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UNIFEI 4 a Prova de Estruturas Alg´ ebricas I-MAT350 17/05/2018 Observa¸ c˜ ao 1: Qualquer quest˜ ao respondida sem nenhuma palavra receber´ a zero. Qual- quer quest˜ao respondida sem nenhuma frase receber´ a no m´aximo metade da pontua¸c˜ ao m´ axima. Observa¸ c˜ ao 2: Explique bem suas respostas. Observa¸ c˜ ao 3: Asdefini¸c˜ oes de estruturas alg´ ebricas e propriedades devem ser com- pat´ ıveis com as do livro texto. 1. (25 pontos) Defina anel. Dˆ e um exemplo de um anel comutativo que n˜ ao possui unidade. Dˆ e um exemplo de um anel que possui identidade mas n˜ao´ e comutativo. 2. (25 pontos) Seja A um anel comutativo com unidade. Ent˜ ao A ´ e um anel de integri- dade se, e somente se, todo elemento n˜ ao nulo de A ´ e regular para a multiplica¸c˜ ao. Dˆ e exemplo de um anel de integridade que n˜ ao ´ e um corpo. 3. (25 pontos) Seja f : A → B um homomorfismo de an´ eis. Prove que (a) N (f )´ e um subanel de A. (b) f ´ e injetor se, e somente se, N (f )= {0 A }. 4. (30 pontos) Mostre que K := Q[ √ 2] = {a + b √ 2; a, b ∈ Q} ´ e um subcorpo de R.
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4a Prova de Estruturas Algebricas I-MAT350
17/05/2018
Observacao 1: Qualquer questao respondida sem nenhuma palavra recebera zero. Qual-
quer questao respondida sem nenhuma frase recebera no maximo metade da pontuacao
maxima.
Observacao 2: Explique bem suas respostas.
Observacao 3: As definicoes de estruturas algebricas e propriedades devem ser com-
patıveis com as do livro texto.
1. (25 pontos) Defina anel. De um exemplo de um anel comutativo que nao possui
unidade. De um exemplo de um anel que possui identidade mas nao e comutativo.
2. (25 pontos) Seja A um anel comutativo com unidade. Entao A e um anel de integri-
dade se, e somente se, todo elemento nao nulo de A e regular para a multiplicacao.
De exemplo de um anel de integridade que nao e um corpo.
3. (25 pontos) Seja f : A → B um homomorfismo de aneis. Prove que
(a) N(f) e um subanel de A.
(b) f e injetor se, e somente se, N(f) = {0A}.
4. (30 pontos) Mostre que K := Q[√
2] = {a + b√
2; a, b ∈ Q} e um subcorpo de R.
