Unidade_4 Sistemas Digitais

Sistemas Digitais

MAPA DE KARNAUGH

Sistemas Digitais – MAPA DE KARNAUGH 2

MAPA DE KARNAUGH

Introdução

A simplificação de expressões booleanas através da aplicação das

Propriedades e Teoremas da Álgebra Booleana pode ser um processo

trabalhoso e que nem conduz aos resultados esperados. Isto porque, além de

ser exigida muita prática, pode ser muito difícil determinar o conjunto exato

de propriedades e teoremas a utilizar. Uma outra desvantagem é que

frequentemente é difícil dizer se uma expressão foi reduzida a sua forma

mais simples.

O Mapa de Karnaugh fornece um método gráfico de agrupar

expressões com fatores comuns e eliminar redundâncias lógicas. O Mapa de

Karnaugh, também descrito como um arranjo especial de uma Tabela da

Verdade, é constituído de determinado número de células separadas de suas

vizinhas por uma unidade de distância (uma variável) entre os termos

booleanos. Este método gráfico de representação de funções e de aplicação

sistemática do processo de simplificação algébrica permite a fácil

determinação da expressão mínima da função na forma de Soma de

Produtos.

Definição

Um Mapa de Karnaugh é uma matriz com 2n células, onde n é o

número de variáveis da função e onde cada célula está associada a um

mintermo (produto) da Soma de Produtos.

As células do Mapa de Karnaugh são arranjadas de forma que

produtos logicamente adjacentes sejam, também, graficamente adjacentes.

Dois produtos são logicamente adjacentes quando diferem em apenas uma

variável. Os produtos abaixo, por exemplo, são logicamente adjacentes

porque diferem apenas pela variável X.

YX e YX ,


O diagrama abaixo ilustra a correspondência entre o Mapa de

Karnaugh e a Tabela Verdade para o exemplo geral de um problema

de duas variáveis.

Tabela Verdade

X Y F

0 0 a

0 1 b

1 0 c

1 1 d

Mapa de Karnaugh

X 0 1

0 a b

1 c d

Mintermos

X 0 1

0 m0 m1

1 m2 m3

Produtos

X 0 1

0 YX . YX .

1 YX . YX .

Os valores anotados dentro dos quadrados devem ser cópias dos

valores anotados na coluna referente à variável de saída da Tabela

Verdade. Existe, portanto, um quadrado no mapa para cada fileira na Tabela

de Verdade. Estes quadrados do Mapa de Karnaugh são denominados

células. Ao longo dos contornos do Mapa, aparecem os valores que as duas

variáveis de entrada podem assumir, como coordenadas. A variável X do

lado esquerdo das linhas e a variável Y está no topo das colunas.

Com o objetivo de mostrar o esquema de mapeamento das

informações da Tabela Verdade para o Mapa de Karnaugh seja a função F

apresentada a seguir:

Tabela Verdade

X Y F

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

Mapa de Karnaugh

X 0 1

0 1 0

1 1 1

A célula no canto superior direito do mapa acima tem as coordenadas

X = 0 e Y = 1 recebe o valor F = 0 da função, as demais células recebem o

valor F = 1.

Antes de avançar sobre a técnica de simplificação com o Mapa de

Karnaugh, vamos obter as expressões da função anterior diretamente da

Y

Y

Y

Y


Tabela Verdade, segundo as técnicas conhecidas:

Expressão Produto de Somas

X Y F

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

Z = X+ Y

Expressão Soma de Produtos

X Y F

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

X.Y.YX.YXZ

Recorrendo-se aos teoremas já estudados vamos tentar reduzir a

expressão na forma Soma de Produtos:

XY XY XY = XY XY XY XY

Y X +X ) +X(Y Y) = Y 1 +X 1= X +Y(

Z = X+ Y

Do procedimento anterior, obteve-se a forma reduzida (ou mínima) da

equação Soma de Produtos que, neste caso, corresponde à própria

equação na forma Produto de Somas.

Retornando-se ao Mapa de Karnaugh com os produtos da função em

estudo que irão compor sua expressão na forma Soma de Produtos, é

possível se constatar que o procedimento de simplificação anterior consistiu

em agrupar os mesmos como mostrado:

Produtos

X 0 1

0 YX .

1 YX . YX .

Mapa de Karnaugh

X 0 1

0 1

0

1 1

1

Observando-se a forma como foram agrupados os produtos no mapa à

esquerda constata-se que, para o grupo vertical, a variável comum ( Y )

permaneceu na equação da função enquanto que as variáveis diferentes ( X

e X ) foram eliminadas. O mesmo pode ser constatado da observação dos

termos do grupo horizontal, onde foram eliminadas da equação da função

as variáveis diferentes ( Y e Y ) e mantida a variável comum ( X ).

Y Y


Fazendo-se um paralelo entre os agrupamentos de produtos com o

mapa anterior à direita, é possível se perceber que apenas seus “1’s” foram

utilizados na simplificação da função. Mais que isso, é possível se perceber

que uma análise do valor das variáveis em cada grupo é suficiente para se

determinar sua utilização ou não na equação da função.

De fato, observando-se o grupo de “1’s” vertical constata-se que a

variável Y possui sempre o mesmo valor (Y = 0), indicando que a mesma

deve ser mantida na expressão. Já a variável X assume valores diferentes

em cada célula do grupo (X = 0 e X = 1) indicando que deve ser eliminada. O

mesmo pode ser constatado da observação dos “1’s” do grupo horizontal,

onde a variável X foi mantida, por assumir um único valor (X = 1), e a variável

Y foi eliminada, por assumir diferentes valores (Y = 0 e Y = 1).

Regras de Agrupamento das Células O Mapa de Karnaugh usa as seguintes regras para a simplificação das

expressões pelo agrupamento de células adjacentes que contêm 1's (uns).

Os grupos não podem incluir nenhuma célula que contenha

um 0 (zero)

B 0 1

0 0

1 1

Errado

B 0 1

0

1 1

1

Certo

Os grupos podem ser horizontais ou verticais, mas não

diagonais.

B 0 1

0

1

1 1

Errado

B 0 1

0 1

1 1

1

Certo

Os grupos devem conter 1, 2, 4, 8 ou, em geral, 2n células.

B 0 1

B 00 01 11 10

A

A A

A AC

A


0 1

1 1

Certo

0 1

1 1

1

Errado

B 0 1

0 1

1

1 1 1

Errado

B 00 01 11 10

0 0

0 0 1

1 1 1 1 1

Errado

Cada grupo deve ser tão grande quanto possível.

B 00 01 11 10

0 1

1 1

1

1 1 1

Certo

B 00 01 11 10

0 1

1 1

1

1 1

1

Errado

Obs: No segundo caso, não seria obtida a função mínima.

Cada célula que contém um deve pertencer a menos em um

grupo.

B 00 01 11 10

0 1

1

1 1

Errado

B 00 01 11 10

0 1

1

1 1

Certo

Obs: No primeiro caso, a célula não marcada fica fora da expressão

da função.

Os grupos podem se sobrepor.

B 00 01 11 10

0 1 1

1 1

B 00 01 11 10

0 1

1 1 1

A AC

AC

AC

AC

AC

AC

AC


1 1 1

Certo

1 1

1

Errado

Obs: No segundo caso, não seria obtida a função mínima.

Os grupos podem envolver células em torno do mapa.

Assim, a célula mais à esquerda em uma fila pode ser agrupada com a

célula mais à direita ou a célula superior em uma coluna pode ser agrupada

com a célula inferior.

B 00 01 11 10

0 1

1

1 1 1

Errado

B 00 01 11 10

0 1

1

1 1 1

Certo

Deve haver tão poucos grupos quanto for possível, desde

que esta regra não contrarie alguma das regras

precedentes.

B 00 01 11 10

0 1

1 1 1

1 1 1

Certo

B 00 01 11 10

0 1

1 1

1

1 1

1

Errado

Resumindo

Não são permitidos zeros.

Não são permitidos grupos na diagonal.

Somente potências de 2 no tamanho do grupo.

Os grupos devem ser tão grandes quanto possível.

AC

AC

AC

AC


Cada um deve estar em pelo menos um grupo.

Sobreposições são permitidas.

Permitidos grupos em torno do mapa.

Poucos grupos permitidos, se isto não violar qualquer das

regras acima.

Regras de Extração das Funções Simplificadas A extração da expressão booleana simplificada do Mapa de Karnaugh

é realizada como descrito no procedimento detalhado a seguir.

Cada grupo representa um termo em uma expressão na forma

Soma de Produtos que será obtida.

Os valores de todas as variáveis nas células de cada grupo devem ser

verificados e os termos da expressão obtidos da seguinte maneira:

Se uma variável tiver o valor “1” em cada célula de um grupo,

então o termo para esse grupo incluirá essa variável.

Se uma variável tiver o valor “0” em cada célula de um grupo,

então o termo para esse grupo incluirá a negação dessa

variável.

Se uma variável tiver o valor “0” em algumas células de um

grupo e o valor “1” em outras células do grupo, então o termo

para esse grupo não incluirá essa variável.

Exemplos de Aplicação

Nesta seção serão apresentadas as soluções de alguns problemas

típicos sobre a obtenção da expressão mínima de uma função por meio do

uso do Mapa de Karnaugh.

Exemplo 1: Um circuito tem duas variáveis A e B de entrada e uma

variável Z de saída. Utilizando o Mapa de Karnaugh, determine da

expressão mínima da função Z.

Tabela Verdade

A B F

Mapa de Karnaugh

B


0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 1

ABBA)B,A(fZ

A 0 1

0

1 1

1

Z = f(A,B) = A

Os “1´s” adjacentes são agrupados. Como variável A não muda de

valor será escrita diretamente na expressão. Já que a variável B é eliminada

porque muda de valor.

Partindo-se da expressão Soma de Produtos e usando as técnicas de

simplificação algébrica, é possível se constatar a correção desse resultado:

ABBA)B,A(fZ

B)BA()B,A(fZ

1.A)B,A(fZ

A)B,A(fZ

Exemplo 2: Um circuito tem duas variáveis A e B de entrada e uma

variável Z de saída. Utilizando o Mapa de Karnaugh, determine da

expressão mínima da função Z.

Tabela Verdade

A B Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

.BABA.B.A)B,A(fZ

Mapa de Karnaugh

A 0 1

0 1

1 1

1

Z = f(A,B) = A

Utilizando as regras de agrupamento e de extração, pelo

agrupamento de pares de 1´s como mostrados acima, a resposta simplificada

é obtida usando as seguintes etapas:

Dois grupos podem ser formados, tendo-se em mente que os maiores

conjuntos retangulares que podem ser feitos consistem em dois 1´s.

Note que um 1 pode pertencer a mais de um grupo.

grupo vertical, consiste de dois “1´s” que correspondem às células de

coordenadas A = 0 e B = 1 e A = 1 e B = 1. Visto de outra maneira, as

B


células do grupo são aquelas onde B = 1, independente do valor de A.

Assim quando B = 1 a saída deverá ser 1. A expressão da saída

conterá o termo B.

grupo horizontal corresponde à área do mapa onde A = 1. O grupo

pode ser definido como A. Isto implica que quando A = 1 a saída é 1.

Consequentemente, a saída é igual a 1 para A = 1 ou B = 1. Logo a

expressão simplificada é:

Z = A + B

Construção do Mapa de Karnaugh O Mapa de Karnaugh permite a minimização de funções booleanas de

forma sistemática e segura. Constituindo-se em uma ferramenta geométrica

alternativa para a representação da Tabela Verdade, tem a numeração de

suas células guardando uma relação direta com a numeração dos

mintermos. A figura a seguir mostra a correspondência entre a numeração

das linhas Tabela Verdade e a numeração das células do Mapa de Karnaugh

para funções de 1, 2, 3 e 4 variáveis.

Uma Variável

Tabela Verdade

A A Z

0 0 0 0

1 0 1 1

Mapa de Karnaugh

A 0 1

0 1

Duas Variáveis

Tabela Verdade

A B Z

0 0 0 0

1 0 1 1

2 1 0 1

3 1 1 0

Mapa de Karnaugh

A 0 1

0 0 1

1 2 3

Três Variáveis

B

1

1

1


Tabela Verdade

A B C Z

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

Mapa de Karnaugh

A 00 01 11 10

0 0 1 3 2

1 4 5 7 6

Quatro Variáveis

Tabela Verdade

A B C D Z

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0

2 0 0 1 0 0

3 0 0 1 1 0

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 1

6 0 1 1 0 0

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 0

9 1 0 0 1 0

10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1 0

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 0

15 1 1 1 1 1

Mapa de Karnaugh

AB 00 01 11 10

00 0 1 3 2

01 4 5 7 6

11 12 13 15 14

10 8 9 11 10

Exemplo 3: Utilizando o Mapa de Karnaugh, determine da expressão

mínima da função F cujas três variáveis de entrada são X, Y e Z.

Tabela Verdade

X Y Z F

0 0 0 0 1

Mapa de Karnaugh

BC

CD

1 1

1 1

1

1

1

1

YZ


1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 0

X 00 01 11 10

0 0 1 3 2

1 4 5 7 6

ZXZY = Z)Y,F(X,



Tabela Verdade

A B C D Z

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0

2 0 0 1 0 0

3 0 0 1 1 0

4 0 1 0 0 1

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 0

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 0

10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1 0

12 1 1 0 0 1

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 1

15 1 1 1 1 0

Mapa de Karnaugh

AB 00 01 11 10

00 0 1 3 2

01 4 5 7 6

11 12 13 15 14

10 8 9 11 10

DADC = D)C,B,F(A,



Tabela Verdade

X Y Z F

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

Mapa de Karnaugh

X 00 01 11 10

0 0 1 3 2

1 4 5 7 6

1 1

1

1

YZ

1 1

1

1

CD

1

1 1

1

1

1


3 0 1 1 1

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 0

ZXZY = Z)Y,F(X,

Problemas Propostos 1) Obtenha as funções simplificadas correspondentes aos seguintes

Mapas de Karnaugh de 3 variáveis:

2) Obtenha as funções simplificadas correspondentes aos seguintes

Mapas de Karnaugh de 4 variáveis:

3) Utilizando o Mapa de Karnaugh, simplifique as seguintes funções

lógicas, apresentando o resultado na forma Soma de Produtos:

a) F(A,B,C) = ΠM(0,2,6,7)

b) F(A,B,C) = Σm(0,2,3,4,5,6)

c) F(A,B,C,D) = Σm (2,5,7,11,13,15)

d) F(A,B,C,D) =Σm(3,4,5,6,7,12,13)


e) F(A,B,C,D) =Σm(1,5,6,7,11,12,13,15)

f) F(A,B,C,D) = Σm(1,5,6,7,8,9,10,14)

g) F(A,B,C,D) =Σm(0,2,8,10)

h) F(A,B,C,D) = ΠM(2,6,10,14)

4) Considere a seguinte função:

a) Simplifique a função usando um mapa de Karnaugh.

b) Obtenha o mesmo resultado algebricamente

5) Simplificar a expressão utilizando o Mapa de Karnaugh:

6) Dada a expressão a seguir, obtenha o circuito otimizado a partir do

Mapa de Karnaugh.

7) Utilizando o Mapa de Karnaugh, demonstre que o circuito (a) pode

ser minimizado e implementado como mostrado em (b).


BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1. TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L., Sistemas

Digitais: Princípios e Aplicações, Prentice Hall Brasil, 2007.

2. UYEMURA, John P., Sistemas Digitais: Uma Abordagem Integrada,

São Paulo, Thomson Pioneira, 2002.

3. VAHID, Frank; LASCHUK, Anatólio, Sistemas Digitais: projeto,

otimização e HDLs, Bookman, 2008.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

1. ERCEGOVAC, Milos D.; LANG, Tomas e MORENO, Jaime H., Introdução

aos Sistemas Digitais, Porto Alegre, Bookman, 2000.

2. IDOETA, Ivan V.; CAPUANO, Francisco G., Elementos de eletrônica

digital. Livros Érica Editora. Ltda, 2002.

3. TAUB, Herbert; SCHILLING, Donald, Eletrônica Digital, São Paulo.

McGraw-Hill, 1982.

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