RETAS E CIRCUNFERNCIAS

Dimetro Corda que passa pelo centro da circunferncia [EF] e [GH]

Raio Segmento de reta que une o centro a um ponto da circunferncia [OD]

O

A B

D

H

I

J G

E

F

[AB], [IJ], [GH] , so cordas - segmentos de reta que tm por extremos dois pontos quaisquer da circunferncia.

Numa circunferncia existem infinitas cordas, raios

e dimetros.

Arco

Arco a poro de circunferncia compreendida entre dois dos seus pontos.

Na circunferncia de centro O assinalamos dois pontos A e B. Desta forma dividimos a circunferncia em duas regies

o arco menor AB

o arco maior ACB

Portanto ao considerarmos dois pontos numa circunferncia ficam sempre definidos dois arcos .

AB representa a amplitude do arco AB

poro de crculo compreendida entre os raios [OA] e [OB] chamamos setor circular.

Setor circular

POSIO RELATIVA DE UMA RETA E DE UMA CIRCUNFERNCIA

A reta s secante circunferncia, porque a interseta em dois pontos. A reta tem dois pontos em comum com a circunferncia.

O

A

B

s

t

e

C

A reta t tangente circunferncia, porque a interseta num s ponto.

A reta e exterior circunferncia, porque no a intersecta. A reta no tem pontos em comum com a circunferncia.

POSIO RELATIVA DE DUAS CIRCUNFERNCIAS

.c .

As circunferncias so secantes.

.

.c

As circunferncias so exteriores .

As circunferncias so tangentes exteriores.

.

c

As circunferncias so tangentes interiores.

c

'c c

As circunferncias so concntricas.

SIMETRIAS NUMA CIRCUNFERNCIA

Um eixo de simetria de uma figura divide -a em duas partes iguais. Em particular, um eixo

de simetria de uma circunferncia divide -a em duas semicircunferncias .

Os eixos de simetria de uma circunferncia so todas as retas que passam pelo centro, deste modo, uma circunferncia tem uma infinidade de eixos de simetria.

Numa circunferncia:

-Duas cordas compreendidas entre retas paralelas so congruentes e vice -versa.

Cordas entre retas paralelas

Propriedade

Arcos e cordas entre retas paralelas.ggb

Propriedade

Numa circunferncia:

-Arcos compreendidos entre retas paralelas so congruentes e vice -versa.

Arcos entre retas paralelas

../Arcos e cordas entre retas paralelas.ggb

Propriedades

Arcos e cordas

Numa circunferncia:

-A arcos congruentes correspondem cordas congruentes e vice -versa.

Cuidado!

Arcos e cordas entre retas paralelas.ggb

Quadrilteros

No trapzios Trapzios No tm lados paralelos Tm pelo menos dois lados paralelos

Trapzios propriamente ditos

Tm s dois lados paralelos

Paralelogramos

Tm os lados opostos paralelos

Trapzio Retngulo

Trapzio Issceles

Trapzio Escaleno

Paralelogramo Retngulo Quadrado Losango

ngulos e lados

Diagonais Eixos de simetria

Paralelogramo obliqungulo ou paralelogramo no-retngulo

ngulos e lados opostos

congruentes Os ngulos

consecutivos so suplementares.

Tm comprimentos iguais, bissetam-se.

No tm

Retngulo ngulos iguais Lados opostos g.

iguais.

Tm o mesmo comprimento, bissetam-se.

Dois eixos de simetria.

Quadrado Quatro ngulos retos.

Quatro lados g. iguais.

Diagonais perpendiculares e geometricamente

iguais.

4 eixos de simetria

Losango Quatro lados iguais; ngulos opostos iguais

Diagonais perpendiculares e

bissetam-se.

2 eixos de simetria

G

PROPRIEDADES DOS PARALELOGRAMOS.ggb

Exerccio da pgina 23 do manual adotado.

3.1 Numa circunferncia, arcos

compreendidos entre retas paralelas so

congruentes. Logo como os arcos so

congruentes (80), ento as retas BC e AD

so paralelas. Portanto o quadriltero

[ABCD] um trapzio, uma vez que tem dois

lados paralelos.

3.2 Numa circunferncia, cordas

compreendidas entre retas paralelas so

congruentes. Logo, a corda [AB]

congruente corda [CD], porque esto

compreendidas entre retas paralelas.

Portanto, cmCDAB 10

Reta tangente a uma

circunferncia

Propriedade

Qualquer reta tangente a uma circunferncia perpendicular ao

raio que contm o ponto de tangncia ou perpendicular reta

que passa no centro e no ponto de tangncia.

Reta tangente circunferncia.ggb

Perpendicular ao ponto mdio de

uma corda

Numa circunferncia, uma reta perpendicular a uma corda que passe no seu ponto mdio (da corda) passa sempre no centro da circunferncia.

Propriedade

Propriedade recta que passa no ponto mdio da corda.ggb

Tangentes por um ponto exterior

Propriedade

Tangentes por um ponto exterior.ggb

Na figura seguinte, A e B so pontos de uma circunferncia de centro O. AC uma reta tangente circunferncia no ponto A.

Sabe-se que: AB = 80 e AB = 5 cm

Exemplo 1

1.Mostra que o tringulo [ABO] issceles. 2.Determina a amplitude do ngulo CAB.

3. Calcula DE.

Explica como obtiveste a tua resposta.

1. O tringulo [ABO] issceles porque

os segmentos de reta [AO] e [BO] so raios

da circunferncia. Logo, tem dois lados

iguais, BOAO

Por outro lado, a reta AC tangente circunferncia logo perpendicular ao raio

que passa pelo ponto de tangncia, A. Logo:

2. Os ngulos OAB e OBA tm a mesma amplitude porque os [AO] e [OB] so

raios e a lados iguais opem-se ngulos iguais, portanto:

405090^

BAC

^ 180 8050

2O AB

5

5

Os tringulos [ABO] e [EOD] so congruentes

porque tm, de um para o outro, um ngulo

congruente (ngulos EOD e AOB, verticalmente

opostos) e os lados que o formam congruentes

(raios). O lado homlogo de [AB] [DE]. Logo,

cmABDE 5

Para cada uma das figuras determina o valor de x.

Explica como obtiveste a tua resposta.

Exemplo 2:

12258180x

O ngulo de amplitude x e o ngulo

BAD so ngulos de lados paralelos,

um obtuso e o outro agudo, logo a

sua soma igual a 180 (so

suplementares). Portanto,

Numa circunferncia, uma reta perpendicular a uma corda que passe no seu ponto mdio (da corda) passa sempre no centro da circunferncia.

EXERCCIOS DA PGINA 24, 25 e

27

CO =90, porque qualquer reta tangente circunferncia perpendicular

ao raio que passa no ponto de tangncia. Assim, .

Por outro lado, , uma vez que [AO] e [BO] so raios da mesma

circunferncia e como a lados congruentes opem-se ngulos congruentes,

podemos dizer que

Como a soma dos ngulos internos de qualquer tringulo, mede 180, ento

a amplitude do ngulo AOB 60 (180-60-60). Deste modo, podemos

concluir que o tringulo [AOB] equiltero porque tem 3 lados iguais, visto

que, a ngulos iguais opem-se lados iguais. c.q.d.

603090^

OAB

60^^

ABOOAB

Questo 4

AO BO

Questo 5

5

8

O tringulo [AMO] retngulo e como a reta r

perpendicular corda [AB] e passa no centro

da circunferncia divide a corda em duas

congruentes, logo . Aplicando o

teorema de Pitgoras, vem:

4AM

22 2

2

2

0

5 4

25 16

9 3OM

OM

OM

OM OM

Assim, 3OM

2

][ 122

83cmAOAB

Observao:

Os tringulos [AMO] e [MOB] so

congruentes, uma vez que tm, de um para

outro, trs lados congruentes.

1.

1.1

1.2 110

BC = DA , porque numa circunferncia arcos

compreendidos entre retas

paralelas so congruentes.

a)

b)

Um retngulo tm os lados opostos paralelos, logo

Um retngulo tm os lados opostos paralelos, logo

CD AB porque numa circunferncia cordas compreendidos entre retas

paralelas so congruentes.

2.1

306090180^

ACO

Porque a reta t tangente circunferncia logo

perpendicular ao raio que passa no ponto de

tangncia. Por outro lado, como [AOC] um

tringulo, a soma dos seus ngulos internos

igual a 180, logo,

90^

OAC

2.2

30^^

ACODCE porque so ngulos verticalmente opostos logo tm a mesma amplitude (so congruentes).

3.

x=180-70=110

Porque os ngulos AOB e BOC so

suplementares, logo a soma das suas

amplitudes igual a 180.

110

y=?

O tringulo [BOC] issceles porque [OB] e [OC]

so raios da mesma circunferncia.

Logo, , uma vez que a lados

congruentes opem-se ngulos congruentes e

como [BOC] um tringulo, a soma dos ngulos

internos 180. Portanto,

BCOCBO^^

352

110180y

110

35

35

z=?

553590z

Porque a reta, t, tangente circunferncia no

ponto C, logo perpendicular reta AC que

passa pelo centro e pelo ponto de tangncia, C.