Unidade_1 Sistemas Digitais

Sistemas Digitais

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 2

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Introdução

As grandezas da natureza podem ser classificadas em dois grandes

grupos. O primeiro, o das grandezas discretas, concentra aquelas cuja

dimensão pode assumir um número finito de níveis ou valores diferentes.

Esse é o caso, por exemplo, do número de alunos dentro de uma classe, ou

o número de páginas de um livro. No segundo grupo, o das grandezas

contínuas, estão concentradas as grandezas cuja dimensão pode assumir

infinitos níveis ou valores diferentes. Como exemplo, cita-se a altura média

dos alunos de uma classe ou o peso de um livro.

Os computadores analógicos, que podem ser implementados a partir

de amplificadores operacionais, são especialmente indicados para o

processamento das grandezas contínuas. No entanto, apesar das vantagens

inerentes aos computadores analógicos, como maior velocidade e maior

simplicidade na implementação de funções complexas (somadores,

subtratores, multiplicadores, integradores e diferenciadores), esses

apresentaram problemas (como dificuldade de controle das margens de ruído

eletromagnético e não linearidades) que inviabilizaram sua utilização em

larga escala e restringiram seu uso quase que exclusivamente à área de

controle de sistemas.

Desta forma, o impulso para o desenvolvimento dos computadores

digitais, capazes de processar as grandezas discretas ou que podem assumir

um número finito de níveis, é resultado das dificuldades em implementar

computadores cujas variáveis ou operandos assumem infinitos valores

diferentes. Destacam-se nesse processo os computadores digitais

atualmente em uso em todo o mundo, em que o sistema de numeração

utilizado é o sistema binário.


Sistema binário O sistema de numeração mais difundido e mais utilizado pela

humanidade é o sistema decimal ou de base 10. A razão para tanto está no

fato do homem nascer com um computador sempre à mão, ou melhor, nos

10 dedos das mãos! Isso torna natural o ato de agrupar ou construir

conjuntos de 10 objetos.

Embora seja natural o ato de construir grupos de 10 coisas, registros

históricos mostram que importantes civilizações do passado se

desenvolveram usando sistemas de numeração de base diferente de 10, tais

como base 12 e base 60, caso das civilizações mesopotâmicas - sumérios,

babilônios e assírios. A matemática desses povos antigos influenciou

civilizações ocidentais, como é o caso da Grã-Bretanha e suas colônias que,

durante muito tempo, trabalharam com um sistema de numeração

de base 12.

Por esse motivo, o ano possui 12 meses, o dia tem 24 horas e uma

hora possui 60 minutos. Outro legado desses povos é a divisão da

circunferência em 360 graus (6 vezes 60). Atualmente, mesmo no Brasil, é

possível se comprar produtos em quantidades múltiplas de 12, ou em dúzias.

No sistema de numeração decimal os números são representados

como uma somatória de múltiplos de 10n, em que os algarismos 0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8 e 9 são os multiplicadores. Os expoentes das potências 10n

correspondem às posições dos multiplicadores dentro do número, contadas

da direita para a esquerda, iniciando pela posição 0. Assim, considerando o

número 1987 como exemplo, sua decomposição pode ser feita da seguinte

maneira:

1987 = 1000 + 900 + 80 + 7 = 1.1000 + 9.100 + 8.10 + 7.1

1987 = 1 milhar + 9 centenas + 8 dezenas + 7 unidades

1987 = 1.103 + 9.10

2 + 8.10

1 + 7.10

0

Analogamente, para se estudar como é feita a representação de

números numa base 2 ou binário é razoável supor que os números sejam

representados como somatórias de múltiplos de 2n, e que os possíveis

algarismos multiplicadores sejam 0 e 1. Assim, para representar números na

base 2, devemos somar múltiplos de:

20 =1 2

1 = 2 2

2 = 4 2

3 = 8

24 =16 2

5 = 32 2

6 = 64 2

7 = 128

28 = 256 2

9 = 512 2

10=1024 2

11=2048


Vamos procurar, por exemplo, uma representação binária para número

27 que está representado na base 10. A maior potência de 2 que não excede

27, é 16. Assim:

27 = 16 + 11

Analogamente para o número 11 que ainda está representado como

uma potência de 10, tomamos o número 8, que é a maior potência de 2, que

não excede 11. Logo:

27 = 16 + (8 + 3) = 16 + 8 + 3

Finalmente, transformamos o número 3 numa soma de 2 e 1, que são

duas potências de 2:

27 = 16 + 8 + (2 + 1) = 16 + 8 + 2 + 1

27 = 1.16 + 1.8 + 0.4 + 1.2 + 1.1 = 1. 24 + 1. 2

3 + 0. 2

2 + 1. 2

1 + 1. 2

0

Tomando-se, novamente, apenas os algarismos multiplicadores da

representação binária temos:

2710 = 110112

Generalizando, num sistema genérico de base B, os números serão

representados como uma somatória de múltiplos de Bn e os possíveis

multiplicadores serão os algarismos de 0, 1, ..., (B-1). Os expoentes das

potências Bn correspondem às posições dos multiplicadores dentro do

número, contadas da direita para a esquerda, a partir da posição 0. Por

essa razão, o sistema de numeração é dito posicional.

Na tabela a seguir estão representados alguns dos mais importantes

sistemas de numeração:

Sistema Base Algarismos

Binário 2 0 e 1

Ternário 3 0, 1 e 2

Quaternário 4 0, 1, 2 e 3

Quintenário 5 0, 1, 2, 3 e 4

Octal 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7

Decimal 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Hexadecimal 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e

F


Dos sistemas apresentados, aqueles que são de maior interesse para

este curso, são os de bases 2, 4, 8 e 16, respectivamente binário,

quaternário, octal e hexadecimal. No entanto, os sistemas ternário e

quintenário são de grande valia no estudo dos procedimentos utilizados na

mudança de bases.

Apresentando a representação do número 27 em diversas dessas

bases, tem-se:

2710 = 110112 = 10003 = 1234 = 1025

Convertendo-os novamente para a base 10, temos:

10003 = 1.33 + 0.3

2 + 0.3

1 + 0.3

0 = 1.27 + 0.9 + 0.3 + 0.1 = 2710

1234 = 1.42 + 2.4

1 + 3.4

0 = 1.16 + 2.4 + 3.1 = 16 + 8 + 3 = 2710

1025 = 1.52 + 0.5

1 + 2.5

0 = 1.25 + 0.5 + 2.1 = 25 + 2 = 2710

Como é possível se verificar pelos exemplos acima, quando houver

dúvida sobre que sistema de numeração está sendo utilizado num

determinado contexto, utilizam-se índices, iguais à base utilizada, à direita

das representações. As dúvidas que por ventura existirem durante a

utilização dos sistemas binário, octal e hexadecimal, podem ser eliminadas,

respectivamente pelas letras B, O e H, agregadas à direita das

representações numéricas, como segue:

100111112 = 10011111B

2378 = 237O

B80016 = B800H

Cada algarismo de uma representação numérica binária é denominado

de bit, que corresponde à abreviatura de binary digit. Existem ainda outras

denominações que aparecem frequentemente na área de computação, como:

byte = conjunto de 8 bits

nibble = conjunto de quatro bits ou meio byte

word = conjunto de 16 bits ou dois bytes


Procedimento prático para mudança de base

Este procedimento consiste em dividir o número representado na base

10 sucessivamente pela nova base em que se deseja representá-lo, até que

o quociente da divisão seja menor que a base em questão. Em seguida,

toma-se o último quociente e os restos das sucessivas divisões em ordem

inversa e obtém-se, assim, a representação do número na nova base.

Veja o número 6 cuja conversão para a base 2 foi mostrada:

6 2

0 3 2

1 1 Logo 610 = 1102

Executando o mesmo procedimento para o número 27 em várias

bases:

a) Na base 2

27 2

1 13 2

1 6 2

0 3 2

1 1 Logo 2710 = 110112

b) Na base 3

27 3

0 9 3

0 3 3

0 1 Logo 2710 = 10003

c) Na base 4

27 4

3 6 4

2 1 Logo 2710 = 1234

d) Na base 5

27 5

2 5 5

0 1 Logo 2710 = 1025

Como é possível verificar pelos exemplos acima, os valores obtidos


para as representações nas diversas bases são os mesmos já apresentados

anteriormente.

Conversão entre bases 2n

A conversão de números representados na base 2 para as bases 4, 8

e 16, e em sentido contrário, é muito simples de ser executada. O interesse

nessa conversão reside no fato de que os sistemas computacionais

frequentemente se utilizam da base 16 para representação de endereços

dentro de suas memórias.

Para se converter um número representado na base 2 para uma

base 2n, n 2, deve-se agrupar, da direita para a esquerda, os

bits da representação binária em grupos de n bits e substituir

cada grupo pela sua correspondente representação na base 2n.

Exemplo: Converter o número 100001112 para as bases 4, 8 e 16:

a) Para a base 4 = 22, n = 2:

100001112 = 10 00 01 11 = 2 0 1 3 = 20134

o valor correspondente na base 10, é:

20134 = 2.43 + 0.4

2 + 1.4

1 + 3.4

0 = 2.64 + 0.16 + 1.4 + 3.1

= 128 + 4 + 3 = 13510

b) Para a base 8 = 23, n = 3:

100001112 = 010 000 111 = 2 0 7 = 2078


2078 = 2.82 + 0.8

1 + 7.8

0 = 2.64 + 0.8 + 7.1

= 128 + 7 = 13510

c) Para a base 8 = 24, n = 4:

100001112 = 1000 0111 = 8 7 = 8716



8716 = 2.82 + 0.8

1 + 7.8

0 = 2.64 + 0.8 + 7.1

=128 + 7 = 13510

Para executar a conversão de um número representado numa

base 2n, n 2, para sua representação na base 2 devemos

substituir, da direita para a esquerda, cada um de seus

algarismos pela sua correspondente representação binária em

grupos de n bits.

Exemplo: Converter os número 324, 2378 e B80016 para a base 2:

a) 324 = 3 2 = 11 10 = 11102

b) 2378 = 2 3 7 = 010 011 111 = 100111112

c) B80016 = B 8 0 0 = 1011 1000 0000 0000 = 10111000000000002

Conversão de números fracionários

Para se estudar como é feita a conversão de números fracionários

para sua correspondente representação na base 2 vamos, primeiramente,

estudar sua representação na base 10. Consideremos o número 0,375 e

vamos efetuar sua decomposição da seguinte maneira:

0,375 = 0,3 + 0,07 + 0,005

0,375 = 3 . 0,1 + 7 . 0,01 + 5 . 0,001

0,375 = 3 décimos + 7 centésimos + 5 milésimos

0,375 = 3.10-1

+ 7.10-2

+ 5.10-3

No sistema decimal, os números são representados como uma

somatória de múltiplos de 10n, onde n < 0, e os multiplicadores os

algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Para o sistema binário, é razoável

supor que os números sejam representados como somatórias de múltiplos

de 2n, onde n < 0, e os possíveis algarismos multiplicadores sejam 0 e 1.

Assim, para representar números na base 2, devemos somar múltiplos de:

2-1 = 0,5 2-2 = 0,25 2-3 = 0,125

2-4 = 0,0625 2-5 = 0,03125 2-6 = 0,015625

Exemplos: Converter os número 0,375 e 0,1875 para a base 2.


a) 0,375 = 0,25 + 0,125

= 2-2

+ 2-3

= 0.2-1

+ 1.2-2

+ 1.2-3

= 0,0112

b) 0,1875 = 0,125 + 0,06125

= 2-3

+ 2-4

= 0.2-1

+ 0.2-2

+ 1.2-3

+ 1.2-4

= 0,00112

Procedimento prático

A conversão de um número fracionário para binário é obtida por meio

de sucessivas multiplicações desse número pela própria base 2. A parte

inteira do resultado da primeira multiplicação será o valor da primeira casa

fracionária e a parte fracionária deverá ser novamente multiplicada pela base,

e assim por diante, até que parte fracionária do produto seja igual a zero ou

até que seja obtido o número de casas decimais desejado.

Exemplos: Converter os número 0,375 e 0,1875 para a base 2.

a) 0,375 x 2 = 0,750

0,750 x 2 = 1,500

0,500 x 2 = 1,000 0,3752 = 0,0112

b) 0,1875 x 2 = 0,3750

0,3750 x 2 = 0,7500

0,7500 x 2 = 1,500

0,5000 x 2 = 1,000 0,18752 = 0,00112


PROBLEMAS PROPOSTOS

1) Converta os números do sistema decimal para o sistema binário:

a) 13 b) 94 c) 356 d) 39 e) 59 f) 128 g) 10,25

h) 25,125

2) Converta os números do sistema binário para o sistema decimal:

a) 11011 b) 101 c) 10001 d) 10111 e) 1001001 f) 101,1

g) 11111,111

3) Converta os números do sistema decimal para o sistema octal:

a) 94 b) 155 c) 150 d) 187

4) Converta os números do sistema binário para o sistema octal:

a) 1101 b) 10001 c) 101 d) 10111 e) 1001001 f) 1101100

g) 11100111

5) Converta os números do sistema octal para o sistema decimal:

a) 2376 b) 2403 c) 22632 d) 152 e) 1000 f) 13002

6) Converta os números do sistema octal para o sistema binário:

a) 56 b) 43 c) 2312 d) 1301 e) 4354 f) 2222

7) Converta os números do sistema decimal para o sistema

hexadecimal:

a) 33 b) 54 c) 801 d) 932 e) 1110 f) 2566

8) Converta os números do sistema hexadecimal para o sistema

decimal:

a) AAAA b) 1511 c) AB01 d) 1500 e) 120 f) 33

9) Converta os números do sistema binário para o sistema

hexadecimal:

a) 10110111 b) 10011100 c) 1011111111 d) 11101 e)


110011 f) 111101,01

10) Converta os números do sistema hexadecimal para o sistema

binário:

a) CD b) 649 c) A13 d) AA1A e) AB2 f) 23,4


BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1. TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L., Sistemas

Digitais: Princípios e Aplicações, Prentice Hall Brasil, 2007.

2. UYEMURA, John P., Sistemas Digitais: Uma Abordagem Integrada,

São Paulo, Thomson Pioneira, 2002.

3. VAHID, Frank; LASCHUK, Anatólio, Sistemas Digitais: projeto,

otimização e HDLs, Bookman, 2008.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

1. ERCEGOVAC, Milos D.; LANG, Tomas e MORENO, Jaime H., Introdução

aos Sistemas Digitais, Porto Alegre, Bookman, 2000.

2. IDOETA, Ivan V.; CAPUANO, Francisco G., Elementos de eletrônica

digital. Livros Érica Editora. Ltda, 2002.

3. TAUB, Herbert; SCHILLING, Donald, Eletrônica Digital, São Paulo.

McGraw-Hill, 1982.

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