalho.

Trazendo para o contexto da presente dissertacao, a funcao de custo a ser minimizada

passa a ser a funcao dos campos potenciais. Essa funcao sera parametrizada pela

temperatura (inverso de β). A execucao do algoritmo do recozimento determinıstico

iniciara no instante em que for percebido um ponto de mınimo local no ambiente. Dessa

forma, o sistema passara por um aumento de temperatura e logo apos, ao atingir um valor

de temperatura maximo, sera resfriado gradativamente.

Com o processo do resfriamento, a funcao de custo do sistema sera alterada a cada

iteracao, o que deve impedir que um novo ponto de mınimo seja capaz de prender o

robo novamente. As constantes alteracoes na funcao de custo (por conta da alteracao

da temperatura no processo de resfriamento) possibilitam que determinado ponto do

ambiente, onde anteriormente se formava um ponto de mınimo local, nao represente em

iteracoes subsequentes um ponto de mınimo capaz de impedir que o robo alcance o mınimo

global.

35

3 Metodo de Campos Potenciais

Artificiais com LME inspirado

no recozimento determinıstico

O presente capıtulo apresenta uma nova abordagem para escapar de mınimos locais

em sistemas que implementam o Metodo dos Campos Potenciais Artificiais. Nesta

abordagem, e feita uma adaptacao do metodo de otimizacao denominado Recozimento

Determinıstico, de forma que, ao ficar preso em um ponto de mınimo local, o sistema passa

a executar o metodo desenvolvido neste trabalho, fazendo com que o robo se desprenda

desse ponto e possa continuar o seu caminho. Desta forma, e possıvel perceber que tal

solucao deve ser categorizada entre as solucoes baseadas em escape do ponto de mınimo

local. Outras solucoes dessa mesma categoria (LME) serao apresentadas neste capıtulo,

de forma a possibilitar um comparativo entre estas e a solucao proposta.

3.1 Metodo dos Campos potenciais artificiais

O Metodo dos Campos Potenciais Artificiais, proposto por Khatib (1986), e uma

abordagem utilizada para evitar obstaculos por manipuladores e robos moveis baseada no

conceito de campos potenciais artificiais. Nessa abordagem, a tarefa de evitar colisoes,

considerada um problema com alto nıvel de planejamento, pode ser distribuıda em

diferentes nıveis de controle, permitindo operacoes roboticas em tempo real em ambientes

dinamicos e complexos.

Esse metodo consiste na minimizacao de uma funcao de custo, dada pelos campos

potenciais no ambiente. Para formar a superfıcie da funcao, os pontos de destino do robo

sao definidos como regioes de atracao e os obstaculos como regioes de repulsao. A partir

dessas definicoes, funcoes para o calculo dos campos sao utilizadas e o gradiente negativo

dessas funcoes e calculado (forca eletrica), sendo essa a forca que impulsiona o movimento

do robo.

3.1 Metodo dos Campos potenciais artificiais 36

(a) Mapa do ambiente (b) Campos potenciais

Figura 2: Mapa do ambiente (a) e campos potenciais correspondentes (b)

Em Khatib (1986), e descrito o modelo de forcas para manipuladores. Para robos

moveis, a analise pode ser feita de forma analoga. Como exemplo, considere o ambiente

mostrado na figura 2(a), na qual O e o ponto de destino e xd e um obstaculo. O campo

potencial artificial resultante (Uart) para o mapa da figura 2(a) e mostrado na figura 2(b),

sendo descrito pela seguinte equacao:

Uart(x) = Uxd(x) + UO(x), (3.1)

em que Uxd(x) e UO(x) denotam respectivamente os campos potenciais do obstaculo e do

destino, e x e o vetor de coordenadas do ponto considerado.

Dessa forma, o campo resultante e a soma dos componentes de atracao e repulsao. A

equacao (3.1) pode ser reescrita como

F ∗ = F ∗

xd+ F ∗

O, (3.2)

com:

F ∗

xd= −grad[Uxd

(x)],

F ∗

O = −grad[UO(x)], (3.3)

sendo F ∗

xduma forca atratora que permite que o agente siga para o ponto de destino xd,

correspondente ao termo proporcional do controlador e definida por −k(x−xd). A partir

do obstaculo, suponha um cırculo de raio ρ, com uma barreira no limite desse cırculo.

3.1 Metodo dos Campos potenciais artificiais 37

A forca F ∗

O possui valor infinito nessa barreira, ao passo que se torna insignificante fora

dela. Por conta dessa limitacao, a forca repulsiva deve ser modelada por uma funcao que

tende ao infinito a medida que o agente se aproxima do obstaculo.

A fim de evitar perturbacoes indesejadas, a influencia dos obstaculos so deve existir

em uma area delimitada. Para tanto, Khatib (1986) propoe uma funcao de campos

potenciais na qual ha forca repulsiva apenas no interior de uma area delimitada por uma

certa distancia do obstaculo, que e dada por:

UO(x) =

{

12η(1

ρ− 1

ρO)2 se ρ ≤ ρO

0 se ρ > ρO,(3.4)

em que ρO representa a distancia limite de influencia do campo potencial e ρ representa

a menor distancia para o obstaculo.

Um problema existente no metodo dos campos potenciais e a possibilidade de o robo

ser direcionado para um ponto de mınimo local que nao o seu destino, impedindo o

robo de alcancar o seu objetivo. Na literatura, conforme mencionado na introducao, e

possıvel encontrar diferentes abordagens para solucionar o problema dos mınimos locais

em sistemas de navegacao que implementam o metodo dos campos potenciais artificiais:

Kim e Khosla (1992), Velagic et al. (2006), Cen et al. (2007), Iraji e Manzuri-Shalmani

(2007), Park e Lee (2002), Lee e Park (2003), Janabi-Sharifi e Vinke (1993b). Dentre as

abordagens citadas, algumas tentam impedir que o agente chegue ate um ponto de mınimo

local, enquanto que outras fazem com que ele escape deste ponto apos ter ficado preso.

Em particular, foi proposto em Janabi-Sharifi e Vinke (1993a) e em Lee e Park (2003),

o uso do recozimento simulado, conforme visto na secao 2.1, como uma solucao para o

problema dos mınimos locais. Nessa abordagem, o algoritmo do recozimento simulado e

executado apos ser detectado que o robo esta em um ponto de mınimo que nao o global.

Na execucao do algoritmo, ruıdos sao adicionados, fazendo com que o agente consiga se

desprender do ponto de mınimo. O recozimento simulado permite, por meio de algumas

movimentacoes aleatorias na superfıcie de custo, que pontos com maior energia possam

fazer parte dos pontos que compoem o caminho do robo ate o seu ponto de destino, em

detrimento de pontos com menor energia, sob uma certa probabilidade. E justamente

essa caracterıstica do algoritmo que permite que o robo escape de um ponto de mınimo

local.

3.2 Trabalhos Correlatos - LME 38

3.2 Trabalhos Correlatos - LME

Entre as formas de escape de pontos de mınimos locais por sistemas roboticos que

implementam o Metodo dos Campos Potenciais Artificiais, encontra-se aquela proposta

por Park e Lee (2004), segundo a qual um campo potencial repulsivo no ponto de mınimo

local e gerado seguindo o conceito de um obstaculo virtual. Em Janabi-Sharifi e Vinke

(1993b), e usado o algoritmo do recozimento simulado, fazendo com que o robo escape

do ponto de mınimo. Ambas as solucoes serao apresentadas nas secoes 3.2.1 e 3.2.2

respectivamente.

3.2.1 Obstaculo virtual

O obstaculo virtual, um metodo LME, tem por regra fazer com que o robo se afaste

do ponto de mınimo local do ambiente criando um campo repulsor nas redondezas desse

ponto. Como consequencia, e gerada uma forca repulsiva que e capaz de fazer com que o

robo se afaste do ponto de mınimo local onde ficou preso.

Essa abordagem, classificada como LME, e aplicada apenas apos o robo ter ficado

preso. Com isso, antes da criacao do campo potencial repulsivo, e necessario julgar se o

robo encontra-se preso em um ponto de mınimo local. Em Park e Lee (2004), e apresentado

um criterio para determinacao do mınimo local. Esse criterio e definido a seguir.

Sejam p(t) o vetor de posicao do robo no instante t, Ta um intervalo de tempo definido

e Sa o conjunto das mınimas distancias que o robo se move por Ta em situacoes sem

mınimos locais. E importante ressaltar que Sa e dado por uma distancia pequena, visto

que, quando preso em um ponto de mınimo local, o robo tende a percorrer distancias

curtas. Entao, para t ≥ Ta, se ‖p(t) − p(t − Ta)‖ ≤ Sa, entao o robo esta preso em um

ponto de mınimo local do ambiente, onde ‖.‖ denota a norma do vetor.

No momento em que ha a percepcao de um ponto de mınimo, um campo potencial

extra e gerado na posicao do obstaculo mais proximo do robo. O vetor de posicao deste

obstaculo e representado por pto.

A forca extra possui duas partes distintas: a primeira (ke1) e a segunda (−2ke2ρen).

A primeira parte e responsavel por direcionar a forca pelo vetor tangente de y, onde

y representa o caminho definido pelos obstaculos mais proximos ao robo enquanto este

navega em uma area de mınimo local. A segunda esta na direcao do vetor normal a

y e atrai o robo na direcao do obstaculo mais proximo, a fim de prevenir que o robo


se distancie muito de um caminho efetivo. Essa nova forca potencial previne que novos

pontos de mınimo sejam criados.

Pontos de mınimos locais podem ser vistos como os pontos no ambiente onde a forca

se anula. Calculando a forca repulsiva resultante como sendo F = Frep + Fext, tem-se a

forca total dada por:

F =

{

(ke1et + kr(1ρ− 1

ρ0) 1ρ2

− 2ke2ρ)en ρ ≤ ρ0

ke1e1 − 2ke2ρen ρ > ρ0,(3.5)

sendo que ke1 e ke2 sao ganhos proporcionais aplicados a cada termo que compoe a forca

extra; kr e o coeficiente de repulsao; et e o vetor tangete a y; en e o vetor normal ao

caminho tracado pela interpolacao dos obstaculos mais proximos que foram detectados

pelos sensores; ρ representa a menor distancia para um obstaculo e ρo e o limite de

influencia do campo potencial repulsivo.

Observando o termo ke1et, sabendo que et e um vetor unitario e que ke1 e diferente

de 0, e possıvel ver que a forca F nunca sera igual a zero, de forma que novos pontos de

mınimo nao serao formados.

Zhang et al. (2010) explica por meio ilustrativo o metodo do obstaculo virtual na

figura 3. Na figura 3(a) e mostrado um ambiente com obstaculo em forma de U com

a existencia de um ponto de mınimo local no seu interior. Na figura 3(b) e mostrada

a modelagem do campo potencial extra gerado para suprimir o ponto de mınimo pre-

existente. Na figura 3(c) e mostrada a superposicao dos campos potenciais de 3(a) e 3(b).

E na figura 3(d) e mostrada a possiblidade da criacao de novos pontos de mınimos locais,

dependendo da modelagem matematica do campo potencial extra gerado, o que deixa

claro que este metodo tambem e passıvel de falhas.

3.2.2 Campos potenciais com LME inspirado no recozimento

simulado

A fim de solucionar o problema dos mınimos locais no Metodo dos Campos Potenciais

Artificiais, Janabi-Sharifi e Vinke (1993b) propoem escapar dos pontos de mınimo com

o uso do algoritmo do recozimento simulado para ambientes estaticos. Basicamente,

esse metodo consiste em movimentacoes aleatorias pela superfıcie, a fim de encontrar

um local com potencial menor que o potencial do ponto de mınimo local apos o robo

ter ficado preso. Considerando a temperatura como um parametro do metodo, em altas


Figura 3: Explicacao grafica do obstaculo virtual

temperaturas, pontos com potenciais mais altos sao aceitos mais facilmente, enquanto

que, a medida que a temperatura vai diminuindo, apenas pontos com valores mais baixos

de potencial tendem a ser aceitos. Encontrado um ponto com menor potencial, o robo se

dirige ate ele e, apos isso, continua seguindo um caminho composto por pontos de menor

potencial.

No trabalho de Janabi-Sharifi e Vinke (1993b), a tarefa do planejamento de caminho

e dividido em planejamentos local e global. O planejamento de caminho e baseado

nos campos potenciais, onde o custo total e dado pela soma dos potenciais atrativos

e repulsivos presentes no ambiente.

No planejamento local, adequado para situacoes em que nao ha conhecimento previo

dos obstaculos, considera-se inicialmente o custo total como sendo o campo potencial

atrator, definido por:

Uatt = Katt.ρ2goal(q), (3.6)


em que Katt e dado por um valor positivo e ρ2goal(q) e a distancia entre o robo e o ponto

de destino.

Os obstaculos, representados por um campo repulsivo, sao modelados de acordo com

a seguinte equacao:

UO(x) =

Krep(1

ρi(q)− 1

ρeffi)2 se ρi(q) ≤ ρeffi

0 se ρi(q) > ρeffi ,(3.7)

sendo Krep a constante de repulsao, ρi(q) a menor distancia entre o robo e um obstaculo

e ρeffi a distancia de influencia do campo potencial. Delimitando-se a area de influencia

dos campos repulsivos, diminui-se a possibilidade de ocorrencia de pontos de mınimos

locais em areas externas ao limite de influencia.

O algoritmo de planejamento local e executado da seguinte maneira: inicia-se da

posicao inicial e segue-se o gradiente negativo da funcao de custo. Quando o robo fica

preso em um mınimo local, o algoritmo do recozimento simulado e executado.

O algoritmo do recozimento simulado para o planejamento local de caminho consiste

nos passos descritos no algoritmo 3.

O procedimento descrito no algoritmo 3 e repetido sempre que o robo ficar preso em

um mınimo local, ate que a posicao de destino seja alcancada.

Janabi-Sharifi e Vinke (1993b) mostram os resultados obtidos na simulacao feita no

artigo, onde e possıvel visualizar a convergencia do algoritmo. No entanto, o ponto de

mınimo apresentado e um ponto de mınimo local fraco. Segundo os autores, a escolha

dos parametros do recozimento determinam diferencas significativas no desempenho do

algoritmo. Tal observacao pode ser vista na execucao do recozimento simulado nos

experimentos realizados que serao apresentados no capıtulo 4.

3.3 Campos Potenciais com LME inspirado no recozimento determinıstico 42

Algoritmo 3: Pseudo-codigo do recozimento simulado para o metodo dos campospotenciais artificiais - Planejamento Local

1 inıcio

2 P := S;3 //ponto inicial no recozimento simulado T := T0;4 //temperatura inicial do recozimento

5 enquanto T > Tfe ainda nao escapou faca

6 Escolha um vizinho de P de forma aleatoria (P ′);7 Calcule U(P ′), o potencial em P ′;8 Faca ∆ = U(P ′)− U(P );9 se ∆ ≤ 0 entao

10 faca P = P ′;11 //aceite a nova configuracao, com menor energia

12 se ∆ > 0 entao

13 faca P = P ′ com probabilidade exp−∆

T ;

14 se U(P ′) < U(P ) entao15 Escapou;

16 Faca T = rT ;

17 se AindaPreso entao

18 Retorne falha;

19 se escapou entao

20 Retorne P ;

3.3 Campos Potenciais com LME inspirado no

recozimento determinıstico

Nesta secao, sera apresentada uma nova abordagem de LME, que e a principal

contribuicao deste trabalho. O metodo proposto sera baseado no recozimento

determinıstico e tem como objetivo permitir que o robo escape de pontos de mınimos

locais do ambiente com a alteracao da temperatura, que e um parametro da funcao de

custo.

Para o desenvolvimento do metodo, foi usada a funcao de custo apresentada em Khatib

(1986) como o campo potencial artificial, qual seja:

Uatt(X, Y ) = Kattρ2goal, (3.8)


(a) Temperatura baixa (b) Temperatura alta

Figura 4: Ambientes com temperaturas diferentes

Urep(X, Y ) =

{

Krep(1ρo

− 1ρint

)2 se ρo ≤ ρint,

0 se ρo > ρint,(3.9)

Utot = Uatt +∑

Urep. (3.10)

Assim como no recozimento determinıstico, havera aqui a insercao do parametro da

temperatura na funcao de custo. A insercao da temperatura provoca um aumento na

area de interferencia dos obstaculos visto que altera a funcao que os representa. Como

consequencia, obtem-se as seguintes funcoes:

Uatt(X, Y ) = Katt

ρ2goalT

, (3.11)

Urep = Krep

( 1ρoT

−1

ρint

)2

, seρoT

≤ ρint. (3.12)

Com a insercao da temperatura na funcao de custo e a variacao da mesma, e possıvel

observar uma alteracao na superfıcie do campo potencial nos ambientes, como pode ser

visto nas figuras 4(a) e 4(b).

A execucao e dada da mesma forma que no Metodo dos Campos Potenciais Artificiais

puro, diferenciando-se apenas no momento em que o robo encontra-se preso no ponto de

mınimo. Nesse instante, o algoritmo implementado (algoritmo 4) e executado ate que o

robo esteja livre do ponto de mınimo local. No algoritmo 4, Tmax representa a temperatura

maxima ate onde o sistema podera esquentar, Tf e a temperatura mınima na qual o sistema

chegara apos o resfriamento, a representa a taxa de aquecimento aplicada ao sistema e r

a taxa de resfriamento.

De forma diferente do que acontece com o uso do recozimento simulado para escapar


Algoritmo 4: Pseudo-codigo do recozimento determinıstico para o metodo doscampos potenciais artificiais - Planejamento Local

1 inıcio

2 P := S; //ponto de mınimo3 T := T0; //temperatura inicial do recozimento

4 enquanto T ≤ Tmaxe ainda nao escapou faca

5 Calcule o novo potencial;6 Siga o gradiente negativo desse potencial;7 Faca T = aT ;

8 enquanto T > Tfe ainda nao escapou faca

9 Calcule o novo potencial;10 Siga o gradiente negativo desse potencial;11 Faca T = rT ;

de mınimos locais, na abordagem proposta, o sistema e iniciado com temperatura T = 1,

e no instante em que o robo fica preso no ponto de mınimo local, essa temperatura e

aumentada gradativamente ate atingir um limiar pre-definido. Apos isto, o sistema e

resfriado novamente, ate T = 1, fazendo com que a funcao de custo retorne a sua forma

original. A temperatura e iniciada com valor “1” a fim de possibilitar a execucao do

metodo dos campos potenciais artificiais com a sua funcao de custo pura, sem interferencia

do parametro da temperatura.

Observando a funcao de custo determinada por Rose (1991), apresentada na equacao

2.14, e comparando-a com a funcao de custo do campo potencial, a ser minimizada,

apresentada em 3.12, percebe que β na primeira e o denominador do expoente de e,

multiplicada pela distancia entre um ponto x e um determinado centroide yK . Desta

forma, tem-se uma divisao dessa distancia pela temperatura. A alteracao da temperatura

nessa situacao, acarreta uma mudanca na influencia de cada centroide em determinado

ponto a ser agrupado: em altas temperaturas, a influencia de todos os centroides e maior.

Na equacao 3.12, a temperatura esta inserida na funcao repulsiva, onde seu aumento

provoca uma alteracao na area de abrangencia do obstaculo, ocasionando uma forca

repulsiva maior.

Na abordagem proposta neste trabalho, o planejamento e local, reativo, sem

conhecimento previo do ambiente, porem com memoria. Todos os obstaculos ja

identificados sao armazenados em uma matriz de obstaculos que continuam a influenciar

na construcao do campo, ainda que tais obstaculos estejam fora do alcance dos sensores.

45

4 Experimentos por simulacao

Neste capıtulo sera apresentado um estudo comparativo entre os quatro algoritmos

apresentados no capıtulo 3 e ainda o metodo dos campos potenciais artificiais puro, sem

nenhum mecanismo de escape de pontos de mınimos locais. Os quatro algoritmos foram

testados por meio das simulacoes realizadas em diversos mapas a fim de determinar as

diferencas entre eles em ambientes variados.

4.1 Ambiente utilizado nas simulacoes

Para a simulacao, foi utilizado um simulador desenvolvido em Matlab, o qual inclui

os modelos cinematico e dinamico do robo simulado. Nesse simulador, supoe-se que o

robo navega em ambiente plano, representado por um mapa no qual ha areas navegaveis e

obstaculos. A representacao do mapa e feita por uma imagem no formato bitmap. Nessa

imagem, as areas brancas sao interpretadas como areas navegaveis enquanto que as areas

pretas sao vistas como obstaculos.

A proporcao utilizada entre as imagens utilizadas como mapa e o ambiente real e de 1

pixel para cada cm2. O sistema de coordenadas global do ambiente tem origem no canto

inferior esquerdo da imagem.

A implementacao do simulador esta dividida em tres blocos distintos: os sensores, a

arquitetura de controle e o modelo do robo.

No bloco responsavel pelo sensoriamento, existem o sistema de localizacao

(responsavel por informar a posicao e a orientacao do robo no sistema de coordenadas

global) e um conjunto de sensores de distancia posicionados sobre o robo, simulando um

cordao de oito sensores de ultrassom (responsavel por fornecer informacoes sobre possıveis

obstaculos proximos ao robo). Os sensores estao localizados nos seguintes angulos: 0, π/4,

π/2, 3π/4, π, 5π/4 , 3π/2 e −π/4, como pode ser visto na figura 5.

4.1 Ambiente utilizado nas simulacoes 46

Figura 5: Posicionamento dos sensores

No segundo bloco, correspondente a arquitetura de controle, e feito o calculo da

velocidade dos motores de cada uma das rodas para a execucao de uma dada tarefa. Para

isso, sao levados em consideracao os dados recebidos por meio da leitura dos sensores.

O calculo das velocidades e feito a cada perıodo de amostragem e essas velocidades sao

passadas ao modelo do robo.

No modulo do modelo do robo e feito o calculo dos valores reais de velocidade para

os motores, levando em consideracao o estado atual do motor, o modelo matematico que

representa a dinamica dos motores e a velocidade desejada. Os motores sao representados

por meio de modelos lineares de segunda ordem.

Com o calculo das velocidades reais efetuado, esses valores sao aplicados para o modelo

cinematico do robo, calculando, portanto, as velocidades reais do robo.

A posicao atual e encontrada por meio da integracao das velocidades, sendo o calculo

refeito a cada perıodo de amostragem.

Convem ressaltar que ha ainda a consideracao de erros no tamanho das rodas, nas

distancias entre as rodas e o sistema de coordenadas do robo e do centro de massa deste,

e que as dimensoes do robo simulado sao 20cm ×25cm.

Ao final de cada simulacao, sao geradas quatro imagens. As figuras 6, 7, 8 e 9

representam os resultados de uma simulacao na qual o robo foi submetido a uma funcao

degrau, considerando que este deveria sair do ponto de origem em (200, 200)cm e chegar


ao seu destino em (600, 200)cm. Na figura 6 e possıvel ver o caminho seguido pelo robo.

Analisando este resultado, percebe-se que ha erros modelados, visto que o caminho nao

representa uma reta perfeita como deveria. Na figura 7 sao dadas as posicoes do robo

(em cm e radianos) em relacao ao tempo (em segundos). Na figura 8 sao mostradas

as velocidades do robo em cm/s e rad/s. Finalmente, na figura 9 sao mostradas as

velocidades de cada roda. Cabe salientar que para cada roda ha duas curvas: a azul,

representando a velocidade desejada para aquela roda, e a vermelha, representando a

velocidade real da roda, considerando o modelo dinamico. A analise dessa ultima imagem

permite verificar a existencia de uma modelagem dinamica por conta do comportamento

do grafico em vermelho.

Figura 6: Resultado da simulacao


Figura 7: Posicao do robo nos eixos x e y e θ

Figura 8: Velocidades em x, y e θ

4.2 Simulacoes no ambiente de teste 49

Figura 9: Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda

Para a implementacao dos algoritmos de recozimento simulado e determinıstico,

foi desenvolvida uma matriz de obstaculos, a qual e responsavel por armazenar dados

recebidos pelos sensores. Cada celula dessa matriz mede 50 × 50cm e a quantidade de

celulas e determinada pela area do ambiente. Ao ser reconhecido um obstaculo, e feito

o calculo da celula equivalente no ambiente. Na matriz de celulas, o valor na posicao

correspondente e alterado para “1” a fim de sinalizar um obstaculo existente naquela

posicao.

4.2 Simulacoes no ambiente de teste

A fim de demonstrar o funcionamento do metodo dos campos potenciais artificiais

puro, primeiramente foram realizadas simulacoes em ambientes sem pontos de mınimo

local. Nestes ambientes, foi possıvel verificar a convergencia do algoritmo. O resultado de

uma das simulacoes e apresentado na figura 10. Nesse ambiente, ha um unico obstaculo

que provoca a variacao na direcao do robo, mas que ainda assim permite que o mesmo

atinja seu objetivo.

Nessa simulacao, o ponto de partida esta em (200, 100)cm, representado pela marcacao

em vermelho no mapa e o ponto de destino localiza-se em (500, 800)cm, destacado em

verde. A figura 11 mostra a posicao do robo (em cm, para x e y e em radianos para


theta) em funcao do tempo (em segundos). A figura 12 mostra as velocidades em cm/s,

para x e y e em radianos/s para theta). A figura 13 mostra as velocidades para cada

roda. Note que houve o rastreamento da velocidade desejada para cada roda, conforme

se pode ver pela quase coincidencia das curvas em vermelho (velocidade desejada) e azul

(velocidade real).

Figura 10: Resultado da simulacao


Figura 11: Posicao do robo nos eixos x e y e θ

Figura 12: Velocidades em x, y e θ

4.3 Ambiente A1 52

Figura 13: Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda

A seguir, sao apresentados os resultados das simulacoes em ambientes com pontos de

mınimo local.

4.3 Ambiente A1

4.3.1 Simulacoes com o metodo dos Campos Potenciais

Artificiais puro

O primeiro ambiente simulado (figura 14 ) possui um mınimo local no interior de um

obstaculo em formato de U . Esse tipo de mınimo local e bastante citado na literatura,

uma vez que obstaculos desse tipo sao facilmente encontrados em ambientes reais. Nesse

ambiente, fez-se uso de um U raso, o que ocasiona um ponto de mınimo local simples de

possibilitar escape.

4.3 Ambiente A1 53

Figura 14: Resultado da simulacao - Campos potenciais puros no Ambiente A1

Figura 15: Posicao do robo nos eixos x e y e θ - Campos potenciais puros no AmbienteA1

4.3 Ambiente A1 54

Figura 16: Velocidades em x, y e θ - Campos potenciais puros no Ambiente A1

Figura 17: Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda - Campospotenciais puros no Ambiente A1

Para as simulacoes nesse ambiente foram determinados como pontos de partida

e destino os pontos (400,700)cm e (800,200)cm, apresentados em verde e vermelho,

respectivamente, na figura 14. A figura 15 mostra a posicao do robo (em cm, para x

e y e em radianos para theta) em funcao do tempo (em segundos). A figura 16 mostra

4.3 Ambiente A1 55

as velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para theta). A figura 17 mostra

as velocidades para cada roda. Para cada roda ha duas linhas: a azul, representando a

velocidade desejada, e a vermelha, representando a velocidade real da roda, considerando

o modelo dinamico.

Como esperado, o robo se direcionou para o ponto de mınimo presente no ambiente,

no interior do obstaculo em U . Por nao possuir nenhum mecanismo de escape para estas

situacoes, a simulacao foi interrompida sem que o objetivo fosse alcancado.

Na tabela 1 sao mostrados os parametros utilizados para Katt e para Krep. Nessa

simulacao, o ponto de mınimo local onde o robo estacionou foi x = 552, 6966cm e y =

499, 2723cm. A escolha de outro par de parametros, por vezes, ocasiona o choque entre o

robo e os obstaculos. Na tabela 2 sao mostrados os valores da velocidade media (calculado

a partir da media de todas as velocidades instantaneas durante o percurso), tempo de

execucao e suavidade do caminho para esta simulacao (calculada a partir das medias das

diferencas entre dois angulos de orientacao do robo consecutivos).

Tabela 1: Parametros utilizados na simulacao do Metodo dos Campos Potenciais Puro,para o ambiente A1.

Katt Krep

0,1 0,05

Tabela 2: Parametros de desempenho medidos na simulacao do Metodo dos CamposPotenciais Puro, para o ambiente A1.

Suavidade 0,0416rad

Tempo de execucao 14s

Velocidade media 23cm/s

4.3.2 Simulacoes com Campos Potenciais em conjunto com o

metodo inspirado no Recozimento Simulado

O metodo do recozimento simulado se mostrou bastante dependente da escolha dos

parametros (Katt, Krep, To e da taxa de resfriamento). Uma variacao pequena nesses

parametros ocasionou grande diferenca nos resultados, por vezes resultando em choque

4.3 Ambiente A1 56

entre o robo e os obstaculos e/ou a nao convergencia do algoritmo. A depender dos

parametros utilizados, o tempo de execucao aumentava bastante ate o momento da

convergencia. Janabi-Sharifi e Vinke (1993a) concluem no artigo apresentado que a

escolha otima de parametros pode influenciar drasticamente na execucao do algoritmo.

Ainda segundo Janabi-Sharifi e Vinke (1993a), caminhos razoaveis foram obtidos, ainda

que tais caminhos nao sejam otimos.

O resultado da simulacao e apresentado na figura 18. A figura 19 mostra a posicao do

robo (em cm, para x e y e em radianos para theta) em funcao do tempo (em segundos).

A figura 20 mostra as velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para theta) e a

figura 21 mostra as velocidades desejada (azul) e real (vermelho) para cada roda.

A tabela 3 mostra os parametros utilizados na simulacao. Na tabela 4 sao mostrados

os valores da velocidade media, tempo de execucao e suavidade do caminho para essa

simulacao.

Figura 18: Resultado da simulacao - Recozimento Simulado no Ambiente A1

4.3 Ambiente A1 57

Figura 19: Posicoes em x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A1

Figura 20: Velocidades em, x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A1

4.3 Ambiente A1 58

Figura 21: Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada rodas -Recozimento Simulado no Ambiente A1

Tabela 3: Parametros utilizados na simulacao do Metodo dos Campos Potenciais com orecozimento simulado, para o ambiente A1.

Katt Krep Temperatura

inicial

Taxa de

resfriamento

0,1 0,05 10 0,99

Tabela 4: Parametros de desempenho medidos na simulacao do Metodo dos CamposPotenciais com o recozimento simulado, para o ambiente A1.

Suavidade 0,0453rad



4.3 Ambiente A1 59

4.3.3 Simulacoes com Campos Potenciais com o Metodo do

Obstaculo Virtual

As simulacoes para o metodo do obstaculo virtual no primeiro ambiente permitiram

que o robo escapasse no ponto de mınimo local e chegasse ao seu objetivo. O resultado

e apresentado na figura 22. A figura 23 mostra a posicao do robo (em cm, para x e y

e em radianos para theta) em funcao do tempo (em segundos). A figura 24 mostra as

velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para theta) e a figura 25 mostra as

velocidades desejada (azul) e real (vermelho) para cada roda. Na tabela 6 sao mostrados

os valores da velocidade media, tempo de execucao e suavidade do caminho para essa

simulacao.

Figura 22: Resultado da simulacao - Obstaculo Virtual no Ambiente A1

4.3 Ambiente A1 60

Figura 23: Posicoes em x, y e θ - Obstaculo Virtual no Ambiente A1

Figura 24: Velocidades em x, y e θ - Obstaculo Virtual no Ambiente A1

4.3 Ambiente A1 61

Figura 25: Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda -Obstaculo Virtual no Ambiente A1

Tabela 5: Parametros utilizados na simulacao do Metodo dos Campos Potenciais com oobstaculo virtual, para o ambiente A1.

Katt Krep ke1 ke2

0,1 0,05 2,3 1,2

Tabela 6: Parametros de desempenho medidos na simulacao do Metodo dos CamposPotenciais com o obstaculo virtual, para o ambiente A1.

Suavidade 0,0259rad



4.3.4 Simulacoes com Campos Potenciais com o metodo

inspirado no Recozimento Determinıstico

Com o metodo do recozimento determinıstico implementado junto ao metodo dos

campos potenciais artificiais, foi possıvel escapar do ponto de mınimo local do Ambiente

4.3 Ambiente A1 62

A1 e chegar ao objetivo no mapa, como mostrado na figura 26. Com essa simulacao e

possıvel perceber que o algoritmo proposto resolve o problema para mınimos locais fracos

no ambiente.

A figura 27 mostra a posicao do robo (em cm, para x e y e em radianos para theta)

em funcao do tempo (em segundos). A imagem 28 mostra as velocidades em cm/s, para

x e y e em radianos/s para theta). A figura 29 mostra as velocidades desejada (azul) e

real (vermelho) para cada roda.

Figura 26: Resultado da simulacao - Recozimento Determinıstico no Ambiente A1

4.3 Ambiente A1 63

Figura 27: Posicoes em x, y e θ - Recozimento Determinıstico no Ambiente A1

Figura 28: Velocidades em x, y e θ - Recozimento Determinıstico no Ambiente A1

4.3 Ambiente A1 64

Figura 29: Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda -Recozimento Determinıstico no Ambiente A1

Para esse ambiente, os parametros utilizados estao listados na tabela 7. Na tabela 8

sao mostrados os valores da velocidade media, tempo de execucao e suavidade do caminho

para essa simulacao.

Tabela 7: Parametros utilizados na simulacao do Metodo dos Campos Potenciais com orecozimento determinıstico, para o ambiente A1.


inicial

Taxa de elevacao

da temperatura

Taxa de

resfriamento

Temperatura

maxima

0,1 0,05 1 1,011 0,9997 5

Tabela 8: Parametros de desempenho medidos na simulacao do Metodo dos CamposPotenciais com o recozimento determinıstico, para o ambiente A1.

Suavidade 0,0320rad



4.3 Ambiente A1 65

Figura 30: Comparativo de caminhos para o ambiente A1

4.3.5 Comparativo dos resultados para o ambiente A1

Na figura 30, sao apresentados os resultados dos quatro metodos para o primeiro

ambiente, onde se pode realizar de forma mais rapida um comparativo acerca dos caminhos

e da convergencia dos metodos. Na tabela 9, ha a apresentacao dos parametros medidos

nestas simulacoes.

4.4 Ambiente A2 66

Tabela 9: Parametros de desempenho obtidos com o Ambiente A1

Parametros Campospotenciaispuro

RecozimentoSimulado

ObstaculoVirtual

RecozimentoDeterminıstico

Suavidade 0,0416rad 0,0453rad 0,0259rad 0,0320radTempo de execucao 14s 79s 59s 96sVelocidade media 23cm/s 20cm/s 25cm/s 23cm/s

4.4 Ambiente A2

4.4.1 Simulacoes com o metodo dos Campos Potenciais

Artificiais puro

Para o Ambiente A2 (figura 31), proposto por Park e Lee (2004), os pontos de partida

e destino estabelecidos foram os mesmos utilizados nas simulacoes do trabalho original,

sendo a partida em (1000, 400)cm e o destino em (100, 200)cm. Esse mapa possui um

obstaculo em forma de U , assim como o primeiro ambiente, com a diferenca de que nesse,

o obstaculo e um pouco mais comprido, o que ocasiona a formacao e um ponto de mınimo

local forte, no interior do obstaculo.

Na simulacao sem nenhum mecanismo de escape do ponto de mınimo local, foi

possıvel observar que o robo se direciona para o interior do obstaculo e fica retido no

ponto de mınimo existente. Esse ponto de mınimo estacionou o robo nas coordenadas

(498, 1947; 400, 8557)cm. O resultado dessa simulacao e apresentado na figura 31. A

figura 32 mostra a posicao do robo (em cm, para x e y e em radianos para theta) em

funcao do tempo (em segundos). A figura 33 mostra as velocidades em cm/s, para x e

y e em radianos/s para theta). A figura 34 mostra as velocidades desejada (azul) e real

(vermelho) para cada roda.

4.4 Ambiente A2 67


Figura 32: Posicoes em x e y e θ - Campos potenciais puros no Ambiente A2

4.4 Ambiente A2 68



Os valores do fator de atracao (Katt) e repulsao (Krep) utilizados na simulacao sao

mostrados na tabela 10. Na tabela 11 sao mostrados os valores da velocidade media,

tempo de execucao e suavidade do caminho para esta simulacao.

4.4 Ambiente A2 69


Katt Krep

0,1 0,05


Suavidade 0,0415rad





Nao foi possıvel encontrar parametros do recozimento simulado que possibilitassem

uma convergencia do algoritmo no ambiente A2. Mesmo com a alteracao desses

parametros, em nenhuma simulacao foi possıvel escapar do interior do obstaculo. Embora

o robo ainda se mova do ponto de mınimo, ele fica aprisionado em um outro ponto ainda

no interior do obstaculo.

Esta situacao ocorre pelo fato de que o criterio de escape do recozimento simulado e

feito em cima da analise do valor do potencial no novo ponto. Como o obstaculo e grande

e o valor do potencial no seu interior e alto, fica difıcil encontrar uma posicao com um

valor de potencial abaixo do ponto de mınimo local onde o robo ficou preso inicialmente.

Com isso, ainda que com as movimentacoes aleatorias no interior do obstaculo, fica difıcil

fazer com que o robo saia do obstaculo e possa seguir o caminho ate o ponto de destino.

Apesar de nao ter sido possıvel conseguir a convergencia desse metodo no ambiente

A2, esse resultado nao significa que o uso do recozimento simulado nao seja capaz de fazer

com que o ponto de mınimo global seja alcancado nessa configuracao. A conclusao tirada

do resultado e que, por nao haver uma metodologia clara na escolha dos parametros para

o recozimento simulado, nao foi possıvel conseguir um grupo de paramentros capaz de

determinar a convergencia.

4.4 Ambiente A2 70

Na tabela 12 sao apresentadas as diversas combinacoes de parametros utilizadas nas

simulacoes e na figura 35 e apresentado o resultado da simulacao feita com os parametros

da primeira linha da tabela. Na tabela 13 sao mostrados os valores da velocidade media,

tempo de execucao e suavidade do caminho para essa simulacao. A figura 36 mostra a

posicao do robo (em cm, para x e y e em radianos para theta) em funcao do tempo (em

segundos). A figura 37 mostra as velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para

theta). A figura 38 mostra as velocidades desejada (azul) e real (vermelho) para cada

roda.


4.4 Ambiente A2 71


Figura 37: Velocidades em x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A2

4.4 Ambiente A2 72

Figura 38: Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda -Recozimento Simulado no Ambiente A2



inicial

Taxa de

resfriamento

0,1 0,05 14 0,9999

0,1 0,05 14 0,999

0,1 0,05 4 0,9999

0,1 0,05 4 0,999

0,1 0,05 54 0,9999

0,1 0,05 54 0,999

0,1 0,05 2400 0,9999

0,1 0,05 2400 0,999

4.4 Ambiente A2 73


Suavidade 0,0364rad




metodo inspirado no Obstaculo Virtual

O resultado da simulacao no ambiente A2 com o metodo do obstaculo virtual esta

mostrado na figura 39. Nessa simulacao, e possıvel perceber que, apos o robo ter ficado

preso no ponto de mınimo no interior do obstaculo, e gerada uma forca repulsiva que

direciona o robo para fora do obstaculo. Apos isso, o robo segue o caminho para o ponto

de destino. A figura 40 mostra a posicao do robo (em cm, para x e y e em radianos para

theta) em funcao do tempo (em segundos). A figura 41 mostra as velocidades em cm/s,

para x e y e em radianos/s para theta). A figura 42 mostra as velocidades desejada (azul)

e real (vermelho) para cada roda. Na tabela 15 sao mostrados os valores da velocidade

media, tempo de execucao e suavidade do caminho para esta simulacao.


4.4 Ambiente A2 74



4.4 Ambiente A2 75



Katt Krep ke1 ke2

0,1 0,05 3,5 3


Suavidade 0,0148rad




metodo inspirado no Recozimento Determinıstico

No ambiente A2, o uso do Recozimento Determinıstico possibilitou a convergencia

para o ponto de destino, permitindo que o robo se desprendesse do ponto de mınimo no

interior do obstaculo e conseguisse seguir um caminho ate seu destino.

4.4 Ambiente A2 76



A figura 45 mostra as velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para theta). A


Os valores dos parametros utilizados nas simulacoes sao apresentados na tabela 16,

sendo que os resultados mostrados nessa secao correspondem aos parametros da primeira

linha da tabela. Na tabela 17 sao mostrados os valores da velocidade media, tempo de

execucao e suavidade do caminho para esta simulacao.


4.4 Ambiente A2 77



4.4 Ambiente A2 78


Tabela 16: Parametros utilizados nas simulacoes para o metodo do RecozimentoDeterminıstico no Ambiente A2.


inicial

Taxa de elevacao

da temperatura

Taxa de

resfriamento

Temperatura

maxima

0,1 0,05 1 1,11 0,9997 27

0,1 0,05 1 1,011 0,99 5

0,1 0,05 1 1,011 0,99 10

0,1 0,05 1 1,011 0,99 15

0,1 0,05 1 1,111 0,999 5

0,1 0,05 1 1,111 0,999 10

0,1 0,05 1 1,111 0,999 15

4.4 Ambiente A2 79



Suavidade 0,0636rad


Velocidade media 13,68cm/s


Na figura 48, sao apresentados os resultados dos quatro metodos para o ambiente A2,

o que permite estabelecer de forma mais rapida uma comparacao entre os caminhos e

analisar as convergencias dos metodos. Na tabela 18, sao apresentados os parametros de

desempenho medidos nas simulacoes com o Ambiente A2.

Observando a figura 48 e possıvel perceber que apenas dois metodos conseguiram

convergir nesse ambiente: o recozimento determinıstico e o obstaculo virtual. Como

esperado, pela existencia do ponto de mınimo local no interior do obstaculo, o metodo

dos campos potenciais artificais puro nao foi capaz de finalizar a tarefa de navegacao. Na

simulacao com o metodo do recozimento simulado, nao foi possıvel encontrar um conjunto

de parametros que possibilitasse a convergencia no ambiente A2.

4.4 Ambiente A2 80

Figura 48: Comparativo de caminhos para o ambiente A2

A analise da tabela permite observar que o metodo do recozimento determinıstico

se mostrou mais suave que o recozimento simulado, como era esperado, por conta das

caracterısticas de ambos os metodos.

4.5 Ambiente A3 81

Tabela 18: Parametros obtidos com o Ambiente A2


RecozimentoSimulado

ObstaculoVirtual


Suavidade 0,0415rad 0,0364rad 0,0148rad 0,0636radTempo de execucao 25s 35s 115s 536sVelocidade media 22cm/s 21cm/s 23cm/s 13,68cm/s

4.5 Ambiente A3

4.5.1 Simulacoes com Campos Potenciais Puro

Nesse ambiente, o ponto de mınimo local (499;255)cm foi responsavel por impedir que

o robo chegasse ao seu objetivo, como pode ser visto na figura 49. O ponto de partida

se encontra no interior do obstaculo (900;300)cm e o ponto de destino em (200;100)cm,

apresentados em vermelho e verde, respectivamente. A figura 50 mostra a posicao do robo

(em cm, para x e y e em radianos para theta) em funcao do tempo (em segundos). A

figura 51 mostra as velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para theta). A


Os valores dos parametros utilizados nessa simulacao podem ser vistos na tabela 19.

Na tabela 20 sao mostrados os valores da velocidade media, tempo de execucao e suavidade

do caminho para esta simulacao.


4.5 Ambiente A3 82

Figura 50: Posicoes em x, y e θ - Campos potenciais puros no Ambiente A3


4.5 Ambiente A3 83


Katt Krep

0,1 0,05


Suavidade 0,0435radTempo de execucao 25sVelocidade media 23cm/s




Para o ambiente A3, assim como no ambiente A2, nao foi possıvel encontrar um

conjunto de parametros capaz de possibilitar a convergencia. Nesse ambiente tambem

ha um valor de campo potencial muito alto no interior do obstaculo, dificultando a

4.5 Ambiente A3 84

convergencia do recozimento simulado. Encontrar um campo potencial com menor valor

que o ponto de mınimo local interno do obstaculo seria possıvel na porcao do obstaculo

onde nao ha paredes. No entanto, por meio de uma movimentacao aleatoria na superfıcie

se torna difıcil direcionar o robo para essa regiao do ambiente.

Assim, percebe-se que neste ambiente o algoritmo do recozimento simulado, mais uma

vez, nao conseguiu convergencia devido a falta de uma metodologia para a escolha dos

parametros.

Na figura 53 e apresentado o resultado de uma das simulacoes realizadas. A figura

54 mostra a posicao do robo (em cm, para x e y e em radianos para theta) em funcao

do tempo (em segundos). A figura 55 mostra as velocidades em cm/s, para x e y e

em radianos/s para theta). A figura 56 mostra as velocidades desejada (azul) e real

(vermelho) para cada roda.

Na tabela 21 sao apresentados os conjuntos de parametros utilizados nas simulacoes

com este ambiente. Na tabela 22 sao mostrados os valores da velocidade media, tempo

de execucao e suavidade do caminho para esta simulacao.


4.5 Ambiente A3 85


Figura 55: Velocidades em x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A3

4.5 Ambiente A3 86




inicial

Taxa de

resfriamento

0,1 0,05 14 0,9999

0,1 0,05 14 0,999

0,1 0,05 4 0,9999

0,1 0,05 4 0,999

0,1 0,05 54 0,9999

0,1 0,05 54 0,999

0,1 0,05 2400 0,9999

0,1 0,05 2400 0,999

4.5 Ambiente A3 87


Suavidade 0,0350rad




Obstaculo Virtual

O resultado da simulacao apresentado na figura 57 mostra que com o obstaculo virtual

foi possıvel escapar do ponto de mınimo local no interior do obstaculo. Ainda que dentro

de um obstaculo com grandes extensoes de paredes e com um ponto de mınimo no seu

interior, foi possıvel a convergencia do algoritmo. A figura 58 mostra a posicao do robo

(em cm, para x e y e em radianos para theta) em funcao do tempo (em segundos). A

figura 59 mostra as velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para theta). A


No ambiente 03, o obstaculo virtual se mostrou superior ao metodo inspirado no

recozimento simulado e ao inspirado no recozimento determinıstico, visto que foi o unico

que conseguiu convergir nesse ambiente. Na tabela 24 sao mostrados os valores da

velocidade media, tempo de execucao e suavidade do caminho para essa simulacao.


4.5 Ambiente A3 88



4.5 Ambiente A3 89



Katt Krep ke1 ke2

0,1 0,05 3,5 3


Suavidade 0,0180rad





No ambiente A3, ainda que com o uso do recozimento determinıstico, nao foi possıvel

fazer com que o objetivo fosse atingido pelo robo. Nesse ambiente, o ponto de mınimo

4.5 Ambiente A3 90

local esta nas coordenadas (549,33; 298,2494)cm. Nesse ponto, o algoritmo do recozimento

determinıstico comeca a ser executado. Foram realizadas diversas simulacoes com valores

diferentes de Tf , taxa de aquecimento e de resfriamento. Em todas as simulacoes, no

inıcio do aquecimento, o robo comeca a se mover, ficando preso em um outro ponto de

mınimo, ainda no interior do obstaculo. Com o resfriamento, o robo tende a se movimentar

mais um pouco. No entanto, em nenhuma das simulacoes foi possıvel a convergencia do

algoritmo. Ainda que momentaneamente consiga escapar, nao foi possıvel fazer com que

o robo conseguisse sair do obstaculo e chegasse ao ponto de destino.

Observando o comportamento do sistema no ambiente A3, percebe-se que o metodo

do recozimento determinıstico, assim como o recozimento simulado, pode vir a falhar

em casos que nao seja feita uma escolha de parametros satisfatoria. Assim como no

recozimento simulado, nao ha uma metodologia para uma escolha de parametros no

recozimento determinıstico, o que contribui para a falha em algumas situacoes.

O resultado de uma das simulacoes e apresentado na figura 61. A figura 62 mostra a




roda.

Na tabela 25 sao mostrados os valores da velocidade media, tempo de execucao e

suavidade do caminho para essa simulacao.


4.5 Ambiente A3 91



4.5 Ambiente A3 92




inicial

Taxa de elevacao

da temperatura

Taxa de

resfriamento

Temperatura

maxima

0,1 0,05 1 1,011 0,99 5

0,1 0,05 1 1,011 0,99 10

0,1 0,05 1 1,011 0,99 15

0,1 0,05 1 1,001 0,9999 50

0,1 0,05 1 1,111 0,999 50

0,1 0,05 1 1,111 0,999 15

4.5 Ambiente A3 93


Suavidade 0,0604rad





de onde se pode realizar de forma mais rapida um comparativo acerca dos caminhos e

da convergencia dos metodos e na tabela 27 sao apresentados os parametros obtidos das

simulacoes neste ambiente.

E possıvel observar que apenas o obstaculo virtual conseguiu finalizar a tarefa de

navegacao, chegando ao ponto de destino no ambiente. No entanto, cabe ressaltar que as

falhas nos metodos do recozimento simulado e recozimento determinıstico se deram por

conta da ausencia de uma metodologia para encontrar um conjunto de parametros que

fosse capaz de possibilitar a convergencia.



RecozimentoSimulado

ObstaculoVirtual



4.5 Ambiente A3 94

Figura 65: Comparativo de caminhos no ambiente A3

4.6 Ambiente A4 95

4.6 Ambiente A4


No Ambiente A4, proposto por Janabi-Sharifi e Vinke (1993a), a simulacao foi

realizada tendo como ponto de partida (500;0)cm e como ponto de destino (100; 500)cm,

apresentados em vermelho e verde, respectivamente, na figura 66. A figura 67 mostra a




roda.

Como esperado, por existir um ponto de mınimo local no ambiente, o robo ficou preso

nesse ponto de mınimo (43; 252)cm, nao conseguindo convergir e chegar ao seu ponto de

destino. O valor do Krep para este ambiente foi de 0, 03. Neste caso, optou-se por diminuir

um pouco o valor do Krep por conta da parede horizontal existente no inıcio do caminho.

Um valor mais alto do Krep provocava oscilacoes na movimentacao. Com a reducao desse

valor, foi possıvel obter um resultado mais suave.

A tabela 29 mostra os valores medidos na simulacao.


4.6 Ambiente A4 96



4.6 Ambiente A4 97



Katt Krep

0,1 0,03


Suavidade 0,0418rad





As simulacoes feitas com o recozimento simulado em conjunto com o metodo dos

campos potenciais artificiais no ambiente A4 obtiveram resultados positivos quanto a

4.6 Ambiente A4 98

convergencia. Foram simulados com diversos valores de temperatura inicial e taxa de

resfriamento e, ainda assim, o algoritmo convergiu em todas as simulacoes realizadas.

Nao houve alteracoes significativas. A alta taxa de convergencia se da pelo fato de o

ponto de mınimo local existente no ambiente nao ser um ponto de mınimo forte.

O resultado, apesar de diferenciar-se do apresentado em Janabi-Sharifi e Vinke

(1993a), foi considerado satisfatorio. Tal divergencia se da pelo fato do recozimento

simulado ser um metodo com escolhas nao determinısticas.

Na figura 70 e apresentado o resultado da simulacao. A figura 71 mostra a posicao do


A figura 72 mostra as velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para theta). A


A tabela 31 mostra os valores medidos na simulacao.


4.6 Ambiente A4 99


Figura 72: Velocidades em, x, y e θ - Recozimento Simulado no Ambiente A4

4.6 Ambiente A4 100




inicial

Taxa de

resfriamento

0,1 0,05 4 0,999


Suavidade 0,0453rad




Obstaculo Virtual

No ambiente A4, o metodo do obstaculo virtual se mostrou satisfatorio, permitindo o

escape do ponto de mınimo e a convergencia ate o ponto de destino. O resultado para essa

4.6 Ambiente A4 101

simulacao e mostrado na figura 74. A figura 75 mostra a posicao do robo (em cm, para x

e y e em radianos para theta) em funcao do tempo (em segundos). A figura 76 mostra

as velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para theta). A figura 77 mostra

as velocidades desejada (azul) e real (vermelho) para cada roda. A tabela 33 mostra os

valores medidos na simulacao.



4.6 Ambiente A4 102



4.6 Ambiente A4 103


Katt Krep ke1 ke2

0,1 0,03 0,1 0,3


Suavidade 0,0384rad





Na simulacao no ambiente A4, com o metodo do recozimento determinıstico, foi

possıvel escapar do ponto de mınimo (43,64, 252,3)cm. As simulacoes realizadas com

varios valores para a temperatura maxima, para as taxas de aquecimento e resfriamento,

mostraram que, para ambientes mais simples como este, a temperatura maxima pode

ser baixa (4 - para a simulacao com melhor resultado) e o sistema pode ser aquecido e

resfriado de forma mais rapida, como mostrado na tabela 34. Com valores mais altos para

a temperatura maxima e com aquecimento e resfriamento mais lento tambem possibilitou

a convergencia do algoritmo. No entanto, o robo tendia a se afastar mais do ponto de

mınimo antes de retornar para o seu caminho. Isso pode ser justificado pelo fato de que

com a temperatura final mais alta, a forca repulsiva passa a ter valores mais altos, visto

que a temperatura influencia diretamente no modulo da forca.



A figura 80 mostra as velocidades em cm/s, para x e y e em radianos/s para theta).

A figura 81 mostra as velocidades desejada (azul) e real (vermelho) para cada roda. A

tabela 35 mostra os valores medidos na simulacao.

4.6 Ambiente A4 104



inicial

Taxa de elevacao

da temperatura

Taxa de

resfriamento

Temperatura

maxima

0,1 0,03 1 1,01 0,99 4

Tabela 35: Parametros de desempenho medidos nas simulacoes para o metodo doRecozimento Determinıstico no Ambiente A4.

Suavidade 0,0189rad




4.6 Ambiente A4 105

Figura 79: Posicoes em x,y e θ - Recozimento Determinıstico no Ambiente A4


4.6 Ambiente A4 106

Figura 81: Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada - rodaRecozimento Determinıstico no Ambiente A4



de onde pode-se realizar de forma mais rapida um comparativo acerca dos caminhos e da

convergencia dos metodos, enquanto que na tabela 36 e possıvel verificar os parametros

extraıdos a partir das simulacoes no ambiente A4.

Exceto pelo metodo dos campos potenciais artificiais puro, os outros tres conseguiram

fazer com que o robo escapasse do ponto de mınimo local existente no ambiente,

possibilitando que o ponto de destino fosse alcancado. E possıvel perceber que dentre

os quatro metodos, o recozimento determinıstico possibilitou um caminho mais suave que

os demais, o que pode ser confirmado na tabela 36.

4.6 Ambiente A4 107


4.7 Ambiente A5 108



RecozimentoSimulado

ObstaculoVirtual



4.7 Ambiente A5


No ambiente A5, proposto em Park e Lee (2002), assim como nos outros quatro

ambientes apresentados anteriormente, o metodo dos campos potenciais artificiais, por si

so, nao foi capaz de garantir que o robo chegasse ao seu destino. O robo ficou preso em

um ponto de mınimo local provocado pelo arranjo de obstaculos, como pode ser visto na

figura 83.

A figura 84 mostra a posicao do robo (em cm, para x e y e em radianos para theta)

em funcao do tempo (em segundos). A figura 85 mostra as velocidades em cm/s, para

x e y e em radianos/s para theta). A figura 86 mostra as velocidades desejada (azul) e

real (vermelho) para cada roda. Os parametros utilizados sao mostrados na tabela 37 e

os parametros de desempenho medidos sao mostrados na tabela 38.


Katt Krep

0,1 0,03


Suavidade 0,0082rad



4.7 Ambiente A5 109



4.7 Ambiente A5 110



4.7 Ambiente A5 111



Para o ambiente A5, foram realizadas diversas simulacoes, com os parametros

mostrados na tabela 39. Em algumas destas simulacoes, houve inclusive o choque entre

o robo e o obstaculo. Nao foi possıvel conseguir a convergencia desse algoritmo para o

ambiente A5, ainda que usando os parametros apresentados em Park et al. (2001) (linha

02 da tabela). A falha pode ser justificada pela falta de uma metodologia clara para a

escolha dos parametros do recozimento simulado.

A tabela 40 mostra os valores obtidos com a simulacao.

Figura 87: Resultado da simulacao - Campos potenciais com recozimento simulado noAmbiente A5

4.7 Ambiente A5 112



inicial

Taxa de

resfriamento

0,1 0,05 10 0,9999

0,1 0,05 10 0,999

0,1 0,05 10 0,99

0,1 0,05 4 0,9999

0,1 0,05 4 0,999

0,1 0,05 4 0,99


Suavidade 0,0166rad




Obstaculo Virtual

No ambiente A5, nao foi possıvel a convergencia deste algoritmo. Nas diversas

simulacoes realizadas, o robo chocou-se contra os obstaculos, ainda que fosse alterado

o valor da constante de repulsao para a forca extra criada.

O resultado de uma das simulacoes e apresentado na figura 88. A figura 89 mostra a




roda.

A tabela 42 mostra os valores obtidos com a simulacao.

4.7 Ambiente A5 113



4.7 Ambiente A5 114


Figura 91: Velocidades desejada (em azul) e real (em vermelho) para cada roda.-Obstaculo Virtual no Ambiente A5

4.7 Ambiente A5 115


Katt Krep ke1 ke2

0,1 0,05 2 2,5


Suavidade 0,0087rad





Na simulacao do metodo em conjunto com o recozimento determinıstico, executada

sobre o ambiente A5, o robo conseguiu escapar do ponto de mınimo local encontrado no

ambiente e chegar ao seu destino, como pode ser visto na figura 92. A figura 93 mostra a




roda.

Os parametros utilizados sao apresentados na tabela 43 e os parametros obtidos com

a simulacao, na tabela 44.

Nesse ambiente, simulacoes com valores mais baixos de temperatura ocasionaram um

afastamento menor do robo em relacao ao grupo de obstaculos. Isto se da pela influencia

direta do parametro da temperatura na forca repulsiva.

4.7 Ambiente A5 116



4.7 Ambiente A5 117



4.7 Ambiente A5 118



inicial

Taxa de elevacao

da temperatura

Taxa de

resfriamento

Temperatura

maxima

0,1 0,03 1 1,011 0,9999 4

Tabela 44: Parametros de desempenho medidos na simulacao do Metodo dos CamposPotenciais com o recozimento determinıstico, para o ambiente A5..

Suavidade 0,134rad





de onde pode-se realizar de forma mais rapida um comparativo acerca dos caminhos e

da convergencia dos metodos e na tabela 45 sao mostrados os parametros extraıdos das

simulacoes no ambiente A5.

E possıvel perceber que apenas o metodo do recozimento determinıstico possibilitou

que o robo escapasse do ponto de mınimo local e chegasse ao ponto de destino.

Tabela 45: Parametros de desempenho obtidos com o Ambiente A5


RecozimentoSimulado

ObstaculoVirtual



4.7 Ambiente A5 119


4.8 Analise dos resultados 120

4.8 Analise dos resultados

Neste trabalho foi proposta uma nova abordagem para escapar de pontos de mınimos

locais que surgem frequentemente quando se usa o metodo dos campos potenciais

artificiais.

A metodologia desenvolvida foi inspirada no metodo de otimizacao de Rose (1991), o

recozimento determinıstico, de forma similar a adaptacao feita por Janabi-Sharifi e Vinke

(1993a) para o recozimento simulado para a navegacao de robos moveis.

Com as simulacoes realizadas, foi possıvel perceber que, em quase todos os casos, ha a

convergencia do algoritmo do recozimento determinıstico e que essa convergencia depende

muito da escolha dos parametros do metodo (temperatura inicial, temperatura final, taxa

de resfriamento e taxa de aquecimento). Esta observacao ja havia sido feita por Rose

(1991), em sua tese de doutorado e, no campo da navegacao de robos moveis, havia sido

citada por Janabi-Sharifi e Vinke (1993a) para o caso do recozimento simulado. A escolha

de parametros ineficientes pode provocar tanto a nao-convergencia do metodo como

tambem uma significativa queda de desempenho, aumentando o tempo de convergencia.

Os resultados das simulacoes mostram que o metodo baseado no uso do recozimento

determinıstico apresenta resultados superiores ao recozimento simulado, quando analisado

o tipo de ambiente onde esta sendo feita a navegacao. Observando a qualidade dos

resultados, o recozimento determinıstico tambem mostrou-se superior ao recozimento

simulado ao tracar caminhos mais suaves. Esse fato ocorre gracas a forma como o

metodo e implementado: ruıdo inserido na funcao de custo. Com essa insercao, evita-se a

movimentacao aleatoria pela superfıcie da funcao de custo. E perceptıvel tambem, como

mostrado nas figuras de representacao grafica das velocidades em funcao do tempo, que

a variacao de velocidades e mais suave no metodo do recozimento determinıstico. Os

resultados de ambos os metodos deixam claro que a causa da nao-convergencia desses

metodos em determinado ambiente e a escolha de parametros, que precisa ser alterada

para a cada configuracao. No entanto, nao existe uma metodologia clara para realizar a

escolha desses parametros de forma otima, o que acaba por diminuir a eficiencia desses

metodos.

Quando comparado ao obstaculo virtual, o recozimento determinıstico se mostrou

inferior em obstaculos com superfıcies extensas como e o caso do ambiente A3. Isto se

da pelo fato de que o metodo do obstaculo virtual cria um novo campo repulsivo em

um unico ponto do ambiente. Com isto e criada uma forca repulsiva no sentido oposto


ao do ponto do obstaculo, conduzindo o robo para fora do ponto de mınimo local. No

recozimento determinıstico, com a insercao da temperatura na funcao de custo, durante o

aquecimento, ha um aumento no valor da forca repulsiva. No entanto, este aumento e feito

em todas as forcas. Com isso, o processo de fuga do interior do obstaculo e dificultado.

No entanto, as simulacoes realizadas com o metodo do obstaculo virtual conseguiram

mostrar algumas das desvantagens desse metodo, apresentadas em Zhang et al. (2010):

• Dificuldades na escolha dos parametros do campo potencial extra.

• Determinados parametros sao adequados apenas para alguns ambientes,

• Rota de fuga do ponto de mınimo local pode ser muito longa.

No ambiente A5, o algoritmo proposto neste trabalho se mostrou superior ao metodo

do obstaculo virtual, visto que esse ultimo nao convergiu neste ambiente. Por nao possuir

um mınimo local forte neste ambiente, suspeitou-se que as falhas do recozimento simulado

e do obstaculo virtual poderiam ter sido causadas por sua grande dimensao, visto que este

mede aproximadamente o triplo dos demais. Com isso, o ambiente A5 foi reduzido a um

terco de sua dimensao e novos testes foram executados. Nestes novos testes, as tres

abordagens de escape conseguiram finalizar a tarefa de navegacao, como pode ser visto

na figura 97.

Ainda que nao seja possıvel provar a causa da falha no ambiente A5 com base nos

resultados obtidos, pode-se dizer que ha um forte indıcio que a dimensao do ambiente

contribuiu para esta falha. E importante salientar que a abordagem proposta nesse

trabalho nao sofreu influencia por conta da dimensao do ambiente, tendo convergido

nos dois experimentos.

Durante a realizacao dos experimentos foi possıvel perceber que a escolha de

parametros e crucial para a convergencia dos tres metodos de escape. No obstaculo

virtual, por exemplo, o parametro do campo potencial repulsivo deve ser ajustado a cada

ambiente. Park e Lee (2004) nao apresentam em seu trabalho uma forma efetiva para a

escolha desses parametros. Alem disso, por conta do campo potencial repulsivo extra, e

possıvel que o robo necessite realizar um caminho maior que o habitual, a fim de escapar

da regiao de mınimo local.

Na tabela 46 e mostrado um resumo das convergencias de cada metodo por ambiente.

Nas linhas estao listados os quatro metodos implementados. Nas colunas sao citados os


(a) Recozimento Simulado (b) Obstaculo virtual

(c) Recozimento determinıstico

Figura 97: Comparativo de caminhos no ambiente A5 reduzido.

cinco ambientes utilizados nas simulacoes e na interseccao linha × coluna e indicado se

houve ou nao a convergencia dos metodos para cada ambiente. Essa sinalizacao e feita

por um X quando nao houve convergencia e por X quando foi possıvel escapar do ponto

de mınimo local e chegar ao ponto de destino.

Tabela 46: Resumo dos resultados

Metodos/Ambientes

Campos potenciais X X X X X

Recozimento simulado X X X X X

Obstaculo virtual X X X X X

Recozimento determinıstico X X X X X


Conclui-se, portanto, que e valido utilizar o metodo proposto para escapar de pontos

de mınimos locais, visto que este metodo foi capaz de produzir resultados satisfatorios

quando comparados com outras solucoes ja existentes. Convem ressaltar que a escolha de

parametros se mostrou um fator determinante para a convergencia do metodo proposto.

Assim, nos ambientes onde o algoritmo do recozimento determinıstico nao conseguiu

finalizar a tarefa de navegacao, o fracasso do algoritmo pode ser justificado pelo fato

de nao ter encontrado um conjunto de parametros ideais para aqueles ambientes. Uma

possıvel solucao para este problema pode estar no trabalho de Nooraliei e Altun (2009),

que mostra a utilizacao de automatos de aprendizado, uma abordagem adaptativa, para

a selecao de parametros no recozimento simulado.

124

5 Conclusoes e trabalhos futuros

O desenvolvimento desse trabalho resultou em uma nova abordagem possıvel de ser

utilizada em conjunto com o metodo dos campos potenciais artificiais. Esta abordagem

e classificada como uma abordagem LME (Local Minima Escape), visto que e acionada

apos o robo ter ficado preso em um ponto de mınimo local do ambiente. A solucao

aqui proposta foi capaz de resolver muitos dos possıveis problemas de mınimos locais do

ambiente, permitindo que o robo escapasse de um ponto de mınimo, apos ter ficado preso,

e chegasse ao seu ponto de destino, cumprindo assim a tarefa de navegacao.

O algoritmo falhou em apenas um dos ambientes testados. Com isso, os resultados

obtidos sao encorajadores e a falha se deve a dificuldade de se encontrar um conjunto de

parametros ideais a cada ambiente. Este problema na sintonia de parametros ja havia

sido citado por Rose (1991) e por Kirkpatrick et al. (1983), como sendo um fator com

grande influencia na convergencia dos metodos.

A inspiracao para este trabalho surgiu a partir do trabalho desenvolvido por Janabi-

Sharifi e Vinke (1993a), porem, como visto, o metodo aqui desenvolvido se mostrou

superior nas simulacoes: a taxa de convergencia foi maior e os resultados dos caminhos

foram melhores com o metodo inspirado no recozimento determinıstico.

Alem disso, com a abordagem aqui proposta foi possıvel resolver alguns problemas

existentes no trabalho de Janabi-Sharifi e Vinke (1993a), inerentes ao proprio recozimento

simulado, tais como movimentacao aleatoria na superfıcie de energia, que ocasiona uma

movimentacao aleatoria sobre o ambiente ate que o robo esteja completamente livre do

ponto de mınimo local. Essa movimentacao aleatoria pode, inclusive, provocar o choque

entre o robo e um obstaculo, visto que, por conta do algoritmo do recozimento simulado,

configuracoes com valores mais altos de energia podem ser aceitas. Assim, uma posicao

no ambiente com alto valor de campo potencial, como um obstaculo, pode ser aceita

em altas temperaturas, o que resulta no choque entre robo e obstaculo. Com o metodo

inspirado no recozimento determinıstico, nao ha movimentacao aleatoria pelo ambiente,

5 Conclusoes e trabalhos futuros 125

fazendo com que o caminho se torne mais suave.

Quando comparado ao obstaculo virtual, o algoritmo inspirado no recozimento

determinıstico falhou em um ambiente onde o metodo do obstaculo virtual obteve

convergencia. No entanto, conseguiu convergir em um ambiente onde o obstaculo virtual

falhou, possivelmente pela disposicao dos obstaculos e pelo tamanho do ambiente. Com as

observacoes feitas em cima dos resultados obtidos neste trabalho, sugere-se que o metodo

do obstaculo virtual nao se mostrou eficiente em ambientes mais extensos, ao passo que

o recozimento determinıstico nao sofreu influencia direta da dimensao do ambiente.

Pode-se classificar o trabalho aqui desenvolvido como exploratorio, uma vez que nao

fez uso rigoroso da teoria apresentada em Rose (1991). Como trabalho futuro, pode-

se desenvolver uma outra solucao para o problema dos mınimos locais, seguindo toda a

teoria do recozimento determinıstico. Dessa forma, e possıvel obter uma solucao LMA,

baseada na teoria do recozimento determinıstico, buscando assim uma abordagem capaz

de evitar mınimos locais mais complexos, possivelmente, obtendo resultados satisfatorios

nas situacoes em que a abordagem proposta neste trabalho nao funcionou adequadamente.

Ainda como trabalho futuro, sugere-se o uso de algum metodo para a escolha de

parametros de forma otimizada, o que pode determinar um aumento na taxa de sucesso

do algoritmo; por exemplo, ha os automatos de aprendizado, uma abordagem adaptativa,

ja utilizados por Nooraliei e Altun (2009) como forma de otimizacao de parametros no

recozimento simulado.

Uma outra possibilidade para trabalhos futuros, e mudar o espaco de execucao do

recozimento determinıstico: ao passo em que no presente trabalho o espaco e dado

pelas coordenadas x e y, ha a possibilidade do uso de funcoes polinomiais representando

o caminho entre o ponto de partida e destino do robo. Com isto, o recozimento

determinıstico pode ser utilizado na otimizacao dos coeficientes destas funcoes.

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