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Uma visão geral sobre otimização


L. Felipe Bueno 1

25/09/09

1Universidade Estadual de Campinas , [email protected], Apoiofinanceiro Fapesp


Sumário

O que é otimização

Modelagem

Formulação matemática

Programação Linear (PL)

Programação Inteira (PI)

Programação Não Linear (PNL)

Problemas de Equiĺıbrio de Nash


O que é otimização - Exemplo de problema

Existem n produtos que eu posso adquirir(toneladas de soja, ações da Petrobras, livros do Impa, ...)

Variáveis de decisão: quantidade que vou adiquirir de cadaproduto (xi ; i = 1, · · · , n)p0i - preço do produto hoje

pji - preço futuro do produto i sob o cenário futuro jj = 1, · · · ,mpi - média dos posśıveis preços para o produto i no futuro

M - Quantidade de dinheiro que possuo


O que é otimização - Exemplo de problema

Como tomar a decisão?

Uma alternativa seria fazer o investimento que desse o maiorlucro médio posśıvel.

Maximizar p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxnx

Sujeito a p01x1 + p02x2 + · · ·+ pnxn ≤ M

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, · · · , xn ≥ 0

Solução: xj =Mp0j

, xi = 0 se i 6= j ,

onde j é tal quepjp0j≥ pi

p0i∀i


O que é otimização - Formulação matemática

Minimizar f (x)x ∈ Ω ⊂ E

Sujeito a g(x) ≤ 0

h(x) = 0


Programação Linear - Formulação geral

Minimizar c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxnx

Sujeito a a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bmx1 ≥ 0, x2 ≥ 0, · · · , xn ≥ 0

Com b1, b2, · · · , bm ≥ 0.


PL na forma padrão compacta

Minimizar cT xx

Sujeito a Ax = bx ≥ 0

Com x ∈ Rn, c ∈ Rn, A ∈ Rm×n e b ≥ 0 ∈ Rm.


Programação Linear - Método Simplex

Minimizar cTb xb + cTn xn

x

Sujeito a [B N](

xbxn

)= b

x ≥ 0

xb = B−1(b − Nxn) - Problema em função de xn

Minimizar rTn xn + dx

Sujeito a x ≥ 0


PL - Interpretação geométrica


PL - Método Simplex

Jeito esperto de visitar os vértices e verificar se ele é ótimo

Convergência em tempo finito (número finito de vértices)

PL podem envolver milhões de variáveis e restrições

Computadores irão encontrar os vértices

Como atualizar xb, menor esforço para resolver o sistemalinear, como escolher qual xn aumentar, liguagens demodelagem que permitam fácil descrição, aproveitamento deesparsidade, etc...

Simplex (hoje) é exponencial em n


PL - Pontos Interiores

Polinomial em n

Sequência infinita convergindo para a solução

Competitivo com Simplex para problemas muito grandes


Programação Inteira

Minimizar cT xx

Sujeito a Ax = bx ≥ 0, x ∈ Z

Problema combinatorial

Muito dif́ıceis

Resolver como PL e arrendondar pode dar a pior soluçãoposśıvel

Heuŕısticas - Algoritmos Genéticos, Simulated Anealing,...

Métodos com teoria de convergência - Branch and Bound,Planos cortantes, Relaxação Lagrangeana...


PI - Branch and Bound

Relaxação - mais simples é relaxar como PL

Árvore de busca


Programação Não Linear

Minimizar f (x)x ∈ Ω ⊂ Rn


h(x) = 0

Muito mais dif́ıcil do que PLMilhares de variáveis e restriçõesImportância da convexidade


Programação Não Linear

Minimizar f (x)x ∈ Ω ⊂ Rn


h(x) = 0

Muito mais dif́ıcil do que PL

Milhares de variáveis e restrições

Importância da convexidade

Teoria de condições de otimalidade

Métodos iterativos

Desafios computacionais


Condições de otimalidade PNL

Sem restrições: ∇f (x∗) = 0Com restrições:



O gradiente da função deve ser combinação linear dosgradientes das retrições

Condições KKT

∇f (x∗) +nh∑j=1

λ∗j∇hj(x∗) +ng∑j=1

µ∗j∇gj(x∗) = 0

h(x∗) = 0, g(x∗) ≤ 0

µ∗j g(x∗) = 0, (complementaridade)

µ∗j ≥ 0



Minimizar xx ∈ R

Sujeito a x2 = 0

x∗ = 0, ∇f (x∗) = 1, ∇h(x∗) = 0Regularidade - Gradientes das restrições ativas LI

CPLD - Tese da Laura Schuvert (Grande prêmio CAPES)

Condições sequências - Tese Gabriel Haeser


Método do gradiente - Máxima descida

xk+1 = xk − tk∇f (xk)Lento: Zig-Zag


Método de Newton

∇2f (xk)dk = −∇f (xk)xk+1 = xk − tkdk)Para tk = 1 é o Método de Newton para resolver ∇f (x) = 0Rápido: Convergência quadrática

Funções são bem aproximadas por quadráticas perto do pontocorrente.


Problemas de Equiĺıbrio

Dono de uma rede de lojas tem que dar uma ordem para osgerentes de cada loja.

minimizar f (x , y)x , y

Sujeito a: x ∈ Xy é solução do problema:

minimizar g(x , y)y

Sujeito a: y ∈ Y

(PSN)Uma alternativa é substituir o PSN por suas condições KKT.

Só é equivalente no caso convexo.

Restrições de complementaridade tem dificuldades teóricas ecomputacionais.


Equiĺıbrio de Nash

Mesma filosofia anterior mas agora não existe hierarquia.

Uma indústria tem que tomar uma decisão que mais lheinteressa mas sua decisão depende da decisão da concorrente,assim como a da concorrente depende da dela.

Cada uma resolve um problema de otimização parametrizadopela solução do problema da outra mas os problemas sãoresolvidos simultaneamente.

Este problema não tem fução objetivo comum.

Não existe noção de solução como em PNL.


Definição

x∗ = (x∗1 , · · · , x∗p ) ∈ Rn1+···+np é um Equiĺıbrio de Nash se, paratodo i, x∗i for solução do problema de otimização:

minimizar fi (xi , x∗−i )xi

Sujeito a: xi ∈ Xi (x∗−i ) ⊂ Rni

Pontos EN não são necessariamente ótimos a Pareto, podemnão ser bons pra sociedade como um todo.

Uma idéia de resolvê-lo seria trocar todos os problemas porsuas condições KKT.

Ferramenta útil: Desigualdades Variacionais.

Métodos do tipo Gaus-Seidel, Jacobi

Métodos Nakaido - Isoda


Fim!

Muito Obrigado!!!

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