Unidade 5 –

Parte 1• Fatoração• Mínimo múltiplo comum

– m.m.c.• Máximo divisor comum –

m.d.c.

Potenciação de Números

Inteiros

Imagine a seguinte multiplicação

Nesta multiplicação, existem 10 fatores iguais. Assim, a

potenciação ou exponenciação, é uma forma de

reescrever uma multiplicação de vários fatores iguais de

uma forma “abreviada”

Numa multiplicação de vários fatores iguais, o fator que aparece

várias vezes, é chamado de base da potência; o expoente, é a

quantidade de fatores iguais.

• Base: Fator que aparece na

multiplicação

• Expoente: Quantidade de

fatores iguais.

• Potencia: Resultado.Leia “dois elevado a dez”

• Qualquer número elevado a 1 é ele mesmo

• Qualquer número não nulo elevado a zero vale 1

• Se multiplicarmos duas ou mais potências de mesma base,

basta conservarmos a base e somar os expoentes

• Se dividirmos duas ou mais potencias de mesma base,

basta repetirmos a base e subtrair os expoentes

Números primos

Um número é primo, se este possui somente dois divisores: o 1

e ele mesmo.

• O zero não é primo pois ele possui infinitos divisores

• O 1 não é primo pois seu único divisor é ele mesmo

• O 2 é primo pois seus divisores são o 1 e ele mesmo

• O 4 não é primo pois ele possui 3 divisores: o 1, 2 e ele mesmo

Em geral, os números que não são primos, são números

compostos

O Crivo de Erastóstenes

Vemos que o crivo de Erastóstenes nos fornece os primeiros

números primos entre 1 e 100.

São eles:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,

73, 79, 83, 89 e 97

O 2 é o único número primo par

Fatoração de números Inteiros

A fatoração de um número inteiro é uma forma de se escrever

tal número como um produto entre números primos.

A fatoração é uma ferramenta importante para se obter o

mínimo múltiplo comum – m.m.c. de vários números, e também

o Máximo Divisor Comum entre vários números.

Método prático de fatoração

Fatorar o número 48

48 2

24 2

12 2

6 2

3 3

1 Acaba aqui

Exercícios

1- Apresente a forma

fatorada dos seguintes

números

a) 320 d) 640

b) 360 e) 400

c) 225 f) 220

2- Apresente a forma fatorada

dos seguintes números

a) 630 g) 900

b) 980 h) 240

c) 350 i) 960

d) 198 j) 2048

e) 860 k) 625

f) 270 l) 300

Mínimo Múltiplo Comum

O conceito de múltiplo

Assim, para se obter os múltiplos de um número qualquer, basta

multiplicar tal número por um outro número inteiro.

Múltiplo comum

Todos os elementos que pertençam ao mesmo tempo aos

conjuntos M(2) e M(3), são múltiplos comuns a 2 e 3. Assim,

Em um conjunto desses, o Mínimo Múltiplo Comum, será o menor

elemento do conjunto

Método prático para se calcular o m.m.c. de dois ou mais

números

Calcular o m.m.c. entre 36 e 48

36 48 218 24 2

9 12 29 6 29 3 33 1 31 1

Vemos aí que o 144 é realmente múltiplo de 36 e 48; além

disso, 144 é o menor múltiplo comum entre 36 e 48

Problema 1

Um automobilista dá uma volta completa na pista circular em 12

minutos, e um motociclista em 18 minutos. Suponha que os dois

veículos partiram às 8h00min. A que horas teremos o primeiro

encontro?

Temos na figura ao lado a pista. Sabe-seque o automóvel cruza a linha dechegada de 12 em 12 minutos, e amotocicleta, de 18 em 18 minutos. Comisso, basta calcular o mmc de 18 e 12.Daí, mmc(12,18)=36. logo, os veículoscruzarão a linha de chegada juntos às8h36min

ExercíciosCalcule o m.m.c. dos elementos dos conjuntos a seguir

Máximo Divisor Comum – MDC

A ideia de divisibilidade

Um certo número é divísível por um outro número, se o resto dessa

divisão for 0 e o quociente for um número inteiro.

Exemplo: considere o número 36. Ele é divisível por 2, 3, 4, 6, 12,

18, 36.

Método para calcular todos os divisores de um número.

Exemplo: calcular todos os divisores de 48

148 2 2 4 8 1624 212 2

6 23 3 3 6 12 24 481

//

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/

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/

Exercícios

Calcular todos os divisores dos números abaixo

a) 42 e) 56

b) 64 f) 72

c) 32 g) 49

d) 108 h) 96

Algoritmo de Euclides para cálculo do MDC de dois números

1 272 48 2424 0

Quociente

O esquema acima, mostra o cálculo do MDC(48, 72).