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UMA EXPLORAÇÃO DO CONCEITO DE NÚMEROS PARES E ÍMPARES POR MEIO DE UMA TRAJETÓRIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM

Sônia Aparecida Silvério1

Magna Natalia Marin Pires2

Resumo

Este artigo tem como objetivo apresentar uma proposta de intervenção didática realizada por meio de uma Trajetória de Ensino e Aprendizagem, na abordagem de Resolução de Problemas e na perspectiva da Educação Matemática Realística. A Trajetória de Ensino e Aprendizagem foi elaborada a partir de uma tarefa de matemática e continha os objetivos do professor para a aprendizagem dos alunos, o plano de trabalho do professor, hipóteses do professor a respeito do processo de aprendizagem dos alunos. A proposta de intervenção foi realizada com alunos de um 6º ano do Ensino Fundamental e aconteceu no segundo semestre de 2011. Apresentaremos aqui o relato dessa proposta e algumas considerações a respeito do seu desenvolvimento.

Palavras-chave: Educação Matemática; Educação Matemática Realística; Resolu-ção de Problemas; Trajetória de Ensino e Aprendizagem; Números pares e ímpares.

1 Introdução

Trabalhando há anos como professora pude constatar que a

disciplina de Matemática é uma das que mais apresentam retenção escolar. Testes

nacionais de rendimento em matemática apenas confirmam essas informações,

porém, medidas eficientes para melhorar esse quadro ainda não foram suficientes.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais indicam obstáculos em relação ao Ensino de

Matemática e, entre eles, “a falta de uma formação profissional qualificada, as

restrições ligadas às condições de trabalho, a ausência de políticas educacionais

efetivas e as interpretações equivocadas de concepções pedagógicas” (BRASIL,

1998, p. 21).

1 Professora PDE. Área curricular: Matemática. 2 Mestre em Educação Matemática, Docente da Universidade Estadual de Londrina – Paraná..

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Buscando metodologias alternativas de trabalho didático, podemos

encontrar caminhos que estimulem nosso aluno, oportunizando o acesso ao conhe-

cimento. Nosso dever como educadores é de auxiliar nossos estudantes em suas

aprendizagens. O professor, na qualidade de educador, busca trabalhar para formar

um ser autônomo, livre, valoriza seus educandos e se preocupa em contribuir na for-

mação do cidadão consciente. Ao encontro desta expectativa, acredito que a Investi-

gação Matemática e a Resolução de Problemas são abordagens de ensino que po-

dem possibilitar aos meus alunos momentos de promoção, construção e elaboração

de conhecimentos de modo mais efetivo do que o ensino tradicional.

Identificamos na Educação Matemática Realística uma perspectiva

que apoia um ambiente escolar que propicia a participação de todos, um ambiente

de interação dinâmico, aberto a questionamentos, diálogos. O ensino de matemática

pode ser compreendido de forma que não exija apenas resolução de exercícios

repetitivos e mecânicos, mas também, aqueles que podem ser elaborados pelos

próprios alunos e que poderão ser significativos para eles.

Neste artigo será apresentado o relato da aplicação de uma

Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) na perspectiva da Educação

Matemática Realística. A THA contém as tarefas propostas pelo professor, seus

objetivos para a aprendizagem dos alunos, o plano de trabalho docente e as

hipóteses do professor a respeito do processo de aprendizagem dos alunos.

1.1 Resolução de Problemas e Investigação Matemática

Para a resolução de problemas quaisquer do cotidiano é necessário

o sujeito se envolver com a situação, estabelecer relações, organizar estratégias,

enfim, pensar. Tendo como objetivo o desenvolvimento de estratégias que possam

levar nosso estudante a desenvolver essas habilidades, temos na Resolução de

Problemas uma alternativa que pode oportunizar momentos de progressão da

educação matemática do aluno. Documentos oficiais têm indicado esta metodologia

como um dos caminhos que propõe situações desafiadoras. Os Parâmetros

Curriculares Nacionais reforçam esta ideia, pois

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o fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questi-onar o problema, a transformar um dado do problema numa fonte de novos problemas, a formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas abertos – que admitem diferentes respostas em função de certas condições –, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos (BRASIL, 1998, p. 42).

Autores como D’Ambrósio (2008) e Buriasco (1995) indicam essa

metodologia como uma alternativa que pode contribuir para o ensino e

aprendizagem. Ainda nos PCNs (BRASIL, 1998, p.40) temos: “essa opção traz

implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando

os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver

estratégias de resolução”.

Muitas diferenças podem ser percebidas entre uma aula com a

metodologia da Resolução de Problemas e outra com uma metodologia tradicional.

Abaixo apresentamos um esquema comparando as duas, segundo Buriasco (1995,

p. 1)

Quadro 1 – Esquema de Aula na Tendência Tradicional e na Tendência da Resolu-ção de Problemas.

Esquema de aula na Tendência Tradicional

Esquema de aula na Tendência daResolução de Problemas

1) O professor explica a matéria(teoria).

1) O professor apresenta um problema – escolhi-do por ele ou pelo(s) aluno(s).

2) O professor mostra exemplos. 2) Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm.

3) O professor propõe “exercícios”semelhan-tes aos exemplos dados para que os alunos os resolvam.

3) O professor propõe “exercícios” semelhantes aos exemplos dados para que os alunos os re-solvam.

4) O professor (ou um aluno) resolve noquadro de giz os exercícios.

4) Resolvido o problema, os alunos discutem sua solução, se necessário,com a ajuda do profes-sor. Essadiscussão envolve todos os aspectos da resolu-ção do problema, inclusive os do conteúdo ne-cessário.

5) O professor propõe aos alunos outros “exercícios” já não tão semelhantes aos exemplos que ele resolveu.

5) O professor apresenta outro problema– escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).

6) O professor (ou um aluno) resolve os exer-cícios no quadro.7) O professor propõe “problemas”, se for o caso, ou mais “exercícios”.8) Correção dos “problemas” ou e dos “exer-cícios”.9) O professor começa outro assunto.

Fonte: Buriasco (1995).

Na perspectiva da Resolução de Problemas, o problema é um ponto

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de partida, diferente do que usualmente se faz em sala de aula, em que é utilizado

apenas para testar a aplicação dos conteúdos anteriormente trabalhados. Cabe ao

professor selecionar problemas que lhe permita criar um ambiente propício para o

aprendizado, com aulas mais dinâmicas, oportunizando a participação de todos,

pois, de acordo com Butts (1997, p. 48), “estudar matemática é resolver problemas.

Consequentemente, cabe aos professores de matemática, em todos os níveis,

ensinar a arte de resolver problemas. O primeiro passo é formular o problema

adequadamente”.

Para Schoenfeld (1996, p. 10) “bons problemas conduzem a mais

problemas”, e ainda segundo o autor estes devem ter 4 propriedades: a) fácil

compreensão; b) várias maneiras de resolver ou abordar; c) sirvam para introduzir

ideias matemáticas; d) gerem explorações matemáticas.

Atividades de investigação podem levar os alunos a uma concepção

de matemática como algo dinâmico, da construção do conhecimento por meio do

desenvolvimento de ideias e processos, que lhes permitam aprender fazendo. Para

Ponte, Brocardo, Oliveira (2009) estudos em matemática mostram que investigar é

construir conhecimentos e em muitas experiências com trabalhos investigativos os

estudantes apresentam grande entusiasmo pela matemática. Isso nos leva a crer

que a Investigação também pode ser utilizada como abordagem que pode permitir

um trabalho na perspectiva da Educação Matemática Realística (EMR), pois vai ao

encontro das ideias apresentadas por Freudenthal (1991), seu idealizador, o qual

sugere que a matemática deve ser vista como uma atividade humana.

Investigações Matemáticas em sala de aula são fundamentais para

uma mudança de atitude nas aulas de matemática, como esclarece Frota (2011, p.

1), que complementa podendo gerar também, um deslocamento do foco da aula, do professor para o aluno, no sentido de uma aula mais colaborativa. Atividades de investigação podem conformar uma concepção de matemática como algo dinâmico, do co-nhecimento matemático como em construção, através do desenvolvimento de idéias e processos, constituintes do pensar e fazer matemática (2011, p. 1).

Assim como a Resolução de Problemas, a Investigação Matemática

requer o envolvimento do aluno, e isso por vezes pode ser um problema que o

professor deve enfrentar, como lembra Palma Maria (2008, p. 44): [...] os alunos apresentam dificuldades na formulação espontânea das ques-tões da investigação. Tal facto não é de estranhar, pois no ensino da Matemá-tica, em geral, os alunos estão habituados a actividades em que as questões apresentadas estão completamente formuladas, sem que se dê importância à

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forma como foram construídas, nem ao facto de fazerem ou não sentido (2008, p. 44).

Para que o aluno veja numa atividade investigativa algo significativo

para a sua aprendizagem, Fonseca, Brunheira e Ponte (2011) afirmam que se faz

necessário uma preparação das aulas, com objetivos bem traçados, pensando no

envolvimento dos alunos, grau de complexidade e nos imprevistos. Os autores ainda

lembram que “numa investigação matemática, o objectivo é explorar todos os

caminhos que surgem como interessantes a partir de uma dada situação. É um

processo divergente. Sabe-se qual é o ponto de partida mas não se sabe qual será o

ponto de chegada” (2011, p. 2).

As Diretrizes Curriculares destacam que “as investigações

matemáticas (semelhantes às realizadas pelos matemáticos) podem ser

desencadeadas a partir da resolução de simples exercícios e se relacionam com

resolução de problemas” (PARANÁ, 2008, p. 67). Por conseguinte, pensando numa

educação que garanta o direito de acesso à aprendizagem, investigar por meio de

resolução de problemas é um dos caminhos, já que tanto a Investigação como a

Resolução de Problemas é para todos e podem ser desenvolvidas em qualquer

ambiente de ensino escolar.

1.2 Educação Matemática Realística

Na História da Educação Matemática, a procura por

encaminhamentos metodológicos alternativos, gerou reformas, em especial, isto

aconteceu na Holanda no começo da década de 70. Resistindo ao movimento da

Matemática Moderna, a chamada Educação Matemática Realística começou a

surgir. Tendo como idealizador Freudenthal [1905-1990], iniciou-se uma busca pela

mudança curricular na educação matemática naquele país. Hans Freudenthal foi

diretor do Instituto para o Desenvolvimento da Educação Matemática (IOWO), que

em 1981 é sucedido pelo grupo de Investigação para a Educação Matemática e

Centro de Computação Educacional (OW&OC); em 1991 passa a se chamar

Institutito Freudenthal. Esse educador propunha uma concepção de ensino da

Matemática como atividade humana, o qual defendia que o próprio aluno deveria ser

capaz de “reinventá-la”.

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Nesta perspectiva, o professor apresenta tarefas que conduzem o

estudante a “reinventar” caminhos para a sua aprendizagem, este processo

Freudenthal denominou Reinvenção Guiada, na qual são utilizados problemas

“reais” do cotidiano, porém não é necessário que todas as situações sejam reais,

mas que sejam imagináveis, por isso, o termo “realística” adotado pela reforma na

educação matemática holandesa. Do verbo ‘ZichREALISEren’ para a tradução ‘to

imagine’ no inglês, que remete à ideia de imaginar, tornar real na mente do

estudante. Por isso, a expressão Educação Matemática Realística (EMR).

A EMR defende que a aprendizagem é potencializada pela resolução

de problemas “reais”. Para Hans Freudenthal a matemática é uma atividade humana

e, como tal, sua compreensão se dá a partir de execuções feitas nas tarefas pelos

próprios alunos, no “fazer” matemática, o que chamou de matematização. Na

Reinvenção Guiada, os alunos são os protagonistas da aprendizagem, são

oportunizados a eles momentos para que “reinventem” ferramentas matemáticas.

Porém o papel do professor é fundamental visto que ele será o “guia” desta

reinvenção. Segundo Gravemeijer (2005, p. 10),

Freudenthal argumentava que os alunos conseguem reinventar a Matemáti-ca através da matematização, embora ele também reconhecesse que os alunos não conseguem simplesmente reinventar a Matemática que levou milhões de anos a matemáticos brilhantes a inventarem. Por isso, ele propõe a reinvenção guiada. Os professores e os manuais escolares têm de ajudar os alunos no processo, enquanto tentam garantir que os alunos ex-perienciam a aprendizagem da Matemática como um processo de invenção da Matemática, por eles próprios (GRAVEMEIJER, 2005, p. 10, tradução nossa).

Para Treffers (1987) há dois tipos de matematização:

matematização horizontal - os alunos utilizam recursos que lhes permitam organizar

e resolver um problema existente numa situação da vida real; matematização

vertical - processo de reorganização dentro do sistema matemático em si. Por

exemplo, encontrar conexões entre os conceitos, estratégias de resolução e aplicar

essas descobertas.

As perspectivas da EMR vão de encontro ao ensino tradicional de

matemática, cujo aspecto metodológico utiliza a aplicação de exercícios e, na sua

maioria, realizados individualmente. Para Freudenthal e seus seguidores, a EMR

tem o propósito de que os estudantes não sejam meros receptores, mas que

participem ativamente do processo de ensino-aprendizagem e tenham oportunidade

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de compartilhar suas construções com seus pares.

1.3 Trajetória Hipotética de Aprendizagem

Ao considerarmos a EMR como uma abordagem que pode contribuir para

o ensino e aprendizagem, é importante conciliarmos estratégias que possam ser

utilizadas para o trabalho dentro dessa perspectiva. Consideramos que a Trajetória

Hipotética de Aprendizagem (THA), segundo o pesquisador americano Martin

Simon, traz características que também são apontadas pelos seguidores da EMR.

Segundo Pires (2009, p. 154)

Simon defende a idéia de que os objetivos da aprendizagem, atividades de aprendizagem e o conhecimento dos estudantes que estarão envolvidos no processo de aprendizagem são elementos importantes na construção de uma trajetória hipotética de aprendizagem – parte-chave do que ele denomi-na Ciclo de Ensino de Matemática (PIRES, 2009, p. 154).

Simon (1995 apud PIRES, 2009) ainda enfatiza que os

conhecimentos dos professores podem orientá-los na construção do saber dos

alunos no que se refere

ao conhecimento dos professores de Matemática, além das hipóteses sob-re o conhecimento dos alunos, outros diferentes saberes profissionais inter-vêm, como, por exemplo: teorias de ensino sobre Matemática; representa-ções matemáticas; materiais didáticos e atividades; e teorias sobre como alunos constroem conhecimentos sobre um dado assunto – saberes estes derivados da pesquisa em literatura e/ ou da própria experiência docente (PIRES, 2009, p.154).

Pires (2009), defende que na THA os objetivos traçados inicialmente,

para uma determinada tarefa, deveriam ser alterados periodicamente durante

estudos de um determinado conceito matemático e, à medida que os alunos vão se

envolvendo, os professores deveriam dialogar com eles identificando as

contribuições à cerca de seus entendimentos e pensamentos relativos a esses

conceitos. Este seria um ambiente de aprendizagem em que professor interage com

aluno. De acordo com Simon (1995 apud PIRES, 2009)

o que foi observando em relação aos alunos mudou sua perspectiva sobre o conhecimento dos alunos e quanto à concepção matemática envolvida (seu mapa interno). Essa reorganização de perspectivas contribuiu para a modifi-cação de seus objetivos, planos para atividades de ensino/aprendizagem

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que ele havia elaborado anteriormente (SIMON, 1995 apud PIRES, 2009, p. 155).

Para Pires (2009, p.155), “Simon refere-se às hipóteses sobre o

conhecimento dos alunos para enfatizar que não temos acesso direto ao

conhecimento deles”. Ele ainda acrescenta

como professor, minha concepção do conhecimento matemático dos alunos está estruturada pelo meu conhecimento da Matemática em questão. Conve-nientemente, o que observei no gosto pelo pensamento matemático dos alunos e meu entendimento das idéias matemáticas envolveram interconexões. Estes dois fatos são interessantes na esfera do ensino do professor (SIMON, 1995, p. 29 apud PIRES 2009, p. 155).

O diagrama da Figura-1 a seguir sugere que a trajetória hipotética de

aprendizagem pode ser modificada ou reconstruída à medida que o pensamento

dos alunos são avaliados pelo professor, e este por sua vez pode modificar seus

conhecimentos.

Sobre Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem3

Figura 1 – Ciclo de ensino de matemática abreviado (SIMON, 1995 apud PIRES, 2009)Fonte: Pires (2009, p. 156).

Segundo Simon (apud PIRES, 2009, p. 157) uma THA tem três

componentes: a) objetivos do professor; b) atividades de ensino; c) suposição de

como os alunos aprendem (hipótese). Objetivos do professor, ao iniciar uma

3 SIMON, M. A. Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist perspective. Journal for Research in Mathematics Education, vol. 26, n. 2, 1995, pp. 114-145.

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trajetória é importante que o professor tenha pensado a respeito do que pretende

alcançar. Atividades de ensino, são as tarefas matemáticas selecionadas para a

promoção da aprendizagem dos alunos. Suposição de como os alunos aprendem ou

processamento hipotético da aprendizagem, é uma suposição de como o

pensamento e o entendimento dos alunos serão colocados.

2 Sobre a Trajetória Hipotética de Aprendizagem

Para o trabalho a ser realizado em uma sala de aula de 5º série,

período vespertino, elaboramos uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem que

contém os possíveis conteúdos envolvidos na tarefa que foi proposta, as intenções

do professor, os objetivos para a aprendizagem e algumas sugestões e possíveis

discussões a respeito dos procedimentos didáticos. Considerando que na THA o

mais importante não é o resultado e sim o caminho percorrido, apresentaremos aqui

o relato de uma intervenção realizada a partir da THA elaborada.

3 O Relato

Discussão do contrato de trabalho

Os alunos e eu, tratamos algumas regras para os nossos trabalhos;

o que poderíamos ou não fazer, quais seriam os procedimentos para o bom anda-

mento das aulas. Combinamos que quando eu pedisse para que lessem sozinhos,

deveriam fazê-lo, pois isto permitiria aprendizado e autonomia. Combinamos tam-

bém que eu não diria se as respostas fornecidas por eles estariam certas ou erra-

das, que chegaríamos juntos à solução e que o mais importante não seria simples-

mente o resultado. Sugeri que consultassem o dicionário a cada palavra desconheci-

da.

Apresentação da Tarefa

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Entreguei a tarefa (problema) impressa, para que resolvessem indivi-

dualmente. Todos leram e começaram a resolver.

Na rua em que Luís mora, todas as casas ficam do mesmo

lado e são numeradas pelos números ímpares em ordem cres-

cente, começando com 1. Ele mora na casa de número 47;

mas se a numeração começasse na outra extremidade da rua,

o número seria 71. Quantas casas há nessa rua?Fonte: OBMEP4 2007.

Aluno: Professora o que é extremidade?

Professora: Vamos ao nosso combinado no contrato de trabalho: onde devemos

procurar o significado de uma palavra desconhecida?

Sala em coro: No dicionário.

Dei um tempo para que procurassem no dicionário. Como não esta-

vam acostumados, ficaram em dúvida com tantos significados.

Aluno: Professora, eu não sei qual significado posso usar.

Professora: Vamos ver qual fará sentido na frase.

Escrevi no quadro:

Extremidade: parte externa, limite, fim, ponta, orla, parte inferior, membro

do corpo humano.

Professora: Qual significado podemos usar na frase do problema?

Aluno: Fim.

Aluno: Ponta.

Professora: Agora leiam novamente trocando a palavra extremidade pela palavra

“fim” e depois pela palavra “ponta”.

Após um tempo, pedi para que relessem.

Aluno: Acho que fica melhor ponta.

Conversei com todos e verifiquei que concordaram com o colega

que queria substituir a palavra “extremidade” por “ponta”. Nesse momento aproveitei

4 Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. < http://www.obmep.org.br/>

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para estimular o uso do dicionário, ressaltei sua importância como fonte de pesqui-

sa quando não souberem o significado de algumas palavras.

Esse encaminhamento foi dado levando em conta que procurar palavras no dicionário também faz parte da tarefa de leitura e interpretação. Quando nos perguntam o significado de alguma palavra e respondemos, estamos tirando de-les a oportunidade de aprender. Com a busca no dicionário, além de propiciar a memorização, estamos trabalhando o hábito da pesquisa, que é fundamental para o ensino e aprendizagem.

Após mais algum tempo de leitura, uma nova pergunta:

Aluno: É só uma rua?

Vemos aqui o que é comum em sala de aula, nos perguntam querendo que interpretemos para eles, comumente respondemos. Porém quando devolvemos a pergunta, fazendo outra, pedindo para que releiam, estamos orientando, gui-ando para que descubram e aprendam.

Professora: Leia novamente pausadamente e com mais atenção.

Minutos depois.

Aluno: Entendi professora, é só uma rua e tem casas só de um lado.

Passei pelas carteiras observando as atitudes dos alunos sem fazer

nenhuma intervenção, o objetivo era que lessem, interpretassem e resolvessem de

forma autônoma. A princípio, os alunos pediram que eu explicasse, pois isso era co-

mum durante as aulas. Novamente recordei o que já havíamos combinado no início,

que eu não explicaria, eles quem deveriam ler e interpretar.

Muitas vezes, nós professores lemos para eles e explicamos o que devem fa-zer, entretanto, durante as provas os alunos vão querer o mesmo, que interpre-temos para eles. Se não trabalharmos para que façam suas leituras no dia a dia, eles não estarão preparados nem para as provas nem para a reflexão autôno-ma.

Após algum tempo (percebendo que a falta do hábito da leitura esta-

va desmotivando alguns), perguntei quem queria ler o problema em voz alta, numa

tentativa de manter o entusiasmo. Alguns se prontificaram. Então organizei para que

a leitura fosse realizada, dei oportunidade a todos que se prontificaram, cinco alunos

leram.

Professora: Mudou alguma coisa no entendimento do enunciado do problema?

Aluno: Mudou professora agora acho que sei resolver.

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Percebi que estavam mais seguros após o uso do dicionário, no qual

identificaram o significado da palavra que estava dificultando a interpretação e ainda

a leitura em voz alta. Começaram a resolver cada um à sua maneira.

A seguir algumas resoluções, apresentadas por eles após terem tra-

balhado individualmente.

Algumas resoluções:

Aluno

Essa primeira produção é uma amostra representativa de um grupo

de seis alunos. Percebe-se que nesta produção está presente a ideia da diferença

entre a quantidade de casas 71 e 47. O aluno demonstrou ainda que houve a

compreensão da divisão por 2, pensando que a sequência de casas só tem números

ímpares, os pares deveriam ser eliminados.

Aluno

Essa é um a amostra representativa de grupo de 10 alunos.

Percebe-se que aqui houve a compreensão de totalizar as casas da rua, apesar de

ter separado a casa de Luís em duas. Provavelmente, não tenha ficado entendido

que é uma contagem de números ímpares, já que contaram pares e ímpares.

Aluno:

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Essa é uma amostra representativa de 10 alunos. Percebe-se que

conseguiram entender que as casas são numeradas somente com ímpares, porém

não entenderam que a casa 47 e 71 é única, ou seja, a casa de Luís.

Aluno:

Para esse aluno ficou clara a ideia da numeração das casas usando

somente números ímpares, porém, semelhante ao grupo anterior, separou a casa de

Luís em duas, e ainda, não se deu conta que também havia casas de 1 a 45.

A seguir apresento as resoluções de três alunos que conseguiram

entender com mais clareza o enunciado do problema. Cada um, a seu modo,

expressou o entendimento usando os números do enunciado do problema e

descrevendo o procedimento adotado. Na maioria das resoluções apresentadas,

percebe-se o registro explicativo dos procedimentos utilizado. Essa também foi uma

orientação discutida no contrato pedagógico, cuja intenção é que os alunos utilizem

a escrita para explicar os cálculos, pois muitas vezes contém ideias interessantes

que podemos explorar com os demais.

Aluno

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Aluno

Aluno

Quando percebi que todos tinham terminado, organizei a turma em

grupos de quatro alunos, orientei para que deixassem registrado o que tinham feito,

não deveriam apagar, apenas discutir as estratégias e compartilhar, e que, após as

discussões, deveriam escrever abaixo da resolução individual a palavra “grupo” e re-

gistrar apenas a resolução que o grupo identificasse como a mais coerente.

Observando as discussões dos grupos :

Passo entre os grupos observando as discussões.

Grupo AUm aluno apresenta a sua resolução:

Aluno: 47 + 71 = 118

Aluna: Não, a solução é outra, e apresenta:

1,3,5,7,9,....47, 49........ 71, conta as casas e o resultado é 36.

Aluna: Tá certo professora?

Professora: Eu tenho que dizer que está certo ou errado?

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Aluna: Tem professora.

Professora: Precisa confiar em si mesma.

Argumentei que eles deveriam acreditar mais no que faziam, isto

melhoraria a autoestima, iriam se sentir mais seguros em não depender tanto de al-

guém falando se está certo ou não, pois nem sempre eles teriam alguém para corri-

gir suas respostas. Vi pela expressão da aluna que havia perguntado se estava cer-

to, uma alegria, percebi que havia entendido e concordava comigo. Aqui podemos constar o que geralmente acontece durante as aulas e tam-bém nos dias de provas, o alunos nos pedindo que validemos suas respostas. Se respondemos sempre, ficam acostumados a isso e sempre dependerão de ajuda.

Percebe-se aqui também que há uma dificuldade para trabalhar em grupo. Os alunos não conseguem ouvir o colega, discutir possibilidades, complementar as ideias uns dos outros, isso tudo pode ser reforçado pela insegurança deles, pela dependência do professor.

Apresentação dos grupos no quadro, discussão das resoluções e soluções.

Orientei para que o grupo escolhesse uma resolução para apresen-

tar. À medida que um grupo ia apresentando, os demais deveriam observar se tinha

algo de diferente em suas resoluções, para ir ao quadro.

Os grupos apresentam suas resoluções no quadro.

Algumas apresentações

Grupo1 - Citando números ímpares de 1 a 71, contaram 36 casas.

Grupo 2 - Numerando de 47 a 71 contam 26 casas.

Grupo 3 - Fazendo 71 – 47= 24 (casas), dividindo por 2, encontram 12 casas.

Alguns alunos haviam chegado à resposta antes de formar grupos,

porém não estando acostumados aos trabalhos coletivos e se sentindo inseguros

nas apresentações dos grupos, nenhuma dessas resoluções apareceu no quadro.

Percebendo que as resoluções apresentadas não continham todas

as informações para a conclusão do problema, perguntei se havia alguém que gos-

taria de expor a sua resolução, duas alunas aceitaram.

Registros da 1ª aluna: 71 + 47 = 119 casas

Registros da 2ª aluna: 35 + 24 = 59 casas

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Pedi para a 2ª aluna explicar o que havia feito, ela então disse que

contou os números ímpares do 1 ao 47 e deu 24, depois contou os ímpares do 47 ao

71 e deu 35. Por isso somou 35 com 47, totalizando 59 casas. Nesse momento, no

quadro estavam representadas todas as resoluções da sala, mas ainda não haviam

conseguido descobrir qual seria a resposta correta do problema, mesmo depois que

essa última aluna explicou o seu procedimento. Então fiz outros questionamentos.

Isto mostra que nem sempre o fato de um aluno ter chegado à resposta corre-ta é significativo para continuar com o trabalho, ignorando o fato de muitos alu-nos não terem ainda compreendido.

Professora: Olhando para a apresentação do grupo 1 em que enumeram as casas

1,3,5,7,9,11,... 47, 49, 51, 53, .....71, Luís tem duas casas?

Alunos: Não.

Aluna: Professora, a quantidade de casas também tem que ser ímpar?

Percebemos aqui que quando dizemos que os números usados de-

vem ser ímpares, há uma dúvida se a contagem pode resultar num par.

Professora: O que vocês acham?

Aluno: Não necessariamente.

Para esse aluno já estava claro que na contagem o resultado pode

ser par ou ímpar, mesmo que a numeração usada seja ímpar.

O objetivo aqui era que os alunos descobrissem qual é a quantida-

de de casas. Em muitos momentos quase dei dicas, costumeiramente fazemos isso,

mas me contive e procurei fazer perguntas que pudessem contribuir no entendimen-

to do problema e mais, possibilitar a aprendizagem.

Ao elaborar a minha trajetória, previ que pelo menos alguns conseguiriam re-solver o problema individualmente, e que ao trabalharem em grupo os demais também chegariam ao resultado. Porém me deparei com uma situação não pen-sada, percebi que a maioria não havia entendido, não estavam acostumados com esse tipo de trabalho. Fiquei frustrada, me senti insegura quanto aos enca-minhamentos, mas tinha que persistir com a metodologia, não podia simples-mente resolver e dar a resposta para eles.

Diante disto, fiz uma nova intervenção propondo outra situação se-

melhante ao problema inicial.

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Nova tarefa

Escrevi no quadro

Vamos imaginar que as carteiras ocupadas por vocês serão nu-

meradas usando somente números ímpares, começando pelo 1 seguin-

do até o último da fila e dando continuidade na primeira carteira ocupada

da fila seguinte. Descubra qual é o número da sua carteira começando a

contagem pela carteira ocupada mais próxima da porta, e qual é o nú-

mero começando a contagem pela carteira ocupada mais próxima da ja-

nela.

Dei um tempo para que resolvessem. Como sempre alguns solicita-

ram para que eu explicasse, porém reforcei que deveriam reler até compreenderem

o problema. Quando percebi que todos haviam concluído, solicitei para que alguns

alunos expusessem suas resoluções no quadro.

Escreveram no quadro:

1º aluno a ir ao quadro: 11 e 55,

2º aluno a ir ao quadro: 13 e 53,

3º aluno a ir ao quadro: 25 e 41,

Após as apresentações, percebi que ainda estavam em dúvida, vol-

tei aos questionamentos?

Professora: Os dois números encontrados são iguais?

Alunos: Não.

Novamente, percebi que alguns responderam que sim com insegu-

rança, outros responderam que não. Resolvi intervir novamente, pedi que alguns

alunos fossem dizendo os números encontrados e que todos anotassem os dois nú-

meros dos colegas.

Aluno: 1 e 65

Aluno: 7 e 59

Nesse momento um aluno reclama.

Aluno: Professora, esses são os meus números.

Professora: Isso é possível ?

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Percebi que estavam inseguros, então continuei.

Professora: Vamos descobrir juntos se é possível.

Aluno : 11 e 55

Aluno : 23 e 43

Aluno : 31 e 35

Enquanto estavam registrando no quadro, perceberam que os nú-

meros das carteiras se repetiriam entre dois alunos.

Professora: O que os dois números encontrados têm em comum?

Alunos: São ímpares.

Professora: Além disso.

Alunos: Termina com ímpar.

Professora: O que mais?

Dei um tempo para que pensassem um pouco.

Aluno2: A soma é 66.

Aluno3: Os meus números são 33 e 35.

Aluno2: Não pode, a soma é 68.

Pedi para esse aluno refazer a contagem e ele descobriu que os nú-

meros de sua carteira seriam 31 e 35. Possivelmente esse aluno se distraiu e contou

uma carteira vazia. Os trabalhos foram conduzidos de modo que os alunos chegassem ao resul-tados, fiz os questionamentos, pedi para que refizessem algumas coisas. Com isso eles foram descobrindo o que faltou, como complementar, sem que eu tives-se que dizer que estava certo ou errado.

Professora: É possível encontrar o número de alunos presentes usando os dois nú-

meros que cada um encontrou?

Qual foi a minha alegria, a maioria respondeu que sim.

Alguns falam ao mesmo tempo com muito entusiasmo, como quem

descobre um tesouro.

Alunos: Soma os dois números das carteiras e divide por 2.

66: 2 = 33 (número de alunos na sala)

Percebi que podia retomar o problema da Rua de Luís, pois estavam

preparados para concluí-lo.

19

Retomando o problema da rua de Luís

Professora: Essa situação tem algo em comum com o problema da rua de Luís?

Alunos: Sim.

Professora: O que tem em comum?

Alunos: Só tem ímpares.

Professora: Podemos relacionar alguma coisa da contagem das carteiras com os

números das casas?

Aluno: Os números das carteiras é como se fossem os números da casa de Luís.

Professora: Como assim?

Aluno: Os números da minha carteira são o 21 e o 45, os números da casa do Luís

47 e 71.

Retomaram o problema inicial, reviram suas resoluções. Uma aluna

que já havia chegado a resposta desde o início reclama.

Aluna: Ah professora, o meu estava certo.

Professora: Por que você não defendeu isso no grupo?

Aluna: Fiquei com vergonha.

Nesse momento aproveitei para reforçar a importância dos trabalhos

em grupo, de aprenderem a ouvir o colega, defender suas ideias, compartilhar. Pois,

tudo isso contribui para a aprendizagem, e ainda que se sentiriam mais seguros e in-

dependentes. Evidenciamos aqui as dificuldades em trabalhar em grupo, percebe-se que os alunos que concluíram o problema desde o início foram inibidos pelos de-mais. Esse comportamento é reforçado à medida que não organizamos traba-lhos em grupos, pensando nas dificuldades. Compartilhando suas ideias po-dem aprender a ouvir, a se respeitarem, tornando-se mais tolerantes com as di-ferenças, abrindo espaço para uma aprendizagem coletiva . Desta forma esta-rão se preparando para conviver em sociedade.

Após responderem as questões pude perceber que o problema inici-

al tinha ficado mais claro, lembrando que mesmo com a curiosidade a respeito da

resposta do Problema da Rua de Luís, em nenhum momento disse se estava certo

ou errado, o que estava sendo valorizado era o caminho percorrido e não o resulta-

do.

Explorando os números pares

20

Professora: Se as casas na Rua de Luís fossem numeradas apenas com números

pares como seria?

Citaram os pares. Como já tínhamos explorado essa sequência, fize-

ram com tranquilidade.

Professora: Se as casas na Rua de Luís fossem numeradas apenas com números

pares começando do número 14 e terminando no número 34, quantas casas teriam?

Para responder essa questão a maioria fez 34 – 14 = 20 e depois

20 : 2 = 10, disseram que seriam 10 casas.

Um aluno protesta.

Aluno: Eu contei. O resultado é 11.

Fizemos a contagem juntos no quadro e os demais constataram que

realmente eram 11 casas e não 10.

Aluno: Por que nas casas do Luís quando dividimos já encontramos o resultado?

Antes que pudesse intervir para que entendessem, outro aluno par-

ticipa:

Aluno: Quando fizemos as contas contamos duas vezes a casa de Luís.

Como isso não havia ficado claro para todos fiz algumas interven-

ções

Professora: Vou fazer duas perguntas e vocês vão me dizer se representam a

mesma coisa, ou seja, o cálculo é o mesmo para as duas situações.

Professora: Uma pessoa está caminhando e passa pela casa de número 14, quan-

tas casas faltam para chegar a casa 34?

Professora: Quantas casas tem da 14 a 34?

Aluno: Na primeira pergunta eu não conto a casa 14 e na segunda pergunta eu con-

to.

Este encaminhamento foi para que percebessem que mesmo poden-

do usar a diferença nas duas situações, o resultado seria diferente, pois deveriam

ver o que estava sendo pedido.

Na primeira situação temos quantas casas faltam, devem achar a di-

ferença de 34 e 14

34-14=20

E dividir por 2.

20 : 2 =10 (pois é uma sequência de pares)

21

Na segunda situação, quantas casas tem da 14 a 34, o cálculo inicial

é o mesmo

34 -14 = 20

20 : 2 =10

Porém aqui deve ser acrescentada a casa de número 14, na diferen-

ça ela não foi considerada.

Professora: O que parece que significa par?

Aluna: Eu penso num grupo de pessoas.

Professora : Como assim?

Aluna: Eu e minha amiga formamos um par.

Aluno: Quando pode juntar de 2 em 2.

Aluno: Junta de 2 em 2 e não sobra ninguém.

Quando pedi que citassem números pares, disseram sem dúvidas.

Escrevi no quadro:

22, 50, 72, 14564Pedi que dividissem por 2.

Após dividirem escrevi no quadro com a participação deles.

22 : 2 = 11, 11.2 = 22

50 : 2 = 25, 25.2 = 50

72 : 2 = 36, 36.2 = 72

14 564:2 = 7 282, 7282.2 = 14 564Coloquei no quadro

P :2 = N, N.2 = P

Perceberam que o dobro de qualquer número é um número par.

Explorando os números ímpares

Antes que eu solicitasse para que citassem ímpares, me pergunta-

ram e com ímpares o que aconteceria. Pedi que citassem números ímpares.

Escrevi no quadro:

23, 37, 75, 89

22

Solicitei que fizessem a divisão por 2. Ao perceber que já tinham

concluído as divisões, fui escrevendo no quadro os resultados que haviam encontra-

do. Pedi que observassem o que aconteceu com os números pares e completassem

os ímpares. Perceberam que deveriam multiplicar por 2 e acrescentar 1

23:2= 11, resto 1, (11.2) +1= 23

37:2= 18, resto 1, (18.2) +1= 37

75:2= 37, resto 1, (37.2) + 1 =75

89: 2=44, resto 1, (44.2) + 1 = 89

Novamente, observando o que aconteceu com os pares, concluíram

Ímp:2= N, resto = 1, Ímp= (N.2) + 1

Explorando identificação de números pares e ímpares sem cálculo.

Professora: Como posso saber se um número é par ou ímpar?

Aluno: É só olhar o final professora.

Professora: Como assim?

Aluno: Posso falar 513 é ímpar termina com 3, 1325432 é par termina com 2.

Pensei que esta identificação observando o último algarismo, se é

par ou ímpar, já havia ficado clara para todos. Resolvi testar me dirigindo a um alu -

no e ele ainda não havia entendido. Os demais quiseram criticá-lo, mas não deixei e

disse que todos temos dificuldades em alguma coisa, o que nos parece fácil às ve-

zes não é para os outros.

Muitas vezes nos enganamos, acreditando que tenha ficado claro

para todos, deixamos escapar alguns, que ficam com vergonha de dizer que não en-

tenderam, já que a maioria respondeu corretamente. Percebe-se a importância de

estarmos atentos, esses momentos podem ser cruciais para resgatar um aluno ou

desmotivá-lo de vez.

Então retomei mostrando pares de 0 a 9, escrevendo alguns núme-

ros no quadro, questionando a todos para que reforçassem, até perceber que o alu-

no que disse não ter entendido inicialmente respondesse com segurança.

Sequência

23

Pedi para que procurassem no dicionário o significado da palavra sequência.

Escrevi no quadro:

Sequência: sucessão, continuação de algo iniciado anteriormente.

Professora: Com base nisso alguém pode me dizer uma sequência de números?

Aluno: 1,2,3,4,5,6,...

Professora: Que sequência é essa?

Aluno : De 1 em 1.

Professora: Escrevam a sequência com os dez primeiros números das casas da

Rua de Luís.

Escrevi no quadro:

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19.

Professora: E agora que sequência é essa?

Alunos: de 2 em 2 .

Professora: Por que a primeira sequência era de 1 em 1 e a segunda de 2 em 2?

Aluno: Porque a primeira escrevemos pares e ímpares e a segunda somente ímpa-

res, pula um número, por isso a sequência é de 2 em 2.

Professora: Isso faz lembrar alguma coisa na resolução do problema da Rua de

Luís?

Aluno: Por isso que dividimos por 2 .

Escrevi no quadro

Nas sequências abaixo descubra o próximo número.

a) 10, 20, 30, 40, 50, ___

b) 1, 5, 9, 13, 17, 21, ___

c) 0, 6, 12, 18, 24, 30, ___

Pude constatar que haviam entendido, foram completando sem difi-

culdade.

Entendendo antecessor.

24

Professora: O enunciado do problema diz que o número da casa de Luís é o 47.

Quais são os números das duas casas mais próximos da casa de Luís?

Escreveram:

45, 47, 49,

Professora: Como podemos nos referir ao 45 em relação ao 49?

Como costumeiramente fazem, alguns disseram não ter entendido o

que eu estava pedindo. Me contive para não explicar e pedi que relessem a pergun-

ta.

Então as respostas começaram a aparecer, alguns responderam que

o 45 é antecessor de 49. Porém percebi que alguns ainda não haviam entendido.

Aluno: Professora, antecessor tem alguma coisa a ver com antepassado?

Professora: Vamos ver.

Escrevi no quadro

ANTE/CESSOR

Professora: Procurem no dicionário o que significa a palavra anteEscrevi no quadro:

“antecede, vem antes”

Aluno: Já entendi professora. Antepassado é o que veio antes de

mim.

Propus outras situações pedindo antecessores pares e ímpares, dei-

xando claro que quando queremos o antecessor é necessário dizer de quem. Um

aluno brinca.

Aluno: Podemos dizer antecessor do Prefeito.

Como aconteceu nessa situação, os alunos às vezes fazem algum comentá-rio que pode nos parecer que estão querendo atrapalhar, porém é importante aproveitarmos essas colocações, pois pode não ser brincadeira, o aluno está fa-zendo relação e isso faz parte da aprendizagem. Aproveitei a fala do aluno e

25

conversamos sobre outros antecessores, percebi que o aluno se sentiu valoriza-do e passou a participar mais.

Entendendo sucessor

Professora: Como podemos nos referir ao 49 em relação ao 47?

Quando perguntei do 49, já haviam entendido, que em relação ao

47, 49 é o sucessor.

Percebi que devido ao constante uso do dicionário, alguns significa-

dos deduziram por si próprios, identificaram na palavra sucessor o prefixo “suce”, e

concluíram “vem depois”.

Reforcei que para falar de sucessor e antecessor temos que situar o

que estamos querendo.

Escrevi no quadro:

Observando a sequência 21, 22, 23, 24, 25.

a) Qual o sucessor ímpar de 23?

b) Qual o antecessor de 25?

c) Qual o sucessor par de 22?

Explorando o conceito de divisibilidade por 2

Solicitei para que procurassem no dicionário as palavras “divisibilida-

de” e “divisível”.

Encontraram e foram falando os significados, percebi que já estavam

identificando os significados com mais facilidade.

Escrevi no quadro

Divisibilidade: qualidade do que é divisível.

Divisível: que pode ser dividido, que se pode dividir exatamente, número

cuja divisão aritmética por dado número não deixa resto, múltiplo.

Professora : Que números são divisíveis por 2?

Alunos: Os pares

26

Professora: O que mais podemos dizer desses números com rela-

ção ao 2?

Alunos: São múltiplos de 2.

Professora: Falem alguns números.

Enquanto foram falando escrevi no quadro.

35, 62, 180, 97, 138, 201, 305.

Professora: Os números que estão no quadro representam grupos de pessoas, se

pretendemos dividir cada grupo por 2, em quais sobraria alguém? [usamos pessoas

porque o aluno de 5ª série ainda não conhece os inteiros]

Alguns fizeram os cálculos e constataram que quando dividiram os

pares por 2, o resto foi zero, se dividiram ímpares por 2 o resto foi 1.

Aluno: Professora, preciso fazer a conta?

Professora: Dá para saber sem fazer?

Aluno: Se o número é par, não sobra nada; se o número é ímpar sobra 1.

Aluno: Por que não falou isso antes? Se soubesse nem teria feito a conta.

Aproveitei a colocação do aluno para lembrá-los de que o conheci-

mento matemático é necessário para facilitar, quem já havia entendido nem preci-

sou fazer os cálculos para comprovar. Para reforçar a questão da divisibilidade fiz

com eles no quadro mais algumas divisões por 2.

Explorando a tarefa inicial

Relembrei o problema da Rua de Luís, em que as casas foram

numeradas usando números ímpares.

Professora: Considerando que os números das casas de Luís fossem pares.

Aluno: De novo professora!

Com esse comentário percebemos que quando exploramos vários conteúdos usando uma tarefa, corremos o risco dos alunos se desinteressarem. Cabe a nós conduzirmos os trabalhos de modo interessante e dinâmico. Percebi com o tempo que as reclamações aconteceram por não estarem acostumados, assim como reclamaram pelas leituras individuais, pelos trabalhos em grupo, por terem que usar o dicionário. À medida que o tempo foi passando, pude perceber que as reclamações diminuíram, tinha deixado claro quais eram os objetivos. Deve-mos proporcionar um ambiente de estudos e ainda estabelecermos algumas re-

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gras e cumprirmos, mesmo que em alguns momentos isso fique difícil, isso é educar.

Professora: Qual seria o número da casa de Luís? [Intencionalmente não disse co-

meçando pelo 2, deixei que eles descobrissem que o zero não poderia ser usado].

Começando com o zero, encontrando o resultado 46.

Aluno

Duas maneiras de chegar ao número da casa de Luís

Aluno

Aluno

Professora: E se começasse da outra extremidade?

Quem começou pelo 0 (zero), encontrou o número 70, esse aluno

colocou o zero mas não o considerou como número da casa.

28

Professora: A resposta do problema mudaria?

Esse aluno até explicou.

4 Considerações finais

Este trabalho é o relato de uma experiência com uma 5ª série, utili-

zando uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) na perspectiva da Educa-

ção Matemática Realística.

Logo no início percebi que por mais que planejemos, levantemos as

hipóteses, não conseguimos prever tudo. Em alguns momentos me senti insegura,

estava começando um trabalho diferente, planejei pensando que pelo menos alguns

iriam entender, que compartilhariam, que concluiriam, e não aconteceu. Como sou

persistente, gosto do que faço, tinha claro os objetivos e acredito nessa estratégia

metodológica, procurei novos encaminhamentos que pudessem complementar as

tarefas planejadas.

Nesse trabalho, constatei que o uso do dicionário pode contribuir

para o ensino e aprendizagem da matemática. Com o seu uso os alunos tem a

29

oportunidade de criar o hábito da pesquisa e consequentemente tornar-se autôno-

mos, e ainda, penso que é importante a atribuição de significados às palavras e sím-

bolos matemáticos, pois muitas vezes falam e usam as abreviaturas e não entendem

os significados. Percebi que é importante combinar que devem dizer por exemplo,

máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum e não “MDC” e “MMC” . Pude

constatar mudanças em suas atitudes, pois agora quando se deparam com alguma

palavra nova, nem me perguntam mais, vão direto ao dicionário.

Esse trabalho me mostrou que é possível mudarmos as atitudes de

nossos alunos, porém isso só pode acontecer se mudarmos também as nossas

frente a eles. Constantemente, nos deparamos com alunos que não lêem, não inter-

pretam. Porém verifiquei que com algumas intervenções as mudanças podem acon-

tecer. Como por exemplo, deixarmos que leiam, que interpretem os enunciados das

tarefas. Costumeiramente, os alunos mal fazem a primeira leitura das tarefas e já di-

zem que não entenderam. Nestas situações insistindo na leitura silenciosa ou em

voz alta pode contribuir para que melhorem nas interpretações.

Também percebi que é importante nos dias de provas darmos os

mesmos encaminhamentos do dia a dia, pois se durante as aulas explicamos as ta-

refas, interpretamos os enunciados, não podemos esperar que nos dias de provas

os alunos façam as tarefas sem a nossa ajuda. Na trajetória desenvolvida com os

alunos, combinamos que em nenhum momento eu explicaria o texto, durante as au-

las trabalhamos para que aprendessem a interpretar para que na prova ou em ou-

tras situações do cotidiano eles fizessem sozinhos.

Outro ponto que esse trabalho pode contribuir é quanto a otimização

do tempo, quando por meio de uma tarefa exploramos vários conteúdos. Pude cons-

tatar com os encaminhamentos que é possível os alunos criarem autonomia sufici-

ente para caminharem sozinhos, permitindo que avancem em suas aprendizagens.

Utilizando essa estratégia metodológica pude concluir que o envolvi-

mento foi grande, com essa proposta os alunos se sentiram mais seguros com suas

construções, pois os trabalhos sempre foram direcionados para que pudessem per-

ceber que tudo que fazem é importante. Algumas coisas podem estar incompletas,

mas não erradas, pois tudo faz parte da construção, tem importância e nem sempre

é visto como erro. Ainda pude constar que na Trajetória Hipotética de Aprendizagem

o mais importante não é a resposta, mas sim o caminho percorrido.

30

O Programa de Desenvolvimento Educacional- PDE é um tempo de

estudos e reflexões que nos permitem conhecer metodologias diferentes. Funda-

mentados podemos nos sentir mais seguros e motivados para redimensionar nossas

práticas pedagógicas na busca de um trabalho educativo acessível a todos, de uma

escola pública de qualidade.

5 Referências

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacio-nais: Matemática - Ensino de quinta a oitava série. Brasília: MEC/ SEF, 1998. 146 p.BURIASCO, R. L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (I). Nosso Fazer, Londri-na, ano 1, n.5, Londrina, 1995.BUTTS, T. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. A. Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997.D’AMBROSIO, U. Algumas reflexões Sobre Resolução de Problemas. 2008. Disponível em: <http://www.rc.unesp.br/serp/apresentacoes/reflexoes_sobre_rp_ubiratan_dambrosio.pdf>. Acesso em 06 jun. 2012.FONSECA, H. BRUNHEIRA; L. PONTE,J. P. As actividades de investigação, o professor e a aula de Matemática: Investigações matemáticas, porquê? Disponível em: <http://www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/2007%202008/gestao%20sala%20de%20aula/Texto_Actividades%20de%20investiga%C3%A7%C3%A3o.pdf >. Acesso em 06 jun. 2012.FROTA, M. C. R. Experiência Matemática e Investigação Matemática. Disponível em: <http://www.matematica.pucminas.br/Grupo%20de%20Trabalho/Maria%20clara/experienciaDocumento%20do%20Acrobat.pdf>. Acesso em 06 jun. 2012.GRAVEMEIJER, K. P. E. What makes mathematics so difficult, and what can we do about it? In: SANTOS ,L.; CANAVARRO, A. P.; BROCARDO, J. (Eds.). Educação matemática: Caminhos e encruzilhadas. Lisboa: APM, 2005, p. 83-101. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/fdm/textos/gravemeijer%2006a.pdf>. Acesso em 06 jun. 2012.PALMA MARIA, E. L. P. Conexões matemáticas num contexto de actividades de aplicação, investigação e modelação matemática. Um estudo no 2º ciclo do en-sino básico. 2002. Dissertação (Mestrado em Ciências de Educação - Área Educa-ção e Desenvolvimento) – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova Lisboa, Lisboa, 2002.PARANÁ, Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2008. PIRES, C. M. C. Perspectivas construtivistas e organizações curriculares: um encontro com as formulações de Martin Simon. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo,v.11, n. 1, 2009, p. 145-166.PONTE, J. P.; BROCARDO, J. ; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na sala

31

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