UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO ELISABETE …...Um estudo sobre a demonstração em Geometria...
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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO ELISABETE TERESINHA GUERATO UM ESTUDO SOBRE A DEMONSTRAÇÃO EM GEOMETRIA PLANA COM ALUNOS DO CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA SÃO PAULO 2016
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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
ELISABETE TERESINHA GUERATO
UM ESTUDO SOBRE A DEMONSTRAÇÃO EM GEOMETRIA PLANA COM
ALUNOS DO CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2016
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ELISABETE TERESINHA GUERATO
UM ESTUDO SOBRE A DEMONSTRAÇÃO EM GEOMETRIA PLANA COM
ALUNOS DO CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2016
Tese de doutorado submetida à banca examinadora da
Universidade Anhanguera de São Paulo, como
exigência, como exigência parcial para a obtenção do
título de Doutor em Educação Matemática.
Orientação: Profa. Dra. Vera Helena Giusti de Souza.
Ficha Catalográfica elaborada por:
Bibliotecária Roselaine R. de Bastos Novato CRB/8 9676
G962e Guerato, Elisabete Teresinha
Um estudo sobre a demonstração em geometria plana com alunos do
curso de licenciatura em matemática Elisabete Teresinha Guerato. – São
Paulo, 2016.
276 f.: il,; 30 cm
Tese (Programa de Pós-graduação em Educação Matemática) –
Coordenadoria de Pós-graduação – Universidade Anhanguera de São Paulo,
2016.
Orientadora: Profa. Dra. Vera Helena Giusti de Souza
1. Geometria. 2. Demonstração. 3. GeoGebra. 4. Tecnologia. I. Título II.
Universidade Anhanguera de São Paulo.
CDD 372,7
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a
reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de
fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: ___________________________________________
Local e Data: __________________________________________
Dedico este trabalho aos meus pais, responsáveis pela
minha vida e aos meus filhos, razões do meu viver.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer primeiramente a Deus, por ter me dado a oportunidade de
viver com saúde, até chegar ao final deste curso.
Agradeço ao Instituto Federal de São Paulo, por ter dado condições para dedicar-
me exclusivamente ao curso de doutorado.
Aos professores Vera Helena Giusti de Souza e Luiz Gonzaga Xavier de Barros
pelas contribuições mais que preciosas nas orientações.
Aos professores do programa de pós-graduação da Universidade Anhanguera
de São Paulo, em particular Vincenso Bongiovanni e Marlene Alves Dias, que
foram responsáveis pelas disciplinas de didática e que me apresentaram as
teorias que usei nesse trabalho.
Aos colegas de curso, que muito contribuíram com sugestões e pesquisas bem
feitas para a apresentação dos seminários que ocorreram durante o curso e que
acabaram ajudando na minha pesquisa também.
Aos membros da banca, professores Rosana Nogueira de Lima, Saddo Ag
Almouloud e Yuriko Baldin, pelas valiosas contribuições dadas no exame de
Qualificação.
Aos meus pais, que sempre me incentivaram a estudar, e aos meus filhos,
Rodrigo e Rogerio, pelo carinho e pela paciência em não ter a mãe em tempo
integral durante o curso.
RESUMO
GUERATO, Elisabete Teresinha. Um estudo sobre a demonstração em Geometria Plana com alunos do curso Licenciatura em Matemática. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Universidade Anhanguera de São Paulo, 2016. 276 p. Com esta pesquisa teve-se por objetivo investigar se o uso de um software de geometria dinâmica pode alavancar a passagem da geometria de observação para a geometria de demonstração e, também, investigar se pode provocar o aprimoramento de aspectos formais lógicos. Para alcançar este objetivo, realizou-se uma intervenção em uma Universidade Pública da Cidade de São Paulo, com alunos do curso Licenciatura em Matemática, com atividades inspiradas na teoria sobre demonstração de De Villiers. Analisaram-se do Estado de São Paulo, as ementas de Geometria do curso onde estão matriculados os participantes e os livros didáticos indicados por estas, para saber como sugerem o ensino de Geometria. Analisaram-se os protocolos gerados pelas atividades utilizadas, com base na teoria de Parzysz e nas ideias de Fischbein, para responder as questões: 1. Alunos matriculados no início do curso de formação de professores estão habilitados a desenvolver os passos de uma demonstração em Geometria? 2. Atividades realizadas com apoio num software de Geometria Dinâmica favorecem a elaboração de conjecturas que provocarão uma demonstração? 3. Alunos da fase inicial de um curso de formação de professores de Matemática estão habituados a usar e entender a linguagem formal ao escrever sobre constatações matemáticas? Percebeu-se, ao final da pesquisa que, apesar do pouco tempo, a maioria dos participantes teve um início de mudança na postura em relação à demonstração em Geometria. Desta maneira, espera-se contribuir com o ensino e a aprendizagem de Geometria na Educação Básica. Palavras-chave: Geometria, Demonstração, GeoGebra, Tecnologia.
ABSTRACT
Guerato, Elisabete Teresinha. A study of the demonstration in plane geometry course with students of Mathematics teacher education. Thesis (Doctorate in Mathematics Education). Anhanguera University of São Paulo, 2016. 276 p. With this research was to investigated if the use of a dynamic geometry software can leverage the passage of the geometry of observation to the geometry demonstration and also investigate if can cause the improvement of logical formal aspects. To achieve this goal, there was an intervention in a public University of São Paulo, with students of Mathematics teacher education, with activities inspired by the theory of De Villiers demonstration. The current Geometry program of the state of São Paulo was analyzed which participants were enrolled and textbooks were indicated by them, to know how to suggest the teaching of geometry. the protocols generated were analyzed by the activities used, based on Parzysz theory and in Fischbein ideas, to answer the questions: 1. Students enrolled at the beginning of the teacher training course are able to develop the steps of a demonstration in Geometry? 2. Activities undertaken to support a dynamic geometry software favors the development of conjectures that will trigger a demonstration? 3. Students from the initial phase of a course of mathematics teacher education are used to using and understanding the formal language when writing about mathematical findings? It was noticed at the end of the research that, despite the short time, most of the participants had an early change in attitude toward the demonstration in Geometry. In this way, it is hoped that it contributes to the teaching and learning Geometry in basic education. Keywords: geometry, demonstration, GeoGebra Technology.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: quadrado desenhado ....................................................................................................................... 52 Figura 2: quadrado desenhado alterado ......................................................................................................... 52 Figura 3: quadrado construído ....................................................................................................................... 53 Figura 4: quadrado construído modificado .................................................................................................... 53 Figura 5: triângulos usados para resolver o Problema 1 ................................................................................ 58 Figura 6: triângulos usados para resolver o problema 2 ................................................................................ 59 Figura 7: figura oferecida pelo problema ...................................................................................................... 60 Figura 8: figura subdividida .......................................................................................................................... 61 Figura 9: resolução do problema 3 ................................................................................................................ 61 Figura 10: demonstração Mediatriz é um Lugar Geométrico no GeoGebra ................................................ 135 Figura 11: demonstração Mediatriz é um Lugar Geométrico - 1ª parte ....................................................... 140 Figura 12: mediatriz é um Lugar Geométrico - 2ª parte .............................................................................. 144 Figura 13: exemplo de demonstração .......................................................................................................... 150 Figura 14: exercício 3B.2 - hipótese e tese .................................................................................................. 150 Figura 15: exemplo de demonstração .......................................................................................................... 160 Figura 16: exemplo de demonstração com artifício ..................................................................................... 161 Figura 17: exemplo de demonstração com segundo artifício 2 ................................................................... 161 Figura 18: ilustração - exercício 1 parte 3 ................................................................................................... 162 Figura 19: figura referente ao exercício 2 da atividade 3C. ......................................................................... 167 Figura 20: figura referente ao exercício 3 .................................................................................................... 171 Figura 21: auxílio para demonstração de teorema "ida" .............................................................................. 176 Figura 22: auxílio para demonstração de teorema "ida" .............................................................................. 177 Figura 23: auxílio para demonstração de teorema "volta" ........................................................................... 177 Figura 24: tela inicial do GeoGebra ............................................................................................................ 199 Figura 25: botões de acesso ......................................................................................................................... 200 Figura 26: opções do Botão 1 ...................................................................................................................... 201 Figura 27: opções do Botão 2 ...................................................................................................................... 201 Figura 28: opções para os Pontos ................................................................................................................ 202 Figura 29: propriedades dos Pontos ............................................................................................................. 202 Figura 30:opções do Botão 3 ....................................................................................................................... 203 Figura 31: opções do Botão 4 ...................................................................................................................... 204 Figura 32: opções do Botão 6 ...................................................................................................................... 205 Figura 33:demonstração Mediatriz com GeoGebra ..................................................................................... 215 Figura 34: demonstração mediatriz 1ª parte ................................................................................................ 216 Figura 35: demonstração mediatriz 2ª parte ................................................................................................ 217 Figura 36: demonstração Mediatriz é um Lugar Geométrico no GeoGebra ................................................ 219 Figura 37: demonstração Mediatriz é um Lugar Geométrico - 1ª parte ....................................................... 220 Figura 38: mediatriz é um Lugar Geométrico - 2ª parte .............................................................................. 221 Figura 39: exemplo de demonstração .......................................................................................................... 222 Figura 40: exercício 2 - hipótese e tese ....................................................................................................... 223 Figura 41: exemplo de demonstração .......................................................................................................... 225 Figura 42: exemplo de demonstração com artifício ..................................................................................... 225 Figura 43: exemplo de demonstração com segundo artifício 2 ................................................................... 226 Figura 44: ilustração - exercício 1 parte 3 ................................................................................................... 227 Figura 45: figura referente ao exercício 2 da atividade 3C. ......................................................................... 228 Figura 46: figura referente ao exercício 3 .................................................................................................... 229
SUMÁRIO
Introdução ........................................................................................................... 19
CAPÍTULO 1- Justificativa .................................................................................. 25
CAPÍTULO 2 – Revisão de Literatura ................................................................. 35
CAPÍTULO 3 – Considerações Teóricas ............................................................ 41
3.1 Demonstração .............................................................................................................................. 41
3.1.1 Michael De Villiers ................................................................................................................. 41
3.1.2 Ensino da demonstração com o GeoGebra .............................................................................. 47
3.2 Softwares de Geometria Dinâmica ............................................................................................... 48
3.2.1 GeoGebra ................................................................................................................................. 50
3.3 A Interação entre os componentes formal, algorítmico e intuitivo na Atividade Matemática ..... 53
3.4 A Geometria de Parzysz ............................................................................................................... 62
CAPÍTULO 4 – Procedimentos Metodológicos ................................................... 69
4.1 Caracterização do local da pesquisa ............................................................................................. 69
4.2 Análise das Ementas .................................................................................................................... 70
4.2.1 Objetivos Específicos do Curso de Licenciatura em Matemática ............................................ 70
4.2.2 Estrutura Curricular do Curso de Licenciatura em Matemática ............................................... 72
4.2.3 Análise dos Livros Didáticos Indicados na Bibliografia pela Ementa ..................................... 74
4.3 A Pesquisa .................................................................................................................................... 78
4.3.1 Plano de Trabalho .................................................................................................................... 78
4.3.2 Caracterização dos participantes da Pesquisa .......................................................................... 80
CAPÍTULO 5 – Análise das Atividades ............................................................... 83
5.1 Análise da Atividade 1 ................................................................................................................. 86
5.2 Análise da Atividade 2 ............................................................................................................... 123
5.3 Análise da Atividade 3 ............................................................................................................... 134
CAPÍTULO 6 - Conclusões ............................................................................... 181
CAPÍTULO 7 – Considerações Finais ............................................................... 187
Referências ....................................................................................................... 195
Apêndice A ....................................................................................................... 199
Apêndice B ....................................................................................................... 209
Apêndice C ....................................................................................................... 213
Apêndice D ....................................................................................................... 219
Apêndice E ....................................................................................................... 231
Anexo A ............................................................................................................ 257
Anexo B ............................................................................................................ 263
Anexo C ............................................................................................................ 267
Anexo D ............................................................................................................ 269
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INTRODUÇÃO
Durante a graduação, na década de 1970, percebemos que uma grande
dificuldade dos alunos, nos cursos de Licenciatura em Matemática, era aprender
a demonstrar teoremas com a formalidade esperada. Chegamos a ter colegas que
desistiram do curso por esse motivo e vimos, muitas vezes, alunos serem
reprovados em disciplinas, por conta de não conseguirem efetuar as
demonstrações necessárias para a aprovação.
Ao trabalhar com alunos do Ensino Fundamental, poucas vezes demonstramos
algumas propriedades e, quando isso foi feito, sempre ocorreu de maneira bem
informal, apenas para mostrar aos alunos que algumas fórmulas “não caíam do
céu”. Um exemplo disso é a dedução da fórmula resolutiva da equação do
segundo grau: à primeira vista, o aluno não percebe que é deduzida a partir da
fórmula geral da equação.
No trabalho com alunos do Ensino Médio, algumas demonstrações se faziam
necessárias, principalmente quando fomos trabalhar numa escola na qual os
alunos passavam por um processo seletivo para conseguir suas vagas. Nesse
caso, os alunos já estavam acostumados com professores que tinham o hábito de
demonstrar a maioria das fórmulas usadas durante o curso e cobravam do
professor do Ensino Médio tal atitude, quando isso não acontecia. Estas
demonstrações, realizadas pelos professores durante as aulas do Ensino Médio,
raramente eram discutidas ou pedidas como exercício.
Após vinte anos dedicados ao ensino na Educação Básica, tivemos a
oportunidade de trabalhar com o Ensino Superior nas disciplinas de Cálculo
Diferencial e Integral e de Geometria Analítica e Vetores sem, no entanto, deixar
de trabalhar com a Educação Básica. Após alguns anos, tivemos a oportunidade
de trabalhar no curso Licenciatura em Matemática e fomos, cada vez mais,
dedicando-nos às disciplinas ligadas à Geometria.
Com o tempo, começamos a trabalhar com alunos do curso superior e, além de
demonstrar os teoremas inerentes às disciplinas, vimo-nos na situação de cobrar
desses alunos que fizessem suas próprias demonstrações. A partir daí,
percebemos as mesmas dificuldades que tivemos durante a graduação para
demonstrar de maneira formal os teoremas, principalmente quando os alunos
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eram do curso Licenciatura em Matemática e as demonstrações eram mais
frequentes e mais necessárias do que nos outros cursos.
Em 2010, começamos o curso de Mestrado em Educação Matemática na
Universidade Bandeirante de São Paulo e obtivemos o título de Mestre em
Educação Matemática com a dissertação “Tratamento Vetorial da Geometria
Analítica Plana” (GUERATO, 2012) na qual utilizamos a Teoria dos Registros de
Representação Semiótica (DUVAL, 1993, 1995, 2000, 2003, 2006, 2011), com o
objetivo de verificar possibilidades do uso de representações vetoriais no ensino
de Geometria Analítica Plana, para alunos do Ensino Médio.
Durante esta pesquisa, observamos nossa própria prática, pudemos perceber
dificuldades que os alunos tinham ao estudar Geometria, principalmente para
fazer relação dos temas estudados nas disciplinas Fundamentos para o Ensino
da Matemática - Geometria Analítica (FGA), Fundamentos para o Ensino da
Matemática - Geometria 1 (FG1) e Desenho Geométrico (DES). Ao trabalhar
com as disciplinas FG1, que trata da geometria euclidiana plana e DES, pudemos
perceber que os alunos, muitas vezes, pensam que são disciplinas independentes
e que os conhecimentos que adquiriram estudando uma delas não servem para
as outras.
A nossa pesquisa tem como participantes alunos do Curso de Licenciatura em
Matemática e a grade utilizada neste curso (veja quadro no Anexo A, p. 257) tem,
nos dois primeiros semestres, disciplinas de Fundamentos para o Ensino da
Matemática, na qual conteúdos da Educação Básica são aprofundados,
possibilitando que os alunos, a maioria provenientes de escolas públicas, possam
acompanhar as disciplinas tradicionais de um curso superior na área de
Matemática, e que são apresentadas a partir do terceiro semestre do curso. As
disciplinas Fundamentos para o Ensino da Matemática - Geometria I (FG1) e
Desenho Geométrico (DES), que são o foco da nossa pesquisa, encontram-se no
segundo semestre.
Dessa forma, o primeiro contato dos alunos desta instituição com uma disciplina
que depende das demonstrações para o seu desenvolvimento é no segundo
semestre do curso, na disciplina Fundamentos para o Ensino da Matemática -
Geometria I (FG1). Ao assumir as aulas desta disciplina, tínhamos duas opções:
ou tratávamos a Geometria apenas com exercícios de aplicação de propriedades,
sem necessidade de demonstração, ou acrescentávamos aos conteúdos a
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iniciação dos alunos às demonstrações. Na verdade, percebemos que esta
disciplina deveria estar num semestre mais adiantado do curso, uma vez que não
haveria, num semestre futuro, outra disciplina de Geometria para a qual
poderíamos dar um tratamento axiomático. Optamos por uma situação
intermediária, na qual os alunos deviam aplicar as propriedades na resolução de
exercícios, mas as demonstrações eram cobradas também, sempre dedicando
momentos para a introdução dos alunos na tarefa das demonstrações, inclusive
para que não houvesse uma falta de estímulo para o aluno continuar seu curso
devido ao grande número de reprovações, situação que já havia acontecido alguns
semestres antes, quando houver um tratamento axiomático à Geometria, o que
seria o ideal, mas não o possível, considerada a situação.
No mesmo semestre da disciplina FG1, os alunos estudam a disciplina DES e a
disciplina Fundamentos para o Ensino da Matemática - Geometria Analítica
(FGA). Estas três disciplinas deveriam, a nosso ver, estar interligadas, pois os
conteúdos têm a mesma origem; porém, pudemos notar que os alunos as veem
como disciplinas independentes, sem pontos em comum.
Além disso, notamos que o Desenho Geométrico propicia ao aluno “enxergar” e
observar os objetos matemáticos estudados pela Geometria, enquanto a
Geometria Plana se dedica a estudar as propriedades desses mesmos objetos
matemáticos, e a Geometria Analítica complementa as duas, ao mostrar outra
forma de representa-los, pois usa a álgebra como ferramenta.
Vale lembrar que, quando tivemos oportunidade de assumir as aulas da disciplina
Desenho Geométrico, utilizamos as construções com régua e compasso e
também as replicamos com o software de Geometria Dinâmica GeoGebra e
notamos que as construções, principalmente quando realizadas com o auxílio do
software, propiciam aos alunos uma melhor percepção da integração entre as três
disciplinas de Geometria, uma vez que, durante as construções, percebem
caminhos para as demonstrações, necessárias nas aulas de FG1 e, usando a
janela de álgebra do software, percebem a relação das disciplinas FG1 e DES com
a disciplina FGA, uma vez que os objetos construídos têm sua representação
algébrica nessa janela.
Dessa forma, resolvemos focar nossa pesquisa de doutorado no estudo da
Geometria Plana, de acordo com os estudos de De Villiers (2001, 2002), que
propõe o uso de construções geométricas com um software de Geometria
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Dinâmica para alavancar conjecturas que possibilitem que se demonstrem
propriedades importantes da Geometria Plana.
Devido à amplitude dos conteúdos de Geometria, decidimos focar nossa
pesquisa em alguns lugares geométricos planos e suas propriedades. O
GeoGebra foi o software escolhido para ser usado durante a pesquisa, entre
tantos outros que existem com as mesmas características, por ser um software
livre, indicado para ser utilizado em laboratórios de informática de uma
Universidade Pública, local de nossa pesquisa.
Com as atividades desenvolvidas, pretendemos fazer com que os participantes
desenvolvam construções geométricas usando o GeoGebra e reflitam sobre como
demonstrar as propriedades dos objetos matemáticos, a partir das observações
realizadas durante as construções. A partir das respostas dadas pelos
participantes, pretendemos verificar quão desenvolvido está o raciocínio lógico
formal destes. Para fazer essa verificação, usamos as ideias de Efraim Fischbein
(1994) e de Bernard Parzysz (2006).
No primeiro capítulo deste trabalho, apresentamos as Justificativas, indicando
os motivos que nos levaram a escolher o tema e quais as indicações dadas pelos
documentos oficiais sobre os temas uso da tecnologia na educação e
demonstração, além de citar algumas pesquisas já realizadas sobre o tema.
Neste capítulo, ainda, indicamos as perguntas que pretendemos responder ao
final desta tese.
No segundo capítulo, apresentamos uma Revisão de Literatura, com
comentários sobre algumas pesquisas já realizadas e que indicaram caminhos a
ser seguidos, ou não, nesta pesquisa.
No terceiro capítulo, identificado como Considerações Teóricas, indicamos as
teorias e teóricos que nortearam nosso trabalho. Neste capítulo, abordamos o
tema demonstração, no qual colocamos as pesquisas de De Villiers (2001), teórico
que inspirou nossas atividades de pesquisa, apresentamos o software GeoGebra,
que serviu como ferramenta para as atividades e apresentamos as ideias de
Efraim Fischbein (1994) e de Bernard Parzysz (2006), nas quais nos baseamos
para analisar os protocolos obtidos com as atividades.
O quarto capítulo, denominado Procedimentos Metodológicos, é dedicado à
pesquisa em si. Iniciamos com o plano de pesquisa, no qual colocamos as etapas
da pesquisa e a caracterização do local e dos participantes.
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No quinto capítulo, temos a análise dos protocolos das atividades realizadas
pelos participantes.
No sexto capítulo, denominado Conclusões, colocamos as respostas às
questões de pesquisa e as conclusões que pudemos tirar da análise dos
protocolos e dos depoimentos dados por parte dos alunos participantes.
No sétimo capítulo, intitulado Considerações finais, fazemos uma análise crítica
de nossas atividades, damos sugestões para a continuidade deste trabalho e
propomos abordagens para a Geometria, tanto na Educação Básica como no
Curso de Licenciatura em Matemática, para que os estudantes aprendam a
elaborar conjecturas e a fazer demonstrações em Geometria e passem, assim, de
uma geometria de observação para uma geometria de demonstração,
desenvolvam aspectos formais lógicos e aprendam a usar a linguagem
matemática de forma eficiente e que não deixe ao leitor o ônus de interpretar o
que é dito.
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CAPÍTULO 1
JUSTIFICATIVA
Para justificar nossa opção pelo uso de um software de Geometria Dinâmica,
analisamos o que dizem os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998) e o
Currículo do Estado de São Paulo (CESP, 2011), elaborado para ser seguido
pelas escolas do Estado de São Paulo (local da pesquisa), sobre o uso da
tecnologia nas escolas da Educação Básica. A opção pela análise deste material
deve-se ao fato de que os participantes da pesquisa são alunos de um curso de
formação de professores de Matemática e que, quando licenciados,
provavelmente trabalharão em escolas do Estado de São Paulo e terão que guiar-
se por essas propostas.
Segundo os PCN (Brasil, 1998), a sociedade está cada vez mais dependente do
uso da tecnologia e realizações que, há alguns anos, eram parte da ficção
científica, hoje fazem parte do cotidiano das pessoas em geral. Concordamos com
os PCN (1998) quando dizem que tecnologia é qualquer recurso criado para
facilitar uma tarefa humana, seja ele eletrônico ou não. O uso da régua e do
compasso, em construções geométricas, pode ser considerado como uma
tecnologia.
Os recursos tecnológicos que possibilitam novos meios de comunicação, por
meio do trânsito de informações, são denominados tecnologias de comunicação
e informação. Esses recursos englobam o rádio, a televisão, o telefone, o
computador, revistas, jornais, e-mail, sites, home-pages e a criação desses meios
de comunicação favorece a maior velocidade do compartilhamento de
informações, o que possibilita mudanças na sociedade e gera transformações na
consciência individual, na percepção de mundo, nos valores e nas formas de
atuação social.
Ainda segundo os PCN (1998), há necessidade da democratização do acesso às
informações. É importante que os indivíduos deixem de ser apenas consumidores
da tecnologia e passem a dominá-la e, hoje, esses recursos ainda estão restritos
a uma parte da população e só o domínio deles possibilitará novas formas de
representação e compreensão da realidade, pois a capacidade de analisar e
relacionar informações pode gerar uma atitude crítica perante essas informações.
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Pensando por esse lado, é de extrema importância que a escola faça com que
os alunos conheçam e usem adequadamente as tecnologias. A educação pode
contribuir para diminuir diferenças e desigualdades, ao ajudar o aluno a
acompanhar as mudanças e a instrumentalizar-se para enfrentar as demandas da
vida moderna. Ela pode ajudar, também, a formar cidadãos críticos e reflexivos,
ao oferecer uma sólida formação cultural e com competência técnica.
O uso das tecnologias nas escolas pode melhorar muito o ensino e a
aprendizagem, porém não basta possuir equipamentos tecnológicos para garantir
uma qualidade melhor no ensino. Muitas escolas estão abarrotadas de
computadores e afins, mas continuam com um ensino tradicional, baseado na
recepção e na memorização de informações. A presença da tecnologia na sala de
aula não garante, por si só, mudanças na forma de ensinar e de aprender e deve
propiciar um enriquecimento no ambiente educacional que proporcione a
construção do conhecimento, por meio de uma atuação ativa, crítica e criativa, por
parte de alunos e de professores.
Segundo os PCN (1998), sobre o uso do computador na sala de aula:
O computador, em particular, permite novas formas de trabalho, possibilitando a criação de ambientes de aprendizagem em que os alunos possam pesquisar, fazer antecipações e simulações, confirmar ideias prévias, experimentar, criar soluções e construir novas formas de representação mental. (Brasil, 1998, p. 141)
O trecho acima mostra que esta pesquisa está de acordo com as ideias indicadas
por este documento, quando usamos o software GeoGebra para iniciar as
atividades com os participantes.
Segundo as Bases Legais dos PCN (2000), o professor deve ser incentivado a
procurar novas abordagens e metodologias de ensino, em busca do
aperfeiçoamento da prática educativa; a “revolução informática” promoverá
mudanças radicais na área do conhecimento e fará com que a educação se
transforme rapidamente, impulsionada pela compreensão do novo papel da
escola, estimulada pela incorporação de novas tecnologias.
Os PCN (2000) afirmam ainda que, para resolver problemas de forma
contextualizada, deve-se aplicar princípios científicos a situações reais ou
simuladas. Na área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias,
deve-se utilizar os conhecimentos científicos para explicar o funcionamento do
mundo. Quanto à formação do aluno, os PCN (2000) dizem que:
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A formação do aluno deve ter como alvo principal a aquisição de conhecimentos básicos, a preparação científica e a capacidade de utilizar as diferentes tecnologias relativas às áreas de atuação. (Brasil, 2000, p. 5)
Recentemente, o Brasil começou a desenvolver um documento que ainda não
está completo e, portanto, ainda não foi implementado. Este documento é a Base
Nacional Comum Curricular (BNCC), cuja forma preliminar é datada de 2016.
Segundo a preliminar, o mundo hoje está tecnologicamente organizado e, graças
a isso, uma boa parcela da população tem acesso às informações de forma
imediata, por isso a escola deve considerar a potencialidade da tecnologia como
forma de atingir metas.
Além de considerar o uso das potencialidades desses recursos, a escola deve
orientar os estudantes de forma a usá-los de forma reflexiva e ética. Dessa
maneira, o professor deve fazer uso pedagógico das novas tecnologias da
comunicação para levar o estudante a explorá-las de forma a compreender o
mundo e atuar nele.
O Currículo do Estado de São Paulo (CESP, 2011) valoriza o desenvolvimento
da competência linguística dos alunos, que não está relacionada exclusivamente
ao fato de o aluno saber usar a língua, mas também à competência performativa
que significa saber usar a linguagem “... em situações subjetivas ou objetivas que
exijam graus de distanciamento e de reflexão sobre contextos e estatutos de
interlocutores...”. (CESP, 2011, p. 15)
Com relação às competências que o aluno deve adquirir ao longo da Educação
Básica, o CESP destaca três eixos: expressão/compreensão;
argumentação/decisão e contextualização/abstração.
No eixo expressão/compreensão, está a capacidade que a pessoa tem de
compreensão de si mesma e do outro por meio das várias linguagens, incluindo
aí a interpretação de gráficos e tabelas.
No eixo argumentação/decisão, está a capacidade de tomar decisão a partir da
análise e da articulação de informações.
No eixo contextualização/abstração, está a capacidade de contextualização do
que é estudado na escola e de aplicação na realidade do aluno, principalmente
com relação ao mundo do trabalho. É a capacidade de abstração, de imaginação,
de consideração de novas perspectivas e de abstrair o que ainda não existe.
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Segundo o CESP (2011), para o ensino de Matemática, esses três eixos se
articulam perfeitamente. No primeiro, a criança pequena se interessa por letras e
números indistintamente; o que faz com que os temam são as práticas
inadequadas, que não são inerentes às características dos números. Tanto a
leitura de textos como a interpretação de gráficos e tabelas fazem parte da leitura
do mundo pelas crianças.
No segundo eixo, é evidente o papel da Matemática no desenvolvimento do
raciocínio lógico, pois ela caminha junto com a linguagem, na construção do
pensamento lógico indutivo e dedutivo, e para sintetizar e tomar decisões a partir
dos elementos disponíveis.
No terceiro eixo, devemos lembrar que a Matemática é uma das ciências mais
adequadas para se aprender a lidar com a relação entre o concreto e o abstrato.
E no CESP (2011) se coloca, como um dos principais motivos para ensinar a
Matemática no Ensino Fundamental, que todas as pessoas, no seu dia a dia,
argumentam e tiram conclusões válidas a partir de proposições verdadeiras, ou
seja, a competência da demonstração é inerente às atividades diárias do cidadão
e, portanto, ensinar a raciocinar a partir de proposições verdadeiras para concluir
a veracidade de outras é muito importante na Educação Básica. Isso significa que
os professores devem preparar os alunos para usarem a linguagem, a fim de
demonstrar teoremas e propriedades matemáticos.
Podemos concluir que o CESP (2011) indica que a formação de alunos leitores
pode ser perfeitamente cumprida com a aprendizagem da Matemática e, em
particular, da Geometria e das demonstrações que, segundo o CESP (2011),
estão relacionadas à
“(...)percepção de formas e à relação entre elementos de figuras planas e espaciais; à construção e à representação de formas geométricas, existentes ou imaginadas, e à elaboração de concepções de espaço que sirvam para a compreensão do mundo físico que os cerca.” (CESP, 2011, p. 39)
Outra ferramenta citada pelo CESP é a tecnologia a favor da educação, de modo
que o aluno passe a interagir com hipertextos eletrônicos, que mudam a leitura
estanque de um texto para uma leitura reticular, além de propiciar o trabalho
interdisciplinar. O exercício da leitura propicia o contato do aluno com a
diversidade de textos que o levam a ter um repertório cultural extenso e também
29
o uso da palavra escrita para o registro de ideias, de experiências, de conceitos e
de síntese.
No que se refere à Matemática, a proposta é um Trivium moderno, incluindo a
Língua, a Matemática e a Informática. A mais bela forma de unir estas três áreas
do conhecimento numa atividade única é o uso da informática para auxiliar as
demonstrações em Matemática.
No que se refere ao ensino e à aprendizagem de Geometria no Ensino
Fundamental, a orientação é que no 6º e no 7º ano o professor se preocupe com
o reconhecimento, a representação e a classificação das formas planas e
espaciais, preferencialmente em contextos concretos e que, para os alunos do 8º
e do 9º ano, a preocupação seja com a construção de raciocínios lógicos e com a
dedução simples de resultados, a partir de outros resultados anteriormente
conhecidos. Outra orientação é que a Geometria seja estudada em todos os anos
do curso sempre inter-relacionada com o estudo dos Números e das Relações,
que são os outros dois eixos do ensino de Matemática.
Podemos fazer um paralelo entre os paradigmas da teoria de Bernard Parzysz
(2006) e as orientações sobre como a Geometria deve ser ensinada no Ensino
Fundamental:
Paradigma G0: o aluno trabalha com objetos concretos e identifica formas
geométricas apenas pela observação – 1º ao 5º ano do Ensino
Fundamental.
Paradigma G1: o aluno reconhece, representa e classifica formas que
conhecia apenas no plano concreto – 6° e 7° ano. Nessa fase, já é
necessário reconhecer propriedades; no entanto, estas ainda não são
demonstradas formalmente.
Paradigma G2: o aluno constrói raciocínios lógicos e deduz simples
resultados, a partir de outros anteriormente conhecidos – 8° e 9° ano.
Outra orientação do CESP (2011) é de que o estudo de Geometria Plana e de
Geometria Espacial seja frequente, desde a segunda metade do Ensino
Fundamental até o final do Ensino Médio, entrelaçadas e aproximando-se da
álgebra, de modo que se aproxime da Geometria Analítica desde o começo.
Segundo o CESP (2011), a Geometria deve ser tratada com uma abordagem
30
espiralada, no decorrer de todos esses anos de estudo, e a diferença de um ano
para outro deve ser a escala de tratamento dada ao tema.
Ao analisar estas orientações, podemos concluir que o tema demonstração
pode ser tratado no ensino de Geometria desde o início da segunda metade do
Ensino Fundamental e, se dosarmos o grau de exigência e do rigor utilizados nas
aulas, o caminho que deve ser utilizado é o da informática, de modo que o aluno
comece a perceber as propriedades das figuras geométricas que estuda, por meio
dos softwares de Geometria Dinâmica, interagindo com os programas.
Ao fazermos um paralelo entre as orientações do CESP (2011) e o que dizem os
teóricos que norteiam esta pesquisa, podemos observar que a Geometria de
Observação e a Geometria da Demonstração estudadas por Parzysz (2006) estão
contempladas nestas orientações. A primeira delas está presente na fase inicial
do ensino fundamental (1° ao 7° ano) e a segunda deve ser introduzida
gradativamente, a partir dos anos finais do Ensino Fundamental (8° e 9° ano), até
o final do Ensino Médio.
Quanto à teoria de Fischbein (1994), podemos considerar os aspectos intuitivos
agindo com maior força na fase inicial do Ensino Fundamental. A partir do 5° ano,
os aspectos algorítmicos se sobressaem em relação aos outros dois e pouco a
pouco, a partir do 8° ano até o final do Ensino Médio, ocorre a entrada dos
aspectos formais. É a interação entre esses três aspectos que promoverá o
aprendizado.
Estudamos, também, algumas pesquisas sobre o tema demonstração em
Matemática. Entre eles, podemos citar Almouloud e Fusco (2010) que, ao
analisarem como o raciocínio dedutivo aparece em livros didáticos de Matemática
da Educação Básica brasileira, chegaram à conclusão de que, antes, deveriam
verificar qual o nível de compreensão que professores da rede pública possuem a
respeito do assunto demonstração. Ao trabalhar com alunos do Ensino Superior,
com disciplinas de Matemática, observaram que muitos dizem que têm dificuldade
nas demonstrações porque nunca foram preparados para este tipo de atividade
durante a formação na Educação Básica. Após essa constatação, os
pesquisadores viram que os livros didáticos, para aquele nível de educação, nem
sempre traziam demonstrações para validar os resultados apresentados e
procuraram respostas a perguntas do tipo: “em que medida o professor dos
ensinos fundamental e médio utiliza provas e demonstrações em suas aulas?
31
Quais motivos levam o professor de matemática a evitar provas e demonstrações
em suas aulas? ”. (Almouloud e Fusco, 2010, p. 1)
Para responder a essas perguntas, analisaram os dados coletados a partir de
atividades realizadas com um grupo de professores da Educação Básica, sobre o
raciocínio dedutivo, nas séries finais do Ensino Fundamental. A partir do
depoimento dos professores, refletiram a respeito dos entraves existentes para o
uso de provas e demonstrações em aulas de Matemática da Educação Básica e,
para tal reflexão, usaram os conceitos de explicação, prova e demonstração de
Balacheff1 (1982) e as funções da demonstração elencadas por De Villiers (2002),
além das pesquisas de Duval (1995) sobre cognição e raciocínio matemático.
Durante a pesquisa, Almouloud e Fusco (2010) usaram a fórmula para a
resolução de Equações do Segundo Grau, conhecida como “Fórmula de
Bhaskara”, e encontraram uma professora que disse ter demonstrado essa
fórmula uma única vez e que ficou traumatizada pela rejeição dos alunos à
demonstração, e outros que nem tentaram demonstrá-la, com a justificativa da
falta desta nos livros didáticos ou ainda que a demonstração está muito além do
entendimento dos alunos. Ao final do trabalho, sugerem que se deve resgatar o
hábito da demonstração nas aulas de Matemática da Educação Básica.
Outro pesquisador que refletiu sobre o tema demonstração foi Pietropaolo
(2005), em sua tese de doutorado em Educação Matemática, [“(Re) significar a
demonstração nos currículos da educação básica e da formação de professores
de matemática”]. Pietropaolo fez sua pesquisa com dois grupos: o Grupo 1,
composto por educadores matemáticos, chamado de “grupo da teoria”; e o Grupo
2, composto por professores de Matemática da Educação Básica, denominado
“grupo da prática”. Os componentes do “grupo da teoria” eram doutores em
Matemática ou em Educação Matemática e estavam desenvolvendo ou já haviam
desenvolvido pesquisas em Educação Matemática. Estes tinham, também, outra
característica em comum, todos lecionavam ou já haviam lecionado (alguns eram
aposentados) em cursos de formação inicial de professores da Educação Básica.
Quanto aos componentes do “grupo da prática”, foram selecionados sete
professores de um grupo de 30, indicados por terem a característica comum de
1 A teoria de Balacheff está resumida no capítulo 2 Revisão de Literatura e a de De Villiers, no capítulo 3 Considerações Teóricas.
32
trabalharem com os dois níveis da Educação Básica, serem bem-conceituados e
terem na prática o hábito de provar ou, pelo menos, usar argumentos de
demonstração nas explicações da teoria aos alunos. Entre estes, havia alguns que
se autodenominavam tradicionais e outros construtivistas.
Foi questionado o abandono da demonstração nos currículos da Educação
Básica e se é desejável e possível a retomada do tema nas aulas dessa
modalidade de ensino, além de saber como os professores de Matemática avaliam
as produções de alunos do Ensino Fundamental, com relação à demonstração.
Para isso, o pesquisador apresentou, aos professores dos dois grupos, provas
que, supostamente, haviam sido elaboradas por alunos da oitava série do Ensino
Fundamental (atual 9º ano), para que fossem analisadas. Após a análise, os
professores foram entrevistados pelo pesquisador.
Na análise das entrevistas, Pietropaolo (2005) conclui que os educadores
componentes do “grupo da teoria” indicam que são favoráveis ao uso das provas
nas aulas para alunos do Ensino Fundamental, com a ressalva de que estas
deveriam ter um sentido alargado, para evitar o uso de axiomas e com o objetivo
do convencimento da veracidade dos teoremas estudados. Um dos entrevistados
afirmou que recomendaria provas no Ensino Fundamental, desde que não se
cometessem exageros, e que já havia presenciado professores recém-formados
fazerem demonstrações no Ensino Fundamental como as que se fazem na
Universidade. Quanto a até que ponto o aluno poderia chegar com as
demonstrações no Ensino Fundamental, não houve consenso entre os
educadores matemáticos. Alguns argumentaram que os alunos deveriam mostrar
apenas de forma empírica; outros, que as justificativas que esses alunos poderiam
dar para mostrar que suas resoluções estavam corretas poderiam evoluir para
demonstrações no decorrer do curso e houve até quem dissesse que as
demonstrações são necessárias nessa fase do estudo e que o rigor deveria ser
alcançado aos poucos. Enfim, todos são a favor de que os alunos do Ensino
Fundamental elaborem demonstrações, mas em diferentes níveis de formalismo.
Outro argumento que esses educadores usaram é que, para que o professor use
demonstração em nas aulas na Educação Básica, é necessário que ele tenha tido
demonstrações durante o curso de formação de professores. As licenciaturas
devem trabalhar com demonstrações, para que o futuro professor use
demonstrações nas suas aulas, na Educação Básica.
33
Quanto ao “grupo da prática”, a análise das entrevistas levou o pesquisador a
concluir que pensam ser a demonstração importante na Educação Básica, mas a
fala é que os alunos não entendem as demonstrações, que demonstrações não
são cobradas no vestibular, ou ainda, que não vêm necessidade e nem utilidade
nas demonstrações. Esses professores afirmam, também, que não cobram as
demonstrações em avaliações porque os alunos as decorariam para reproduzi-las
e isso não seria produtivo. Segundo eles, alguns alunos questionam: “por que
demonstrar resultados óbvios?” referindo-se a demonstrações de propriedades
que são facilmente observadas sem o auxílio da demonstração.
Mesmo com tais argumentos, esses professores dizem que usam
demonstrações, mesmo que empíricas, ou mesmo como justificativa para as
explicações dadas em aula e cobram dos alunos que justifiquem as resoluções
dos exercícios, o que seria um caminho para uma prova formal.
As duas pesquisas que tratam do assunto demonstração justificam nossa
preocupação com o tema, pois ambas consideram a importância da demonstração
nas aulas de Matemática, assim como o uso do software GeoGebra em
construções geométricas, para alavancar conjeturas que levem às demonstrações
nas aulas de Geometria Plana.
Ainda mais, ambas mostram que é importante tratar desse assunto com alunos
do curso Licenciatura em Matemática. Propomos uma opção para a introdução da
demonstração nas aulas da Educação Básica e nossos sujeitos de pesquisa são
futuros professores que poderão, após a realização das atividades, refletir sobre
o tema e usar atividades semelhantes às que aplicamos na pesquisa para
introduzir o tema demonstração.
Ao refletir sobre os resultados obtidos pelas pesquisas de Almouloud e Fusco
(2010) e de Pietropaolo (2005) notamos que, em ambos os casos, aparece a
dificuldade do professor de Matemática da Educação Básica em usar
demonstrações nas aulas. Outro aspecto que podemos notar é que nem sempre
esse professor termina o curso de formação de professores habilitado a fazer
demonstrações. E questionamos se os cursos de formação de professores
preparam adequadamente os alunos para essa tarefa, depois de licenciados.
Com as considerações feitas até esta seção, consideramos justificada nossa
pesquisa com a Geometria, o software GeoGebra, a demonstração e alunos de
Licenciatura em Matemática, e traçamos nosso objetivo de pesquisa, que é
34
Investigar se alunos de licenciatura em Matemática desenvolvem aspectos
formais lógicos de modo a estarem habilitados a transitar entre os paradigmas G1
e G2, propostos por Parzysz (2006), para o ensino de demonstrações nas aulas
de Matemática da Educação Básica.
A partir desse objetivo, delimitamos nossas questões de pesquisa:
Alunos matriculados no início do curso de formação de professores de
Matemática estão habilitados a desenvolver os passos de uma
demonstração em Geometria?
Atividades realizadas com apoio num software de Geometria Dinâmica
favorecem a elaboração de conjecturas que provocarão uma
demonstração?
Alunos da fase inicial de um curso de formação de professores de
Matemática estão habituados a usar e a entender a linguagem formal, ao
escrever sobre constatações matemáticas?
Para responder a essas perguntas, foram elaboradas atividades para serem
desenvolvidas com o software de geometria dinâmica GeoGebra, por um grupo
de alunos da fase inicial de um curso de Licenciatura em Matemática de uma
universidade da rede pública de ensino. Vale observar que, nas atividades,
consideramos o estudo de alguns Lugares Geométricos Planos, pois foi uma
forma de delimitar nossa pesquisa, devido à amplitude dos objetos geométricos
que poderiam ser estudados, mas consideramos que nossas atividades poderão
ser adaptadas a qualquer outro conteúdo de geometria.
35
CAPÍTULO 2
REVISÃO DE LITERATURA
No capítulo anterior, justificamos o trabalho e apresentamos objetivos e questões
de pesquisa. Neste, discorremos sobre pesquisas semelhantes e que situam a
nossa na área de Educação Matemática. Apresentamos essa revisão em quatro
vertentes, quais sejam, ensino e aprendizagem de Geometria, uso de tecnologia,
em particular de softwares de Geometria Dinâmica, estudo dos lugares
geométricos planos e demonstração em aulas de Matemática.
Em primeiro lugar, escolhemos abordar a pesquisa de Janzen (2011), que trata
de três dessas vertentes, ensino e aprendizagem em Matemática, demonstração
nas aulas de Geometria e uso de softwares de Geometria Dinâmica no ensino de
Geometria.
Janzen (2011) pesquisou o papel do professor na formação do pensamento
matemático de estudantes durante a construção de provas, num ambiente de
geometria dinâmica, numa escola de Curitiba. Mais precisamente, teve por
objetivo analisar intervenções que professores fazem ao orientar os alunos na
construção de provas nesse ambiente.
Segundo ele, o uso de computadores funciona como uma função heurística2 no
ensino de Geometria e possibilita ao usuário o desenvolvimento das formas de
pensar, de olhar e de raciocinar. E afirma que, hoje, o professor tem que conviver
com alunos que estão conectados com a tecnologia o tempo todo e isso faz com
que tenha que aprender a usar, por exemplo, computadores e softwares de
geometria dinâmica nas aulas, de modo a ajudar no ensino e na aprendizagem e,
sempre que possível, com a bagagem tecnológica trazida do cotidiano do aluno.
E defende que esse uso deve ter um caráter formativo e não puramente
informativo, para possibilitar a formação do pensamento matemático e de um
aprender investigativo.
Segundo Janzen (2011), ao trabalhar demonstrações e provas com softwares de
geometria dinâmica, o aluno pode explorar e conjecturar, o que possibilita um
aprender mais investigativo. Citando Tall (1991, apud Janzen, 2011), afirma que
a prova tem três estágios de argumentação: convencer a si mesmo, convencer um
2 Segundo o dicionário Aurélio: Heurística é um processo pedagógico que pretende encaminhar o aluno a descobrir por si mesmo o que se quer ensinar, geralmente através de perguntas. (https://dicionariodoaurelio.com/heuristica)
36
amigo e convencer um inimigo. O primeiro é o tipo de argumentação mais fácil,
pois boa parte dela está no próprio raciocínio. Para convencer um amigo,
precisamos colocar as etapas numa ordem lógica tal que explique a demonstração
e, para convencer um inimigo, temos que cuidar de todos os detalhes, pois eles
podem, a qualquer momento, ser questionados.
Janzen (2011) abordou o uso de softwares de geometria dinâmica como forma
de visualizar propriedades geométricas, antes da demonstração com papel e lápis
e sugere o uso da manipulação proporcionada por esses softwares para visualizar
propriedades de figuras geométricas, antes da demonstração (conjecturas).
Concordamos com Janzen (2011) e entendemos que o uso da informática é um
caminho a ser trilhado nos tempos atuais. Por essa razão, usamos atividades para
explorar lugares geométricos planos com um software de Geometria Dinâmica,
com alunos de Licenciatura em Matemática.
Em sua pesquisa em Florianópolis, Damasco Neto (2010) usou registros de
representação semiótica (Duval, 2003) e o software GeoGebra num ensaio para
o ensino de funções trigonométricas, com alunos da quinta fase do Curso Técnico
Integrado ao Ensino Médio do Instituto Federal de Santa Catarina, com ênfase na
operação de conversão de registros. Segundo ele, a informática, como
metodologia, deve ser assimilar de maneira lenta e gradual, de modo que os
professores possam incorporar as novas tecnologias às aulas aos poucos, sem
dispensar o ensino tradicional. Damasco Neto (2010) afirma que essas
tecnologias, na maioria das vezes, não foram criadas com fins educacionais e que
se o professor passar a usá-las indiscriminadamente, em pouco tempo retornará
à metodologia tradicional e abandonará a tecnologia adotada. Dessa forma,
segundo Damasco Neto (2010), é necessário que se criem aplicativos e softwares
que se adaptem à sala de aula.
Bento (2010) observa, em sua pesquisa de Mestrado, realizada em Belo
Horizonte, o desenvolvimento do pensamento geométrico na construção de
figuras geométricas planas com o software GeoGebra e conclui que o computador,
utilizado nas aulas de Geometria, possibilita esse desenvolvimento, pois os alunos
podem conjecturar, representar ideias, estabelecer relações, comunicar-se,
argumentar e validar hipóteses. E considera que as novas tecnologias dão ao
professor novas formas de trabalhar e ao aluno, o desenvolvimento do raciocínio,
principalmente ao aliar materiais analógicos a materiais digitais.
37
Bento (2010) diz que o profissional disposto a utilizar a tecnologia para ensinar
deve pesquisar e inovar, para que essa tecnologia sirva de mediadora entre o
aluno e o conteúdo a ser aprendido. Em particular, a Geometria deve usar a
tecnologia como uma forma de visualização, habilidade que se desenvolverá com
a utilização de softwares de geometria dinâmica, para promover a aquisição e a
formalização de conceitos geométricos.
A partir das pesquisas de Damasco Neto (2010) e de Bento (2010), podemos
observar que o uso do software de Geometria Dinâmica GeoGebra é interessante
para o ensino e a aprendizagem de Geometria, principalmente para estimular a
elaboração de conjecturas que devem ser demonstradas posteriormente, e que,
portanto, é um caminho a ser trilhado pelo professor que deseja incorporar a
informática às aulas de Matemática, qualquer que seja o assunto a ensinar, uma
vez que Damasco Neto usou esse recurso para ensinar funções trigonométricas
com sucesso.
Segundo Nunes (2013), o uso da tecnologia digital na sala de aula possibilita
uma educação contextualizada, com conteúdos atualizados, e uma melhor
interação com a sociedade atual. Sob esse ponto de vista, o computador passa a
ser muito mais que uma ferramenta e, devido aos baixos custos e à facilidade de
acesso aos conteúdos publicados na web, os smartphones e os tablets passaram
a ser alternativas interessantes para uso em sala de aula.
Nunes (2013) defende que os educadores deixem de usar esses recursos
apenas como acesso a redes sociais, repositórios de vídeos e de textos e passem
a utilizar os aplicativos voltados à Educação como recursos importantes. Para que
isso ocorra, segundo ele, é necessário que se desenvolvam estratégias
pedagógicas específicas; sugere que os cursos de formação de professores
abordem o uso dessas tecnologias como ferramentas importantes na sala de aula,
para que não aconteça o que aconteceu com o uso de televisões e de
computadores que, no início, tiveram um uso maximizado e depois foram
abandonados por falta de conhecimento dos educadores de como utilizá-los
didaticamente.
Em nossa pesquisa, vamos utilizar as ideias lançadas por Janzen (2011), Nunes
(2013) e Bento (2010), uma vez que pretendemos investigar se o uso do
computador, com um software de Geometria Dinâmica, faz com que o participante,
aluno de Licenciatura em Matemática, aguce a intuição a ponto de elaborar
38
conjecturas e, posteriormente, demonstrem-nas como propriedades observadas
no manuseio do software, fazendo assim um link entre a geometria da observação
e a geometria da demonstração.
Outro argumento que esses pesquisadores utilizam é que toda tecnologia deve
ser usada a favor da educação; nossa proposta é elaborar e aplicar atividades
com o software GeoGebra que, além de gratuito, tem versões que rodam também
em tablets e smartphones, com quase todos os recursos da versão que é usada
no computador pessoal. Lembramos que, cada vez mais, cada aluno ou tem um
tablet, ou um smartphone, e a aula do professor pode parecer mais interessante
quando esse aluno perceber que instrumentos tecnológicos não servem apenas
para o lazer, mas também para a instrução e a aprendizagem.
Segundo Lacaz Netto (1955), a teoria dos Lugares Geométricos é atribuída a
Platão (430 – 347 a.C.) e os gregos dividiam os lugares geométricos em diversas
classes, entre elas os lugares planos (reta e circunferência), os lugares sólidos
(seções cônicas, geradas a partir de um sólido) e os lugares lineares (todas as
curvas de ordem superior a dois).
Araújo (2011) fez uma pesquisa com a abordagem de alguns Lugares
Geométricos Planos, em um ambiente de geometria dinâmica. Procurou associar
o conceito de Lugar Geométrico a conceitos geométricos propostos na
antiguidade, uma vez que originalmente estes não foram propostos sob essa
perspectiva. Ainda segundo ele, não se encontra, nos originais gregos, referência
a curvas como as espirais de Arquimedes, como exemplo de lugares geométricos.
Os Lugares Geométricos Planos ocupam uma posição de destaque na nossa
pesquisa, uma vez que escolhemos abordá-los nas atividades aplicadas.
Concordamos com Lacaz Neto e Araújo, quando citam a importância dos Lugares
Geométricos, e temos a convicção de que é uma ferramenta poderosa para se
abordar a demonstração nas aulas de Geometria, pois só podemos aceitar que
um objeto matemático é um Lugar Geométrico se provarmos que esse objeto
possui as propriedades inerentes a um Lugar Geométrico Plano.
Balacheff (1987) diferencia explicar, provar e demonstrar. Segundo ele, a
explicação chama a atenção sobre determinado resultado e tenta convencer o
leitor de que este é verdadeiro; a prova surge quando uma comunidade aceita o
resultado como verdadeiro num certo momento; a demonstração é quando o fato
é aceito como verdadeiro pela comunidade matemática, e reserva a palavra
39
raciocínio para designar a atividade intelectual, a maior parte do tempo não
explícita, de organização de dados e informações, para produzir novas
informações. Tais distinções de vocabulário evidenciam as dimensões sociais da
demonstração, que resultam de um processo particular de prova.
Balacheff (1987) trata a prova em quatro níveis distintos: o empirismo ingênuo,
a experiência crucial, o exemplo genérico e a experiência mental. Segundo
ele, a demonstração, no sentido da dedução lógica, é uma experiência mental e
propõe-se a mostrar que o estudo dos processos de prova é importante tanto para
os que realizam as demonstrações como para os que as estudam. Dessa forma,
a proposta é encarar a demonstração numa perspectiva de aprendizagem.
Outro matemático que estudou a prova e a demonstração em Geometria foi
Bernard Parzysz (2006), que propõe quatro etapas no desenvolvimento do
pensamento geométrico. Nas duas primeiras, trata do que chama geometria
concreta e, nas duas últimas, da geometria teórica; a demonstração axiomática
faz parte da última etapa. Parzysz ainda afirma que a aprendizagem em Geometria
deve passar da geometria da observação para a geometria da demonstração.
Discorremos mais sobre a teoria de Parzysz no Capítulo 3 – Considerações
Teóricas.
De Villiers (2001, 2002) propõe cinco funções diferentes para a demonstração:
explicação, descoberta, comunicação, desafio intelectual e sistematização. A
função da demonstração como explicação é mostrar porque uma determinada
propriedade geométrica é verdadeira. Como descoberta, é a descoberta ou
invenção de novas propriedades. Como comunicação, os resultados obtidos são
comunicados para outros matemáticos, com o fim de disseminar as descobertas.
Como desafio intelectual, tem a ver com a realização ou a satisfação pessoal
daquele que consegue efetuar uma demonstração. Como sistematização, vários
resultados são organizados num sistema de axiomas, conceitos e teoremas.
Discorremos mais sobre os estudos de De Villiers no capítulo 3 – Considerações
Teóricas.
Ao considerar a ideia de aguçar a intuição, conforme citamos acima, vamos
analisar a existência de aspectos intuitivos na aprendizagem de Geometria, ao
utilizar as ideias de Efraim Fischbein (1994). Ele defende que, ao observar um ser
humano em atividade matemática, precisamos verificar a presença, ou não, de
40
três componentes básicos da Matemática como uma atividade humana: o formal,
o algorítmico e o intuitivo.
Mais detalhes sobre essas ideias estão no capítulo 3 – Considerações Teóricas.
A partir de nossa revisão de literatura, fizemos nossas escolhas teóricas. Assim,
usamos a teoria de Michael De Villiers (2001, 2002), sobre demonstração com o
uso de tecnologia, para a elaboração e aplicação das atividades com o software
GeoGebra. As ideias de Efrain Fischbein (1994) e a teoria proposta por Bernard
Parzysz, sobre a aprendizagem de Geometria na Educação Básica (2006), para a
análise dos protocolos.
No próximo capítulo, apresentamos, com mais detalhes, essas escolhas teóricas.
41
CAPÍTULO 3
CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
Nos capítulos anteriores, apresentamos nossa pesquisa, com objetivos e
questões a serem respondidas, e fizemos uma revisão de literatura, na qual
consideramos os trabalhos de outros pesquisadores com focos semelhantes aos
nossos.
Neste capítulo, apresentamos as ideias teóricas que nortearam esta pesquisa.
Dividimos o capítulo em duas partes, a primeira para o assunto demonstração, na
qual colocamos as ideias de Michael De Villiers (2002), que efetuou pesquisas
com alunos que elaboraram conjecturas para posterior demonstração, com o uso
de um software de Geometria Dinâmica, o Sketchpad, e, como usamos o
GeoGebra. Fazemos um paralelo entre os dois softwares e, em seguida, tecemos
algumas considerações sobre o uso de tecnologia em sala de aula e detalhes
sobre o software GeoGebra.
Na segunda parte do capítulo, apresentamos as duas teorias que inspiraram a
análise dos protocolos de nossa pesquisa e que dão sustentação para responder
às nossas questões. São elas as ideias de Efraim Fischbein (1993) e as de
Bernard Parzysz (2006).
3.1 Demonstração
Para tratar o assunto demonstração em Matemática, vamos considerar as ideias
de Michael De Villiers, pois suas pesquisas nos inspiraram, quando elaboramos
as atividades aplicadas aos participantes.
3.1.1 Michael De Villiers
Um dos teóricos que estuda a demonstração é Michael de Villiers. Segundo ele,
um dos maiores problemas enfrentados pelo professor é que os alunos da
Educação Básica não compreendem a necessidade de demonstrar-se algo em
Matemática e costumam questionar os professores sobre por que demonstrar,
principalmente em Geometria, uma vez que o resultado a ser demonstrado lhes
parece óbvio ou facilmente percebido empiricamente. De Villiers também afirma
42
que o aluno não demonstra porque, muitas vezes, não entende a função da
demonstração em Matemática.
Ao observar o que diz De Villiers, podemos perceber que as ideias dele vão ao
encontro das ideias de Parzysz, pois quando De Villiers fala do que é percebido
empiricamente, traz ideia equivalente à de Parzysz, sobre a Geometria de
Observação, ou seja, quando o sujeito tira conclusões do que consegue observar
a partir de um desenho ou de uma imagem no computador.
A demonstração que De Villiers valoriza na sua teoria nada mais é do que a
geometria da demonstração que Parzysz também valoriza e que afirma que é
necessária, ao longo da aprendizagem de um sujeito. Ambos defendem que a
demonstração é muito importante para que se aceitem como verdadeiros os
conceitos geométricos.
No seu livro Repensando a prova com Sketchpad, De Villiers trata da importância
da demonstração no conhecimento matemático e propõe-se a responder à
seguinte pergunta: “Que funções tem a demonstração na própria Matemática que
podem ser utilizadas na sala de aula para tornar a demonstração mais significativa
para os alunos? ”. Para tanto, analisa e propõe diversas funções da demonstração
em Matemática que, segundo ele, não pode ser encarada apenas como uma
forma de convencer os céticos de que algum teorema é verdadeiro.
Nem sempre é possível provar-se uma conjectura matemática, haja vista a
Conjectura de Goldbach, que até hoje não foi demonstrada. Segundo De Villiers
(2001), mais importante do que provar uma conjectura são as tentativas de o fazer,
pois estas podem criar novas conjecturas e promover o desenvolvimento da
Matemática.
Uma forma de convencer-se de que uma conjectura é verdadeira, sem
demonstrá-la, é por meio do uso de softwares de geometria dinâmica, tais como
o Sketchpad, o Cabri Géomètré, o Mathematica ou o GeoGebra, que podem ser
usados para o convencimento da validade de uma proposição e, também, para
mostrar um caminho para chegar à demonstração formal do que foi observado.
Nossa proposta é apresentar algumas situações que envolvem lugares
geométricos planos, para que o participante as explore com a dinamicidade do
software e perceba propriedades comuns que essa dinamicidade possibilita, uma
vez que podemos movimentar os objetos construídos inicialmente e convencer-
nos que algumas propriedades são válidas e, assim, elaborar uma conjectura. A
43
partir do comportamento visto na exploração com o software, podemos incentivar
a demonstração formal das conjecturas.
De Villiers (2001) propõe três estados na construção de uma demonstração:
convencer a si próprio, convencer um amigo e convencer um inimigo (Tall, 1991).
Segundo ele, cada um desses estados nos leva a um nível de rigor na
demonstração e, por essa razão, propõe seis funções para a demonstração:
verificação, explicação, sistematização, descoberta, comunicação e desafio
intelectual, que exploramos no que segue.
3.1.1.1 A demonstração como processo de verificação/convencimento
De Villiers recomenda que se façam testes empíricos antes de começar-se uma
demonstração formal, pois estes podem auxiliar na demonstração e diminuir a
chance de erros e inconsistências.
Ao aplicar-se esta recomendação nas aulas de Geometria da Educação Básica,
defendemos que esses testes podem e devem ser feitos com o uso do
computador, por meio de softwares de Geometria Dinâmica, pois estes
possibilitam a verificação de uma propriedade em muitos casos particulares, o que
faz com que o aluno perceba que pode ser válida sempre. É trabalho do professor
convencer seus alunos de que é preciso demonstrar o que foi observado.
Na nossa pesquisa, essa função da demonstração está contemplada nas três
primeiras partes da Atividade 1, quando pedimos aos participantes que observem
uma atividade realizada com o software GeoGebra.
3.1.1.2 A demonstração como processo de explicação
Muitas vezes podemos explorar, por meio de métodos empíricos, experimentais
ou numéricos, determinada conjectura, mas apenas a demonstração poderá
explicar por que ela é verdadeira. Nesse caso, a demonstração não apenas
verifica a validade da propriedade elencada, mas explica porque isso acontece.
De Villiers apresentou, em seu texto, alguns exemplos em que a demonstração
foi essencial para que se explicassem as conjecturas, entre eles destacamos as
descobertas de Feigenbaum em Geometria Fractal; as de Képler, que foram
validadas por Newton, em relação às órbitas dos planetas e o Teorema das Quatro
Cores, demonstrado por Appel e Haken (1976). Todas essas conjecturas eram
supostas certas antes da demonstração, o que não serviu apenas como
44
verificação, mas, principalmente, como explicação, uma vez que ficaram mais
claras após as demonstrações.
De Villiers cita, como exemplo, uma tentativa de entender uma propriedade dos
quadriláteros, utilizando um software de geometria dinâmica, que o levou a
entender e aceitar como verdadeira a propriedade e que motivou a demonstração,
pois esta daria uma explicação de por que a propriedade é verdadeira. O uso do
software não proporciona a demonstração formal, porém cria uma convicção a
respeito da validade da propriedade e motiva a pessoa a tentar a demonstração
formal.
Na Educação Básica, essa função pode ser utilizada pelo professor, ao
apresentar uma teoria nova, que ganha mais credibilidade quando o estudante vê
o professor demonstrar a validade, mesmo que a demonstração não seja cobrada
do aluno. Quando, mais adiante, o aprendiz tiver necessidade de efetuar uma
demonstração, a realizada pelo seu professor servirá de exemplo e motivação.
Na nossa pesquisa, essa função é contemplada quando solicitamos aos
participantes que elaborem conjecturas acerca das propriedades de alguns
Lugares Geométricos Planos, nas três primeiras partes da Atividade 1.
3.1.1.3 A demonstração como processo de descoberta
A maioria das descobertas em Geometria parte de métodos intuitivos ou quase
empíricos; no entanto, não são poucos os resultados que nunca apareceriam de
forma intuitiva ou empírica, pois advêm de processos puramente dedutivos. É
improvável que, por exemplo, as geometrias não euclidianas pudessem surgir de
maneira empírica ou intuitiva. Assim, podemos entender a demonstração não só
como um processo para se mostrar que resultados descobertos intuitivamente são
verdadeiros, mas também uma forma de explorar, analisar, descobrir e criar novos
resultados.
De Villiers dá como exemplo o teorema que diz que os pontos médios de um
quadrilátero, cujas diagonais são perpendiculares, são os vértices de um
retângulo, sempre. Com o uso de um software de geometria dinâmica, podemos
concluir que isso acontece, mas não generalizar. A descoberta da generalização
necessita de uma demonstração formal.
Assim, ao tentar verificar que um resultado é verdadeiro, podemos chegar a
outros resultados inesperados ou ainda a generalizações não percebidas
45
anteriormente, o que mostra que a demonstração também pode ter a função de
descoberta.
Na Educação Básica, esta função da demonstração pode ser explorada: coloca-
se um problema para que o aluno o explore com um software de Geometria
Dinâmica e elabore conjecturas. Assim, ele pode descobrir propriedades dos
objetos estudados e perceber caminhos que levem à demonstração.
Usamos essa função na nossa pesquisa, quando definimos Lugar Geométrico
Plano, na segunda parte da Atividade 2, e pedimos que os participantes comparem
essa definição com as propriedades da reta mediatriz, da circunferência e da
bissetriz de um ângulo.
3.1.1.4 A demonstração como processo de sistematização
Por mais experimentos empíricos ou intuitivos que façamos, não conseguimos
checar todas as possibilidades para afirmar que uma conjectura é verdadeira;
apenas a demonstração pode nos levar a concluir a veracidade, sem sombra de
dúvida, e essa conclusão surge a partir da sistematização.
De Villiers apresenta algumas das funções mais importantes de uma
sistematização dedutiva. São elas:
“Ajuda a identificar inconsistências, argumentos circulares e hipóteses escondidas ou não explicitamente declaradas;
Unifica e simplifica as teorias matemáticas ao integrar e ligar entre si afirmações, teoremas e conceitos não relacionados, conduzindo assim a uma apresentação econômica de resultados;
Fornece uma perspectiva global ou vista de conjunto de um tópico, ao mostrar a estrutura axiomática subjacente do tópico a partir da qual todas as outras propriedades podem ser derivadas;
Constitui uma ajuda para as aplicações tanto dentro como fora da matemática, pois torna possível verificar a possibilidade de aplicação de toda uma estrutura complexa ou teoria através de uma avaliação de aplicabilidade dos seus axiomas e definições;
Conduz muitas vezes a sistemas dedutivos alternativos que fornecem novas perspectivas e/ou são mais econômicos, elegantes e poderosos do que os existentes. ” (Villiers, 2001, p. 34)
Embora notemos elementos de verificação nessa função, o principal objetivo não
é esse, mas sim organizar as afirmações isoladas numa ordem coerente e
unificada. A explicação também está presente nesse contexto, mas o objetivo não
é uma explicação local e sim geral no que diz respeito ao fenômeno.
46
Na Educação Básica, esta função está presente quando o aluno organiza os
passos da demonstração, tomando cuidado para utilizar apenas os dados que
estão na hipótese. Para tanto, o professor pode e deve incentivar que o aluno
comece a demonstrar o mais cedo possível, mesmo que inicialmente as
demonstrações não passem de provas empíricas e uma forma de se conseguir
esse intento pode ser usando softwares de Geometria Dinâmica, que ajudam o
aluno a encontrar caminhos da demonstração.
Tal função da demonstração está contemplada na nossa pesquisa quando, na
Atividade 3, pedimos que os participantes efetuem demonstrações simples.
3.1.1.5 A demonstração como meio de comunicação
A interação entre matemáticos se faz por meio das suas descobertas e estas são
organizadas na forma de demonstrações. Ao se comunicarem, os matemáticos
observam, julgam, identificam falhas e inconsistências nos teoremas
demonstrados. Ao comunicar as descobertas, por meio de demonstrações, os
matemáticos têm como julgar o trabalho, verificar se há inconsistências nas
conclusões ou até ter acesso a contraexemplos que os levem a pensar mais no
assunto e chegar a novas conclusões.
Essa função da demonstração pode ser observada na Educação Básica, quando
o aluno analisa uma demonstração feita por um colega e tenta entendê-la. Com
essa análise, o aluno poderá ser capaz de julgar e discutir argumentos e, com
isso, desenvolver sua capacidade de realizar essa ou outras demonstrações.
Essa função da demonstração está presente na nossa pesquisa, quando
pedimos, na Atividade 2, que os participantes definam reta mediatriz,
circunferência e bissetriz de um ângulo, como Lugares Geométricos Planos.
3.1.1.6 A demonstração como desafio intelectual
Para os matemáticos, a demonstração é um desafio que mostra a sua
competência em fazer Matemática. Demonstrar um teorema, para um matemático,
equivale a montar um quebra-cabeça, para um leigo, ou ainda a escalar uma
montanha ou completar uma maratona para um atleta. Por mais que essa
montanha já tenha sido escalada por outros, o desafio de completar essa jornada
traz uma satisfação pessoal ao atleta, semelhante à satisfação que um
47
matemático tem ao demonstrar um teorema, mesmo que este já tenha sido
demonstrado.
Para o aluno da Educação Básica, essa função está presente quando começa a
realizar demonstrações e a interessar-se por elas. Cada demonstração que realiza
é um desafio que vence, por mais simples que seja, e é ainda um incentivo para
continuar demonstrando outros teoremas propostos. Para essa função, mais do
que para qualquer outra, o papel do professor de Matemática é essencial, pois
cabe a ele mostrar os caminhos que o aluno deve trilhar para chegar cada vez
mais próximo da formalidade das demonstrações.
Segundo De Villiers (2001), essa lista de funções da demonstração não deve ser
considerada completa, pois com certeza podemos elencar outras. Também não
devem ser consideradas independentes - não são únicas em cada situação - ou
hierárquicas - um indivíduo pode desenvolvê-las em qualquer ordem -; pelo
menos, assim entendemos. Em cada situação, podemos encontrar uma função
prevalecendo em detrimento das outras, ou até verificar que, naquela situação,
uma ou mais funções podem, ou não, ser consideradas. O que defendemos é que
existem diversas funções da demonstração, todas importantes e que devem ser
¨aprendidas¨ ao longo da vida escolar.
Essa função da demonstração está parte final da Atividade 3, quando solicitamos
ao participante que construa uma demonstração, do início ao fim, sozinho. A partir
do momento em que ele consiga elaborar essa demonstração, isso lhe trará
satisfação pessoal e a demonstração será um desafio intelectual.
3.1.2 Ensino da demonstração com o GeoGebra
De Villiers usou, em suas experiências para ensinar demonstração, o software
de geometria dinâmica Sketchpad. Colocou os alunos para fazer uma conjectura
geométrica com o software, para que tivessem convicção quanto à validade desta
e passassem a ter curiosidade de saber porque esse resultado é verdadeiro.
Nessa hora, o professor os desafia a tentar explicar o porquê da veracidade do
resultado, e é aí que o aluno se interessa por demonstrar o teorema. Nesse
momento, a função da demonstração usada é a de explicação.
Outra função que ele explorou foi a da descoberta, seguida da função de
comunicação. A função de verificação ficou reservada para as situações nas quais
48
o aluno tinha dúvida quanto aos resultados encontrados. Alguns alunos não
sentiram a demonstração como desafio intelectual, mas perceberam que, para
outros, esse desafio existe. A função de sistematização deve ser deixada para o
momento em que o aluno já tem alguma experiência com demonstrações,
devendo ser evitada num curso introdutório.
De Villiers sugere uma ordem para que se explorem as funções da
demonstração, que pode ser retomada em espiral: explicação → descoberta →
verificação → desafio intelectual → sistematização e volta à explicação, num nível
mais avançado.
Nosso objetivo, nesta pesquisa, é realizar uma experiência com licenciandos,
inspirada pelas experiências de De Villiers, com o uso de um software de
geometria dinâmica, o GeoGebra, de modo que os participantes elaborem
conjecturas, a partir de observações feitas com as construções com o software, e
que estas conjecturas propiciem a elaboração de demonstrações formais.
A escolha do software GeoGebra se deve ao fato dele ser de geometria dinâmica,
livre, semelhante ao Sketchpad, utilizado por De Villiers, e muito usado nas
escolas brasileiras; muitos professores o dominam cada vez mais, devido,
principalmente, à facilidade de acesso.
3.2 Softwares de Geometria Dinâmica
Uma metodologia, que é muito usada como ferramenta psicopedagógica no
ensino de Geometria, é a que se faz por meio de softwares de Geometria Dinâmica
e Interativa (GDI), que vieram para auxiliar aquela usada há séculos, o quadro
negro e o giz. O uso dos softwares propicia ao docente um novo ambiente de
ensino, de caráter laboratorial, no qual há a possibilidade da prática aliada à teoria.
Gravina (1996), em seu artigo, discorre sobre uma pesquisa feita com alunos do
primeiro ano de um curso de Licenciatura em Matemática, nas aulas de Geometria
Plana e Espacial, com os softwares de geometria dinâmica Cabri-Géomètre e
Geoplan. A pesquisadora percebeu que propriedades geométricas importantes
podem ser notadas, deduzidas e posteriormente demonstradas, quando se utiliza
um desses softwares.
Para tal, aplicou algumas atividades, nas quais os participantes deveriam utilizar
construções geométricas feitas num desses softwares para deduzir propriedades
49
e, posteriormente, demonstrá-las. Ela argumenta que figuras geométricas planas,
construídas em papel, com o uso de régua e compasso, são figuras estáticas e
podem dificultar a percepção de propriedades importantes. Muitas vezes, essas
construções estáticas podem levar a conclusões erradas como, por exemplo, a de
que o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo é sempre interior a este,
conclusão causada pelo uso constante de triângulos acutângulos. O uso de um
software dinâmico faz com que o aluno perceba, ao movimentar os vértices do
triângulo construído, todas as possibilidades que podem ocorrer e, assim,
percebam melhor as situações que podem surgir com a construção analisada.
Nascimento (2012), que apresentou trabalho sobre o software de Geometria
Dinâmica GeoGebra em um congresso no Uruguai, diz que muitos professores
não se sentem preparados para usar recursos tecnológicos em suas aulas por
vários motivos, entre eles o desconhecimento de como usar essas tecnologias, ou
a falta de conhecimento em Geometria ou por valorizar em demasia o livro didático
tradicional, que não traz indicações para o uso de outros recursos na sala de aula,
limitando-se ao ensino teórico de Geometria. No entanto, Nascimento cita os
Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998), que apontam a tecnologia como
sendo um recurso a mais que o professor pode e deve usar, em prol da melhoria
da qualidade das aulas.
Segundo Nascimento (2012), são vários os softwares de Geometria Dinâmica
que são ambientes virtuais voltados ao Ensino e à Aprendizagem de Geometria e
a vantagem de utilizar esses ambientes é que as figuras geométricas construídas
perdem a característica estática de quando construídas com lápis e papel ou com
giz e quadro negro. Outra situação que pode ocorrer na construção com régua e
compasso é que algumas propriedades podem parecer, erroneamente, falsas,
quando testadas a partir da construção no papel; por exemplo, quando queremos
provar que as três alturas de um triângulo se encontram num único ponto
denominado ortocentro, podemos erroneamente concluir que essa propriedade
não é verdadeira, se não conseguirmos fazer a construção com a precisão
necessária. A construção feita com o auxílio de um software sempre será precisa
e facilitará a verificação de propriedades como a do ortocentro.
Alguns dos inúmeros softwares que existem para uso nas aulas de geometria
são gratuitos e outros devem ser comprados para que possam ser usados.
Citamos alguns deles: Tabulæ (gratuito), Régua e Compasso (gratuito), Cabri
50
Geométrè (comercializado), Sketchpad (GSP) (comercializado), iGeom (gratuito)
e GeoGebra (gratuito).
Como usamos o GeoGebra na nossa pesquisa, discorremos a respeito desse
software no que segue.
3.2.1 GeoGebra
O GeoGebra é um software gratuito de Matemática dinâmica, criado por Markus
Hohenwarter. Teve seu projeto iniciado no ano de 2001, na Universität Salzburg,
localizada na cidade de Viena, na Áustria e tem prosseguido seu desenvolvimento
na Florida Atlantic University, localizada no estado da Flórida, nos Estados Unidos
da América. O título GeoGebra indica que o software é indicado para o estudo da
geometria (GEO) e da álgebra (GEBRA). Dessa forma, possibilita o ensino da
Álgebra e da Geometria, além da integração das duas, por meio da Geometria
Analítica e pode ser usado como ambiente de ensino e de aprendizagem com
alunos nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). A integração entre
a álgebra, a geometria plana e a geometria analítica possibilita a representação
de um mesmo objeto matemático por meio de diversos registros. Os recursos
relacionados à Geometria possibilitam que se façam construções geométricas,
tanto utilizando os recursos do software, que possibilitam construções imediatas,
quanto construções com as ferramentas que simulam o uso da régua e do
compasso.
Os recursos relacionados à Álgebra possibilitam a construção de curvas a partir
de suas equações ou de seus pontos determinados por coordenadas e o estudo
dessas curvas, como determinação de máximos e mínimos, ou ainda derivadas e
integrais.
Em 2008, foi criada a versão 5 deste software, com a qual se pode trabalhar
também em 3D, ou seja, esta versão possibilitou a construção de objetos da
Geometria Espacial. Quando a versão em 3D foi criada, rodava apenas pela
internet, mas, recentemente, há uma versão em que podemos em duas ou em três
dimensões, via menu de utilização.
Em 2013, foi lançada a versão que roda em tablets, inicialmente para o sistema
Android e, em seguida, para o sistema IOS, que tem algumas restrições, mas a
maioria das atividades que podem ser feitas no computador, podem ser replicadas
51
no tablet. Está disponível em 58 idiomas e tem sua distribuição totalmente gratuita
via download pela Internet. A atualização para versões mais recentes também é
simples e fácil de ser feita gratuitamente.
O GeoGebra reúne, num único ambiente, recursos de geometria, álgebra,
tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos. Dessa forma,
uma das vantagens didáticas do software é apresentar várias representações
diferentes de um mesmo objeto matemático, e essas representações interagem
entre si. Por exemplo, ao se traçar uma circunferência, temos sua representação
geométrica com ou sem as coordenadas cartesianas, além da expressão
algébrica, na forma geral ou na forma reduzida.
Outra característica é a possibilidade de se efetuarem construções que podem
ser usadas como ilustração em textos criados no Microsoft Word, no Open Office
ou no LaTeX. Além disso, o programa pode ser instalado em computadores com
o sistema Windows, Linux (até a versão 4) ou Mac OS.
Segundo os fabricantes, a característica interativa possibilita que, após realizar
uma construção, possa-se alterar a posição dos objetos construídos e encontrar
outros com as mesmas propriedades do construído inicialmente. Essa
possibilidade de alterar as posições dos objetos, sem alterar as propriedades
destes, faz com que possamos utilizá-lo como se fosse um laboratório de testes,
efetuando tantos quantos forem necessários, antes de iniciar a demonstração das
propriedades.
Ao considerar as apresentações dos diversos softwares, criados para serem
usados em aulas de Geometria, notamos que são todos muito parecidos e que
qualquer um poderia ser utilizado em nossa pesquisa; no entanto, como
precisávamos optar por um deles, fizemo-lo pelo GeoGebra, por dois motivos
principais: primeiro, por ser gratuito e de fácil acesso, o que facilita às pessoas
interessadas reproduzir nossas atividades ou ampliar nosso estudo e também
para os professores que quiserem utilizar tal recurso em suas aulas,
principalmente as que ocorrem em escolas públicas, onde há dificuldade em
conseguir materiais didáticos complementares, principalmente se houver similares
gratuitos; o outro motivo que nos fez optar pelo GeoGebra é a característica que
tem de fazer a interação entre a álgebra e a geometria, que ocorre em poucos
softwares similares.
52
Vamos citar um exemplo do uso do GeoGebra no ensino de Geometria. Neste,
queremos que o aluno perceba a diferença entre desenhar e construir.
O professor pede ao aluno que construa um quadrado na tela do computador
usando o software GeoGebra. Suponhamos que o aluno use as linhas de grade
para marcar quatro pontos que formem um quadrado.
Figura 1: quadrado desenhado
Em seguida, o professor solicita que o aluno modifique a posição de um dos
vértices do quadrado. Se ele tiver apenas desenhado o quadrado, com base no
que vê e não em propriedades formais do quadrado, obterá o desenho da Figura
2.
Figura 2: quadrado desenhado alterado
Se o aluno construir o quadrado, usando retas perpendiculares, terá o desenho
da Figura 3
53
Figura 3: quadrado construído
Ao movimentar um dos vértices do quadrado construído, o aluno terá o desenho
da Figura 4.
Figura 4: quadrado construído modificado
No exemplo acima, podemos notar que o software é uma ferramenta poderosa
para ensinar geometria e desenho geométrico, e é assim que pretendemos
explorá-lo.
3.3 A Interação entre os componentes formal, algorítmico e intuitivo na
Atividade Matemática
Para a análise dos protocolos referentes a esta pesquisa, utilizamos as ideias
propostas por Efraim Fischbein (1920-1998), que nasceu em Bucareste e foi
convidado para organizar o primeiro Congresso Internacional de Educação
Matemática, realizado em 1969. Neste, organizou-se um grupo que deu início às
pesquisas em Educação Matemática e também ao The International Group for the
Psychology of Mathematics Education, do qual Fischbein foi fundador e eleito
presidente, de 1976 a 1980. Ocupou a cadeira de Psicologia na Faculdade de
54
Educação na Universidade de Tel-Aviv em 1975 e escreveu inúmeros livros e
artigos relacionados à psicologia da aprendizagem em Matemática.
Segundo Fischbein (1994), a Matemática pode ser considerada sob dois pontos
de vista: como um corpo de conhecimento formal, dedutivo e rigoroso, ou como
uma atividade humana, criada por seres humanos e que favorece a criatividade,
com momentos de iluminação, hesitação, aceitação e refutação, e sugere que
trabalhemos a Matemática de maneira que os alunos não aprendam apenas
sequências de deduções formais, ligadas a um teorema, mas que sejam capazes
de produzir resultados formais e teoremas, com justificativas e demonstrações.
Fischbein defende que, ao observar um ser humano em atividade matemática,
devemos constatar a presença, ou não, de três componentes básicos da
Matemática como uma atividade humana: o formal, o algorítmico e o intuitivo;
argumenta que é a interação desses três componentes que promove a
aprendizagem em Matemática.
O aspecto formal se refere aos axiomas, definições, teoremas e provas. O fato
de esses aspectos representarem a Matemática como uma ciência formal não
implica que não os consideremos quando a analisamos como um processo
humano, pois tais aspectos fazem parte do raciocínio matemático. Podem ser
inventados ou aprendidos, mas devem ser organizados e usados ativamente, em
Matemática.
Concordamos com Fischbein, quando este diz que o rigor é necessário em uma
construção hipotético-dedutiva. Para isso, o raciocínio empregado deve ter
coerência e consistência, contudo esta capacidade não é atingida pelo aluno
espontaneamente. É necessária a intervenção do professor para estimular esse
tipo de raciocínio. Consideramos que o aluno está usando aspectos formais ao
aprender Matemática, em particular a Geometria, quando usa rigor ao escrever
com a simbologia matemática, ou ainda quando demonstra algum teorema ou
alguma propriedade do objeto matemático que está estudando.
O aspecto algorítmico está relacionado ao conhecimento de técnicas e
procedimentos, que precisam ser aprendidos e praticados, muitas vezes,
exaustivamente, pelo ser que aprende.
Fischbein diz que é uma mera ilusão acreditar que conhecer axiomas, teoremas,
provas e definições, expostos formalmente na lousa ou nos livros didáticos, torna-
nos capazes de resolver problemas matemáticos. Diz ainda que é uma concepção
55
errônea pensar que, se alguém entende um sistema axiomático ou um conjunto
de conceitos, será capaz de usá-los para resolver a classe de problemas
correspondentes. Por outro lado, o raciocínio matemático não pode ser reduzido
a um sistema de procedimentos de resolução, pois este pode ficar inativo diante
de uma situação não usual. Temos que saber justificar os procedimentos, para
que estes não sejam esquecidos.
A interação entre aspectos formais e algorítmicos exige habilidade, que pode ser
adquirida apenas pela prática e pelo uso, e não apenas pelo entendimento.
Um exemplo dado por Fischbein sobre a interação entre aspectos formais e
algorítmicos é que quem aprendeu as operações básicas aprenda, mais cedo ou
mais tarde, não apenas os algoritmos, mas também para que eles servem. Essa
simbiose profunda entre significado e procedimentos é o que Fischbein propõe
como condição básica para um raciocínio matemático produtivo e eficiente.
Consideramos que o aluno está usando aspectos algorítmicos quando resolve
uma lista de equações do segundo grau e apenas aplica uma fórmula. Nesse caso,
além da técnica, há também a interação com aspectos formais, se o estudante
perceber como usá-la, nos casos em que a equação vem escrita, por exemplo,
−x + 2x² − 5 = 0 ou mx² + nx + p = 0.
O aspecto intuitivo está relacionado a uma intuição cognitiva, uma solução
intuitiva ou um entendimento intuitivo. Em qualquer dos casos, é um tipo de
percepção na qual aceitamos ou aplicamos diretamente um conceito, sem sentir
necessidade de algum tipo de justificativa. Uma cognição intuitiva é então
caracterizada, primeiro de tudo, pela “autoevidência”. Aceitamos como
autoevidentes declarações do tipo “o todo é maior que as partes”, “por um ponto
fora de uma reta podemos traçar apenas uma reta paralela à reta dada”, “a menor
distância entre dois pontos é uma linha reta” e outras do mesmo tipo. Quando uma
afirmação é auto evidente, tendemos a aceitá-la intuitivamente, deixando de lado
nossas interpretações e estratégias racionais.
A cognição intuitiva pode estar de acordo com justificativas lógicas verdadeiras,
mas algumas vezes pode contradizê-las. Consequentemente, aspectos intuitivos
podem desempenhar um papel facilitador, ou não, no processo instrucional, pois
podem aparecer contradições que geram dificuldades que podem ser coercivas
nos processos de aprendizagem, resolução e invenção, durante a aprendizagem
em sala de aula. Esses obstáculos surgem quando um problema aparentemente
56
tem uma determinada solução, mas esta não se mostra verdadeira, quando a
analisamos formalmente. Tais contradições podem trazer problemas à
aprendizagem.
Um exemplo dado por Fischbein sobre aspectos intuitivos é a construção da
geometria. Para se construir uma geometria, é necessário que se tenha um
sistema de axiomas e postulados; são resultados que devem ser aceitos sem
demonstração.
As geometrias não euclidianas, segundo ele, são contraintuitivas, pois, para
aceitá-las é necessário que se pense em desacordo com a intuição, considerando
que a intuição leva, em geral, à geometria euclidiana, que é aquela que praticamos
e vivenciamos.
Consideramos que o aluno está usando aspectos intuitivos quando, ao resolver
um exercício de geometria sobre triângulos, faz uma figura de um triângulo
acutângulo para apoiar o seu raciocínio e conclui erroneamente que uma
propriedade que é válida apenas para os triângulos acutângulos é válida para
qualquer triângulo. Por exemplo, que o encontro das alturas do triângulo sempre
ocorre na região triangular.
Segundo o pesquisador, as interações de aspectos formais, algorítmicos e
intuitivos podem ser muito complexas e não entendidas ou identificadas com
facilidade, mas é trabalho do professor, em sala de aula, ou do pesquisador, em
uma pesquisa, identificar e entender essas interações.
Para a nossa pesquisa, ampliamos as ideias de Fischbein e acrescentamos três
aspectos que, no nosso entendimento, complementam os citados por Fischbein.
Um deles, que denominamos “intuitivos numéricos”, foi proposto por Souza (2008),
em sua tese:
“O que estamos chamando de aspectos intuitivos numéricos dizem respeito à necessidade que o indivíduo sente de se referir a alguns valores numéricos específicos para desenvolver o raciocínio ou para verificar se é verdadeiro o que acaba de afirmar ou de prever.” (Souza, 2008, pág. 247)
Assim, denominamos aspectos intuitivos numéricos aqueles que estão
relacionados ao uso de validações baseadas em alguns exemplos numéricos.
Nessa situação, o participante faz uma experiência numérica e verifica que ocorre
determinado fato; a partir desse exemplo numérico, conclui que o fato é válido e
57
justifica-o considerando que, se a propriedade é válida para aquele número (ou
números), é válida sempre.
Consideramos que o aluno está usando aspectos intuitivos numéricos numa
situação em que precisa, por exemplo, mostrar que a soma dos ângulos internos
de um triângulo vale 180º e usa um transferidor para medir os ângulos internos de
alguns triângulos que construiu em seu caderno. Após verificar que vale para
estes, conclui que a propriedade é válida para qualquer triângulo.
Como, na época de sua pesquisa, Fischbein não utilizou os recursos da
informática, para a nossa consideramos uma complementação das ideias
propostas por Fischbein e introduzimos o que vamos denominar aspectos
computacionais.
O que chamamos de aspectos computacionais se refere ao uso mecânico, ou
não, do computador e suas ferramentas. Existem diversos softwares de geometria
dinâmica, construídos para se ensinar e aprender geometria e, com eles, somos
capazes de construir, estudar e analisar figuras geométricas. Com a dinamicidade
e as ferramentas desses softwares, algumas propriedades podem ser observadas
e comprovadas empiricamente. A esta interação entre o aluno e o software é que
denominamos aspectos computacionais.
Consideramos que os participantes da pesquisa usam aspectos computacionais,
quando interagem com um software de geometria dinâmica, e usam seus
recursos, sem necessariamente ter conhecimentos teóricos sobre o assunto e
chegam a conclusões ou formulam conjecturas que dependem única e
exclusivamente de informações colhidas na tela do computador.
Nas atividades que usamos, junto ao grupo de participantes de nossa pesquisa,
pedimos que fizessem uma construção geométrica com o software GeoGebra e,
por meio da dinamicidade do software, tirassem algumas conclusões a respeito
da definição de reta mediatriz. Consideramos aspectos computacionais quando o
aluno efetua essa construção pelo menu do software e, em seguida, observa as
informações na tela do computador para responder às nossas indagações.
Um terceiro aspecto que consideramos nesta pesquisa, além dos propostos por
Fischbein (1994) é o que chamamos de aspectos formais lógicos. Estes foram,
também, propostos por Souza (2008) em sua Tese de Doutorado e vamos
considerá-los com as mesmas características elencadas pela pesquisadora, que
assim os definiu:
58
“os que se relacionam ao entendimento matemático de sentenças lógicas como “se p então q”, “p se e só se q”, “p ou q”, “p e q”, entre outas, que em geral, no dia-a-dia, na língua natural, podem não ter uma conversão congruente, no sentido de Duval.” (Souza, 2008, pág. 249)
Podemos considerar que estão usando estes aspectos os alunos que resolvem
equações matemáticas, ou sistemas de equações, sempre se preocupando em
transformar uma equação ou sistema de equações numa outra que lhe seja
equivalente.
Exemplos de uso dos diversos aspectos citados e a interação entre estes:
apresentamos alguns exemplos que mostram possíveis usos dos diversos
aspectos e a interação entre os mesmos.
Exemplo 1:
Problema: “Prove que as medianas relativas aos lados congruentes de um
triângulo isósceles são congruentes. ”
Ao observar as construções da Figura 5, vemos as figuras que o aluno pode fazer
para resolver esse item.
Figura 5: triângulos usados para resolver o Problema 1
Na resolução desse problema, podemos verificar a interação entre os diversos
aspectos elencados por Fischbein. Primeiro, aspectos algorítmicos são usados
quando o aluno constrói o triângulo ∆𝐴𝐵𝐶, as medianas 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . Para analisar a
situação, ainda sob aspectos algorítmicos, o aluno terá que identificar outros dois
triângulos (∆𝐴𝐵𝐷 e ∆𝐴𝐵𝐸) e perceber a relação de congruência existente entre
estes, para indicar os vértices que fazem com que exista a congruência. No caso,
o vértice A do primeiro triângulo com o vértice B do segundo triângulo, o vértice B
do primeiro triângulo com o vértice A do segundo triângulo e o vértice D do primeiro
triângulo com o vértice E do segundo triângulo. A partir da identificação da relação
entre os vértices, o aluno fará a suposição de que é válida a congruência entre os
triângulos (∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆∆𝐵𝐴𝐸), mas deverá provar que esta é válida. Para fazer a
59
demonstração, usará aspectos formais. Aspectos intuitivos poderão
eventualmente surgir, caso o aluno esteja habituado a verificar congruência entre
triângulos desenhados na mesma posição; pois, nesse caso, estão em posição
espelhada, e aspectos intuitivos podem fazer com que ele pense que esta
congruência não existe ou trocar a relação entre os vértices; portanto, a interação
entre os três aspectos é que fará com que o aluno consiga chegar à congruência
entre os triângulos e à conclusão de que a propriedade solicitada é verdadeira.
Exemplo 2:
Problema3: “Mostre, com um exemplo, que, dados os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹 com
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ e  ≅ �̂�, então esses triângulos podem ser não congruentes.
(Isto mostra que L.L.A. não é um critério para a congruência entre dois triângulos)”.
Para resolver este item, esperamos que o aluno faça uma figura com as
características da Figura 6:
Figura 6: triângulos usados para resolver o problema 2
Para resolver, aspectos algorítmicos podem ser usados quando o aluno
visualizar dois triângulos com aspectos semelhantes aos que aparecem na Figura
6 e que possuem dois pares de lados congruentes e o ângulo oposto a um desses
lados também, sem que os triângulos sejam congruentes (∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐸𝐹).
Aspectos formais são usados quando o aluno percebe que embora existam as
congruências: {𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅
𝐹�̂�𝐴 ≅ 𝐺�̂�𝐶
, os triângulos ∆𝐴𝐵𝐹 e ∆𝐶𝐺𝐷 não são congruentes e
identifique porque estes triângulos não são congruentes.
3 Este problema encontra-se no livro “Geometria Euclidiana Plana e construções geométricas” de Eliane
Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz, Editora Unicamp.
60
Aspectos intuitivos novamente surgem para atrapalhar, quando o aluno
considera alguns exemplos particulares em que a congruência entre os triângulos
ocorre e conclui que vale no geral.
Exemplo 3:
Problema: “Um fazendeiro que vive em um terreno quadrado decide aposentar-
se. Ele retém para si um quarto do terreno, como na Figura 7 e doa o restante
para seus quatro filhos. Como se pode dividir o terreno a ser doado de modo que
cada filho receba uma porção de mesma forma e área? Use o fato de que figuras
congruentes têm a mesma área. ”
Figura 7: figura oferecida pelo problema
Nesse problema, podemos verificar o quanto aspectos intuitivos podem
atrapalhar a resolução. A princípio, o aluno utiliza a Figura 7, que acompanha o
enunciado do problema no livro didático, e sente dificuldade em dividir a área
restante, após a retirada do quadrado que representa o terreno do pai, em quatro
partes com a mesma área e o mesmo formato. Pode acontecer que aspectos
intuitivos façam com que o aluno tente dividir o hexágono que sobrou usando
polígonos convexos e apenas conseguirá resolver o problema após perceber que
os quatro terrenos com a mesma forma e tamanho deverão ser não convexos e
semelhantes ao hexágono original. Uma pergunta automaticamente se coloca:
será que isso é verdade sempre?
Aspectos algorítmicos poderão ser usados se o aluno subdividir em doze
quadrados congruentes o hexágono que deve ser dividido entre os filhos. Como
são quatro, cada um deverá ficar com três quadrados da subdivisão (conforme
Figura 8) e usando aspectos formais, o aluno conseguirá visualizar a figura final,
que se encontra na Figura 9, na qual o quadrado DEFG é a porção do terreno que
será do pai e os hexágonos AEIHKJ, LHIFPQ, BJKLNM e CMNQPG são os
terrenos dos filhos, respectivamente.
61
Figura 8: figura subdividida
Figura 9: resolução do problema 3
Aspectos algorítmicos são usados na resolução do item acima quando o aluno
organizar as informações do problema, de modo a construir uma das figuras que
resolvem o problema e, a partir dela, chegar à Figura 18. Aspectos formais são
usados quando o aluno usar as ideias de congruência para decidir que essa é a
resposta ao problema. Novamente, a interação entre os aspectos é que promoverá
a aprendizagem, conforme diz Fischbein.
Exemplo 4:
Problema: “Mostre que, se dois ângulos de um triângulo são congruentes, então
o triângulo é isósceles. ”
Nesse exemplo, vamos mostrar o uso de aspectos intuitivos numéricos na
resolução de um problema. Uma resolução que o aluno poderá eventualmente
fazer usando aspectos intuitivos numéricos é a construção de alguns triângulos
62
com dois ângulos congruentes usando a régua e o compasso ou a régua e o
transferidor e conferir as medidas dos lados desses triângulos, para concluir que
todos são isósceles. Na verdade, nesta situação, o aluno terá mostrado que vale
em algumas situações, mas não terá demonstrado que vale sempre a propriedade
indicada no problema.
Para realmente resolver o problema, que pressupõe uma demonstração, terá que
fazer a interação entre os diversos aspectos elencados por Fischbein. Aspectos
algorítmicos são usados quando o aluno construir um triângulo genérico, que
tenha as características do triângulo do problema, para usar como referência para
a demonstração. Aspectos formais são usados na demonstração em si, quando o
aluno usar axiomas e propriedades conhecidas para conseguir concluir o que é
pedido; aspectos intuitivos, quando o aluno tentar resolver como foi indicado
inicialmente, usando régua e transferidor e, após fazer alguma construção com
medidas aproximadas, chegar à conclusão de que a propriedade não é válida.
Novamente, a interação entre os diversos aspectos dará condições para que o
problema possa ser resolvido.
3.4 A Geometria de Parzysz
Bernard Parzysz, pesquisador francês, para analisar os dados de suas
pesquisas, classificou em quatro paradigmas a forma como as pessoas usam a
Geometria e defende que uma das finalidades do ensino de Geometria,
principalmente na Educação Básica, é fazer com que o estudante passe de uma
“geometria de observação” para uma “geometria de demonstração” e que, ao
longo desse caminho, um elemento essencial é a “figura” (no sentido de desenho
ou representação) que se constrói, tanto para apoiar a observação como a
demonstração.
Em termos da formação inicial de professores de Matemática, em Geometria,
Parzysz lembra que o uso dos desenhos, nas tarefas de Geometria, é quase um
imperativo e que o futuro professor deve estar preparado para gerenciar os
conflitos que esse uso pode trazer, em sala de aula da Educação Básica, seja
para estimular, seja para controlar esse uso, porque as representações planas de
figuras bi ou tridimensionais são sempre representações e que, portanto, não
¨mostram tudo¨. Como, por exemplo, quando o problema trata de retas e se
constrói uma figura, a reta nunca será representada na sua totalidade pelo fato de
63
esta ser infinita. O fato de se desenhar apenas um pedaço da reta pode fazer com
que o aprendiz tire conclusões erradas se não lembrar que a reta é infinita.
Para resolver um problema de geometria, o aluno se apoia, geralmente, em
desenhos e usa de idas e vindas entre a “geometria de observação” e a “geometria
de demonstração”. Geralmente o trânsito entre as geometrias é implícito e, se o
professor não ficar atento, isso pode ocasionar conflitos cognitivos, que podem
colocar o aluno em uma posição pouco confortável.
Ao observar o que diz Parzysz, podemos fazer um paralelo entre o que ele diz e
a nossa pesquisa, pois nossas atividades foram aplicadas a futuros professores
de Matemática, que devem estar prontos para atuar com seus alunos, no sentido
de fazê-los passar de uma geometria de observação para uma geometria de
demonstração. A criança toma os primeiros contatos com a Geometria por meio
de objetos e figuras; cabe ao professor apresentar a geometria teórica, a partir do
primeiro ano, até que o aluno consiga começar a demonstrar propriedades e
deduzir fórmulas, o que seria o início da Geometria de Demonstração, da qual fala
Parzysz.
Parzysz lançou mão de pesquisas realizadas com futuros professores
generalistas sobre a relação destes com a geometria e concluiu que nem sempre
esses professores estão preparados para fazer a gestão desse tipo de conflito
com futuros alunos.
Segundo o autor, a geometria ensinada na porção inicial do Ensino Fundamental,
mesmo quando é fundamentada pela teoria, resulta de considerações feitas
apoiadas por figuras e objetos materiais (maquetes, figuras). Os objetos, muitas
vezes, são utilizados na forma de metáforas e isso pode ocasionar
incompreensões, que se tornam um problema maior.
Parzysz se apoiou em estudos efetuados por sua equipe para verificar como
estes problemas surgem e em quais mal-entendidos eles se apoiam e, diante
disso, propôs algumas reflexões para pesquisas futuras.
Para seu estudo, Parzysz se apoiou no enfoque dado à geometria por três grupos
de pesquisadores, o casal Van Hiele, Michel Henry e a dupla Houdement e
Kuzniak.
Van Hiele (2002) sugere que os alunos progridem segundo uma sequência de
níveis de compreensão e que o progresso de um nível para outro se dá pela
vivência de atividades adequadas. Com relação à oposição entre “geometria de
64
observação” e “geometria de demonstração”, Van Hiele distingue dois níveis, que
intitula nível superior e nível inferior. No nível inferior, as formas são identificadas
pela simples observação, que considera cor, tamanho, material de que são feitas.
No nível superior, as formas são identificadas por suas propriedades. Por
exemplo, um aluno que se encontra no nível inferior distingue um quadrado pela
forma que está observando. No entanto, um aluno que se encontra no nível
superior conhece um quadrado pelas suas propriedades.
Houdement e A. Kuzniak (2003) distinguem três paradigmas geométricos, uma
“geometria natural”, uma “geometria axiomática natural” e uma “geometria
axiomática formalista”. Na primeira, a geometria se confunde com a realidade, os
objetos são concretos. Podemos exemplificar esse nível citando a geometria que
é ensinada na pré-escola, onde a criança aprende as formas geométricas
observando objetos do cotidiano que se assemelham a esta forma. Na segunda,
a geometria é um esquema da realidade, os objetos não são mais concretos. Um
exemplo para esse nível é quando o aluno se apoia em figuras que ele mesmo
constrói ou que observa no livro didático, para identificar propriedades
geométricas. Na terceira, “geometria axiomática formalista”, há um corte total com
a realidade; um exemplo para esse nível é quando o aluno efetua uma
demonstração apoiado em axiomas, sem o auxílio de figuras que representem a
situação a ser demonstrada.
Henry (1999) diferencia três tipos de relação com o espaço, no ensino e na
aprendizagem de Geometria. A primeira etapa é a da situação concreta. A
segunda, a da observação da situação real e de uma descrição que simplifica a
realidade e usa termos abstratos. A terceira é a da matematização do problema.
Um exemplo para o modelo de Henry é um problema de geometria que pede que
se calcule o volume de um tanque de formato cilíndrico. Na primeira etapa, o aluno
observa o tanque e identifica seu formato. Na segunda etapa, constrói um desenho
que representa o tanque e identifica os dados numéricos do problema. Na terceira
e última etapa, usa os dados do problema e a fórmula para cálculo de volumes e
resolve o problema proposto.
Baseado nessas teorias, Parzysz propõe quatro paradigmas para o ensino e a
aprendizagem de Geometria da Educação Básica, que resumimos no Quadro 1.
65
Quadro 1: paradigmas de aprendizagem, segundo Parzysz
Geometrias não axiomáticas Geometrias Axiomáticas
Tipos de
geometria
Concreta
(G0)
Espaço-gráfico4
(G1)
Proto-axiomática
(G2)
Axiomática
(G3)
Objetos Físicos Teóricos
Validações Perceptivo - Dedutivo Hipotético - Dedutivos
Fonte: PARZYSZ (2006, p. 130)
Para essa proposta, o pesquisador considerou a natureza dos objetos (físicos
versus teóricos) e os modos de validação (perceptivas versus hipotético-
dedutivas).
O paradigma G0 que, segundo Parzysz, não é uma geometria propriamente dita,
parte da “realidade” e usa objetos concretos que são realizações materiais com
todas as suas características, tais como cor e tamanho.
No paradigma G1, a geometria é espaço-gráfica. Nesse paradigma, os objetos
concretos são representados por meio de figuras, mas são representações, em
papel ou na tela do computador, dos objetos que se observa no concreto. O aluno,
nessa etapa, representa os objetos que já foram observados e manuseados no
paradigma G0, considerando as propriedades. Podem ser utilizados instrumentos,
tais como régua, compasso, esquadro ou transferidor, para fazer comparações e
tirar conclusões a respeito de propriedades.
Consideramos que o aluno atinge esse paradigma no final da primeira fase e no
início da segunda fase do Ensino Fundamental, quando começa a conhecer mais
elementos de Matemática, tais como algumas operações com a álgebra, como as
fórmulas usadas para o cálculo de áreas. Nessa fase, ele toma contato com
algumas propriedades geométricas que consegue identificar visualmente ou por
meio dos instrumentos citados acima, que podem servir para, por exemplo,
classificar um triângulo pela medida de seus lados ou pela medida de seus
ângulos.
Os paradigmas G2 e G3 são dedicados à “geometria teórica”, nos quais os
objetos estudados são conceituais e é realizado um estudo axiomático da
4 Spatio-graphique, no original em francês.
66
geometria. O paradigma G2 apoia-se ainda em desenhos, mas, no paradigma G3,
este apoio é facultativo.
Parzysz classifica o paradigma G2 como sendo o paradigma-chave, pois, nele,
encontramos elementos do concreto e elementos do teórico. Nesse paradigma, o
aluno já reconhece propriedades dos objetos geométricos e é capaz de justificá-
las teoricamente, pelo uso de uma axiomática. A passagem do paradigma G1 para
o paradigma G2 ocorre quando o aluno consegue justificar teoricamente as
propriedades observadas no paradigma G1.
A nosso ver, o aluno atinge o paradigma G2 ao final do Ensino Fundamental e
no Ensino Médio, quando começa a ter mais conhecimentos matemáticos, como
por exemplo relações entre dois triângulos, ao usar a congruência ou a
semelhança, ou, ainda, quando consegue relacionar as medidas dos lados com
as medidas dos ângulos de um triângulo e usa, para isso, conceitos de
trigonometria. Nessa etapa, o aluno consegue efetuar demonstrações simples, por
meio da axiomática.
No paradigma G3, a Geometria é Axiomática e é o paradigma no qual os alunos
estudam Geometria pelo uso dos axiomas, inclusive comparando-os. Sem o uso
de um sistema axiomático, não podemos considerar que estamos nesse
paradigma.
Podemos considerar que o paradigma G3 somente é atingido quando o aluno
tiver conhecimentos suficientes para fazer um tratamento axiomático da geometria
e isso só ocorre, a nosso ver, quando estiver num curso superior da área de exatas
e for estudar disciplinas relacionadas à Geometria.
Para identificar os paradigmas elencados por Parzysz, podemos observar as
tecnologias utilizadas pelos alunos em cada paradigma. No paradigma G1, o aluno
utiliza instrumentos tais como régua graduada, compasso, esquadro e
transferidor. O paradigma G2 está relacionado à precisão, que ocorre pela
economia de traçados, quando efetua construções geométricas utilizando apenas
a régua e o compasso. Nesse caso, admite-se apenas o uso da régua não
graduada e do compasso. Mascheroni (1797) ousou sugerir o uso único e
exclusivo do compasso para as construções geométricas pois, segundo ele, a
régua pode gerar imprecisões. Na verdade, se pensarmos em desenhos precisos,
o ponto pode ser encarado como um círculo, a reta como uma faixa determinada
por duas retas paralelas e um círculo como uma coroa. Pensando dessa forma,
67
desenhos nunca seriam precisos e, para uma teoria precisa, há necessidade de
enunciados contendo definições, axiomas e propriedades que assegurem a
validade da teoria, o que faz assim surgir o paradigma G3, no qual as
representações são dispensadas, em favor de elementos teóricos que garantem
a validade de propriedades geométricas.
O pesquisador prevê também uma articulação entre os diversos níveis.
A articulação G1-G2 se apresenta quando, por exemplo, o aluno faz uma
construção e utiliza instrumentos ou um software de geometria dinâmica
(paradigma G1) e, depois, utiliza a axiomática para demonstrar propriedades que
observou durante a construção (paradigma G2).
A articulação G2-G3 se dá quando o aluno efetua uma demonstração e utiliza,
para isso, desenhos que representam a situação citada pelo problema e admite
como verdadeiras algumas propriedades fundamentais (paradigma G2) e passa a
demonstrar o mesmo teorema sem o apoio de desenhos, com base nos axiomas
da Geometria estudada (paradigma G3).
Um exemplo dado pelo pesquisador se refere a uma atividade proposta a alunos
na faixa de 11-12 anos, pela qual deveriam observar triângulos e ordenar seus
lados segundo o tamanho. Ao observar simplesmente os triângulos, estes alunos
estavam na geometria G0, mas, se utilizaram um compasso, com economia de
traçados e passaram a comparar os comprimentos dos lados pelas circunferências
com centro nos vértices dos triângulos, esses alunos passaram para o paradigma
G1. Neste caso, houve uma articulação dos paradigmas G0-G1.
Se esse aluno não possuir um compasso, mas tiver em mãos um transferidor,
poderá medir os ângulos do triângulo e usar a propriedade que ao maior ângulo
opõe-se o maior lado e, assim, ordenar os ângulos pelo que mediu e, em seguida,
ordenar os lados opostos aos ângulos na mesma ordem. Nesse caso, está no
paradigma G2 e houve uma articulação G1-G2.
No próximo capítulo, apresentamos a metodologia utilizada na pesquisa,
incluindo análise das ementas de algumas disciplinas do curso em que os
participantes estudam. Analisamos, também, os livros didáticos indicados pela
Bibliografia nas ementas e fazemos a análise dos protocolos, à luz das teorias de
Fischbein e Parzysz.
68
69
CAPÍTULO 4
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Nos capítulos anteriores, apresentamos o tema, os objetivos, as questões de
pesquisa, a revisão de literatura e as considerações teóricas desta pesquisa.
Neste, discorremos sobre os procedimentos metodológicos que adotamos e que
incluem a caracterização da escola onde a pesquisa foi realizada, o perfil dos
participantes e a análise dos protocolos obtidos.
Para atingir nossos objetivos e responder às questões de pesquisa, propusemo-
nos a seguir os passos descritos abaixo:
Análise das ementas das disciplinas Fundamentos de Geometria I e
Desenho Geométrico do curso de Licenciatura em Matemática da
instituição onde a pesquisa foi realizada;
Análise dos livros didáticos da Bibliografia Básica sugerida pelas ementas
analisadas, no tema demonstração;
Análise dos protocolos gerados pela aplicação de um conjunto de
atividades, com e sem o uso do software GeoGebra, para investigar se os
participantes têm aspectos formais lógicos e se passam da geometria da
observação para a geometria da demonstração, no caso da exploração de
alguns lugares geométricos planos. Analisamos, também, se os
participantes escrevem com o uso de linguagem formal, de modo coerente.
4.1 Caracterização do local da pesquisa
A pesquisa foi realizada com 9 alunos de um curso de Licenciatura em
Matemática de uma escola pública federal na cidade de São Paulo, que aceitaram
participar voluntariamente e que assinaram o Termo de Compromisso Livre e
Esclarecido (ver Anexo B, p. 217).
Estes alunos são, na sua maioria, provenientes de escolas públicas.
O Coordenador do Curso ao qual estes alunos pertencem assinou o Termo de
Autorização e Compromisso da Instituição Coparticipante do Projeto de Pesquisa
(ver Anexo C, p. 221) e permitiu que usássemos o laboratório de informática da
escola num horário em que os participantes não tinham aula.
70
As atividades propostas foram realizadas em 6 sessões, de 3 horas cada uma,
num dos laboratórios de informática da escola, com o auxílio do software de
geometria dinâmica GeoGebra, versão 5.
4.2 Análise das Ementas
Para esta análise, usamos as ementas do curso de Licenciatura em Matemática
da escola onde realizamos a pesquisa, para as disciplinas FG1M2 (Fundamentos
para o Ensino da Matemática - Geometria 1) e DESM2 (Desenho Geométrico),
que estão no segundo semestre. Destacamos objetivos específicos do curso e a
estrutura curricular.
4.2.1 Objetivos Específicos do Curso de Licenciatura em Matemática
O Curso de Licenciatura em Matemática da escola a que pertencem os
participantes tem como propósito potencializar os princípios éticos, humanísticos,
políticos e pedagógicos, que são:
a) Expressar-se com clareza. b) Contextualizar aplicações da Matemática em situações do
cotidiano e inter-relacionar conceitos e propriedades matemáticas para utilizá-los também em outras áreas do conhecimento, percebendo a sua relevância no mundo contemporâneo.
c) Compreender, criticar e utilizar diferentes metodologias e tecnologias para a resolução de problemas.
d) Buscar a formação continuada, vendo sua prática profissional também como fonte de produção de conhecimento.
e) Perceber a Matemática como uma ciência, construída por processos históricos e sociais.
f) Identificar, formular e resolver problemas aplicando linguagem lógico dedutiva na análise da situação problema.
g) Pautar-se por princípios da sociedade democrática na difusão e aprimoramento de valores éticos e morais, no respeito e estímulo à diversidade cultural bem como despertar o senso crítico no aluno.
h) Dominar em profundidade e extensão os conteúdos disciplinares específicos de Matemática.
i) Elaborar propostas de ensino aprendizagem de Matemática para a Educação Básica.
j) Analisar, selecionar e produzir materiais didáticos. k) Analisar criticamente propostas curriculares de Matemática para
a Educação Básica. l) Desenvolver estratégias de ensino que favoreçam a criatividade,
a autonomia e a flexibilidade do pensamento matemático dos alunos, buscando trabalhar com mais ênfase nos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e algoritmos.
m) Perceber a prática docente de Matemática como um processo dinâmico, carregado de incertezas e conflitos, um espaço de
71
criação e reflexão, onde novos conhecimentos são gerados e modificados continuamente.
n) Contribuir para a realização de projetos coletivos dentro da Escola Básica. (MEC, 2011, p. 23)
Com os itens f) e h), percebemos que é de suma importância o desenvolvimento
da competência da demonstração para estes alunos, futuros professores.
Ainda no projeto pedagógico do curso temos, no item “Organização Curricular”,
o seguinte texto:
“Os dois primeiros semestres do curso retomam os conteúdos específicos de matemática da Educação Básica e têm ênfase no aprofundamento da compreensão dos significados desses conceitos. No desenvolvimento destes conteúdos, serão considerados os aspectos didáticos de cada tema, com discussões sobre os erros e as dificuldades de aprendizagem identificadas na experiência docente ou nas diversas pesquisas existentes na área de Educação Matemática.” (MEC, 2011, p. 26)
Dessa forma, nesses componentes curriculares serão desenvolvidas atividades
que visam favorecer, no futuro professor, uma atitude investigativa na elaboração
de seu plano de aula, bem como a produção e o uso de recursos didáticos e de
softwares para construção e análise de modelos aplicados a vários conteúdos.
Nos semestres seguintes, são ministrados conteúdos que ampliam e articulam
os conhecimentos específicos e pedagógicos. Os componentes curriculares que
abordam os conteúdos:5 CD1, CD2 e CD3; VGA; AG1 e AG2; LOG, TNU, ALG,
EST, SQS, IAR, CNU, EDO, MFI, FVC incluirão aulas de estudo com a finalidade
de complementar o ensino e a aprendizagem.
Quando observamos o texto acima, notamos que os dois primeiros semestres do
curso são dedicados à retomada de conteúdos da Educação Básica, com ênfase
na discussão destes, de modo a preparar o futuro professor para ministrá-los.
Dessa forma, a linguagem formal e a demonstração não são aspectos a serem
considerados nestas disciplinas. Pela grade curricular, apresentada a seguir,
podemos perceber também que as disciplinas tradicionais de um curso de
Licenciatura em Matemática, onde se introduz o formalismo e a demonstração
(cálculo, álgebra, análise) estão localizadas a partir do terceiro semestre. Desta
forma, espera-se que os alunos dos dois primeiros semestres vão tomando
contato com o formalismo matemático aos poucos para quando chegarem às
disciplinas tradicionais de matemática, já tenham algum conhecimento do que é e
5 Os significados das siglas constam da grade do curso que se encontra no Anexo A, página 257.
72
como se elabora uma demonstração; portanto, é esperado que os alunos de
Fundamentos da Geometria 1 (FG1M2) e de Desenho Geométrico (DESM2)
desenvolvam essa habilidade no decorrer das respectivas disciplinas. Além disso,
pela Grade Curricular, podemos observar que a Geometria Plana e o Desenho
Geométrico não serão retomados em semestres subsequentes, o que nos leva a
crer que, se o aluno não fizer as demonstrações dos tópicos de geometria nesse
momento, não terá outra oportunidade para isso. Desta forma, pensamos que a
disciplina Geometria Plana deveria estar localizada num semestre posterior, onde
o aluno já tivesse um certo traquejo com as demonstrações. A disciplina Desenho
Geométrico está bem localizada no segundo semestre, pois pode ser encarada
como uma primeira aproximação com a Geometria, de forma mais prática, mais
empírica, na qual o aluno toma contato com os elementos de Geometria sem o
formalismo da demonstração.
4.2.2 Estrutura Curricular do Curso de Licenciatura em Matemática
Encontram-se no ANEXO A a grade curricular e as ementas referentes às
disciplinas FG1M2 – Fundamentos para o Ensino da Matemática – Geometria 1 e
DESM2 – Desenho Geométrico.
Podemos observar, na ementa referente à disciplina DESM2, que o objetivo
central da disciplina Desenho Geométrico é realizar construções geométricas
elementares com régua e compasso e também com o software de geometria
dinâmica GeoGebra. Outro objetivo é o estudo dos lugares geométricos e o uso
das construções geométricas elementares e dos Lugares Geométricos Planos
para resolver problemas geométricos. Nesse caso, temos uma crítica a fazer, pois
seria impossível que se estudassem todos os lugares geométricos em uma
disciplina com 28h30min de duração. Na ementa, seria interessante aparecer o
estudo de alguns aspectos importantes do objeto lugar geométrico em
Matemática e não apenas alguns poucos específicos.
Quanto aos objetivos propostos, fica claro que se espera, nessa disciplina, que
os alunos tomem contato com as construções com régua e compasso e que as
refaçam com o software GeoGebra. Além disso, espera-se que os alunos entrem
em contato com lugares geométricos planos tradicionais: circunferência, mediatriz,
par de retas paralelas, bissetriz e arco capaz, que são os lugares geométricos que
aparecem na maioria dos livros didáticos que tratam do assunto. Basta observar
73
o conteúdo do primeiro livro da bibliografia básica da disciplina (Rezende e
Queiroz, 2009), no capítulo dedicado aos Lugares Geométricos Planos, no qual
aparecem apenas os cinco lugares geométricos citados acima.
Outro objetivo interessante é o de resolver problemas, utilizando construções
elementares e Lugares Geométricos Planos, pois isso ajuda no desenvolvimento
do raciocínio geométrico e pode, também, ajudar nas aulas de geometria plana,
inclusive na elaboração das demonstrações. Se o aluno tem noção de como a
construção deve ser feita, consegue encontrar caminhos para a demonstração das
propriedades da construção.
Quanto ao conteúdo programático, no primeiro item, a ementa trata das
definições e das convenções; isso é muito importante, pois o professor poderá
introduzir de maneira formal a geometria, tratando dos principais termos utilizados
no desenvolvimento da teoria e das convenções utilizadas para indicar os
elementos geométricos.
A ementa propõe, também, que se introduzam as construções elementares, que
são base para as construções mais elaboradas: retas perpendiculares, mediatriz
de um segmento, retas paralelas e ângulos e, pelo que foi indicado nos objetivos,
essas construções deverão ser feitas com régua e o compasso e com o software
GeoGebra que, devido à sua dinamicidade, pode proporcionar ao aluno, além da
metodologia das construções, algumas propriedades dos objetos matemáticos
estudados.
As construções de alguns Lugares Geométricos Planos são as que
tradicionalmente são tratadas nos livros de geometria. No último item, a ementa
cita o uso do software GeoGebra mas, pelo que vimos nos objetivos, não é
exatamente um item do conteúdo programático, e sim uma ferramenta que deve
ser utilizada nas aulas, o que indicamos como uma falha.
Os livros que fazem parte da bibliografia básica e da bibliografia complementar
são discutidos no item 4.2.3 (ver p.73).
Com relação à disciplina FG1M2, a Ementa diz:
“Neste componente curricular pretende-se oferecer ao aluno uma retomada dos conceitos de geometria plana estudados na educação básica, fazendo uma relação desses conceitos com os processos de ensino-aprendizagem e aprofundando os conhecimentos matemáticos, abordando de uma forma mais formal.” (MEC, 2011, p. 69)
74
Ao observar essa frase, notamos que o objetivo principal da disciplina é retomar
os conceitos de geometria plana estudados na Educação Básica, o que não inclui
as demonstrações e o estudo axiomático. Ao observar a grade de disciplinas,
percebemos que não há, no curso, outras disciplinas destinadas ao estudo de
geometria plana, ou seja, há duas opções a considerar-se: ou os alunos têm um
foco nas demonstrações em FG1M2 ou terminam o curso sem o aprofundamento
formal necessário nos conteúdos de Geometria Plana.
Os objetivos são “consolidar e ampliar o conhecimento sobre os conteúdos
específicos, buscando fazer uma análise crítica, capacitando, assim, o aluno a
uma re-elaboração e uma autonomia sobre tais conteúdos. ” Se considerarmos
que, na Educação Básica, as demonstrações devem fazer parte das aulas de
Matemática, consideramos que a disciplina Geometria Plana deveria ser
apresentada aos alunos num semestre posterior ao de Desenho Geométrico e não
concomitante, como está proposto na grade, para que os alunos apreendam as
demonstrações depois de terem estudado problemas geométricos com o auxílio
de construções geométricas, seja com régua e compasso, seja com o auxílio de
um software de geometria dinâmica.
Quanto ao Conteúdo Programático, está bem resumido e, no item que trata dos
Lugares Geométricos, há conceitos arrolados que não são lugares geométricos,
tais como triângulos, quadriláteros e polígonos.
A ementa deveria ser refeita com cuidado, para que os conteúdos fossem mais
bem organizados e que o rigor fosse observado. Fazemos a análise da bibliografia
indicada como básica e como complementar no que segue.
4.2.3 Análise dos Livros Didáticos Indicados na Bibliografia pela Ementa
REZENDE, E. Q. F. E outra. Geometria Euclidiana Plana. 2ª edição. Campinas:
Editora Unicamp. 2008.
Faz parte da Bibliografia Básica tanto da disciplina Desenho Geométrico quanto
da disciplina Fundamentos da Geometria I.
O nome completo do livro é Geometria Euclidiana Plana e Construções
Geométricas, o que mostra que tem conteúdos tanto de Geometria Plana como
de Construções Geométricas. É um bom livro para fazer a integração entre as
75
duas, uma vez que trata dos dois enfoques que podem ser dados à Geometria
Plana.
Os sete primeiros capítulos são dedicados à parte teórica de Geometria e, a partir
do oitavo, o foco recai sobre as construções geométricas, ou seja, a parte prática
da geometria.
Nos capítulos dedicados à parte teórica, as definições e os teoremas são
apresentados, sendo que nem todos os teoremas são seguidos da demonstração,
embora algumas apareçam no apêndice. Ao final de cada capítulo, é apresentada
uma lista de exercícios e, na maior parte deles, são pedidas demonstrações ou
provas de teoremas ou propriedades. Notamos que as autoras usam, nos
exercícios, os termos “mostre”, “prove” e “demonstre”, todos com o mesmo
sentido. Apenas alguns dos exercícios propostos são referentes a cálculos com a
aplicação de algum resultado do capítulo.
Segundo as autoras, o livro é dedicado a auxiliar alunos e professores dos cursos
de graduação e especialização em Matemática ou áreas afins. Podemos notar que
nem todos os assuntos referentes à geometria plana são abordados e que o livro
não contém um capítulo dedicado às respostas dos exercícios propostos.
Nos capítulos dedicados às construções geométricas, encontramos as principais
construções, com os procedimentos detalhados passo a passo. Algumas são
seguidas por justificativas, porém apenas a minoria.
Nos capítulos da segunda parte, ao final, são colocados exercícios relacionados
a construções geométricas com régua e compasso. O diferencial do livro, em
relação a outros, é que numa mesma obra temos a teoria e a prática, ou seja,
Geometria Plana e Desenho Geométrico.
Sentimos falta de referência ao uso de softwares de Geometria Dinâmica para
uso na aprendizagem de Geometria e como auxiliar nas construções geométricas,
já que a primeira edição foi escrita em 2008, época em que já havia inúmeros
softwares criados para este fim.
REZENDE, E. Q. F. e RODRIGUES, C. I. Cabri-Géomètre & a Geometria Plana -
2ª Edição. Campinas: Editora Unicamp, 2005.
Aparece apenas nas referências bibliográficas da disciplina Desenho Geométrico
e é destinado a um curso introdutório de geometria plana. Sugere atividades que
devem ser desenvolvidas com o software de Geometria Dinâmica Cabri-Géomètre
76
mas, segundo nossa análise, podemos utilizar as atividades com qualquer outro
software similar, como o GeoGebra, por exemplo, bastando adaptá-las às
especificidades do software utilizado.
Cada capítulo tem o formato do roteiro de uma aula completa e percebemos que
as autoras, provavelmente, tinham essa intenção, pois cada um deles é
relacionado à construção de um objeto matemático e o leitor é levado a observar
propriedades deste e a tirar conclusões sobre essas propriedades.
Os capítulos começam com construções bem simples, que vão ficando mais
complexas a cada novo capítulo e, nos capítulos finais, as construções são em
estilo de desafio, em que o leitor tem que usar tudo o que foi aprendido nos
capítulos anteriores.
Sentimos falta, nesse livro de um capítulo com sugestões para as construções
mais complicadas e para as demonstrações mais difíceis.
DOLCE, O. e POMPEU, J.N. Fundamentos de Matemática Elementar, Geometria
Plana. Volume 9. Última edição. São Paulo: Editora Atual. 2009.
Faz parte de uma coleção com 11 volumes, cada um tratando de um assunto
diferente, destinado aos alunos do Ensino Médio e que tenham interesse em
adquirir uma formação autônoma em Matemática. A última parte de cada volume
é composta por testes de vestibular, o que mostra que o livro pretende preparar
os alunos para isso.
A Editora Saraiva o edita desde 2013; de 1993 a 2012 foi editado pela Editora
Atual e, na década de 1970, pela Editora Moderna. No decorrer dos anos, houve
modificações e atualizações, mas nada que consideramos muito expressivo. As
principais mudanças foram na quantidade de exercícios de cada capítulo, que
foram aumentando com o decorrer do tempo, além do acréscimo de problemas
tirados de vestibulares.
O livro é composto por 19 capítulos e vai construindo a Geometria Plana por um
caminho tradicional, ou seja, uma pessoa que queira ter um conhecimento amplo
do assunto atingirá esse objetivo se estudar por esse livro e realizar todos os
exercícios propostos. O conteúdo abordado é referente ao que se deve conhecer
ao final do Ensino Médio tradicional, ou seja, o livro prepara o leitor e estudioso
para o vestibular, no conteúdo Geometria Plana.
77
Cada capítulo é apresentado de maneira tradicional, com definições e teoremas,
na maior parte das vezes demonstrados, e exemplos de exercícios resolvidos,
muitos deles de vestibular.
Em cada capítulo, após a teoria, encontramos uma série de exercícios, alguns
de demonstração. Os considerados mais difíceis vêm resolvidos, a maioria
envolvendo demonstração. Fechando alguns capítulos, há um texto de história da
matemática, relacionado ao assunto tratado no capítulo. No final do volume, temos
as respostas dos exercícios propostos, com exceção dos de demonstração. Após
essas respostas, há uma lista de testes de vestibular acompanhada, ao final, das
alternativas corretas. Os testes são separados por assunto, na mesma ordem em
que surgem no decorrer do volume.
Sentimos falta, nesse livro, da relação entre a teoria e a prática, ou seja, em
nenhum momento há construções com régua e compasso. Além de sua estrutura
ser extremamente tradicional e não atualizada com o passar dos anos. A primeira
edição foi escrita num ano em que não existiam ainda softwares para o ensino de
Geometria, mas os autores poderiam ter atualizado o livro, acrescentando
algumas atividades para serem resolvidas com algum dos softwares que foram
aparecendo ou, ainda, incluir algumas construções com régua e compasso.
BONJORNO, J. R., BONJORNO, R.E. e OLIVARES, A. Matemática: fazendo a
diferença. São Paulo: FTD, 2006.
Trata-se de uma coleção de 4 livros destinados ao Ensino Fundamental. Cada
um dos volumes tem o conteúdo tradicional para cada ano do curso (6° ao 9° ano)
e, em cada um deles, há alguns capítulos com Geometria.
Nos livros do 6° e do 7° ano a geometria é bem intuitiva, relacionada com objetos
do cotidiano, como, por exemplo, quando fala de ângulos e relaciona-os com
ponteiros do relógio analógico ou ainda com o movimento do ponteiro de uma
bússola. Interessante a ligação feita entre ângulos e um tópico de tratamento da
informação, para construir gráficos de setores. É a aplicação imediata do conteúdo
discutido.
Nos volumes destinados ao 8° e ao 9° ano, além de resultados imediatos,
aparecem as deduções de algumas fórmulas, que podemos considerar como
demonstrações simplificadas. Um exemplo é o uso da Semelhança de Triângulos
para deduzir as fórmulas de relações métricas em triângulos retângulos; ou
78
quando usa o Teorema de Pitágoras e as Razões Trigonométricas no Triângulo
Retângulo para encontrar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos de 30°, 45°
e 60°. O livro não trata do assunto radianos.
Acreditamos que essas deduções e aplicações de resultados de Geometria
podem estimular o aluno a começar a fazer demonstrações. Cabe ao professor
indicar que aquele procedimento é uma demonstração e explicar para que serve.
Sentimos falta da referência ao uso de softwares de Geometria Dinâmica nas
aulas de Geometria. Analisamos dois livros franceses no trabalho de Mestrado e
notamos que estes se referem ao software Cabri Géomètre sempre que tratam de
Geometria e indicam como resolver os exercícios com o auxílio desse software.
4.3 A Pesquisa
Para iniciar a pesquisa e para nossa organização, elaboramos um plano de
trabalho, que serviu como uma espécie de “diário de bordo” que era alimentado
com informações, ao final de cada encontro com os participantes.
4.3.1 Plano de Trabalho
Antes do contato com os participantes, tomamos contato com a coordenação do
curso de Licenciatura em Matemática da escola coparticipante. O coordenador do
curso nos deu autorização para realizar a pesquisa e forneceu-nos o horário das
aulas do curso. Percebemos que os alunos do segundo semestre tinham um
horário vago nas primeiras aulas de sexta-feira. Conversamos com os professores
que estavam com as disciplinas FG1 (Fundamentos para o ensino da Matemática
– Geometria 1) e DES (Desenho Geométrico) para explicar qual seria a nossa
intervenção e para não atrapalhar o andamento das aulas. A professora que
estava com a disciplina FGA (Fundamentos para o ensino da Matemática –
Geometria Analítica) sugeriu que seus alunos também fossem convidados, pois
nossa intervenção poderia ajudar sua disciplina, que tem alguns lugares
geométricos planos na ementa. Fomos à sala de aula dessas três turmas,
explicamos do que se tratava nossa pesquisa e convidamos os alunos a
participarem voluntariamente. Alguns se interessaram e comprometeram-se a
participar. Em seguida, reservamos um laboratório de informática para ser usado
por seis sextas feiras seguidas.
79
Elaboramos três atividades para serem usadas nesses encontros. A primeira,
chamada Atividade Zero, não gerou protocolos e apresenta uma série de
ferramentas do software GeoGebra, com o objetivo de instrumentar os
participantes para realizarem as demais atividades. A essa atividade
compareceram oito alunos, que assinaram o Termo de Consentimento Livre e
Esclarecido (TCLE) (ver Anexo B, p. 217). Pedimos, também que preenchessem
um questionário, no qual pedimos sexo, faixa etária, quais disciplinas já haviam
cursado e quais estavam cursando naquele semestre do curso de Licenciatura em
Matemática. Convidamos, também, três alunos dos semestres finais do Curso
para nos acompanhar nas atividades como observadores e eles aceitaram. Estes
observadores também assinaram o TCLE.
A Atividade 1, aplicada no segundo encontro, que usa o software GeoGebra, foi
inspirada nas pesquisas de De Villiers (2001) para incentivar a elaboração de
conjecturas sobre lugares geométricos planos e foi dividida em quatro partes, a
primeira com a reta mediatriz, a segunda com a circunferência, a terceira com a
bissetriz de um ângulo e a quarta com uma avaliação dos três assuntos. Nesse
dia, compareceram cinco dos participantes que vieram ao primeiro encontro e três
que ainda não haviam participado. Essa atividade gerou protocolos que são
analisados no próximo capítulo.
Após esse encontro, percebemos que não seria interessante aplicar a terceira
atividade, que já havíamos elaborado, sem antes fazer uma intervenção, que foi
feita no terceiro encontro, com o uso de uma apresentação em Power Point.
Discutimos com os participantes o que foi visto no segundo encontro e, em
seguida, aplicamos uma atividade que chamamos de Atividade 2, com o objetivo
de retomar os assuntos tratados no segundo encontro e continuar a discussão
sobre as conjecturas elaboradas, sempre visando a passagem da geometria da
observação para a geometria da demonstração (Parzysz, 2006), no caso desses
três lugares geométricos planos. Dos oito participantes que vieram ao segundo
encontro, seis compareceram ao terceiro e dois desistiram e não vieram mais. Um
participante que veio à Atividade Zero voltou a participar do quarto encontro em
diante.
No quarto encontro, aplicamos a primeira parte da Atividade 3, com o objetivo
de fazer um paralelo entre a atividade executada com o software GeoGebra e uma
demonstração feita no papel. Pretendíamos que os participantes percebessem
80
que, para definir a reta mediatriz de um segmento AB, como um lugar geométrico
plano, é necessário demonstrar que os pontos da reta mediatriz são equidistantes
dos pontos A e B, extremos do segmento, e que todos os pontos com esta
propriedade estão na mediatriz.
No quinto encontro, introduzimos o conceito de Lugar Geométrico Plano e
pedimos que os participantes fizessem um paralelo entre a definição de Lugar
Geométrico Plano e as propriedades que tinham observado para a reta mediatriz,
a circunferência e a bissetriz de um ângulo. O objetivo era que eles percebessem
que estes três objetos matemáticos são Lugares Geométricos Planos e que
podem ser definidos com o uso dessas propriedades.
No sexto e último encontro, aplicamos a segunda parte da Atividade 3, na qual
apresentamos os passos prontos de uma demonstração, feita no papel, e
direcionamos os participantes a elaborar uma outra demonstração.
Após o último encontro, enviamos um e-mail para os participantes e solicitamos
que estes escrevessem uma avaliação das atividades da pesquisa. Marcamos
uma data para encontra-los e pegar estas avaliações. A transcrição destas
avaliações está no Anexo D e o seu conteúdo será utilizado nas considerações
finais.
4.3.2 Caracterização dos participantes da Pesquisa
A pesquisa contou com nove participantes, alguns trabalharam em dupla e são
caracterizados abaixo.
P1 – Malu, trabalhou sozinha.
P2 – Rogerio, trabalhou sozinho, mas interagiu em alguns momentos com P6.
P3 – JotaJota, trabalhou com P5.
P4 – Cazuza, trabalhou com P7.
P5 – Nicius, trabalhou com P3.
P6 – Douglinhas, trabalhou com P2 e ajudou P8.
P7 – Elvis, trabalhou com P4.
P8 – Franco, trabalhou sozinho, mas teve ajuda de P6.
P9 – Lilica, participou das atividades a partir do terceiro encontro e, a cada dia,
trabalhou com um parceiro diferente.
P1 é do sexo feminino, tem 18 anos, já foi aprovada nas disciplinas FG1, DES e
FGA e hoje frequenta as aulas de FG2 (Fundamentos para o ensino da
81
Matemática - Geometria 2). Conhecia o software GeoGebra e já o tinha utilizado
nas aulas do curso, com a opção de Geometria.
P2 é do sexo masculino, tem 42 anos, já foi aprovado nas disciplinas DES, FG1
e FG2 e hoje está matriculado na disciplina FGA. Já conhecia o software
GeoGebra, começou inicialmente sozinho e, no decorrer da atividade, resolveu
interagir com o participante que estava no computador ao lado. Não compareceu
a partir do terceiro encontro, pois desistiu do curso de Licenciatura em Matemática.
P3 é do sexo masculino, tem 35 anos, já foi aprovado em DES e em FG1. Hoje
está matriculado na disciplina FGA e já conhecia o software GeoGebra.
P4 é do sexo masculino e tem 21 anos, não participou da Atividade Zero, mas
conhece o software e, por isso, pôde participar da Atividade 1. Já foi aprovado nas
disciplinas DES, FG1, FG2 e FGA e trabalhou em dupla com P7. Foi a dupla mais
coesa, pois P4 ajudou o colega com os conceitos geométricos, enquanto o colega
tinha mais facilidade na manipulação do software. Compareceu apenas ao
segundo encontro.
P5 é do sexo masculino e tem 23 anos. Pretende usar o software apenas quando
for solicitado por algum professor. Já foi aprovado nas disciplinas DES e FG1 e
atualmente está matriculado na disciplina FGA.
P6 é do sexo masculino e tem 20 anos. Está matriculado nas disciplinas DES,
FG1 e FGA. Já conhecia o software GeoGebra e tinha-o utilizado nas aulas do
curso, com a opção Geometria.
P7 é do sexo feminino e tem 18 anos. Já foi aprovada na disciplina DES e está
matriculada neste semestre nas disciplinas FG1 e FGA. Não participou da
Atividade Zero, mas já conhecia o software e, por isso pôde participar das demais
atividades.
P8 é do sexo masculino e tem 60 anos. Teve muita dificuldade para fazer a
Atividade Zero e não conseguiu formar uma dupla. Trabalhou sozinho, não se
entrosou com nenhum outro participante e nem pediu ajuda. Não conseguiu
terminar a Atividade 1 dentro do horário estipulado, pediu para levá-la para casa
e consideramos suas respostas junto com as dos outros participantes. Já foi
aprovado na disciplina DES e atualmente está matriculado na disciplina FG1.
P9 é do sexo feminino e tem 50 anos, participou da Atividade Zero e da Atividade
3. Trabalhou sozinha. Já foi aprovada na disciplina DES e está matriculada em
FG1. Já conhecia o software GeoGebra e pretende usá-lo sempre que possível.
82
No próximo capítulo, teremos a análise dos protocolos com as respostas dadas
pelos participantes, durante a aplicação das atividades.
83
CAPÍTULO 5
ANÁLISE DAS ATIVIDADES
Nesta sessão, apresentamos a análise das atividades desenvolvidas com os
estudantes que aceitaram voluntariamente participar, com base nas escolhas
teóricas que fizemos, e que constituem o Capítulo 3 desta tese. As atividades, com
o texto com que foram apresentadas a eles, estão nos Apêndices A (Atividade
Zero, ver p. 199), B (Atividade 1, ver p. 209), C (Atividade 2, ver p. 213) e D
(Atividade 3, ver p. 219). Para facilitar a escrita e a leitura das análises,
renomeamos os itens, que, então, são diferentes dos que aparecem no texto
original.
Para as análises, utilizamos os nove protocolos individuais e as avaliações feitas
por cinco dos participantes ao final da intervenção. Ao ler essas avaliações,
percebemos que se trata de considerações sobre a experiência vivida por eles e
não apenas avaliações. No Anexo D, estão as transcrições destas considerações.
Estruturamos este Capítulo da seguinte forma: 1. colocamos os enunciados dos
itens que consideramos interligados, em cada etapa da intervenção; 2. com as
respostas dadas a esses itens, montamos tabelas individuais, por participante; 3.
após cada uma das tabelas, apresentamos nossa análise dos protocolos do
respectivo participante e, quando é o caso, das opiniões dadas por ele sobre as
atividades.
A primeira atividade (ver Apêndice A, p. 199), que chamamos de Atividade Zero,
não gerou protocolos, pois tem o objetivo de familiarizar os participantes com o
software GeoGebra, versão 5.
Lembramos, como observado anteriormente, que os participantes haviam
cursado ou estavam cursando a disciplina Fundamentos para o Ensino da
Matemática – Geometria 1 e que já conheciam as definições de reta mediatriz de
um segmento, de circunferência e de bissetriz de um ângulo, que são figuras
geométricas que podem ser definidas como lugares geométricos (embora isso não
seja usual, pelo menos no caso da reta mediatriz e da bissetriz) e que, por essa
razão, foram escolhidas por nós para serem exploradas, por meio de atividades
fechadas, em que o usuário realiza passos pré-determinados, do tipo “Tome um
ponto sobre (um objeto do GeoGebra) e observe (uma característica qualquer
desse ponto)”. A partir desses passos, o participante é convidado a elaborar uma
84
conjectura, que entendemos ser uma propriedade matemática que parece ser
verdadeira, pela movimentação permitida pelo software, mas que precisa ser
demonstrada, pois o software apenas permite que essa propriedade seja
observada para um número finito de pontos e, ainda, aqueles que estão visíveis
na tela do computador, do tablet ou do celular.
Ao elaborar as atividades, partimos da hipótese que nossos participantes não
estavam cientes dessa necessidade e que essa conjectura, baseada na
movimentação dos pontos, é equivalente a uma frase matemática do tipo “se ...,
então ...”, pois o que se pode observar é que “se o ponto pertence a (um objeto
construído na tela do computador com o auxílio do GeoGebra), então é possível
observar (pelo tipo de movimentação solicitada para ser feita usando o dinamismo
do software) que vale (uma propriedade, quase sempre numérica)”, daí nossa
necessidade de definir aspecto computacional6 e nossa preocupação com
aspectos intuitivos numéricos7 e que essa estratégia, por si só, não equivale a
uma definição que, matematicamente, equivale a uma frase do tipo se e somente
se. Para ser entendida como tal, é preciso demonstrar a recíproca do que foi
observado, o que equivale a demonstrar que a propriedade conjecturada só vale
para os pontos da figura em foco. Ainda por essa razão, colocamos a
circunferência como uma das figuras exploradas, pois embora seja usualmente
definida como lugar geométrico, queríamos observar se nossos participantes,
futuros professores de Matemática da Educação Básica, estavam cientes de que
é preciso sempre trabalhar aspectos formais, que no caso da circunferência
envolvem justificar, de alguma forma, que a distância ao centro da circunferência
dos pontos que estão fora dela ou é maior ou é menor do que o raio.
Um dos motivos que nos levam a pensar dessa forma é o fato de acreditar que
os participantes estão habituados a receber definições sem uma discussão sobre
o que estas significam e de aceitar afirmações como verdadeiras, independente
das demonstrações.
Um aspecto que enfatizamos é que só podemos definir um lugar geométrico, a
partir de uma propriedade de seus pontos, se conseguirmos provar que apenas
6 Aspectos computacionais, pois, estas observações dependem exclusivamente da observação de
movimentos realizados na tela do computador ao utilizar o GeoGebra. 7 Aspectos intuitivos numéricos, pois, as deduções são feitas a partir da observação de medidas realizadas
utilizando os pontos construídos com o auxílio do GeoGebra.
85
estes possuem tal propriedade e pudemos concluir, a partir de nossas
observações, que esta foi a maior dificuldade encontrada pelos participantes.
Usamos o software GeoGebra na Atividade 1, cujo objetivo é de que os
participantes explorem propriedades métricas da reta mediatriz, da circunferência
e da bissetriz para elaborar conjecturas que, demonstradas e completadas,
permitem-nos definir essas figuras como lugares geométricos.
Independentemente das definições que conheciam, queríamos alertar os
participantes para a necessidade da demonstração de propriedades que foram
observadas pelo manuseio de um software de geometria e que isso pode ser feito
a partir do que é observado nas construções com o dinamismo do software.
Embora não tenhamos definido lugar geométrico durante a Atividade 1, tínhamos
como objetivo que, quando a definição fosse introduzida, na Atividade 2, os
participantes percebessem que o que foi feito na Atividade 1 estava relacionado à
definição de Lugar Geométrico.
Na Atividade 2, o software também foi usado e, em discussão com o grupo,
introduzimos o conceito de Lugar Geométrico Plano. Queríamos que
percebessem que a Atividade 1 pôde servir de incentivo para a elaboração de
conjecturas sobre a reta mediatriz, a circunferência e a bissetriz como lugares
geométricos planos, mas que, para que sejam definidos como tais, há
necessidade de recorrer à demonstração, tanto das conjecturas, como das
recíprocas. Na linguagem de Parzysz (2006), queríamos que passassem da
geometria de observação para a geometria de demonstração e que,
primordialmente, transitassem entre os paradigmas G1 e G2.
A Atividade 3 foi dividida em três partes. Na primeira, apresentamos as
resoluções dadas por três alunos fictícios, A, B e C, uma correta e duas não, a um
professor que solicita que os alunos mostrem que os pontos equidistantes das
extremidades de um segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ pertencem à reta mediatriz desse
segmento. O objetivo é trazer à tona a discussão sobre a necessidade da
demonstração. Após a leitura de cada uma das resoluções fictícias, pelos
participantes, fizemos algumas perguntas.
O Aluno A faz uma construção com o GeoGebra e observa que os pontos da
mediatriz são equidistantes dos pontos A e B e não se preocupa em observar que
apenas esses pontos têm tal propriedade.
86
A resolução do Aluno B é feita com papel e lápis. Ele demonstra que os pontos
da mediatriz são equidistantes dos pontos A e B, mas não que apenas esses
pontos possuem esta propriedade.
A resolução do Aluno C é realizada com papel e lápis. Além do que foi feito pelo
Aluno B, o aluno C mostra que a propriedade da equidistância vale apenas para
os pontos da mediatriz.
Solicitamos que os participantes respondessem perguntas sobre cada uma das
“demonstrações” e algumas outras que comparavam as várias soluções
encontradas pelos três alunos hipotéticos.
A segunda e a terceira partes da Atividade 2 foram elaboradas para explorar
aspectos formais lógicos, discutir com os participantes as etapas de uma
demonstração pronta e levá-los a elaborar as etapas de uma nova demonstração.
Na segunda parte da Atividade 3, apresentamos aos participantes os conceitos
hipótese e tese e pedimos que os identificassem em alguns teoremas
apresentados. Alguns desses teoremas são do tipo “se e somente se” e pedimos,
também que identificassem a hipótese e a tese da “ida” e da “volta”. Embora
tenhamos utilizado Lugares Geométricos Planos para alavancar a necessidade da
demonstração, em nossa pesquisa, na Atividade 3, nem todos os teoremas
apresentados tem essa característica, porque queríamos iniciar com teoremas
mais simples até chegar nos do tipo “se e somente se”, nos quais se enquadram
os Lugares Geométricos que aparecem apenas nos últimos itens da segunda
parte da Atividade 3.
Na terceira parte da Atividade 3, apresentamos um teorema demonstrado passo
a passo, no qual partimos da hipótese até chegar à tese. Explicamos como foi
feita essa demonstração e, em seguida, apresentamos alguns teoremas para
serem demonstrados. Nos primeiros itens, direcionamos as demonstrações e, no
último, pedimos que, autonomamente, demonstrassem um teorema relacionado a
um Lugar Geométrico.
5.1 Análise da Atividade 1
Esta atividade foi realizada por 8 participantes (P9 não compareceu), que
permaneceram diante do computador, interagindo com o software GeoGebra, e
as respostas aos itens são resultado da observação pela movimentação de pontos
87
e das medidas fornecidas pelo software. Há itens em que o participante apenas
interage com o GeoGebra e outros em que, além dessa interação, responde a um
item.
Optamos por escrever, usando a cor azul, os itens apresentados aos
participantes, para diferenciar de nossa análise, que escrevemos com a cor preta.
Observamos o formalismo usado pelos participantes ao responder nossas
perguntas, se ficam apenas na geometria de observação, isto é, respondem com
base no que veem na tela do computador (aspecto computacional) ou se, por meio
de algum resultado teórico buscado na memória (aspecto formal, intuitivo ou
algorítmico), passam para a geometria de demonstração. Procuramos analisar, a
partir das respostas dadas aos itens, se foram elaboradas com observações
dentro dos paradigmas G0, G1, G2 ou G3, ou se houve interação entre dois
destes.
Para essa classificação, usamos:
Paradigma G0: só observação, a partir da movimentação (aspecto
computacional). Consideramos que o participante está no paradigma G0 quando
suas respostas estão relacionadas apenas a aspectos computacionais, ou seja,
que são baseadas apenas em observações na tela do computador, em casos bem
particulares, quase sempre intuitivo numéricos, sem o dinamismo do software e
sem o uso de aspectos formais. Na verdade, neste paradigma, o participante não
está fazendo geometria.
Paradigma G1: observação nos casos particulares fornecidos pelo software e
sem a preocupação de generalização. Por exemplo, concluir que o que foi
observado para alguns pontos vale para todos (aspectos computacional e formal
ou intuitivo numérico) e sem preocupação de generalizar o desenho, modificando-
o com o dinamismo do software. O participante pode até basear-se em algum
resultado teórico. No paradigma G1, o participante observa o que foi feito com o
software, faz deduções e conclui uma propriedade, a partir do observado. Quando
um participante consegue elaborar uma conjectura, a partir do observado, para
alguns poucos pontos, sem usar argumentos de generalização, ele está no
paradigma G1.
Consideramos paradigma G1 quando a resposta mostra que o participante
elabora suas respostas baseado na geometria de observação, ou seja, suas
88
respostas são de acordo com o que observa, sem preocupação em provar a
veracidade ou a generalização do que afirma.
Paradigma G2: observação e algum resultado teórico, que vai além do
meramente observado. No paradigma G2, o aluno se preocupa em mostrar que
suas conjecturas são verdadeiras, pela demonstração ou por alguma justificativa
teórica. Neste caso, o desenho ou o que é observado na tela do computador, serve
apenas como aspecto intuitivo para alavancar aspectos algorítmicos e formais.
Consideramos paradigma G2 quando as respostas incluem aspectos ligados à
geometria de demonstração, ou seja, quando o participante observa o desenho e
argumenta, com aspectos algorítmicos e formais, que justificam a generalização
do que foi observado e percebe que é possível (e preciso) ¨demonstrar¨ o que foi
colocado como conjectura. No caso da definição de lugares geométricos, esse
desafio vai além, pois é preciso perceber que existe uma frase matemática
¨escondida¨ e que é do tipo ¨se ... e só se ...¨.
Paradigma G3: demonstração sem auxílio de desenho (aspecto figural) e
baseada estritamente em axiomas, feita com papel e lápis. Neste caso, as
deduções dependem apenas de conceitos e axiomas da Geometria.
Não temos como objetivo que os participantes da nossa pesquisa cheguem a
fazer demonstrações dentro do paradigma G3.
Para a análise dos aspectos, observamos o uso de aspectos formais,
algorítmicos e intuitivos conforme as ideias de Fischbein (1994); além disso,
observamos o uso de aspectos intuitivos numéricos, formais lógicos e
computacionais, de acordo com nossas definições, que descrevemos na página
57 deste texto.
Consideramos que aspectos formais são usados quando o participante utiliza
definições ou resultados teóricos e percebe a necessidade da demonstração para
poder comprovar a veracidade do que está afirmando. Aspectos algorítmicos
são usados quando, para formular a resposta, o participante utiliza alguma técnica
ou algum procedimento, como, por exemplo, ao analisar os triângulos que
pretende mostrar que são congruentes, coloca adereços no triângulo para
identificar lados e ângulos congruentes. Consideramos que o participante utiliza
aspectos intuitivos quando sua resposta não está relacionada diretamente aos
procedimentos que realizou durante a atividade, mas sim a conhecimentos
anteriores ou deduções realizadas com o uso da intuição. Consideramos o uso de
89
aspectos computacionais quando deduções são feitas apenas a partir de
observações feitas a construções que estão na tela do computador. Consideramos
o uso de aspectos intuitivos numéricos quando as deduções são feitas com
base em medidas realizadas com ou sem o uso do software. Finalmente,
consideramos o uso de aspectos formais lógicos quando o participante faz
deduções do tipo “se... então”.
Os itens da primeira parte da atividade 1 são relacionados ao estudo da reta
mediatriz de um segmento de reta. Como os participantes já frequentaram aulas
de geometria na Educação Básica e em algumas disciplinas do curso superior,
pressupusemos que já conhecem a definição de reta mediatriz como sendo “a reta
perpendicular ao ponto médio de um segmento de reta”. Dessa forma, nosso
objetivo, com essa parte da atividade, é que os participantes tomem contato com
uma propriedade importante das retas mediatrizes, que é a de que todos pontos
da reta mediatriz são equidistantes dos extremos do segmento de reta e que
apenas estes possuem esta propriedade. Além disso, desejamos que os
participantes elaborem uma conjectura a respeito desses pontos e percebam que,
se a demonstrarem, podem elaborar uma definição de reta mediatriz, diferente da
que já conheciam e que está baseada nessa propriedade. Na atividade 2,
mostramos que é possível definir a reta mediatriz como um Lugar Geométrico
Plano.
1A.1 Abra uma página nova no GeoGebra. Tire a opção de exibir os eixos
coordenados.
1A.2 Marque 2 pontos distintos na tela, que serão nomeados automaticamente A
e B.
1A.3 Trace o segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
1A.4 Determine a mediatriz do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
1A.5 Coloque um ponto sobre a mediatriz. Certifique-se que esse ponto está
realmente sobre a reta, movimentando o ponto. Ele não poderá sair da reta. Esse
ponto será nomeado automaticamente C.
90
Nos itens 1A.1 a 1A.5 não há perguntas a serem respondidas e os participantes
só precisam de aspectos computacionais para “obedecer” aos comandos
solicitados.
1A.6 Determine a distância do ponto A ao ponto C e do ponto B ao ponto C.
Compare essas duas medidas. O que você observa?
1A.7 Movimente o ponto C sobre a mediatriz e verifique o que acontece com as
distâncias AC e BC. O que você observa?
1A.8 Com base no que você observou, elabore uma conjectura sobre o conjunto
dos pontos que pertencem à mediatriz traçada do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
1A.9 A partir de sua conjectura, escreva uma definição para a mediatriz de um
segmento.
1A.10 Marque um ponto D que não esteja na mediatriz e determine a distância do
ponto D ao ponto A e do ponto D ao ponto B. Movimente o ponto D pela tela e
compare essas distâncias com o que acontece com o ponto C.
1A.11 A definição que você escreveu no item 9 pode ser modificada ou
completada, considerando o observado no item 10? Se sim, reescreva essa
definição. Justifique sua resposta.
Montamos tabelas com as respostas dadas aos itens 1A.6 a 1A.11 para cada
participante, pois entendemos que estão relacionadas, e comparamo-las, para
analisar a coerência das respostas. Com relação ao item 1A.8, que trata das
conjecturas, classificamo-las em três categorias.
E – Conjecturas coerentes com o que foi possível observar nos itens anteriores,
ou seja, que os pontos da reta mediatriz equidistam dos extremos do segmento
AB.
AE – Conjecturas que consideram mais do que é possível observar nos itens
anteriores, como por exemplo “que são todos os pontos que equidistam dos
extremos do segmento AB”.
NE – Não foi possível entender o que o participante quis dizer com o que
escreveu, a menos que fizéssemos uma entrevista.
O item 1A.9 foi elaborado com o intuito de verificar se os participantes definem
reta mediatriz a partir de suas conjecturas, sem recorrer a argumentos não
91
explorados durante a atividade, isto é, se percebem que, sem testar os pontos que
estão fora da reta mediatriz não é possível dar uma definição.
No Quadro 2, colocamos as respostas de P1 aos itens 1A.6 a 1A.11.
Quadro 2: Respostas de P1 para os itens 1A.6 a 1A.11
Item Respostas
1A.6 As duas medidas são iguais.
1A.7 As distâncias 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ permanecem iguais.
1A.8 O conjunto dos pontos que pertence à mediatriz do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ são
equidistantes dos pontos A e B.
1A.9 Mediatriz de um segmento é uma reta formada pelos pontos equidistantes da
extremidade do segmento.
1A.10 Quando o ponto pertence à reta como é o caso do ponto C as distâncias
permanecem iguais. Diferente do que ocorre quando o ponto está fora dela,
como é o caso do ponto D em que as distâncias são diferentes conforme a
localização do ponto.
1A.11 Não, para definição anterior considera que a reta formada pelos pontos
equidistantes.
P1 observa corretamente que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos
extremos do segmento de reta. P1 elabora uma conjectura que está de acordo
com o que foi observado nos itens anteriores, e dessa forma, podemos classificar
sua conjectura com E. P1 escreve uma conjectura que contempla o que observou,
porém, na definição, diz que a reta mediatriz é formada pelos pontos equidistantes
dos extremos, o que quer dizer que considera que não existem outros pontos no
plano que são equidistantes dos extremos do segmento, mas estes ainda não
foram considerados na atividade. P1 não percebe que para dar a definição precisa
provar que apenas esses pontos possuem a propriedade. P1 observa que os
pontos fora da reta mediatriz não são equidistantes, mas, ao dizer que esta
propriedade está relacionada a uma reta, não fica claro se a reta que está
considerando é a reta mediatriz. Finalmente, no item 1A.11, P1 não vê
necessidade de provar que os pontos fora da reta mediatriz não são equidistantes
dos extremos e isso mostra que P1 tem dificuldade com aspectos formais lógicos.
P1 usa aspectos computacionais no paradigma G1, pois percebeu a propriedade
92
dos pontos da reta mediatriz apenas com o dinamismo do software, mas não
mostrou ter percebido a necessidade de demonstrar ou justificar esta propriedade.
No Quadro 3, colocamos as respostas de P2 aos itens 1A.6 a 1A.11.
Quadro 3: Respostas de P2 aos itens 1A.6 a 1A.11
Item Respostas
1A.6 Que são congruentes.
1A.7 Se mantêm congruentes.
1A.8 𝐷𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝐷𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅
1A.9 Todos os pontos estão à mesma distância de A e B.
1A.10 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 6,97 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ̅ = 4,29, por não estar na mediatriz as distâncias mudam.
1A.11 Somente os pontos da mediatriz mantêm à mesma distância de A e de B.
P2 percebe que cada ponto da reta mediatriz é equidistante dos extremos do
segmento de reta. Classificamos a conjectura de P2 como NE. Podemos imaginar
que P2 pretendia escrever 𝑑𝐴𝐶 = 𝑑𝐵𝐶, o que seria correto, mas não podemos ter
certeza, a não ser que fizéssemos uma entrevista.
Para analisar as respostas de P2, vamos considerar que 𝐷𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ =𝐷𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ quer dizer que
¨a distância de A a C é igual à distância de B a C¨, como dissemos anteriormente.
Com isso, a ̈ definição¨ que P2 escreve é equivalente à conjectura, mas não é uma
definição, conforme já comentamos.
P2 define reta mediatriz considerando apenas o que pôde ser visto até então e
não percebe que apenas essa propriedade não é suficiente para dar uma definição
de reta mediatriz. Na constatação sobre os pontos exteriores à reta mediatriz, usa
a distância de um dos pontos aos extremos e não generaliza a resposta e, por
último, ao comparar a definição dada em 1A.9 com o detectado em 1A.10, mostra
que percebeu que, para definir reta mediatriz. é necessário analisar todos os
pontos do plano. Podemos perceber que P2 tem dificuldade com aspectos formais
lógicos. P2 usa aspectos computacionais e intuitivos numéricos e faz articulação
no paradigma G1, pois responde baseado apenas no que pôde observar na tela
do computador. Como não entregou as considerações que solicitamos ao final das
atividades, não pudemos refinar nossa análise.
No
93
Quadro 4, colocamos as respostas de P3 aos itens 1A.6 a 1A.11.
Quadro 4: Respostas de P3 aos itens 1A.6 a 1A.11
Item Respostas
1A.6 Que as distâncias têm medidas iguais.
1A.7 À medida que o ponto C se move sobre a reta o valor das distâncias muda,
mas permanece igual para os dois segmentos (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ) 1A.8 Cada ponto da reta mediatriz tem a mesma distância dos extremos.
1A.9 A mediatriz é o lugar geométrico de todos os pontos que tem a mesma
distância para os extremos do segmento.
1A.10 Primeiro, as distâncias são diferentes. A medida que D se move o valor das
distâncias muda e as diferenças permanecem 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ ≠ 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ .
1A.11 Não. A definição dada contém a característica da propriedade da mediatriz.
P3 percebe que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos extremos do
segmento de reta. P3 responde citando uma característica dos pontos da reta
mediatriz que observou durante a atividade, exatamente como esperávamos, já
que pedimos que fizesse uma conjectura sobre o conjunto dos pontos da reta
mediatriz, portanto podemos classificar sua conjectura com E.
P3 escreve uma conjectura que está de acordo com o que foi observado, mas dá
uma definição que, embora correta, considera além do observado. Além disso, P3
usa o conceito de lugar geométrico, o que indica que pode ter se baseado em
conhecimentos anteriores e não se ateve ao uso do software.
Ao movimentar o ponto D pela tela, P3 percebe que os pontos não são
equidistantes dos extremos do segmento de reta, porém, ao ser questionado sobre
a definição, conclui que a definição escrita anteriormente já está completa, não
percebe a necessidade de verificar os pontos que estão fora da reta mediatriz
sobre a propriedade da equidistância. P3 tem dificuldade com aspectos formais
lógicos, pois não consegue articular os conhecimentos, de modo a chegar a uma
definição formal. P3 usa aspectos computacionais e intuitivos no paradigma G1.
Embora P3 use a expressão lugar geométrico, que poderia fazer com que
considerássemos que está no paradigma G2, ao dizer que considera a definição
94
que não leva em conta os pontos que estão fora da mediatriz como correta, faz
com que consideremos que ainda está no paradigma G1.
Na avaliação solicitada, podemos considerar que, ao final da pesquisa, P3 está
no paradigma G2, pois percebe a necessidade da demonstração.
No
Quadro 5, colocamos as respostas de P4 aos itens 1A.8 a 1A.11.
Quadro 5: Respostas de P4 aos itens 1A.8 a 1A.11
Item Respostas
1A.6 São iguais.
1A.7 Continuam iguais.
1A.8 Seria todos os pontos que tem a mesma distância a A e a B.
1A.9 Todos os pontos que têm a mesma distância entre o ponto A e o ponto B.
1A.10 As distâncias entre A e B são diferentes.
1A.11 Não já que um ponto fora da mediatriz não tem a mesma distância até A e B.
P4 percebe que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos extremos do
segmento de reta. Vamos classificar a conjectura de P4 com AE, pois P4 diz que
todos os pontos que possuem a propriedade da equidistância estão na reta
mediatriz e isso não pôde ser observado apenas com o que foi feito nos itens
anteriores. P4 escreve uma definição equivalente à conjectura dada, mas como
considera além do que poderia ser observado com o uso do software, nos itens
anteriores, podemos dizer que P4 não percebe que, para afirmar que a reta
mediatriz possui todos os pontos que são equidistantes dos extremos do
segmento de reta, teria que provar que os pontos que estão fora da reta mediatriz
não são equidistantes.
Ao escrever sobre os pontos que estão fora da reta mediatriz, P4 escreve uma
frase sem sentido e que não está relacionada com os pontos que pedimos que
observasse. P4 não percebe que, para definir a reta mediatriz como lugar
geométrico, precisa observar todos os pontos do plano, o que mostra que tem
dificuldade com aspectos formais lógicos. P4 usa aspectos computacionais no
paradigma G1 e mostra dificuldade com aspectos formais lógicos.
P4 participou de apenas um dia da pesquisa e não entregou a avaliação
solicitada, o que nos impede de fazer uma análise mais refinada de suas
respostas.
95
No Quadro 6, colocamos as respostas de P5 aos itens 1A.6 a 1A.11.
Quadro 6: Respostas de P5 aos itens 1A.6 a 1A.11
Item Respostas
1A.6 A distância de A até C é igual à distância de B até C.
1A.7 As distâncias do ponto C aos extremos do segmento continuam iguais.
1A.8 Mediatriz é o conjunto de pontos que equidistam de A e equidistam de B a mesma distância.
1A.9 Tomado um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , pelo seu ponto médio passa uma reta tal que todos os pontos pertencentes a ela equidistam dos extremos formando dois segmentos do mesmo tamanho.
1A.10 A distância de D até os extremos são diferentes, exceto quando está sobre a mediatriz.
1A.11 Não.
P5 percebe que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos extremos do
segmento de reta e, na conjectura, define reta mediatriz como o conjunto de
pontos e, para escrever dessa forma, usa mais do que foi observado na atividade,
portanto a classificamos com AE.
Na conjectura, P5 escreve além do que se pede para observar e dá uma definição
de reta mediatriz, que embora correta, porque é do tipo “se e só se”, não é o que
se pede; podemos dizer que não percebe a diferença entre o que escreve como
conjectura e o que dá como definição, o que mostra que tem dificuldade com
aspectos formais lógicos, ou seja, P5 não percebe que, para dar a definição,
precisa provar a sua conjectura.
P5 constata corretamente que os pontos que estão fora da reta mediatriz não
são equidistantes dos extremos, mas não percebe que esta constatação é
necessária para a definição de reta mediatriz, o que mostra que tem dificuldade
com aspectos formais lógicos. P5 usa aspectos computacionais no paradigma G1
e tem dificuldade com aspectos formais lógicos.
Consideramos que P5 está no paradigma G1 porque mostrou no item 1A.11 que
não percebe ainda que, para definir reta mediatriz, a partir da propriedade, é
necessário mostrar que apenas os pontos dela possuem tal propriedade.
Na avaliação, P5 diz que já foi aprovado nas disciplinas Geometria Plana e
Desenho Geométrico, mas que ainda tem dúvidas nos conteúdos de Geometria e
isso provou-se verdade ao analisarmos suas respostas.
96
No Quadro 7, colocamos as respostas de P6 aos itens 1A.6 a 1A.11.
Quadro 7: Respostas de P6 aos itens 1A.6 a 1A.11
Item Respostas
1A.6 Observo que a distância de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é congruente a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
1A.7 A distância entre os mesmos segmentos são congruentes.
1A.8 Os pontos da mediatriz distam igualmente nos pontos extremos de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
1A.9 É uma reta perpendicular a um determinado segmento e que passa pelo ponto médio do mesmo.
1A.10 Qualquer ponto da mediatriz terá distâncias iguais aos extremos do segmento
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , já o ponto fora da mediatriz ocorre ao contrário. 1A.11 Não.
P6 indica que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos extremos do
segmento de reta. Classificamos a conjectura de P6 como E, pois, P6 relata uma
característica que observa nos pontos da reta mediatriz, a partir da atividade
realizada nos itens anteriores, porém P6 escreve uma definição que não decorre
imediatamente de sua conjectura. Para saber qual a justificativa que tem para a
perpendicularidade, precisaríamos fazer uma entrevista, para saber se usou
conhecimentos anteriores ou se se baseou no visual, característico do paradigma
G1.
A conjectura de P6 está de acordo com o observado, mas escreve uma definição
que usa uma propriedade da reta mediatriz que não foi explorada na atividade. P6
percebe que os pontos que estão fora da reta mediatriz não são equidistantes dos
extremos, mas não mostra ter percebido por que é necessário considerar esses
pontos para definir reta mediatriz, o que mostra dificuldade com aspectos formais
lógicos. P6 usa aspectos computacionais e articula os paradigmas G1 e G2. Não
podemos considerar que P6 está no paradigma G2, pois não percebe ainda que
é necessário mostrar que apenas os pontos da mediatriz possuem a propriedade
para poder classificar esta conjectura como verdadeira. Suas considerações finais
não trouxeram informações que pudessem reforçar nossa análise.
No Quadro 8, colocamos as respostas de P7 aos itens 1A.6 a 1A.11.
97
Quadro 8: Respostas de P7 aos itens 1A.6 a 1A.11
Item Respostas
1A.6 As distâncias são iguais pois o ponto C está localizado na mediatriz.
1A.7 Continua são iguais.
1A.8 São todos os pontos que se localizam a mesma distância de A e B.
1A.9 Mediatriz é o conjunto de pontos que se localizam a mesma distância de A e B.
1A.10 DA > DB ao movimentar pela tela vemos uma variação de distâncias.
1A.11 O outro ponto não influencia pois não está na mediatriz.
P7 justifica que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos extremos com
base em aspectos formais adquiridos anteriormente, ao afirmar que as distâncias
são iguais pois o ponto pertence à reta mediatriz, informação que não é explícita
apenas obedecendo aos comandos dados.
P7 faz uma conjectura que considera que apenas os pontos da reta mediatriz
são equidistantes dos extremos do segmento de reta; isso não poderia ser
observado apenas com o que foi realizado nos itens anteriores; portanto,
classificamos sua conjectura com AE.
P7 escreve uma definição que é equivalente à conjectura dada, mas como
considera além do que poderia ser observado com o uso do software, podemos
dizer que P7 não percebe que, para afirmar que a reta mediatriz possui todos os
pontos que são equidistantes dos extremos do segmento de reta, teria que provar
que os pontos que estão fora da reta mediatriz não são equidistantes.
Ao analisar os pontos exteriores à reta mediatriz, P7 conclui que DA > DB, essa
desigualdade não é sempre verdadeira e depende da posição que o ponto D
ocupa no plano. Ao ser questionado sobre a definição, usando a propriedade dos
pontos D, P7 diz que a observação sobre os pontos exteriores à reta mediatriz não
influencia na definição de reta mediatriz e isso mostra que P7 tem dificuldade com
aspectos formais lógicos. P7 usa aspectos computacionais e intuitivos no
paradigma G1, pois não considera necessário analisar os pontos que estão fora
da mediatriz para considerar a propriedade verdadeira. P7 não entregou as
considerações que solicitamos ao final da atividade.
No Quadro 9, colocamos as respostas de P8 aos itens 1A.6 a 1A.11.
98
Quadro 9: Respostas de P8 aos itens 1A.6 a 1A.11
Item Respostas
1A.6 AC̅̅̅̅ = 5,2 e BC̅̅̅̅ = 5,20 → AC̅̅̅̅ ≡ BC̅̅̅̅ .
1A.7 Conforme o ponto C muda de lugar na mediatriz, altera a distância de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Sempre iguais. 1A.8 A mediatriz divide o lado próximo ao ângulo em duas partes iguais
perpendicularmente. 1A.9 Toda reta perpendicular ao ponto médio de um segmento (lado oposto de um
ângulo).
1A.10 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ = 8,23 e 𝐷𝐵 = 4,28, se movimenta D, o C permanece inalterado.
1A.11 Não.
P8 percebe que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos extremos do
segmento de reta e usa as medidas aferidas para justificar sua resposta.
Classificamos a conjectura de P8 com NE, pois P8 se referiu a um ângulo que
não faz parte da figura proposta; só podemos saber como pensou após uma
entrevista.
Não conseguimos entender exatamente o que P8 quer dizer com sua conjectura,
mas vamos tentar entender o que P8 escreve na definição de reta mediatriz. Se
não considerarmos a expressão lado oposto de um ângulo, que P8 coloca entre
parênteses, podemos observar que escreve uma definição que não está baseada
no que viu na atividade, ou seja, o fato de a reta mediatriz ser perpendicular ao
ponto médio do segmento de reta. Ao escrever toda reta na definição, não
sabemos se P8 considera as retas do espaço tridimensional ou se não está
considerando a unicidade da reta perpendicular no plano.
P8 usa um ponto particular, fora da reta mediatriz, para observar que este não é
equidistante dos extremos e não generaliza sua resposta. Ao ser questionado
sobre o uso dos pontos D na definição, P8 responde apenas com a palavra “não”,
o que mostra que não percebe que é necessário observar todos os pontos do
plano, antes de definir-se reta mediatriz. Observamos que P8 tem dificuldade em
comunicar com um vocabulário formal e de relacionar-se com elementos formais
da Geometria, o que nos mostra que tem dificuldade com aspectos formais
lógicos. P8 usa aspectos computacionais e intuitivos numéricos no paradigma G1,
pois ainda apresenta muita dificuldade em se comunicar usando a linguagem
formal. P8 não entregou a avaliação final solicitada.
99
Após analisar esta primeira parte da Atividade 1, podemos notar que os
participantes têm muita dificuldade na comunicação de suas descobertas, ou seja,
não têm aspectos formais como, por exemplo, quando P5 escreve no item 1A.8
que os pontos equidistam de A e equidistam de B. Com exceção de P2, todos os
outros não percebem que, para definir a reta mediatriz como lugar geométrico, é
necessário demonstrar que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos
extremos do segmento de reta e que apenas esses pontos possuem tal
propriedade, o que mostra que, até este ponto da atividade, não passaram da
geometria da observação para a geometria da demonstração. Mostram, também,
aspectos computacionais para extrair propriedades dos pontos da reta mediatriz.
Como os participantes da pesquisa são alunos ingressantes do curso de
Licenciatura em Matemática e ainda terão pela frente muitas disciplinas voltadas
quase que exclusivamente às demonstrações, como por exemplo, Teoria dos
Números, Álgebra e Análise, verificamos que o curso precisa, no seu decorrer,
desenvolver esta habilidade nos alunos; porém, vale salientar que após as duas
disciplinas de Geometria, DES e FG1, que estavam cursando no segundo
semestre, só terão apenas mais uma disciplina de Geometria, dedicada às
demonstrações, que é Fundamentos para o Ensino da Matemática – Geometria 2,
no terceiro semestre do curso. A disciplina Geometria não Euclidiana, que se
encontra no oitavo semestre, não tem preocupação com as demonstrações, mas
sim um enfoque histórico.
A segunda parte da Atividade tem os seguintes itens:
1B.1 Retire os eixos do plano da tela do GeoGebra e marque dois pontos distintos
que serão nomeados automaticamente A e B.
1B.2 Construa uma circunferência com centro em A e passando por B.
1B.3 Coloque um ponto C sobre a circunferência. Cerifique-se que esse ponto está
sobre a circunferência, movimentando-o.
1B.4 Determine a distância do ponto A ao ponto C. Movimente o ponto C pela
circunferência e perceba o que acontece com essa distância.
1B.5 Coloque um ponto D fora da circunferência.
1B.6 Determine a distância de A a D. Compare essa distância com a distância
encontrada anteriormente (de A a C).
100
1B.7 Movimente o ponto D e perceba o que acontece com a distância dele a A,
sempre comparando com a distância de A a C.
1B.8 Complete a afirmação: A distância de A a D é sempre __________ que a
distância de A a C.
1B.9 Agora coloque um ponto E na região interior da circunferência, e faça o
mesmo que foi feito com o ponto D.
1B.10 Complete a afirmação: A distância de A a E é sempre __________ que a
distância de A a C.
1B.11 Sabendo que o ponto A é denominado centro da circunferência e a distância
de A a B é chamada raio da circunferência, compare o que você observou com os
pontos C, D e E. Escreva uma conjectura que relacione as distâncias calculadas.
Justifique sua resposta.
1B.12 Escreva uma definição para a circunferência, utilizando as observações
efetuadas nos itens anteriores.
Para analisar a segunda parte da Atividade 1, montamos tabelas com as
respostas dos itens 1B.4 a 1B.12 para cada participante, pois entendemos que
estão relacionadas, e comparamo-las, para analisar a coerência das respostas.
Além disso, estabelecemos três categorias para as conjecturas dadas.
E – Conjecturas coerentes com o que foi possível observar nos itens anteriores,
ou seja, que apenas os pontos da circunferência estão a uma mesma distância do
centro.
CE – A conjectura contém algum conceito matematicamente equivocado, como,
por exemplo, usa um ponto como sendo raio da circunferência.
ME – Indica que a conjectura não traz a propriedade solicitada, como, por
exemplo, diz que os pontos D e E não estão na circunferência, mas não indicam
qual propriedade eles têm.
Na definição de circunferência, usamos os conceitos de raio e de sua medida.
Como os dois principais livros didáticos que aparecem na ementa do curso
frequentado pelos participantes consideram raio como sendo a distância do centro
a qualquer um dos pontos da circunferência, na nossa análise, aceitamos quando
o participante chama essa distância simplesmente de raio e não de medida do
raio, como consideramos mais correto.
101
Para verificar a existência dos diversos aspectos referentes às ideias de
Fischbein (1994) e os paradigmas da teoria de Parzysz (2006) usamos, na análise,
as mesmas observações consideradas na análise da primeira parte desta
atividade.
No Quadro 10, colocamos as respostas de P1 aos item 1B.4 a 1B.12.
Quadro 10: Respostas de P1 aos itens 1B.4 a 1B.12
Item Respostas
1B.4 A distância permanece a mesma.
1B.6 A distância de A a D é maior do que a distância de A a C.
1B.7 A distância de A a D se altera conforme o ponto é deslocado pois essa
distância é sempre maior que a anterior.
1B.8 Maior
1B.10 Menor
1B.11 Dados os pontos A, B e C e uma circunferência 𝜆 de centro A passando por B. Quando C pertence a 𝜆 a distância entre A e C é igual ao raio, quando C é
interior a 𝜆 a distância é menor que o raio e quando C é exterior a 𝜆 a distância é maior que o raio.
1B.12 Circunferência é o conjunto de pontos equidistantes a um ponto.
Podemos classificar a conjectura de P1 com a categoria E, pois, P1 usa apenas
o que viu na tela do computador para escrever a conjectura sobre circunferência.
P1 percebe que, quando o ponto é colocado sobre a circunferência (ponto C), a
distância, em relação ao centro, permanece sempre a mesma. Quando pedimos
um ponto D fora da circunferência, P1 considera apenas os pontos da região
exterior e responde que a distância em relação ao centro é sempre maior que a
medida do raio. Quanto aos pontos da região interior (pontos E), P1 percebe que
a distância ao centro é sempre menor que a medida do raio.
P1 escreve uma conjectura que está de acordo com o que foi observado nos
itens anteriores e a definição está coerente com a conjectura. P1 usa aspectos
computacionais e formais lógicos no paradigma G2, pois escreve uma definição
que considera todos os pontos do plano.
No Quadro 11, colocamos as respostas de P2 aos item 1B.4 a 1B.12.
102
Quadro 11: Respostas de P2 aos itens 1B.4 a 1B.12
Item Respostas
1B.4 Não se altera pois 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 6,05
1B.6 𝐴𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅ = 9,01
1B.7 A distância se altera.
1B.8 Maior
1B.10 Menor
1B.11 Somente 𝐴𝐵 se mantém constante, já 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ se alteram.
1B.12 Conjunto de pontos que estão à mesma distância de determinado ponto.
Ao considerar os pontos sobre a circunferência e os na região exterior, P2 usa a
distância de pontos particulares e não generaliza as respostas. Para os pontos
fora da circunferência, considera apenas os pontos na região exterior. Afirma,
corretamente, que os pontos localizados na região interior da circunferência estão
a uma distância do centro menor do que a medida do raio. Na conjectura, P2
escreve que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ se alteram, mas 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ tem a mesma medida do raio e P2 não
fala sobre 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ ; portanto, sua conjectura não está coerente com o que foi feito nos
itens anteriores. A definição dada por P2 está de acordo com o que esperávamos
que escrevesse. P2 usa aspectos computacionais e intuitivos numéricos no
paradigma G1, pois ainda tem problemas com a generalização de resultados.
No Quadro 12, colocamos as respostas de P3 aos item 1B.4 a 1B.12.
Quadro 12: Respostas de P3 aos itens 1B.4 a 1B.12
Item Respostas
1B.4 A distância permanece igual.
1B.6 A distância 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é maior que a distância 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .
1B.7 A distância 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ varia, mas movimentando fora da circunferência permanece
maior que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . 1B.8 Maior
1B.10 Menor
1B.11 C pertence à circunferência ao passo que E e D não pertencem. 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ;
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é igual ao raio. 1B.12 Lugar geométrico de uma mesma distância ao centro.
103
Classificamos com ME a conjectura de P3, pois indica as posições dos pontos
C, D e E, em relação à circunferência, porém não faz a comparação das medidas
como foi solicitado.
P3 percebe que os pontos sobre a circunferência são todos equidistantes do
centro. Quando solicitamos que observe os pontos D, que estão fora da
circunferência, considera os pontos D localizados apenas na região exterior da
circunferência. Quando solicitamos que analise os pontos E, que estão na região
interior da circunferência, analisa corretamente os pontos que estão na região
interior. P3 tenta definir circunferência como lugar geométrico, o que não está de
acordo com a sua conjectura e nem com o que pôde ver na tela do computador.
P3 usa aspectos computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois ainda está
muito ligado a aspectos intuitivos e com dificuldade em usar aspectos formais.
No Quadro 13, colocamos as respostas de P4 aos item 1B.4 a 1B.12.
Quadro 13: Respostas de P4 aos itens 1B.4 a 1B.12
Item Respostas
1B.4 É a mesma.
1B.6 Ela é maior.
1B.7 Ela varia.
1B.8 Maior
1B.10 Menor
1B.11 𝐴𝐶 = raio, 𝐴𝐷> raio e 𝐴𝐸< raio.
1B.12 Circunferência são todos os pontos que têm a mesma distância de um ponto.
Classificamos a conjectura de P4 na categoria E, pois, está de acordo com o que
pôde ser visto na atividade. P4 percebe que todos os pontos da circunferência
estão à mesma distância do centro. P4 toma um ponto na região exterior da
circunferência, quando pedimos que tome um ponto fora desta, depois diz que as
distâncias desses pontos em relação ao centro variam, mas, em seguida, diz que
as distâncias dos pontos de fora da circunferência são sempre maiores que o raio,
ou seja só considera os pontos da região exterior. Nos pontos da região interior,
P4 diz que estão sempre a uma distância do centro menor do que o raio. P4 usa
104
aspectos computacionais no paradigma G1, pois ainda está com dificuldade com
aspectos formais em Geometria.
No Quadro 14, colocamos as respostas de P5 aos item 1B.4 a 1B.12.
Quadro 14: Respostas de P5 aos itens 1B.4 a 1B.12
Item Respostas
1B.4 A distância não altera.
1B.6 A distância de A até D é menor que a distância de A até C.
1B.7 A 𝑑𝐴𝐷 pode aumentar ou diminuir, mas é diferente fora da circunferência e igual quando está sobre.
1B.8 Maior
1B.10 Diferente e menor
1B.11 O ponto C também é raio da circunferência, o ponto D é externo e o ponto E interno a circunferência.
1B.12 O conjunto de pontos que equidistam de um único ponto central é chamado circunferência.
Classificamos com CE a conjectura de P5, pois este chama o ponto C de raio da
circunferência e fala sobre a posição dos pontos D e E sem citar a propriedade
que têm. Na verdade, esta não é uma conjectura e mostra que P5 tem problemas
com aspectos formais lógicos. P5 percebe que os pontos sobre a circunferência
estão sempre à mesma distância do centro desta. Quando pedimos que tome um
ponto D fora da circunferência, P5 toma um ponto D na região interior dela e, no
item seguinte, diz que a distância de D ao centro é sempre diferente da medida do
raio. Depois diz que os pontos da região interior têm distância ao centro menor
que a medida do raio. P5 define corretamente circunferência, apesar de essa
definição não estar de acordo com o que diz a conjectura. P5 usa aspectos
computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois ainda comete erros formais,
como, por exemplo, ao chamar um ponto de raio.
No Quadro 15, colocamos as respostas de P6 aos item 1B.4 a 1B.12.
105
Quadro 15: Respostas de P6 aos itens 1B.4 a 1B.12
Item Respostas
1B.4 Será sempre igual.
1B.6 Distância de 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é maior que a distância de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .
1B.7 Podendo ter distância maior, igual ou menor a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .
1B.8 Maior
1B.10 Menor
1B.11 A distância de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é igual a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (raio). Distância de 𝐴𝐷 é maior que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ é
menor que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 1B.12 É um lugar geométrico em que o ponto C (centro da circunferência) dista
igualmente a qualquer ponto da mesma.
Classificamos a conjectura de P6 com a categoria E, pois descreve o que viu nos
itens anteriores. P6 percebe que a distância dos pontos da circunferência ao
centro é sempre igual, mas não compara com o raio da circunferência. P6 analisa
corretamente as distâncias dos pontos do plano em relação ao centro da
circunferência. P6 usa a notação de segmento de reta e a notação de medida de
segmento sem distinção, ou seja, para ele 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐵 são a mesma coisa e isso
mostra que P6 tem problemas com aspectos formais lógicos. A definição de
circunferência dada por P6 usa a noção de lugar geométrico que não foi
explorada diretamente na atividade, e que também está diferente das
propriedades abordadas na conjectura. P6 usa aspectos computacionais e
intuitivos no paradigma G1, pois ainda não consegue usar corretamente termos
ligados ao formalismo matemático.
No Quadro 16, colocamos as respostas de P7 aos item 1B.4 a 1B.12.
106
Quadro 16: Respostas de P7 aos itens 1B.4 a 1B.12
Item Respostas
1B.4 Continua a mesma.
1B.6 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
1B.7 As distâncias dependem da localização do ponto, se D estiver dentro da circunferência a distância é menor e se estiver fora é maior.
1B.8 Maior
1B.10 Menor
1B.11 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ; 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ .
1B.12 Circunferência é um lugar geométrico que possuem a mesma distância do
centro ao raio.
Classificamos a conjectura de P7 com a categoria E, pois, está baseada no que
pôde ser visto na tela do computador, porém, por usar uma linguagem simbólica
para escrever a conjectura, de forma muito resumida, consideramos que P7 tem
dificuldade em expressar-se matematicamente, ou seja, tem problemas com
aspectos formais lógicos. P7 percebe que os pontos da circunferência são
equidistantes do centro; ao falar dos pontos de fora da circunferência, é o único
participante que analisa tanto os da região interior como os da região exterior. A
definição de P7 usa a expressão lugar geométrico e não está de acordo com o
que foi escrito na conjectura. P7 usa aspectos intuitivos numéricos,
computacionais e formais e faz a articulação entre os paradigmas G1 e G2, pois
embora, em algumas respostas, tenha dificuldade em escrever, usando linguagem
formal, consegue escrever uma definição de circunferência com o uso da
expressão “lugar geométrico” muito próxima da correta.
No Quadro 17, colocamos as respostas de P8 aos item 1B.4 a 1B.12.
107
Quadro 17: Respostas de P8 aos itens 1B.4 a 1B.12
Item Respostas
1B.4 Distância 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5,57. Se movimentar C, a distância permanece inalterável.
1B.6 Distância 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 7,86 → 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .
1B.7 Movimentar o ponto D é alterar a distância 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ permanece inalterado.
1B.8 Diferente e maior
1B.10 Menor
1B.11 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ; 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = 3,16; 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5,57; 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 5,57 = 𝑟𝑎𝑖𝑜; 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 10,49.
1B.12 Lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância fixa de um ponto dado. Raio
Classificamos a conjectura de P8 com ME, pois P8 usa as medidas das
distâncias em relação ao centro de pontos particulares, para comparar com a
medida do raio da circunferência, sem generalizar a resposta. Isso mostra que P8
tem problemas com aspectos formais lógicos. P8 considera apenas os pontos da
região exterior como pontos fora da circunferência e define circunferência com a
expressão lugar geométrico e chama um ponto de raio, quando diz no item
1B.12 que a circunferência é o “lugar dos pontos que estão a uma distância fixa
de ponto dado. Raio”. P8 usa aspectos computacionais e intuitivos numéricos no
paradigma G1, pois ainda comete erros, ao tentar escrever com linguagem formal,
e, também, comete erros conceituais graves.
Nesta parte da atividade, pudemos perceber que os participantes, por já
conhecerem a definição de circunferência, implicitamente, como um Lugar
Geométrico Plano, tiveram dificuldade em entender nossa proposta. Para eles,
não houve mudança no que já conheciam. Nosso objetivo, ao colocar a
circunferência para ser estudada junto com a reta mediatriz e a reta bissetriz, é
que os participantes notem que a definição que é dada usualmente sobre
circunferência, como Lugar Geométrico, pode trazer falhas em aspectos formais,
se não forem analisados os pontos que estão fora da circunferência para garantir
que apenas os pontos da circunferência são equidistantes do centro.
Podemos dizer que, até esta atividade, nenhum deles passou da geometria da
observação para a geometria da demonstração.
108
Na terceira parte da atividade 1, o objetivo é que o participante elabore uma
conjectura sobre a bissetriz como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de
duas retas concorrentes.
1C.1 Abra uma planilha no GeoGebra sem os eixos ordenados.
1C.2 Marque 3 pontos A, B e C não colineares.
1C.3 Construa a semirreta que passa por A e por B e a semirreta que passa por
A e por C.
1C.4 Trace a bissetriz do ângulo BÂC.
1C.5 Determine um ponto D sobre a reta bissetriz do ângulo BÂC. Certifique-se
que o ponto pertence à reta.
1C.6 Trace uma reta perpendicular à reta AB̅̅ ̅̅ passando pelo ponto D e determine
o ponto E, intersecção dessas duas retas.
1C.7 Trace uma reta perpendicular à reta AC̅̅̅̅ passando pelo ponto D e determine
o ponto F, intersecção dessas duas retas.
1C.8 Determine a distância do ponto D ao ponto E e do ponto D ao ponto F.
Compare essas medidas. O que você observa?
1C.9 Faça o ponto D correr sobre a reta bissetriz e verifique o que acontece com
essas medidas. O que você observa?
1C.10 Marque um ponto G que não esteja na bissetriz do ângulo BÂC. Trace uma
reta perpendicular à reta AB̅̅ ̅̅ passando por G e determine o ponto H, intersecção
dessas duas retas.
1C.11 Trace uma reta perpendicular à reta AC̅̅̅̅ passando por G e determine o ponto
I, intersecção dessas duas retas.
1C.12 Compare as distâncias GH e GI. O que você observa?
1C.13 Comparando as distâncias encontradas nos itens 8 e 12, elabore uma
conjectura sobre essas distâncias. Qual a regra que se pode estabelecer entre os
pontos contidos na bissetriz e os pontos não contidos na bissetriz?
1C.14 A partir do que foi feito nos itens anteriores, defina a reta bissetriz de um
ângulo.
Montamos tabelas com as respostas de cada participante a esta parte da
atividade, para dar uma visão do todo.
109
Classificamos as conjecturas com apenas uma categoria, E, que indica que são
coerentes com o que foi possível observar nos itens anteriores, ou seja, que os
pontos da bissetriz são equidistantes dos lados do ângulo e os que estão fora da
bissetriz não o são. Para as demais conjecturas, não usamos categorias, pois
cada uma tem características diferentes.
No Quadro 18, colocamos as respostas de P1 aos itens 1C.8 a 1C.14.
Quadro 18: Respostas de P1 aos itens 1C.8 a 1C.14
Item Respostas
1C.8 As medidas são iguais.
1C.9 As distâncias permanecem iguais.
1C.12 As distâncias são diferentes.
1C.13 Os pontos contidos na bissetriz têm suas distâncias até os pontos das perpendiculares.
1C.14 Bissetriz é a reta que divide um ângulo ao meio.
P1 escreve uma conjectura sem sentido e sem conexão com o que foi observado
e, por isso, não pôde ser classificada. Mostra que P1 tem problemas com a escrita
que usa termos formais. P1 percebe que os pontos da bissetriz são equidistantes
dos lados do ângulo e que os pontos de fora não, mas não considera isso na
definição que dá de reta bissetriz e a define pela divisão do ângulo em partes
iguais, que, provavelmente, já conhecia. P1 usa aspectos intuitivos e
computacionais no paradigma G1, pois suas respostas não indicam que P1
percebeu a necessidade de uma demonstração e tem dificuldade em expressar-
se, usando linguagem formal.
No Quadro 19, colocamos as respostas de P2 aos itens 1C.8 a 1C.14.
110
Quadro 19: Respostas de P2 aos itens 1C.8 a 1C.14
Item Respostas
1C.8 São as mesmas.
1C.9 Que as medidas se mantêm.
1C.12 Não são iguais.
1C.13 Que todos os pontos estão a mesma distância de cada lado oposto.
1C.14 Reta onde todos os seus pontos mantêm a mesma distância dos lados
opostos 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
P2 percebe que os pontos da bissetriz são equidistantes dos lados do ângulo e
que os pontos fora não são, mas não elabora uma conjectura que esteja de acordo
com isso. Na definição, P2 chama a bissetriz de reta, em vez de semirreta. P2 fala
sobre lados opostos, que não existem na atividade. P2 usa aspectos
computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois ainda comete erros conceituais,
ao escrever suas descobertas.
No Quadro 20, colocamos as respostas de P3 aos itens 1C.8 a 1C.14.
Quadro 20: Respostas de P3 aos itens 1C.8 a 1C.14
Item Respostas
1C.8 As distâncias são iguais.
1C.9 O valor das distâncias varia à medida que D se move, mas permanece iguais entre elas.
1C.12 As distâncias são diferentes.
1C.13 Os pontos contidos na bissetriz são sempre equidistantes às semirretas 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶, ao passo que os que estão fora da bissetriz não são.
1C.14 Lugar geométrico de todos os pontos equidistantes a duas semirretas concorrentes.
Classificamos a conjectura de P3 como E, pois aborda o que foi visto na tela do
computador durante a atividade e percebe que os pontos que estão na bissetriz
são equidistantes e os que estão fora da bissetriz, não. Na definição, usa a
expressão lugar geométrico, que foi escrita com base na conjectura, mas não dá
evidências de que percebeu por que pode escrever lugar geométrico. P3 usa
aspectos computacionais e formais lógicos e faz articulação entre os paradigmas
G1 e G2, pois elabora a definição corretamente, embora não deixe claro que
percebe a necessidade de uma demonstração.
111
No Quadro 21, colocamos as respostas de P4 aos itens 1C.8 a 1C.14.
Quadro 21: Respostas de P4 aos itens 1C.8 a 1C.14
Item Respostas
1C.8 São iguais.
1C.9 Continua igual.
1C.12 São diferentes.
1C.13 Os pontos da bissetriz estão equidistantes a sua projeção das semirretas do ângulo.
1C.14 Todos os pontos que equidistam a sua projeção nas semirretas do ângulo.
P4 percebe que os pontos da bissetriz são equidistantes dos lados do ângulo e
que os pontos de fora da bissetriz não são, mas escreve essas constatações
usando frases curtas, o que mostra que tem problemas com a linguagem formal.
A conjectura de P4 pode ser classificada com E, pois, está de acordo com o que
ele poderia observar na atividade. A definição que P4 escreve está correta, mas
considera além do que foi dito na conjectura. P4 usa aspectos computacionais e
intuitivos e faz articulação entre os paradigmas G1 e G2, pois, embora ainda tenha
problemas com a linguagem formal, esboça uma definição correta.
No Quadro 22, colocamos as respostas de P5 aos itens 1C.8 a 1C.14.
Quadro 22: Respostas de P5 aos itens 1C.8 a 1C.14
Item Respostas
1C.8 As distâncias são iguais.
1C.9 Mesmo com a mudança das coordenadas a distância aumenta ou diminui de
modo que 𝐸𝐷 = 𝐷𝐹. 1C.12 𝑑𝐺𝐻 ≠ 𝑑𝐺𝐼.
1C.13 O ponto que pertence à bissetriz equidista das semirretas que formam o ângulo e o ponto fora tem distâncias diferentes.
1C.14 Reta bissetriz é o conjunto de pontos, que dado duas semirretas com origem em um ponto comum, equidista dessas semirretas a mesma distância.
Podemos classificar a conjectura escrita por P5 na categoria E, pois está em
conformidade com o que pôde ser visto na tela do computador. P5 faz as
constatações sobre os pontos da bissetriz e os pontos de fora da bissetriz, só não
ficou claro o que quis dizer com mudança de coordenadas, no item 1C.9, talvez
112
sejam as coordenadas que podem ser colocadas na tela do GeoGebra. A definição
dada por P5 não está de acordo com a conjectura, pois chama a bissetriz de reta,
e não de semirreta, como deveria ter feito. P5 usa aspectos computacionais e
intuitivos e articula os paradigmas G1 e G2, pois embora use expressões que não
estão de acordo com o que foi apresentado pela atividade, define bissetriz da
maneira que a conhece das aulas de geometria.
No Quadro 23 colocamos as respostas de P6 aos itens 1C.8 a 1C.14.
Quadro 23: Respostas de P6 aos itens 1C.8 a 1C.14
Item Respostas
1C.8 As distâncias 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ e 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ são congruentes.
1C.9 As medidas de 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ e 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ não se altera.
1C.12 As distâncias são distintas.
1C.13 Os contidos terão medidas iguais, não contidos não terão medidas iguais.
1C.14 A reta bissetriz divide o ângulo 𝐵Â𝐶 ao meio, sendo que qualquer ponto pertinente à reta terá distância igual aos pontos da semirreta.
P6 constata corretamente as propriedades dos pontos contidos na bissetriz e dos
pontos não contidos na bissetriz. A conjectura feita por P6 está mal escrita, pois
fala de contidos e não contidos sem dizer o que está contido ou não contido, o que
mostra que P6 tem problemas com a linguagem formal. Essa conjectura pode ser
classificada com uma categoria que indica que P6 não usou o que viu para
escrevê-la. A definição de bissetriz dada por P6 provavelmente é a que ele já
conhecia e não usa propriedades que não foram abordadas pela atividade. P6 usa
aspectos computacionais e intuitivos numéricos no paradigma G1, pois, embora
escreva uma definição correta, usa, nas outras respostas, termos estranhos à
teoria, como por exemplo, sobre os “contidos” e os “não contidos”.
No Quadro 24, colocamos as respostas de P7 aos itens 1C.8 a 1C.14.
113
Quadro 24: Respostas de P7 aos itens 1C.8 a 1C.14
Item Respostas
1C.8 São iguais.
1C.9 Continuam iguais.
1C.12 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ < 𝐺𝐼̅̅ ̅
1C.13 Quando os pontos estão na bissetriz possuem a mesma distância do ângulo, quando estão fora é uma distância incerta.
1C.14 Bissetriz é o segmento de reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.
P7 observa corretamente os pontos sobre a bissetriz, mas sobre os pontos fora
da bissetriz fala sobre uma distância incerta, podemos imaginar que possam ser
distâncias que mudam, mas não podemos considerar essa conjectura válida sem
ter certeza dessa suposição, por exemplo, com uma entrevista. P7 tem problemas
com a linguagem formal.
P7 constata que os pontos da bissetriz são equidistantes dos lados do ângulo e
que os pontos fora da bissetriz não possuem tal propriedade, embora afirme que
𝐺𝐻̅̅ ̅̅ < 𝐺𝐼̅̅ ̅. P7 chama a bissetriz de segmento de reta e a define pela divisão do
ângulo, que provavelmente já conhecia, e não usa as propriedades exploradas na
atividade. Tem problemas de linguagem e usa aspectos computacionais e
intuitivos no paradigma G1, pois comete graves erros conceituais. P7 não
escreveu as considerações que solicitamos.
No Quadro 25, colocamos as respostas de P8 aos itens 1C.8 a 1C.14.
Quadro 25: Respostas de P8 aos itens 1C.8 a 1C.14
Item Respostas
1C.8 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ≡ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅
1C.9 Distância igual.
1C.12 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ ≠ 𝐺𝐼̅̅ ̅
1C.13 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ≡ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ ≠ 𝐺𝐼̅̅ ̅ → pontos na bissetriz e equidistantes.
1C.14 Segmento de reta que parte do ângulo dividindo em 2 partes iguais e intersecciona o lado oposto.
P8 observa corretamente que os pontos da bissetriz são equidistantes dos lados
do ângulo e que os pontos fora da bissetriz não são. A conjectura de P8 está de
acordo com o que pôde ser observado, mas não está bem escrita. P8 tem muita
114
dificuldade em expressar-se com termos formais e, portanto, tem dificuldade com
aspectos formais lógicos. P8 elabora uma definição completamente errada, pois
chama a bissetriz de segmento de reta e fala de um lado oposto que não existe
na construção da bissetriz. Novamente, podemos pensar que, na época em que
fez a atividade, P8 estava estudando as cevianas dos triângulos nas aulas de
Geometria. P8 usa aspectos intuitivos e computacionais no paradigma G1, pois
comete erros conceituais. P8 não escreveu as considerações que solicitamos.
Ao final desta parte da Atividade, podemos notar que, até este ponto, os
participantes ainda não passaram da geometria de observação para a geometria
de demonstração. A maioria deles percebeu o que pedimos que observassem,
porém alguns cometeram erros conceituais graves, como quando chamam a
bissetriz de segmento de reta. Alguns usam conceitos que não abordamos na
atividade, como quando classificam a bissetriz como sendo um Lugar Geométrico
Plano sem se dar conta que é preciso reunir o que é observado para dar uma
definição.
A quarta parte da Atividade 1 foi chamada de AVALIAÇÃO DA ATIVIDADE 1, na
qual fizemos um fechamento do que foi explorado nas três etapas anteriores, com
uma série de itens, nos quais solicitamos a cada participante que escrevesse as
definições de reta mediatriz, circunferência e bissetriz, com base nas experiências
realizadas.
Para cada um dos objetos matemáticos estudados, solicitamos que os
participantes falassem sobre a propriedade apresentada e que definissem o
objeto. Queríamos ver se percebem que as propriedades servem para definir os
objetos, ou se iriam continuar definindo esses entes geométricos como definiam
antes e considerassem as propriedades evidenciadas com as conjecturas apenas
como uma propriedade a mais para cada um dos objetos geométricos estudados.
Não esperávamos que os participantes usassem o conceito de Lugar Geométrico
Plano para dar a definição, pois ainda não havíamos apresentado tal conceito.
Para a análise, vamos agrupar as respostas duas a duas, 1D.1 com 1D.2 para a
reta mediatriz, 1D.3 com 1D.4 para a circunferência e 1D.5 com 1D.6 para a
bissetriz.
Avaliação da Atividade 1
115
Agora que você fez as construções solicitadas na Atividade 1, gostaríamos que
você completasse os itens abaixo:
1D.1 Podemos definir MEDIATRIZ como sendo ________________________
1D.2 Quais propriedades você notou que valem para os pontos pertencentes à
mediatriz de um segmento de reta AB̅̅ ̅̅ ?
No Quadro 26, colocamos as respostas dos participantes aos itens 1D.1 e 1D.2
Quadro 26: Respostas dos participantes aos itens 1D.1 e 1D.2
Participante Resposta item 1D.1 Resposta item 1D.2 Paradigma
P1 Uma reta formada pelos pontos equidistantes das extremidades de um segmento.
Os pontos pertencentes à mediatriz de um segmento
de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ têm as distâncias entre eles e as extremidades do segmento iguais.
G2
P2 Reta perpendicular entre dois pontos.
Todos os seus pontos mantêm a mesma distância em relação aos dois pontos iniciais definidos.
G1
P3 Lugar geométrico de todos os pontos equidistantes aos extremos de um segmento.
Cada ponto da mediatriz equidista dos extremos do segmento.
G2
P4 Todos os pontos que equidistam dois pontos.
Que eles têm a mesma distância a A e a B.
G1
P5 Conjunto de pontos que pertencem a reta que passa pelo ponto de um dado segmento.
A distância do ponto pertencente à mediatriz até os pontos extremos do segmento são equidistantes.
G1
P6 É uma reta perpendicular a um segmento e que passa pelo ponto médio do mesmo.
As distâncias são iguais dos pontos extremos do
segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
G2
P7 Conjunto de pontos que está a mesma distância de dois pontos.
Os pontos estão à mesma distância de A e de B.
G1
P8 Toda reta perpendicular ao ponto médio de um segmento divide-o em duas partes iguais.
Ponto na mediatriz =𝐴𝐵̅̅ ̅̅
2;
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ⊥ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ; 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
G1
P9 - - -
116
P1 define reta mediatriz como esperávamos e diz que os pontos da reta mediatriz
são equidistantes; portanto, P1 percebe que essa propriedade pode ser usada
para definir reta mediatriz. P1 usa aspectos computacionais no paradigma G2.
P2 percebe, no segundo item, a propriedade dos pontos da reta mediatriz
conforme esperávamos, porém não percebe, no primeiro item, que esta serve para
definir reta mediatriz, pois escreve a definição que conhecia de antes da pesquisa.
P2 usa aspectos computacionais no paradigma G1.
P3 escreve a propriedade como esperávamos, que fizesse e define reta mediatriz
como lugar geométrico. Não sabemos se P3 sabe o que é necessário para que
um objeto matemático seja um LG, pois não introduzimos o conceito ainda. P3 usa
aspectos computacionais no paradigma G2.
P4 escreve tanto a definição como a propriedade como esperávamos falando
sobre a equidistância dos extremos do segmento de reta e mostra perceber que a
propriedade que vê nos pontos da reta mediatriz serve para defini-la. P4 usa
aspectos computacionais no paradigma G1.
P5 escreve uma definição que não tem sentido, não está relacionada nem à
propriedade da equidistância e nem é a definição tradicional de reta mediatriz, o
que mostra que P5 tem problemas em escrever com linguagem formal. O segundo
item de P5 está mal escrito, mas dá para perceber que aceitou a propriedade. P5
usa aspectos computacionais e intuitivos no paradigma G1.
P6 escreve corretamente a propriedade da equidistância, referente aos pontos
da reta mediatriz, mas define reta mediatriz a partir do que já conhecia
anteriormente. Podemos concluir que P6 percebe a propriedade dos pontos da
reta mediatriz, mas não percebe que ela serve para definir reta mediatriz. P6 usa
aspectos computacionais no paradigma G2, pois, embora não relacione a
propriedade com a definição de reta mediatriz, percebe corretamente a
propriedade e escreve uma definição válida.
P7 percebe que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos extremos do
segmento, e usa essa propriedade para definir reta mediatriz. P7 usa aspectos
computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois não deixa claro que todos os
pontos que possuem a propriedade estão na reta mediatriz.
P8 usa a palavra toda, que pode levar a crer que ele acha que existe mais de
uma reta mediatriz de um único segmento de reta, ou pode estar considerando o
espaço tridimensional onde existem infinitas retas que passam pelo ponto médio
117
e são equidistantes dos extremos. Ao falar sobre a propriedade dos pontos da reta
mediatriz P8 diz que o ponto na reta mediatriz é =𝐴𝐵̅̅ ̅̅
2 e isso não faz sentido, pois
um ponto não pode ser comparado a um segmento de reta. Em seguida, P8 diz
que a reta mediatriz é perpendicular ao segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , o que não é errado,
mas devemos considerar que o segmento de reta tem infinitas perpendiculares e
a reta mediatriz é apenas uma delas. P8 tem problemas para comunicar-se com
o uso de linguagem formal. P8 usa aspectos computacionais e intuitivos no
paradigma G1.
Podemos ver que apenas alguns dos participantes percebem que poderiam
definir reta mediatriz com a propriedade da equidistância. A maioria usa outras
definições, como, por exemplo, a da reta perpendicular ao ponto médio ou com a
expressão Lugar Geométrico, sem deixar claro que sabe o que está escrevendo,
ou seja, ao usar essa expressão, está considerando a propriedade da
equidistância e, para provar que essa definição é correta, terá que fazer uma
demonstração do tipo “se e somente se”. Vemos também que não passaram ainda
da geometria de observação para a geometria de demonstração.
1D.3 Podemos definir circunferência como sendo ______________________
1D.4 Relacione as propriedades que você notou que valem para os pontos
pertencentes à circunferência de centro O e raio r.
No Quadro 27, colocamos as respostas dos participantes aos itens 1D.3 e 1D.4.
118
Quadro 27: Respostas dos participantes ao item 1D.3 e 1D.4
Participante Resposta item 1D.3 Resposta item 1D.4 Paradigma
P1 O conjunto de pontos que idistantes a um ponto.
Seja P um ponto qualquer, se P pertence à circunferência a distância entre P e O é igual ao raio se P é interior à circunferência a distância é menor que r e se P é exterior a distância é maior que r.
G1
P2 Conjunto de pontos que têm a mesma distância de um ponto de origem.
Todos os pontos da circunferência mantêm a mesma distância em relação ao raio.
G1
P3 Lugar geométrico de todos os pontos equidistantes do centro (ponto).
Cada ponto da circunferência dista r do centro O, ou dista r de O.
G2
P4 Todos os pontos que equidistam um ponto.
Todos os pontos tem a distância r para o ponto O.
G2
P5 Conjunto de pontos que equidistam de um dado ponto.
Dado centro O e um ponto da circunferência ele será raio.
G1
P6 Lugar geométrico em que o ponto C (centro da circunferência) dista igualmente a qualquer ponto da mesma.
Terão distâncias congruentes e essa distância é chamada de raio.
G1
P7 O conjunto de pontos que possuem a mesma distância do centro ao raio.
Se o ponto estiver dentro da circunferência ele é menor que o raio se estiver na circunferência é igual ao raio e se estiver fora é maior que o raio.
G1
P8 Lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância fixa de um ponto dado (centro O)
Dado o centro 𝑂 = 𝐴; 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =𝐴𝐶̅̅ ̅̅ → 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =
linha circ; 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = segmento fora circunferência
(externo) 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ dentro circ
(interno) < 𝐴𝐵 e < 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e <𝐴𝐷̅̅ ̅̅ .
G1
P9 - - -
P1 define circunferência conforme solicitamos. Quando P1 fala da propriedade
dos pontos, indica corretamente a propriedade de todos os pontos do plano, não
só dos pontos da circunferência como solicitamos. P1 usa aspectos
computacionais e formais lógicos no paradigma G1.
119
P2 define circunferência e não fica claro que todos os pontos com a propriedade
estão nesse conjunto. Ao falar sobre a propriedade dos pontos, P2 escreve que
os pontos da circunferência mantêm a mesma distância em relação ao raio e isso
faz com que o enunciado da propriedade fique meio confuso. P2 tem problemas
com a linguagem formal. P2 usa aspectos computacionais e intuitivos no
paradigma G1.
P3 usa a expressão lugar geométrico para definir circunferência. Essa definição
está correta, mas usa um conceito que trouxe das aulas de geometria e não das
atividades que realizou na pesquisa, pois, neste ponto da pesquisa, não havíamos
introduzido este conceito ainda. P3 enuncia a propriedade dos pontos de uma
circunferência de centro O e raio r, conforme solicitamos. P3 usa aspectos
computacionais no paradigma G2.
P4 define circunferência como se esperava, e, ao falar sobre a propriedade dos
pontos da circunferência, P4 enuncia, conforme solicitamos, a propriedade dos
pontos de uma circunferência de centro O e raio r. P4 usa aspectos
computacionais e intuitivos no paradigma G2.
P5 usa a expressão conjunto de pontos para definir circunferência o que faz
pensar que P5 pensa que pode haver outros pontos no plano com a mesma
propriedade. Ao falar sobre a propriedade dos pontos da circunferência, P5 chama
o ponto da circunferência de raio. P5 tem problemas em comunicar-se com
linguagem formal. P5 usa aspectos intuitivos no paradigma G1.
P6 usa a expressão lugar geométrico para definir circunferência, mas não
temos como saber se sabe exatamente o que é um lugar geométrico, pois não
introduzimos esse conceito, ainda, na atividade. Ao falar sobre a propriedade dos
pontos da circunferência, P6 fala sobre distância, mas não diz entre quais pontos
está medindo esta distância. P6 usa aspectos computacionais no paradigma G1.
P7 define circunferência como sendo um conjunto de pontos do centro ao raio.
Quando diz conjunto de pontos, não está dizendo que apenas tais pontos
possuem a propriedade. No segundo item analisado, P7 compara pontos com raio
usando medidas. P7 tem problemas com escrita formal. P7 usa aspectos
computacionais e formais lógicos no paradigma G1.
P8 usa corretamente a expressão lugar geométrico, cujo conceito não foi
abordado nas atividades da nossa pesquisa, para definir circunferência. Não
sabemos se P8 sabe exatamente o que significa ser um lugar geométrico. P8 usa
120
uma expressão algébrica confusa para citar a propriedade dos pontos da
circunferência, e não temos como dizer se está correta. P8 tem problemas para
escrever usando linguagem formal. P8 usa aspectos computacionais e intuitivos
no paradigma G1.
Como a definição que os participantes provavelmente já conheciam é a da
circunferência como Lugar Geométrico, a maioria a definiu como tal e não
percebeu a necessidade didática de provar o que acontece com os pontos que
não estão sobre a circunferência, em aulas de Geometria.
1D.5 Podemos definir bissetriz como sendo ___________________________
1D.6 Indique as propriedades que você notou que valem para os pontos
pertencentes à bissetriz de um ângulo.
No Quadro 28, colocamos as respostas dos participantes ao item 1D.5 e 1D.6.
121
Quadro 28: Respostas dos participantes aos itens 1D.5 e 1D.6
Participante Resposta item 1D.5 Resposta item 1D.6 Paradigma
P1 A reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
Os pontos pertencentes à bissetriz de um ângulo têm distâncias até os pontos das perpendiculares às retas que formam o ângulo e passam por esses pontos iguais.
G1
P2 Reta que divide um ângulo ao meio.
Todos os pontos mantêm a mesma distância em relação aos pontos
opostos (𝐵Â𝐶 oposto B e C).
G1
P3 Lugar geométrico de todos os pontos equidistantes de duas semirretas concorrentes.
Cada ponto pertencente à reta bissetriz equidista dos dois segmentos (semirretas).
G1
P4 Todos os pontos que equidistam as suas projeções das semirretas do ângulo.
Equidistam de suas projeções nas semirretas do ângulo.
G2
P5 Conjunto de pontos que pertencem a uma reta que passa por um ponto que nele forma-se um ângulo através de duas semirretas e esses pontos equidistam das semirretas.
Divide o ângulo em duas partes iguais, pois o ponto que pertencem a reta que passa pela origem equidista da semirreta.
G1
P6 A reta que divide o ângulo ao meio, sendo que qualquer ponto pertencente a ela terá distância a pontos da semirreta.
Também terão medidas congruentes.
G1
P7 Bissetriz é o segmento de reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.
Todos os pontos localizados na bissetriz estão na mesma distância tanto de um lado do ângulo quanto do outro.
G1
P8 Segmento de reta que parte do vértice, dividindo em 2 partes iguais e intersecciona o lado oposto do ângulo.
Sempre equidistante dos pontos pertencentes à semirreta.
G1
P9 - - -
P1 escreve uma definição diferente do que esperávamos e que já conhecia antes
de participar da atividade. P1 escreve a propriedade dos pontos da bissetriz de
maneira confusa; e que nos leva a perceber que P1 tem problemas para escrever
com linguagem formal. P1 usa aspectos computacionais no paradigma G1, pois,
122
ao responder ao item 1D.6, escreve uma sentença com problemas nos aspectos
formais. Sua frase está mal elaborada.
P2 define bissetriz usando o que já conhecia, antes da atividade. Ao falar sobre
os pontos da bissetriz, P2 escreve de uma forma confusa e formalmente errada,
pois fala sobre distância dos pontos da bissetriz a pontos opostos; não temos
como saber quais são esses pontos opostos. P2 tem problemas com a linguagem
formal. P2 usa aspectos computacionais no paradigma G1, pois chama a bissetriz
de reta e não de semirreta, como seria o correto, o que mostra que ainda tem
problemas com a linguagem formal.
P3 utiliza corretamente a expressão lugar geométrico, embora não tenhamos
como saber se P3 sabe exatamente o que significa lugar geométrico. P3 indica
que conhece a propriedade das bissetrizes, porém errou ao dizer que os lados do
ângulo são segmentos, embora tenha colocado entre parênteses a palavra
semirretas. Isso nos mostra que P3 tem problema para escrever usando a
linguagem formal. P3 usa aspectos computacionais e intuitivos no paradigma G1,
pois ainda tem problemas conceituais, ao chamar o lado do ângulo de segmento.
Na definição, P4 percebe que a propriedade da equidistância serve parra definir
bissetriz, mas fala que os pontos da bissetriz distam a projeção, sendo que
projeção, nesse caso, é um ponto e não pode ser usado como distância. Isso
indica que P4 tem problemas com a linguagem formal. P4 indica corretamente a
propriedade dos pontos da bissetriz. P4 usa aspectos computacionais e intuitivos
no paradigma G2, pois define corretamente bissetriz e mostra ter entendido a
propriedade de seus pontos.
P5 define bissetriz com a propriedade da equidistância de duas retas
concorrentes, mas usa uma frase confusa para escrever esta definição. P5
escreve uma frase sem sentido lógico para indicar a propriedade dos pontos da
bissetriz. P5 tem problemas para escrever usando linguagem formal. P5 usa
aspectos computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois comete erros
conceituais como, por exemplo, chamar a bissetriz de reta.
P6 mistura a definição de bissetriz que conhecia com a propriedade da
equidistância, mas acaba escrevendo uma frase confusa, pois fala sobre uma
semirreta que não está explícita. Sobre os pontos da bissetriz, P6 escreve uma
frase curta e não especifica a quais medidas está se referindo. P6 tem dificuldade
me escrever usando linguagem formal. P6 usa aspectos computacionais e
123
intuitivos no paradigma G1, pois classifica a bissetriz como sendo uma reta, trata-
se de um erro conceitual.
P7 define bissetriz como sendo um segmento de reta, o que torna sua resposta
conceitualmente errada, independente do resto que escreve que, no caso, está
relacionado a uma definição que já conhecia. Ao responder sobre os pontos da
bissetriz, P7 usa corretamente a propriedade. P7 usa aspectos computacionais e
intuitivos no paradigma G1.
P8 define bissetriz como sendo um segmento de reta, o que invalida a resposta
dada. P8 continua usando a expressão lado oposto nas definições, como fez nos
itens anteriores. Ao falar sobre os pontos da bissetriz, P8 dá uma resposta sem
sentido, porque cita uma semirreta, e o ângulo envolve duas semirretas. P8 tem
problemas com a linguagem formal. P8 usa aspectos computacionais e intuitivos
no paradigma G1, pois comete erros conceituais como, por exemplo, quando
chama a bissetriz de semirreta.
Podemos observar que os participantes responderam a esta Avaliação da
mesma forma que o fizeram nas três primeiras partes da atividade e essas
respostas nos levaram a fazer a intervenção que foi feita na Atividade 2.
Percebemos, também, que, até este ponto, os participantes ainda não passaram
da geometria de observação para a geometria de demonstração.
5.2 Análise da Atividade 2
No encontro seguinte, fizemos uma retomada do que foi visto na Atividade 1 com
o uso de uma apresentação em Power Point, projetada com um aparelho data
show e, em seguida, os participantes responderam os itens 2.1 a 2.11.
Neste dia, P1, P2, P4 e P9 não compareceram.
Para analisar os protocolos referentes à Atividade 2, agrupamos os itens por
afinidade de tema. Assim sendo, agrupamos 2.1 a 2.3; 2.4 e 2.5; 2.6 a 2.8 e 2.9 a
2.11.
Considerando as atividades que você fez no GeoGebra no último encontro,
responda às perguntas.
2.1 Lembre-se da primeira parte da atividade 1, quando estudamos a Mediatriz.
Nos itens do 1 ao 7 desta atividade nós construímos a mediatriz, colocamos
124
um ponto e o movimentamos sobre a mediatriz. Qual propriedade você pôde
observar com esta parte da atividade?
2.2 No item 10 desta atividade nós traçamos um ponto D fora da mediatriz,
movimentamos este ponto e observamos uma propriedade comum aos pontos
que surgiram ao movimentarmos o ponto D pela tela. Qual propriedade é esta?
2.3 Agora escreva uma sentença que fale ao mesmo tempo das duas
propriedades.
No Quadro 29, colocamos as respostas de P3 aos itens 2.1 a 2.3.
Quadro 29: Respostas de P3 aos itens 2.1 a 2.3
Item Respostas
2.1 Que o ponto é equidistante dos extremos do segmento. Independente da posição do ponto sobre a mediatriz.
2.2 As distâncias do ponto em relação aos extremos do segmento são diferentes sempre que o ponto estiver fora da mediatriz.
2.3 Cada ponto da mediatriz é equidistante dos extremos, o que não acontece com os pontos fora da mediatriz.
P3 escreve as três respostas de acordo com o esperado, ou seja, P3 entendeu
que apenas os pontos das retas mediatriz são equidistantes dos extremos do
segmento de reta. P3 usa aspectos computacionais e formais lógicos no
paradigma G2, pois responde com conceitos teóricos que vão além do observado.
No Quadro 30, colocamos as respostas de P5 aos itens 2.1 a 2.3.
Quadro 30: Respostas de P5 aos itens 2.1 a 2.3
Item Respostas
2.1 A mediatriz forma com o segmento em um ponto pertencente a ela segmentos congruentes.
2.2 Os pontos fora da mediatriz não são equidistantes dos pontos extremos do segmento e as distâncias formadas não são congruentes.
2.3 A mediatriz determina quais os pontos estão equidistantes do extremo do segmento.
P5 não consegue escrever uma frase coerente que fale sobre a propriedade da
equidistância dos pontos da reta mediatriz, mas coloca corretamente que os
pontos que não estão na reta mediatriz não possuem a propriedade. Ao escrever
agrupando as duas propriedades, P5 escreve uma frase sem sentido formal. P5
125
tem dificuldades ao escrever com linguagem formal. P5 usa aspectos
computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois escreve frases confusas e que
não deixam claro o que observa.
No Quadro 31, colocamos as respostas de P6 aos itens 2.1 a 2.3.
Quadro 31: Respostas de P6 aos itens 2.1 a 2.3
Item Respostas
2.1 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , o ponto é equidistante dos extremos do segmento.
2.2 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ não é congruente a 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , o ponto D não é equidistante dos extremos.
2.3 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , o ponto C na mediatriz; 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≠ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , o ponto D não está na mediatriz.
P6 escreve a propriedade dos pontos da reta mediatriz corretamente, apesar de
não ter identificado no item 2.1 que o ponto C é um ponto genérico pertencente à
reta mediatriz. No item 2.2, P6 fala dos pontos D, que não pertencem à reta
mediatriz, corretamente. No item 2.3, P6 junta as duas propriedades numa única
sentença conforme esperávamos que fizesse. P6 tem dificuldade em escrever
com uma linguagem formal e usa aspectos computacionais no paradigma G1, pois
justifica a propriedade dos pontos da reta mediatriz com o fato de os pontos
pertencerem à mediatriz.
No Quadro 32, colocamos as respostas de P7 aos itens 2.1 a 2.3.
Quadro 32: Respostas de P7 aos itens 2.1 a 2.3
Item Respostas
2.1 Todos os pontos contidos na mediatriz de um segmento estão a mesma distância dos extremos do segmento.
2.2 Qualquer ponto fora da mediatriz se encontra fora da mediatriz está em distâncias diferentes dos extremos do segmento.
2.3 Os pontos contidos na mediatriz estão a mesma distância dos extremos do segmento já os pontos que não estão contidos na mediatriz estão a distâncias diferentes.
P7 escreve as respostas aos três itens como esperávamos que fizesse, embora
tenha sido confuso ao escrever a resposta do item 2.2. P7 usa aspectos
computacionais e formais lógicos no paradigma G1, pois mostra dificuldade em
expressar-se, com o uso de termos formais.
No Quadro 33, colocamos as respostas de P8 aos itens 2.1 a 2.3.
126
Quadro 33: Respostas de P8 aos itens 2.1 a 2.3
Item Respostas
2.1 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
2.2 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶.
2.3 -
P8 não responde ao item 2.3. No item 2.1, P8 fala sobre a congruência de dois
segmentos de reta, mas não identifica os pontos A, B e C. No item 2.2, P8 compara
um segmento de reta com a medida de outro segmento de reta. P8 tem problemas
para escrever em linguagem formal e usa aspectos computacionais e intuitivos no
paradigma G1, pois responde aos itens com algumas expressões lógicas e não
escreve frases que mostrem o que quer dizer.
Na segunda parte da Atividade 2, apresentamos a definição de lugar geométrico
plano (LG) e, em seguida, colocamos oito itens, numerados de 2.4 a 2.11.
Esperávamos que os participantes percebessem que as propriedades observadas
nas atividades anteriores servem para definir a reta mediatriz, a circunferência e
a bissetriz, como lugares geométricos planos.
Observe a definição de Lugar Geométrico Plano.
Definição: Uma figura recebe o nome de lugar geométrico dos pontos que
possuem uma propriedade P quando:
a) Todos os seus pontos satisfazem a propriedade P;
b) Somente os pontos dessa figura satisfazem a propriedade P, isto é, se um
ponto A possui a propriedade P, então A pertence à figura.
2.4 Relacione a propriedade do item 1A.3 e a observação do item 1A.4 com a
definição de Lugar Geométrico Plano.
2.5 Agora, defina mediatriz como um lugar geométrico plano.
No Quadro 34, colocamos as respostas dos participantes aos itens 2.4 e 2.5.
127
Quadro 34: Respostas dos participantes ao item 2.4
Participante Resposta item 2.4 Resposta item 2.5
P1 - -
P2 - -
P3 Somente a mediatriz é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes dos extremos de um segmento.
É o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos de um segmento.
P4 - -
P5 A mediatriz possui pontos que são equidistantes dos extremos (item a). Os pontos fora da mediatriz não são equidistantes (item b).
Mediatriz é o lugar geométrico onde os pontos que pertencem a ela a distância de um segmento dado, assim formam dois segmentos congruentes.
P6 C está na mediatriz e equidista dos extremos de um
conjunto 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . D não está na mediatriz, não equidista dos
extremos de um segmento 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≠𝐵𝐷̅̅ ̅̅ .
O ponto pertencente a ela é equidistante dos extremos de um segmento passando pelo ponto médio do mesmo segmento.
P7 Mediatriz contém os pontos distantes de A e B (segmento) e qualquer outro ponto não está a mesma distância.
É o lugar geométrico em que todos os pontos distam de dois pontos dados.
P8 - Reta perpendicular ao ponto médio de um lado do triângulo.
P9 - -
P3 não compara as propriedades dos pontos com o conceito de LG conforme
solicitamos. P3 escreve a definição de reta mediatriz como LG conforme pedimos.
P3 usa aspectos computacionais no paradigma G1, pois, embora escreva
corretamente a definição de reta mediatriz, com o uso do conceito de lugar
geométrico, não compara esse conceito com a propriedade dos pontos da reta
mediatriz, conforme solicitamos.
P5 compara a propriedade dos pontos da reta mediatriz com a definição de LG,
conforme esperávamos que fizesse. Ao definir reta mediatriz como um LG, P5
escreve uma frase confusa e que não relaciona reta mediatriz com LG. P5 tem
dificuldade em expressar-se na linguagem formal e usa aspectos intuitivos no
paradigma G1, pois, além de escrever uma frase confusa, não compara a
definição de lugar geométrico com a propriedade dos pontos da reta mediatriz,
como solicitamos.
128
P6 escreve as propriedades dos pontos relacionados à reta mediatriz e não
compara com a definição de LG. P6 escreve uma frase que não é uma definição,
como esperávamos. P6 tem dificuldades em expressar-se com linguagem formal
e usa aspectos computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois justifica a
propriedade dos pontos da reta mediatriz com o fato de esses pontos pertencerem
a esta.
P7 escreve as duas respostas com a troca da palavra equidistante por distante.
P7 não compara as propriedades com a definição de LG. Com a troca de palavras,
a definição dada não é válida. P7 tem dificuldade com a linguagem formal e usa
aspectos intuitivos no paradigma G1, pois não compara a definição de lugar
geométrico com a propriedade dos pontos da reta mediatriz, conforme solicitamos
que fizesse.
P8 não faz a comparação das propriedades da reta mediatriz com as condições
para ser um LG. E, ao definir reta mediatriz, P8 não usa o conceito de LG, como
pedimos. P8 usa aspectos intuitivos no paradigma G1, pois além de não ter
formulado uma das repostas, não comparou a definição de lugar geométrico com
a propriedade dos pontos da reta mediatriz, como solicitamos.
Na segunda parte da Atividade, nossa experiência foi com uma circunferência.
2.6 Na atividade sobre a circunferência observamos uma propriedade que vale
para os pontos da circunferência e observamos também como os pontos que
estão fora e os que estão dentro da circunferência se relacionam com esta
propriedade. Escreva qual a propriedade que os pontos da circunferência
possuem e como fica esta propriedade quando os pontos estão dentro e
quando estão fora da circunferência.
2.7 Relacione essas duas propriedades com a definição de Lugar Geométrico
Plano.
2.8 Agora, defina circunferência como sendo um Lugar Geométrico Plano.
No item 2.6, houve um abuso de linguagem de nossa parte. Na verdade, o fora
e o dentro da circunferência significam na área exterior e na área interior da
circunferência.
No Quadro 35, colocamos as respostas de P3 para os itens 2.6; 2.7 e 2.8.
129
Quadro 35: Respostas de P3 para os itens 2.6, 2.7 e 2.8
Item Respostas
2.6 Cada ponto da circunferência é equidistante do centro, ou seja, tem a mesma medida do raio. Os pontos que estão fora têm medida maior que o raio e os pontos que estão no interior da circunferência têm medida menor que o raio em relação à circunferência.
2.7 Somente a circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes de um ponto (centro)
2.8 É o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes do centro.
Sobre a distância dos pontos do plano em relação ao centro da circunferência,
P3 escreve uma frase em que compara a medida dos pontos com o raio da
circunferência, ou seja, diz que o ponto é maior ou menor que o raio e, no item
2.7, dá uma definição que usa LG, em vez de comparar as propriedades dos
pontos da circunferência com a definição de LG, conforme solicitamos. P3 usa
aspectos intuitivos no paradigma G1, pois compara a medida de pontos e não a
distância entre eles.
No Quadro 36, colocamos as respostas de P5 para os itens 2.6; 2.7 e 2.8.
Quadro 36: Respostas de P5 para os itens 2.6, 2.7 e 2.8
Item Respostas
2.6 Os pontos que pertencem a circunferência que estão sobre ela a distância até o centro é chamado de raio. Os pontos fora são maiores que o raio e os dentro menores.
2.7 Os pontos fora da circunferência são maiores que os pontos que estão sobre a circunferência (que são chamados raios).
2.8 Circunferência é o lugar geométrico onde os pontos pertencentes a ela possuem a mesma distância para o centro formando assim o raio.
P5 diz que os pontos fora da circunferência são maiores que o raio e os dentro
são menores. P5 não poderia comparar pontos, que não têm dimensão, com a
medida do raio. P5 chama os pontos sobre a circunferência de raios e, por fim,
define circunferência com o conceito de LG. P5 usa aspectos intuitivos e
computacionais no paradigma G1, pois compara medidas de pontos e não a
distância entre eles, como poderia fazer.
No Quadro 37, colocamos as respostas de P6 para os itens 2.6; 2.7 e 2.8.
130
Quadro 37: Respostas de P6 para os itens 2.6, 2.7 e 2.8
Item Respostas
2.6 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , sendo o ponto C na circunferência 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é o raio. 𝐴𝐷 > 𝐴𝐶, sendo D fora
da circunferência e 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , sendo E dentro da circunferência. 2.7 O ponto C está na circunferência, logo o segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é o raio.
2.8 É o lugar geométrico em que o ponto A (centro da circunferência) é equidistante a qualquer ponto pertencente à circunferência (raio)
P6 indica corretamente a relação existente entre os pontos do plano e o centro
da circunferência, usando o raio como parâmetro, mas não compara as
propriedades dos pontos com o conceito de LG. P6 define circunferência como
lugar geométrico de forma adequada, apenas no final da definição chama os
pontos da circunferência de raio. P6 usa aspectos intuitivos e computacionais no
paradigma G1, pois não compara a definição de lugar geométrico com a
propriedade dos pontos da circunferência, conforme solicitamos que fizesse.
No Quadro 38, colocamos as respostas de P7 para os itens 2.6, 2.7 e 2.8.
Quadro 38: Respostas de P7 para os itens 2.6, 2.7 e 2.8
Item Respostas
2.6 Nas circunferências temos que é quando ponto está sobre a circunferência a distância é a mesma do raio, se está fora a distância é maior que o raio e se está dentro da circunferência a distância é menor que o raio.
2.7 A circunferência é um lugar geométrico onde todos os pontos distam a mesma distância de um centro (raio).
2.8 Circunferência é o lugar geométrico onde todos os pontos estão a mesma distância do ponto fixo definido como centro.
P7 cita as distâncias dos pontos do plano comparadas com o raio, como foi
solicitado, mas não diz que essas distâncias devem ser calculadas em relação ao
centro da circunferência. P7 não relaciona as propriedades da circunferência com
a definição de LG, porém define circunferência como um LG corretamente. P7 usa
aspectos intuitivos e computacionais no paradigma G1, pois não compara a
definição de lugar geométrico com a propriedade dos pontos da circunferência,
como pedimos que fizesse.
No Quadro 39, colocamos as respostas de P8 para os itens 2.6; 2.7 e 2.8.
131
Quadro 39: Respostas de P8 para os itens 2.6, 2.7 e 2.8
Item Respostas
2.6 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜; 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = ponto na linha da circunferência; 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = ponto interno;
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ =ponto fora; 𝐴𝐸 < 𝐴𝐵 ≡ 𝐴𝐶 < 𝐴𝐷. 2.7 Na circunferência, de centro A, e B na linha da circunferência; 𝐴𝐵 = 𝑟𝑎𝑖𝑜.
Qualquer ponto 𝐶 ≡ 𝐴𝐵, determina a linha da circunferência. 2.8 -
P8 chama segmentos de reta de pontos quando diz, por exemplo que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = ponto
na linha da circunferência. P8 não faz a comparação entre as propriedades dos
pontos da circunferência e a definição de LG. P8 não responde ao item 2.8 e usa
aspectos intuitivos no paradigma G1, pois comete erros teóricos, como, por
exemplo, quando chama segmento de reta de ponto.
Na terceira parte da atividade, tratamos da bissetriz.
2.9 Do item 1C.1 ao item 1C.8, qual propriedade das bissetrizes está sendo
considerada? (dica: esta propriedade tem a ver com distância de ponto a reta)
2.10 Do item 1C.9 ao 1C.12 estamos querendo que você observe que os pontos
que estão fora da bissetriz não possuem determinada propriedade. Qual
propriedade é esta?
2.11 Relacione estas duas propriedades com a definição de lugar geométrico e
defina bissetriz como sendo um lugar geométrico. Lembre-se que para ser
lugar geométrico é necessário que aconteçam duas condições.
No Quadro 40, colocamos as respostas de P3 aos itens 2.9, 2.10 e 2.11.
Quadro 40: Respostas de P3 aos itens 2.9, 2,10 e 2.11
Item Respostas
2.9 Cada ponto da bissetriz é equidistante das semirretas que formam o ângulo.
2.10 Ser equidistante das semirretas do ângulo.
2.11 Somente a bissetriz é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes das semirretas que formam o ângulo.
P3 relaciona as propriedades referentes aos pontos da bissetriz e aos pontos
fora da bissetriz. P3 define corretamente bissetriz como um LG e usa aspectos
intuitivos e computacionais no paradigma G2, pois identifica as propriedades dos
pontos da bissetriz e indica que os pontos que estão fora desta não possuem essa
132
propriedade e, em seguida, define bissetriz como um lugar geométrico, conforme
solicitamos.
No Quadro 41, colocamos as respostas de P5 aos itens 2.9, 2.10 e 2.11.
Quadro 41: Respostas de P5 aos itens 2.9, 2,10 e 2.11
Item Respostas
2.9 Para os pontos fora da bissetriz as distâncias do ponto às semirretas são diferentes. Quando o ponto pertence à reta bissetriz as distâncias do ponto as semirretas são congruentes.
2.10 Quando observamos que os pontos fora da bissetriz verificamos que a distância formada para as semirretas são diferentes, não-congruentes.
2.11 Bissetriz é o lugar geométrico onde dada duas semirretas a bissetriz divide o ângulo em duas partes e tomado um ponto na bissetriz ele está a mesma distância das semirretas e quando fora essas distâncias são diferentes.
P5 identifica corretamente as propriedades dos pontos pertencentes e não-
pertencentes à bissetriz. Ao escrever a definição, P5 mistura a definição usando
LG com a definição que já conhecia. P5 tem problemas com a linguagem formal e
usa aspectos intuitivos no paradigma G1, pois utiliza uma propriedade que não é
adequada para definir bissetriz como lugar geométrico.
No Quadro 42, colocamos as respostas de P6 aos itens 2.9, 2.10 e 2.11.
Quadro 42: Respostas de P6 aos itens 2.9, 2,10 e 2.11
Item Respostas
2.9 Sendo D na bissetriz, a distância desse ponto às semirretas será iguais e o ponto fora da bissetriz terá distâncias distintas.
2.10 As distâncias serão distintas. Sendo D, o ponto fora da bissetriz, então 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≠𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , sendo A e B, pontos respectivos das semirretas.
2.11 Sendo o ponto D pertencente à bissetriz, podemos dizer que bissetriz é o lugar geométrico em que pontos pertencentes a ela terão distâncias iguais às semirretas.
Embora P6 tenha dificuldade para escrever com linguagem formal, identifica
corretamente as propriedades dos pontos pertencentes e não pertencentes à
bissetriz, mas não compara adequadamente os pontos da bissetriz com a
definição de LG. P6 define bissetriz como um LG, conforme desejávamos, e usa
os aspectos intuitivos no paradigma G1, pois não compara a definição de lugar
geométrico com a propriedade dos pontos da bissetriz, como solicitamos.
No Quadro 43, colocamos as respostas de P7 aos itens 2.9, 2.10 e 2.11.
133
Quadro 43: Respostas de P7 aos itens 2.9, 2,10 e 2.11
Item Respostas
2.9 Que todos os pontos contidos na bissetriz estão à mesma distância dos lados.
2.10 Os pontos que estão fora da bissetriz não estão à mesma distância dos lados.
2.11 Bissetriz é o lugar geométrico dos pontos que estão a mesma distância de seus lados.
P7 responde aos três itens como esperávamos que respondesse, ou seja,
percebe as propriedades dos pontos pertencentes e não pertencentes à bissetriz
e escreve a definição de bissetriz usando o conceito de LG. P7 usa aspectos
intuitivos no paradigma G2, pois define corretamente bissetriz como lugar
geométrico, além de indicar que percebeu corretamente a propriedade dos pontos
da bissetriz e que os pontos que estão fora desta não possuem essa propriedade.
No Quadro 44, colocamos as respostas de P8 aos itens 2.9, 2.10 e 2.11.
Quadro 44: Respostas de P8 aos itens 2.9, 2,10 e 2.11
Item Respostas
2.9 Bissetriz divide o ângulo ao meio em 2 partes iguais e intersecciona o lado
oposto 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =
2.10 São diferentes.
2.11 -
P8 não identifica as propriedades dos pontos da bissetriz e dos pontos que estão
fora da bissetriz e, P8 deixa em branco o item onde devia definir bissetriz usando
LG. P8 usa aspectos intuitivos no paradigma G1, pois apresenta problemas ao
utilizar a linguagem formal para indicar a propriedade dos pontos da bissetriz e
não elabora a definição que solicitamos.
Podemos concluir que a maioria dos participantes não conseguiu relacionar as
propriedades da reta mediatriz, da circunferência e da bissetriz de um ângulo com
a definição de Lugar Geométrico Plano, ou seja, não perceberam que estes
objetos matemáticos são LG. Observamos, também, que continuam no paradigma
G1, ou seja, não conseguiram, até este momento, passar da geometria de
observação para a geometria de demonstração.
134
5.3 Análise da Atividade 3
A Atividade 3 foi dividida em três partes. Na primeira parte, pretendíamos que
cada participante identificasse o que é e o que não é uma demonstração. Na
segunda, cada um deles deveria identificar os elementos de uma demonstração.
E, na terceira, construir uma demonstração.
Primeira Parte
Leia o texto a seguir e responda as perguntas que estão ao seu final:
O professor solicitou que uma turma de alunos mostrasse que os pontos
equidistantes das extremidades de um segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ pertencem à reta
mediatriz desse segmento.
Ao corrigir as atividades, este professor separou as atividades de três dos alunos
(o aluno A, o aluno B e o aluno C).
Observe as respostas de cada um desses alunos e, em seguida, responda às
perguntas sugeridas.
Aluno A:
Este aluno abriu uma página no software GeoGebra, traçou um segmento de reta
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , construiu a mediatriz desse segmento e localizou um ponto P sobre a
mediatriz. Em seguida, o aluno determinou a distância de P a A e de P a B.
Verificou que essas distâncias eram congruentes, movimentou o ponto P sobre a
mediatriz e percebeu que a congruência entre as distâncias se mantinham.
Dessa forma, ele concluiu que os pontos que estavam sobre a mediatriz do
segmento de reta são equidistantes das extremidades dele.
135
Figura 10: demonstração Mediatriz é um Lugar Geométrico no GeoGebra
Perguntamos:
3A.1 A construção feita por esse aluno está correta?
3A.2 Esta construção “mostra” que os pontos da mediatriz são equidistantes das
extremidades do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ?
3A.3 Podemos considerar que ele demonstrou o que foi pedido? Na sua opinião,
esta é uma demonstração?
3A.4 Faltou demonstrar alguma coisa?
3A.5 Você acrescentaria ou tiraria algo dessa construção? O que?
Para analisar esses itens, vamos comparar as respostas de cada participante a
cada uma das cinco perguntas realizadas acima (3A.1 a 3A.5) a fim de verificar a
coerência entre as respostas.
No Quadro 45, colocamos as respostas de P1 aos itens 3A.1 a 3A.5.
136
Quadro 45: Respostas de P1 aos itens 3A.1 a 3A.5
Item Respostas
3A.1 Sim.
3A.2 Sim.
3A.3 Não é uma demonstração, pois ele não considera outros fatores.
3A.4 Sim, faltou considerar a possibilidade do ponto estar fora da mediatriz.
3A.5 Sim, acrescentaria um ponto fora da mediatriz e determinaria a distância entre esse ponto e as extremidades para demonstrar que o ponto deve pertencer à mediatriz.
P1 responde aos itens 3A.1 a 3A.5 de modo a indicar que percebeu que a
construção feita pelo Aluno A não contém erros conceituais, mas que não pode
ser considerada uma demonstração. P1 não percebe que, com os pontos que
aparecem na tela do computador, não testa todos os pontos da reta mediatriz. P1
usa aspectos computacionais e formais no paradigma G2, pois observa um
resultado teórico que vai além do meramente observado.
No Quadro 46, colocamos as respostas de P3 aos itens 3A.1 a 3A.5.
Quadro 46: Respostas de P3 aos itens 3A.1 a 3A.5
Item Respostas
3A.1 Sim.
3A.2 Mostra visualmente.
3A.3 Não. Não.
3A.4 Faltou mostrar que não existe um contraexemplo.
3A.5 Sim. Um ponto fora da mediatriz e a distância em relação ao ponto A e ao ponto B.
P3 observa que a construção está correta e que mostra, por meio de uma
construção geométrica, que os pontos da reta mediatriz são equidistantes dos
extremos. Percebe também que essa construção não pode ser considerada uma
demonstração, ao indicar que falta um contraexemplo que mostre que nenhum
outro ponto do plano é equidistante dos extremos, mas não percebe que os pontos
que aparecem na tela do computador não testam todos os pontos da reta
mediatriz. P3 usa aspectos computacionais no paradigma G1, pois considera que
a construção realizada com o GeoGebra é uma demonstração.
No Quadro 47, colocamos as respostas de P5 aos itens 3A.1 a 3A.5.
137
Quadro 47: Respostas de P5 aos itens 3A.1 a 3A.5
Item Respostas
3A.1 Considero que sim.
3A.2 Como ao movimentar o ponto P se visualizar que a distância se mantém, então
sim.
3A.3 Não é demonstração porque é para o caso de um segmento dado.
3A.4 Sim, que vale para todos os casos.
3A.5 Não tiraria nada, acrescentaria pontos fora da mediatriz.
P5 percebe que a construção está correta e que não pode ser considerada uma
demonstração e que o que falta para ser uma demonstração é verificar se algum
ponto fora da reta mediatriz é equidistante dos extremos do segmento de reta. P5
não percebe que os pontos que aparecem na tela do computador não testam todos
os pontos da reta mediatriz. P5 usa aspectos computacionais no paradigma G2,
pois observa resultados teóricos que vão além do que é possível observar com a
construção realizada pelo Aluno A.
No Quadro 48, colocamos as respostas de P6 aos itens 3A.1 a 3A.5.
Quadro 48: Respostas de P6 aos itens 3A.1 a 3A.5
Item Respostas
3A.1 Sim.
3A.2 Sim.
3A.3 Não, porque ele não colocou as hipóteses e tese, ou seja os dados que são dados e consequentemente a conclusão que ele quer chegar.
3A.4 Não.
3A.5 De acordo com o que o professor pediu aos alunos que apenas mostrassem, eu acrescentaria colocar um ponto fora da mediatriz para observar o que aconteceria com as distâncias com os extremos do segmento.
P6 percebe que a construção está correta e que mostra que os pontos da reta
mediatriz são equidistantes dos extremos do segmento de reta, mas não percebe
que está testando apenas alguns pontos. Ao falar sobre a demonstração, P6 diz
que não é demonstração porque não tem hipótese e tese e é incoerente quando
diz que não falta nada e depois diz que faltou testar os pontos de fora da reta
mediatriz. P6 usa aspectos computacionais no paradigma G1, pois pensa que se
138
testar os pontos fora da mediatriz para ver se são equidistantes dos extremos,
será uma demonstração.
No Quadro 49, colocamos as respostas de P7 aos itens 3A.1 a 3A.5.
Quadro 49: Respostas de P7 aos itens 3A.1 a 3A.5
Item Respostas
3A.1 Sim, está correta.
3A.2 Sim, mostra.
3A.3 Sim, mas não é uma demonstração.
3A.4 Sim, ele poderia colocar um ponto fora da mediatriz.
3A.5 Um ponto fora para demonstrar os pontos que não pertencem à mediatriz.
P7 reconhece que a construção está correta, pois mostra que os pontos da reta
mediatriz são equidistantes dos extremos do segmento de reta e, também que não
é uma demonstração, pois é necessário testar os pontos de fora da reta mediatriz.
P7 usa aspectos computacionais no paradigma G2, pois observa resultados
teóricos que vão além do meramente observado.
No Quadro 50, colocamos as respostas de P8 aos itens 3A.1 a 3A.5.
Quadro 50: Respostas de P8 aos itens 3A.1 a 3A.5
Item Respostas
3A.1 Sim, mas falta algo.
3A.2 Sim, mostra.
3A.3 Falta demonstrar que 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ = 5,16 ≡ 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ = 5,16.
3A.4 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ ≡ 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≡ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅.
3A.5 Acrescentaria algo.
P8 diz que falta algo na construção para ela ser correta, mas não diz o quê. Ao
mesmo tempo, é incoerente ao dizer que a construção mostra que os pontos da
reta mediatriz são equidistantes dos extremos do segmento de reta. P8 usa
aspectos computacionais e intuitivos numéricos no paradigma G1, pois embora
observe que a construção não é uma demonstração, não soube dizer o que
deveria ser feito para completar a construção.
No Quadro 51, colocamos as respostas de P9 aos itens 3A.1 a 3A.5.
139
Quadro 51: Respostas de P9 aos itens 3A.1 a 3A.5
Item Respostas
3A.1 Sim.
3A.2 Sim.
3A.3 Sim, pois não um postulado que leva ele a acreditar.
3A.4 Sim. Se colocar um ponto fora do triângulo, as medidas deles seriam diferentes.
3A.5 Sim, colocaria um ponto fora para demonstrar as medidas as diferentes entre eles.
P9 percebe que a construção está correta e mostra que os pontos da reta
mediatriz são equidistantes dos extremos do segmento. Diz, ainda, que essa
construção é uma demonstração, alegando que, mesmo sem usar postulados,
podemos ter uma demonstração. P9 diz que falta demonstrar a propriedade para
pontos fora do triângulo e não temos como saber qual é esse triângulo. P9 ainda
diz que colocaria um ponto fora para terminar a demonstração. P9 usa aspectos
computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois identifica a construção como
sendo uma demonstração.
Aluno B:
O aluno B decidiu resolver o exercício algebricamente. Ele traçou num papel um
segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , traçou a mediatriz m desse segmento de reta e localizou um
ponto P sobre a mediatriz.
Em seguida, ele traçou os segmentos de reta 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ e 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ e localizou o ponto M,
intersecção da reta m com o segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
140
Figura 11: demonstração Mediatriz é um Lugar Geométrico - 1ª parte
Considerou o segmento de reta 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ e observou que dessa forma passou a ter dois
triângulos ∆𝑃𝑀𝐴 e ∆𝑃𝑀𝐵.
Observou que como o segmento 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ está contido na mediatriz m e esta é
perpendicular ao segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , os ângulos 𝑃�̂�𝐴 e 𝑃�̂�𝐵 são retos e,
portanto, congruentes.
Observou, ainda, que como M é o ponto médio do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , os
segmentos de reta 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ e 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ são congruentes.
Como o segmento de reta 𝑀𝑃̅̅̅̅̅ é comum aos dois triângulos ele concluiu que os
triângulos ∆𝑃𝑀𝐴 e ∆𝑃𝑀𝐵 são congruentes pelo caso LAL.
Considerando essa congruência, o aluno concluiu que os segmentos de reta 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ e
𝑃𝐵̅̅ ̅̅ são congruentes também e concluiu que a demonstração estaria completa.
Agora, responda:
3A.6 Esta resolução pode ser considerada uma demonstração?
3A.7 Se sim, ela está completa? Faltou demonstrar alguma coisa?
3A.8 Ele usou algo supérfluo, ou seja, que seria desnecessário para demonstrar
o que foi pedido?
3A.9 Compare as resoluções dos alunos A e B. São diferentes? Por que?
Justifique.
141
Vamos agrupar as respostas dadas por cada participante para podermos verificar
a coerência e a evolução separadamente.
No Quadro 52, colocamos as respostas de P1 aos itens 3A.6 ao 3A.9.
Quadro 52: Respostas de P1 para os itens 3A.6 a 3A.9
Item Respostas
3A.6 Sim.
3A.7 Não, pois assim como o aluno A, o aluno B não considerou quando o ponto está fora da reta.
3A.8 Considerando que ele optou por uma demonstração algébrica não foi utilizado nada supérfluo.
3A.9 Sim, o aluno B utilizou mais a parte teórica para sua demonstração considerando diferentes conceitos como caso de congruência e ponto médio. Já o aluno A optou por uma demonstração geométrica. Apesar de que ambos os alunos não consideraram o fato do ponto estar fora da mediatriz.
P1 considera que foi feita uma demonstração e percebe que ela não está
completa. Ao comparar com a demonstração feita pelo Aluno A, percebe que em
ambos os casos faltou verificar os pontos que estão fora da reta mediatriz. P1 usa
aspectos computacionais e formais no paradigma G2, pois percebe aspectos
teóricos além do que pode ser observado com a atividade.
No Quadro 53, colocamos as respostas de P3 aos itens 3A.6 ao 3A.9.
Quadro 53: Respostas de P3 para os itens 3A.6 a 3A.9
Item Respostas
3A.6 Pode.
3A.7 Faltou provar que os segmentos PA e PB são congruentes para todo P.
3A.8 Não.
3A.9 Sim. O aluno A considerou outras possibilidades para o ponto P, ao passo que o aluno B considerou apenas um caso.
P3 reconhece que o Aluno B fez uma demonstração e que esta não é completa,
porém seu argumento não é adequado. P3 pensa que, nessa demonstração, está
sendo considerado apenas um ponto e não percebe a generalização feita. P3 usa
aspectos computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois usou justificativas
incoerentes com o que foi realizado para afirmar que a resolução não é uma
demonstração.
No Quadro 54, colocamos as respostas de P5 aos itens 3A.6 ao 3A.9.
142
Quadro 54: Respostas de P5 para os itens 3A.6 a 3A.9
Item Respostas
3A.6 Considero que sim, pois o aluno deixa claro que 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ e a mediatriz m
passa pelo ponto médio M e assim o 𝐴�̂�𝑃 e 𝐵�̂�𝑃 serão sempre 90° e 𝑃𝑀̅̅̅̅̅
sendo lado comum dos triângulos 𝐴𝑀𝑃 e 𝐵𝑀𝑃 independente de qual ponto está sobre a mediatriz a condição não altera.
3A.7 Não está completa, falta a verificação de um ponto fora da mediatriz.
3A.8 Não.
3A.9 O aluno não deixou claro ao professor que independente do ponto P na
mediatriz a distância será igual por não ter mostrado que 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ como fez o aluno B.
P5 considera que o Aluno B fez uma demonstração e percebe que esta não está
completa, pois falta verificar se algum ponto que está fora da reta mediatriz tem a
mesma propriedade e considera que o Aluno B fez uma demonstração mais
completa que a do Aluno A. P5 usa aspectos computacionais e intuitivos no
paradigma G2, pois consegue perceber além do meramente observado.
No Quadro 55, colocamos as respostas de P6 aos itens 3A.6 ao 3A.9.
Quadro 55: Respostas de P6 para os itens 3A.6 a 3A.9
Item Respostas
3A.6 Sim.
3A.7 Sim.
3A.8 Não.
3A.9 Sim, porque o aluno A, ele mostrou.
P6 responde apenas com as palavras sim ou não sem dar muitas explicações.
Podemos apenas perceber que ele aceitou que o Aluno B fez uma demonstração
completa. Não percebe que faltou verificar se todos os pontos equidistantes estão
na reta mediatriz. P6 pensa que o aluno B demonstrou e que o Aluno A não fez a
mesma coisa. P6 tem dificuldade em expressar a linguagem formal e usa aspectos
computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois com o tipo de respostas que
deu não temos como verificar se evoluiu para a geometria de demonstração.
No Quadro 56, colocamos as respostas de P7 aos itens 3A.6 ao 3A.9.
143
Quadro 56: Respostas de P7 para os itens 3A.6 a 3A.9
Item Respostas
3A.6 Sim, ele utilizou bases da geometria e casos de congruência para chegar à sua conclusão.
3A.7 Sim, mas falta demonstrar o ponto fora da mediatriz.
3A.8 Não, usou considerando que o aluno optou por resolver algebricamente.
3A.9 O aluno B foi mais teórico e completo utilizando-se de demonstração. Já o aluno A só mostrou o que era mediatriz, entretanto nenhum dos dois considerou os pontos fora da mediatriz.
P7 considera que a resolução do Aluno B é uma demonstração e que ela está
incompleta, pois falta verificar os pontos exteriores à reta mediatriz. Comparou as
respostas dos Alunos A e B dizendo que o Aluno B foi mais teórico e completo
e que as duas demonstrações estão incompletas. P7 usa aspectos intuitivos e
formais no paradigma G2, pois indicou resultados teóricos que vão além do
meramente observado.
No Quadro 57, colocamos as respostas de P8 aos itens 3A.6 ao 3A.9.
Quadro 57: Respostas de P8 para os itens 3A.6 a 3A.9
Item Respostas
3A.6 Sim.
3A.7 Sim.
3A.8 Não
3A.9 Sim, porque o aluno A apenas mostrou.
P8 considera que o Aluno B fez uma demonstração que está completa. Ao
comparar com o Aluno A, diz que este aluno não demonstrou, apenas mostrou.
P8 formula as respostas usando apenas sim ou não e isso nos mostra que P8 tem
problemas em expressar-se usando linguagem formal. P8 usa aspectos
computacionais no paradigma G1, pois com respostas com as palavras “sim” ou
“não”, sem maiores explicações, não temos como entender se verificou algum
resultado teórico.
No Quadro 58, colocamos as respostas de P9 aos itens 3A.6 ao 3A.9.
144
Quadro 58: Respostas de P9 para os itens 3A.6 a 3A.9
Item Respostas
3A.6 Sim.
3A.7 Não, pelo caso L.A.L todos os triângulos iguais e retas também.
3A.8 Observando a demonstração, acho que nada foi desnecessário.
3A.9 Porque o Aluno A utilizou o caso a caso e o Aluno B usou o programa direto no GeoGebra pronto.
P9 considera que o Aluno B fez uma demonstração que não está completa, mas
usa um argumento inválido para justificar que está incompleta. Ao comparar as
duas respostas, também usa argumentos sem sentido. P9 tem dificuldade em
expressar-se na linguagem formal e usa aspectos computacionais e intuitivos no
paradigma G1, pois suas respostas necessitam do uso de aspectos teóricos.
Aluno C:
O aluno C também optou pela resolução algébrica do exercício. Ele fez tudo o que
o aluno B fez e, em seguida fez uma outra figura onde colocou o segmento de reta
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , considerou um ponto Q exterior ao segmento e o ponto médio do segmento
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ que denominou de M.
Ele considerou que o ponto Q é um ponto equidistante de A e de B e traçou o
segmento de reta 𝑄𝑀̅̅ ̅̅ ̅.
Figura 12: mediatriz é um Lugar Geométrico - 2ª parte
Dessa forma, ele escreveu 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ ≅ 𝑄𝐵̅̅ ̅̅ , pois Q é equidistante de A e de B. Escreveu,
também, 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅, pois o ponto M é o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e anotou
ainda que o segmento 𝑄𝑀̅̅ ̅̅ ̅ é comum aos triângulos ∆𝐴𝑄𝑀 e ∆𝐵𝑄𝑀.
145
Em seguida, ele anotou: “Pelo caso LLL, os triângulos ∆𝐴𝑄𝑀 e ∆𝐵𝑄𝑀 são
congruentes, então os ângulos 𝑄�̂�𝐴 e 𝑄�̂�𝐵 também são congruentes e como são
suplementares, são ângulos retos.”
Portanto, o segmento 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ é perpendicular ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , dessa forma, ele
concluiu que qualquer ponto Q equidistante de A e de B pertence à mediatriz do
segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Agora, responda:
3A.10 Esta resolução está correta?
3A.11 Ela pode ser considerada uma demonstração?
3A.12 Faltou algum detalhe?
3A.13 Houve alguma parte supérflua nessa resolução?
3A.14 Explique por que ele fez essa segunda parte que está diferente do que o
aluno B fez?
3.A.15 Compare esta resolução com as resoluções dos alunos A e B?
3A.16 Qual das três resoluções você faria? Ou você faria algo diferente das três
resoluções?
3A.17 Você consegue sugerir uma quarta demonstração para esse teorema?
Para analisar as respostas dadas aos itens 3A.10 a 3A.17, fizemos a análise por
participante, para verificar a coerência.
No Quadro 59, colocamos as respostas de P1 aos itens 3A.10 a 3A.17.
Quadro 59: Respostas de P1 dos itens 3A.10 a 3A.17
Item Respostas
3A.10 Sim.
3A.11 Sim, pois ele considera todos os fatores, ou seja, o ponto estar ou não na mediatriz.
3A.12 Não.
3A.13 Não.
3A.14 Ele fez a segunda parte para demonstrar que o ponto só será equidistante se pertencer à mediatriz.
3A.15 O aluno C fez uma resolução.
3A.16 -
3A.17 -
146
P1 reconhece que o Aluno C fez uma demonstração completa e que esta
demonstração complementa a demonstração feita pelo Aluno B. P1 não escolhe
uma das três demonstrações e nem sugere uma nova. P1 usa aspectos formais
no paradigma G2, pois mostra que percebe que o Aluno C realmente demonstrou
o que foi solicitado pelo professor.
No Quadro 60, colocamos as respostas de P3 aos itens 3A.10 a 3A.17.
Quadro 60: Respostas de P3 dos itens 3A.10 a 3A.17
Item Respostas
3A.10 Sim.
3A.11 Pode.
3A.12 Não.
3A.13 Não.
3A.14 Para comparar e mostrar a validade da resolução para todos os pontos da mediatriz.
3A.15 Esta resolução foi mais completa que a do aluno B. Mas o aluno A também conseguiu mostrar o que foi pedido.
3A.16 Faria a resolução A.
3A.17 -
P3 percebe que a resolução do Aluno C é uma demonstração que complementa
a demonstração do Aluno B. P3 diz que a demonstração do Aluno C é mais
completa do que a do Aluno B, como se a do Aluno B também fosse uma
demonstração. P3 prefere a demonstração feita pelo Aluno A, mas não diz por
quê. P3 usa aspectos computacionais e intuitivos no paradigma G1, pois não
percebe que o Aluno C demonstrou e o Aluno A não demonstrou o que foi pedido.
No Quadro 61, colocamos as respostas de P5 aos itens 3A.10 a 3A.17.
147
Quadro 61: Respostas de P5 dos itens 3A.10 a 3A.17
Item Respostas
3A.10 Não, o segmento 𝑄𝑀̅̅ ̅̅ ̅ não divide exatamente 𝐴�̂�𝑄 e 𝐵�̂�𝑄 em dois ângulos retos.
3A.11 Não, porque ao atribuir um ponto exterior ele afirma ser verdade que 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ ≅𝑄𝐵̅̅ ̅̅ sem demo.
3A.12 Muitos, não demonstrou a congruência dos segmentos 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ e 𝑄𝐵̅̅ ̅̅ ; afirma que
𝑄𝑀̅̅ ̅̅ ̅ é perpendicular sem prova.
3A.13 Não.
3A.14 Para tentar provar que os pontos que pertencem à perpendicular e a mediatriz equidistam dos pontos extremos do segmento.
3A.15 A solução do aluno B foi mais efetiva apesar da falta da contraprova.
3A.16 Seguiria pela solução do aluno C, mas não iria interpretar as medidas isoladamente como ele fez.
3A.17 Sim, construir segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , determinar o ponto médio e a reta perpendicular ao segmento que passa pelo ponto médio e uma perpendicular que passa por um dos extremos. Marcar um ponto em cada perpendicular e verificar as distâncias aos extremos do segmento.
P5 não aceita essa construção como demonstração e diz que está errada. P5 diz
que a demonstração do Aluno B está correta a do aluno C, não. P5 sugere uma
demonstração que não provaria a propriedade que queremos provar. P5 usa
aspectos intuitivos no paradigma G1, pois não consegue identificar a resolução do
Aluno C como sendo uma demonstração.
No Quadro 62, colocamos as respostas de P6 aos itens 3A.10 a 3A.17.
Quadro 62: Respostas de P6 dos itens 3A.10 a 3A.17
Item Respostas
3A.10 Não.
3A.11 Não, os ângulos 𝑃�̂�𝐴 e 𝑃�̂�𝐵 não são retos.
3A.12 Sim, os ângulos.
3A.13 Sim.
3A.14 Ele quis colocar um ponto fora da mediatriz e demonstrar a congruência de triângulos.
3A.15 O A = mostrou, e B = demonstrou; C não chegou na resolução correta de acordo com o que foi pedido.
3A.16 De acordo com o texto lido, eu faria o caso do aluno A, ou seja mostrar.
3A.17 Não.
P6 diz que a resposta do Aluno C não é uma demonstração e usa como
justificativa que o ângulo construído não é reto, ou seja, P6 não entendeu a
148
demonstração por absurdo. P6 escolhe a resposta do Aluno A como sendo a
melhor e usa aspectos intuitivos no paradigma G1, pois não consegue identificar
a resolução do Aluno C como sendo uma demonstração.
No Quadro 63, colocamos as respostas de P7 aos itens 3A.10 a 3A.17.
Quadro 63: Respostas de P7 dos itens 3A.10 a 3A.17
Item Respostas
3A.10 Sim.
3A.11 Sim.
3A.12 Não.
3A.13 Não
3A.14 Para explicar os pontos fora da mediatriz.
3A.15 O aluno C demonstrou de maneira algébrica detalhadamente porque os pontos que estão fora da mediatriz não estão à mesma distância de A e B, enquanto que o aluno B só demonstrou os pontos que pertencem à mediatriz também de forma algébrica e o aluno A mostrou de forma geométrica.
3A.16 Faria a forma C mas mostraria que os triângulos são diferentes.
3A.17 Sim, mostrando que os triângulos não são congruentes.
P7 acredita que a construção é correta e que é uma demonstração. P7 sabe
explicar porque o Aluno C fez diferente da do Aluno B, mas não entendeu a
demonstração por absurdo. P7 usa aspectos intuitivos, computacionais e formais
no paradigma G1, pois embora considere a demonstração do Aluno C, mostra que
não entendeu direito os caminhos desta demonstração.
No Quadro 64, colocamos as respostas de P8 aos itens 3A.10 a 3A.17.
Quadro 64: Respostas de P8 dos itens 3A.10 a 3A.17
Item Respostas
3A.10 Não.
3A.11 Demonstração errada.
3A.12 Desenhou mediana e não mediatriz.
3A.13 Sim.
3A.14 Falta conhecimento geométrico.
3A.15 A do aluno B é mais completa e correta.
3A.16 Faria a demonstração B.
3A.17 Não.
149
P8 não aceita a demonstração como correta, pois não entende a demonstração
por absurdo. Os argumentos de P8 nos mostram que P8 não sabe demonstrar por
absurdo, pois, de acordo com Fischbein (1994), aspectos formais não permitem
que ele entenda as sutilezas de uma demonstração por absurdo. P8 usa aspectos
algorítmicos no paradigma G1, pois não consegue entender a demonstração
realizada.
No Quadro 65, colocamos as respostas de P9 aos itens 3A.10 a 3A.17.
Quadro 65: Respostas de P9 dos itens 3A.10 a 3A.17
Item Respostas
3A.10 Sim.
3A.11 Sim.
3A.12 Não
3A.13 Não.
3A.14 Para ter uma nova visão de como demonstrar.
3A.15 O Aluno C uma resolução.
3A.16 -
3A.17 -
P9 aceita a resolução do Aluno C como correta e diz que é uma demonstração.
P9 não sabe explicar porque o Aluno C fez uma parte da demonstração diferente
da do Aluno B e não deu sugestão para novas demonstrações. P9 usa respostas
curtas e não explica direito o que quer dizer com suas respostas e, portanto, tem
problemas com a linguagem formal. P9 usa aspectos intuitivos no paradigma G1
e não está conseguindo passar da Geometria de Observação para a Geometria
de Demonstração.
Segunda Parte
Em matemática, os resultados apenas são aceitos se demonstrados, então a
demonstração é essencial para se estudar matemática.
Afirmações apenas são aceitas se demonstradas verdadeiras. Ao iniciar uma
demonstração é necessário saber primeiramente duas coisas: quais as hipóteses
e quais as teses dessa afirmação que chamaremos de Teorema.
150
As hipóteses são afirmações que são enunciadas como verdadeiras na sentença
do Teorema e as teses são as afirmações que temos que provar que são
verdadeiras.
Veja este exemplo:
“Sejam 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶 como na figura abaixo. Mostre que 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷.”
Figura 13: exemplo de demonstração
Neste exemplo as hipóteses são: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶 e a tese é: 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷.
Vamos agora, identificar quais as hipóteses e as teses dos seguintes teoremas:
3B.1 Teorema: Se duas retas que se cortam formam um ângulo reto, então
formam quatro ângulos retos.
3B.2 Na figura abaixo, temos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . Mostre que 𝐷�̂�𝐶 ≅ 𝐸�̂�𝐵.
Figura 14: exercício 3B.2 - hipótese e tese
Hipótese:
Tese:
No Quadro 66, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3B.2.
151
Quadro 66: Respostas dos participantes ao item 3B.2
Participante Resposta Paradigma
P1 H: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e T: 𝐷�̂�𝐶 ≅ 𝐸�̂�𝐵 G2
P2 - -
P3 H: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e T: 𝐷�̂�𝐶 ≅ 𝐸�̂�𝐵 G2
P4 - -
P5 - -
P6 H: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e T: 𝐷�̂�𝐶 ≅ 𝐸�̂�𝐵 G2
P7 H: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e T: 𝐷�̂�𝐶 ≅ 𝐸�̂�𝐵 G2
P8 H: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e T: 𝐷�̂�𝐶 ≅ 𝐸�̂�𝐵 G2
P9 - -
P9 não responde a este item. Podemos observar que todos que o respondem
escrevem de maneira correta a hipótese e a tese, mas nada garante que
conseguem efetuar a demonstração, a não ser que pedíssemos que a
terminassem. Usam aspectos formais lógicos no paradigma G2, pois identificam
corretamente a hipótese e a tese do teorema.
3B.3 Mostre que dado um triângulo isósceles ∆𝐴𝐵𝐶 com base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , a mediana
desde o vértice A desse triângulo coincide com a bissetriz do triângulo
correspondente ao ângulo Â.
Hipótese:
Tese:
No Quadro 67, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3B.3.
152
Quadro 67: Respostas dos participantes ao item 3B.3
Participante Resposta Paradigma
P1 H: Triângulo isósceles ∆𝐴𝐵𝐶 com base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . T: mediana desde o vértice A coincide com a bissetriz
correspondente ao ângulo Â.
G2
P2 - -
P3 H: ∆𝐴𝐵𝐶 é isósceles. T: A mediana desde o vértice A é também bissetriz de
𝐵Â𝐶.
G2
P4 - -
P5 - -
P6 H: ∆𝐴𝐵𝐶, mediana, bissetriz. T: Mediana coincide com a bissetriz.
G2
P7 H: ∆𝐴𝐵𝐶 isósceles, base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . T: Mediana desde o vértice A coincide com a bissetriz do ∆ correspondente.
G2
P8 H: No ∆𝐴𝐵𝐶 isósceles. T: mediana = bissetriz.
G2
P9 H: 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ é mediatriz, 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ é mediana. T: ∆𝐴𝐵𝐶 é isósceles.
G1
P1, P3 e P7 identificam corretamente a hipótese e a tese do teorema. Usam
aspectos formais no paradigma G2, pois identificam corretamente a hipótese e a
tese do teorema.
P6 não indica que o triângulo é isósceles nem a qual dos lados do triângulo se
referem a mediana e a bissetriz. P6 usa aspectos algorítmicos no paradigma G2.
P8 não indica a qual lado do triângulo isósceles se referem a mediana e a
bissetriz. P8 usa aspectos algorítmicos no paradigma G2.
P9 usa mediatriz, em vez de bissetriz, como está no enunciado do teorema, e
inverte hipótese e tese. P9 usa aspectos intuitivos no paradigma G1.
Alguns Teoremas são do tipo “se e somente se”. Esses teoremas possuem duas
fases de demonstração, numa delas usamos uma hipótese para demonstrar uma
tese e, na segunda fase, a tese da primeira fase vira hipótese e a hipótese da
primeira fase vira tese. Na verdade, quando aparece a expressão: “se e somente
se” precisamos fazer duas demonstrações ao invés de uma única como fizemos
nos exemplos anteriores.
Veja este exemplo:
153
Mostre que a bissetriz em  de um triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 é perpendicular ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ se,
e somente se, o triângulo é isósceles com base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Nesse caso, temos na chamada “ida” do teorema a hipótese: a bissetriz de um
triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 é perpendicular ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e a tese: o triângulo é isósceles com
base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Já na chamada “volta” do teorema temos a hipótese: num triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 é
isósceles com base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e a tese será: a bissetriz do triângulo é perpendicular ao
lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Agora, complete as hipóteses e as teses dos seguintes teoremas:
3B.4 Um triângulo é isósceles se, e somente se, tem dois ângulos internos
congruentes.
“Ida”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒:
“Volta”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒:
No Quadro 68, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3B.4.
154
Quadro 68: Respostas dos participantes ao item 3B.4
Participante “ida” “volta” Paradigma
P1 H: o triângulo é isósceles; T: o triângulo tem dois ângulos internos congruentes.
H: o triângulo tem dois ângulos internos congruentes; T: o triângulo é isósceles.
G2
P2 - - -
P3 H: o triângulo é isósceles; T: o triângulo tem dois ângulos internos congruentes.
H: o triângulo tem dois ângulos internos congruentes; T: o triângulo é isósceles.
G2
P4 - - -
P5 - - -
P6 H: triângulo isósceles; T: dois ângulos congruentes.
H: dois ângulos congruentes; T: triângulo isósceles.
G2
P7 H: triângulo isósceles; T: tem dois ângulos internos congruentes.
H: tem dois ângulos internos congruentes; T: o triângulo é isósceles.
G2
P8 - -
P9 H: 𝐵𝑀 ≡ 𝑀𝐶 → 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ é mediatriz e mediana. T: ∆𝐴𝐵𝐶 é isósceles.
Pelo teorema recíproco é verdadeira.
G1
P1, P3 e P7 identificam corretamente a hipótese e a tese tanto na “ida” como na
“volta” e usam aspectos formais no paradigma G2, pois identificam corretamente
hipótese e tese.
P6 não identifica quais ângulos congruentes poderiam ser os ângulos externos,
da maneira como escreve, tanto na “ida” como na “volta”. P6 usa aspectos
algorítmicos no paradigma G1, pois não consegue identificar corretamente
hipótese e tese.
P9 escreve, na “ida”, uma hipótese diferente da que foi indicada pelo teorema e
uma tese que deveria ter sido indicada na hipótese. Na “volta”, P9 escreve sobre
o teorema recíproco e não sabemos o que quis dizer com essa expressão. P9
usa aspectos intuitivos no paradigma G1, pois tem dificuldade em identificar
hipótese e tese.
P1, P3 e P7 mostram observar os pontos necessários para começar uma
demonstração, ou seja, estão passando para a geometria de demonstração. P6,
155
P8 e P9 ainda estão na geometria de observação, pois ainda se atrapalham ao
escrever a hipótese e a tese ou ainda, em algumas vezes, deixam a resposta em
branco.
Definição: Uma figura recebe o nome de lugar geométrico dos pontos que
possuem uma propriedade P quando:
Todos os seus pontos satisfazem a propriedade P;
Somente os pontos dessa figura satisfazem a propriedade P, isto é, se um ponto
A possui a propriedade P, então pertence à figura.
Observando esta definição podemos notar que uma demonstração de Lugar
Geométrico é do tipo “se e somente se”. Assim sendo, complete os itens a seguir
indicando as hipóteses e as teses de cada um dos teoremas enunciados.
3B.5 Teorema: o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de dois
pontos dados é a mediatriz do segmento formado por eles.
“Ida”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒:
“Volta”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒:
No Quadro 69, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3B.5.
156
Quadro 69: Respostas dos participantes ao item 3B.5
Participante “ida” “volta” Paradigma
P1 H: o lugar geométrico é formado pelos pontos que são equidistantes de 2 pontos dados. T: O lugar geométrico é a mediatriz do segmento formado pelos pontos dados.
H:.O lugar geométrico é a mediatriz do segmento formado pelos pontos dados. T: O lugar geométrico é formado pelos pontos que são equidistantes dos pontos dados.
G2
P2 - - -
P3 H: Os pontos que são equidistantes de dois pontos são o lugar geométrico. T: A mediatriz é o lugar geométrico do segmento formado por dois pontos.
H: A mediatriz é o lugar geométrico do segmento formado por dois pontos. T: Os pontos que são equidistantes de dois pontos são o lugar geométrico.
G2
P4 - - -
P5 - - -
P6 H: lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois pontos dados. T: mediatriz do segmento formado pelos pontos.
H: mediatriz do segmento formado pelos pontos. T: lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois pontos dados.
G2
P7 H: Mediatriz é um lugar geométrico. T: Mediatriz é um lugar geométrico se e somente se todos os pontos equidistam de A e B.
H: Mediatriz é um lugar geométrico se e somente se todos os pontos equidistantes de A e B. T: Mediatriz é um lugar geométrico.
G2
P8 - - -
P9 - - -
P8 e P9 não responderam a este item.
P1, P3, P6 e P7 têm dificuldade em passar para a linguagem matemática a
definição de reta mediatriz como sendo um lugar geométrico, apesar de tudo o
que foi abordado até este ponto da pesquisa. Isso mostra, mais uma vez, que
apenas identificar a hipótese e a tese corretamente não garante que o participante
tenha condições de efetuar uma demonstração. P1, P3, P6 e P7 escrevem frases
verdadeiras, mas estas não indicam o que seria necessário demonstrar para
provar que a reta mediatriz é um lugar geométrico. P1, P3, P6 e P7 usam aspectos
157
algorítmicos e intuitivos no paradigma G1, pois têm dificuldade em identificar
corretamente a hipótese e a tese.
3B.6 O lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância conhecida d de um
ponto C é a circunferência de centro C e raio d.
“Ida”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒:
“Volta”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒:
No Quadro 70, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3B.6.
Quadro 70: Respostas dos participantes ao item 3B.6
Participante “ida” “volta” Paradigma
P1 H: O lugar geométrico é formado pelos pontos que estão a uma distância de um ponto C. T: O lugar geométrico é a circunferência de centro C e raio d.
H: O lugar geométrico é a circunferência de centro C e raio d. T: O lugar geométrico é formado pelos pontos que estão a uma distância d de um ponto C.
G2
P2 - - -
P3 H: A circunferência é o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância d de um ponto C. T: C é o centro da circunferência de raio d.
H: C é o centro da circunferência de raio d. T: A circunferência é o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância d de um ponto C.
G2
P4 - - -
P5 - - -
P6 H: Ponto C e medida d. T: uma circunferência de centro C e raio medida d.
H: uma circunferência de centro C e raio medindo d. T: ponto C e medida d.
G2
P7 H: Circunferência é um lugar geométrico. T: circunferência é o lugar geométrico de centro C e raio d.
H: Circunferência é o lugar geométrico de centro C e raio d. T: Circunferência é um lugar geométrico se e somente se tiver centro C e raio d.
G2
P8 - - -
P9 - - -
P8 e P9 não responderam a este item.
158
P1, P3, P6 e P7 escrevem frases corretas, mas que não representam nem a
hipótese e nem a tese do teorema apresentado. Fica claro que não conseguiram
usar os conhecimentos sobre lugar geométrico para enunciar, com expressões
lógicas matemáticas, a hipótese e a tese do teorema solicitado. P1, P3, P6 e P7
usam aspectos intuitivos no paradigma G1, pois têm dificuldade em identificar
corretamente a hipótese e a tese.
3B.7 Teorema: O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas semirretas
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ é a bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶 (0 < 𝐵Â𝐶 < 180°).
“Ida”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒:
“Volta”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒:
No Quadro 71, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3B.7.
159
Quadro 71: Respostas dos participantes ao item 3B.7
Participante “ida” “volta” Paradigma
P1 H: O lugar geométrico é formado pelos pontos equidistantes de duas
semirretas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. T: O lugar geométrico é a
bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶
(0 < 𝐵Â𝐶 < 180°).
H: O lugar geométrico é a
bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶
(0 < 𝐵Â𝐶 < 180°). T: O lugar geométrico é formado pelos pontos equidistantes de duas
semirretas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
G1
P2 - -
P3 H: O lugar geométrico dos pontos equidistantes de
duas semirretas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ é bissetriz.
T: A bissetriz de 𝐵Â𝐶 é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de
duas semirretas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
H: A bissetriz de 𝐵Â𝐶 é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de
duas semirretas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. T: O lugar geométrico dos pontos equidistantes de
duas semirretas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ é bissetriz.
G1
P4 - -
P5 - -
P6 H: ângulo 𝐵Â𝐶, pontos equidistantes de duas
semirretas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. T: bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶.
H: bissetriz do ângulo
𝐵Â𝐶.
T: ângulo 𝐵Â𝐶, pontos equidistantes de duas
semirretas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
G1
P7 H: Bissetriz é um lugar geométrico. T: Bissetriz é um Lugar Geométrico se for o conjunto de pontos que divide o ângulo em ângulos congruentes.
H: Bissetriz é um conjunto de pontos que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. T: Bissetriz é um lugar geométrico.
G1
P8 - -
P9 - -
P8 e P9 não responderam a este item.
P1, P3, P6 e P7 escrevem, novamente, frases corretas, mas que não são nem a
hipótese e nem a tese do teorema indicado, o que mostra que P1, P3, P6 e P7
não conseguiram informar, usando expressões lógicas matemáticas, que a
bissetriz é um lugar geométrico plano. P1, P3, P6 e P7 usam aspectos intuitivos
no paradigma G1, pois têm dificuldade em identificar corretamente a hipótese e a
tese.
Os participantes mostram que continuam na geometria de observação, ou seja,
ainda não passaram para a geometria de demonstração.
160
Terceira Parte
Agora, você vai aprender a usar as hipóteses das afirmações para mostrar que a
tese é verdadeira.
Para isso, você tem que raciocinar em cima das hipóteses, usar outros resultados
da geometria já demonstrados anteriormente e chegar que a tese é verdadeira.
Vamos começar com o exemplo:
“Sejam 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶 como na figura abaixo. Mostre que 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷.”
Figura 15: exemplo de demonstração
Observando o enunciado, podemos concluir que a hipótese (informações que
sabemos verdadeiras) é que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶.
A tese (propriedade que desejamos provar que é verdadeira) é que 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷.
A demonstração de um teorema depende de resultados já demonstrados e, neste
caso, uma abordagem possível de ser usada é a congruência de triângulos, que
vamos supor que já conhecemos, além de alguns fatos básicos de Geometria.
Quando temos uma figura como a desse exemplo, que não é um triângulo,
podemos usar de um artifício para transformá-la numa junção de triângulos. Para
tal, podemos usar um segmento de reta auxiliar que transformará nossa figura na
junção de dois triângulos que, se forem congruentes, facilitarão a nossa
demonstração. A princípio, traçamos o segmento de reta 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ que transforma o
quadrilátero ABCD nos triângulos ∆𝐴𝐵𝐷 e ∆𝐴𝐶𝐷 que estão unidos pelo segmento
traçado. Observe a Figura 16
161
Figura 16: exemplo de demonstração com artifício
Considerando a hipótese e o segmento de reta traçado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , podemos destacar
que:
{𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅
Pelo caso de congruência LLL podemos concluir a congruência dos triângulos
∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴𝐶𝐷.
Dessa forma, podemos concluir que os ângulos correspondentes dos dois
triângulos também são congruentes, portanto:
{𝐴�̂�𝐵 ≅ 𝐴�̂�𝐶𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷𝐵Â𝐷 ≅ 𝐶Â 𝐷
Como a tese desse teorema é que 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷, podemos concluir que ela está
demonstrada.
Mas, nem sempre uma demonstração pode ser feita de uma única forma. Observe
que a nossa figura pode ser transformada em dois outros triângulos, se traçamos
o segmento de reta 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Veja a Figura 17
Figura 17: exemplo de demonstração com segundo artifício 2
162
Observe que, dessa forma, temos novamente dois triângulos a considerar ∆𝐴𝐵𝐶
e ∆𝐷𝐵𝐶. Pela hipótese, temos que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ o que nos leva a concluir que o
triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 é um triângulo isósceles de base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Da mesma forma, temos que
𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ , o que nos leva a concluir que o triângulo ∆𝐷𝐵𝐶 também é isósceles de
base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Agora precisamos usar um resultado referente às propriedades dos triângulos
isósceles, de que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
Você poderá perguntar se dessa forma não estará utilizando a congruência de
triângulos. A resposta é sim, a congruência de triângulos está sendo usada uma
vez que essa propriedade dos triângulos isósceles é provada utilizando a
congruência de triângulos (não faremos essa demonstração aqui, usaremos
apenas a propriedade já demonstrada).
Como o ∆𝐴𝐵𝐶 é isósceles, temos a congruência dos ângulos de sua base: 𝐴�̂�𝐶 ≅
𝐴�̂�𝐵. A mesma coisa será feita com o ∆𝐷𝐵𝐶 que também é isósceles: 𝐷�̂�𝐶 ≅
𝐷�̂�𝐵.
Se temos que 𝐴�̂�𝐶 ≅ 𝐴�̂�𝐵 e 𝐷�̂�𝐶 ≅ 𝐷�̂�𝐵, podemos subtrair as medidas desses
ângulos e temos 𝐴�̂�𝐶 − 𝐷�̂�𝐶 = 𝐴�̂�𝐵 − 𝐷�̂�𝐵, o que nos leva a concluir que
𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷. Como nossa tese a ser demonstrada era 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷 e chegamos
a esta conclusão após a análise dos triângulos congruentes, podemos concluir
que o teorema foi demonstrado.
Agora, vamos demonstrar o seguinte teorema:
3C.1 Sejam 𝐹�̂�𝐴 ≅ 𝑅�̂�𝑄 e 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅ como na figura abaixo. Mostre que 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ .
Figura 18: ilustração - exercício 1 parte 3
a) Complete:
Hipótese: __________________________________________
Tese: _____________________________________________
163
b) Para facilitar a dedução da demonstração, podemos marcar na figura quais
elementos temos como verdadeiros (a hipótese) e quais queremos mostrar
que são verdadeiros (a tese), portanto, marque na figura a hipótese e a
tese.
c) Como nossa figura é formada por triângulos, vamos tentar identificar
triângulos que sejam congruentes para poder tirar conclusões sobre os
segmentos e ângulos da figura para chegar à demonstração da tese. Então,
identifique os triângulos que você vai analisar se são congruentes.
d) Quais outros segmentos e/ou ângulos não foram indicados na hipótese
como congruentes e que você pode concluir que são congruentes? Marque
estes elementos na figura.
e) Você já pode identificar algum caso de congruência de triângulos com os
elementos que já tem? Qual é esse caso?
f) Você já pode concluir que a tese é verdadeira? Explique sua conclusão com
base na congruência de triângulos que identificou no item anterior.
Analisamos o item 3C.1 com as respostas aos itens a) até f) numa única tabela
para cada participante, para que possamos ver a demonstração completa e
verificar se está correta.
No Quadro 72, colocamos as respostas de P1 ao item 3C.1.
Quadro 72: respostas de P1 ao item 3C.1
Item Respostas
3C.1a H: 𝐹�̂�𝐴 ≅ 𝑅�̂�𝑄 e 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅. T: 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ .
3C.1c ∆𝐻𝐵𝐹 e ∆𝐻𝑀𝑅.
3C.1d 𝐹�̂�𝐻 ≡ 𝑅�̂�𝐻 (suplementares aos ângulos 𝐹�̂�𝐴 e 𝑅�̂�𝑄) e 𝐹�̂�𝐵 ≡ 𝑅�̂�𝑀 (o.p.v.).
3C.1e Sim. Caso A.L.A. (ângulo, lado, ângulo)
3C.1f Sim, pois se os triângulos são congruentes os lados e os ângulos
correspondentes são congruentes, tendo assim 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≡ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ ≡ 𝑀𝑅̅̅̅̅̅ e
𝑀�̂�𝐻 ≡ 𝐵�̂�𝐻. Como 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≡ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ é a tese.
P1 conduz corretamente a demonstração do teorema em todos os subitens. P1
usa aspectos formais e algorítmicos no paradigma G2, pois consegue demonstrar
corretamente o teorema.
No Quadro 73 colocamos as respostas de P3 ao item 3C.1.
164
Quadro 73: respostas de P3 ao item 3C.1
Item Respostas
3C.1a H: 𝐹�̂�𝐴 ≅ 𝑅�̂�𝑄 e 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅. T: 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ .
3C.1c ∆𝐹𝐻𝐵 e ∆𝑅𝐻𝑀.
3C.1d 𝐹𝐵 e 𝑅𝑀; 𝐹�̂�𝐻 e 𝑅�̂�𝐻.
3C.1e Sim. Caso ALA.
3C.1f Sim. 𝐹�̂�𝐻 e 𝑅�̂�𝐻 são congruentes porque são suplementares, 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅ pela
hipótese e 𝐹�̂�𝐵 ≅ 𝑅�̂�𝑀 pois são opostos pelo vértice. Pelo caso ALA os
triângulos 𝐹𝐻𝐵 e 𝑅𝐻𝑀 são congruentes, portanto, 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ .
P3 indica corretamente a hipótese, a tese e os triângulos que deverão ser
analisados. No item d), P3 localiza um par de ângulos congruentes, embora não
justifique a congruência e indica um par de segmentos congruentes que não teria
como saber, sem justificar a congruência dos triângulos. P3 identifica
corretamente o caso de congruência e conclui a demonstração. P3 usa aspectos
algorítmicos no paradigma G1, pois ainda não consegue completar a
demonstração.
No Quadro 74, colocamos as respostas de P5 ao item 3C.1.
Quadro 74: respostas de P5 ao item 3C.1
Item Respostas
3C.1ª H: 𝐹�̂�𝐴 ≅ 𝑅�̂�𝑄 e 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅. T: 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ .
3C.1c ∆𝐹𝐵𝐴 e ∆𝑅𝑀𝑄, ∆𝐹𝐵𝐻 e ∆𝑅𝑀𝐻.
3C.1d �̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ �̂�, Â ≅ �̂�, �̂� ≅ �̂�.
3C.1e A.L.A. nos triângulos (∆𝐹𝐻𝐵 e ∆𝑅𝐻𝑀)
3C.1f Como �̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ �̂� (o.p.v.) e 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅ nos ∆𝐹�̂�𝐵 e ∆𝑅𝐻𝑀 temos dois triângulos que suas bases possuem ângulos que correspondentes
congruentes logo 𝐹𝐻̅̅ ̅̅ ≅ 𝑅𝐻̅̅ ̅̅ .
P5 escreve corretamente a hipótese e a tese do teorema e identifica os triângulos
que pedimos, mas utiliza linhas auxiliares para montar mais dois triângulos
diferentes dos que eram esperados. P5 localiza os pares de ângulos congruentes,
porém não identifica corretamente esses ângulos e indica outros dois pares de
ângulos congruentes que não teria como indicar, sem que provasse a congruência
165
dos triângulos primeiro. P5 identifica corretamente o caso de congruência e quais
triângulos são congruentes. P5 usa, para provar a congruência, ângulos que só
poderiam ser considerados congruentes após a demonstração da congruência
dos triângulos e, portanto, não completa a demonstração adequadamente. P5 usa
aspectos algorítmicos e intuitivos no paradigma G1, pois sua demonstração não
está completa.
No Quadro 75, colocamos as respostas de P6 ao item 3C.1.
Quadro 75: respostas de P6 ao item 3C.1
Item Respostas
3C.1ª H: 𝐹�̂�𝐴 ≅ 𝑅�̂�𝑄 e 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅. T: 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ .
3C.1c ∆𝐹𝐵𝐻 e ∆𝑅𝑀𝐻.
3C.1d 𝐹�̂�𝐻 ≅ 𝑅�̂�𝐻
3C.1e ALA
3C.1f Sim, pois pelo caso de congruência ALA, podemos dizer que os dois triângulos são semelhantes, pois tem ângulos e lados congruentes.
P6 identifica corretamente a hipótese, a tese e os triângulos que devem ser
analisados. P6 localiza apenas um dos pares de ângulos congruentes e não
justifica a congruência. P6 identifica corretamente o caso de congruência e
conclui, mas não dá os detalhes que o levam a essa conclusão e nem conclui a
tese. P6 usa aspectos algorítmicos no paradigma G1, pois não consegue concluir
a demonstração.
No Quadro 76, colocamos as respostas de P8 ao item 3C.1.
Quadro 76: respostas de P8 ao item 3C.1
Item Respostas
3C.1ª H: 𝐹�̂�𝐴 ≅ 𝑅�̂�𝑄 e 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅. T: 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ .
3C.1c 𝐹𝐵𝐻 ≅ 𝑅𝐻𝑀.
3C.1d 𝐻Â𝑄 ≅ 𝐻�̂�𝐴, 𝐻�̂�𝑀 ≅ 𝐻𝑀𝐵
3C.1e ALA.
3C.1f Sim, 𝐹�̂�𝐻 ≅ 𝑅�̂�𝐻, 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝐵�̂�𝐹 ≅ 𝑅�̂�𝑀. Caso ALA.
166
P8 identifica corretamente a hipótese e a tese do teorema. Ao identificar os
triângulos, P8 não coloca o símbolo para indicar que são triângulos e usa uma
ordem errada das letras para indicar os vértices. P8 indica um par de ângulos
congruentes que não faz parte dos triângulos indicados. P8 identifica corretamente
o caso de congruência e os elementos que levam a concluir a congruência dos
triângulos, mas não conclui a tese. P8 usa aspectos algorítmicos no paradigma
G1, pois não consegue conduzir a demonstração.
No Quadro 77, colocamos as respostas de P9 ao item 3C.1.
Quadro 77: respostas de P9 ao item 3C.1
Item Respostas
3C.1ª H: 𝐹�̂�𝐴 ≅ 𝑅�̂�𝑄 e 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅. T: 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ .
3C.1c ∆𝐻𝐵𝐹 ≅ ∆𝐻𝑀𝑅
3C.1d 𝐹�̂�𝐵 ≅ 𝑅�̂�𝑀 (o.p.v.) e 𝐹�̂�𝐻 ≅ 𝑅�̂�𝐻 (suplementar nos triângulos FBA e RMH)
3C.1e Sim, pelo caso A.L.A.
3C.1f Sim, pois os triângulos os lados e ângulos correspondentes são congruentes,
tendo que 𝐹𝐻̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑅̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝑅𝑀̅̅̅̅̅ e 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ≅ 𝑀𝐻̅̅ ̅̅ ̅ ∴ está demonstrado.
P9 identifica corretamente a hipótese e a tese do teorema e, também, os
triângulos, mas inverte a ordem dos vértices para indicar a congruência. P9 indica
corretamente os ângulos, com a justificativa correta para a congruência de cada
par de ângulos. P9 identifica corretamente o caso de congruência e conclui
corretamente a demonstração. P9 usa aspectos algorítmicos no paradigma G1,
pois, mesmo tendo concluído a demonstração, podemos perceber que P9
continua na geometria de observação e não passou para a geometria de
demonstração.
3C.2 Agora, vamos demonstrar o seguinte teorema:
Na figura abaixo, sabendo que C é ponto médio de 𝐵𝐸, prove que os triângulos
𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐶 são congruentes.
167
Figura 19: figura referente ao exercício 2 da atividade 3C.
a) Complete:
Hipótese: __________________________________________
Tese: _____________________________________________
b) Marque na figura a hipótese e a tese.
c) Identifique os triângulos que você vai analisar se são congruentes.
d) Quais outros segmentos e/ou ângulos não foram indicados na hipótese
como congruentes e que você pode concluir que são congruentes? Marque
estes elementos na figura.
e) Você já pode identificar algum caso de congruência de triângulos com os
elementos que já tem? Qual é esse caso?
f) Você já pode concluir que a tese é verdadeira? Explique sua conclusão com
base na congruência de triângulos que identificou no item anterior.
Analisamos o item 3C.2 com as respostas aos itens a) até f) numa única tabela,
para analisar cada participante em separado, quanto à sequência e à coerência
entre as respostas.
No Quadro 78 colocamos as respostas de P1 ao item 3C.2.
168
Quadro 78: respostas de P1 ao item 3C.2
Item Respostas
3C.1a H: C é o ponto médio de 𝐵𝐸. T: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐶
3C.1c ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐸𝐶.
3C.1d 𝐴�̂�𝐵 ≡ 𝐷�̂�𝐸 (o.p.v.) 𝐴�̂�𝐶 ≡ 𝐷Ê𝐶 (ambos são ângulos retos conforme a figura)
3C.1e Sim, o caso A.L.A (ângulo, lado, ângulo).
3C.1f Sim, pois a tese é que os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐶 são congruentes, como a congruência foi demonstrada, a tese é verdadeira.
P1 identifica corretamente a hipótese, a tese e os triângulos que deverão ser
analisados para demonstrar o teorema. Em seguida, P1 identifica os pares de
ângulos congruentes, mas não o par de segmentos congruentes que deverão ser
usados para provar a congruência dos triângulos. P1 identifica corretamente o
caso de congruência e conclui a demonstração. P1 usa aspectos algorítmicos no
paradigma G1, pois, embora tenha concluído a demonstração, comete alguns
erros no decorrer desta.
No Quadro 79 colocamos as respostas de P3 ao item 3C.2.
Quadro 79: respostas de P3 ao item 3C.2
Item Respostas
3C.1a H: C é o ponto médio de 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ . T: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐶
3C.1c ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐸𝐶.
3C.1d 𝐵�̂�𝐴 e 𝐷�̂�𝐸 são opv.
3C.1e Sim. Caso ALA.
3C.1f Sim. �̂� ≅ Ê retos, 𝐵�̂�𝐴 ≅ 𝐷�̂�𝐸 opv e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐸̅̅̅̅ pois C é ponto médio de 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ .
Portanto pelo caso ALA, os ∆𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐶 são congruentes.
P3 identifica corretamente a hipótese, a tese e os triângulos que deverão ser
analisados para demonstrar o teorema. Para provar a congruência, P3 identifica
apenas o par de ângulos opostos pelo vértice e não os demais elementos
necessários. P3 identifica corretamente o caso de congruência e conclui a
demonstração. P3 usa aspectos algorítmicos no paradigma G1, pois, embora
tenha concluído a demonstração, comete alguns erros no decorrer desta.
169
No Quadro 80, colocamos as respostas de P5 ao item 3C.2.
Quadro 80: respostas de P5 ao item 3C.2
Item Respostas
3C.1ª H: C ponto médio, ∆𝐴�̂�𝐶 e ∆𝐷Ê𝐶 retângulo, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐸̅̅̅̅ . T: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐶
3C.1c ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐸𝐶.
3C.1d 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐸̅̅̅̅ , 𝐵�̂�𝐴 ≅ 𝐸�̂�𝐷, �̂� ≅ �̂� (o.p.v)
3C.1e Sim, caso A.L.A (�̂� ≅ Ê, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐸̅̅̅̅ , �̂� ≅ �̂�(o.p.v)).
3C.1f Sim, pois para a congruência dos triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐶, �̂� ≅ Ê, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐸̅̅̅̅ e �̂�
(o.p.v), Â ≅ �̂�, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ .
P5 escreve a hipótese com os dados do problema e com dados que deduz da
figura dada, escreve a tese corretamente e identifica os triângulos que deverão
ser analisados. P5 identifica a congruência entre os lados e o par de ângulos
opostos pelo vértice, mas não indica a congruência entre os ângulos retos. P5
identifica corretamente o caso de congruência e conclui a demonstração. P5 usa
aspectos algorítmicos no paradigma G1, ou mesmo no paradigma G0, pois ainda
está na geometria de observação e fica preso na figura, com dificuldade em fazer
deduções lógicas, e diferencia o que é dado do que é deduzido
No Quadro 81 colocamos as respostas de P6 ao item 3C.2.
Quadro 81: respostas de P6 ao item 3C.2
Item Respostas
3C.1a H: C é ponto médio de BE. 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐶𝐸̅̅̅̅ . �̂� ≅ Ê (90°). T: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐶.
3C.1c ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐶𝐸.
3C.1d 𝐴�̂�𝐵 e 𝐷�̂�𝐸 (opostos pelo vértice).
3C.1e ALA
3C.1f Sim, pois pelo caso de ALA, as medidas dos dois triângulos são congruentes.
P6 escreve a hipótese com falta de dados, pois não identifica os ângulos opostos
pelo vértice, que também são congruentes. A tese está correta. Identifica
corretamente os triângulos que devem ser analisados para ver se são
congruentes. Não conclui corretamente a demonstração, pois usa, na conclusão,
170
um elemento que era da hipótese. Usa aspectos algorítmicos no paradigma G1,
pois tem dificuldade em conduzir a demonstração e nem chega a concluí-la.
No Quadro 82, colocamos as respostas de P8 3C.2.
Quadro 82: respostas de P8 ao item 3C.2
Item Respostas
3C.1a H: . T: 𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝐷𝐸𝐶.
3C.1c 𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝐷𝐸𝐶
3C.1d 𝐷�̂�𝐸 e 𝐴�̂�𝐶
3C.1e 𝐵�̂�𝐴 ≅ 𝐷�̂�𝐸.
3C.1f 𝐵�̂�𝐴 ≅ 𝐷�̂�𝐸.
P8 não escreve a hipótese, mas identifica a tese e os triângulos que irá analisar.
P8 identifica apenas o par de ângulos opostos pelo vértice e não o outro par de
ângulos, nem o par de segmentos. P8 não cita qual o caso de congruência nem
finaliza a demonstração. P8 usa aspectos intuitivos no paradigma G1, pois não
consegue conduzir nem concluir a demonstração corretamente.
No Quadro 83, colocamos as respostas de P9 ao item 3C.2.
Quadro 83: respostas de P9 ao item 3C.2
Item Respostas
3C.1a H: C é ponto médio 𝐵𝐸. T: ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐸𝐶.
3C.1c ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐸𝐶.
3C.1d 𝐴�̂�𝐵 ≅ 𝐷�̂�𝐸 (o.p.v) 𝐴�̂�𝐶 ≅ 𝐷Ê𝐶 (ambos ângulos de 90°)
3C.1e Sim. Pelo caso A.L.A.
3C.1f Sim, pois a tese é que triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐶 são congruentes e como tese foi demonstrada ela é verdadeira.
P9 escreve corretamente a hipótese, mas, na tese, troca o símbolo de
congruência pela palavra e. P9 identifica corretamente os triângulos que serão
analisados e os pares de ângulos congruentes, mas não cita os lados
congruentes. P9 não identifica o caso de congruência nem conclui a
demonstração. P9 usa aspectos intuitivos no paradigma G1, pois não consegue
nem conduzir nem concluir a demonstração, como era esperado.
171
3C.3 Prove o teorema abaixo, usando os mesmos passos usados nos teoremas
anteriores: Na figura abaixo, sabendo que 𝛼 ≡ 𝛽 e 𝛾 ≡ 𝛿, prove que os triângulos
𝐴𝐵𝐶 e 𝐶𝐷𝐴 são congruentes.
Figura 20: figura referente ao exercício 3
No Quadro 84, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3C.3.
172
Quadro 84: Respostas dos participantes ao item 3C.3
Participante Resposta Paradigma
P1 Hipótese: 𝛼 ≡ 𝛽 e 𝛾 ≡ 𝛿 Tese: ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐶𝐷𝐴
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ : lado comum aos dois triângulos. Pelo caso A.L.A, os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐶𝐷𝐴 são congruentes. c.q.d
P2 -
P3 Hipótese: 𝛼 ≡ 𝛽 e 𝛾 ≡ 𝛿 . Tese: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝐶𝐷𝐴 Demonstração
𝛼 ≅ 𝛽; 𝛾 ≅ 𝛿; 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
Pelo caso ALA, os ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐴𝐶𝐷 são congruentes.
P4 -
P5 Hipótese: 𝛼 ≅ 𝛽 e 𝛾 ≅ 𝛿. Tese: ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐶𝐷𝐴 Demo:
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ lado comum, então ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐶𝐷𝐴 congruente pelo
caso A.L.A (𝛼 ≅ 𝛽; 𝛾 ≅ 𝛿; 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ).
P6 Hipótese: 𝛼 ≡ 𝛽, 𝛾 ≡ 𝛿 e 𝐴𝐶 (lado comum aos dois triângulos) Tese: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐶𝐷𝐴
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ; 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (lado comum)
Pelo caso LLL, os triângulos ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐶𝐷𝐴.
P7 -
P8 𝛼 ≅ 𝛽, 𝛾 ≅ 𝛿, 𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝐶𝐷𝐴
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = lado comum
𝐴�̂�𝐶 e 𝐴�̂�𝐶
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐶𝐷𝐴.
P9 H: 𝛼 ≡ 𝛽 e 𝛾 ≡ 𝛿. T: ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐶𝐷𝐴
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = lado comum dos dois triângulos. Pelo caso ALA, os triângulos ABC e CDA são congruentes. cqd.
P1, P3, P5 e P9 escrevem a demonstração do teorema corretamente. P1, P3, P5
e P9 usam aspectos formais no paradigma G2, pois conduzem e concluem a
demonstração corretamente.
P6 identifica o caso de congruência errado, pois não usa, na sua demonstração,
os ângulos que são congruentes por hipótese. P6 usa aspectos intuitivos no
paradigma G1, pois usa elementos errados na demonstração.
P8 identifica corretamente a hipótese e a tese, mas não consegue demonstrar o
teorema. Usa aspectos intuitivos no paradigma G1, pois não consegue concluir a
demonstração.
4. Demonstre que a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes
de duas semirretas concorrentes.
173
a) Para efetuar esta demonstração será necessário primeiramente lembrar
que para que um objeto matemático seja identificado como sendo um Lugar
Geométrico Plano ele deve atender a duas condições. Quais são elas?
No Quadro 85, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3C.4ª
Quadro 85: Respostas dos participantes ao item 3C.4a
Participante Resposta Paradigma
P1 Todos os pontos devem satisfazer a propriedade do lugar geométrico plano e somente os pontos da figura satisfazem a propriedade do lugar geométrico plano.
P2 -
P3 Todos os seus pontos satisfazem a propriedade P. Somente os pontos dessa figura satisfazem a propriedade P, isto é, se um ponto A possui a propriedade P, então pertence à figura.
P4 -
P5 Que todos os seus pontos satisfaçam a uma determinada propriedade e somente esses pontos satisfaça a propriedade.
P6 Todos os seus pontos satisfazem a propriedade P e somente os pontos dessa figura satisfazem a propriedade P.
P7 -
P8 a) Todos os pontos da mediatriz são equidistantes de 2 pontos dados.
b) Qualquer ponto do plano que não pertence a mediatriz, não é equidistante dos dois pontos dados.
P9 Todos os pontos da circunferência estão a uma distância conhecida d de um ponto C, que ponto do plano que não pertence a circunferência está a uma distância diferente de d do ponto C.
P1, P3, P5 e P6 respondem corretamente à pergunta. P1, P3, P5 e P6
entenderam a noção de lugar geométrico plano. P1, P3, P5 e P6 usam aspectos
formais no paradigma G2, pois concluem corretamente sobre a demonstração que
pedimos.
P8 escreve por que a reta mediatriz é um lugar geométrico, mas não generaliza.
P8 usa aspectos algorítmicos no paradigma G1, pois não deixa claro que entendeu
o que é um lugar geométrico.
174
P9 explica por que a circunferência é um lugar geométrico, mas não generaliza
a definição. P9 usa aspectos formais no paradigma G1, pois não consegue
generalizar como solicitamos que fizesse.
Identifique estas condições relacionadas à bissetriz.
No Quadro 86, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3C.4b
Quadro 86: Respostas dos participantes ao item 3C.4b
Participante Resposta Paradigma
P1 Todos os pontos da bissetriz são equidistantes de duas
semirretas de mesma origem 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e qualquer ponto do plano que não pertence à bissetriz não é equidistante
das duas semirretas 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
P2 -
P3 Bissetriz é o lugar geométrico de todos os pontos
equidistantes de duas semirretas de mesma origem 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗
e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
P4 -
P5 Bissetriz é o lugar geométrico de pontos equidistantes de duas semirretas em uma origem.
P6 Todos os pontos da bissetriz são equidistantes de suas
semirretas de mesma origem 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e qualquer ponto que não está na bissetriz não é equidistante.
P7 -
P8 a) Todos os pontos da bissetriz são equidistantes
de 2 semirretas de origem 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. b) Qualquer ponto do plano que não pertence a
bissetriz não é equidistante das duas semirretas
de mesma origem 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
P9 Todos os pontos da bissetriz são equidistantes de duas
semirretas de mesma origem 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e que o ponto do plano que não pertence a bissetriz não é equidistante de
duas semirretas de mesma origem 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
P1, P6, P8 e P9 identificam as propriedades necessárias para definir bissetriz
como um lugar geométrico plano. P1, P6, P8 e P9 usam aspectos intuitivos no
paradigma G2, pois localizam corretamente as propriedades que fazem com que
uma bissetriz possa ser definida como lugar geométrico.
175
P3 e P5 definem bissetriz como um lugar geométrico, mas não identificam as
propriedades como solicitamos no item. P3 e P5 usam aspectos intuitivos no
paradigma G1, pois produzem respostas incompletas.
b) Agora escreva as hipóteses e teses desse teorema. Lembre que é um
teorema do tipo “se e somente se”, ou seja, será necessário provar a “ida”
e a “volta”.
IDA {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒𝑠:
𝑇𝑒𝑠𝑒𝑠:
VOLTA {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒𝑠:
𝑇𝑒𝑠𝑒𝑠:
No Quadro 87, colocamos as respostas de todos os participantes ao item 3C.4c.
Quadro 87: Respostas dos participantes ao item 3C.4c
Participante “ida” “volta” Paradigma
P1 Hipóteses: 𝑃 ∈ bissetriz do
ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑃𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑃𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Hipóteses: 𝑄 ∉ bissetriz
do ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑄𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝑑𝑄𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
P2 - -
P3 Hipóteses: 𝑃 ∈ bissetriz do
ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑃𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑃𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Hipóteses: 𝑃 ∉ bissetriz
do ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑃𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝑑𝑃𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
P4 - -
P5 Hipóteses: 𝑃 ∈ bissetriz do
ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑃𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≅ 𝑑𝑃𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Hipóteses: 𝑃 ∉ bissetriz
do ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑃𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝑑𝑃𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
P6 Hipóteses: 𝑃 ∈ bissetriz do
ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑃𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑃𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Hipóteses: 𝑄 ∈ bissetriz
do ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝐵𝑂𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑑𝐵𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗
P7 - -
P8 Hipóteses: 𝑃 ∈ bissetriz do
ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑃𝑂𝐴̅̅ ̅̅ =𝑑𝑃𝑂𝐵̅̅ ̅̅ ̅
Hipóteses: 𝑄 ∈ bissetriz
do ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑄𝑂𝐴̅̅ ̅̅ =𝑑𝑄𝑂𝐵̅̅ ̅̅ ̅
P9 Hipóteses: 𝑃 ∈ bissetriz do
ângulo 𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑃𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑃𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Hipóteses: 𝑄 ∉ bissetriz
do ∆𝐴Ô𝐵 Teses: 𝑑𝑄𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝑑𝑄𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
P1, P3, P5, P8 e P9 escrevem as hipóteses e teses corretamente. P1, P3, P5,
P8 e P9 usam aspectos formais no paradigma G2, pois identificam corretamente
a hipótese e a tese do teorema.
176
P6 escreve a hipótese e a tese da “ida” corretamente, mas na “volta” comete um
erro na hipótese. P6 usa aspectos algorítmicos no paradigma G1, pois não
identificam corretamente a hipótese e a tese da “volta” do teorema.
c) Demonstre a “ida” do teorema.
d) Demonstre a “volta” do teorema.
Apenas dois participantes resolveram estes dois últimos itens. Desta forma,
vamos registrar as duas demonstrações, sem o uso de tabelas.
Demonstração de P5:
“Ida” do teorema:
Figura 21: auxílio para demonstração de teorema "ida"
a e b retas perpendiculares a P
∆𝑂𝐴𝑃 ≅ ∆𝑂𝐵𝑃, pelo caso A.L.A.
P5 não demonstra a “volta” do teorema e a demonstração da “ida” não está
completa. P5 usa aspectos intuitivos na geometria G1, pois produz uma
demonstração incompleta.
Demonstração de P6:
“Ida” do teorema:
177
Figura 22: auxílio para demonstração de teorema "ida"
𝑃 ∈ bissetriz
∆𝐴′𝑂𝑃 ≅ ∆𝐵′𝑂𝑃
𝐴′Ô𝑃 ≅ 𝐵′Ô𝑃
OP (lado comum)
𝑃Â𝑂 ≅ 𝑃�̂�′𝑂 (90°)
Pelo caso 𝐿𝐴𝐴𝑂 os triângulos ∆𝐴′𝑂𝑃 ≡ ∆𝐵′𝑂𝑃
𝑑𝑃𝐴̅̅ ̅̅ =𝑑𝑃𝐵̅̅ ̅̅̅ c.q.d.
“Volta” do teorema:
Figura 23: auxílio para demonstração de teorema "volta"
𝑃 ∉ bissetriz
𝐴′𝑃 ≠ 𝑃′𝐵′
𝑂𝑃′ (lado comum)
𝑃′Â𝑂 = 𝑃
P6 demonstra corretamente a “ida” e comete erros na demonstração da “volta”.
P6 usa aspectos formais no paradigma G1, pois produz uma demonstração
incompleta.
178
5.4 Avaliação global de cada participante
No que segue, apresentamos uma avaliação global de cada participante, com
base em nosso referencial teórico e nas respostas dadas aos itens e indicamos
algumas dificuldades sistemáticas que os participantes tiveram, no decorrer das
atividades propostas.
P1 faltou no terceiro dia das atividades, mas é o participante que escreve frases
mais completas e que nos dá melhores condições de avaliar o quanto se
desenvolveu no decorrer das atividades. Na terceira parte da Atividade 1, P1 deixa
os aspectos intuitivos dominarem e escreve a definição de reta bissetriz como
aquela que conhecia antes da pesquisa, em vez de responder de acordo com o
que solicitamos. Na Atividade 3, mostra que está próximo de conseguir fazer uma
demonstração por si só e, portanto, evolui da geometria de observação para a
geometria de demonstração. Acreditamos que com um pouco mais de incentivo,
ao longo da Licenciatura, chegará no nível que esperamos de um futuro professor
de matemática da Educação Básica, no que diz respeito às demonstrações.
P2 participou apenas dos dois primeiros encontros e mostrou que tem dificuldade
em expressar-se na linguagem formal. Na quarta parte da Atividade 1, P2 usa
definições que conhecia antes da pesquisa para reta mediatriz e reta bissetriz e
deixa de lado as propriedades que apresentamos nas partes anteriores. Justifica
respostas com o valor numérico que aferiu na atividade, com base em aspectos
intuitivos numéricos. Notamos que P2 se encontrava na geometria de observação
e, como não compareceu às demais etapas da pesquisa, não se deu a chance de
chegar à geometria de demonstração.
P3 tem dificuldade para elaborar uma definição com a linguagem formal e
problemas com aspectos formais e formais lógicos. P3 antecipa o uso da
expressão Lugar Geométrico, mas não dá mostras de ter apreendido esse
conceito. Responde alguns itens com apenas uma palavra, em geral Sim ou Não,
e não explica ou justifica a resposta. Podemos observar que P3 se encontra na
geometria de observação e não conseguiu, apesar do estímulo das atividades,
evoluir para a geometria de demonstração.
P4 participa apenas do encontro em que foi desenvolvida a Atividade 1 e escreve
frases muito resumidas, o que nos leva a perceber que tem dificuldade em
expressar-se com termos formais. Pela caracterização inicial de P4 (p. 81),
179
podemos notar que esse participante já concluiu as disciplinas de Geometria e
compareceu à atividade por curiosidade, tanto que não retornou nos encontros
seguintes. Pelo fato de P4 já ter sido aprovado em FG1, FG2 e DES, era esperado
que dominasse a linguagem formal de forma mais efetiva. Não tivemos como
avaliar se P4 está na geometria de demonstração, pelo falo de não ter retornado
nos encontros seguintes.
P5 tem problemas em expressar-se com linguagem formal, como quando diz que
o ponto equidista de A e equidista de B. Tem problemas conceituais e mostra
isso quando chama pontos da circunferência de raio. É um dos dois participantes
que consegue elaborar uma demonstração no último item da atividade 3. Podemos
perceber que, no início da pesquisa, P5 estava claramente na geometria de
observação, mas como conseguiu elaborar demonstrações, mesmo que não
totalmente corretas, podemos considerar que, ao final da pesquisa, estava
evoluindo para a geometria de demonstração.
P6 elabora, em geral, respostas coerentes, mas antecipa o termo Lugar
Geométrico e não dá mostras de ter percebido exatamente o que significa esse
conceito. Em alguns momentos, responde apenas Sim ou Não, sem explicar ou
justificar por que deu tal resposta. P6 é um dos participantes que consegue, ao
final das atividades, elaborar uma demonstração completa no último item da
Atividade 3. No início da pesquisa, dá mostras de que está na geometria de
observação, porém, ao tentar elaborar uma demonstração, na Atividade 3, mesmo
que não totalmente correta, mostra que está evoluindo para a geometria de
demonstração.
P7 não participou da Atividade 3. Comete alguns erros conceituais, como quando
chama a bissetriz de segmento de reta. P7 antecipa o uso da expressão Lugar
Geométrico, mas não dá mostras de ter percebido o que realmente significa essa
expressão. Em alguns momentos, usa apenas as palavras Sim ou Não, sem
explicar ou justificar por que a resposta é aquela, deixando por conta do leitor a
explicação dos motivos que o levaram a dar a resposta. Podemos notar que P7
não evoluiu da geometria de observação para a geometria de demonstração.
P8 usa expressões com ângulos e ̈ de lado oposto¨ em todas as respostas dadas,
desde o início das atividades. Podemos cogitar que P8 estivesse, no momento da
180
pesquisa, estudando as cevianas do triângulo nas aulas de geometria e isso pode
ter feito com que misturasse os conceitos. P8 tem problemas conceituais como,
por exemplo, quando define bissetriz como sendo um segmento de reta. A forma
como P8 escreve deixa claro que ainda se encontra na geometria de observação
e bem longe de evoluir para a geometria de demonstração.
P9 participa apenas da atividade sobre demonstração e mostra ter muita
dificuldade em expressar-se com linguagem formal. Podemos notar, pelas
respostas, que P9 se encontra na geometria de observação e tem dificuldade para
evoluir para a geometria de demonstração.
Com esta análise global, encerramos este Capítulo Procedimentos
Metodológicos e julgamos que podemos responder às nossas questões de
pesquisa e elaborar nossas conclusões, o que será feito no Capítulo 5.
181
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES
Nos capítulos anteriores, apresentamos nossa pesquisa, com a justificativa para
o tema escolhido; a revisão de literatura, que permitiu localizar o trabalho na área
de Educação Matemática; as escolhas teóricas, baseadas nas ideias de De Villiers
(2001), para sustentarem a elaboração das atividades com lugares geométricos
planos, demonstração e o software GeoGebra; a fundamentação teórica, baseada
nas ideias de Fischbein (1994) e de Parzysz (2006), que nos permitiram analisar
os protocolos de um grupo de nove estudantes de um Curso de Licenciatura em
Matemática.
Neste capítulo, destacamos as conclusões que pudemos tirar da análise dos
protocolos e das considerações que alguns participantes fizeram, ao final da
intervenção, e respondemos nossas questões de pesquisa.
Quanto aos alunos participantes da pesquisa, percebemos muitas dificuldades
na comunicação em Matemática, por falta de aspectos formais. Muitas vezes,
escrevem frases sem sentido, incompletas ou com mais de um sentido, deixando
a interpretação por conta do leitor. Para dar algumas definições, escrevem, por
exemplo, é o conjunto dos pontos, quando observaram apenas alguns pontos
na tela do computador.
Nesse caso, nossa avaliação é que ocorrem dois erros formais, um porque não
percebem que o computador não consegue mostrar todos os pontos e outro
porque afirmam que algo é verdadeiro sem dar a entender que é preciso
demonstrar, ou seja, deduzem que vale sempre algo que viram acontecer para
alguns casos particulares.
Quanto à demonstração, que foi o foco de nosso trabalho, avaliamos que
apenas três dos nove participantes mostraram saber o que é uma demonstração,
identificar quando esta é necessária ou ainda o que é necessário demonstrar para
se provar que uma propriedade é verdadeira.
Ao final de nossa intervenção, colhemos os depoimentos dos participantes P1,
P3, P5, P6 e P9, solicitados por nós (os outros não os entregaram) sobre a
intervenção (ver transcrição completa desses depoimentos no Anexo D) e os
usamos para reforçar nossas conclusões, tiradas da análise individual global que
expusemos no Capítulo 4 (p. 81). Será que perceberam nossos objetivos? Será
182
que evoluíram para a geometria de demonstração ou continuam só na geometria
de observação?
P1 coloca que a pesquisa mostrou formas diferentes de tratar a demonstração e
os lugares geométricos, mas não explicita que percebe que o objetivo era a
demonstração dos lugares geométricos. P1 não conseguiu perceber que é
necessário demonstrar, nem o quê, para que um objeto matemático possa ser
definido como lugar geométrico; porém, conforme nossa análise global, por
participante, P1 evoluiu para a geometria de demonstração, ou seja, ao analisar o
próprio desempenho, P1 não percebe o quanto evoluiu.
P3 percebe que a reta mediatriz, a circunferência e a bissetriz de um ângulo são
lugares geométricos e diz que conseguiu descobrir a diferença entre demonstrar
e mostrar e que esta serve apenas para se convencer que a propriedade é
verdadeira. É possível que isso signifique que P3 considera que o que foi feito com
o software GeoGebra foi apenas mostrar propriedades e que a demonstração foi
o que fez depois. Entendemos que P3 conseguiu evoluir na passagem da
geometria de observação para a geometria de demonstração (um dos nossos
objetivos); porém, nossa avaliação global individual de P3 mostra que essa
evolução não se mostrou explícita na época da intervenção, o que nos faz refletir
que, como o depoimento foi dado aproximadamente um mês depois, talvez P3
tenha refletido sobre as atividades feitas e conseguido desenvolver aspectos
formais que podem ajudar na evolução para a geometria de demonstração.
P5 diz que as atividades da intervenção vão melhorar sua atitude como professor
(um dos nossos objetivos) e mostra uma postura crítica ao considerar espelhar-se
em seus professores. Não comentou nada sobre demonstração, mas nossa
análise global individual de P5 mostra que está evoluindo da geometria de
observação para a geometria de demonstração.
P6 comenta apenas sobre a experiência de usar o GeoGebra, o que pode ser
indício de que, para ele, ainda é importante vivenciar a geometria no paradigma
G1 e na geometria da observação; porém, nossa avaliação global individual de P6
mostra evolução para a geometria de demonstração, durante a intervenção.
P9 comenta como foi a abordagem da Geometria com o GeoGebra e afirma que
vai prepará-lo melhor para a sala de aula. Não menciona nada sobre as
demonstrações, embora tenha participado apenas da Atividade Zero, com a qual
ensinamos a usar o GeoGebra, e da Atividade 3, que é exclusivamente sobre
183
demonstração. Nossa avaliação global individual de P9 mostra que continua na
geometria de observação.
Conforme observamos, P2, P4, P7 e P8 não entregaram os depoimentos e não
pudemos confrontá-los com nossas análises.
Com essas conclusões, podemos responder às nossas questões de pesquisa, o
que faremos de modo conjunto, com um texto único, acompanhado de algumas
sugestões e considerações.
Alunos matriculados no início do curso de formação de professores estão
habilitados a desenvolver os passos de uma demonstração em Geometria?
Atividades realizadas com apoio num software de Geometria Dinâmica
favorecem a elaboração de conjecturas que provocarão uma
demonstração?
Alunos da fase inicial de um curso de formação de professores de
Matemática estão habituados a usar e a entender a linguagem formal, ao
escrever sobre constatações matemáticas?
Pelo que pudemos observar na análise dos protocolos e no depoimento dos
participantes, concluímos que estes, alunos iniciantes do curso de Licenciatura em
Matemática, ainda não estão habituados a desenvolver os passos de uma
demonstração e cabe aos professores que os recebem, nas disciplinas iniciais do
curso, não apenas os de Geometria, dar início a essa formação que, no nosso
entender, deve ser gradual e contínua, como sugerem Parzysz (2006), Fischbein
(1994) e De Villiers (2001), porque um sujeito não aprende a demonstrar de um
dia para o outro.
Os participantes que responderam à Atividade 1, delineada com o uso do
software GeoGebra, nem sempre conseguiram elaborar conjecturas. Acreditamos
que alguns deles não sabiam o que é uma conjectura, e talvez nunca tenham
vivenciado isso na Educação Básica, e, se a atividade fosse repetida hoje,
teríamos o cuidado de, antes, explicar aos participantes o que significa.
Acreditamos que teríamos melhores e verdadeiras conjecturas se tivéssemos
tomado esse cuidado, ou pelo menos que estivessem de acordo com o que
puderam observar com o uso do software, acrescidas de aspectos formais.
Quanto ao uso da linguagem formal, dos nove participantes, podemos considerar
que seis deles mostram que não estão habituados a usá-la, quando escrevem
184
sobre Matemática. Ao serem solicitados, tiveram muita dificuldade com erros
conceituais, frases sem sentido ou com sentido duplo ou, ainda, com muitos erros
gramaticais, que geram dúvidas no texto em Matemática e também mostram falha
ou ausência de aspectos formais lógicos. Um professor de Matemática não deve
cometer erros gramaticais ou de grafia quando escreve para seus alunos. Com
relação à última observação, a grade do Curso possui três disciplinas dedicadas
à Comunicação e Linguagem, que são essenciais para que futuros professores
escrevam melhor, não apenas ao usar a língua portuguesa como ferramenta, mas
também quando escrevem com o uso da linguagem matemática formal.
Ao comparar nossos resultados com as pesquisas de De Villiers, Fischbein e
Parzysz, vemos que corroboram os obtidos por eles e que, ainda mais, as
sugestões que dão sobre o ensino de Matemática, em particular de Geometria,
mostram que é imperativo buscar abordagens que façam alunos de Licenciatura
em Matemática, futuros professores da Educação Básica, desenvolverem
aspectos formais, aspectos formais lógicos e evoluam da geometria de
observação para a geometria de demonstração, com trânsito pelos paradigmas
G1 e G2.
Podemos comparar nossos resultados com a pesquisa de Janzen (2011), que
usou um software de Geometria Dinâmica para alavancar demonstrações e
desenvolver o pensamento matemático. Nossa pesquisa trouxe contribuições
úteis para aquele que quiser fazer uso da tecnologia em sala de aula, tal qual fez
Janzen (2011).
Acreditamos que nossos resultados podem ajudar professores no objetivo de
estimular os alunos a transitarem entre os paradigmas G1 e G2, não só nas aulas
de Geometria, mas nas aulas de Matemática, em geral. Ao aplicar atividades
inspiradas nas nossas, poderão, também, ajudar os alunos a desenvolverem
aspectos formais e formais lógicos, além de melhorar a maneira como esses
alunos usam a linguagem formal, ao escrever textos matemáticos.
Com essas observações, consideramos atingido nosso objetivo de pesquisa, que
foi investigar se o uso de um software de geometria dinâmica pode alavancar a
passagem da geometria de observação para a geometria de demonstração e
também investigar se pode provocar o aprimoramento de aspectos formais lógicos
e ter respondido nossas questões de pesquisa.
185
No próximo capítulo, Considerações Finais, fazemos um balanço do nosso
trabalho com o intuito de mostrar sucessos, falhas e observações que podem
ajudar pesquisas futuras sobre o tema.
186
187
CAPÍTULO 7
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa foi realizada com um grupo de nove alunos do segundo semestre
de um curso de Licenciatura em Matemática; portanto, recém-chegados do Ensino
Médio, e que se preparam para ser futuros professores de Matemática nas escolas
da Educação Básica. Com eles, pudemos observar como chegam ao curso
superior, no que diz respeito a aspectos formais em Matemática, em particular, no
caso do tema demonstração.
Ao analisar as atividades, percebemos que muitas vezes os participantes
mostraram ter entendido o conteúdo e “enxergaram”, com a ajuda do software ou
do professor, as propriedades que pedimos que observassem, mas mostraram
sérios problemas para se comunicar com a simbologia matemática, tanto para
elaborar conjecturas, como para perceber que é preciso demonstrá-las.
Com relação aos lugares geométricos planos, percebemos que os participantes
tiveram dificuldade em entender que, para definir um objeto matemático como um
lugar geométrico, é necessário não só dizer que os pontos do objeto matemático
possuem determinada propriedade, mas também garantir que apenas estes
possuem a propriedade, ou seja, para demonstrar que um objeto matemático é
um lugar geométrico plano, temos que elaborar uma demonstração do tipo “se e
somente se”, o que exige a interação de aspectos formais lógicos, algorítmicos e
intuitivos.
Com relação ao uso da simbologia, em nossa análise dos livros didáticos que
constam de ementas do Curso em que esses alunos estão matriculados (ver
Capítulo 4 - Procedimentos Metodológicos, p. 69), verificamos como é tratada e
percebemos que, em muitos casos, os livros têm orientações diferentes para
situações semelhantes. Por exemplo, quando analisamos o estudo da
circunferência, todos chamam de raio tanto a medida do objeto ¨raio¨ como a
medida dele, ou seja, os autores desses livros podem dar a entender, ao leitor
iniciante, que são a mesma coisa. Um assunto no qual os livros discordam é o
símbolo usado para congruência; enquanto um deles representa dois segmentos
de reta congruentes por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , outro o faz com 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ num item e depois
escreve 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , em outro item.
As observações a respeito dos livros didáticos influenciaram nossas análises,
uma vez que não pudemos cobrar dos participantes alguns rigores na escrita que
188
gostaríamos de ter cobrado, como, por exemplo, em relação à diferença entre o
raio e a sua medida, ou ainda na simbologia usada nas demonstrações efetuadas
com papel e lápis, como por exemplo, quando P2 responde que 𝐴𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅ = 9,01.
Com relação às demonstrações, temos a acrescentar que, quando notamos as
dificuldades de nossos participantes, após as atividades, fizemos uma entrevista8
com uma aluna do último semestre do Curso, que nos ajudou como observadora
nessas duas atividades e seu depoimento confirmou nossas impressões. Entre
outras coisas, a aluna nos falou que sentiu muita dificuldade com as
demonstrações e lamentou profundamente o fato de nunca as ter visto durante a
Educação Básica. Segundo ela, a demonstração é muito importante para a
construção dos conceitos em Matemática para ser deixada apenas para o Ensino
Superior. Notamos isso, por exemplo, quando a aluna diz que: ” Eu acho que o
aluno na escola... é aquele momento que ele tem pra aprender... Ele tá no
momento de aprendizado dele então ele tá aberto pra receber informações, então
eu acredito que na escola seria importante. Não demonstração igual a gente vê
no ensino superior, mas acredito que uma introdução, o que é demonstração,
uma... tipo colocar pro aluno que que é uma demonstração pro aluno não se
assustar. Pegar uma... sei lá, alguma coisa... uma demonstração simples e
mostrar pra ele”
Dessa forma, nosso diagnóstico é que as demonstrações devem fazer parte do
cotidiano das aulas de Matemática, seja como explicação (a demonstração como
processo de explicação, segundo De Villiers, 2001), ou como dedução de fórmulas
(a demonstração como processo de descoberta, segundo De Villiers, 2001), desde
o primeiro ano do Ensino Fundamental até chegar aos anos finais do Ensino
Médio, período em que, nesse último, o aluno pode ter acesso às demonstrações
um pouco mais complexas (a demonstração como desafio intelectual, segundo De
Villiers, 2001) e ensaiar reproduzir algumas delas, numa trajetória que o faça
evoluir da geometria de observação para a geometria de demonstração, conforme
ideias de Parzysz (2006) e com as quais concordamos.
A Geometria é uma parte da Matemática que se presta para este objetivo, pois
dá condições para o aluno desenvolver algumas provas ou demonstrações mais
simples durante a Educação Básica e, nesse sentido, trazemos nossas
A transcrição completa da entrevista se encontra no Apêndice E .
189
considerações sobre o uso da tecnologia para tal fim, em particular com os
softwares de Geometria Dinâmica. No caso do GeoGebra, percebemos a utilidade
desse software para que alunos, que estão começando a demonstrar, percebam
caminhos que podem percorrer para conseguir demonstrar teoremas. Além disso,
o uso do software pode incentivar e motivar os alunos, muito jovens e que usam
a tecnologia na maior parte do tempo, em atividades diárias. É difícil encontrar um
adolescente, ou até mesmo uma criança, sem um smartphone na mão.
Com relação ao curso de Licenciatura em Matemática de nossos participantes,
está estruturado em oito semestres e a maioria dos alunos é proveniente de
escolas públicas. Pensando nisso, os dois primeiros semestres contam com as
disciplinas Fundamentos para o Ensino da Matemática (funções, exponencial e
logaritmos, análise combinatória, geometria 1 e 2, estatística, geometria analítica),
que percorrem todo o conteúdo do Ensino Médio, com o objetivo de discutir e
desmistificar os pontos principais desses conteúdos e procuram instrumentalizar
os futuros professores, para que possam enfrentar estes conteúdos em sala de
aula.
O curso existe desde 2008 e iniciou-se com uma grade de disciplinas que
funcionou nos quatro primeiros semestres, quando foi substituída por outra, sem
mudar essencialmente a proposta do curso, com algumas adequações, motivadas
pelas disciplinas de Geometria, por essa razão nosso comentário.
Na grade “antiga”, as disciplinas Geometria Plana e Geometria Espacial
apareciam respectivamente no primeiro e no segundo semestres e a prática
mostrou a inadequação dessa distribuição, em razão do grande número de
reprovações e de ser o motivo principal de abandono do Curso. Com essa
adequação, entrou a disciplina Desenho Geométrico na grade “nova” e Geometria
Plana e Geometria Espacial passaram a fazer parte do segundo e do terceiro
semestres, respectivamente.
Acreditamos que a mudança ainda não deixou o Curso como pensamos ser o
ideal e nossa pesquisa aponta isso, pois se a Geometria pudesse ser abordada
numa fase posterior, haveria a possibilidade de aprofundar-se o estudo da
geometria axiomática e, dessa forma, o desenvolvimento das demonstrações. Na
nossa opinião, Desenho Geométrico e as Geometrias Plana e Espacial podem ser
abordadas no início, conforme a grade, porém seria necessário que houvesse
outra disciplina dedicada à Geometria na segunda metade do curso, quando os
190
alunos tivessem mais familiaridade com a linguagem matemática formal, para que
o professor pudesse retomar alguns pontos da Geometria com o uso da
axiomática, inclusive para que o aluno saiba que existem várias axiomáticas que
podem ser usadas. Essa abordagem propiciaria, inclusive, uma comparação entre
algumas dessas axiomáticas e, assim, poderíamos garantir que o sujeito
realmente evoluísse e alcançasse a Geometria de Demonstração, segundo a
teoria de Parzysz (2006).
No que segue, comentamos o que teríamos feito diferente se a pesquisa fosse
realizada novamente, ou ainda para alertar quem possa querer replicá-la.
Com relação às atividades, alguns detalhes, que só foram notados no momento
da análise dos protocolos, precisam ser apontados e corrigidos.
A atividade foi muito direcionada, com atividades elaboradas passo a
passo. É interessante elaborar atividades mais livres, nas quais o
participante não fique tão preso aos passos propostos.
O item 1A.9, no qual pedimos uma definição antes que o participante
tivesse feito os passos necessários para dá-la, precisa ser deslocado para
quando pudesse ser elaborada. Os participantes não notaram que
poderiam questionar nosso item e dizer que a definição não poderia ser
dada apenas com o que tinham visto até então, o que exige maturidade em
argumentar em Matemática.
No item 1B.5, quando pedimos que o participante coloque um ponto “fora”
da circunferência, quase todos consideraram ¨fora¨ como sendo a região
exterior da circunferência, o que mostra problemas desses alunos com a
linguagem matemática. Para não comprometer a resolução desejada,
sugerimos pedir que o ponto seja colocado na região exterior da
circunferência e, no item 1B.9, que o ponto esteja na região interior, o que
poderia contribuir para o aperfeiçoamento da linguagem formal.
Sugerimos que seja organizado um número maior de encontros com os
participantes, pois percebemos que 6 sessões se mostraram insuficientes
para um contato maior, com o qual teríamos conseguido melhores
resultados, apesar de sabermos que a chance dos participantes se
dispersarem seria maior nesta situação, a menos que a intervenção fosse
feita durante as aulas de Geometria ou de Fundamentos.
191
Ao longo de nosso trabalho, algumas dúvidas e questões, que não eram
nossos objetos de pesquisa, apareceram. Com isso, podemos listar algumas
sugestões para pesquisas futuras.
Elaboramos uma atividade envolvendo a elipse como lugar geométrico
e não tivemos condições de aplicá-la, devido às dificuldades que os
participantes apresentaram nos primeiros encontros. Deixamos como
sugestão que sejam feitas atividades com alunos de turmas mais
adiantadas do curso, com a elipse, a parábola e a hipérbole, em moldes
semelhantes aos que fizemos, começando com o uso de um software
de Geometria Dinâmica e depois com atividades com papel e lápis.
Outra sugestão para pesquisas futuras é fazer uma análise de como a
simbologia matemática e a linguagem formal aparecem nos livros
didáticos, pois percebemos muitas discrepâncias de um livro para outro,
conforme citamos no início deste capítulo.
Num trabalho com um prazo maior para ser efetivado, poderíamos ter
reencontrado os participantes, quando estivessem próximo do final do
curso e aplicado uma atividade para ver se houve mudanças na postura
deles em relação à demonstração e ao uso da linguagem formal, além
de avaliar se houve evolução para a geometria de demonstração.
Damos uma sugestão de pesquisa para o professor de Geometria, no
curso de Licenciatura em Matemática: aplicar atividades, no início da
disciplina, que mostrem em qual paradigma, segundo Parzysz (2006)
cada auno se encontra e, ao final do semestre, refazer a atividade e
verificar o progresso de cada aluno. Esta pesquisa pode observar
também aspectos formais e formais lógicos.
Ao comparar nossos resultados com as pesquisas de De Villiers, Fischbein e
Parzysz, temos a convicção de que os resultados que obtivemos corroboram os
obtidos por esses pesquisadores, pois nossas atividades se propuseram a ajudar
os participantes a passar da geometria de observação para a geometria de
demonstração e conseguimos que, dos sete participantes que frequentaram as
atividades até o final da pesquisa (dois deles compareceram apenas ao encontro
dedicado à Atividade 1), cinco deles chegassem próximo do nosso propósito. As
192
atividades inspiradas nos estudos de De Villiers (2001) foram de suma importância
para o sucesso da pesquisa, pois partiram da geometria de observação, na qual
a maioria deles se encontrava no início da pesquisa, para evoluir para a geometria
de demonstração (Parzysz, 2006). Os aspectos elencados por Fischbein nos
fizeram entender melhor as respostas dos participantes e, principalmente, o que
os leva a usar determinados termos nessas respostas.
Com esta tese, esperamos ter contribuído com a área Educação Matemática, no
que diz respeito à demonstração como um tema importante e imprescindível no
ensino em Matemática, em todos os níveis da escolaridade. Nosso foco foi em
futuros professores de Matemática, que poderão fazer a diferença quando
aplicarem, em sala de aula da Educação Básica, resultados do que vivenciaram
conosco, o durante esta pesquisa.
Para finalizar este trabalho, apresentamos o que consideramos nossas
contribuições para a área de pesquisa em Educação Matemática.
Fizemos um ensaio com o uso do GeoGebra para alavancar
demonstrações em Geometria Plana;
Usamos os lugares geométricos planos: reta mediatriz, circunferência e
bissetriz, para alavancar demonstrações do tipo “”se e somente se”;
Nossas análises consideraram as ideias de Fischbein (1994), a teoria
proposta por Parzysz (2006) e o uso de um software de geometria dinâmica
que, em conjunto, nos permitiram ampliar as ideias teóricas desses dois
pesquisadores e colocaram-nas num contexto mais atual;
Nossa tese analisa o uso das demonstrações nas aulas de Matemática da
Educação Básica e nas aulas de Geometria no curso de formação de
professores de Matemática;
Fica subliminar a proposta do ensino da demonstração em suas diferentes
funções, definições dadas por De Villiers (2001, p. 31), e de acordo com o
ano de escolaridade.
Finalmente, procuramos chamar a atenção de futuros professores de Matemática
quanto à importância do uso das demonstrações na Educação Básica, de forma
que os alunos passem a entender melhor a Matemática e diminuam a rejeição que
sempre ocorreu com o tema e a disciplina, além de incentivar o ensino de
Geometria. Esperamos que um professor que fizer a leitura da nossa tese sinta-
193
se estimulado a repetir nossas experiências com alunos da Educação Básica e,
dessa forma, trate o ensino de Geometria com o carinho e a atenção que ele
merece.
Esperamos ver, num futuro muito próximo, muitos desses professores e/ou futuros
professores se dedicando a pesquisas em Educação Matemática e dando
continuidade à nossa.
194
195
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199
APÊNDICE A
Atividade Zero
Atividade – Aluno
Objetivo da Atividade: Conhecer o software GeoGebra e aprender a usar os
recursos necessários para participar das atividades propostas na pesquisa.
A Janela
Ao abrir uma janela com o software, esta ficará com a seguinte aparência
Figura 24: tela inicial do GeoGebra
Podemos observar que a tela está dividida em regiões. Na parte superior temos
os itens do menu que são acessados como em qualquer programa que usamos
no computador. Abaixo desses itens, aparecem 11 ícones, que são os botões do
GeoGebra. Trataremos de cada um desses botões no que segue.
No lado esquerdo, temos a Janela de Álgebra. Nessa região da tela aparecem
informações algébricas dos elementos usados nas construções que faremos na
Janela de Visualização, que fica no lado direito da tela. As informações na Janela
de Álgebra possibilitam o trabalho com a Geometria Analítica, que trabalha com
as representações algébricas dos objetos geométricos: os pontos são indicados
pelas suas coordenadas cartesianas; as retas e as cônicas são representadas por
200
equações algébricas. Esse setor da tela pode ser escondido ou aberto a qualquer
momento durante o trabalho: para isso usamos a opção no menu Exibir, janela de
álgebra. Para fechar, podemos também clicar no X que aparece ao lado do nome
da janela. A quarta região é o campo de Entrada, que fica na parte inferior da tela.
Podemos usar esse campo para inserir uma representação algébrica dos objetos
com os quais queremos trabalhar e para trabalhar a álgebra propriamente dita.
Para o trabalho na janela de visualização, temos duas opções: com os eixos
coordenados, que podem ter ou não a malha aparente ou sem esses eixos.
Clique com o botão direito do mouse sobre a Janela de Visualização e clique em
eixos e em malha. Observe o que acontece quando se clica em cada uma dessas
opções.
Para usar o GeoGebra na opção de Geometria, temos 11 botões na parte superior
da tela e que são atalhos para as construções geométricas que podemos fazer
usando este software.
Numeramos os botões da seguinte maneira para facilitar o desenrolar da
atividade.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Figura 25: botões de acesso
Observe que em cada um dos botões há um pequeno triângulo branco na parte
inferior do lado direito. Ao clicar nesse triângulo, abrimos janelas com todas as
opções de cada botão.
A partir desse ponto, vamos explorar cada um dos botões, focando principalmente
nas opções que serão úteis para resolver as atividades da nossa pesquisa.
Quando repousamos o ponteiro do mouse sobre cada opção, aparece um texto
que explica como se usa aquela opção.
Ao clicar nas opções do Botão 1, abre-se a seguinte janela:
201
Figura 26: opções do Botão 1
A opção MOVER é uma característica importante do GeoGebra, porque garante
a dinamicidade das construções e das expressões algébricas do software. Esta
característica foi a razão pela qual escolhemos este software para a nossa
pesquisa, pois pretendemos realizar construções genéricas, observar
propriedades dos objetos construídos e, utilizando essa opção, movimentar as
construções para verificar se as propriedades observadas se preservam, quando
mudamos o objeto de lugar na tela. Podemos acionar a opção MOVER clicando
no botão 1 ou simplesmente clicando na tecla ESC.
Ao clicar nas opções do Botão 2, abre-se a seguinte janela:
Figura 27: opções do Botão 2
Clique na opção PONTO e depois clique em vários pontos na Janela de
Visualização. Observe que os pontos são nomeados em ordem alfabética e que
aparecem, na Janela de Álgebra, as coordenadas desses pontos. Use a tecla
ESC, acionando assim a opção MOVER do Botão 1, clique sobre um dos pontos
da tela e movimente-o pela tela. Observe que as coordenadas do ponto vão se
202
modificando na Janela de Álgebra, de acordo com a posição em que o ponto está.
Clique nas opções eixos e malha e observe que essas coordenadas que aparecem
estão de acordo com a posição de cada ponto no plano cartesiano. Clique no
campo de Entrada e digite 𝑃 = (3,5). Observe o que acontece. Agora clique com
o botão direito do mouse sobre o ponto P. Vai abrir uma janela como a que segue.
Figura 28: opções para os Pontos
Clique sobre a opção RENOMEAR e troque o nome do ponto P para ponto M.
Observe o que acontece quando clica em Exibir rótulo e em Exibir Objeto.
Clique em propriedades e observe que se abre a seguinte janela:
Figura 29: propriedades dos Pontos
203
Explore-a. Você pode mudar o estilo do ponto, exibir junto com o nome do ponto
as suas coordenadas ou então mudar a cor do ponto.
Observe agora a janela referente ao botão 3:
Figura 30:opções do Botão 3
Inicie uma nova seção sem os eixos coordenados e marque dois pontos na Janela
de visualização. Usando esses dois pontos, trace uma reta que passa por eles.
Mude a cor da reta. Use, por exemplo, a cor azul. Marque outros dois pontos
distintos dos dois primeiros e trace outra reta concorrente com a primeira. Clique
no botão 2 e use a opção INTERSECÇÃO ENTRE DOIS OBJETOS para
determinar o ponto de intersecção entre as duas retas traçadas. Ainda no botão 2
use a opção PONTO EM OBJETO para colocar um ponto sobre uma das retas,
clique em ESC e movimente o ponto sobre a reta. Observe que ele está vinculado
á reta, mesmo que você queira ele não sai fora da reta, porque foi criado com a
opção PONTO EM OBJETO.
Voltando ao Botão 3, construa um SEGMENTO DE RETA e uma SEMIRRETA na
Janela de visualização. Observe que na Janela de álgebra aparecem
automaticamente as equações das retas e semirretas traçadas e as coordenadas
dos pontos marcados na Janela de visualização. No caso do segmento de reta, o
que aparece na Janela de Álgebra é a sua medida.
A equação que aparece na Janela de Álgebra é a equação geral, porém se você
clicar com o botão direito do mouse sobre essa equação, você pode modificar a
204
sua forma para equação paramétrica ou ainda equação reduzida da mesma reta.
Clicando sobre a reta na Janela de visualização podemos clicar em propriedades
e explorar as opções que aparecem na janela que se abrirá tais como mudança
de cor, estilo, espessura ou ainda nome da reta. Clique e explore essas opções.
Construa um SEGMENTO COM COMPRIMENTO FIXO; por exemplo, use a
medida 5; usando a opção MOVER (botão 1), mova um dos pontos do segmento
de reta construído inicialmente e depois mova um dos pontos do segmento de reta
construído com comprimento fixo. Perceba a diferença.
Clique no botão 4 e observe as opções desse botão.
Figura 31: opções do Botão 4
As opções deste botão são de construções que podem ser feitas usando as
opções dos botões anteriores, com os mesmos passos usados nas construções
feitas com régua não graduada e compasso; porém, com as opções desse botão,
as construções podem ser feitas apenas com um click.
Para testá-las, você pode construir uma reta r na Janela de visualização, marcar
um ponto fora dessa reta e construir uma reta perpendicular à reta r, clicando na
opção RETA PERPENDICULAR, em seguida na reta r e no ponto por onde essa
205
reta deve passar. Se quiser, esse ponto pode pertencer à reta r. Para construir
uma RETA PARALELA a uma reta dada, o processo deve ser o mesmo.
Agora, trace as semirretas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. Selecione a opção BISSETRIZ e trace a
bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶: para isso clique nos pontos B, A e C, nessa ordem, pois
o vértice do ângulo é o ponto A.
Em seguida, trace duas retas concorrentes num ponto A. Selecione a opção
bissetriz e clique nas duas retas que você acabou de construir. Qual a diferença
entre a bissetriz que você traçou agora e a que você traçou anteriormente usando
as duas semirretas?
Vamos explorar o Botão 6:
Figura 32: opções do Botão 6
As opções do Botão 6 substituem o uso do compasso. Com ele, podemos construir
circunferências e arcos de circunferência.
Na opção CÍRCULO DADOS CENTRO E UM DE SEUS PONTOS, podemos
construir uma circunferência quando conhecemos seu centro e um de seus
pontos. Trace uma e observe que na Janela de Álgebra aparece a equação
reduzida dessa circunferência. Observe que clicando com o botão direito do
206
mouse sobre a equação reduzida, podemos mudá-la para uma equação geral da
mesma circunferência.
Movimente o centro da circunferência e observe o que acontece com a equação.
Agora movimente o ponto usado para construí-la e verifique o que acontece com
a equação também. Podemos alterar o nome, a cor e o estilo da circunferência,
do mesmo modo que fizemos com a reta anteriormente.
Use a opção CÍRCULO DADOS CENTRO E RAIO, clique em um ponto qualquer
e atribua um valor qualquer para o raio. Observe a equação que apareceu na
Janela de Álgebra. Movimente o ponto que representa o centro e observe as
mudanças que ocorrem com a equação da circunferência. Observe que o raio
continua o mesmo.
Vamos fazer uma pequena construção, utilizando alguns dos recursos vistos até
agora.
Clique no botão 5 e, utilizando a opção POLÍGONO, construa um triângulo
genérico. Para isso clique num ponto A, em seguida num ponto B e num ponto C.
Ao final, clique novamente no ponto A.
No botão 2, clique em PONTO MÉDIO OU CENTRO e, em seguida, clique no
segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e determine o ponto D, clique no segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e encontre o
ponto médio E e, por último, clique no segmento de reta 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ encontrando o ponto
médio F.
Construa os segmentos de reta 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Esses segmentos são denominados
“medianas do triângulo”. Usando a opção INTERSECÇÃO DE DOIS OBJETOS
determine o ponto G intersecção dos segmentos 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ . Esse ponto é
denominado Baricentro do triângulo. Observe que ele pertence ao segmento de
reta 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ; para observar isso, use o botão Mover e movimente o triângulo pela
Janela de visualização.
Use o botão MOVER para movimentar cada um dos vértices do triângulo e
observe o que acontece com o ponto G. Formule uma frase que indique a
propriedade que você observou nessa construção.
Clique na opção CONTROLE DESLISANTE (botão 11) e, em seguida em algum
ponto na tela. Aparecerá uma janela, na qual está escrito min; altere o número -5
que aparece em min para 0 e, em seguida, clique em aplicar.
No campo de entrada, digite a expressão: x^2 + y^2 = a^2.
207
Observe que na Janela de Visualização foi construída uma circunferência. Veja a
equação dela na Janela de Álgebra.
Movimente o botão do controle deslizante e observe o que acontece com a
construção que está na Janela de Visualização e com a equação que aparece na
Janela de álgebra.
O controle deslizante cria um parâmetro que você pode usar numa construção
geométrica e alterar dentro dos limites indicados na criação do parâmetro, para
observar o que acontece na construção onde esse parâmetro foi utilizado.
O GeoGebra tem muitas outras opções; porém, acreditamos que com os exemplos
que demos nesta atividade, você pode fazer muitas outras, como as que
pretendemos propor para realizar uma pesquisa de Doutorado em Educação
Matemática.
208
209
APÊNDICE B
Atividade 1
1. Abra uma página nova no GeoGebra. Tire a opção de exibir os eixos
coordenados.
2. Marque 2 pontos distintos na tela, que serão nomeados automaticamente
A e B.
3. Trace o segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
4. Determine a mediatriz do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
5. Coloque um ponto sobre a mediatriz. Certifique-se que esse ponto está
realmente sobre a reta, movimentando o ponto. Ele não poderá sair da reta.
Esse ponto será nomeado automaticamente C.
6. Determine a distância do ponto A ao ponto C e do ponto B ao ponto C.
Compare essas duas medidas. O que você observa?
7. Movimente o ponto C sobre a mediatriz e verifique o que acontece com as
distâncias AC e BC. O que você observa?
8. Com base no que você observou, elabore uma conjectura sobre o conjunto
dos pontos que pertencem à mediatriz traçada do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
9. A partir de sua conjectura, escreva uma definição para a mediatriz de um
segmento.
10. Marque um ponto D que não esteja na mediatriz e determine a distância do
ponto D ao ponto A e do ponto D ao ponto B. Movimente o ponto D pela
tela e compare essas distâncias com o que acontece com o ponto C.
11. A definição que você escreveu no item 9 pode ser modificada ou
completada, considerando o observado no item 10? Se sim, reescreva essa
definição. Justifique sua resposta.
Na segunda parte desta atividade, o objetivo é que o aluno defina circunferência
como sendo o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância fixa de um
ponto dado.
1. Retire os eixos do plano da tela do GeoGebra e marque dois pontos
distintos que serão nomeados automaticamente A e B.
2. Construa uma circunferência com centro em A e passando por B.
210
3. Coloque um ponto C sobre a circunferência. Cerifique-se que esse ponto
está sobre a circunferência, movimentando-o.
4. Determine a distância do ponto A ao ponto C. Movimente o ponto C pela
circunferência e perceba o que acontece com essa distância.
5. Coloque um ponto D fora da circunferência.
6. Determine a distância de A a D. Compare essa distância com a distância
encontrada anteriormente (de A a C).
7. Movimente o ponto D e perceba o que acontece com a distância dele a A,
sempre comparando com a distância de A a C.
8. Complete a afirmação: A distância de A a D é sempre __________ que a
distância de A a C.
9. Agora coloque um ponto E na região interior da circunferência, e faça o
mesmo que foi feito com o ponto D.
10. Complete a afirmação: A distância de A a E é sempre __________ que a
distância de A a C.
11. Sabendo que o ponto A é denominado centro da circunferência e a
distância de A a B é chamada raio da circunferência, compare o que você
observou com os pontos C, D e E. Escreva uma conjectura que relacione
as distâncias calculadas. Justifique sua resposta.
12. Escreva uma definição para a circunferência, utilizando as observações
efetuadas nos itens anteriores.
Na terceira parte desta atividade, o objetivo é que o aluno elabore uma conjectura
sobre a definição de bissetriz como o lugar geométrico dos pontos equidistantes
de duas retas concorrentes.
1. Abra uma planilha no GeoGebra sem os eixos ordenados.
2. Marque 3 pontos A, B e C não colineares.
3. Construa a semirreta que passa por A e por B e a semirreta que passa por
A e por C.
4. Trace a bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶.
5. Determine um ponto D sobre a reta bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶. Certifique-se
que o ponto pertence à reta.
211
6. Trace uma reta perpendicular à reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ passando pelo ponto D e determine
o ponto E, intersecção dessas duas retas.
7. Trace uma reta perpendicular à reta 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ passando pelo ponto D e determine
o ponto F, intersecção dessas duas retas.
8. Determine a distância do ponto D ao ponto E e do ponto D ao ponto F.
Compare essas medidas. O que você observa?
9. Faça o ponto D correr sobre a reta bissetriz e verifique o que acontece com
essas medidas. O que você observa?
10. Marque um ponto G que não esteja na bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶. Trace uma
reta perpendicular à reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ passando por G e determine o ponto H,
intersecção dessas duas retas.
11. Trace uma reta perpendicular à reta 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ passando por G e determine o
ponto I, intersecção dessas duas retas.
12. Compare as distâncias GH e GI. O que você observa?
13. Comparando as distâncias encontradas nos itens 8 e 12, elabore uma
conjectura sobre essas distâncias. Qual a regra que se pode estabelecer
entre os pontos contidos na bissetriz e os pontos não contidos na bissetriz?
14. A partir do que foi feito nos itens anteriores, defina a reta bissetriz de um
ângulo.
Avaliação da Atividade 1
Agora que você fez as construções solicitadas na Atividade 1, gostaríamos que
você completasse os itens abaixo:
1. Podemos definir MEDIATRIZ como sendo ________________________
__________________________________________________________
2. Quais propriedades você notou que valem para os pontos pertencentes à
mediatriz de um segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ?
3. Podemos definir circunferência como sendo ______________________
4. Relacione as propriedades que você notou que valem para os pontos
pertencentes à circunferência de centro O e raio r.
5. Podemos definir bissetriz como sendo ___________________________
6. Indique a propriedades que você notou que valem para os pontos
pertencentes à bissetriz de um ângulo.
212
7. Gostaríamos de saber um pouco mais sobre você.
a) Qual o seu sexo? ____ masculino ou ____ feminino
b) Qual a sua idade? _______________
c) Das disciplinas abaixo, qual delas você já cursou e passou?
Desenho geométrico (DES)
Fundamentos da Geometria 1 (FG1)
Fundamentos da Geometria Analítica (FGA)
Fundamentos da Geometria 2 (GF2)
d) Das disciplinas abaixo, em quais você está matriculado nesse semestre?
Desenho geométrico (DES)
Fundamentos da Geometria 1 (FG1)
Fundamentos da Geometria Analítica (FGA)
Fundamentos da Geometria 2 (GF2)
213
APÊNDICE C
Atividade 1 – Continuação
Considerando as atividades que você fez no GeoGebra no último encontro,
responda às perguntas.
1. Lembre-se da primeira parte da atividade 1, quando estudamos a Mediatriz.
Nos itens do 1 ao 7 desta atividade nós construímos a mediatriz, colocamos
um ponto e o movimentamos sobre a mediatriz. Qual propriedade você
pôde observar com esta parte da atividade?
2. No item 10 desta atividade nós traçamos um ponto D fora da mediatriz,
movimentamos este ponto e observamos uma propriedade comum aos
pontos que surgiram ao movimentarmos o ponto D pela tela. Qual
propriedade é esta?
3. Agora escreva uma sentença que fale ao mesmo tempo das duas
propriedades.
4. Escreva uma sentença que englobe a propriedade do item 3 e a observação
do item 4.
Observe a definição de Lugar Geométrico Plano.
Definição: Uma figura recebe o nome de lugar geométrico dos pontos que
possuem uma propriedade quando:
a) Todos os seus pontos satisfazem a propriedade 𝑃;
b) Somente os pontos dessa figura satisfazem a propriedade 𝑃, isto é, se um
ponto A possui a propriedade 𝑃, então A pertence à figura.
5. Relacione a propriedade do item 3 e a observação do item 4 com a definição
de Lugar Geométrico Plano.
6. Agora, defina mediatriz como um lugar geométrico plano.
Na segunda parte da Atividade, nossa experiência foi com uma circunferência.
7. Na atividade sobre a circunferência observamos uma propriedade que vale
para os pontos da circunferência e observamos também como os pontos
que estão fora e os que estão dentro da circunferência se relacionam com
esta propriedade. Escreva qual a propriedade que os pontos da
circunferência possuem e como fica esta propriedade quando os pontos
estão dentro e quando estão fora da circunferência.
214
8. Relacione essas duas propriedades com a definição de Lugar Geométrico
Plano.
9. Agora, defina circunferência como sendo um Lugar Geométrico Plano.
Na terceira parte da atividade tratamos da bissetriz.
10. Do item 1 ao item 8 desta atividade, qual propriedade das bissetrizes está
sendo considerada? (dica: esta propriedade tem a ver com distância de
ponto a reta)
11. Do item 9 ao 12 estamos querendo que você observe que os pontos que
estão fora da bissetriz não possuem determinada propriedade. Qual
propriedade é esta?
12. Relacione estas duas propriedades com a definição de lugar geométrico e
defina bissetriz como sendo um lugar geométrico. Lembre-se que para ser
lugar geométrico é necessário que aconteçam duas condições.
13. Agora, leia o texto a seguir e responda as perguntas que estão ao seu final:
O professor solicitou que uma turma de alunos mostrasse que os pontos
equidistantes das extremidades de um segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ pertencem à reta
mediatriz desse segmento.
Ao corrigir as atividades, este professor separou as atividades de três dos alunos
(o aluno A, o aluno B e o aluno C).
Observe as respostas de cada um desses alunos e , em seguida, responda às
perguntas sugeridas.
Aluno A:
Este aluno abriu uma página no software GeoGebra, traçou um segmento de reta
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , construiu a mediatriz desse segmento e localizou um ponto P sobre a
mediatriz. Em seguida, o aluno determinou a distância de P a A e de P a B.
Verificou que essas distâncias eram congruentes, movimentou o ponto P sobre a
mediatriz e percebeu que a congruência entre as distâncias se mantinham.
Dessa forma, ele concluiu que os pontos que estavam sobre a mediatriz do
segmento de reta são equidistantes das extremidades dele.
215
Figura 33:demonstração Mediatriz com GeoGebra
Perguntamos:
1. A construção feita por esse aluno está correta?
2. Esta construção “mostra” que os pontos da mediatriz são equidistantes das
extremidades do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ?
3. Podemos considerar que ele demonstrou o que foi pedido? Na sua opinião,
esta é uma demonstração?
4. Faltou demonstrar alguma coisa?
5. Você acrescentaria ou tiraria algo dessa construção? O que?
Aluno B:
O aluno B decidiu resolver o exercício algebricamente. Ele traçou num papel um
segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , traçou a mediatriz m desse segmento de reta e localizou um
ponto P sobre a mediatriz.
Em seguida, ele traçou os segmentos de reta 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ e 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ e localizou o ponto M,
intersecção da reta m com o segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
216
Figura 34: demonstração mediatriz 1ª parte
Considerou o segmento de reta 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ e observou que dessa forma passou a ter dois
triângulos ∆𝑃𝑀𝐴 e ∆𝑃𝑀𝐵.
Observou que como o segmento 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ está contido na mediatriz m e esta é
perpendicular ao segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , os ângulos 𝑃�̂�𝐴 e 𝑃�̂�𝐵 são retos e,
portanto, congruentes.
Observou, ainda, que como M é o ponto médio do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , os
segmentos de reta 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ e 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ são congruentes.
Como o segmento de reta 𝑀𝑃̅̅̅̅̅ é comum aos dois triângulos ele concluiu que os
triângulos ∆𝑃𝑀𝐴 e ∆𝑃𝑀𝐵 são congruentes pelo caso LAL.
Considerando essa congruência, o aluno concluiu que os segmentos de reta 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ e
𝑃𝐵̅̅ ̅̅ são congruentes também e concluiu que a demonstração estaria completa.
Agora, responda:
1. Esta resolução pode ser considerada uma demonstração?
2. Se sim, ela está completa? Faltou demonstrar alguma coisa?
3. Ele usou algo supérfluo, ou seja, que seria desnecessário para demonstrar
o que foi pedido?
4. Compare as resoluções dos alunos A e B. São diferentes? Por que?
Justifique.
Aluno C:
217
O aluno C também optou pela resolução algébrica do exercício. Ele fez tudo o que
o aluno B fez e, em seguida fez uma outra figura onde colocou o segmento de reta
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , considerou um ponto Q exterior ao segmento e o ponto médio do segmento
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ que denominou de M.
Ele considerou que o ponto Q é um ponto equidistante de A e de B e traçou o
segmento de reta 𝑄𝑀̅̅ ̅̅ ̅.
Figura 35: demonstração mediatriz 2ª parte
Dessa forma, ele escreveu 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ ≅ 𝑄𝐵̅̅ ̅̅ , pois Q é equidistante de A e de B. Escreveu,
também, 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅, pois o ponto M é o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e anotou
ainda que o segmento 𝑄𝑀̅̅ ̅̅ ̅ é comum aos triângulos ∆𝐴𝑄𝑀 e ∆𝐵𝑄𝑀.
Em seguida, ele anotou: “Pelo caso LLL, os triângulos ∆𝐴𝑄𝑀 e ∆𝐵𝑄𝑀 são
congruentes, então os ângulos 𝑄�̂�𝐴 e 𝑄�̂�𝐵 também são congruentes e como são
suplementares, são ângulos retos.”
Portanto, o segmento 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ é perpendicular ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , dessa forma, ele
concluiu que qualquer ponto Q equidistante de A e de B pertence à mediatriz do
segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Agora, responda:
1. Esta resolução está correta?
2. Ela pode ser considerada uma demonstração?
3. Faltou algum detalhe?
4. Houve alguma parte supérflua nessa resolução?
5. Explique por que ele fez essa segunda parte que está diferente do que o
aluno B fez?
6. Compare esta resolução com as resoluções dos alunos A e B?
218
7. Qual das três resoluções você faria? Ou você faria algo diferente das três
resoluções?
8. Você consegue sugerir uma quarta demonstração para esse teorema?
219
APÊNDICE D
ATIVIDADE 3
Primeira Parte
Leia o texto a seguir e responda as perguntas que estão ao seu final:
O professor solicitou que uma turma de alunos mostrasse que os pontos
equidistantes das extremidades de um segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ pertencem à reta
mediatriz desse segmento.
Ao corrigir as atividades, este professor separou as atividades de três dos alunos
(o aluno A, o aluno B e o aluno C).
Observe as respostas de cada um desses alunos e, em seguida, responda às
perguntas sugeridas.
Aluno A:
Este aluno abriu uma página no software GeoGebra, traçou um segmento de reta
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , construiu a mediatriz desse segmento e localizou um ponto P sobre a
mediatriz. Em seguida, o aluno determinou a distância de P a A e de P a B.
Verificou que essas distâncias eram congruentes, movimentou o ponto P sobre a
mediatriz e percebeu que a congruência entre as distâncias se mantinham.
Dessa forma, ele concluiu que os pontos que estavam sobre a mediatriz do
segmento de reta são equidistantes das extremidades dele.
Figura 36: demonstração Mediatriz é um Lugar Geométrico no GeoGebra
Perguntamos:
1. A construção feita por esse aluno está correta?
2. Esta construção “mostra” que os pontos da mediatriz são equidistantes das
extremidades do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ?
220
3. Podemos considerar que ele demonstrou o que foi pedido? Na sua opinião,
esta é uma demonstração?
4. Faltou demonstrar alguma coisa?
5. Você acrescentaria ou tiraria algo dessa construção? O que?
Aluno B:
O aluno B decidiu resolver o exercício algebricamente. Ele traçou num papel um
segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , traçou a mediatriz m desse segmento de reta e localizou um
ponto P sobre a mediatriz.
Em seguida, ele traçou os segmentos de reta 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ e 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ e localizou o ponto M,
intersecção da reta m com o segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Figura 37: demonstração Mediatriz é um Lugar Geométrico - 1ª parte
Considerou o segmento de reta 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ e observou que dessa forma passou a ter dois
triângulos ∆𝑃𝑀𝐴 e ∆𝑃𝑀𝐵.
Observou que como o segmento 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ está contido na mediatriz m e esta é
perpendicular ao segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , os ângulos 𝑃�̂�𝐴 e 𝑃�̂�𝐵 são retos e,
portanto, congruentes.
Observou, ainda, que como M é o ponto médio do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , os
segmentos de reta 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ e 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ são congruentes.
Como o segmento de reta 𝑀𝑃̅̅̅̅̅ é comum aos dois triângulos ele concluiu que os
triângulos ∆𝑃𝑀𝐴 e ∆𝑃𝑀𝐵 são congruentes pelo caso LAL.
Considerando essa congruência, o aluno concluiu que os segmentos de reta 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ e
𝑃𝐵̅̅ ̅̅ são congruentes também e concluiu que a demonstração estaria completa.
221
Agora, responda:
1. Esta resolução pode ser considerada uma demonstração?
2. Se sim, ela está completa? Faltou demonstrar alguma coisa?
3. Ele usou algo supérfluo, ou seja, que seria desnecessário para demonstrar
o que foi pedido?
4. Compare as resoluções dos alunos A e B. São diferentes? Por que?
Justifique.
Aluno C:
O aluno C também optou pela resolução algébrica do exercício. Ele fez tudo o que
o aluno B fez e, em seguida fez uma outra figura onde colocou o segmento de reta
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , considerou um ponto Q exterior ao segmento e o ponto médio do segmento
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ que denominou de M.
Ele considerou que o ponto Q é um ponto equidistante de A e de B e traçou o
segmento de reta 𝑄𝑀̅̅ ̅̅ ̅.
Figura 38: mediatriz é um Lugar Geométrico - 2ª parte
Dessa forma, ele escreveu 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ ≅ 𝑄𝐵̅̅ ̅̅ , pois Q é equidistante de A e de B. Escreveu,
também, 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅, pois o ponto M é o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e anotou
ainda que o segmento 𝑄𝑀̅̅ ̅̅ ̅ é comum aos triângulos ∆𝐴𝑄𝑀 e ∆𝐵𝑄𝑀.
Em seguida, ele anotou: “Pelo caso LLL, os triângulos ∆𝐴𝑄𝑀 e ∆𝐵𝑄𝑀 são
congruentes, então os ângulos 𝑄�̂�𝐴 e 𝑄�̂�𝐵 também são congruentes e como são
suplementares, são ângulos retos.”
Portanto, o segmento 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ é perpendicular ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , dessa forma, ele
concluiu que qualquer ponto Q equidistante de A e de B pertence à mediatriz do
segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Agora, responda:
222
1. Esta resolução está correta?
2. Ela pode ser considerada uma demonstração?
3. Faltou algum detalhe?
4. Houve alguma parte supérflua nessa resolução?
5. Explique por que ele fez essa segunda parte que está diferente do que o
aluno B fez?
6. Compare esta resolução com as resoluções dos alunos A e B?
7. Qual das três resoluções você faria? Ou você faria algo diferente das três
resoluções?
8. Você consegue sugerir uma quarta demonstração para esse teorema?
Segunda Parte
Em matemática, os resultados apenas são aceitos se demonstrados, então a
demonstração é essencial para se estudar matemática.
Afirmações apenas são aceitas se demonstradas verdadeiras. Ao iniciar uma
demonstração é necessário saber primeiramente duas coisas: quais as hipóteses
e quais as teses dessa afirmação que chamaremos de Teorema.
As hipóteses são afirmações que são enunciadas como verdadeiras na sentença
do Teorema e as teses são as afirmações que temos que provar que são
verdadeiras.
Veja este exemplo:
“Sejam 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶 como na figura abaixo. Mostre que 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷.”
Figura 39: exemplo de demonstração
Neste exemplo as hipóteses são: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶 e a tese é: 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷.
Vamos agora, identificar quais as hipóteses e as teses dos seguintes teoremas:
1. Teorema: Se duas retas que se cortam formam um ângulo reto, então
formam quatro ângulos retos.
223
2. Na figura abaixo, temos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . Mostre que 𝐷�̂�𝐶 ≅ 𝐸�̂�𝐵.
Figura 40: exercício 2 - hipótese e tese
Hipótese:
Tese:
3. Mostre que dado um triângulo isósceles ∆𝐴𝐵𝐶 com base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , a mediana
desde o vértice A desse triângulo coincide com a bissetriz do triângulo
correspondente ao ângulo Â.
Hipótese:
Tese:
Alguns Teoremas são do tipo “se e somente se”. Esses teoremas possuem duas
fases de demonstração, numa delas usamos uma hipótese para demonstrar uma
tese e, na segunda fase, a tese da primeira fase vira hipótese e a hipótese da
primeira fase vira tese. Na verdade, quando aparece a expressão: “se e somente
se” precisamos fazer duas demonstrações ao invés de uma única como fizemos
nos exemplos anteriores.
Veja este exemplo:
Mostre que a bissetriz em  de um triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 é perpendicular ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ se,
e somente se, o triângulo é isósceles com base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Nesse caso, temos na chamada “ida” do teorema a hipótese: a bissetriz de um
triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 é perpendicular ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e a tese: o triângulo é isósceles com
base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Já na chamada “volta” do teorema temos a hipótese: num triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 é
isósceles com base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e a tese será: a bissetriz do triângulo é perpendicular ao
lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Agora, complete as hipóteses e as teses dos seguintes teoremas:
4. Um triângulo é isósceles se, e somente se, tem dois ângulos internos
congruentes.
224
“Ida”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒: “Volta”: {
𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:𝑇𝑒𝑠𝑒:
Definição: Uma figura recebe o nome de lugar geométrico dos pontos que
possuem uma propriedade P quando:
Todos os seus pontos satisfazem a propriedade P;
Somente os pontos dessa figura satisfazem a propriedade P, isto é, se um ponto
A possui a propriedade P, então pertence à figura.
Observando esta definição podemos notar que uma demonstração de Lugar
Geométrico é do tipo “se e somente se”. Assim sendo, complete os itens a seguir
indicando as hipóteses e as teses de cada um dos teoremas enunciados.
5. Teorema: o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de dois
pontos dados é a mediatriz do segmento formado por eles.
“Ida”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒: “Volta”: {
𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:𝑇𝑒𝑠𝑒:
6. O lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância conhecida d de
um ponto C é a circunferência de centro C e raio d.
“Ida”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒: “Volta”: {
𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:𝑇𝑒𝑠𝑒:
7. Teorema: O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas semirretas
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ é a bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶 (0 < 𝐵Â𝐶 < 180°).
“Ida”: {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:
𝑇𝑒𝑠𝑒: “Volta”: {
𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒:𝑇𝑒𝑠𝑒:
Terceira Parte
Agora, você vai aprender a usar as hipóteses das afirmações para mostrar que a
tese é verdadeira.
Para isso, você tem que raciocinar em cima das hipóteses, usar outros resultados
da geometria já demonstrados anteriormente e chegar que a tese é verdadeira.
Vamos começar com o exemplo:
“Sejam 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶 como na figura abaixo. Mostre que 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷.”
225
Figura 41: exemplo de demonstração
Observando o enunciado, podemos concluir que a hipótese (informações que
sabemos verdadeiras) é que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶.
A tese (propriedade que desejamos provar que é verdadeira) é que 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷.
A demonstração de um teorema depende de resultados já demonstrados e, neste
caso, uma abordagem possível de ser usada é a congruência de triângulos, que
vamos supor que já conhecemos, além de alguns fatos básicos de Geometria.
Quando temos uma figura como a desse exemplo, que não é um triângulo,
podemos usar de um artifício para transformá-la numa junção de triângulos. Para
tal, podemos usar um segmento de reta auxiliar que transformará nossa figura na
junção de dois triângulos que, se forem congruentes, facilitarão a nossa
demonstração. A princípio, traçamos o segmento de reta 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ que transforma o
quadrilátero ABCD nos triângulos ∆𝐴𝐵𝐷 e ∆𝐴𝐶𝐷 que estão unidos pelo segmento
traçado. Observe a Figura 16
Figura 42: exemplo de demonstração com artifício
Considerando a hipótese e o segmento de reta traçado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , podemos destacar
que:
226
{𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅
Pelo caso de congruência LLL podemos concluir a congruência dos triângulos
∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴𝐶𝐷.
Dessa forma, podemos concluir que os ângulos correspondentes dos dois
triângulos também são congruentes, portanto:
{𝐴�̂�𝐵 ≅ 𝐴�̂�𝐶𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷𝐵Â𝐷 ≅ 𝐶Â 𝐷
Como a tese desse teorema é que 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷, podemos concluir que ela está
demonstrada.
Mas, nem sempre uma demonstração pode ser feita de uma única forma. Observe
que a nossa figura pode ser transformada em dois outros triângulos, se traçamos
o segmento de reta 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Veja a Figura 17
Figura 43: exemplo de demonstração com segundo artifício 2
Observe que, dessa forma, temos novamente dois triângulos a considerar ∆𝐴𝐵𝐶
e ∆𝐷𝐵𝐶. Pela hipótese, temos que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ o que nos leva a concluir que o
triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 é um triângulo isósceles de base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Da mesma forma, temos que
𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ , o que nos leva a concluir que o triângulo ∆𝐷𝐵𝐶 também é isósceles de
base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Agora precisamos usar um resultado referente às propriedades dos triângulos
isósceles, de que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
Você poderá perguntar se dessa forma não estará utilizando a congruência de
triângulos. A resposta é sim, a congruência de triângulos está sendo usada uma
vez que essa propriedade dos triângulos isósceles é provada utilizando a
227
congruência de triângulos (não faremos essa demonstração aqui, usaremos
apenas a propriedade já demonstrada).
Como o ∆𝐴𝐵𝐶 é isósceles, temos a congruência dos ângulos de sua base: 𝐴�̂�𝐶 ≅
𝐴�̂�𝐵. A mesma coisa será feita com o ∆𝐷𝐵𝐶 que também é isósceles: 𝐷�̂�𝐶 ≅
𝐷�̂�𝐵.
Se temos que 𝐴�̂�𝐶 ≅ 𝐴�̂�𝐵 e 𝐷�̂�𝐶 ≅ 𝐷�̂�𝐵, podemos subtrair as medidas desses
ângulos e temos 𝐴�̂�𝐶 − 𝐷�̂�𝐶 = 𝐴�̂�𝐵 − 𝐷�̂�𝐵, o que nos leva a concluir que
𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷. Como nossa tese a ser demonstrada era 𝐴�̂�𝐷 ≅ 𝐴�̂�𝐷 e chegamos
a esta conclusão após a análise dos triângulos congruentes, podemos concluir
que o teorema foi demonstrado.
Agora, vamos demonstrar o seguinte teorema:
1. Sejam 𝐹�̂�𝐴 ≅ 𝑅�̂�𝑄 e 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝑀̅̅ ̅̅ ̅ como na figura abaixo. Mostre que 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ≅
𝐻𝑅̅̅ ̅̅ .
Figura 44: ilustração - exercício 1 parte 3
g) Complete:
Hipótese: __________________________________________
Tese: _____________________________________________
h) Para facilitar a dedução da demonstração, podemos marcar na figura quais
elementos temos como verdadeiros (a hipótese) e quais queremos mostrar
que são verdadeiros (a tese), portanto, marque na figura a hipótese e a
tese.
i) Como nossa figura é formada por triângulos, vamos tentar identificar
triângulos que sejam congruentes para poder tirar conclusões sobre os
segmentos e ângulos da figura para chegar à demonstração da tese. Então,
identifique os triângulos que você vai analisar se são congruentes.
228
j) Quais outros segmentos e/ou ângulos não foram indicados na hipótese
como congruentes e que você pode concluir que são congruentes? Marque
estes elementos na figura.
k) Você já pode identificar algum caso de congruência de triângulos com os
elementos que já tem? Qual é esse caso?
l) Você já pode concluir que a tese é verdadeira? Explique sua conclusão com
base na congruência de triângulos que identificou no item anterior.
2. Agora, vamos demonstrar o seguinte teorema:
Na figura abaixo, sabendo que C é ponto médio de 𝐵𝐸, prove que os triângulos
𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐶 são congruentes.
Figura 45: figura referente ao exercício 2 da atividade 3C.
g) Complete:
Hipótese: __________________________________________
Tese: _____________________________________________
h) Marque na figura a hipótese e a tese.
i) Identifique os triângulos que você vai analisar se são congruentes.
j) Quais outros segmentos e/ou ângulos não foram indicados na hipótese
como congruentes e que você pode concluir que são congruentes? Marque
estes elementos na figura.
k) Você já pode identificar algum caso de congruência de triângulos com os
elementos que já tem? Qual é esse caso?
l) Você já pode concluir que a tese é verdadeira? Explique sua conclusão com
base na congruência de triângulos que identificou no item anterior.
3. Prove o teorema abaixo, usando os mesmos passos usados nos teoremas
anteriores: Na figura abaixo, sabendo que 𝛼 ≡ 𝛽 e 𝛾 ≡ 𝛿, prove que os
triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐶𝐷𝐴 são congruentes.
229
Figura 46: figura referente ao exercício 3
4. Demonstre que a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes
de duas semirretas concorrentes.
e) Para efetuar esta demonstração será necessário primeiramente lembrar
que para que um objeto matemático seja identificado como sendo um Lugar
Geométrico Plano ele deve atender a duas condições. Quais são elas?
f) Identifique estas condições relacionadas à bissetriz.
g) Agora escreva as hipóteses e teses desse teorema. Lembre que é um
teorema do tipo “se e somente se”, ou seja, será necessário provar a “ida”
e a “volta”.
IDA {𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒𝑠:
𝑇𝑒𝑠𝑒𝑠: VOLTA {
𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒𝑠:𝑇𝑒𝑠𝑒𝑠:
h) Demonstre a “ida” do teorema.
i) Demonstre a “volta” do teorema.
230
231
APÊNDICE E
Entrevista - Aluna
Vera - Bom dia
Aluna - Bom dia
Elisabete - Tá. Então eu vou te fazer umas perguntas primeiro referentes a você antes
de me conhecer, tá?
Aluna - Tá bom
Elisabete - Então quando você estava na educação básica lá no ensino fundamental, no
ensino médio, seus professores nas aulas de Matemática costumavam demonstrar as
fórmulas e as propriedades dos objetos matemáticos estudados?
Aluna - Não. A maioria não. A maioria passava as atividades que tinha pra passar, o
conteúdo e eles davam tipo uma... uma forma de se fazer o exercício e o aluno
praticamente copiava, né, a forma, era como se fosse uma receita pra gente. A gente...
como é que eu posso dizer? Transmitia o que ele passou num outro exercício, mas
usando sempre a mesma ideia dele, ele nunca demonstrou pra gente saber por que
aquilo, a gente nunca soube.
Elisabete- Você não tinha curiosidade de saber?
Aluna- Eu tinha, eu tive um professor na sétima série que ele era o único professor assim
que se a gente chamasse ele pra conversar depois da aula ele explicava tudo certinho
que era o professor Antonio.
Vera- Depois da aula?
Aluna- Depois da aula.
Vera- Nunca na aula?
Aluna- Nunca na aula. Depois da aula. Ele sempre tirava dúvida
Elisabete- Você costumava procurá-lo pra perguntar
Aluna- Costumava, até no sétimo...
Elisabete - Que tipo de dúvida você...você perguntava pro professor?
Aluna - Eu tive... Na sétima série a gente se preparava pra uma prova que tem uma
escola chamada Instituto Técnico de Barueri.
Vera - Então pera lá que eu preciso anotar isso tá.
Aluna - Uhun
Vera - Ok. Que escola que era?
Aluna - Eu estudava no Nestor, é uma escola estadual
Vera - Uma escola estadual e tinha esse...?
Aluna - É, então, a gente
Vera - A sua escola era em Osasco?
232
Aluna - Não, em Barueri. Eu estudei em Barueri. Aí... essa escola em Barueri... era assim,
o Instituto Técnico era pago até o ano que eu estudei e então eles pegavam três alunos.
Vera - E você estudou no Instituto Técnico?
Aluna - Não, eu estudei numa escola pública mesmo só que a escola, todas as escolas
públicas da região de Barueri, elas selecionavam três alunos. Eles davam uma prova, o
aluno fazia uma prova e eles selecionavam os três melhores pra poderem estudar no
Instituto.
Elisabete - Com bolsa?
Aluna- Com bolsa
Elisabete - E você conseguiu?
Vera - Isso era anualmente?
Aluna- Não. Isso anualmente, uhun.
Elisabete - Você não conseguiu?
Aluna – Não consegui porque o ano que a gente... era só português e matemática a prova
e o ano que a gente ia prestar a prova, que a gente estava estudando pra prestar a prova.
Vera - Era o IF? Não é a mesma coisa do IF né?
Aluna - Não. É ITB.
Vera - Instituto Técnico
Aluna - É. ITB
Vera - ITB?
Aluna - Isso. ITB
Elisabete - Instituto Técnico de Barueri
Aluna - De Barueri. Isso.
Vera - Certo
(03:13) – Aluna - No ano em que a gente ia prestar essa prova, a professora não ensinava
praticamente nada, ela entrava dentro da sala de aula...
Vera - Professora de matemática
Aluna - Isso, de matemática e eu queria muito fazer essa prova, eu queria muito passar.
E esse professor que eu falei que ele tirava dúvida da gente, ele fez um plantão de
dúvidas. Aí o aluno que quisesse estudar... Eu estava terminando o sétimo ano, eu não
sabia fazer equação do segundo grau. Eu não sabia.
Elisabete - Mas equação do segundo grau é nono ano
Aluna - É porque naquela época não tinha o nono ano ainda, eu tava na
Elisabete - Ah, sétima série.
Aluna - Sétima série
Elisabete - Mas é o oitavo equação de segundo grau
233
Aluna - Uhun,é, então, pra fazer a prova a gente tinha que saber. Na... na ementa lá no
que ia cair na prova tinha equação de segundo grau, tinha bastante coisa assim, sabe,
que a gente não tinha aprendido
Elisabete - Mas esse Instituto Técnico era pra ensino médio
Aluna - Era pra ensino técnico médio
Elisabete - Ah, então você teria que fazer quando terminasse o fundamental
Aluna - Isso, a gente tava se preparando pra poder fazer essa prova. E não consegui por
conta disso. Eu queria ter aprendido mais mas eu não consegui por conta dessa... como
se fosse uma defasagem
Vera - Tá, e aí eu vou perguntar por que, eu acho que depois ela vai precisar saber.
Quando você disse que esse professor tirava dúvida ele ensinava o porquê ou ele tirava
dúvida de vocês
Aluna - Ele pegava desde o comecinho e ia explicando, vamos supor, a equação do
segundo grau ele começou... ele fez aquela demonstração do quadrado aí depois ele...
foi na... já pegou um exercício, já falou ah, vamos aplicar nesse exercício. Ele já pegava
mais diferente na aula de dúvidas, na sala de aula ele era diferente, ele passava resolva
e passava como que resolvia e a gente fazia. Eu tive aula com ele na sexta série e depois
na sétima série eu procurei ele prá poder me ajudar
Elisabete - Tá. Você lembra ter feito alguma demonstração durante a educação básica?
Você tentar fazer?
Aluna - Não. Eu tentar fazer não.
Elisabete - E nem sentiu a necessidade de tentar? Essa curiosidade, vamos dizer assim?
Aluna - Eu acredito que... é, eu acredito que eu não sentia assim porque eu não conhecia,
assim, a demonstração em si. Eu sabia que... que tinha que fazer alguma coisa pra poder
chegar naquilo só que eu não sabia o que que era a demonstração
Elisabete - Nunca ninguém falou?
Aluna - Nunca ninguém me falava assim, ah, isso daqui é uma demonstração. Nunca
conheci. Não tinha conhecido a demonstração. Acho que por isso que eu tenho um pouco
de dificuldade hoje na faculdade prá aprender demonstração. Tive um pouquinho de
dificuldade e até hoje ainda tenho um pouquinho de dificuldade
(06:01) - Vera - Onde que você tem dificuldade na... na... na... no ensino superior?
Aluna - Na... no começo. Na parte de determinar o que eu... por onde eu começo. Depois
que eu comecei a demonstrar eu consigo continuar a demonstração, na parte da...
Vera - Então deixa eu perguntar uma coisa pra você, antes, que que é uma demonstração
pra você? Agora
Aluna- Agora? É eu pegar uma...
_______________
234
Aluna - Tá bom. São fatos verdadeiros que eu pego da Matemática e eu tenho que
demonstrar... e eu tenho que ter... isso daí é uma hipótese que eu tenho verdadeira e eu
tenho uma tese que eu tenho que mostrar que ela também é verdadeira
Vera - Hum. E aí...?
Aluna - E aí eu tenho que usar argumentos daquela hipótese pra poder chegar que aquela
tese é verdadeira.
Vera - Tá, legal
Aluna - Eu não sei explicar em palavras certinhas
Ver a- Não tem problema. Não tem problema nenhum, é assim mesmo, é isso aí tá, é o
que você tá pensando porque isso que é importante
Elisabete - Então quando você entrou no ensino superior qual a primeira disciplina onde
o professor cobrou que você fizesse alguma demonstração?
Aluna - Funções com o França
Vera - Como é que é, desculpa?
Aluna - Funções, com o França. Ele sempre usou pra gente axiomas, postulados...
Elisabete - Quem que é, não sei
Aluna - O França. Maurício França.
Vera- Maurício França?
Aluna - Ele não dá mais aula
Elisabete - É um professor que deu aula pra eles
Vera- Sim. Precisa botar aqui no trabalho Maurício França
Elisabete - Maurício França é o que fez aquela ementa de geometria que eu tô analisando
Vera - Então, nas aulas de geometria.
Elisabete - Não, foi na aula de funções, ela teve aula de funções com ele
Aluna - Funções. Funções modulares, uhun.
Elisabete - E essas funções é do primeiro semestre do curso?
Aluna - Foi a primeira...
Vera - É? Primeiro semestre?
Aluna - Primeiro semestre
Elisabete - Fundamentos e funções, na verdade é daquela parte onde eles têm uma...
um tipo de uma revisão do ensino médio
Vera - E aí o professor cobrava de vocês?
Aluna - Ele passava um exercício, ele sempre demonstrava e ele exigia que a gente
também demonstrasse. Ele pedia... Nas provas dele ele queria que a gente
demonstrasse, tudo, desde o primeiro semestre, mesmo que a gente...
Vera - É... e aquele ____. Você lembra de um tipo de questão que ele dava pra vocês
demonstrarem?
235
Aluna - Assim não, não consigo lembrar
Elisabete - E você conseguia fazer as demonstrações?
Vera - Pera, deixa eu ver se ela lembra
Aluna - É, não consigo lembrar alguma...
Vera - Sim, alguma coisa que fosse mesmo assim que caía na prova, quer dizer
Aluna - Eu lembro da... se não me engano da demonstração de módulo que ele pedia
mas eu não lembro como que ele fazia mas ele pedia demonstração de módulo
Vera - Tá. Coisa que ele já tinha feito?
Aluna - Já tinha feito
Vera - Ele sempre de alguma forma repetia
Aluna - Repetia. Uhun. As provas dele, ele sempre fazia... a maioria das coisas que ele
pedia em sala só que se a gente fizesse uma coisa diferente do que ele pediu na sala ele
considerava errado. Entendeu? A gente tinha que fazer exatamente do jeito que ele fazia
Elisabete - E vocês tentavam aprender... Você tentava aprender ou decorava o que ele
tinha feito em sala pra ir bem na prova?
Aluna - Eu... assim, eu juntava...
Vera- ______
Aluna - É. Eu tentava aprender mas eu sempre procurava um jeito mais fácil pra eu poder
aprender só que na hora da prova ele...
Vera - E quando você fazia uma coisa diferente o que que ele fazia?
(09:34)- Aluna - Ele considerava errado
Vera - Sim, considerava errado e... só isso?
Aluna - E ele... não dava nota na prova. Cancelava.
Vera - Não dava nota. Não discutia com a turma, não...?
Aluna - Não. Se a gente chegasse e falasse professor, mas tá certo, aí ele falava não,
não é desse jeito que eu falei que tem que fazer. Ele... era desse jeito. Aí o pessoal tinha
medo dele. A gente sabia fazer só que a gente tinha medo de não fazer do jeito que ele
pedia né, do jeito que ele cobrava
Vera - Foi aquele que você disse que ele falava não foi assim que eu ensinei
Aluna - É, não foi assim que eu ensinei
Vera - Vai lá, Bete
Elisabete - Como foi para você ter que...
Vera - Pergunta coisa que te interessa, cara, ela tá falando um monte de coisa
interessante
Elisabete - Eu ia perguntar um negócio só que cortou e eu esqueci agora o que que era.
Eu tô aquecida mas
236
Vera - Coisa interessante que é importante prá sua pesquisa e pra gente entender que
que acontece aí né, nessa
Elisabete - Você acha que se você... você decorando você teria
Vera - Você perguntou se ela decorava, né, prá prova
Aluna - É, algumas vezes sim pra poder fazer do jeito que ele... eu decorava a forma que
ele fazia, mas eu tentava entender o que que ele fazia só que eu tinha que reproduzir do
jeito que ele queria
Elisabete - E você tentava fazer demonstrações de outras coisas, pegar por exemplo um
livro didático que tivesse outros teoremas diferentes daqueles e tentava fazer pra treinar
demonstrar?
Aluna - Ah sim. Eu peguei um livro se eu não me engano... quando eu fiz... porque eu
não fui aprovada nessa disciplina, aí eu fiz com a
Vera - Você não foi aprovada nessa disciplina? Por conta desse professor?
Aluna - Mais ou menos. E eu nunca tirava mais que 5 na prova dele. Porque... às vezes
o exercício tava certo mas ele não aceitava. Tem até a nossa colega, a Renata que ela...
ela discute muito, né, ela vai lá e ela pé no chão e ela fala tá certo, professor, ela mostra
que tá certo e o professor não
Elisabete - Renata aquela de cabelo enroladinho?
Aluna - Não, a Renata que vai se formar agora que é... a do cabelo...
Vera - Ela tá na turma fazendo o negócio da Elisabete?
Elisabete - Não
Aluna - Não. Não. Ela é acho que é da segunda turma, ela é da turma da Thaís se eu
não me engano
Elisabete - Ah tá. Não, pensei que fosse uma que tava ontem com o Augusto
Aluna - Ah tá. Não, aquela lá já é mais recente
Elisabete - Ela é Renata também, né?
Aluna - É Renata também
Elisabete - Tá. Então... Como foi para você ter que efetuar demonstrações
Vera - Essa é a 4ª?
Elisabete - Essa é a 4ª. Como foi para você ter que efetuar demonstrações nas listas de
exercícios e avaliações?
Aluna - No começo foi bem difícil
Vera - Eu acho que antes precisa saber se... porque lá essa era funções.
Aluna - Isso
Vera - O professor cobrava uma demonstração
Elisabete - E as outras disciplinas?
Vera - É
237
Aluna - No primeiro semestre eu não lembro. Porque a gente ficou tão assustado com
esse professor que eu acho que a gente...
Vera - Sei. Sim. Eu anotei aqui
Elisabete - Mas você passou nas outras, em trigonometria, logaritmo...?
Aluna - Nas outras eu passei. É, trigonometria aí ele demonstrava que era.. eu fiz com o
Traldi
Elisabete - Ah, ele demonstra
Vera - Ah com o Armando? É amigo dela
Aluna - Amigo dela? Eu fiz com ele
Vera - Isso tudo no primeiro semestre, no primeiro semestre da
Aluna - No primeiro semestre
Elisabete - Foi uma pena que ele largou essas aulas, ele trabalhava muito bem
Aluna - Foi a única disciplina que eu não fui aprovada no primeiro semestre foi funções
Elisabete - Foi funções?
Aluna - Foi funções
Elisabete - E gozado, logaritmos e exponenciais tranquilo?
Aluna - Eu passei tranquila. No outro semestre eu fiz com a Iracema. Funções e eu passei
com 9
Aluna - E aí eu estudei...
Vera - Então, mas deixa eu voltar um pouquinho lá. Aí no primeiro semestre você se
lembra de demonstração só de funções?
Aluna - De funções trigonometria a gente fazia mas acho que era uma coisa mais... não
fácil, ele explicava de uma forma que a gente conseguia aprender mais
Elisabete - E o Armando, as aulas dele ele não trabalha com
Vera - Não é você que faz essa reflexão
Elisabete - Mas é uma reflexão que eu conheço, que ela vai ter como argumentar. Ele
não trabalha com revisão, ele trabalha com futuro professor
Aluna - Uhun
(15:08)- Elisabete - É um enfoque diferente
Vera - Com formação. O trabalho dele é com formação, ele fez o doutorado dele com
formação
Elisabete - Então, é outro enfoque. E assim, e nas listas que você tinha que fazer todas
elas tinham demonstração ou tinha professor que só pedia exercício sem pedir...
Vera - Era legal se você lembrasse de um exemplo desses
Aluna - Um exemplo?
Vera - Pra gente ver o que que você tá chamando... que tipo de coisa você tá chamando
de demonstração
238
Aluna - É, to tentando lembrar alguma coisa
Vera - pra ver se é a mesma coisa do que que a gente tá pensando. Não, se não lembrar
não faz mal, você pode lembrar depois e falar pra Bete
Aluna - Ah, beleza.
Vera - Entendeu?
Aluna - Eu posso pegar, eu tenho cadernos ainda.
Vera - Ou pode pegar o caderno, não tem problema não
Aluna - Eu tenho ainda o caderno. Eu guardo todos os cadernos
Vera - Que ela pode até pegar o caderno também
Elisabete - Ah, se você puder deixar o caderno comigo
Vera - Se você não se importar de deixar o caderno... pq... o problema é dela né, então
se você não se importar,
Aluna - Ah legal
Vera - pra ela olhar que tipo de coisa, né
Aluna - Uhun.
Vera - Tá?
Aluna - Beleza. Aí eu trago
Elisabete - E assim, você teve professores que não cobravam demonstração, que davam
aula como se estivessem dando aula pro ensino médio?
Aluna - Aula mais de exercícios?
Elisabete - É.
Aluna - Hum... deixa eu ver... deixa eu lembrar
Elisabete - Qualquer uma dessas disciplinas dava prá trabalhar dessa maneira
Aluna - É. Eu lembro que... deixa eu lembrar. Teve uma disciplina que foi só lista de
exercícios. Eu acredito Cálculo I e II se eu não me engano mas ela sempre demonstrava
na sala de aula a primeira parte mas a lista de exercícios não tinha, não pedia
demonstração
Elisabete - Tá
Aluna - Uhun
Elisabete - Quem era?
Aluna - Pedia... a Grazi. Foi a Grazi e o Paulo que eu fiz. Com a Grazi e com o Paulo
Vera - Uma lista só de exercícios, né
Aluna - É. Nas listas de exercícios ela só pedia só... faça.
Vera - Nas cobranças também?
Elisabete - Nas avaliações também?
Aluna - Na prova também.
Elisabete - Ela não pedia nenhuma demonstração na prova
239
Aluna - Não. Teve uma prova que eu lembro que ela pediu uma que graças a Deus foi
justamente a que eu tinha acabado de refazer né, aí eu lembro. Só não lembro a questão
mas ela pediu uma demonstração. Agora uma... duas disciplinas que
Vera - Essa também você não lembra que que era? Você tem isso ou não?
Aluna - Da demonstração? Tenho. Na verdade não foi nem cálculo, foi EDO, equações
diferenciais
Vera - Sei
Aluna - Foi em EDO que ela pediu uma demonstração
Vera - E você fala que... quer dizer, você acha que você fez porque você tinha acabado
de ver
Aluna - É, eu tinha acabado de ver
Vera - De ver
Aluna - Uhun.
Elisabete - Você acha que se tivesse sido uma coisa assim que você nunca...
Aluna - Que eu não tivesse visto?
Elisabete - uma demonstração de um teorema que você nunca tivesse visto e que usasse
resultados anteriores você conseguiria?
(18:02) Aluna - Eu acho que se tivesse bem assim mais claro. Eu ia tentar fazer. Eu
sempre tento fazer. Minha dificuldade é começar a demonstrar.
Elisabete - Por quê?
Aluna - Então, eu não consigo saber por onde eu começo a demonstração. Igual em
análise real. Eu não sei por onde eu começo a demonstrar
Elisabete - Você está fazendo agora análise?
Aluna - To fazendo análise. Eu tenho essa dificuldade na... eu sei...
Vera - Qual que é o assunto que vocês estão trabalhando?
Aluna - Análise? Agora a gente começou sequências e séries
Vera - É mesmo?
Aluna - Uhun. A gente entrou agora a semana passada
Vera - Eu tenho um aluno que está trabalhando com sequências e séries
Elisabete - Mas sequências e séries não é uma disciplina
Aluna - É? Ah, que legal
Elisabete - É, mas sequências e séries vocês não tem uma disciplina específica disso?
Aluna - Tem. Tem, mas aí...
Vera - Tem mas a análise o segundo item do programa é sequências e séries
Aluna - Sequências e séries
Vera - O primeiro foi números reais, não é isso?
Aluna - Isso
240
Elisabete - Mas mesmo tendo a disciplina sequências e séries eles trabalham nos dois
lugares, é diferente ou igual?
Aluna - É... praticamente a mesma coisa. É que lá é muito mais demonstração
Vera - Qual que é a distância entre sequências e séries e a análise? Porque os alunos
acho que fazem meio que
Elisabete - Acho que é no mesmo semestre, não é?
Vera - Deixa ela responder, Elisabete
Aluna - Eu acho que foi no... eu acho que sequências e séries é no sexto ou no sétimo.
Não, é no sexto
Vera - E análise é no oitavo?
Aluna - Não. A sequências e séries é no sexto e a análise é no sétimo
Vera - Quer dizer, é em seguida
Aluna - Em seguida. É, foi isso mesmo. Sexto e sétimo.
Vera - Tá, então como é que... Você teve sequências e séries no semestre passado
Aluna - É, porque o meu curso tá bem bagunçado porque eu fui pegando disciplinas...
Vera - Tá, eu sei porque o William e o Roberto são do IFI também e o Roberto inclusive
tá trabalhando com análise lá e ele falou não, nem todos os alunos fazem a análise logo
depois que fazem sequências e séries. Então como é isso né? Muitos alunos fazem assim,
né
Aluna - Já vem próximo pra poder...
Vera - Tá, então você não tá fazendo em seguida
Não
Vera - Você tem um semestre de diferença
Aluna - Tem um semestre de diferença, uhun
Elisabete - E se eu te passar hoje, pegar uma demonstração que você fez lá em
sequências e séries do semestre passado você conseguiria fazer?
Aluna - Lembrar eu acho que não. Pegar assim... lembrar tudo... Eu acho que eu consigo
fazer olhando o que eu já fiz. Eu não consigo reproduzir na hora assim. Essa que é a
minha dificuldade. Eu tenho que escrever. Bastante. Prá eu conseguir aprender. Eu tenho
um caderno da disciplina e outro caderno que eu transcrevo tudinho. Reescrevo tudinho.
Eu escrevo tudo.
Vera - Mas isso não é ruim. Isso não é defeito.
Aluna - Ah que bom. Eu escrevo tudo de novo. Pra poder aprender.
Vera - É, não é defeito isso. As pessoas são... cada pessoa é diferente, né, alguns
escrevem, outros cantam no chuveiro, certo
Aluna - É. Eu escrevo tudo de novo. Eu tenho que... ó, eu demonstrei um teorema... deixa
eu lembrar. Qual que foi o teorema?
241
Vera - É, seria legal se você não lembrar agora depois
Elisabete - É
Vera - pensar num exemplo onde você teve... sentiu mais dificuldade, outro que você
acha que você conseguiria, né, pra gente ter uma ideia
Elisabete - O que não ficou claro pra mim ainda é se você só consegue reproduzir
demonstrações que você já viu alguém fazendo ou se você consegue elaborar uma do
zero sem nunca ter visto ela feita em algum lugar?
(21:28)- Aluna - Eu acredito que eu não consigo. Pegar e fazer eu acho que eu não
consigo.
Vera - O que que você acha que causou essa insegurança em você?
Aluna - Eu acredito que o fato de eu não ter conhecido demonstração antes, eu acho que
é importante aprender na escola porque o aluno tá ali numa... na...
Vera - Peraí. Isso aí é legal. Depois ela vai fazer a transcrição mas eu... tem algumas
coisas assim bem fortes que você fala que a gente precisa...
Aluna - Uhun. Anotar
Vera - entender, porque é uma coisa complicada mesmo, sabe
Aluna - Eu acho que o aluno na escola... é aquele momento que ele tem pra aprender...
Ele tá no momento de aprendizado dele então ele tá aberto pra receber informações,
então eu acredito que na escola seria importante. Não demonstração igual a gente vê no
ensino superior, mas acredito que uma introdução, o que é demonstração, uma... tipo
colocar pro aluno que que é uma demonstração pro aluno não se assustar. Pegar uma...
sei lá, alguma coisa... uma demonstração simples e mostrar pra ele
Elisabete - Mostrar ou cobrar do aluno pra fazer?
Aluna - Acho que cobrar também. Alguma... Pode ser que ele cobre alguma
demonstração bem simples numa... não em uma... assim, acho que avaliação é muito
pesado, o aluno fica com medo de avaliação mas em atividade. Eu acho que o aluno...
que nem, no ensino médio, eu vi muito no estágio, que os alunos eles decoravam mesmo.
Decoravam muitas coisas e às vezes eles não sabiam o que que eles estavam fazendo
mas eles... chegava na hora da prova, ai, vai cair aquela questão e tal e táááá e decorava
e já respondia ali na hora. Eu acho que em atividade, exercício, pedir uma atividade
valendo nota, assim, sei lá, porque se falar valendo nota o aluno já fica mais interessado
né
Elisabete - Você falou do estágio, isso que você tá falando que eles decoravam eram
procedimentos ou demonstrações?
Aluna - Procedimentos na verdade. O professor ele... lá onde eu fiz estágio eles usavam
a apostila né do Estado e tinha bastante exercício na apostila e ele fazia na lousa os
exercícios
242
Vera - Escola estadual?
Aluna - Estadual. Foi na mesma escola que eu estudei
Vera - Mas quando você fez já tinha proposta curricular, né?
Aluna - Já. Eu fiz... eu terminei o estágio o semestre passado. Tinha bastante exercício
e o professor fazia na lousa
Vera - Mesmo assim o professor tinha uma apostila
Aluna - Não, era apostila do Estado mesmo
Vera - Ah, apostila do Estado. Tá. É, porque muita gente não usa, sabe né?
Aluna - É, então, ele usava. Eu achava interessante. Ele assim... ele usava ela não
totalmente. Porque ele tinha bastante ele, ele usava um livro. Se não me engano era um
livro do Dante
Vera - Esse livro deve ter sido escolhido na escola.
Aluna - É, era do Dante
Vera - Mas não era uma coisa que ele fazia, pelo menos ele usava um livro didático e a
apostila
Aluna - Ele usava e usava a apostila. Uhun.
Elisabete - E ele fazia demonstrações pros alunos?
Aluna - Ele demonstrava bem simples, eu lembro... eu acho que foi números complexos
que ele
Vera - Que época, você se lembra?
Aluna - Foi o semestre passado que eu
Vera- Ah, números complexos no ensino superior
(24:49) Aluna - Ah sim, no terceiro ano do ensino médio
Vera - Ah, no terceiro do ensino médio?
Aluna - Isso
Elisabete - É, ela tá falando do que aconteceu na aula do estágio
Aluna - É
Vera - Ah, desculpa, isso eu não entendi. Isso aí eu... isso que você tá falando...
Elisabete - É que ela tocou no estágio eu to perguntando da prática do professor que ela
fez estágio
Vera - Esse professor que você está falando que usou livro e a proposta era do seu
estágio?
Aluna - Do estágio
Elisabete - Como ela tocou no estágio eu quis saber sobre a atitude do professor que ela
fez estágio. Então ele fazia algumas demonstrações
Vera - Que ano, que ano?
Aluna - Terceiro ano eu fiz o semestre passado, foi o terceiro ano do ensino médio
243
Vera - Terceiro ano, é?
Aluna - Isso
Elisabete - Ele fazia algumas demonstrações então?
Aluna - Quando ele começava um assunto, que nem, ele começou números complexos.
Aí ele demonstrava... Não sei se era demonstração que ele usava
Elisabete - Mas ele tentava mostrar?
Aluna - Ele mostrava como que ele chegava naquilo
Elisabete - Entendi
Aluna - Entendeu?
Elisabete - E não cobrava dos alunos que fizessem o mesmo?
Aluna - Não, os exercícios que ele passava eram muito básicos era tipo soma de números
complexos, subtração, multiplicação...
Vera - Deixa eu anotar isso porque eu tenho um aluno, também tenho um aluno com
números complexos
Aluna - Ele... ele cobrava isso. Que foi aquilo que eu falei na minha apresentação sobre
a discalculia, que os alunos não conseguiam fazer isso. Soma de números complexos,
subtração...
Vera - Esses alunos do...
Aluna - Do terceiro ano do ensino médio. Alguns né. Não todos. Alguns faziam rapidinho,
tinha, dava
Vera - Alguns
Aluna - É
Vera - Pensei que você ia dizer alguns não faziam
Aluna - É...
Vera - Alguns faziam, a maioria não fazia, é isso?
Aluna - É, alguns faziam rapidinho, alguns ficavam dormindo na sala e outros tinham...
tentavam fazer mas não conseguiam
Elisabete - Você fez teu estádio em que período de aula?
Aluna - Na parte da tarde.
Elisabete - Tá
Aluna - É porque lá é escola de tempo integral. Então era das 7 às 5. Eu saía da
faculdade, eu chegava lá a 1 hora e ficava até as 5
Elisabete - Não, você falou dormia, eu achei que podia ser aluno que vem do serviço à
noite, então não era o caso
Aluna - É, eu acho que é porque era tempo integral então eles ficavam cansados também
de ficar na sala de aula das 7 até as 5
Elisabete - Era aula o tempo todo?
244
Aluna - Na parte da manhã eles dividiam, tinham aulas eletivas, tem aula de dança, aula
de música...
Vera - Ah, tem uma variedade
Aluna - Tem. Tem uma sala de jogos matemáticos lá, muito legal. E eles vão na sala. Eu
falei nossa, é difícil né.
Vera - É
Aluna - Tem bastante aluno lá que gosta de matemática. Eu fiquei até surpresa
Elisabete - É a escola que você estudou?
Aluna - A escola que eu estudei. Um ano depois que eu saí de lá ela... aquele projeto do
Ministério da Educação de escola de tempo integral, eles reformaram a escola todinha aí
eles aplicaram esse projeto. A direção continua a mesma, só que agora com esse projeto
(27:40) Elisabete - Mas os professores que você observou não foram os seus professores
Aluna - Não. São professores novos. Tem professor da minha época lá ainda mas não
Vera - Na sua época não era tempo integral?
Aluna - Não. Era normal. Fiquei triste. Eu queria que tivesse sido. É muito legal lá.
Elisabete - Deixa eu saber uma coisa, entre o tempo que você terminou o ensino médio
e que você entrou na faculdade teve algum...
Aluna - Eu terminei o ensino médio, aí eu comecei a fazer publicidade e parei. Porque eu
falei não... Porque eu trabalhava com publicidade, aí eu parei de fazer publicidade porque
não era o que eu queria. Eu não...
Elisabete - Você fez quanto tempo de curso?
Aluna - Meio ano
Elisabete - Meio ano?
Aluna - Aí eu parei de fazer, aí eu fiz cursinho pra poder entrar na federal
Elisabete - Então foi um ano entre terminar a faculdade... o colégio e entrar na faculdade?
Aluna - É. Eu fiz o cursinho e graças a Deus eu passei. E tô lá até hoje.
Elisabete - Você entrou em início de ano?
Aluna - No meio do ano. Uhun. É que eu fiz um ano de cursinho
Elisabete - Ah tá. Então agora vou te perguntar algumas perguntas sobre a pesquisa que
a gente fez lá que você me ajudou como observadora, tá
Aluna - Beleza
Elisabete - Então na atividade sobre a construção da mediatriz com o software GeoGebra
você percebeu alguma dificuldade por parte dos alunos? Quais dificuldades?
Aluna - Da mediatriz não, não percebi dificuldade, eu acho que a construção da mediatriz
foi mais tranquilo. Até porque eu acho que eles já conheciam o software, eles já
conseguiram...
Vera - Na sua avaliação é porque eles já conheciam?
245
Aluna - É, eu acredito que isso ajudou bastante pra eles... e também porque eu acho que
na... eles já tinham cursado ou estavam cursando desenho geométrico se eu não me
engano
Elisabete - Alguns sim
Aluna - Eu acredito que isso também ajudou bastante. Até porque é uma construção mais
simples, não é tão difícil.
Elisabete - Mas é que você... você assistiu aquele encontro onde eu ensinei a usar o
GeoGebra?
Aluna - Foi o primeiro encontro. Não, o primeiro não
Elisabete - Ela não viu que eles estavam aprendendo o GeoGebra no começo
Aluna - Ah, tá
Vera - Tá, mas... Quando você fala que acha que a construção é mais simples é a
construção tradicional?
Aluna - É a construção no GeoGebra sem...
(30:02) Elisabete - A gente usou a ferramenta do GeoGebra
Aluna - É, as ferramentas do GeoGebra, eu acredito que deixou mais fácil
Vera - Que dá direto a mediatriz?
Aluna - É, eu acredito que seja mais fácil dele construir ali porque se fosse construir no
papel seria diferente
Elisabete - Mas não era só construção, eles faziam aqueles testes com os pontos, você
acha que foi tranquilo ou eles estavam meio perdidos no que tinha que fazer?
Aluna - Eu observei só uma pessoa que eu achei que teve mais dificuldade que foi um
senhor eu não lembro o apelido dele
Elisabete - Certo, sei quem é
Vera - Tá, o senhor
Aluna - Um senhorzinho, uhun, foi ele que apresentou um pouco assim mais de
dificuldade na hora de...
Vera - Você acha que ele apresentou dificuldade com o software ou com a Matemática?
Aluna - Eu acho que com o software.
Vera - Com o software?
Aluna - No começo, depois algumas demonstrações ele tinha dificuldade de elaborar
Elisabete - E assim, você percebia que eles estavam conseguindo colocar pontinho, faz,
mede, não sei que, eles estavam entendendo porque que eles estavam fazendo aquilo?
Aluna - Eu acredito que um...
Vera - Tá falando da mediatriz ainda?
Elisabete - Mediatriz
246
Aluna - Um da dupla... Assim, um das duplas era o que sabia mais, assim, mais em
termos matemáticos
Vera - Quantas duplas eram, três?
Elisabete - Quatro
Vera - Quatro
Aluna - E o outro ficava mais construindo. Eu observei isso. Um falava ó faz isso, isso e
isso. O outro ia lá e construía. Eu acredito que... eles trabalharam juntos, né. Eu não sei
se eles construíram a ideia juntos de como que eles iam fazer. Mas eles... um pensava
no papel e o outro ia lá e fazia no GeoGebra. Eu observei bastante isso nas duplas.
Vera- E você achou que isso foi uma dinâmica que funcionou nos grupos em geral?
Aluna - Eu acredito que funcionou. Eu acho que eles trabalharam juntos ali Então um
tinha uma dúvida o outro falava ah não, mas aqui faz assim, ah não, ali acho que é melhor
fazer daquele jeito
Elisabete - Eles interagiram bastante
Aluna - Eles interagiram bastante. Só que sempre assim, um ficava do lado e o outro que
fazia. Não foi assim, não foi dividido, cada um não mexeu no software. Tipo um sempre
fazia no software. E um...
Elisabete - Mas também o fato de ter um ______ só né
Aluna - É
Elisabete - Meio tendência, né
Vera - É
Aluna - Mas eles trabalharam assim na ideia eles trabalharam juntos. Eu observei
bastante.
Vera - Se a gente quiser que o cara faça tudo a gente não pode botar em dupla né
Aluna - É
Vera - Tem que fazer individual
Aluna - Individual
Vera - Tem que fazer individual. Aí eu queria perguntar outra coisa. Acho que a construção
da mediatriz é mais simples. Você já tinha... você se lembra da proposta da Elisabete no
todo, por que que ela propôs a história da mediatriz?
Aluna - Eu não entendi assim a pergunta, como... me explica de novo
Vera - Ela... Mediatriz é uma coisa que eles já conheciam
Aluna - Aham
Vera - Tá? E de repente a Elisabete colocou lá uma situação com a mediatriz.
Aluna - Com a mediatriz
Vera - Você conseguiu perceber por que que a gente colocou essa atividade lá?
247
(33:14) Aluna - Eu acredito que pra ele conseguir... no software ele conseguir montar a
ideia sem pensar na demonstração formal assim no papel
Vera - Mas qual, que demonstração formal, você lembra? Você lembra?
Aluna - A demonstração de mediatriz?
Vera - Não, não como é que demonstra. Por que que é. Você entendeu o objetivo da
atividade da Elisabete? Você acha que você entendeu?
Aluna - Eu acredito que o objetivo foi esse, tipo de através... Mostrar pro aluno que ele
consegue demonstrar ali no software sem ter que usar os recursos de papel e de escrever
conceitos
Vera - Então mas o jeito... isso que você está falando, demonstrar no papel, era uma
coisa que você já tinha feito, você por exemplo já tinha feito em sala de aula?
Aluna - Eu já fiz. Demonstrar no papel assim. Demonstrei em desenho geométrico mas
com régua e compasso. Não... acho que não termos matemáticos assim, escritos
Vera - Não a demonstração mesmo?
Aluna - Isso, a demonstração mesmo. Eu acredito que eu demonstrei em desenho
Elisabete - Você fez desenho comigo?
Aluna - Uhun
Elisabete - E você percebeu ali quando eles estavam mexendo no GeoGebra que aquilo
era um caminho pra demonstração ou não?
Aluna - Eu acredito que eles não sabiam que era uma demonstração, mas eles
conseguiam reproduzir aquela ideia
Elisabete - E você acha que aquilo é uma demonstração que nós fizemos?
Aluna - Eu acredito que sim, é uma forma de mostrar a mediatriz.
Elisabete - Mostrar ou demonstrar?
Aluna - Eu acredito que mostrar. (risos) Acho que mostrar. Não tenho certeza mas acho
que mostrar. Porque eu acho que demonstrar teria que usar uns termos mais... assim...
matemáticos sei lá. Eu não...
Vera - Então, mas a pergunta é assim, você percebeu qual era a propriedade que estava
sendo mostrada?
Aluna - Quando ela já
Vera - Você acha que eles perceberam... Você percebeu e você acha que eles
perceberam?
Aluna - Acredito que eles perceberam sim. Acredito que sim. No princípio sim. Acho que
eles perceberam.
Elisabete - Por exemplo, a hora que punha o pontinho fora, você acha que eles
entenderam porque que eles estavam pondo o pontinho fora?
248
Aluna - Eu acredito que sim. Eu... Eles já... já tinham visto alguma coisa assim na
disciplina?
Vera - Porque uma dúvida que a gente tem é assim, se é uma coisa que você conhece,
já conhece, né, e aí você coloca isso daí será que eles conseguiram perceber que era
uma outra forma de trabalhar a mediatriz ou eles já usaram o conhecimento anterior,
percebe?
Aluna - Ah, entendi
Vera - Se for uma coisa que você já conhece às vezes você não
Aluna - Eu acredito que eles possam ter usado algum conhecimento anterior
Vera - Que eles já tinham?
Aluna - É, que eles já tinham
Vera - Sei. Não acharam aquilo naquela hora
Aluna - É, eu acredito que eles já
Vera - Entendeu? Era isso. Uma coisa é assim você põe lá no software e você descobre
uma propriedade que você não sabia.
Aluna - Uhun
Vera - Tá?
Aluna - Eu acredito que eles já sabiam.
Vera - É.
Aluna - Assim, já sabiam pelo menos a definição, alguma coisa assim eles já sabiam
Vera - No caso da mediatriz? Tá. Então é que a gente não... acaba não sabendo se a
atividade funcionou do jeito que a gente queria ou se ela funcionou porque o cara já sabia,
entendeu?
Aluna - Hum, entendi. Porque eu acho assim. No caso deles eles já tinham feito o curso
de desenho
(36:55) Vera - Tá e mediatriz apareceu lá
Aluna - E mediatriz apareceu. Se vamos supor se eles pegassem... se ele pegasse um
aluno que nunca tivesse visto isso
Vera - Isso aí. Você acha que
Aluna - eu acredito que ele teria mais dificuldade mesmo sendo
Vera - Mais dificuldade
Aluna - Mais dificuldade de entender o que que tava acontecendo
Vera - Legal
Elisabete - Era essa nossa dúvida
Vera - Porque a ideia é... a ideia é fazer eles descobrirem coisas que eles ainda não
sabem. Então quando você pega uma coisa que eles já sabem, porque às vezes em certo
momento você fica na dúvida você como pesquisador ___________ você fica na dúvida
249
se a sua atividade funcionou por quê? Porque ele já sabia. Então não funcionou,
entendeu?
Aluna - Então, eu acredito que se eles já tiveram o curso eles já sabiam alguma coisa
Vera - Tá
Aluna - Agora se eles não tiveram o curso pra eles foi uma novidade. Eu acredito isso
Vera - Você acha que eles teriam dificuldade se fosse uma coisa que eles não conheciam
Aluna - Que eles não conheciam
Vera - Você não chegou a fazer nada que eles não conheciam, né?
Elisabete - Não. Então, o que tinha que eles não conheciam era o testar o ponto de fora
que a gente colocava aquele
Vera - Não sei se não conheciam
Elisabete - Não, mas eu percebi que eles falavam que... lembra que eles falavam que a
figura estava errada porque aquilo lá era uma mediana, não era uma mediatriz, eles não
conseguiam enxergar o teste que estava sendo feito, né. Lembra disso?
Aluna - Eu lembro. Eles ficavam questionando
Elisabete - Não, mas essa figura tá errada, essa demonstração tá errada. Deixa eu fazer
a próxima pergunta que assim a gente
Vera - É, depois você...
Elisabete - desenrola mais já falando
Aluna - Uhun
Vera - Depois o... uma coisa interessante é você pegar um pouco do que ela tá falando
com outras coisas que eles falaram pra gente entender melhor isso daí. Que eu ainda
acho que tem que botar coisa que eles não conhecem. Quando eles conhecem mistura
tudo e aí a gente não sabe se a coisa funciona, entendeu?
Aluna - É. Uhun
Elisabete - Olha, na atividade onde os alunos tiveram... essa é a sexta. Na atividade onde
os alunos tiveram que analisar as demonstrações você notou se eles perceberam que a
atividade feita com o GeoGebra na verdade direcionava uma demonstração?
Aluna - Eu acho que eles não conseguiam ver que era uma demonstração. Mas depois
que você falava aí eles ahhh legal, agora sim, tem aquele teste que quando você mexia
lá o ponto ele continuava... a medida continuava sendo a mesma
Elisabete - Aquele dia que eu fiz no Datashow depois?
Aluna - É. A medida continuava sendo a mesma quando mexia o ponto aí depois eles
começaram ah, entendi então. Depois que você falou que aquilo podia ser a
demonstração aí eles conseguiram entender mais. A princípio eu acho que eles
montaram... Eles construíram depois que eles viram... foi tentar entender tem um passo
a passo de como constrói, aí falavam ah, você constrói assim, assim, assim. Aí eles foram
250
construindo, aí depois que eles terminaram que eles conseguiram ter essa ideia de que
ah isso daqui pode ser... vale pra todos sei lá aí ele conseguiu entender que era uma
demonstração
(40:14) Elisabete - Na verdade era demonstração o que eu tava fazendo no GeoGebra?
Aluna - Eu acho que sim... Eu acho que... eu tenho assim essa dúvida. Se era uma
demonstração ou se era uma mostração (risos)
Vera - A gente não pode responder tudo pra você. (risos) Não, pra você até pode, se
fossem eles não poderia
Elisabete - Só um entre aspas, parece que você não estava lá comigo ontem. A gente
falou sobre tudo isso
Aluna - Ahan
Elisabete - Você percebeu se os alunos tiveram dificuldade de
Vera - O que é legal é que acho que você sabe a diferença entre demonstrar e mostrar
Aluna - E mostrar. Eu
Vera - Talvez você não tenha adquirido confiança suficiente em você mesma pra...
Mesmo que não seja verdadeiro o que você tá pensando, vamos dizer assim. A gente não
sabe fazer tudo né. Mesmo que não seja verdadeiro acho que você ainda não adquiriu
confiança pra acreditar eu estou fazendo uma demonstração ou eu não estou fazendo
uma demonstração
Aluna - Uhun. Acho que também, eu tenho essa insegurança ainda
Vera - E é uma pena, né, de certa forma.
Aluna - É verdade
Vera - Que isso que você falou que tinha que ter sido trabalhado lá né provavelmente
teria ajudado você a ter mais confiança nesse tipo coisa, de argumento, né
Aluna - É. Verdade.
Elisabete - Ó você percebeu se os alunos tiveram dificuldade de verificar o que era
hipótese, o que era tese nos teoremas que a gente pediu pra eles olharem isso?
Aluna - Eu acredito que eles foram bem nessa parte de separar o que é hipótese o que
é tese. O que eu observei assim, que eu fui passando, olhando, eles separaram rapidinho
até assim a parte de hipótese e tese. Foram bem... foi bem mais rápido
Elisabete - Eles não ficavam discutindo, em dúvida, se era, não era
Aluna - Eles discutiam entre eles mas não... assim, acho que dúvida mesmo assim, acho
que eles não tiveram muitas dúvidas de separar o que era hipótese e tese. Eu acredito
que não
Elisabete - Você tem dificuldade de separar?
Aluna- A princípio não assim, eu consigo ver o que é hipótese e o que é a tese
Elisabete - Mesmo no caso dos teoremas lá de análise
251
Aluna - É, eu consigo enxergar... essa parte assim eu consigo enxergar bem assim o que
é hipótese, o que é a tese. Eu consigo... pelo menos uma parte eu tenho que conseguir
(risos) Essa parte eu consigo entender
Elisabete - E quando você vai demonstrar você não se pega às vezes usando a tese pra
demonstrar a hipótese?
Aluna - Ah já. Às vezes eu pego assim, não, mas isso daqui é a minha hipótese... ou é
minha tese. Às vezes eu fico... eu pego... O professor às vezes pega no meu pé, fala ó
esse daqui, você tem que demonstrar isso daqui, não é a hipótese né
Elisabete - Certo
Aluna - Eu misturo às vezes
(43:25) Elisabete - E que dificuldades assim você percebeu nos alunos durante...
Vera - Que?
Elisabete - Que dificuldades você percebeu nos alunos durante as atividades assim em
geral?
Aluna - Em geral? Ó... A pessoa, né, em si que eu percebi mais dificuldade em escrever
acho que não tanto no GeoGebra, em escrever, que nem na
Ver a- Isso é a maior dificuldade que você acha em todos eles?
Aluna - Não. Daquele senhor.
Vera - Do senhor.
Aluna - Eu achei que ele teve mais dificuldade em escrever que nem quando ela pediu
pra reescrever aquela... como fala, aquela tese... a tese e a hipótese, ela escreveu em se
e somente se teve aquela lá ele não conseguia entender o se e somente se
Vera - E no GeoGebra não tinha _________
Aluna - No GeoGebra eu acho que ele teve... Não teve dificuldade assim nas ferramentas.
Ele tinha dificuldade de entender a construção
Vera - No começo ele tava com dificuldade até no GeoGebra né?
Aluna - É. Ele sentou com um rapaz até que ajudou bastante ele. Ele... o rapaz explicava
bastante as coisas pra ele e ele conseguiu entender. Acho que na parte de escrever
depois ele tinha bastante dificuldade que ele ficava o maior tempão pra escrever o que
pedia no exercício. Nos outros eu vi que eles foram bem mais... assim, mais... rápidos
assim pra poder fazer os exercícios
Vera - Você acha que eles gostaram... bom, eles já conheciam o software, né
Aluna - Eles... Acho que da sala eu acho que esse senhor que não conhecia assim tanto
Vera - Já tinham mexido antes?
Aluna - É, acho que já tinham mexido antes do... às vezes pode ser no curso. Eu não sei
quem deu o curso pra eles se mexeu no GeoGebra, se... Mas eu acredito que eles já
tenham conhecido mas não tão a fundo que nem esse senhor, eu acho que ele não
252
Vera - O jovem tem muita facilidade com isso
Aluna - É, com essa parte
Elisabete - E você percebeu em algum momento que eles paravam de fazer o que estava
sendo pedido nas minhas atividades pra fazer outra coisa porque estavam perdidos no
que era pra fazer?
Aluna - Não. Isso não. Eu percebi que eles... ficaram o tempo inteiro.
Elisabete - Eles tentavam...
Aluna - Uhun. Eles ficaram o tempo inteiro tentando fazer. Eu achei eles bem
interessados assim na proposta. Eu gostei deles
Elisabete - E eles reclamavam de alguma coisa que você tivesse percebido?
Aluna - Não. Não percebi assim reclamação não. Ah, teve uma senhora também que eu
percebi que ela teve dificuldade
Elisabete - Aquela que estava ontem?
Aluna - É, aquela do cabelo cacheadinho. É que ela...
Vera - Sabe o nome dela?
Elisabete - Sim. Era a aluna número 9
Aluna - É, então, ela teve dificuldade também
Vera - Teve dificuldade com o software ou com o ________
Aluna - Eu acredito que com as duas coisas. Uhun. Com as duas coisas. Só que ela
sentou... eu acredito que ela sentou sozinha né? Quando ela fez.
(46:27) Elisabete - Ela chegou depois.
Aluna - É. Ela sentou sozinha
Elisabete - As duplas já estavam formadas
Aluna - Ela...
Vera - E você acha que as duplas acabam...
Aluna - É, um auxilia o outro
Elisabete - Em alguns momentos ela até conseguiu sentar com alguém, mas ela fez
muito... trabalhou muito sozinha
Aluna - Eu vi. Que nem a... essa aí do senhor que sentou com esse outro rapaz. Ele
ajudava muito ele, ele conhecia bastante coisas de geometria assim, de desenho
(50:05) Vera - Bom. Em frente.
Elisabete - Então ficou meio confuso por isso que eu perguntei
Vera - Você tem aula, você tem aula agora lá?
Aluna - Não. Não. A gente tá em semana...
Elisabete - Semana de biologia
Aluna - É. Eu tenho também a aula que eu observei as meninas que nem o Hugo e a...
acho que a Malu se eu não me engano
253
Elisabete - Ah mas o Hugo veio só um dia né. Mas pode falar.
Aluna - É. O Hugo... O Hugo ele praticamente fazia tudo porque o Hugo é autodidata,
super inteligente
Elisabete - O Hugo é um menino brilhante mas extremamente preguiçoso
Aluna - Ele é. Mas ele... na verdade ele fazia tudo né o que pedia
Elisabete - E reprovou em história da matemática pq ele não fez as atividades
Aluna - Então! Ele... ele ajudava... ele não ajudava, ele fazia
Vera - Mas só veio um dia?
Aluna - É. Ele eu acho que foi um ou dois dias né
Elisabete - Eu encontrei com ele depois no corredor falei poxa, Hugo, por que que você
não voltou, ah, professora, tinha que acordar muito cedo
Vera - É, às vezes tem gente que se desanima né e aí... desanima assim não vê, não se
envolve aí larga né.
Aluna - Aí ele
Vera - Não achou nada novo
Elisabete - É uma pena porque ele é muito inteligente
Aluna - Ele é muito inteligente
Elisabete - Ele é brilhante
Vera - Então, mas exatamente por isso, ele precisa de coisas mais... charged, mais... de
repente, entendeu, ele achava aquilo tudo muito fácil
Aluna - É, então, porque ele fazia rapidinho.
Vera - Ah é? Então.
Aluna - No software ele fazia rapidinho
Elisabete - Ficava ajudando os outros
Aluna - É, ele ficava ajudando
Vera - Da próxima vez tem que deixar ele sozinho
Elisabete - Fazer individual né?
Aluna - É
Elisabete - Mas é que aí não tem a conversa
Vera - Mas e qual é a conversa? Aí você tem que gravar ou pôr observador. E analisar
as telas, qualquer coisa assim, né.
Elisabete - Aí a gente tem que fazer com 2, 3 alunos só
Vera - Porque senão... Vamos pensar
Aluna - E três observador (sic) né que aí cada um fica em um aluno
Elisabete - E você acha assim que as dificuldades que eles tiveram durante as atividades
foi mais relacionado ao software ou relacionado às demonstrações?
254
Aluna - Eu acho que mesclou um pouquinho. Não tanto pelo software mas acho que
depois, quando... conforme foi aumentando o grau de dificuldade eles foram tendo mais
dificuldade na parte da geometria e a parte do software eu acho que depois que eles já
pegaram o jeito de como que fazia, aprenderam as ferramentas, eles conseguiram
manipular bem mas aí conforme foi aumentando o grau de dificuldade eu acho que eles
tiveram um pouquinho de dificuldade sim na parte de geometria
Elisabete - Você quer comentar alguma coisa que você tenha observado e que eu não
perguntei?
Aluna - Eu acho que não, deixa eu ver. Da sala em si foi isso. Da sala assim, o que eu
observei da sala, de... dos alunos em si foi isso
(52:59) Vera - Você pediu pra ela fazer o relatório?
Elisabete - Toda aula ela fazia o relatoriozinho no final
Vera - Não, relatório de avaliação da atividade como um todo.
Elisabete - Não
Vera - Do que ela percebeu.
Elisabete - Não
Vera - Tipo sugestão. Que ela já deu umas sugestões aqui meio indiretamente de trabalho
Elisabete - Você quer dar mais alguma sugestão?
Aluna - Ah, eu acho que... não, não sei
Elisabete - Imagina que eu tenha que refazer aquela atividade, você vai me ajudar de
novo?
Vera - Que ela provavelmente vai ter que refazer com outros... com outras pessoas?
Aluna - Com outros alunos
Elisabete - Você teria sugestão, alguma coisa...
Vera - Não sei se com outros alunos, mas com outro... coisas que não são conhecidas.
Aluna - Tá. Necessariamente tem que usar o GeoGebra?
Elisabete - Sim
Aluna - Sim?
Elisabete - É. E tem que usar o lugar geométrico.
Aluna - Ah tá. Então, eu acho que
Elisabete - E tem que usar demonstração. São os três tópicos
Aluna - Acho que só o fato de ser individual, avaliação individual acho que seria
interessante. Pra poder ver... E pegar alunos que não conheçam
Elisabete - Não conheçam o que, o GeoGebra ou...
Aluna - O desenho...
Vera - A geometria.
Aluna - A geometria. Desenho geométrico, essas coisas
255
Elisabete - Pegar aluno do 1º semestre que não teve geometria, você acha?
Aluna - É. Acho que sim.
Vera - A geometria é logo no primeiro semestre, é?
Elisabete - É no segundo
Aluna - Não acho que no segundo
Vera - Mas aí o cara também não tem maturidade
Elisabete - É, eu acho que ele não tem maturidade ainda, né
Aluna - Mas aí no caso do GeoGebra ele vai construindo, acho que ele vai demonstrar
sem saber o que é uma demonstração, aí depois ela pode entrar falando ó, isso daqui é
demonstração
Vera - Sim, vai ter que. Vai ter que. Né?
Aluna - Então, aí ele já vai ter uma ideia, ah, quando ele for lá em desenho geométrico
tralalá, ai lembrei ó, isso daqui eu vi naquela oficina, sei lá, naquele trabalho da
professora. Acho que é interessante
Elisabete - E com relação a oficina que nós fizemos ontem você acha que algum
elemento lá que não teve na pesquisa que fosse interessante colocar na pesquisa?
Vera - Você fez tudo o que você tava programando?
Elisabete - Fiz. Mas foi algo simples, foram só 3 horas, né
Aluna - Eu acho que... eu acho que a pesquisa ficou bem legal. E ontem também ficou
bem legal. Ficou bem...
Vera - Quantos tinham lá?
Elisabete - Ontem acho que eram uns 8 né
Aluna - Uns 5, 8. É que depois... Tinham uns 8, depois foram uns 3 embora
Elisabete - É que foi... Alguns estavam inscritos pra uma oficina que ia ter às 9 horas... 9
e meia. Que era continuação...
Vera - Desses meninos você não tem o termo de compromisso?
Elisabete - Tenho
Vera - Esses que estavam na oficina
Elisabete - Não, não, desses não tenho. Eu nem recolhi o que eles escreveram. Eles...
alguns alunos tinham se inscrito pra uma atividade às 9 e meia, que era continuação de
algo que eles tinham feito na terça feira
Vera - É, que tinha lá um professor que ia dar aula todos os dias
Elisabete - E aí o professor que ia dar essa oficina e mais alguns meninos que estavam
ali fora sem fazer nada eu falei vamos, às 9 e meia eu deixo vocês saírem. E aí eles foram
e ficaram na primeira parte, eles não participaram da parte do GeoGebra eles participaram
só da parte onde a gente discutiu
Vera - A grosso modo as sugestões pra continuação. Fazer trabalho individual, né?
256
Aluna - Individual eu acho interessante
Elisabete - Valeu viu.
Aluna - Obrigada
Vera - Tá legal
Aluna - Aqui, é? Cadê?
Elisabete - Como é que desliga, você sabe?
Aluna - Eu vou pausar... E agora? Eu pauso ou eu dou stop?
Elisabete - Desliga no computador
257
ANEXO A
Grade do Curso de Licenciatura em Matemática
Sem
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Componente curricular de acordo com parecer CNE/CP 009/2001
12029
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Fundamentos para o Ensino da Matemática – Conjuntos, Funções de 1º , 2º e
Modular
FFMM1 4 1 42h45 14h15 57h00 Fundamentos para o Ensino da Matemática – Exponencial e Logaritmo
analise e com.
FELM1 4 1 42h45 14h15 57h00 Fundamentos para o Ensino da Matemática – Trigonometria FTRM1 4 1 42h45 14h15 57h00 Fundamentos para o Ensino da Matemática – Matrizes, Determinantes e Sistemas
Lineares Seqüências
FMSM1 4 1 42h45 14h15 57h00 1 Filosofia da Educação FIEM1 2 1 28h30 28h30
Comunicação e Linguagem 1 CL1M1 2 2 28h30 28h30 Inglês Instrumental 1 IG1M1 2 2 28h30 28h30 Projeto Interdisciplinar - Qualidade de Vida 1 QV1M1 2 2 28h30 28h30 Coordenação de Prática 1 CP1M1 1 1 14h15 14h15 Fundamentos para o Ensino da Matemática – Análise combinatória e probabilidade FCPM2 4 1 42h45 14h15 57h00 Fundamentos para o Ensino da Matemática - Geometria Analítica FGAM2 4 1 42h45 14h15 57h00 Desenho Geométrico DESM2 2 1 28h30 28h30 Fundamentos para o Ensino da Matemática-Complexos, Polinômios e Equações
Algébrica
FCAM2 4 1 42h45 14h15 57h00
Fundamentos para o Ensino da Matemática - Geometria 1 FG1M2 4 1 42h45 14h15 57h00 Comunicação e Linguagem 2 CL2M2 2 2 28h30 28h30
2 Inglês Instrumental 2 IG2M2 2 2 28h30 28h30 Projeto Interdisciplinar - Qualidade de Vida 2 QV2M2 2 2 28h30 28h30 Coordenação de Prática 2 CP2M2 1 1 14h15 14h15 Cálculo Diferencial e Integral 1 CD1M3 6 1 71h15 85h30 Vetores Geometria Analítica VGAM3 4 1 42h45 57h00
Laboratório de Matemática 1 LM1M3 2 2 28h30 28h30
Fundamentos para o ensino da matemática – Geometria 2 FG2M3 4 1 42h45 14h15 57h00
Interface da Matemática com a Física 1 IF1M3 4 2 28h30 28h30 57h00
Fundamentos para o ensino da matemática – Estatística Descritiva FEDM3 2 1 28h30 28h30
3 Matemática e sua História 1 MH1M3 2 1 28h30 28h30
Fundamentos da Educação 1 ED1M3 2 1 28h30 28h30
Coordenação Prática 3 CP3M3 1 1 14h15 14h15
Cálculo Diferencial e Integral 2 CD2M4 6 1 71h15 85h30 Algebra Linear 1 AG1M4 4 1 42h45 57h00
4 Teoria dos Números TNUM4 4 1 42h45 57h00
Estatística ESTM4 4 1 42h45 57h00
Introdução à Lógica LOGM4 3 1 28h30 42h45
Organização Política Educacional OPEM4 2 1 28h30 28h30
Interface da Matemática com a Física 2 IF2M4 4 2 28h30 28h30 57h00
Cálculo Diferencial e Integral 3 CD3M5 6 1 71h15 85h30 Álgebra Linear 2 AG2M5 4 1 42h45 57h00
5 Álgebra ALGM5 4 1 42h45 57h00
Metodologia do Trabalho Científico MTCM5 2 1 28h30 28h30
Prática de Ensino 1 - vivência no ambiente escolar ES1M5 6 1 28h30 85h30
História da Ciência HCIM5 2 1 28h30 28h30
Interface da Matemática com a Física- 3 IF3M5 3 2 14h15 28h30 42h45
Interface da Matemática com a Informática IMIM5 3 2 42h45 42h45
Sequências e Séries SQSM6
MM
3 1 28h30 42h45 Equações Diferenciais Ordinárias EDOM6 4 1 42h45 57h00
Laboratório de Matemática 2 LM2M6 2 2 28h30 28h30
Cálculo Numérico CNUM6 4 1 42h45 57h00
6
Matemática Financeira MFIM6 3 1 28h30 42h45
Prática de Ensino 2 - Formação do profissional ES2M6 10 2 28h30 142h30
Espanhol Instrumental 1 EI1M6 2 2 28h30 28h30
Interface da Matemática com a Física 4 IF4M6 4 2 28h30 28h30 57h00
Introdução à Análise Real IARM7 4 1 42h45 57h00 Didática da Matemática DDMM7 2 1 28h30 28h30
Prática de Ensino 3 - Reflexão da Prática no Ensino ES3M7 11 2 28h30 156h45
Trabalho de Conclusão do Curso 1 TC1M7 2 1 28h30 28h30
7 Libras LIBM7 2 1 28h30 28h30
Interface da Química com a Matemática IQMM7 2 2 14h15 14h15 28h30
Psicologia da Educação PE1M7 2 1 28h30 1.1.1.1 28h30
Espanhol Instrumental 2 EI2M7 2 2 28h30 28h30
Prática de Ensino 4 -Trajetória da Práxis ES4M8 10 1 28h30 142h30 Trabalho de Conclusão do Curso 2 TC2M8 2 1 28h30 28h30
Geometria não Euclidiana GNEM8 2 1 28h30 28h30
8 Filosofia da Matemática FMAM8 2 1 28h30 28h30
Funções de uma Variável Complexa FVCM8 3 1 28h30 42h45
Interface da Biologia com a Matemática IBMM8 2 2 14h15 14h15 28h30
Comunicação e Linguagem 3 CL3M8 2 2 28h30 28h30
ESTÁGIO 413h15
258
Atividades acadêmico-científico-culturais 213h45
TOTAL 3291h15
1- IDENTIFICAÇÃO
Curso: Licenciatura em Matemática
Componente curricular: Fundamentos para o Ensino
da Matemática – Geometria 1
Código: FG1M2
Ano/ Semestre: 2011/2º. Nº aulas semanais:
04
Total de aulas: 76 Total de horas: 57h
2- EMENTA:
Neste componente curricular pretende-se oferecer ao aluno uma retomada dos
conceitos de geometria plana estudados na educação básica, fazendo uma
relação desses conceitos com os processos de ensino-aprendizagem e
aprofundando os conhecimentos matemáticos, abordando de uma forma mais
formal.
3-OBJETIVOS:
Consolidar e ampliar o conhecimento sobre os conteúdos específicos, buscando
fazer uma análise crítica, capacitando, assim, o aluno a uma re-elaboração e
uma autonomia sobre tais conteúdos.
4-CONTEÚDO PROGRAMATICO:
1. Noções primitivas: ponto, reta e plano;
2. Paralelismo e perpendicularidade;
3. Segmentos de reta;
4. Ângulos;
5. Teorema de Tales;
3. Lugares geométricos: circunferência, triângulos (congruência, pontos
notáveis e semelhança), quadriláteros notáveis, polígonos e polígonos
regulares;
4. Noções de equivalência e noções de homotetia. Medidas de área.
5-METODOLOGIAS:
Aulas expositivas - dialogadas; Trabalhos individuais e em grupo;
6- AVALIAÇÃO:
259
Serão utilizados três critérios de avaliação com notas de 0 a 10. A média
semestral será a média aritmética dessas três avaliações. Os três
critérios são os seguintes:
i) As atividades realizadas em aula, como debates e seminários
comporão a primeira avaliação;
ii) A resolução de listas de exercícios com situações-problema e
demonstrações comporá a segunda avaliação;
iii) Uma prova individual e sem consulta com nota de 0 a 10 irá compor a
terceira avaliação.
7 - BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
REZENDE, E. Q. F. E OUTRA. Geometria Euclidiana Plana. Segunda edição.
Editora Unicamp. Campinas, SP. 2008.
DOLCE, O. e outro. Fundamentos de Matemática elementar, geometria plana.
Editora Atual. Volume 9. Última edição. 2009.
BONJORNO, J. R.; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES Ayrton.
Matemática: fazendo a diferença. São Paulo: FTD, 2006.
8-BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
EUCLIDES. Os Elementos. Editora UNESP. Tradução de Irineu Bicudo. São
Paulo, SP. 2009.
NETO, A. A. Geometria. Volume geometria. Editora Vestselles. Fortaleza, CE.
2009.
IEZZI, G. e outros. Matemática. Segunda série do ensino médio. Editora Atual..
2009.
GIOVANNI E BONJORNO. Matemática completa. 1 série. Ensino médio. Editora
FTD. 2009.
LIMA, E. L. A matemática do ensino médio. 5. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2001.
1- IDENTIFICAÇÃO:
Curso: Licenciatura em Matemática
Componente curricular: Desenho
Geométrico
Código: DESM2
Ano/ Semestre: 02 Nº aulas semanais: 02
Total de aulas: 76 Total de horas: 28h30min
2- EMENTA:
260
O curso tem como objetivo estudar as construções geométricas elementares
com auxílio de régua e compasso e de software específico. Tem por objetivo
também, estudar os lugares geométricos e a aplicação das construções
geométricas para estudo da geometria plana e espacial.
3- OBJETIVOS:
O aluno deverá ser capaz de:
Conhecer as construções geométricas elementares;
Saber utilizar a régua e o compasso para efetuar as construções
geométricas elementares;
Aplicar os conhecimentos estudados anteriormente para resolver
problemas geométricos específicos;
Utilizar o software GeoGebra para efetuar as construções elementares e
a solução dos problemas geométricos;
Conhecer os lugares geométricos, do 1 ao 5, e utilizá-los para a
resolução de problemas geométricos com régua e compasso e com o
uso do software GeoGebra.
4- CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
Noções iniciais: postulados, convenções (letras, desenhos, símbolos
e abreviaturas) e sobre erros gráficos.
Construções fundamentais com régua e compasso: retas
perpendiculares, mediatriz de um segmento, retas paralelas e
ângulos (transporte, bissetriz e construção de ângulos múltiplos de
15°).
Circunferências: construção de circunferências dados centro e raio,
construção dado o diâmetro, construção dados três pontos da
circunferência, recuperação do centro de uma circunferência e
inscrição de um quadrado em uma circunferência.
Triângulos: desigualdade triangular, construção dados os três lados,
dados dois lados e o ângulo entre eles, dados dois ângulos e um lado.
Divisão proporcional de segmentos, divisão de segmentos em partes
iguais, obtenção da quarta e da terceira proporcional.
Método dos lugares geométricos: definição, lg1 (circunferência),casos
notáveis do lg1, lg2 (par de retas paralelas), lg3 (mediatriz), lg4 (par
261
de bissetrizes), Lg 5 (arco capaz), caso particular do lg 5 (ângulo reto)
e como resolver problemas usando o método dos lugares
geométricos.
Problemas de triângulos usando o método dos lugares geométricos.
Utilização do software Geogebra e saber utilizá-lo em construções
geométricas.
5- METODOLOGIAS:
Aulas interativas;
Uso do software GeoGebra com o data show em sala de aula;
Uso do software GeoGebra no laboratório de informática;
Resolução de exercícios em sala de aula;
Atividades com o uso do computador.
6- AVALIAÇÃO:
Duas avaliações escritas;
Exercícios em sala de aula para nota;
Avaliação contínua envolvendo atividades em sala de aula, assiduidade
e auto avaliação;
Avaliação substitutiva;
Instrumento final de avaliação.
7- BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
REZENDE, E. Q. F. e Queiroz, M. L. B., Geometria Euclidiana Plana, Editora
Unicamp, 2ª Edição, Campinas, 2009.
REZENDE, E. Q. F. e RODRIGUES, C. I., Cabri-Géomètre & a Geometria Plana,
Editora Unicamp, 2ª Edição, Campinas, 2005.
DOLCE, O. e outros, Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 9, Editora
Atual, São Paulo, 2009.
8-BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
HOHENWARTER, M. e HOHENWARTER, J., Ajuda GeoGebra, Manual Oficial
da Versão 3.2, disponível em www.geogebra.org.
EUCLIDES, Os Elementos. Editora UNESP. Tradução de Irineu Bicudo. São
Paulo, SP. 2009.
ANTAR NETO, A. e outros, Geometria, Volume 5, Editora Vestselles. Fortaleza,
CE. 2009.
IEZZI, G. e outros. Matemática, Volume 2, Editora Atual, São Paulo, 2009.
RPM – Revista do Professor de Matemática. SBM – Sociedade Brasileira de
Matemática – periódico.
262
263
ANEXO B
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Título do Projeto: Ensino dos Lugares Geométricos Planos com auxílio do
software GeoGebra.
Pesquisador Responsável: Elisabete Teresinha Guerato
Instituição a que pertence o Pesquisador Responsável: UNIVERSIDADE
ANHANGUERA DE SÃO PAULO - UNIAN
Telefones para contato: (11) 2972-9015
O sr (sra) está sendo convidada (o) a participar desta pesquisa que tem
como objetivo investigar questões relacionadas ao ensino e à aprendizagem de
um conceito da Matemática. Tal investigação é, por nós, considerada de
fundamental importância, uma vez que poderá contribuir para a compreensão de
dificuldades enfrentadas por estudantes no processo de construção desse
conceito e para a reflexão sobre possíveis estratégias para abordar o assunto.
Ao participar deste estudo a sr (sra) permitirá que os (as) pesquisadores
(as) utilizem os dados coletados através das entrevistas, atividades e questionário.
O sr (sra) tem liberdade de se recusar a participar e ainda se recusar a continuar
participando em qualquer fase da pesquisa, sem qualquer prejuízo para o sr (sra).
Sempre que quiser poderá pedir mais informações sobre a pesquisa através do
telefone do (a) pesquisador (a) do projeto e, se necessário através do telefone do
Comitê de Ética em Pesquisa.
Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz complicações
legais. Os procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da
Ética em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução nº. 466/12 do
Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos usados oferece riscos
à sua dignidade. Os riscos poderão estar associados a fatores de ordem
psicológica consequência do insucesso na realização das tarefas proposta.
264
Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são
estritamente confidenciais. Somente os (as) pesquisadores (as) terão
conhecimento dos dados.
Benefícios: ao participar desta pesquisa a sr (sra) não terá nenhum
benefício direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações
importantes a respeito das dificuldades inerentes ao processo de construção do
conceito em estudo, de forma que o conhecimento que será construído a partir
desta pesquisa possa contribuir para o seu ensino. Para isso, os pesquisadores
se comprometem a divulgar os resultados obtidos.
Pagamento: a sr (sra) não terá nenhum tipo de despesa para participar
desta pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.
Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma
livre para participar desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que se
seguem: Confiro que recebi cópia deste termo de consentimento, e autorizo a
execução do trabalho de pesquisa e a divulgação dos dados obtidos neste estudo.
Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.
Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e
esclarecida, manifesto meu consentimento em participar da pesquisa.
São Paulo, _______________________________________________
__________________________________________________________________
Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa
__________________________________________________________________
Assinatura do Pesquisador: Elisabete Teresinha Guerato
Pesquisadores:
Elisabete Teresinha Guerato, RG 10.103.871-9
Telefone para contato: (11) 2231-7202 e (11) 99165-5413
e-mail: [email protected]
265
Comissão de Ética UNIAN
Rua Maria Cândida 1813, Bloco G, 4º. andar CEP: 02071-013
Fone: (11) 2967-9015
e-mail: [email protected]
Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida,
manifesto meu consentimento em participar da pesquisa.
São Paulo, _______________________________________________
__________________________________________________________________
Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa
__________________________________________________________________
Assinatura do Pesquisador: Elisabete Teresinha Guerato
Pesquisadores:
Elisabete Teresinha Guerato, RG 10.103.871-9
Telefone para contato: (11) 2231-7202 e (11) 99165-5413
e-mail: [email protected]
Comissão de Ética UNIAN
Rua Maria Cândida 1813, Bloco G, 4º. andar CEP: 02071-013
Fone: (11) 2967-9015
e-mail: [email protected]
266
267
ANEXO C
Termo de Autorização e Compromisso da
Instituição Coparticipante do Projeto de Pesquisa
Autorizo a realização do projeto de pesquisa “Exploração de Lugares
Geométricos Planos com o software GeoGebra” sob responsabilidade da
pesquisadora Elisabete Teresinha Guerato.
Declaro que, após a emissão do parecer ético do Comitê de Ética em Pesquisa
da Universidade Anhanguera de São Paulo - UNIAN, tomarei conhecimento
das orientações e cumprirei as Resoluções Éticas Brasileiras, em especial a
Resolução CNS/MS 466/12. Esta instituição está ciente de suas
corresponsabilidades como instituição coparticipante da pesquisa, e de seu
compromisso no resguardo da segurança e bem-estar dos sujeitos de pesquisa
nela recrutados, dispondo de infraestrutura necessária para a garantia de tal
segurança e bem estar.
__________________________________________
“Assinatura e carimbo do responsável pela coparticipante”
Local e data
268
269
ANEXO D
Transcrição das Avaliações da Pesquisa Feita pelos Participantes
P1 – Malu
As atividades propostas durante a pesquisa superaram minhas expectativas. A
partir do conhecimento que obtive e da melhor visualização de alguns conceitos
devido a utilização do software GeoGebra, percebi a possibilidade de abordar
esses conteúdos de diferentes formas, fato que contribui para a minha formação
como professora de Matemática. Além disso, a consolidação dos conceitos
propostos através dessas atividades, como por exemplo que caracteriza uma
demonstração ou um lugar geométrico, auxiliou no meu desenvolvimento como
aluna.
Em relação aos aspectos positivos e negativos, gostaria de ressaltar que as
atividades propostas foram, em geral, de fácil compreensão e execução.
Entretanto, acredito que o tempo no qual foram trabalhadas muitas vezes, para
mim, foi insuficiente.
270
P3 – JotaJota
A professora Elisabete Teresinha Guerato convidou alunos das turmas do
segundo e do terceiro semestres do curso de Licenciatura em Matemática para
participar de um estudo para seu trabalho de doutorado. Minha expectativa em
participar deste estudo era tanto de melhorar meu conhecimento do software
GeoGebra quanto uma forma de fixar os conceitos matemáticos abordados
durante os estudos de Geometria Analítica, Geometria Plana e Desenho
Geométrico. A experiência foi uma oportunidade de verificar o progresso dos
colegas e comparar com o meu, apesar de que as observações não foram
identificadas, o que contribuiu para fazer uma autocrítica acerca do
desenvolvimento dos meus estudos.
A experiência ajudou muito a ampliar o conhecimento dos recursos do software à
medida que se explorava o conceito de Lugar Geométrico usando as propriedades
da Mediatriz, da circunferência e da bissetriz. Entre as coisas aprendidas destaco
as funções das diferentes ferramentas do software, a diferença entre mostrar e
demonstrar, a primeira se vale de qualquer recurso para convencimento, já a
última requer encadeamento de deduções lógicas com rigor matemático e o
teorema recíproco.
Considero a atividade muito proveitosa e enriquecedora pela dinâmica do estudo,
e pelo desenvolvimento em dupla.
271
P5 – Nicius
Quais as expectativas que você tinha antes de participar das atividades?
Quando a professora fez a apresentação na sala de aula vi inicialmente a
oportunidade de adquirir uma maior facilidade no entendimento da geometria
plana, pois tinha concluído a disciplina e sido aprovado, mas não com o
272
entendimento necessário que atrapalhava no entendimento da geometria analítica
(em alguns pontos). Assim aproveitando a grade livre para obter tal aprendizado
e como forma de estimular meu corpo a estar disposto logo cedo e dedicar-me
mais aos estudos desse semestre.
O que esta atividade representou para você (na vida pessoal e na vida
escolar)?
Na vida pessoal foi bom porque tive contato com uma professora que antes não
tive aula em nenhum momento do curso, assim tive que entender o jeito de ensinar
dela, as razões pelo qual ela ensinou daquele jeito, pois logo mais, lá na frente se
chegar a dar aula a alguma turma preciso ter postura e um comportamento que
reflita o meu aprendizado de vida e escolar transmitidas pelos meus mestres.
Mesmo que os meus mestres não ensinem da maneira que considero melhor
aprender isso faz que eu possa perceber as diferenças de estilo e adaptar-se para
o que enfrentarei na minha rotina, seja ela na sala de aula ou não. Já na vida
escolar fez com que descobrisse uma forma de se manter estimulado e com foco
no objetivo para o melhor resultado possível.
O que aprendeu durante a atividade que será útil para o curso de
Licenciatura em matemática?
Consegui percebe pequenas diferenças de conceitos referente a geometria plana
reforçando um assunto antes verificado e que contribui para fixar informações
importantes que modo que ao longo do curso possa usar e conseguir ser capaz
de responder os mesmos assuntos sem dificuldades.
Quais os pontos positivos e/ou negativos das atividades desenvolvidas?
- Pontos positivos: o ambiente era favorável a aplicação das atividades e sendo
ela feita em dupla abriu espaço para debates (para possíveis conflitos de
entendimento do mesmo assunto) e contamos com a participação de estagiários
que também prestaram suportes. Atividades resumidas de modo a facilitar e
auxiliar no estudo.
- Pontos negativos: Algumas das partes escritas ela geraram dúvidas exigindo da
minha parte um maior tempo de entendimento e gerando certa pressa e pressão
para resolver o que era solicitado.
273
NOTA: Agradeço a Professora Elisabete Guerato por ter oferecido essa
oportunidade de aprendizado. Se em outra oportunidade houver disponibilidade e
disposição terei prazer em participar.
P6 – Douglinhas
Em relação à pesquisa de doutorado da professora Elisabete Guerato, podemos
obter conhecimento fundamental do software GeoGebra, onde podemos ver uma
maneira de ensinar aos alunos principalmente do ensino básico, para os mesmos
terem noção do olhar gráfico, e também da geométrica.
274
Já para minha pessoa, achei excelente a pesquisa, pois tive conhecimento básico,
que foi desenvolvida pela professora.
P9 – Lilica
No princípio o que levo-me a pesquisa foi a expectativa e a curiosidade de como
seria um estudo de doutorado.
Logo após as primeiras atividades da pesquisa proposta, percebi de forma
diferente a abordagem do conteúdo que foi desenvolvido, orientando-me para a
formação de professora de matemática.
Em relação a proposta de ser positiva ou negativa, acho que foi positiva e
satisfatória para o entendimento de como pode ser aplicada a geometria no
GeoGebra para auxiliar no meu desenvolvimento em sala de aula junto com os
alunos.
275
