UNIFEB (Sugestão de Estudo) - Básicasfeb.unifeb.edu.br/dmdocuments/apostila-calculo.pdf · AUTOR:...

AUTOR:

Luiz Henrique M. da Silva

Graduado em Matemática e

habilitado em Física pelo UNIFEB.

Especialista em Educação

Matemática pela Faculdade São

Luís.

Mestre em Matemática pela

Unesp (S.J.R.P.) – IBILCE –

PROFMAT (SBM) /CAPES.

Programa de Matemática em

rede Nacional -

Fevereiro 2016

UNIFEB Barretos/ SP

Ementa

1. Funções

Definição; Função polinomial; Racional e Algébricas; Função composta; Funções crescentes e decrescentes, pares e ímpares; Pontos de máximo e mínimo de uma função;

2. Limites Noções intuitivas; Conceito teórico; Técnicas de indeterminação; Limites que envolvem infinito; Continuidade de função.

3. Derivadas Definição; Reta tangente e taxa de variação; Interpretação geométrica; Técnicas de diferenciação; Regra da cadeia; Derivada de ordem superior;

Aplicações de derivada. 4. Limites fundamentais:

Definição; Limites exponenciais e logaritmos; O número e, o Logaritmo natural; Regra de L´Hôpital; Limites trigonométrico fundamental e limites trigonométricos

elementares. 5. Derivadas:

Derivadas das funções elementares, exponenciais e logarítmicas; Derivadas das funções trigonométricas diretas. Derivadas das funções trigonométricas inversas.

6. Integrais: Definição: Integral indefinida, Primitiva de uma função de uma

variável; Regra da potência para Integral (anti - derivada) Métodos de integração: método de substituição ou mudança de

variável de integração; Integrais de funções elementares; Integrais trigonométricas diretas; Integrais Trigonométricas inversas; Integrais por partes; Integral definida; soma de Riemann e o Teorema Fundamental do

Cálculo; Aplicações de integral; Cálculo de áreas por integrais.

Bibliografias (Sugestão de Estudo) - Básicas:

Swokowski - Cálculo com Geometria Analíticvol.1 – 2ª. ed.

Flemming, Diva e Gonçalves; Mirian - Cálculo A – Pearson – 2012

Iessi, Gelson- Fundamentos de matemática elementar – volume 8 - 2000

Prof. Me. Luiz Henrique Morais da Silva

1

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO ........................................................... 4

1.1 FUNÇÃO DE A EM B (APLICAÇÃO DE A EM B). ................................................... 4

1.2 NOTAÇÃO ALGÉBRICA DE UMA FUNÇÃO. .......................................................... 4

ATIVIDADE 1 ............................................................................................................ 5

1.3 GRAFICOS .......................................................................................................... 6

ATIVIDADE 2 ............................................................................................................ 6

ATIVIDADE 3 ............................................................................................................ 7

1.4 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO. .................................................................... 8

1.5 CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO. ..................................................................... 8

1.6 PARIDADE DE UMA FUNÇÃO. ............................................................................ 9

1.7 FUNÇÕES PERIÓDICAS. .................................................................................. 10

1.8 FUNÇÃO SOBREJETORA, INJETORA E BIJETORA. ........................................... 10

1.9 FUNÇÃO INVERSA. ........................................................................................... 11

1.10 FUNÇÃO COMPOSTA – COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES. ..................................... 11

ATIVIDADE 4 .......................................................................................................... 13

1.11 FUNÇÃO POLINOMIAL .................................................................................... 14

1.11.1 FUNÇÕES POLINOMIAIS BÁSICAS. .............................................................. 14

1.12 FUNÇÃO RACIONAL ........................................................................................ 15

1.13 FUNÇÕES ALGÉBRICA ................................................................................... 15

ATIVIDADE 5 .......................................................................................................... 16

2. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE ............................................................ 18

2.1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS LIMITES ......................................................... 18

2.2 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE .......................................................................... 19

2.3 DEFINIÇÃO TEÓRICA DE LIMITE ...................................................................... 19

2.4 LIMITE DE UMA FUNÇÃO ................................................................................. 20

2.4.1 PROPOSIÇÕES - PROPRIEDADES DOS LIMITES ............................................ 21

2.4.2 TEOREMAS.................................................................................................... 21

2.4.3 CONSEQUÊNCIAS IMEDIATAS ....................................................................... 21

ATIVIDADE 6 .......................................................................................................... 22

2.4.4 INDETERMINAÇÕES DO TIPO 0

0- ATIVIDADE 7 ............................................ 22

2.5 LIMITES LATERAIS ............................................................................................. 1

2.5.1 LIMITE LATERAL ESQUERDO ............................................................................ 1

2.5.2LIMITE LATERAL DIREITO ................................................................................ 1

2.5.2LIMITES INFINITOS .......................................................................................... 1


2

2.5.3LIMITES NO INFINITO ....................................................................................... 1

2.5.4LIMITES INFINITOS AO INFINITO ...................................................................... 1

2.5.6 EXPRESSÕES INDETERMINADAS: ................................................................... 2

ATIVIDADE 8 ............................................................................................................ 4

2.6 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES. .......................................................................... 5

2.6.1 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO. ......................................... 5

2.6.2 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO . ................................................................ 5

2.6.3 CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO. ....................................... 5

2.6.4. PROPRIEDADE DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS. .................................................. 7

2.6.5. PROPOSIÇÕES ............................................................................................... 7

2.6.6. FUNÇÕES CONTINUAS E LIMITES LATERAIS – DEFINIÇÕES: ......................... 7

2.6.7. TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO. ......................................................... 8

ATIVIDADE 9 ............................................................................................................ 8

3. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA ........................................................ 9

3.1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA DERIVADA: INTRODUÇÃO HISTÓRICA. .............. 9

3.2 A DERIVADA – DEFINIÇÃO. ................................................................................ 9

3.3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA. ................................................ 9

3.4 PROPOSIÇÕES ................................................................................................. 10

ATIVIDADE 10 ........................................................................................................ 12

3.5 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA: A DERIVADA ............................................ 12

3.6 DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR (DERIVADAS SUCESSIVAS): ....................... 13

3.7 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA – REGRA DA CADEIA. .............................. 14

ATIVIDADE 11 ........................................................................................................ 15

3.8 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO .......................................................... 16

ATIVIDADE 12 ........................................................................................................ 23

3.9TRAÇADO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ........................................................ 23

ATIVIDADE 13 ........................................................................................................ 23

3.10 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ........................................................................ 24

ATIVIDADE 14 ........................................................................................................ 25

4. LIMITES E DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTAES ....................................... 26

4.1 LIMITES DAS FUNÇÕES ELEMENTARES .......................................................... 26

4.2 DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES .................................................... 26

4.2.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................ 26

4.2.2 FUNÇÃO LOGARITMO .................................................................................... 26

ATIVIDADE 15 ........................................................................................................ 26


3

5. REGRA DE L’HÔPITAL – LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL – DERIVADAS

DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DIRETAS E INVERAS. .................................... 27

5.1 A REGRA DE L’HÔPITAL. .................................................................................. 27

ATIVIDADE 16 ........................................................................................................ 27

5.2 O LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL. ................................................. 28

5.2.1 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS ......................................... 28

ATIVIDADE 17 ........................................................................................................ 28

5.3 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DIRETAS. ............................. 29

ATIVIDADE 18 ........................................................................................................ 29

5.4 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. ........................... 30

5.4.1 FUNÇÃO ARCO SENO .................................................................................... 30

5.4.2 FUNÇÃO ARCO COSSENO ............................................................................. 30

5.4.3 FUNÇÃO ARCO TANGENTE ............................................................................ 30

5.4.4 FUNÇÃO ARCO COTANGENTE ....................................................................... 31

5.4.5 FUNÇÃO ARCO SECANTE .............................................................................. 31

5.4.6 FUNÇÃO ARCO COSSECANTE ....................................................................... 31

5.5 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. ........................... 31

ATIVIDADE 19 ........................................................................................................ 32

6. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL ...................................................... 33

6.1 INTEGRAL INDEFINIDA – FUNÇÃO PRIMITIVA (ANTI-DERIVADA) ..................... 33

ATIVIDADE 20 ........................................................................................................ 33

6.2 REGRAS PRÁTICAS: .......................................................................................... 34

ATIVIDADE 21 ........................................................................................................ 34

6.3 INTEGRAL E A REGRA DA CADEIA – MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA

DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO. ........................................................................ 35

ATIVIDADE 22 ........................................................................................................ 37

6.4 INTEGRAL DEFINIDA ....................................................................................... 38

6.5 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL ................................................ 39

ATIVIDADE 23 ........................................................................................................ 40

BIBLIOGRAFIAS ..................................................................................................... 41


4

1. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO

1.1 Função de A em B (Aplicação de A em B).

Definição 1 - Sejam A e B subconjuntos de IR, uma função de A em B (

BAf : ) é uma lei que associa a todo elemento de A um único elemento

em B.

O diagrama abaixo representa a situação descrita.

O conjunto A = {x1, x2, x3, x4, x5} é chamado conjunto de partida da

função f, ou domínio de f (D(f)).

O conjunto B = {y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7} é chamado conjunto de chegada

da função f, ou contradomínio de f (CD(f)).

O conjunto Im(f) = {y1, y2, y3, y4, y5}, que é o conjunto formado pelos

elementos do contradomínio que estão associados aos elementos do

domínio pela função f, é chamado de conjunto imagem de f.

1.2 Notação algébrica de uma função.


5

Atividade 1

Verifique qual(is) das relações abaixo é (são) função (ões).


6

1.3 Graficos

Definição 2 - Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os

pontos (x, f(x)) do plano IR2 (Plano cartesiano),onde:

)( fDx e )Im()( fxf .

Atividade 2

Verifique qual(is) das relações abaixo é(são) função(ões).


7

Atividade 3

1) Verifique o domínio de validade das funções abaixo:

a) 82)( xxf b) 5

3)(

xxg c)

5

3)(

xxh d)

1)(

x

xxl

2) Construa o gráfico e verifique se é uma função IRIRf : .

2,4

22,2

2,2

)(

xse

xse

xse

xf


8

1.4 Continuidade de uma função.

Uma função f em um intervalo [a.b], pode ser contínua ou descontínua

neste intervalo.

1.5 Crescimento de uma função.

Definição 3 - Uma função f é crescente sobre um certo intervalo aberto I,

se :

2121 )( xfxfxx ou 0)(0 1212 xfxfxx

)Im(),()(, 2121 fxfxfefDxx

Definição 4 - Uma função f é decrescente sobre um certo intervalo aberto

I, se :



Definição 5 - Uma função f é constante sobre um certo intervalo aberto I,

se :



Exemplo


9

] a, b [ - f é decrescente.

] b, c [ - f é crescente.

] c, d [ - f é constante.

1.6 Paridade de uma função.

Definição 6 - Dizemos que uma função f(x) é par se, para todo )( fDx ,

temos:

)()( xfxf

Exemplo : )()()()( 222 xfxxxfxxf

Definição 7 - Dizemos que uma função f(x) é impar se, para todo )( fDx

, temos:

)()( xfxf

Exemplo: )()()()( 333 xfxxxfxxf


10

1.7 Funções periódicas.

Definição 8 - Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe um número

real 0T , tal que )()( xfTxf para todo )( fDx .

Onde T é chamado de período da função f(x). O gráfico de uma função

periódica se repete a cada intervalo de comprimento | T |.

Período | T |= 2

1.8 Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora.

Definição 9 - Uma função BAf : é dita Sobrejetora se, e somente se,

para todo By , existe um elemento Ax , tal que )(xfy , ou seja, se, e

somente se, Bf )Im( .

Definição 10 - Uma função BAf : é dita injetora se, e somente se, dois

elementos distintos de A têm imagens distintas em B, ou seja,

)()(;, 212121 xfxfxxAxx .


11

Definição 11 - Uma função BAf : é dita bijetora se, e somente se, é

Sobrejetora e injetora.

1.9 Função Inversa.

Definição 12 - Seja )(xfy uma função BAf : . Se, para cada By ,

existir exatamente um valor Ax tal que )(xfy , então podemos definir a

função ABg : tal que )(ygx . A função g definida desta maneira é

chamada função inversa de f e denotada por f--1.

Observação 1 - Uma função BAf : admite inversa se, e somente se,

esta função f é bijetora.

Exemplo : A função IRIRf : dada por 3)( xxf tem inversa IRIRg :

dada por 3)( xxg .

Prova: 31333)( xyyxxyxxf

1.10 Função composta – Composição de funções.

Definição 13 - Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f,

denotada gof, é definida por:

))(())(( xfgxfgo

O domínio de gof, é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais

que f(x) esta no domínio de g.

Simbolicamente, temos: )()(/)()( gxffDxfgD o


12

O diagrama abaixo ilustra esta situação.

De maneira análoga, define-se:

i) ))(())(( xgfxgfo

ii) ))(())(( xffxffo

iii) ))(())(( xggxggo


13

Atividade 4

Sejam as funções: IRf ),0[: xxf )( e IRIRf : 32)( xxg .

1) Encontre gof, fog, fof e gog.

2) Encontre a inversa da função g(x).

3) Obtenha o gráfico de f(x), g(x) e g-1(x).


14

1.11 Função polinomial

Definição 14 - Uma função IRIRf : é dita polinomial se é representada

por nn

nn axaxaxaxf

1

1

10 ...)( , onde )0(,,...,, 0110 aaaaa nn , são

números reais chamados de coeficientes e Zn , determina o grau da

função.

1.11.1 Funções polinomiais básicas.

i) Função Constante: É uma função polinomial de grau zero, ou seja,

kxf )( .

ii) Função polinomial do primeiro grau - É uma função do tipo:

)0()( abaxxf

Observação 2 - Uma função polinomial do primeiro grau do tipo

)0()( abaxxf é chamada de função Afim.

Uma função polinomial do primeiro grau do tipo )0()( aaxxf é

chamada de função linear.

Uma função polinomial do primeiro grau do tipo )0()( axxf é

chamada de função identidade.

iii) Função Polinomial do segundo grau (Função Quadrática)- É uma

função do tipo: )0()( 2 acbxaxxf

iv) Função polinomial do terceiro grau (Função Cúbica) - É uma função

do tipo : )0()( 23 adcxbxaxxf

v) Função polinomial de grau quatro - É uma função do tipo:

)0()( 234 aedxcxbxaxxf

vi) Função polinomial de grau cinco – É uma função do tipo:

)0()( 2345 afexdxcxbxaxxf


15

1.12 Função Racional

Definição 15 - É uma função definida como o quociente de duas funções

polinomiais, isto é, )0()(

)()( xq

xq

xpxf , onde p(x) e q(x) são polinômios.

1.13 Funções Algébrica

Definição 16 - Uma função é dita algébrica se pode ser escrita por meio

de um número finito de somas(ou diferenças), produtos (ou quocientes)

ou radicais envolvendo potencias do tipo xn.


16

Atividade 5

1) Dada a função 7

13)(

x

xxf , obtenha o valor de

7

)5(.3)0(2)1(5 fff .

2) Um grupo de amigos trabalham no período de férias vendendo

salgadinhos nas praias. O aluguel do trailer e todos os equipamentos

necessários para a produção são alugados pelo valor de R$ 1.300,00 por

mês. O custo do material de cada salgadinho é R$ 1,20.

a) Expressar o custo total como uma função do número de salgadinhos

fabricados.

b) Construir um gráfico desta função obtida no item anterior, e fazer toda

a análise matemática desta função.

c) Sabendo que cada salgadinho é vendido no valor de R$ 2,50, expresse

a função matemática que representa o lucro deste grupo de amigos. (L(x)

= V(x) – C(x))

d) Esboçar o gráfico que representa a função L(X) do item anterior.

e) Qual a quantidade mínima de salgados a serem vendidos para que os

amigos não levem prejuízos?

f) Qual será o lucro obtido em uma venda mensal de 5.000 salgadinhos?

3) Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo

total dada por 70020)( 2 uuxC , se u o número de unidades produzidas.

A função receita total é dada por uxR 200)( . Determine:

a) A função lucro desta empresa (L(x) = R(x) – C(x)).

b) O gráfico da função L(x) obtida no exercício anterior, fazer toda a

análise matemática da função.

c) o lucro para a venda de 100 unidades.

d) Qual o lucro máximo desta empresa?

e) Quantas unidades u devem ser vendidas para que o lucro seja máximo?


17

4) Estudar os gráficos das funções Reais ( IRIRf : ) polinomiais abaixo,

esboçar os gráficos, verificar a paridade, o crescimento e decrescimento,

dar o conjunto imagem:

a) f(x) = 4 b) y = 3x + 1 c) f(t) = -2t

d) f(v) = v2 e) f(v) = v2 + 3 f) f(v) = v2 – 2

g) f(x) = (x +1)2 h) y = (x + 1)2 -2 i) f(x) = (x + 1)2 + 2

j) f(x) = - x2 k) f(x) = - x2 + 1 l) f(m) = m3

m) f(m) = m3 + 1 n) f(m) = m3 -2 o) f(n) = (m +1)3

5) Esboçar detalhadamente os gráficos a seguir:

a) xxf )( b) 2)( xxf

c) 1)( xxf d) n

nf1

)(

e) n

nf1

1)( f) 21

)( n

nf


18

2. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE

2.1 Introdução ao estudo dos limites

O conceito de limite é o mais fundamental do Cálculo Diferencial e

Integral, pois é nele que se baseiam na Matemática atual as definições de

convergência, divergência, continuidade, derivada e integral.

A falta de compreensão da noção de limite, no passado, levou a

vários paradoxos, sendo os mais antigos que se tem notícia devida a

Zenão de Eléia, datando de aproximadamente 2.450 anos. Um dos

problemas propostos por Zenão era equivalente ao seguinte:

Imagine que um atleta deva correr, em linha reta, de um ponto a

outro distando 1km. Quando o atleta chegar à metade do caminho, ainda

faltará 0,5 km para chegar ao seu destino. Quando ele percorrer a metade

dessa metade do caminho, ainda faltarão 0,25 km e quando percorrer a

metade dessa distância ainda faltará 0, 125 km e assim, sucessivamente.

Repetindo esse raciocínio indefinidamente, argumentava Zenão, o atleta

nunca chegaria ao destino, pois não importando a distância percorrida,

sempre restaria alguma distância a ser percorrida.

Note que a distância que separa o atleta da sua meta se tornará tão

próxima de zero quanto ele quiser, bastando para isso que ele repita os

deslocamentos acima descritos um número suficientemente grande de

vezes.

O paradoxo de Zenão só se sustentava, pois não levava em conta o

fator tempo, subjacente a qualquer movimento, e o fato de que, ao somar

sucessivamente as distâncias percorridas, 1/2 +1/4 + 1/8 + ...o

resultado é limitado por 1 e dele se aproxima o quanto quisermos.

São essas ideias intuitivas de estar tão próximo quanto se quiser

que encerra o conceito de limite.

Embora fundamental esse conceito demorou mais de dois milênios

para finalmente ser rigorosamente definido pelos matemáticos do século

XIX.


19

2.2 Noção Intuitiva de limite

Consideremos inicialmente um valor x0 = 1,5 e um valor x (qualquer). “Vamos verificar de forma ampliada a tendência de x ao se aproximar

de x0 pela direita e pela esquerda”

0xx

0xx

“Ao aproximarmos de

0x podemos obter valores bem próximos a

0x por falta, e ao aproximarmos de

0x podemos obter valores bem

próximos de 0x por excesso.

Tabela

0xx 0xx

1,3 1,7

1,35 1,65

1,4 1,6

1,49 1,51

1,499 1,501

1,499999 1,50001

2.3 Definição teórica de Limite

Um valo x tende a um valor x0 0xx se do um valor 0 , por

menor que seja, podemos marcar x tão próximo de x0, tal que

00 xx .

0xx , se 0 : 00 xx


20

2.4 Limite de uma função

Seja f(x) definida em um intervalo aberto I, contendo um ponto a

(exceto possivelmente o próprio a). Diz –se que o limite de f(x) quando x

tende (aproxima-se) de a é L:

Lxfax

)(lim

Graficamente temos:

Lxfxfaxax

)(lim)(lim

Formalmente, dizemos que:

Se para todo 0 , existe um 0 tal que Lxf )(0 sempre

que ax0 .

Exemplo

Construa o gráfico e analise intuitivamente os limites da função

IRIRf 0: , definida por x

xf1

)( .


21

2.4.1 Proposições - propriedades dos limites

Se o Lxfax

)(lim e Kxgax

)(lim existem onde IRKL , , então:

P1. KLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)]()([lim

P2. Lcxfcxfcaxax

.)(.lim.)](.[lim

, onde IRc

P3. KLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)]()([lim

P4. K

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

)(lim

)(lim

)(

)(lim , para 0)( xg

P5. nn

ax

n

axLxfxf

)(lim)]([lim

P6. n

nax

n

axLxfxf

)(lim)(lim

2.4.2 Teoremas

T1. Teorema do confronto (teorema do sanduiche)

Suponha que )()()( xhxfxg para todo x em um intervalo aberto

contendo o ponto a, exceto possivelmente, no próprio x = a. Suponha

também que Lxhxgaxax

)(lim)](lim .Então, Lxfax

)(lim

T2. Teorema da unicidade do limite

Dada uma função f(x) se existe o limite de f(x) em um intervalo

aberto contendo a, exceto possivelmente o próprio a, então este limite é

único.

2.4.3 Consequências imediatas

C1. Se IRc , então: ccax

lim

C2. Se IRnm , , então: namnmxax

).()(lim


22

Atividade 6

1. Aplicando as propriedades dos limites calcule:

a) 13lim1

xx

b) 34lim 23

1

xx

x c)

5

1lim

2

24

0

x

xx

x d) 34lim 2

2

x

x

2. Uma vez que 2

1)(4

122 x

xux

para qualquer 0x . Determine

)(lim0

xux

, por mais complicado que seja u.

2.4.4 Indeterminações do tipo 0

0- Atividade 7

Resolva os limites

indeterminados abaixo:

1

1lim)1

2

1 x

x

x

2

8lim)2

3

2 x

x

x

1

1lim)3

2

3

1 x

x

x

2

23lim)4

2

2 x

xx

x

2

4lim)5

2

2 x

x

x

6132

32583lim)6

23

234

3 xxx

xxxx

x

43

56lim)7

2

2

1

xx

xx

t

36254

20173lim)8

2

2

4

xx

xx

t

h

h

h

162lim)9

4

0

t

t

t

164lim)10

2

0

1

1lim)111 h

h

h

x

x

x

11lim)12

0


1

3

3lim)13

3 x

x

x

t

t

t

5325lim)14

0

1

1lim)15

4

3

1 x

x

t

2.5 Limites Laterais

2.5.1 Limite Lateral Esquerdo

- Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ).,( ca

Dizemos que o limite lateral à esquerda da função f é L quando x tende

para a .

Lxfax

)(lim

2.5.2Limite Lateral Direito

- Seja f uma função definida em um intervalo aberto ),( ad . Dizemos

que o limite lateral direto da função f e L quando x tende para .a

Lxfax

)(lim

Teorema 1

)(lim)(lim)(lim xfxfLxfaxaxax

Exemplos:

Seja f definida em IR – {0} Por:

.01

.01)(

xse

xsexf

:);(lim)(lim),(lim000

masxfxfpoisxfxxx

1)(lim0

xfx

e 1)(lim0

xfx


1

2.5.2Limites Infinitos

Seja )(xf uma função definida num intervalo aberto contendo a ,

exceto, possivelmente, em .ax ax

xf

)(lim.

)(lim xfax

)(lim xfax

2.5.3Limites no Infinito

Definições: Seja f uma função definida em um intervalo aberto

),( a , temos:

Lxfx

)(lim

Da mesma forma se ),( a

Lxfx

)(lim

Sendo que L satisfaz as seguintes condições:

.)(

0,0

xquesempreLxf

Proposições:

P1.

01

lim nx x

P2. 01

lim nx x

P3.

nx x

1lim

0 P4 n

x x

1lim

0.

ímprn

parn

,

,

2.5.4Limites Infinitos ao infinito

São limites da forma:

)(lim xfx


2

2.5.6 Expressões indeterminadas:

)1,,0,,,0,0

0 00

x

Proposições:P5.

1,

,10,0lim

ase

asean

n

P6. 1lim

n

nn

P7. 1lim

n

na


3


4

Atividade 8

1.

2

3

0

1lim

xxx

xR: 2. 143lim 35

0

xx

x R:

3. 2

3lim

2

x

x

x R: 4.

2

3lim

2

x

x

x R:

5. 6

13lim

2

2

2

xx

xx

x R: 6.

6

13lim

2

2

2

xx

xx

x R:

7. 24

1232lim

4

24

R

x

xxx

x

8. 02

13lim

3

2

R

x

xx

x

9.

0:1

1lim

2R

t

t

t

10. 2

1:

352

32lim

2

2

Rtt

tt

t

11.

1:

1

1lim

2

R

t

t

t 12.

1:

1

1lim

2

Rt

t

t

13.

2:3

72lim

2

R

v

v

v 14.

2:

3

72lim

2

Rv

v

v

15. 2

1:

45

3lim

2R

y

y

t

16. 2

1:

45

3lim

2

R

y

y

t

17.

:4

lim2

2R

t

t

t 18.

:

4lim

22

Rt

t

t

19.

:82

3lim

24

Rtt

t

t 20.

:82

3lim

24

Rtt

t

t


5

2.6 Continuidade de funções.

2.6.1 Continuidade de uma função em um ponto.

Definição 1: Seja IRDf : uma função com IRD e seja Da um

ponto tal que todo intervalo aberto contendo a intercepta D/{a}. Dizemos

que a função f é contínua em a se:

)()(lim afxfax

2.6.2 Continuidade de uma função .

Definição 2: Seja IRDf : uma função com IRD e seja Da um

ponto tal que todo intervalo aberto contendo a intercepta D/{a}. Dizemos

que a função f é contínua se f for contínua em todos os elementos de D.

2.6.3 Condições de continuidade de uma função.

I. f está definida no ponto a. (a esta no domínio de f)

II. )(lim xfax

. ( f possui limite quando x tende a a)

III. )()(lim afxfax

( o limite é igual ao valor da função)

Exemplos:

1)


6

2)

3)

1,

1,2)(

2

xsexk

xsexxxf

a) Qual o valor de k para que f seja contínua?

b) Qual o valor de k para que f não seja contínua?

Resolução:

a)

I. f(1) = 12 + 2.1 = 3, logo f está definida em x = 1.

II. 32lim 2

1

xx

x e xk

x

1lim , para que o limite exista

)(lim)(lim11

xfxfxx

III. Para f ser contínua )1()(lim1

fxfx

43)1(3lim1

kkxkx

Gráfico:

b) 4k

Gráfico para k = 6


7

2.6.4. Propriedade das funções contínuas.

Sejam f e g funções contínuas em x = a, então as combinações a

seguir são continuas em x = a.

i. f + g ;

ii. f - g ;

iii. f.g ;

iv. f/g )0( g

v. fn é continua, sendo n um inteiro positivo.

vi. n f , desde que seja definida em um intervalo aberto que contenha a ,

onde n é um inteiro positivo.

2.6.5. Proposições

P1. Uma função polinomial é contínua para todo número real;

P2 . Uma função racional é contínua em todos os de seu domínio;

P3. f(x) = sen x e f(x) = cos x são contínuas para todo número real x;

P4. A função exponencial f(x) = ex é contínua para todo número real x.

P5. Sejam f e g funções tais que bxfax

)(lim , sendo g contínua em b.

Então )()(lim bgxgofax

, ou seja, )](lim[)]([lim xfgxfgaxax

P6. Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então a composta gof é

contínua no ponto a.

P7. Seja f é uma função definida e contínua em um intervalo I. Se f admite

inversa f-1, então f-1é contínua em todos os pontos D = Im (f).

2.6.6. Funções continuas e limites laterais – Definições:

Seja f uma função definida num intervalo fechado [a,b], então:

i. Se )()(lim afxfax

, dizemos que f é contínua à direita do ponto a.

i. Se )()(lim bfxfbx

, dizemos que f é contínua à esquerda do ponto b.

iii. Se f é continua em todo ponto do intervalo aberto (a,b) , f é contínua a

direita em a e contínua à esquerda em b, dizemos que f é contínua no

intervalo fechado [a,b].


8

2.6.7. Teorema do valor intermediário.

Seja f uma função continua no intervalo fechado [a,b] e L um número

tal que )()( bfLaf ou )()( afLbf , então existe pelo menos um

],[ bax tal que f(x) = L.

Atividade 9

1. Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados.

a) 1

73)(

2

2

x

xxxf em x = 2

b) 2,

2,0

2

4

)(

2

x

x

x

x

xf em x = 2

c) 2,

2,3

4

8

)( 2

3

x

x

x

x

xf em x = 2

2. Calcule p de que a função abaixo sejam contínuas.

a) 3,3,3

2)(

2

x

x

pxxxf b)

1,

1,2)(

2 xp

xpxxf

3. mostre pelo teorema do valor intermediário que a equação x3 – x – 1 =

0 possui uma raiz entre 1 e 2.


9

3. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA

3.1 Introdução ao estudo da Derivada: Introdução histórica.

O final do século XVII viu o surgimento de uma conquista

matemática formidável: O Cálculo Diferencial. Descoberto

independentemente pelos contemporâneos Sir. Isaac Newton (1642 –

1727) e Gottfried Leibniz (1642 - 1716, tornou-se base para o

desenvolvimento de várias áreas da Matemática, além de possuir

aplicações em praticamente todas as áreas do conhecimento científico.

3.2 A Derivada – Definição.

Definição 16 – Derivada: A derivada de uma função )(xfy , definida em

um intervalo aberto I em um ponto Ix 0 é dada por

h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 00

00

,

caso o limite exista.

Existindo o limite acima, a função f é dita derivável em 0x .

Definição 17 – Função derivada: Seja f uma função definida em um

intervalo aberto I. Se f é derivável para todo ponto de seu domínio, dizemos

que a função IRIf : , que associa a cada Ix o valor )(xf é uma

função derivada de f.

Notação:

i) )(xfy (notação de Newton) ;

ii) dx

dy(notação de Leibniz);

Ambas representam a derivada da função f em relação a x.

3.3 Interpretação geométrica da Derivada.

Dada a função f, definida em um intervalo aberto I, sendo f

derivável para todo ponto de seu domínio. Dado ainda um ponto xo e sua

imagem )( 0xf , se realizarmos um acréscimo muito pequeno em Ix 0 ,


10

por exemplo Ihx )( 0 , obtemos a imagem )( 0 hxf , o gráfico abaixo

ilustra esta situação.

Pela definição de tangente, temos

)()()(

lim 00

0o

hxf

h

xfhxftg

.

Exemplo: Utilizando a definição de derivada, calcule a derivada da função

2)(,: xxfIRIRf , no ponto (3,0).

Resolução:

h

xhxxf

h

xfhxfxf

hh

22

00

)(lim)(

)()(lim)(

xhxh

xh

h

xhxhx

hhh22lim

)42.(lim

2lim

00

222

0

63.2)3(2)( fxxf

3.4 Proposições

Proposição 1 - Derivada da função constante.

Seja kxfIRIRf )(,: , uma função constante, a sua derivada

)(xf é nula, ou seja, 0)( xf .

Prova: Seja a função kxf )( , então pela definição de derivada, segue:

h

kkxf

h

xfhxfxf

hh 00lim)(

)()(lim)(

00lim0

lim00

hh h

Proposição 2 – Derivada da função afim.

Seja 0)(,: abaxxfIRIRf uma função afim, então

axf )(


11

Prova: Seja a função baxxf )( , então pela definição de derivada,

segue:

h

baxbhxaxf

h

xfhxfxf

hh

)(]).([lim)(

)()(lim)(

00

aah

ah

h

baxbahxa

hohh

00limlim

.lim

Proposição 3 – Derivada da função potência.

Seja )()(,: IRnxxfIRIRf n , uma função potência, então

1.)( nxnxf .

Prova: Seja a função nxxf )( , então pela definição de derivada, segue:

h

xhxxf

h

xfhxfxf

nn

hh

)(lim)(

)()(lim)(

00

Expandindo Seja nhx )( ,pelo binômio de Newton, temos:

h

xhnxhhxnn

hxnx

xf

nnnnnn

h

).....!2

)!1(..(

lim)(

1221

0

h

hnxhhxnn

xnh nnnn

h

).....!2

)!1(.(

lim

1221

0

11221

0.......

!2

)!1(lim

nnnnn

hxnhhnxhx

nnnx

Proposição 4 – Derivada da soma.

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e s(x) uma função definida

por )()()( xgxfxs então, a derivada da função s(x) é

)()()( xgxfxs .

Proposição 5 – Derivada do produto.

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e p(x) uma função definida

por )().()( xgxfxp então, a derivada da função d P(x) é

)().()().()( xfxgxgxfxp .

Proposição 6 – Derivada do quociente.

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, e q(x) uma função definida

por )(

)()(

xf

xfxq então, a derivada da função d q(x) é

2)(

)().()().()(

xg

xgxfxgxfxq

.


12

Observação : As provas das proposições 4,5 e 6 foram omitidas, mas no

livro cálculo A (6ª. Edição), nas páginas 135 e 136, as mesmas são

apresentadas.

Atividade 10

Calcule as derivadas das seguintes funções:

1. 43)( xxf 2. 1352)( 23 ttttf 3. 4

5

)(

rrf

4. xy 5. )1).(3()( 2 uxuf 6. 2

2)(

n

nnf

7. 3 2xy 8. 54)( xxf 9. xxf 5)( 10.

x

xy

3.5 Taxa de variação instantânea: A derivada

Definição 18 – Taxa de variação média: seja f(x) uma função, a taxa

de variação média para esta função é definida por

x

yTVM

Exemplos.

1. Suponhamos que um automóvel popular custe R$ 25.000, 00 no final

de dezembro, agora, no final de junho, está custando R$ 28.000,00. Qual

a taxa de variação média deste automóvel?

5006

000.3

06

000.25000.28

)()(

)()(

dezembrotjunhot

dezembrovalorjunhovalorTVM Ou seja, a TVM

é de 500 reais/mês.

Assim, a função 000.25500)( ttfC represente o custo mensal a cada

mês deste automóvel.

Definição 19 – Taxa de variação instantânea (A Derivada): Define-se a

taxa de variação instantânea como sendo o limite da TVM quando 0x

, ou seja

x

xfxxf

x

yTVI

xx

)()(limlim

00


13

Exemplo: Consideremos como exemplo a função y = x2, x = 1, 2,0x e

faremos 0x pela sequência 0,2; 0,1; 0,05; 0;025;0,001; etc

f(x) = x2, x = 1

x x + x 2)()( xxxxf 1)( 2 xxy

x

y

0,2 1,2 1,44 0,44 2,2

0,1 1, 1,21 0,21 2,1

0,05 1,05 1,1025 0,1025 2,05

0,025 1,025 1,050625 0,050625 2,025

0,00

1

1,001 1,002001 0,002001 2,001

0,000

1

1,000

1

1,00020001 0,00020001 2,0001

Podemos notar que, a medida que 0x , a razão incremental 2

x

y,

isto quer dizer que a taxa de variação instantânea (ou a derivada) da

função y = x2, quando x = 1 é 2.

3.6 Derivada de Ordem Superior (derivadas sucessivas):

Quando se deriva função y = f(x), que escrevemos

x

xfxxfxf

dx

dy

x

)()(lim)('

0

”caso ela exista, ou seja, existindo o limite” esta

também é uma função de x.

Se a função derivada primeira for derivável mais uma vez, ou seja,

existindo o limite, x

xfxxfxf

dx

yd

x

)(')('lim)("

0

2

, então teremos a

derivada segunda.

E assim sucessivamente, existindo o limite, teremos :

)('"3

xfdx

yd - derivada terceira


14

)(4

xfdx

yd IV - derivada quarta

)(5

xfdx

yd V - derivada quinta-feira

)(xfdx

yd nn

- derivada enésima

10) Ache a derivada de ordem superior que se pede:

a) y = x3, achar até a 10ª. Derivada.

b)2

1

xy , achar até a 3ª derivada.

c) 3

5)(

x

xxf , achar até a segunda derivada.

3.7 Derivada da Função Composta – Regra da Cadeia.

Consideremos inicialmente duas funções deriváveis f e g onde y =

g(u) e u = f (x). Para todo x tal que f(x) esta no domínio da g, podemos

escrever y = g(u) = g[f(x)], isto é, podemos considerar a função composta

(gof)(x).

Teorema 1: Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/dx e du/dx existam,

então a função composta y = g[f(x)] tem derivada que é dada por

dx

du

du

dy

dx

dy. ou ).().()( xfugxy

Observação : A prova deste teorema será omitida aqui, mas pode ser

encontrada no livro Cálculo A (6ª.edição) pag139 a 140.

Exemplo: Calcular a derivada da função 723 352)( tttf .

Resolução: )352.(]352[)( 23723 tttttf

)02.53.2.(]352.7)( 12131723 tttttf

6232 352).106.(7)( tttttf


15

Atividade 11

1) Encontre as derivas da funções abaixo:

a) 23 2)( xxxf b) 3.5)( 2 ttf

c) 3

38 1)42(

xxxy d)

3 2 276)( xxxf

2) A demanda D de um certo produto está relacionada com seu peço p

pela relação 1

5

pD . Determine a taxa instantânea, a qual a

demanda está variando em relação ao preço, quando p = R$ 3,50.

3) Dada a curva de equação 22 43 xxy .

a) Obtenha a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa x =

1.

(Equação da reta normal à uma curva é dada por ).( 0

'

0 xxyyy .

b) Encontrar a equação da reta normal à curva no ponto de abscissa

x = 2. (Equação da reta normal à uma curva é dada por

).(1

0,0 xxy

yy .

4) Uma cidade X é atingida por uma epidemia. Os setores de saúde

calculam que o número de pessoas atingidas pela epidemia depois de um

tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é

aproximadamente, dado por:

364)(

3tttf

a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?

b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?

c) quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?


16

3.8 Máximos e Mínimos de uma Função

O valor máximo (mínimo) de uma função em todo seu domínio é

chamado máximo (respectivamente, mínimo) absoluto.

Definição 1: Um função f : D → R tem máximo absoluto em c se f(x) ≤ f(c)

para todo x no domínio D de f. Neste caso, o valor f(c) é chamado valor

máximo de f em D.

Definição 2: Um função f : D → R tem mínimo absoluto em c se f(x) ≥ f(c)

para todo x no domínio D de f. Neste caso, o valor f(c) é chamado valor

mínimo de f em D.

Obs: Os valores de máximo e mínimo absoluto de uma função são

chamados valores extremos da função.

Exemplos:

i. A função f : [−1,2] → R dada por f(x) = (x − 1)2 possui máximo absoluto

em x = −1 e mínimo absoluto em x = 1.

ii. A função f : R → R dada por f(x) = (x − 1)2 possui mínimo absoluto em

x = 1 e não possui máximo absoluto.

iii. A função f : R → R dada por f(x) = |x| possui mínimo absoluto em x =

0 e não possui máximo absoluto.


17

Definição 3: Uma função tem máximo local (ou máximo relativo) em um

ponto c de seu domínio, se existe intervalo aberto I, tal que c ∈ I e f(x) ≤ f(c)

para todo x ∈ I. Neste caso, dizemos que f(c) é valor máximo local de f.

Definição 4: Uma função tem mínimo local (ou mínimo relativo) em um

ponto c de seu domínio, se existe intervalo aberto I, tal que c ∈ I e f(x) ≥ f(c)

para todo x ∈ I. Neste caso, dizemos que f(c) é valor mínimo local de f.

Obs: Pontos de máximo local e pontos de mínimo local são chamados

extremos locais (ou extremos relativos).

Exemplo:

Claramente, o gráfico abaixo não possui máximo ou mínimo

absoluto. No entanto, f(a) é maior que todos os valores f(x) para x próximo

de a, ou seja, f(a) é um valor máximo em um certo intervalo aberto

contendo a. Nesta situação, dizemos que f(a) é valor máximo local de f.

Da mesma forma, f(b) é menor que todos os valores f(x) para x próximo

de b. Dizemos que f(b) é valor mínimo local de f


18

Veremos que para funções deriváveis, os extremos locais são

pontos de derivada nula, embora nem todo ponto de derivada nula seja

extremo local. Portanto, encontrando os pontos onde a derivada se anula,

teremos os candidatos a extremos locais.

Teorema 1: Seja f : I → R uma função f contínua definida em um

intervalo aberto I. Se f tem máximo ou mínimo local em x = c, c ∈ I e f é

derivável em c então f’(c) = 0.

Obs: A demonstração deste teorema será omitida!

Importante: A recíproca deste teorema não é verdadeira, ou seja se f’(c)

= 0 não necessariamente tem-se um máximo ou mínimo local.

Definição 5: Um ponto c no domínio de uma função f é chamado ponto

crítico se ocorre um dos dois seguintes casos:

(a) f não é derivável em x = c.

(b) f é derivável em c e f’(c) = 0.

Para determinar o máximo e mínimo absoluto de uma função contínua f

: [a, b] → R deve-se proceder da seguinte maneira:

1. Determine os pontos críticos de f no intervalo aberto (a, b).

2. Determine f(a) e f(b).

3. Compare os valores assumidos por f nos pontos críticos com f(a) e f(b).

O maior dentre eles será o máximo absoluto de f em [a, b] e o menor entre

eles será o mínimo absoluto de f em [a, b].


19

Exemplo de aplicação 1:

Seja a função f : [−4,2] → R definida por f(x) = x3 + 2x2 − 4x – 2.

a) Encontre os pontos críticos desta função.

b) Quais os valores máximos e mínimo desta função?

O Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio

Teorema 2: ( Teorema de Rolle):

Se f : [a, b] → R é contínua em [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b) e

f(a) = f(b) então existe pelo menos um número c ∈ (a, b) tal que f’(c) = 0


Teorema 3: Teorema do Valor Médio

Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo

aberto (a, b). Então existe pelo menos um número c ∈ (a, b) tal que

ab

afbfcf

)()()(' .


20


Crescimento e decrescimento de uma função e a derivada

Proposição 1:

Seja f : [a,b] → R contínua e derivável em (a, b) então:

(i) f é não decrescente em [a, b] se, e somente se, f’(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a,

b). Além disso, se f’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) então f é crescente em [a, b].

(ii) f é não crescente em [a, b] se, e somente se, f’(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b).

Além disso, se f’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) então f é decrescente em [a, b].

Obs: A demonstração desta proposição será omitida!


Seja f(x) = x2 − 2x − 3. Determine os intervalos de crescimento e

decrescimento da função e esboce um gráfico.


21

Teste da derivada primeira e da derivada segunda

Proposição 2: Teste da derivada primeira

Seja a função f : [a, b] → R contínua e derivável em (a, b) e seja c um

ponto crítico de f.

(i) Se f’ passa de positiva para negativa em c então f tem máximo local em

c.

(ii) Se f’ passa de negativa para positiva em c então f tem mínimo local em

c.

(iii) Se f’ não muda de sinal em c então não tem máximo nem mínimo local

em c

Obs: A demonstração desta proposição será omitida!

Proposição 3: Teste da derivada segunda.

Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I e seja c ∈ I tal que

f’(c) = 0. Se f”(c) existe então:

(i) Se f”(c) < 0 então f possui um máximo local em c.

(ii) Se f”(c) > 0 então f possui um mínimo local em c.

O teste é inconclusivo caso f”(c) = 0.


Encontre os valores de máximo e mínimo local da função f(x) = x3 – x2.


22

Concavidade do gráfico de uma função

Definição 6: Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I. Se o

gráfico de f se situa sempre acima das retas tangentes no intervalo I,

dizemos que o gráfico tem concavidade para cima em I. Se o gráfico de f se

situa sempre abaixo das retas tangentes no intervalo I, dizemos que tem

concavidade para baixo em I.

Proposição 4 : Teste da concavidade

Seja f uma função duas vezes derivável no intervalo aberto I.

(i) Se f”(x) > 0 para todo x ∈ I então o gráfico de f tem concavidade para

cima em I.

(ii) Se f”(x) < 0 para todo x ∈ I então o gráfico de f tem concavidade para

baixo em I

Obs: A demonstração desta proposição será omitida.


Seja a função f : R \ {0} → R \ {0} dada por f(x) = 1/x. Verifique seus

intervalos de crescimento e concavidade.

Definição 7: Um ponto P no gráfico de uma função f(x) é chamado ponto

de inflexão se f é contínua em P e há uma mudança de concavidade do

gráfico de f no ponto P.


Esboce um gráfico possível para uma função f : R → R tal que:

(a) f é contínua em R e duas vezes derivável em R\ {−1,4}.


23

(b) f’(x) > 0 para x ∈ (−∞,2) ∪ (6,∞) e f’(x) < 0 para x ∈ (2,6).

(c) f”(x) > 0 para x ∈ (−∞,−1) ∪ (4,∞) e f”(x) < 0 para x ∈ (−1,4).

(d) 2)(lim

xfx

e

)(lim xfx

Atividade 12

1) Seja a função xx

xf 3

)(3

. Determine os intervalos em que f é

crescente e aqueles em que f é decrescente.

2) Seja a função f(x) = 3x4 + 4x3 − 36x2 + 29. Determine os intervalos em

que f é crescente e aqueles em que f é decrescente.

3) Encontre os mínimos e máximos locais da função 1

)(2

x

xxf .

3.9Traçado do gráfico de uma função

O seguinte roteiro reúne o que se deve conhecer de cada função

para a qual queremos traçar o gráfico:

(i) domínio e continuidade da função;

(ii) assíntotas verticais e horizontais;

(iii) derivabilidade e intervalos de crescimento e decrescimento;

(iv) valores de máximo e mínimo locais;

(v) concavidade e pontos de inflexão;

(vi) esboço do gráfico.

Atividade 13

Esboçar os gráficos:

a) f(x) = x3 – x2

b) 1

)(2

x

xxf

c)1

)(2

x

xxf


24

3.10 Problemas de otimização

Uma das aplicações mais comuns do Cálculo são os problemas

de otimização. Tratam-se de problemas que são modelados por uma

função e buscamos obter os valores de máximo ou mínimo da função.

Veremos alguns exemplos de problemas de otimização, em várias áreas

do conhecimento, mostrando como o Cálculo pode ser aplicado nos mais

diversos campos do conhecimento humano. Para resolver um problema

de otimização, usamos em geral os seguinte roteiro aproximado:

(i) Identificamos as variáveis do problema, isto é, quais grandezas

representam a situação descrita no problema. O desenho de gráficos e

diagramas pode ser útil para isso.

(ii) Identificamos os intervalos de valores possíveis para as variáveis. São

os valores para os quais o problema tem sentido físico.

(iii) Descrevemos as relações entres estas variáveis por meio de uma ou

mais equações. Em geral, uma destas equações dará a grandeza que

queremos otimizar, isto é encontrar seu máximo ou mínimo. Se há mais

de uma variável no problema, substituindo uma ou mais equações

naquela principal permitirá descrever a grandeza que queremos otimizar

em função de uma só variável.

(iv) Usando a primeira e segunda derivada da função que queremos

otimizar, encontramos seus pontos críticos e determinamos aquele(s) que

resolve(m) o problema. Neste ponto é importante estar atento para o fato

de que alguns dos pontos críticos da função podem estar fora do intervalo

de valores possíveis para a variável (item ii) e devem ser desprezados.


25

Atividade 14

1) Uma caixa retangular aberta deve ser fabricada com uma folha de

papelão de 15 × 30 cm, recortando quadrados nos quatro cantos e depois

dobrando a folha nas linhas determinadas pelos cortes. Existe alguma

medida do corte que produza uma caixa com volume máximo?

2) Um reservatório de água tem o formato de um cilindro sem a tampa

superior e tem uma superfície total de 36π m2. Encontre os valores da

altura h e raio da base r que maximizam a capacidade do reservatório

3) Uma fazenda produz laranjas e ocupa uma certa área com 50

laranjeiras. Cada laranjeira produz 600 laranjas por ano. Verificou-se

que para cada nova laranjeira plantada nesta área a produção por árvore

diminui de 10 laranjas. Quantas laranjas devem ser plantadas no pomar

de forma a maximizar a produção?


26

4. LIMITES E DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTAES

4.1 Limites das Funções elementares

Definição 20: O número e.

Define-se o número irracional ...71,2e pelo seguinte limite: ex

x

x

11lim

Definição 21: O logaritmo natural.

Define-se o logaritmo de base e (logaritmo natural) a

ea logln pelo seguinte

limite: .ln1

lim0

ax

a x

x

Interpretação gráfica: 1ln eA

4.2 Derivadas das Funções elementares

4.2.1 Função exponencial

Proposição 7: '.ln.)'()( uaaufauf uu

Proposição 8: '.)'()( ueufeuf uu

4.2.2 Função logaritmo

Proposição 9: eu

uufuuf

aaloglog .

')'()(

Proposição 10: u

uufuuf

')'(ln)(

Obs: As demonstração das proposições serão ocultadas!

Atividade 15

Resolver as derivadas das funções elementares abaixo:

xey 2.1 xexf 3)(.2

763 2

.2)(.3 ttetf xxy 52 3

2.4

xxvf 42 3

3)(.5 )43ln()(.6 xtf

x

xy

1

1ln.7 23 )52ln()(.8 xxxf

)42()(.9 log2

ttf )835()(.10 24

3log xxxf 23 ln..11 xey x t

t

e

atf

3

)(.12


27

5. REGRA DE L’HôPITAL – LIMITE TRIGONOMÉTRICO

FUNDAMENTAL – DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

DIRETAS E INVERAS.

5.1 A Regra de L’Hôpital.

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis em um intervalo aberto I;

e se houver as seguintes indeterminações

)(

)(lim

0

0

)(

)(lim

xg

xfou

xg

xf

xax,

então a seguinte proposição é válida:

Proposição 11:

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

axax

Atividade 16

Aplicando a regra de L’Hôpital, calcule os limites a seguir:

1

1lim.1

2

1

x

x

x

32

2lim.2

2

2

1

tt

tt

x

9

3lim.3

9

v

v

x

223

132lim.4

2

2

xx

xx

x

26

34lim5

t

t

x

3

72lim.6

2

V

v

x


28

5.2 O limite trigonométrico fundamental.

Proposição 12:

1)(

lim0

x

xsen

x

5.2.1 Relações trigonométricas fundamentais

1)(cos)(.1 22 xxsen x

senxxtg

cos)(.2

)(

)cos(

)(

1)(.3

xsen

x

xtgxCotg

)cos(

1)sec(.4

xx

)(

1)sec(cos.5

xsenx )(1)(sec.6 22 xtgx

)(cot1)(seccos.7 22 xgx

Atividade 17

1.Calcule os limites a seguir:

x

xsena

x

)(2lim)

0

x

xsenb

x 4

3lim)

0

x

tgxc

x 0lim)

2. Prove que 0cos1

lim0

x

x

x

3. Prove as seguintes derivadas:

)cos()(')()() xxfxsenxfa

)()(')cos()() xsenxfxxfb

4. Encontre a derivadas das seguintes funções trigonométricas:

)()() xtgxfa )(cot)() xgxfb

)sec()() xxfc )sec(cos)() xxfc


29

5.3 Derivadas das funções trigonométricas diretas.

Proposição 13: ').cos()]'([ uuusen

Proposição 14: ').()]'[cos( uusenu

Proposição 15: ').(sec)]'([ 2 uuuf

Proposição 16: ').(seccos)]'([cot 2 uuug

Proposição 17: ').().sec()]'[sec( uutguu

Proposição 18: ').(cot).sec(cos)]'sec([cos uuguu

Atividade 18

1. Calcule a derivada das funções trigonométrica diretas abaixo:

)2() xsenya )cos()() 2xtfb

vtgvfc

1)()

)(cot)() wgwfd )12sec() 3 xye

1

1seccos)()

x

xxff

)2cos).3()() 2 vvsenvfg )3(cot)(3)() xgxtgtfh


30

5.4 Derivadas das funções trigonométricas inversas.

5.4.1 Função arco seno

Seja

2,

2[1;1:]

f , onde

21

1)(')()(

xxfxarcsenxf

Prova 1:

senyxxarcsenyI )(.

ysenyxarcsenyII

cos

1

)'(

1)]'(['.

ysenyyysenIII 222 1cos1cos.

Substituindo I na III:

21cos. xyIV

Substituindo IV na II:

21

1

cos

1

)'(

1)]'(['

xysenyxarcseny

21

1)]'([

xxarcsen

5.4.2 Função arco cosseno

Seja ,0[1;1:] f , onde 21

1)(')arccos()(

xxfxxf

Prova 2: Análoga a anterior

5.4.3 Função arco tangente

Seja

2,

2:

IRf , onde

21

1)(')()(

xxfxarctgxf

Prova 3:

tgyxxarctgyI )(.

ytgyxarctgyII

2sec

1

)'(

1)]'(['.

ytgyIII 22 1sec.

Substituindo I na III:

22 1sec. xyIV

Substituindo IV na II:

22 1

1

sec

1

)'(

1)]'(['

xytgyxarctgy

21

1)]'([

xxarctg


31

5.4.4 Função arco cotangente

Seja ,0: IRf , onde 21

1)(')(cot)(

xxfxgarcxf

Prova 4: Análoga a anterior!

5.4.5 Função arco secante

Seja ,0,11,: f , onde 1;1.

1)(')sec()(

2

x

xxxfxarcxf

5.4.6 Função arco cossecante

Seja ,0,11,: f , onde

1;1.

1)(')sec(arccos)(

2

x

xxxfxxf

5.5 Derivadas das funções trigonométricas inversas.

Expandindo pela derivada da função composta “regra da cadeia”,

temos as seguintes proposições:

Proposição 14: .1

')]'([

2u

uuarcsen

Proposição 15: 21

')]'[arccos(

u

uu

Proposição 16: 21

')]'([

u

uuarctg

Proposição 17: 21

')]'(cot[

u

uugarc

Proposição 18: 1.;1.

')]'sec([

2

u

uu

uuarc

Proposição 19: 1.;1.

')]'sec([arccos

2

u

uu

uu


32

Atividade 19

1. Calcule a primeira derivada das funções trigonométricas inversas

abaixo:

)1() xarcsenya

3

2arccos)()

ttfb

2

2

1

1)

x

xarctgyc

varcvfd

1cot)() tarctfe sec)() )1sec(arccos) xyf


33

6. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL

6.1 Integral Indefinida – Função Primitiva (anti-derivada)

Introdução:

O processo conhecido como integração, pode ser entendido como a

operação inversa da derivação, ou seja o cálculo de uma integral é um

processo de anti-derivada.

Definição 20 (Primitiva de uma função): Seja uma função contínua,

definida no intervalo aberto I, então, existe uma função, chamada de

primitiva de f. Isto é, existe uma função derivável tal que, se,

)()(' xfxF

Proposição 7: Seja F(x) uma primitiva de f(x) . Então, se c é uma constante

qualquer, a função G(X) = F(x) + c também é primitiva de f(x).

Prova: Como F(x) é primitiva de f(x), pela definição temos que F’(x) = f(x),

Assim:

G’(x)=(F(x)+c)’ = F’(x)+c’=F’(x) + 0 = F’(x),

O que prova que G(x) é primitiva de f(x).

Exemplos:

1) A primitiva de x2 é 3

3x, pois

223

3

3'

3x

xx

.

2) A primitiva de 3 2x é

3 5

5

3x , pois: 3 23

21

3

5

3 5

3

5.

5

3'

5

3xxxx

Atividade 20

1) Encontre uma primitiva para as funções:

a) f(x) = 4x3 b) f(x)= 3

2x c) f(t) =

5 3t

Definição 21(Integral indefinida): Se F(x) é uma primitiva de f(x), a

expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é

denotada por

).()(')()( xfxFcxFdxxf


34

Nota: O símbolo dxxf )( , representa uma família de funções, ou seja, a

família de todas as primitivas da função integrando.

Proposição 8: Sejam IRIf : e k uma constante real, então:

dxxfkdxxkf )()(

Proposição 9: Sejam IRIgf :, , então:

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

As provas das proposições 8 e 9 foram omitidas, mas no livro

cálculo A (6ª. Edição), na página 242, as mesmas são apresentadas.

6.2 Regras Práticas:

Integral indefinida da função potência: )1(1

1

ncn

uduu

nn

Integral de du: cudu

Atividade 21

1) Encontre a família de primitivas das seguintes funções:

a) dueu b) u

du c) duusen )(

d) duu)cos( e) duu)(sec2 f) duu)(seccos 2

g) duutgu )().sec( h) duugu )(cot).sec(cos

2) calcule as integrais indefinidas a seguir:

a) dxx3 b) dttt )1172( 5

c) duu4 3 d)

dyy

yyy 23 3


35

3) Derivar as respostas das integrais indefinidas anteriores para conferir

os resultados.

6.3 Integral e a regra da cadeia – Método de substituição ou mudança

de variável para integração.

Definição 22: Se IRIf : , definida no intervalo aberto I, é derivável,

definimos a diferencial de f como

dxxfdydf )('

Observação : A noção de diferencial é adequada para o processo de

integração. Isto é, dada uma diferencial dxxfdy )( , queremos encontrar

as funções primitivas de )(xFy que realizam essa equação como

diferencial

.)(' dxxFdy

Teorema 2: Sejam u = g(x) uma função diferenciável definida em um

intervalo aberto IRJ e IRIRIf : uma função contínua tais que

).()Im( fDomg Então:

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()()).((

Onde IRIRIF : é uma primitiva de f.

Demonstração:

Basta calcular a derivada de H(x) = F(g(x)). Realmente,

).()).(()()).(()( xgxgfxgxgFxH

Isto mostra que H’(x) = F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g’(x).

Em outras palavras, sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F´(x) =

f(x). Suponhamos uma outra função também derivável g(x), tal que a

imagem de g esteja contida no domínio da F. Podemos considerar então,

a função composta Fog = F(g(x)); pela regra da cadeia temos:

)()).(()()).(())(( xgxgfxgxgFxgF

I.

Isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) .g’(x), dai temos que

cxgFdxxgxgf ))(()()).(( II.

Fazendo u = g(x) , du = g’(x)dx e substituindo em II, vem


36

cuFduufdxxgxgf )()()()).((

Exemplos:

Resolva as integrais:

1) dxxx 52 )1.( 2) dxxx 1.

Resolução:

1) Fazendo xdxduxdx

duxu 20212

Voltando na integral original: xdxxI 2)1(2

1 52

Pela regra da Cadeia, temos:

cu

cu

cu

duuI

126.

2

1

152

1

2

1 66155

Voltando em 12 xu

cx

I

12

)1( 62

2) fazendo 11 uxux , dai:

dxdudx

du 01

Voltando na integral original:

duuudxxxI )1(1.

Portanto:

duuuduuuduuuI )(.)1()1( 2

1

2

3

2

1

cuu

cuu

duuduuI

2

3

2

51

2

11

2

3

2

3

2

51

2

11

2

3

2

1

2

3

cuuI 35

3

2

5

2

Voltando em ux 1

cxxI 35 )1(3

2)1(

5

2


37

Atividade 22

1) Resolva as integrais abaixo aplicando o método de substituição ou

mudança de variável para integração:

a) dxxx11

3 7. b) dtt

t 21

2 c) 8)53( x

dx

d) dtt

t

1

2 e) dvvv 42 2

2) Aplicação da integral indefinida: A DeWitt Company descobriu que a

taxa de variação de seu custo médio para um produto é 2

' 100

4

1)(

xxC

, onde x é o número de unidades e o custo esta em dólares. O custo

médio para produzir 20 unidades é $ 40,00.

a) Encontre a função custo médio para o produto.

b) Encontre o custo médio de 100 unidades do produto.


38

6.4 Integral Definida

Definição 23: Seja f: [a, b] → R uma função definida no intervalo fechado

e limitado [a, b] e seja uma partição de [a, b]. Para cada i = 1,2,...,n,

escolhemos um ponto ci ∈ [xi−1, xi]. Definimos a Soma de Riemann de f,

relativa à partição P e à escolha dos pontos ci por

n

i

ii xcffS1

).(),(

Definição 24: A integral definida da função f : [a, b] → R é o limite das

suas Somas de Riemann quando as normas das partições tendem à zero:

),(lim)(0

fSdxxf

b

a

Definição 25: Seja f: [a, b] → R uma função contínua. São válidas as

seguintes afirmações:

i. Seja bac , .Então 0)( dxxfc

c


39

ii. a

b

b

adxxfdxxf )()(

Teorema 3: Se f é uma função contínua sobre o intervalo fechado ba, ,

então f é continua em ba, .

Observação: A demonstração deste teorema será ocultada, devido a não

necessidade ao curso.

Proposição 10: Seja f: I → R uma função contínua definida em intervalo I.

Se a, b e c ∈ I, então: dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a )()()(

Observação 4:A prova desta proposição pode ser encontrada no livro

Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª. Edição pagina 262.

Proposição 11: Sejam f,g: [a, b] → R funções contínuas, k ∈ R e uma

constante. Então

i. dxxgdxxfdxxgfb

a

b

a

b

a )()())((

ii. b

a

b

adxxfkdxxfk )(.)(.

Observação : A prova desta proposição pode ser encontrada no livro

Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª. Edição pagina 261.

6.5 Interpretação geométrica da integral

I. Se f: [a, b] → R é uma função contínua tal que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a,

b], então o limite dxxfb

a )( é a área da região determinada pelo gráfico de

f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.

II. De maneira geral, se f : [a, b] −→ R é uma função contínua, então

dxxfb

a )( é a soma das áreas orientadas das regiões determinadas pelo

eixo Ox e pelo gráfico de f, entre as retas verticais x = a e x = b. Isto é, as

regiões que ficam abaixo do eixo Ox contribuem com os valores negativos

de suas áreas enquanto que as regiões que ficam acima do eixo contribuem

com os valores positivos de suas áreas. Veja um exemplo gráfico.


40

Teorema 4 (Teorema Fundamental do Cálculo): Seja f: I → R é uma

função contínua definida no intervalo aberto I e seja F: I → R uma primitiva

de f. Então, se [a, b] ⊂ I,

)()()( aFbFdxxfb

a

Observação: A prova desta proposição pode ser encontrada no livro

Cálculo A (Diva Marília Flemming) , 6ª. Edição pagina 265 a 267.

Atividade 23

1) Calcule as integrais definidas a seguir:

a) 3

1dx b)

2

0

2dxx c) 1

0

23 14 dttt

d) 5

112 dvv e)

1

1 3

2

9dx

x

x

2) Encontre a área limitada pela curva y = 4 – x2 e o eixo ox.

3) Obtenha a área limitada pela função F(t) = t2 e f(t) = x + 2.


41

BIBLIOGRAFIAS

[ 1 ]Cálculo A – Diva Flemming e Mirian Gonçalves – Ed. Person.

[ 2 ]Fundamentos de Matemática Elementar - Gelsom Iessi – Volume

1.

[ 3 ] Hefez, Abramo, Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2ª. Ed., 2011.

[ 4 ] Pinho, Antônio A., Introdução à Lógica Matemática (Apostila). Rio

de Janeiro, Julho de 1999.

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