UNIDADE 1 - Capítulo II Noções de Lógica Formal - a lógica proposicional

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11º Ano11º Ano



Unidade 1

Racionalidadeargumentativa

e Filosofia:Lógica e Filosofia



Capítulo II

A Lógica Proposicional



Índice Capítulo II – A lógica Proposicional

Proposição: O que é? / Constituição

Operadores lógicos Tipos de Proposição Operadores Verofuncionais/ Letras Proposicionais

Negação Conjunção Disjunção Condicional Bicondicional



Índice Capítulo II – A lógica Proposicional

Tabelas de verdade

Equivalência Tautologia Contradição

Falácias formais Afirmação do consequente Negação do antecedente

Formas válidas Modus ponen s

Modus tollens t



Proposição: o que é?

• Todo aquele pensamento que tem valor de verdade.

• Assim sendo, só as frases declarativas podem ser

consideradas proposições.



Operadores lógicos

Operadores Lógicos

Os operadores de formação de frases são partículas que servem para articular e dar sentido a uma frase.

Exemplo:

E Dado que É falso que

Se … então …



Proposições simples

Proposições Simples

São aquelas que nãonão se podem decompor noutras, pelo que oseu valor de verdade depende do confronto com os factos quepretende descrever.

Exemplo:

O João é veloz. A água ferve a 100 ºC . As gazelas são mamíferos.



Proposições compostas

Proposições Compostas

São aquelas que se podempodem decompor em proposiçõessimples. Pelo que o seu valor de verdade depende:

1. da verdade ou falsidade das proposições simples;

2. do modo como essa verdade ou falsidade se conecta naproposição complexa.



Proposições compostas

Proposições Compostas

Exemplo:

Londres é cidade e o Porto é aldeia.

Londres é cidade ou Porto é aldeia.



A Lógica Proposicional

Proposição Simplesroposição Simples Proposição Complexaroposição Complexa

Portugal é um

país.

Lisboa é uma

cidade.

Portugal é um país e Lisboa é

uma cidade.

Luís está adormir.

Luís estáacordado.

Luís está a dormir ou Luís estáacordado.

Eu faço dieta. Eu emagreço. Se faço dieta, então emagreço.



Operadores verofuncionais

Partículas de ligação entre as proposições.Traduzem-se pelos seguintes sinais:

Letras proposicionais:

Qualquer letra do alfabeto latino util izada para

traduzir uma proposição.

¬ negação

^ conjunção

v disjunção

→condicional

↔bicondicional



Operadores verofuncionais

esignação Símbolo Uso Leitura ExemploNegação ¬ ¬ PP Não P É falso que Descartes

seja empirista.

Conjunção ^ P ̂ Q^ Q P e Q Descartes é

racionalista e Humeempirista.

Disjunção v P v QQ P ou Q Descartes éracionalista ou Hume éempirista.

Condicional →

P→

QQSe P, então Q Se Descartes é

racionalista entãoHume é empirista.

Bicondicional ↔ P ↔ QQ P se e só se Q Descartes éracionalista, se e só seHume for empirista.



Operadores verofuncionais -Negação

Negação

Proposição Formalização

Espinosa é empirista. PÉ falso que Espinosa sejaempirista.

¬ PP

ão é verdade que Espinosa seja

empirista.Espinosa não é empirista.

É um erro afirmar que Espinosa éempirista.



Operadores verofuncionais -Negação

Negação

P ¬ P

O João é inteligente. O João não éinteligente.

V F

F V



Operadores verofuncionais -Conjunção

Conjunção

Proposição FormalizaçãoMaria saiu. P

José ficou em casa. QMaria saiu, mas o José ficou em casa.

P ^ Q^ Q

Maria saiu, apesar do José ter f icadoem casa.

Maria saiu e José ficou em casa.

Maria saiu quando o José ficou.

Maria saiu, embora o José tenha ficado.



Operadores verofuncionais -Conjunção

Conjunção

P Q P ^ QJoão vai à praia. Miguel vai ao cinema. João vai à praia e

Miguel vai ao cinema.

V V V

V F FF V F

F F F



Operadores verofuncionais -Disjunção

Disjunção

Proposição FormalizaçãoJoão vai ao cinema. P

João vai ao futebol. Q

João vai ao cinema ou João vai aofutebol.

P V QV QJoão vai ao cinema, a menos que vá aofutebol.

João vai ao cinema ou ao futebol.

João ou vai ao cinema ou vai ao futebol.



Operadores verofuncionais -Disjunção

Disjunção

P Q P V QJoão va i ao cinema. João va i ao fu tebo l. João vai ao c inema

ou João vai aofutebol.

V V V

V F VF V V

F F F



Operadores verofuncionais – Acondicional

Condicional

Proposição Formalização

Deus existe. P

A vida faz sentido. Q

Se Deus existe, então a vida faz sentido.

P → QQvida faz sentido se Deus existe.

Caso Deus exista, a vida faz sentido.

Para que a vida faça sentido, basta que

Deus exista.



Operadores verofuncionais – Acondicional

Condicional

P Q P → QJoão estuda. João vai ao cinema. Se o João estuda,

então vai ao cinema.

V V V

V F F

F V V

F F V



A Lógica Proposicional – Abicondicional

Bicondicional

Proposição FormalizaçãoJoão vai ao cinema. P

João estuda. Q

João vai ao cinema se e apenas se estudar.

P ↔ QQJoão vai ao cinema se e somente se estudar.

Se João for ao cinema é porque estudou.

Estudar é condição necessária para o João ir

ao cinema.



A Lógica Proposicional – Abicondicional

Bicondicional

P Q P ↔ QJoão vai ao cinema. João estuda. João vai ao cinema

se e somente seestudar.

V V V

V F FF V F

F F V



A Lógica Proposicional –proposições complexas

Para se proceder à simbolização de proposições

complexas segue-se os seguintes passos:

1. Construir o dicionário das proposições simples;

2. Identificar os operadores frásicos;

3. Proceder a uma simbolização parcial da proposição para esclarecer o âmbito dos operadores.




Exemplo:

“

Se é falso que Mona Lisa é bela,então a arte não precisa de beleza.”

Passo 1:

P: Mona Lisa é bela.Q: A arte precisa de beleza.




xemplo:“Se é falso que Mona Lisa é bela,

então a arte não precisa de beleza.”

Passo 2:

Operador Frásico: ¬; … → …




Exemplo:“Se é falso que Mona Lisa é bela,

então a arte não precisa de beleza.”

Passo 3:

Simbolização Parcial: Se (não P), então (não Q).

Simbolização Final: ¬P → ¬Q



Tabelas de verdade

1.º Passo: O cabeçalho da tabela tem duas partes: na

primeira, à esquerda, pomos as letrasproposicionais. Na segunda, mais à

direita pomos as letras com osoperadores.

P Q ¬ (P ^ Q)



Tabelas de verdade

2.º Passo: Feito o cabeçalho esgotam-se todas as

possibil idades de combinações dosvalores de

verdade que P e Q podem ter.

P Q ¬ (P ^ Q)

V VV F

F V

F F



Tabelas de verdade

3.º Passo: Depois disto efectuamos o cálculo. Ocálculo

processa-se das proposições simplespara as

complexas.P Q ¬ (P ^ Q)

V V V V VV F V F FF V F F V

F F F F F



Tabelas de verdade

4.º Passo: Depois de efectuarmos o cálculo das

proposições simples podemos calcular ovalor do operador cujo âmbito é maior.

P Q ¬ (P ^ Q)

V V V V V VV F F V F FF V F F F VF F F F F F



Tabelas de verdade

Como fazer uma tabela com mais de duas letrasproposicionais?

Para efectuar o cálculo com mais de duas letrasprecisamos de:

1. descobrir quantas possibil idades de combinação

existem através da fórmula – 2n

(2 elevado a n –sendo n o número das letras proposicionais);

2. descobrir qual o operador com maior e menor

âmbito.



Tabelas de verdade

Tabelas de VerdadeEquivalências/ Tautologias/ Contradições

Equivalência: duas proposições são equivalentes se ee e

só seó se tiverem os mesmos valores de verdade paratodos os casos possíveis.

Tautologia: proposições que têm sempreêm sempre o mesmovalor de verdade para todos os casos possíveis.

Contradição: proposições que são falsas em todos osão falsas em todos os

casos possíveisasos possíveis.



Tabelas de verdade –equivalência

P Q (P → Q) ↔ (Q → P)

V V V V V V V V V

V F V F F F F V V

F V F V V F V F F

F F F V F V F V F



-tautologia

P P V ¬ P

V V V F V

F F V V F



Tabelas de verdade -contradição

A ¬ (A V ¬

A)

V F V V F V

F F F V V F



A Lógica dedutiva

A lógica dedutiva estuda os argumentos dedutivos,

aqueles que devem garantir a verdade daconclusão.

Exemplo:

O João copiou ou João estudou

João não copiouLogo, João estudou



A Lógica dedutiva

Exemplo:

O João copiou ou João estudouP V QJoão não copiou

¬ PLogo, João estudou.

Q

P V Q, ¬ P l=l= Q



Falácias formais

As falácias formais são erros de raciocínio cuja

incorrecção se deve a uma forma lógica inválida.

1. Afirmação do consequente;

2. Negação do antecedente.



Falácias formais – afirmaçãodo consequente

1. Afirmação do consequente:

● Recebeu este nome porque na origem está o facto de as

pessoas pensarem que, afirmando um consequente, devemafirmar o antecedente.

● Pode provar que a pessoa que usou tal argumento estáerrada usando um contra-argumento.



Falácias formais – afirmaçãodo consequente

1. Afirmação do consequente:

Se a baleia for molusco, então não é insectoA baleia não é um insecto

Logo, a baleia é um molusco



Falácias formais – negaçãoantecedente

. Negação do antecedente:

Serve para mostrar que um argumento inválido pode ter

premissas falsas e conclusão verdadeira.

Se D. Dinis era português, então D. Dinis

era rei de Espanha.D. Dinis não era português.Logo, D. Dinis não era rei de Espanha.



Formas válidas

A regra: se um argumento é válido, então o padrão que

obtemos substituindo todas as letras proposicionais porvariáveis de fórmula é válido.

1. Modus Ponen s ;

2. Mod us To l len s .



Formas válidas

1. Modus Ponen s :

Vejamos o seguinte argumento:

Se a baleia é mamífero, então tem pulmões A baleia é mamífero

Logo, a baleia tem pulmões



–ponens

1. Modus Ponen s :

Dicionário:P: A baleia é mamífero.Q: A baleia tem pulmões.

P →

Q, P l= Q



Formas válidas – m odus t o l le n s

2. Modu s To l len s :

Vejamos o seguinte argumento:

Se a Ma r i a go s t a do M i gue l , en t ão Ma r i a apa re ce no c a f éÉ f a l s o que Ma r i a t enha apa re c i do no c a f éLogo , é f a l s o que a Ma r i a go s t e do M i gue l



A Lógica Proposicional –m odu s to l lens

2. Modu s To l len s :

Dicionário:P: A Maria gosta do Miguel.Q: A Maria apareceu no café.

P →

Q, ¬ Q l= ¬ Q

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