volume 7, 2012 2

Uma Proposta de Plano de Curso para Conteúdos de Física em Nível Médio, Através do Trabalho Articulado entre Professores de Física e de Matemática Visando a Aprendizagem Signficativa

Wilker Dias Oliveira e Célia Maria Soares Gomes de Sousa

anexos disponíveisclique aqui para baixar

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

Instituto de Ciências Biológicas

Instituto de Física

Instituto de Química

Faculdade UnB Planaltina

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências

UMA PROPOSTA DE PLANO DE CURSO PARA CONTEÚDOS DE

FÍSICA EM NÍVEL MÉDIO, ATRAVÉS DO TRABALHO

ARTICULADO ENTRE PROFESSORES DE FÍSICA E DE

MATEMÁTICA, EM SITUAÇÃO DE COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA,

VISANDO A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA

WILKER DIAS OLIVEIRA

BRASÍLIA, DF

2012

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

Instituto de Ciências Biológicas

Instituto de Física

Instituto de Química

Faculdade UnB Planaltina

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências

UMA PROPOSTA DE PLANO DE CURSO PARA CONTEÚDOS DE

FÍSICA EM NÍVEL MÉDIO, ATRAVÉS DO TRABALHO

ARTICULADO ENTRE PROFESSORES DE FÍSICA E DE

MATEMÁTICA, EM SITUAÇÃO DE COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA,

VISANDO A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA

WILKER DIAS OLIVEIRA

Proposição de ação profissional resultante da

Dissertação realizada sob orientação da Prof.ª

Dr.ª Célia Maria Soares Gomes de Sousa e

apresentado à banca examinadora como

requisito parcial à obtenção do Título de

Mestre em Ensino de Ciências – Área de

Concentração ―Ensino de Física‖, pelo

Programa de Pós-Graduação em Ensino de

Ciências da Universidade de Brasília.

BRASÍLIA, DF

2012

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 3

I. A RELAÇÃO FÍSICA-MATEMATICA NO ENSINO MÉDIO ...................................................... 4

II. SEQUÊNCIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM............................................................................ 7

Tema 01 – Grandezas Escalares e Vetoriais ................................................................................... 7

Tema 02 – Cinemática e Dinâmica ................................................................................................10

Tema 03 – Velocidade Instantânea ................................................................................................12

Tema 04 – Aplicações do Movimento Uniforme (MU) ...................................................................14

Tema 05 – Porque ocorrem os movimentos ...................................................................................17

Tema 06 – Primeira Lei de Newton ...............................................................................................19

Tema 07 – Impulso e Quantidade de Movimento ...........................................................................21

Tema 08 – 2ª Lei de Newton ..........................................................................................................23

Tema 09 – Movimento Uniformemente Variado .............................................................................25

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................................................29

3

INTRODUÇÃO

Essa proposição é fruto do trabalho de pesquisa realizado em no Programa de Pós-

Graduação em Ensino de Ciências da Universidade de Brasília (PPGEC-UnB) e apresenta os

temas discutidos ao longo do desenvolvimento do projeto em uma escola de Ensino Médio do

Distrito Federal.

Esse trabalho surgiu tendo como base algumas dificuldades pontuais identificadas por

nós na rede de ensino do Distrito Federal e busca colocar em prática algumas sugestões

presentes nos PCN (1999) e nos PCN+ (2002), em particular a busca por abordagens de

práticas interdisciplinares. Nesse sentido, apresentamos uma sequência didática que, no nosso

ponto de vista, propicia ao professor, desenvolver de forma interdisciplinar, os conceitos

relacionados ao estudo da Cinemática e da Dinâmica na Física e aqueles relacionados aos de

função do primeiro e do segundo graus estudados em Matemática.

Apoiamos nosso trabalho na Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS) de David

Ausubel que, em sua essência, coloca como fator preponderante para a aprendizagem

significativa, o conhecimento prévio do sujeito que aprende. Ou seja, é necessário conhecer o

que o aluno já sabe. Dessa forma, buscamos, no inicio de cada um dos temas desenvolvidos,

apresentar uma situação problema que nos permitisse, de forma mais geral, identificar os

conhecimentos relevantes para o tema que os alunos já tivessem, e, com o desenvolvimento

dos estudos, propor situações que permitissem a ele uma complementação ou mesmo uma

revisão dos conceitos previamente existentes.

4

I. A RELAÇÃO FÍSICA-MATEMATICA NO ENSINO MÉDIO

A implementação de atividades interdisciplinares é um processo complicado e ainda

confuso para muitos professores, principalmente por não haver um consenso sobre a própria

definição do termo, como é discutido por Lavaqui e Batista (2007) que apontam a

preocupação recente com o Ensino Médio, principalmente no que diz respeito a aspectos

voltados à interdisciplinaridade, mais especificamente na relação entre o Ensino de Ciências e

a Matemática, que, na visão deles, contribuiria para uma melhoria do ensino dessas

disciplinas, e que, inclusive facilitaria a transição da disciplina ―Ciências‖ para Química,

Física e Biologia, mantendo clara a relação que estas apresentam com a Matemática.

Nessa linha de pensamento encontramos Martins (2005) que, ao fazer uma análise dos

PCN (1999), aponta para a necessidade de se necessidade de se pensar a interdisciplinaridade

em termos do currículo a ser seguido pelas disciplinas, pois estas deveriam desenvolver suas

habilidades e competências próprias, sem perder sua identidade frente ao aluno, porém

deixando claro a ele que o conhecimento se dá de uma maneira integrada. Sendo o currículo

elaborado de ―forma hierárquica, com estrutura lógica, tornando explícitas as relações entre

ideias, relatando similaridades e elementos comuns, sempre considerando o conhecimento

prévio do aluno‖

O desenvolvimento de trabalhos currículos integrados é também apontado por

Guidugli, Fernandez Gauna e Banegas (2004) como uma boa alternativa para a educação

atual, principalmente no que diz respeito ao desenvolvimento de habilidades para leitura e

interpretação de gráficos, uma vez que esse método é bastante utilizado na sociedade para

transmitir informações nas mais variadas áreas de estudo.

Dessa forma podemos nos basear nas ideias de Campos (2000), de que a Matemática

atua como estruturante dos conhecimentos físicos, para a proposição desse trabalho que busca

contribuir para a discussão sobre a relação desses conhecimentos na primeira série do Ensino

Médio.

O estudo desses trabalhos nos traz também, algumas situações que devem ser

consideradas, entre elas a necessidade de que o aluno assimile conceitos básicos da

Cinemática e esteja habituado com a linguagem matemática através das quais uma informação

5

pode ser ensinada, sendo obtida por meio de ferramentas que favoreçam uma correta

compreensão dos conceitos, de modo a não confundir o aluno.

Ainda nessa linha de pensamento, Pietrocola (2002) compara as culturas científicas e

do senso comum e percebe que a linguagem utilizada por elas é uma das fontes de

diferenciação, em que a linguagem utilizada pela Ciência é a Matemática, e a não capacidade

de se expressar nessa linguagem excluiria o individuo de um dialogo cientifico, o que, em

alguns casos, indica o baixo desenvolvimento na Matemática como o responsável pelo

fracasso escolar do aluno.

Nas palavras do autor: ―Muitas vezes, os professores de Física acabam por atribuir à

Matemática a responsabilidade pelas dificuldades na aprendizagem e não naquilo que

ensinam‖ e conclui dizendo que ―admitir que boa parte dos problemas do aprendizado da

Física se localiza no domínio da Matemática reflete um posicionamento epistemológico

ingênuo - acaba-se por atribuir à segunda função de instrumento da primeira!‖

Dessa forma, o autor passa a defender que a Matemática é a linguagem da Física, pois

é por meio dela que se exprimem os resultados alcançados pela Física, pois a linguagem está

associada aos códigos empregados na comunicação.

No que diz respeito ao trabalho articulado no desenvolvimento dos conteúdos de

Física e de Matemática, Zuffi e Pacca (2002) e Barbeta e Yamamoto (2002), fazem uma

discussão interessante, em que as primeiras fizeram um trabalho focado no conceito de função

apresentados por professores de Matemática e Física e que por vezes, esses professores,

embora estejam tratando de um mesmo tema (função), não alertam os alunos para as

semelhanças, o que dá a entender ao aluno que são coisas diferentes. Já os outros autores

tratam da relação presente nos cursos de engenharia entre as disciplinas Calculo 1 e Física 1,

em que a primeira, quando cursada antes pelos alunos, tem impacto considerável no

desenvolvimento da segunda, aumentando o aproveitamento dos alunos.

Dessa forma, detectamos a necessidade de que se tenha primeiro o embasamento

matemático para que se possam apoiar nele as discussões sobre os conceitos da Física, além,

claro, de procurar conhecer as concepções prévias dos alunos, pois, a partir delas, seria

possível planejar estratégias de reelaboração dessas concepções, para minimizar as

dificuldades apresentadas, maximizando o processo de aprendizagem.

6

Assim, nosso interesse principal é o de trabalhar de forma integrada as disciplinas

Física e Matemática, tendo nossa atenção se voltada principalmente para a relação existente

entre as funções, estudadas nos segundo e terceiro bimestres em Matemática, e os

movimentos retilíneos. Os conceitos referentes às leis de Newton, Quantidade de Movimento

e Impulso são de grande importância para a compreensão dos movimentos, e esse

entendimento, esperamos, facilitará a interpretação das situações apresentadas, o que nos

permite uma formulação mais completa de problemas.

Tabela 1: Planos de Curso de Matemática e Física

Plano de Curso de Matemática Plano de Curso Física

1º

Bim

estr

e

Revisão de conteúdos básicos.

Teoria de Conjuntos.

Conjuntos Numéricos.

Função:

Definição;

Análise de Tabelas;

Gráficos.

O homem no mundo;

Teorias Geocêntricas e

Heliocêntricas;

Leis de Kepler;

Leis da Gravitação Universal

Explorando o Espaço

(Astronáutica);

Como os foguetes voam?

(Aristóteles, Galileu, Newton e Bernoulli);

2º

Bim

estr

e

Função do 1 grau:

Definição;

Construção de Gráficos; Composição e Inversão;

Aplicações.

Grandezas Escalares e Vetoriais;

Movimento Retilíneo e Uniforme

(MRU);

1ª Lei de Newton;

Quantidade de Movimento;

Impulso e Quantidade de

Movimento;

3º

Bim

estr

e

Função do 2 grau:

Definição;

Construção de Gráficos;

Aplicação.

2ª Lei de Newton;

Movimento Retilíneo e

Uniformemente Variado;

3ª Lei de Newton;

Conservação da Quantidade de

Movimento;

4º

Bim

estr

e

Sequência ou Sucessão Numérica:

Definição e Lei de Formação.

Progressão Aritmética.

Progressão Geométrica.

Séries Geométricas.

Aplicações.

Trabalho, energia e sua

conservação;

Equilíbrio;

Hidrostática;

Esse produto educacional apresenta os temas elaborados com sugestão de atividades

que foram utilizadas e que apresentaram boa aceitação dos alunos no transcorrer do projeto.

7

II. SEQUÊNCIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM

A evolução desses temas nas aulas segue uma sequência lógica, iniciando pela

apresentação de uma situação simples do cotidiano do aluno, quando são feitos

questionamentos com o objetivo de identificar seus conhecimentos prévios sobre a situação. A

partir dessas respostas, buscaremos trabalhar com esses conhecimentos, reestruturando-os se

necessários, buscando fazer com que o aluno reestruture sua estrutura cognitiva no sentido de

aproximar o conhecimento em questão daquele cientificamente aceito. Essa sequência, na

nossa visão, vai ao encontro daquela proposta na teoria de Ausubel.

Tema 01 – Grandezas Escalares e Vetoriais

Objetivo: Rever os conceitos de grandezas escalares e vetoriais e sua aplicação no estudo das

ciências em geral.

Problematização: considere que duas pessoas puxem um carro com o auxilio de uma corda,

tal como é ilustrado na figura abaixo. O que aconteceria? Qual seria a direção seguida pelo

carro?

Com base nas respostas dos alunos, identificar que existem grandezas que necessitam

apenas de um valor numérico acompanhado de uma unidade de medida (grandezas

escalares) enquanto que existem grandezas que precisam de uma complementação

geométrica para que possa trazer a informação completa (grandezas vetoriais):

Grandezas Escalares: Temperatura, tempo, massa, etc.

Grandezas Vetoriais: Força, deslocamento, velocidade, aceleração.

Representação de uma grandeza vetorial

Uma grandeza vetorial pode ser representada de varias formas, sendo as mais comuns

a indicação por meio de uma seta sobre a letra que representa a grandeza, mais comum no

ensino médio, ou por meio da letra em negrito, comum em livros de Matemática de nível

superior.

𝐴 (A) – vetor A; 𝐵 (B) – vetor B; 𝐶 (C) – vetor C

8

Exemplo - identifique as características (módulo, direção e sentido) dos seguintes vetores:

Operação com grandezas vetoriais:

Adição vetorial:

Existem duas maneiras de se adicionarem vetores:

1_ Transportar os vetores em segmentos consecutivos de forma que a extremidade de um

coincida com a origem do outro.

2_ Transportar os vetores de modo que tenham a mesma origem e aplicar teoremas

matemáticos: teorema de Pitágoras ou leis do seno e do cosseno. Identificar essa forma de

resolução, transportar vetores, como regra do paralelogramo.

Subtração vetorial.

Definir vetor oposto de um dado vetor, e aplicar as regras de adição vetorial.

Exemplo – Um aluno 1 passava todos os dias na casa de um colega (aluno 2), distante

4 km a oeste de sua, para juntos irem à escola, que se situava 3 km ao sul da casa do aluno 2.

Um dia o aluno 2 ficou doente e o primeiro aluno foi então direto de sua casa para a escola.

Represente os vetores deslocamento realizados pelo aluno 1 nas duas situações e calcule a

distância percorrida por ele para ir de sua casa até a escola nas duas situações.

9

Produto de um número real por um vetor

Ao somarmos 𝐴 com 𝐴 temos 2 𝐴 . Assim, quando temos o produto de um número real

(r ≠ 0) por um vetor acarreta no surgimento de um novo vetor com a mesma direção do vetor

original, podendo ter alterado seu sentido (r < 0) e/ou o seu módulo (r ≠ 1). Temos algumas

situações nas quais isso ocorre na Física. (Força = massa * aceleração; quantidade de

movimento = massa * velocidade; impulso = força * Intervalo de tempo etc.)

Decomposição vetorial.

Assim como dois vetores dão origem a um terceiro vetor chamado resultante, podemos

decompor um vetor em componentes, que estarão orientados dentro de um sistema ordenado.

(ver a situação do exemplo anterior)

Sugestão de Exercícios: 1. Determine o módulo da resultante dos vetores representados na figura ao lado, sabendo que cada divisão do quadriculado mede uma unidade.

2. Dois vetores 𝑎 e 𝑏 , cujas direções são desconhecidas, têm módulos dados por

lã l = 20, lê-se módulo de a igual a 20 unidades,

e l𝑏 l = 13. Sendo s a soma desses vetores, determine: a) o máximo valor possível para l𝑠 l; b) o mínimo valor possível para l𝑠 l. 3. Na figura ao lado estão desenhados dois vetores (𝑥 e 𝑦 ). Esses vetores representam deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é o módulo do vetor igual a 𝑥 + 𝑦 ?

4. Na figura ao lado, os vetores 𝑖 e 𝑗 são perpendiculares e unitários: l𝑖 l = l𝑗 l= 1. Represente o vetor 𝑎 em termos de 𝑖 e 𝑗 '.

5. No gráfico estão representados os vetores

𝑎 , 𝑏 , 𝑖 e 𝑗 . Determine as expressões de 𝑎 e 𝑏 em função de 𝑖 e 𝑗 .

10

6. Dados os vetores 𝑎 e 𝑏 , represente

graficamente os vetores: - 𝑎 ; 3𝑏 ; 𝑎 - 𝑏 ; 𝑎 + 3𝑏 ;

𝑏 - 𝑎 .

7. Um avião sobe com velocidade de 200 m/s e com 30° de inclinação em relação à horizontal, conforme a figura. Determine as componentes da velocidade na horizontal (eixo x) e na vertical (eixo y). São dados: sem 30° = 0,500; cos 30° = 0,866.

Tema 02 – Cinemática e Dinâmica

Objetivo:

Apresentar os conceitos de cinemática e dinâmica e, de posse desses conceitos, abrir

espaço para discussão sobre o que é movimento e o que o causa.

Diferenciar entre ponto material e corpo extenso.

Problematização: uma pessoa em um ponto de ônibus observa os passageiros dentro de um

ônibus que passa pelo ponto. Essa pessoa diria que os passageiros estão em movimento ou em

repouso? E o motorista do ônibus, qual resposta daria?

11

Com as respostas dos alunos, pode-se discutir dois conceitos importantes: referencial e

posição; e, a partir desses conceitos, definirmos o movimento como sendo a variação de

posição com relação a um dado referencial, sendo essa variação uma grandeza vetorial.

Representamos a posição como sendo uma função do tempo e utilizamos a ideia de

variação para verificar o conceito de velocidade que os alunos têm para, então, introduzirmos

o conceito de velocidade média.

Posição, deslocamento (variação de posição) e distância percorrida.

Inicialmente o carro estava em A e depois de certo tempo, ele passou para B. Dessa

forma A está relacionado à um instante t1 e B a t2. Dessa forma o movimento ocorreu durante

o intervalo de tempo dado por ∆t = t2 – t1.

Usando a placa como referencial, de onde se mediu a posição do carro, em A o carro

estava a 30 m a direita da placa, ou seja, a posição do carro é x(t1)= 30 m e em B, a posição do

carro é x(t2)= 50 m.

Assim variação da posição do carro, do instante t1 ao t2, é a diferença ∆x = x(t2) –

x(t1). Essa variação é chamada de deslocamento do móvel.

Se esse deslocamento é positivo, ou seja, x(t2) > x(t1), dizemos que o movimento é

progressivo e se o deslocamento é negativo, x(t2) < x(t1), o movimento é dito regressivo ou

retrogrado.

OBS. A distância percorrida (trajetória) e o deslocamento não são a mesma coisa: um

carro de corrida depois de uma volta numa pista retorna para a mesma posição, ou seja, seu

deslocamento é nulo, mas sua trajetória é o desenho da pista. Assim, deslocamento é uma

grandeza vetorial. Dessa forma o deslocamento será sempre menor ou igual ao comprimento

da trajetória do móvel. Como estudaremos daqui pra frente os movimentos retilíneos, esses

valores sempre serão os mesmos.

Velocidade Média

A velocidade média é definida como senda a razão entre a variação de posição e o

intervalo de tempo em que ocorre essa variação.

12

vm = Δ𝑥

Δ𝑡 =

x(t2) – x(t1)

(t2 – t1)

A velocidade média dá apenas uma informação global sobre a maneira como a

partícula se moveu nesse intervalo. Para sabermos a velocidade da partícula em um instante

em particular, precisamos recorrer ao conceito de velocidade instantânea.

Corpo extenso e ponto material

Ao analisarmos o movimento de um corpo, considerando-o um ponto material,

desprezamos suas dimensões, fato que não ocorre com um corpo extenso. Por exemplo, uma

pessoa atravessando uma ponte pode ser considerada um ponto material. Já um caminhão, ou

uma composição férrea (trem), atravessando a mesma ponte, é um corpo extenso.

Tema 03 – Velocidade Instantânea

Objetivo:

Estabelecer o conceito de posição em função do tempo no movimento retilíneo.

Estabelecer o conceito de velocidade instantânea no movimento retilíneo.

Introduzir o conceito de aceleração.

Problematização: Na figura abaixo, um ciclista, participando de uma competição, olha o

velocímetro de sua bicicleta que marca uma velocidade de 15 m/s. Qual a posição ocupada

pelo ciclista depois de 10 segundos? E depois de 2 minutos? (peça para que os alunos

respondam em um pedaço de papel e depois faça a contagem na sala de quantos acertaram)

(figura fora de escala)

Utilize as respostas dos alunos para introduzir conceitos de velocidade instantânea e

buscar generalizações que demonstrem a dependência da posição com o tempo decorrido.

13

Velocidade instantânea

A velocidade instantânea pode ser compreendida como sendo a velocidade do móvel

num certo instante. Por exemplo, em um automóvel em movimento, a velocidade instantânea

é dada, em cada instante, pela indicação do velocímetro.

A velocidade instantânea v num instante t pode ser entendida como sendo uma

velocidade média, considerando o intervalo de tempo extremamente pequeno, tendendo a zero

(Δ𝑡 → 0), o que implica t2 tendendo a t1. Daí a notação:

𝑣 = limΔ𝑡 → 0

Δ𝑥

Δ𝑡

Aceleração Média (am) e aceleração Instantânea (a)

Considere um intervalo de tempo [t1, t2], com t2 > t1. Se v(t1) é a velocidade do móvel

no instante t1 e v(t2) a velocidade no instante t2, a variação da velocidade no intervalo de t2 a t1

é ∆v = v(t2) - v(t1) e a duração deste intervalo é ∆t = t2 - t1.

A razão entre a variação da velocidade no intervalo e a duração deste intervalo é

chamada de aceleração média no intervalo [t1, t2], ou seja,

am = Δ𝑣

Δ𝑡 =

v(t2) – v(t1)

(t2 – t1)

A aceleração instantânea a num instante t pode ser entendida como sendo uma

aceleração média, considerando o intervalo de tempo extremamente pequeno, tendendo a zero

(Δ𝑡 → 0), o que implica t2 tendendo a t1. Daí a notação:

𝑎 = limΔ𝑡 → 0

Δ𝑣

Δ𝑡

Sugestão - induza o aluno a conceituar aceleração instantânea com base no conceito

de velocidade instantânea

Movimento uniforme (características)

• A velocidade instantânea coincide com a velocidade média, qualquer que seja o

intervalo de tempo considerado;

• O móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais;

• A função horária é do primeiro grau.

Função horária da posição (demonstre e discuta as condições iniciais)

Como a velocidade instantânea v coincide com a velocidade média vm, temos:

14

𝑣 = vm

v = Δx

Δt =

x(t2) – x(t1)

(t2 – t1)

Considerando t1 como sendo o instante inicial do movimento, ou seja, 0 e t2 como um

tempo t qualquer, podemos reescrever a equação da seguinte maneira:

v = x(t) – x0

t⟹ x(t) – x0 = v . t

Assim x(t) = x0 + v . t

Essa equação é chamada função horária para o movimento uniforme. É uma função do

1° grau em que a posição x(t) depende do instante t, sendo x0 a posição inicial e v a

velocidade do móvel (taxa de variação da função).

Dica – retorne e resolva o exemplo inicial.

Tema 04 – Aplicações do Movimento Uniforme (MU)

Objetivo:

Tratar com movimentos uniformes para situações simplificadas do cotidiano dos

estudantes.

Estabelecer que um movimento pode ser representado por meio de gráficos e ensinar como

extrair as informações relevantes desses gráficos.

Problematização: Na figura, dois ciclistas passeando em um parque, estão separados por

uma distância de 100 m. Dentro de quanto tempo elas vão se encontrar?

(figura fora de escala)

Nesse problema, buscamos evidências se os estudantes assimilaram a ideia de posição,

pois eles devem associar o encontro com o fato dos ciclistas se encontrarem, num mesmo

instante, na mesma posição.

15

Encontro Entre Móveis que realizam MU

Para determinar o encontro entre móveis basta que, no instante do encontro, suas

posições sejam as mesmas. Se não forem dadas as funções horárias, os procedimentos a seguir

auxiliam na resolução.

Adotar o ponto s = 0 como origem dos espaços;

Adotar t = 0 como instante inicial;

Orientar a trajetória nos sentidos possíveis.

Os gráficos do movimento Uniforme.

Propor situações e, a partir da análise delas, construir o gráfico que representa o

movimento, identificando as relações entre o gráfico e a função horária.

Exemplo: Um móvel realiza MU, de acordo com a função horária s = 5 + 2.t, com a

posição dada em metros e o instante em segundos. Construa o gráfico do movimento.

OBS. Escolher também valores fracionários para o tempo, para que se tenha uma

ideia de continuidade e não apenas de valores inteiros.

De posse de outro gráfico, utilizar o tratamento matemático pertinente, para

determinar a função horária do movimento do móvel.

Utilizar exercícios para desenvolver a pratica com as ideias e conceitos tratados até

aqui, principalmente voltados para a análise e confecção de gráficos.

Dica – sempre apresente a relação quanto aos procedimentos utilizados para

resolução de problemas nas aulas de Matemática.

Sugestão de Exercícios -

As funções matemáticas são aplicadas a varias situações do cotidiano sendo utilizadas no desenvolvimento de outras áreas do conhecimento. Na Física, faz-se utilização das funções no estudo dos movimentos, área chamada Cinemática; O movimento retilíneo uniforme, estudado na Cinemática, é o movimento em que a posição “x” de um móvel, que se desloca segundo um referencial com velocidade constante, é dependente do instante de tempo “t”. Essa relação é dada da seguinte maneira:

x(t) = x0 + v . t

Essa equação é chamada função horária para o movimento uniforme, na qual a posição x(t) depende do instante t, sendo

x0 a posição inicial e v a velocidade do móvel.

Com base nas ideias tratadas anteriormente e nos conteúdos estudados em sala, faça o que se pede nos exercícios a seguir.

1. Dada a função horária x(t) = 10 + 3.t, válida no SI, isto é, com s em metros e t em segundos, determine: a. a posição inicial, a velocidade e o sentido do movimento (progressivo ou regressivo) em relação à orientação da trajetória; b. a posição em t = 5 s e o instante em que x(t) = 31 m. 2. As funções horárias de duas partículas, A e B, que se movem em uma mesma reta

16

orientada, são dadas, no SI, por:

xA(t) = 4.t e xB(t) = 120 – 2.t A origem dos espaços é a mesma para o estudo dos dois movimentos, o mesmo ocorrendo com a origem dos tempos. Determine: a. a distância que separa as partículas no instante t = 10 s; b. o instante em que essas partículas se encontram; c. a posição em que se dá o encontro. 3. O movimento uniforme de uma partícula tem sua função horária representada no diagrama a seguir.

Determine, para esse movimento:

a. a forma da trajetória descrita pela partícula; b. a posição inicial e a velocidade; c. a função horária. 4. Nas seguintes funções horárias, identifique a posição inicial xo e a velocidade v:

a. x(t) = 20 + 4.t (SI); b. x(t) = 12.t (km; h); c. x(t) = 15 – 3.t (cm;s); 5. A função horária de um móvel é x(t) = 50 – 10.t no SI. a. Determine o instante em que o móvel passa pela origem do referencial.

b. Supondo que a trajetória seja retilínea, esboce-a mostrando as posições do móvel nos instantes 0 e 6 s. c. Esboce o gráfico para o intervalo de tempo do item anterior. 6. A figura a seguir mostra dois móveis pontuais, A e B, em movimento uniforme, com velocidades escalares de módulos respectivamente iguais a 11 m/s e 4 m/s. A situação representada na figura corresponde ao instante t0 = 0.

Determine: a. as funções horárias para os movimentos de A e de B; b. o instante em que A e B se encontram; c. As posições de A e de B no instante do encontro; d. Esboce o gráfico para a situação acima. 7. Considere os gráficos da posição (x) em função do tempo (t) referentes aos movimentos de duas partículas, A e B. As duas movem-se em uma mesma trajetória orientada.

a. Compare as posições iniciais de A e de B. b. Compare as velocidades de A e de B. c. Em que sentido A e B se movem em relação à orientação da trajetória?

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8. Dois tratores, I e II, percorrem a mesma rodovia e suas posições variam com o tempo, conforme o gráfico a seguir.

Determine a função horária dos movimentos dos tratores o instante do encontro desses veículos.

IMPORTANTE

Nos temas seguintes, foram utilizados nas aulas exemplos e problemas presentes no

próprio livro adotado na escola – Física: Ciência e Tecnologia (PENTEADO; TORRES,

2005). Por isso, serão apenas indicados a página e o número do exercício sugerido. Alguns

não foram resolvidos de imediato, fazendo parte do conjunto de problemas que foram

resolvidos, ou por sugestão dos alunos ou do professor, ao final no que chamamos de Tema

10 que não faz parte dessa proposição, por ser basicamente a discussão de problemas e

esclarecimento de dúvidas.

Tema 05 – Porque ocorrem os movimentos

Objetivo:

Apresentar as ideias de Aristóteles, Galileu e Newton acerca do movimento.

Problematização: O movimento de um veículo em uma estrada plana, por exemplo, é

mantido pelo funcionamento do motor. O que você acha que acontecerá se o motorista parar

de ―acelerar‖ o carro? Por quê?

18

Essa atividade tem o objetivo de identificar as prováveis ideias que os alunos possam

ter sobre a origem do movimento, que nos permitam confrontá-las com as ideias de

Aristóteles, Galileu e Newton.

Explicando os movimentos.

Aristóteles (384 – 322 a.C.) dividia o movimento em duas classes: movimento natural

e movimento violento.

O movimento natural decorria da natureza do objeto, dependendo da combinação dos

quatro elementos (terra, água, ar e fogo) dos quais ele era feito. Assim, cada objeto tem seu

lugar natural e, caso seja retirado dele, se esforçará para retornar ao seu estado inicial.

Nas palavras de Paul G. Hewitt ―por ser de terra, um pedaço de barro não devidamente

apoiado cai no chão. Por ser de ar, uma baforada de fumaça apropriadamente sobe; sendo uma

mistura de terra e ar, mas predominantemente terra, uma pena apropriadamente cai ao chão,

mas não tão rápido quanto um pedaço de barro‖. Dessa forma, afirmava Aristóteles, que

quanto mais pesado fosse o corpo, mais rápido ele chegaria ao chão.

O movimento violento resultava da ação de forças que puxavam ou empurravam os

objetos. Como esses puxões e empurrões nem sempre eram evidentes, Aristóteles afirmava

que, por exemplo, ao se lançar uma flecha, a corda do arco aplicava uma força; depois, para

manter o movimento, o ar que era expulso do caminho da flecha investia para traz desta, para

evitar a formação de um vácuo. Ou seja, só haveria movimento enquanto houvesse força e o

estado natural das coisas era o repouso.

Galileu Galilei (1564-1642) apresentou refutações definitivas sobre as idéias de

Aristóteles. Sobre a queda dos corpos, realizou experimentos na torre inclinada de Pisa, e

demonstrou que corpos com massas diferentes chegavam ao solo em tempos muito próximos,

essa diferença se dava por conta da resistência do ar.

Para explicar os movimentos, Galileu realizou experimentos com planos inclinados, e

observou que uma esfera tornava-se mais veloz ao descer uma rampa e menos veloz ao subi-

la. Para uma superfície plana então, a bola chegaria ao estado de repouso devido à ação de

atrito, e ele sustentou essa ideia com base em observações de situações em que utilizou

superfícies cada vez mais lisas, constatando que o movimento durava cada vez mais tempo

quanto mais lisa era a superfície sobre a qual o corpo se movimentava. Ele raciocinou que na

ausência de atrito, ou de outras forças, o objeto continuaria se movendo na horizontal por

tempo indefinido.

Para sustentar tal afirmativa, Galileu posicionou dois planos inclinados, um de frente

para o outro, e, ao soltar uma bola do topo de um plano, ela rolava para baixo e subia no outro

até quase alcançar a sua altura inicial. Na sequência, reduziu o ângulo do plano de subida e

novamente a bola alcançava uma altura próxima à inicial, porém andou uma distância maior.

Após usar ângulos cada vez menores Galileu se pôs a seguinte questão: ―Se eu disponho de

um plano horizontal, quão longe deve ir a bola para alcançar a mesma altura?‖ A resposta

encontrada foi: ―Para sempre; Ela jamais alcançará sua altura inicial.‖ Assim, na ausência de

forças, a tendência da bola é mover-se eternamente sem tornar-se mais lenta. A essa

19

propriedade dos objetos de manter-se em movimento em linha reta Galileu deu o nome de

inércia.

Isaac Newton (1642-1727) colaborou com as afirmações de Galileu, tendo

aperfeiçoado suas ideias e publicado aquele que é considerado a primeira grande obra da

ciência, o Principia, livro no qual Newton apresenta novas conclusões sobre o estudo dos

movimentos, culminando na formulação das três leis do movimento.

Em sua primeira lei, chamada lei da Inércia, Newton diz exatamente o mesmo que

Galileu:

1ª Lei de Newton: todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento

uniforme em linha reta, a menos que seja compelido a mudar aquele estado por forças

impressas nele.

Dica – contemple fatos históricos que possibilitaram a Newton uma maior visibilidade

em sua obra com relação à Galileu, principalmente sua relação com a nobreza britânica.

Sempre há forças presentes nos movimentos.

Depois desse breve histórico, alertamos que o movimento retilíneo uniforme não é um

movimento ausente de forças, fato impossível na superfície terrestre, mas que nesse

movimento as forças que atuam sobre o corpo se anulam mutuamente, sendo a força

resultante nula.

Podemos citar várias forças presentes na natureza: Força peso, reação normal, força de

atrito, forças resistivas, etc. Elas serão objetos de estudos do próximo tema.

Problemas propostos: p.69 (65, 66, 67); p.74 (71, 73, 74, 76); p.78 (78, 79, 83, 85)

Tema 06 – Primeira Lei de Newton

Objetivo:

Apresentar situações em que é observada a Primeira Lei de Newton

Definir equilíbrio estático e dinâmico.

Determinar qual a relação entre massa e velocidade para a definição de Quantidade de

Movimento.

Problematização: Na situação apresentada (fazer em sala na frente dos alunos), temos um

objeto (aparelho telefônico) apoiado sobre uma folha de papel. O que aconteceria se a folha

fosse retirada rapidamente?

20

Essa atividade exemplifica a 1ª Lei de Newton e sugere-se também fazer a troca do

objeto utilizado por um objeto mais leve ou mais pesado, para observar a relação, ou não, com

a massa.

1ª Lei de Newton e equilíbrio.

Isaac Newton (1642-1727), em sua primeira lei, chamada lei da Inércia, diz

exatamente o mesmo que Galileu: 1ª Lei de Newton: todo corpo continua em seu estado de

repouso ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja compelido a mudar

aquele estado por forças impressas nele.

Como é impossível que um corpo não tenha forças atuando sobre ele, a Primeira Lei

de Newton, trata da força chamada resultante, e, sendo essa nula, o corpo se encontrará num

estado de equilíbrio, que pode ser tanto estático, quanto dinâmico.

No equilíbrio estático o móvel se mantém com velocidade nula, ou seja, o repouso, e

no equilíbrio dinâmico o corpo se mantém com velocidade constante, M.R.U.

Dicas: 1 - alerte para a falta da palavra “resultante” na definição de Newton, pois a

ausência dela torna seu entendimento um pouco confuso; 2 – identifique a Primeira Lei de

Newton como a condição de equilíbrio para que não ocorra translação de um corpo, em que

translação é sair de um ponto e ir para outro e não se mover em torno de outro corpo, como

acontece com a Terra em torno do Sol.

Quantidade de movimento (Q)

No inicio de seu livro, o Principia, Newton apresenta vários conceitos que seriam de

fundamental importância para sua teoria, entre esses conceitos se encontram o de massa

(quantidade de matéria) e de quantidade de movimento. Como temos a seguir:

1ª. ―A quantidade de matéria é a medida da mesma, resultando da densidade e do

volume conjuntamente‖. Podemos representar essa definição por meio da seguinte relação:

21

𝑚 = 𝜌 . 𝑉

Sendo m a massa, ρ(rô) a densidade e V o volume ocupado pelo corpo.

Newton fez essa definição devido ao fato de ser comum nesta época falarem que a

massa era o peso do objeto. Dessa forma, ele pôde relacionar o peso, força devido à atração

gravitacional, com a massa (quantidade de matéria).

2ª. ―A quantidade de movimento é a medida do mesmo, resultando da velocidade e da

quantidade de matéria conjuntamente‖. Dessa forma, a quantidade de movimento pode ser

determinada assim:

𝑄 = 𝑚 . 𝑣

Sendo Q a quantidade de movimento, m a massa e v a velocidade. Como a velocidade

é uma grandeza vetorial, a quantidade de movimento também o é, tendo a mesma direção e

sentido da velocidade.

𝑄 = 𝑚 . 𝑣

Exemplo: p. 132 (5)

Tema 07 – Impulso e Quantidade de Movimento

Objetivo:

Estabelecer o conceito de impulso.

Estabelecer a relação entre impulso e quantidade de movimento.

Problematização: Considere a seguinte situação: Uma pessoa empurrando um carro que está

inicialmente parado por uma estrada plana horizontal. O que acontecerá se uma segunda

pessoa ajudar? E se essas pessoas empurrarem o carro por apenas alguns segundos, o

resultado seria o mesmo se empurrassem por alguns minutos? Por que, quando em situações

de emergência, empurramos um carro e, depois de algum tempo, temos que correr para fazer

o carro ―pegar‖?

22

Essa atividade auxilia na definição de duas grandezas importantes: a Força e o

impulso. A primeira é o agente responsável por alterar a quantidade de movimento (ou a

velocidade) de um corpo e a segunda traz a relação entre a força aplicada e a duração de sua

aplicação, o que influenciaria na variação da quantidade de movimento (ou da velocidade).

Impulso de uma força

Na situação proposta anteriormente, podemos perceber que existe uma relação entre a

força aplicada e o tempo no qual ela age sobre um corpo. Toda força aplicada sobre um corpo

atuará durante certo intervalo de tempo; a relação entre eles determinará o impulso impelido

pela força. Assim podemos definir o impulso (𝐼 ) como sendo o produto da força (𝐹 ) pelo

intervalo de tempo que ela atua sobre o corpo.

𝐼 = 𝐹 . ∆𝑡

O impulso, uma grandeza vetorial, possui a mesma direção e o mesmo sentido da força

aplicada. (produto de uma grandeza vetorial por uma grandeza escalar).

A unidade de impulso no SI será a unidade de força (N) vezes a unidade de tempo (s),

ou seja, N.s.

Relação entre impulso e quantidade de movimento

Ao empurrar o carro, as pessoas alteraram sua velocidade e, para isso, necessitaram da

aplicação de uma força que atuou durante um intervalo de tempo. Logo existe uma relação

entre o impulso da força aplicada e a quantidade de movimento do corpo, pois, uma vez que o

impulso altera a velocidade, ele altera a quantidade de movimento. Logo, podemos

representar essa relação da seguinte forma:

𝐼 = ∆𝑄 = 𝑄𝑓 − 𝑄𝑖

= 𝑚. 𝑣𝑓 – 𝑚. 𝑣𝑖

Podemos, através de uma álgebra simples, chegar a seguinte relação:

𝐹 = 𝑚. 𝛥𝑣

𝛥𝑡,

Mas definimos anteriormente que Δv

Δt é a aceleração sofrida pelo corpo. Dessa forma

concluímos que:

𝐹 = 𝑚 . 𝑎

Essa relação representa de forma simplificada a 2ª Lei de Newton para o movimento,

tema das próximas aulas.

23

Problemas propostos: p.133 (19, 20, 21, 23, 24, 25) (o problema 20 serve de

motivação para uma discussão que envolve o vídeo presente no endereço

http://www.youtube.com/watch?v=Odb6fOmMpe0 )

Tema 08 – 2ª Lei de Newton

Dica – Podem-se usar molas (espirais) de caderno e canetas com laços de barbante para

demonstrar as características da força elástica e da força de atrito. Ao cortar a mola em

pedaços menores demonstram-se como as alterações de suas características interferem no

seu comportamento.

Objetivo:

Apresentar o conceito de interações à distância e por contato.

Apresentar a 2ª Lei de Newton.

Problematização: Partimos da seguinte situação: Uma pessoa empurra um carro que está

inicialmente parado. O que acontecerá se uma segunda pessoa ajudar? E se elas empurrassem

agora o carro cheio de pessoas dentro?

Essa atividade é bem semelhante à do tema passado, só que aqui pretendemos

relacionar a força com a massa do carro e com a aceleração que ela vai produzir no veículo.

As interações Mecânicas

Todos os corpos do universo interagem entre si. Essas interações ocorrem de duas

formas: por meio de campos (elétricos, magnéticos e gravitacionais) que chamamos de

interação à distância e por meio das interações por contato.

Dentre as interações a distância, já vimos em bimestres passados que os planetas do

sistema solar orbitam o Sol por conta da força de atração gravitacional e que a Terra exerce

sobre os corpos, em sua superfície, uma força chamada força peso que tem sua intensidade

dada pelo produto da massa do corpo pelo campo gravitacional terrestre.

𝑃 = 𝑚 . 𝑔

24

Quando falamos de interações por contato partimos do principio que dois corpos não

podem ocupar simultaneamente o mesmo lugar no espaço. Falando de forma simples, quando

dois corpos ―querem‖ ocupar o mesmo espaço surge entre eles uma força de contato.

Reação Normal – todo corpo apoiado sobre uma superfície fica sujeito a uma força

chamada reação normal que é sempre perpendicular à superfície.

Força de Atrito – ocorre quando corpos em contato possuem uma tendência a

deslizarem (se esfregarem um no outro) e é sempre tangente às superfícies em contato e

contrária à tendência do deslizamento. Só haverá força de atrito se houver reação normal.

A força de atrito pode ser do tipo estático – quando existe a tendência de deslizamento

mas o corpo fica em repouso – e dinâmico ou cinético – quando ocorre o movimento dos

corpos. A força de atrito dinâmico ou cinético tem valor constante. A força de Atrito também

depende das superfícies em contato. Dessa forma:

𝐹𝑎𝑡 = µ . 𝑁

Em que 𝑭𝒂𝒕 é a força de atrito, µ é o coeficiente de atrito e pode ser estático ou

dinâmico e 𝑵 é a reação normal.

Força de Tração ou Tensão – quando a força é aplicada por meio de cordas ou fios.

Força elástica – resultado da deformação de molas e elásticos. Essa força depende das

características da mola ou do elástico bem como da deformação que ela sofre, a saber:

Fe = k. x

Em que Fe é o modulo da força elástica, k é a constante elástica (depende da mola) e x

é a deformação sofrida. A força será paralela à deformação da mola, atuando no sentido

oposto da deformação.

Como já vimos, essas forças sempre atuarão em conjunto sobre um corpo, de forma

que este pode estar em repouso ou em movimento retilíneo uniforme se as forças se anularem,

ou seja, com força resultante nula. Porém, pode haver desequilíbrio nos valores dessas forças

e, então, elas causarão uma mudança na quantidade de movimento do corpo, fazendo surgir

uma força resultante não nula.

Essa situação é objeto da 2ª Lei de Newton.

2ª Lei de Newton – O Principio Fundamental da Dinâmica.

Segundo Isaac Newton (1642-1727): A mudança do movimento é proporcional à força

motriz impressa, e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime essa força (2ª Lei de

Newton). Podemos, de acordo com as ideias do tema passado, definir a força resultante assim:

𝐹 = 𝑚 . 𝑎

Em que 𝐹 representa a força resultante sobre um corpo.

25

Então, temos a força como o agente responsável pela mudança do estado de

movimento de um corpo, alterando sua velocidade por meio de aceleração. Nos movimentos

em que a força é constante, ou seja, quando seu valor não é alterado, a aceleração também

será constante; logo, a velocidade será alterada de valores iguais em tempos iguais,

caracterizando o movimento chamado de Movimento Uniformemente Variado.

Problemas propostos: p.82 (89, 95, 96, 97, 98, 101)

Tema 09 – Movimento Uniformemente Variado

Objetivo:

Apresentar o M.U.V. (movimento uniformemente variado) e as suas características.

Apresentar a relação entre o M.U.V. e o estudo das funções de 1° e 2° grau.

Problematização: Uma bola rola uma rampa, como mostrado na figura a seguir, e é

fotografada por uma câmera especial que registra varias imagens separadas por um tempo

fixo.

O que se percebe é que as distâncias entre as posições ocupadas pela bola são maiores para

cada intervalo de tempo. Essa é uma das características do M.U.V. Além dessa característica

existem outras que veremos com o desenvolvimento das aulas.

Relação com o M.U.

O M.U. é caracterizado pelo fato de a velocidade se manter constante, ou seja, a aceleração é

nula. Já no M.U.V. a velocidade sofre alterações, pois existe uma aceleração que altera sua

intensidade. Dessa forma, o M.U.V. é caracterizado principalmente pelo fato de existir uma

aceleração constante e não nula.

Função horária da velocidade

Já vimos que, ao variar a velocidade, um corpo está sujeito a uma aceleração média,

calculada como a razão entre a variação da velocidade (∆v) e o intervalo de tempo (∆t) e que,

para valores cada vez menores de ∆t temos a aceleração dita instantânea. Como no M.U.V. a

26

aceleração é constante e não nula, a aceleração instantânea a coincide com a aceleração média

am, dessa forma temos que:

𝑎 = 𝑎m

a = Δv

Δt =

v(t2) – v(t1)

(t2 – t1)

Considerando t1 como sendo o instante inicial do movimento, ou seja, 0 e t2 como um tempo t

qualquer durante o movimento, podemos reescrever a equação da seguinte maneira:

a = v(t) – v0

t⟹ v(t) – v0 = a . t

Assim, v(t) = v0 + a . t

Essa equação é chamada de função horária da velocidade para o movimento

uniformemente variado. Ela é uma função do 1° grau na qual o valor da velocidade v(t)

depende do instante t, sendo v0 a velocidade inicial e a a aceleração do móvel. Esboçando um

gráfico para a velocidade da bola em função do tempo, temos:

Podemos determinar a taxa de variação dessa função a partir dos pontos P e Po:

m = 𝑣−𝑣𝑜

𝑡−𝑡𝑜,

como se vê, essa relação é a mesma da aceleração, ou seja, a aceleração corresponde à

taxa de variação dessa função. Se essa aceleração aumenta o módulo da velocidade

(aceleração e velocidade com o mesmo sinal), temos o chamado movimento acelerado, se ela

diminui o módulo da velocidade, (sinais diferentes), temos o movimento retardado.

Outra característica observada no mapa é o fato de, sob a reta, ser formada uma figura

geométrica, em geral um triangulo ou um trapézio. Ao se determinar a área dessa figura,

estamos na verdade obtendo o produto de v por t, ou seja, a área sob a reta representa o

deslocamento do corpo.

Do gráfico acima, ao se determinar essa área, chegamos à seguinte expressão:

27

x(t) = x0 + 𝑣𝑜 . t + a .𝑡2

2

Essa é a chamada função horária da posição para o M.U.V.; ela é uma função de

segundo grau, portanto seu gráfico é uma parábola, em que o valor de a determinará a

concavidade dessa parábola. E o estudo dessa parábola nos fornece algumas informações

sobre o movimento.

Equação de Torricelli.

Evangelista Torricelli estabeleceu uma relação matemática que permite estudar os

movimentos sem a necessidade de conhecer dados referentes ao tempo de duração do

movimento. Da combinação das funções horárias podemos chegar à seguinte relação:

𝑣2 = 𝑣𝑜2 + 2. 𝑎 . ∆𝑥

Aplicação do M.U.V

O movimento uniformemente variado mais comum é o movimento de queda livre e de

lançamento vertical, realizados próximos à superfície da Terra, pois esses ocorrem sob o

efeito da atração gravitacional terrestre, ficando sujeito a uma aceleração constante de

9,8 m/s², que nada mais é que o campo gravitacional terrestre.

28

Velocidade Terminal

Ainda que possamos ter veículos cada vez mais potentes, ainda estamos sujeitos a

certos limites, ou seja, mesmo estando sujeito a uma força resultante constante por um longo

período de tempo, haverá um momento em que a velocidade não mais aumentará, atingindo

um valor chamado de velocidade limite. Para a queda livre essa velocidade é de cerca de

200 km/h.

Problemas propostos: p.57 (35, 37, 41, 42, 44, 45, 46); p.61 (os exercícios dessa

página são aplicações da equação de Torricelli);

Dica – Para a introdução do M.R.U.V. assunto, indicamos o uso do software Modellus e de

uma simulação (os links se encontram nas Referências Bibliográficas e também em um CD

disponível na Secretaria do Programa)

29

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBETA, V. B.; YAMAMOTO, I. Dificuldades Conceituais em Física Apresentadas

por Alunos Ingressantes em um Curso de Engenharia, Rev. Bras. Ens. Fís., 24(3), p. 324.

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Brasília, 1999.

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Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas

Tecnologias. Ministério da Educação, Brasília, 2002.

CAMPOS, C. R. O ensino da Matemática e da Física numa perspectiva integracionista.

São Paulo: PUC/SP, 2000. Dissertação de mestrado.

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LAVAQUI, V.; BATISTA, I. L. Interdisciplinaridade em ensino de Ciências e

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MARTINS, D. A. N. Tratamento Interdisciplinar e inter-relações entre Matemática e

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PENTEADO, P. C.; TORRES, C. M. Física: Ciência e Tecnologia. v.1. 1ª ed. São Paulo:

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PIETROCOLA, M. A Matemática como estruturante do conhecimento físico. Caderno

Brasileiro de Ensino de Física, vol. 19, n°1, p. 93-114. (2002).

ZUFFI, E. M.; PACCA, J. L. A. O Conceito de função e sua linguagem para os

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Downloads e Blogs

SALOMÃO, A.; TOUÇAS, J.; FREITAS, R. Simulador das Leis da Física (blog),

disponível em: http://simucop.blogspot.com/2011/05/simulacao-do-movimento-

rectilineo.html, publicado em Maio de 2011 e acessado em 29/08/2011 às 05:42

Download software Modellus - http://modellus.fct.unl.pt/