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Unimonte, Engenharia Física Mecânica. Vetores: representação, soma e subtração. Prof. Simões 1. Dados os vetores expressos em coordenadas polares, indique-os em seus componentes retangulares utilizando os versores e . Exemplo = 11,7; = 31° = cos 31° = 11,7 0,857 = 10 = sen 31° = 11,7 0,515 = 6 = 10 + 6 = 12; = 138,4 = cos 138,4 = 12 0,748 = 9 = sen 138,4 = 12 0.664 = 8 = 9 + 8 Exercícios Vetor Utilizando os componentes unitários ! = 15,3; = 11,1 = 15 + 3 ! = 11,7; = 110˚ 2 = 4 + 11 ! = 12,7; Θ = 45˚ 3 = 9 + 9 ! = 19,7; Θ = 59,4 = 10 17 ! = 13,0; Θ = 147,5 = 11 7 2. Dados os vetores na forma retangular, expressá-los na forma polar. Exemplo: Exemplo = 16 + 10 Módulo: = 16 ! + 10 ! => = 18,9 Direção e sentido: = arctan !" !" => = arctan 0,625 = 32° = 18,9; = 32˚ Exercícios Vetor Utilizando a representação polar = 6 + 6 = 8,49; Θ = 45° = 12 + 3 = 12,4; Θ = 166° = 5 3 = 5,83; Θ = 211° = 10 = 10; Θ = 90° = 15 = 15; Θ = = 6 6 = 8,5; Θ = 315°

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Unimonte,EngenhariaFísicaMecânica.Vetores:representação,somaesubtração.Prof.Simões1.Dadososvetoresexpressosemcoordenadaspolares,indique-osemseuscomponentesretangularesutilizandoosversores𝚤 e 𝚥.

Exemplo𝑉𝑎 = 11,7;𝛩 = 31°𝑉𝑎𝑥 = 𝑉𝑎 ∙ cos 31° = 11,7 ∙ 0,857 = 10𝑉𝑎𝑦 = 𝑉𝑎 ∙ sen 31° = 11,7 ∙ 0,515 = 6𝑉𝑎 = 10 𝚤 + 6 𝚥

𝑉𝑏 = 12; 𝛩 = 138,4𝑉𝑏𝑥 = 𝑉𝑏 ∙ cos 138,4 = 12 ∙ −0,748 = −9𝑉𝑏𝑦 = 𝑉𝑏 ∙ sen 138,4 = 12 ∙ 0.664 = 8𝑉𝑏 = −9𝚤 + 8𝚥

ExercíciosVetor Utilizandooscomponentesunitários

𝑉! = 15,3;𝛩 = 11,3˚ 𝑉1 = 15𝚤 + 3𝚥

𝑉! = 11,7;𝛩 = 110˚ 𝑉2 = −4𝚤 + 11𝚥

𝑉! = 12,7;Θ = 45˚ 𝑉3 = 9𝚤 + 9𝚥

𝑉! = 19,7;Θ = −59,5˚ 𝑉4 = 10𝚤 − 17𝚥

𝑉! = 13,0;Θ = −147,5˚ 𝑉5 = −11𝚤 − 7𝚥2.Dadososvetoresnaformaretangular,expressá-losnaformapolar.Exemplo:Exemplo𝑉𝑎 = 16𝚤 + 10𝚥Módulo:𝑉𝑎 = 16! + 10! => 𝑉𝑎 = 18,9Direçãoesentido:𝛩 = arctan !"

!"=> 𝛩 = arctan 0,625 = 32°

∴ 𝑉𝑎 = 18,9;𝛩 = 32˚

ExercíciosVetor Utilizandoarepresentaçãopolar𝑉 = 6𝚤 + 6𝚥 𝑉 = 8,49;Θ = 45°

𝑉 = −12𝚤 + 3𝚥 𝑉 = 12,4; Θ = 166°

𝑉 = −5𝚤 − 3𝚥 𝑉 = 5,83; Θ = 211°

𝑉 = 10𝚥 𝑉 = 10; Θ = 90°

𝑉 = 15𝚤 𝑉 = 15; Θ = 0°

𝑉 = 6𝚤 − 6𝚥 𝑉 = 8,5; Θ = 315°

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3.Realizarasseguintessomasesubtraçõescomosvetoresacima,indicandooresultadotantonaformapolarcomonaformaretangular:

ExemploDadososvetores𝑉𝑎 = 10 𝚤 + 6 𝚥e𝑉𝑏 = −9𝚤 + 8𝚥:

Fazer𝑽𝒂+ 𝑽𝒃Formaretangular:𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 = 10− 9 𝚤 + 6+ 8 𝚥𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 = 1 𝚤 + 14 𝚥Formapolar:Módulo:𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 = 1! + 14!𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 = 14Direçãoesentido:

𝛩 = arctan141 => 𝛩 = 86°

∴ 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 = 14;𝛩 = 86˚

Fazer𝑽𝒂− 𝑽𝒃;Equivaleafazer:𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝑉𝑎 + −𝑉𝑏 −𝑉𝑏 = − −9𝚤 + 8𝚥 ⇒ −𝑉𝑏 = 9𝚤 − 8𝚥Formaretangular:𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 10+ 9 𝚤 + 6− 8 𝚥𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 19𝚤 − 2𝚥Formapolar:Módulo:𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 19! + −2 ! ⇒ 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 19,1Direçãoesentido:

𝛩 = arctan−219 => 𝛩 = −6°

∴ 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 19,1;𝛩 = −6˚ou𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 19,1;𝛩 = 354˚

ExercíciosOperação Formaretangular Formapolar

𝑉! + 𝑉! 17,8;Θ = 51,8° 11𝚤 + 14𝚥

𝑉! + 𝑉! + 𝑉! 17,0; Θ = 298,1° 8𝚤 − 15𝚥

𝑉! − 𝑉! 25,6; Θ = 218,7° −20𝑖 − 16𝑗

𝑉! + 𝑉! − 𝑉! 12,7; Θ = 225° −9𝑖 − 9𝑗

𝑉! + 𝑉! − 𝑉! + 𝑉! − 𝑉! 23,5;Θ = 347,7° 23𝑖 − 5𝑗

𝑉! − 𝑉! + 𝑉! 38,3; Θ = 139,2° −29𝑖 + 25𝑗

𝑉! + 𝑉! − 𝑉! + 𝑉! 23,4; Θ = 110° −8𝑖 + 22𝑗4.Preenchaaseguintetabela:Resultante Vetor1 Vetor2 Vetor3

𝑉 = 24𝚤 − 21𝚥 𝑉𝑎 = 14𝚤 + 7𝚥 𝑉𝑏 = 5𝚤 − 14𝚥 𝑉𝑏 = 5𝚤 − 14𝚥

𝑉 = −3𝚤 + 13𝚥 𝑉𝑎 = 9𝚤 + 18𝚥 𝑉𝑏 = −17𝚤 + 9𝚥 𝑉𝑐 = 5𝚤 − 14𝚥

𝑉 = 9𝚤 + 16𝚥 𝑉𝑎 = 14𝚥 𝑉𝑏 = −14𝚤 + 15𝚥 𝑉𝑐 = 23𝚤 − 13𝚥

𝑉 = 16𝚤 + 3𝚥 𝑉𝑎 = −13𝚤 + 12𝚥 𝑉𝑏 = 8𝚤 + 6𝚥 𝑉𝑐 = 21𝚤 − 15𝚥

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5.Calculegraficamenteaforça𝐹 resultantedasseguintesforças:𝐹1 = 25,8 𝑁;𝛩 = −35,5°;𝐹2 = 8𝚤 +6𝚥;𝐹3 = 17,7 𝑁;𝛩 = 137,3°