Unidade 1 - HIDRÁULICA DOS SOLOS - ufjf.br¡ulica-2013.pdf · estradas, escavações de valas e...

Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon Mecânica dos Solos II HIDRÁULICA DOS SOLOS

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Unidade 1 - HIDRÁULICA DOS SOLOS

Em muitos casos o engenheiro se defronta com situações em que é necessário controlar o movimento de água através do solo e, evidentemente, proporcionar uma proteção contra os efeitos nocivos deste movimento. Do ponto de vista prático, a água pode ser considerada incompressível e sem nenhuma resistência ao cisalhamento, o que lhe permite, sob a ação de altas pressões, penetrar em micro fissuras e poros, e exercer pressões elevadas que levam enormes maciços ao colapso. Um aspecto importante em qualquer projeto em que se tenha a presença de água é a necessidade do reconhecimento do papel que os pequenos detalhes da natureza desempenham. Assim, não basta apenas realizar verificações matemáticas, mas também recorrer a julgamentos criteriosos dessas particularidades, pois que elas nem sempre podem ser suficientemente quantificadas.

O objetivo básico desta unidade é fornecer as informações necessárias para o entendimento físico da presença da água nos solos e para a resolução de problemas que envolvem percolação de água no solo.

1.1 – Ocorrência de água subterrânea Segundo CHIOSSI (1989), o interior da Terra, composto de diferentes rochas, funciona como um vasto reservatório subterrâneo para a acumulação e circulação das águas que nele se infiltram. As rochas que formam o subsolo da Terra, raras vezes, são totalmente sólidas e maciças. Elas contêm numerosos vazios (poros e fraturas) denominados também de interstícios, que variam dentro de uma larga faixa de dimensões e formas, dando origem aos aqüíferos. Apesar desses interstícios poderem atingir dimensões de uma caverna em algumas rochas, deve-se notar que a maioria tem dimensões muito pequenas. São geralmente, interligados, permitindo o deslocamento das águas infiltradas.

A água subterrânea é originada predominantemente da infiltração das águas das chuvas, sendo este processo de infiltração de grande importância na recarga da água no subsolo. A recarga depende do tipo de rocha, cobertura vegetal, topografia, precipitação e da ocupação do solo. A utilização desta água é feita através de poços caseiros e profundos, conforme a profundidade alcançada. O processo de formação do lençol freático é mostrado na Figura 1.1.

Problemas relativos às águas subterrâneas são encontrados em um grande número de obras de Engenharia. A ação e a influência dessas águas têm causado numerosos imprevistos e acidentes, sendo os casos mais comuns verificados em cortes de


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estradas, escavações de valas e canais, fundações para barragens, pontes, edifícios, etc. As obras que necessitam de escavações abaixo do lençol freático, como por exemplo, a construção de edifícios, barragens, túneis, etc; pode ser executado um tipo de drenagem ou rebaixamento do lençol freático. A água existente no subsolo pode ser eliminada por vários os métodos.

Figura 1.1 – Ciclo Hidrológico: Infiltração e formação de lençol freático

1.2 – Fenômenos capilares A posição do lençol freático no subsolo não é, entretanto, estável, mas bastante variável. Isso representa dizer que, em determinada região, a profundidade do lençol freático varia segundo as estações do ano. Essa variação depende do clima da região, e dessa maneira, nos períodos de estiagem, a posição do lençol freático sofre normalmente um abaixamento, ao contrário do período das cheias, quando essa posição se eleva.


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A ocorrência de leitos impermeáveis (argila, por exemplo) ocasiona aprimoramento localizado de certas porções de água, formando um lençol freático ou nível d’água suspenso, que não corresponde ao nível d’água principal. Em conseqüência da infiltração, a água precipitada sobre a superfície da terra penetra no subsolo e através da ação da gravidade sofre um movimento descendente até atingir uma zona onde os vazios, poros e fraturas se encontram totalmente preenchidos d’água. Esta zona é chamada zona saturada ou freática. Essa zona é separada por uma linha conhecida como nível freático ou lençol freático, abaixo da qual estará o solo na condição de submersão (se em condição de água livre), e acima estará o solo saturado até uma determinada altura. Nos solos, por capilaridade, a água se eleva por entre os interstícios de pequenas dimensões deixados pelas partículas sólidas, além do nível do lençol freático. A altura alcançada depende da natureza do solo.

O corte, na Figura 1.2, mostra-nos uma distribuição de umidade do solo e os diferentes níveis e condições da água subterrânea em uma massa de solo. Verifica-se que o solo não se apresenta saturado ao longo de toda a altura de ascensão capilar. Observa-se que o fenômeno de capilaridade ocorre em maiores proporções em solos argilosos. A altura capilar é calculada pela teoria do tubo capilar, que considera o solo um conjunto de tubos capilares.

Figura 1.2 – Distribuição de umidade no solo

1.3 – Fluxo de água nos solos A fundamentação teórica para resolução dos problemas de fluxo de água foi desenvolvida por Forchheimer e difundida por Casagrande (1937). O estudo de fluxo de água nos solos é de vital importância para o engenheiro, pois a água ao se mover no interior de um maciço de solo exerce em suas partículas sólidas forças que influenciam o estado de tensão do maciço. Os valores de pressão neutra (da água) e com isso os valores de tensão efetiva (na estrutura granular) em cada ponto do maciço são alterados em decorrência de alterações de regime de fluxo. De uma forma geral, os conceitos de fluxo de água nos solos são aplicados nos seguintes problemas:


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• Estimativa da vazão de água (perda de água do reservatório da barragem), através da zona de fluxo;

• Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático; • Problemas de colapso e expansão em solos não saturados; • Dimensionamento de sistemas de drenagem; • Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos; • Previsão de recalques no tempo (adensamento de solos moles – baixa

permeabilidade); • Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa de solo

(estabilidade de taludes); • Análise da possibilidade da água de infiltração produzir erosão, arraste de material

sólido no interior do maciço, “piping”, etc.

O estudo dos fenômenos de fluxo de água em solos se apóia em três pilares: i - conservação da energia (Bernoulli), ii - permeabilidade dos solos (Lei de Darcy) e iii - conservação da massa.

Alguns conceitos sobre os dois primeiros pontos são aqui abordados:

i – Conservação da energia

A água ocupa a maior parte ou a totalidade dos vazios do solo e quando

submetidas a diferenças de potenciais, ela se desloca no seu interior. A água pode atuar sobre elementos de contenção, obras de terra, estruturas hidráulicas e pavimentos, gerando condições desfavoráveis à segurança e à performance destes elementos.

O conceito de energia total de um fluido, formulado por Bernoulli, é apresentado

nas disciplinas de Fenômenos dos Transportes e Mecânica dos Fluidos. A equação 1.1 apresenta a proposta de Bernoulli para representar a energia total ou carga total em um ponto do fluido, expressa em termos de energia/peso.

g2

vuzh

2

atotal +

γ+=

⇒ carga total = carga altimétrica + carga piezométrica +

carga cinética Onde: htotal – energia (carga) total do fluido

z – diferença (cota) entre ponto considerado e nível de referência (referencial padrão)

u – valor da pressão neutra (da água)* v – velocidade de fluxo da partícula de água g – valor da aceleração da gravidade Para a maioria dos problemas envolvendo fluxo de água nos solos, a parcela

referente à energia cinética pode ser desprezada. Logo tem-se a equação de cargas:


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atotal

uzh

γ+=

A carga hidráulica em um ponto corresponde à carga piezométrica, expressa em altura de coluna d’água. Em relação a um plano de referência abaixo deste, por exemplo, corresponderá à soma desta carga com a referente a esta profundidade (altimétrica). Uma observação importante em relação ao movimento da água nos solos: Para que haja fluxo de água entre dois pontos é necessário que a energia (carga) total em cada ponto seja diferente. A água fluirá sempre de um ponto de maior energia (carga) para o ponto de menor energia (carga) total.

* OBS.: Uma coluna de água de altura h faz em uma área unitária 1 × 1 uma pressão “u”:

u (pressão) = área

(peso) Força peso = vol. γ a = 1 × 1 × h × γ a = h x γ a

então: u = =γ

1x1

h.a h.aγ logo a carga piezométrica será: h = a

u

γ

ii – Lei de Darcy

Permeabilidade: é a propriedade que o solo apresenta de permitir o escoamento da água através dele, sendo o grau de permeabilidade expresso numericamente pelo “coeficiente de permeabilidade”.

Importância: O estudo da percolação de água no solo, ou seja, a permeabilidade, é importante porque intervêm num grande número de problemas práticos, tais como drenagem, rebaixamento do nível d’água, cálculo de vazões, análise de recalques, estudo de estabilidade, etc. Grau com que isto ocorre ⇒ Expresso por um coeficiente “k” maior ou menor.

A determinação do coeficiente de permeabilidade é feita tendo em vista a lei

experimental de Darcy (proposta em 1856 por esse engenheiro francês). Darcy realizou um experimento com um arranjo similar ao mostrado na Figura 1.3 para estudar as propriedades do fluxo de água através de uma camada de filtro de areia:

Figura 1.3 – Esquema do experimento realizado por Darcy


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Observe: Considerando o plano de referência (adotado) no nível inferior do desenho: A carga total h1 corresponde à soma da carga altimétrica e piezométrica em qualquer ponto do fluido, tendo um valor constante (h1) desde a entrada no sistema até a chagada na porção de solo (quando tem um decréscimo até a saída desta porção). Observe que à medida que o valor da carga piezométrica vai aumentando (referida a cota de entrada – alimentação) no percurso da entrada no sistema até o solo, o valor da carga altimétrica vai diminuindo (complementar). A carga total h2 corresponde à soma da carga altimétrica e piezométrica em qualquer ponto do fluido, tendo um valor constante (h2) desde a saída da porção de solo até a chagada na saída final do sistema. No percurso (percolação) da água no solo observe que há uma diminuição da carga total (perda de carga) – O movimento da água se deu de uma condição de carga maior para carga menor. Obs.: Se o tubo 2 estivesse em uma posição mais alta que a posição 1 não haveria fluxo neste sentido (assinalado com setas)

Este experimento deu origem a uma lei que correlaciona a taxa de perda de energia da água (gradiente hidráulico) no solo com a sua velocidade de escoamento (Lei de Darcy).

Os níveis de água h1 e h2 são mantidos constantes e o fluxo de água ocorre no sentido descendente através do corpo-de-prova. Medindo o valor da taxa de fluxo que passa através da amostra (vazão de água) q, para vários comprimentos de amostra (L) e de diferença de potencial (∆h), Darcy descobriu que a vazão “q” era proporcional à razão

Lh∆ (ou gradiente hidráulico da água, i).

k.i.A.AL

∆hk.q =

=

A vazão (q) dividida pela área transversal do corpo-de-prova (A) indica a

velocidade com que a água percola pelo solo. O valor da velocidade de fluxo da água no solo (v) é dado por:

vA

q. =

k.iL

∆hk.v =

=

Obs: A existência do gradiente hidráulico fará com que haja percolação.

Esta velocidade é conhecida como velocidade de descarga (v) – usual na prática da

Engenharia, sendo, portanto diferente da velocidade real da água nos vazios do solo. Aplicando-se as noções desenvolvidas em índices físicos pode-se admitir que a relação entre a área transversal de vazios e a área transversal total seja dada pela porosidade (n). Desse modo, a velocidade de percolação real da água no solo é:

n

vv real =


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Entende-se por velocidade real de percolação (vp), a velocidade com que a água escoa nos vazios do solo. Considera-se a área efetiva de escoamento ou área de vazios (Av), através do correspondente coeficiente de percolação, aqui indicado por kP, assim:

vP = kP . i Esta velocidade não é muito utilizada na prática devido à dificuldade de sua determinação.

– Validade da Lei de Darcy

A lei de Darcy é válida para um escoamento “laminar”, tal como é possível e deve ser considerado o escoamento na maioria dos solos naturais.

Um escoamento se define como laminar quando as trajetórias das partículas d’água não se cortam; em caso contrário, denomina-se turbulento. 1.4 – Coeficiente de permeabilidade

O valor de k é comumente expresso como um produto de um número por uma potência negativa de 10. Exemplo: k = 1,3 x 10-8 cm/seg, valor este, aliás, característico de solos considerados como impermeáveis para todos os problemas práticos.

Na Figura 1.4 apresentamos, segundo A. Casagrande e R. E. Fadum, os intervalos de variação de k para os diferentes tipos de solos e na Tabela 1.1, segundo Casagrande.

Figura 1.4 – Intervalos de variação de K para diversos solos

Tabela 1.1 – Coeficientes de permeabilidade de solos típicos (Baseado em Casagrande) K

Material Características de

escoamento cm/seg m/dia 10+2

10-3

10-7

10-9

1 a 100 864 a 86400 Pedregulho limpo Aqüíferos bons

0,001 a 1 0,86 a 864 Areia limpas, misturas de areia limpas e pedregulho

10-7 a 10-3 8,64 x 10-5 a 0,86

Areias muito finas; siltes; misturas de areia, silte e argila; argilas estratificadas

Aqüíferos pobres

10-9 a 10-7 8,64 x 10-7 a 8,64 x 10-5

Argilas não alteradas Impermeáveis


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É interessante notar que os solos finos, embora possuam índices de vazios geralmente superiores àqueles alcançados pelos solos grossos, apresentam valores de coeficientes de permeabilidade bastante inferiores a estes. 1.5 - Fatores que influem na permeabilidade

A permeabilidade é uma das propriedades do solo com maior faixa de variação de valores e é função de diversos fatores, dentre os quais podemos citar o índice de vazios, temperatura, estrutura do solo, grau de saturação e estratificação do terreno.

A) Índice de vazios:

A equação de Taylor correlaciona o coeficiente de permeabilidade com o índice de vazios do solo. Quanto mais fofo o solo, mais permeável ele é. Conhecido o k para um certo tipo de solo, pode-se calcular o k para outro solo pela proporcionalidade da equação apresentada (mais utilizada para areias).

2

32

1

31

2

1

e1

e

e1

e

k

k

+

+=

A influência do índice de vazios sobre a permeabilidade, em se tratando de areias

puras e graduadas, pode ser expressa pela equação de A. Casagrande:

285,0 e.k.4,1k = , sendo k0.85 → Coeficiente de permeabilidade quando e = 0,85.

Maior índice de vazios (e) → Maior coeficiente de permeabilidade (k). B) Temperatura:

Quanto maior for a temperatura, menor a viscosidade da água e, portanto, mais facilmente ela escoa pelos vazios do solo com correspondente aumento do coeficiente de permeabilidade. Logo, k é inversamente proporcional à viscosidade da água. Por isso, os valores de k são referidos à temperatura de 200C, o que se faz pela seguinte relação:

VT20

TT20 C.k.kk =

ηη

=

Onde: kT – o valor de k para a temperatura do ensaio; η20 – é a viscosidade da água a temperatura de 200C; ηT – é a viscosidade a temperatura do ensaio; CV – relação entre as viscosidades.


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Segundo Helmholtz, a viscosidade da água em função da temperatura é dada pela fórmula empírica:

2T0002,0T033,01

0178,0

++=η , sendo T é a temperatura do ensaio em ºC.

A figura 1. 5 mostra uma planilha de ensaio, executado em um solo coletado à 1,50m de profundidade em uma região de Igrejinha – Juiz de Fora, em área estudada para possível utilização como aterro sanitário do município, em que se observa a correção feita para a temperatura.

Figura 1.5 – Exemplo de resultado de ensaio de permeabilidade (Solo argilo-arenoso, coletado em Igrejinha – JF).

Observe os resultados de k obtidos em 4 amostras diferentes a 25,4o de temperatura e o valor médio (dos 4 ensaios) corrigido para 20o ( k20º ) igual a 1,24 x 10-3 cm/seg.


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C) Estrutura do solo:

A combinação de forças de atração e repulsão entre as partículas resulta a estruturas dos solos, que se refere à disposição das partículas na massa de solo e as forças entre elas. A amostra com estrutura dispersa terá uma permeabilidade menor que a floculada.

D) Grau de saturação:

O coeficiente de permeabilidade de um solo não saturado é menor do que o que ele apresentaria se estivesse totalmente saturado. Essa diferença não pode, entretanto ser atribuída exclusivamente ao menor índice de vazios disponível, pois as bolhas de ar existentes, contidas pela tensão superficial da água, são um obstáculo para o fluxo. Entretanto, essa diferença não é muito grande.

E) Estratificação do terreno: Em virtude da estratificação do solo, os valores de k são diferentes nas direções

horizontal e vertical, como mostra a Figura 1.6. Chamando-se de k1, k2, k3, ... os coeficientes de permeabilidade das diferentes camadas e de e1, e2, e3, ... respectivamente as suas espessuras, deduzamos as fórmulas dos valores médios de k nas direções paralela e perpendicular aos planos de estratificação. A permeabilidade média do maciço depende da direção do fluxo em relação à orientação das camadas.

Figura 1.6 – Direção do fluxo nos terrenos estratificados

E.1) Permeabilidade paralela à estratificação: na direção horizontal, todos os estratos têm o mesmo gradiente hidráulico i. Portanto demonstra-se que:

∑∑

=

==n

1ii

n

1iii

H

h.

h.kk

E.2) Permeabilidade perpendicular à estratificação: na direção vertical, sendo contínuo o escoamento, a velocidade v é constante. Portanto demonstra-se que:

∑∑

=

=

=

n

1i i

i

n

1ii

V

k

h

hk


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Para camadas de mesma permeabilidade, k1 = k2 = ...= kn, obtém-se pela aplicação dessas fórmulas: kh = kv. Demonstra-se, ainda, que em todo depósito estratificado, teoricamente: kh > kv. 1.6 – Determinação do coeficiente de permeabilidade

A determinação de k pode ser feita: por meio de fórmulas que o relacionam com a granulometria (por exemplo, a fórmula de Hazen), no laboratório utilizando-se os “permeâmetros” (de nível constante ou de nível variável) e in loco pelo chamado “ensaio de bombeamento” ou pelo ensaio de “tubo aberto”; para as argilas, a permeabilidade se determina a partir do “ensaio de adensamento”.

A foto apresentada na Figura 1.7, tirada da superfície para dentro de um poço com

4,00 m de profundidade, mostra um laboratorista ao lado de uma amostra indeformada de solo, sob a forma de bloco aparafinado a ser encaminhado para um laboratório.

Figura 1.7 – Amostra indeformada retirada de um poço

1.6.1 – Permeâmetro de nível constante É utilizado para medir a permeabilidade dos solos granulares (solos com razoável quantidade de areia e/ou pedregulho), os quais apresentam valores de permeabilidade elevados.


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Este ensaio consta de dois reservatórios onde os níveis de água são mantidos constantes, como mostra a Figura 1.8. Mantida a carga h, durante um certo tempo, a água percolada é colhida e o seu volume é medido. Conhecidas a vazão (Q) e as dimensões do corpo de prova (comprimento L e a área da seção transversal A), calcula-se o valor da permeabilidade, k, através da equação:

t.A.L

hkt.A.i.kt.A.vQ === ⇒

thA

LQk

..

.=

Figura 1.8 – Permeâmetro de carga constante

Onde: Q – é a quantidade de água medida na proveta (cm3); L – é o comprimento da amostra medido no sentido do fluxo (cm); A – área da seção transversal da amostra (cm2); h – diferença do nível entre o reservatório superior e o inferior (cm); t – é o tempo medido entre o inicio e o fim do ensaio (s);

Procedimento: Mede-se o volume d'água que percola pela amostra (V) em

determinados intervalos de tempo (t).

1.6.2 – Permeâmetro de nível variável

O permeâmetro de nível variável é considerado mais vantajoso que o anterior, sendo preferencialmente usado para solos finos, nos quais o volume d’água que percola através da amostra é pequeno. Quando o coeficiente de permeabilidade é muito baixo, a determinação pelo permeâmetro de carga constante é pouco precisa.


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Figura 1.9 – Permeâmetro de carga variável

Neste ensaio medem-se os valores h obtidos para diversos valores de tempo decorrido desde o início do ensaio, como mostra a Figura 1.9. São anotados os valores da temperatura quando da efetuação de cada medida. O coeficiente de permeabilidade dos solos é então calculado fazendo-se uso da lei de Darcy:

q = v . A = k . i . A A.L

h.kq =

E levando-se em conta que a vazão de água passando pelo solo é igual à vazão da água que passa pela bureta, que pode ser expressa como:

q = a . v dt

dhaq .= (conservação da energia)

Igualando-se as duas expressões de vazão tem-se:

AL

hk

dt

dha ... =

Que integrada da condição inicial (h = hi, t = 0) à condição final (h = hf, t = tf):

∫=∫ 1

0

1

0

..

.t

t

h

h

dtL

Ak

h

dha

Conduz a:


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t.L

A.k

h

hln.a

1

0 ∆=

Explicitando-se o valor de k:

∆=

1

0

h

hln.

t.A

L.ak ou

∆=

1

0

h

hlog.

t.A

L.a.3,2k

Onde: a – área interna do tubo de carga (cm2) A – seção transversal da amostra (cm2) L – altura do corpo de prova (cm) h0 – distância inicial do nível d`água para o reservatório inferior (cm) h1 – distância para o tempo 1, do nível d`água para o reservatório inferior (cm) ∆t – intervalo de tempo para o nível d’água passar de h0 para h1 (cm)

Procedimento: faz-se leituras das alturas inicial e final da bureta e o intervalo de tempo correspondente. O novo laboratório de “Ensaios Especiais em Mecânica dos Solos” da Faculdade de Engenharia da UFJF, dispõe de um permeâmetro combinado para solos (carga constante e carga variável), fornecido pela Wille Geotechnik (alemã).

Consta basicamente de um painel, com recipiente para água e buretas graduadas para leituras de níveis de carga hidráulica e de um recipiente (câmara) para amostra de solo. O sistema é alimentado por água conduzido por mangueira, de um tanque próximo.

Foto – Vista geral do Permeâmetro Combinado de Solos da UFJF


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Aspecto do cilindro (câmara) recipiente da amostra de solo a ser ensaiada. Neste caso, adequado para materiais granulares, como se vê, encontra-se preenchido com areia. Observe a entrada de água pela mangueira conectada na base, e a saída pelo topo. Observe dois pontos ligados por mangueira, ao painel, para medição da carga hidráulica e definição do comprimento “L”.

Painel em fórmica do permeâmetro, onde consta: Recipiente de água com regulagem de altura e possibilidade de manter o nível da água constante, conjunto de 4 “buretas” com diâmetros diferentes, fixadas junto a régua graduada.

1.7 – Lei de fluxo generalizada

A equação diferencial de fluxo é a base para o estudo de percolação bi ou tridimensional. Tomando um ponto definido por suas coordenadas cartesianas (x,y,z), considerando o fluxo através de um paralelepípedo elementar em torno deste ponto, e assumindo a validade da lei de Darcy, solo homogêneo e solo e água incompressíveis, é possível deduzir a equação tridimensional do fluxo em meios não-saturados:

∂∂+

∂∂

+=

∂∂+

∂∂+

∂∂

t

e.S

t

s.e.

1e

1

z

h.k

y

h.k

x

h.k

2

2

z2

2

y2

2

x


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Onde: Kj – permeabilidade na direção j h – carga hidráulica total S – grau de saturação e – índice de vazios t – tempo

Em muitas aplicações em geotecnia, a equação pode ser simplificada para a situação

bidimensional, em meio saturado e com fluxo estacionário, obtendo-se:

∂∂+

∂∂

+=

∂∂+

∂∂

t

e.S

t

s.e.

1e

1

y

h.k

x

h.k

2

2

y2

2

x

Observando-se os termos e (índice de vazios) e S (grau de saturação), verifica-se

que podem ocorrer quatro tipos de fenômenos:

a) e e S são constantes ⇒ Fluxo permanente ou estacionário (não varia com o tempo), s = 100%. (estudado nesta Unidade 01)

0y

h.k

x

h.k

2

2

y2

2

x =∂∂+

∂∂

Se nessa equação for considerada isotropia na permeabilidade, isto é, kx = ky, pode-

se simplificar ainda mais:

0y

h

x

h2

2

2

2

=∂∂+

∂∂

b) e é variável e S é constante: (estudado na Unidade 03)

i. e decrescente – adensamento ii. e crescente – expansão

c) e é constante e S é variável: (estudado em outra disciplina)

i. S decrescente – drenagem ii. S crescente – embebimento

d) e e S são variáveis ⇒ problemas de compressão e expansão, além de drenagem e

embebimento.

Obs: Os casos (b), (c) e (d) são denominados fluxo transiente (quantidade de água que percola varia com o tempo). Normalmente o problema de fluxo é tratado no plano, considerando-se uma seção típica do maciço situada entre dois planos verticais e paralelos, de espessura unitária. Tal


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procedimento é justificado devido ao fato de que a dimensão longitudinal é bastante maior que as dimensões de seção transversal. Portanto, considerando:

• Fluxo é estacionário; • Solo saturado;

• Não ocorre nem compressão, nem expansão durante o fluxo: 0t

e =ϑϑ

• Solo homogêneo; • k igual nas duas direções kx = ky; • Validade da Lei de Darcy.

Temos: 0y

h

x

h2

2

2

2

=∂∂+

∂∂

⇒ Equação de Laplace

Como é do conhecimento geral, a anisotropia (direção que se considera para a medição de uma determinada propriedade) do solo é uma condição encontrada freqüentemente. Entretanto existe um artifício matemático que permite estudar o fluxo através de um solo anisotrópico como se o mesmo estivesse ocorrendo em um solo isotrópico. A solução geral que satisfizer a condição de contorno de um problema particular de fluxo constituirá a solução da equação para este problema específico. É importante observar que a permeabilidade do solo não interfere na equação de Laplace. A solução geral da equação de Laplace é constituída por dois grupos de funções as quais são representadas por duas famílias de curvas ortogonais entre si. Em uma região de fluxo as duas famílias de curvas constitui o que se denomina rede ou linhas de fluxo. 1.8 – Rede de fluxo A equação de Laplace tem como solução duas famílias de curvas que se interceptam normalmente. A representação gráfica destas famílias constitui a chamada rede de escoamento ou rede de fluxo (“flow net”). A rede de fluxo é um procedimento gráfico que consiste, basicamente, em traçar na região em que ocorre o fluxo, dois conjuntos de curvas conhecidas com linhas de escoamento ou de fluxo, que são as trajetórias das partículas do líquido e por linhas equipotenciais ou linhas de igual carga total. O trecho compreendido entre duas linhas de fluxo consecutivas quaisquer é denominado canal de fluxo e representa um acerta porção ∆Q da quantidade total Q de água que se infiltra. Portanto, a vazão em cada canal de fluxo é constante e igual para todos os canais.


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A perda de carga ∆h entre as linhas equipotenciais adjacentes denomina-se queda de potencial. No caso de solos isotrópicos e homogêneos, as linhas de fluxo e equipotenciais formam figuras que são basicamente “quadrados”, em destaque na Figura 1.10. A mesma vazão percola entre dois pares adjacentes de linhas de fluxo. A perda de carga entre linhas equipotenciais sucessivas é a mesma.

O método mais comum na resolução de problemas de fluxo bidimensional consiste na construção da REDE DE FLUXO, representação gráfica da solução da equação diferencial.

Figura 1.10 – Destaque do traçado de uma rede de fluxo

– Métodos de traçado de rede de fluxo Os métodos para a determinação das redes de fluxos são:

• Soluções analíticas, resultantes da integração da equação diferencial do fluxo. Somente aplicável em alguns casos simples, dada a complexidade do tratamento matemático quando se compara com outros métodos.

• Solução gráfica é o mais rápido e prático de todos os métodos, como veremos adiante.

• Soluções numéricas, resultantes da utilização de recursos computacionais, através de métodos números como os de “diferenças finitas”, “métodos dos elementos finitos”, entre outros. (ver figura na página n. 27)

– Determinação gráfica da rede de fluxo Este método foi proposto pelo físico alemão Forchheimer. Consiste no traçado, a mão livre, de diversas linhas de escoamento e equipotenciais, respeitando-se as condições de que elas se interceptem ortogonalmente e que formem figuras “quadradas”. Há que se atender também às “condições limites”, isto é, às condições de carga e de fluxo que, em cada caso, limitam a rede de percolação.


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As redes montadas por figuras com a/L constante e, em particular, “quadradas”

( )1La = , implicam no atendimento às condições que lhes são impostas, isto é, por cada

canal de fluxo passa a mesma quantidade (∆∆∆∆Q) de água entre duas equipotenciais consecutivas a mesma queda de potencial (∆∆∆∆h). O método exige, naturalmente, experiência e prática de quem o utiliza. Geralmente, o traçado baseia-se em outras redes semelhantes obtidas por outros métodos. As Figuras 1.11 e 1.12 apresentam dois casos em que se apresenta o traçado das linhas de fluxo e a utilização de filtros de proteção para o controle de fluxo de água que ocorre. Na Figura 1.11 temos uma barragem de terra através da qual há um fluxo de água, graças às diferenças de carga entre montante e jusante. Com intuito de proteger a barragem do fenômeno de erosão interna (“piping” ) e para permitir uma rápida drenagem da água que percola através da barragem, usa-se construir filtros, como, por exemplo, o filtro horizontal esquematizado no desenho.

Figura 1.11 – Linhas de fluxo em uma barragem

Na Figura 1.12, a água percola através do solo arenoso da fundação do reservatório. Pelo desenho, pode-se notar que próxima à face jusante das estacas-prancha, o fluxo é vertical e ascendente, o que pode originar o fenômeno de areia movediça. Para combater este problema, faz-se um filtro de material granular, permitindo assim a livre drenagem das águas.

Figura 1.12 – Linhas de fluxo em uma cortina de estacas–prancha

Tomemos, para exemplificar, o aspecto das linhas equipotenciais e de fluxo, o caso

simples de uma cortina de estacas-prancha cravadas num terreno arenoso, onde se indicam as condições limites, constituídas por duas linhas de fluxo e duas linhas equipotenciais, como são mostradas na Figura 1.13.


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Figura 1.13 – Representação das condições limites

Para este caso, a rede de fluxo tem a configuração mostrada na Figura 1.14.

Numerosas linhas de fluxo e linhas equipotenciais poderiam ser traçadas, como as do exemplo; em que se obtém Nd = 12 quedas de potencial e Nf = 5 canais de fluxo.

Figura 1.14 – Configuração da rede de fluxo em uma cortina de estacas–prancha

Obs 1: Ao nível da superfície, sob a coluna de água de altura h, temos a

equipotencial de carga h. A pressão (u), neste caso corresponde à carga nesta superfície de valor igual a “h” como se verifica.

Obs 2: Uma coluna de água de altura h, portanto de carga hidráulica h, faz em uma área unitária 1 × 1 uma pressão “u”:

u (pressão) = área

(peso) Força

peso = vol. γ a = 1 × 1 × h × γ a = h x γ a

u = =γ

1x1

h.a h.aγ


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Neste caso, observa-se que a água percola da esquerda para a direita em função da diferença de carga total existente. Observa-se que as 13 linhas equipotenciais são perpendiculares às 6 linhas de fluxo, formando elementos aproximadamente quadrados. A rede é formada por 5 canais de fluxo (nf = 5) e por 12 quedas equipotenciais (nq = 12).

Nota-se que os canais de fluxo possuem espessuras variáveis, pois a seção disponível para passagem de água por baixo da estaca prancha é menor do que a seção pela qual a água penetra no terreno. Logo, a velocidade será variável ao longo do canal de fluxo. Quando o canal se estreita, sendo constante a vazão, a velocidade será maior, gerando um gradiente hidráulico maior (Lei de Darcy). Conseqüentemente, sendo constante a perda de potencial de uma linha equipotencial para outra, o espaçamento entre as equipotenciais deve diminuir. Sendo assim, a relação entre as linhas de fluxo e equipotenciais se mantém constante. Piezômetro:

Na figura anterior veja que temos um piezômetro “instalado” em uma profundidade próxima da camada impermeável. Este dispositivo (piezômetro) nada mais é do que um tudo de PVC com a extremidade perfurada que permite a entrada da água, que devido a um fechamento (selo, geralmente feito de bentonita) próximo a esta extremidade permitirá o estabelecimento da coluna de água a ser medida (consequentemente a determinação da pressão no ponto). A figura abaixo ilustra o esquema de montagem de um piezômetro e a foto mostra em detalhe a extremidade perfurada de um piezômetro.

Foto: Detalhe da extremidade (h = 60cm) Figura: Esquema de montagem


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Cálculo de vazão em função do traçado da rede de fluxo

A partir do traçado da rede de fluxo pode-se calcular a vazão percolada. Assim: Isolando um elemento da rede de fluxo, como aquele mostrado na Figura 1.15, o

qual é formado por linhas de fluxo distanciadas entre si de “b” no plano do desenho e de uma unidade de comprimento no sentido normal do papel.

Figura 1.15 – Elemento individual da rede de fluxo

Segundo a Lei de Darcy, a vazão (q) no canal de fluxo será: .i.Akq = , sendo o

gradiente hidráulico (i) dado por:

trecho

trecho

l

h∆=i

A área no elemento é igual a: A = b.l. Portanto: ( )b.l.l

∆hk.q

=

No traçado da rede de fluxo, como o elemento é um quadrado, tem-se: b = l, sendo assim: hk.q ∆= . A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas é constante, requisito para que a vazão num determinado canal de fluxo também seja constante. A carga total disponível (h) é dissipada através das linhas equipotenciais (nq), de forma que entre duas equipotenciais consecutivas temos:

dn

hh =∆

Realizando as devidas substituições, tem-se a vazão em cada canal de fluxo, dada pela expressão abaixo (sendo b/l = 1):

dn

hkq .=

A vazão total do sistema de percolação (Q), por unidade de comprimento, é dada pela vazão do canal (q) vezes o número de canais de fluxo (nf). Portanto:

fnqQ .= ⇒ d

f

n

nhkQ ..=


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Onde: h – perda de carga total

q

fn

n – fator de forma, que depende da rede traçada

Propriedades básicas de uma rede de fluxo

• As linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são perpendiculares entre si, isto é, sua interseção ocorre a 90º;

• A vazão em cada canal de fluxo é constante e igual para todos os canais; • As linhas de fluxo não se interceptam, pois não é possível ocorrerem duas

velocidades diferentes para a mesma partícula de água em escoamento; • As linhas equipotenciais não se interceptam, pois não é possível se ter duas cargas

totais para um mesmo ponto; A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas quaisquer é constante. A Figura 1.16 apresenta a solução gráfica para um outro exemplo semelhante ao

mostrado anteriormente.

Figura 1.16 – Rede de fluxo através de uma fundação permeável de uma cortina de

estacas–prancha

A figura abaixo ilustra um traçado de rede de fluxo à mão livre, sob um verte douro de concreto , tendo na fundação (extremidades) duas cortinas (paredes) verticais até uma determinada profundidade.


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A figura abaixo ilustra um traçado de rede de fluxo gerado por um software (uso de programa computacional, com resolução numérica, p. ex. uso de MEF), sob uma barragem de concreto , tendo na fundação uma cortina (parede vertical).

Exemplo Numérico

Resolução: a) Tem-se: q = k i A.

Resolvendo em função da rede de fluxo: Gradiente i = ∆h/L = (h/Nd) (1/L) Vazão para 1 canal ∆q = k (h/LNd) a 1 para 1m de cortina Vazão total (unitário) q = k (h/Nd) (a/L) 1 Nf a/L = 1 (~quadrado)

como anteriormente demonstrado q = 1,4x10-5 x 15 x 102 x (3/6) = 10,5x10-3cm3/seg qtotal = 10,5x10-3 cm3/Seg x 104cm = 105 cm3/seg (considerado os 100m de cortina) Em um mês tem-se: t = 30 x 24 x 60 x 60 = 2592x103Seg

Q = 105 x 2592 x 103 = 272,16x106cm3/mês =

q = k.h.(Nf/Nd)

272m3/mês

Para a cortina, com 100 m de comprimento, representada na figura ao lado, calcular:

a) A quantidade de água que percola, por mês, através do maciço permeável,

b) A pressão neutra no ponto A.


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b) A pressão neutra no ponto A obtém-se da seguinte forma: ∆h = (h/Nd) = (15/6) = 2,5m (perda de carga em cada equipotencial) O número de quedas ∆h até ao ponto A é de aproximadamente 3,5, logo a perda até

este ponto é de 3,5 x (15/6) = 8,75m e o nível de água no tubo piezométrico instalado em A situa-se à 8,8m abaixo do nível de água a montante, ou seja a 6,25m do nível do terreno em que está instalado.

Como demonstrado na proposta de Bernoulli para representar a energia total ou carga total em um ponto do fluido, tem-se, expresso em termos de energia/peso:

carga total = carga altimétrica + carga piezométrica

como visto a pressão no ponto é a carga, expressa em altura de coluna d’água, multiplicada pelo seu peso específico:

ua = h.aγ

Considerando a soma das cargas, a pressão na água, em um ponto A, pode também ser assim expressa: ua = pressão hidrostática + pressão hidrodinâmica

(altimétrica) (piezométrica) A tensão correspondente no ponto A é, portanto, de:

(25 + 6,25) x γa =

Observe o exemplo abaixo: Verifique, calculando, a altura do nível da água dentro do piezômetro (tubo) que

corresponde a 3,83m do nível da superfície do terreno (3,33m do nível inferior da água).

ua = 31,2 t/m2


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As figuras abaixo ilustram diferentes exemplos de traçados de rede de fluxo (para fluxo confinado). Observe como os elementos impermeáveis (cortinas – paredes) ou permeáveis (filtros de material drenante) influenciam a trajetória das linhas de fluxo.

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