UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 201101-1 Estatística 1 - Introdução.

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Estatística

1 - Introdução

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ESTATÍSTICA• DESCREVE,

• COMPARA e

• RELACIONA

VARIÁVEIS

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VARIÁVEL ???

VARIÁVEL é simplesmente algo que pode VARIAR

VARIÁVEL pode assumir diferentes valores numéricos ou diferentes categorias

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CONTÍNUA• Pode assumir qualquer valor numérico em um dado intervalo

• Exemplos:

diâmetro de um eixo (mm)

peso de uma peça fundida (kg)

TIPOS DE VARIÁVEL

DISCRETA• Pode assumir somente determinados valores numéricos em um dado intervalo

• Exemplos:

número de eixos defeituosos em um lote de 20 eixos

número de peças com peso fora da especificação em um lote de 10 peças

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CATEGÓRICA• Pode assumir valores dentro de uma classificação por tipos de atributos

• Exemplos:

qualificação de um eixo:

{ PERFEITO; DEFEITUOSO }

classificação do peso de uma peça:

{ abaixo da especificação;

dentro da especificação;

acima da especificação }

TIPOS DE VARIÁVEL - continuação

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VARIÁVEL DE RESPOSTA• Identificada com a pergunta do Problema • Exemplo:

Quais as condições de fundição que resulta no menor número de defeitos por peça fundida?

X : número de defeitos em uma peça (Variável Discreta)

CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEL

VARIÁVEIS DE CONTROLE • Fatores ou Condições do Problema • No exemplo:

M : método de fundição { por gravidade; centrifugação; por pressão } (Variável Categórica)

T : temperatura da matéria prima (°C) (Variável Contínua)

• O Método M e a Temperatura T estão sob controle do Responsável pela Fundição

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CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEL

VARIÁVEIS DE RUÍDO • Fatores relacionados com a pergunta do problema mas cujos efeitos foram mitigados ou considerados desprezíveis

• Tais considerações devem ser relatadas

• No exemplo:

W1: hora do vazamento (Variável Contínua)

Programar coleta de dados em diversos horários de todos os turnos

W2: experiência do operário (Variável Categórica) { pouca experiência; razoável; muita }

Sortear os operários que participarão na coleta de dados

W3: fornecedor de matéria prima (Variável Categórica)

{fornecedor A, B, ...}Considerar que a diferença da matéria

prima entre os fornecedores é desprezível

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1. DEFINIR O PROBLEMA

Etapas para Solução de um Problema

2. ESPECIFICAR O PROJETO DE EXPERIMENTO

3. ESPECIFICAR A COLETA DE DADOS

4. ESPECIFICAR AS ESTATÍSTICAS A SEREM UTILIZADAS

5. COLETAR DADOS

6. PROCESSAR DADOS

7. ANALISAR RESULTADOS & APRESENTAR A SOLUÇÃO

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Etapa 1: Definir o Problema

DEFINIR A VARIÁVEL DE RESPOSTA• Identificada com a pergunta do problema • Exemplo:

Quais as condições de fundição que resulta no menor número de defeitos por peça fundida?

X : número de defeitos em uma peça

DEFINIR AS VARIÁVEIS DE CONTROLE • Simplificar o máximo possível • No exemplo:

M: método de fundição M { M1; M2; M3 } M1: gravidade M2: centrifugação M3: por pressão

T: temperatura da matéria prima T { T1; T2; T3 }Variável Contínua ( °C ), transformada em Categórica

(°C)490 500 510

T1BAIXA

T2INTERMEDIÁRIA

T3ALTA NÍVEIS

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Etapa 1: Definir o Problema

Variável de Resposta:

X : número de defeitos em uma peça

Variáveis de Controle ou Fatores: M: método de fundição M { M1; M2; M3 }

Pergunta do Problema:Quais as condições de fundição que resulta no menor número de defeitos por peça fundida?

NÍVEIS

M1: gravidade

M2: centrifugação

M3: por pressão

T: temperatura da matéria prima T { T1; T2; T3 }

NÍVEIS

T1: temperatura baixa

T2: temperatura intermediária T3: temperatura alta

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Projeto de Experimento:

possível maneira de

MEDIR AS VARIÁVEIS

visando obter a

resposta do problema

Etapa 2: Especificar o Projeto de Experimento

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• Projeto Fatorial considera todas as combinações dos vários Níveis dos Fatores (Níveis das Variáveis de Controle) • Cada combinação denomina-se TRATAMENTO

Etapa 2: Especificar o Projeto de Experimento

• Tratamentos:

• Replicação (Tamanho da Amostra por Tratamento) Realização de mais de uma medida para cada Tratamento No exemplo: 7 peças fundidas para cada Tratamento

• Total de Unidades Experimentais: Número de Tratamentos X Número de Replicações No exemplo: 9 Tratamentos x 7 Replicações = 63 peças

• Exemplo da Fundição:

M1 & T1

M1 & T2 M2 & T2M3 & T2

M3 & T1M2 & T1

M1 & T3 M2 & T3M3 & T3

Níveis do Fator Método de Fundição

M1: gravidade

M2: centrifugação

M3: por pressão

Níveis do Fator Temperatura

T1: temperatura baixa

T2: temperatura intermediária T3: temperatura alta

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• Quais Variáveis devem ser medidas?

• Como será realizada a medição das Variáveis?

• Qual a precisão das medidas?

• Como será realizada a coleta de dados?

• Qual o tipo de amostragem?

• Qual o tamanho da amostra?

• Qual o custo e o tempo para realizar a Coleta de Dados

Etapa 3: Especificar a Coleta de Dados

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• Quanto maior :• mais precisos são os resultados

• mais confiáveis são as conclusões

• mais tempo

• mais caro

• Limite:• Exame de toda a população (Censo)

• Na prática !!!• censo pode ser menos preciso que amostragem(problemas operacionais ou fraude)

Qual deve se o Tamanho da Amostra?

Etapa 3: Especificar a Coleta de Dados

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Etapa 4: Especificar as Estatísticas

Estatísticas Descritivas• Possibilitam descrever as Variáveis• No exemplo da fundição serão utilizadas: Média Tendência Central Desvio padrão Coeficiente de Variação Diagrama de Intervalos de Confiança

Estatísticas Indutivas• Possibilita tirar conclusões acerca da População a partir de dados da Amostra

• As inferências (conclusões) acerca da População são sujeitas à Variabilidade Amostral

• Determina´se com que Probabilidade se pode confiar nos resultados obtidos dos dados coletados

• No exemplo da fundição será utilizado:

Intervalo de Confiança

Dispersão

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Etapa 5: Coletar Dados• Evitar subjetividade no trabalho de campo• Coletar os dados metodicamente• Seguir o especificado no Projeto de Experimento• Dados coletados no exemplo da fundição:

Número de defeitos / peça

Temperatura Replicação Método 1 Método 2 Método 3

baixa

1 7 3 5

2 6 3 6

3 7 3 4

4 6 3 5

5 7 2 6

6 7 3 5

7 8 3 5

intermediária

1 7 5 2

2 8 5 3

3 9 4 2

4 8 5 2

5 6 3 3

6 7 4 1

7 9 4 3

alta

1 9 5 1

2 9 7 0

3 8 6 2

4 11 8 2

5 9 6 0

6 9 5 2

7 7 6 1

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Etapa 6: Processar Dados

Resultado do Processamento de Dados do exemplo da fundição:

: Média Amostral (média de defeitos por peça da amostra)

S : Desvio Padrão Amostral

: Coeficiente de Variação

X

X

100)X

s(CV

Método Temperatura   S CV

M1: Gravidade

T1:baixa 6,9 0,69 10,1%

T2: intermediária 7,7 1,11 14,4%

T3: alta 8,9 1,21 13,7%

M2: Centrifugação

T1:baixa 2,9 0,38 13,2%

T2: intermediária 4,3 0,76 17,6%

T3: alta 6,1 1,07 17,4%

M3: Por pressão

T1:baixa 5,1 0,69 13,4%

T2: intermediária 2,3 0,76 33,1%

T3: alta 1,1 0,90 78,7%

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Etapa 6: Processar Dados

Resultado do Processamento de Dados do exemplo da fundição:

X

IC: Intervalo de Confiança

Pr (Lim. Inf. < E(X) < Lim. Sup.) = 0,95 (95%)

E(X) : Média de defeitos por peça considerando todas as peças fundidas (População), utilizando determinado Método e uma dada Temperatura

: Média de defeitos por peça em uma Amostra de 7 peças, para um dado Método e Temperatura

X

Método Temperatura  Lim. Inf.

Lim.Sup Amplitude

M1: Gravidade

T1:baixa 6,9 6,2 7,5 1,3

T2: intermediária 7,7 6,7 8,7 2,1

T3: alta 8,9 7,7 10,0 2,2

M2: Centrifugação

T1:baixa 2,9 2,5 3,2 0,7

T2: intermediária 4,3 3,6 5,0 1,4

T3: alta 6,1 5,2 7,1 2,0

M3: Por pressão

T1:baixa 5,1 4,5 5,8 1,3

T2: intermediária 2,3 1,6 3,0 1,4

T3: alta 1,1 0,3 2,0 1,7

X: número de defeitos por peça

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Etapa 6: Processar Dados

Resultado do Processamento de Dados do exemplo da fundição:

2

4

6

8

10

Defeitos / peça

Temperatura (°C)

490 500 510baixa intermediária alta

T1 T2 T3

Diagrama de Intervalos de Confiança

M1: Gravidade

M2: Centrifugação

M3: Por pressão

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Etapa 7: Analisar Resultados e Apresentar Solução

Análise da Interação entre Método e Temperatura

• Nos Métodos M1 e M2 o número de defeitos por peça fundida cresce com o aumento da Temperatura

• Entretanto, no Método M3 o número de defeitos por peça fundida decresce com o aumento da Tempertura

• Portanto, conclui-se que existe Interação entre Método de Fundição e Temperatura da matéria prima a ser vazada no molde

Método Temperatura CV Dispersão

M1: Gravidade

T1:baixa 10,1% BAIXA

T2: intermediária 14,4% BAIXA

T3: alta 13,7% BAIXA

M2: Centrifugação

T1:baixa 13,2% BAIXA

T2: intermediária 17,6% MODERADA

T3: alta 17,4% MODERADA

M3: Por pressão

T1:baixa 13,4% BAIXA

T2: intermediária 33,1% ALTA

T3: alta 78,7% MUITO ALTA

Análise da Dispersão (vide quadro abaixo)

• Método M1 apresenta Baixa Dispersão do número de defeitos por peça em todos os Níveis de Temperatura

• Método M3 apresenta Muito Alta Dispersão do número de defeitos por peça na Temperatura Alta

CV: Coeficiente de Variação CV < 5% : Dispersão Muito Baixa 5% < CV < 15% : Dispersão Baixa 15% < CV < 30% : Dispersão Moderada 30% < CV > 30% : Dispersão Alta CV > 50% : Dispersão Muito Alta

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Etapa 7: Analisar Resultados e Apresentar Solução

Análise de Intervalos de Confiança ( IC )

• Método M2 no nível de Temperatura Baixa apresenta o IC com menor Amplitude

• Todos os Métodos apresentam IC com menor amplitude no nível de Temperatura Baixa

• Método M1 no nível de Temperatura Alta apresenta o IC com maior Amplitude

• Todos os Métodos apresentam IC com maior amplitude no nível de Temperatura Alta

• Método

Solução do Problema

De acordo com as análises acima, pode-se considerar que o Método M3 e a Temperatura Alta são as condições de fundição que resulta no menor número de defeitos por peça fundida

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Estatística Indutiva

(Cap.8 até 17)

Esquema da Disciplina:

Probabilidades

(Cap.3 até 7)

Introdução (Cap.1)

Estatística Descritiva

(Cap.2)

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Estatísticas Descritivas (Capítulo 2) Estatísticas de Tendência Central

Média Mediana Moda

Estatísticas de Dispersão Variância Desvio padrão Coeficiente de Variação Amplitude

Outras Estatísticas Descritivas Coeficiente de Assimetria Coeficiente de Curtose Coeficiente de Correlação

Descrição Gráfica Diagrama de Barras Diagrama Circular (Pizza) Histograma Diagrama de Caule e Folhas Diagrama de Caixa e Bigode (box plot) Diagrama de Dispersão (Reta de Regressão) Diagrama de Intervalos de Confiança

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Estatísticas Indutivas Estatísticas Indutivas

• Possibilitam tirar conclusões acerca da População a partir de dados da Amostra• As inferências (conclusões) são sujeitas à Variabilidade Amostral• Determina-se com que Probabilidade se pode confiar nos resultados obtidos dos dados coletados• Principais Estatísticas Indutivas

Intervalo de Confiança Comparação de uma Média (Teste z) Comparação entre duas Médias (Teste t) Comparação entre várias Médias (Anova) Comparação de uma Variância (Teste ) Comparação entre duas Variâncias (Teste F) Comparação entre várias Variâncias (*) Comparação de uma Proporção (Teste z) Comparação entre duas Proporções (Teste z) Teste de Aderência (Teste ; Teste KS **) Comparação entre duas Distribuições (***) Teste de Independência (Teste ) Correlação Regressão

(*) Teste de Cochram; Teste de Bartlett (**) Teste Kolmogorov – Smirnov(***) Teste dos Sinais; Teste da Mediana; Teste de Sequências; Teste de Wilcoxon, Mann e Whitney

2

2

2

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• Amostragem Probabilística: Amostragem Simples

Amostragem Sistemática

Amostragem Estratificada

Amostragem por Conglomerados

Amostragem Múltipla (Seqüencial)

• Amostragem Não-Probabilística:

Amostragem a Esmo

Amostragem Intencional

Tipos de Amostragem:

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1. Numerar os elementos da População

2. Gerar números aleatórios que corresponderão aos elementos da Amostra

Procedimento para Amostragem Simples:

Números aleatórios ou randômicos: Tem igual probabilidade de ocorrência Tabela de Números Aleatórios (livros) Usando o Excel: “Ferramentas” >>

“Análise de Dados” >> “Geração de Número Aleatório” >> “OK” >> preencher campos (Distribuição Uniforme)

DICA: Na amostragem sem repetição, os números aleatórios repetidos devem ser desprezados

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Métodos usados na Amostragem Simples:

1. Sortear uma linha e uma coluna da Tabela de Números Aleatórios (existente no livro texto) e, a partir daí, selecionar números seqüencialmente (por linha ou por coluna)

2. Usar a função ALEATÓRIOENTRE (Excel): Selecionar “fx” >> “Matemática e trigonométrica” >> “ALEATÓRIOENTRE” >> Digitar os limites inferior e superior da População >> clicar OK >> copiar o resultado e colar em tantas células quanto for o tamanho da amostra

3. No menu “Ferramentas” do Excel, selecionar: “Análise de Dados” >> “Amostragem” >> Digitar: “Intervalo de Entrada” >> Selecionar: “Aleatório” >> Digitar o tamanho da amostra (“Número de amostras”) >> Optar: local da saída >> clicar “OK”

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1. Numerar os elementos da População, de acordo com sua posição. Exemplo: seqüência de peças produzidas

2. Sortear um elemento da População que corresponderá ao primeiro elemento da Amostra ( i )

3. Definir o período de amostragem ( r = N/n )

4. Os demais elementos da amostra serão escolhidos de maneira sistemática, assim:

primeiro elemento: i

segundo elemento: i + r

terceiro elemento: i + 2.r

. . .

n-ésimo elemento: i + (n-1).r

Procedimento para Amostragem Sistemática:

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Amostragem Estratificada

• População heterogênea, constituída de uma partição por estratos.

• Exemplos de Estratos: sexo, nível de renda, idade, escolaridade, local de residência; no caso de empresas: nível de faturamento, região de atuação, etc.

• Efetua-se uma amostragem (simples ou sistemática) em cada estrato

• O tamanho da amostra de cada estrato pode ser, ou não, proporcional à quantidade de elementos de cada estrato na População

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Amostragem Estratificada

• População heterogênea, constituída de uma partição por estratos.

• Exemplos de Estratos: sexo, nível de renda, idade, escolaridade, local de residência; no caso de empresas: nível de faturamento, região de atuação, etc.

• Efetua-se uma amostragem (simples ou sistemática) em cada estrato

• O tamanho da amostra de cada estrato pode ser, ou não, proporcional à quantidade de elementos de cada estrato na População

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Amostragem Múltipla (Seqüencial)

• Amostra retirada em etapas sucessivas.

• Dependendo do resultado, etapas suplementares podem ser dispensadas.

• Exemplo: testar a qualidade de um lote utilizando-se uma amostra de peças; caso o número de peças defeituosas exceder determinado valor, deve-se aumentar o tamanho da amostra de peças a serem testadas até se decidir sobre a qualidade do lote.

• Caso particular: Amostragem Seqüencial, quando a amostra vai “sendo acrescida item por item, até se chegar a uma conclusão ...”

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Amostragem Múltipla (Seqüencial)

• Amostra retirada em etapas sucessivas.

• Dependendo do resultado, etapas suplementares podem ser dispensadas.

• Exemplo: testar a qualidade de um lote utilizando-se uma amostra de peças; caso o número de peças defeituosas exceder determinado valor, deve-se aumentar o tamanho da amostra de peças a serem testadas até se decidir sobre a qualidade do lote.

• Caso particular: Amostragem Seqüencial, quando a amostra vai “sendo acrescida item por item, até se chegar a uma conclusão ...”

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Amostragem Múltipla (Seqüencial)

• Amostra retirada em etapas sucessivas.

• Dependendo do resultado, etapas suplementares podem ser dispensadas.

• Exemplo: testar a qualidade de um lote utilizando-se uma amostra de peças; caso o número de peças defeituosas exceder determinado valor, deve-se aumentar o tamanho da amostra de peças a serem testadas até se decidir sobre a qualidade do lote.

• Caso particular: Amostragem Seqüencial, quando a amostra vai “sendo acrescida item por item, até se chegar a uma conclusão ...”

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Quais experimentos podemos realizar num estudo antropométrico?

• Coletar dados antropométricos com régua e balança

• Coletar dados antropométricos com câmera digital de precisão

Qual podemos realizar agora no Campus? Coletar dados antropométricos com régua e balança

Teste 1.1: Estudo Antropométrico

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Quais as características antropométricas dos alunos que cursam a disciplina Estatística ?

Características antropométricas:

Índice de Massa Corporal Divina Proporção Etc.

Teste 1.1: Estudo Antropométrico

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Quais as variáveis ?

Fonte: Estudo antropométrico da população portuguesa, Grupo de Engenharia Humana, Departamento de Produção e Sistemas

Escola de Engenharia da Universidade do Minho

Teste 1.1: Estudo Antropométrico

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Quais as variáveis do presente estudo ?

Peso

Estatura

Altura do Umbigo

Altura do Ombro Direito

Altura do Ombro Esquerdo

Quais as características da população que devem ser consideradas no estudo ?

Identificação do aluno (No. Matrícula)

Idade

Sexo

Teste 1.1: Estudo Antropométrico

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Coleta de dados:

n.ordem matr. idade sexo peso estatura alt.umbigo alt.ombr.dir. alt.ombro.esqu.

123456789

1011121314151617181920. . .

Teste 1.1: Estudo Antropométrico

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Quais Estatísticas Descritivas utilizar ?

Estatísticas de Tendência Central• Média• Mediana• Moda

Estatísticas de Dispersão• Variância• Desvio padrão• Coeficiente de Variação• Amplitude

Descrição Gráfica• Diagrama de Barra• Diagrama Circular (pizza)• Histograma• Diagrama de Caule e Folhas• Diagrama de Caixa e Bigode (box plot)• Diagramas de Dispersão• Reta de Regressão

Teste 1.1: Estudo Antropométrico

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Experimento: Estudo Antropométrico

População: alunos da disciplina Probabilidade e Estatística

Amostra: alunos presentes na primeira aula da referida disciplina

Caracterização do aluno: número da matrícula, sexo, idade

Medidas: peso, estatura, altura do umbigo

Teste 1.1: Roteiro

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Sugestões para a elaboração do relatório do experimento: Estudo Antropométrico

Página de rosto

• Título do trabalho;

• Resumo, com 15 linhas, no máximo;

• Nome e número do autor;

• Nome da disciplina;

• Nome do docente;

• Ano1. Introdução

• Apresentar o tema (assunto) objeto de estudo;

• Descrever em linhas gerais o que se pretende estudar, isto é, o objetivo do estudo antropométrico;

• Destacar a Divina Proporção(fi) e o Índice de Massa Corporal (IMC);

• Apresentar a justificativa da realização do estudo;

• Evidenciar a importância da Estatística na realização do estudo;

• Apresentar sucintamente o conteúdo das várias seções que compõem o relatório.

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2. Detalhamento do Estudo• apresentar as características relevantes do ambiente objeto de estudo;

• detalhar o objetivo do estudo, especificando as questões a serem respondidas;

• descrever as simplificações consideradas (limitações do estudo realizado);

• definir as variáveis envolvidas no estudo;

• apresentar os recursos disponíveis (humanos, materiais,instalações) e suas características.

3. Apresentação do Método

• detalhar o procedimento utilizado na coleta de dados;

• descrever e comentar o planejamento do experimento e o plano de amostragem;

• apresentar as técnicas estatísticas utilizadas;

• apresentar o(s) software(s utilizados.

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4 Descrição e Análise dos dados coletados

5. Considerações Finais

• apresentar os dados coletados (tabela);

• apresentar os principais gráficos, diagramas, histogramas, incluindo as análises e os comentários;

• apresentar as medidas de posição (média, mediana, moda), as medidas de dispersão (variância,desvio-padrão,coeficiente de variação), os coeficientes de correlação e as retas de regressão, incluindo as análises e os comentários.

• apresentar os principais resultados e conclusões do trabalho;

• apontar possíveis extensões (futuros trabalhos).

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Dicas:

i) Utilizar o Microsoft Excel;

ii) Colocar-se na posição de um Estatístico apresentando um relatório profissional e não de um aluno fazendo um relatório para o professor.

7. Anexos ( conjunto de todas as tabelas, gráficos, diagramas, histogramas, etc. )

6. Referências bibliográficas

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