Uma Introdução à Otimização sob Incerteza Aula 3 · 2014. 7. 28. · 3. Aceitar...
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Uma Introdução à Otimização sob IncertezaAula 3
Bernardo Kulnig Pagnoncelli1 e Humberto José Bortolossi2
1Departamento de MatemáticaPontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
2Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal Fluminense
III Bienal da SBMUniversidade Federal de Goiás
6 a 10 de novembro de 2006
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 1
Quem fez o dever de casa?(Exercício [05] do Capítulo 3)
A solução está valendo um chocolate!
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 2
Quem fez o dever de casa?
minimizarx1 + x2 + q1 Eω1 [(ω1 x1 + x2 − 7)−] + q2 Eω2 [(ω2 x1 + x2 − 4)−]
sujeito a x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
é equivalente a
minimizar g(x1, x2) = x1 + x2 + Q(x1, x2)
sujeito a x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
onde
Q(x1, x2) = E[
miny1≥0, y2≥0
{q1y1 + q2y2
∣∣∣∣ ω1 x1 + x2 + y1 ≥ 7ω2 x1 + x2 + y2 ≥ 4
} ].
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Otimização estocástica
Espere e Veja (Wait and See)
Aqui e Agora (Here and Now)
1. Eliminar incertezas.
2. Incorporar riscos nas restrições (chance constraints).
a. Níveis de confiabilidade individuais.
b. Nível de confiabilidade conjunto.
3. Aceitar inadmissibilidade penalizando déficits.
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O problema da produção
Minimizar do custo de produção c x sob a restrição de que aprodução x atenda à demanda ω:
minimizar f (x) = c xsujeito a x = ω,
x ≥ 0,
A demanda ω é uma variável aleatória contínua não-negativa,com
1. Média: µ = E [ω].
2. Variância: σ2 = E[(ω − E [ω])2
].
3. Função distribuição: F (t) = P (ω ≤ t), com t ∈ R.
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O problema da produção
Minimizar do custo de produção c x sob a restrição de que aprodução x atenda à demanda ω:
minimizar f (x) = c xsujeito a x = ω,
x ≥ 0,
A demanda ω é uma variável aleatória contínua não-negativa,com
1. Média: µ = E [ω].
2. Variância: σ2 = E[(ω − E [ω])2
].
3. Função distribuição: F (t) = P (ω ≤ t), com t ∈ R.
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O problema da produção
Abordagem “espere e veja”Se o agente de decisão pode esperar pela realização dademanda ω antes de escolher o valor da produção x , então oproblema é fácil se resolver: x∗(ω) = ω e v∗(ω) = c x∗(ω) = c ω.
Abordagem “aqui e agora”
1. Abolir incertezasSubstituir ω por ω̂ = µ ou ω̂ = µ + ∆ (com ∆ = σ ou ∆ = 2 σ).
Probabilidade de que a demanda seja satisfeita (nível de serviço):
P (ω ≤ µ + ∆) = F (µ + ∆).
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O problema da produção
Abordagem “espere e veja”Se o agente de decisão pode esperar pela realização dademanda ω antes de escolher o valor da produção x , então oproblema é fácil se resolver: x∗(ω) = ω e v∗(ω) = c x∗(ω) = c ω.
Abordagem “aqui e agora”
1. Abolir incertezasSubstituir ω por ω̂ = µ ou ω̂ = µ + ∆ (com ∆ = σ ou ∆ = 2 σ).Probabilidade de que a demanda seja satisfeita (nível de serviço):
P (ω ≤ µ + ∆) = F (µ + ∆).
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O problema da produção
Abordagem “aqui e agora”
2. Incorporar riscos nas restriçõesConstruir uma restrição probabilística do tipo P (x = ω) ≥ αnão é conveniente.
Para valores adequados de α1 e α2, também não éconveniente construir restrições probabilísticas combinadas:
P (x ≥ ω) ≥ α1 e P (x ≤ ω) ≥ α2.
É preciso estabelecer prioridades: escolha α ∈ (1/2, 1) emodele o problema da mistura como
minx≥0
{cx | P (x ≥ ω) ≥ α} = minx≥0
{cx | x ≥ F−1(α)
}cuja solução é, evidentemente, x∗ = F−1(α).
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O problema da produção
Abordagem “aqui e agora”
2. Incorporar riscos nas restriçõesConstruir uma restrição probabilística do tipo P (x = ω) ≥ αnão é conveniente.
Para valores adequados de α1 e α2, também não éconveniente construir restrições probabilísticas combinadas:
P (x ≥ ω) ≥ α1 e P (x ≤ ω) ≥ α2.
É preciso estabelecer prioridades: escolha α ∈ (1/2, 1) emodele o problema da mistura como
minx≥0
{cx | P (x ≥ ω) ≥ α} = minx≥0
{cx | x ≥ F−1(α)
}cuja solução é, evidentemente, x∗ = F−1(α).
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O problema da produção
Abordagem “aqui e agora”
2. Incorporar riscos nas restriçõesConstruir uma restrição probabilística do tipo P (x = ω) ≥ αnão é conveniente.
Para valores adequados de α1 e α2, também não éconveniente construir restrições probabilísticas combinadas:
P (x ≥ ω) ≥ α1 e P (x ≤ ω) ≥ α2.
É preciso estabelecer prioridades: escolha α ∈ (1/2, 1) emodele o problema da mistura como
minx≥0
{cx | P (x ≥ ω) ≥ α} = minx≥0
{cx | x ≥ F−1(α)
}cuja solução é, evidentemente, x∗ = F−1(α).
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O problema da produção
Abordagem “aqui e agora”
3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando desviosPenalizamos superávits e déficits:
Q(x) = E[h · (ω − x)− + q · (ω − x)+
],
onde
z− =
{0, se z ≥ 0,
−z, se z < 0,e z+ =
{z, se z ≥ 0,0, se z < 0,
O problema original fica então assim:
minimizar f (x) = c x + Q(x)
sujeito a x ≥ 0,
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O problema da produção
Abordagem “aqui e agora”
3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando desviosComo
f ′(x) = c + Q′(x) = c − q + (q + h) F (x),
segue-se que a solução ótima é dada por
x∗ = F−1(
q − cq + h
).
Se h = 0, esta solução coincide com a solução obtida por chanceconstraints se
qc
=1
1− α.
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O problema da produção
Abordagem “aqui e agora”
3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando desviosComo
f ′(x) = c + Q′(x) = c − q + (q + h) F (x),
segue-se que a solução ótima é dada por
x∗ = F−1(
q − cq + h
).
Se h = 0, esta solução coincide com a solução obtida por chanceconstraints se
qc
=1
1− α.
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O problema da produção
Abordagem “aqui e agora”
3. Aceitar inadmissibilidade, penalizando desvios
α(nível de confiabilidade)
q/c(custo de déficit/custo de produção)
0.990 1000.975 400.950 200.900 100.800 50.500 2
Esta tabela é interessante: ela nos dá uma idéia de que valoresescolher para o custo q em termos do nível de confiabilidade α.
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Modelos de Recurso
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Motivação: programação linear por metas
minx∈X
{cx | Ax = b e Tx ∼ h}
onde
X = {x ∈ Rn | x ≤ x ≤ x} ou X = {x ∈ Rn | 0 ≤ x < +∞},
c ∈ Rn, A é m̃ × n, b ∈ Rem, T é m × n, h ∈ Rm,
cx = c1 · x1 + c2 · x2 + · · ·+ cn · xn =∑n
i=1 ci · xi ,
o símbolo ∼ representa uma das relações =, ≥ e ≤(componente a componente).
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Motivação: programação linear por metas
minx∈X
{cx | Ax = b e Tx ∼ h}
Restrições rígidas : Ax = b.
Restrições flexíveis: Tx ∼ h.A idéia é penalizar os desvios de meta z = h − Tx dasrestrições flexíveis através de uma função de penalidade
z 7→ v(z)
que é incorporada à função objetivo do problema deotimização original:
minx∈X
{cx + v(h− Tx) | Ax = b}
=
minx∈X
{cx + v(z) | Ax = b e Tx + z = h} .
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Motivação: programação linear por metas
minx∈X
{cx | Ax = b e Tx ∼ h}
Restrições rígidas : Ax = b.Restrições flexíveis: Tx ∼ h.
A idéia é penalizar os desvios de meta z = h − Tx dasrestrições flexíveis através de uma função de penalidade
z 7→ v(z)
que é incorporada à função objetivo do problema deotimização original:
minx∈X
{cx + v(h− Tx) | Ax = b}
=
minx∈X
{cx + v(z) | Ax = b e Tx + z = h} .
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Motivação: programação linear por metas
minx∈X
{cx | Ax = b e Tx ∼ h}
Restrições rígidas : Ax = b.Restrições flexíveis: Tx ∼ h.A idéia é penalizar os desvios de meta z = h − Tx dasrestrições flexíveis através de uma função de penalidade
z 7→ v(z)
que é incorporada à função objetivo do problema deotimização original:
minx∈X
{cx + v(h− Tx) | Ax = b}=
minx∈X
{cx + v(z) | Ax = b e Tx + z = h} .
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Como escolher a função de penalidade v?
Notação
T =
t1
t2
...
tm
, h =
h1
h2...
hm
e z =
z1
z2...
zm
.
Tx ∼ h ⇔ z = h− Tx ∼ 0
tix ∼ hi ⇔ zi = hi − tix ∼ 0 ∀i = 1, . . . , m
tix ≤ hi ⇔ zi = hi − tix ≥ 0
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Como escolher a função de penalidade v?
Notação
T =
t1
t2
...
tm
, h =
h1
h2...
hm
e z =
z1
z2...
zm
.
Tx ∼ h ⇔ z = h− Tx ∼ 0
tix ∼ hi ⇔ zi = hi − tix ∼ 0 ∀i = 1, . . . , m
tix ≤ hi ⇔ zi = hi − tix ≥ 0
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Como escolher a função de penalidade v?
Notação
T =
t1
t2
...
tm
, h =
h1
h2...
hm
e z =
z1
z2...
zm
.
Tx ∼ h ⇔ z = h− Tx ∼ 0
tix ∼ hi ⇔ zi = hi − tix ∼ 0 ∀i = 1, . . . , m
tix ≥ hi ⇔ zi = hi − tix ≤ 0
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Como escolher a função de penalidade v?
Notação
T =
t1
t2
...
tm
, h =
h1
h2...
hm
e z =
z1
z2...
zm
.
Tx ∼ h ⇔ z = h− Tx ∼ 0
tix ∼ hi ⇔ zi = hi − tix ∼ 0 ∀i = 1, . . . , m
tix = hi ⇔ zi = hi − tix = 0
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Função de penalidade com custos individuais
v(z) =m∑
i=1
vi(zi) =m∑
i=1
(qiz
+i + q
iz−i
)︸ ︷︷ ︸
vi (zi )
.
Como escolher qi e qi?
Restrição do tipo tix = hi (isto é, zi = 0):
Penalizamos superávits escolhendo qi > 0 e penalizamosdéficits q
i> 0.
A função vi é convexa como soma de funções convexas.
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Função de penalidade com custos individuais
v(z) =m∑
i=1
vi(zi) =m∑
i=1
(qiz
+i + q
iz−i
)︸ ︷︷ ︸
vi (zi )
.
Como escolher qi e qi?
Restrição do tipo tix = hi (isto é, zi = 0):
Penalizamos superávits escolhendo qi > 0 e penalizamosdéficits q
i> 0.
A função vi é convexa como soma de funções convexas.
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Função de penalidade com custos individuais
v(z) =m∑
i=1
vi(zi) =m∑
i=1
(qiz
+i + q
iz−i
)︸ ︷︷ ︸
vi (zi )
.
Como escolher qi e qi?
Restrição do tipo tix ≥ hi (isto é, zi ≤ 0):
Penalizamos superávits escolhendo qi > 0 e premiamos déficitsescolhendo q
i< 0
A função vi é convexa se qi+ qi ≥ 0.
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Função de penalidade com custos individuais
v(z) =m∑
i=1
vi(zi) =m∑
i=1
(qiz
+i + q
iz−i
)︸ ︷︷ ︸
vi (zi )
.
Como escolher qi e qi?
Restrição do tipo tix ≤ hi (isto é, zi ≥ 0):
Premiamos superávits escolhendo qi < 0 e penalizamos déficitsescolhendo q
i> 0
A função vi é convexa se qi+ qi ≥ 0.
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Função de penalidade com custo conjunto
Supondo que todas as restrições são da forma zi ≥ 0:
v(z) = v(z1, z2, . . . , zm) = q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m}.
A função v é convexa se q0 ≥ 0.
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Função de penalidade via ações de recurso
Ingredientes necessários para construir a função de penalidade:
1. Uma estrutura de recurso (q, W).
Aqui q ∈ Rp (vetor de custos) e W é m × p (matriz de recurso).
2. Um conjunto Y de variáveis de recurso.
Y = {y ∈ Rp | y ≤ y ≤ y}ou
Y = {y ∈ Rp | 0 ≤ y ≤ +∞} = Rp+.
A função de recurso v é então definida por:
v(z) = miny∈Y
{qy | Wy ∼ z} .
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Função de penalidade via ações de recurso
Escolhendo-se uma estrutura de recurso adequado, é possívelrecuperar a função de penalidade com custos individuais e comcusto conjunto definidas anteriormente!
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Função de penalidade via ações de recurso
vi(zi) = qiz+i + q
iz−i .
q =(
qi , qi
)∈ R× R = R2, W =
[+1 −1
]1×2 ,
Y = R+ × R+ = R2+.
vi(zi) = miny∈Y
{qy | Wy = zi}
= miny≥0,y≥0
{[q q
] [yy
] ∣∣∣∣ [+1 −1
] [yy
]=
[zi
]}
= miny≥0,y≥0
{qy + qy | y − y = zi
}= qiz
+i + q
iz−i .
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Função de penalidade via ações de recurso
vi(zi) = qiz+i + q
iz−i .
q =(
qi , qi
)∈ R× R = R2, W =
[+1 −1
]1×2 ,
Y = R+ × R+ = R2+.
vi(zi) = miny∈Y
{qy | Wy = zi}
= miny≥0,y≥0
{[q q
] [yy
] ∣∣∣∣ [+1 −1
] [yy
]=
[zi
]}
= miny≥0,y≥0
{qy + qy | y − y = zi
}= qiz
+i + q
iz−i .
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Função de penalidade via ações de recurso
vi(zi) = qiz+i + q
iz−i .
q =(
qi , qi
)∈ R× R = R2, W =
[+1 −1
]1×2 ,
Y = R+ × R+ = R2+.
vi(zi) = miny∈Y
{qy | Wy = zi}
= miny≥0,y≥0
{[q q
] [yy
] ∣∣∣∣ [+1 −1
] [yy
]=
[zi
]}
= miny≥0,y≥0
{qy + qy | y − y = zi
}= qiz
+i + q
iz−i .
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Função de penalidade via ações de recurso
vi(zi) = qiz+i + q
iz−i .
q =(
qi , qi
)∈ R× R = R2, W =
[+1 −1
]1×2 ,
Y = R+ × R+ = R2+.
vi(zi) = miny∈Y
{qy | Wy = zi}
= miny≥0,y≥0
{[q q
] [yy
] ∣∣∣∣ [+1 −1
] [yy
]=
[zi
]}
= miny≥0,y≥0
{qy + qy | y − y = zi
}= qiz
+i + q
iz−i .
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Função de penalidade via ações de recurso
vi(zi) = qiz+i + q
iz−i .
q =(
qi , qi
)∈ R× R = R2, W =
[+1 −1
]1×2 ,
Y = R+ × R+ = R2+.
vi(zi) = miny∈Y
{qy | Wy = zi}
= miny≥0,y≥0
{[q q
] [yy
] ∣∣∣∣ [+1 −1
] [yy
]=
[zi
]}
= miny≥0,y≥0
{qy + qy | y − y = zi
}
= qiz+i + q
iz−i .
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Função de penalidade via ações de recurso
vi(zi) = qiz+i + q
iz−i .
q =(
qi , qi
)∈ R× R = R2, W =
[+1 −1
]1×2 ,
Y = R+ × R+ = R2+.
vi(zi) = miny∈Y
{qy | Wy = zi}
= miny≥0,y≥0
{[q q
] [yy
] ∣∣∣∣ [+1 −1
] [yy
]=
[zi
]}
= miny≥0,y≥0
{qy + qy | y − y = zi
}= qiz
+i + q
iz−i .
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Função de penalidade via ações de recurso
v(z) = v(z1, z2, . . . , zm) = q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m}.
q =(
q0)∈ R, W =
−1...
−1
m×1
, Y = R+.
v(z) = miny∈Y
{qy | Wy ≤ z}
= miny≥0
[q0
] [y
] ∣∣∣∣∣∣∣ −1
...−1
[y
]≤
z1...
zm
= miny≥0
{qy | y ≥ −z1, . . . , y ≥ −zm}
= q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m},
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Função de penalidade via ações de recurso
v(z) = v(z1, z2, . . . , zm) = q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m}.
q =(
q0)∈ R, W =
−1...
−1
m×1
, Y = R+.
v(z) = miny∈Y
{qy | Wy ≤ z}
= miny≥0
[q0
] [y
] ∣∣∣∣∣∣∣ −1
...−1
[y
]≤
z1...
zm
= miny≥0
{qy | y ≥ −z1, . . . , y ≥ −zm}
= q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m},
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Função de penalidade via ações de recurso
v(z) = v(z1, z2, . . . , zm) = q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m}.
q =(
q0)∈ R, W =
−1...
−1
m×1
, Y = R+.
v(z) = miny∈Y
{qy | Wy ≤ z}
= miny≥0
[q0
] [y
] ∣∣∣∣∣∣∣ −1
...−1
[y
]≤
z1...
zm
= miny≥0
{qy | y ≥ −z1, . . . , y ≥ −zm}
= q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m},
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Função de penalidade via ações de recurso
v(z) = v(z1, z2, . . . , zm) = q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m}.
q =(
q0)∈ R, W =
−1...
−1
m×1
, Y = R+.
v(z) = miny∈Y
{qy | Wy ≤ z}
= miny≥0
[q0
] [y
] ∣∣∣∣∣∣∣ −1
...−1
[y
]≤
z1...
zm
= miny≥0
{qy | y ≥ −z1, . . . , y ≥ −zm}
= q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m},
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Função de penalidade via ações de recurso
v(z) = v(z1, z2, . . . , zm) = q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m}.
q =(
q0)∈ R, W =
−1...
−1
m×1
, Y = R+.
v(z) = miny∈Y
{qy | Wy ≤ z}
= miny≥0
[q0
] [y
] ∣∣∣∣∣∣∣ −1
...−1
[y
]≤
z1...
zm
= miny≥0
{qy | y ≥ −z1, . . . , y ≥ −zm}
= q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m},
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Função de penalidade via ações de recurso
v(z) = v(z1, z2, . . . , zm) = q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m}.
q =(
q0)∈ R, W =
−1...
−1
m×1
, Y = R+.
v(z) = miny∈Y
{qy | Wy ≤ z}
= miny≥0
[q0
] [y
] ∣∣∣∣∣∣∣ −1
...−1
[y
]≤
z1...
zm
= miny≥0
{qy | y ≥ −z1, . . . , y ≥ −zm}
= q0 max{z−1 , z−2 , . . . , z−m},
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Modelos de recurso em otimização estocástica
minx∈X
{cx | Ax = b e T(ω)x ∼ h(ω)}
ESTÁGIO 1 ESTÁGIO 2
decisão em x → ocorre ω → ação corretiva y
minx∈X
{cx + E [v(z,ω)] | Ax = b}
onde
v(z,ω) = miny∈Y
{q(ω)y | W(ω)y ∼ h(ω)− T(ω)x} .
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Modelos de recurso em otimização estocástica
minx∈X
{cx | Ax = b e T(ω)x ∼ h(ω)}
ESTÁGIO 1 ESTÁGIO 2
decisão em x → ocorre ω → ação corretiva y
minx∈X
{cx + E [v(z,ω)] | Ax = b}
onde
v(z,ω) = miny∈Y
{q(ω)y | W(ω)y ∼ h(ω)− T(ω)x} .
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Modelos de recurso em otimização estocástica
minx∈X
{cx | Ax = b e T(ω)x ∼ h(ω)}
ESTÁGIO 1 ESTÁGIO 2
decisão em x → ocorre ω → ação corretiva y
minx∈X
{cx + E [v(z,ω)] | Ax = b}
onde
v(z,ω) = miny∈Y
{q(ω)y | W(ω)y ∼ h(ω)− T(ω)x} .
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Modelos de recurso em otimização estocástica
minx∈X
{cx +Q(x) | Ax = b}
onde
Q(x) = E [v(z,ω)] = E[miny∈Y
{q(ω)y | W(ω)y ∼ h(ω)− T(ω)x}]
︸ ︷︷ ︸LP de segundo estágio
.
Perguntas:O problema de segundo estágio sempre está bem definido?A esperança (uma integral!) sempre é finita?Q é uma função simpática?
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Modelos de recurso em otimização estocástica
minx∈X
{cx +Q(x) | Ax = b}
onde
Q(x) = E [v(z,ω)] = E[miny∈Y
{q(ω)y | W(ω)y ∼ h(ω)− T(ω)x}]
︸ ︷︷ ︸LP de segundo estágio
.
Perguntas:O problema de segundo estágio sempre está bem definido?A esperança (uma integral!) sempre é finita?Q é uma função simpática?
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Modelos de recurso em otimização estocástica
Perguntas:O problema de segundo estágio sempre está bem definido?
Resposta: Sim, se W é de recurso completo ou de recursosimples, isto é, se
∀z ∈ Rm,∃y≥0 | Wy = z (recurso completo)
ouW =
[+I −I
]. (recurso simples)
A esperança (uma integral!) sempre é finita?
Resposta: Sim, se ω tem segundos momentos finitos.
Q é uma função simpática?
Resposta: Sim! Q é convexa e diferenciável de ω temdistribuição contínua.
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Modelos de recurso em otimização estocástica
Perguntas:O problema de segundo estágio sempre está bem definido?Resposta: Sim, se W é de recurso completo ou de recursosimples, isto é, se
∀z ∈ Rm,∃y≥0 | Wy = z (recurso completo)
ouW =
[+I −I
]. (recurso simples)
A esperança (uma integral!) sempre é finita?
Resposta: Sim, se ω tem segundos momentos finitos.
Q é uma função simpática?
Resposta: Sim! Q é convexa e diferenciável de ω temdistribuição contínua.
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Modelos de recurso em otimização estocástica
Perguntas:O problema de segundo estágio sempre está bem definido?Resposta: Sim, se W é de recurso completo ou de recursosimples, isto é, se
∀z ∈ Rm,∃y≥0 | Wy = z (recurso completo)
ouW =
[+I −I
]. (recurso simples)
A esperança (uma integral!) sempre é finita?Resposta: Sim, se ω tem segundos momentos finitos.
Q é uma função simpática?
Resposta: Sim! Q é convexa e diferenciável de ω temdistribuição contínua.
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 51
Modelos de recurso em otimização estocástica
Perguntas:O problema de segundo estágio sempre está bem definido?Resposta: Sim, se W é de recurso completo ou de recursosimples, isto é, se
∀z ∈ Rm,∃y≥0 | Wy = z (recurso completo)
ouW =
[+I −I
]. (recurso simples)
A esperança (uma integral!) sempre é finita?Resposta: Sim, se ω tem segundos momentos finitos.
Q é uma função simpática?Resposta: Sim! Q é convexa e diferenciável de ω temdistribuição contínua.
B. K. Pagnoncelli, H. J. Bortolossi Uma Introdução à Otimização sob Incerteza 52
A forma extensa
minx∈X
{cx + E
[miny∈Y
{q(ω)y | W(ω)y = h(ω)− T(ω)x}] ∣∣∣∣ Ax = b
}
minimizarx∈X
y1,y2,...,yS∈Y
cx + p1q1y1 + p2q2y2 + · · ·+ pSqSyS
sujeito a Ax = b,
T1x + Wy1 ∼ h1,
T1x + Wy2 ∼ h2,...
. . ....
...TSx + WyS ∼ hS,
ps = P(ω = ωS)
, qs = q(ωs), ys = y(ωs), Ts = T(ωs), hs = h(ωs),W(ω) = W (recurso fixo).
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A forma extensa
minx∈X
{cx + E
[miny∈Y
{q(ω)y | W(ω)y = h(ω)− T(ω)x}] ∣∣∣∣ Ax = b
}
minimizarx∈X
y1,y2,...,yS∈Y
cx + p1q1y1 + p2q2y2 + · · ·+ pSqSyS
sujeito a Ax = b,
T1x + Wy1 ∼ h1,
T1x + Wy2 ∼ h2,...
. . ....
...TSx + WyS ∼ hS,
ps = P(ω = ωS)
, qs = q(ωs), ys = y(ωs), Ts = T(ωs), hs = h(ωs),W(ω) = W (recurso fixo).
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