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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE

BRASÍLIA

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Curso de Física

ESTUDO SOBRE A POSSIBILIDADE DE CONSTRUÇÃO DE UM EXPERIMENTO DE BAIXO

CUSTO EM RELATIVIDADE

Autor: Fabiane Cordova Tolentino

Orientadores: Prof. Dr. Cláudio Manoel Gomes de Souza Prof. Dr. Ivan Ferreira da Costa

BRASÍLIA 2006

FABIANE CORDOVA TOLENTINO

ESTUDO SOBRE A POSSIBILIDADE DE UM EXPERIMENTO DE BAIXO CUSTO EM RELATIVIDADE

Trabalho de Conclusão de Curso submetido à Universidade Católica de Brasília para obtenção do Grau de Licenciado em Física. Orientadores: Dr. Cláudio Manoel G. Souza

Dr. Ivan Ferreira da Costa

Brasília Junho de 2006

RESUMO Este projeto tem como finalidade analisar a possibilidade de construir um experimento de

baixo custo e com boa precisão para estudar os efeitos relativísticos da velocidade sobre a

dilatação do tempo. Idealizou-se um experimento para ser estudado, no qual dois relógios

são colocados em movimento rotacional por meio de um motor elétrico e dois relógios ficam

parados em relação a este motor. Dependendo da velocidade do motor e do tempo em que

ele ficar girando, é possível perceber uma diferença entre os pares de relógios devido aos

efeitos relativísticos. Os efeitos das relatividades especial e geral sobre os relógios em

movimento foram estudados e percebeu-se que este último efeito não tem influência sobre a

dilatação do tempo no experimento idealizado. O caso analisado foi o movimento com

velocidade angular constante, o que permitiu obter melhores resultados para a dilatação do

tempo, já que a aceleração angular diminui a dilatação do tempo. Para se obter um

experimento de baixo custo foi necessário pesquisar os preços dos equipamentos

envolvidos. Este trabalho mostra bons resultados para os relógios com precisão de s610− , o

efeito pode ser percebido na ordem de meses e, até mesmo, dias e os custos são baixos.

Para relógios com precisão de s310− é inviável a realização deste experimento, pois o efeito

é observado na ordem de anos e os custos relacionados ao tempo de utilização do motor

(consumo de energia) são altíssimos. Porém, realizar esta experiência tem certas

dificuldades de ordem prática, já que a velocidade adquirida pelos relógios em rotação é

muito alta e o espaço ocupado é grande, tornando o local indisponível por muito tempo.

Palavras Chaves: relógios de precisão, dilatação do tempo, relatividades especial e geral e

experimento idealizado.

1. INTRODUÇÃO

A Física Moderna é uma parte da Física que tem ganhado espaço nas escolas de

Ensino Médio. Cada vez mais, se ouve falar na inserção desta disciplina no ensino de

Física. Segundo Pinto e Zanetic (apud PENA, 2006), o ensino de Física atual precisa ser

transformado, pois o que se ensina hoje nas escolas não passa da Física do século XX. O

ensino da Física moderna permite uma nova visão de mundo e maior esclarecimento dos

fenômenos inerentes ao mundo de hoje.

Sendo assim, é interessante pensar em que recursos utilizar para aplicar estes

conteúdos em sala de aula. Assuntos referentes à Física Moderna são difíceis de serem

ensinados devido ao alto grau de abstração e a dificuldade de visualização. A dilatação do

tempo é um dos integrantes destes assuntos que dispõe de menos recursos para serem

ensinados. A construção de um experimento que permitisse visualizar este efeito poderia

atuar como auxiliador no processo de transposição deste assunto. Melhor seria, se

houvesse a possibilidade de construir um experimento de baixo custo, pois a disponibilidade

para o público seria maior. Sendo assim, o objetivo deste trabalho é pesquisar a

possibilidade de construir um experimento de baixo custo para testar a dilatação do tempo.

Até onde os autores conhecem não existe experimentos de baixo custo que

permitam estudos sobre esse assunto, o que justifica a análise contida neste trabalho.

Este trabalho mostra inicialmente os resultados da teoria da relatividade especial de

Einstein para a dilatação do tempo. Em seguida, apresenta alguns experimentos

desenvolvidos por outros autores para testar a dilatação o tempo.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

2.1. Relatividade especial

Observadores em diferentes referenciais inerciais sempre medirão intervalos de

tempo diferentes entre um par de eventos, pois dois eventos simultâneos num referencial

não são, em geral, simultâneos num outro referencial que se move em relação ao primeiro.

A simultaneidade não é um conceito absoluto, mas depende do estado de movimento do

observador (TIPLER e LLEWELLYN, 2001).

Se um observador em um referencial S' se move com velocidade v em relação a

outro observador em um referencial S, o intervalo de tempo medido por seus relógios será

diferente do intervalo de tempo medido por relógios pertencentes a S (SERWAY, 1996).

Sendo que, inicialmente, foi estabelecido que todos os relógios envolvidos tenham o mesmo

andamento e estejam sincronizados entre si quando um estiver em repouso em relação ao

outro.

Para o referencial S':

Imagine que o observador S' produza um pulso luminoso que percorra uma distância

D até atingir um espelho. O pulso é refletido de volta, o intervalo ∆t', entre o momento em

que o pulso é gerado e o momento em que ele é detectado após ser refletido, é medido.

Figura 1: Pulso luminoso refletido observado pelo referencial S’.

Fonte: http://www.geocities.com/pinetjax/5.htm

Como a luz viaja com velocidade c, se tem que c

Dt

2' =∆ .

Para o referencial S:

Os eventos (geração e detecção do pulso refletido) ocorrem em locais diferentes

para este referencial já que o observador se desloca horizontalmente de uma distância

tv ∆⋅ .

Figura 2: Pulso luminoso refletido observado pelo referencial S.

Fonte: http://www.geocities.com/pinetjax/5.htm

Sendo assim, a luz percorre uma distância maior neste referencial e, portanto, o

intervalo de tempo ∆t para chegar ao espelho e voltar ao ponto de partida é maior em S do

que em S', sabendo que a velocidade é a mesma nos dois referenciais.

Calculando ∆t:

( ) ( ) 222

22

22

22

22

2222222

2222

22

1

12

1

44

44422

cvc

Dt

cvc

Dt

vc

Dt

Dtvtctv

Dtctv

Dtc

−⋅=∆→

−=∆→

−=∆

=∆−∆→∆+=∆→

∆+=

∆

Como :,'2

quetemsetc

D ∆=

''1

122

tttcv

t ∆=∆=∆⋅−

=∆ γ

(1)

't∆ é o tempo medido por um observador que vê o dois eventos ocorrerem num mesmo

lugar do seu referencial, chamado de tempo próprio e gama é o fator de dilatação. A

equação acima mostra que para o referencial em que os eventos ocorrem em locais

distintos (referencial S), o intervalo de tempo medido por este é maior que o intervalo de

tempo próprio, medido pelo referencial S’, por um fator gama.

2.2. EXPERIMENTOS REALIZADOS POR OUTROS PESQUISADORES PARA

TESTAR A DILATAÇÃO DO TEMPO.

Experimento com múons positivos e negativos em órbita circular

Laboratório CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire)

A sigla significa Conselho Europeu para a Pesquisa Nuclear, mas hoje é conhecido

como Laboratório Europeu para Física de Partículas. Está localizado em Genebra, na Suíça

e foi criado com o intuito de entender a origem da matéria e as partículas infinitamente

pequenas. É um laboratório de grande porte e que permite pesquisadores de diversos

países trabalharem juntos, desenvolvendo projetos em um mesmo laboratório.

O primeiro acelerador de partículas desenvolvido por Cockcroft e Walton era

composto por um transformador e um retificador de corrente. Este era um acelerador linear

e acelerava prótons que colidiam com lítio, colocado como alvo no tubo. No parque

experimental do CERN, partículas elementares são produzidas e estudadas nos

aceleradores de partículas com túneis circulares. Um desses aceleradores é o LEP (Large

Electron Positron collider) que fica a 100 metros abaixo do solo, tem 4 metros de altura e 27

km de circunferência (ABDALLA, 2006).

A preferência por construir aceleradores circulares tem uma justificativa. Eles são

mais eficientes do que os aceleradores lineares, pois a energia das partículas que

percorrem o túnel é aumentada em cada volta devido a presença de campos elétricos que

as impulsionam. Como as partículas estarão em movimento circular dentro do túnel, é

necessário guiá-las através de campos magnéticos. Para que não haja interação entre

essas partículas e as partículas contidas no ar é necessário que haja vácuo de alta precisão

no interior do túnel.

Ao longo dos 27 km há quatro detectores que permitem os físicos obterem

informações sobre a estrutura da matéria. Estes detectores registram dados em

computadores referentes às colisões que permitem análises posteriores dos dados. É

possível assim, obter informações sobre, por exemplo, a massa, carga, spin, energia, entre

outras ( ABDALLA, 2006).

Vários aceleradores foram construídos no CERN que permitem desenvolver grandes

projetos. O túnel do LEP será desativado para construir o Large Hadron Collider (LHC).

Estima-se que em 2007 o LHC ficará pronto o que permitirá detectar a partícula de Higgs.

Antigos detectores estão sendo desmontados e outros mais sofisticados estão sendo

construídos para que se adequem às novas experiências.

Os múons e a experiência no CERN

Anderson e Neddermeyer ao analisarem a radiação cósmica encontraram partículas

que tinham massa de repouso com valor entre a massa de repouso do elétron e a massa de

repouso do próton. Estas partículas estavam na composição da radiação cósmica e foram

chamadas de múons (EISBERG e RESNICK, 1979).

Os múons são produzidos pelo decaimento de píons e aparecem em dois tipos

−+ µµ e . Eles estão intimamente ligados aos elétrons e interagem através da interação

fraca. Eles são partículas instáveis e decaem com um tempo de vida conhecido. O tempo de

vida dos múons medido em um referencial em repouso em relação a eles é de apenas 2,2

microsegundos (BAILEY, et. al., 1977 ).

Assim, os píons se desintegram em múons, por exemplo:

µνµπ +→ −−

E os múons decaem em elétrons, neutrinos e anti-neutrinos, por exemplo:

evve ++→ −−µµ

Quando os múons viajam a uma velocidade próxima à velocidade da luz, eles

deveriam percorrer uma distância, em média, de 650 metros antes de decair, mas o que se

observa é que a maioria dos múons atinge a Terra, ou seja, uma distância muito maior que

esta (4700 metros). Este fenômeno é explicado pela dilatação do tempo (SERWAY, MOSES

e MOYER, 1997).

“Um múon em cima de uma mesa desintegra-se em média, cerca de sµ2 . Mas,

movendo-se dentro de um acelerador a 99,7% da velocidade da luz, a vida do múon foi

alargada por um fator 12” (DAVIES, 2003).

Os tempos de vida dos múons positivo ( +µ ) e dos múons negativos ( −µ ) foram

medidos no armazenamento do CERN. Os resultados obtidos estão de acordo com a

relatividade especial. O fator de dilatação do tempo de Einstein concorda com o experimento

realizado no CERN (BAILEY et.al., 1977).

A medição do tempo de vida de uma amostra de um material radioativo com uma

velocidade conhecida é um meio de verificar a chamada dilatação do tempo. O experimento

realizado no CERN consistia em acrescentar partículas radioativas no grande anel do

armazenamento e colocá-las em órbitas circulares fechadas, para que fosse possível

simular o paradoxo de gêmeos. A velocidade alcançada pelos múons era cerca de 0,9994c

(onde c é a velocidade da luz)

Como foi visto, múons decaem em elétrons, neutrinos e anti-neutrinos. Estes elétrons

são detectados por contadores em volta do anel, permitindo os cientistas medirem a taxa de

decaimento. Como a velocidade da amostra é conhecida, é possível determinar o tempo de

vida no laboratório.

Neste experimento foram calculados os tempos de vida separados dos −+ µµ e para

obter valores mais precisos e mostrar que as predições da relatividade especial valem

também para grandes acelerações e distâncias pequenas. Os múons circulam no anel do

armazenamento do CERN em órbitas de 14 metros de diâmetro, ou seja, raio de 7 metros,

em um campo magnético uniforme. Assim, os resultados obtidos para o tempo de vida dos

múons em órbita foram comparados com o tempo de vida dos múons em repouso, sendo

possível perceber o efeito da dilatação do tempo.

Experimento de Hafele e Keating

Este foi o primeiro experimento feito para testar a dilatação do tempo. Neste

experimento foram utilizados relógios atômicos de césio. Quatro relógios foram colocados

.

1

02

00 paradapartículadavidadetempooéonde

c

vττγττ

−

==

para voar em volta da Terra, por meio de um jato. Estes relógios foram, inicialmente,

sincronizados com relógios atômicos localizados no U. S. Naval Observatory em

Washington. Foram realizadas duas experiências, uma os relógios voavam na direção leste

em volta da Terra e a outra na direção oeste. Após o vôo, os relógios retornavam para o

observatório (TAYLOR e ZAFIRATOS, 1991).

Os intervalos de tempo medidos pelos relógios em vôo foram comparados com os

intervalos medidos pelos relógios localizados no referencial parado. Muitos fatores têm que

ser considerados, por exemplo, o período de acelerações e desacelerações do jato em

relação à Terra, as variações nas direções da viagem dos relógios e a ação do campo

gravitacional mais fraco experimentado pelos relógios em movimento (SERWAY, MOSES e

MOYER, 1997). Assim, foi possível perceber uma boa concordância destes resultados com

as predições da teoria da relatividade especial. O efeito gravitacional, calculado pela

relatividade geral, é o responsável pela maior parte da diferença dos tempos medidos pelos

dois referenciais. Sendo assim, com este experimento é possível confirmar tanto a

relatividade especial quanto a relatividade geral.

Experimento na Torre de Harvard

Em 1959, realizou-se uma experiência na torre da Universidade de Harvard. Esta

experiência consistia em perceber a dilatação do tempo causada pelo efeito da gravidade.

Assim, há uma pequena diferença no tempo entre a parte de baixo e o topo da torre. A

diferença de altura foi de 22,5 metros, sendo possível medir o fator de distorção do tempo. O

resultado mostrou que o tempo retardou em %1057,2 13−× . A diferença entre os tempos

medidos pelos dois referenciais foi pequena, mas suficiente para comprovar a teoria da

relatividade geral de Einstein, com um erro de apenas 1% (DAVIES, 2003).

3. MONTAGEM

Gedanken experiment é um termo alemão utilizado por Einstein para designar uma

experiência imaginária que respeita todas as leis da Física, mas que não pode ser realizada

devido a dificuldades práticas (EISBERG e RESNICK,1979). O experimento idealizado neste

trabalho para análise consiste em um motor elétrico, um disco metálico e quatro relógios de

boa precisão. O esquema experimental, representado na figura 3, mostra dois relógios

colocados em movimento rotacional por meio de um motor elétrico estático a um laboratório

e dois relógios parados em relação ao laboratório. A placa metálica é colocada sobre o

motor, sendo utilizada como base para os relógios.

Pensou-se nos relógios girando sobre um disco metálico para que a resistência com

o ar fosse mínima. Além do mais, o disco permite que o aparato tenha maior estabilidade.

Figura 3: Experimento imaginado para construção.

Observando a figura acima é possível perceber a presença de um ”trilho” que permite

os relógios se locomoverem. Sendo assim, é possível variar a distância r entre os relógios e

os motores e simular situações com valores de r variáveis. No desenho acima, há também a

presença de duas chaves, uma para acionar os relógios e a outra para ligar o motor elétrico.

Estas chaves foram conectadas separadas para que o motor elétrico fosse acionado antes

dos relógios. Os relógios só começarão a medir o tempo quando a aceleração angular for

igual à zero, ou seja, quando não houvesse variação da velocidade angular. Como foi visto

anteriormente, a aceleração angular diminui a dilatação do tempo e por isso, optou-se por

iniciar os relógios quando a velocidade angular fosse constante, o que facilita a medida e

permite ter a maior dilatação possível. É importante destacar que os relógios têm que estar

inicialmente sincronizados entre si para que seja possível perceber a diferença no tempo

medido pelos pares de relógios.

Para analisar o custo do experimento foram feitas pesquisas dos preços dos

equipamentos necessários para o experimento. A pesquisa foi feita em lojas de

equipamentos específicos e pela Internet. Os aspectos pesquisados estão relacionados nos

itens abaixo.

Finalmente, foram feitos cálculos dos custos em função do tempo do experimento, o

que permitiu analisar a viabilidade do experimento.

3.1. Relógios

Os relógios foram pesquisados pela Internet.

Figura 4: Relógio com precisão de 10-6. Figura 5: Relógio SC505 com precisão de 10-3. Fonte: http://www.laurels.com/stopwatch.htm Fonte: http://www.goalsports.com/refgear/timers.htm

Os aspectos pesquisados foram:

preço;

massa;

precisão dos relógios.

O preço foi pesquisado para que fosse possível fazer os cálculos dos custos, já a

massa foi pesquisada para que se pudesse analisar a possibilidade de colocar os relógios

para girarem, pois dependendo da massa, uma grande por exemplo, haverá uma dificuldade

de colocar os relógios em movimento. Os relógios precisam ter uma boa precisão para que

se possa perceber uma dilatação no tempo considerável. Os dados obtidos encontram-se

relacionados na tabela abaixo.

Tabela 1: Preço e precisão dos relógios

Relógio Precisão

(s)

Preço

(U$)

Relógio 01 (SC505) 10-3 21,95

Relógio 02 (SC707) 10-3 29,99

Relógio 03 10-6 220,00

Relógio 04 (SA556) 10-6 0,54

Fonte: Referências encontram-se na bibliografia.

Os valores das massas não foram encontrados para todos os relógios, apenas o site

do relógio 03 informou a massa. Esta é de aproximadamente 2kg. Assim, por estimativa

pode-se observar que a massa do microchip (Relógio 04) é menor do que a massa dos

outros relógios. Comparando a massa desse relógio com a massa da plataforma perceberá

que esta tem um valor muito menor com relação àquela. Além do mais, o custo deste relógio

é menor quando comparado com o custo dos outros relógios. Por isso, o microchip é o mais

indicado.

No entanto, quando o tempo marcado por estes relógios são muito grandes, como

acontece em um experimento de dilatação do tempo, estes deixam de ter precisão.

3.2. Motores Elétricos

A pesquisa dos motores elétricos foi feita na Casa dos Parafusos, loja específica

para este tipo de equipamento. Os dados pesquisados foram referentes à velocidade de

rotação dos motores, aos preços e à potência do motor e encontram-se listados na tabela

abaixo.

Tabela 2: Preço e velocidade de rotação dos motores elétricos monofásico

Velocidade de Rotação (rpm) Potência (hp) Preço (R$)

1800 ½ 437,14

1800 1 631,14

1800 2 924,57

1800 3 1.023,94

3600 ½ 438,79

3600 1 534,32

3600 2 762,42

3600 3 892,20

3600 5 1.832,81

3600 7/2 2.326,74

3600 10 2.651,15

Fonte: Casa dos Parafusos.

Os motores monofásicos funcionam na rede de Brasília a uma voltagem de 220V. A

tabela abaixo contém informações sobre os motores elétricos trifásicos pesquisados. Os

motores trifásicos funcionam a uma voltagem de 380V.

Tabela 3: Preço e velocidade de rotação dos motores elétricos trifásico

Velocidade de Rotação (rpm) Potência (hp) Preço (R$)

1800 ½ 363,69

1800 1 440,20

1800 2 554,16

1800 3 640,63

1800 4 879,74

1800 5 909,12

1800 7/2 1.329,35

1800 10 1.588,98

1800 12/2 1.762,81

1800 15 1.881,36

3450 4 946,00

3465 2 400,00

3600 12/2 1.731,78

3600 15 1.953,54

3490 5 946,00

3490 7/2 1.400,00

Fonte: Casa dos Parafusos.

3.3. Cálculo do Consumo de Energia

Este tipo de experimento leva um tempo maior para ser realizado, ou seja, não é

possível fazer uma experiência de poucas horas ou um único dia. Além do mais, quando os

motores forem acionados, eles não poderão ser desligados até que seja possível perceber a

dilatação do tempo. Como o tempo estimado para o experimento não é pequeno, é

importante levar em conta o gasto de energia do motor elétrico.

Sabendo a potência do motor elétrico é possível determinar o consumo de energia. A

energia consumida (W) é diretamente proporcional à potência (P) e ao tempo (T) de

utilização do motor (PEZENTE).

PTW = (5)

O tempo de utilização deve ser convertido para horas. Como a potência do motor

está em cavalos é preciso converter esta unidade para Watts. Fator de conversão:

Whp 7,7451 =

Assim, a energia consumida tem a unidade de Wh. Para obter em kWh é necessário

dividir por 310 . Para saber o custo em dinheiro, basta multiplicar pelo preço de 1kWh

fornecido pela companhia energética da cidade correspondente. No caso de Brasília, o

custo de 1kWh é de aproximadamente 0,3871142 reais para gastos acimas de 1000 kWh

por mês (estima-se que este seja o gasto de um laboratório típico no qual será possível

realizar este experimento).

4. EFEITOS RELATIVÍSTICOS SOBRE A DILATAÇÃO DO TEMPO PARA OS

RELÓGIOS ACELERADOS PELO MOTOR ELÉTRICO

4.1. O fenômeno da dilatação do tempo da relatividade restrita para os relógios

acelerados pelo motor

A relação entre o intervalo de tempo medido pelo par de relógios em repouso e o par

de relógios em movimento, dependerá da velocidade angular deste último.

De acordo com a equação da dilatação do tempo:

2

1

2

2

1'−

−=∆=∆

c

vtt γγ .

Com a expansão binominal, para v<<c, se tem:

( ) ( ) ...2

1112

++++=+ xnnnxx n

Substituindo na equação da dilatação do tempo:

.c2

v't'tt

c2

v't'tt't

c2

v1'tt

2

2

2

2

2

2

∆≅∆−∆

∆+∆=∆→∆

+=∆γ=∆

Com velocidade igual a rv ⋅= ω :

( ) ( )

2

22

2

2

2'

'

2'

'

c

r

t

tt

c

v

t

tt ϖ=∆

∆−∆→

≅

∆∆−∆

. (2)

4.2. Efeitos da aceleração centrípeta sobre a dilatação do tempo para os

relógios acelerados pelo motor

Para avaliar a possibilidade de que a variação temporal seja afetada pela aceleração

centrípeta, devemos recorrer à relatividade geral (que trata dos problemas que envolvem

aceleração). Para tanto, utilizaremos a métrica para rotação:

( )[ ]2222222222 sin LdtddKrdrQdtHds −+++−= ϕθθ

onde H, Q e K são funções da métrica que devem ser obtidas pela resolução das equações

de Einstein para o problema específico, e tr e,, ϕθ são as variáveis para as coordenadas

esféricas e o tempo.

Abrindo os termos desse elemento de linha, pode-se encontrar os elementos da

matriz que corresponde à métrica:

( )22222222222222 2sin dtLdtdLdKrdKrdrQdtHds +−+++−= ϕϕθθ

2222222222222222222 sinsin2sin dtLKrdtdLKrdKrdKrdrQdtH θϕθϕθθ +−+++−=dtdLKrdKrdKrdrQdtLKrH ϕθϕθθθ 222222222222222222 sin2sin)sin( −+++−−= .

Dessa métrica, pode-se descrever o tensor métrico µνg , que não será resolvido neste

trabalho, mas que leva à construção das equações de Einstein. A parte legada à rotação

será:

0303 8 GTR π= .

Sendo que, as quatro velocidades são:

),0,0,(),,,( 30 uuuuuuu rt == ϕθµ .

Para rotações, considera-se:

Ω=dt

dϕ ⇒ dtd Ω=ϕ ⇒ 03 uu Ω=

onde a última foi obtida dividindo-se dtd Ω=ϕ pelo tempo próprio τd .

Com isso, se tem que:

( )

Ω+Ω+−=

Ω===

332

0300

0

03

21

2

1

0

gggu

uu

uu

. (3)

De onde se pode ver que a parte temporal ( 0u ) não depende de acelerações

centrípetas, que apareceriam em 0u na forma de uma derivada radial de 1u .

Iorio (2005) mostra em seu artigo que a aceleração centrípeta não tem influência na

dilatação do tempo. Neste artigo, Iorio analisa uma versão particular do paradoxo dos pulsos

de disparos. Como a maioria dos estudos analisa apenas as situações ligadas aos

problemas gravitacionais, Iorio analisa uma situação física relacionada com referenciais

acelerados, na qual pulsos de disparos experimentam um movimento circular.

4.3. Efeitos da aceleração angular sobre a dilatação do tempo para os relógios

acelerados pelo motor

Quando os relógios são colocados em movimento pelo motor elétrico, a velocidade

angular não é constante e, portanto, há uma aceleração angular que também é responsável

pela dilatação do tempo.

Partindo da equação conhecida 'tt ∆=∆ γ , pode-se calcular o efeito da aceleração

angular sobre os relógios em rotação.

Para um tempo infinitesimal:

'dtdt γ=

dtc

vdt

2

2

1' −= .

Com rv ⋅= ω e t⋅+= αωω 0 temos:

( ) ( )( )∫∫

+−=→−=

TTdt

c

trTdt

c

rT

0 2

20

20 2

2

2 '1'1αωω

onde 2T é o tempo medido pelo referencial S’, ou seja, o referencial que vê os eventos

ocorrerem em um mesmo lugar ( “referencial em movimento” ).

Assumindo que a velocidade angular inicial é zero, ou seja, 00 =ω , se tem:

∫

−=

T

dtc

trT

0

2

2 ''

1α

. (4)

Pela equação acima pode-se perceber que o tempo medido pelo relógio em

movimento depende da aceleração.

Para aceleração angular igual à zero não haverá movimento, portanto de acordo com

a equação acima TT =2 . Para aceleração diferente de zero pode-se perceber que 2T será

sempre menor que T , qualquer que seja a aceleração, ou seja, o intervalo de tempo medido

pelos relógios em movimento será menor que o intervalo medido pelos relógios parados1.

5. CÁLCULO DAS DILATAÇÕES DO TEMPO E ANÁLISE DOS PREÇOS

Como visto nos itens 3.2, a aceleração centrípeta não afeta a dilatação do tempo. A

aceleração angular tem um pequeno efeito na dilatação do tempo, mas não foi levado em

conta neste trabalho, pois se considerou o movimento com velocidade angular constante.

Sendo assim, o único responsável pela dilatação do tempo foi o efeito da relatividade

especial, conforme item 3.1.

A expressão para o cálculo da dilatação do tempo é a equação 2. Os cálculos foram

feitos no Maple e encontram-se em anexo. Os resultados encontram-se na tabela 4.

Tabela 4: Tempo total do experimento

Experimento Freqüência de

Rotação do motor

(rpm)

Velocidade linear do

motor em um 1m de

raio. (m/s)

Precisão dos

relógios

Tempo em que o

relógio deve ficar

girando

Experimento 01

1800

188,50

10-6

58,635 dias

Experimento 02

1800

188,50

10-3

58.634,9 dias

(160,5 anos)

Experimento 03

3450

361,28

10-6

15,961 dias

Experimento 04

3450

361,28

10-3

15.961,1 dias

(43,7 anos)

1 Lorenzo Iorio mostra a dependência da dilatação do tempo com a aceleração angular em seu artigo intitulado: On the clock paradox in the case of the moving clock. Eur. J. Phys. 26, p. 535-541.

Experimento 05

3465

362,85

10-6

15,823 dias

Experimento 06

3465

362,85

10-3

15.823,2 dias

(43,3 anos)

Experimento 07

3600

376,99

10-6

14,659 dias

Experimento 08

3600

376,99

10-3

14.658,7 dias

(40,1 anos)

Experimento 09

3490

365,47

10-6

15,597 dias

Experimento 10

3490

365,47

10-3

15.597,3 dias

(42,7 anos)

Os resultados da tabela acima foram encontrados para um raio de 1m. Para raios

menores a velocidade linear diminui, já que esta é diretamente proporcional ao raio, e a

dilatação do tempo diminui mais ainda, pois esta é diretamente proporcional ao quadrado da

velocidade. Assim, para se obter melhores resultados para a dilatação do tempo é

interessante aumentar o raio. Como este projeto tem como finalidade sugerir um

experimento de baixo custo, um valor sugerido para o raio foi de um metro (1m). Este valor

para o raio permite obter bons resultados, como observado na tabela acima. Além do mais,

é preciso ter espaço amplo para desenvolver este experimento, pois a área ocupada por

este aparato é grande.

A tabela acima mostra que é possível verificar a dilatação do tempo em alguns

meses e até mesmo em alguns dias dependendo da precisão dos relógios e a velocidade do

motor. Estes resultados encontrados na ordem de meses e dias foram conseguidos com

relógios com precisão na casa dos microsegundos. É possível perceber também que quanto

maior a velocidade de rotação dos motores, maior é a dilatação.

Para os relógios com precisão na casa dos milisegundos, os resultados obtidos para

a dilatação do tempo foram da ordem de anos, mesmo com altas velocidades de rotação

dos motores elétricos, o que não é tão viável.

O consumo de energia foi calculado de acordo com o item 4.3 deste trabalho e

apresenta os resultados abaixo.

Tabela 5: Custo do Consumo de Energia.

Experimento Velocidade de

Rotação do

motor (rpm)

Tempo do

experimento

Potência do motor

(hp)

Custo

(R$)

Experimento 01

1800

58,635 dias

1

4.062,29

Experimento 02

1800

58.634,9 dias

(160,5 anos)

1

Inviável

Experimento 03

1800

58,635 dias

2

8.124,58

Experimento 04

1800

58.634,9 dias

(160,5 anos)

2

Inviável

Experimento 05

1800

58,635 dias

3

12.186,87

Experimento 06

1800

58.634,9 dias

(160,5 anos)

3

Inviável

Experimento 07

3450

15,961 dias

4

4.423,21

Experimento 08

3450

15.961,1 dias

(43,7 anos)

4

Inviável

Experimento 09

3465

15,823 dias

2

2.192,50

Experimento 10

3465

15.823,2 dias

(43,7 anos)

2

Inviável

Experimento 11

3600

14, 659 dias

1

1.015,57

Experimento 12

3600

14.658,7 dias

(40,1 anos)

1

Inviável

Experimento 13

3600

14, 659 dias

2

2.031,15

Experimento 14

3600

14.658,7 dias

(40,1 anos)

2

Inviável

Experimento 15

3600

14, 659 dias

5

5.077,86

Experimento 16

3600

14.658,7 dias

(40,1 anos)

5

Inviável

Experimento 17

3600

14, 659 dias

10

10.155,77

Experimento 18

3600

14.658,7 dias

(40,1 anos)

10

Inviável

Experimento 19

3600

14, 659 dias

15

15.233,59

Experimento 20

3600

14.658,7 dias

(40,1 anos)

15

Inviável

Experimento 21

3490

15,597 dias

5

5.403,00

Experimento 22

3490

15,597,3 dias

(42,7 anos)

5

Inviável

Os resultados da tabela 5 mostram que quanto mais potente for o motor, maior é o

consumo de energia. Os custos para os relógios com precisão de s610− são razoáveis. Já,

os custos para os relógios s310− são inviáveis devido ao tempo utilizado para se realizar o

experimento.

O gasto para os motores com maior potência é maior, mas há vários fatores que

favorecem seu uso. Alguns fatores podem ser considerados:

O tempo que o motor leva para atingir velocidade angular constante é menor.

Assim, pode-se aproveitar melhor o movimento do motor.

Quando a velocidade é constante, o desgaste do motor mais potente será menor,

pois ele terá mais “facilidade” para girar do que o motor menos potente. Sendo

assim, o desempenho do motor mais potente é melhor.

Como o desgaste é menor, haverá uma maior durabilidade do motor.

Porém, o objetivo deste trabalho é um experimento de baixo custo e os motores de

menor potência apresentam um gasto de energia menor. Assim, estes são os mais

indicados para este projeto.

Para cálculo do custo total levou-se em conta o preço de cada motor e o custo de

energia do motor ligado durante o tempo do experimento. Sendo assim, para o custo de

cada experimento não foi levando em conta os custos dos relógios, pois este é o mesmo

para todos os experimentos. O relógio mais indicado é o Relógio 4 da Tabela 1, este

microchip é mais leve (estimativa), o que facilita o desenvolvimento do experimento e

apresenta menor custo. O custo para cada experiência imaginada está na tabela abaixo.

Como as experiências de números pares, feitas com relógios com precisão de s310− , foram

inviáveis devido ao tempo de cada experimento ser grande, não será possível obter o custo

destes experimentos. Assim, a tabela abaixo mostra os custos para os experimentos de

número ímpar que estão relacionados com os relógios com precisão de s610− .

Tabela 6: Custo do experimento

Experimentos Custos (R$)

Experimento 01 4.502,49











De acordo com a tabela acima, o experimento 11 é o que apresenta o custo menor,

sendo o mais indicado. O motor elétrico referente a este experimento é o de 3600 rpm com

1 hp de potência.

O cálculo para os custos dos relógios foi baseado na cotação do dólar no dia 30 de

maio de 2006 (Banco do Brasil). O valor do dólar comercial para compra é R$ 2,3310. Como

são quatro relógios, o custo total dos relógios é de R$ 5,03 e deve ser acrescentado na

tabela acima. Nos cálculos acima não foi levado em conta o custo da base para o motor, o

custo do disco metálico e o custo das ligações das chaves para acionar os relógios e o

motor. Dessa forma, para se obter um valor mais preciso do custo total deve-se levar em

conta o custo do aparato mais o apresentado na Tabela 6, referente a cada experimento.

CONCLUSÃO

Este projeto cumpriu o objetivo proposto de estudar a possibilidade de se construir um

experimento de baixo custo para testar os efeitos da dilatação do tempo. Alguns resultados

importantes foram obtidos.

Como visto no item 3.2, a aceleração centrípeta não tem efeito sobre a dilatação do

tempo, ou seja, não é necessário levar em consideração os efeitos da relatividade geral. Já

a aceleração angular tem efeito sobre a dilatação do tempo, como foi mostrado no item 3.3,

mas não foi levada em conta neste trabalho, pois esta diminui a dilatação do tempo.

Considerou-se apenas o movimento com aceleração angular igual à zero.

O cálculo da dilatação do tempo, considerando o movimento com velocidade angular

constante, depende apenas do efeito da relatividade especial. Assim, a equação

responsável pela dilatação do tempo, quando a aceleração angular é zero, é

( )2

22

2'

'

c

r

t

tt ϖ=∆

∆−∆.

Para se obter bons resultados para os cálculos da dilatação do tempo é importante que o

raio do disco seja grande, o que aumenta o valor da velocidade e, consequentemente, a

dilatação do tempo. No entanto, é preciso levar em conta o espaço físico disponível.

A construção do experimento tem certas dificuldades. Por exemplo, colocar uma placa

circular de metal para girar por um motor é uma tarefa que dispõe de muitos cuidados. Além

do mais, é preciso de um espaço relativamente grande, pois a área ocupada pela plataforma

é grande, além de ficar ocupada por vários dias ou, até mesmo, meses.

As massas dos relógios é outro fator importante, dependendo da massa é muito difícil,

senão inviável, colocar os relógios para girar. Por esta razão optou-se pelo microchip

SA556, pois é o relógio com uma massa estimada de menor valor.

Para desenvolver este projeto é necessário criar um circuito no qual seja possível

acionar todos os relógios ao mesmo tempo. Como a precisão do relógio viável para

realização deste experimento é de s610− , é importante que os quatros relógios iniciem a

contagem em um tempo zero até a casa dos microsegundos. Além do mais, as chaves que

acionam o motor e os relógios devem ser colocadas separadas para que seja possível

acioná-las em tempos diferentes, já que será considerado um movimento com velocidade

angular constante. Assim, o tempo em que o motor adquire velocidade angular constante

deve ser calculado, para que seja possível acionar a chaves dos relógios após esse tempo.

Em alguns meses é possível perceber o fenômeno da dilatação do tempo sobre os

relógios na casa dos microsegundos. O custo total para os experimentos com relógios com

precisão de s610− é viável e é possível fazer estes experimentos, pois os gastos não são

absurdos.

Para os relógios com precisão de s310− é totalmente inviável fazer os experimentos. O

tempo para realização do experimento é muito grande, da ordem de anos. Sendo assim, os

custos são muito altos, principalmente o que se refere ao consumo de energia. Se fosse

possível deixar um motor funcionando perfeitamente por, por exemplo, 40 anos, o consumo

de energia seria altíssimo. No anexo é possível ver os valores desses custos, a título de

curiosidade, para estes relógios.

Sendo assim, o experimento que apresentou um melhor resultado foi o experimento 11.

Neste experimento foi utilizado o relógio com precisão de s610− , o relógio mais indicado é o

microchip, e o motor de 3600 rpm, por disponibilizar o menor tempo para realização do

experimento. O motor escolhido tem potência de 1 cavalo, por apresentar o menor custo. O

custo total deste experimento é de aproximadamente R$ 1.549,89. Neste cálculo não foi

levado em conta os custos dos relógios, da plataforma e nem das ligações. . No entanto,

não é possível realizar este experimento com este relógio, pois a precisão diminui para

tempos elevados.

Se for conveniente, pode-se colocar mais um par de relógios para girar. Dessa forma,

coloca-se um par para girar em um raio maior e outro em um raio menor e, assim, perceber

que a dilatação é maior para os relógios que se movem a uma velocidade maior. Porém, se

o raio for diminuído para um dos relógios, a dilatação do tempo diminuirá

consideravelmente, dificultando a realização deste tipo de experiência. Assim, o melhor

seria aumentar o raio para um dos relógios, mas a realização se tornaria mais difícil, pois o

espaço ocupado seria ainda maior.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por ter me dado a oportunidade para cursar esta graduação e por

me capacitar para desenvolver este trabalho. Por ter me dado força, pois sei que sem Ele eu

nada poderia fazer. Agradeço a minha família que, em nenhum instante, deixou de acreditar

em mim. Pelo contrário, esteve sempre presente me incentivando e dando forças para

prosseguir, não permitindo nunca que desistisse dos meus sonhos. Agradeço aos

professores orientadores, Prof. Dr Cláudio Manoel e Prof. Dr. Ivan Ferreira da Costa, pela

contribuição e paciência no desenvolvimento deste trabalho e ao colega de curso, Hugo

Alves Dutra, pela contribuição no desenho do experimento.

BIBLIOGRAFIA

ABDALLA, M.C.B.; KON S. (ilustrações). O discreto charme das partículas elementares. São Paulo: Editora UNESP, 2006. 344 p. ISBN 85-7139-641-8

BAILEY, J. et al. Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit. Nature, volume 268, 28 july 1977. Banco do Brasil. Disponível em: <http://www21.bb.com.br/appbb/portal/iec/iece.jsp >. Acesso: 30 de maio de 2006. DAVIES, Paul. 2003. Como construir uma máquina do tempo. Disponível em: <http://www.gradiva.pt/capitulo.asp?L=2123> . Acesso em: 24 de maio de 2006. EISBERG, Robert; RESNICK, Robert. Física quântica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos e partículas. 7. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1979. 928p ISBN 85-7001-309-4 IORIO, Lorenzo. On the clock paradox in the case of circular motion of the moving clock. Eur. J. Phys. 26, 2005. 535- 541 p. PENA, F. L. A. Por que, nós professors de Física do Ensino Médio, devemos inserir tópicos e idéias de Física moderna e contemporânea na sala de aula? Revista Brasileira de Ensino de Física, volume 28, nº 1, 2006. 1-2 p. PEZENTE, J.H. Consumo de energia. Disponível em: <http://www.escolher-e-construir.eng.br/Dicas/DicasI/Kwatt/pag1.htm>. Acesso em: 24 de maio de 2006. PINET, J. Teoria da relatividade. Disponível em: <http://www.geocities.com/pinetjax/5.htm>. Acesso em: 25 de março de 2005. Relógio01. Disponível em: <http://www.goalsports.com/refgear/timers.htm>. Acesso: 31 de maio de 2006. Relógio02. Disponível em: < http://www.amazon.com/gp/product/B0007SXJSU/103-2999411-5632619?v=glance&n=3375251>. Acesso: 31 de maio de 2006. Relógio03. Disponível em: <http://www.laurels.com/stopwatch.htm>. Acesso: 10 de dezembro de 2005. Relógio04: Disponível em: <http://focus.ti.com/docs/prod/folders/print/sa556.html>. Acesso em: 17 de maio de 2006. SERWAY, R. A.; MOSES, C.J,; MOYER, C. A. Modern Physics. 2. ed. Saunders College Publishing, 1997. 666 p. ISBN 0-03-001547-2. SERWAY, Raymond A.; MACEDO, Horácio (Trad.). Física: para cientistas e engenheiros : com física moderna. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. ISBN 8521610750. TAYLOR, John R.; ZAFIRATOS, Chris D. Modern Physics for scientistis and engineers. New Jersey, Prentice Hall, Englewood Cliffs., 1991. 576 p. ISBN 0-13-589789-0. TIPLER, Paul Allen; LLEWELLYN, Ralph A.; BIASI, Ronaldo Sérgio de. (Trad.). Física moderna. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2001. 515 p. ISBN 8521612745

> restart: Abaixo está o programa feito para calcular a dilatação do tempo e o custo para cada experimento. Como parâmetros de entradas, se tem: A velocidade angular do motor em rotações por minuto (rpm), a potência do motor, o raio em que os relógios serão colocados em relação ao centro do disco e a precisão dos relógios. > dilatacao:=proc(omegaRpm,P,r,deltaT) > local TE,omega, c, W, custo; Conversão de unidade da velocidade angular, transformando para radianos por segundo (rad/s). > omega:=evalf(omegaRpm*2*Pi/60); Velocidade da luz > c:=3e8; Equação da dilatação do tempo. > TE:=evalf((2*c^2*deltaT)/(omega^2*r^2))/(3600*24); Energia gasta pela rotação dos motores elétricos. O fator 745,7 é o fator de conversão de unidade da potência, transformando para Watts (W). > W:=P*745.7*TE*24; O custo foi dividido por 100 para que fosse possível obté-lo em reais. > custo:=W*0.3871142/100; Parâmetros de saída: > print("A velocidade angular, em rad/s, é", omega); > print("O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é", TE); > print("O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é", TE/365.24); > print("A energia consumida pelo motor é:", W); > print("O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:", custo); > end: > dilatacao(1800,1,1,1e-6);

,"A velocidade angular, em rad/s, é" 188.4955592

,"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" 58.63494424

,"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" .1605381235

,"A energia consumida pelo motor é:" .1049377870 107

,"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" 4062.290746

> dilatacao(1800,1,1,1e-3); ,"A velocidade angular, em rad/s, é" 188.4955592


,"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" 160.5381235


,"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" .4062290746 107
























,"A energia consumida pelo motor é:" 262344.4673


> dilatacao(3600,1,1,1e-3);


























> dilatacao(3600,10,1,1e-6);




























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