UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIORDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

1◦ Ciclo em Engenharia Electromecânica

1◦ Ciclo em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Exame de Cálculo I – 1a ChamadaAno Lectivo 2011/2012

30 de Janeiro de 2012 Duração: 2h 30min + 30min

1) Considere os seguintes subconjuntos de R:

A =

{

x ∈ R : x2 + x− 2

x2 + x− 6 6 0 ∧4

2− x > 1}

e B = ]−∞, 0[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, 3] ∪ {4} .

a) Escreva o conjunto A como uma reunião de intervalos de números reais.

b) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado de B.

c) Diga, justificando, se o conjunto ]0, 1[∪ ]1, 2[ é um conjunto aberto ou se é um conjunto fechado.

2) Considere a função real de variável real definida por f(x) =x3

x2 − 1 .

a) Calcule o domı́nio de f .

b) A função f é cont́ınua? Justifique a resposta.

c) Determine os zeros de f .

d) Estude a paridade de f .

e) Estude a monotonia e os extremos locais de f .

f) Calcule os pontos de inflexão e estude as concavidades de f .

g) Determine as asśımptotas de f .

h) Esboce o gráfico de f .

3) Determine o polinómio de Mac-Laurin de grau 4 da função f dada por

f(x) = 6 cos x

e use-o para aproximar o valor de f em 0,1.

4) Calcule

a)

∫

1√1− x2 arcsen x

+x

cos2 xdx;

b)

∫

ex+2

e2x+exdx; (sugestão: faça a substituição ex = t);

c)

∫

1

0

x3 + 1

x2 + 1dx.

5) Calcule a área da região plana limitada pelas curvas de equação y = x2 e y = −x2 − 2x+ 4.

6) Calcule o comprimento da curva dada pelo gráfico da função f : [1, e] → R definida por

f(x) =x2

4− lnx

2.

7) Calcule

∫

+∞

e

1

x (lnx)2dx.

1) Considere os seguintes subconjuntos de R:

A =

{

x ∈ R : x2 + x− 2

x2 + x− 6 6 0 ∧4

2− x > 1}

e B = ]−∞, 0[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, 3] ∪ {4} .

a) Escreva o conjunto A como uma reunião de intervalos de números reais.

b) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado de B.

c) Diga, justificando, se o conjunto ]0, 1[∪ ]1, 2[ é um conjunto aberto ou se é um conjunto fechado.

1a) Para resolvermos a primeira inequação temos de resolver as equações

x2 + x− 2 = 0

ex2 + x− 6 = 0.

Assim,

x2 + x− 2 = 0 ⇔ x = −1±√

12 − 4 · 1 · (−2)2 · 1

⇔ x = −1±√1 + 8

2

⇔ x = −1±√9

2

⇔ x = −1± 32

⇔ x = −2 ∨ x = 1

e

x2 + x− 6 = 0 ⇔ x = −1±√

12 − 4 · 1 · (−6)2 · 1

⇔ x = −1±√1 + 24

2

⇔ x = −1±√25

2

⇔ x = −1± 52

⇔ x = −3 ∨ x = 2.

Fazendo um quadro de sinais temos

x −3 −2 1 2

x2 + x− 2 + + + 0 − 0 + + +

x2 + x− 6 + 0 − − − − − 0 +

x2 + x− 2x2 + x− 6 + N.D. − 0 + 0 − N.D. +

e, portanto,x2 + x− 2x2 + x− 6 6 0 ⇔ x ∈ ]− 3,−2] ∪ [1, 2[.

Quanto à segunda inequação tem-se

4

2− x > 1 ⇔4

2− x − 1 > 0

⇔ 4− 2 + x2− x > 0

⇔ 2 + x2− x > 0,

pelo que é necessário fazer um quadro de sinal. Observando o quadro de sinal

x −2 2

2 + x − 0 + + +

2− x + + + 0 −2 + x

2− x − 0 + N.D. −

conclúımos que4

2− x > 1 ⇔ x ∈ [−2, 2[.

Logo

A = (]− 3,−2] ∪ [1, 2[) ∩ [−2, 2[= {−2} ∪ [1, 2[.

1b) Temos

intB = ]−∞, 0[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, 3[;extB = ]0, 1[ ∪ ]3, 4[ ∪ ]4,+∞[;frB = {0, 1, 2, 3, 4};B = ]−∞, 0] ∪ [1, 3] ∪ {4};B′ = ]−∞, 0] ∪ [1, 3].

1c) Designando por C = ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ temos

intC = ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ,

o que mostra que C é um conjunto aberto pois intC = C. Por outro lado temos

C = [0, 2] ,

o que nos permite concluir que C não é fechado porque C 6= C.

2) Considere a função real de variável real definida por f(x) =x3

x2 − 1 .

a) Calcule o domı́nio de f .

b) A função f é cont́ınua? Justifique a resposta.

c) Determine os zeros de f .

d) Estude a paridade de f .

e) Estude a monotonia e os extremos locais de f .

f) Calcule os pontos de inflexão e estude as concavidades de f .

g) Determine as asśımptotas de f .

h) Esboce o gráfico de f .

2a) O domı́nio de f é oDf =

{

x ∈ R : x2 − 1 6= 0}

.

Atendendo a que

x2 − 1 = 0 ⇔ x2 = 1⇔ x = −1 ∨ x = 1,

tem-seDf = R \ {−1, 1} .

2b) A função f é cont́ınua porque é uma função racional.

2c) Como

f(x) = 0 ⇔ x3

x2 − 1 = 0

⇔ x3 = 0 ∧ x2 − 1 6= 0⇔ x = 0 ∧ x 6= −1 ∧ x 6= 1⇔ x = 0,

a função f tem apenas um zero no ponto x = 0.

2d) Como para qualquer x ∈ Df se tem

f(−x) = (−x)3

(−x)2 − 1 =−x3x2 − 1 = −

x3

x2 − 1 = −f(x),

a função f é uma função ı́mpar.

2e) A primeira derivada de f é dada por

f ′(x) =

(

x3

x2 − 1

)′

=(x3)′(x2 − 1)− (x2 − 1)′x3

(x2 − 1)2 =3x2(x2 − 1)− 2x · x3

(x2 − 1)2

=3x4 − 3x2 − 2x4

(x2 − 1)2 =x4 − 3x2(x2 − 1)2 =

x2(

x2 − 3)

(x2 − 1)2 ,

pelo que

f ′(x) = 0 ⇔ x2(

x2 − 3)

(x2 − 1)2 = 0

⇔ x2(

x2 − 3)

= 0 ∧ (x2 − 1)2 6= 0⇔

(

x2 = 0 ∨ x2 − 3 = 0)

∧ x2 − 1 6= 0⇔

(

x = 0 ∨ x2 = 3)

∧ x 6= −1 ∧ x 6= 1

⇔(

x = 0 ∨ x = −√3 ∨ x =

√3)

∧ x 6= −1 ∧ x 6= 1

⇔ x = 0 ∨ x = −√3 ∨ x =

√3

e, portanto,

x −√3 −1 0 1

√3

x2 + + + + + 0 + + + + +

x2 − 3 + 0 − − − − − − − 0 +x2 − 1 + + + 0 − − − 0 + + +

x2(

x2 − 3)

+ 0 − − − 0 − − − 0 +(

x2 − 1)2

+ + + 0 + + + 0 + + +

f ′(x) + 0 − N.D. − 0 − N.D. − 0 +f(x) ր M ց N.D. ց ց N.D. ց m ր

Assim, f é estritamente decrescente em ] −√3,−1[, em ] − 1, 1[ e em ]1,

√3[, é estritamente

crescente em ] − ∞,−√3[ e em ]

√3,+∞[, tem um máximo local no ponto x = −

√3 e tem um

mı́nimo local em x =√3.

2f) Calculemos a segunda derivada de f :

f ′′(x) =

[

x4 − 3x2(x2 − 1)2

]′

=

(

x4 − 3x2)′ (

x2 − 1)2 −

[

(

x2 − 1)2]′(

x4 − 3x2)

[(x2 − 1)2]2

=

(

4x3 − 6x) (

x2 − 1)2 − 2

(

x2 − 1)′(x2 − 1)

(

x4 − 3x2)

(x2 − 1)4

=

(

4x3 − 6x) (

x2 − 1)2 − 2 · 2x(x2 − 1)

(

x4 − 3x2)

(x2 − 1)4

=2x

(

2x2 − 3) (

x2 − 1)2 − 4x(x2 − 1)

(

x4 − 3x2)

(x2 − 1)4

=2x(x2 − 1)

[(

2x2 − 3) (

x2 − 1)

− 2(

x4 − 3x2)]

(x2 − 1)4

=2x

[

2x4 − 2x2 − 3x2 + 3− 2x4 + 6x2]

(x2 − 1)3

=2x

(

x2 + 3)

(x2 − 1)3

e, portanto, tendo em conta que x2 + 3 > 0 para qualquer x ∈ R, tem-se

f ′′(x) = 0 ⇔ 2x(

x2 + 3)

(x2 − 1)3 = 0

⇔ 2x(

x2 + 3)

= 0 ∧ (x2 − 1)3 6= 0⇔

(

2x = 0 ∨ x2 + 3 = 0)

∧ x2 − 1 6= 0⇔ x = 0 ∧ x 6= −1 ∧ x 6= 1⇔ x = 0,

o que nos permite construir o seguinte quadro:

x −1 0 1

2x − − − 0 + + +x2 + 3 + + + + + + +

x2 − 1 + 0 − − − 0 +2x(x2 + 3) − − − 0 + + +(x2 − 1)3 + 0 − − − 0 +f ′′(x) − N.D. + 0 − N.D. +f(x) ∩ N.D. ∪ P.I. ∩ N.D. ∪

Assim, f tem a concavidade voltada para baixo em ] − ∞,−1[ e em ]0, 1[, tem a concavidadevoltada para cima em ]− 1, 0[ e em ]1,+∞[ e no ponto x = 0 tem um ponto de inflexão.

2g) Vejamos que f tem uma asśımptota não vertical à direita. De facto,

limx→+∞

f(x)

x= lim

x→+∞

x3

x2 − 1x

= limx→+∞

x3

x3 − x = limx→+∞x3

x3(1− 1/x2)

= limx→+∞

1

1− 1/x2 =1

1− 1/(+∞)2 =1

1− 1/+∞ =1

1− 0 = 1

e

limx→+∞

[f(x)− 1 · x] = limx→+∞

x3

x2 − 1 − x = limx→+∞x3 − x3 + x

x2 − 1 = limx→+∞x

x2 − 1= lim

x→+∞

x

x (x− 1/x) = limx→+∞1

x− 1/x =1

+∞− 1/+∞

=1

+∞− 0 =1

+∞ = 0,

pelo que a recta de equação y = x é uma asśımptota não vertical à direita do gráfico de f .

Analogamente, temos

limx→−∞

f(x)

x= lim

x→−∞

x3

x2 − 1x

= limx→−∞

x3

x3 − x = limx→−∞x3

x3(1− 1/x2)

= limx→−∞

1

1− 1/x2 =1

1− 1/(−∞)2 =1

1− 1/+∞ =1

1− 0 = 1

e

limx→−∞

[f(x)− 1 · x] = limx→−∞

x3

x2 − 1 − x = limx→−∞x3 − x3 + x

x2 − 1 = limx→−∞x

x2 − 1= lim

x→−∞

x

x (x− 1/x) = limx→−∞1

x− 1/x =1

−∞− 1/−∞

=1

−∞− 0 =1

−∞ = 0,

e, por conseguinte, a recta de equação y = x também é asśımptota não vertical à esquerda dográfico de f .

Finalmente, tendo em conta que o domı́nio de f é R \ {−1, 1} e que f é cont́ınua em todo o seudomı́nio, conclui-se que as únicas possibilidades de asśımptotas verticais são as rectas de equaçãox = −1 e x = 1. Como

limx→−1−

f(x) = limx→−1−

x3

x2 − 1 =−10+

= −∞

e

limx→−1+

f(x) = limx→−1+

x3

x2 − 1 =−10−

= +∞,

a recta de equação x = −1 é uma asśımptota vertical ao gráfico de f . Analogamente, a recta deequação x = 1 também é uma asśımptota vertical ao gráfico de f pois

limx→1−

f(x) = limx→1−

x3

x2 − 1 =1

0−= −∞

e

limx→1+

f(x) = limx→1+

x3

x2 − 1 =1

0+= +∞.

2h) Usando toda a informação que obtivemos nas aĺıneas anteriores e calculando

f(−√3) =

(

−√3)3

(

−√3)2 − 1

=−3

√3

3− 1 = −3√3

2e f(

√3) =

(√3)3

(√3)2 − 1

=3√3

3− 1 =3√3

2

podemos fazer o seguinte esboço do gráfico de f :

x

y

1−1√3

3√3

2

−√3

−3√3

2

3) Determine o polinómio de Mac-Laurin de grau 4 da função f dada por

f(x) = 6 cos x

e use-o para aproximar o valor de f em 0,1.

3) O polinómio de Mac-Laurin de grau 4 de uma função f quatro vezes diferenciável é dado por

f(x) ≈ f(0) + f ′(0)x+ f′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 +

f ′′′′(0)

4!x4.

Para f(x) = 6 cos x temos

f ′(x) = −6 senx,

f ′′(x) = −6 cos x,

f ′′′(x) = 6 sen x,

f ′′′′(x) = 6 cos x,

e, atendendo a que

f(0) = 6 cos 0 = 6 · 1 = 6,

f ′(0) = −6 sen 0 = −6 · 0 = 0,

f ′′(0) = −6 cos 0 = −6 · 1 = −6,

f ′′′(0) = 6 sen 0 = 6 · 0 = 0,

f ′′′′(0) = 6 cos 0 = 6 · 1 = 6,

o polinómio de Mac-Laurin de grau 4 de f(x) = 6 cos x é dado por

f(x) = 6 cos x

≈ f(0) + f ′(0)x+ f′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 +

f ′′′′(0)

4!x4

= 6− 6x2

2!+

6x4

4!

= 6− 3x2 + x4

4.

Assim,

f(0, 1) = 6 cos(0, 1)

≈ 6− 3(0, 1)2 + 0, 14

4

= 6− 3 · 0, 01 + 0, 00014

= 6− 0, 03 + 0, 000025

= 5, 970025.

4) Calcule

a)

∫

1√1− x2 arcsenx

+x

cos2 xdx;

b)

∫

ex+2

e2x+exdx; (sugestão: faça a substituição ex = t);

c)

∫

1

0

x3 + 1

x2 + 1dx.

4a) Como a primitiva de uma soma de funções é a soma das primitivas das funções, temos

∫

1√1− x2 arcsen x

+x

cos2 xdx =

∫

1√1− x2 arcsen x

dx+

∫

x

cos2 xdx.

A primeira primitiva é imediata e

∫

1√1− x2 arcsenx

dx =

∫

1√1− x2

arcsenxdx = ln |arcsen x|+ c

e a segunda primitiva pode ser calculada usando a fórmula de primitivação por partes

∫

f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−∫

f(x)g′(x) dx

com f ′(x) =1

cos2 xe g(x) = x, isto é,

∫

x

cos2 xdx =

∫

1

cos2 xx dx

= (tg x) x−∫

tg x (x)′ dx

= x tg x−∫

tg x dx

= x tg x−∫

senx

cosxdx

= x tg x+

∫ − senxcos x

dx

= x tg x+ ln |cos x|+ c.

Logo∫

1√1− x2 arcsenx

+x

cos2 xdx = ln |arcsen x|+ x tg x+ ln |cosx|+ c.

4b) Para a substituiçãoex = t,

temos x = ln t o que implica

dx = (ln t)′ dt =1

tdt.

Assim,

∫

ex+2

e2x+exdx =

∫

ex+2

(ex)2 + exdx =

∫

t+ 2

t2 + t

1

tdt =

∫

t+ 2

t3 + t2dt =

∫

t+ 2

t2 (t+ 1)dt,

pelo que temos de calcular a primitiva de uma função racional. Tendo em conta que o grau donumerador é menor do que o grau do denominador, não é posśıvel fazer a divisão. Além disso, odenominador também já está factorizado, pelo que temos de determinar A, B e C tais que

t+ 2

t2 (t+ 1)=

A

t2+

B

t+

C

t+ 1.

Daqui resulta queA(t+ 1) +Bt(t+ 1) + Ct2 = t+ 2,

pelo que fazendo t = 0 temos A = 2, fazendo t = −1 temos C = 1 e fazendo t = 1 temos

2A+ 2B + C = 3 ⇔ 4 + 2B + 1 = 3 ⇔ 2B = −2 ⇔ B = −1.

Assim,t+ 2

t2 (t+ 1)=

2

t2− 1

t+

1

t+ 1,

pelo que∫

t+ 2

t2 (t+ 1)dt =

∫

2

t2− 1

t+

1

t+ 1dt

= 2

∫

t−2 dt−∫

1

tdt+

∫

1

t+ 1dt

= 2t−1

−1 − ln |t|+ ln |t+ 1|+ c

= −2t− ln |t|+ ln |t+ 1|+ c

e, consequentemente,∫

ex+2

e2x +exdx = − 2

ex− ln |ex|+ ln |ex+1|+ c

= − 2ex

− ln (ex) + ln (ex+1) + c

= − 2ex

− x+ ln (ex+1) + c.

4c) Para calcularmos este integral temos fazer a divisão entre x3 + 1 e x2 + 1. Assim,

x3 + 0x2 + 0x+ 1 | x2 + 0x+ 1−x3 − 0x2 − x x

− x + 1

e, consequentemente,x3 + 1

x2 + 1= x+

−x+ 1x2 + 1

.

Logo∫

1

0

x3 + 1

x2 + 1dx =

∫

1

0

x+−x+ 1x2 + 1

dx

=

∫

1

0

x dx− 12

∫

1

0

2x

x2 + 1dx+

∫

1

0

1

x2 + 1dx

=

[

x2

2

]1

0

− 12

[

ln∣

∣x2 + 1∣

∣

]1

0+

[

arctg x]1

0

=1

2− 0− 1

2(ln 2− ln 1) + arctg 1− arctg 0

=1

2− ln 2

2+

π

4.

5) Calcule a área da região plana limitada pelas curvas de equação y = x2 e y = −x2 − 2x+ 4.

5) Calculemos os pontos de intersecção das duas curvas:

{

y = x2

y = −x2 − 2x+ 4⇔

{

——

x2 = −x2 − 2x+ 4⇔

{

——

2x2 + 2x− 4 = 0

e, por conseguinte, temos de resolver a equação 2x2 + 2x− 4 = 0:

2x2 + 2x− 4 = 0 ⇔ x2 + x− 2 = 0

⇔ x = −1±√

12 − 4 · 1 · (−2)2 · 1

⇔ x = −1±√1 + 8

2

⇔ x = −1±√9

2

⇔ x = −1± 32

⇔ x = −2 ∨ x = 1.

Assim, os pontos de intersecção das duas curvas são (−2, 4) e (1, 1). Representemos geometrica-mente a região plana de que queremos calcular a área e calculemos a sua área:

x

y

1−2

1

4

y = −x2 − 2x+ 4

y = x2

b

b

A =

∫

1

−2−x2 − 2x+ 4− x2 dx

=

∫

1

−2−2x2 − 2x+ 4 dx

=

[

−2x33

− x2 + 4x]1

−2

=−2 · 13

3− 12 + 4 · 1

−(−2(−2)3

3− (−2)2 + 4(−2)

)

= −23− 1 + 4−

(

16

3− 4− 8

)

= −23+ 3− 16

3+ 12

= 15− 183

= 15− 6= 9.

Logo a área da região plana limitada pelas parábolas de equação

y = x2 e y = −x2 − 2x+ 4

é igual a 9.

6) Calcule o comprimento da curva dada pelo gráfico da função f : [1, e] → R definida por

f(x) =x2

4− lnx

2.

6) O comprimento que queremos calcular é dado pela fórmula

ℓ =

∫ b

a

√

1 + [f ′(x)]2 dx.

Como

f ′(x) =

(

x2

4− lnx

2

)′

=x

2− 1

2x

temos

ℓ =

∫

e

1

√

1 +

(

x

2− 1

2x

)2

dx =

∫

e

1

√

1 +x2

4− 1

2+

1

4x2dx

=

∫

e

1

√

x2

4+

1

2+

1

4x2dx =

∫

e

1

√

(

x

2+

1

2x

)2

dx

=

∫

e

1

x

2+

1

2xdx =

[

x2

4+

lnx

2

]e

1

=e2

4+

ln e

2−

(

12

4+

ln 1

2

)

=e2

4+

1

2− 1

4=

e2 +2− 14

=e2 +1

4.

7) Calcule

∫

+∞

e

1

x (lnx)2dx.

7) Por definição temos

∫

+∞

e

1

x (lnx)2dx = lim

u→+∞

∫ u

e

1

x (lnx)2dx = lim

u→+∞

∫ u

e

1

x(lnx)−2 dx

= limu→+∞

[

(lnx)−1

−1

]u

e

= limu→+∞

[

− 1lnx

]u

e

= limu→+∞

− 1lnu

−(

− 1ln e

)

= limu→+∞

− 1lnu

+ 1

= − 1+∞ + 1 = 1.