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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES INSTITUTO A VEZ DO MESTRE PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU” UTILIZAÇÃO DE MATERIAL CONCRETO NA PRENDIZAGEM DE CONCEITO DE FUNÇÃO NO ENSINO SUPERIOR ALEXANDER PIRES DA SILVA ORIENTADORA Mª. DINA LÚCIA CHAVES ROCHA Rio de Janeiro 2010
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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
INSTITUTO A VEZ DO MESTRE
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
UTILIZAÇÃO DE MATERIAL CONCRETO NA PRENDIZAGEM DE CONCEITO DE FUNÇÃO NO
ENSINO SUPERIOR
ALEXANDER PIRES DA SILVA
ORIENTADORA
Mª. DINA LÚCIA CHAVES ROCHA
Rio de Janeiro
2010
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
INSTITUTO A VEZ DO MESTRE
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
UTILIZAÇÃO DE MATERIAL CONCRETO NA PRENDIZAGEM DE CONCEITO DE FUNÇÃO NO
ENSINO SUPERIOR
Rio de Janeiro
2010
Apresentação de monografia à Universidade Candido Mendes como requisito parcial para obtenção do grau de especialista em Docência do Ensino Superior. Por: Alexander Pires da Silva
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a Deus pela força, por me
permitir vivenciar este estudo e poder transformá-lo num
documento que de alguma forma pode ajudar a contribuir
para a aprendizagem da matemática no ensino superior, a
minha família por está sempre ao meu lado nas horas
difíceis e ao meu grande incentivador e colaborador
Horsts que me ajudou a corrigir esta obra.
DEDICATÓRIA
Dedico essa obra a todos os professores que de alguma
forma dedicam suas vidas ao estudo de uma metodologia
inovadora para a melhoria da educação do nosso país.
RESUMO
O presente trabalho visa a destacar a utilização de materiais concretos para o ensino da matemática, onde eles são frisados de forma a serem um expediente facilitador do ensino dessa disciplina. A utilização de materiais concretos nas aulas de matemática vem ao encontro do desejo dos docentes de tornarem as aulas mais dinâmicas e participativas, principalmente no que tange ao envolvimento do discente. A adoção de materiais concretos nas aulas oferece subsídios para uma melhor aprendizagem, pois busca através das atividades o desenvolvimento da percepção e da clareza no raciocínio, além de possibilitar uma maior participação dos discentes. O presente trabalho visa a destacar a utilização de materiais concretos para o aprendizado do conceito de função polinomial do primeiro grau, função polinomial do segundo grau, função modular, função exponencial e função logarítmica no ensino superior, onde eles são frisados de forma a serem um expediente facilitador do ensino dessa disciplina.
METODOLOGIA
A pesquisa a ser apresentada é do tipo bibliográfica, pois as reflexões
foram fundamentadas em livros e artigos científicos já elaborados.
Os procedimentos utilizados foram:
1º) Ler textos que continham indicações de materiais concretos no
ensino da matemática;
2º) Buscar informações sobre a aprendizagem da matéria função, no
ensino da matemática tradicional em livros didáticos com abordagens
diferentes;
3º) Buscar exemplos que ratifiquem o uso de materiais concretos como
recursos que auxiliam na construção de conceitos;
4º) Propor uma reflexão na utilização de materiais concretos no conceito
da matéria função no ensino da matemática no nível superior.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................ 07
CAPÍTULO 1
A IMPORTÂNCIA DO LÚDICO NO ENSINO SUPERIOR .............................. 08
CAPÍTULO 2
CONCEITUANDO FUNÇÕES ........................................................................ 16
CAPÍTULO 3
COMO UTILIZAR MATERIAIS CONCRETOS NO CONCEITO DE FUNÇÃO? .......................................................................................................................... 21
CONCLUSÃO ................................................................................................. 48
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................. 50
ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................... 52
ÍNDICE ............................................................................................................ 53
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INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como finalidade incentivar a utilização de materiais
concretos no ensino da matemática na Educação superior. Especificamente,
no conceito de função para o ensino superior, tendo em vista a
heterogeneidade da turma. Esta metodologia é de suma importância, pois o
uso dos materiais concretos são instrumentos que podem fazer a diferença no
aprendizado do aluno.
Convém esclarecer que no dia-a-dia as aulas estão cada vez mais
mecânicas. Tantos os alunos quantos os professores se limitam a decorar as
fórmulas e a enunciar alguns códigos matemáticos que são aplicados a um
grupo de regras.
O objetivo da matemática, na realidade, não é formar apenas gênios do
cálculo, mas espera-se que a matemática de certa forma contribua para a
formação de um cidadão pleno.
Esse trabalho aborda os seguintes itens: No primeiro capítulo, é
discutida a importância da utilização de materiais concretos na educação. No
capítulo seguinte será abordada a definição de função do 1º grau, função do 2º
grau, função modular, função exponencial e função logarítmica. No terceiro
capítulo será discutida a utilização de materiais concretos na construção do
conceito de funções relatadas no capítulo anterior. E depois, estão as
considerações finais.
Pretende-se ainda com este trabalho contribuir para uma prática
educativa que utiliza materiais concretos como recurso para construir o
conceito de funções no ensino da matemática no ensino superior. Recorrer a
metodologias que podem minimizar as dificuldades encontradas pelos alunos
nas interpretações analíticas e gráficas, implicando em procedimentos e ações
pedagógicas que facilitem o ensino e estimulem a aprendizagem.
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CAPITULO 1
A IMPORTÂNCIA DO LÚDICO NO ENSINO SUPERIOR
Vários trabalhos sobre o lúdico já foram elaborados para o ensino
fundamental e para o ensino médio, e foi comprovado que ao trabalhar com
essa metodologia em sala de aula, o resultado esperado sempre foi
significativo, pois a maioria dos materiais se adapta a vários conteúdos e
objetivos e a turmas de diferentes idades. Por causa disso, iremos sugerir que
essa metodologia seja utilizada também no ensino superior, no que se diz
respeito à aprendizagem da matemática.
O ensino-aprendizagem de matemática no ensino superior caracteriza-
se ainda hoje como uma transmissão de conhecimento vista de forma muito
formal, onde o professor é o centro das atenções e o aluno um mero
expectador.
A adoção de jogos para o ensino vem se tornando um amparo preciso
para a facilitação da aprendizagem, onde a sua utilização podem tornar mais
significativas e prazerosas as aulas dessa disciplina, superando o caráter
formalista que a envolve. Autores como Grando (2000) e Macedo (2000)
observam que o jogo é um meio de diversão que acaba propiciando o estímulo
do raciocínio, o desenvolvimento das habilidades e da capacidade de
compreensão dos conteúdos matemáticos.
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1.1 - Os Materiais Concretos na Educação
Fiorentini e Miorim (1990) destacam que o conhecimento sobre os
materiais como recursos de ensino e possibilitadores de ensino-aprendizagem
podem promover um aprender significativo no qual o aluno pode ser estimulado
a raciocinar, a incorporar soluções alternativas acerca dos conceitos envolvidos
nas situações e, consequentemente, a aprender. Na aprendizagem em que há
utilização de material concreto, as aulas são mais interativas, assim como
incentivadoras a buscar, o interesse, a curiosidade e o espírito de investigação;
instigando os alunos na elaboração de perguntas, desdobramento de relações,
criação de hipóteses e a descoberta das próprias soluções.
Utilizar o material concreto, por si só, não garante a aprendizagem, é
fundamental o papel do professor nesse processo, enquanto mediador da ação
e articulador das situações experienciadas nas relações entre o material e os
conceitos a serem desvendados.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) também destacam a
utilização de materiais concretos pelos professores como um recurso
alternativo que pode tornar bastante significativo o processo de ensino-
aprendizagem de uma disciplina.
A utilização de materiais concretos nas aulas vem ao encontro do desejo
dos educadores de tornarem as aulas mais dinâmicas e participativas,
principalmente no que se refere ao envolvimento do aluno. O ensino-
aprendizado de uma matéria pode trazer no seu centro a percepção de que
será trabalhosa e desgastante, a utilização uma aula expositiva, tanto por parte
dos alunos quanto por parte dos professores. A adoção de materiais concretos
nas aulas oferece subsídios para uma melhor aprendizagem, pois busca,
através dos exercícios, o desenvolvimento da percepção e a clareza no
raciocínio.
Contudo, Magina e Spinillo (2004, p. 11) destacam que “o material
concreto não é o único e nem o mais importante recurso na compreensão de
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uma disciplina, como usualmente se supõe”. Não se deseja dizer com isso que
tal recurso deva ser abolido da sala de aula, mas que seu uso seja analisado
de forma crítica, avaliando-se sua efetiva contribuição para a compreensão dos
conteúdos.
É fundamental que o docente crie condições de aprendizagem que
permitam a inserção dos conceitos em situações nas quais os alunos tenham
maiores condições de compreender o sentido do saber, desenvolvendo uma
proposta que integre o material concreto ao contexto social dos estudantes,
para que esses possam relacionar as informações com as especificidades de
cada conhecimento, superando a memorização inexpressiva e a aplicação
direta de regras e fórmulas. Para tanto, compete ao professor elaborar
atividades que favoreçam o desenvolvimento da imaginação e da criatividade e
para isso retoma-se a importância da utilização do material concreto como um
recurso que pode contribuir, por meio de um trabalho cooperativo, para a
elaboração de conceitos e para a resolução de problemas (PAIS, 2006).
1.2 - O Sistema Educacional Brasileiro
A realidade do sistema educacional é precária, pois os índices de
reprovação são elevados, há uma má remuneração para os professores e o
ambiente de trabalho não é o melhor. Constitui-se um sonho a universalização
do sistema fundamental. De acordo com Candau (1989, p. 32), “o fracasso
escolar persiste com índices elevados de abandono. A metade das nossas
crianças que ingressam no sistema de ensino não ultrapassam a marca de 1
(um) ou 2 (dois) anos de escolaridade”. As que permanecem no sistema
público, na sua grande maioria, não adquirem sequer um domínio básico da
linguagem materna, da matemática, das ciências naturais e sociais. A
afirmação “a educação é um direito de todos” parece não ser verdadeira, pois a
realidade mostra que muitas das crianças estão fora da escola.
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O ensino médio parece estar com forte crise de identidade. São poucos
os alunos que chegam a concluí-lo. Não estão claros no sistema os objetivos
deste nível de ensino, seja ele profissionalizante, preliminar para o ensino
superior, ou até mesmo na formação geral, de caráter científico e humanístico.
Os índices de reprovação são elevados no ensino médio, principalmente na
matemática.
No meio universitário, ocorre infindáveis reuniões sobre os resultados do
vestibular, o desempenho acadêmico dos alunos através do Provão, a falta de
recursos adequados e de serviços de biblioteca, de material didático, as
condições de trabalho dos professores, etc. Em geral, o clima é de desânimo e
luta pela sobrevivência.
Passa-se por uma crise no sistema público de ensino, porém existem
alguns núcleos criativos e inovadores. Este quadro não muda muito para o
ensino particular, cuja realidade é igualmente caótica. Certamente também
existe um número reduzido de exceções, onde encontramos núcleos de boa
qualidade.
A problemática da qualidade do ensino está sendo marcada pelo que
chamamos didática tradicional, que tem como característica a ênfase na
transmissão de conhecimentos, a predominância da exposição como se fosse
o único método de ensino, pouco estímulo ao pensamento divergente, à
reflexão crítica, à criatividade intelectual e as diferentes formas de
expressividade humana.
O aperfeiçoamento e a expansão de modelos obsoletos de ensino
contribuem para a incapacitação das gerações futuras para absorver o que de
positivo a era da informática tem a lhes oferecer. Deve-se procurar substituir o
obsoleto pelo novo e moderno e, ao mesmo tempo, propor medidas para
renovar e atualizar o que existe de inadequado.
É preciso uma mudança efetiva na educação, não só em termos de
conteúdo, mas também em termos do próprio processo de ensino. Neste
último, torna-se necessário atacar de frente a problemática da pedagogia geral,
deve-se educar para uma sociedade informatizada.
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Nesse contexto se situa a presença da informática na educação, que,
quando trabalhada de maneira significativa, com objetivos educacionais bem
definidos, tende a ser uma forma de tentar romper com a didática tradicional,
presente no nosso sistema de ensino.
1.3 - Materiais Concretos
O aluno precisa ter um conhecimento mínimo sobre o material a ser
utilizado. Ele necessita ter uma imagem do objeto a ser usado. Por exemplo,
palitos de picolé, tampinhas de garrafa ou materiais elaborados, como o
geoplano e o tangran, ajudam os alunos a entender vários conteúdos. A
organização estrutural deve ser percebida pelo aluno, cabendo ao professor
explorar, juntamente com os alunos, todos os aspectos que o material oferece
para alcançar o planejamento de ensino.
A escolha do material a ser utilizado deve obedecer, além dos aspectos
desafio e interesse, ao grau de desenvolvimento do alunado e a idade e o nível
de entendimento que ele traz ao adentrar no educandário. A maioria dos
materiais se adapta a vários conteúdos e objetivos e a turmas de diferentes
idades – da Educação Infantil ao final do Ensino Médio e pode ser aplicado,
também, no ensino superior.
Quando o objetivo da utilização de jogos é a aprendizagem, esta deve
estar sempre orientada para atingir objetivos concernentes ao desenvolvimento
escolar e social dos educandos. Ao levar o material concreto para a sala de
aula, é preciso planejar e se perguntar: ele vai ajudar a turma a avançar em
determinado conteúdo?
Segundo Rego (2000), o professor precisa ter sensibilidade para
desenvolver esse tipo de atividade. Ele precisa estar ciente da metodologia que
está utilizando, para que seu trabalho transcorra com mais aproveitamento.
Conforme afirma Fiorentini e Miorim (1996, p. 56), "o professor não pode
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subjugar sua metodologia de ensino a algum tipo de material porque ele é
atraente ou lúdico”. Nenhum material é válido por si só. Os materiais e seu
emprego sempre devem estar em segundo plano.
Sem conhecimento prévio o material concreto não funciona, ou seja, a
única exigência para a utilização da maioria dos materiais concretos, além do
planejamento, é que a turma já tenha um conhecimento mínimo sobre o
assunto.
Desde pequena, a criança já constrói hipóteses sobre diversos conceitos
matemáticos. Teorias do conhecimento dizem que não há um momento
definido em que ela passa do pensamento concreto para o abstrato. “O
concreto para ela não significa necessariamente aquilo que se manipula. E
manipular um material não é sinônimo de concretude nem garante a
construção de significados. Qualquer recurso didático deve servir para que os
estudantes aprofundem e ampliem os conhecimentos”, explica Katia Stocco
Smole, coordenadora do Mathema, grupo de pesquisa e assessoria
matemática, em São Paulo.
Sugere-se que o registro das atividades com material concreto faça
parte do cotidiano das aulas. Os estudantes podem fazer isso na forma de
desenhos ou com a linguagem matemática. Essa estratégia é importante para
você avaliar o trabalho e definir quando deixar o objeto de lado e se ater
apenas ao abstrato ou vice-versa. Para o aluno, esse momento serve para
organizar as ideias e refletir sobre a atividade realizada.
1.4 - Uma Preocupação Imprescindível: A Formação
Continuada dos Educadores
A formação contínua pode ser uma saída possível para a melhoria da
qualidade do ensino, dentro do contexto educacional contemporâneo, nova o
bastante para não dispor ainda de mais teorias nutrientes, provavelmente ainda
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em gestação. É uma tentativa de resgatar a figura do mestre, tão carente do
respeito devido a sua profissão, tão desgastada em nossos dias. Nas palavras
de Freire (1991, p.58), "ninguém nasce educador ou marcado para ser
educador. A gente se faz educador, a gente se forma, como educador,
permanentemente, na prática e na reflexão da prática".
Para o autor Freire, formação permanente é uma conquista da
maturidade, da consciência do ser. Quando a reflexão permear a prática,
docente e de vida, a formação continuada será uma exigência para que o
homem se mantenha vivo, energizado, atuante no seu espaço histórico,
crescendo no saber e na responsabilidade.
A modernidade exige mudanças, adaptações, atualização e
aperfeiçoamento. A parceria, a globalização, a informática, toda a tecnologia
moderna é um desafio a quem se formou há vinte ou trinta anos.
O profissional consciente sabe que sua formação não termina na
Universidade. Esta lhe aponta caminhos, fornece conceitos e ideias, a matéria-
prima de sua especialidade. O resto é por sua conta. Muitos professores,
mesmo tendo sido assíduos, estudiosos e brilhantes, tiveram de aprender na
prática, estudando, pesquisando, observando, errando muitas vezes, até
chegarem ao profissional competente que hoje são.
A Universidade não é o que deveria ser: um centro de criação do
conhecimento, de pesquisa e questionamento. O universitário continua passivo,
esperando o "ponto" do professor, memorizando e repetindo na prova, que
decide a sua aprovação. Vasconcellos (1995, p. 19) confirma:
Formação deficitária; dificuldade em articular teoria e prática: a teoria de que dispõe, de modo geral, é abstrata, desvinculada da prática e, por sua vez a abordagem que faz da prática é superficial, imediatista, não crítica.
A Universidade também não é nacional nem universal. Não se comunica
com a sociedade, não conhece o mundo empresarial e do trabalho, não
contribui nem aproveita contribuições de outros setores. Não é universal:
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desconhece ou não aproveita a evolução e mudanças do mundo da ciência e
da tecnologia. Está isolada, repetindo um currículo defasado, inócuo,
desinteressante e fechado.
O professor, nela formado, deve ter bastante inteligência, tempo e
decisão para superar essas deficiências. Por si mesmo, deve procurar
atualizar-se, embasar-se teoricamente, observar a prática e tirar lições para
melhorar seu desempenho.
Um professor destituído de pesquisa, incapaz de elaboração própria é figura ultrapassada, uma espécie de sobra que reproduz sobras. Uma instituição universitária que não sinaliza, desenha e provoca o futuro encalhou no passado (DEMO, 1994, p. 27).
O professor repete o mesmo currículo de seus antecessores e, assim, a
escola e a Universidade continuam paradas no tempo, com alunos
indisciplinados e desmotivados, passando conhecimentos que em nada servem
para a vida social, profissional e pessoal.
Que deve fazer o professor consciente e comprometido com seu
trabalho? Possivelmente investir em sua formação, continuá-la para não se
frustrar profissionalmente, para poder exigir respeito e, mesmo, melhorias
salariais.
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CAPÍTULO 2
CONCEITUANDO FUNÇÕES
Os livros didáticos trazem a conceituação de funções de uma forma
muito abstrata. Isso faz com que o aprendente, na maioria das vezes, não
compreenda a sua definição. É raro perceber uma introdução de um conteúdo
matemático em materiais didáticos no ensino superior, antes de sua definição,
que condiz com a realidade do aluno. Por isso, muitos discentes se perguntam
se é necessário realmente saber determinado conteúdo ou qual a finalidade de
tal matéria em sua formação.
Para conceituar os vários tipos de funções, tomam-se como base dois
livros didáticos que possuem características distintas. O livro 1 (Matemática
Ciência e Aplicações) traz textos que mostram a aplicação da matemática às
outras ciências e ao cotidiano, enquanto o livro 2 (Matemática Completa)
organiza a obra num bom nível e traz uma leitura acessível, sem fugir, no
entanto, do rigor matemático.
O conceito de função é definido da seguinte maneira pelo livro 1: em
matemática, se x e y são duas variáveis tais que para cada valor atribuído a x
existe, em correspondência, um único valor para y, dizemos que y é uma
função de x. Enquanto no livro 2 é definido como sendo A e B dois conjuntos
não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função de A em B
quando cada elemento x do conjunto A está associado um e um só elemento y
do conjunto B.
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2.1 - Conceito de Função do 1º Grau ou Função Afim
No livro 1, a função afim ou função do 1º grau mostrada como qualquer
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) ax + b, em que a e b são
números reais dados e a ≠ 0, e no livro 2, ela é definida como toda função
polinomial representada pela fórmula f(x) = ax + b ou y = ax + b, com a ∈ IR, b
∈ IR e a ≠ 0, definida para todo x real. Percebamos que ambas as definições
não são muitos diferentes. Se o discente não compreender a definição dada no
primeiro, certamente também não entenderá no segundo e isso pode acarretar
um desânimo, uma falta de motivação na aprendizagem do conteúdo.
2.2 - Conceito de Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática
Segundo o livro 1, chama-se função quadrática ou função polinomial do
2º grau qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx
+ c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Em seguida, o livro 2 descreve
que a função f: IR→ IR dada por f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c reais e a ≠
0. Nessas definições, o aprendente não vê muita variação em sua definição e
consequentemente não as compreenderá. Se o professor fizer uma ponte entre
o que o aprendente sabe e essa definição, o conteúdo ficará interessante para
eles.
2.3 - Conceito de Função Modular
O exemplo utilizado pelo autor do livro 1 serviu como iniciativa para
definição da função modular, sendo que a linguagem matemática usada, não é
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muito clara pois ele coloca que uma função f de IR em IR dada pela lei f(x) =
x. E depois acrescenta que, utilizando o conceito de módulo de um número
real, a função modular pode ser assim caracterizada:
x, se x ≥ 0
f(x) =
- x, se x < 0
Agora no livro 2, o autor não busca nenhum exemplo para definir a
função modular já vai dizendo que dado um número real x, o módulo (ou valor
absoluto) de x, que se indica por xque indica:
x, se x ≥ 0
x=
- x, se x < 0
Qual será a definição da função modular que o educando irá
compreender melhor? Será que essas definições estão bem claras? Talvez, se
ambos os autores tivessem proposto algumas ideias construtivistas para o
discente, a definição dessa função seria mais bem construída por eles.
2.4 - Conceito de Função Exponencial
Antes de conceituar a função exponencial, os dois livros fazem uma
revisão sobre potências e suas propriedades. No primeiro livro, a definição da
função exponencial é descrita como qualquer função f de IR em IR dada por
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uma lei da forma f(x) = ax, em que a é um número real dado, a > 0 e a ≠ 1. Já
no segundo livro, é obtida como uma função f: IR→ IR dada por f(x) = ax (com
a ≠ 1 e a > 0) para todo x real. Se observarmos as duas definições veremos
que elas são idênticas. Para a maioria dos aprendentes, essas conceituações
são aceitas como surreais, ou seja, de difícil compreensão.
2.5 - Conceito de Função Logarítmica
Na visão dos discentes, esta é uma das piores matérias a ser aprendida,
pois eles não conseguem assimilar função logarítmica com sua realidade. Daí
muitos questionam os professores sobre a importância de se aprender esse
conteúdo. A definição de função logarítmica nos livros didáticos só confirma
que os alunos estão certos em não dar muita importância a este conteúdo, pois
não fazem uma ponte entre a realidade do aluno e a matéria a ser definida. No
livro 1, a definição é dada da seguinte forma: sendo a e b números reais e
positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual
se deve elevar a base a de modo que a potência ax seja igual a b.
log xa b x a b= ⇔ =
No livro 2, a definição é revelada como o logaritmo de um número real e
positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve
elevar a para se obter b.
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Forma logarítmica Forma exponencial
logab = x ⇔ ax = b com b > 0 e a ≠ 1
Nomenclatura de cada letra presente na definição logarítmica
a = base do logaritmo
logab = x b = logaritmando
x = logaritmo
a = base da potência
ax = b b = potência
x = expoente
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CAPÍTULO 3
COMO UTILIZAR MATERIAIS CONCRETOS NO
CONCEITO DE FUNÇÃO?
O ensino-aprendizado de matemática, para a maioria dos discentes, traz
no seu cerne a percepção de que aprender tal matéria será trabalhoso,
desgastante e até mesmo difícil. A adoção de materiais concretos nas aulas
oferece subsídios para uma melhor aprendizagem dos conceitos matemáticos,
pois busca através dos exercícios o desenvolvimento da percepção e da
clareza no raciocínio, além de possibilitar uma maior participação dos
aprendentes.
Na utilização de materiais concretos em sala de aula, o discente centra-
se em observar, relacionar, comparar hipóteses e argumentações; o professor
é incumbido de orientar na resolução das tarefas, pois ele fornecerá links para
que o objetivo seja alcançado.
A utilização de materiais concretos no conceito de função faz com que o
aprendente tenha uma transmissão do conhecimento matemático para o
conteúdo ensinado, contribuindo assim, para a adição de conteúdos
insignificantes por parte dele. É de suma importância frisar que utilizar
corretamente os materiais concretos ajuda a propiciar a evolução do
pensamento do discente, pois tal uso desenvolve suas ideias, traça estratégias
para solucionar problemas, sem se preocupar em achar uma fórmula exata,
uma resposta à pronta entrega.
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3.1 - A Utilização de Materiais Concretos na Construção de Conceito de Função Polinomial do 1º Grau
A seguir são propostas 5 (cinco) aplicações referentes a construção do
conceito de função polinomial do primeiro grau. Todas elas deverão ser
descritas em uma folha de ofício e entregues a um grupo de discente ou a cada
um. Caberá ao docente verificar o que é mais viável para se trabalhar com a
turma.
APLICAÇÃO 1: Um representante comercial recebe, mensalmente, um
salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00 , e
uma parte variável, que corresponde à comissão de 6% (0,06) sobre o valor
total das vendas que ele faz durante o mês.
a) Escreva uma relação matemática que determina o valor do salário S
(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas).
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
S (x) = 1200,00 + 0,06x ou S(x) = 0,06x + 1200,00
b) Qual será o salário desse representante num mês que ele tenha
vendido R$ 20 000,00?
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
S (x) = 1200,00 + 0,06 . 20 000,00 = 2400,00
c) Qual seria o salário do vendedor se ele não vendesse nada num mês?
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
S(x) = 1200,00 + 0,06 . 0 = 1 200,00
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Neste momento o docente pode dizer que o salário num mês em que o
representante nada vendesse representa o coeficiente linear dessa função.
APLICAÇÃO 2: Uma pessoa tinha num banco um saldo positivo de R$
300,00. Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$
50,00, o novo saldo é dado em função do número x, de notas retiradas.
a) Escreva uma relação matemática que determina o valor do saldo
bancário S (x), em função de x (quantidade de notas retiradas).
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
S (x) = 300,00 – 50x ou S(x) = -50x + 300,00
b) Qual será o valor do saldo se a pessoa retirar 8 notas? (supor que
não houve outros débitos)
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
S (x) = 300,00 – 50,00 . 8 = 300,00 – 400,00 = - 100,00
c) O que significa o sinal negativo antes do coeficiente angular ou dessa
equação?
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
Trata-se de uma função DECRESCENTE
d) Qual a raiz dessa função, ou seja, que torne o saldo igual a zero? O
que ela significa?
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
A raiz é 6, pois –50 x + 300 = 0, gera como resposta x = 6.
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Essa raiz representa a quantidade de notas necessárias para que o
saldo se torne igual a ZERO.
APLICAÇÃO 3: Em um reservatório havia 50 litros de água quando foi
aberta uma torneira que despeja no reservatório 20 litros de água por minuto. A
quantidade de água no tanque é dada em função do número x de minutos em
que a torneira fica aberta.
a) Qual a lei matemática que define uma função que determina a
quantidade de litros de água do reservatório, em função de x (tempo de
abertura da torneira)?
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
L(x) = 50 + 20x ou L(x) = 20x + 50
b) Qual o aspecto gráfico dessa função?
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
APLICAÇÃO 4: Os gastos de consumo (C) de uma família e sua renda
(r) são tais que: C = 2000 + 0,8 r. Ambas as variáveis expressas em reais.
Quanto aumenta o consumo dessa família, se a renda aumenta 1000 reais?
50
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SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
Como esses gastos de consumo têm uma parcela fixa (2000 reais), o
aumento gerado será apenas da parcela variável. Como tal parcela é 0,8 . r, tal
acréscimo será de 0,8 . 1000 = 800 reais.
OBS: Como a função desta questão é uma função afim, o docente pode
propor aos alunos que descubram a resposta por meio de representação
gráfica. Os discentes têm de perceber que cada aumento de 10 reais na
variável renda familiar, gera um aumento de 8 reais na variável consumo. É um
bom material para o professor abordar a taxa de variação, que na equação está
representada pelo 0,8.
APLICAÇÃO 5: (Desafio)
Os analistas de uma fábrica de calçados verificaram que, quando
produzem 600 pares de chinelos por mês, o custo total de produção é de
R$ 5 600,00, e quando produzem 900 pares por mês, o custo mensal é de
R$ 7 400,00. Eles sabem também que a função que relaciona o custo total de
produção e o número de pares produzidos é uma função afim.
Obtenha a expressão matemática da função que relaciona esse custo
mensal (C) com o número de pares produzidos (x).
O docente irá propor aos alunos que, primeiramente, represente
graficamente esta função e, logo após, lançar o desafio de determinar, através
do gráfico, o coeficiente angular e linear da função.
Deve-se ter em mente que a função polinomial do primeiro grau é a base
para o estudo de todas as outras funções que serão ensinadas. É através
desta que se formam pontes para melhor entendimento dos conceitos de
funções do segundo grau, modular, exponencial e logarítmica.
26
3.2 - A Utilização de Materiais Concretos na Construção de Conceito de Função Polinomial do 2º Grau
A proposta da construção de conceito de função polinomial do 2º grau
será dada através do programa Excel, muito comum em microcomputadores
que geralmente os usuários não o utilizam. O tipo de recurso utilizado é a
animação ou simplesmente a simulação.
O objetivo é proporcionar o desenvolvimento, a ampliação e a
contextualização do conceito de função polinomial do segundo grau por meio
da construção e da observação do seu gráfico em um plano cartesiano. O
objeto, criado em Excel, apresenta em um primeiro momento uma função do
segundo grau na seguinte forma: f(x)= ax² + bx + c, com a ≠ 0. Em três
diferentes campos, o usuário preenche com os valores dos parâmetros a, b e c
para formar o gráfico da função, que surgirá ao lado de uma tabela que mostra
os valores de y em relação à variável x (figura 3.1). Há, também, dois campos
onde informamos qual o valor máximo e o mínimo para a construção da tabela.
Tal material concreto tem por objetivo facilitar a visualização do gráfico gerado
pela função (figura 3.2). Num momento posterior, o recurso realiza a
comparação entre três curvas distintas provindas de três funções que podem
ser construídas pelo usuário, através da digitação dos valores dos parâmetros
a, b e c para cada uma das três funções (figura 3.3).
27
Figura 3.1
Figura 3.2
28
Figura 3.3
É interessante saber que o programa está disponível gratuitamente na
página http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/7903. Além disso, o
usuário pode utilizar o programa tanto on line como baixar para o computador.
Assim, o aluno pode acessar o programa de casa, aperfeiçoando cada vez
mais a aprendizagem da função.
29
3.3 - A Utilização de Materiais Concretos na Construção de Conceito de Função Modular
O material concreto que se pode utilizar para trabalhar o conceito de
função modular é a tabela de Imposto de Renda Federal. Esse tipo de material
é viável em uma turma de nível superior, até porque muitos declarantes têm
dúvidas sobre como funciona o sistema de cobrança. Como a função modular é
definida por mais de uma sentença, nada mais justo utilizarmos a tabela do
Imposto de Renda Federal (IRF).
O Professor irá imprimir do site da receita federal a tabela do IRF em
vigor (preferencialmente). Após essa etapa fará a divisão da turma em grupos
ou trabalhará de forma individual com cada aluno, ficando a critério do docente
tal escolha. A tabela do IRF terá o seguinte complemento: O Imposto de Renda
Devido (IRD) a ser pago pelo contribuinte, relativo ao ano de 2010 (pode ser o
ano em vigor), dependia de sua Renda Líquida (RL). O manual para
preenchimento da declaração de rendimentos apresentava a tabela abaixo, que
permitia calcular o IRD a partir da RL.
Base de Cálculo em R$ Alíquota % Parcela a Deduzir do Imposto
em R$ Até 1 499,15 - -
De 1 499,16 até 2 246,75 7,5 112,43 De 2 246,76 até 2 995,70 15 280,94 De 2 995,71 até 3 743,19 22,5 505,62
Acima de 3 743,19 27,5 692,78
De acordo com essa tabela, temos:
a) Um contribuinte com RL = R$ 1 400,00
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
Teria o IRD = 0 % de 1 400,00
= 0 . 1 400,00
= 0
30
b) Um contribuinte com RL = R$ 2 800,00
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
Teria o IRD = 15% de 2 800,00 - 280,94
= 0,15 . 2 800 - 280,94
= 139,06
c) um contribuinte com RL = R$ 4 000,00
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
Teria o IRD = 27,5% de 4 000,00 - 692,78
= 0,275 . 4 000 - 692,78
= 407,22
d) Um contribuinte com RL = R$ 5 000,00
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
Teria o IRD = 27,5% de 5 000,00 - 692,78
= 0,275 . 5 000 - 692,78
= 682,22
O docente, juntamente com os discentes, pode definir que, em geral, se
um contribuinte apresentasse RL = x, como poderia ser calculado o IRD = y?
SOLUÇÃO ESPERADA
• se 0 ≤ x ≤ 1 499,15, então y = 0
• se 1 499,15 < x ≤ 2 246,75, então y = 0,075x - 112,43
• se 2 246,75 < x ≤ 2 995,70 então y = 0,15x - 280,94
• se 2 995,70 < x ≤ 3 743,19 então y = 0,225x - 505,62
• se x > 3 743,19 então y = 0,275x - 692,78
31
Os discentes têm de observar que y é uma função de x, definida por
algumas sentenças, e que se usa uma sentença ou outra dependendo do
intervalo em que o valor de x se enquadra.
3.4 - A Utilização de Materiais Concretos na Construção de Conceito de Função Exponencial
Antes de iniciar os estudos de função exponencial, sugerem-se três tipos
de materiais concretos na construção do conceito da mesma. São eles: a Torre
de Hanói, as réguas ou escala de Cuisinaire e os Cubos Unifix.
Torre de Hanói
Descrição do Material.
A Torre de Hanói é um jogo individual, que consiste em uma base
normalmente de madeira com três pinos na vertical. A Torre é formada por
discos (varia a quantidade), sendo o da base o maior e o tamanho decresce a
cada novo disco. Veja na figuras 3.4, 3.5 e 3.6, diferentes representações.
Figura 3.6
Figura 3.4 Figura 3.5
32
Atividade: com a Torre de Hanói – como jogar:
Objetivo: Transportar a Torre, com o menor número de movimentos
possível, para um dos outros pinos, os quais podem ser previamente
determinados ou não.
Regras: 1. Só deve mover apenas uma peça de cada vez;
2. Uma peça maior jamais poderá ficar sobre uma menor.
Reflita sobre as questões abaixo e em seguida preencha os quadros que
seguem:
É possível chegar ao objetivo desejado?
Caso seja possível atingir o objetivo, qual o procedimento mais eficaz,
ou melhor, qual o menor número de movimentos necessários para atingir o
objetivo?
Existe uma regra, um algoritmo de execução, que permita efetuar os
movimentos sucessivos dessa estratégia mais prática?
Existe, nessa atividade, alguma relação matemática entre o número n de
peças da torre e o número mínimo A(n) necessário para efetuar a sua
transferência do pino de origem para o pino final? Existe uma função
matemática A(n), da variável n?
Esse número mínimo A(n) é o mesmo quando tomamos como pino final
qualquer dos dois pinos que se encontram vazios no início do jogo?
Cresce muito esse número mínimo de movimentos com a quantidade de
peças do jogo? Em termos matemáticos, A(n) cresce muito com a variável n?
Qual seria a estratégia mais simples, para atingirmos o objetivo final,
quando mudamos o número de peças?
33
Estes questionamentos provocam discussões que permitem a análise da
seleção do conteúdo a ser ensinado para ser exibido em sala de aula, pois
identificamos diversos aspectos que são mostrados na seleção de um
conteúdo a ser trabalhado em sala de aula.
Não podemos deixar de lado a variável tempo quando temos em torno
de 40 a 60 minutos para expor o conteúdo selecionado e transmiti-lo de forma
a ser aprendido.
Quadro 1: Número mínimo de movimentos dos discos da Torre de
Hanói, para transportar a mesma de um pino para outro, considerando o disco
da Base.
Número do disco da Base Número Mínimo de Movimentos dos
discos
N A(n)
1 1
2
3
4
5
6
... ...
n
34
No quadro acima destacaremos o crescimento exponencial que pode ser
identificado em uma fórmula matemática, do tipo da função exponencial, e em
sua representação numérica, o mesmo não acontecendo no quadro a seguir.
Quadro 2: Número Mínimo de Movimentos dos discos da Torre de
Hanói, para transportá-la de um pino para outro.
Número de Discos Número Mínimo e Movimentos da
Torre
N A(n)
1 1
2 3
3
4
5
6
... ...
n
Neste quadro, como citamos anteriormente, a título de informação,
acontece um crescimento, porém este não é exponencial. Nesse caso, temos
uma função composta e não a função exponencial característica.
Esta análise é importante para identificarmos que os livros didáticos nem
sempre trazem as informações referentes à análise das características das
funções.
35
Réguas de Cuisinaire
Descrição do Material.
Trata-se de um conjunto com dez barras em forma de prisma, uma de
cada cor, como no esquema a seguir. As réguas ou escala de Cuisinaire,
também conhecida como “números em cores”, foram inicialmente criadas por
Georges Cuisenaire, professor das séries iniciais em Thuin, na Bélgica, e
divulgado por seu discípulo Caleb Gattegno, professor do Instituto de Educação
de Londres.
Cada cor corresponde a um tamanho em relação a menor de todas, ou
seja, a vermelha corresponde a duas brancas1, a verde clara corresponde a
três brancas, assim sucessivamente até a barra laranja como mostra a tabela a
seguir:
Associação de cores e números:
Cores Pontos Cores Pontos
Branca 1 Verde escuro 6
Vermelha 2 Preta 7
Verde clara 3 Marrom 8
Roxa 4 Azul 9
Amarela 5 Laranja 10
1 Esta peça geralmente aparece na cor da própria madeira, que não é branca.
36
A Atividade Proposta
Esta atividade envolve a confecção de Trens com as réguas de
Cuisinaire. Descubra todos os trens equivalentes ao comprimento da régua
roxa. Mas, atenção! Considere que se mudarmos a ordem das barras, temos
um novo Trem. Descubra também a quantidade de trens para outros tamanhos
de régua. (MAHER, 1998).
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
Figura 3.8
Figura 3.7
Tamanho 2 Tamanho 3 Tamanho 4 Tamanho 5
37
Tamanho da Peça Número de trens Regularidade
1 1 21-1
2 2 22-1
3 4 23-1
4 8 24-1
5 16 25-1
6 32 26-1
7 64 27-1
n --- 2n-1
Cubos Unifix
Descrição do material
Cubos de plástico resistente, com encaixe na parte superior. Veja a
figura a seguir:
A atividade Proposta:
Construa todas as torres possíveis de quatro cubinhos de altura dadas
duas cores de Cubos Unifix; e elabore um argumento convincente de que todas
as torres possíveis de serem construídas foram encontradas. (MAHER, 1998)
Figura 3.9
38
Figura 3.12
A seguir mostramos as soluções para as Torres de 4, 3 e 2 andares.
Torre de 4 andares
Torre 2 andares Torre 3 andares
Figura 3.10
Figura 3.11
39
SOLUÇÃO ESPERADA PELO ALUNO:
Número de Andares da Torre Número de torres Regularidade
1 2 21
2 4 22
3 8 23
4 16 24
5 32 25
6 64 26
7 128 27
n --- 2n
A contribuição destes materiais servem para identificar a relação
isomorfa que possui as três situações propostas. Nossa preocupação não
estava voltada para os processos de generalização.
Todas as representações algébricas têm origem em problemas
propostos sobre materiais concretos manipuláveis: Torre de Hanói, Réguas de
Cuisinaire e Cubos Unifix.
A seguir constroi-se mais uma tabela relacionando as expressões
algébricas e os valores numéricos das três situações. Seria muito importante se
o docente fizesse a construção desta com seus alunos após as atividades
concluídas.
40
n = r = a 1 2 3 4 5 6
Material Generalização
Cubos
Unifix
u = 2a 2 4 8 16 32 64
Réguas
Cuisinaire
t = 2r-1 1 2 4 8 16 32
Torre de
Hanói
m = 2n - 1 1 3 7 15 31 63
m = número mínimo de movimentos
t = número de trens
u = número de torres
n = número de discos
r = tamanho da régua
a = quantidade de andares
Notem que as representações algébricas são funções exponenciais que
envolvem a base 2, todas tem domínio discreto, são progressões
geométricas. Aproveitamos para ilustrar as situações com os gráficos dessas
funções, que mais tarde os discentes iram ver no decorrer do conteúdo sobre
função exponencial.
41
Figura 3.13
Para identificar o movimento veja:
Hanói Cuisinaire Cubos Unifix
As atividades sugeridas também auxiliam o aluno na compreensão do
conceito de logaritmo, em particular, com base 2, como função inversa da
exponencial. Nesse caso, através das atividades práticas, ocorre a percepção
de que o crescimento logarítmico, ao contrário do exponencial, acontece de
forma lenta. Por exemplo, no caso da Torre de Hanói, aumentando o número
mínimo de movimentos de 31 para 63, consegue-se deslocar apenas um disco
a mais ( de 5 para 6).
42
3.5 - A Utilização de Materiais Concretos na Construção de Conceito de Função Logarítmica
A invenção dos logaritmos veio a ter um tremendo impacto sobre a
estrutura da matemática. Os logaritmos foram saudados alegremente porque
aumentava a capacidade de computação dos astrônomos. A maior parte dos
contemporâneos de Napier e Briggs, inventores dos logaritmos, estava
ocupada principalmente com os aspectos práticos da matemática. Logaritmo
era como um fermento que em grande parte vinha do contato entre ideias
antigas e novas e entre pontos de vista dos artesãos e dos eruditos.
Ao longo dos anos esse estudo tornou-se, em Educação Matemática,
um instrumento de reprovação de alunos. No nível universitário é analisado
apenas através do cálculo Integral. Na Engenharia sua aplicação prática fica
restrita a áreas específicas. Há uma dicotomia entre Matemática Pura e
Matemática Aplicada e isto é altamente prejudicial à aprendizagem. Quem mais
perdeu nesse contexto foi a Educação Matemática. Por isso, propomo-nos
evidenciar parte da matemática aplicada investigando os processos históricos
para melhor compreensão do conteúdo.
O objetivo desta atividade proposta, para a construção do conceito de
função logarítmica, é usar a História da Matemática como recurso didático para
melhor compreensão da matéria.
O doscente relatará aos discentes que John Napier interessava-se por
resolver problemas de sua época, principalmente àqueles relacionados à
matemática. Nesse tempo, muitos matemáticos já vinham tentando achar um
processo que permitisse reduzir operações de multiplicação e divisão ou de
potenciação e radiciação em operações mais simples como a adição e a
subtração. Assim aconteceu com John Napier e Jost Bürgi que publicaram as
primeiras tábuas de logaritmos, conforme Miorim, M.A.; Miguel,A (2001).
Seguindo as ideias de Napier, deverá ser solicitado que os alunos
efetuem as seguintes multiplicações: 8 x 128 e 2 x 1024. Ao efetuar o produto 8
43
x 128 os alunos terão como resultado 1024 e ao multiplicarem 2 x 1024
encontrarão 2048. A seguir irão construir a seguinte Tabela.
Tabela - Potências naturais de base 2.
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048
Analisando a tabela, observarão que o valor 1024 encontra-se na linha
correspondente a n =10 e que 2048 encontra-se na linha correspondente a n=
11. O doscente explicará que 10 é o expoente que se deve elevar a base 2
para obter 1024 e que 11 é o expoente que se deve elevar a base 2 para obter
2048.
O docente explicará também que comparando os termos das duas
sequências da tabela existem números que podem ser expressos como
produto de outros números, como foi observado por Napier. Por exemplo, para
multiplicar dois termos da segunda sequência, bastava somar os seus
correspondentes na primeira sequência e ver qual o termo da segunda
sequência que corresponde a essa soma. Logo após os discentes terão de
observar que para realizar o produto de 8 x 128 bastava somar 3 + 7 = 10, e
encontrar o termo da segunda sequência que corresponde ao 10. Neste caso,
é o 1024.
O professor neste momento dirá pra os aluno que o número 10 é o
logaritmo de 1024 na base 2, isto é, log2 1024 = 10.
Em seguida deverá ser solicitado aos alunos a seguinte tarefa:
a) Construa a tabela das potências naturais do número 3.
b) Seguindo as idéias de Napier efetue o produto de 27 por 2187. Qual é
o logaritmo do número obtido? Justifique sua resposta.
44
c) Com base no método de Napier efetue a divisão de 19683 por 2187.
Determine o logaritmo do número obtido. Justifique sua resposta.
O desenvolvimento de atividades dessa natureza, utilizando a História
da Matemática, têm como objetivo mostrar a necessidade da construção da
tábua de logaritmos para efetuar cálculos com números muito grandes. Embora
hoje sejam utilizados as calculadoras e o computador, é necessário que o
aprendente conheça a origem e a evolução do cálculo do logaritmo.
Essa atividade permite também explorar as propriedades dos logaritmos,
como por exemplo, adicionando-se 3 + 7 = 10 esse resultado pode ser escrito
na forma, log2 8 + log2 128 = log2 (1024) = log2 (8. 28).
Desse modo, depois da análise de vários exemplos, o professor conclui
junto com os alunos a propriedade: “o logaritmo de um produto é a soma dos
logaritmos dos fatores, considerando-se a mesma base”.
Propriedades idênticas relativas à divisão e à potenciação poderam ser
obtidas e exploradas a partir da construção da tabela dos logaritmos.
Pode-se obter uma outra atividade referente a revisão de conteúdos de
exponencial e logarítmos através do jogo, que para o aprendente se tornará
divertido e para o professor prazeroso, pois o mesmo estará aprendendo ou
revisando o conteúdo.
Jogo: Logaritmonencial
Objetivo: revisar conteúdos referentes a logaritmos e exponenciais,
resolvendo os cálculos mentalmente.
Material: 24 quadrados divididos em 4 partes iguais, cada parte
contendo operações ou resultados de logaritmos e exponenciais.
45
Figura 3.14
Número de jogadores: 2, 3 ou 4.
Regras: Distribuir as peças igualmente entre os participantes. Sortear o
primeiro a jogar, que deve colocar a peça na mesa e anotar numa tabela de
pontos o maior resultado contido nesta peça. O próximo deve colocar uma
peça encostada naquela que está sobre a mesa, fazendo corresponder cálculo
e resultado e marcando na tabela o resultado do cálculo que completou. Caso
o jogador não tenha uma peça para colocar, passa a vez e perde o número de
pontos que o próximo jogador fará, desde que ainda tenha cartas. No final do
jogo, não tendo mais como colocar peças, o jogador perde o número de pontos
do maior resultado possível de cada uma destas peças. Ganha o jogo quem
tem o maior número de pontos.
Exemplos de peças:
Sugestão de atividades que podem ser realizadas após o jogo:
46
Figura 3.15
Exemplo da jogada:
a) Joana iniciou o jogo com a peça abaixo. Que carta Pedro, o próximo a
jogar, poderia ter colocado?
b) Paulo jogou as peças 1, 3, 5 e 7 e Márcia as outras.
Figura 3.16
47
• Quem está ganhando o jogo até o momento?
• Qual a melhor peça a ser colocada na próxima jogada?
Como se pode perceber, a função logarítica pode ser ensinada de forma
histórica e competitiva, favorecendo o melhor endendimento do conteúdo.
Assim, a matéria passa a ser vista de outro modo pelos alunos e também pelos
professores.
48
CONCLUSÃO
Ao elaborar o projeto deste trabalho, sempre tive como idéia principal a
utilização de uma metodologia que fosse diferente da metodologia tradicional,
pois é notável a falta de interesse dos alunos em relação ao conteúdo de
funções ensinada na matemática tanto ensino médio quanto no ensino
superior. Esta pesquisa possibilita uma reflexão quanto à Metodologia de
Resolução de Problemas a partir de situações com jogos e o uso de material
concreto oferecendo uma grande contribuição para o redimensionamento do
processo de ensino aprendizagem da matemática.
A utilização de materiais concretos na aprendizagem dos conceitos das
funções mostra outro lado da matemática, um lado mais concreto, onde o
discente pode perceber alguns conceitos que antes só eram mostrados de
forma abstrata, com isso o interesse pelo conteúdo pode aumentar
consideravelmente, principalmente com materiais que podem ser construídos e
manipulados pelos próprios alunos.
Convém ressaltar que Clunier (in Campos (3), 1999) faz um enfoque em
relação ao ambiente de aprendizado, que relata:
“um cenário de trabalho onde o indivíduo interage com meios
como ferramentas e recursos materiais e/ou computacionais,
em situações que propiciem descoberta e a construção do
conhecimento, fundamentado em uma teoria de aprendizagem
e estratégias de trabalho que orientem o desenvolvimento das
distintas atividades”.
Como percebe-se no capítulo 1, os pontos positivos em utilizar os
materiais concretos no ensino da matemática, na visão pedagógica, é de
permitir que o discente construa, elabore e defina seus próprios projetos e/ou
49
procedimentos de forma ativa e interativa, sendo o próprio aluno condutor
desse processo.
Comparando as definições de funções no capítulo 2 com as construções
feitas das mesmas no capítulo 3, conclui-se que há uma grande facilidade no
aprendizado algébrico e possivelmente uma melhor compreensão gráfica das
funções, pois os cálculos assim como os gráficos são construídos passo a
passo pelo aprendente, fazendo assim, com que os alunos vejam a matemática
como uma “disciplina simples” de se entender.
50
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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ArtMed, 2000.
GRANDO, Regina Célia. O Conhecimento matemático e o uso de jogos na sala
de aula. Campinas, 2000. 224 p. Dissertação de Doutorado. Faculdade de
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concretos e jogos no ensino da m atemática. Boletim SBEM, São Paulo, ano 4,
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Educação e Cultura. Brasília, 1997b.
MAGINA, Sandra; SPINILLO, Aline Galvão. Alguns 'mitos' sobre a Educação
Matemática e suas consequências para o Ensino Fundamental. In: Regina
Maria Pavanello. (Org.). Matemática nas Séries Inicias do Ensino Fundamental:
A pesquisa e a sala de aula. 1 ed. São Paulo: Ed. Sbem, 2004, v. 2.
PAIS, L. C. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no
ensino da geometria. Disponível em:
<www.anped.org.br/23/textos/19/1919t.pdf>. Acesso em 17 de dezembro de
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CANDAU, Vera Maria F. “Informática na Educação: um desafio”. Nova
Friburgo. Anais do Seminário Informática na Educação: um desafio, 1989
(mimeo)
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FREIRE, Madalena. A Formação Permanente. In: Freire, Paulo: Trabalho,
Comentário, Reflexão. Petrópolis, RJ: Vozes, 1991.
51
VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Para onde vai o Professor? Resgate do
Professor como Sujeito de Transformação. São Paulo: Libertad, 1995. (Coleção
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GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy,
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IEZZI, Gelson, Matemática: ciência e aplicações, Volume 1. São Paulo: Atual,
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CAMPOS, MARIA MALTA. FORMAÇÃO E CARREIRA DO MAGISTÉRIO
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MAHER, C. A . Professores podem ajudar seus alunos a construir argumentos
convincentes? Um breve exame deste processo, Rio de Janeiro, MEM/USU,
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BAIRRAL, M. A . Movendo discos, construindo torres e matematizando com
futuros professores, Rio de Janeiro, GEPEM, Boletim 38, 2001.
LAROSA, Marco Antonio e AYRES, Fernando Arduini, Como produzir uma
monografia. Rio de Janeiro, 2008. Editora Wak, 7ª edição.
52
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 3.1 – PREENCHIMENTO DOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO DO
SEGUNDO GRAU .......................................................................................... 01
FIGURA 3.2 – VISUALIZAÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO DO SEGUNDO
GRAU .............................................................................................................. 02
FIGURA 3.3 – COMPARAÇÃO ENTRE DOIS GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO
SEGUNDO GRAU .......................................................................................... 03
FIGURA 3.4 – TORRE DE HÁNOI COLORIDA ............................................. 04
FIGURA 3.5 – TORRE DE HÁNOI EM MADEIRA ......................................... 05
FIGURA 3.6 – TORRE DE HÁNOI TRANSPARENTE ................................... 06
FIGURA 3.7 – RÉGUAS DE CUISINAIRE ..................................................... 07
FIGURA 3.8 – CONFECÇÕES DE TRENS COM RÉGUAS DE CUISINAIRE
.......................................................................................................................... 08
FIGURA 3.9 – CUBOS UNIFIX ....................................................................... 09
FIGURA 3.10 – TORRE DE CUBOS DE UNIFIX 4 ANDARES ...................... 10
FIGURA 3.11 – TORRE DE CUBOS DE UNIFIX 2 ANDARES ...................... 11
FIGURA 3.12 – TORRE DE CUBOS DE UNIFIX 3 ANDARES ...................... 12
FIGURA 3.13 – ESBORÇO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL .... 13
FIGURA 3.14 – EXEMPLOS DE PEÇAS DE TABULEIRO ............................ 14
FIGURA 3.15 – EXEMPLO DE PEÇA JOGADA ............................................ 15
FIGURA 3.16 – EXEMPLO DE JOGADA COM AS PEÇAS ........................... 16
53
ÍNDICE CAPÍTULO 1 A IMPORTÂNCIA DO LÚDICO NO ENSINO SUPERIOR .............................. 08 1.1 - Os materiais concretos na educação ..................................................... 09 1.2 - O sistema educacional brasileiro ............................................................ 10 1.3 - Material concreto .................................................................................... 12 1.4 - Uma preocupação imprescindível: A formação continuada dos educadores .......................................................................................................................... 13 CAPÍTULO 2 CONCEITUANDO FUNÇÕES ........................................................................ 16 2.1 - Conceito de função polinomial do 1º grau .............................................. 17 2.2 - Conceito de função polinomial do 2º grau .............................................. 17 2.3 - Conceito de função modular ................................................................... 17 2.4 - Conceito de função exponencial ............................................................. 18 2.5 - Conceito de função logarítmica .............................................................. 19 CAPÍTULO 3 COMO UTILIZAR MATERIAIS CONCRETOS NO CONCEITO DE FUNÇÃO? .......................................................................................................................... 21 3.1 - A utilização de materiais concretos na construção de conceito de função polinomial do1º grau ....................................................................................... 22 3.2 - A utilização de materiais concretos na construção de conceito de função polinomial do 2º grau ...................................................................................... 26 3.3 - A utilização de materiais concretos na construção de conceito de função modular ........................................................................................................... 29 3.4 - A utilização de materiais concretos na construção de conceito de função exponencial ..................................................................................................... 31 3.5 - A utilização de materiais concretos na construção de conceito de função logarítmica ...................................................................................................... 42
