UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA

MATEMATICA

PROVA DE TRANSFERENCIA INTERNA, EXTERNA E PARAPORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 28/06/2015CANDIDATO:CURSO PRETENDIDO:

OBSERVACOES:1. Prova SEM consulta;2. A prova PODE ser feita a lapis;3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;4. Duracao: 2 HORAS.

Questao 1 (10 pontos). Considere o sistema linear{a11x+ a12y+ a13z = 0

a21x+ a22y+ a23z = 0

onde aij ∈ R. Pode-se afirmar que este sistema

a) admite apenas a solucao trivial b) nao admite solucoes c) admite solucao unicad) admite infinitas solucoes e) admite duas solucoes

Resposta: d)O sistemas homogeneo tem mais variaveis do que equacoes, logo existem infinitas solucoes.

Questao 2 (10 pontos). Encontre o conjunto solucao do sistema de inequacoes3x+ 2 > 5x− 2

4x− 1 ≥ 3x− 4

3− 2x ≤ x− 6

a) x ∈ (−3, 2) b) x ∈ [−3, 2) c) ∅ d) x > 3 e) x ≥ −3

Resposta: c)Resolvendo separadamente cada inequacao, temos

3x+ 2 > 5x− 2↔ x ∈ A1 = {x ∈ R, x < 2}

4x− 1 ≥ 3x− 4↔ x ∈ A2 = {x ∈ R, x ≥ −3}

3− 2x ≤ x− 6↔ x ∈ A3 = {x ∈ R, x ≥ 3}

Tomando a intersecao, vem A1 ∩A2 ∩A3 = ∅.

Questao 3 (10 pontos). Calcule:

limx→1

3x3 − 8

x− 2

a) 3 b) −3 c) 5 d) 2 e) @

Resposta: c)Como a funcao e racional e o ponto de interesse esta em seu domınio, temos

limx→1

3x3 − 8

x− 2= 5

Questao 4 (10 pontos). Avalie f ′(0) para

f(x) =2− x

3x+ 1

a) 0 b) @ c) 6 d) -6 e) -7

Resposta: e)Avaliando a derivada, temos

f ′(x) =−(3x+ 1) − 3(2− x)

(3x+ 1)2

Como a expressao e racional e 0 esta em seu domınio temos f ′(0) = −7.

Questao 5 (10 pontos). A densidade populacional numa cidade e dada por

D(r) =15r+ 5

r2 + r+ 2,

onde r indica a distancia ate o centro da cidade. Para quais valores de r a densidadepopulacional e decrescente?

a) r ∈ [0, 1) b) r ∈ (−53, 1) c) r < 1 d) r > 1 e) a densidade nunca decresce.

Resposta: d)Queremos encontrar os valores de r > 0 para os quais D ′(r) < 0. Calculando a derivadaontemos,

D ′(r) = −5(3r2 + 2r− 5)

(r2 + r+ 2)2

Vemos que D ′(r) < 0↔ r > 1.

2

Questao 6 (10 pontos). Um fabricante de celulares observa que a cada N milharesde celulares produzidos, todos sao vendidos quando o preco e modelado por

P(N) =1000

N2 + 9

Quantos celulares devem ser vendidos para que a receita da empresa seja a maior possıvel?

Resposta:A receita e dada pela custo de venda vezes o numero de milhares de aparelhos vendidos,logo

R(N) =1000N

N2 + 9

Procuramos o ponto de maximo para R(N). Derivando obtemos,

R ′(N) =1000(3−N)(3+N)

(N2 + 9)2

Considerando N positivo, vemos que R ′(N) = 0 quando N = 3.Note que se N < 3, entao R ′(N) > 0 e quando N > 3, temos R ′(N) < 0. Assim, devemser vendidos 3000 celulares para que a receita seja maxima.

Questao 7 (10 pontos). Determine os valores de k para que o sistemax+ y− z = 1

2x+ 2z = 2

3x+ y+ z = k

seja impossıvel, isto e, nao admita solucoes.

Resposta:Calculando o determinante associado ao sistema vemos que e nulo, logo as equacoes saodependentes. Somando a primeira e segunda equacoes e subtraindo a terceira temos

0 = 3− k

Assim, se k 6= 3 o sistema nao admite solucoes.

Questao 8 (10 pontos). Encontre o conjunto solucao da seguinte equacao√x2 + 5x+ 1 = 2x− 1

Resposta:

3

Temos como condicao para existencia de solucao, x > 1/2, para que o lado direito sejapositivo e a equacoes esteja bem definida. Elevando ambos os membros ao quadrado esimplificando obtemos a equacao

x2 − 3x = 0

que tem como raızes x1 = 0 e x2 = 3. Logo, a solucao e x = 3.

Questao 9 (10 pontos). Um fabricante de bolos vende-os a 38 reais cada. Se ele temcustos fixos de 600 reais e cada bolo custa 8 reais para ser produzido, qual a quantidademınima de bolos para que o fabricante tenha lucro?

Resposta:A expressao para o lucro obtido sera a diferenca entre receita e custo, logo

L(N) = 38N− 8N− 600

Vemos que L e positivo quando N > 20.

Questao 10 (10 pontos). Seja a funcao

f(x) =

{x−1x2−1

, x 6= 1

0, x = 1

Avalie o limite de f quando x tende ao valor 1.

Resposta:

limx→1

x− 1

x2 − 1= lim

x→1

(x− 1)

(x− 1)(x+ 1)= lim

x→1

1

x+ 1=

1

2.

4

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Pró-Reitoria de Graduação - PRG

Coordenação de Processos Seletivos – COPS

PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 28/06/2015

Programação

CANDIDATO: _________________________________________________________________

CURSO PRETENDIDO: _________________________________________________________

OBSERVAÇÕES: 01 – Prova sem consulta. 02 – A prova pode ser feita a lápis. 03 – Duração: 2 HORAS.

1a Questão (10 pontos): Supondo que pela leitura de dois números, os dígitos iniciais do no de CPF, uma

organização de eventos consegue distribuir o ingresso dos participantes em quatro setores. Na distribuição, serão associadas as letras k e n aos números ímpares e pares respectivamente, direcionando ocupantes aos setores kk, kn, nn e nk, conforme informação recebida. Considerando que um participante foi encaminhado ao setor kn,

assinale a alternativa que originou essa indicação apresentada pelo comando “ESCREVA” no fragmento de programa abaixo, escrito em pseudocódigo. (obs.: o símbolo “” corresponde ao comando de atribuição, isto

é, a variável à esquerda recebe o valor apontado para ela):

CARACTER A, B INTEIRO X, Y LEIA X SE X = 1 OU X = 3 OU X = 5 OU X = 7 OU X = 9 ENTÃO A 'k' SENÃO A 'n' FIM-SE LEIA Y SE Y = 1 OU Y = 3 OU Y = 5 OU Y = 7 OU Y = 9 ENTÃO B 'k' SENÃO B 'n' FIM-SE ESCREVA “Setor ”, A, B

( a ) 2, 9 ( b ) 4, 6 ( c ) 5, 2 ( d ) 5, 7

2a Questão (10 pontos): Observe abaixo um trecho de programa, escrito em pseudocódigo, que calcula

e imprime os N primeiros elementos da série de Fibonacci (N > 1):

X 0 Y 1 i 2 ESCREVA X, “ , ”, Y

ENQUANTO i N FAÇA Fib X + Y X Y Y Fib i i + 1 ESCREVA “ , ”, Fib FIM-ENQUANTO

Escolha a alternativa que representa uma parte da série construída com esse programa:

( a ) ..., 6, 9, 12, ... ( b ) ..., 21, 34, 55,... ( c) ..., 5, 8, 16, ... ( d ) ..., 42, 50, 88, ...

3a Questão (10 pontos): Um departamento que controla o índice de poluição do meio ambiente mantém 3 grupos

de indústrias (A, B, C) que são altamente poluentes do meio ambiente. O índice de poluição aceitável varia de 0,05

até 0,25. Se o índice sobe para 0,3 , as indústrias do grupo A serão intimadas a interromper as atividades. Se o

índice cresce para 0,4 , as indústrias dos grupos A e B são intimadas a suspenderem suas atividades. Se o índice

atingir 0,5 , todos os 3 grupos devem ser notificados a paralisarem suas atividades. Escolha, dentre os trechos de

código abaixo, qual realiza a seleção de notificações quando o índice ultrapassa o valor 0,25.

(a) SE Ind 0,5

ENTÃO ESCREVA “notif A, B e C”

SENÃO

SE Ind 0,4

ENTÃO

ESCREVA “notif A e B”

SENÃO

SE Ind 0,3

ENTÃO ESCREVA “notif A ”

FIM-SE

FIM-SE

FIM-SE

(b) SE Ind > 0,25 E Ind < 0,4

ENTÃO ESCREVA “notif A”

SENÃO

SE Ind > 0,3

ENTÃO

ESCREVA “notif A e B”

SENÃO

SE Ind > 0,3

ENTÃO ESCREVA “notif A ”

FIM-SE

FIM-SE

FIM-SE

(c) SE Ind > 0,3

ENTÃO ESCREVA “notif A”

SENÃO

SE Ind > 0,4

ENTÃO

ESCREVA “notif A e B”

SENÃO

SE Índ > 0,5

ENTÃO ESCREVA “notif A,B, C ”

FIM-SE

FIM-SE

FIM-SE

(d) SE Ind 0,25

ENTÃO ESCREVA “notif A”

SENÃO

SE Índ > 0,3

ENTÃO

ESCREVA “notif A e B”

SENÃO

SE Índ > 0,4

ENTÃO ESCREVA “notif A, B e C ”

FIM-SE

FIM-SE

FIM-SE

4a Questão (10 pontos): Admitindo que uma data é lida por um programa em uma variável inteira e não em

uma variável do tipo data, precisa-se criar uma rotina que leia uma data no formato DDMMAA e imprima essa

data no formato AAMMDD, onde: • DD corresponde a dois algarismos representando o dia; • MM corresponde a dois algarismos representando o mês; • AA corresponde aos dois últimos algarismos representando o ano.

Qual dos trechos de programa realiza essa tarefa corretamente:

(a) INTEIRO Data, Resto, AA, DD, MM

LEIA Data

DD Data/1000

MM Data/10 – DD*100

AA Data – DD*10000 – MM*100

ESCREVA AAMMDD

(b) INTEIRO Data, Resto, AA, MM, DD

LEIA Data

DD Data/100000

MM Data/100 – DD*100

AA Data + DD*10000 – MM*100

ESCREVA AAMMDD

(c) INTEIRO Data, Resto, AA, MM, DD

LEIA Data

DD Data/10000

MM Data/100 – DD*100

AA Data – DD*10000 – MM*100

ESCREVA AAMMDD

(d) INTEIRO Data, Resto, AA, DD

LEIA Data

DD Data/10000

MM Data/100 – DD*100

AA Data – DD*10000 – MM*100

ESCREVA AAMMDD

5a Questão (10 pontos): Considere o seguinte problema: “Dados dois números naturais m e n determine, entre

todos os pares de números naturais (x,y) tais que x < m e y < n, um par para o qual o valor da expressão xy - x2 + y seja máximo e calcule também esse máximo.” Escolha o fragmento de programa entre os listados abaixo, escrito em pseudocódigo, que resolve o problema:

(a) X 1 Y -1

ENQUANTO X n FAÇA ENQUANTO Y m FAÇA Valor X*Y + X*X - Y

SE Valor > ValorMax ENTÃO ValorMax Valor FIM-SE

X X + 1

Y Y + 1 FIM-ENQUANTO FIM-ENQUANTO

(b) Xmax 0 Ymax 0 ValorMax 0

ENQUANTO X n FAÇA Y Y + 1 ENQUANTO Y m FAÇA Valor X*Y - X*X + Y

SE Valor > ValorMax ENTÃO ValorMax Valor FIM-SE FIM-ENQUANTO FIM-ENQUANTO

(c) Xmax 0 Ymax 0 ValorMax 0 X 0 Y -1

ENQUANTO X n FAÇA Y Y + 1 ENQUANTO Y m FAÇA Valor X*Y - X*X + Y

SE Valor > ValorMax ENTÃO ValorMax Valor Xmax X Ymax Y FIM-SE FIM-ENQUANTO X X + 1 FIM-ENQUANTO

(d) Xmax 0 Ymax 0 ValorMax 0 X 1 Y 1

ENQUANTO X n FAÇA Y Y + 1 ENQUANTO Y m FAÇA Valor X*Y + X*X - Y

SE Valor > ValorMax ENTÃO ValorMax Valor Xmax X Ymax Y FIM-SE FIM-ENQUANTO X X + Y FIM-ENQUANTO

6a Questão (10 pontos): Escreva um programa que armazene, via leitura, três números inteiros positivos (A, B,

C), calcule e mostre o resultado da seguinte expressão: M = [(A+B)2 + (B+C)2]/2

Programa-6

INTEIRO A, B, C

REAL M

ESCREVA “digite três números inteiros”

LEIA A, B, C

M = ((A+B)*(A+B)+(B+C)*(B+C))/2

ESCREVA “M = [(”, A, “ + ”, B, “)^2 + (”, B, “ + ”, C, “)^2]/2 = ”, M

FIM Programa-6

7a Questão (10 pontos): Escreva um algoritmo que leia dois números inteiros, x e y, verifique se um é

múltiplo do outro e, em seguida, os escreva dizendo se são múltiplos ou não. Exemplos: Se a leitura foi x=2 e y=6, após a verificação escreva a mensagem: "6 é múltiplo de 2". Outra leitura com x=7 e y=2 vai resultar na mensagem "7 e 2 não são múltiplos".

Programa-7

INTEIRO X, Y, Resto

ESCREVA “digite dois números inteiros”

LEIA X, Y

SE X < Y

ENTÃO Resto Y – X * (Y/X)

SE Resto = 0

ENTÃO ESCREVA Y, “é múltiplo de”, X

SENÃO ESCREVA X, “e”, Y, “não são múltiplos”

FIM-SE

SENÃO Resto X – Y * (X/Y)

SE Resto = 0

ENTÃO ESCREVA X, “é múltiplo de”, Y

SENÃO ESCREVA X, “e”, Y, “não são múltiplos”

FIM-SE

FIM-SE

FIM Programa-7

8a Questão (10 pontos): Qualquer número natural de quatro algarismos pode ser dividido em duas dezenas formadas pelos

seus dois primeiros e dois últimos dígitos. Exemplos: 1297: 12 e 97 5314: 53 e 14

Escreva um programa que imprima todos os números naturais com 4 algarismos (1000 N 9999) cuja raiz quadrada seja a soma das dezenas formadas pela divisão acima. Exemplo: raiz de 9801 = 99 = 98 + 01. Portanto, 9801 é um dos números a ser impresso.

Programa-8 INTEIRO N, MC, DU

N 1000

ESCREVA “ digite um número inteiro e positivo ”

ENQUANTO N 9999 FAÇA

MC N/100

DU N – MC*100

SE (MC + DU) * (MC + DU) = N

ENTÃO ESCREVA N, “ = (”, MC, “ + ”, DU, “ )^2”,

FIM-SE

N N + 1

FIM-ENQUANTO FIM Programa-8

9a Questão (10 pontos): Escreva um trecho de programa para imprimir uma palavra armazenada em um vetor de

caracteres e, em um espaço à frente, uma cópia invertida não anotando as vogais. Exemplo: Palavra armazenada: futebolista Palavras impressas: futebolista tslbtf

Obs.: O vetor V[ ] tem 60 posições. Após a palavra armazenada, o símbolo # sinaliza seu final. Declare as variáveis de controle que for utilizar no trecho de programa.

INTEIRO i

i 1

ENQUANTO V[i] ‘#’ FAÇA

ESCREVA V[i]

i i + 1

FIM-ENQUANTO

ESCREVA “ ”

i i - 1

ENQUANTO i 1 FAÇA

SE V[i] ‘A’ E V[i] ‘E’ E V[i] ‘I’ E V[i] ‘O’ E V[i] ‘U’

ENTÃO ESCREVA V[i]

FIM-SE

i i - 1

FIM-ENQUANTO

10a Questão (10 pontos): Escreva um trecho de programa para facilitar as vendas de um supermercado

considerando que as compras são efetuadas em dois momentos. Primeiro o cliente faz sua escolha de produtos anotando em um dispositivo portátil o código e a quantidade desejada e, no segundo momento, recebe a lista de sua compra discriminando o produto, unidade de venda (quilo, metro, litro, dúzia, etc.), valor unitário, percentual de imposto (Nessa região os preços não incorporam impostos, uma vantagem no esclarecimento tributário aos cidadãos.), quantidade e valor total de cada item, e, no final, o total geral a pagar, ou seja, um cupom para pagar e receber sua compra. Considere que a lista de compra fica armazenada em uma matriz MN2, recebida pelo

dispositivo, contendo na 1ª coluna o código do produto e na 2ª a quantidade de N produtos selecionados. As informações dos produtos do supermercado estão armazenadas na matriz ESTK5 com os K itens de seu estoque

de produtos contendo os campos: código na coluna 1, descrição na coluna 2, unidade na coluna 3, valor unitário na coluna 4 e taxa de imposto na coluna 5. Sua tarefa será preparar o trecho de código no qual é montado o cupom

de venda. Observe o exemplo abaixo, sabendo que já foram lidas as matrizes M e EST e são conhecidas as quantidades N e K. Declare variáveis de controle, contadores, variáveis para cálculo dos valores parciais e total, além de imprimir no cupom cada um dos N itens processados e, ao final, a mensagem “Valor total cupom “ com o valor a pagar. Como exemplo, considere uma venda de 3 produtos:

Lista

cupom

cód qtde cód descrição qtde unid Valor un

taxa Valor total

101 1 101 Laranja pera 1 dz 3,60 5,5% 3,80

112 3 112 Água mineral 3 gl 9,70 7,6% 31,31

257 1,25 257 Carne bovina 1ª 1,25 kg 28,70 15% 41,26

Valor total cupom 76,37

INTEIRO i, j, k

REAL Val-Cupom, Val-total

Val-Cupom 0

ESCREVA “ Cupom ”,

ESCREVA “ Cod descrição qtde unid Val-unit taxa Val-total ”

PARA(i 1; i ; i i + 1) FAÇA

j 1

ENQUANTO j < K E M[i,1] EST[j,1] FAÇA

j j + 1

FIM-ENQUANTO

Val-total M[i,2] * EST[j,4]*(1+EST[j,5])

ESCREVA EST[j,1], EST[j,2], M[i,2], EST[j,3], EST[j,4], EST[j,5], Val-total

Val-Cupom Val-Cupom + Val-total

FIM-PARA

ESCREVA “ Valor total cupom =”, Val-Cupom