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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ROSANGELA DE SOUZA JORGE ANDO
FORMAÇÃO CONTINUADA E ENSINO DE ÁLGEBRA:
REFLEXÕES DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA
SOBRE ITENS DO SARESP
São Paulo
2012
ROSANGELA DE SOUZA JORGE ANDO
MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
FORMAÇÃO CONTINUADA E ENSINO DE ÁLGEBRA:
REFLEXÕES DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA
SOBRE ITENS DO SARESP
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Orientadora: Profª. Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa.
São Paulo
2012
A561e Ando, Rosangela de Souza Jorge Formação continuada e ensino de álgebra: reflexões de professores da
educação básica sobre itens do SARESP. / Rosangela de Souza Jorge Ando. - São Paulo, 2012. 218 f.: il.; 30 cm. Dissertação (Mestrado - Área de concentração: Educação matemática) –
Universidade Bandeirante de São Paulo. Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática.
“Orientação: Professora Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa”
1. Formação continuada. 2. Avaliação externa. 3. Ensino de álgebra. 4. Reflexão. 5. SARESP. I. Título.
CDD: 370.71
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução
total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou
eletrônicos.
Local e data: ________________________________
Assinatura: _________________________________
"Eu não posso ensinar
nada a ninguém,
eu só posso
fazê-lo pensar."
Sócrates
Dedico este trabalho
às minhas filhas Bárbara e Sarah
e ao Sergio
pelo amor, carinho e
por serem a razão
de minha vida.
Agradecimentos
A Deus, que me deu paz, amigos, coragem e sabedoria para esta messe.
À Professora Doutora Nielce Meneguelo Lobo da Costa, pelas orientações
e acompanhamento de todo o processo de elaboração deste trabalho, mas,
principalmente, pela competência, pelo estímulo, pela dedicação, pela
paciência e pela amizade concretizada, que foram essenciais para a
conclusão desta dissertação.
Às Professoras Doutoras Ana Chiummo e Angélica da Fontoura Garcia
Silva, que deram contribuições valiosas para o enriquecimento desta
dissertação.
Aos meus professores do Programa de Pós-graduação da Universidade
Bandeirante de São Paulo, que contribuíram para meu crescimento
enquanto pesquisadora e professora.
Aos professores doutores da linha de Formação de Professores Ruy Cesar
Pietropaolo, Maria Elisabette B.B. Prado, Angélica da F. G. Silva e Nielce
M. Lobo da Costa, pelo carinho e pelas contribuições para o
desenvolvimento desta pesquisa.
Aos professores participantes do Módulo de Álgebra, personagens
fundamentais para esta pesquisa.
Aos funcionários da Universidade Bandeirante de São Paulo, que sempre
me atenderam com carinho.
À Universidade Bandeirante de São Paulo, que me concedeu uma bolsa de
estudos, que custeou parte deste trabalho.
Aos meus pais, Joaquim (in memoriam) e Isabel, exemplos de vida.
Aos meus padrinhos Luzia e Manoel, exemplos de coragem.
Aos meus irmãos José Roberto, Roseli, Teresa e Marta e aos meus
sobrinhos Caroline, Paulo e Heitor, que entenderam minhas inúmeras
ausências em reuniões familiares.
À minha amiga Rosana Jorge Monteiro Magni, que me incentivou para
iniciar esta jornada.
Enfim, a todos os amigos e familiares que contribuíram direta ou
indiretamente para a finalização desta jornada, seja com carinho, uma
palavra de apoio ou um ombro amigo.
A todos, agradeço de coração!
RESUMO
O objetivo desta pesquisa foi investigar a compreensão e as reflexões dos professores de Matemática relativas a resultados de avaliações externas do Saresp (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) em um contexto de formação continuada envolvendo o Ensino de Álgebra na Educação Básica, em particular o de equações e sistemas de equações. A metodologia foi a qualitativa do tipo investigação-ação, desenvolvida em duas fases, a primeira com pesquisa documental e construção do Módulo de Álgebra para o processo formativo e a segunda com a pesquisa de campo. Os sujeitos foram 16 professores que participaram de todos os encontros do Módulo de Álgebra. A coleta de dados foi feita por meio de observação direta, gravação de áudio e vídeo dos encontros e materiais produzidos pelos sujeitos ao longo do processo formativo. A fundamentação teórica que embasa a pesquisa vem dos estudos sobre conhecimento profissional docente de Shulman, da teoria sobre os conhecimentos matemáticos para o ensino (MKT) de Ball, Thames e Phelps; sobre processos reflexivos de Perrenoud e sobre os princípios para a formação continuada de professores de Matemática explicitados por Serrazina. Quanto à Álgebra, analisamos as diversas concepções e o uso das variáveis, segundo Usiskin, e em relação à Álgebra escolar apresentamos um histórico da sua inserção no currículo da Educação Básica. A análise dos dados revelou quatro categorias de reflexão emergentes nos encontros: Reflexões sobre as Avaliações Externas; Reflexões sobre o Ensino de Álgebra; Reflexões sobre a Matemática envolvida nos itens; Reflexões sobre a Formação Docente. A conclusão foi que o processo formativo favoreceu a aprendizagem profissional, o desenvolvimento do conhecimento específico do conteúdo e as reflexões sobre a própria formação e sobre como propiciar situações para favorecer a aprendizagem dos alunos. Palavras-chave: Formação Continuada, Avaliação Externa, Ensino de Álgebra,
Reflexão, Saresp.
ABSTRACT
The aim of this research was to investigate the understanding and reflections of mathematics teachers on the results of external evaluations of Saresp (Assessment System Educational Achievement of São Paulo) in a context of continuing education involving the teaching of Algebra in Elementary Education, in particular, equations and systems of equations. The methodology was qualitative research-action type, developed in two phases, the first with documentary research and construction of a module of algebra for the teacher education process and the second with the fieldwork. The individuals were 16 teachers who participated in all meetings of the module of algebra. Data collection was done through direct observation, audio and video recording of meetings and materials produced by the individuals during the formation process. The theoretical framework that underpins the research comes from Shulman's studies of teacher professional knowledge, the Ball, Thames and Phelps’ theory of mathematical knowledge for teaching (MKT); Perrenoud´s reflective processes and the principles for the ongoing formation of mathematics teachers explained by Serrazina. As for algebra, we analyzed the different conceptions and use of variables, according to Usiskin, and in relation to school Algebra we presented a history of its inclusion in the curriculum of basic education. Data analysis revealed four categories of thought emerging in the meetings: Reflections on External Assessments; Reflections on Teaching Algebra, Mathematical Reflections on the items involved; Reflections on Teacher Formation. The conclusion was that the teacher education process favored the professional learning, the development of specific knowledge of the content and reflections about their own formation and how to provide situations to foster student learning.
Keywords: Continuing Education, External Evaluation, Teaching Algebra,
Reflection, Saresp.
Lista de Quadros
Quadro 1: Tabulação do questionário para caracterização dos sujeitos .......... 32
Quadro 2: As Concepções de Álgebra e o uso das variáveis .......................... 46
Quadro 3: Conteúdo de Álgebra do Ensino Fundamental ................................ 50
Quadro 4: Conteúdo de Álgebra do Ensino Médio ........................................... 51
Quadro 5: Escala dos níveis de proficiência .................................................... 58
Quadro 6: Níveis de proficiência ...................................................................... 58
Quadro 7: Habilidades de Álgebra para a 6ª. série/7º.ano ............................... 62
Quadro 8: Habilidades de Álgebra para a 8ª. série/9º.ano ............................... 63
Quadro 9: Habilidades de Álgebra para a 3ª.série do EM ................................ 63
Quadro 10: Reflexão sobre elaboração de um item ......................................... 68
Quadro 11: Resumo das atividades do Módulo................................................ 71
Quadro 12: Atividade de Estudos Complementares ......................................... 75
Quadro 13: 1ª. Atividade de análise de itens .................................................... 81
Quadro 14: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 1 ................ 82
Quadro 15: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 2 ................ 84
Quadro 16: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 3 ................ 85
Quadro 17: 2ª. Atividade de Análise de itens ................................................... 86
Quadro 18: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 4 ................ 87
Quadro 19: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 5 ................ 88
Quadro 20: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 6 ................ 90
Quadro 21: 3ª. Atividade de análise de itens .................................................... 91
Quadro 22: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 7 ................ 92
Quadro 23: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 8 ................ 93
Quadro 24: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 9 ................ 94
Quadro 25: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 10 .............. 96
Quadro 26: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 11 .............. 97
Lista de Figuras
Figura 1 – Domínios necessários para o ensino de Matemática. ..................... 40
Figura 2: Interligação entre os blocos temáticos .............................................. 49
Figura 3: Exemplo 10 da p. 195 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª.
EM .................................................................................................................... 67
Figura 4: Atividade do Caderno do aluno sobre sistema de equações. ........... 73
Figura 5: Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas proporcionais .... 74
Figura 6: Situação de Aprendizagem para Estudos Complementares ............. 76
Figura 7: Situação de Aprendizagem envolvendo equações trigonométricas .. 77
Figura 8: Equação do 3º. grau e a fórmula de Tartaglia e Cardano ................. 78
Figura 9: Situação de aprendizagem sobre equações e polinômios ................ 79
Figura 10: Item 1 .............................................................................................. 82
Figura 11: Item 2 .............................................................................................. 83
Figura 12: Item 3 .............................................................................................. 85
Figura 13: Item 4 .............................................................................................. 87
Figura 14: Item 5 .............................................................................................. 88
Figura 15: Item 6 .............................................................................................. 89
Figura 16: Item 7 .............................................................................................. 91
Figura 17: Item 8 .............................................................................................. 93
Figura 18: Item 9 .............................................................................................. 94
Figura 19: Item 10 ............................................................................................ 95
Figura 20: Item 11 ............................................................................................ 97
Figura 21: Protocolo da Atividade da Professora SR – Sistemas Lineares – 1ª
parte ............................................................................................................... 110
Figura 22: Protocolo da Atividade da Professora SR – Sistemas Lineares – 2ª
parte ............................................................................................................... 111
Figura 23: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 1ª
parte ............................................................................................................... 111
Figura 24: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 2ª
parte ............................................................................................................... 112
Figura 25: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 3ª
parte ............................................................................................................... 113
Figura 26: Trecho de Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas
proporcionais .................................................................................................. 118
Figura 27: Trecho de Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas
proporcionais - B ............................................................................................ 119
Figura 28: Protocolo de item produzido pelo Grupo 1 .................................... 121
Figura 29: Protocolo de item produzido pelo Grupo 2 .................................... 122
Figura 30: Item produzido e classificado pelo Grupo 3 (registro em vídeo) ... 122
Figura 31: Protocolo do Item 8 Grupo 5 ......................................................... 132
Figura 32: Categorias Emergentes quanto às Reflexões ............................... 142
Sumário
APRESENTAÇÃO ....................................................................................................... 17
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................. 20
1 ORIGEM DO PROBLEMA ...................................................................................... 20
1.1 OBJETIVO .............................................................................................................. 23
1.2 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA ........................................................................ 23
1.3 QUESTÃO DE PESQUISA .................................................................................. 24
1.4 JUSTIFICATIVA .................................................................................................... 24
CAPÍTULO 2 ................................................................................................................. 27
2 METODOLOGIA ....................................................................................................... 27
2.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ......................................................... 29
2.1.1 Coleta de Dados ................................................................................................ 30
2.1.2 Análise de Dados ............................................................................................... 30
2.2 SUJEITOS DE PESQUISA .................................................................................. 31
CAPÍTULO 3 ................................................................................................................. 35
3 FUNDAMENTAÇÃO ................................................................................................ 35
3.1 FORMAÇÃO CONTINUADA E OS PROCESSOS REFLEXIVOS ............... 35
3. 2 ENSINO DE ÁLGEBRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA ........................................ 43
3.2.1 A Álgebra no Currículo ...................................................................................... 43
3.2.2 O que é ensinado na Educação Básica ......................................................... 46
3.2.2.1 A Álgebra no Currículo do Estado de São Paulo ...................................... 48
3.3 AVALIAÇÃO NO CAMPO EDUCACIONAL ...................................................... 53
3.3.1 Avaliação Educacional Externa ....................................................................... 53
3.3.2 O Saresp ............................................................................................................. 55
3.3.2.1 Matriz de Referência para a Avaliação Saresp ......................................... 60
3.3.2.2 Relatório Pedagógico do Saresp ................................................................. 64
CAPÍTULO 4 ................................................................................................................. 69
4 A PESQUISA ............................................................................................................. 69
4.1 O CENÁRIO DO ESTUDO .................................................................................. 69
4.2 O PLANEJAMENTO DO MÓDULO DE ÁLGEBRA ......................................... 70
4.2.1 Atividades escolhidas dos materiais de apoio da SEESP .......................... 72
4.2.2 Textos e apresentação de slides ..................................................................... 79
4.2.3 Itens selecionados de Relatórios Pedagógicos do Saresp (2008/2009) .. 80
4.2.4 Atividade de elaboração e classificação de itens ......................................... 98
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................... 100
5 ANÁLISE DE EPISÓDIOS DOS ENCONTROS ................................................ 100
5.1 ANÁLISE GLOBAL ............................................................................................. 136
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 140
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 145
ANEXOS ..................................................................................................................... 152
APÊNDICES ............................................................................................................... 180
17
APRESENTAÇÃO
Esta pesquisa intitulada Formação Continuada e Ensino de Álgebra:
Reflexões de Professores da Educação Básica sobre Itens do Saresp está
inserida na linha de pesquisa de “Formação de Professores que Ensinam
Matemática” do Programa de Mestrado em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo.
O objetivo foi investigar a compreensão evidenciada por professores de
Matemática, relativa a resultados de avaliações externas num contexto de
formação continuada envolvendo o ensino de Álgebra, em particular o de
equações e sistemas de equações na Educação Básica.
Para alcançar tal objetivo proposto, a questão norteadora foi a seguinte:
Quais são as reflexões dos professores que emergem a partir da
análise de Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno e de itens
contidos em avaliações do Saresp, relativos a equações e a sistemas de
equações?
Para realizar este estudo, foi desenvolvido um Módulo de Álgebra em
parceria com uma Diretoria de Ensino da Secretaria Estadual de Educação do
Estado de São Paulo (SEESP), contando com a participação de 16 professores
de Ensino Fundamental e/ou Ensino Médio. Este Módulo foi planejado para
desenvolver atividades relacionadas às Situações de Aprendizagem do
Caderno do Aluno (material de apoio da SEESP) e análise de itens do Relatório
Pedagógico do Saresp (2008, 2009); e, em particular, para esta pesquisa,
selecionamos o conteúdo de equações e sistemas de equações.
A dissertação está estruturada em cinco capítulos e mais esta
Apresentação, Referências Bibliográficas, Considerações Finais, Apêndices e
Anexos, a saber:
Capítulo 1 - Origem do Problema
Neste capítulo, é apresentada a minha trajetória de professora, de
formadora a pesquisadora com ingresso no Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática, na linha de Formação de Professores que ensinam
18
Matemática. São descritas algumas de minhas inquietações nesta trajetória,
convergindo para a questão de pesquisa. São apontados os objetivos e a
delimitação do problema, finalizando com a revisão de literatura na qual se
apresentam pesquisas correlatas a esta, ou seja, focadas na formação
continuada do professor de Matemática, que analisam resultados de avaliações
externas e/ou itens.
Capítulo 2 - Metodologia
Neste capítulo, é apresentada a metodologia da pesquisa, que é a
qualitativa, do tipo investigação-ação, na acepção de Bogdan e Biklen (1994).
O investigador desempenha o papel principal e são descritas as cinco
características da investigação qualitativa segundo esses autores e o que
caracteriza a metodologia como investigação-ação. Na sequência, os
procedimentos metodológicos são descritos, divididos em duas fases:
a primeira, que compreende pesquisa documental e a construção do
Módulo de Álgebra para o processo formativo (cenário de pesquisa);
a segunda, com a Pesquisa de Campo.
São descritos, ainda, a Coleta e Análise de Dados e o Perfil dos sujeitos da
pesquisa, que são 16 professores de Matemática de escola estadual de São Paulo.
Capítulo 3 - Fundamentação
A fundamentação está dividida em três partes: Formação Continuada,
Ensino de Álgebra na Educação Básica e Avaliação no Campo Educacional.
Na seção Formação Continuada, recorremos aos estudos de Shulman
(1986) sobre o conhecimento que um professor necessita para ensinar e a Ball
et al (2008), que aprofunda esses estudos, desenvolvendo a Teoria do
Conhecimento para o Ensino de Matemática. Sobre o processo formativo, a
pesquisa foi fundamentada nos princípios relacionados por Serrazina (2010) e
por Imbernón (2000), considerando o processo formativo como uma forma de
desenvolver uma prática docente reflexiva, na qual cada elemento do grupo é
responsável tanto por sua aprendizagem quanto pela dos demais, e há uma
socialização de seu aprendizado e reflexão em grupo.
Na seção Ensino de Álgebra na Educação Básica, foi apresentada a
base legal do Ensino de Matemática na Educação Básica, um breve histórico
19
de como a Álgebra se inseriu no Currículo, no Brasil e as diversas concepções
de Álgebra na Educação Básica segundo Usiskin (1995).
Na seção Avaliação no Campo Educacional, foi apresentado um breve
histórico da Avaliação Educacional Externa no Brasil, particularizando para a
instituída nas escolas da rede pública estadual de São Paulo, o Saresp, com
suas características, Matriz de Referência e o Relatório Pedagógico.
Capítulo 4 - A Pesquisa
Neste capítulo, o cenário da pesquisa foi apresentado, contendo o
planejamento do Curso de formação com a descrição das atividades
relacionadas ao objetivo desta pesquisa.
Capítulo 5 - Análise de Episódios dos Encontros
A Análise da investigação foi concentrada nas temáticas dos encontros
do Curso que tiveram relação com a questão de pesquisa. O Curso, como um
todo, foi o cenário de pesquisa, entretanto foram delimitados para análise os
encontros ou partes de encontros cuja temática envolveu a avaliação e as
equações e sistemas de equações. A análise global revelou quatro categorias
de reflexões que emergiram no decorrer dos encontros.
Considerações Finais
Nas considerações finais, foi retomado o percurso de pesquisa e
sintetizados os resultados obtidos agrupados nas categorias emergentes.
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CAPÍTULO 1
1 ORIGEM DO PROBLEMA
Atuando como professora de Matemática da rede estadual de ensino do
Estado de São Paulo desde 1987, tenho muitos questionamentos, muitas
indagações sobre como detectar as dificuldades e auxiliar os alunos em seu
processo de aprendizagem. São indagações tais como: Será que as avaliações
em classe são suficientes ou eficientes para apontar as deficiências na
aprendizagem e será que, em sala de aula, são desenvolvidas atividades que
auxiliam o desenvolvimento de todas as habilidades necessárias para
impulsionar o letramento matemático do aluno?
Tenho participado de muitas formações promovidas por várias
entidades, tanto na condição de aprendiz como na de formadora e tenho
constatado que, em grande parte desses processos formativos, o objetivo –
com as variações inerentes a cada um deles – se volta para a metodologia
para o ensino de matemática ou para o desenvolvimento de conteúdos que
ficaram deficientes na própria formação inicial do professor. Vale enfatizar que
nenhum desses projetos de formação dos quais tomei parte teve por foco
discussões que auxiliassem o professor a detectar adequadamente as
deficiências de aprendizagem dos seus alunos, utilizando as avaliações, tanto
as feitas em sala de aula, quanto às avaliações externas às quais os alunos
foram submetidos.
De que forma se poderia transformar a prática pedagógica, a partir da
reflexão sobre os resultados das avaliações aplicadas aos alunos, que
expusesse suas dificuldades no processo de aprendizagem? Essa tem sido
outra de minhas indagações.
Avaliações dos sistemas educacionais em larga escala no Brasil
começaram a ser implantadas ao final dos anos 90. Tais avaliações externas
aplicadas para aferir os resultados de alunos da Educação Básica, como o
SAEB1 e a Prova Brasil, visam a avaliar os resultados das aplicações de
1 Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica – SAEB, avaliação externa criada em
1990 e que em 2005 foi desmembrada em Avaliação Nacional da Educação Básica – ANEB (conhecida ainda como SAEB) e Avaliação Nacional de Rendimento Escolar – ANRESC (conhecida no meio como Prova Brasil). A ANEB é uma avaliação bienal, na qual apenas uma
21
recursos de Políticas Públicas na Educação, e elas são inspiradas nas
tendências internacionais como, por exemplo, a da Organização para
Cooperação e Desenvolvimento Econômicos (OCDE), com o Programa
Internacional de Avaliação de Estudantes (PISA) e, em particular, no Estado de
São Paulo, o Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São
Paulo (Saresp).
Os primeiros relatórios do Saresp foram divulgados a partir de 1996, e
constatei que, no meu contexto de atuação, os professores de Matemática não
aproveitaram esses resultados para refletir sobre sua prática docente,
provavelmente por desconhecerem as finalidades de uma avaliação externa.
Todavia, com a paulatina incorporação desses resultados e de uma série de
outros indicadores na avaliação de cada unidade escolar pela Secretaria
Estadual de Educação, teve início um processo de se estipularem metas de
aproveitamento para cada escola. Assim sendo, as avaliações externas foram
sendo consideradas como relevantes pela comunidade escolar. No entanto,
constato que ainda, em minha escola, eles não são muito explorados e
utilizados no dia a dia da sala de aula de Matemática.
A partir da aplicação sistemática das avaliações externas, diversos
dados tornam-se disponíveis e podem ser aproveitados pelo professor para
compor suas estratégias de ensino e, desse modo, procurar levar o seu aluno a
superar as dificuldades de aprendizagem em Matemática. É, portanto, motivo
de preocupação que refletir sobre esses dados não faça parte das discussões
entre os docentes da unidade.
Ao participar, em 2010, de um Projeto de Elaboração de Itens para
avaliação de larga escala, no qual, além de elaborar itens, deveria classificá-los
de acordo com o Marco Referencial da empresa, percebi as diferentes
variações que se podem introduzir em uma questão de Matemática para
detectar as habilidades colocadas em ação pelos alunos na tentativa de
amostra de alunos do 5º. e 9º.ano do Ensino Fundamental e 3ª.série do Ensino Médio são avaliados, enquanto que a ANRESC é censitária e aplicada aos alunos de 5º.ano e 9º.ano do Ensino Fundamental. Essas avaliações utilizam para elaboração de itens Matrizes de Referência elaboradas a partir dos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) e uma de suas finalidades é subsidiar governantes na administração de políticas públicas e melhorar a distribuição de recursos para a Educação Básica. Fonte: http://portal.inep.gov.br/web/prova-brasil-e-saeb/prova-brasil-e-saeb
22
resolvê-la. O Marco Referencial em questão fora elaborado com uma mescla
entre as matrizes de Referência do SAEB, ENEM2 e PISA.
Vale dizer que as avaliações externas evidenciam qual é a Matemática
que o aluno consegue disponibilizar ou acionar para resolver as situações
propostas. No entanto, uma prova objetiva tem seus limites, ou seja, ela não
possibilita avaliar todas as habilidades desenvolvidas pelo aluno. Por exemplo,
não se pode, por meio das questões objetivas das macroavaliações, identificar
habilidades tais como as de cálculo mental e de elaboração de propostas,
todavia os resultados da avaliação podem ser um referencial para subsidiar o
professor em sua prática pedagógica.
A partir dessas reflexões, me propus a pesquisar se professores de
Matemática analisam os resultados de uma avaliação externa para melhorar
sua prática pedagógica, se esses professores têm conhecimento de
classificações de itens com as quais poderiam ampliar sua forma de abordar os
conteúdos com o objetivo de impulsionar o letramento matemático dos alunos.
Iniciei o Mestrado em Educação Matemática na linha de pesquisa em
Formação de Professores que Ensinam Matemática, uma vez que meus
questionamentos estão vinculados a esse tema. Em particular, o problema a
ser investigado relaciona-se à avaliação da aprendizagem.
Para realizar a pesquisa, elegemos um conteúdo de Matemática contido
nos itens de avaliações externas e que tivesse um alto índice de erros. Ao
examinar os resultados das avaliações externas, contidos nos Relatórios
Pedagógicos do Saresp, mais precisamente ao analisar os itens, percebemos
que um dos conteúdos em que incidia o maior índice de erros era o de Álgebra,
motivo este que nos instigou a empreender esta investigação.
2 Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM foi criado em 1998 com a finalidade de avaliar o
desempenho do estudante ao término da Educação Básica, visando a colaborar com a melhoria da qualidade desse nível de escolaridade. A partir de 2009, alterou sua finalidade passando a ser também um instrumento de seleção para o ingresso ao ensino superior das Instituições Federais de Ensino Superior (IFES). Seus resultados podem ser utilizados como mecanismo de seleção para o ingresso no ensino superior de outras instituições, respeitando suas autonomias, podendo ser único instrumento ou em complementação dos processos seletivos destas instituições. O Enem é utilizado também para o acesso a programas oferecidos pelo Governo Federal, tais como o Programa Universidade para Todos – ProUni. Disponível em http://portal.inep.gov.br/web/enem/sobre-o-enem Acesso em 20 mar. 2012.
23
1.1 OBJETIVO
Esta pesquisa tem por objetivo investigar a compreensão evidenciada
por professores de Matemática relativa a resultados de avaliações externas
num contexto de formação continuada, envolvendo o Ensino de Álgebra, em
particular o de equações e sistemas de equações na Educação Básica.
1.2 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA
A pesquisa se inseriu em um projeto de Educação Continuada
desenvolvido pela SEESP – Secretaria de Estado da Educação de São Paulo –
em uma das Diretorias Regionais de Ensino, com professores de Matemática
da rede estadual de ensino. Esse projeto maior objetiva subsidiar a
implementação de um novo currículo para a Educação Básica no referido
estado. Em particular, a investigação foi desenvolvida em um módulo de
Álgebra, no qual foram discutidos conteúdos de Matemática dos materiais de
apoio ao trabalho docente no currículo atual3, assim como analisados
resultados de avaliações externas do Saresp (Sistema de Avaliação do
Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) para favorecer a socialização
dos conhecimentos didáticos para o ensino da Matemática.
Para atingir o objetivo, a pesquisa foi desenhada da seguinte forma:
1. Elaboração de um processo formativo, alojado em um módulo de
Álgebra incluindo estudos sobre resultados de avaliações
externas do Saresp em Matemática.
2. Desenvolvimento desse processo formativo com um grupo de
professores.
3. Análise das reflexões feitas por professores sobre Situações de
Aprendizagem contidas nos Cadernos dos Alunos e sobre itens
de avaliações externas do Saresp divulgados nas escolas da rede
pública estadual de São Paulo.
4. Análise das reflexões feitas por professores durante a criação e
classificação de itens de Álgebra.
3 Caderno do Aluno e Caderno do Professor – materiais da SEESP que contêm Situações de
Aprendizagem.
24
1.3 QUESTÃO DE PESQUISA
A seguinte questão é orientadora desta pesquisa:
Quais são as reflexões dos professores que emergem a partir da
análise de Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno e de itens
contidos em avaliações do Saresp relativos a equações e a sistemas de
equações?
1.4 JUSTIFICATIVA
As avaliações externas têm se configurado como um instrumento para
informar os níveis de aprendizagem dos alunos e para fornecer subsídios às
políticas públicas e às tomadas de decisões no âmbito da escola. Isso é válido
tanto para os gestores escolares quanto para os professores, para a
determinação de diretrizes e para a proposição de ações que visem à melhoria
(ou manutenção) dos resultados por elas apresentados.
O professor de Matemática da Educação Básica, hoje, no estado de São
Paulo, se depara com uma situação de implementação de um novo currículo, a
partir de 2008, com a consolidação dos sistemas de avaliações externas que
apontam em seus resultados e com baixo índice de rendimento em
Matemática. Esse novo contexto, que inclui uma nova metodologia para
ensinar e a instituição de metas para melhorar o rendimento dos alunos, pode
causar insegurança no professor para desenvolver o ensino de Matemática.
Para auxiliar o professor com esta nova metodologia de ensino, bem
como utilizar os resultados dos Relatórios das Avaliações Externas, em
particular o Saresp, como mais um aliado para impulsionar a melhoria do
ensino de Matemática, os processos formativos que discutam as avaliações
externas são necessários e, neles, a investigação sobre aspectos ligados às
diversas facetas que neles se apresentam. Nesse sentido, desenvolvemos esta
pesquisa.
Investigamos resultados de avaliações externas de Matemática da
Educação Básica e pesquisamos se professores que ensinam Matemática
analisam os resultados de avaliações externas, quais as percepções que têm
delas no sentido de impactar sua prática pedagógica e se esses professores
25
tinham conhecimento de classificações de itens4, com as quais poderiam
ampliar sua forma de abordar os conteúdos com os alunos com objetivo de
impulsionar o letramento matemático.
Quanto à revisão da literatura acadêmica e das pesquisas correlatas,
observou-se que a temática formação continuada e avaliações externas tem
sido foco de interesse em Educação Matemática nos últimos anos, contudo
ainda carece de investigações, especialmente em relação a pesquisas que
possam subsidiar ou contribuir para a formação de professores que ensinam
Matemática na Educação Básica. Uma pesquisa por nós analisada intitula-se
“Resultados de testes de larga escala: fonte de informações para a formação
de professores” (Marques, 2008a), a qual analisou o rendimento de alunos em
avaliações externas e a fragilidade dos professores ao lidar com os mesmos
conteúdos tratados nessas avaliações. Tal pesquisa não abordou a
classificação de itens como a nossa proposta.
Outra pesquisa nessa temática analisada por nós intitula-se “Práticas
avaliativas desenvolvidas por professores de matemática: novos desafios frente
aos resultados da avaliação externa na rede de ensino SESI/SP” (Santos,
2010), realizada na rede de ensino SESI/SP. A autora é Analista Pedagógica
de Matemática da Instituição e iniciou a introdução com um breve histórico da
rede de ensino SESI, relatou suas inquietações e questão de pesquisa. O
levantamento histórico sobre avaliação resgatou sua aplicação desde as
primeiras da História, que se torna uma coletânea significativa para
pesquisadores, seu interesse de pesquisa foi fazer um comparativo entre
avaliação interna aplicada pelos professores e avaliação externa, aplicada pela
rede SESI, comparando se itens apresentados na avaliação interna são
semelhantes aos apresentados na avaliação externa. Nessa pesquisa, não se
classificaram itens para compará-los ou para verificar se o professor tem
conhecimento da Matriz de Referência utilizada na elaboração destes itens. O
quadro teórico da pesquisa de Santos, relativo à avaliação interna e avaliação
externa, constitui-se a partir das pesquisas de Bauer (2008) – Uso dos
resultados do Saresp e formação de professores: a visão dos níveis centrais,
Buriasco e Soares (2008) – Avaliação de sistemas escolares: da classificação
4 Classificação a partir de critérios pré-estabelecidos, tais como habilidade envolvida,
competência, bloco de conteúdos etc. Tal questão está mais detalhada na seção 3.3.2.2.
26
dos alunos à perspectiva de análise de sua produção matemática, Carrasco e
Torrecilla (2009) – A avaliação das aprendizagens na América Latina.
Comportamentos e tendências do desempenho escolar dos estudantes latino-
americanos nos ensinos primário e secundário, Chueiri (2008) – Concepções
sobre avaliação escolar, Coelho (2009) – Vinte anos de avaliação da educação
básica no Brasil, aprendizagens e desafios e outros. Esta pesquisa difere da
feita por Santos (2010) quanto às discussões empreendidas na formação, por
exemplo, quanto à classificação de itens de avaliações externas do Saresp
pautada na Matriz de Referência do Saresp e análise de questões inseridas
nos Relatórios Pedagógicos do Saresp (2008 e 2009).
27
CAPÍTULO 2
Neste capítulo, é apresentada a metodologia utilizada para desenvolver
a pesquisa; e são descritos os procedimentos metodológicos e o perfil dos
sujeitos da pesquisa.
2 METODOLOGIA
Esta pesquisa caracteriza-se como qualitativa do tipo investigação-ação.
Segundo Bogdan e Biklen (1994), na investigação qualitativa, o investigador é
o instrumento principal no ambiente natural, analisando os dados de forma
indutiva e adotando estratégias e procedimentos de forma a considerar as
experiências de acordo com o ponto de vista do sujeito da investigação.
De acordo com esses autores são cinco as características da
investigação qualitativa, a saber:
(1) o ambiente natural é o principal instrumento do pesquisador e
propicia a fonte direta de dados, pois, mesmo que a coleta de dados seja com
notas de campo, gravações em áudio ou em vídeo, esses dados são revistos
pelo investigador, e este se torna o olhar fundamental da pesquisa. Para tanto,
é de primordial importância analisar o ambiente de ocorrência, relacionando-o
com o contexto em que o estudo se insere. Nossa pesquisa apresenta a
característica de ser desenvolvida no ambiente natural, no caso a Diretoria de
Ensino à qual os professores, sujeitos de pesquisa, pertencem;
(2) a pesquisa qualitativa é fundamentalmente descritiva, e nela não
podemos reduzir narrativas ou dados transcritos de áudios ou vídeos a simples
dados numéricos e sim mostrar (analisar), da forma mais elucidada possível, a
riqueza das informações coletadas. Em nossa pesquisa, vamos descrever o
processo formativo e também analisá-lo; assim sendo, a forma narrativa é a
que nos interessa e buscaremos citações para complementar e ou aprofundar
o estudo em questão, uma vez que cada detalhe desse objeto de estudo pode
indicar pistas que nos permitam esclarecer as questões de pesquisa;
(3) para o pesquisador, a essência está no processo de investigação
mais do que nos resultados, e este prioriza o que os professores percebem de
si próprios e de outros, ou seja, quando se trata de uma pesquisa qualitativa, a
prioridade está na forma como se desenvolvem as atividades em estudo, tanto
28
procedimentos como interações entre os objetos/sujeitos de estudo. Nesta
investigação nossos sujeitos são professores e buscamos compreender
algumas de suas percepções sobre a questão pesquisada; assim sendo, nossa
ênfase está no processo de investigação;
(4) o processo indutivo é muitas vezes utilizado na análise de dados, um
pesquisador só começa a esclarecer seus pressupostos à medida que coleta
seus dados e, em diversas vezes, ao analisar a coleta é que se estabelece ou
se inicia uma teoria sobre o fato estudado. Neste sentido, vamos estabelecer
um aporte teórico para fundamentar a análise dos dados;
(5) a atribuição de significado é essencial em pesquisa qualitativa, e o
pesquisador constrói estratégias que possibilitem compreender os pontos de
vista dos sujeitos pesquisados; o investigador tende a considerar as
expectativas e preocupações dos participantes da pesquisa. Nesse sentido,
para o investigador, a forma minuciosa do registro do objeto de estudo é de
suma importância para tornar a interpretação dos significados ou dos
resultados a mais clara possível. Nesse caso, a interação entre o investigador e
seus sujeitos de pesquisa dar-se-á de forma não neutra, pois cada um carrega
consigo seus pressupostos e suas crenças. Nesta pesquisa, teremos diversos
registros do objeto em estudo e temos a consciência de que nossa interação
não é neutra.
A pesquisa qualitativa, por sua vez, pode ser tipificada. Um dos tipos de
pesquisa qualitativa é a investigação-ação, na qual existe uma intervenção do
pesquisador na realidade, ou seja, o investigador está envolvido diretamente na
situação investigada. Em nossa pesquisa, houve uma solicitação da Diretoria
de Ensino para elaborar, juntamente com as Coordenadoras Pedagógicas das
Oficinas Pedagógicas, um Módulo de Álgebra para apresentar aos professores
uma nova metodologia por meio da utilização das Situações de Aprendizagens
contidas nos materiais de apoio da SEE-SP para implementação do novo
currículo do Estado. Para Bogdan e Biklen (1994: 292): “a investigação-acção
consiste na recolha de informações sistemáticas com o objectivo de promover
mudanças”. Entendemos que ocorre uma intervenção do pesquisador na
realidade. O investigador levanta hipóteses ou questões a investigar e se
envolve ativamente nessas causas, procurando, por meio de observações,
entrevistas, recorrência a documentos ou outros métodos qualitativos,
29
apresentar, da forma mais correta e fiel possível, o relato de suas descobertas.
Segundo os mesmos autores (1994: 296), “para os investigadores da
investigação-acção a objectividade significa ser honesto, recolher os dados na
fonte e obter as perspectivas de todas as partes envolvidas”.
O investigador que opta pela metodologia da investigação-ação pretende
investigar uma determinada situação ou um determinado fato para procurar
causas e documentá-las de forma consistente a fim de sugerir propostas de
mudanças dessa situação. A investigação-ação baseia-se nos depoimentos e
nas próprias palavras das pessoas, transcrevendo entrevistas ou gravações,
sejam elas em áudio ou em vídeo, tentando convencer pessoas para atuar na
remediação ou mudança da situação. Nosso estudo apresenta tais
características. Dessa forma, classificamo-lo como uma pesquisa qualitativa do
tipo investigação-ação.
2.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Esta pesquisa foi desenvolvida em duas fases, descritas a seguir:
Fase 1 – Pesquisa documental e construção do módulo de Álgebra
A primeira fase compreendeu a pesquisa de documentos tais como a
Matriz de Referência do Saresp bem como os Cadernos dos Alunos (CA) e
Cadernos dos Professores (CP), materiais de apoio da Secretaria Estadual da
Educação do Estado de São Paulo (SEE-SP).
A construção do módulo de Álgebra compreendeu a escolha de
atividades contidas nos materiais de apoio da SEE-SP para discussão no grupo
e seleção de itens dos Relatórios Pedagógicos do Saresp (2008/2009) com
baixo índice de acertos, para serem analisados.
Fase 2 – Pesquisa de Campo
Esta fase compreendeu o desenvolvimento do Módulo e a investigação
sobre as análises dos professores a respeito dos relatórios pedagógicos de
avaliações externas do Saresp e, além disso, a partir das análises dos
professores de itens de Álgebra, identificar as reflexões dos professores bem
como as sugestões de possíveis intervenções para um melhor
desenvolvimento do conteúdo.
30
O módulo de formação teve sessenta horas de duração, sendo oito
encontros presenciais semanais (24 h) e atividades a distância (36 h) com
pesquisa em ambiente virtual para complementar os estudos.
As atividades do módulo estão detalhadas na seção 4.2.
2.1.1 Coleta de Dados
Os seguintes instrumentos compuseram a coleta de dados:
1) questionário para levantamento de dados (Ver Apêndice A);
2) observação direta;
3) registros escritos pela pesquisadora sobre os encontros do grupo de
professores de Matemática, ao longo das oficinas sobre a temática
avaliação;
4) coleta dos materiais produzidos pelos sujeitos:
- protocolos das atividades desenvolvidas nos encontros;
- registros digitais diversos (gravação áudio, vídeo, fotos).
2.1.2 Análise de Dados
Os dados foram analisados de forma interpretativa e por triangulação.
A triangulação de dados, segundo Mathison (1988 apud Lobo da Costa,
2004: 129), é concebida como
uma estratégia que possibilita a comparação entre diferentes caminhos – métodos de coleta de dados (triangulação de metodologias), dados (triangulação de dados), teorias (triangulação de teorias) ou pesquisadores (triangulação de pesquisadores) – com o objetivo de identificar e analisar incoerências, contradições ou pontos comuns, alcançando uma visão mais ampla do objeto de estudo. Dessa forma, ela tanto permite evidenciar incoerências, contradições e pontos fracos de informações obtidas, quanto dar solidez às informações confirmadas. Como afirma Mathison: “Utilizamos não somente resultados convergentes, mas também resultados inconsistentes e contraditórios em nossos esforços para compreender o fenômeno social”. Para essa autora, o valor da triangulação não está em ser uma solução tecnológica para uma coleção de dados e problemas de análises, e sim, em ser uma técnica que proporciona mais e melhores evidências com as quais os pesquisadores podem construir proposições significativas sobre o mundo social.
Em nosso estudo, triangulamos as informações coletadas.
Quanto ao processo de categorização, segundo Fiorentini e Lorenzato
(2007), são três os tipos possíveis de categorização de dados, sendo que o
31
primeiro é relativo ao estabelecimento a priori das categorias, ou seja, o
pesquisador as estabelece a partir do referencial teórico; o segundo tipo se
refere às categorias que emergem do contexto de pesquisa, isto é, são
detectadas após a coleta de dados; e o terceiro tipo é o misto, as categorias
são obtidas no “confronto entre o que diz a literatura e o que se encontra nos
registros de campo” (Fiorentini E Lorenzato, 2007: 135).
Para a análise dos dados nesta pesquisa, não foram estabelecidas a
priori categorias de análise, consideramos as reflexões emergentes das
discussões ao longo dos encontros de formação, dos registros escritos pelos
sujeitos sobre os itens e de suas produções sobre ensino de equações e
sistemas de equações feitas a partir das análises dos itens do Saresp. Dessa
forma, entendemos que a categorização dos dados pode ser considerada no
terceiro tipo, na acepção de Fiorentini e Lorenzato (2007).
2.2 SUJEITOS DE PESQUISA
Para traçar o perfil dos sujeitos da pesquisa foi analisado o questionário
que está na íntegra no Apêndice A, o qual teve por objetivo levantar as
características individuais do grupo.
O Módulo de Álgebra foi oferecido a 22 professores da rede pública de
ensino do Estado de São Paulo, sendo que nossos sujeitos de pesquisa são 16
professores de Matemática que participaram de todos os encontros do módulo
de formação, dos quais 6 são homens e 10 são mulheres, todos residentes na
Zona Norte da cidade de São Paulo, com licenciatura plena em Matemática,
sendo uma professora em universidade pública e os demais em universidades
particulares. Um professor, antes da licenciatura, fez a graduação em
Engenharia. Quanto ao tempo de exercício na docência, temos 2 professores
até um ano, 6 professores de 5 a 10 anos, 6 professores de 11 a 20 anos e 2
professores com mais de 20 anos. Deste grupo, 4 fizeram curso de
Especialização e, quanto ao nível de ensino em que trabalha, 6 professores
trabalham somente com o Ensino Fundamental, um professor somente com
Ensino Médio e 9 professores com Ensino Fundamental e Médio.
32
O quadro abaixo apresenta um resumo do perfil dos professores.
Quadro 1: Tabulação do questionário para caracterização dos sujeitos
Questionário
Formação acadêmica Situação Profissional atual
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AP F Sim particular 1 Não menos de 1 ano
menos de 1 ano
EF e Médio
CG F Sim particular 30 Não 31 8 EF e Médio
CL F Sim particular 22 Sim 15 11 EF e Médio
DN M Sim particular 4 Não 5 menos de 1 ano EF
EL F Sim pública 15 Não 14 9 EF e Médio
FB F Sim particular 1 Não menos de 1 ano
menos de 1 ano
EF
FT F Sim particular 32 Não 28 11 EF e Médio
HQ M Sim particular 18 Sim 18 5 EF
MA M Sim particular 33 Sim 14 1 EM
MS M Sim particular 8 Não 7 4 EF e Médio
MC F Sim particular 4 Não 6 1 EF e Médio
PL M Sim particular 10 Não 8 7 EF
RM M Sim particular 4 Não 6 2 EF
SR F Sim particular 21 Sim 6 2 EM
SU F Sim particular 26 Não 19 16 EF
TN F Sim particular 14 Não 17 14 EF e Médio
Fonte: Acervo próprio
Uma das questões do questionário relacionava-se ao aprendizado de
Álgebra. Dez professores afirmaram que seu aprendizado em Álgebra foi
regular quando estudantes da Educação Básica e nove professores afirmaram
que seu aprendizado em Álgebra foi regular na graduação. Todos os
professores deste grupo relataram que, quando alunos, não vivenciaram aulas
de Álgebra com recursos didáticos diferenciados. Nove dos professores do
grupo afirmaram não ter dificuldades para ensinar Álgebra.
Outra questão referia-se às principais dificuldades dos alunos durante o
processo de aprendizagem de Álgebra. As respostas se referiram a dúvidas
33
para entender o significado das letras e de seu uso, dúvida na resolução de
equações, além de distinção entre letras e números na mesma equação (Ver
quadro no Apêndice F).
Em relação à pergunta do questionário sobre quais os procedimentos
adotados pelos professores para melhorar o rendimento escolar dos alunos em
Matemática, obtivemos respostas bem variadas, dentre elas:
I. questões do cotidiano;
II. exercícios exemplares;
III. diversificar exercícios e História da Matemática;
IV. recuperação contínua.
Para responder à questão sobre o que os professores priorizam quando
corrigem uma avaliação, houve a predominância de respostas indicativas de
que eles privilegiam o raciocínio lógico e o desenvolvimento da resolução dos
problemas propostos.
Quanto à questão sobre avaliação externa, doze professores afirmaram
que preparam os alunos para participarem do Saresp e Prova Brasil.
Perguntamos, no questionário, se são discutidas nas Reuniões
Pedagógicas os resultados das avaliações externas. Cinco professores
disseram que não; e, entre os demais que afirmaram que sim,
dois apenas disseram “sim”;
três afirmaram que discutem as dificuldades e propostas para o
ano subsequente;
cinco afirmaram que os coordenadores pedagógicos expõem
índices da escola e mostram aos professores onde os alunos
apresentaram deficiência de aprendizagem e solicitam um
reforço, uma retomada do conteúdo ou os professores verificam
qual a forma mais apropriada para recuperação.
Questionamos se os professores discutem nas Reuniões Pedagógicas a
Matriz de Referência do Saresp, sendo que onze professores afirmaram que
não.
A última questão investigou a opinião dos professores sobre os
conteúdos que os alunos teriam facilidade e aqueles em que teriam dificuldade
nas avaliações externas. As respostas foram muito diversificadas. Quanto às
facilidades, foram mencionadas geometria plana (7 respostas), cálculos
34
numéricos (3 respostas), equações e funções (2 respostas), números e
operações (2 respostas). Quanto às dificuldades, a resposta mais frequente foi
álgebra (5 respostas), seguida por frações (3 respostas), leitura e interpretação,
geometria plana, probabilidade, trigonometria e análise combinatória, todas
essas últimas com 2 respostas. (A íntegra das respostas está no quadro do
Apêndice G).
Pela análise do questionário de levantamento de perfil, percebemos que,
embora diversos dos professores tenham afirmado não sentir dificuldades no
ensino de álgebra, a resposta mais frequente quanto à dificuldade dos alunos
nas avaliações externas foi justamente em questões de álgebra.
35
CAPÍTULO 3
3 FUNDAMENTAÇÃO
Neste capítulo, é apresentada a fundamentação teórica que embasa
esta pesquisa, a qual foi dividida em três partes: Formação Continuada e os
Processos Reflexivos, Ensino de Álgebra na Educação Básica e Avaliação no
Campo Educacional.
3.1 FORMAÇÃO CONTINUADA E OS PROCESSOS REFLEXIVOS
Como um professor consegue ensinar algo que não aprendeu? Como o
professor aprende a aprender? E como, aprendendo, aprende a ensinar? Essa
não é só uma de nossas inquietações. Já nos anos de 1980, Shulman (1986)
se deparava com estes questionamentos:
Como o professor se prepara para ensinar algo que nunca aprendeu? Como que a aprendizagem para o ensino deve ocorrer?...Como o professor toma um texto e transforma o seu entendimento sobre ele, em uma instrução que os alunos possam compreender?(tradução livre)
Shulman (1986) constatou, na década de 1980, que as pesquisas
desenvolvidas na área da formação docente versavam predominantemente
sobre a prática docente, estudavam o ato de ensinar ou, então, como os alunos
aprendiam e não havia pesquisa sobre o conhecimento do professor. Foi
observado, também, por sua equipe que, nas provas para admissão de
professores, em currículos de cursos de formação de professores e outros
documentos, não havia ênfase no conhecimento do professor. Shulman
percebeu que não havia pesquisas que apontassem como o professor
transforma o que aprendeu nas séries iniciais ou na graduação em algo que dê
condições para que outros aprendam ou como o professor ensina algo que não
aprendeu? Com essa preocupação, o autor desenvolve uma pesquisa sobre o
conhecimento do professor, pois, para ensinar, deveria saber o conteúdo a
ensinar e chama esse elo esquecido entre o saber e o saber ensinar de
paradigma perdido.
36
Esse estudo levou Shulman a desenvolver, em 1987, a teoria knowledge
base ou base de conhecimentos, que um professor deverá articular para
promover o ensino, ou seja, quais conhecimentos e como são utilizados para
propiciar a aprendizagem do aluno. Este autor divide em categorias esses
conhecimentos que compõem os saberes docentes:
conhecimento do conteúdo específico a ser ensinado;
conhecimento pedagógico geral;
conhecimento do currículo a ser trabalhado;
conhecimento pedagógico do conteúdo disciplinar;
conhecimento dos alunos e de suas características cognitivas;
conhecimento dos contextos educacionais;
conhecimento dos fins, propósitos e valores educacionais.
Essas categorias foram agrupadas por Shulman em:
conhecimento do conteúdo específico;
conhecimento pedagógico do conteúdo;
conhecimento curricular.
O Conhecimento do conteúdo específico requer não apenas o
conhecimento do conteúdo; mas, além disso, uma compreensão das estruturas
da disciplina que devem lecionar. Segundo Shulman (1986),
...os professores devem não apenas ser capazes de definir para os estudantes as verdades aceitas em um domínio. Eles devem também ser capazes de explicar por que uma proposição particular é considerada justificada, porque vale à pena conhecer, e como se relaciona com outras proposições, tanto no âmbito da disciplina ou fora dela, tanto na teoria quanto na prática.
5 (tradução livre)
A partir dos dizeres do autor, fica evidente que, por exemplo, no caso de
ensino de álgebra, as estruturas devem ser conhecidas pelo professor para que
ele consiga articular seu conhecimento e desenvolver a aprendizagem do aluno
de formas variadas.
5 …Teachers must not only be capable of defining for students the accepted truths in a domain.
They must also be able to explain why a particular proposition is deemed warranted, why it is worth knowing, and how it relates to other propositions, both within the discipline and without, both in theory and in practice.(p.9)
37
Conhecimento Pedagógico do conteúdo engloba não apenas o
conhecimento do objeto, mas estabelecer uma maneira de compreensão para
os outros, utilizando-se de diversas formas para representar aquele conceito
que se quer ensinar, seja um esquema, exemplos, ilustrações, demonstrações
e decidir qual deles utilizar e o momento certo de fazê-lo. Essas decisões vêm
de um processo contínuo de investigação, e outras se originam no aprendizado
com a prática docente. Os alunos, por diversas vezes, apresentam distorções
na aprendizagem de conteúdos e, por meio desse conhecimento pedagógico
do conteúdo, o professor, utilizando estratégias, poderá propiciar uma
reorganização dessas ideias e oferecerá condições para reverter tal situação.
Conhecimento curricular. Além do conhecimento do currículo da
disciplina, o que o aluno aprendeu antes e o que deverá aprender depois
(conhecimento vertical do currículo), o professor deveria conhecer o que seu
aluno está aprendendo em outras disciplinas (conhecimento lateral do
currículo). Isso, provavelmente, os professores não aprendem em sua
formação inicial. Esse conhecimento curricular pode ser dividido em dois
momentos: o conhecimento curricular lateral trata de relacionar o conteúdo
ensinado com os conteúdos que estão sendo abordados simultaneamente em
outras disciplinas e o conhecimento curricular vertical, em que relaciona o
conteúdo com o que o aluno aprendeu em séries anteriores e o que aprenderá
em séries posteriores.
Shulmam (1986) classifica, ainda, as formas para representar esse
conhecimento do professor em três categorias: o conhecimento proposicional,
o conhecimento de caso e o conhecimento estratégico.
O conhecimento proposicional ou proposições são as fontes de
conhecimento sobre o ensino, relaciona-se com a pesquisa empírica ou
filosófica, experiência na prática, com a moral ou ética. Esse conhecimento
proposicional pode ser dividido em três tipos, que são princípios (pesquisa
empírica), máximas (sabedoria acumulada na prática, são difíceis de
demonstrar) e normas (moral, éticas, compromissos ideológicos).
Para complementar esses conhecimentos, necessita-se do
conhecimento de caso, que é o conhecimento de eventos específicos. Para
tanto, deverá ser bem documentado e minuciosamente descrito. Este se divide
em três tipos: protótipos (visando a exemplificar princípios), teóricos (visando a
38
exemplificar boas práticas ou máximas) e parábolas (transmitir normas ou
valores).
O conhecimento estratégico entra em jogo quando o professor precisa
enfrentar situações em que conflitam os princípios teórico, prático e moral; e
nenhuma solução simples é possível, quando há contradições ou quando
conhecimento de casos não se aplica. Decisões são necessárias, aplicando
todo o conhecimento adquirido, transformando-o em uma forma a modificar tal
situação de forma favorável ao ensino.
Ball et al (2008), apoiados na teoria de Shulman (1986), desenvolveram
pesquisa enfocando o trabalho de ensinar, ou seja, iniciam a pesquisa
preocupados com as tarefas envolvidas em ensinar e as necessidades
matemáticas disponibilizadas para permitir que essas tarefas sejam condutoras
na construção do conhecimento dos estudantes. Nesse estudo, Ball et al
perceberam que pouco se sabia sobre o conhecimento do conteúdo
matemático do professor, se esse era suficiente para o ensino e como torná-lo
útil na prática da docência.
Com o objetivo de analisar o conhecimento do campo específico do
professor de Matemática, Ball et al (2008) apresentam a Teoria do
Conhecimento para o Ensino de Matemática. Nesse estudo, a autora apresenta
os domínios necessários para o ensino de Matemática. Separa inicialmente em
dois domínios: o conhecimento do conteúdo da disciplina (conhecimento
matemático) e o conhecimento pedagógico do conteúdo matemático.
O conhecimento do conteúdo da disciplina (conhecimento matemático
do professor) é o conhecimento que vai muito além de aplicar definições e
procedimentos matemáticos acabados, rígidos na sua forma, mas propicia ao
aluno a descoberta e construção do seu próprio conhecimento.
A autora subdivide esse conhecimento do conteúdo da disciplina em três
vertentes (Figura 1):
Conhecimento do Conteúdo Comum (Common Content Knowledge –
CCK) refere-se ao conhecimento do conteúdo matemático do Ensino
Básico – a Matemática Escolar, ou seja, o conhecimento que todos
deveriam ter da Matemática, independente de ser professor ou não.
Um exemplo desse conhecimento seria a compra em uma loja de
determinada mercadoria com um desconto de 10%.
39
Conhecimento Especializado do Conteúdo (Specialized Content
Knowledge – SCK) refere-se ao conhecimento matemático para quem
ensina, por exemplo, identificar por que um aluno, ao calcular 23,
responde 6 e não 8, verificar que, para ensinar potenciação, 22 não é
um bom exemplo, pois induz ao erro mostrado anteriormente. Em
suma, é um conhecimento matemático que só se refere a quem ensina.
Conhecimento do Horizonte do Conteúdo (Horizon Content Knowledge
– HCK) refere-se ao conhecimento matemático ordenado e saber que o
que é ensinado se conectará a outros conteúdos mais à frente.
No que se refere ao conhecimento pedagógico do conteúdo
(conhecimento didático), considera-se uma adaptação do Conhecimento
Matemático para o Ensino, em que o professor escolhe e prepara tarefas e
materiais mais adequados para o ensino de cada conteúdo, levando em
consideração o conhecimento que seus alunos têm e o conhecimento sobre as
formas com que seus alunos aprendem.
A autora subdivide esse conhecimento em três;
Conhecimento do Conteúdo e Estudantes (Knowledge of Contend and
Students – KCS) refere-se ao conhecimento do conteúdo no sentido de
auxiliar o aluno em suas dificuldades, saber apontar a dificuldade do
aluno e, assim, auxiliá-lo para que obtenha tal conhecimento.
Conhecimento do Conteúdo e Ensino (Knowledge of Content and
Teaching – KCT) refere-se ao conhecimento que torna mais fácil ou
mais difícil o ensino de determinado conteúdo, a tomada de decisão
para encontrar a forma como será desenvolvido um conteúdo.
Conhecimento do Conteúdo e Currículo (Knowledge of Content and
Curriculum – KCC) refere-se ao conhecimento do conteúdo e sua
distribuição ao longo do currículo escolar, inclui não somente o
conhecimento do conteúdo a ser desenvolvido naquela série ou ano;
mas, também, de situar em que momento aquele conteúdo está
relacionado com o currículo, seja na forma vertical ou horizontal e
também as formas pelas quais serão propostas atividades para que
esse conteúdo seja aprendido.
40
Figura 1 – Domínios necessários para o ensino de Matemática. Fonte: acervo próprio, adaptado de Ball et al (2008).
Nossa pesquisa, ao analisar as reflexões dos professores a partir da
análise de itens, colocará em jogo esses conhecimentos.
Quanto à formação continuada de professores de Matemática, Serrazina
(2010) afirma que o processo formativo deve ser apoiado em alguns princípios
tais como:
valorizar o desenvolvimento profissional do professor, pois este possui
um conhecimento profissional específico, único, incorporado ao longo do tempo
que leciona, acumulando experiências a cada turma de alunos e atualizações e
aprofundamento à medida que encontra novas situações;
valorizar a formação matemática de qualidade para o professor, para
que este possa adquirir um conhecimento matemático de qualidade para
subsidiar seu trabalho de tal forma que consiga articular esse conhecimento a
favor de um ensino de qualidade, para que seja capaz de reconhecer onde e
em que momento os alunos apresentam dificuldades durante o processo de
ensino e possa auxiliá-lo na construção do conhecimento;
valorizar o desenvolvimento curricular em Matemática, uma vez que,
para o ensino de Matemática, o professor deve articular sua capacidade de
analisar e interpretar o currículo, propiciando a construção de estratégias a fim
de aplicá-las para proporcionar aos alunos experiências que sejam
significativas para que promovam a aprendizagem.
41
Daí ser essencial o investimento intencional numa preparação/planificação e leccionação cuidadas, orientada por uma visão integrada das várias componentes curriculares (objectivos, conteúdos, tarefas, métodos de trabalho e avaliação), que contemple a reflexão sobre as implicações nas aprendizagens — ou seja, uma prática continuada de desenvolvimento curricular. (Serrazina, 2010: 6);
reconhecer as práticas de sala de aula dos professores como ponto de
partida da formação, visto que cada professor tem a sua experiência, que é
única, no que se refere a preparação, condução e avaliação de cada situação
de ensino e aprendizagem de conteúdos de Matemática. Deve-se levar em
consideração suas reflexões antes, durante e após cada ação, que auxiliem a
detectar os fatores de sucesso ou apontar os pontos em que os alunos
apresentam dificuldades para auxiliá-los nesses momentos.
considerar as necessidades concretas dos professores relativamente às
suas práticas curriculares em Matemática, pois, ao propor uma formação, é
fundamental contemplar as demandas dos professores. Para que isso ocorra, é
preciso o reconhecimento tanto de suas potencialidades quanto de suas
fragilidades, para que se possa, por meio do diálogo, chegar a um consenso
sobre o que é prioritário à formação.
No processo formativo que serve de cenário para esta pesquisa,
procuramos contemplar os princípios indicados por Serrazina, entendendo que,
a partir disso, podemos criar condições favoráveis para as reflexões sobre os
conteúdos matemáticos abordados.
Outra questão que salientamos quanto à formação continuada refere-se
à profissão docente. Entendemos, segundo Imbernón (2000: 26), que “o
conceito de profissão não é neutro, nem científico, mas é produto de um
determinado conteúdo ideológico e contextual; uma ideologia que influencia a
prática profissional”.
Segundo Imbernón (op. cit.: 15), é necessário que se redefina a
docência como profissão. Essa profissão precisa mudar a concepção de
enxergar o professor como mero transmissor do conhecimento acadêmico e,
mudando essa visão, entender o conhecimento como algo em construção,
passível de mudanças e que a educação tem um compromisso político no que
tange a valores éticos e morais. Quando se propõe a realizar uma formação,
deve-se ter como princípio que não se pode pensar apenas numa mera
42
atualização científica; mas, além disso, propiciar o desenvolvimento de
capacidades reflexivas em grupo, e abrir caminho para uma verdadeira
autonomia profissional compartilhada.
Para o autor, quanto à formação,
a aquisição de conhecimentos por parte do professor está muito ligada à prática profissional e condicionada pela organização da instituição educacional em que é exercida. Por isso é tão importante uma formação na instituição educativa, uma formação no interior da escola (op. cit.: 15).
Para tanto, um processo formativo deve proporcionar o desenvolvimento
de uma prática reflexiva competente. Além disso, uma formação permite que
cada membro do grupo seja responsável tanto por sua aprendizagem como
pela dos demais. (Imbernón, 2000: 61). Cada professor socializa seu
aprendizado, suas reflexões com todos do grupo. A formação deve favorecer
um momento para reflexão sobre o novo conhecimento e a prática pedagógica.
De acordo com Perrenoud (2002: 119) “uma concepção coerente da
formação de profissionais reflexivos não pode ignorar a análise de práticas
como modelo e possível contexto da reflexão profissional”. Para o autor, a
reflexão é intrínseca ao ser humano, mas não é a essa reflexão que ele se
refere. No caso, a prática reflexiva na profissão nem sempre ocorre de forma a
transformar a realidade ou os métodos de trabalho, ela precisa tornar-se um
hábito. Para tanto, uma possibilidade é a de o professor reunir-se com grupos
de análise para a discussão das práticas, porque, dessa maneira, ele pode
quebrar o isolacionismo. A reflexão sobre a própria prática, quando feita
apenas pelo professor, pode não levar a constatações relevantes para
impulsionar a prática.
Vale ressaltar que uma formação pode fornecer a possibilidade de
discussões no grupo, instigando as reflexões e lançando questões para que
cada componente possa relatar suas experiências práticas, compartilhando-as,
de modo que o grupo possa fornecer apoio, validando determinadas práticas e
refutando outras. As reflexões em grupo auxiliam a tarefa de refletir sobre a
própria prática.
43
3. 2 ENSINO DE ÁLGEBRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Nesta seção, discutimos a presença da álgebra na Educação Básica,
com as diferentes concepções contempladas e, em particular, a álgebra no
Currículo Oficial do Estado de São Paulo.
A Educação Básica no Brasil, segundo a Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional, LDB – Lei 9394 (Brasil, 1996), compreende a Educação
Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio.
O artigo 22 da LDB explicita a finalidade da Educação Básica que é
“desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação comum indispensável para
o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir no trabalho e
estudos posteriores”.
O Ensino Fundamental tem por objetivo a formação básica do cidadão, e
o Plano Nacional de Educação (PNE – Lei 10.172/2001) determina o ensino
obrigatório a todas as crianças de 7 a 14 anos. O artigo 32 da LDB, alterado
pela Lei 11.274 (Brasil, 2006), estabelece a duração mínima de nove anos,
obrigatória e gratuita na escola pública. O PNE indica, também, a ampliação da
obrigatoriedade para crianças de seis anos na Educação Infantil ou no Ensino
Fundamental e a progressiva extensão do acesso ao Ensino Médio a todos os
jovens que completarem o Ensino Fundamental.
O Ensino Médio, que é etapa final da Educação Básica pelo artigo 35 da
LDB, deve ter a duração mínima de três anos e tem, entre outros, o objetivo de
consolidar e aprofundar os conhecimentos construídos no Ensino Fundamental.
3.2.1 A Álgebra no Currículo
Para situar como o ensino de Álgebra apresenta-se atualmente no
currículo, recorremos ao estudo de Araujo (2004) que conta o caminho que o
ensino de álgebra percorreu desde sua inserção no currículo no Brasil até os
dias atuais.
De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), desde 1799, momento em que a álgebra passa a fazer parte do currículo no Brasil, até início da década de 1960, prevaleceu um ensino de caráter reprodutivo, sem clareza, em que tudo era essencial. A matemática escolar apresentava-se dividida em compartimentos estanques. Primeiro estudava-se a aritmética, depois a álgebra e, em seguida, a geometria. Neste período, segundo esses autores, a álgebra
44
apresentava um caráter mais instrumental, útil para resolver equações e problemas. (p. 1)
A autora aponta a importância dada a esse conteúdo no currículo de
Matemática e como a álgebra foi tratada de instrumental, útil para resolução de
problemas, passando ao rigor a partir do Movimento da Matemática Moderna
(MMM), que valorizou o formalismo; e, muitas vezes, as estruturas rígidas
tornavam-se sem significado para o aluno, perdendo o seu valor para a
resolução de problemas.
O ensino da álgebra recebeu um maior rigor e assumiu uma acentuada preocupação com os aspectos lógico-estruturais dos conteúdos e a precisão da linguagem. Em consequência, a álgebra perdeu o seu caráter pragmático, útil para resolver problemas. O programa de álgebra, então, começava pelo estudo da teoria de conjuntos e a ênfase era colocada nas operações e nas suas propriedades. (p.3)
A álgebra passou na época a ocupar um lugar de destaque tendo uma
preocupação exacerbada com a precisão da linguagem. Esse exagero de
linguagem dominou o ensino de Matemática em período no qual a geometria foi
deixada de lado.
A partir da segunda metade da década de 1970, com o declínio do
MMM, procurou-se retomar um ensino de álgebra mais centrado em sua
finalidade de resolução de problemas, com uma conotação de desenvolver nos
alunos a percepção do potencial da álgebra como ferramenta para o
enfrentamento de situações problemas. Contudo, quinze anos depois, no início
da década de 1990, embora os conteúdos algébricos ocupassem muito espaço
nos materiais didáticos para a Educação Básica, pesquisadores, tais como
Miguel, Fiorentini e Miorim (1992 apud Araujo, 2004) alertaram que o ensino de
álgebra ainda se concentrava no desenvolvimento de procedimentos e em
promover o aprendizado e a memorização de regras de manipulação de
expressões.
Ressaltamos, aqui, esse contexto para tentar justificar, mas sem tornar
uma teoria, que os professores que ensinam Matemática, hoje, tiveram sua
formação, seja no nível básico ou na graduação, a partir da década de 60 e
aprenderam álgebra com esse rigor, uns mais outros menos, mas sempre de
forma técnica, sem significado.
45
Atualmente, continua-se a tentar recuperar o potencial instrumental da
álgebra para a resolução de problemas, com a preocupação de levar o aluno a
dar significado a seu ensino. Como alerta Araújo (2004: 8),
o que ocorre em grande escala no ambiente escolar é encontrar alunos que se frustram e não conseguem ter um desempenho satisfatório nas aulas de Matemática, pois muitas vezes não veem sentido na sua aprendizagem. Como cita Orton (1990, p.12), "é possível que não entendendo a matemática, os alunos se sintam frustrados, experimentem ansiedade e cheguem a rechaçar a matemática como atividade significativa e valiosa".
A álgebra tem diversas concepções, incluindo a arte de manipular letras
usando regras, passando pela generalização de uma propriedade, uso de uma
fórmula, uma equação, até a ideia de variável.
Sobre as concepções de álgebra na Educação Básica, Usiskin (1995)
propõe uma categorização a partir dos diferentes usos das variáveis algébricas.
A primeira concepção nessa categorização diz respeito a entender
álgebra como generalização da aritmética e nela considerar as variáveis como
generalizadoras de modelos. As variáveis desempenham papel fundamental ao
generalizar modelos, o que é especialmente útil na modelagem matemática e
em níveis mais avançados de ensino. O autor enfatiza que, nessa concepção,
as instruções-chave dadas ao aluno são “traduzir” e “generalizar”, isto é, passar
da linguagem natural (língua materna) para a algébrica e descrever as relações
de modo que elas não dependam de valores particulares.
A segunda concepção é de álgebra como o estudo de procedimentos
para resolver problemas. A diferença principal entre essa concepção e a
anterior é que, na concepção de álgebra como generalizadora de modelos, não
existem incógnitas, são generalizadas as relações entre números etc. enquanto
que, na concepção de álgebra como estudo de procedimentos, o conceito de
incógnita é fundamental. As variáveis são incógnitas ou constantes nessa
concepção, e as instruções-chaves são “simplificar” e “resolver”. No caso, há
semelhança entre essas duas instruções-chave, uma vez que o processo de
simplificação leva, por vezes, à resolução.
A terceira concepção é a álgebra como estudo de relações entre as
grandezas. Nessa concepção, a variável é um argumento ou um parâmetro. O
autor ressalta que só nessa concepção surge a noção de variável
46
independente e variável dependente. Nessa concepção, as instruções-chave
são “relacionar” e “fazer gráficos”.
A quarta e última concepção, segundo Usiskin, é a de álgebra como
estudo das estruturas. Nela, a variável é vista como um objeto arbitrário de
uma estrutura estabelecida por certas propriedades. A álgebra é vista como o
estudo das estruturas como grupos, anéis, domínios de integridade, corpos e
espaços vetoriais. Nessa concepção, as instruções-chave são as de “teorizar” e
“manipular”.
O quadro abaixo resume as concepções e as instruções-chave de cada
uma delas.
Quadro 2: As Concepções de Álgebra e o uso das variáveis
Concepção Instruções-chave
1 Álgebra como aritmética generalizada Traduzir e generalizar
2 Álgebra como estudo de procedimentos para resolver problemas
Simplificar e resolver
3 Álgebra como estudo de relações entre grandezas
Relacionar e fazer gráficos
4 Álgebra como estudo das estruturas Teorizar e manipular
Fonte: Acervo próprio, adaptado de Usiskin (1995) p. 9-22.
3.2.2 O que é ensinado na Educação Básica
As orientações para a composição do currículo na Educação Básica nas
escolas brasileiras vêm de documentos tais como os Parâmetros Curriculares
Nacionais, PCN (Brasil, 1998), os PCN do Ensino Médio, PCNEM (Brasil, 1999)
e os PCN + Ensino Médio (Brasil, 2002).
Os PCN (Brasil, 1998) de Matemática do Ensino Fundamental enfatizam
que o ensino de álgebra, nessa fase, deve proporcionar ao aluno o
desenvolvimento da capacidade de abstração e generalização bem como
propiciar a obtenção de uma ferramenta para auxiliá-lo a resolver problemas.
Destaca-se que, em relação à aprendizagem da álgebra, é indispensável que o
aluno esteja envolvido em atividades que inter-relacionem as diferentes
concepções da álgebra.
Com relação às concepções da álgebra no Ensino Fundamental, os PCN
destacam as seguintes dimensões da álgebra escolar quanto ao uso das letras:
47
como Aritmética Generalizada, Funcional, Equações e Estrutural, descritas de
forma simplificada a seguir:
(1) A Álgebra como Aritmética Generalizada utiliza letras como
generalizações do modelo aritmético como, por exemplo, nas propriedades das
operações e generalizações de padrões aritméticos.
(2) A Álgebra Funcional utiliza letras como variáveis para expressar
relações e funções, variação de grandezas.
(3) A Álgebra das Equações usa letras como incógnitas para resolver
equações.
(4) A Álgebra Estrutural usa letras como símbolo abstrato em cálculo
algébrico e obtenção de expressões algébricas equivalentes.
Notamos que, quanto ao Ensino da álgebra escolar, os PCN estão em
consonância com as ideias de Usiskin, apontando as concepções de álgebra
como aritmética generalizada, álgebra como estudo de procedimentos para
resolver problemas, álgebra como estudo de relações entre grandezas e
álgebra como estudo das estruturas.
Os PCN de Matemática do Ensino Fundamental destacam que
os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar “abstratamente”, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho articulado com a Aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados. (Brasil, 1998, p.117)
O documento menciona que a escola, além dos domínios de conceitos,
deve promover o desenvolvimento de atitudes e valores por meio de atividades
que envolvam os alunos. Para tanto, é preciso que se instale uma nova postura
metodológica. Enfatiza-se que, embora seja difícil essa mudança ocorrer, pois
hábitos enraizados precisam ser modificados, é necessário que ela ocorra.
Para tanto, indicam que a escola receba apoio científico e educacional das
universidades nesse processo.
Quanto ao Ensino Médio, os PCNEM (Brasil, 2000) destacam que os
alunos, nessa fase escolar, devem aprofundar seus conhecimentos de álgebra,
mas não de forma isolada e sim envolta na resolução de problemas e sempre
resgatando a importância desse ensino sobre a perspectiva sócio-histórica de
48
sua origem. Os conteúdos de álgebra e de números “estão diretamente
relacionados ao desenvolvimento de habilidades que dizem respeito à
resolução de problemas, à apropriação da linguagem simbólica, à validação de
argumentos, à descrição de modelos e à capacidade de utilizar a Matemática
na interpretação e intervenção no real.” (p.44)
3.2.2.1 A Álgebra no Currículo do Estado de São Paulo
Nas escolas públicas do Estado de São Paulo, a partir de 2008, foi
implantado um novo Currículo, o qual procura mudar a abordagem dada à
álgebra, interligando-a com os demais conteúdos de Matemática.
De acordo com o proposto pelos PCN, os conteúdos são divididos em
três áreas: Linguagens e Códigos, Ciências Humanas, Ciências da Natureza e
Matemática; e neles justifica-se a inclusão da Matemática nessa última da
seguinte forma:
A presença da Matemática nessa área se justifica pelo que de ciência tem a Matemática, por finalidade com as Ciências da Natureza, na medida em que é um dos principais recursos de constituição e expressão dos conhecimentos destas últimas, e finalmente pela importância de integrar a Matemática com os conhecimentos que lhe são mais afins. Esta última justificativa é, sem dúvida, mais pedagógica do que epistemológica, e pretende retirar a Matemática do isolamento didático em que tradicionalmente se confina no contexto escolar (PCNEM, Parte I, Bases Legais, 2000: 93).
No entanto, no Currículo Oficial do Estado de São Paulo (SEESP, 2010),
consta que, após estudos e discussões sobre em qual área a Matemática
deveria incluir-se, tanto em Linguagens e Códigos, por compor com esta “o par
de sistemas fundamentais para a representação da realidade, para a
expressão de si e compreensão do outro, para a leitura em sentido amplo”
(p.25) como em Ciências da Natureza, por exemplo, pela ligação com a Física,
decidiu-se então pela constituição de uma área própria para a Matemática e
justifica-se com três razões principais:
1ª) a incorporação da Matemática tanto pela área de Ciências da Natureza quanto pela área de Linguagens e códigos pode elidir o fato de que, mesmo tendo as características de uma linguagem e sendo especialmente importante e adequada para a expressão científica, a matemática apresenta um universo próprio muito rico de ideias e objetos específicos, como os números e as operações, as formas
49
geométricas, as relações entre tais temas, sobretudo as métricas. Tais ideias e objetos são fundamentais para a compreensão de fenômenos, a construção de representações significativas e argumentações consistentes nos mais variados contextos, incluindo-se as chamadas Ciências Humanas....(p.26) 2ª) é o fato de que uma parte importante da especificidade da Matemática resulta esmaecida quando ela se agrega tanto às Linguagens em sentido amplo quanto à Ciências da Natureza. a Matemática compõe com a língua materna um par fundamental, mas complementar: é possível reduzir um dos sistemas simbólicos ao outro.(p.27) 3ª) é a possibilidade de tal opção facilitar a incorporação crítica dos inúmeros recursos tecnológicos atualmente existentes para a representação de dados e o tratamento das informações possíveis, na busca da transformação de informação em conhecimento.(p.27)
Os conteúdos de Matemática, no Ensino Fundamental e também no
Ensino Médio foram organizados em três grandes blocos temáticos: Números,
Geometria e Relações, sendo que todos esses blocos se interceptam.
As equações e sistemas de equações, foco de nosso estudo, são
conteúdos do bloco de Relações e como há uma inter-relação entre os outros
blocos, quando da resolução de problemas, estes permeiam os de Geometria e
de Números. A figura 2 é uma representação deste fato.
Figura 2: Interligação entre os blocos temáticos Fonte: SEESP, Currículo Oficial de SP 2010: p.39
Os conteúdos de Matemática e de outras disciplinas são apresentados em
materiais de apoio, chamados de Caderno do Aluno (CA). Esses CA estão disponíveis
em quatro volumes por série/ano, um para cada bimestre, contendo os de Matemática,
em média, 56 páginas e quatro Situações de Aprendizagem (SA) cada um.
O conteúdo de álgebra está distribuído no Ensino Fundamental conforme
quadro a seguir:
50
Quadro 3: Conteúdo de Álgebra do Ensino Fundamental
Conteúdo de Álgebra do Ensino Fundamental
Conteúdos Habilidades
6ª.
sé
rie/7
º. a
no
Números Álgebra Uso de letras para representar um valor desconhecido Conceito de equação Resolução de equações Equações e problemas
Compreender o uso de letras para representar valores desconhecidos, em particular, no uso de fórmulas.
Saber fazer a transposição entre a linguagem corrente e a linguagem algébrica
Compreender o conceito de equação a partir da ideia de equivalência, sabendo caracterizar cada equação como uma pergunta
Saber traduzir problemas expressos na linguagem corrente em equações
Conhecer alguns procedimentos para a resolução de uma equação: equivalência e operação inversa
7ª.
sé
rie/8
º. a
no
Números/Relações Expressões algébricas Equivalências e transformações Produtos Notáveis Fatoração algébrica
Realizar operações simples com monômios
Relacionar as linguagens algébrica e geométrica, sabendo traduzir uma delas na outra, particularmente no caso dos produtos notáveis
Saber atribuir significado à fatoração algébrica e como utilizá-la na resolução de equações e em outros contextos
Compreender o significado de expressões envolvendo números naturais por meio de sua representação simbólica e de seu significado geométrico (2n é um número par, 2n + 1 é um número ímpar, a soma dos n primeiros números
naturais é
, etc)
Equações
Resolução de equações do 1º. grau
Sistemas de equações e resolução de problemas
Inequações do 1º. grau
Gráficos
Coordenadas: localização de pontos no plano cartesiano
Compreender situações problema que envolvem proporcionalidade, sabendo representá-las por meio de equações e inequações
Saber expressar de modo significativo a solução de equações e inequações de 1º. grau
Saber explorar problemas simples de matemática discreta, buscando soluções inteiras de equações lineares com duas incógnitas
Saber resolver sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas pelos métodos da adição e da substituição, sabendo escolher de forma criteriosa o caminho mais adequado para cada situação.
Compreender e usar o plano cartesiano para a representação dos pares ordenados, bem como para a representação das soluções de um sistema de equações lineares
8ª.
séri
e/9
º.an
o
Números/Relações Álgebra Equações de 2º. grau: resolução e problemas Funções Noções básicas sobre função A ideia de variação Construção de tabelas e gráficos para representar funções do 1º. e do 2º. graus
Compreender a resolução de equações do 2º. grau e saber utilizá-las em contextos práticos
Compreender a noção de função como relação de interdependência entre grandezas
Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º. grau
Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função do 2º. grau
Saber construir gráficos de funções do 1º. e do 2º. graus por meio de tabelas e comparação de gráficos das funções y = x e y = x
2
Fonte: Currículo do Estado de São Paulo, 2010, p.59-64
51
Identificamos em negrito, no quadro anterior, os conteúdos de álgebra
(equações e sistemas de equações) que são o foco de nosso estudo. Observa-
se que tais conteúdos perpassam o sexto, sétimo e nono ano do EF.
Quadro 4: Conteúdo de Álgebra do Ensino Médio
Conteúdo de Álgebra no Ensino Médio
Conteúdos Habilidades
1ª.
sé
rie
Relações Funções
Relação entre duas grandezas
Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado
Função de 1º. grau
Função de 2º. grau
Saber reconhecer relações de proporcionalidade direta, inversa, direta com o quadrado, entre outras, representando-as por meio de funções.
Compreender a construção do gráfico de funções de 1º. grau, sabendo caracterizar o crescimento, o decrescimento e a taxa de variação.
Compreender a construção do gráfico de funções de 2º. grau como expressões de proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado de outra, sabendo caracterizar intervalos de crescimento e decrescimento, os sinais da função e os valores extremos (pontos de máximo ou de mínimo).
Saber utilizar em diferentes contextos as funções de 1º. e de 2º. graus, explorando especialmente problemas de máximos e mínimos.
Funções exponencial e logarítmica
Crescimento exponencial
Função exponencial: equações e inequações.
Logaritmos: definição e propriedades
Função logarítmica: equações e inequações.
Conhecer a função exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decrescimento
Compreender o significado dos logaritmos como expoentes convenientes para a representação de números muito grandes ou muito pequenos, em diferentes contextos.
Conhecer as principais propriedades dos logaritmos, bem como a representação da função logarítmica, como inversa da função exponencial.
Saber resolver equações e inequações simples usando propriedades de potências e logaritmos.
2ª.
sé
rie
Relações Trigonometria
Fenômenos periódicos
Funções trigonométricas
Equações e inequações
Adição de arcos Números/Relações Matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Matrizes: significado como tabelas,
Reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais, associando-a às funções trigonométricas básicas.
Conhecer as principais características das funções trigonométricas básicas (especialmente o seno, o cosseno e a tangente), sabendo construir seus gráficos e aplicá-las em diversos contextos.
Saber construir o gráfico de funções trigonométricas como f(x) = a.sen(bx) + c a partir do gráfico de y = senx, compreendendo o significado das transformações associadas aos coeficientes a, b e c.
Saber resolver equações e inequações trigonométricas simples, compreendendo o significado das soluções obtidas, em diferentes contextos.
Compreender o significado das matrizes e das operações entre elas na representação de tabelas e de transformações geométricas no
52
características e operações
A noção de determinante de uma matriz quadrada
Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento
plano.
Saber expressar, por meio de matrizes, situações relativas a fenômenos físicos ou geométricos (imagens digitais, pixel, etc.)
Saber resolver e discutir sistemas de equações lineares pelo método de escalonamento de matrizes
Reconhecer situações problema que envolvam sistemas de equações lineares (até a 4ª. ordem), sabendo equacioná-los e resolvê-los.
3ª.
sé
rie
Geometria/Relações Geometria analítica
Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos
Reta: equação e estudo dos coeficientes; problemas lineares
Ponto e reta: distância
Circunferência: equação
Reta e circunferência: posições relativas
Cônicas: noções, equações, aplicações.
Saber usar de modo sistemático sistemas de coordenadas cartesianas para representar pontos, figuras, relações, equações.
Saber reconhecer à equação da reta, o significado de seus coeficientes, as condições que garantem o paralelismo e a perpendicularidade entre retas.
Compreender a representação de regiões do plano por meio de inequações lineares.
Saber resolver problemas práticos associados a equações e inequações lineares.
Saber identificar as equações da circunfer6encia e das cônicas na forma reduzida e conhecer as propriedades características das cônicas.
Números Equações algébricas e números complexos
Equações polinomiais
Números complexos: operações e representação geométrica
Teorema sobre as raízes de uma equação polinomial
Relações de Girard
Compreender a história das equações, com o deslocamento das atenções das fórmulas para as análises qualitativas.
Conhecer as relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica.
Saber reduzir a ordem de uma equação a partir do conhecimento de uma raiz.
Saber expressar o significado dos números complexos por meio do plano de Argand-Gauss.
Compreender o significado geométrico das operações com números complexos, associando-as a transformações no plano.
Relações Estudo das funções
Qualidades das funções
Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmicas e polinomiais.
Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação.
Composição: translações e reflexões
Inversão
Saber usar de modo sistemático as funções para caracterizar relações de interdependência, reconhecendo as funções de 1º. e 2º. graus, seno, cosseno, tangente, exponencial e logarítmica, com suas propriedades características.
Saber construir gráficos de funções mais simples (translações horizontais, verticais, simetrias, inversões)
Compreender o significado da taxa de variação unitária (variação de f(x) por unidade a mais de x), utilizando-a para caracterizar o crescimento, o decrescimento e a concavidade de gráficos.
Conhecer o significado, em diferentes contextos, do crescimento e do decrescimento exponencial, incluindo-se os que se
expressam por meio de funções de base .
Fonte: Currículo do Estado de São Paulo, 2010, p.65-70
53
Identificamos em negrito os conteúdos de álgebra que são o foco de
nosso estudo. Observa-se que tais conteúdos perpassam todas as três séries do EM.
O conteúdo de álgebra indicado para a Educação Básica no Currículo
Oficial do Estado de São Paulo contempla as diversas concepções de álgebra
apontadas por Usiskin e analisadas na seção 3.2.1, ou seja, discute-se, ao
longo do ensino, a álgebra como aritmética generalizada, como estudo de
procedimentos para resolver problemas e como estudo de relações entre
grandezas (funções). Entretanto, a dimensão da álgebra como estudo das
estruturas não está incluída no currículo da Educação Básica.
3.3 AVALIAÇÃO NO CAMPO EDUCACIONAL
Em termos de avaliação educacional, existem dois tipos básicos: a
avaliação interna – que é feita no âmbito da escola pelos docentes nas
diferentes disciplinas e a externa – que é voltada para avaliar os sistemas
educacionais.
Na avaliação escolar interna, os professores continuamente utilizam
instrumentos variados (observações, provas etc.) para avaliar o aprendizado de
seus alunos e, a partir daí, indicar ações e procedimentos necessários para
que esses tenham condições de prosseguir no sistema escolar.
Os objetivos da avaliação externa diferem da interna, visto que essa não
avalia individualmente o aluno e sim o sistema educacional, fornecendo
parâmetros para que se quantifique o desempenho alcançado por políticas
públicas, incluindo necessidade de recursos financeiros, pedagógicos e
humanos. Tais avaliações são elaboradas a partir do estabelecimento de uma
Matriz de Referência, a qual indica as competências e habilidades a serem
avaliadas, estabelecendo diversos níveis de dificuldade de acordo com cada
nível de escolaridade.
3.3.1 Avaliação Educacional Externa
A avaliação externa começou a ser implantada no Brasil há
aproximadamente 20 anos. Nesse período, os sistemas de avaliação
educacional ganharam uma abrangência em todos os níveis e modalidades de
ensino desde o Ensino Básico (como, por exemplo, o Sistema Nacional de
54
Avaliação da Educação Básica – Saeb) ao ensino Superior (como, por
exemplo, o Sistema Nacional de Avaliação do Ensino Superior – Sinaes). Os
resultados dessas avaliações servem de parâmetros para uma análise da
qualidade educacional no país. A implementação de políticas públicas na
educação baseia-se nesses resultados para incrementar recursos financeiros e
profissionais para uma melhoria na qualidade do ensino.
De acordo com Castro (2009: 7),
Se é verdade que o Brasil avançou na montagem e consolidação dos sistemas de avaliação, é também verdade que ainda não aprendemos a usar, de modo eficiente, os resultados das avaliações para melhorar a escola, a sala de aula, a formação de professores. Este, aliás, é um dos grandes desafios das políticas educacionais, sem o qual o objetivo principal da política de avaliação perde sentido para os principais protagonistas da educação: alunos e professores.
Concordamos com a autora quando afirma que “ainda não aprendemos
a usar, de modo eficiente, os resultados das avaliações para melhorar a escola,
a sala de aula, a formação de professores”, pois as ações propostas para
melhoria do ensino ainda são muito tímidas tanto nas escolas, para melhorar o
ensino, quanto na educação continuada para professores, visto que os
resultados do Saresp em Matemática são desfavoráveis, pois apontam que a
maioria dos alunos está nos níveis de proficiência6 abaixo do básico e básico.
Esse macrossistema de avaliação da qualidade da educação não é uma
característica apenas do Brasil, outros países utilizam-se desses processos
para avaliar seu sistema educacional. Uma dessas avaliações instituída pela
Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômicos (OCDE) é o
Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (PISA)7.
Nesta pesquisa, nosso foco está na avaliação aplicada nas escolas
públicas estaduais do Estado de São Paulo pelo Sistema de Avaliação do
6 A proficiência é um escore atribuído ao aluno por meio da avaliação. O Saresp determina o grau
de competência por níveis de proficiência. São quatro os níveis: abaixo do básico, básico, adequado e avançado. 7 O PISA se iniciou na década de 90 quando a OCDE investiu na melhoria das medidas de
resultados de alunos de 15 anos, dos diversos países membros, organizando pesquisas internacionalmente comparáveis, enfocando especialmente medidas de habilidades e competências necessárias à vida moderna. O principal foco do PISA está na orientação das políticas públicas educacionais. Em relação à avaliação em matemática, o embasamento teórico do Pisa recorre ao conceito de letramento matemático. O letramento consiste no uso da linguagem para relacionar-se em qualquer atividade humana. Assim sendo, o letramento matemático refere-se ao uso dos conceitos matemáticos, dos procedimentos e das estratégias, deve propiciar ao cidadão que formamos a capacidade de interagir em situações diversas do seu cotidiano ou não, dominando e utilizando recursos matemáticos.
55
Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp). Assim sendo, na
próxima seção, detalhamos as características desse sistema de avaliação.
3.3.2 O Saresp
Avaliações externas específicas para o Estado de São Paulo foram
iniciadas com o Programa de Avaliação Educacional da Rede Estadual em
1992. Nesse ano, o processo envolveu as 8ªs séries de 306 escolas da rede,
que eram as denominadas escolas-padrão8, abrangendo as disciplinas de
Língua Portuguesa, Redação, Matemática, Ciências, História e Geografia. “Os
primeiros resultados foram interpretados psicopedagogicamente e
recomendações curriculares foram feitas e consolidadas em documentos
distribuídos às escolas.” (Gatti, 2009). Pretendia-se comparar, ao longo de
muitos anos, o desenvolvimento dos alunos; mas, na época, com a mudança
de governo, houve uma descontinuidade nesse projeto.
Em 1994, ocorreu mais um Programa de Avaliação Educacional da rede
estadual, que foi aplicado numa amostra de 818 escolas, avaliando 152.279
alunos das 4ª. e 8ª. séries. Os conteúdos referiam-se a Língua Portuguesa,
Redação, Matemática, Ciências, História e Geografia. Essa avaliação visava a
uma comparação entre escolas padrão e não padrão. (Gatti, 2009)
Em 1995, com o objetivo de se obter um instrumento orientador para as
tomadas de decisão com o propósito da melhoria da qualidade de ensino
oferecido pelas escolas e buscar subsídios para aprimorar a gestão
educacional, a SEE-SP implantou o Sistema de Avaliação do Rendimento
Escolar – Saresp (SEE-SP, 1996).
8 A Escola Padrão foi um projeto implantado em 1991 pela SEE-SP, através do Decreto
Estadual Nº. 34.035, de 22 de outubro de 1991. Foram escolhidas 306 escolas do estado, que tinham autonomia no que diz respeito à elaboração de projetos pedagógicos, elaboração de seu Plano Escolar, autoavaliação da escola, e a ordenação de um Plano Diretor a ser administrado por um contrato anual. O Decreto modificou algumas funções no quadro administrativo, propôs ainda algumas alterações no quadro de professores dessas escolas, como, por exemplo, a dedicação exclusiva. Para auxiliar a captação de recursos financeiros e seu desempenho na escola, criou-se a Caixa de Custeio. A quantidade de escolas que aderiu a esse projeto aumentou gradativamente, totalizando 2.224 escolas em 1994. Essa autonomia gerou uma competitividade entre essas escolas padrão e uma rivalidade entre grupos de escolas chamadas da rede comum devido àquela situação diferenciada. As escolas padrão, como projeto de governo, geraram muitos custos, tornando-se inviável sua extensão para todas as escolas do estado e, com a mudança de governo, a partir de 1995, iniciou-se seu processo gradativo de encerramento.
56
O primeiro exame do Saresp que abrangeu todas as escolas foi aplicado
no início do ano de 1996, nas 3ª. e 7ª. séries. Foram avaliados, nos
componentes de Português e Matemática, os alunos de ambas as séries, e nos
de Ciências, História e Geografia apenas os alunos das 7ªs séries. O Relatório
Geral, relativo a essa aplicação, indica que a porcentagem geral de acertos, em
Matemática foi de 65% para a 3ª.série, considerada então como razoavelmente
fácil e 30,86% para a 7ª. série, período diurno e 28,06% para a 7ª.série,
período noturno. Esses resultados evidenciaram que o desempenho dos
estudantes estava muito aquém do que seria desejável. (SEE-SP, 1996). A
prova aplicada foi única para todos os alunos, com 30 questões para a 7ª. série
e, nela, não constaram questões de álgebra.
O segundo Saresp foi aplicado em 1997 nas 4ª. e 8ª. séries, novamente
no início do ano. Para a 4ª. série, a média geral de acertos foi de 42,5%,
enquanto que na 8ª série diurno foi de 35,47% e na 8ª. série noturno, 34,3%.
Nessa prova, um terço dos itens foi relativo a álgebra.
No início do ano de 1998 o Saresp foi aplicado nas 5ª. séries do Ensino
Fundamental e na 1ª. série do Ensino Médio, seguindo o acompanhamento
longitudinal. Nesse ano, cada aluno foi avaliado em apenas um componente
curricular, parte dos alunos respondeu à prova de Língua Portuguesa, parte à
de Matemática e assim por diante. O índice de acertos em Matemática da 5ª.
série, período diurno, foi de 39% e noturno, 38,1%. O desempenho dos alunos
da 1ª. série do EM foi de 36,94% no período diurno e 33,86% no período
noturno. Os conteúdos relativos a álgebra estavam presentes em 26,66% da
prova.
A quarta edição ocorreu dois anos depois, no final de 2000, sendo
aplicada na 5ª, e 7ª. séries do Ensino Fundamental e na 3ª. série do Ensino
Médio. Da quinta edição (2001) à oitava edição (2004), prevaleceu a avaliação
da competência de leitura.
Em 2004, “foi introduzido um procedimento que tornou possível a
comparação estatística dos resultados obtidos nos diversos períodos em que
uma mesma série é oferecida. Essa comparação pôde ser efetuada a partir da
aplicação, em uma amostra de alunos do EF e do EM da Rede Estadual, de
uma prova de ligação, que permitiu a introdução de uma nova medida no
57
âmbito do Saresp – o escore verdadeiro9” (Relatório Saresp 2005: 18). O
Saresp passa a adotar a metodologia de análise de itens do Saeb, ou seja,
pela Teoria de Resposta ao Item (TRI10).
A Matemática voltou a fazer parte desta avaliação na sua nona edição,
em 2005, sendo aplicado em todas as séries. Nesse ano, adotou-se uma
escala de desempenho por escore verdadeiro. Em Matemática, consideravam-
se cinco níveis de desempenho, variando entre nível 1 e o 5, sendo o melhor
desempenho o nível 5. No Relatório, aparece outra faixa de desempenho –
abaixo do nível 1 –, referente a alunos que não demonstram domínio das
habilidades avaliadas pelos itens da prova. Os resultados apontaram que o
desempenho dos alunos foi desfavorável, pois a maior concentração de alunos
permaneceu nos níveis “abaixo do nível 1” e “nível 1”, crescendo da 5ª. série
(51,7%) à 3ª. do Ensino Médio (85,6%). As questões de álgebra permeiam um
terço da prova.
Em 2006, não houve aplicação do Saresp; e, em 2007, as proficiências
dos alunos da rede estadual de São Paulo passaram a ser medidas com a
mesma métrica do Saeb/Prova Brasil e os seus resultados interpretados a
partir da mesma escala. Para medir a proficiência dos alunos, utiliza-se a partir
deste ano, a escala do quadro a seguir:
9 “O escore verdadeiro é uma medida obtida por meio de procedimentos da Teoria de Resposta
ao Item – TRI – que permite verificar o desempenho global de cada série, ao tornar possível a comparação entre os desempenhos dos alunos, mesmo que tenham respondido a provas diferentes, nos distintos períodos. A TRI permite estimar a proficiência dos estudantes, independentemente das provas aplicadas e dos grupos avaliados, à medida que, a partir da equalização das primeiras, coloca todos os resultados de uma mesma série em uma mesma escala. Chega-se, dessa forma, a uma estimativa fidedigna dos acertos, supondo-se que todos os estudantes de uma mesma série tenham respondido a todas as questões das provas de todos os períodos.”(p.48 Relatório Saresp 2005). 10
TRI – Teoria de Resposta ao Item: As respostas a uma prova única, a interpretação dos dados podem ser comparadas como um todo por meio de uma métrica designada Teoria Clássica de Medidas, no entanto as avaliações do Saresp são aplicadas com questões diferentes aos alunos de uma mesma série/ano, daí uma necessidade de se usar outra métrica para comparação. O diferencial da TRI é que ela não focaliza a prova como um todo, mas o comportamento de cada item. Com essa metodologia para interpretação de resultados, é possível comparar e acompanhar, por exemplo, o comportamento das respostas de um ano para outro, ou mesmo de uma escola para outra (particular ou pública). Para aprofundamento dessa teoria, indicamos a leitura de Andrade (2000).
58
Quadro 5: Escala dos níveis de proficiência
Distribuição dos alunos pelos níveis de proficiência
Matemática – Saresp 2007
Níveis 4ª. EF 6ª. EF 8ª. EF 3ª. EM In
terv
alo
% d
e
alu
nos
Inte
rvalo
% d
e
alu
nos
Inte
rvalo
% d
e
alu
nos
Inte
rvalo
% d
e
alu
nos
Abaixo do
básico
< 175 44,3 < 200 54,8 < 225 49,8 < 275 71,8
Básico Entre
175 e
225
36,6 Entre 200
e 225
23,3 Entre
225 e
300
44,8 Entre
275 e
350
24,7
Adequado Entre
225 e
275
17,4 Entre 225
e 300
21,7 Entre
300 e
350
5,1 Entre
350 e
400
3,7
Avançado Acima de
275
1,7 Acima de
300
0,2 Acima
de 350
0,4 Acima
de 400
0,6
Fonte: Tabela 9 da pág.26 do Relatório Pedagógico do Saresp 2007
Os Níveis de proficiência, a partir do exame de 2007, foram definidos da
seguinte forma:
Quadro 6: Níveis de proficiência
Níveis de Proficiência Quantificação do domínio dos conteúdos, competências e habilidades desejados para a série na qual o aluno se encontra.
Abaixo do básico Insuficiente
Básico Parcial
Adequado Desejável
Avançado Acima do esperado Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009 (p.33)
Nesse ano de 2007, ocorreu a décima edição do Saresp, aplicada em
todas as escolas, nas 2ª., 4ª, 6ª. e 8ª. séries do Ensino fundamental e na 3ª.
série do Ensino Médio.
São, ao todo, 14 edições feitas dessa avaliação, sendo as últimas em
2008, 2009, 2010 e 2011. Nesta pesquisa, utilizamos as edições de 2008 e
2009.
O Saresp consiste em avaliação externa de desempenho dos alunos da
Educação Básica do Estado de São Paulo, objetivando estimar o rendimento
59
escolar e identificar os fatores que podem interferir no desempenho do aluno.
Os resultados do Saresp, além de subsidiar as políticas públicas para a
Educação Básica, conforme já mencionamos, auxiliam a compor o IDESP
(Índice de Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo), que é um
indicador de qualidade das séries iniciais (1ª a 4ª séries) e finais (5ª a 8ª séries)
do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Na avaliação de qualidade das
escolas feita pelo IDESP, consideram-se dois critérios complementares: o
desempenho dos alunos nos exames do Saresp e o fluxo escolar. O IDESP
tem o papel de dialogar com a escola sobre sua qualidade, indicando os pontos
em que precisa melhorar e sinalizando sua evolução ano a ano11.
Para a aplicação das provas do Saresp, as escolas recebem um
documento com as diretrizes de conteúdos e habilidades que serão avaliadas a
cada ano. Esse documento é denominado Matriz de Referência do Saresp e,
após a aplicação da prova, consolidadas as análises, no ano subsequente, as
escolas recebem um relatório com os resultados gerais dessa avaliação,
denominado Relatório Pedagógico do Saresp.
As avaliações do Saresp, atualmente, são aplicadas, anualmente, em
todas as escolas estaduais nas 2ª., 4ª., 6ª. e 8ª. séries/ 3º., 5º., 7º. e 9º. anos
do Ensino Fundamental e 3ª. série do Ensino Médio e são compostas de itens
de Língua Portuguesa e Matemática, avaliados anualmente e itens das áreas
de Ciências da Natureza (Ciências, Física, Química e Biologia) e das Ciências
Humanas (História e Geografia), avaliados bianualmente, intercalados.
A avaliação do Saresp para o 3º. ano do EF tem características
diferentes das demais séries, pois é aplicada e alunos que estão em fase de
alfabetização, contudo não é aqui discutida por não constituir foco desta
pesquisa.
A partir de 2008, as provas para as 4ª., 6ª. e 8ª. séries/ os 5º, 7º e 9º. anos do EF e 3ª série do EM
são planejadas utilizando a metodologia de Blocos Incompletos Balanceados – BIB. Este modelo permite que as questões sejam reunidas em subconjuntos chamados blocos e organizados em grupos de diferentes combinações. Cada combinação resulta em 26 diferentes cadernos de provas para cada série e disciplina, com 3
11 Para mais informações sobre o IDESP, consultar http://idesp.edunet.sp.gov.br. Acesso em 2 set. 2012.
60
blocos de questões em cada disciplina. Cada bloco é composto de oito itens. Cada caderno de prova, em cada disciplina, está organizado com 24 questões objetivas de múltipla escolha. No total, foram utilizados 104 itens por disciplina em cada série. (Relatório Pedagógico, 2008: 17).
Para a aplicação das provas do Saresp, as habilidades a serem
avaliadas são descritas na Matriz de Referência do Saresp e, após a aplicação,
os resultados são publicados no Relatório Pedagógico do Saresp.
Na seção seguinte, apresentamos um estudo sobre a Matriz de
Referência do Saresp (2009) e sobre o Relatório Pedagógico do Saresp (2009).
3.3.2.1 Matriz de Referência para a Avaliação Saresp
Para indicar as competências e habilidades do sujeito a serem
avaliadas, são definidas Matrizes de Referência. Tais matrizes de referência
subsidiam a composição das avaliações externas nos diferentes componentes
curriculares.
A partir da nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, foi
elaborada, em 2008, uma Matriz de Referência, a qual foi aprimorada em 2009.
Comentamos, nesta seção, o conteúdo da Matriz de 2009, na qual são
indicados os conteúdos, competências e habilidades que serão avaliados.
Vale frisar que uma avaliação externa, tal como a do Saresp, tem suas
limitações, uma vez que, sempre que se propõe uma Matriz de Referência, se
faz um recorte. Assim sendo, a avaliação não envolve todos os conteúdos do
currículo. Salientamos que, ainda que fosse possível abordar todos os
conteúdos curriculares na avaliação, ela continuaria apresentando limitações,
pois, por exemplo, competências ligadas à habilidade de cálculo mental não
podem ser aferidas por meio de uma prova objetiva. Procurando tornar a
avaliação externa o mais ampla possível, a partir da edição de 2008, se aplica
uma prova de Matemática destinada a avaliar as diferentes estruturas do
pensamento matemático dos alunos de 4ª., 6ª. e 8ª. séries do Ensino
Fundamental e da 3ª. série do Ensino Médio, por meio de questões abertas,
numa amostra estratificada dos alunos de escolas estaduais (São Paulo,
2008:11).
A Matriz de Referência apresenta uma lista de habilidades a serem
avaliadas de acordo com a série ou ano em que os alunos se encontram. Essa
61
lista é cumulativa para séries subsequentes. Com essas habilidades, é possível
estimar, por meio da Escala de Proficiência adotada, o grau em que os alunos
dominam as competências cognitivas (São Paulo, 2009: 13).
Quanto às competências cognitivas, a Matriz de Referência (2009: 14)
as define como
modalidades estruturais da inteligência. Modalidades, pois expressam o que é necessário para compreender ou resolver um problema. Ou seja, valem por aquilo que integram, articulam ou configuram como resposta a uma pergunta. Ao mesmo tempo, são modalidades porque representam diferentes formas ou caminhos de se conhecer. Um mesmo problema pode ser resolvido de diversos modos. Há igualmente muitos caminhos para se validar ou justificar uma resposta ou argumento.
As competências cognitivas avaliadas no exame do Saresp são divididas
em três grupos:
Grupo I (GI) – Competências para observar;
Grupo II (GII) – Competências para realizar;
Grupo III (GIII) – Competências para compreender.
A seguir descrevemos esses três grupos:
Grupo I: Competências para observar. Esse grupo
refere-se aos esquemas presentativos ou representativos, propostos por Jean Piaget. Graças a eles, os alunos podem ler a prova, em sua dupla condição: registrar perceptivamente o que está proposto nos textos, imagens, tabelas ou quadros e interpretar este registro como informação que torna possível assimilar a questão e decidir sobre a alternativa que julgam mais correta. (p. 16)
Grupo II: Competências para realizar. Esse grupo refere-se
às capacidades de o aluno realizar os procedimentos necessários às suas tomadas de decisão em relação às questões ou tarefas propostas na prova. Ou seja, saber observar, identificar, diferenciar e, portanto, considerar todas as habilidades relativas às competências para representar que, na prática, implicam traduzir estas ações em procedimentos relativos ao conteúdo e ao contexto de cada questão em sua singularidade. (p.18)
Grupo III: Competências para compreender.
Estas competências implicam o uso de esquemas operatórios. As competências relativas a esse Grupo III devem ser analisadas em duas perspectivas. Primeiro, estão presentes e são mesmo essenciais às competências cognitivas ou às operações mentais destacadas nos Grupos I e II. Porém, quando referidas a eles, têm um lugar de meio ou condição, mas não de fim. Ou seja, atuam de
62
modo a possibilitar realizações via esquemas procedimentais (Grupo II) ou leituras via esquemas de representação (Grupo I). Como Grupo III, estes esquemas ou competências expressam-se de modo consciente e permitem compreensões próprias a este nível de elaboração cognitiva. Por essa razão possibilitam, por suas coordenações, planejamento e escolha de estratégias para resolver problemas ou realizar tarefas pouco prováveis, ou mesmo impossíveis nos níveis anteriores. Referem-se, assim, a operações mentais mais complexas, que envolvem pensamento proposicional ou combinatório, graças ao qual o raciocínio pode ser agora hipotético-dedutivo. (p.18 e19)
Essa matriz caracteriza-se por apresentar um recorte dos conteúdos
curriculares e, consequentemente, privilegia algumas competências e
habilidades a eles associadas.
Os conteúdos (objetos do conhecimento) são divididos em quatro temas:
Tema 1: Números, operações, funções;
Tema 2: Espaço e forma;
Tema 3: Grandezas e medidas;
Tema 4: Tratamento da informação.
A matriz divide os conteúdos em quatro temas, estes em três grupos de
competências, e cada grupo contém habilidades a serem avaliadas em cada
série/ano.
Nos quadros a seguir, estão apresentados os grupos de competências do
sujeito e os conteúdos matemáticos por ano/série em que a álgebra é avaliada.
Quadro 7: Habilidades de Álgebra para a 6ª. série/7º.ano
6ª.série/7º.ano do Ensino Fundamental
Objetos do Conhecimento (Conteúdos)
Tema 1 – Números, operações, funções, iniciação à Álgebra.
H12 – ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e, vice-versa. (GII) H14 – resolver equações do 1º. grau. (GII) H15 – Expressar e resolver problemas por meio de equações. (GIII)
Tema 3 – Grandezas e medidas / Proporcionalidade
H28 – Reconhecer situações que envolvam proporcionalidade. (GII)
H27 – Resolver problemas que envolvam medidas de ângulos de triângulos e de polígonos em geral. (GIII)
H29 – Resolver situações-problema que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais. (GIII)
Fonte: Matriz de Referência do Saresp 2009, p.75.
63
Quadro 8: Habilidades de Álgebra para a 8ª. série/9º.ano
8ª.série/9º. ano do Ensino Fundamental Objetos do Conhecimento (Conteúdos)
Tema 1 – Números, operações, funções (racionais / potenciação, números reais, expressões algébricas, equações, gráficos cartesianos, equações do 2º. grau, funções).
H05 – Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões). (GI)
H06 – Identificar um sistema de equações do 1º. grau que expressa um problema. (GI)
H07 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º. grau. (GI) H12 – Realizar operações simples com polinômios. (GII)
H13 – Simplificar expressões algébricas que envolvam produtos notáveis e fatoração. (GII)
H14 – Expressar as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função do 2º. grau. (GII) H16 – Resolver problemas que envolvam porcentagem. (GIII)
H17 – Resolver problemas que envolvam equações com coeficiente racionais. (GIII)
H18 – Resolver sistemas lineares (método da adição e da substituição). (GIII) H19 – Resolver problemas que envolvam equações do 2º. grau. (GIII)
H20 – Resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º. grau. (GIII)
Tema 2: Espaço e forma
H28 – Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares. (GI)
Fonte: Matriz de Referência do Saresp 2009, p.80
Quadro 9: Habilidades de Álgebra para a 3ª.série do EM
3ª. série do Ensino Médio Objetos do Conhecimento (Conteúdos) Tema 1 – Números, operações, funções.
H01 – Expressar matematicamente padrões e regularidades em sequências numéricas ou de imagens. (GIII)
H04 – Representar, por meio de funções, relações de proporcionalidade direta, inversa e direta com o quadrado. (GIII)
H05 – Descrever as características fundamentais da função do 1º. grau, relativas ao gráfico, crescimento/decrescimento, taxa de variação. (GI)
H06 – Descrever as características fundamentais da função do 2º. grau, relativas ao gráfico, crescimento, decrescimento, valores máximo ou mínimo. (GI) H07 – Resolver problemas que envolvam equações do 1º. grau. (GIII) H08 – Resolver problemas que envolvam equações do 2º. grau. (GIII)
H09 – Identificar os gráficos de funções de 1º. e de 2º. graus, conhecidos os seus coeficientes. (GI)
H10 – Reconhecer a função exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento e decrescimento. (GI)
H12 – Resolver equações e inequações simples, usando propriedades de potências e logaritmos. (GII)
H13 – Resolver equações trigonométricas simples, compreendendo o significado das condições dadas e dos resultados obtidos. (GII)
H14 – Resolver situações-problema por intermédio de sistemas lineares até a 3ª. ordem. (GIII)
H15 – Aplicar as relações entre coeficientes e raízes de uma equação algébrica na resolução de problemas. (GIII)
Tema 2: Espaço e forma
H20 – Representar pontos, figuras, relações e equações em sistemas de coordenadas cartesianas. (GI)
H21 – reconhecer a equação da reta e o significado de seus coeficientes. (GI)
H22 – representar graficamente inequações lineares por regiões no plano. (GI)
H23 – identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)
Fonte: Matriz de Referência do Saresp 2009, p.86.
64
A numeração das habilidades para cada série sempre se inicia por H01,
isso faz com que uma habilidade, por exemplo, H12 deva ser acompanhada da
série que será avaliada, pois seu significado difere para cada uma:
H12 (6ª. série/7º. ano) – Ler e escrever expressões algébricas
correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e
vice-versa.
H12 (8ª. série/9º. ano) – Realizar operações simples com polinômios.
H12 – Resolver equações e inequações simples, usando propriedades
de potências e logaritmos.
Vale frisar que os conteúdos de álgebra, em particular as equações e
sistemas servem de subsídio para a resolução de diversos tipos de problemas
e desenvolvimento de procedimentos e estão presentes indiretamente em
várias das habilidades avaliadas. Por exemplo, na resolução de problemas que
envolvem a determinação da hipotenusa, dados os catetos de um triângulo
(H36 da 8ª. série/9º. ano – Resolver problemas em diferentes contextos, que
envolvam as relações métricas nos triângulos retângulos (Teorema de Pitágoras).
3.3.2.2 Relatório Pedagógico do Saresp
O Relatório Pedagógico do Saresp é um documento elaborado para
apresentar os resultados obtidos na aplicação de cada avaliação do Saresp,
contendo um volume para cada disciplina. Descrevemos a seguir o conteúdo
do Relatório Pedagógico de Matemática de 2008 e 2009.
A apresentação desse Relatório está dividida em três partes:
Parte 1 – Dados Gerais
Parte 2 – Resultados
Parte 3 – Análise Pedagógica dos Resultados
Na parte 1, o documento contém um breve histórico sobre a avaliação,
descreve suas características como, por exemplo, de que forma ela é
elaborada e a utilização de blocos balanceados a partir do 5º. ano para a
montagem das provas. Os Relatórios informam sobre os questionários
socioeconômicos aplicados. Esses questionários são aplicados a alunos, pais,
professores, diretor, professor coordenador e supervisor de ensino. As famílias
recebem um caderno com o questionário dos pais e dos alunos, os demais
65
respondem por uma plataforma web. As análises desses questionários não
estão incluídas no Relatório de Matemática.
Na parte 2, o Relatório mostra a abrangência da aplicação do Saresp,
indicando a quantidade, por exemplo, de alunos, escolas, diretores etc. Ao
indicar os resultados, faz comparativos entre estado como um todo, interior e
capital. Apresenta uma comparação entre os resultados do Saresp, Prova
Brasil e Saeb e outra por nível de desempenho (abaixo do básico, básico,
adequado, avançado) das séries avaliadas.
Na parte 3, há uma análise pedagógica dos resultados, a qual está
subdividida em:
Princípios Curriculares e Matrizes de Referência para a Avaliação
do Saresp – Matemática;
Análise do Desempenho dos Alunos em Matemática por série/ano
e nível;
Recomendações Pedagógicas;
Considerações finais.
Os Princípios Curriculares e Matrizes de Referência para a Avaliação do
Saresp – Matemática iniciam-se com a definição de alfabetização ou
competência matemática, a qual
refere-se à capacidade do aluno para analisar, raciocinar e comunicar-se de maneira eficaz, quando enunciam, formulam e resolvem problemas matemáticos numa variedade de domínios e situações (São Paulo, 2009:.50)
A seguir, o relatório contém uma breve descrição da Matemática ao
longo da escolaridade básica, com um pequeno histórico de sua utilização ao
longo da história da humanidade, sobre a necessidade de se desenvolver
competências e habilidades para resolver situações rotineiras e relevantes,
como, por exemplo, cálculos de despesas, pagamentos de impostos,
orientação espacial, dentre outras.
Quanto à resolução de problemas, descreve o ciclo de matematização,
enfatizando que, para resolver um problema, dois mundos entram em relação:
o real e o matemático. Em suma, esse ciclo tem quatro etapas: traduzir o
66
problema real para um problema matemático, determinar uma solução
matemática, interpretar a solução e aplicar essa solução no mundo real.
Ainda em Princípios Matemáticos, aponta o que são avaliados, na prova
do Saresp, os conteúdos e expectativas de aprendizagem ao longo dos ciclos
com base na proposta curricular, divididos por temas (Números e Operações,
Espaço e Forma, Grandezas e Medidas, Tratamento da Informação).
Na Análise do Desempenho dos Alunos em Matemática por série/ano e
nível, estão indicadas as habilidades desenvolvidas por série e, em seguida,
exemplos de itens da prova para cada série e por nível.
Nos exemplos de itens, destacam-se a habilidade avaliada, a
distribuição das respostas, um comentário sobre as tarefas realizadas pelos
alunos para resolver a questão, a alternativa correta e analisa-se o
comportamento percentual dessas respostas. Indica-se, na lateral de cada
exemplo, a série em que foi aplicado e uma régua com o nível, como o indicado
na figura 3.
Observa-se, no exemplo, a presença da habilidade avaliada, no caso,
H09: Identificar os gráficos de funções de 1º. e 2º. graus, conhecidos os seus
coeficientes. O item está proposto sem contextualização e refere-se à vida
educacional. Ao lado, observa-se a régua indicando o nível de proficiência, que
é o adequado e, abaixo, que a questão foi proposta à 3ª série do Ensino Médio.
No final do Relatório, são indicadas algumas Recomendações
Pedagógicas, que podem ser utilizadas pela escola ou pelo professor.
Recomenda-se que esses resultados sejam informados aos alunos e que se
retomem alguns conceitos e/ou procedimentos. Está enfatizado, no texto, que
as recomendações são sugestões; e que o professor tem autonomia para
definir qual a melhor forma de retomar conteúdos para que os alunos
desenvolvam habilidades e competências que estão defasadas para aquelas
séries/anos.
67
Figura 3: Exemplo 10 da p. 195 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª. EM Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.195)
Como esse Relatório é elaborado para as escolas e para os professores,
a cada um destes tópicos descritos acima, são inseridas atividades para
possibilitar uma maior interação com o leitor.
Um exemplo dessas atividades encontra-se no quadro abaixo e trata-se
de uma reflexão sobre a elaboração de um item.
68
Quadro 10: Reflexão sobre elaboração de um item
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009 (p.224)
Essa atividade propõe uma reflexão sobre a elaboração de um teste de
múltipla escolha para que os professores atentem, entre outras coisas, à
clareza do enunciado e à quantidade de tarefas a serem realizadas para
solucionar a questão.
Para reflexão: Outra questão fundamental a ser considerada é o que cada aluno deve
aprender em cada série/ano. Os conteúdos de aprendizagem vão se tornando mais complexos a cada série. Nos resultados por série/ano essa relação dever ser também relevante na análise.
Durante as aulas, como serão realizadas as intervenções para que os alunos dominem os conhecimentos prévios que não têm?
Quais mudanças devem ser realizadas? O que irá permanecer? O que será modificado?
O QUE É TESTE DE MULTIPLA ESCOLHA? Algumas regras para construção de testes de múltipla escolha: - Quanto ao enunciado da questão, verifique se: apresenta claramente
um único problema proposto para o participante; contém as informações essenciais para a solução do problema proposto, evitando elementos supérfluos; e adequado em relação a dificuldade pretendida, ao tempo disponível para a prova, a quantidade de tarefas a serem executadas para a escolha da alternativa.
- Quanto as alternativas, verifique se: a correta e indiscutivelmente a única; as incorretas (distratores) representam relações possíveis de serem estabelecidas pelo participante, mas não são condições suficientes para a resolução dos problemas; são adequadas em relação ao tempo disponível para a prova; estão colocadas em ordem lógica, crescente ou decrescente, sempre que envolvem valores numéricos; são homogêneas no conteúdo, integrando uma mesma família de fatos e ideias; são homogêneas na forma; são independentes, sem subentendidos ou referências às alternativas anteriores; não contem “pistas” que possam ajudar o participante na resolução da questão; não contem elementos (pegadinhas) que possam induzir o participante a erros; não constituem um conjunto de afirmações “falso-verdadeiras” independentes; não contêm certas palavras que induzem a afirmações falsas ou verdadeiras.
69
CAPÍTULO 4
4 A PESQUISA
Neste capítulo, descrevemos o cenário da pesquisa, contendo o
planejamento do Curso de formação e a discussão das atividades do Curso
relacionadas ao nosso objetivo de pesquisa.
4.1 O CENÁRIO DO ESTUDO
O estudo foi desenvolvido em um módulo de álgebra criado para um
curso da Diretoria de Ensino da Secretaria Estadual da Educação do Estado de
São Paulo, na capital, cujo objetivo era subsidiar a implementação do novo
currículo deste Estado.
Essa Diretoria localiza-se na região Norte da capital do estado de São
Paulo, agrega 71 escolas e atende aproximadamente 320 professores de
Matemática.
Os professores de Matemática inscreveram-se nesse módulo de álgebra
por livre escolha e com disponibilidade de frequentar os encontros fora do
horário de trabalho. O tema abordado foi álgebra para o Ensino Fundamental II e
Ensino Médio, sendo 8 encontros semanais de 3 horas, totalizando 24 horas
presenciais e complementação horária de 36 horas com pesquisas em ambiente
virtual. Esse módulo foi desenvolvido em uma das salas da Diretoria de Ensino,
no período noturno, com o auxílio de duas Professoras Coordenadoras da
Oficina Pedagógica (PCOP).
Vale salientar que o desenvolvimento do módulo de álgebra foi previsto
para ser desenvolvido na própria instituição educativa, em uma sala da
Diretoria de Ensino, de modo a possibilitar uma maior interação entre os
participantes, os quais atuam na mesma região e têm problemas semelhantes
em suas práticas pedagógicas. Nesse aspecto, a formação está de acordo com
a indicação de Imbernón (2000: 15), para o qual é “tão importante uma
formação na instituição educativa, uma formação no interior da escola”.
70
4.2 O PLANEJAMENTO DO MÓDULO DE ÁLGEBRA
Nesta seção, apresentamos o planejamento do módulo de álgebra, que
foi desenvolvido juntamente com a equipe de Coordenação de Matemática da
Oficina Pedagógica desta Diretoria de Ensino.
O módulo foi planejado para ter atividades que perpassassem todas as
séries do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. A equipe de coordenação
decidiu ter, pelo menos, uma atividade do Caderno do Aluno (CA) de cada
série que envolvesse álgebra. Essas atividades seriam desenvolvidas em
“Encontros” presenciais e à distância, que aqui denominamos “Estudos
Complementares”, as quais seriam desenvolvidas pelos professores e,
posteriormente, discutidas nos encontros presenciais.
Os Encontros se comporiam de três momentos, sendo o primeiro de
acolhimento, o segundo de desenvolvimento de atividades do CA, leitura de
textos seguida de reflexão ou análise de itens constantes nos Relatórios
Pedagógicos do Saresp, edições 2008 e 2009, e o terceiro de o fechamento do
encontro, no qual seriam socializadas as soluções das atividades e/ou análises
dos itens. Nos Encontros, os professores estariam dispostos em grupos de quatro a cinco
pessoas.
Os Estudos Complementares foram compostos a partir dos recursos
educacionais multimídia e digitais para o Ensino Médio de Matemática,
constantes no Ambiente Matemática Multimídia12. As atividades foram
planejadas para serem desenvolvidas a distância, para complementar o
conteúdo de álgebra. Em síntese, os professores deveriam assistir a vídeos,
desenvolver experimentos e atividades constantes no site
http://m3.ime.unicamp.br/portal/ além de atividades do CA.
O planejamento do módulo de Álgebra está resumido no quadro a seguir:
12
Ambiente desenvolvido pelo Projeto Matemática Multimídia (M3) da Unicamp, com
financiamento do FNDE, SED, MCT e MEC.
71
Quadro 11: Resumo das atividades do Módulo
Encontros
Estudos Complementares
1º
- Texto de abertura: Eu sei, mas não devia13
- Vídeo: Um ensino de Matemática voltado para a vida
14
- Apresentação do curso - Apresentação do Ambiente Matemática Multimídia - A álgebra inserida no Currículo de Matemática e suas Tecnologias - Vídeo: O ponto Avaliar – 2’
15
- Artigo: Castro, 2009. Sistemas de Avaliação da Educação no Brasil
- Atividade para o 3º. encontro: Experimento “Caixa de Papel” Do Ambiente Matemática Multimídia
2º - Texto de abertura: Avaliar para ensinar melhor16
- Álgebra no Currículo - Atividade do Caderno do Aluno 6ª série/7º. ano – Investigando sequências por aritmética e álgebra - Volume 4 - 2009 e socialização - Estudos sobre avaliações externas no Brasil
3º.
- Poesia para abertura: Mestra Silvina – Cora Coralina - Matriz de Referência do Saresp - Atividade 1 de Análise de itens e socialização - Atividade CA - 7ª série - volume3 - Equações, tabelas e gráficos. e socialização. - Entrega da atividade Experimento “Caixa de Papel” e breve relato.
- Atividade para o 5º. Encontro - Vídeo: Um sonho complexo e atividade relativa ao vídeo do Ambiente Matemática Multimídia
4º. - Atividade 2 de análise de itens - Socialização da Atividade
5º.
- Letra e Música de abertura: Tocando em frente – Almir Sater e Renato Teixeira - Atividade do CA – Grandezas Proporcionais: Estudo funcional, significados e contextos. V2 - 8ª/9º ano. - Socialização da atividade - Entrega da atividade de Estudos Complementares: Sonho Complexo e breve relato.
- Atividade para o 7º. e 8º. Encontros - apresentação de Situações de Aprendizagem para os grupos.
6º. - Música: Sonho impossível – Maria Bethânia - Criação e análise de itens utilizando como critério de classificação o marco teórico do PISA. Exemplos de itens do PISA.
7º. - Apresentação, discussão e análise das atividades de Estudos Complementares.
8º. - Finalização das apresentações das atividades de estudos complementares - Atividade 3 de análise de itens e socialização.
Fonte: Acervo próprio
13
COLASSANTI, Marina. Disponível em http://www.releituras.com/mcolasanti_eusei.asp. Acesso em 22 ago. 2010. 14
Salto para o futuro DVD 37 e 38 de 2’03” a 3’04” – entrevista com os professores Ubiratan D’Ámbrósio e João Bosco Pitombeira (Prof. Do Departamento de Matemática – PUC/RJ) que falam sobre a importância de saber Matemática para resolver situações da vida. (http://www.youtube.com/watch?v=djg7LaGJ0fc) 15
Vídeo – reflexão - O ponto Avaliar – 2’ - produzido por Gilson Aparecido Castadelli. Um vídeo sobre avaliar não especificamente para Matemática. (http://www.youtube.com/watch?v=-Qpq3dRXthE) 16
“Avaliar para ensinar melhor” – Denise Pellegrini. Texto na íntegra disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/planejamento-e-avaliacao/avaliacao/avaliar-ensinar-melhor-424538.shtml
72
As atividades de cada encontro encontram-se, na íntegra, no Apêndice E.
A seguir, discutimos o planejamento das atividades que foram
selecionadas para servirem de subsídio para o desenvolvimento desta
pesquisa, ou seja, as atividades que, além de estarem no curso de formação,
tinham ligação com as nossas questões de pesquisa. Ressaltamos que tais
atividades são as relacionadas à compreensão do sistema de avaliação
externa e as relativas a equações e sistemas de equações.
O planejamento das atividades escolhidas, as quais estão relacionadas
à nossa pesquisa, está apresentado com a seguinte organização: (1) atividades
escolhidas dos materiais de apoio da SEESP (do CA), (2) textos e
apresentações em slides, (3) itens selecionados de Relatórios Pedagógicos do
Saresp (2008/2009) para análise e classificação, (4) atividade de criação e
classificação de itens.
A seguir descrevemos cada um dos tópicos da construção do módulo.
4.2.1 Atividades escolhidas dos materiais de apoio da SEESP
A escolha dessas atividades teve por objetivo subsidiar o professor para
o desenvolvimento do conteúdo de álgebra abordado nos CA, em particular
equações e sistemas de equações, para posteriormente analisar e elaborar
itens relacionados aos tópicos de álgebra.
Relembramos que os Cadernos do Aluno são materiais organizados em
volumes, que são divididos em quatro Situações de Aprendizagem (SA). As
atividades aqui elencadas são parte ou a totalidade de SA.
As atividades seguintes foram planejadas para discussão nos encontros
presenciais.
I. Atividade da p. 40 a 47 do CA – 7ª série/8o. ano - Volume 3 – 2009 –
Situação de aprendizagem 3 – Equações, tabelas e gráficos.
Essa atividade faz parte de uma situação de aprendizagem e apresenta
a resolução gráfica de sistemas de equações do 1º. grau. Ela é composta de
vários itens escolhidos de álgebra, e o professor deverá observar o caminho
pelo qual o aluno é conduzido para encontrar as soluções dos sistemas, como,
por exemplo, o conjunto numérico para cada sistema de equações ou a
solução no plano cartesiano.
73
Parte da atividade encontra-se na figura abaixo e a atividade, na íntegra,
está no Anexo B.
Figura 4: Atividade do Caderno do aluno sobre sistema de equações. Fonte: CA – Matemática - 7ª série/8º ano – Volume 3, p. 41, 2009.
74
II. Situação de aprendizagem 3 – p. 34-42 do CA – 8ª. série/9º. ano –
Volume 2 – 2009 – Grandezas Proporcionais: Estudo funcional, significados e contextos.
A situação de aprendizagem 3 foi selecionada para ser discutida na
íntegra no curso. Ela apresenta uma série de atividades com o conteúdo de
grandezas proporcionais. A intenção é que o professor as desenvolva e
perceba possíveis dificuldades que o aluno poderia ter, fornecendo sugestões
para saná-las.
Parte da situação de aprendizagem encontra-se na figura abaixo. A
Atividade na íntegra está no Anexo B.
Figura 5: Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas proporcionais Fonte: CA – Matemática - 8ª. série/9º. ano – Volume 2, p. 34, 2009.
75
As atividades seguintes foram planejadas como estudos
complementares. Cada grupo receberá uma SA para fazer uma análise, como
descrito a seguir, e posteriormente apresentar para o grupo maior.
Quadro 12: Atividade de Estudos Complementares
Fonte: Acervo próprio
A escolha desse roteiro para a atividade de estudos complementares foi
embasada em Serrazina (2010), para a qual uma formação continuada deve
contemplar a utilização dos conhecimentos dos professores envolvidos,
valorizando suas práticas letivas como ponto de partida para as discussões ao
longo da formação.
As Situações de Aprendizagem escolhidas para estudos
complementares foram:
III. Situação de Aprendizagem 4 – CA e do Professor – 1ª. série do
Ensino Médio – Volume 3 – 2009 – “As múltiplas faces das potências e dos
Logaritmos: problemas envolvendo equações e inequações em diferentes
contextos”.
A situação de aprendizagem escolhida contempla problemas em
diferentes contextos que necessitem de conhecimento de potências e de
logaritmos.
Parte da Situação de Aprendizagem encontra-se na figura a seguir. A
Situação de Aprendizagem está, na íntegra, no Anexo B.
Os grupos deverão fazer uma análise da Situação de Aprendizagem e apresentar para o grupo maior. Essa apresentação deverá ser de 10 a 15 minutos, em PPT e em texto, contendo: I – introdução; II – competências e habilidades; III – estratégias; IV – pontos facilitadores para a aplicação da Situação de Aprendizagem; V – pontos dificultadores para a aplicação da Situação de Aprendizagem; VI – conhecimentos prévios que o aluno necessita para realização da Situação de Aprendizagem; VII – pesquisa de Multimídia que aborde o conteúdo da Situação de Aprendizagem.
76
Figura 6: Situação de Aprendizagem para Estudos Complementares Fonte: CA – Matemática – 1ª. série do EM - Volume 3 – p. 43 – 2009.
IV. Situação de Aprendizagem 4 – CA e do Professor – 2ª. série do
Ensino Médio – Volume 1 – 2009 – “Equações Trigonométricas”.
A Situação de Aprendizagem problematiza fenômenos periódicos,
utilizando conhecimentos de trigonometria e, em particular, equações
trigonométricas.
Parte da Situação de Aprendizagem encontra-se na figura a seguir. A
Situação de Aprendizagem está, na íntegra, no Anexo B.
77
Figura 7: Situação de Aprendizagem envolvendo equações trigonométricas Fonte: CA – Matemática – 2ª série do EM – Volume 1, p. 52, 2009.
V. Situação de Aprendizagem 1 – CA e do Professor – 3ª. série do Ensino
Médio – Volume 2 – 2009 –“A Equação de 3º. grau e o Aparecimento
Natural dos Números Complexos”
Essa SA explora a relação entre os coeficientes da equação do 3º. grau, a
fórmula de Tartaglia e Cardano e o aparecimento dos números complexos.
78
A SA está, na íntegra, no Anexo B.
Figura 8: Equação do 3º. grau e a fórmula de Tartaglia e Cardano Fonte: CA – Matemática – 3ª série do EM – Volume 2, p.6, 2009.
VI. Situação de Aprendizagem 3 – CA e do Professor – 3ª. série do
Ensino Médio – Volume 2 – 2009 – “Equações e polinômios: divisão por
x – k e redução do grau da equação”.
A Situação de Aprendizagem em questão enfatiza a resolução de
equações a partir da redução do grau da equação por meio da divisão de
polinômios pelo Algoritmo de Briot-Ruffini.
Parte da Situação de Aprendizagem está na figura abaixo. A Situação de
aprendizagem está, na íntegra, no Anexo B.
79
Figura 9: Situação de aprendizagem sobre equações e polinômios Fonte: CA – Matemática – 3ª série do EM – Volume 2, p. 22, 2009.
4.2.2 Textos e apresentação de slides
Nesta seção, discutimos os textos que foram selecionados no curso e
que estão relacionados com o objetivo desta pesquisa.
Os textos foram selecionados para embasamento teórico e são os
seguintes:
VII. ARAUJO, E. A. Contextualização do Ensino da Álgebra e Formação de
Professores. Encontro Paulista de Educação Matemática, 2004.
Esse artigo foi selecionado para discussão no curso por relatar o
caminho que o ensino de álgebra percorreu desde sua inserção no
currículo no Brasil, em 1799 até os dias atuais. Descreve sobre a
influência que o Movimento da Matemática Moderna teve no ensino de
álgebra, sendo tratado com um rigor exacerbado, perdendo significado
na Educação Básica e como atualmente, tenta recuperar seu potencial
instrumental para a resolução de problemas.
VIII. CASTRO, M. H. G. Sistemas de Avaliação da educação no Brasil:
avanços e novos desafios. Revista São Paulo em Perspectiva. São
Paulo, v. 23, n. 1, p. 5-18, jan./jun. 2009.
Esse texto foi escolhido para discussão com um grupo de professores do
curso, por descrever e analisar os sistemas de avaliação da educação
básica brasileira, focalizando a concepção e metodologia, o processo de
80
implementação das avaliações externas e as dificuldades de utilização
dos resultados para melhorar a qualidade das escolas. Aborda o caso de
São Paulo, com destaque para a agenda da reforma educacional e as
políticas voltadas para a melhoria da qualidade do ensino.
Além dos textos para discussão, preparamos slides em software de
apresentação sobre as seguintes temáticas:
IX. Analisando a Avaliação
Nessa apresentação, discutimos algumas diferenças entre a avaliação
que o professor faz em sala de aula com seus alunos e a avaliação em
larga escala, aqui denominada avaliação externa, cujos resultados
objetivam subsidiar as tomadas de decisões quanto a políticas de
financiamentos, de capacitação e de organização pedagógica (Ver
Apêndice C.).
X. Matriz de Referência do Saresp
Nessa apresentação, fazemos uma análise da Matriz de Referência do
Saresp, especialmente quanto às competências do sujeito, os quatro
temas e suas competências, os níveis de proficiência, ciclo de
matematização e as habilidades avaliadas e alguns exemplos de itens.
XI. Avaliações Externas
Nessa apresentação, focamos os critérios a serem utilizados para
análise dos itens no curso, utilizando as Matrizes de Referência do
Saresp e alguns critérios do PISA – Programa Internacional de Avaliação
de Estudantes (Ver Apêndice D.).
Na próxima seção, discutimos a seleção de itens de Relatórios Pedagógicos
do Saresp (2008/2009).
4.2.3 Itens selecionados de Relatórios Pedagógicos do Saresp (2008/2009)
A escolha desses itens foi feita levando em consideração que, nos
relatórios do Saresp, está apontado um número elevado de questões de
álgebra com altos índices de erros. Para análise, escolhemos itens de álgebra
de 6º. ano do Ensino Fundamental ao 3º. ano do Ensino Médio contidos nos
Relatórios Pedagógicos do Saresp de 2008 e 2009, que apontaram baixo
81
rendimento dos alunos. Procuramos itens os mais variados possíveis e que se
tornaram públicos através desses relatórios: contextualizados, não
contextualizados, apenas de interpretação, apenas de resolução, envolvendo
diversos conteúdos de álgebra.
Foram selecionados 20 itens distribuídos em três atividades planejadas
para encontros distintos, sendo que, destes, descrevemos 11 por serem de
equações e sistemas de equações, conteúdo foco de nossa pesquisa.
Descrevemos, a seguir, cada uma das três atividades e nelas os itens
selecionados para a pesquisa. Em cada item, apresentamos a análise que
consta no Relatório Pedagógico e a nossa análise prévia, na qual identificamos
o que poderia ser discutido com o grupo de professores no curso.
Atividade 1 de Análise de Itens(na íntegra no Apêndice E)
A primeira atividade contém quatro itens para análise, abordando
conteúdo do Ensino Fundamental II, a ser desenvolvida em pequenos grupos
e, em seguida, socializada com o grupo maior.
A proposta desta primeira atividade encontra-se no quadro a seguir:
Quadro 13: 1ª. Atividade de análise de itens
Fonte: Acervo pessoal
Nessa atividade, os itens selecionados compreendem os conteúdos
desenvolvidos no Ensino Fundamental II de expressões algébricas,
porcentagem, equações, sistemas de equações; no entanto, elencamos aqui os
três itens que se referem ao foco de nossa pesquisa. Relembramos que todas
as atividades do curso encontram-se no Apêndice E.
Item 1: Exemplo 13. p. 158 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009
Habilidade Avaliada – H16 (da 8ª. série/9º. ano): Resolver problemas que
envolvam porcentagem.
Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.
82
Figura 10: Item 1 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.158)
Vale ressaltar que a alternativa destacada em cinza escuro é a correta.
No caso do exemplo 13 acima, trata-se da alternativa b.
Análise apresentada no Relatório Pedagógico do Saresp
Quadro 14: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 1
Uma das formas de resolver o problema é o aluno raciocinar que se x é o preço
das 5 toalhas, o preço de cada uma é 5
x. Na promoção quem leva 5 toalhas paga o
preço de 3, isto é, paga 5
3x. O desconto é de (x -
5
3x) =
5
2x.
Então, se o valor original de 5 toalhas x corresponde a 100% então o desconto
5
2x corresponde a y%. Então y= 40%.
A alternativa B foi assinalada por 29,7% dos alunos. Estes mostraram habilidade para resolver problema envolvendo o percentual correspondente a descontos em promoções comerciais. Os alunos que marcaram A, cerca de metade
deles (49,2%), possivelmente concluíram que o desconto é de5
x, que corresponde a
20%.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.158
Análise prévia desse item
Síntese da tarefa: Determinar o valor percentual do desconto na compra de 5
toalhas.
Comentários: Para responder a esse item, o aluno deve ler e interpretar a
situação-problema, criar uma estratégia para a resolução, fazer cálculos e
83
analisar a solução encontrada. Uma das estratégias foi indicada no Relatório e
descrita acima, outra poderia ter sido determinar o valor percentual pago pelas
três toalhas e, em seguida, subtrair de 100%.
A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao
Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade
avaliada é H16 (da 8ª. série/9º. ano): Resolver problemas que envolvam
porcentagem. É contextualizada e a situação é próxima ao cotidiano do aluno.
Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível avançado, exige
uma reflexão, ou seja, o aluno deve adotar uma estratégia de resolução e
decidir se o resultado encontrado representa a solução da situação-problema.
Esse item teve um índice de erro de 70,3%, o que nos permite concluir
que os alunos que erraram não dominam esse conteúdo ou não interpretaram
corretamente o proposto nessa situação-problema.
Item 2: Exemplo 14. p. 127 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009
Habilidade Avaliada – H15 (da 6ª. série/7º. ano): Expressar e resolver
problemas por meio de equações.
Figura 11: Item 2 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.127)
84
Análise apresentada no Relatório Pedagógico do Saresp
Quadro 15: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 2
Uma das maneiras de resolver o problema proposto é traduzi-lo para a linguagem matemática: 3x + x + 4 = 36, onde x representa o total de votos do 2º. colocado, 3x, o total de votos do 1º. e 4 o número de votos do último colocado, com total geral de 36, visto que todos votaram, não houve votos nulos nem brancos. Resolvendo a equação resultante, temos:
4x = 32 x = 8 (2º.colocado) o vencedor teve 3x votos, isto é, ,
alternativa C, assinalada por quase 39% dos alunos. Não sabemos se os erros estão localizados na tradução do problema para a
linguagem matemática, se residem na resolução da equação ou, ainda, em erros de cálculo. Observe-se que, 61% dos alunos possivelmente não tentaram verificar que números das alternativas satisfazem o problema.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.128
Análise prévia do item
Síntese da tarefa: Expressar uma situação-problema na linguagem algébrica.
Determinar a quantidade de votos conquistados pelo vencedor de uma eleição
para representante de uma turma.
Comentários: Para responder a esse item, o aluno deve ler e interpretar a
situação-problema, expressá-la na linguagem algébrica como a apresentada na
análise do Relatório, resolver a equação e analisar se o resultado obtido
satisfaz as condições do problema.
A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao
Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade
avaliada é H15 (da 6ª. série/7º. ano): Expressar e resolver problemas por meio
de equações. É contextualizada e a situação é próxima ao cotidiano escolar do
aluno. Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível
adequado, exige uma conexão, ou seja, o aluno deve fazer a ligação entre a
linguagem materna e a linguagem matemática, resolver a equação e apontar
seu resultado na linguagem materna.
Esse item requer atenção, pois apenas 38,7% dos alunos acertaram. O
professor deverá investigar se os alunos estão com dificuldades para
interpretar ou para resolver a equação.
Item 3: Exemplo 20. p. 132 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009
Habilidade Avaliada – H15 (da 6ª. série/7º. ano): Expressar e resolver
problemas por meio de equações.
85
Figura 12: Item 3 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.132)
Análise apresentada no Relatório Pedagógico do Saresp
Quadro 16: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 3
Uma das maneiras de resolver o problema é, primeiro, expressá-lo em
linguagem matemática:
onde x é o número de prédios e
é o número
de casas. Temos
(total de prédios)
(total de casas), alternativa C, assinalada por apenas 37,7% dos alunos.
Este percentual sobe para 44,2% para os alunos da 8ª. série/9º. ano. Não sabemos, em ambos os casos, se os erros cometidos estão na tradução do problema para a linguagem matemática e/ou na resolução da equação, e/ou nos cálculos com frações.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.133
Análise prévia do item
Síntese da tarefa: Resolver problema. No caso, determinar o número de casas
de uma rua conhecendo-se o número total de edificações e a relação entre
número de casas e prédios da rua.
Comentários: Para resolver esse item, o aluno deve ler e interpretar a
situação-problema traduzi-la para a linguagem algébrica, resolver a equação ou
o sistema de equações e apresentar a solução na linguagem materna. O aluno
86
1) Classificar o item de acordo com a Matriz de Referência do Saresp (Grupo e habilidade) 2) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 3) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 4) Acrescentar os comentários do grupo.
poderá resolver o problema como o foi apontado no Relatório, ou, então,
transformá-lo em um sistema de equações.
Sendo c o número de casas e p o número de prédios, temos:
Resolvendo o sistema, o aluno encontrará os valores c = 45 e p = 25.
Esse item compreende os objetos de conhecimento (conteúdo) relativos
ao Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade
avaliada é H15 (da 6ª. série/7º. ano): Expressar e resolver problemas por meio
de equações. É contextualizada e a situação é próxima ao cotidiano pessoal do
aluno. Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível
adequado, exige uma conexão, ou seja, o aluno deve fazer a ligação entre a
linguagem materna e a linguagem matemática, resolver a equação e
apresentar seu resultado na linguagem materna.
Esse item foi aplicado na 6ª. série/7º. ano e 8ª. série/9º. ano com um
acréscimo de 6,5% de acerto de uma série/ano para o(a) outro(a). Mesmo
assim, não atinge a metade dos alunos. Isso nos faz levantar a hipótese de que
esse conteúdo foi desenvolvido na 6ª. série/7º. ano e não foi mais retomado
nos dois anos seguintes.
Atividade 2 de Análise de itens (Ver apêndice E)
A segunda atividade contém três itens para análise, abordando conteúdo
do Ensino Fundamental II, no caso, equações e sistemas de equações, a ser
desenvolvida em pequenos grupos e em seguida socializada com o grupo
maior.
A proposta dessa atividade encontra-se no quadro a seguir
Quadro 17: 2ª. Atividade de Análise de itens
Fonte: Acervo próprio
87
Os itens nessa atividade são apresentados para o grupo sem estarem
acompanhados da habilidade avaliada. Nesse aspecto, a atividade difere da
anterior, na qual a habilidade estava explicitada no item.
O objetivo, ao se excluir a habilidade avaliada, é verificar se os
professores estão se apropriando da classificação dos itens apresentados na
matriz de referência do Saresp.
Os itens escolhidos foram:
Item 4: Exemplo 22. p. 134 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 6ª.
Série/7º. ano – EF
Figura 13: Item 4 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.134)
Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009
Quadro 18: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 4
A alternativa correta foi a D, assinalada por apenas 25,6% dos alunos.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.134
Análise prévia do item
Síntese da tarefa: Identificar a raiz de uma equação dada.
Comentários: Para responder a esse item, o aluno poderá aplicar as técnicas
de resolução de equação do primeiro grau para então identificar a alternativa
correta. Ele poderá determinar o mmc (3,2) = 6 para reduzir ao mesmo
denominador, resolver a equação e verificar se a raiz encontrada satisfaz a
equação do 1º. grau.
88
Esse item compreende os objetos de conhecimento (conteúdo) relativos
ao Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo II: Competências para realizar. A habilidade avaliada é
H14 (da 6ª. série/7º. ano): resolver equações do 1º. grau. Considerada pelo
resultado contido no relatório como de nível avançado, é um item de
reprodução, pois avalia a habilidade de resolver a equação sem contexto.
Esse item apresentou um alto índice de erro, 74,4%, para a habilidade
avaliada. Provavelmente, os alunos apresentem dificuldades para reduzir ao
mesmo denominador e resolver equações na forma fracionária.
Item 5: Exemplo 2. p. 148 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 8ª.
série/9º. ano – EF
Figura 14: Item 5 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.148)
Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009
Quadro 19: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 5
Trata-se de uma questão de expressão de um problema em linguagem matemática. Cerca de apenas 58% dos alunos mostram esta habilidade em um problema simples envolvendo um sistema de equações. É pequeno este percentual de acerto, se observamos o nível de dificuldade da questão e a série/ano considerada. Não é possível uma análise consistente sobre os prováveis erros cometidos pelos alunos que marcaram os distratores.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.148
Análise prévia do item
Síntese da tarefa: Expressar um problema em linguagem matemática, em
particular através de um sistema de equações.
89
Comentários: O aluno deve ler e interpretar a situação-problema e transformá-
la em um sistema de equações.
Esse item compreende os objetos de conhecimento (conteúdo) relativos
ao Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo I: Competências para observar. A habilidade avaliada é
H06 (da 8ª. série/9º. ano): identificar um sistema de equações de 1º. grau que
expressa um problema. Considerada pelo resultado contido no relatório como
de nível básico, a situação apresentada é próxima ao cotidiano escolar do
aluno. É um item de conexão, pois faz com que o aluno relacione uma situação
contextualizada com a linguagem matemática.
Embora 57,6% dos alunos tenham acertado essa questão, ela ainda
apresenta um índice de erro de 42,4%.
Item 6: Exemplo 16. p. 160 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 -– 8ª.
série/9º. ano – EF
Figura 15: Item 6 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.160)
90
Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009
Quadro 20: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 6
A questão pede simplesmente a resolução do sistema de equações e o aluno pode fazê-la de muitas maneiras, uma delas:
De 6x – y = 2 vem – y = 2 – 6x e, portanto, y = 6x – 2 (I). Levando este resultado para a segunda equação, temos:
Substituindo em (I), vem y = 4 Assim, o produto dos dois números xy = 4, alternativa A, marcada por apenas
35% dos alunos. Este percentual de acertos é pequeno se olharmos para o nível de dificuldade da questão e a série/ano considerada.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.161
Análise prévia do item
Síntese da tarefa: Resolver um sistema de equações do 1º. grau e calcular o
produto x.y.
Comentários: Para responder a esse item, o aluno deve resolver o sistema de
equações por substituição (como o apresentado no relatório) ou por adição,
assim:
Substituindo x = 1 na segunda equação, temos y = 4, portanto o produto
será x.y = 4.
A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao
Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade
avaliada é H18 (da 8ª. série/9º. ano): Resolver sistemas lineares (método da
adição ou da substituição). A questão não está contextualizada e a situação é
próxima ao cotidiano escolar do aluno. Considerada pelo resultado contido no
relatório como de nível avançado, exige um agrupamento de competência de
reprodução, ou seja, aplicar o procedimento de resolução de sistemas de
equações para resolver o sistema.
Houve um alto índice de erro, 65%. Não podemos afirmar quais as
causas desse resultado, apenas levantar hipóteses; e uma delas é que os
alunos que erraram podem estar com dificuldades para aplicar os métodos de
resolução de sistemas.
91
Atividade 3 de Análise de Itens (Ver apêndice E)
Os itens a serem analisados nesta atividade contemplam conteúdos de
álgebra do Ensino Fundamental e Médio. Nesta atividade, está planejado
discutir com o grupo o significado de síntese da tarefa para ser incorporada à
análise de um item, ou seja, o professor identificar qual a tarefa a ser realizada
pelo aluno para resolver a questão.
A proposta é que a atividade seja desenvolvida em grupos, e que cada
grupo analise três ou quatro itens com as instruções a seguir (ver atividade na
íntegra no apêndice E):
Quadro 21: 3ª. Atividade de análise de itens
Fonte: acervo próprio
Essa atividade se compõe de treze itens, dos quais cinco são discutidos
a seguir por estarem relacionados a equações e sistemas de equações, que
são relativos à nossa pesquisa. Os demais itens selecionados para o curso
encontram-se, na íntegra, no Apêndice E.
Item 7: Exemplo 4. p. 190 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª. série
Ensino Médio
Figura 16: Item 7 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.190)
Discutir em grupo: 1. A solução das questões 2. Síntese da tarefa 3. Comentários
92
Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009
Quadro 22: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 7
Chamando de x a quantia em reais de João, y a de Sandra e z a de Marcos, podemos escrever o problema proposto da seguinte forma:
De (I), x + y = 100 – z
Em (II), 2(100 – z) + z = 150 200 – z = 150 z = 50 De (I), y + z = 100 – x
Em (III), x + 2(100 – x) = 180 x + 200 – 2x = 180 x = 20 y = 30 A resposta 20, 30, 50 aparece na alternativa A, marcada por cerca de 46% dos
alunos. Não sabemos se os erros cometidos pelos alunos que optaram pelos distratores são devidos à tradução do problema para a linguagem matemática e/ou a resolução do sistema.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.190
Análise prévia do item:
Síntese da tarefa: Expressar a situação-problema na linguagem matemática,
em um sistema de equações de 1º. grau com três incógnitas, resolver esse
sistema e representar a solução na linguagem materna.
Comentários: Para responder a esse item, o aluno poderá resolver o sistema
como o proposto no relatório ou, por escalonamento:
Chamando de x a quantia em reais de João, y a de Sandra e z a de
Marcos, temos
Portanto João tem 20 reais, Sandra 30 e Marcos 50.
A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao
Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade
avaliada é H14 (da 3ª. série do EM): Resolver situações-problema por
intermédio de sistemas lineares até a 3ª. ordem. O item está contextualizado e
a situação é próxima ao cotidiano pessoal do aluno. Considerada pelo
93
resultado contido no relatório como de nível básico, exige uma reflexão, ou
seja, transformar a situação-problema na linguagem algébrica, decidir a
estratégia para resolver o sistema, verificar se a solução satisfaz as condições
do problema.
O índice de acertos foi de 45,9%, ainda baixo, pois 54,1% dos alunos
erraram essa questão. Por ser uma questão objetiva, não temos como verificar
o desenvolvimento na resolução de cada aluno e não sabemos indicar as
dificuldades dos alunos, apenas levantar hipóteses, como as relacionadas no
relatório.
Item 8: Exemplo 27. p. 212 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª.
série EM
Figura 17: Item 8 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.212)
Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009:
Quadro 23: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 8
x = 8, alternativa B, assinalada por apenas 19,3% doa alunos. Não podemos levantar hipóteses plausíveis a respeito dos possíveis erros.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.212
Análise prévia do item
Síntese da tarefa: Resolver a equação logarítmica e identificar a solução.
Comentários: Para responder a esse item, o aluno deve resolver a equação,
aplicando as propriedades de logaritmo, como a solução apresentada no
relatório.
A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao
Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo II: Competências para realizar. A habilidade avaliada é
94
H12 (da 3ª. série do EM): Resolver equações e inequações simples, usando
propriedades de potências e logaritmos. O item não está contextualizado,
requer apenas o nível técnico para solução, e a situação é próxima ao cotidiano
escolar do aluno. Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível
avançado, a estratégia de resolução exige uma conexão entre conteúdos
matemáticos, como a definição de equação, propriedades de logaritmos,
propriedades de potências, equação de 2º.grau.
O item apresenta um índice de erro elevado, 80,7%. Embora não se
saibam as causas, esse conteúdo precisa ser retomado.
Item 9: Exemplo 2. p. 188 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª. série EM
Figura 18: Item 9 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.188)
Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009
Quadro 24: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 9
Os alunos precisam escrever em linguagem matemática o problema proposto: Chamando de x o peso da lata e de y o peso do achocolatado que pode enchê-
la, temos
Resolvendo o sistema, vem:
, alternativa A, marcada por mais da metade (53,3%)
dos alunos. Não sabemos se os erros cometidos pelos alunos que optaram pelos
distratores são devidos à tradução para a linguagem matemática e/ou à resolução do sistema.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.188
95
Análise prévia do item
Síntese da tarefa: Expressar uma situação-problema na forma de sistema de
equações, resolvê-lo e verificar se os valores encontrados são solução do
problema.
Comentários: Para responder a esse item, o aluno deverá traduzir a situação-
problema para a linguagem matemática, expressando-a como um sistema de
equações do 1º. grau com duas incógnitas, resolver pelo método da adição ou
da substituição, encontrando o valor de 100g para o peso da lata.
A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao
Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade
avaliada é H14 (da 3ª. série do EM): Resolver situações-problema por
intermédio de sistemas lineares até a 3ª. ordem. O item está contextualizado
numa situação próxima ao cotidiano pessoal do aluno. Considerada pelo
resultado contido no relatório como de nível básico, a estratégia de resolução
exige uma conexão entre a linguagem materna e a linguagem matemática e
entre conteúdos matemáticos.
O índice de acerto dos alunos (53,3%), pouco mais da metade, ainda
preocupa, merece atenção dos professores para que propiciem uma retomada
desse conteúdo e auxiliem nas dificuldades de seus alunos durante a resolução
de situações-problema envolvendo sistemas de equações.
Item 10: Exemplo 18. p. 203 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª.
série EM
Figura 19: Item 10 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.203)
96
Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009
Quadro 25: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 10
Os alunos devem mostrar a habilidade de resolver equações que envolvem a incógnita como expoente:
alternativa D, assinalada por cerca de 40% dos alunos. Não temos como saber quantos deles “experimentaram”, na equação, os valores dados nas alternativas e assinalaram a correta sem ter resolvido equação.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.203
Análise prévia do item
Síntese da tarefa: Resolver a equação exponencial.
Comentários: Para responder a esse item, o aluno deverá utilizar as
propriedades de potenciação para resolver a equação exponencial e então
determinar a raiz da equação, x = 3.
A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao
Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo II: Competências para realizar. A habilidade avaliada é
H12 (da 3ª. série do EM): Resolver equações e inequações simples, usando
propriedades de potências e logaritmos. O item não está contextualizado,
requer apenas que o aluno aplique técnicas de resolução, sendo uma situação
científica. Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível
adequado, a estratégia de resolução exige uma reprodução das propriedades e
técnicas de resolução.
O índice de erro dos alunos, 61,3%, requer dos professores uma revisão
nas estratégias utilizadas para desenvolver tais conteúdos, verificar com os
alunos como resolvem essas equações e, talvez, por ser um conteúdo da 1ª.
série do EM, provavelmente, não podemos afirmar, não tenha sido retomado
nas séries subsequentes.
97
Item 11: p. 101 do Relatório Pedagógico do Saresp 2008 – 8ª. série/9º. ano – EF
Figura 20: Item 11 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2008, p.101)
Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2008
Quadro 26: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 11
Para resolver este problema, o aluno deve reconhecer a relação de proporcionalidade direta entre quilômetros percorridos e litros de combustível consumido para, com uma regra de três simples, determinar o total de combustível para fazer uma viagem de 960 km. Isto é, 120 __________ 15 960 ____________ x
litros.
Com o preço de R$ 2,00 o litro, Carla gastará Portanto, alternativa D.
Apenas 34% dos alunos assinalaram D. O registro de 20% que escolheram a alternativa A, deve-se provavelmente ao fato de os alunos, por desatenção, acharem que a solução estava dada pelo total de combustível (120 l) necessário para fazer a viagem.
O percentual de acerto deve ser maior, em questões como esta, para alunos de 8ª. série do ensino fundamental, dado que a proporcionalidade é um dos assuntos fundamentais em matemática e é trabalhado por várias perspectivas.
Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2008, p.101
Análise prévia do item
Síntese da tarefa: Resolver uma situação-problema, usando o conceito de
proporcionalidade direta através de regra de três simples.
Comentários: Para responder a esse item, o aluno deverá ler e interpretar a
situação-problema, decidir a estratégia de resolução, optando, provavelmente,
por estabelecer a proporção entre as grandezas, encontrar o valor de 120 litros
de combustível e perceber que deverá calcular quanto será gasto, devendo
encontrar o valor de R$ 240,00.
98
A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao
Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito
referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade
avaliada é H20 (da 8ª. série/9º. ano do EF): Resolver problemas envolvendo
relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de
funções do 1º. grau. O item está contextualizado numa situação próxima ao
cotidiano pessoal do aluno. Considerada pelo resultado contido no relatório
como de nível adequado, a estratégia de resolução exige uma conexão entre a
linguagem materna e a linguagem matemática e entre conteúdos matemáticos.
Devido ao índice de erro dos alunos, 66%, podemos levantar a hipótese
de que esse conteúdo tenha sido pouco trabalhado nessa série.
4.2.4 Atividade de elaboração e classificação de itens
Nesta seção, discutimos a atividade de criação e classificação de itens,
prevista para ser desenvolvida no encontro 6.
A atividade foi planejada com o objetivo de promover reflexões
compartilhadas ao longo do processo de elaboração do item pelo grupo, desde
a escolha do conteúdo matemático, até as características intrínsecas da
questão (redação do enunciado, proposta da situação, competências,
habilidades em jogo etc.)
Quanto à classificação de itens, dessa vez, planejamos utilizar também
parte do marco teórico do PISA, solicitando a indicação da situação ou contexto
(pública, pessoal, educacional/ocupacional, científica), o agrupamento de
competências (reprodução, reflexão ou conexão), o conteúdo matemático
envolvido e o tipo de item (aberto, múltipla escolha etc.).
O objetivo é levar o professor a refletir sobre diversas possibilidades de
classificação de itens, a partir do estabelecimento de critérios distintos,
ampliando, dessa forma, o olhar que esteve focado nos critérios do Saresp.
Vale frisar que as situações ou contexto, conforme o marco teórico do
PISA, são definidos de acordo com a proximidade do aluno com a situação,
podendo ser pessoais – temas mais próximos a vida pessoal do estudante;
educacionais/ocupacionais – temas relativos à vida escolar, profissional ou
lazer; pública – temas referentes à comunidade local e à sociedade; científicas
99
– temas mais distantes da vida de um estudante. Os agrupamentos de
competências são reprodução, conexão ou reflexão. Reprodução – envolve a
reprodução de conhecimentos já praticados. Conexão – apoia-se nas
competências do agrupamento reprodução, no entanto utilizados na resolução
de situações-problema com contextos próximos ou não de sua vida pessoal.
Reflexão – apoia-se no agrupamento de conexão, no entanto envolve a
capacidade de planejar estratégias de resolução e implementá-las em
contextos de problemas que contêm mais elementos que não sejam tão
familiares como os anteriores. As ideias estruturadoras são quantidade; espaço
e forma; mudanças e relações; indeterminação, estas últimas similares às
apresentadas na Matriz de Referência do Saresp (2009) separadas pelos
temas grandezas e medidas; espaço e forma; números, operações e funções;
tratamento da informação, respectivamente.
Após a atividade de criação e classificação por grupo, planejamos que
houvesse a socialização no grande grupo.
No próximo capítulo, analisamos os encontros de formação, com foco
em nosso interesse de pesquisa.
100
CAPÍTULO 5
Nesta seção, relatamos e analisamos temáticas dos encontros do curso
que tiveram relação com nossa questão de pesquisa, isto é, o curso como um
todo foi o cenário de pesquisa, contudo delimitamos, neste texto, os relatos dos
encontros ou partes de encontros cuja temática envolveu a avaliação e as
equações e sistemas de equações.
5 ANÁLISE DE EPISÓDIOS DOS ENCONTROS
Vale esclarecer que, quando utilizamos a primeira pessoa do singular,
estamos relatando ações individuais da pesquisadora, no papel de formadora
durante os encontros do módulo de álgebra e, quando nos referirmos à
primeira pessoa do plural, estamos tratando de decisões que foram tomadas
sobre a pesquisa no âmbito da universidade: pesquisadora e orientadora em
conjunto.
Relatamos e analisamos parte dos encontros, nos quais foram discutidos
exatamente temas ligados às características das avaliações externas,
equações, sistemas de equações e análise de itens.
Encontro 1
No primeiro encontro, foi apresentado o curso, informando aos
professores sua estrutura, tanto a parte presencial quanto a distancia.
Iniciamos discutindo a presença da álgebra na matemática escolar, isto
é, como ela está inserida no Currículo de Matemática e suas Tecnologias na
Educação Básica e, especificamente, a distribuição dos conteúdos no Ensino
Fundamental (a partir da 6ª. série/7º. ano) e no Ensino Médio. O texto
“Sistemas de Avaliação da Educação no Brasil”, de Maria Helena Guimarães
de Castro (2009) foi lido e discutido em pequenos grupos e em seguida
socializado no grupo maior.
Percebemos, nessa discussão, que os professores conheciam as
avaliações externas aplicadas no Brasil, como Saeb, Enem, Encceja, no
entanto não conheciam a estrutura de exames internacionais como, por
exemplo, o PISA.
O professor MA disse que
101
a escola, há 30 ou 40 anos atrás [sic], era considerada melhor, mas estava voltada só
para uma minoria selecionada e não para todos. (MA – registro em áudio)
Observamos que o professor apresentou para a discussão no grupo a
questão do acesso e democratização da escola e as consequências da
inclusão de alunos das mais diversas classes sociais, necessidades e crenças.
Hoje a qualidade do ensino é o grande desafio. Levantada tal questão, o grupo
discutiu sobre a importância de, como educadores, termos formas de medir a
qualidade da educação básica.
Após diversas ponderações e do debate sobre a validade de se fazer
avaliações do sistema de educação, o grupo chegou a um consenso sobre a
necessidade de se ter um “termômetro para medir se a escola vai bem”, sem
que esses resultados influenciem na sua remuneração17.
O grupo da professora AP (AP, DN, EL e TN), por meio da relatora, a
professora TN, comentou que
a qualidade da formação do professor também não é muito boa, pois saem da
faculdade com deficiências e sem preparo para ensinar. (registro em áudio)
Observamos que questões concernentes à profissionalização docente
na acepção de Imbernón (2000) foram aqui discutidas pelo grupo.
Na sequência. o foco de discussão se concentrou no exame do Saresp e
a reformulação, ocorrida a partir de 2007, feita de modo a torná-lo compatível
com as avaliações nacionais (Saeb). Foi discutida ainda a definição dos quatro
níveis de proficiência (abaixo do básico, básico, adequado e avançado) e a
criação de um índice para o Estado de São Paulo, no caso o IDESP – Índice de
Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo.
Encontro 2
Nesse encontro, foi retomada a discussão sobre ensino de álgebra na
Educação Básica no Brasil, por meio da história de seu ensino. Foi feita uma
apresentação em slides baseada no artigo de Elizabeth Adorno de Araujo
17
Por exemplo, no Estado de São Paulo, há um bônus anual no salário docente que está atrelado ao resultado obtido pela escola no SARESP.
102
(2010), intitulado “Contextualização do Ensino da Álgebra e Formação de
Professores”.
Quando se discutiu o Movimento da Matemática Moderna e a ênfase
no ensino de álgebra em detrimento dos estudos de geometria, a professora
CP disse que
talvez seja por esse motivo que nós, que éramos alunos na época, não aprendemos
geometria na escola. (CP - registro em áudio)
Reflexão sobre o processo de Profissionalização docente.
Encontro 3
Quanto à nossa pesquisa, no encontro foi discutida a Matriz de
Referência do Saresp e proposta a atividade 1 de análise de questões do
Saresp.
Em relação à Matriz de Referência do Saresp, foram detalhadas quais
as competências cognitivas do sujeito consideradas na matriz, as quais se
dividem em três grupos: competência para observar (GI), para realizar (GII) e
para compreender (GIII), quais as habilidades avaliadas pelo Saresp em cada
série/ano escolar e quais os conteúdos ou objetos do conhecimento que se
dividem em quatro grandes temas: Números, operações e funções; Espaço e
forma; Grandezas e medidas; Tratamento da informação. Além disso, foram
apresentados os níveis de proficiência, a escala de proficiência para cada nível
de escolaridade e o ciclo de matematização. Finalizando, foram discutidos três
exemplos de itens e feitas as análises, relacionando-os com a Matriz de
Referência.
Essas discussões tiveram por propósito subsidiar o professor para, em
seguida, empreender, de forma autônoma, análise dos itens das avaliações.
A primeira atividade de análise de itens do Saresp (atividade 1) solicitava
que fosse apresentada a solução que os alunos dariam para o problema, a
análise das alternativas incorretas (distratores), a aderência do item à
habilidade dada e, por último, fossem acrescentados comentários do professor
sobre o item. Essa atividade, a respeito de conteúdo do Ensino Fundamental,
continha quatro itens para análise II, deveria ser desenvolvida em pequenos
103
grupos e depois socializada com o grupo maior. Os itens propostos nessa
atividade, concernentes à nossa pesquisa, são os itens 1, 2 e 3 descritos na
seção 4.2.
Nesse encontro, os professores inicialmente se dividiram em 5 grupos18
para a análise dos itens; e, em seguida, foi feita a socialização no grande
grupo.
A seguir, apresentamos as análises e as reflexões que emergiram nos
grupos no desenvolvimento dessa atividade (análise dos três itens).
Em relação ao item 1, com o seguinte enunciado:
Observe a promoção indicada no quadro abaixo (no quadro havia a seguinte informação: Leve 5 toalhas e pague apenas 3. Considerando o valor unitário do produto, o desconto na compra de 5 toalhas na promoção será de: a. 20% b.40% c.60% d.80% Sendo que 49,2% assinalaram a alternativa a, 29,7% a b(correta), 14,1% a c e 5,9% a d.
Em relação às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões
de quatro dos grupos centraram-se na análise da alternativa com maior
frequência de erros, no caso, a alternativa “a” e conjecturaram sobre os
possíveis procedimentos que conduziram ao erro.
Conjecturas que surgiram:
Os alunos talvez tenham pensado que o desconto era sobre o valor unitário, ou seja,
20% do valor total. (Grupo 1)
Talvez tenham feito 5 menos 3 igual a 2 e multiplicaram por 10. A partir disso, uma
possibilidade é que eles não tenham entendido o que é desconto. (Grupo 2)
Regra de três e subtração de 100% para encontrar o desconto ou regra de três e
proporção para encontrar a resposta correta. (Grupo 5)
Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as
possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as
alternativas “a” ou “c” em vez de “b”. Quanto à alternativa “d”, os professores
não encontraram um possível raciocínio que levasse à resposta e disseram que
os alunos “chutaram”.
18
Grupo 1 – dos professores: FT, FB, YR, MC, PL, CG; Grupo 2 – dos professores: CL, MA, CP; Grupo 3 – dos professores: SU, MS , HQ; Grupo 4 – dos professores: AP, EL, TN e DN; Grupo 5 – dos professores: SR, RM, RI, QT.
104
Conjecturas que surgiram:
Os alunos estabeleceram uma proporção por regra de três, recaindo em equação do
primeiro grau para a solução, identificando 60% como preço total e não calculando o
desconto. (Grupo 1)
Dificuldade de leitura e interpretação, não há entendimento do que é porcentagem e do
que é desconto. (Grupo 2)
O aluno estabeleceu uma relação entre o número de toalhas pagas e o número total de
toalhas, chegando a
ou 60%, ou seja, não identificou que essa é a porcentagem paga
em relação ao valor inicial, ou seja, não é o desconto. (Grupo 3)
Na alternativa c, o aluno não conclui que deveria continuar a subtração do todo (100%).
(Grupo 5)
Quanto à aderência, todos os grupos consideraram que o item tem
aderência à habilidade indicada, porém um dos grupos indicou que a questão
envolve outras habilidades além da indicada.
Quanto às reflexões gerais surgiram:
Os alunos estão defasados em relação às séries anteriores (Grupo 2)
O enunciado da questão não é claro. (Grupo 2 e 3)
Analisou-se o item 2, com o seguinte enunciado:
Na eleição para a escolha do representante da turma de Carolina, concorreram três candidatos e todos os 36 alunos votaram, não havendo votos nulos nem votos em branco. O 1º colocado obteve o triplo de votos dados ao 2º colocado. Já o último colocado recebeu apenas 4 votos. O número de votos conquistados pelo vencedor foi: a.12 b.18 c.24 d.36 Sendo que 23,3% assinalaram a alternativa a, 21,8% a b, 38,7% a c(correta) e 15,9% a d.
Em relação às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões
dos grupos centraram-se na análise da alternativa assinalada com maior
frequência, no caso, a alternativa “c”, correta.
Conjecturas que surgiram:
O aluno pode ter feito assim: o terceiro candidato tem quatro, então 36 menos 4 é 32.
Como o 1º. colocado tem o triplo de votos do 2º. colocado, temos 4 partes, sendo 3
partes para um e 1 parte para o outro. Dividiu 32 por 4, obtendo 8 e multiplicou por 3,
resultando 24. Ele não resolveu por equação. (Grupo 4)
105
Traduzindo o problema como a equação 3x + x + 4 = 36, onde x representa a
quantidade de votos do 2º. colocado, encontrando x = 8, portanto o 1º. colocado terá
24 votos que é o triplo do 2º. colocado. (Grupos 2 e 5)
Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as
possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as
alternativas erradas.
Conjecturas que surgiram:
Para o distrator “a”:
Os alunos dividiram o número de votos pelo número de candidatos 36 : 3 = 12.
(Grupos 2, 3 e 5).
O aluno associou o primeiro colocado ao total de votos. Como no enunciado o
primeiro colocado recebeu o triplo do segundo colocado, então vem que 3x = 36 e x =
12”. (Grupo 4)
Para o distrator “b”:
Dividiram o número de votos pelos 2 primeiros colocados. (Grupos 2, 3 e 5)
O aluno pensou em 2x = 36, daí 2x = 36 e x = 18. (Grupo 4)
Para o distrator “d”:
O aluno associou o total de alunos ao total de votos. (Grupo 4)
Falta de raciocínio lógico, dificuldade de leitura e interpretação, falta de conhecimento
prévio e do assunto abordado. (Grupo 5)
Quanto à aderência, todos os grupos consideraram que o item tem
aderência à habilidade indicada.
Quanto às reflexões gerais surgiram:
Maior domínio na linguagem matemática e resolução de equação. (Grupo 1)
Dificuldade em interpretar o texto e montar a expressão algébrica. Falta de
entendimento na solução da expressão algébrica. (Grupo 2)
Questão bem elaborada, porém muito complicada para a 6ª. série/7º. ano. (Grupo 3)
Nas questões do Saresp, por ter alternativas, não dá para saber como os alunos
resolveram. (Grupo 2)
106
Analisou-se, em seguida, o item 3, com o seguinte enunciado:
Na rua onde Clara mora, há 70 construções, entre casas e prédios. O número de casas é igual
a 5
9 do número de prédios.
O número de casas nesta rua é: a) 30 b) 35 c) 45 d) 55 Esta questão aparece nas provas da 6ª.série/7º.ano e 8ª.série/9º.ano sendo que: Na 6ª. série/7º. ano 13,8% assinalaram a alternativa a, 31,5% a b, 37,7% a c (correta) e 16,7% a d. Na 8ª. série/9º. ano 13,4% assinalaram a alternativa a, 29,8% a b, 44,2% a c (correta) e 12,5% a d.
Em relação às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões
de três grupos centraram-se na análise da alternativa “b” errada (31,5%), um
grupo apresentou a análise da alternativa “c”, correta (37,7%), com maior
frequência e um grupo teve muita dificuldade para resolver.
Conjecturas que surgiram:
Errariam, assinalando b, entre prédios e casas 70 : 2 = 35 (Grupo 3)
Fariam
. (Grupo 2)
Os alunos que escolheram a alternativa c pensaram que 45 é a única alternativa com
múltiplo de 9. (Grupo 4)
Outros resolveram por sistema
. Então c =
5c = 9 (70 – c) e c = 45 (Grupos 4 e 5)
Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as
possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as
alternativas erradas.
Conjecturas que surgiram:
Dificuldade de leitura e interpretação. Dificuldade na resolução da equação. (Grupo 2).
Não entenderam a questão e colocaram qualquer alternativa. (Grupo 4)
Quanto à aderência, dois grupos consideraram que o item tem aderência
à habilidade indicada; e dois grupos consideraram que a questão envolve
outras habilidades além da indicada.
107
Conjecturas que surgiram:
O aluno terá o domínio de várias habilidades como frações, equações, mmc e outros.
(Grupo 3)
O problema exige mais do que resolver através de equações, precisa também de
conhecimento na montagem e resolução de sistemas. (Grupo 4).
Quanto às reflexões gerais surgiram:
O aluno deve ter habilidade na interpretação do problema e construção da equação que
deverá resolver. (Grupo 1).
Falta base matemática das séries/anos anteriores. (Grupo 2).
Muito difícil. (Grupo 3)
Problema inadequado para o conhecimento dos alunos de uma 6ª. série. (Grupo 4).
Vale destacar que um dos grupos (Grupo 1), ao resolver o item 3,
considerou-o difícil para os alunos. Eles próprios tiveram dificuldade em
entender o enunciado.
A professora FT disse:
Eu consegui resolver. Eu fiz por sistema. Ó, casa mais prédios dá 70. A casa é
dos
prédios. Por substituição você acha os prédios aí joga nas casas... Dá o número de casas...
Eu fiz por sistema só que aí eles não vão lembrar de sistema... Queria fazer por equação,
mas por equação não dá. (registro em vídeo)
Então, o grupo tentou resolver por equação e a professora FB disse:
Dá pra fazer por equação. É só colocar como vocês usaram x para prédio eu usei p,
mas fica assim
.
O grupo ficou absorto na resolução e discussão do problema e, no
tempo reservado para a atividade, não discutiu as questões nela propostas, tais
como a aderência do item à habilidade etc.
Observamos que o conhecimento do conteúdo comum (Ball et al, 2008)
está em construção nesse grupo.
108
Vale ressaltar que, como diz Shulman (1986), os professores conhecem
cada conteúdo matemático de forma diferente e com profundidades diferentes.
No momento de socialização da atividade, cada grupo apresentou sua
análise; e os demais grupos discutiram e complementaram os “depoimentos”.
Emergiram, nessa socialização, novas reflexões, tais como as seguintes:
A professora FB ao comentar sobre os erros que os alunos poderiam ter
feito para encontrar outras soluções nos itens, disse que
quando o aluno não sabe, tenta encontrar números nas respostas que associem aos
dados dos problemas. (FB – registro em áudio)
O professor MS, comentando sobre a forma de resolução do item 3 pelo
seu grupo, disse:
Nós resolvemos assim x mais
de x é igual a 70. Só que não sabemos se o aluno
resolveria assim, pois teria que dividir por 14, e eu tenho classe de alunos de reforço, e
eles não sabem dividir com um número na chave, imagina dividir com dois números na
chave. Daí tem problema. (MS – registro em áudio)
O professor PL, comentando sobre o item 3, disse que
o grande problema dos problemas é essa interpretação que, se até nós, se não souber, a
gente dança. É uma realidade. Nós professores temos dificuldade de interpretar o que
realmente o problema tá pedindo. Resolver é fácil, mas interpretar é que é o problema.
Precisa dominar o conteúdo. A gente tem que estar bem preparado para dar uma aula
legal. Saber as saídas que pode dar para o aluno e deixar o aluno buscar as saídas
também e às vezes o aluno por si só chega nessas respostas. (PL – registro em vídeo)
A professora CL, ao final da socialização, disse que
foi interessante analisar as questões e observar como o aluno poderia ter errado,
discutir com os colegas sobre isso e que nem sempre temos oportunidades como
essa. (CL – registro em áudio)
Todos concordaram com a fala da professora CL sobre a validade da
atividade realizada.
109
Observamos que, nesse encontro, os professores, ao analisarem
resultados do Saresp, preocuparam-se em verificar supostas soluções dos
alunos, embora tenham percebido que são apenas suposições e que, não
havendo o registro das soluções dos alunos, não poderiam precisar onde
erraram. Perceberam também que, se essas questões fossem abertas, teriam
um parâmetro melhor para analisar.
Encontro 4
Nesse encontro, a proposta foi o desenvolvimento de uma atividade do
CA 7ª série volume 3 (ver Anexo B) sobre equações, tabelas e gráficos.
A atividade do CA era parte de uma situação de aprendizagem e
envolvia a codificação do problema (A soma de dois números inteiros e
positivos é 12 e a diferença entre eles é 4) como um sistema de equações, a
investigação de possíveis valores para as incógnitas e a representação gráfica
de cada equação do sistema. Em seguida, propunha o seguinte problema: A
soma de dois números é 6 e a diferença entre eles é 1 e solicitava o mesmo
que o problema anterior.
Os professores, organizados em grupos, resolveram a atividade do CA e
na sequência socializaram no grande grupo suas soluções e reflexões.
Reflexões que surgiram na discussão:
1) É possível traçar uma reta correspondente a cada equação dos
dois sistemas envolvidos?
Os professores TN, DN, AP, EL, RM, SU, HQ, ao representarem
graficamente cada uma das equações no plano cartesiano, correspondentes à
codificação do problema “a soma de dois números inteiros e positivos é 12 e a
diferença entre eles é 4”, traçaram uma reta, pois acreditavam que, se os
pontos estão alinhados, existe a reta.
Assim sendo, consideraram que é possível traçar a reta, não
observaram que a solução está no conjunto dos números inteiros e positivos.
Um exemplo de solução está no protocolo abaixo, da professora SR:
110
Figura 21: Protocolo da Atividade da Professora SR – Sistemas Lineares – 1ª parte Fonte: Acervo próprio
Nota-se que está apresentada a codificação pelo sistema de equações
e, nas tabelas I e II, é feita uma investigação sobre os possíveis valores inteiros
e positivos que satisfazem cada uma das equações e, em seguida, a conclui-se
que o par que satisfaz o sistema é o (8, 4).
No entanto, ao resolver o subitem “d”, que solicitava a representação
gráfica, foi traçada a reta correspondente a cada uma das equações, como se
pode observar no protocolo abaixo. O que evidencia que foi considerado o
conjunto dos números reais e não o dos inteiros positivos.
111
Figura 22: Protocolo da Atividade da Professora SR – Sistemas Lineares – 2ª parte Fonte: Acervo próprio
Nesse momento, a seguinte discussão foi desencadeada por mim:
Quais seriam as coordenadas deste ponto? (Apontei um ponto da reta e perguntei.)
O professor DN respondeu:
Sete e meio e três e meio.
Respondi:
Leiam novamente as condições iniciais do problema.
Leram. Perguntei:
Estes números são inteiros e positivos?
A professora SU disse:
Então... não posso traçar a reta? Agora entendi.
O professor HQ disse:
Eu deixo meus alunos traçarem a reta. Eles aprenderam assim, mas lá pra frente eu
falo que estava errado.
Outro protocolo dessa atividade:
Figura 23: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 1ª parte Fonte: Acervo próprio
112
No caso, esse outro protocolo, do professor RM, explicita que não existe
a reta, fazendo uma justificativa.
No caso do segundo problema (a soma de dois números é 6 e a
diferença entre eles é 1), a reta foi traçada por todos os participantes, com
exceção de um deles, que traçou um segmento.
Em seguida, analisou-se o caso do protocolo a seguir:
Figura 24: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 2ª parte Fonte: Acervo próprio
Nesse momento, foi possível discutir no grande grupo que, quando não
está especificado o conjunto numérico, trata-se do conjunto dos números reais,
113
que a representação é uma reta e, que para traçá-la, só precisamos determinar
dois pontos.
Ao desenvolver essa atividade, foi possível identificar algumas
dificuldades dos professores concernentes ao conhecimento comum do
conteúdo (Ball et al, 2008). O encontro possibilitou discussões no sentido de
auxiliar a (re)construção de conhecimentos sobre o conteúdo de equações.
2) Existe a intersecção das representações gráficas de cada
equação?
Outra reflexão promovida ao longo do desenvolvimento da situação de
aprendizagem foi relativa à solução do sistema. No caso, obtida pela interseção
das retas que representam cada equação do sistema.
No caso do primeiro problema, o par (8, 4) foi apontado por todos como
solução, o mesmo ocorrendo com os pares (3, 5; 2, 5) apontado como solução
do segundo problema. Contudo, nesse último caso, o professor RM entendeu
que o problema não estava bem formulado. Ele encontrou os pares ordenados
(1, 5), (2, 4) e (3, 3) para a reta de equação x + y = 6 e os pares (2, 1), (3, 2),
(4, 3) para a reta de equação x – y = 1 solicitados na tabela, localizando-os no
plano cartesiano e traçando “segmentos” e não retas. Então indicou na tabela
que “deveria ter os pontos (4, 2)” para que pudesse ter uma intersecção.
No item “d” dessa atividade, ele indicou o ponto de intersecção
corretamente, mas considerou o problema mal formulado, pois ligou os pontos,
contudo não traçou a reta e sim os segmentos, que, no caso, não se
interceptam.
Figura 25: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 3ª parte Fonte: Acervo próprio
Novamente foi possível discutir no grupo tais questões.
Percebemos aqui alguns indícios de que existem falhas no
conhecimento do conteúdo específico, que podem, consequentemente, ter
114
implicações no conhecimento do conteúdo pedagógico (Shulman, 1986), uma
vez que um não se dissocia de outro.
Encontro 5
Nesse encontro, foi proposta a segunda atividade de análise de itens do
Saresp, a ser desenvolvida em grupos. A atividade foi composta pelos itens 4, 5 e
6 (vide Planejamento do Módulo, seção 4.2), e o conteúdo neles abordado foi
equações e sistemas de equações.
A diferença entre a atividade de análise de itens agora proposta e a
primeira atividade é que, na segunda, foi solicitada a identificação da habilidade
de cada item, observando as habilidades constantes na Matriz de Referência
do Saresp (2009), além da analise desses itens, apresentando as soluções que
os alunos fariam e identificando as alternativas que não estão corretas e o
comportamento das respostas dos alunos.
Analisou-se o item 4, com o enunciado a seguir:
O valor de x que satisfaz a equação
é:
a. – 1 b. 5 c.
d.
Sendo que 23,2% assinalaram a alternativa a, 21,7% a b, 29,2% a c e 25,6% a d (correta).
Observou-se que, na classificação do item de acordo com a Matriz de
Referência do Saresp, todos os grupos o classificaram corretamente como
Grupo II – competências para realizar e habilidade H14 – resolver equações do
1º grau.
Quanto às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões dos
grupos centraram-se na solução da equação e conjecturaram sobre os
possíveis procedimentos que os alunos teriam adotado.
Conjecturas que surgiram:
Calcularam o mmc (3, 2) encontrando frações equivalentes:
” (Grupo 4 – registro textual)
Os alunos fizeram multiplicação em cruz:
115
2(x+1) = 3(1-x)
x =
” (Grupo 1 – registro textual)
Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as
possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as
alternativas erradas.
Conjecturas que surgiram:
Podem fazer tudo certo e chegar ao resultado x =
e dizer que isso é igual a 5. (Grupos 1 e
2 – registros textuais)
Podem cancelar os x e os 1 sobrando 3 e 2, daí fariam 3+2 = 5 ou 2 – 3 = -1. (Grupo 1 –
registro textual)
Cancelaram a variável x e optaram por
por não ter alternativa com
. (Grupo 4 – registro
textual)
Substituiu x por -1 e calculou erroneamente e deu zero nos dois membros ou x por 5 e tudo
fica igual a 2 (Grupo 5 – registro textual)
Quanto às reflexões, gerais surgiu a seguinte:
Os alunos possuem imaginação e podem criar outras soluções e dar a resposta errada.
Há ainda a possibilidade de “chutar” uma resposta. (Grupos 1 e 2 – registros textuais)
O item 5, com o enunciado a seguir. foi analisado:
“Numa gincana de Matemática, Hélio calculou mentalmente dois números de modo que sua soma fosse igual a 12 e sua diferença 2. Lúcia utilizou outra estratégia, determinando esses dois números algebricamente. Dessa forma, um possível sistema de equações para indicar o raciocínio de Lúcia é:
a.
b.
c.
d.
Assinalaram a alternativa a 13,9% dos alunos, a b 13,8%, a c 14,4% e a d(correta) 57,6%.
116
Na classificação do item de acordo com a Matriz de Referência do
Saresp, todos os grupos classificaram-no corretamente como Grupo I –
competências para observar e habilidade H06 (da 8ª série/9º ano) – Identificar
um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema.
Quanto às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões dos
grupos centraram-se na resposta com maior frequência, nesse caso, a correta
(d) e conjecturaram sobre as possíveis causas do acerto.
Conjecturas que surgiram:
Leram e interpretaram corretamente, principalmente pela informação no problema –
soma e diferença de dois números. (Grupo 4 – registro textual)
Comparação de dois métodos, o mental e o experimental. (Grupo 3 – registro textual)
Leram corretamente o enunciado e escreveram expressões algébricas
correspondentes ao texto do problema. (Grupo 5 – registro textual)
Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as
possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as
alternativas erradas.
Conjecturas que surgiram:
Como o texto diz “dois números” podem pensar em 2x e escolherem a alternativa a ou
b ou leem “12 e sua diferença 2”, fazendo 12 – 2 = 10 e escolherem a alternativa b.
Podem pensar “5 + 7 = 12 e 7 – 5 = 2” e escolher a alternativa c. (Grupo 2 – registro
textual)
Não conseguem transcrever para a linguagem matemática a complexidade do
problema e buscam nas alternativas uma possível resposta. (Grupo 3 – registro textual)
Os alunos que escolheram a alternativa c confundiram a soma e a diferença dos dois
números com as soluções 5 e 7. (Grupo 4 – registro textual)
Os alunos que assinalaram as alternativas incorretas mostram que não conseguem
interpretar corretamente a linguagem escrita para a linguagem matemática. (Grupo 5 –
registro textual)
Quanto às reflexões gerais:
Dificuldade de leitura e interpretação, mas a maioria entendeu o texto e acertou. (Grupo
1 – registro textual)
O enunciado é claro e consegue traduzir a conexão entre linguagem e matemática.
(Grupo 3 – registro textual)
Analisou-se o item 6, com o enunciado a seguir:
117
Considere o sistema de equações abaixo:
O valor do produto x.y é igual a: a. 4 b. 6 c. 8 d. 10 Assinalaram a alternativa a (correta) 35.0% dos alunos, a b 21,8%, a c 24,9% e a d 18,2%”.
Na classificação do item de acordo com a Matriz de Referência do
Saresp, todos os grupos classificaram-no corretamente como Grupo III –
competências para compreender e habilidade H18 (da 8ª série/9º ano) –
Resolver sistemas de equações (métodos da adição e da substituição).
Quanto às soluções que os alunos teriam encontrado, os grupos
analisaram a alternativa assinalada com a maior frequência, nesse caso, a
correta (a) e resolveram o sistema por adição ou por substituição.
Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as
possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as
alternativas erradas.
Conjecturas que surgiram:
Podem pensar se x + y = 5, então x = 3 e y = 2 daí x.y = 6. (Grupo 1– registro textual)
Por não conseguir resolver o sistema, os alunos podem ter associado as alternativas
incorretas aos números que aparecem no sistema, no caso 6, 2 e 5. A alternativa b tem
6, a alternativa c poderiam ter somado 6 + 2; na d, poderiam multiplicar 2 . 5. (Grupo 4
– registro textual)
Quanto às reflexões gerais:
O sistema está simples de resolver, mesmo assim sempre há dúvidas por parte dos
alunos. (Grupo 1 – registro textual)
É necessário saber interpretar e compreender o enunciado para resolvê-lo. (Grupo 3 –
registro textual)
Na socialização da atividade, durante a discussão das análises, vale
enfatizar que os professores relataram o quanto foi interessante poder levantar
com os pares as conjecturas sobre as maneiras pelas quais os alunos
resolvem as questões, inclusive fazer o levantamento dos supostos raciocínios
que levam ao erro.
118
Tais reflexões explicitam o conhecimento pedagógico do conteúdo
(Shulman, 1986) e o conhecimento especializado do conteúdo, que é
específico do professor (Ball et al, 2008).
Encontro 6
Nesse encontro, com relação à nossa pesquisa, houve a proposta do
desenvolvimento, em grupos, da atividade do CA com a Situação de
Aprendizagem 3 abordando grandezas proporcionais – Volume 2 – 8ª série/9º
ano (Vide Planejamento do Módulo, seção 4.2.1.).
Inicialmente, foi analisada a questão exposta na figura a seguir:
Figura 26: Trecho de Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas proporcionais Fonte: CA – Matemática – 8ª. série/9º. ano – Volume 2, p.34, 2009
Surgiram as seguintes reflexões:
1) O que são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais e como estabelecer uma sentença que as relacione?
Ao procurar escrever a sentença algébrica que relacionasse x e y, foram
feitas as seguintes conjecturas:
Fazendo por tentativa e erro, tentamos y = x + 9, vale para o primeiro valor, mas não
vale para os próximos. Tentamos multiplicar por 2, mas não dava certo; mas, se fizer y
sobre x igual a 10 e y igual a 10x, daí x é igual a y sobre 10. Vamos ver se dá certo. 10
sobre 10 dá 1. É, dá certo. (Grupo 5)
Existe uma razão de proporcionalidade, no caso 10, que foi estabelecida
empiricamente.
Na mesma atividade, para as seguintes grandezas,
119
Figura 27: Trecho de Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas proporcionais - B Fonte: CA – Matemática - 8ª.série/9º.ano – Volume 2, p.35, 2009
a professora SU comentou:
Os dois aumentam então é diretamente proporcional, só que não na mesma proporção.
A professora SR respondeu:
É diretamente proporcional, mas não dá pra fazer a sentença.
Aqui foi possível discutir com o grupo o conceito de grandezas
diretamente proporcionais e da existência da razão de proporcionalidade.
Para a socialização da atividade do CA, vale destacar uma reflexão da
professora SR:
No início da atividade, estava com dúvidas para reconhecer se as grandezas eram
diretamente, inversamente proporcionais ou mesmo nenhuma delas. Esqueci da
constante de proporcionalidade.
Novamente foi possível observar que, ao longo das análises das
atividades, aspectos do conhecimento específico do conteúdo (Shulman, 1986)
ou do conhecimento do comum do conteúdo, segundo (Ball et al, 2008),
estavam sendo construídos pelos professores por meio das reflexões com o
grupo.
2) Reflexões sobre o próprio conhecimento matemático e didático
Uma reflexão surgida, nesse encontro, foi a ilustrada pela fala da
professora SU:
É difícil você ensinar para eles aquilo que você não sabe, você tem o conhecimento,
mas [não de todo o conteúdo]. Como avaliar aqui. Está muito mais fácil agora. Avaliar
uma questão como o aluno se sai. Qual a posição dele. Algumas situações são difíceis
120
e como ele conseguiu aquele resultado, ninguém sabe, só perguntando para ele. Mas,
muitas vezes, a gente percebe. “Ah! ele somou”, etc. (registro em vídeo)
Esse depoimento da professora nos remete a Jaworski (1993), a qual
alerta que, nos processos de reflexão compartilhada com seus pares, os
professores ficam mais conscientes da necessidade de eles conhecerem mais
matemática para ensinar, de forma que consigam analisar e elaborar tarefas
diferentes e envolver os alunos nas atividades matemáticas.
No contexto desse encontro, no qual foi discutido o Marco Referencial do
PISA, surgiram reflexões sobre o conhecimento matemático e didático, tais
como as reveladas pela fala da Professora SU:
Então seria aconselhável que, na minha prova, fizesse um balanceado entre questões
destes três tipos: reflexão, conexão e reprodução? (Registro em vídeo)
Respondi:
Isso.
A PCOP RS disse:
O Saresp não utiliza o mesmo padrão do PISA, não tem esta mesma classificação de
reprodução, conexão e reflexão, mas precisamos analisar como temos feito nossas
avaliações, será que fazemos apenas de reprodução ou apenas de conexão?
Precisamos olhar isso e aqui é um momento nosso de reflexão. Que tipo de avaliação
eu levo para minha sala de aula? Que cuidado eu tenho ao elaborá-la?
A Professora SU acrescentou:
Bem, RS, eu acho interessante esse assunto que estamos agora abordando, que não é
passado assim para nós. Não estou criticando aqui nenhuma escola não; mas, se nós
tivéssemos esta base, ficaria muito mais fácil. Bem, por exemplo, eu tenho que fazer
atividades ou provas diversificadas, mas porque assim eu vou ter vários momentos
para avaliar, mas, em nenhum momento, eu entendia que seria reprodução, conexão
ou reflexão, em nenhum momento. Então, eu falo mesmo, eu sabia que tinha que
colocar um exercício um pouco mais fácil, outro mais difícil, médio, mas eu não tinha
esse domínio, né?
121
Constatamos algumas reflexões sobre a prática pedagógica que foram
impulsionadas nesse encontro, especialmente sobre a avaliação do professor
em sala de aula e sobre os tipos de atividades que são propostas por ele aos
alunos no processo de ensino e de aprendizagem.
Encontro 7
Esse encontro, com relação à nossa pesquisa, foi dividido em duas partes:
a primeira, com a elaboração e classificação de itens e a segunda, com a
apresentação dos grupos sobre o resultado dos Estudos Complementares, que
consistiam em uma análise de Situação de Aprendizagem.
Na primeira parte, conforme planejamento (seção 4.2.4), propusemos a
criação de um item por grupo e, na sequência, a classificação dele a partir de
critérios indicados, quais sejam, a situação ou contexto, o conteúdo matemático
envolvido, o agrupamento de competências e o tipo de questão19.
Os cinco grupos formados elaboraram itens, sendo que três deles
relacionados à nossa pesquisa.
O item criado e classificado pelo Grupo 1 está no protocolo indicado na
figura a seguir:
Figura 28: Protocolo de item produzido pelo Grupo 1 Fonte: Acervo próprio
19
Nesse encontro, foram utilizados, para a classificação dos itens, o marco teórico do PISA – ver seção 4.2.4.
122
O item criado pelo Grupo 2 está na figura abaixo:
Figura 29: Protocolo de item produzido pelo Grupo 2 Fonte: Acervo próprio
O item elaborado e classificado pelo Grupo 3 foi o seguinte:
“Em um determinado dia faltaram 7 rapazes numa sala de aula ficando o número de moças igual ao dobro do número de rapazes. Sabe-se que se retirarmos 13 moças da sala o número de moças fica igual ao número de rapazes. Quantos alunos possui a sala?“
Classificação:
Situação ou contexto: educacional/ocupacional
Ideia estruturadora: Quantidade.
Agrupamento de competências: conexão
Tipo de resposta de itens: aberta
Figura 30: Item produzido e classificado pelo Grupo 3 (registro em vídeo) Fonte: Acervo próprio
Reflexões que surgiram durante a socialização no grande grupo sobre
os três itens construídos:
1) Reflexões sobre a construção da questão.
Neste aspecto, as reflexões quanto ao item criado pelo grupo 1 foram
sobre a clareza do enunciado e coerência com as alternativas dadas. No caso,
o item solicita que sejam determinadas as raízes da equação dada. Assim
sendo, não haveria necessidade de apresentar as alternativas por meio de
conjunto solução. Os professores entenderam que, para as alternativas
descritas, uma maneira mais rigorosa matematicamente seria a de solicitar a
123
determinação do conjunto solução. Tal reflexão envolve conhecimento do
conteúdo comum na acepção de Ball (2008).
Quanto ao item criado pelo Grupo 2, a redação gerou discussão. O
professor MA entendia que o quadrado tinha comprimento e largura e, portanto,
ao aumentar o comprimento, estaria mudando a figura para um retângulo de
lados x e (x + 3).
O grupo refletiu, a partir de sugestão dada por mim, sobre como mudar a
redação para que ficasse claro o que era solicitado.
Primeira alteração sugerida:
Em um quadrado de lado x, aumentando o comprimento de dois lados paralelos em 3
metros, a área final fica com 10 m2. Qual é o valor da medida do lado? (Professor MA
– registro em vídeo)
Segunda alteração:
Em um quadrado de lado x, aumentando, em 3 metros, o comprimento de dois lados
paralelos, sua área passa a ser 10 m2. Qual é o valor da medida do lado? (Professora
SR – registro em vídeo)
Terceira alteração:
Em um quadrado de lado x, aumentando a medida de dois lados paralelos em 3
metros, sua área passa a ser 10 m2. Qual é o valor da medida do lado? (Professor
MA – registro em vídeo)
O professor MA comentou:
Nossa! A gente pensa que está sendo tão claro. (Referindo-se à redação da questão
– registro em vídeo).
Nesse momento, esteve em jogo tanto o conhecimento do conteúdo
matemático quanto o conhecimento pedagógico do conteúdo (Shulman, 1986).
O compartilhamento com os pares auxiliou o professor a construir
conhecimentos.
2) Reflexões sobre a matemática que o aluno deverá utilizar para
resolver a questão
124
Para subsidiar as reflexões do grupo sobre a matemática envolvida no
item, foi discutido, nesse encontro, o termo síntese da tarefa, ou seja, em
síntese, o que se pretende que o aluno faça para resolver a questão.
Ao discutirem qual era a tarefa a ser realizada pelo aluno, quanto ao
item criado pelo grupo 1, os professores refletiram sobre os procedimentos
para a resolução do item. No caso, utilizar a fórmula de Bháskara ou a relação
entre os coeficientes e as raízes.
Quanto ao item elaborado pelo grupo 2 (ver figura 29), houve dúvida se
a classificação, quanto ao conteúdo envolvido, seria “espaço e forma”. Após
debate, os professores chegaram a um consenso de que a habilidade a ser
avaliada era a resolução de uma equação de segundo grau, logo a ideia
estruturadora é “mudanças e relações”.
Quanto ao item elaborado pelo grupo 3 (ver figura 30), novamente houve um
debate sobre se a ideia estruturadora seria “quantidade” ou “mudanças e relações”.
A professora EL disse:
A gente montou um sistema (...) meu grupo classificou como Quantidade, pois, a todo
o momento, estamos falando de quantidade, quantidade de moças, quantidade de
rapazes.
No debate, estimulado por mim, a professora CL disse:
Seria mudanças e relações e comentou que a professora EL escreveu na solução
M = 2R (moças é igual ao dobro de rapazes).
A professora SR argumentou:
Se fosse resolvido como equação. seria mudanças e relações e não quantidade. Ele
(o aluno) teria que relacionar rapazes, neste caso, R, com moças e construir a
equação. (registro em vídeo)
A professora CL disse que
os alunos da 8ª série resolveriam traduzindo o problema para uma equação e
resolvendo-a. (registro em vídeo)
Nesse momento, perguntei ao grupo qual seria a síntese da tarefa, isto
é, o que eles queriam que o aluno fizesse para resolver essa questão.
125
Houve novas colocações e, finalmente, o grupo concluiu que se trata da
ideia estruturadora de mudanças e relações.
Novamente o compartilhamento das ideias pôde auxiliar o professor a
desenvolver o conhecimento especializado do conteúdo, que, segundo Ball et
al (2008), é aquele necessário apenas para quem ensina.
3) Reflexões sobre a situação ou contexto e sobre o agrupamento
de competências em jogo no item
Na discussão relativa ao item criado pelo grupo 1, surgiu uma polêmica
em relação à classificação feita pelo grupo (ver figura 28) quanto à
competência em jogo. No caso, o grupo classificou como “modelagem”,
argumentando que utilizaram as competências por área da Matriz de
Referência do Saresp e colocaram esse termo20. Na verdade, a interpretação
do que é modelagem pôde ser discutida.
A partir dessas discussões, tornou-se evidente para o grupo que a forma de
classificar itens depende de critérios e não há uma uniformidade nos “olhares”.
Quanto à situação ou contexto do item, na discussão relativa ao item
criado pelo grupo 2 (ver figura 29), houve debate sobre a precisão dos termos
“pessoal”, “educacional/ocupacional”, “pública”, “científica”.
A professora CL disse:
É complicado definir o que faz parte do universo do aluno. Se aquele contexto é
pessoal ou não. Por exemplo, para um aluno brasileiro, o futebol está no dia a dia dele;
mas, para um aluno de outro país, talvez não. Fica difícil imaginar o contexto que está
ou não mais próximo do aluno. (registro em vídeo)
O grupo refletiu sobre a pertinência da classificação e que toda
classificação envolve certa subjetividade.
Nesse momento, entendemos que, quanto ao conhecimento matemático
para a docência, esteve em ação o conhecimento do conteúdo e ensino,
segundo a classificação feita por Ball et al(2008) para o conhecimento
20
Competência de Área 1 – Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas.
126
pedagógico do conteúdo. Isto é, o conhecimento sobre as maneiras pelas quais
os alunos tendem a desenvolver uma compreensão.
Na segunda parte do encontro 7, os grupos apresentaram o resultado
dos Estudos Complementares.
A proposta para os Estudos Complementares, conforme já descrito no
planejamento (seção 4.2.1), foi a de preparar uma apresentação em PPT a
partir da análise de uma Situação de Aprendizagem que envolvesse álgebra,
com o seguinte roteiro:
I – Introdução – apresentação da situação II – Identificação das competências e habilidades em jogo. III – Identificação das estratégias de resolução. IV – Identificação dos pontos facilitadores para a aplicação da Situação de Aprendizagem. V – Identificação dos pontos dificultadores para a aplicação da Situação de Aprendizagem. VI – Identificação dos conhecimentos prévios para realização da Situação de Aprendizagem. VII – Pesquisar recursos de multimídia para o conteúdo da Situação de Aprendizagem
Em relação às equações e sistemas de equações, foco de nosso estudo,
quatro dos cinco grupos escolheram Situações de Aprendizagem centradas
nesses conteúdos. São eles:
Apresentação 1 - sobre a Situação de Aprendizagem (SA) 4 – Equações
Trigonométricas – 2ª. série do Ensino Médio. (Vide Anexo B) – grupo da
professora CL (CL, CP, FT, MA).
Apresentação 2 – sobre a Situação de Aprendizagem (AS) 4 – As
múltiplas faces das potências e dos logaritmos: problemas envolvendo
equações e inequações em diferentes contextos – 1ª. série do Ensino Médio
(Ver anexo B) - grupo da professora SR (SR, SU e RI).
Apresentação 3 – sobre a Situação de Aprendizagem 3 – Equações e
polinômios: divisão por x – k e redução do grau da equação – 3ª. série do
Ensino Médio (Ver Anexo B) - grupo do professor MS (MS, RM e RI).
Apresentação 4 – sobre a Situação de Aprendizagem 1 – A equação de
3º. grau e o aparecimento natural dos números complexos – 3ª. série do Ensino
Médio (Ver Anexo B) - grupo da professora MC (MC, CG, YR, FB).
Reflexões que surgiram ao longo das discussões sobre as
apresentações:
4) Reflexões sobre as competências e habilidades envolvidas na
tarefa
127
Quanto à apresentação 1, as competências e habilidades envolvidas na
Situação de Aprendizagem analisada, de acordo com a Matriz de Referência
do Saresp, foram classificadas como do Grupo II – Competências para realizar
e envolvendo a habilidade H13 (3º. ano) – Resolver equações trigonométricas
simples, compreendendo o significado das condições dadas e dos resultados
obtidos. O grande grupo concordou com a classificação, contudo houve a
seguinte ressalva:
No Caderno do Professor, as competências e habilidades são mais abrangentes que
as do Saresp. (professora CL – registro em vídeo)
O conhecimento pedagógico do conteúdo esteve em jogo,
especificamente o conhecimento do currículo, ou seja, das finalidades e
estruturação curricular segundo Ball et al (2008).
Nesse tópico, competências e habilidades na Apresentação 3, de acordo
com a matriz de referência do Saresp, a classificação foi Grupo III –
competências para compreender; habilidade H 08 – resolver problemas que
envolvem equações do 2º. grau.
A reflexão do grupo foi a seguinte:
Chegamos à conclusão, porém não concordamos com essa competência para
avaliação do Saresp para esse tema que estamos abordando, pois tinha que
acrescentar equações do 3º. grau. (protocolo – Grupo 3)
As reflexões compartilhadas com o grande grupo, tanto ao longo da
Apresentação 3 quanto da 1, foram relacionadas às competências e
habilidades avaliadas no Saresp, as quais não abrangem todo o conteúdo.
Novamente, o conhecimento pedagógico do conteúdo esteve em jogo,
especificamente o conhecimento do currículo, ou seja, das finalidades e
estruturação curricular segundo Ball.
Quanto à apresentação 4, em relação às competências e habilidades, a
classificação, feita de acordo com a Matriz de Referência do Saresp, foi Grupo I
– Competências para observar, H 16 – Identificar resultados de operações
entre números complexos representados no plano de Argand-Gauss.
128
Na análise de todos os grupos, o conhecimento pedagógico do conteúdo,
em especial o conhecimento do currículo (Ball et al, 2008) esteve em evidência,
quando os professores apresentaram as finalidades especificadas para cada
item.
5) Reflexões sobre os pontos facilitadores e dificultadores para
desenvolver a atividade
Ao longo da apresentação 1, no que se refere aos pontos facilitadores e
dificultadores para desenvolver a atividade, o debate está ilustrado pelos
registros a seguir:
O nosso grupo resolveu os exercícios para perceber quais as dúvidas e dificuldades
que os alunos poderiam ter e, também, se há outro caminho para a solução. (...) Os
alunos resolvem uns ajudando os outros nos encaminhamentos das soluções.
(Professora CL – Registro em vídeo)
O grupo fez um levantamento das dificuldades e dificuldades da
atividade, concluindo que eles são os seguintes:
Pontos facilitadores:
Apresenta textos sobre diversos assuntos, mostrando a periodicidade de alguns
fenômenos cotidianos, que todas as atividades já vêm com as expressões
trigonométricas e que é importante mostrar essa passagem para os alunos, da língua
materna em linguagem matemática. (Professora CL – registro em vídeo)
Pontos que dificultam:
Em todas as atividades, são necessárias, principalmente, a leitura e interpretação do
texto para se entender os fenômenos periódicos apresentados. A leitura pode facilitar
ou dificultar a resolução das atividades. (protocolo do Grupo 1)
Quanto à apresentação 2, no que se refere aos pontos facilitadores e
dificultadores para desenvolver a atividade, foram relatadas as seguintes
conclusões:
Pontos facilitadores:
Domínio da competência leitora: o que garantirá a correta compreensão da situação
proposta e o que dela se espera. Situações de caráter informativo e que estimulem a
129
curiosidade do aluno. Utilização de situações dinâmicas sintonizadas com as expectativas
dos alunos e que explorem as possibilidades de resolução por meio de um raciocínio
logarítmico. (Protocolo – Grupo 2)
Pontos que dificultam: Precisa ter muita atenção para resolver estes exercícios do Caderno do Aluno, pois
um é totalmente diferente do outro. O professor terá que ter muita paciência para
fazer muitos questionamentos aos alunos, meio que conduzindo e abrindo os olhos
dos alunos para os dados ou dicas de cada exercício. (Professora SR – Grupo 2 –
registro em vídeo)
Situações desconectadas da expectativa dinâmica de vida do aluno, atividades que
não tenham aplicabilidade clara, atividades que abordam aspectos puramente
abstratos da matemática. (Protocolo – Grupo 2)
Quanto à Apresentação 4, no que se refere aos pontos facilitadores e
dificultadores para desenvolver a atividade, houve o seguinte relato:
O grupo fez os exercícios desta SA. Para introduzir este, tema mostraria o Vídeo “Um
sonho complexo”. Utilizaria o CA, complementando com o livro didático. A SA trabalha
com uma fórmula diferente, e é este o termo utilizado para resolver alguns exercícios
e conduzindo a desenvolver a fórmula de Tartaglia – Cardano e que o professor
precisará complementar com atividades do livro didático. (professora MC Registro em
vídeo)
Ao longo das discussões, evidenciou-se que o grupo refletiu sobre as
atividades. colocando em ação seu conhecimento pedagógico do conteúdo e
ensino na categorização de Ball et al (2008).
6) Reflexões sobre os conhecimentos prévios para a realização da
tarefa
Quanto à apresentação 1, o grupo apontou como conhecimentos
prévios:
Como orienta o caderno do professor, o aluno precisa estabelecer uma ligação entre
o eixo geometria e medidas e o eixo número e funções, pois irá determinar
fenômenos e a possibilidade de representá-los por intermédio de uma equação
matemática. (Protocolo do Grupo 1)
130
7) Reflexões sobre recursos auxiliares para o ensino do conteúdo
em jogo nas atividades
O grupo responsável pela Apresentação 1, o sugeriu o seguinte recurso:
o software Ondas trigonométricas21
que poderá ser desenvolvido juntamente ou após
as atividades da SA.(Professora CL – registro em vídeo)
O grupo responsável pela Apresentação 2, sugeriu os seguintes
recursos:
O que é exponencial (áudio), Fraude 171 (áudio), O que é logaritmo? (áudio), O
sonho (vídeo), A aparição (vídeo), Os suspeitos (vídeo), Eliminando quadrados
(experimento), Baralho mágico (experimento), Crescimento populacional (software).
(Protocolo – grupo 2)
Quanto à Apresentação 4, o grupo responsável sugeriu o seguinte
recurso:
Mostraria o vídeo “Um sonho complexo” (Professora MC – registro em vídeo).
Encontro 8
Nesse encontro, a proposta foi a de desenvolver a 3ª. atividade de
análise de itens do Saresp, com o seguinte roteiro: apresentação da solução
para o item, síntese da tarefa a ser feita pelo aluno e comentários gerais do
grupo. Os itens para análise foram os de número 7 a 11 (vide planejamento,
seção 4.2.1)
Em relação ao item 7,
João, Sandra e marcos têm ao todo 100 reais. Juntando-se a quantia de Marcos ao dobro da soma das quantias de João e Sandra, totalizaqm-se 150 reais. Por outro lado, somando-se o dinheiro de João com o dobro da soma das quantias de Sandra e Marcos, obtêm-se 180 reais. Portanto, as quantias de João, sandra e marcos são respectivamente: a. 20, 30 e 50. b. 10, 35 e 55. c. 35, 10 e 55. d. 10, 55 e 35. e. 30, 50 e 20. Assinalaram a alternativa a(correta), 45,9% dos alunos, a b, 11,8%, a c 16,6%, a d, 9,1% a e, 16,3%.
as reflexões relevantes foram relativas à:
21
Pesquisa no site http://m3.ime.unicamp.br/portal/ conforme indicado no Planejamento do Módulo (ver seção 4.2)
131
1) Qual o tipo de tarefa a ser realizada pelo aluno para responder à
questão?
A solução apresentada (grupo da professora SR) refere-se à alternativa
“a”, correta, com a maior frequência (45,9%):
Substituindo y + z = 80 em (I):
x + y + z = 100 daí x = 20
Fazendo (III) – (I):
x + y = 50, daí y =30 e z = 50
A síntese da tarefa, portanto, foi:
Resolução de um problema de determinação das quantias de dinheiro de cada
pessoa. (Grupo da professora SR)
Comentário:
Para responder a esse item, o aluno deve ler, interpretar a situação problema,
entender as relações entre as quantias de dinheiro do João, Sandra e Marcos para
compará-las algebricamente, realizar os cálculos e estabelecer a conclusão.
Uma estratégia pode ser a de utilizar a linguagem simbólica para traduzir a situação
que envolve razões por um sistema de equações lineares, identificando a que satisfaz
a relação indicada na questão.
Indica uma habilidade de reflexão, pois envolve leitura, análise e informações
contidas no enunciado. (Grupo da professora SR)
O grupo, ao analisar a tarefa, trouxe reflexões sobre as estratégias
possíveis etc., evidenciando que os critérios de classificação e as análises
feitas nos encontros anteriores começam a ser utilizadas pelos professores ao
fazerem suas próprias análises.
Classificaram-na como:
Ideia estruturadora: mudanças e relações
132
Conteúdo: Sistemas de equações do 1o grau com 2 incógnitas como tradução
de uma situação.
Agrupamento de competências: reflexão
Situação: pessoal
Com relação à nossa análise prévia do item (ver seção 4.2.3),
consideramos que esse grupo elaborou uma análise consistente do item,
utilizando um marco referencial diferenciado da Matriz de Referência do
Saresp, mostrando que as análises anteriores auxiliaram na construção desse
conhecimento. Nos comentários do grupo, evidenciam-se as reflexões sobre
quais os conhecimentos que o aluno deve articular para responder a essa
questão, reflexões estas feitas a partir do conhecimento pedagógico do
conteúdo (Shulman, 1986) e do conhecimento do conteúdo e ensino (Ball et al,
2008).
Em relação ao item 8,
A solução da equação é: a. 5 b. 8 c. 10 d. 18 e. 20 Assinalaram a alternativa a, 5,0%, a b(correta), 19,3%, a c 31,9%, a d 17,4% e a e, 26,2%
O grupo 5 apresentou a seguinte solução:
Figura 31: Protocolo do Item 8 Grupo 5 Fonte: Acervo próprio
Nesse momento, houve discussões, no grande grupo, relacionadas à
solução apresentada e às propriedades envolvidas (multiplicação de potências
de mesma base, logaritmos de base 10 etc.). Alguns professores relataram que
tinham algumas dificuldades nesse conteúdo. Assim sendo, conhecimentos
foram compartilhados de modo a auxiliar a construção do conhecimento do
133
conteúdo da disciplina (conhecimento comum do conteúdo na classificação de
Ball),
O grupo 5 apresentou a seguinte classificação para esse item:
GII – Competências para realizar
Habilidade H12 (3º ano) – Resolver equações simples usando propriedade de
potências e logaritmos.
Com relação à nossa análise prévia do item (Ver seção 4.2.3),
consideramos que o grupo 5, ao ter dificuldade na solução da questão, fez uma
análise superficial do item, no entanto identificou corretamente as
competências e habilidades apresentadas no Relatório Pedagógico do Saresp.
Em relação ao item 9,
Uma lata cheia de achocolatado em pó pesa 400 gramas. A lata, com apenas metade da quantidade de achocolatado, pesa 250 gramas. Quanto pesa a lata vazia? a. 100 gramas. b. 150 gramas. c. 160 gramas. d. 180 gramas. e. 200 gramas. Assinalaram a alternativa a 53,3% dos alunos, a b, 37,9%, a c, 2,9%, a d, 2,1%, a e 3,6%.
Foi apresentada a seguinte solução:
L lata
C chocolate em pó
Como síntese da tarefa:
O aluno vai transformar na linguagem matemática e resolver o sistema por adição ou
por substituição.
134
A classificação:
Ideia estruturadora: mudanças e relações
Grupo III – competência para compreender
H18 (da 8ª série/9º ano)– resolver sistemas lineares (métodos da adição e da
substituição)
Agrupamento de competências: conexão
Situação: pessoal
Com relação ao que previmos quanto à análise do item (ver seção
4.2.3), consideramos que o grupo fez uma análise consistente, apresentou
tanto a síntese da tarefa, quanto a habilidade, H18 (da 8ª. série/9º ano) e H14
(da 3ª. série do EM) – as quais são similares, o que consideramos válido. Vale
enfatizar que, embora a Matriz de Referência do Saresp mencione que as
competências e habilidades são cumulativas, as habilidades não são
apresentadas na Matriz em uma sequência única e contínua, em termos de
numeração, trazendo essa dicotomia quando se classifica um item.
No quesito “Comentários”, este grupo, (grupo2), observou que
a maioria dos alunos acertou, 53,3%. Muitos (37,9%) optaram pela alternativa b, pois
fizeram 400 - 250 = 150. Então convém retomar o entendimento do enunciado da
questão. (Protocolo – Grupo 2)
As reflexões e a análise feita pelo grupo foram embasadas pelo
conhecimento do conteúdo e estudantes (na acepção de Ball), especialmente
quanto à necessidade de o professor retomar pontos nos quais percebe que o
aluno está com dificuldades de aprendizagem.
Em relação ao item 10,
“O valor de x para o qual tem-se é:
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 9
Assinalaram a alternativa a, 7,4% dos alunos, a b, 13,0% , a c, 15,6% a d(correta), 39,7%, a e,
24,1%.
A solução apresentada pelo Grupo 4 (ver abaixo) refere-se à alternativa
com maior frequência, a correta (39,7%):
135
Para síntese da tarefa, foi explicitado:
Determinar o valor de um número desconhecido em uma equação exponencial.
(protocolo - Grupo 4)
Continuando em comentários:
O aluno deve utilizar habilidades adquiridas com potências para resolver uma
equação exponencial. (protocolo – Grupo 4)
Classificaram-na como:
Ideia estruturadora: mudança e relações
Conteúdo: Equação e inequação exponencial.
Agrupamento de competências: reprodução
Situação: Educacional/ocupacional
Com relação à nossa análise prévia do item (ver seção 4.2.3),
consideramos que essa análise foi adequada, esse grupo também observou o
que o aluno precisa saber para realizar esta tarefa, nestes comentários
evidenciam-se o Conhecimento Pedagógico do conteúdo (Shulman) e,
especificamente o Conhecimento do Conteúdo e Ensino (Ball).
Em relação ao item 11
Carla está calculando o custo de uma viagem de carro. Ela sabe que, para andar 120 km, seu carro consome 15 litros de combustível, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Para uma viagem de 960 km, Carla gastará, apenas com combustível, a. R$ 120,00 b. R$ 128,00 c. R$ 220,00 d. R$ 240,00 Assinalaram a alternativa a, 20% dos alunos, a b, 22%, a c, 23% e a d(correta), 34%.
O grupo 5 resolveu esta questão utilizando regra de três simples.
136
Classificaram como:
Grupo III – competências para compreender
Habilidade H20 (8ª série/9º ano) – Resolver problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau.
Com relação à nossa expectativa (vide análise prévia do item na seção
4.2.3), consideramos que essa análise foi superficial, embora o grupo tenha
apontado corretamente as competências e habilidades presentes no Relatório
Pedagógico do Saresp.
Nessas análises, a classificação quanto às competências e habilidades
foi adequada, mostrando que o professor tem o conhecimento do currículo
(Ball) onde apontam as finalidades de cada conteúdo dos itens.
5.1 ANÁLISE GLOBAL
Feita a análise dos episódios dos encontros e a tabulação das
informações do questionário, retornamos aos referenciais teóricos para
identificar as categorias de reflexões que emergiram.
Definimos quatro categorias, cada uma delas englobando um
agrupamento de reflexões. São elas: Reflexões sobre as avaliações externas
(R1); Reflexões sobre o ensino de álgebra (R2); Reflexões sobre a
matemática envolvida (R3); Reflexões sobre a formação docente (R4).
A seguir, detalhamos essas quatro categorias.
R1 - Reflexões sobre as avaliações externas
Essa categoria, relacionada às avaliações externas, engloba as
reflexões sobre os sistemas de avaliação da educação no Brasil.
Ao refletirem sobre as avaliações externas nas discussões do grupo, as
reflexões surgidas podem ser resumidas nas seguintes:
as avaliações externas vêm ao encontro da necessidade de
identificar as características e a qualidade do ensino;
a avaliação externa é um reflexo do ensino e da escola de hoje,
que é voltada para todos e não mais elitizada como foi há tempos;
137
reflexões, a partir da análise das questões e dos relatórios
pedagógicos do Saresp, sobre a visão do que é avaliar;
em relação à avaliação externa Saresp, embora reconheçam a
validade do exame, criticam a indexação dos resultados dos
alunos ao trabalho docente e o “rankeamento” das escolas.
R2 - Reflexões sobre o ensino de álgebra
Nessa categoria, as reflexões surgidas podem ser resumidas nas
seguintes:
reflexões sobre a defasagem dos alunos que pode dificultar a
aprendizagem e a resolução dos itens;
reflexões sobre a construção de questões de álgebra. (aspectos
tais como precisão do enunciado, escolha criteriosa dos números
envolvidos etc.);
reflexões sobre a necessidade de apresentar os problemas aos
alunos com enunciados precisos, corretos gramaticalmente, de
modo a não criar dificuldades na compreensão e,
consequentemente, na resolução;
reflexões sobre a matemática que o aluno deverá utilizar para
resolver a questão, isto é, elaborar uma síntese da tarefa com o
que se pretende que o aluno faça para resolver a questão. (Se os
procedimentos que levam ao resultado podem ser desenvolvidos
por alunos daquela série etc.);
reflexões sobre a situação ou contexto e sobre o agrupamento de
competências em jogo no item, com a constatação de que
existem diferentes critérios de classificação de itens;
reflexões sobre os pontos facilitadores e dificultadores para o
aluno desenvolver uma atividade de álgebra;
reflexões sobre os conhecimentos prévios necessários para
realização de uma tarefa de álgebra;
reflexões sobre os recursos auxiliares para o ensino do conteúdo
em jogo nas atividades.
138
R3 - Reflexões sobre a matemática envolvida
Nessa categoria, estão as reflexões sobre as possibilidades de
resolução de situações de aprendizagem, dos itens ou a identificação do
raciocínio que levou o aluno à resposta (correta ou não). São elas:
reflexões sobre as dificuldades dos alunos quanto à leitura e
interpretação do enunciado das questões;
reflexões sobre o domínio da linguagem matemática e sua
interferência na resolução da equação;
reflexões sobre as possíveis estratégias de resolução;
reflexões sobre os conhecimentos prévios, ou seja, matemática
básica envolvida na resolução de equações e sistemas
(operações em Z, em Q, em R, mmc, fatoração etc.);
reflexões sobre a habilidade envolvida no item e percepção de
que nem sempre apenas uma habilidade está envolvida;
reflexões sobre as competências e habilidades envolvidas na tarefa.
R4 - Reflexões sobre a Formação Docente.
Em relação à formação docente, ao longo das discussões, depoimentos
do grupo apontam para o seguinte:
constatação de que a formação inicial do grupo foi deficiente quanto
ao preparo para ensinar, especialmente para ensinar geometria;
reflexões sobre a matemática envolvida nas situações de
aprendizagem propostas ao longo da formação, tais como: na
representação gráfica do sistema, é possível traçar uma reta
correspondente a cada equação? Existe a intersecção das
representações gráficas de cada equação? O que são grandezas
diretamente ou inversamente proporcionais e como estabelecer
uma sentença que as relacione? etc.;
reflexões sobre o próprio conhecimento matemático e didático,
constatando a necessidade de conhecer mais matemática para
ensinar e para construir tarefas significativas para os alunos;
139
reflexões sobre a prática pedagógica que foram desencadeadas
no processo formativo.
No próximo capítulo, apresentamos as considerações finais de pesquisa.
140
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo desta pesquisa foi investigar a compreensão evidenciada por
professores de Matemática, relativamente a resultados de avaliações externas
num contexto de formação continuada envolvendo o ensino de álgebra, em
particular o de equações e sistemas de equações, na Educação Básica.
Para atingir o objetivo de pesquisa, elaboramos um processo formativo,
alojado em um módulo de álgebra, incluindo estudos sobre resultados de
avaliações externas do Saresp em Matemática. A seguir, desenvolvemos esse
processo formativo com um grupo de professores e analisamos as reflexões
feitas por eles.
A seguinte questão orientou a investigação:
Quais são as reflexões dos professores que emergem a partir da
análise de Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno e de itens
contidos em avaliações do Saresp, relativos a equações e a sistemas de
equações?
Após a análise dos episódios dos encontros e da tabulação das
informações do questionário, retornamos aos referenciais teóricos para
identificar as categorias de reflexões que emergiram. Definimos, então, um
agrupamento das reflexões em quatro categorias, a saber: Reflexões sobre as
avaliações externas; Reflexões sobre o ensino de álgebra; Reflexões sobre a
matemática envolvida e Reflexões sobre a formação docente.
Reflexões sobre as avaliações externas
Acreditamos que as discussões ocorridas em relação aos textos
apresentados promoveram reflexões no sentido de validar a necessidade de
entender a avaliação externa como mais um instrumento para indicar o
desenvolvimento da aprendizagem do aluno e, a partir disso, utilizar seus
resultados de forma a auxiliar o aluno em suas dificuldades.
Reflexões sobre o ensino de álgebra
As análises das Situações de Aprendizagem e dos itens possibilitaram
reflexões sobre o ensino de álgebra no sentido de repensar nas atividades
desenvolvidas em sala de aula, como, por exemplo, para elaborar questões
utilizadas em aula ou questões para avaliar a aprendizagem do aluno, há a
necessidade de observar a clareza dos enunciados, as dificuldades que os
141
alunos poderão apresentar com o contexto, os conhecimentos prévios
envolvidos, as competências e habilidades em jogo.
Reflexões sobre a matemática envolvida
As análises das Situações de Aprendizagem e dos itens permitiram
reflexões sobre a matemática envolvida para resolver essas questões, como
conjecturar sobre possíveis estratégias utilizadas pelos alunos, os
conhecimentos prévios, as dificuldades de leitura e interpretação dos
enunciados, o grau de domínio da linguagem matemática, as competências e
habilidades envolvidas para resolver uma questão.
Reflexões sobre a formação docente.
As atividades propostas no módulo de álgebra possibilitaram reflexões
sobre a formação docente, no sentido de os professores apontarem para o
grupo sua formação inicial deficiente e a necessidade de procurar suprir,
nessas oportunidades, essas deficiências e, assim, conseguir desenvolver o
conhecimento do conteúdo comum e o conhecimento do conteúdo específico.
A figura 32 sintetiza essas reflexões.
Foi possível constatar que, na percepção dos professores, muitas das
questões propostas nas avaliações do Saresp estão inadequadas, sendo
muito difíceis para os alunos das séries para as quais são propostos. Isso
também foi apontado na pesquisa de Bauer (2008). Segundo a pesquisadora,
seus sujeitos afirmaram que “os conteúdos das questões estão adequadas
aos PCNs, porém várias questões não estão de acordo com a realidade em
que está inserido o aluno” (p.489).
142
Figura 32: Categorias Emergentes quanto às Reflexões Fonte: Acervo próprio
Ficou evidente que o grupo de professores teve dificuldade em resolver
algumas das questões propostas na formação. Isso é um indício de que
provavelmente o grupo não desenvolve, em sala de aula, a diversidade de
problemas e questões ligadas aos conteúdos algébricos que são focados nas
avaliações externas. Dessa forma, constata-se a necessidade do
conhecimento específico do conteúdo (como diz Shulman,1986), o qual é
fundamental para que o professor possa explorar adequadamente as situações
em que ele pode ser apresentado aos alunos, isto é, o conhecimento
pedagógico do conteúdo se funda no conhecimento específico também.
Avaliações Externas
Identificar as
características e a qualidade
do ensino
Reflexo do ensino e da
escola hoje
Saresp – validade e
crítica sobre a indexação dos
resultados
Ensino de Álgebra
Defasagem dos alunos
Construções de questões
Enunciados precisos
Síntese da tarefa
Situação ou contexto
Competências e
habilidades
Conhecimentos prévios
Recursos auxiliares para
o ensino
Formação Docente
Formação inicial
deficiente
Matemática
envolvida
Próprio
conhecimento
matemático e
didático
Matemática Envolvida
Dificuldades de leitura
e interpretação
Domínio da linguagem
matemática
Conhecimentos prévios
Habilidades envolvidas
além das apontadas
nos relatórios
Competências e
habilidades envolvidas
REFLEXÕES
143
Outra constatação foi que analisar as questões e discuti-las com o grupo
(conteúdo da questão, possíveis erros dos alunos, quais as competências e
habilidades em jogo, qual o tipo de situação está sendo enfocada) auxiliou o
professor a apurar o olhar para a análise pedagógica das questões.
As reflexões compartilhadas no grupo parecem ter impulsionado o
desenvolvimento do conhecimento profissional docente. Contudo, vale ressaltar
que a amostra na pesquisa foi pequena e que não se pode generalizar, isto é,
as reflexões aqui analisadas foram as desse grupo particular e ocorridas no
contexto específico dessa formação, a partir das tarefas propostas ao grupo.
No entanto, os resultados obtidos poderão subsidiar futuras formações,
enfatizando análise de itens para proporcionar reflexões que auxiliem os
professores em sua prática pedagógica.
Os encontros favoreceram a aprendizagem profissional, o
desenvolvimento do conhecimento específico do conteúdo e a reflexão
compartilhada sobre como propiciar situações para favorecer a aprendizagem
dos alunos.
A pesquisa permitiu vislumbrar que todas as temáticas que impulsionaram
as reflexões foram induzidas pela formadora, ou seja, o formador foi o
responsável por fazer aflorar as reflexões. Uma vez que o conjunto de reflexões
foi induzido pelo formador, fica visível a importância da intencionalidade do
formador, na função de mediador, para estimular as reflexões. Assim sendo, o
formador deve contemplar a utilização dos conhecimentos dos professores
envolvidos, valorizando suas práticas letivas como ponto de partida para as
discussões ao longo da formação (Serrazina, 2010).
Vale frisar que esta pesquisa desenvolveu-se dentro de um módulo de
formação, planejado para oito encontros, totalizando 24 horas presenciais e 36
horas a distância e que esse tempo mostrou-se curto, ou seja, a formação deve
ser um processo contínuo e não modular para que seja possível uma maior
interação e, dessa forma, indicamos, para pesquisas futuras, que esse fator
deva ser considerado. Além disso, pesquisas podem ser desenvolvidas,
envolvendo um movimento de o professor ir para a sala de aula, aplicar as
atividades elaboradas na formação e voltar com resultados para a discussão.
Indicamos, também, que sejam empreendidas investigações em
processos formativos de professores, as quais abordem a temática das
144
avaliações externas e suas possíveis implicações para sala de aula de uma
forma mais ampla, uma vez que este estudo focou uma formação ligada às
avaliações do Saresp. Enfatizamos a necessidade de estudos e pesquisas
sobre processos formativos que envolvam avaliações internacionais, tais como
o PISA. Nesses processos, é fundamental que sejam analisadas pelos
professores a concepção de avaliação, o que é letramento matemático, o
formato dos itens etc. Tais processos formativos devem ser objeto de estudo de
modo a ampliar o conhecimento que temos sobre o modo como o professor
avalia, percebe a avaliação externa e utiliza resultados de avaliações externas
no exercício profissional.
Finalizando, destacamos a importância da inclusão do tema avaliação nos
processos de formação inicial e/ou continuada e, em particular, do tema
avaliação externa, pois ele pode fornecer suporte à prática pedagógica do
professor de matemática. Acreditamos que uma pesquisa não termina por si só
e sim que é o início de outras indagações, de outras inquietações e de outra
caminhada. Na caminhada por uma formação contínua de professores, sempre
haverá pedras no caminho; e nós, pesquisadores e formadores, devemos
esmerar-nos para retirá-las.
145
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volume 2/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe,
Carlos Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.;
MACHADO, N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.
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Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos Eduardo
de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO, N. J.;
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Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos Eduardo
de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO, N. J.;
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______. Caderno do Professor: matemática, ensino fundamental – 7ª. série,
volume 3/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe,
Carlos Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.;
MACHADO, N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.
______. Caderno do Professor: matemática, ensino fundamental – 8ª. série,
volume 2/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe,
Carlos Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.;
MACHADO, N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.
______. Caderno do Professor: matemática, ensino médio – 1ª série, volume
3/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO,
N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.
______. Caderno do Professor: matemática, ensino médio – 2ª série, volume
1/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos
150
Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO,
N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.
______. Caderno do Professor: matemática, ensino médio – 3ª série, volume
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1996.
______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 1997. São Paulo: FDE,
1998.
151
______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 1998. São Paulo: FDE,
2000.
______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2000. São Paulo: FDE,
[2001?].
______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2001. São Paulo: FDE,
[2002?].
______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2002. São Paulo: FDE,
[2003?].
______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2003. São Paulo: FDE,
2005.
______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2004. São Paulo: FDE,
[2005 ou 2006].
______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2005. São Paulo: FDE,
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152
ANEXOS
Anexo A: Parecer da Comissão de Ética da Universidade Bandeirante de São Paulo
153
Anexo B – Atividades do Caderno do Aluno Atividade do Caderno do Aluno 6ª série/7o.ano - Volume 4 - 2009 -pág. 08 a 11- Parte da situação de aprendizagem 1: Investigando sequências por aritmética e álgebra. A atividade aborda a investigação de sequências por aritmética e álgebra. O professor ao realizá-la deverá observar o processo pelo qual o aluno é conduzido para encontrar os termos das sequências e analisar os padrões apresentados para representá-los algebricamente por uma fórmula, e apontar dificuldades que os alunos provavelmente terão ao desenvolvê-las e quais intervenções poderiam fazer.
154
155
Atividade do Caderno do Aluno 7ª série/8o. ano - Volume 3 - 2009 -pág. 40 a 49 - Situação de aprendizagem 3. - Equações, tabelas e gráficos.
156
157
158
159
Atividade do Caderno do Aluno – Volume 2 – 8ª.série/9º.ano – 2009 – Situação de Aprendizagem 3 - Grandezas Proporcionais: Estudo funcional, significados e contextos.
A situação de aprendizagem apresenta uma série de atividades com o
conteúdo de grandezas proporcionais com o objetivo de que o professor as
desenvolva e perceba possíveis dificuldades que o aluno poderia ter e quais as
sugestões para saná-las.
160
161
162
163
Atividade do Caderno do Aluno – Volume 3 – 1ª. Série do Ensino Médio – 2009 –pag. 43 a 48– Situação de Aprendizagem 4 –As múltiplas faces das potências e dos Logaritmos: problemas envolvendo equações e inequações em diferentes contextos
164
165
166
Atividade do Caderno do Professor – Volume 1 – 2ª. Série do Ensino Médio – 2009 - pag. 49 a 55 – Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas
167
168
169
170
171
Atividade do Caderno do Aluno – Volume 2 – 3ª. Série do Ensino Médio – 2009 – pag. 3 a 13 - Situação de Aprendizagem 1 – A equação de 3º. Grau e o aparecimento natural dos números complexos
172
173
174
175
Atividade do Caderno do Aluno – Volume 2 – 3ª. Série do Ensino Médio – 2009 – pag. 24 a 20 - Situação de Aprendizagem 2 –– “Das fórmulas à análise qualitativa: relação entre coeficientes e raízes”.
A Situação de aprendizagem explora a relação entre coeficientes e
raízes, enfatizando particularmente a equação do 3º. Grau com uma incógnita.
176
177
178
Atividade do Caderno do Aluno - Volume 2 – 3ª. Série do Ensino Médio ––2009 – pag. 22 a 29 - Situação de Aprendizagem 3 – Equações e polinômios: divisão por x – k e redução do grau da equação
179
180
APÊNDICES
Apêndice A: Questionário QUESTIONÁRIO DO PROFESSOR
1) Dados:
Nome_______________________________________________ Idade__________ Telefone _________________ e-mail ___________________________________
2) Formação Acadêmica:
Ensino Superior/Curso: ___________________ Ano de conclusão: _______________ Instituição ______________________________________________ Licenciatura Curta ( ) Licenciatura Plena ( )
3) Cursos de Pós Graduação?
( ) Não ( ) Sim - ( ) Lato Sensu ( ) Strito Sensu Nome do curso: ____________________________________ Ano de conclusão _____________________ Instituição ___________________________________________
4) Quais os procedimentos que você costuma adotar para melhorar o rendimento escolar em Matemática dos alunos?
5) O que você prioriza quando corrige uma avaliação? 6) Como você prepara seus alunos para participar de avaliação externa (Saresp,
Prova Brasil)? 7) Nas suas Reuniões Pedagógicas como são analisados os resultados
das Avaliações Externas? 8) Nas suas Reuniões Pedagógicas as Matrizes de Referência do Saresp que
fundamentam as classificações de itens das avaliações externas foram discutidas pelo corpo docente de Matemática?
9) Quais os conteúdos da série que você leciona que, em sua opinião, os alunos teriam mais facilidade nas avaliações externas?
10) Quais os conteúdos da série que você leciona que, em sua opinião, os alunos teriam mais dificuldades nas avaliações externas
Sobre Álgebra...
11) Como você avalia seu aprendizado de Álgebra quando estudante na Educação Básica?
12) Como você avalia seu aprendizado de Álgebra quando estudante no Ensino Superior?
13) Quando você era aluno (a), durante as aulas de Álgebra, eram utilizados materiais concretos? Quais? E outros recursos didáticos?
14) Você tem alguma dificuldade para ensinar Álgebra? Comente: 15) Quais as principais dificuldades que você identifica nos seus alunos durante o
processo de aprendizagem de Álgebra? 16) Você gostaria de acrescentar alguma informação sobre sua prática docente?
181
Apêndice B: Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Tema da Pesquisa: “Desenvolvimento Profissional Docente e Ensino de
Matemática: Investigando a Apropriação dos Resultados de Avaliações
Externas por Professores da Educação Básica”
Nome do (a) Pesquisador (a): Rosangela de Souza Jorge Ando
Nome do (a) Orientador (a): Nielce Meneguelo Lobo da Costa
O sra (sr.) está sendo convidada (o) a participar desta pesquisa que tem
como finalidade contribuir com subsídios para a área da educação matemática,
em particular com a formação do professor que ensina matemática, bem como
enriquecer meus conhecimentos sobre formação e práticas didáticas que
auxiliarão meus colegas de disciplina, para que a prática docente se torne
sempre melhor.
Ao participar deste estudo a sra (sr) permitirá que a pesquisadora utilize
as atividades desenvolvidas ao longo da pesquisa, bem como as gravações
das seções e filmagens. A sra (sr.) tem liberdade de se recusar a participar e
ainda se recusar a continuar participando em qualquer fase da pesquisa, sem
qualquer prejuízo para a sra (sr.). Sempre que quiser poderá pedir mais
informações sobre a pesquisa através do telefone da pesquisadora do projeto
e, se necessário através do telefone do Comitê de Ética em Pesquisa.
Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz
complicações legais. Os procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem
aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução
no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos
usados oferece riscos à sua dignidade.
Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são
estritamente confidenciais. Somente a pesquisadora e a orientadora terão
conhecimento dos dados.
182
Benefícios: ao participar desta pesquisa a sra (sr.) não terá nenhum
benefício direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações
importantes sobre formação e práticas didáticas, de forma que o conhecimento
que será construído a partir desta pesquisa possa auxiliar nas metodologias
utilizadas em sala de aula, onde a pesquisadora se compromete a divulgar os
resultados obtidos.
Pagamento: a sra (sr.) não terá nenhum tipo de despesa para participar
desta pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.
Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma
livre para participar desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que
se seguem: Confiro que recebi cópia deste termo de consentimento, e autorizo
a execução do trabalho de pesquisa e a divulgação dos dados obtidos neste
estudo.
Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.
Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e
esclarecida, manifesto meu consentimento em participar da pesquisa.
____________________________________________________ Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa
__________________________________ Rosangela de Souza Jorge Ando
___________________________________ Nielce Meneguelo Lobo da Costa
183
Apêndice C – Apresentação em Power Point do 1º. e 2º. Encontro - Avaliações externas. Analisando a Avaliação
184
185
186
187
188
Apêndice D- Apresentação em Power Point do 6º. Encontro – Avaliações Externas – PISA
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
Apêndice E - Atividades de Análise de Itens 1ª. Atividade de análise de itens – O Exemplo 10 da pág 124 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009–– Habilidade
Avaliada - H12: Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos
matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa.
Este item apresentou um alto índice de erro e embora tenha sido
aplicado na 6ª.série e na 8ª. série o índice de acerto não mudou muito e nos
remete que o aluno não tenha desenvolvido nestes dois anos a habilidade H12
– ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos
escritos em linguagem corrente e vice-versa. Apenas de interpretação.
Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 10 – pág 124 – H12
Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.
201
Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 14 – pág 127 – H15
Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.
Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 13 – pág 158 – H16
Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.
202
Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 20 – pág 127 – H15
Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.
203
2ª. Atividade de Análise de Itens
Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – Exemplo2 – pág 148 – 8ª.série/9º.ano - EF
1) Classificar o item de acordo com a Matriz de Referência do Saresp (Grupo e habilidade) 2) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 3) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 4) Acrescentar os comentários do grupo.
Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 22 – 6ª. Série/7º.ano –EF - pág 134
1) Classificar o item de acordo com a Matriz de Referência do Saresp (Grupo e habilidade) 2) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 3) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 4) Acrescentar os comentários do grupo.
204
Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 16 – pág 160 – 8ª.série/9º.ano -EF
1) Classificar o item de acordo com a Matriz de Referência do Saresp (Grupo e habilidade) 2) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 3) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 4) Acrescentar os comentários do grupo.
205
3ª. Atividade de classificação de itens Exemplo 4 da pag.190 do Relatório Saresp 2009 – 3º. Ensino Médio
Cada análise desta atividade tem este formato: O item, espaço para solução,
espaço para comentários e espaço para a síntese da tarefa.
Solução: Comentários:
Síntese da tarefa:
206
Exemplo 27 – pag.212 do Relatório Saresp 2009 – 3ª.EM
Exemplo 20 – pag. 164 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM
Exemplo 2 – pag. 188 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM
207
Exemplo 3 - pag.189 do Relatório Saresp 2009 – 3ª.EM
Exemplo 10 – pag.195 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM
208
Exemplo 16 – pag. 201 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM
Exemplo 18 – pag. 203 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM
Exemplo 20 – pag 205 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM
209
Pag. 119 do Relatório Pedagógico Saresp 2008 – 3ª. EM
Pag.117 do Relatório Pedagógico Saresp 2008 – 3ª. EM
210
Pag. 123 do Relatório Pedagógico Saresp 2008 – 3ª. EM
Pag.101 do Relatório Pedagógico Saresp 2008 – 8ª.Série/9º.Ano – EF
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Apêndice F –
Quadro 2 – Tabulação do Questionário para caracterização dos sujeitos parte 2
Questionário – Sobre Álgebra...
Codinome
Como você avalia seu aprendizado de Álgebra quando estudante na Educação Básica?
Como você avalia seu aprendizado de Álgebra quando estudante no Ensino Superior?
Quando você era aluno(a), durante as aulas de Álgebra, eram utilizados materiais concretos? Quais? E outros recursos didáticos?
Você tem alguma dificuldade para ensinar Álgebra? Comente.
Quais as principais dificuldades que você identifica nos seus alunos durante o processo de aprendizagem de Álgebra?
Você gostaria de acrescentar alguma informação sobre sua prática docente?
AP Regular Bom Sim Não Parte literal Não
CG Livros – pesquisa na biblioteca...
Não
CL Quando começam as letrinhas as dificuldades aumentam
Eu gostava, mas sinto que amadureci meu aprendizado ao longo do curso.
Não, tive muita dificuldade, só fui entender muito tempo depois.
Não, mas sinto muita dificuldade por parte dos alunos.
Os alunos não conseguem entender as letras, isso é muito abstrato para eles, a proposta da SEE vai inserindo essa ideia (e conteúdo) aos poucos (em espiral).
Divido minhas 5 aulas da semana em lógica, geometria e matemática e para a 5ª. série/6º/ano acrescento origami.
DN Regular Bom Não Creio que a parte que corresponde a polinômios, frações algébricas é muito complicado quando temos que calcular as somas utilizando o mmc dos denominadores.
A utilização da letra e número na mesma equação.
Não
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EL Muito bom, é uma das partes da matemática que eu mais gosto.
Muito bom também.
Não Não Os alunos apresentam um certo receio em tirar dúvidas, no geral, pois tem “medo”que os colegas os banalizem.
FB Regular Regular Não Um pouco Resolver equações.
FT Com dificuldade, por isso tento facilitar para o meu aluno
Sempre com dificuldade
Não Não. É difícil, mas dá para explicar. Os cadernos dos alunos facilitam.
As propriedades das potências, tem que ser recordadas sempre. Produtos notáveis, divisão de polinômios, fatoração são os mais difíceis de entendimento.
HQ Decoreba, fórmulas e regras.
Não Sim, o aluno não tem a prática da leitura, isso dificulta muito.
Interpretação e conhecimentos básicos.
MA Adequado e suficiente.
Adequado e suficiente.
Não. Conceitos e exercícios.
Não Equações, funções, trabalhar com operações inversas, soma ou subtração, multiplicação ou divisão.
Sim, em aulas livres são abordados outros assuntos relacionados com as metodologias de ensino, é preciso aprender a pensar.
MS Regular Regular Não Não, porém necessito de atualizar-me Sempre vejo essa necessidade (Urgente)>
Equações 1º. e 2º graus. Não
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MC Regular Defasado. Não tivemos muito tempo.
Não Não Regras de sinais, regras de multiplicação, divisão e soma envolvendo fração.
PL Regular Regular Não Não Equações, produtos notáveis e fatoração.
Não
RM Bom Bom Não Não Habilidades e competências que não foram adquiridas pelos alunos em séries anteriores.
SR Regular Regular Não Eu acho que tenho mas consigo me virar. o uso de letras no início é complicado o aluno entender o uso de letras nas operações.
Vide resposta anterior.
SU Muitas vezes as questões foram trabalhadas superficialmente
Tenho dificuldade
Não Sim, tenho necessidade de me atualizar mais.
Falta de aplicação dos exercícios em questões do dia a dia
Não, nesse momento gostaria de aprender mais.
TN Muito bom. No Ensino superior tive dificuldades mas superei
Não Não “Mistura número com letra”, como eles dizem.
não
Fonte: Acervo próprio
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Apêndice G Quadro 3 – Tabulação do Questionário para caracterização dos sujeitos parte 3
Questionário – Atuação Profissional
Codinome
Quais os procedimentos que você costuma adotar para melhorar o rendimento escolar em Matemática dos alunos?
O que você prioriza quando corrige uma avaliação?
Como você prepara seus alunos para participar de avaliação externa (Saresp, Prova Brasil)?
Nas suas Reuniões pedagógicas como são analisados os resultados das Avaliações Externas?
Nas suas Reuniões Pedagógicas, as Matrizes de Referência do Saresp, que fundamentam as classificações de itens das avaliações externas, foram discutidas pelo corpo docente de Matemática
Quais os conteúdos da série que você leciona que, em sua opinião, os alunos teriam mais facilidade nas avaliações externas?
Quais os conteúdos da série que você leciona que, em sua opinião, os alunos teriam mais dificuldade nas avaliações externas?
AP Buscando questões que fazem parte do dia a dia do aluno.
Participação em sala, se o aluno realmente está aprendendo, o interesse do aluno.
Trabalhando com questões anteriores, e revendo a matéria para determinadas questões.
Não tem avaliação externa.
Não Geometria
CG Fazer com que o aluno desenvolva o exercício (exemplo) junto com o mestre para ter seu conhecimento até onde ele pode alcançar.
Desenvolvimento de cada passagem do exercício.
Estudando e resolvendo exercícios extraclasses junto dos mesmos.
O aluno interessado sempre consegue seus objetivos, os outros costumam copiar, é dar mais apoio aos alunos sem interesse.
Não Eles têm dificuldade de ler as questões.
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CL Fazer atividades em duplas, porque os alunos se ajudam. Depois de alguns dias de matéria nova dar exercícios para entregar
Verifico as questões que mais erraram para corrigir e esclarecer as dúvidas sobre aquele conteúdo
Não faço nada de especial, meu planejamento é de acordo com o da SEE. Costumo aplicar algumas questões de anos anteriores durante o ano.
Geralmente, a escola que estou tem índices acima da média em relação as outras escolas da Diretoria. Conversamos sobre o que temos dado em sala e o que precisa mudar ou esclarecer melhor os alunos
Não que me lembre
Exercícios de lógica e origami como ferramenta para ajudar a entender a Geometria
Leitura de problemas, pois apresentam dificuldade de leitura e interpretação.
DN Diversificar exercícios/conteúdos. Usar a História da Matemática como atrativo e cultura. Explorar a etmologia.
O raciocínio, interpretação, organização.
Nunca tive a oportunidade
Não Geometria Plana e conjuntos numéricos
Frações algébricas, frações e potências.
EL A cada conteúdo novo procuro resgatar as dúvidas de anos anteriores para que a defasagem do conhecimento de cada aluno seja cada vez menor
O raciocínio lógico e dedutivo do aluno, as maneiras com as quais ele trabalhou para solucionar os problemas pedidos.
Através de problemas e situações do dia a dia (reais) que envolvam os conteúdos em tais avaliações
Sempre são colocados e discutidos entre todos os professores.
Não Área de figuras planas, raízes e cálculos numéricos em geral.
Comprimento e área de circunferência, probabilidade e teorema de Tales.
FB Faço recuperação contínua com exercícios.
O raciocínio que o aluno fez
Não tem um momento específico.
Não Não Números e operações
Geometria e álgebra
FT Interpretação de textos matemáticos, vídeos, DVDs, leituras de paradidáticos/
Raciocínio lógico, conteúdo mais prático.
Sim, questões dos anos anteriores.
Não são analisados
Não discutimos Números inteiros, equação e funções.
Geometria e álgebra.
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HQ Fazer a ligação do conteúdo ensinado, com outras disciplinas
O conhecimento do aluno através de um raciocínio lógico e coerente.
Aplicando testes e leitura.
São apresentados aos professores nos HTPC, e se propôs um trabalho para as séries que serão avaliadas no ano seguinte.
Sim
MA Pesquisa sobre os temas abordados. Conteúdo abordado, exercícios sobre os temas abordados.
O que o aluno conseguir fazer. Provas livres com consultas e atividades desenvolvidas em grupo.
Orientando sobre procedimentos básicos: como fazer uma prova.
Através do nível de pontuação obtida pelos alunos.
Sim 2º. e 3º. do Ensino Médio: Matrizes, sistemas lineares, triângulo de Pascal, Binômio de Newton, Números Complexos, Equações polinomiais
Geometria analítica, limites e derivadas, trigonometria, análise combinatória, probabilidades.
MS Procuro verificar as maiores dificuldades dos alunos e sanar suas dúvidas esclarecendo da melhor forma possível.
A forma com que o aluno desenvolve a maneira dos exercícios e considerando formas matemáticas desenvolvidas.
Procuro verificar suas dúvidas e saná-las conforme seus conhecimentos matemáticos e procuro orientá-lo da melhor maneira possível.
São discutidos e procuramos analisar os erros para corrigi-los e não cometer nos anos seguintes.
Sim, procuramos discutir formas diferentes, para desenvolver aulas mais eficazes.
Em minha opinião devemos tentar ideias novas pois a Matemática é complexa, por isso não vejo facilidades em nenhuma série sem trabalho.
Álgebra, Geometria, raciocínio lógico.
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MC Fazemos atividades diferenciadas de vez em quando, como bingo da tabuada, calc draw recortes de figuras, tangran, jogos, ...
Participação e desempenho nas aulas e tarefas feitas em casa.
Costumo levar questões de provas anteriores, como por exemplo, todas as aulas corrigimos e comentamos pelo menos 1 questão das olimpíadas de Matemática. A escola também oferece provão.
A coordenadora sempre comenta os resultados em HTPC, faz gráficos dos rendimentos...
Não Nas 8ª. séries/9º.ano – equações do 2º. grau.
Frações
PL Exercícios que refletem o dia a dia do aluno
O raciocínio do aluno
Não preparo Sim Não Cálculos numéricos, perímetro.
Álgebra e geometria
RM Atencioso e procuro ouvir os alunos. Aproximo-me do aluno e procuro tirar suas dúvidas. O aluno sente-se a vontade para fazer perguntas. Explico de várias maneiras para pode atingir o aluno. Uso materiais didáticos e algumas aulas lúdicas.
Se os cálculos (raciocínio) tem lógica. Conhecimento do conteúdo. Domínio das operações. Retorno do que vou trabalhar no futuro (dificuldades).
Trabalho com a proposta curricular Trabalho com exercícios do Saresp dos anos anteriores.
Os resultados são expostos para os professores Fazemos um estudo e traçamos plano para os anos subsequentes.
Não 8ª. série 6ª. série
SR Proponho situações problema usando o raciocínio lógico pois, alguns problemas fazem somente uso das quatro operações e a regra de três.
Eu avalio todo o procedimento, mesmo as “continhas”(eu peço para os alunos deixarem na prova e não apagar) para
Normalmente, a escola promove provões e/ou simulados visando o “treinamento” destes alunos
O coordenador pedagógico costuma promover nos HTPC a análise destes resultados e sempre nos
Sim, pelo menos em alguns HTPC o coordenador pedagógico promove discussões com
No momento não tenho salas que fazem Saresp
Idem resposta anterior
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saber como ele chegou ao resultado, porque num raciocínio lógico com um bom procedimento ele acerta a solução do problema mas pode até errar nos cálculos.
para a participação da avaliação externa, e temos tido bons resultados.
orienta para tentar ver onde o aluno não vai bem. Por exemplo, falta de leitura, o aluno lê um problema mas não entende o que é pedido – palavras desconhecidas
o corpo docente de todas as disciplinas, sobre as Matrizes de Referência do Saresp, mas a discussão fica um pouco superficial.
SU Práticas diversificadas Atividades/jogos
Desenvolvimento do argumento lógico do aluno até chegar ao resultado.
Avaliação e reavaliação das provas anteriores e discussão dos resultados obtidos. Análise em grupo dos resultados.
Com base nos índices alcançados e metas a serem atingidas, discussão em grupo e propostas.
Sim, serviram de subsídios para nortear a prática docente.
Geometria é mais prático quando próximo da realidade deles
Geometria e Álgebra
TN Correção coletiva de todas as atividades aplicadas.
Desenvolvimento do raciocínio no rascunho.
Atividades de provas dos anos anteriores adequadas ao conteúdo que está sendo trabalhado.
Sim Não Geometria plana e cálculo algébrico
Análise combinatória, trigonometria, geometria espacial, frações (todas as operações)
Fonte: Acervo próprio
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