UNIDADE I

GRANDEZAS FÍSICAS ESCALARES E VETORIAIS

A Física utiliza algumas grandezas básicas na formulação de suas leis que permitem a análise qualitativa e quantitativa dos fenômenos naturais que observamos ou de problemas tecnológicos relacionados a artefatos, máquinas, construções, etc, criadas pelo homem e presentes no nosso dia a dia na sociedade. As grandezas físicas básicas podem ser divididas em duas classes, de acordo com a sua representação e as operações algébricas (soma, subtração, produto e divisão), utilizadas para resolver problemas quantitativos:

a) As grandezas escalares são representadas apenas por números. Aplicam-se para elas as 4 operações algébricas para os números.

b) As grandezas físicas vetoriais, representadas por setas (elementos geométricos), cujo comprimento (a magnitude) é representado por um número. Aplica-se para elas a geometria euclidiana, em particular a regra do paralelogramo. Para manipular algebricamente as grandezas vetoriais existem as operações algébricas de soma, subtração e os produtos escalar e vetorial.

Nesta Unidade I, estudam-se as grandezas físicas escalares básicas:

massa, comprimento, tempo e energia e as grandezas físicas vetoriais básicas: posição, velocidade, aceleração e força.

GRANDEZAS ESCALARES A massa M É, sem dúvida, uma das grandezas físicas básicas mais fundamentais para a descrição dos fenômenos naturais. O conceito de massa aparece na Física de duas formas aparentemente sem ligação: o de carga gravitacional, que gera o campo gravitacional e permite a um pedaço de matéria neutra exercer uma ação de atração sobre outro sem, aparentemente, tocá-lo; e o de resistência inercial, na 2ª Lei de Newton. Do ponto de vista comercial, a grandeza massa é importante uma vez que caracteriza a quantidade de material vendido ou comprado. Então, um padrão para a massa se faz necessário. A massa de um corpo expressa em termos do padrão nos diz o número de vezes do padrão que ela tem, ou frações do mesmo. Existem vários padrões para a massa, mas o padrão kilograma (kg) é adotado no Brasil. Ele pertence ao Sistema Internacional de Unidades (SI). A massa M, juntamente com o comprimento L e o tempo T, é considerada uma grandeza física fundamental no sentido de que as outras grandezas físicas são definidas em termos delas. A medida da massa, em unidades de kilogramas (kg), é aceita internacionalmente pela maioria dos países.

Múltiplos de M: 1x103 kg = 1 tonelada = 1 ton 1x106 kg = 1 megakilograma = 1 Mkg 1x109 kg = 1 gigakilograma – 1 Gkg 1x1012 kg = 1 terakilograma = 1 Tkg Submúltiplos de M: 1x10-3 kg = 1 grama = 1 g 1x10-6 kg = 1 miligrama = 1 mg 1x10-9 kg = 1 micrograma = 1 Mg 1x10-12 kg = 1 nanograma = 1 ng 1x10-15 kg = 1 picograma = 1 pg O comprimento L A grandeza comprimento é fundamental para a Física por estar envolvida na definição de distância entre dois pontos do espaço, que são ocupados por corpos materiais de massa M, e na definição das dimensões dos corpos materiais naturais que nos cercam, ou aqueles que fabricamos. O conhecimento das dimensões dos corpos materiais também permite o cálculo das grandezas área A e volume V. Sabe-se que a distância entre dois pontos no espaço depende da trajetória seguida por um corpo material de massa M ao sair do ponto P1 para o ponto P2, como mostrado na Fig. 1. C1 = Trajetória 1 C2 = Trajetória 2

Figura 1 − Trajetórias distintas percorridas por um corpo material de massa M que parte do ponto P1 para o ponto P2.

Entretanto, se os pontos P1 e P2 estão muito próximos, a distancia

percorrida pelo corpo material de massa M entre P1 e P2 não dependerá da

C2

C1

P2

P1

trajetória seguida, como se mostra na Fig. 2. Ela dependerá unicamente das propriedades do espaço. Então, a medida do comprimento da trajetória entre dois pontos muito próximos no espaço da vizinhança de um corpo material de referência nos informa a respeito das propriedades do espaço. A distância ∆S entre os dois pontos próximos no espaço define a chamada métrica ∆S do espaço.

∆S2 = ∆S1 = ∆S ∆S=Distância infinitesimal entre dois pontos.

Figura 2 − A métrica S∆ do espaço da vizinhança de um corpo material de referência. Os pontos P1 e P2 são ocupados por partículas materiais.

Calcula-se a métrica do espaço, a área ou o volume de um corpo material de massa M utilizando a geometria euclidiana. No primeiro caso o resultado terá dimensão de comprimento L. Para a área terá dimensão de L2 e para o volume terá dimensão de L3. Nas compras de produtos feitas rotineiramente, paga-se muitas vezes pelo comprimento do produto que se está levando, como no caso dos tecidos, dos fios de eletricidade, etc.. Outras vezes pela área, como no caso de revestimentos para a construção civil, ou ainda por volume do produto como no caso dos líquidos em geral. Assim, é importante a definição de um padrão para o comprimento, que no sistema SI é o metro (m). Esse padrão é adotado no Brasil. O metro corresponde à distância percorrida pela luz no vácuo em um tempo T = 1/299.792.458 segundos. Múltiplos de L: 1x101 m = 1 decametro = 1 dam 1x102 m = 1 hectômetro = 1 hm 1x103 m = 1 kilômetro = 1 km 1x109 m = 1 gigametro = 1 Gm

P1

P2 ∆S2

∆S1

1x1012 m = 1 terametro = 1 Tm Submúltiplos de L: 1x10-2 m = 1 centímetro = 1 cm 1x10-3 m = 1 milímetro = 1 mm 1x10-6 m = 1 micrometro = 1 µm 1x10-9 m = 1 nanômetro = 1 nm 1x10-10 m = 1 angstrom = 1 Å 1x10-12 m = 1 picometro = 1 pm 1x10-15 m = 1 femtometro = 1 fm O tempo T O que é o tempo? Eis uma pergunta que deixa qualquer físico numa enrascada e a resposta virá sempre acompanhada da descrição de um método e de um mecanismo utilizados para a sua medição. Conceitualmente, o tempo está relacionado com a quantificação da espera para a ocorrência de eventos sucessivos. É assim quando vamos ao médico e esperamos para ser atendidos, na fila do banco, no trânsito quando partimos de um ponto e queremos chegar a outro, etc. Ou seja, a nossa percepção do tempo está intimamente relacionada aos processos dinâmicos que nos rodeiam. Em particular, para a Mecânica, o tempo é uma grandeza fundamental, assim como a massa e o comprimento, devido ao seu papel na definição de várias grandezas importantes como a velocidade, a aceleração, a potência, etc. O sistema SI estabelece um padrão para a quantificação do tempo que é o segundo (s), definido como o tempo 1s = 9.192.631.770.τ, onde τ é o período da freqüência da luz emitida numa certa transição dos átomos de césio 133. Múltiplos de T: 6x101 s = 1 minuto – 1 min 3,6x103 s= 1 hora = 1 h 8,64x104 s = 1 dia 3,154x107 s = 1 ano Submúltiplos de T:

1x10-3 s = 1 milisegundo = 1 ms 1x10-6 s = 1 microsegundo = 1 µs 1x10-9 s = 1 nanosegundo = 1 ns 1x10-12 s = 1 picosegundo = 1 ps 1x10-15 s = 1 femtosegundo = 1 fs

Energia e trabalho Se você observar com atenção perceberá que todos nós, instintivamente, temos receio de objetos em movimento. O mesmo acontece com os animais. Atire uma pedra, ou um corpo material qualquer, em direção a um cachorro ou a um pássaro que eles, imediatamente, se afastarão da trajetória seguida pela pedra. A explicação para esse comportamento está na capacidade de provocar estragos que têm os corpos em movimento. Pode-se, então, associar alguma grandeza física a este poder transformador dos corpos em movimento? Mais ainda, será possível estabelecer uma expressão matemática de modo a quantificar essa grandeza física? A resposta a essas duas questões foi dada pela Mecânica, de onde emerge o conceito de energia cinética, e a expressão para quantificá-la. Isto é feito utilizando a 2ª Lei de Newton para estabelecer o chamado Teorema do Trabalho e Energia. O Teorema do Trabalho e Energia nos diz como se pode calcular a energia cinética de um corpo material de massa M, em movimento com vetor velocidade v

r. Pode-se, também, calcular as variações da energia cinética

entre dois pontos do espaço, devidas às forças que agem sobre o corpo. Calculam-se as variações da energia cinética pelo trabalho que, matematicamente, é definido como a integral da força resultante ao longo da trajetória seguida pelo corpo, ao sair de um ponto P1 para um ponto P2 no espaço. Uma vez que as variações da energia cinética do corpo podem ser positivas ou negativas, o trabalho pode ser positivo (aumento da energia cinética entre os dois pontos) ou negativo (decréscimo de energia cinética entre os dois pontos). Para muitas forças, especialmente as forças fundamentais da natureza, o trabalho negativo que exercem sobre um corpo pode, posteriormente, ser convertido em trabalho positivo, que resultará no aumento de sua energia cinética. Para esses tipos de forças, chamadas de conservativas, que, variam com a posição e cujo trabalho exercido sobre o corpo, quando ele sai de P1 e vai para P2, independe da trajetória, define-se o que se chama de energia potencial. Sua variação, quando um corpo sai de P1 e vai para P2, é definida como o negativo do trabalho exercido pela força. Assim, se o trabalho exercido pela força conservativa for negativo (perda de energia cinética) a variação de energia potencial será positiva (aumento de energia potencial). Para trabalho positivo (aumento de energia cinética) a variação da energia potencial será negativa (perda de energia potencial). Desta forma, pode-se encarar a energia

potencial como um reservatório de energia cinética do corpo, devido à ação das forças conservativas. A soma da energia cinética e da energia potencial de um corpo material constitui o que chamamos muitas vezes, por brevidade, de energia do corpo material. No sistema SI, o padrão de unidades adotado para a energia é o joule (J), que também define a unidade para a energia por unidade de tempo chamada de watt (1 W = 1 J/s). Algumas vezes, para a indústria e o comércio, a energia e a potência são expressas em outras unidades, mais convenientes. Acontece o mesmo para alguns ramos de Física. Observe os exemplos abaixo. Exemplo 1. Venda de energia elétrica: kW. h 1 kW . h = (1 x 103 J/s) . (3600 s) = 3,6 x 106 J Exemplo 2. Física atômica: elétron–volt ( eV) 1 eV = 1,602 x 10 -19 J Exemplo 3. Máquinas térmicas: cal, Btu, hp . h (cavalo – vapor hora) 1 cal = 4,186 J 1 hp . h = 2,685 x 106 J 1 Btu = 1,055 J Exemplo 4. Venda de alimentos: kcal 1 kcal = 4,186 x 103 J

PROBLEMAS RESOLVIDOS

1. A massa de um pedaço de fio de 2 m de comprimento é de 4 mg. Supondo a massa distribuída uniformemente no fio, quanto de massa por unidade de comprimento possui o fio?

Solução: M = 4 mg = 4 x 10 -3 g = (4 x 10 -3) (1 x 10 –3 kg) = 4 x 10 –6 kg L = 2 m Chamado de λ a massa por unidade de comprimento (densidade linear de massa) obtemos:

2. A massa de um elétron é me = 9,11 x 10 -31 kg e a de um próton é mp = 1,67 x 10 -27 kg. Qual é a razão entre a massa do próton e a do elétron?

mkgm

kg

L

M 66

1022

104 −−

×=×==λ

Solução:

3. Saber a massa total de um corpo é uma informação importante. Outra

informação, também muito importante, é saber como a massa está distribuída através do corpo. Mapeando a densidade de massa por área, σ, ou por volume, ρ, podemos conhecer como a massa está distribuída no corpo. Calcular σ quando M = 6 Kg está distribuída uniformemente através de: (a) Uma folha retangular de 20 cm x 40 cm. (b) Uma casca esférica de raio R = 10 cm.

Solução: (a) Área da folha: A = a.b = (0,2 m) (0,4 m) = 0,08 m2

(b) Área da casca esférica: A = 4 π R2 = (4) (3,14) (0,1)2 A = 0,1256 m2

4. A densidade de massa do ferro é ρ = 7,8 x 103 kg / m3. Se desejo construir uma esfera de rolamento de massa 100 g, qual deve ser o seu raio?

Solução:

3

2

333

1039,2

187,4

1,0

187,43

4 RRR

M

R

M

V

M −×=====π

ρ

18401011,9

1069,131

27

=××= −

−

kg

kg

m

m

e

p

22

/7508,0

6mKg

m

Kgba

M

A

M

Área

Massa

==

⋅===

σ

σ

22

2

/8,471256,0

64

mKgm

KgR

M

A

M

==

==

σ

πσ

cmRRR

452,11006,31039,2

108,7 633

23 =→×=→×=× −

−

5. Além do sistema internacional SI, existe outro, utilizado pelos países de

língua inglesa, chamado de sistema inglês de unidades. Uma unidade padrão de comprimento nesse sistema é o pé (1 pé = 30,48 cm = 0,3048 m). (a) Obter as dimensões da grandeza velocidade (b) Escrever as unidades da velocidade no sistema SI e no sistema inglês de unidades.

Solução: (a) Definição de velocidade: Define-se a velocidade média de um corpo material de massa M como a distância S percorrido pelo corpo material dividido pelo intervalo de tempo t∆ gasto para percorrer a distância S .:

t

Sv =

Dimensões de S – Comprimento L Dimensões de t – Tempo T

1−== LTT

Lv

(b) unidades do sistema SI:

[ ] [ ][ ] sm

s

m

T

L/===ν

Unidades no sistema Inglês:

[ ] [ ][ ] spé

s

pé

T

L/===ν

6. Na definição do padrão de tempo no sistema SI, a unidade de tempo 1 s é definida como 9.192.631.770 τ, onde τ é o período correspondente a uma transição entre dois níveis do estado fundamental do átomo de césio 133. Qual é a frequência da transição dos átomos de césio 133?

Solução:

sf

fs

fs

/7706311929

177063119291

177063119291

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅= ττ

Unidade de freqüência no sistema SI: 1 hertz (Hz)

7. Uma piscina de área retangular e lados 6 m x 3 m, tem uma

profundidade uniforme de 1,4 m. Sabendo que a densidade da água é ρ = 1000 Kg / m3 a 20 oC, calcular: (a) A capacidade da piscina em m3. (b) A capacidade da piscina em litros. (c) A capacidade da piscina em copos de 250 ml. (d) A massa de água.

Solução: (a) V = abc = (6 m) (3 m) (1,4 m) = 25,2 m3 (b) 1 m3 = 1000 litros = 1000 l V = 25,2 m3 = (25,2) (1000 l) = 25.200 litros (c) 1 ml = 1 x 10-3 l Volume de 1 copo = 1 x 250 ml = (250) (1 x 10-3 l) = 0,25 l

8. A embalagem de certa marca de leite indica que uma porção de 200 ml do produto produz 70 kcal, o que corresponde a 3% de nossas necessidades diárias de energia. Calcular qual é a necessidade diária de energia de um ser humano.

Solução: 1 porção: E = 70 kcal = (70) (1 x 103 cal) = 7 x 104 cal U: energia total que necessitamos Energia em kW . h: 1 kW . h = 3,6 x 106 J

GHzf

Hzf

770631192,9

7706311929

⋅⋅=⋅⋅⋅=

( ) ( )( )KgM

mmKgVMV

Md

coposcopo

VcoposdenúmeroN

20025

2,25/1000

80010025,0

20025

1

33

⋅=

==→=

⋅=⋅===

ρρ

ll

( )

( )( )( )( ) JJU

calcalU

kcalkcalE

UU

UdeE

66

63

10767,918,410333,2

10333,21012333

2333703

100

3

100

100

3%3

×=×=×=×=

===→×==

hkW

hkW

JJ

U ⋅=×

×= 713,2

.106,3

10787,9

6

6

•

• •

GRANDEZAS VETORIAIS

Posição de um corpo Utiliza-se uma seta orientada para fornecer a informação sobre a localização de qualquer corpo material de massa M no espaço da vizinhança de outro corpo material, o chamado corpo material de referência ou simplesmente de referencial. Desenha-se a seta a partir de um ponto qualquer sobre o corpo material de referência. Refere-se a esse ponto como origem do referencial. Partindo-se da origem, pode-se indicar a distância, a direção e o sentido da localização do corpo material de massa M. O comprimento da seta carrega a informação da distância da origem até o ponto de localização do corpo material de massa M. Vê-se, portanto, que a localização de pontos no espaço das vizinhanças do corpo material de referência requer a utilização de setas (elementos geométricos) para fornecer a direção e o sentido de localização do ponto e números para fornecer a distância, ou seja, requer o uso dos chamados vetores. A localização do corpo material de massa M no espaço da vizinhança do corpo material de referência é fornecida de maneira diferente, dependendo da origem escolhida sobre o corpo material de referência. É o que se vê na figura

abaixo, onde o vetor →PO1 é diferente de

→PO2 em direção (os vetores estão ao

longo de retas diferentes) e em módulos (comprimentos diferentes).

Figura 3 − Diferentes origens sobre o corpo material de referência fornecem diferentes vetores posição para a localização do corpo material no ponto P do espaço.

Em notação vetorial, os vetores →PO1 e

→PO2 são representados pelo

módulo (comprimento), multiplicados por um vetor de módulo unitário na direção dos vetores:

→PO1 = O1P 1a ;

→PO2 = O2P 2a .

A soma de vetores (ou a subtração) é definida por uma construção

geométrica, a regra do paralelogramo, que é mostrada abaixo. Na Fig. 4 vê-se

01 ri

02

P

01P

0102

O2 • •

•

• •

•

como se pode obter o vetor →PO1 em termos do vetor

→PO2 e do vetor

→

21OO , que

fornece a localização da origem 2Or

a partir de 1Or

.

→PO1 =

→

21OO + →PO2

→PO2 =

→PO1 –

→

21OO

Figura 4 − Construção geométrica para somar vetores.

Observe também na Fig. 4 que o vetor →PO2 é a diferença entre os

vetores →PO1 e

→

21OO . Por outro lado, podemos imaginar →PO2 como a soma

entre →PO1 e o negativo de

→

21OO . Assim, geometricamente, o vetor - →

21OO é representado como mostrado na Fig. 5, de onde concluímos que multiplicar um vetor por (-1) inverte apenas o seu sentido.

→

PO 2

- →

21OO Figura 5 − Construção geométrica para subtrair

vetores. Existe uma forma conveniente de representar, analiticamente, um vetor em termos de projeções (componentes). Isto se faz ao longo de retas perpendiculares entre si, nos chamados sistemas de coordenadas. As componentes de um vetor, para um dado sistema de coordenadas, são obtidas utilizando a geometria, e são representações particulares dos vetores. O sistema de coordenadas cartesianas é definido por três eixos x, y e z, perpendiculares entre si, cuja origem é um ponto escolhido sobre o corpo material de referência, como se mostra na Fig. 6.

02P

02

0

01

O1

r r

θ

θ •

x

y

y

x

• P

P

z

Figura 6 − Eixos cartesianos x, y e z com origem sobre um ponto do corpo material de referência.

Vê-se na Fig. 6 que dois dos eixos cartesianos podem ser escolhidos livremente, mas o terceiro é obtido pela regra do parafuso. Assim, o eixo para a direita pode ser x como em (a) ou y como em (c). Suponha um vetor r

r no plano. Nesse caso, não é necessário o eixo dos

z para indicar profundidade ou altura e pode-se escolher as direções x e y de diversas maneiras, de modo que as componentes de r

r irão refletir a particular

escolha dos eixos. Veja a Fig. 7 abaixo. x = r cosθ y = r senθ r = distância até o ponto P

Figura 7 − Diferentes eixos cartesianos para representar um vetor no espaço da vizinhança de um corpo material de referência.

Em geral, a notação em termos de componentes é feita expressando a soma vetorial das componentes nas direções x, y e z. Definindo-se os vetores

unitários ( )0,0,1ˆ =i para a direção x, ( )0,1,0ˆ =j para a direção y e ( )1,0,0ˆ =k para direção z , pode-se representar qualquer vetor analiticamente.

z x

(c) (a)

y z

x

x z

y

(b)

y

k

x i

x = r cosθ y = r senθ

j

z

y

Figura 8 − Mostra-se na figura os vetores unitários nas direções perpendiculares dos eixos cartesianos. A representação analítica de vetores faz uso desses vetores unitários.

Na notação vetorial, o vetor posição r

r do ponto P da Fig 7 é escrito

como segue abaixo: jyixr ˆˆ +=r.

Utilizando o teorema de Pitágoras para a construção geométrica da Fig. 7, deduz-se a distância d origem até o ponto P. Em termos das componentes, escreve-se a distância r como:

r = (x2 + y2)1/2. Vê-se, portanto, que qualquer ponto no espaço da vizinhança de um corpo material de referência pode ser expresso em componentes de coordenadas cartesianas fornecendo as distâncias x, y e z ao longo dos eixos perpendiculares (x, y, z). Em notação vetorial escreve-se qualquer vetor posição r

r como segue abaixo.

P

r

y x

z

x Figura 9 − Vetor posição de um ponto no espaço da vizinhança de um corpo material de referência. O corpo material de referência não é mostrado na figura por simplicidade.

Velocidade e aceleração de um corpo A velocidade de um corpo é uma grandeza física que informa sobre a mudança de direção e sentido no deslocamento do corpo e a que taxa temporal (m/s) ocorre a variação de posição, ou seja, é um vetor que chamaremos de vetor velocidade v

r. Geometricamente, o vetor velocidade é definido de acordo

com a Fig. 10, quando os pontos P1 e P2 estão muito próximos.

r = (x2+y2+z2) 1/2

•

•

y

z

x

Figura 10 − Representação geométrica para obtenção do vetor velocidade v

r de um corpo material de massa M

quando ele se desloca do ponto P1 para o ponto P2 no espaço da vizinhança de um corpo material de referência.

De acordo com os eixos indicados na Fig. 10, podes escrever o vetor diferença r

r∆ , em notação vetorial, como segue abaixo:

Pode-se obter o vetor velocidade v

r supondo que a mudança de posição

do corpo material de massa M, do ponto P1 para o ponto P2, ocorreu em um tempo ∆t. A razão entre r

r∆ e t∆ fornece o vetor velocidade como segue: As velocidades vx, vy e vz são as componentes do vetor velocidade v

r ao

longo dos eixos x, y e z. Elas informam as taxas temporais das variações de posições nas direções x, y e z. Por exemplo, pode-se saber, conhecendo vx, vy

e vz, em qual das direções o corpo material de massa M se deslocou mais rapidamente. Muitas vezes, o corpo ao se deslocar do ponto P2 para um outro ponto P3, o faz de maneira mais rápida ou mais lenta, em comparação com o deslocamento de P1 para P2, ou mesmo muda de direção ao fazê-lo. Então, é importante definirmos uma grandeza física que nos informe a esse respeito. Esta grandeza é chamada de vetor aceleração a

r. Veja na Fig. 11 como pode-

se obter geometricamente o vetor aceleração.

P1

P2

kzjyixr

kzjyixr

ˆˆˆ

ˆˆˆ

1111

2222

++=

++=r

r

kzjyixr

kzzjyyixxrrr

ˆˆˆ

ˆ)(ˆ)(ˆ)( 12121212

∆+∆+∆=∆

−+−+−=−=∆r

rrr

2

1222 )(:

ˆˆˆ

ˆˆˆ

zy

zy

vvvvvdemódulo

kvjvivv

kt

zj

t

yi

t

x

t

rv

++=

++=∆∆+

∆∆+

∆∆=

∆∆=

×

×

r

r

rr

y

z

x

P3

P1

P2

y

z

x

P1 P3

Figura 11 − Pode-se obter por geometria a aceleração ar

de um corpo material de massa M. Faz-se isto medindo os vetores velocidades 1v

r e 2v

r associados com as

variações de posições de três pontos no espaço da vizinhança do corpo material de referência (não mostrado na figura). Vê-se isto em (a) e (b).

Em notação vetorial, as componentes das velocidades são vx, vy e vz, de maneira que as componentes de a

r são obtidas das taxas de variação das

componentes de vr

:

Módulo de ar

: a = (ax2 + ay

2 + az2) 1/2

As velocidades e acelerações obtidas acima são conhecidas como velocidades e acelerações médias, no intervalo de tempo ∆t. Se os pontos P1, P2 e P3 estão suficientemente próximos, e o intervalo de tempo ∆t é pequeno, pode-se obter as velocidades e acelerações instantâneas. Matematicamente, v

r e a

r instantâneos são dados pelas derivadas

abaixo:

b) a)

vr∆

kdt

dvj

dt

dvi

dt

dv

dt

vda

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rdv

zyx ˆˆˆ

ˆˆˆ

++==

++==r

r

rr

t

va

t

va

t

va

kajaiaa

kt

vj

t

vi

t

v

t

va

kvvjvvivvv

kvjvivv

kvjvivv

zz

yy

xx

zyx

zyx

zzyyxx

zyx

zyx

∆∆

=∆

∆=

∆∆

=

++=

∆∆+

∆∆

+∆

∆=

∆∆=

−+−+−=∆

++=

++=

;;

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

ˆˆˆ

ˆˆˆ

121212

1111

2222

r

rr

r

r

r

2rr∆1r

r∆

Vo

OS REFERENCIAIS

É conveniente introduzir agora o conceito de sistema de referência, ou

simplesmente, referencial. Um referencial é constituído de um ponto (ou conjunto de pontos) sobre o corpo material de referência1 , escolhido(s) por um observador, que de posse de um relógio e de um sistema apropriado de coordenadas, faz as suas observações sobre a dinâmica de um corpo material de massa M, a partir do referencial. Os sistemas de referências associados a diferentes corpos materiais de referências, como, por exemplo, a Terra e um carro em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, terão os seus eixos de coordenadas relacionadas quando se observa um fenômeno físico a partir deles. A Fig. 12 mostra dois referenciais em movimento relativo, com velocidade constante. Neste caso são chamados de referenciais inerciais. Os referenciais inerciais são importantes para a Mecânica porque as Leis de Newton são absolutas nesses referenciais, ou seja, têm a mesma forma para os diferentes observadores. y y’

R x R’ x’ 0 0’

z z’

Figura 12 − O referencial R do observador O está sobre um corpo material de referência de massa M1 em repouso relativo ao referencial R’ do observador O’ que está sobre um corpo material de referência de massa M2 que tem movimento relativo com velocidade constante V.

OS DIFERENTES TIPOS DE FORÇAS Para a maioria dos problemas abordados em disciplinas sobre Mecânica, algumas forças estão sempre presentes. A força gravitacional é uma delas. Essa força é uma das forças fundamentais da natureza. Outras como as forças de cordas, as forças de contato, as forças de referenciais, as forças elásticas e as forças de arraste, estão presentes em algumas situações, em outras não. Saber as forças que estão atuando sobre um corpo material de massa M ou um sistema de corpos materiais é o passo inicial para resolver um problema mecânico, utilizando as leis de Newton. Uma vez identificadas quais são as forças que atuam sobre o corpo material de massa M, pode-se proceder

1 A Terra é o corpo material de referência que é sempre utilizado no estudo da dinâmica de outros corpos materiais de massa M.

R=Relógio do observador 0

R=Relógio do observador 0´

M

à soma das mesmas para encontrar a força resultante RFr

que aparece na 2a a Lei de Newton. Para a sua representação matemática, as forças, assim como a velocidade e a aceleração, necessita-se de setas para direciona-las (elementos geométricos) e de números para o módulo ou intensidade. São, portanto, vetores e para somar forças utiliza-se a geometria euclidiana, por meio da regra do paralelogramo, ou um sistema de coordenadas, o sistema de coordenadas cartesianas, por exemplo, para descrever cada vetor força em termos de suas componentes e através da soma das componentes obter a força resultante. Por exemplo, observe a Fig. 13 onde se tem as forças 1F

r

e 2Fr

atuando sobre um corpo material de massa M. 2F

r RF

r

M 1Fr

Figura 13 − O método geométrico é utilizado para encontrar a força resultante RF

r sobre o corpo material de

massa M.

A força resultante sobre o corpo material de massa M, na Fig. 13, é encontrada pela regra do paralelogramo. Entretanto, quando se tem corpos materiais que estão sob a ação de muitas forças, encontrar a força resultante

RFr

pelo método do paralelogramo é muito complicado e a representação das forças em notação vetorial, em termos de componentes, facilita os cálculos. Observe que para calcular as componentes das forças deve-se definir o sistema de coordenadas para o qual calcularemos estas componentes. Veja a Fig. 14 abaixo. a) 2F

r

1F

r

xF2

yF2

x

y

y

yF2

1FxF2

θθ

sen

cos

22

22

FF

FF

Y

x

==

x

b) θ 1F

r

Figura 14 − Cálculo da força resultante RF

r utilizando a

soma de componentes ao longo dos eixos cartesianos perpendiculares. No caso mostrado na figura tomou-se o próprio corpo material de massa M como o corpo material de referência. O sistema de eixos cartesianos tem a origem em um ponto sobre o corpo material de massa M.

Uma vez definido o sistema de coordenadas, como em (b), pode-se

encontrar o ângulo θ que a direção da força 2Fr

faz com o eixo dos x e calcular

as componentes. Então, pode-se escrever o vetor 2Fr

em notação vetorial. É importante estar atento para o sentido da componente sobre o eixo coordenado no momento de escrever a força em notação vetorial. Se a componente aponta no sentido positivo do eixo, será positiva. Caso contrário, multiplica-se a componente por –1. Observe na Fig. 15 uma situação semelhante àquela da Fig. 14, mas com a força 2F

r em outra direção.

Figura 15 − Forças atuando sobre o corpo material de massa M com uma delas, a força 2F

r, em outra direção.

Observação importante: As unidades de força no sistema SI são dadas em newtons (N).

2Fr

( ) jFiFFF

jFiFF

jiFF

yxR

yxrrr

rrr

rrr

221

222

11 0

++=

+=

+=F2x=F2 cosθ F2y=F2 senθ

( ) jFiFFF

jFiFF

jiFF

yxR

yx

221

222

11 0

+−=

+−=+=

θ

r2M

1M

2

212112 r

MMGFF ==

Força da gravitação A Lei da Gravitação Universal, deduzida por Isaac Newton, estabelece que a força GF

r de atração entre dois corpos materiais de dimensões muito

pequenas (massas puntiformes) que têm massas M1 e M2, tem a direção ao longo da reta que une as duas massas puntiformes e cuja intensidade (módulo)

é dada por2

21

r

MGMFG = , onde G é uma constante universal que tem valor G =

6,67 x 10-11 N . M2 / Kg2, medida pela primeira vez por Cavendish. A Fig. 16 mostra a direção e o sentido da força de gravitação entre as duas massas puntiformes M1 e M2.

Figura 16 − Dois corpos materiais de dimensões muito pequenas que têm massas M1 e M2 se atraem mutuamente com a força GF

r. Mostra-se na Fig. 16 a

direção, o sentido e a intensidade dessa força.

Para encontrar a força da gravitação entre a Terra e um corpo material de massa M, que está numa altura h acima da superfície da Terra, pode-se supor que a Terra é uma massa puntiforme de valor TM . Considerando-se a Terra como sendo uma esfera perfeita, pode-se utilizar a Lei de Gauss para provar a afirmação anterior. Portanto, para efeito de cálculo, considera-se a distancia hRr T += entre a terra e o corpo material de massa M. Mostra-se essa situação na Fig. 17.

21 F

12 F

Mh

Terra

da

Superfície

TM

TR

Figura 17 − A força da gravitação entre a Terra e um corpo material de massa M que está a uma altura h acima da superfície da Terra pode ser encontrada considerando a massa da Terra concentrada no seu centro geométrico.

Pode-se obter a força da gravitação entre a Terra e o corpo material de massa M como segue:

( )22 hR

MMG

r

MMGF

T

TTG +

== ;

22

1

+

=

T

T

TG

R

h

M

R

GMF .

Considere as situações físicas abordadas neste curso, para as quais h <

< RT. Uma vez que RT = 6370 km e tomando-se, por exemplo, h = 9 km , a altura aproximada do Monte Everest, calcula-se para a razão h/RT o valor 0,0014, que é pequeno frente ao valor 1 no denominador da expressão anterior. Portanto, para alturas não muito grandes, pode-se escrever a força da gravitação entre a Terra e um corpo material de massa M de uma forma simplificada, o chamado de peso do corpo material de massa M: A grandeza g

r, cujo módulo é dado na expressão acima e cuja direção é

a mesma da força gravitacional sobre uma massa puntiforme de teste M, é conhecida como campo gravitacional da Terra. A grandeza física campo é necessária para descrever como é possível a massa M1 exercer uma força de atração sobre a massa M2 . Se não existir um campo gravitacional criado no espaço da sua vizinhança, como poderia M1 atuar sobre M2? É por meio do campo gravitacional que M1 atrai M2. Assim, em geral, o campo gravitacional da Terra, considerando a Terra como uma esfera perfeita com distribuição de massa uniforme, é dado por:

.

;.

2T

T

G

R

GMgg

gMMgFP

≅=

===r

rrrr

2

Na maioria das vezes a grandeza campo gravitacional g

r será chamada

de aceleração da gravidade, em virtude da aplicação da 2ª Lei de Newton no estudo do movimento dos corpos materiais em queda livre próximos da superfície da Terra. Utiliza-se para calcular a força peso de todos os corpos materiais próximos da superfície da Terra o campo gravitacional g

r uniforme,

perpendicular à superfície da Terra, no sentido de cima para baixo, cujo módulo constante é dado por:

g = 9,81 m/s2.

Forças transmitidas por cordas Imagine que você é um caçador e resolve capturar um búfalo. Existem duas maneiras de você fazer isso. A primeira é tentar imobilizar o animal com suas próprias mãos. Você deve reconhecer que esse é um modo perigoso, já que o animal irá reagir e poderá feri-lo. Uma segunda maneira, é utilizar cordas para prender o animal. É o que fazem os vaqueiros na sua lida diária com os bois. Nossos ancestrais descobriram que poderiam transferir o ponto de aplicação de forças utilizando cordas e que, em muitas situações, isso era extremamente vantajoso. Se as cordas são inextensíveis e de massa desprezível (cordas ideais), pode-se mostrar, utilizando as leis de Newton, que a força aplicada F

r em uma

das ponta da corda é igual à força Tr

que a outra ponta aplica sobre um corpo material de massa M. Veja na Fig. 18 abaixo como isso é possível. a)

MF

r

GMrg GT ==

2)(

M

= Força aplicada

b)

Figura 18 − Mostra-se na figura a força Tr

aplicada ao corpo material de massa M pela corda e a força de reação

'Tr

aplicada sobre a corda pelo corpo material de massa M. Pode-se ver que sobre a corda atuam duas forças: F

r

e 'Tr

. Em (a) aparece a força F

r aplicada na ponta da corda e em (b) mostra-

se a força Tr

que a corda exerce sobre o corpo de massa M. A força 'Tr

é a força que o corpo material de massa M exerce sobre a corda. A força resultante sobre a corda é dada pela soma abaixo:

'TFFR

rrr−=

Se a massa da corda é desprezível (M = 0), utiliza-se a 2ª Lei de Newton para mostrar que 0' =− TF

rr, ou seja, 'TF

rr= . Finalmente, de acordo com a 3ª

Lei de Newton, FTTrrr

== ' . Se a massa da corda não for desprezível, 0' >− TF

rr e a força T

r é menor que a força aplicada F

r. Se a corda apresentar

elasticidade, ou seja, não for inextensível, o que na prática ocorre em maior ou menor grau, deve-se considerar a força elástica da corda Fig. 18. Forças de contato Quando dois corpos sólidos interagem por contato, sobre as suas superfícies sólidas aparecem duas forças: uma, perpendicular ao plano de contato (ou à reta tangente ao ponto de contato), que é chamada de força normal N

r. Ela existe devido à ação de um corpo sobre o outro. A outra,

tangencial ao plano de contato (ou paralela à reta tangente, no ponto de contato), depende do movimento relativo das superfícies e sua existência está relacionada com as rugosidades presentes nas superfícies em contato. É a chamada força de atrito aF

r

. Observe essas duas forças na Fig. 20, quando os corpos materiais de massas M1 e M2 estão em contato e existe tendência de movimento relativo entre ambos.

aF

r

M1

M2

a)

M

y

x

Figuras 20 − Mostram-se as forças devido ao contato sólido/sólido quando: (a) o corpo material de massa M1 tende a se deslocar para a direita na figura. A força de atrito sobre M1 é aF

r e força de atrito sobre M2 é '

aFr

. (b) As mesmas forças são mostradas quando o corpo material de massa M1 tende a se deslocar para a esquerda na figura.

Na ausência de rugosidades nas superfícies de contato, só existem as forças N

r e 'N

r que aparecem na Fig. 20. Se existe a rugosidade, e será

considerado que ela não é provocada pelas forças Nr

e 'Nr

, a força aFr

sobre

M1 para as situações (a) e (b) (e, conseqüentemente, 'aF sobre M2) depende da

velocidade relativa das superfícies de contato entre os corpos materiais de massas M1 e M2. Se as superfícies estão em repouso, mas sobre o corpo material de massa M1 atua uma força externa eF

r para a direita, então a força

aFr

tem o sentido indicado em (a), ou seja, oposta à tendência do corpo de massa M1 de se deslocar para a direita, como seria se não houvesse atrito. Se

eFr

é aplicada para a esquerda sobre o corpo de massa M1, então a força aFr

tem o sentido indicado em (b), oposto à tendência do corpo de massa M1 de se deslocar para a esquerda, como seria se não houvesse atrito. Para essas situações, a força de atrito é conhecida como força de atrito estático. Pode-se determinar o módulo da força de atrito estático por um experimento simples. Aplique uma força externa eF

r ao corpo material de

massa M1, como mostrado na Fig. 21. N

r

'

aFr

Figura 21 − Uma força externa eFr

é aplicada ao corpo

material de massa M1. Mede-se a intensidade eF da força aplicada quando é iminente o deslocamento do corpo material de massa M1.

M2

M1 b)

Se o corpo de massa M1 permanecer em repouso, então ae FFrr

= .

Variando-se a intensidade eF anota-se os valores aF até ser iminente o

deslocamento do corpo material de massa M1. Anota-se também o valor da força normal N

r. Repetindo-se o procedimento para vários valores de N

r pode-

se obter o gráfico mostrado na Fig. 22.

Figura 22 − Relação entre a força de atrito aF

r e a força eF

r

aplicada ao corpo material de massa M1.

Na Fig. 22, N1, N2 e N3, são os pontos para os diferentes valores de Nr

, quando a força aplicada eF

r é de tal magnitude que o corpo de massa M1 está

na iminência de se deslocar. Fazendo-se um gráfico dos módulos de aFr

em

função dos módulos de Nr

, quando o corpo de massa M1 está na iminência de se deslocar, o gráfico obtido deverá ser uma reta, cuja inclinação depende das rugosidades das superfícies em contato. A inclinação deste gráfico é o chamado coeficiente de atrito estático, µe , e seu valor está na faixa 0 < µe < 1. Mostra-se na Fig. 23 o gráfico desse procedimento.

Figura 23 − O gráfico de máxaF x N é linear sendo a sua

inclinação o coeficiente de atrito estático entre as superfícies dos corpos materiais de massas M1 e M2.

Se o módulo da força aplicada

eFr

excede o valor de Fa max. = µe N, então

o corpo material de massa M1 se deslocará sobre o corpo de massa M2 e a

x

x

x N1

N2

N3

Fe (N)

Fa (N)

N(N)

Famáx = µeN

eµ

força de atrito tem um súbito decréscimo. Os experimentos mostram que a força de atrito cinético entre as superfícies em movimento relativo tem módulo Fc = µc N, onde µc é chamado de coeficiente cinético de atrito, sendo seu valor menor que o coeficiente estático de atrito: µc < µe.

Forças de referenciais Na secção a respeito de velocidade e aceleração mencionou-se que referenciais inerciais são referenciais sobre corpos materiais de referência que possuem movimento relativo, com velocidade V

rconstante. Como será visto na

Unidade II sobre as leis de Newton, os referenciais inerciais são importantes uma vez que essas leis da Mecânica, na forma enunciada, somente são absolutas para os ditos referenciais. Suponha o observador O, de posse de um relógio R, que elege como origem de um sistema de eixos cartesianos um ponto sobre o corpo material de referência M1 para as suas observações dos fenômenos mecânicos. Os seus eixos perpendiculares são as direções x, y e z. Um outro observador, O’, de posse de um relógio R’, elege como origem do seu sistema de eixos cartesianos um ponto sobre um corpo material de referência M2 para fazer as suas observações dos fenômenos mecânicos. O corpo material de referência M2 se desloca com velocidade v

r constante, estando os eixos perpendiculares

x’, y’ e z’ do observador O’ paralelos aos eixos x, y e z do observador O. A velocidade do corpo material de referência M2 é iVv ˆ=r , ou seja, existe movimento relativo entre os dois observadores apenas para o eixo x. Deduz-se, então, que as relações entre as coordenadas de um ponto P1 do espaço da vizinhança dos dois corpos materiais de referência M1 e M2 para os observadores O e O’ são as mostradas na Fig. 24. x’ = x – V.t y’ = y z’ = z t’ = t

Figura 24 − Relações entre as coordenadas de dois observadores O e O’ que estão sobre dois corpos materiais de referência M1 e M2.

As relações entre as coordenadas na Fig. 24, conhecidas como transformações de Galileu, considera que os relógios R e R’ marcam o mesmo tempo, ou seja, a grandeza tempo é uma grandeza absoluta e o movimento relativo não interfere na sua medida. A teoria da relatividade restrita de Einstein mostra que nem sempre isso é verdadeiro.

Z Z'

R X

Vt

x

Y Y'

x P1

R’

x’

X’

Agora, se um corpo material de massa M localizado em P1 se desloca para um ponto P2, ele o faz de acordo com o observador O com um vetor velocidade u

r e de acordo com O’ com um vetor velocidade 'u

r. Pode-se

encontrar como se relacionam os vetores velocidades ur

e 'ur

, utilizando-se as relações entre as coordenadas mostradas na Fig. 24. Derivando-se as ditas relações, pode-se obter:

ux' = ux – V ; uy

’ = uy ; uz’ = uz.

Portanto o observador O’ no corpo material de referência da massa M2

irá medir a componente da velocidade para o corpo material de massa M na direção x’, ux

’, que é a diferença entre a componente ux da velocidade medida por O no corpo material de referência de massa M1 e a velocidade relativa V entre os corpos materiais de referência. Como não existe movimento relativo para as outras direções, como mostrado na Fig. 24, os observadores O e O’ medem as mesmas velocidades para as componentes nas direções y e z. Esse resultado mostra que a velocidade de um corpo de massa M é uma grandeza relativa, ou seja, depende do movimento relativo do observador. Para se obter as acelerações a

r e 'a

r, se elas existirem, para o corpo

material de massa M quando ele passa do ponto P2 para um ponto qualquer P3, deriva-se em relação ao tempo as relações anteriores para as componentes dos vetores velocidades u

r e 'u

r. Fazendo-se isso, pode-se obter as

componentes dos vetores ar

e 'ar

:

ax’ = ax

ay’ = ay

az’ = az

Vê-se, portanto, dos resultados acima, que o vetor aceleração a

r não é

uma grandeza relativa, uma vez que os observadores O e O’ sobre os corpos materiais de referência de massas M1 e M2, em movimento relativo, medirão a mesma aceleração para o corpo material de massa M.

A aceleração ar

de um corpo é uma grandeza absoluta apenas para observadores em referenciais inerciais. Se o observador O’ estiver sobre um corpo material de referência que está se deslocando em movimento acelerado na direção x, com aceleração constante, então as relações entre as coordenadas de O e O’ são dadas por:

x’ = x – (½)at2

y’ = y z’ = z t’ = t.

A quantidade s = (1/2)at2, é a distância percorrida por O’, supondo que o corpo material de referência de massa M2 estava inicialmente nas proximidades do corpo material de referência de massa M1 de modo que o ponto sobre M2 , que foi tomado como origem do sistema de eixos (x’, y’, z’), está paralelo ao ponto sobre M1 tomado como origem por O e que M2 principiasse seu movimento a partir do repouso. Derivando-se essas

expressões pode-se obter as relações entre as velocidades medidas por O e O’. Uma segunda derivação fornece as relações entre as acelerações medidas pelos dois observadores:

ax’ = ax – a ay

’ = ay az

’ = az. Então, se o corpo material de referência de massa M2 do observador O’

estiver acelerando na direção x, com módulo a, o observador O' medirá uma aceleração diferente para o deslocamento do corpo material de massa M, uma vez que a aceleração ax

’, a componente da aceleração medida por ele na direção para a qual existe o movimento relativo entre os observadores, é diferente da aceleração ax. Como veremos na Unidade II sobre leis de Newton, o fato de o observador O’ no corpo material de massa M2 acelerado não medir a mesma aceleração, para o corpo material de massa M, do observador O no corpo material de massa M1, em repouso, tem duas conseqüências práticas. A primeira delas é mostrar que as leis de Newton, como são enunciadas, só são absolutas, ou seja, têm a mesma forma para diferentes observadores em diferentes corpos materiais de referência, se estão em corpos materiais de referência que posam ser considerados como referenciais inerciais. A segunda é mostrar como se fazem as correções. Para se corrigir a 2a lei de Newton, por exemplo, o observador O’, além das forças que atuam sobre o corpo material de massa M no ponto P1 na Fig. 24, teria de acrescentar uma força rF

r atuando

sobre o corpo material de massa M. Essa força tem direção que é a mesma do movimento do corpo material de massa M2, porém o sentido da força é oposto ao sentido do movimento do corpo material de referência de massa M2, e o módulo é dado por 2MaFr = , onde M é a massa do corpo material e 2a é a aceleração do corpo material de referencia de massa M2, ou seja, do observador O’. A força rF

r é chamada de força de referencial, ou fictícia. Entretanto,

apesar do nome, ela é muito real quando você, por exemplo, brinca em um parque de diversão, ou quando o automóvel em que você viaja acelera ou desacelera bruscamente. Forças elásticas

Suponha que se aplique uma força F

r a um corpo material de massa M.

A força aplicada pode resultar numa variação dos vetores rr

e vr

do corpo material de massa M. Se essas grandezas não variarem com a aplicação de F

r

, existem outras grandezas físicas que podem variar sob a aplicação de Fr

? A resposta é: depende. Se você imaginar o corpo material de massa M como uma partícula material, ou seja, um corpo material de dimensões desprezíveis comparadas às do corpo material de referência, resta a você explicar o porquê de não haver mudanças em r

r e v

r. Ao aplicar o conceito de partícula material a

um corpo, estamos descartando efeitos importantes como a rotação e/ou a deformação do corpo material de massa M, devido a aplicação de F

r. Se esses

efeitos são verificados, então o estudo da dinâmica do corpo de massa M é um pouco mais complexo.

Se o corpo material de massa M não girar, mas a deformação do corpo tiver de ser considerada, então se deve encarar o fenômeno da elasticidade dos corpos sólidos. A deformação é uma mudança nas dimensões do corpo material provocadas por forças externas aplicadas a ele. Todos os corpos materiais sólidos são, em maior ou menor grau, deformáveis sob a ação de forças externas. A grandeza da deformação de um sólido depende da intensidade das forças elétricas de coesão entre seus átomos ou moléculas. A ligação metálica,por exemplo, é uma ligação forte eletricamente e os metais, como o aço e o cobre, por exemplo, são pouco deformáveis. Por outro lado, a borracha comum, que tem ligações moleculares fracas, é muito deformável.

Quando se deforma um corpo por tração (ou compressão), a curva obtida em um gráfico da força de tração (ou compressão) em função da deformação apresenta uma região linear inicial, na qual a deformação x é proporcional à força de deformação, seguida de uma região não-linear onde a proporcionalidade não é mais verificada e constituem a chamada região elástica. Se a força aplicada continuar aumentando, ocorre a ruptura do material. A curva obtida para o ensaio típico de um material sob tração é mostrada na Fig. 25 para FT versus x.

x

FT1 = Força no limite da proporcionalidade FT2 = Força no limite do regime elástico

Figura 25 − Em um ensaio sobre a elasticidade de um corpo material de massa M, a deformação da dimensão x do corpo material é linear com a força aplicada até o valor de força FT1. Quando se aplicam forças ao corpo material que são maiores que o valor FT1, verifica-se uma região não linear até o valor de força FT2.

No regime elástico, dentro da região linear inicial, forças restauradoras

devolvem o corpo às suas dimensões normais quando a força de tração (ou

)(NFT

1TF

2TF

compressão) é retirada. Neste caso, a força elástica para a direção x é dada por:

Fe = - Kx onde K é a chamada constante elástica. O sinal negativo indica que a força elástica Fe tem sentido oposto ao do aumento (x > 0) ou decréscimo (x < 0) das dimensões do corpo na direção x.

Um dispositivo muito usado quando se deseja aplicar a um corpo material de massa M uma força elástica é a mola. É também muito útil para modelar a elasticidade dos materiais, a oscilação dos átomos em torno de suas posições de equilíbrio nos materiais sólidos, devido à agitação térmica, os campos elétricos e magnéticos, etc. Uma mola ideal possui massa desprezível e constante elástica K. Quando um corpo de massa M é ligado a ela, uma força Fe = - Kx é exercida por ela sobre o corpo. Mostra-se essa situação na Fig. 26 abaixo.

x = deformação da mola

Figura 26 − Um corpo material de massa M quando ligado a uma mola de constante elástica K fica sob a ação de uma força elástica Fe = - Kx.

Forças de arraste

Na maioria dos problemas abordados neste curso, considera-se que o

corpo material de massa M que se desloca sobre a Terra, ou nas proximidades dela, não sofre a ação da atmosfera da terra, ou seja, que a massa de gás (ar), através da qual ele se desloca, não exerce uma força sobre ele. Isso é verdadeiro apenas para velocidades muito baixas dos corpos materiais de massa M. Como se sabe, de nossa experiência cotidiana, o ar exerce uma força significativa sobre nós quando corremos, sobre nossos carros ou mesmo quando estamos parados e a velocidade do vento é alta. Qualquer fluido, como por exemplo o ar (gases) ou a água (líquido), exerce uma força sobre os corpos

M

Fe = -Kx

x

K

imersos nele quando a velocidade relativa entre o fluido e o corpo é diferente de zero. Esta força é a chamada força de arraste.

A força de arraste sobre um corpo material de massa M, que se desloca no ar com vetor velocidade v

r, que tem módulo v em relação à Terra, é

proporcional à velocidade do corpo em velocidades baixas e aumenta quando a velocidade do corpo aumenta. Escreve-se a expressão para o módulo da força de arraste como:

Far = - bvn

O expoente n é igual a 1 para velocidades baixas e para velocidades altas n = 2. A constante b, que aparece na expressão acima, é determinada no estudo de dinâmica dos fluidos. Pode-se verificar que b depende não somente da geometria do corpo material, mas inclusive das propriedades do próprio fluido. O sinal negativo na expressão acima indica o sentido da força de arraste, que é oposto ao do vetor velocidade v

r do corpo material de massa M.

A importância da força de arraste sobre a performance na dinâmica de nossos carros, aviões, navios, foguetes, etc. deu origem a duas áreas importantes dentro da dinâmica dos fluidos: a aerodinâmica e a hidrodinâmica. Existem muitas situações nas quais a aplicação de uma força de arraste a um corpo material de massa M em movimento, feita de maneira controlada, é importante. Para tais situações, inventou-se um dispositivo chamado de amortecedor, que exerce uma força Far = - bv sobre o corpo material de massa M ao qual ele está ligado. O amortecedor é mostrado na Fig. 27.

Figura 27 − O dispositivo conhecido como amortecedor aplica uma força de arraste ao corpo material de massa M ao qual ele está ligado que é proporcional à velocidade do corpo material.

PROBLEMAS RESOLVIDOS

1. Um corpo material de massa M está, inicialmente, num ponto do espaço da vizinhança de um corpo material de referência cujas coordenadas

M v

bvFar −=

Amortecedor

são P1 = (2,2,1). O corpo material é, então, transferido para um outro ponto P2 = (- 1,2,2). Se a transferência for feita em linha reta, encontre distância percorrida pelo corpo material de massa M.

Solução: As coordenadas de um vetor são suas componentes ao longo dos eixos coordenados, neste caso, cartesianos. Assim, pode-se escrever:

kjir ˆˆ2ˆ21 ++=rm;

kjir ˆ2ˆ2ˆ12 ++−=rm.

O vetor diferença é dado por: 12 rrRrrr

−= .

( ) ( )kjikjiR ˆ2ˆ2ˆ1ˆˆ2ˆ2 ++−−++=r

;

kiR ˆ1ˆ3 −=r

. Uma vez que o corpo material de massa M se deslocou em linha reta, a distância percorrida por ele é o módulo de R

r:

( ) 16,31013 22 ==−+== RRr

m.

2. Pode-se especificar, como já foi visto anteriormente, o vetor posição de

qualquer corpo material de massa M no espaço da vizinhança de um corpo material de referência utilizando-se um sistema de eixos cartesianos. Faz-se isso por meio de suas componentes (projeções) ao longo dos eixos coordenados. No sistema de coordenadas cartesianas, com origem em um ponto sobre o corpo material de referência, os eixos são chamados de x, y e z. Achar a distância, em linha reta, entre dois pontos quaisquer do espaço da vizinhança do corpo material de referência. A Terra é freqüentemente escolhida como corpo material de referência

Solução: Considerando-se que os pontos ocupados pelo corpo material de massa M são dados por P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2), pode-se escrever para os vetores posição 1r

r e 2r

r as seguintes expressões:

kzjyixr ˆˆˆ1111 ++=r

;

kzjyixr ˆˆˆ2222 ++=r

.

O vetor diferença é dado por: 12 rrRrrr

−= .

( ) ( )kzjyixkzjyixR ˆˆˆˆˆˆ111222 ++−++=

r.

A distância, quando o corpo material de massa M se desloca em linha reta, é o módulo de R

r:

( ) ( ) ( )212

212

212 zzyyxxRR −+−+−==

r.

3. Se um corpo material de massa M se desloca ao longo de uma única

reta, não há mudança de direção (reta) no seu deslocamento e pode-se escolher um dos eixos coordenados coincidir com a direção do deslocamento. Obter as equações horárias ( )tr

r, ( )tv

r para um corpo

material de massa M em queda livre perpendicular à superfície da Terra. Solução:

Tomando-se a Terra como corpo material de referência, pode-se localizar a origem de um sistema de eixos cartesianos em qualquer ponto de sua superfície. Se o eixo y é escolhido de modo a ser a direção perpendicular à superfície da Terra , sentido positivo para cima, pode-se escrever para ( )tr

r, o vetor posição do corpo material de massa M, ( )tv

r, o

seu vetor velocidade, e ar

, o seu vetor aceleração, as seguintes expressões:

jyr ˆ=r;

jvv ˆ−=r;

jga ˆ−=r.

Uma vez que a aceleração é constante, escreve-se os vetores rr

e vr

em função de a

r. Por definição, o vetor aceleração a

r é a derivada temporal do

vetor velocidade vr

. Portanto, integrando-se ar

pode-se obter a equação horária do vetor velocidade do corpo material de massa M em queda livre:

vddtadt

vda

rrr

r =→= ;

∫∫∫∫ −=−==tttv

vdtjgdtjgdtavd

o 000

rrrr;

( ) jgtvtvjgtvv ooˆˆ −=→−=− rrrr.

Como o corpo está caindo, jvv ooˆ−=r, que substituída na expressão

anterior fornece a equação horária do corpo material de massa M em queda livre:

( ) ( ) jgtvtv oˆ+−= rr.

Módulo de ( )tvr

: ( ) gtvtv o += .

Com procedimento semelhante, pode-se integrar ( )tvr

para obter ( )trr

:

rddtvdt

rdv

rrr

r =→= ;

( ) ∫∫∫∫ =+−→=r

r

t

o

r

r

t

oo

rddtjgtvrddtvrrrr

00

;

( ) jt

gtvrtrjt

gtvrr ooooˆ)

2(ˆ)

2(

22

+−=→+−=− rrrr.

O deslocamento em queda livre do corpo material de massa M ocorre apenas na direção y. Nesse caso, escreve-se para a posição inicial do corpo material: jyr oo

ˆ=r. Substituindo-se or

r na equação horária deduzida

acima, pode-se obter a equação horária para o deslocamento em queda livre do corpo material de massa M:

( ) jgt

tvjytr ooˆ

2ˆ

2

+−=r

;

( ) jgt

tvytr ooˆ

2

2

+−=r

.

4. Um corpo material de massa M é atirado para cima, na direção vertical, com velocidade inicial de 2 m/s a partir da superfície da Terra. (a) Qual é a altura máxima que ele atinge quando fica momentaneamente em repouso? (b) Se o mesmo corpo material for solto, a partir do repouso, de uma altura de 1m acima da superfície da Terra, quanto tempo ele gasta para atingir o solo?

Solução:

(a) yo = 0; jjvv ooˆ2ˆ ==rm/s; g = 9,81 m/s2.

( ) ( ) jttjgt

tvyjtyr ooˆ905,42ˆ

2ˆ 2

2

−=

−+==r

.

Na altura máxima, 0=v . Portanto, pode-se escrever:

( ) stsm

smt

g

vtjgtv o

o 204,0/81,9

/2ˆ02

=→=→=→−= ;

( ) ( ) 204,0204,0905,4204,02 2 =−=y m.

(b) y = 0 ; yo = 1m ; vo = 0 ; g = 9,81 m/s2

)2

(2t

gvyy oo +−=

2905,410 t−= st 45,0=

5. Uma criança sentada no banco traseiro de um carro que se desloca a 80

km/h, arremessa uma pequena bola pela janela, na direção perpendicular à direção do deslocamento do carro, com velocidade de 2 km/h, em relação à Terra. Qual o vetor velocidade v

r da bola em relação

à Terra, logo após ter sido arremessada pela criança? Observe que a bola é o corpo material de massa M, a Terra é corpo material de referência de massa M1 e o carro é o corpo material de referência de massa M2.

Solução: O carro é o corpo material de referência de massa M2 que se desloca com velocidade V em relação ao corpo material de referência de massa M1, a Terra. Transformando-se as velocidades de km/h para m/s pode-se escrever:

Vcarro = (80/3,6) m/s = 22,22 m/s; uarremesso = (2/3,6) m/s = 0,556 m/s.

Tomando-se um ponto sobre a superfície da Terra como origem dos eixos coordenados x, y e z e considerando o eixo x paralelo à superfície da Terra coincidindo com o deslocamento do carro e o eixo y também paralelo à superfície da Terra, mas na direção perpendicular ao deslocamento do carro, escreve-se para as componentes da velocidade da bola atirada pela criança:

vx = 22,22 m/s. vy = 0,556 m/s.

Vetor velocidade da bola:

jivrrr

556,022,22 += m/s

Módulo de vr

: ( ) ( ) 23,22556,022,22 22 =+== vvr

m/s

A informação sobre a direção de propagação inicial da bola, segundo um observador na Terra, pode ser obtida de v

r por meio do ângulo θ entre vy e vx:

tg θ = vy/vx = 0,556/22,22 = 0,025

θ = 1,43o.

Assim, a reta de propagação inicial da bola, segundo um observador na Terra, faz um ângulo de 1,43o com o eixo dos x (direção de deslocamento do carro).

6. Dois carros trafegam em sentidos opostos por uma estrada, sendo VA = 110 km/h a velocidade do carro A indicada no painel de mesmo. A velocidade indicada no painel é a velocidade do carro em relação à superfície da Terra, o corpo material de referência privilegiado . A velocidade do carro B indicada no seu painel é VB = 90 km/h. Determinar a velocidade do carro B segundo o motorista do carro A.

Solução: Corpo material de referência de massa M1 em repouso: toma-se a superfície da Terra. O observador sobre a superfície da Terra escolhe um ponto para a origem dos eixos coordenados x, y e z. Esse observador mede as velocidades ux. Corpo material de referência de massa M2 em movimento relativo com velocidade VA: toma-se um ponto do carro A . O observador no carro escolhe um ponto do mesmo (no painel do carro, por exemplo) para a origem dos eixos coordenados x’, y’ e z’. Corpo material de referência de massa M3 em movimento relativo com velocidade VB: toma-se um ponto do carro B . O observador no carro escolhe um ponto do mesmo (no painel do carro, por exemplo) para a origem dos eixos coordenados x’’, y’’ e z’’. Esse problema aborda a relatividade da velocidade de um corpo material, ou seja, a dependência grandeza velocidade v

r com a escolha do

sistema de referência. O observador em movimento relativo deve usar as equações das transformações de velocidades para obter as velocidades de outros corpos que observa a partir do seu referencial em movimento. O observador no carro A está em movimento em relação à superfície da Terra. Para determinar a velocidade do carro B , o corpo material de massa M, ele deve lançar mão das velocidades indicadas no painel calibradas pela fábrica. Chamando de x a direção de propagação dos carros, pode-se escrever:

( ) ( ) AxBxB Vuu −=' .

( )xBu ' = velocidade do carro B medida pelo observador no referencial que se movimenta com velocidade VA (observador no carro A). ( )xBu = velocidade do carro B medida pelo referencial em repouso (cujo módulo é indicado no painel do carro B). Se o observador na superfície da Terra tomar o eixo x positivo no sentido do deslocamento do carro A , a velocidade do carro A é positiva e a velocidade do carro B é negativa:

( )xBu = - 90 km/h (velocidade do carro B em relação à superfície da Terra)

AV = 110 km/h (velocidade do carro A em relação à superfície da Terra)

( ) hkmhkmu xB /110/90' −−= ;

( ) hkmu xB /200' −= .

Portanto, para o motorista no carro A , a velocidade do carro B é de 200 km/h, se aproximando dele. Ou seja, o carro B irá chegar no carro A muito rápido. Essa é a razão para você tomar muito cuidado com ultrapassagens em estradas de mão-dupla.

7. As forças iF ˆ101 =r

N, jF ˆ52 = N e iF ˆ33 −=r

N, são aplicadas a um corpo material de massa M = 10 kg. Achar a força resultante sobre o corpo material.

Solução:

jiF ˆ0ˆ101 +=r

N;

jiF ˆ5ˆ02 +=r

N;

jiF ˆ0ˆ33 +−=r

N;

( ) ( ) jiFRˆ050ˆ3010 +++−+=

r N;

jiFRˆ5ˆ7 +=

r N.

Módulo da força resultante: ( ) ( ) 6,857 22 =+== RR FFr

N.

Direção que RF

r faz com o eixo dos x:

o

Rx

Ry

F

Ftg 5,35

7

5 =→== θθ .

PROBLEMAS PROPOSTOS

1. A intensidade média da radiação solar sobre a superfície da Terra é I = 1000 W/m2. Para efeito de cálculo, a potência solar sobre a Terra pode ser encontrada supondo a Terra como um disco de raio RT = 6370 km (6,37x106 m), voltado para o Sol. Achar:

(a) A área do disco terrestre. (b) Calcular a potência solar sobre a Terra. (c) Se a potência irradiada por cada ser humano é de 113 W,

quantos seres humanos poderiam habitar a Terra, supondo que apenas 1 parte em 50.000 da potência do Sol está disponível nos alimentos vegetais e animais que consumimos?

Resposta: (a) S = 1,287x1014 m2 ; (b) P = 1,287x1017 W; (c) N = 22,78x109 ≅ 23 bilhões de pessoas.

2. Uma caixa de água, cilíndrica, cujo raio da base é R = 0,5 m, tem capacidade para 1000 l de água. Qual a sua altura?

Dado: ρágua = 1000 kg/m3 Resposta : h = 1,27 m.

3. Um balão se desloca do norte para o sul (direção inicial) com velocidade de 50 km/h, em relação à superfície da Terra, quando de repente é empurrado por uma rajada de vento, de leste para o oeste, de 30 km/h, em relação à Terra.(a) Qual o módulo da nova velocidade do balão? (b) Qual a nova direção de deslocamento do balão?

Resposta : (a) 58,3 m/s; (b) Aproximadamente 31o, a partir da direção original de deslocamento.

4. A força da gravitação da Terra sobre objetos materiais nas vizinhanças de sua superfície, também chamada de peso, varia com a altura h a partir da superfície da Terra. Se essa força for definida por P = Mg(h), onde M é a massa do corpo material que está nas vizinhanças da

superfície da Terra e 2

1

)(

+

=

T

o

R

h

ghg é o campo gravitacional da Terra,

ou aceleração da gravidade, encontre g(20 km) supondo go = 9,81 m/s2. Dado : RT = 6370 km.

Resposta : g(20 km) = 9,748 m/s2.

5. Suponha que uma pessoa de 70 kg está dentro de um carro que se desloca a 100 km/h. O carro pára bruscamente num tempo de 0,5s. Calcular:

(a) A desaceleração média do carro. (b) O módulo, a direção e o sentido da força de referencial rF

r sobre

a pessoa que está dentro do carro. Dados: As forças de referenciais rF

r surgem quando o observador sobre o

corpo material de referência acelerado estuda a dinâmica de um corpo material de massa M no espaço da vizinhança do corpo material de referência ou sobre ele próprio. No presente problema, o carro que desacelera é o corpo material de referência. O corpo material de massa M é o próprio observador dentro do carro. Módulo da força rF : aMF .= . A aceleração a é a aceleração do corpo material de referência. Direção e sentido: A direção de rF é a mesma da aceleração do corpo material de referência. Entretanto, o sentido é oposto. Resposta : (a) a = 55,5 m/s2; (b) FR = 3888,9 N.

6. O coeficiente de atrito entre os pés de uma mesa de 40 kg e um piso de granito é µe = 0,3. Se o coeficiente cinético de atrito for µc = 0,25, achar:

(a) A mínima força horizontal que se deve aplicar para por a mesa

em movimento. (b) A força horizontal aplicada para deslocar a mesa com velocidade

constante. Resposta : (a) Fe = 117,72 N; (b) Fapl = 98,1 N.

7. Um bloco de madeira, de superfície lisa, está apoiado sobre a superfície horizontal de uma bancada com acabamento em fórmica. O bloco tem massa de 1 kg e está ligado a um dinamômetro por meio do qual ele pode ser arrastado. Um estudante puxa o dinamômetro e quando ele indica 4 N o bloco está na eminência de se deslocar. Qual o coeficiente estático de atrito entre as superfícies?

Resposta: µe = 0,4.

8. A força de atrito estática depende da força normal N, devido ao contato entre as superfícies dos corpos materiais sólidos. Quando um corpo material de massa M se encontra sobre uma rampa (plano inclinado), a força normal é dada por N = M.g.cosθ, onde θ é o ângulo de inclinação da rampa. A componente da força peso paralelo à rampa é dado por Px = M.g.senθ e tende a fazer o corpo escorregar rampa abaixo. Se para M

= 50 g e θ = 30o o corpo está prestes a se deslocar, qual o coeficiente de atrito estático entre as superfícies do corpo e da rampa?

Resposta: µe = 0,58.

9. Uma mola de constante elástica K suporta, na posição vertical, um corpo de 4 kg. A deformação da mola, sob carregamento, é de 0,5 cm. Qual o valor da constante elástica da mola?

Resposta : K = 78,5 N/m.

10. A velocidade terminal, vt, de um corpo em queda livre é definida como a velocidade constante de queda que o corpo atinge, quando se desloca através de um fluído e a força de arraste se iguala à força peso. Uma esfera de 10g, em queda livre no ar, atinge velocidade terminal de 20 m/s. Qual o valor de b, a constante de arraste?

Resposta : b = 4,9x10-3 N.s/m.