UMA ABORDAGEM MULTIOBJETIVO PARA O PROBLEMA DE ... · Este trabalho trata do problema de...

September 24-28, 2012Rio de Janeiro, Brazil

UMA ABORDAGEM MULTIOBJETIVO PARA OPROBLEMA DE PLANEJAMENTO OPERACIONAL DE

LAVRAVitor Nazário Coelho1, Marcone Jamilson Freitas Souza1, Igor Machado Coelho2

Frederico Gadelha Guimarães3 e Raphael Carlos Cruz1

1 Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, MG, 35400-000, Brasil

2Universidade Federal Fluminense (UFF), Niterói, RJ, 24210-240 Brasil

3Federal University of Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, 31270-901, Brazil

[email protected], [email protected], [email protected],

[email protected] e [email protected]

Abstract. This work presents two multiobjective heuristic algorithms based onMultiobjetive Variable Neighborhood Search (MOVNS) and Nondominated Sort-ing Genetic Algorithm II (NSGA-II) procedures. The algorithms were applied to aproblem that requires quick decisions, the open-pit-mining operational planningproblem with dynamic truck allocation (OPMOP). Approximations to Pareto setsgenerated by the developed algorithms were compared considering the hypervol-ume, coverage and spacing metrics. Computational experiments have shown thesuperiority of the local search algorithm MOVNS, which was able to find bettersets of non-dominated solutions, more diversified and with an improved conver-gence, compared to the population based search algorithm NSGA-II. MOVNSalgorithm was also validated as a good tool for mono-objective optimization,since it achieved better solutions than a mono-objective literature algorithm.

KEYWORDS: Open-pit-mining, Multiobjective Optimization, MOVNS, NSGA-II

Resumo. Este trabalho apresenta dois algoritmos heurísticos multiobjetivosbaseados nos procedimentos Multiobjetive Variable Neighborhood Search(MOVNS) e Nondominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II). Os algorit-mos foram aplicados a um problema que requer decisões rápidas, o problemade planejamento operacional de lavra em minas a céu aberto com alocaçãodinâmica de caminhões (POLAD). As aproximações das Fronteiras de Paretogeradas pelos algoritmos desenvolvidos foram comparadas entre si tendo emvista as métricas de hipervolume, cobertura e espaçamento. Os experimentoscomputacionais realizados mostraram a superioridade do algoritmo baseado noprocedimento de busca local MOVNS, que foi capaz de encontrar conjuntos desoluções não-dominadas mais diversificados e com uma melhor convergência,quando comparado ao algoritmo de busca populacional NSGA-II. O algoritmoMOVNS também foi validado como uma boa ferramenta de otimização mono-objetivo, visto que ele alcançou melhores soluções que um algoritmo mono-objetivo da literatura.

PALAVRAS-CHAVE: Planejamento operacional de lavra, Otimização Multiob-jetivo, MOVNS, NSGA-II

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1 IntroduçãoEste trabalho trata do problema de planejamento operacional de lavra com alocação

dinâmica de caminhões (POLAD). Neste problema, deve-se determinar a taxa de extraçãode minério e estéril nas frentes de lavra e associar a elas carregadeiras e caminhões deforma que as metas de produção e qualidade sejam satisfeitas. Além disso, procura-seminimizar o número de caminhões necessários para a execução desta tarefa. Tradicional-mente, o POLAD tem sido tratado como um problema de otimização mono-objetivo comsoma ponderada de três objetivos: a minimização dos desvios de qualidade, a minimizaçãodos desvios de produção e a minimização do número de caminhões necessários ao pro-cesso. Neste trabalho propõe-se tratá-lo por uma abordagem multiobjetivo. Desta forma, oque se procura é um conjunto de soluções não-dominadas, também chamadas de soluçõeseficientes, ou Fronteira de Pareto, cabendo ao tomador de decisões a escolha da soluçãomais adequada às suas necessidades. As soluções não-dominadas são também chamadaseficientes ou Pareto-ótimo. A Fronteria de Pareto é a imagem das soluções não-dominadasno espaço dos objetivos.

Para a resolução do POLAD, a literatura tem mostrado várias abordagem baseadasem procedimentos heurísticos, visto que métodos exatos possuem uma aplicabilidade re-strita (Souza et al., 2010). Dentre esses trabalhos destacamos: Costa (2005), que desen-volveu um algoritmo heurístico combinando Greedy Randomized Adaptive Search Proce-dures – GRASP (Feo e Resende, 1995) com VNS (Hansen e Mladenovic, 2001) e usandoseis tipos diferentes de movimentos para explorar o espaço de soluções; Coelho et al.(2008), que propuseram o algoritmo GVILS, combinando os procedimentos heurísticosGRASP, VND e ILS (Lourenço et al., 2003), e desenvolveram mais dois tipos de movi-mentos; Souza et al. (2010), que desenvolveram o algoritmo GGVNS, que combina asmetaheurísticas General Variable Neighborhood Search – GVNS (Hansen et al., 2008) eo procedimento GRASP; Coelho et al. (2011c), que apresentaram uma paralelização doalgoritmo sequencial de Souza et al. (2010) e Coelho et al. (2011b), que desenvolveramum algoritmo evolutivo inspirado em Estratégias Evolutivas (Beyer e Schwefel, 2002).

Em termos de abordagem multiobjetivo para POLAD, o único trabalho encontradona literatura foi o de Pantuza (2011). Esse autor propôs um algoritmo genético multi-objetivo híbrido baseado no procedimento Nondominated Sorting Genetic Algorithm II -NSGA-II (Deb et al., 2002). Na abordagem utilizada, foram considerados três objetivosconflitantes: minimizar o número de caminhões necessários para o processo de produção,minimizar os desvios em relação às metas dos teores dos parâmetros de qualidade e min-imizar os desvios de produção de minério. Os resultados do modelo de otimização foramvalidados por meio de um aplicativo de simulação.

No presente trabalho são desenvolvidos dois algoritmos multiobjetivos, sendoum baseado no procedimento Multiobjective Variable Neighborhood Search – MOVNS(Geiger, 2004) e outro baseado no NSGA-II. Tais algoritmos têm sido aplicados, comsucesso, na solução de diversos problemas, motivando seu uso na resolução do POLAD. Osegundo, inclusive, conforme comentado anteriormente, já foi objeto de estudo em Pantuza(2011) para a solução do POLAD. No presente trabalho, ele é aperfeiçoado. Destaca-se,além disso, que os dois algoritmos são baseados em princípios diferentes, uma vez que oprimeiro é baseado em busca local e o segundo, em busca populacional. Tem-se, assim,neste trabalho, também o objetivo de verificar qual dessas propostas melhor se adapta àresolução do POLAD.

2804


O restante deste trabalho está organizado como segue. A Seção 2 detalha os algorit-mos propostos para resolver o POLAD. A Seção 3 mostra os resultados dos experimentoscomputacionais e a Seção 4 conclui o trabalho.

2 Algoritmos desenvolvidos

2.1 Representação de uma solução, vizinhança e avaliação

Dado um conjunto de frentes de lavra F , um conjunto de caminhões V e um con-junto de carregadeiras K, uma solução para o POLAD é representada por uma matrizR = [Y |N ], sendo Y a matriz |F | × 1 e N a matriz |F | × |V |. Cada célula yi da matrizY|F |×1 representa a carregadeira k ∈ K alocada à frente i ∈ F . Um valor −1 significa quenão existe carregadeira alocada. Se não houver viagens feitas a uma frente i, a carregadeirak associada a tal frente é considerada inativa e não é penalizada por produção abaixo damínima para este equipamento de carga.

Na matriz N|F |×|V |, cada célula nil representa o número de viagens do caminhãol ∈ V a uma frente i ∈ F . O valor 0 (zero) significa que não há viagem para aquelecaminhão. O valor −1 informa a incompatibilidade entre o caminhão e a carregadeiraalocada àquela frente.

Na Tabela 1, mostra-se um exemplo de uma solução para o POLAD. Nesta Tabela,na primeira coluna indica-se a frente de lavra; na segunda, a carregadeira alocada a essafrente e seu status, se em atividade ou não; nas demais colunas, o número de viagens quecada caminhão faz a cada frente de lavra. A ocorrência da letra “X” indica que não hácompatibilidade entre o caminhão e a carregadeira alocada à respectiva frente.

Tabela 1. Representação de uma soluçãoCarga Cam1 Cam2 ... CamV

F1 < Car1, 1 > 8 X ... XF2 < D, 0 > 0 0 ... 0F3 < Car8, 0 > 0 0 ... 0... ... ... ... ... ...FF < Car5, 1 > 0 9 ... 3

Observa-se, pela Tabela 1, que na linha F1 da coluna Carga a dupla 〈Car1, 1〉indica que o equipamento de carga Car1 está alocado à frente F1 e em operação. Por outrolado, na linha F3 dessa mesma coluna, a dupla 〈Car8, 0〉 indica que o equipamento decarga Car8 está alocado à frente F3, mas não está em operação. Na célula 〈D, 0〉 mostra-se que não existe equipamento de carga alocado à frente F2 e que, portanto, esta frenteestá disponível. O número 8 que aparece na terceira coluna e segunda linha indica que ocaminhão Cam1 fará oito viagens à frente F1.

Para explorar o espaço de soluções foram utilizados os oito movimentos descritosem Souza et al. (2010), cada qual definindo uma estrutura de vizinhança. Sejam i, j ∈ F ;l,m ∈ V : a vizinhança NNV (s) consiste no incremento ou decremento em nil; NCG(s)consiste na troca de yi com yj , trocando-se também as linhas i e j de N ; NV C(s) consisteem transferir uma viagem de nil para njl; NV F (s) consiste em transferir uma viagem denil para nim; NOF (s) consiste em zerar uma linha i de N ; NOC(s) consiste em zerar acélula nil; NV T (s) consiste em transferir uma viagem de nil para njm; NCT (s) consiste

2805


na troca de yi com yj , porém, neste caso as linhas i e j de N não são trocadas e quaisquerincompatibilidades geradas são resolvidas zerando a célula de N incompatível.

Uma solução s é avaliada com relação a três objetivos conflitantes, z1(s), z2(s) ez3(s), que mensuram, respectivamente, os desvios dos parâmetros de qualidade da mistura,os desvios de produção e a quantidade de caminhões usados. Como na exploração doespaço de soluções permite-se gerar soluções inviáveis, então, a esses objetivos tambémestão associadas as parcelas de inviabilidade I1(s), I2(s) e I3(s), respectivamente. Taisfunções objetivo e seus respectivos parâmetros são definidos em Souza et al. (2010).

Deste modo, o vetor z de objetivos a ser minimizado é dado pela Eq. (1):

z(s) = (z1(s) + I1(s), z2(s) + I2(s), z3(s) + I3(s)) (1)

2.2 Algoritmos propostos

São propostos dois algoritmos multiobjetivos, denominados GMOVNS eGNSGAII-PR. O primeiro consiste na combinação dos procedimentos heurísticos GreedyRandomized Adaptative Search Procedure – GRASP e Multiobjective Variable Neighbor-hood Search – MOVNS (Geiger, 2004). O segundo combina os procedimentos GRASP,NSGA-II e Reconexão por Caminhos (PR) – Path Relinking (Glover, 1996).

O Algoritmo 1 mostra o pseudocódigo do GMOVNS.

Uma solução inicial (linhas 2 e 4 do Algoritmo 1) é gerada utilizando a mesmaestratégia de Souza et al. (2010), baseado no procedimento parcialmente guloso GRASP.O procedimento addSolution (linha 5 do Algoritmo 1), detalhado no Algoritmo 2,adiciona as soluções criadas pelo GRASP na população Xe. As linhas 9 e 10 selecionamum indivíduo da população de soluções potencialmente eficientes e marca este indivíduocomo “visitado”. Quando todos os indivíduos estão com este marcador, a linha 33 retiratais marcadores.

As variáveis shaking e level, linha 7 do Algoritmo 1, regulam a perturbação uti-lizada no algoritmo. Essa versão do algoritmo MOVNS, proposta neste trabalho, possuium mecanismo que regula o nível de perturbação do algoritmo, ou seja, a variável shakingé incrementada quando o algoritmo passa um determinado tempo sem obter boas soluções.Da linha 12 até 15 do Algoritmo 1, ocorre o laço de perturbação do algoritmo. No mecan-ismo utilizado, quanto maior o valor da variável shaking, mais a solução será perturbada.Para cada unidade dessa variável seleciona-se, aleatoriamente, uma vizinhança entre as seisseguintes: NNV (s), NCG(s), NV C(s), NV F (s), NV T (s) e NCT (s). Em seguida, aplica-seum movimento de perturbação. A linha 30 retorna os valores das variáveis level e shakingpara uma unidade quando, pelo menos, uma solução é adicionada ao conjunto de soluçõespotencialmente eficientes Xe.

Por fim, o procedimento addSolution (linhas 5 e 19 do Algoritmo 1) está de-talhado no Algoritmo 2.

O pseudocódigo do GNSGAII-PR está esquematizado no Algoritmo 3.

Analogamente ao Algoritmo 1, a população inicial P0 do Algoritmo 3 é iniciadacom a adição de indivíduos gerados pelo procedimento GRASP (linha 5 do Algoritmo 3);porém, neste caso, o critério de parada do GRASP é o tamanho da população P0 (linha 2do Algoritmo 3).

2806


Algoritmo 1: GMOVNSEntrada: Vizinhanças Nk(x); graspMax; levelsMaxSaída: Aproximação de um conjunto eficiente Xe

para i← 1 até graspMax faça1sw ← ConstróiSoluçãoEstéril()2Gere um número aleatório γ ∈ [0, 1]3si ← ConstróiSoluçãoMinério(sw, γ)4addSolution(Xe, si, f(si))5

fim6level← 1 ; shaking ← 17enquanto Critério de parado não satisfeito faça8

Seleciona uma solução não visitada s ∈ Xe9Marque s como visitada10s′ ← s11para i← 1 até shaking faça12

Selecione aleatoriamente uma vizinhança Nk(.)13s′ ← Perturbação(s′, k)14

fim15kult ← k16incrementa← verdadeiro17para todo s′′ ∈ Nkult(s

′) faça18addSolution(Xe, s

′′, f(s′′),Added)19se Added = verdadeiro então20

incrementa← falso;21fim22

fim23se incrementa = verdadeiro então24

level← level + 125senão26

level← 1; shaking← 127fim28se level ≥ levelMax então29

shaking← shaking + 1 ; level← 130fim31se todas s ∈ Xe estão marcadas como visitadas então32

Marque todos s ∈ Xe como não-visitado33fim34

fim35retorna Xe36

Algoritmo 2: addSolutionEntrada: População Xe potencialmente eficiente; Solução s e sua avaliação z(s)Saída: Xe; Added (opcional)

Added← verdadeiro1para todo x ∈ Xe faça2

se z(x) � z(s) então3Added← falso4Break5

fim6se z(s) ≺ z(x) então7

Xe ← Xe \ x8fim9

fim10se Added = verdadeiro então11

Xe ← Xe ∪ s12fim13retorna Xe14

2807


Algoritmo 3: GNSGAII-PREntrada: Tamanho da população N ; Vizinhanças Nk(x)Saída: Aproximação de um conjunto eficiente Xe

População inicial P01enquanto |P0| < N faça2

sw ← ConstróiSoluçãoEstéril()3Gere um número aleatório γ ∈ [0, 1]4si ← ConstróiSoluçãoMinério(sw, γ)5addSolution(P0, si, f(si))6

fim7Q0 ← SelecaoCruzamentoPRMutacao(P0, Vizinhanças N (k)(.))8Xe ← Nondominated Sorting Genetic Algorithm II(P0, Q0, N , SelecaoCruzamentoPRMutacao(...))9retorna Xe10

Na linha 8 do Algoritmo 3 é acionado o procedimento de seleção, cruzamento emutação, SelecaoCruzamentoPRMutacao, cujo pseudocódigo é mostrado no Al-goritmo 4. Neste trabalho, a Reconexão por Caminhos foi utilizada como um operadoravançado de cruzamento, tal como em Ribeiro e Resende (2012).

O procedimento Nondominated Sorting Genetic Algorithm II (Deb et al., 2002) éativado na linha 9 do Algoritmo 3. As etapas de “seleção, cruzamento e mutação” sãosubstituídas pelo procedimento SelecaoCruzamentoPRMutacao.

Algoritmo 4: SelecaoCruzamentoPRMutacaoEntrada: População P de pais; Vizinhanças N (k)(.); Parâmetros da mutação mutationRate e

LocalSearchRateSaída: População Q de offprings

enquanto |Q| < N faça1Selecione dois indivíduos aleatórios s1 e s2 ∈ P2s← melhor indivíduo (s1, s2, ReconexãoPorCaminhos(s1, s2), ReconexãoPorCaminhos(s2, s1))3addSolution(Q, s, f(s))4Gere um número aleatório apmutation ∈ [0, 1]5se apmutation < mutationRate então6

Selecione aleatoriamente uma vizinhança N (k)(.)7s′ ← N (k)(s)8

senão9s′ ← s10

fim11Gere um número aleatório apLocalSearch ∈ [0, 1]12se aplocalSearch < LocalSearchRate então13

s′′ ← VND(s′)14addSolution(Q, s′′, f(s′′))15

senão16addSolution(Q, s′, f(s′))17

fim18fim19retorna Q20

O Algoritmo 4 realiza a aplicação dos operadores genéticos, ou seja, dada umapopulação de pais P , esse procedimento faz a seleção, cruzamento e mutação, de forma aobter uma população Q de offprings.

Na linha 3 do Algoritmo 4 o indivíduo s recebe o melhor indivíduo (considerandoa função de avaliação mono-objetivo de Souza et al. (2010)) entre os dois indivíduos sele-cionados aleatoriamente, s1 e s2, ou um dos dois indivíduos retornados pelo procedimento

2808


de Reconexão por Caminhos, ou seja, a Reconexão é acionada tanto com o indivíduo s1sendo a solução base quanto sendo a solução guia. Na Reconexão considera-se como atrib-uto a posição que uma carregadeira ocupa em uma solução. A cada passo do procedimento,verificamos se a carregadeira k alocada na frente de lavra i da solução guia é igual à car-regadeira alocada na frente i da solução base. Caso a carregadeira seja diferente, move-sea carregadeira k da solução base para a frente i, sendo mantidas as viagens que eram asso-ciadas a esta carregadeira. Desta forma, são mantidos os critérios de compatibilidade entreas carregadeiras e os caminhões. Então, realiza-se uma busca local baseada no procedi-mento VND (Mladenovic e Hansen, 1997), utilizando apenas as estruturas que modificamo número de viagens dos caminhões, no caso, as vizinhanças: NNV (s), NV C(s) e NV F (s),preservando assim as carregadeiras já fixadas. Para prosseguir para o passo seguinte, lista-mos todos estes movimentos e aplicamos aquele que possui melhor resultado considerandoa função de avaliação mono-objetivo. Este procedimento é repetido até que todos os atrib-utos sejam fixados, ou seja, que a carregadeira alocada a cada frente da solução base seja amesma da solução guia.

Já a linha 8 do Algoritmo 4 aplica uma mutação no indivíduo s caso a variávelaleatória apmutation seja menor que a taxa de mutação mutationRate. O mesmo acontece nalinha 14, em que aplica-se o procedimento VND caso uma condição análoga seja satisfeita.Finalmente, as linhas 4, 15 e 17 do Algoritmo 4 verificam se os indivíduos s, s′ e s′′ devemser adicionadas à população de offprings Q.

3 Resultados Computacionais

Os algoritmos propostos GNSGAII-PR e GMOVNS foram implementados em C++com auxílio do framework OptFrame 1.5 1 (Coelho et al., 2011a, 2010).

Os experimentos foram realizados em um microcomputador DELL XPS 8300 IntelCore i7-2600, 8MB Cache, 3.4GHz, 16GB RAM, sob sistema operacional Ubuntu 10.10.Para testar os algoritmos desenvolvidos, foi usado o conjunto de 8 problemas-teste deSouza et al. (2010).

Primeiramente, foi realizada uma bateria de testes com o objetivo de validar o al-goritmo GNSGAII-PR. Três variantes desse algoritmo foram testadas, sendo que cada umadelas corresponde a diferentes tamanhos da população. Para a primeira variante, denomi-nada GNSGAII-PR-20, o tamanho da população foi fixado em 20. Para a segunda, denom-inada GNSGAII-PR-35, o tamanho da população foi fixado em 35. Já a terceira variante,denominada GNSGAII-PR-65, o tamanho da população foi fixado em 65 indivíduos. To-dos os oito problemas-teste foram executados 30 vezes pelos algoritmos, com um tempocomputacional limitado a 120 segundos, tal como em Souza et al. (2010).

As Tabelas 2 e 3 apresentam os resultados obtidos pelos algoritmos GNSGAII-PR-20, GNSGAII-PR-35 e GNSGAII-PR-65 em relação à função de avaliação dada pelaEquação (1), à página 4. Nesta primeira etapa de análise, apenas as métricas de Espaça-mento (Schott, 1995) e Hipervolume (Zitzler e Thiele, 1998) foram utilizadas. Nessastabelas, a coluna “Instância” indica o problema-teste utilizado. A coluna “Melhor” in-dica o melhor valor da métrica analisada obtido nas 30 execuções. As colunas “Média” e“Desv.Padrão” indicam a média e desvio-padrão da amostra, respectivamente.

1Disponível em http://sourceforge.net/projects/optframe/

2809


A Tabela 6 apresenta a média das cardinalidades das frentes de pareto obtidas pelasvariantes e pelo algoritmo GMOVNS, também desenvolvido neste trabalho. Desta forma,os valores indicados nesta tabela são a soma do número de soluções não-dominadas obtidasem cada execução dividido pelo número de execuções.

Na Tabela 2 são apresentados os valores da métrica de hipervolume para as três vari-antes do algoritmo GNSGAII-PR. Analisando-a, percebe-se que para as instâncias opm1,opm2, opm3, opm5 e opm8 a variante GNSGAII-PR-20 foi a que obteve o maior número demelhores valores para essa métrica; porém, a variante GNSGAII-PR-35 apresentou o maiornúmero de menores valores médios e os menores desvios padrão. A variante GNSGAII-PR-65 conseguiu obter a melhor média e o melhor valor para a instância opm6.

A Tabela 3 mostra os resultados da comparação entre as variantes utilizando amétrica de Espaçamento. Novamente, a variante GNSGAII-PR-35 obteve os melhoresresultados na média e os menores desvios padrão. A variante GNSGAII-PR-65 obteveos melhores valores de espaçamento, como pode ser visto nas instâncias opm1, opm3,opm4, opm5, opm6 e opm8. Todavia, analisando a Tabela 6, percebemos que a varianteGNSGAII-PR-65 obteve frentes de pareto com poucos indivíduos quando comparada comoutros algoritmos desenvolvidos. Este resultado forçou uma análise mais aprofundada nasfrentes de pareto geradas por essa variante. Desta forma, foi observado que as frentes depareto onde o espaçamento obtido foi igual a 0, eram frentes compostas por apenas doisindivíduos.

Para a segunda análise de resultados, o algoritmo GMOVNS foi comparado coma variante do algoritmo GNSGAII-PR que obteve o melhor desempenho em termos deconvergência e diversidade, ou seja, a variante GNSGAII-PR-35. As Tabelas 4 e 5 indicamos valores obtidos pelos algoritmos utilizando as métricas de Hipervolume, Espaçamentoe Cobertura (Zitzler e Thiele, 1998).

Analisando-se as Tabelas 4 e 5 percebe-se que o algoritmo GMOVNS obteve mel-hores resultados em todas as instâncias. Observando a Tabela 4, nota-se que o algoritmoGMOVNS foi capaz de obter um melhor convergência e diversidade, obtendo as melhoresmédias para as métricas de hipervolume e espaçamento. A Tabela 5 indica a hegemoniadesse algoritmo em relação ao algoritmo GNSGAII-PR, apontando execuções com valoresde cobertura iguais a 1 e médias acima ou iguais a 0,66.

A última bateria de testes buscou verificar se esta nova proposta multiobjetivo con-seguiria uma boa solução mono-objetivo. A Tabela 7 mostra a comparação dos resultadosdos valores das melhores soluções mono-objetivo obtidas pelo algoritmo GMOVNS comaqueles gerados pelo algoritmo GGVNS de Souza et al. (2010).

Analisando-se a Tabela 7 percebemos que o algoritmo GMOVNS mostrou-se com-petitivo com o algoritmo mono-objetivo GGVNS, obtendo melhores soluções que o algo-ritmo GGVNS em quatro instâncias.

4 ConclusõesEste trabalho teve seu foco no problema de planejamento operacional de lavra con-

siderando alocação dinâmica de caminhões (POLAD). Ele foi resolvido por meio de umaabordagem multiobjetivo, levando-se em consideração três objetivos conflitantes: mini-mização dos desvios de metas de produção e qualidade para o produto formado, e mini-mização do número de veículos necessários ao processo produtivo.

2810


Tabela 2. GNSGAII-PR-20 × GNSGAII-PR-35 × GNSGAII-PR-65: Hipervolume

Inst

ânci

aTe

mpo

GN

SGA

II-P

R-2

0(106)

GN

SGA

II-P

R-3

5(106)

GN

SGA

II-P

R-6

5(106)

(min

)M

elho

rM

édia

Des

v.Pa

drão

Mel

hor

Méd

iaD

esv.

Padr

ãoM

elho

rM

édia

Des

v.Pa

drão

opm

12

162,

4712

9,87

12,1

815

5,56

137,

8711

,10

151,

9313

0,76

8,24

opm

22

99,8

678

,85

8,03

96,2

985

,47

6,01

95,6

586

,28

4,63

opm

32

3476

,42

2924

,38

352,

3533

53,6

628

87,7

026

0,69

2433

,28

1729

,77

267,

98op

m4

233

80,3

126

36,6

243

8,54

3389

,25

2650

,98

383,

8622

84,4

218

14,1

721

9,71

opm

52

88,5

070

,25

7,27

81,9

174

,30

5,15

94,4

773

,65

6,29

opm

62

111,

1194

,36

8,42

114,

9099

,51

7,31

121,

8810

0,06

8,15

opm

72

837,

1574

1,27

54,0

490

7,52

747,

8111

3,07

648,

1651

8,37

79,1

1op

m8

212

19,1

310

63,7

110

6,92

1192

,36

1070

,22

95,2

089

8,82

729,

6610

6,29

Tabela 3. GNSGAII-PR-20 × GNSGAII-PR-35 × GNSGAII-PR-65: Espaçamento

Inst

ânci

aTe

mpo

GN

SGA

II-P

R-2

0G

NSG

AII

-PR

-35

GN

SGA

II-P

R-6

5(m

in)

Mel

hor

Méd

iaD

esv.

Padr

ãoM

elho

rM

édia

Des

v.Pa

drão

Mel

hor

Méd

iaD

esv.

Padr

ãoop

m1

225

10,8

111

761,

6082

10,3

025

89,5

469

24,4

050

07,2

016

59,7

977

31,5

058

72,2

0op

m2

221

72,8

081

90,8

061

06,2

018

12,1

465

57,2

050

30,7

020

81,7

451

98,4

026

74,6

0op

m3

210

626,

5016

365,

4037

36,4

048

50,5

014

368,

6051

73,6

00,

0016

547,

9012

236,

10op

m4

211

550,

5018

200,

8079

31,0

048

65,8

918

295,

3070

46,6

00,

0019

781,

9028

634,

90op

m5

227

51,9

111

210,

1070

47,0

025

78,3

975

44,5

055

29,4

019

06,2

181

24,1

063

40,2

0op

m6

220

80,0

194

94,4

080

71,5

022

18,0

559

63,8

046

50,8

018

78,6

157

46,6

053

26,5

0op

m7

293

95,2

218

402,

7054

93,7

049

24,6

114

673,

6046

46,0

049

95,2

116

309,

8070

41,8

0op

m8

298

80,2

319

584,

6053

08,2

049

74,8

514

874,

7058

97,7

00,

0016

017,

4080

68,0

0

2811


Tabela 4. GMOVNS× GNSGAII-PR-35:Hipervolume e Es-paçamento

Inst

ânci

aE

spaç

amen

toH

iper

volu

me

(106)

Mel

hor

Méd

iaM

elho

rM

édia

GM

OV

NS

GN

SGA

II-P

R-3

5G

MO

VN

SG

NSG

AII

-PR

-35

GM

OV

NS

GN

SGA

II-P

R-3

5G

MO

VN

SG

NSG

AII

-PR

-35

opm

116

62,5

425

89,5

428

68,6

869

24,4

220

9,21

155,

5618

1,86

137,

87op

m2

1066

,13

1812

,14

2041

,59

6557

,20

139,

7496

,29

120,

8885

,47

opm

322

50,9

648

50,5

061

88,9

914

368,

6239

19,5

433

53,6

635

15,5

928

87,7

0op

m4

2411

,89

4865

,89

8232

,88

1829

5,27

4075

,53

3389

,25

3522

,17

2650

,98

opm

514

00,8

425

78,3

925

63,7

275

44,4

810

8,08

81,9

197

,33

74,3

0op

m6

1087

,95

2218

,05

2025

,84

5963

,77

158,

1111

4,90

140,

9599

,51

opm

729

17,6

649

24,6

183

11,1

214

673,

5710

03,0

190

7,52

860,

0274

7,81

opm

822

58,1

449

74,8

580

45,6

714

874,

7313

74,0

611

92,3

611

48,7

110

70,2

2

Tabela 5. GMOVNS× GNSGAII-PR-35:Cobertura

Inst

ânci

aTe

mpo

Cob

ertu

ra(m

in)

C(G

MO

VN

S,G

NSG

AII

-PR

-35)

C(G

NSG

AII

-PR

-35,

GM

OV

NS)

Mel

hor

Méd

iaD

esv.

Padr

ãoM

elho

rM

édia

Des

v.Pa

drão

opm

12

1,00

0,90

0,12

0,92

0,04

0,17

opm

22

1,00

0,86

0,09

0,10

0,01

0,02

opm

32

1,00

0,75

0,19

0,21

0,04

0,07

opm

42

1,00

0,80

0,15

0,12

0,02

0,04

opm

52

1,00

0,88

0,11

0,07

00,

010,

02op

m6

21,

000,

800,

160,

080,

020,

03op

m7

21,

000,

660,

250,

400,

080,

11op

m8

21,

000,

660,

190,

790,

090,

16

Tabela 6. Média donúmero de soluçõesnão-dominadas obti-das

Inst

ânci

aG

MO

VN

SG

NSG

AII

-PR

-20

GN

SGA

II-P

R-3

5G

NSG

AII

-PR

-65

opm

139

,93

8,10

12,0

011

,17

opm

264

,23

8,14

13,0

413

,63

opm

326

,20

11,3

413

,85,

97op

m4

24,4

09,

9411

,47

5,4

opm

541

,27

8,37

11,0

011

,37

opm

661

,43

8,47

12,4

713

,30

opm

726

,33

11,3

413

,94

7,50

opm

823

,63

11,0

413

,97,

90

Tabela 7. Comparação de resultados: GMOVNS × GGVNSAlgorithm opm1 opm2 opm3 opm4 opm5 opm6 opm7 opm8

Melhor Melhor Melhor Melhor Melhor Melhor Melhor MelhorGMOVNS 228,12 257,75 164051,45 164111,76 227,16 239,70 164019,95 164022,17GGVNS 230,12 256,37 164039,12 164099,66 228,09 236,58 164021,28 164023,73

2812


Na abordagem multiobjetivo não há uma única solução que satisfaça a todos osobjetivos. O que se procura é um conjunto de soluções não-dominadas, também chamadasde soluções eficientes, ou Fronteira de Pareto, cabendo ao tomador de decisões a escolhada solução mais adequada.

Em virtude da complexidade combinatória do problema, foram propostos dois al-goritmos heurísticos multiobjetivos. O primeiro deles, denominado GNSGAII-PR, com-bina os procedimentos Greedy Randomized Adaptive Search Procedures (GRASP), Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II) e a Reconexão por Caminhões comooperador de cruzamento. O segundo algoritmo, denominado GMOVNS, combina os pro-cedimentos GRASP e Multiobjective Variable Neighborhood Search (MOVNS).

Para comparar o desempenho desses algoritmos, foram usados oito problemas-testeda literatura e três métricas de avaliação: Hipervolume, Cobertura e Espaçamento. Os ex-perimentos computacionais mostraram que o algoritmo GMOVNS teve desempenho mel-hor que o GNSGAII-PR, uma vez que ele obteve, em todos os problemas-teste utilizados,frentes de pareto mais diversificadas e com uma melhor convergência. Utilizando umafunção mono-objetivo, as soluções obtidas pelo algoritmo GMOVNS também foram com-paradas a um algoritmo de otimização mono-objetivo da literatura, denominado GGVNS,de Souza et al. (2010). O algoritmo GMOVNS foi capaz de obter melhores soluções emquatro problemas-teste, mostrando, assim, o poderio deste algoritmo tanto para aplicaçõesmultiobjetivos quanto para aplicações mono-objetivo.

Dado que a tomada de decisão no problema em pauta tem que ser rápida, os resul-tados encontrados validam a utilização dos algoritmos propostos enquanto ferramenta deapoio à decisão.

Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPEMIG e ao CNPq pelo apoio ao presente trabalho.

Referências

Beyer, H. G. e Schwefel, H. P. (2002). Evolution strategies - a comprehensive introduction.Natural Computing, v. 1, p. 3–52.

Coelho, I. M.; Munhoz, P. L. A.; Haddad, M. N.; Coelho, V. N.; Silva, M. M.; Souza, M.J. F. e Ochi, L. S. (2011)a. A computational framework for combinatorial optimizationproblems. VII ALIO/EURO Workshop on Applied Combinatorial Optimization, p. 51–54,Porto.

Coelho, I. M.; Ribas, S.; Perche, M. H. P.; Munhoz, P. L. A.; Souza, M.J. F. e Ochi, L. S.(2010). Optframe: a computational framework for combinatorial optimization problems.XLII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, p. 1887 – 1898, Bento Gonçalves,RS.

Coelho, I. M.; Ribas, S. e Souza, M. J. F. (2008). Um algoritmo baseado em grasp, vnd eiterated local search para a resolução do planejamento operacional de lavra. XV Simpósiode Engenharia de Produção, Bauru/SP.

Coelho, V. N.; Souza, M. J. F.; Coelho, I. M.; Guimarães, F. G. e Coelho, B. N. (2011)b.Estratégias evolutivas aplicadas a um problema de programação inteira mista. AnaisX Congresso Brasileiro de Inteligência Computaciona (CBIC), volume 1, p. 1–8, Fort-aleza/CE.

2813


Coelho, V. N.; Souza, M. J. F.; Coelho, I. M.; Ribas, S. e Oliveira, T. A. (2011)c. PGGVNS:Um algoritmo paralelo para o problema de planejamento operacional de lavra. AnaisXVIII Simpósio de Engenharia de Produção (SIMPEP), volume 1, p. 1–14, Bauru/SP.

Costa, F. P. (2005). Aplicações de técnicas de otimização a problemas de planejamentooperacional de lavras em mina a céu aberto. Dissertação, Programa de Pós-Graduaçãoem Engenharia Mineral, Escola de Minas, UFOP, Ouro Preto.

Deb, K.; Pratap, A.; Agarwal, S. e Meyarivan, T. (2002). A fast and elitist multiobjectivegenetic algorithm: NSGA-II. Evolutionary Computation, IEEE Transactions on, v. 6, n.2, p. 182–197.

Feo, T. A. e Resende, M. G. C. (1995). Greedy randomized adaptive search procedures.Journal of Global Optimization, v. 6, p. 109–133.

Geiger, Martin Josef. (2004). Randomised variable neighbourhood search for multi objec-tive optimisation. In Proceedings of the 4th EUME Workshop Design and Evaluation ofAdvanced Hybrid MetaHeuristics, v. November 4, n. Nottingham, United Kingdom„ p.34–42.

Glover, F. (1996). Tabu Search and adaptive memory programming - advances, appli-cations and challenges. Barr, R.; Helgason, R. e Kennington, J., editors, Interfaces inComputer Sciences and Operations Research, p. 1–75. Kluwer Academic Publishers.

Hansen, P. e Mladenovic, N. (2001). Variable neighborhood search: Principles and appli-cations. European Journal of Operational Research, v. 130, p. 449–467.

Hansen, P.; Mladenovic, N. e Pérez, J. A. M. (2008). Variable neighborhood search:methods and applications. 4OR: Quarterly journal of the Belgian, French and Italianoperations research societies, v. 6, p. 319–360.

Lourenço, H. R.; Martin, O. C. e Stützle, T. (2003). Iterated local search. Glover, F. eKochenberger, G., editors, Handbook of Metaheuristics. Kluwer Academic Publishers,Boston.

Mladenovic, N. e Hansen, P. (1997). A variable neighborhood search. Computers andOperations Research, v. 24, p. 1097–1100.

Pantuza, G. (2011). Métodos de otimização multiobjetivo e de simulação aplicados aoproblema de planejamento operacional de lavra em minas a céu aberto. Dissertação demestrado, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral - PPGEM da Universi-dade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto.

Ribeiro, C. e Resende, M. (2012). Path-relinking intensification methods for stochasticlocal search algorithms. Journal of Heuristics, v. 18, p. 193–214.

Schott, J. R. (1995). Fault tolerant design using single and multicriteria genetic algorithmoptimization. Dissertação de mestrado, Department of Aeronautics and Astronautics,Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts.

Souza, M. J. F.; Coelho, I. M.; Ribas, S.; Santos, H. G. e Merschmann, L. H. C. (2010). Ahybrid heuristic algorithm for the open-pit-mining operational planning problem. Euro-pean Journal of Operational Research, EJOR, v. 207, p. 1041–1051.

Zitzler, E. e Thiele, L. (1998). Multiobjective optimization using evolutionary algorithms- a comparative case study. Eiben, Agoston; Back, Thomas; Schoenauer, Marc e Schwe-fel, Hans-Paul, editors, Parallel Problem Solving from Nature - PPSN V, volume 1498of Lecture Notes in Computer Science, p. 292–301. Springer Berlin / Heidelberg.

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