Unidade Tematica II

Módulo de um número real, cálculo combinatório e probabilidades( I Trimestre 2013)

Escola Secundária Mateus Sansão Mutemba-Beira.Texto apoio da 12ª classe.15 de Janeiro de 2013 Elaborador pelo docente:Luís Comodo Dique. E-mail:[email protected]

6 de Fev Unidade tematica I:Módulo de número real

Objectivos especificos:

Definir o que é o módulo de um número real;

Resolver equações e inequações com módulos de forma gráfica e analítica;

Consturir gráficos de funções modulares do tipo )()( xfyexfy ;

Determinar o domínio, o contradomínio, os zeros da função modular e indicar a monotonia e a

variação do sinal da função modular.

1.Definição do módulo de um número real

Sendo x um número real que se corresponder ao ponto “ A” do eixo real com origem no ponto “ O” como se

indica na figura:

O A

0 |x| x

Chama -se módulo de um numero real x e representa-se por |x| à distancia entre um ponto qualquer e a

origem desse ponto.

Veja os exemplos asseguir:

a) 33 b) 5

4

5

4 c) 55 d) 7,07,0 e) 22 f) 00

Portanto, módulo de um número é o seu valor absoluto desse sem considerar o seu sinal, ou seja, se o

número for positivo, o seu modulo é esse numero mas, se for negativo , o seu modulo é o seu simétrico

e é zero se é zero.

Simbolicamente representa-se: IRxxsex

xsexx

,

0

0

2.Propriedades do módulo de um número real

Sendo x e y dois números reais diferentes de zero, cujos os módulos destes satisfazem os seguintes itens

abaixos:

a) 0x b) xx c) xxx d)2xx e) yxyx f) yxyx g)

yxyx .. h)y

x

y

x i) yxyxyx j)se axaaxax

k) se axaxaxax



6 de Fev

Exemplos dos dois últimos itens

1. 41822532533523352 xxxxx

O valor 3 é um positivo,então os valores que satisfazem a condição ilustrada acima está entre 1 e 4.

2.2

13

2

1672672726726726 xxxxxxx

Os valores que satisfazem a condição acima são os valores não superiores a 2

1 ( inferiores ou iguais) ou

não inferiores a 2

13( superiores ou iguais ).

3. Interpretação geométrica de módulo da diferença de dois números

O valor absoluto de um número x é, na reta, a distância entre o ponto x e a origem do sistema coordenado

Vamos representar a distância por de assim teremos ),0( xdx

d d

x 0 x

Isto é, x corresponde a distância do ponto x ao ponto 0 ( origem do sistema coordenado)

Os números que distam x unidades da origem são xex

Exemplo

1. )5,0(5 d

5 0 5

Os números que distam 5 unidades da origem são -5 e +5, pois 5555 e

Se os números reais x e y estão associados aos pontos X e Y na recta real ( eixo das abcissas), ouseja, são as

coordenadas de X e Y, então yx corresponde à distância do ponto Xao ponto Y.



6 de Fev Isto é : ),( yxdyx

),( yxdyx

0 x y

Exemplos

1. )4,2(42 d

6 unidades

4 0 2

De acordo com a representação acima, significa que 6)4,2(42 d

2. )8,3(83 d

5 unidades

8 3

5)8,3(83 d

3. )8,3(83 d

5 unidades

3 8

Procedimentos: contar os tracinhos patentes no eixo do sistema coordenado, partindo do número que esta á

esquerda, consederando com ponto de partida ( origem do sistema coordenado) até encontrar o número que

esta á direita do sistema.A seta mostra o ponto de partida e chegada.

Para calcular analiticamente o módulo de um número real yx podemos fazer :

xyyxyxyx

Exemplos:

1. 176)7(676 2. 7)15(8158 3. 6)6(12612



6 de Fev 4.Função modular do tipo )()( xfyexfy

Definição: chama-se função modular à função do tipo f(x) = | x |.

A função modular é definida por sentença ( partes ou ramos) .Ou seja a função modular pode ser

transformada em duas possibilidades, a saber: quando a função que está no módulo for positiva ( + ), ela

permanece como está e quando a função que está no módulo for negativa ( – ), troca-se o sinal da

função.

Isto é :

0,

0,)(

xsex

xsexxxf , IRx

4.1.Função modular do tipo )(xfy

a) Consideremos a função xxf )( .

Na representação gráfica de uma função modular devemos considerar aluguns critérios tais como:

xxf )(

xxf )( , através de uma simétria em relação ao eixo da abcissas para os pontos de ordenadas

positivas ( todos os valores das ordenadas "" y , negativos transformam-se em positivos e os positivos

mantêm-se)

Veja a representação gráfica da função xxf )( ,obdecendo os critérios anteriores.



6 de Fev b) Consideremos a função 2)( xxf .Obdece-se o mesma ideia da anterior

2)( xxf

2)( xxg

c)Consideremos a função 3)( 2 xxf .

Comecemos por representar o gráfico da função 3)( 2 xxf

Estudar os zeros da função ( se 0)( xf )

Determinar coordenadas de vertice

)(

2vvv xfye

a

bx

Constrói o gráfico de 3)( 2 xxf ,através de uma simétria em relação ao eixo das abcissas.



6 de Fev d) Consideremos a função 56)( 2 xxxf .

4.2.Função modular do tipo )( xfy

Consideremos a função 2)( xxf

Comecemos por representar o gráfico de 2)( xxf

Constrói o gráfico de 2)( xxf ,através de uma simetria em relação ao eixo da ordenadas

Veja a representação gráfica da função dada.



6 de Fev Consideremos a função definida por 56)( 2 xxxf

Comecemos por representar o gráfico da função 56)( 2 xxxf

Determinar os zeros da função

Determinar coordenada de vertices

Constrói o gráfico de 56)( 2 xxxf através de uma simetria em relação ao eixo da ordenadas .

Tendo em consideração: 00 xex .

4.3.Domínio, contradomínio,zeros da função, monotonia e variação do sinal de uma

função modular

Vamos estudar diversos aspectos de funções envolvendo módulos, através da análise dos seus gráficos

Consideremos a função 13)( 2 xxxf

Começa-se por construir o gráfico da função dada

Em seguida faz-se a leitura do gráfico



6 de Fev

Domínio da função: IRx

Contradomínio: ;1y

Zeros da função:2

53

2

530)( 21

xxxf

Monotonia:Para que valores de x é que 0)( xf ( a função é crescente):

;3

2

3;0x

Para que valores de x é que 0)( xf ( decrescente):

3;

2

30;

A função é positiva expecto os intervalos que situam abaixo do eixo das abcissas e negativa excepto

os intervalos que se encontram acima dos eixos das abcissas.

4.4 Equações e inequações modulares

a) Equações modulares do tipo axf )(

Vamos resolver a equação 23 x

Podemos determinar a solução desta equação aplicando o método geometrico,na qual os números reais x

distam 2 unidades do número 3, ou seja, considerando número 3 como ponto central, deslocando 2 unidades

( positivass) á direita e 2 unidades á esquerda ( negativas)



6 de Fev 2 unidades 2 unidades

1 2 3 4 5 x

Os números que distam 2 unidades do número 3 são 1 e 5.Isto é , 23 x , se 51 xx .A extremidade de

cada seta corresponde a solução da equação.

Também podemos resolver uma equação modular usando a definição do módulo.Assim:

31

35

0323

032323

xsex

xsex

xsex

xsexx

As duas soluções pertencem nas respectivas condições, isto é 1 e 5 são soluções da equação.

Podemos, ainda resolver uma equação modular considerando a propriedade alinea ddeste texto de apoio ( 2xx )

Então:

51

051056496232323 22222

xx

xxxxxxxxx

b) 152 x

36215252 xxxx .

Condição de validade: 5.22

5052 xxx

3x pertence á condição de validade 5,2x

23215215252 xxxxx

Condição de validade: 5.22

5052 xxx

2

3x é valida na condição 5,2x .

Então 2 e 3 são soluções da equação.

c) Vamos resolver a equação 1212 xxx

Esta igualidade para que sentido é necessário que 012 x , pois sabemos que o módulo de qualquer número real é

sempre positivo.

Assim a variável x será do tipo 2

112012 xxx

Resolvendo teremos:

1021

010210023

121121121

22

222

xxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxx



6 de Fev

Pela condição 2

1x , 01 xex não faz parte ao conjunto solução por serem menores da condiçào imposta. A

solução procurada é 21 xex

b) Inequações modulares do tipo axf )( ou axf )(

Inequações do tipo axf )(

Resolver a inequação, significa determinar quais os números reais cuja distancia à origem O, são

maiores ou iguais ao número positivoa

Vamos resolver a equação 3x

A resolução consiste na determinação do conjunto de números reais que se localizam a mesma distância superior a 3

unidades em relação a zero.

3 0 3

O conjunto solução é 33: xxIRx

Em geral, a equação do tipo ax , sendo 0a , é axaxIRxS :

Resolve a inequação 232 x

2

5

2

1

52

12

232

232232

x

x

x

x

x

xx

2

5

2

1: xxIRxS



6 de Fev Inequações do tipo af(x)

Vamos resolver a inequação 3x .

Resolver a inequação acima, significa determinar quais os números reais cuja distancia à origem O, são

menores ao número positivo 3.

33 x

3 0 3 x

O conjunto solução é 33: xIRx

Vamos resolver 532 x

12

222532532 xxxxx

42

882532532 xxxxx

41: xIRxS

Podemos resolver inequações modulares usando a propriedade : 22 axax

)14()14()022082()022082(

0)22)(82(0)532)(532(0532532532 2222

xxxxxxxx

xxxxxxx

Analisando a resolução apresentada, a solução da inequação será 41 xx , ou seja representando

no eixo real,teremos:

1 0 4 x

Vamos resolver a inequação 323 xx

)20()20()0630()0630(063

032332303233233232222

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

20: xxIRxS



6 de Fev Exercícios de consolidação

1.Associa V e F ás seguintes proposições:

a) 77 b) 7997 c) )8(8 d) 8

5

8

5 e) 119119

2.Indique o módulo dos seguintes números:

a) 8 b) 95 c) 108 d) 95

3.Calcule, geometricamente, os seguintes módulos:

a) 45 b) 53 c) 48 d) 32

4.Calcule analíticamente o número 3.

5. Seja dada a função

1,log

1,1)(

1

2 xse

xsexxf

x, esboce gráficos das seguintes funções:

a) )(xfy b) )(xfy c) )( xfy d) )( xfy

6.Constrói o gráfico e indique o domínio e o contradomínio da função 3)( xxf

7. Sobre a função 1)( 2 xxf , responde as seguintes questões:

a)Para que valores se x é que 0)( xf , 0)( xf e 0)( xf ?

b) Para que valores de x é que )(xf é crescente ou decrescente?

8.Faz on estudo da monotonia e da variação do sinal e indica os zeros e o contradominio da função abaixo

Fig.01



6 de Fev 9.Resolve as seguintes equações modulares:

a) 95 x b) 42 x c) 223 x d) 8

1

2

1

4

3x e) 231 xx

f) 231 xx g) 82232 xxx h) 263 xx i) xx 2323

j) 062

xx k) 3

123 xx l) 12 xx , para 12 x o) 1232 xxx

p) 01522 xx

10.Resolve as seguintes inequações modulares:

a) 32 x b) 0113 x c) 232 x d) 652 xx e) 652 xx

f) 0 x g) 4x h) 0232

xx i) 0132

xx k) 1582

xx

l) 01892

xx m) xx 547

11. O gráfico abaixo representa a função 1)( 2 xxf

Fig.02

Resolve as seguintes inequações: a) 312 x b) 312 x c) 110 2 x

12.Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: a) 2)( xxf b) 13)( xxg



6 de Fev Mini- Teste 01

ESCOLA SECUNDÁRIA MATEUS SANSÃO MUTEMBA-BEIRA

MATEMÁTICA CIÊNCIAS 1° TRIMESTRE/ 1° TESTE

12ªCLASSE DOCENTE:COMODO DIQUE DURAÇÃO: 90 minutos

Esta prova contém 30 perguntas com 4 alternativas de respostas para cada uma. Escolha a

alternativa correcta RISQUE a letra correspondente na mesma.

1.Qual é a proposiçãon equivalente ba ?

A. ba B. ba C. ba D. ba

2.Considere as seguintes expressões :I:5

14 ; II: 3353 ; III: 012 x ; IV: 106 .

Quais representam proposições?

A.I e II B.I e III C.II e IV D.III e IV

3.Considere o conjunto 3;1;0;1;2 M .Qual é a proposição verdadeira?

A. 102: xMx B. 402: xMx C. 179: 2 xMx D. 1: 2 xxMx

4.Considere a seguinte tabela: p q p q qp qp

V V F F F t

V F F V x V

F V V F F z

F F V V F F

Quais são os valores de x, t e z, respectivamente?

A.VVV B.VVF C.FVF D.VFV

5. Qual é a escrita simbólica de “ o quadrado de um número real é não negativo”

A. 0: 2 xIRx B. 0: 2 xIRx C. 0: 2 xIRx D. 0: 2 xIRx

6. A soma de quaisquer números naturais é sempre maior que zero.Qual é o quantificador

correcto?

A. 0:, yxINyx C. 0:, yxINyx

B. 0:, yxINyx D. 0:, yxINyx

7. Qual é a negação ?312: xIRx

A. 312: xIRx C. 312: xIRx

B. 312: xIRx D. 312: xIRx

8. Qual das expressões é racional inteira?

A.5

328

x

x B.

4

12

x

x C. xx 352 D. 75

3

2 2 xx

9.Qual é o valor de m na equação 2

2

8

22 logloglog m

?

A.16 B.8 C.4 D.2



6 de Fev

10.Qual é o valor de 32

3227

1

3

32

2 log2loglog ?

A.1 B.5 C.7 D.8

11.Qual é a equação cujas raizes são 2

7 e 1?

A. 0752 2 xx B. 0752 2 xx C. 0752 2 xx D. 0752 2 xx

12.Qual é a soma das raizes da equação 043 23 xxx ?

A. 4 B. 3 C. 0 D. 1

13.Qual é a solução da equação 032 x ?

A.3B.5 C.7D.11

14.Qual é a expressão equivalente a 1

1

x

x?

A.1

1

x B. 1x C.

1

1

x

x D. 1x

15.Qual é o valor numérico de

413

201

131

?

A.-3 B.-2 C.2 D.3

16.Considere a equação 4

22

313

111

k

?

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

17..Sabendo que o valor do produtoescalar entre osvectores

4

12be

ka é igual a 18. Qual é o

valor de k?

A.1 B.2 C.3 D.4

18.Quais as coordenadas do ponto médio do segmentocujasextremidadessão ?5;87;2 e

A.(2;3) B.(3;4) C.(5;6) D.(6;5)

19.Qual é a distância entre os pontos A (1;2) e B(4;5)?

A. 8 B. 14 C. 18 D. 24

20.Qual é a equação da recta que passa pelo ponto A (5;-3) e é paralela á recta ?12 xy

A. 132 xy B. 132 xy C. 12 xy D. 12 xy

21.Qual é a distância do ponto P( 2;5) á recta de equação ?643 yx

A.0 B.1 C.2 D.4



6 de Fev 22.Qual é o valor de 3660cos ?

A.2

3 B.

2

1 C.

2

1 D.

2

3

23.Qual é o valor numérico da expressão

60cos33

3

30sin22

2?

A.3

5 B.

3

8 C. 2 D.8

24.Qual é a expressão simplificada de 1)()cos(

1

xtgx?

A.xx sincos

1

B.

1cos

1

tgxx C.

xx sincos

1

D.

xcos2

1

25.Qual é a expressão simplificada de senxx

x

cos

2cos?

A. senx2 B. xsenx cos C. gxcot D.senx

1

26.Que valores de, k pode tomar, para que a equação kx 423 NÃO tenha solução?

A. 4;k B. 4;k C. ;4k D. ;4k

27.Qual é a soma das raizes da equação ?23 x

A. 6 B. 5 C. 4 D. 1

28.Considere a inequação 0 x .Qual é a solução?

A. B. 0; C. ;0 D. IR

29.Qual é a solução da inequação ?23 x

A. ;15; B. ;15; C. 1;5 D. IR

30.Qual é a expressão analítca da função cujo o gráfico está representado na figura?

A. 2)( 2 xxf B. 2)( 2 xxf C. 4)( 2 xxf D. 4)( 2 xxf



6 de Fev

Unidade temática II:Cálculo combinatório e probabilidades

Objectivos especificos:

Aplicar fórmulas de factorial, arranjos, combinações e permutações de um número natural

para resolver problemas reais da vida;

Destinguir arranjos, permutações e combinações;

Aplicar a fórmula de Binómio de Newton para efectuar desenvolvimento denyx )( , sendo

n um número natural;

Calcular frequências absolutas relativas para cálculo de probabilidade;

Aplicar probabilidades para resolução de problemas práticos;

Calcular probabilidades de acontecimentos incompactíveis equiprováveis;

Resolver problemas de determinação da probabilidade de um acontecimento em casos

simples.

Cálculo combinatório e probabilidades

O cálculo combinatório é a parte da Matemática que se dedica ao estudo da constituição de grupos

formados com todos os elementos ou com alguns dos elementos dados, grupos que podem definir uns dos

outros, quer pela natureza dos elementos, quer pela ordem como estão dispostos.

A história das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roletas.Esse é o motivo

pelo qual há tantos exemplos de jogos de azar no estudo das probabilidades.A teória da probabilidade

permite que se calcule a probabilidade de ocorrência de um face numa experiência aleatória.

1.Factorial e cálculo com factorial de um número natural

Factorial de um número natural n diferente de zero ao produto de todos números naturais e sucessivos

desde n até 1.Factorial de n represnta-se por n!

Se 1!00 n e 1!11 n

Pela definição tem-se: .1)....4)(3)(2)(1(! nnnnnn

Exemplos:

1. Calcule os factoriais seguintes : a) 21.2!2 b) 1201.2.3.4.5!5 c) 241.2.3.4!4



6 de Fev

2.Simplifique as expressões:

a) 6!5

!5.6

!5

!6 b) 3603.4.5.6

!2

!2.3.4.5.6

!2

!6 c) )1:(,

!)1(

!)1(

!)1(

!

nINnn

n

nn

n

n

d)5

7

)16(!5

)16(!5

!5!5.6

!5!5.6

!5!6

!5!6

e) 23)1)(2(

!

!)1)(2(

!

)!2( 2

nnnnn

nnn

n

n

3. Resolva em IN as equações:

a) 1010!)1(

!)1(10

!)1(

!

n

n

nn

n

n; 10S

b) 11;1111010110!)2(

!)2()1(10

!)2(

!)1(

Snnn

n

nn

n

n

c) 8;88)1(!)1(

!)1()1(8

)1()!1(

!)1(

Sn

nn

nnn

nn

n

2. Arranjos simples (sem repetição): Definição e fórmula de arranjos An

p.

Consideremos uma palvra qualquer que conhecemos. Por exemplo, ROMA. Mudando a ordem das letras,

obtemos sempre com palavras com significados e até palavras sem significado algum.

Eis as palavras:AMOR, MORA, RAMO, MRAO, ROAM, RMOA,…

Agrupamentos que têm a caractéristica de mudar quando alteramos a ordem dos elementos, como é o caso

das letras das palavras anteriores, são designados de arranjos simples.Nos arranjos, a ordem dos

elementos é significativa.

Definição:Arranjos simples de n elementos agrupados p a p ao número de grupos que se podem formar

com p elementos dos n elementos dados, definidos uns dos outros, quer pela natureza e pela ordem desses

elementos.

Fórmula: Representa-se por ):(,!)(

!pnINn

pn

nA

n

p

Exemplos:

1.Calcule

a) 123.4!2

!2.3.4

!)24(

!44

2

A b) 603.4.5!2

!2.3.4.5

!)35(

!55

3

A



6 de Fev

2.Determine o valor de n, sabendo que .302 nA

650605

0)6)(5(03030)1(30!)2(

!)2)(1(30

!)2(

!30 2

2

nnnn

nnnnnnn

nnn

n

nAn

6:: nINnS .

3. Dispomos dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.Quantos números de três algarismos distintos podemos

escrever?

O conjunto é formado por 6 elementos )6( n , pretende -se formar grupos de números com três algarismos

)3( p

Pela fórmula teremos: 1204.5.6!3

!3.4.5.6

!)36(

!6

!)(

! 6

3

Apn

nAn

p

Significa que podemos escrever 120 números de três algarismos distintos.

3. Permutações simples: Definição e fórmula de permutações simples Pn.

Definição: Permutações simples de n elementos do conjunto finito são arranjos em que participam todos os

n elementos disponiveis.

Fórmula: Designa-se permutações simples de n elementos por !nPn (lê-se permutações de n elementos)

Exemplos:

1.Calcule

a) 61.2.3!33 P b) 1201.2.3.4.5!55 P c) 451!5!)1(120)1( nnnP n

c) 541!4!)1(24!)1( nnnnnn

2.Quantos números de quatro algarismos podemos escrever com os números 1, 3, 5 e 7 sem repeti-los?

Pela fórmula: 241.2.3.4!44 P

3.Com as letras da palavra MATIQUE

a) Quantos anagramas podem escrever: 50401.2.3.4.5.6.7!77 P

b) Quantos anagramas começam por T: Fixando T, podemos permutar as outras 6 letras , assim teremos



6 de Fev

7201.2.3.4.5.6!66 P

c) Quantos anagramas começam por A e terminam por U ?

Fixando A e U podemos permutar as restantes 5 letras e teremos 1201.2.3.4.5!55 P

NOTA: ANAGRAMA é o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não

significado na linguagem comum.

4. Combinações simples: Definição e fórmula de combinações simples

!!)(

!

ppn

nC

n

p .

Definição: Chama-se combinações simples de n elementos agrupados p a p, ao número de grupos que se

podem formar com p dos n elementos, deferindo uns dos outros pela natureza dos seus elementos.

Fórmula: !!)(

!

ppn

nC

n

p

’ com INpnp ,0

Significado:Cn

p representa o número de subconjuntos de p elementos que é possível formar num conjunto de

n elementos.

Exemplos:

1.Calcule as combinações seguintes:

a) 567.86

6.7.8

1.2.3

6.7.8

!3!5

!5.6.7.8

!3!)38(

!88

3

C

b) 102

20

1.2

4.5

!2!3

!3.4.5

!2!)25(

!55

2

C

2.Determine o valor de n, sabendo que 102C

n

450)4)(5(020

20)1(2.10)!2(

)!2)(1(10

2)!.2(

)!2)(1(10

!2)!2(

!10

2

2

nnnnnn

nnn

nnn

n

nnn

n

nC

n

5:: nINnS



6 de Fev

3.Quantos subconjuntos de 3 elementos o conjunto 9;7;5;3;1A possui?

Um dos subconjuntos de A com 3 elementos é 5;3;1 .Mudando a ordem dos elementos obtemos os

conjuntos 3;5;1 , 1;5;3 , 1;3;5 , 3;1;5 e 5;1;3 , que são todos iguais, pois nos conjuntos a ordem dos

elementos não é significativa. Logo, os conjuntos são exemplos de combinações.O número de combinações (

subconjuntos de A de 3 elementos) é dado por 102

20

!3!2

!3.4.5

!3)!35(

!55

3

c

O número de subconjuntos de A com 3 elementos é 10.

4.Quantas saladas de frutas com 4 frutas cada podemos preparar com 7 frutas diferentes?

Saladas de frutas são agrupamentos em que a ordem dos elementos não significativa. Portanto, trata-se de

combinações.Pretende-se saber quantas combinações ( saladas de frutas) de 4 frutas cada podemos preparar

com as 7 frutas disponiveis. O número pretendido é 356

6.35

1.2.3

6.35

!4!3

!4.5.6.7

!4)!47(

!77

4

c .

Podemos preparar 35 saladas de frutas diferentes.

5.Uma turma da 12ª Classe quer eleger, entre seis alunos, uma comissão de três alunos para organizar uma

festa. De quantas maneiras diferentes pode fazer a escolha da comissão?

A ordem na escolha dos elementos não determina, necessariamente, uma comissão diferente da outra.Trata-

se de escolher grupos de três alunos.É um problema de combinação de 6 elementos agrupados 3 a 3.

Assim 206

20.6

!3!3

!3.4.5.6

!3)!36(

!66

3

c

4.1.Propriedade de combinações simples ccn

pn

n

p

Quaisquer que sejam os inteiros n e p tais que np 0 , tem-se: ccn

pn

n

p .

Demonstração: ccn

p

n

pn ppn

n

pnp

n

pnpnn

n

!!)(

!

!)(!

!

)!()!(

!cc

n

pn

n

p

Exemplo: 10!2!3

!5

!3!2

!5

)!25(!)255(

!5 5

2

5

25

5

25

5

2

cccc .

5.Triângulo de Pascal

Chama-se Triângulo de Pascal , o Triângulo obtido pela disposição dos números binomiais em linhas e

colunas. O binomial

p

nserá colocado na linha n e na coluna p, isto é, o numerador do binomial indica

linha e o denominador indica coluna.



6 de Fev

Coloquemos os números

p

n em sucessivas linhas, formando um triângulo equilátero.

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

146414

4

3

4

2

4

1

4

0

4

13313

3

2

3

1

3

0

3

1212

2

1

2

0

2

111

1

0

1

10

0

Obsevações:

1.Em cada linha, são iguais os números equidistantes dos extremos, isto significa, em termo de combinações

que:

pn

n

p

n

Exemplos:

a)

2

2

0

2

02

2

0

2 b)

2

3

1

3

13

3

1

3

2.A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que, linha seguinte que figura entre

eles.

Traduzindo o item 2 simbolicamente tem-se:

p

n

p

n

p

n 1

1

Exemplos:

a)

2

4

2

3

1

3

2

13

2

3

12

3 b)

3

4

3

3

2

3

3

13

3

3

13

3

c)

1

2

1

1

0

1

1

11

1

1

11

1



6 de Fev 3.A soma de todos os números binomiais de uma linha de Triângulo de Pascal é igual a n2 ( potência de

base dois), cujo expoente é o número da linha.

Assim:

)(,21

...210

..............................................................................

.............................................................................

............................................................................

16214641

821331

42121

2211

4

3

2

1

INnn

n

n

nnnnn

GENERALIZANDO:n

n

p n

n

n

nnnn

p

n2

1...

2100

Um conjunto de n elementos tem exactamente n2 subconjuntos.

Exemplos:

1.Sem calcular os binomiais, podem escrever:

a) 3225

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

555

5

0

p p

b) 823

3

2

3

1

3

0

333

3

0

p p

6.Binómio de Newton

Definição: Binómio de Newton é toda expressão do tipo nyx , em que a e b são números reais e n

é um número natural.

Sabemos que nyx significa o produto de n factores do tipo ba , isto é:

factoresn

nyxyxyxyxyxyx ........



6 de Fev Vejamos alguns casos:

...........................................................................................................................

16152015616

151010515

146414

13313

1212

111

10

65423324566

543223455

4322344

32233

222

1

0

yxyyxyxyxyxxyxn

yxyyxyxyxxyxn

yxyyxyxxyxn

yxyyxxyxn

yxyxyxn

yxyxn

yxn

Precebemos então que para desenvolver nyx , devemos usar como coeficientes os números

binomiais da linha n, fazer os expoentes de x decrescem de n até 0 e os de y crescem de 0 até n

O desenvolvimento nyx tem mais um termo do que o grau do polinómio

GENERALIZANDO: Por indução empírica para um binómio de expoente INn qualquer, teremos

a fórmula conhecida por fórmula doBinómio de Newton:

nnnnnnnnyx

n

nyx

n

nyx

nyx

nyx

nyx

nyx

nyx .

1.....

43.

2.

10

011443322110

Usando a notação de somatório tem-se: ppnn

p

nyx

p

nyx .

0

Termo geral do desenvolvimento: ppn

p yxp

nT .1

Exemplos:

1.Desenvolva os binómios:

a) 8110824123.4

43.

3

43.

2

43.

1

43.

0

43 23440312213044

xxxxxxxxxx

b)

54322345

543223455

3280804010

32.5

52.

4

52

3

52.

2

52.

1

5

0

52

yxyyxyxyxx

yyxyxyxyxxyx

c) 812623

32

2

32

1

3

0

32 23321233

xxxxxxx



6 de Fev 2.Calcule o termo de sexto grau do desenvolvimento de 10

2x

No desenvolvimento de nyx , todo o termo tem a forma

ppn yxp

n.

.

No binómio 102x , todo o termo tem a forma

ppxp

2.10

10

.Se pretendemos o termo de sexto grau, basta

igualar o expoente de x ao número 6. Assim: 4610 pp .

Substituindo p por 4, teremos o termo procurado:664410

5 336016.4

102.

4

10xxxT

3. No binómio

63

xx , calcule o termo independente de x.

Neste binómio, basta procurar o termo de grau zero. Neste binómio, todo termo tem a forma

ppp

pp

pp

ppppp

p xp

xp

xxp

xx

pxx

pT 3.

63.

63..

6

3.

63.

6362

26

2

6

2

66

1

Igualando o expoente de x a zero obtemos: 2036 pp

Logo o termo procurado é: 1353.2

62

3

T

4. Calcule o terceiro termo do desenvolvimento 412 x

Todo termo do binómio é do tipo pp

p xp

T 1.4

4

1

.Para encontrar o terceiro basta igualar 2p ,teremos:

22

3

224

12 241.4.61.22

4xxTxT

5.Sendo o binómio ( ) , com .Determine para que no desenvolvimento do binómio , o coeficiente do

3º termo seja 15.

Podemos desenvolver o binómio até encontrar o coeficiente do terceiro termo e igualar a 15, assim:

mmmmmyx

m

myx

myx

myx

myx ......

2.

1.

0

02210

, então o coeficiente do terceiro termo do

desenvolvimento é

6::;650)6)(5(030

30)1(152!.)2(

!)2)(1(15

!2!)2(

!15

2

2

mINmSmmmmmm

mmm

mmm

m

mm



6 de Fev 7. Cálculo de probabilidades

O conceito de Probabilidade, que nos propomos estudar neste texto, é o instrumento que permite ao estatístico

utilizar a informação recolhida da amostra para descrever ou fazer inferências sobre a População de onde a amostra

foi recolhida.

O cálculo das probabilidades é actualmente o ramo fundamental da matemática para o estudo da Estatística.

7.1.Fenómenos aleatórios

Chama-se fenómeno aleatório aquele cujos resultados podem ser previstos, mas não se pode dizer

qual resultado ocorrerá.

Exemplos:

a)Lançamento de um dado;

b)Lançamento de duas moedas;

c)Lançamento de uma moeda e um dado;

d)Retirada de uma carta de um baralho;

e)Retirada de n bola de uma urna que contém bolas azuis, vermelhas e brancas;

f) Aparecimento do número 5 na face inferior no lançamento de um dado.

Espaço amostral é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória

Exemplos:

a) Lançar um dado e observar a face virada para cima: 6;5;4;3;2;1

b) Lançar uma moeda e observar a face cara virada para baixo: KC ;

Acontecimento numa experiência é qualquer subconjunto do espaço de resultados

Exemplos:

1.Seja 10;9;8;7;6;5;4;3;2;1E um espaço amostral associado ao seguinte experimento: retirar uma

etiqueta de uma urna que contém dez etiquetas numeradas de 1 a 10.

Consideremos, então, os seguintes acontecimentos:

A.Etiqueta que tem número impar: 9;7;5;3;1

B.Etiqueta que tem número primo: 7;5;3;2

C.Etiqueta que tem número primo e par: 2



6 de Fev Acontecimento elementar é constituido por umelemento ou resultado

O acontecimento impossível relativo a uma prova é aquele que nunca se verifica sempre que se

realiza a prova.

Exemplos:

a)No lançamento de um dado com faces numeradas de 1 a 6,” sair número 10”.

b)Na queda de uma moeda lançada ao ar, “ sair cara e coroa”.

O acontecimento certo relativo a uma prova é aquele que se verifica sempre que se realiza a prova.

O acontecimento certo é aquele que possui todos elementos do espaço amostral.

Exemplos:

a)No lançamento de uma moeda ” sair cara ou coroa “

b)No lançamento de um dado com faces numeradas de 1 a 6 “ sair número menor que 7 ”.

7.2.Operações com acontecimentos

A união dos acontecimentos de A e B é o acontecimento que consiste na realização de, pelo menos, um dos

acontecimentos e representa-se por BA (constituído pelos resultados que pertencem a pelo menos um dos

acontecimentos.

Exemplo:

No lançamento de um dado, cujo o espaço amostral é 6;5;4;3;2;1 e com seguintes acontecimentos:

A: Sair um número que é múltiplo de 3: 6;3

B: Sair um número par: 6;4;2

O acontecimento união de A com B é o acontecimento” sair um número que é múltiplo de 3 ou par”

Simbolicamente teremos: 6;4;3;2BA .

DIAG.01



6 de Fev A intersecção de acontecimentos A e B é o acontecimento que consiste na realização simultânea dos

acontecimentos dados e representa-se por BA (constituído por resultados comuns de A e B ).

Exemplo: consideremos a experiência e os acontecimentos anteriores: 66;4;26;3 BA

Neste caso o acontecimento intersecção de A com B é o acontecimento” sair um número que é multiplo de

3 e par”

DIAG.02

Acontecimento disjuntos: Dois acontecimentos A e B dizem-se disjuntos quando a sua intersecção é um

acontecimento impossível.Isto é, A e B são disjuntos se .BA

Exemplo:

Consideremos o espaço amostral de lançamento de um dado: .6;5;4;3;2;1

Eis os acontecimentos:

A:”sair um número inferior a 3”= 2;1

B:” sair um número múltiplo de 4”= 4

Então teremos BA :” sair um número inferior a 3 e multiplo de 4 é igual ao conjunto vazio.

Simbolicamente: 42;1BA .

DIAG.03

Acontecimento contrário

O acontecimento contrário de A é o acontecimento que consiste na não verificação de A. Isto é, é o

conjunto complementar de A e representa-se por .___

A



6 de Fev Exemplos:

1.A: Sair cara no lanaçamento de uma moeda

2.___

A : Sair coroa no lançamento de uma moeda: Sair coroa no lançamento de uma moeda

7.3.Frequência absoluta e relativa de um acontecimento

Noção de probabildade obtida a partir da noção de frequência relativa.

A noção de frequência relativa de um acontecimento é fundamental para o bom entendimento da teória

de probabilidade.Á medida que o número de vezes em que se realiza a experiência aumenta, é o valor que

se toma para a probabilidade. Para tanto, consideremos a experiência:guardar o nascimento de uma criança e

observar a que sexo ela pertence.

No arquivo da maternidade em que estão registados todos os nascimentos, encontramos os seguintes

dados relativos ao mês de Dezembro de 2012:

Dezembro-2012 Sexo Frequência relativa

Dia Número de nascimento Masc. Fem. 1Ef 2Ef

10 40 14 26 0,350 0,650

11 52 19 33 0,365 0,635

12 57 21 36 0,368 0,362

13 62 22 40 0,354 0,646

14 62 23 39 0,354 0,646

15 67 24 43 0,358 0,642

16 75 27 48 0,360 0,640

17 80 29 51 0,362 0,638

18 90 32 58 0,355 0,645

19 100 36 64 0,360 0,640

De acordo com o problema apresentado acima, o espaço amostral da experiência esta associado á

FME , , representemos por 1E e 2E os acontecimentos elementares( unitários) de .E

Isto é, ME 1 e FE 2 .



6 de Fev Suponhamos que numa maternidade, certo dia, nasceram 100 crianças sendo 36 do sexo masculino. Isto

quer dizer que o acontecimento elementar 1E ocorreu 36 vezes, em 100 experiências, então

36,0100

361 Efr chama-se frequência relativa do acontecimento 1E .

Verificadas as colunas da direita as frequências relativas )( 1Efr e )( 2Efr dos acontecimentos elementares

1E e 2E , respectivamente. Observando os valores de )( 1Efr , por exemplo, verificamos que elas ficam em

torno de 0,36. Se persistir esta situação, isto é, se a frequência relativa de )( 1Efr do acontecimento 1E se

estabilizar em torno de 0,36 ao longo do tempo, designaremos este valor de probabilidade de um

acontecimento elementar. Indicamos por 36,01 EP .Isto quer dizer que em cada nascimento que ocorrer

nessa maternidade, a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino é 0,36 ou 36%.

Se a frequência relativa )( 1Efr , se estabilizar em torno de 0,36, a frequência relativa )( 2Efr , do

acontecimento elementar 2E , se estabiliza em torno de 0,64. Logo 64,02 EP , o que significa que a

probabilidade de nascer uma criança do sexo femenino é 0,64 ou 64%.

Nota:Ao número á volta do qual estabiliza a frequência relativa de um acontecimento, quando o número

de repetições da experiência cresce consideravelmente, chama-se probabilidade do acontecimento.

7.4.Propriedades das frequências relativas

1.A frequência relativa de um acontecimento A é um número compreendido entre 0 e 1.

Isto é: 1)(0 Afr

2.A frequência relativa de um acontecimento certo é 1 ou seja 1)( Efr

3.A frequência relativa de um acontecimento impossível é zero ou seja 0)( Bfr

4.Ao acontecimento A de uma prova podemos sempre associar o acontecimento contrário ou ” não A”,

que notamos por A____

e cuja frequência relativa é

AfrAfr

_____

1)( .

7.5.Axiomatização do conceito de probabilidade num espaço finito

Seja E o espaço de acontecimento e )(EP o conjunto das sua partes.

Chama-se probabilidade a toda aplicação p do conjunto das suas partes )(EP no conjunto 1,0 de

números reais, que se verifica os seguintes axiomas:

1.A probabilidade de qualquer acontecimento A do conjunto )(EP é um número compreendido entre zero e

um.

1,0)(:)( APEPA



6 de Fev 2.A probabilidade do acontecimento certo é 1.

1)( EP , sendo E o espaço de acontecimentos.

3.A probabilidade da reunição de dois acontecimentos incompatíveis (disjuntos) A e B de E é igual á soma

das probabilidades desses acontecimentos.

)()()( BPAPBAP se BA

Destes axiomas podemos deduzir as seguintes propriedades:

1.A probabilidade do acontecimento A____

é igual a 1 menos a probabilidade do acontecimento A.

)(1_____

APP A

Demonstração:

Sabe-se que EAA ___

, ____

AA donde 1)(_______

EPAPAPAAP , então:

APAPAPAP

11

________

c.q.d

2.A probabilidade do acontecimento impossível é zero. Isto é 0)( P

Demonstração: 0)(011)(1)()(______

PEPEPPE c.q.d

3.Se A, B e C são acontecimentos incompactíveis dois a dois, então )()()()( CPBPAPCBAP .



6 de Fev Demonstração: ).()()()()(])[()( CPBPAPCPBAPCBAPCBAP c.q.d

4.Sendo A e B dois acontecimentos quaisquer, tem-se: ).()()()( BAPBPAPBAP

Demonstração: BBABA )\( . No então BA \ e B são conjuntos disjuntos.

Por isso ).()\()( BPBAPBAP

)()\( BABAA e )()\( BABA

Então )()()\()()\()( BAPAPBAPBAPBAPAP

Conclusão: ).()()()()()()( BAPBPAPBPBAPAPBAP

7.6.Determinação da probabilidade de um acontecimento, quanto os acontecimentos

elementares são equiprováveis e não equiprováveis.

Quando E é um espaço de acontecimento equiprovável e tem nelementos, a probabilidade de cada

acontecimento elementar é n

1.Se A for um acontecimento de E e tiver )( nkk elementos, então a

probabilidade de ocorrer o acontecimento A será n

k1

. ou seja n

k

nkAP

1.)(

Considere a experiência que consiste em lançar um dado equilibrado de faces numeradas de 1 a 6.

Os acontecimentos elementares 6;5;4;3;2;1 são igualmente equivocáveis, incompatíveis dois a

dois, e a sua união é o espaço de acontecimento 6,5,4,3,2,1E

Assim: 1)()6()5()4()3()2()1( EPPPPPPP ;6

1)6()5()4()3()2()1( PPPPPP

Veja os acontecimentos seguintes:

A: “ Sair múltiplo de 3”, isto é 6,3A .Atendendo em consideração que 63 A , teremos:

3

1

6

2

6

1

6

1)6()3()( PPAP ou podia ser

3

1

6

2

#

#)(

E

AAP .



6 de Fev 2.No lançamento duma moeda não equilibrada, verifica-se que a probabilidade de sair cara é

dupla da de sair coroa.Determine a probabilidade de sair

a)A face cara

Sabe-se que 3

1121)()( kkkcoroaPcaraP

3

2

3

1.22)( kcaraP .

b)A face coroa

3

1)( coroaP

Em geral:Se os acontecimentos elementares são equiprováveis e incompactavéis dois a dois, a probabilidade

de um acontecimento A é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o

número de casos possíveis.

Isto é: E

A

possiveiscasosdenumero

favoraveiscasosnumeroAP

#

#)(

7.7.Resolução de problemas envolvendo cálculo de probabilidade

1.Uma urna contém 20 bolas vermelhas e 30 bolas brancas.Extrai-se uma bola ao acaso.Qual a

probabilidade de que saia:

a) Uma bola vermelha?5

2:R

b)Uma bola branca?5

3:R

c)Uma bola vermelha ou branca? 1:R

2.Uma urna contém 7 bolas pretas e 6 bolas brancas.Retirando, ao acaso e simultaneamente 8 bolas, qual

é a probabilidade de se obter 4 e só 4 bolas pretas. 4,0:R

3.Uma urna contém 5 bolas: 3 vermelhas numeradas de 1 a 3 e 2 pretas numeradas de 1 a 2.Tira-se uma

bola ao acaso.Calcule a probabilidade de obter:

a)Uma bola numerada com 1.5

2:R

b)Uma bola vermelha.5

3:R c)Uma bola com um número ímpar.

5

3:R



6 de Fev

4.Num grupo de 500 estudantes, 80 estudam Matemática,150 estudam Física,10 estudam Matemática e

Física e 208 não estudam nem Matemática nem Física.Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a

probabilidade de que ele:

a)Estude Matemática e Física?50

1:R

b)Estude somente Matemática?50

7:R

c)Estude Matemática ou Física?25

11:R

d)Estude somente Física?25

7:R

e)Não estude Matemática nem Física?25

14:R

5.(TESTE PROVINCIAL 2012) Uma caixa contém 6 anilhas e 3 parafusos, tiram-se ao simultaneamente

duas peças ao casos. Qual é a probabilidade de ambas as peças serem anilha?12

5:R

6.(TESTE PROVINCIAL 2012) A probabilidade da equipa Ferroviário da Beira ganhar o campeonato

Nacional de futebol é de 0,07.Qual é a probabilidade de ela não ganhar o campeonato? 93,0:R

7.(TESTE PROVINCIAL 2012) De 30 declarações de impostos de MODELO DEZ sabe-se que 10

apresentam erros. Se um fiscal selecionar ao acaso 5 declarações para verificar. Qual é a probabilidade

dessas 5 declarações conterem erros? 002,0:R

8.(TESTE PROVINCIAL 2012) De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso. Qual é a probabilidade de que

a carta seja rei ou copas?13

4:R



6 de Fev

Exercícios de consolidação

1.Calcula o valor de:

a)!10

!8 b)

!5.6

!7!.4 c)

!2003

!2002!2001 d)

!20!19

!19!21

e) 7

3A f) !7 g)!5

. 7

3

5

2 CA

2.Simplifique as seguintes fracções:

a) !)1(

!

n

n b)

!)1(!)2(

!

nn

n c)

!)1(!)1(

!

nn

n d)

!)1(!

!2!)1(

nn

nn e)

)23(!)1(

)2(!)1(2

nnn

nn

f)!!)2(

!)3(2!)3(

nn

nn

g)

!)2(

!)1(3!)1(2

n

nnh)

!

1

n

PP nn

3.Determine o valor de n sabendo que:

a) 56!)3(

!)1(

n

n b)

28

1

!)3(

!)5(

n

n c) 24!)1( nn d) )!(3!)1( nn e) 60

!

!)3(

n

n

f) 13!)1(!)2(

!)3(2!)1(

nn

nn g) 102 nA h) nn AA 57 .30 i) 120)12( nP j) n

n AP 2.720

l) 452 nC n) .213

3

1

5

n

n

C

C

4.Quantos números de três algarismos diferentes podem ser escritos com os algarismos do conjunto

9;8;7;3;1M ?

5.Quantos números de três algarismos se podem representar com os algarismos ( 3, 5, 6 e 8)?

6.Colocaram-se num saco cinco bolas de cores diferentes, verdes,azul,amarela, vermelha e castanha. Tira-

se sucessivamente uma bola até sair amarela.

a)Quantos casos diferentes há em que a bola amarela saia em último lugar?

b)Quantas são as possibilidades de que a bola amarela não saia último lugar?

7.Numa prova de velocidade participam 8 corredores. Quantos são os resultados possíveis para os

primeiros 3 lugares?

8.Trocando de lugar nas aulas de matemática: Os oito alunos da fila frente da Escola Secundaria Mateus

SANSãO Mutemba – Beira decidiram, desde a primeira aula de Matemática, trocar diariamente os lugares

entre si mas de forma a nunca repetir qualquer posição relativa. Na última aula, verificaram que, justamente

nesse dia, acabavam de esgotar todas as hipóteses possíveis. Quantas aulas de Matemática houve nesse ano?



6 de Fev 9.De quantas maneiras diferentes pode -se escolher o chefe da turma e seu adjunto, numa turma de 10

alunos?

10.Os números de telefones de uma cidade são uma sequência de três dígitos diferentes e nenhum deles entra

o algarismo zero. Quantos telefones têm a cidade?

11.Com os algarismos 2,4,6,8 e 9.Quantos números diferentes de algarismos diferentes podemos escrever se:

a) Cada número tem 5 algarismos.

b) Cada número tem 2 algarismos

c)Cada número é impar e tem 4 algarismos.

12.De quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar num carro , se somente uma delas sabe conduzir?

13.Determine o número de palavras diferentes que se podem escrever com as letras de palavras “ VOTE”.

14..De um grupo de 30 alunos de uma turma vai ser feita uma lista de três para representantes da turma.

Quantas listas diferentes são possível fazer?

15.Numa cidade, 4 ruas estão sem nome. Existem 6 nomes para serem atribuídos a essas ruas. De quantas

maneiras diferentes pode ser feita a referida atribuição?

16.De quantas maneiras diferentes pode – se formar uma comissão de 3 professores dentre os 7 de uma

turma?

17.Quatros jogadores disputam um torneio de xadrez, no sistema de campeonato a uma volta, isto é, cada

um deles deve jogar com todos os outros mas apenas uma vez com cada um. Quantos jogos haverá?

18.Três amigos foram ao futebol e cada um comprou uma camisola com a cor do seu clube. No fim

resolveram tirar uma fotografia para recordar o grande desafio a que tinham assistido. De quantos modos

diferentes se podiam posicionar na fotografia?

19.Existem 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e pretende – se escolher 4 lugares entre as cadeiras existentes.

Quantas formas isso pode ser feito?

20.Numa turma de 20 alunos vão ser escolhidos 3 para representar a turma numa reunião do conselho

pedagógico. Quantos grupos podem ser formados sabendo que o chefe da turma deverá fazer parte do grupo?

21.Considera dez pontos diferentes de uma circunferência.

a)Quantas rectas diferentes definidas por esses 10 pontos?

b)Quantos triângulos distintos são determinados pelos 10 pontos?

22.Determine o número de comissões com três membros, sem deferenciação de funções que podem ser

formadas, escolhidas entre 5 raparigas e 5 rapazes.

a) Se qualquer restrição.

b)Com duas raparigas e um rapaz.



6 de Fev 23.De quantos modos diferentes pode ser formada uma comissão de 3 rapazes e 4 raparigas de um grupo

de 8 rapazes e 6 raparigas?

24.De quantas maneiras diferentes pode-se escolher o chefe da turma e seu adjunto, numa turma de 10

alunos?

25.De quantas maneiras diferentes pode-se formar uma comissão de 3 professores dentre os 7 de uma

turma?

26.Desenvolve:

a) 4)13( x b) 4)2( ba c)

4

2

y

y d) 55

3232

27.Determine o termo independente de x no desenvolvimento de:

a)

6

3

3

x b)

50

5

5

1

x

x c)

61

x

x

28.Calcule:

a) O quarto termo do desenvolvimento de

92

xx

b)O quinto termo no desenvolvimento de 93x

c)O termo central do desenvolvimento de 412 x

d)O termo central do desenvolvimento de 832 yx

29.Qual é o termo em 5x no desenvolvimento de 93x

30.Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de 73yx

31.Sabendo - se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binómio mba é igual a 256,

calcule !2

m

32.Determine o valor de , sabendo que a soma dos coeficiente do desenvolvimento de ( ) é 625.

33.Determine o valor do produto dos coeficientes do 2º e do penúltimo termo do desenvolvimento de

( ) .

34.Um dos termos do desenvolvimento de nx 1 é 12 x . Determine o valor de x .



6 de Fev 35.Sendo o binómio ( ) , com .Determine para que no desenvolvimento do binómio , o

coeficiente do 3º termo seja 15.

36.Considere a experiência que consiste em lençar duas moedas ao ar e anotar o resultado das suas faces

superiores.

a)O espaço de acontecimentos

b)O número de acontecimentos possíveis

37.Na prova que consiste em lançar um dado e tomar nota do número da face superior, considere os

acontecimentos:

A: sair múltiplo de 3.

B:Sair número primo

C: Sair número par

D: Sair número superior a 4

38Num lançamento duma moeda ao ar, indique:

a)Um acontecimento certo

b)Um acontecimento impossivel

c)A frequência relativa dum acontecimento certo

d)A frequência relativa do acontecimento” sair cara”

e) A probabilidade de “ sair coroa “

39.Um saco contém 12 bolas, sendo 3 brancas, 5 azuis e 4 pretas.Tirando ao acaso, diga qual a

probabilidade de sair:

a)Bola branca

b)Bola preta

c)Bola branca ou azul

d)Bola vermelha

40.Lançam-se dois dados equilibrados simultaneamente.Qual é a probabilidade de se obter uma soma de

pontos igual a 9?

41.Uma caixa contém 10 camisas das quais 4 são defeituosas. Extraem-se 2 ao acaso.Qual a

probabilidadede que enre estas:

a) Nenhuma camisa é defeituosa

b) Nenhuma camisa é boa.



6 de Fev 42.Uma caixa contém dez camisas das quais quatro são de mangas compridas.Extrai-se duas ao acaso.

Qual é a probabilidade de que nenhuma das camisas extraida seja de mangas compridas?

43.Um casal planeia ter dois filhos. Considerando igual a probabilidade de se ter um filho do sexo

masculino ou feminino, qual é a probabilidade de ambos serem do sexo feminino?

44. Uma urna tem 10 bolas idênticas, enumeradas de 1 a 10. Se retirarmos ao acaso uma bola da urna,

qual é a probabilidade de não obtermos a bola de número 7?

45.Numa determinada empresa há 20 trabalhadores, dos quais 8 são eventuais e 12 são efectivos. Deseja-se

se formar uma comissão de 2 trabalhadores para representar a empresa numa reunião sobre a concertação

salarial. Qual é a probabilidade de os dois trabalhadores escolhidos ao acaso serem efectivos?

46.Uma caixa contém 20 cartões numerados de 1 a 20. Um cartão é escolhido ao acaso. Determine a

probabilidade dos seguintes acontecimentos:

a) O cartão tem o número 11.

b) O cartão tem o número maior que 15.

c) O cartão tem múltiplo de 3.

d) O cartão não tem o número 13.

47.Uma urna contém 10 bolas: 5 azuis, 3 brancas e 2 pretas. Escolhe-se uma bola ao acaso, qual é a

probabilidade de:

a) Ser branca?

b) Ser preta?

c)Ser azul ou preta?

48.Em uma caixa existem sete bolas azuis e dez bolas brancas. Duas bolas são retiradas simultaneamente da

caixa, de forma aleatória. Qual é a probabilidade de serem brancas?

49. Uma urna contém 7 bolas pretas e 6 bolas brancas. Retirando, ao acaso e simultaneamente 8 bolas, qual é

a probabilidade de obter 4 e só 4 bolas pretas?

50.De um baralho de 52 cartas tira – se uma ao acaso. Qual é a probabilidade de que a carta seja:

a) Uma figura?

b) Dama ou às?

c) Rei ou copas?



6 de Fev ESCOLA SECUNDÁRIA MATEUS SANSÃO MUTEMBA-BEIRA

MATEMÁTICA CIÊNCIAS 1° TRIMESTRE/ 2° TESTE

12ªCLASSE DOCENTE:COMODO DIQUE DURAÇÃO: 90 minutos

Esta prova contém 33 perguntas com 4 alternativas de respostas para cada uma. Escolha a

alternativa correcta RISQUE a letra correspondente na mesma.

1.Considere o conjunto 3;1;0;1;2 M .Qual é a proposição verdadeira?

A. 102: xMx B. 402: xMx C. 179: 2 xMx D. 1: 2 xxMx

2.Considere a seguinte tabela: p q p q qp qp

V V F F F t

V F F V x V

F V V F F z

F F V V F F

Quais são os valores de x, t e z, respectivamente?

A.VVV B.VVF C.FVF D.VFV

3.Qual é a escrita simbólica de “ o quadrado de um número real é não negativo”

A. 0: 2 xIRx B. 0: 2 xIRx C. 0: 2 xIRx D. 0: 2 xIRx

4.A soma de quaisquer números naturais é sempre maior que zero.Qual é o quantificador

correcto?

A. 0:, yxINyx C. 0:, yxINyx

B. 0:, yxINyx D. 0:, yxINyx

5.Qual é a negação ?312: xIRx

A. 312: xIRx C. 312: xIRx

B. 312: xIRx D. 312: xIRx

6.Qual das expressões é racional inteira?

A.5

328

x

x B.

4

12

x

x C. xx 352 D. 75

3

2 2 xx

7.Qual é o valor de 32

3227

1

3

32

2 log2loglog ?

A.1 B.5 C.7 D.8

8.Qual é a equação cujas raízes são 2

7 e 1?

A. 0752 2 xx B. 0752 2 xx C. 0752 2 xx D. 0752 2 xx

9.Qual é a soma das raízes da equação 043 23 xxx ?

A. 4 B. 3 C. 0 D. 1



6 de Fev 10.Qual é a solução da equação 032 x ?

A.3 B.5 C.7 D.11

11.Qual é a expressão equivalente a 1

1

x

x?

A.1

1

x B. 1x C.

1

1

x

x D. 1x

12.Qual é a distância entre os pontos A (1;2) e B(4;5)?

A. 8 B. 14 C. 18 D. 24

13.Qual é a equação da recta que passa pelo ponto A (5;-3) e é paralela á recta ?12 xy

A. 132 xy B. 132 xy C. 12 xy D. 12 xy

14.Qual é a distância do ponto P( 2;5) á recta de equação ?643 yx

A.0 B.1 C.2 D.4

15.A distância entre os pontos da recta numérica cujas abcissas são x e 2 é igual a 4.

Como se escreve simbolicamente esta afirmação?

A. 24 x B. 24 x C. 42 x D. 42 x

16.Qual é o conjunto solução da equação ?513 x

A.

2;3

4 B.

3

4;2 C.

2;

3

4 D.

3

4;2

17.A que é igual a soma das soluções da equação ?212 xx

A.3

8

B.

3

4

C.

3

2

D.

3

1

18.Sendo 2

1x ,a que é igual ?12 x

A. 12 x B. 12 x C. 12 x D. 12 x

19.Seja )(2)( xsenxf uma função de domínio IR.Qual é o contradomínio da função ?)(xfy

A. 2;2 B. 2;2 C. 2;0 D. 2;0

20.Qual é o contradomínio da função ?1)( xxg

A.IR B.

0IR C.

0IR D. IR



6 de Fev

21.Qual é a solução da inequação ?53

5

x

A. x B. 3x C. 3x D. IR

22.Qual é a expressão equivalente a ?!)1(

!!)1(

n

nn

A. nn 22 B. 2n C. nn 22 D. 122 nn

23.Sendo 30!)2(

!

n

n, qual é o valor de n?

A.2 B.4 C.5 D.6

24.Na equação 211

2 nC , com INn e 1n , qual é o valor de n?

A.4 B.5 C.6 D.7

25.De quantas maneiras diferentes três amigos podem se posicionar numa fila para tirar uma

fotografia?

A.3 B.6 C.9 D.12

26.Quantos números de 3 algarismos diferentes podem ser escritos com os algarismos do

conjunto ?9;8;7;3;1M

A.10 B.15 C.60 D.125

27.De quantas maneiras diferentes pode-se formar uma comisão de 3 professores dentre os 7 de

uma turma?

A.6 B.35 C.210 D.5040

28.Qual é o quarto termo do desenvolvimento de

92

xx , com 0x

A.3672x B.

2672x C. x672 D. 672

29.Um casal planeia ter dois filhos.Considerando igual a probabilidade de se ter um filho de sexo

Masculino ou feminino, qual é a probabilidade de ambos serem do sexo feminino?

A.25% B.50% C.75% D.100%



6 de Fev 30.A Maria pretende ter filhos. Sabe-se que a probabilidade de NÃO engravidar por mês é de 0,3.

Qual é a probabilidade de engravidar por mês?

A.1 B.0,7 C.0,5 D.0,3

31.Duas moedas são lançadas uma vez ao mesmo tempo.Qual é a probabilidade de ao cairem,

apresentarem faces idênticas?

A.4

1 B.

2

1 C.

4

3 D.1

32.Numa certa familia, 10 pessoas jogam futebol, 8 andebol e 3 praticam as duas modalidades.

Qual é a probabilidade de, ao escolher ao acaso um membro desta familia, seja somente

praticante de andebol?

A.5

1 B.

3

1 C.

3

2 D.

2

1

33.Uma caixa contém 10 camisas das quais 4 são defeituosas e as restantes são boas. Extrairam-se duas

camisas ao acaso, qual é a probabilidade dentre estas nenhuma camisa seja defeituosa?

A.3

1

B.

3

2 C.

2

1

D.

4

1

Unidade Tematica II

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