Universidade de Aveiro 2020
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Universidade de Aveiro 2020 Departamento de Matemática Carla Andreia Coelho Moreira Tecnologia em educação matemática: do ábaco ao smartphone
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Universidade de Aveiro
2020
Departamento de Matemática
Carla Andreia Coelho Moreira
Tecnologia em educação matemática: do ábaco ao smartphone
Universidade de Aveiro
2020
Departamento de Matemática
Carla Andreia Coelho Moreira
Tecnologia em educação matemática: do ábaco ao smartphone
Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Matemática para Professores, realizada sob a orientação científica da Doutora Paula Oliveira, Professora auxiliar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro, e do Doutor Luís Descalço, Professor auxiliar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro.
o júri/the jury
presidente / president
vogais / examiners committee
Professora Doutora Andreia Oliveira Hall Professora associada do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro
Professor Doutor Hélder Bruno Miranda Pinto Professor Assistente do Instituto Piaget
Professora Doutora Maria Paula de Sousa Oliveira Professora Auxiliar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro
agradecimentos/
acknowledgements
Dedico esta dissertação aos meus filhos Catarina e Miguel por me terem dado
tempo deles, carinho e compreensão.
palavras-chave
Cálculo; Tecnologia; Ábaco; Calculadora; Computador; Smartphone
resumo
O presente trabalho propõe-se a apresentar algumas tecnologias, usadas no ensino da matemática em Portugal e no mundo, ao longo do tempo, numa perspetiva histórica, evolutiva e valorativa para o processo ensino/aprendizagem da disciplina no 3.º ciclo do ensino básico ou ensino secundário.
A primeira tecnologia remete-nos ao passado, ao século V a.C e é considerada o primeiro instrumento de cálculo ao serviço da sociedade e da educação: o ábaco.
A última tecnologia remete-nos ao presente, ao século XXI, e refere-se ao uso do smartphone (que incorpora em si um ábaco e um computador) enquanto tecnologia educacional.
Entre o desenvolvimento da primeira e última tecnologias, e/ou paralelamente a elas, outras se desenvolveram e foram amplamente usadas no ensino. Deste modo, para além da tecnologia do passado e a do presente, este trabalho descreve ainda algumas dessas tecnologias que “ficaram no meio” enquanto que, ao mesmo tempo, as tenta trazer de novo como ferramentas para o ensino da matemática.
Keywords Calculation; Technology; Abacus; Calculator; Computer; Smartphone
Abstract
The following study proposes to present some technologies used in mathematics education in Portugal and in the world, over time, in an historical, evolutionary and valuable perspective for the teaching/learning process of the discipline in the 3rd cycle of primary education and secondary education.
The first technology takes us back, to the 5th century BC and is considered the first instrument of calculation at the service of society and education: the abacus.
The latest technology brings us to the 21st century and refers to the use of the smartphone (which incorporates in itself an abacus and a computer) as educational technology.
Between the development of the first and the last technologies, and/or parallel to them, other instruments were developed and widely used in teaching. Thus, in addition to the technology of the past and of the present, this work also describes some of these technologies that "stayed in the middle" while, at the same time, is trying to bring them back as a tool for the teaching of mathematics.
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ÍNDICE Introdução ............................................................................................................................................ 1
1. Enquadramento ................................................................................................................................ 5
Cálculo em Educação Matemática ............................................................................................................................. 5
História em Educação Matemática ............................................................................................................................. 7
Novas Tecnologias em Educação Matemática ........................................................................................................... 8
Tecnologia Móvel: m-learning em Educação .......................................................................................................... 13
2. Ensino da matemática em Portugal e a tecnologia ...................................................................... 15
O Ábaco ................................................................................................................................................................... 21
2.1.1. O Calculador Multibásico ............................................................................................................................... 22
2.1.2. O ábaco aberto ................................................................................................................................................. 24
Tábuas de logaritmos ............................................................................................................................................... 26
Régua de Cálculo ..................................................................................................................................................... 27
A Calculadora........................................................................................................................................................... 29
Computador .............................................................................................................................................................. 32
2.5.1. Primeiro computador em Portugal – NCR ELLIOT 803-B – 1961 ................................................................. 32
2.5.2. Primeiro computador em investigação – NCR ELLIOTT 4100 – 1967 .......................................................... 33
2.5.3. José Sebastião e Silva e o computador ao serviço do ensino da Matemática .................................................. 34
Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) ................................................................................................... 37
Tecnologia Móvel – m-learning em Educação Matemática ..................................................................................... 39
3. O ábaco: um dos mais antigos instrumentos de cálculo ............................................................. 42
O ábaco .................................................................................................................................................................... 42
3.1.1. Ábaco Mesopotâmico ...................................................................................................................................... 46
3.1.2. Ábaco Grego ................................................................................................................................................... 46
3.1.3. Ábaco Romano ................................................................................................................................................ 48
Calculi ................................................................................................................................................ 48
Ábaco de Cera .................................................................................................................................... 49
A primeira “calculadora” de bolso ..................................................................................................... 50
3.1.4. Ábaco de Gerbert/ Ábaco de Silvestre ............................................................................................................ 52
3.1.5. Ábaco Egípcio ................................................................................................................................................. 56
3.1.6. Ábaco Chinês .................................................................................................................................................. 56
3.1.7. Ábaco Japonês ................................................................................................................................................. 57
3.1.8. Ábaco Russo.................................................................................................................................................... 67
3.1.9. Ábaco Azteca .................................................................................................................................................. 68
3.1.10. Ábaco do Império Inca .................................................................................................................................... 68
3.1.11. Ábaco Cranmer ............................................................................................................................................... 70
3.1.12. Ábaco Europeu ................................................................................................................................................ 71
ii
Applets e Apps simuladores de ábacos ..................................................................................................................... 71
Napier: ossos, logaritmo e ábaco .............................................................................................................................. 72
3.3.1. Ossos de Napier ............................................................................................................................................... 73
3.3.2. Logaritmos ...................................................................................................................................................... 75
3.3.3. Ábaco de Napier .............................................................................................................................................. 79
4. Da régua de cálculo ao smartphone ............................................................................................ 81
Régua de cálculo ...................................................................................................................................................... 83
Os pioneiros ............................................................................................................................................................. 86
4.2.1. Leonardo da Vinci (1452-1519) ...................................................................................................................... 86
4.2.2. Wilhelm Schickard (1592-1635) ..................................................................................................................... 87
4.2.3. Blaise Pascal (1623-1662) ............................................................................................................................... 88
4.2.4. Tito Livio Burattini (1617-1681) .................................................................................................................... 90
4.2.5. Samuel Morland (1625-1695) ......................................................................................................................... 91
4.2.6. Claude Perrault (1613-1688) ........................................................................................................................... 92
4.2.7. Gottfried Leibniz (1646-1716) ........................................................................................................................ 93
4.2.8. René Grillet de Roven (1672) ......................................................................................................................... 94
4.2.9. Thomas de Colmar (1785-1870) ..................................................................................................................... 95
Calculadora eletrónica .............................................................................................................................................. 96
4.3.1. A calculadora eletrónica de mesa (1961) ........................................................................................................ 96
4.3.2. A calculadora eletrónica de bolso (1967) ........................................................................................................ 97
Calculadora Científica (1972) .................................................................................................................................. 98
Calculadora Gráfica (1985) ...................................................................................................................................... 99
Computador ............................................................................................................................................................ 101
4.6.1. Charles Babbage (1791-1871) ....................................................................................................................... 102
4.6.2. Hermann Hollerith (1860-1929) .................................................................................................................... 107
4.6.3. George Boole e os fundamentos da Lógica Matemática e da Computação (1815-1864) .............................. 108
4.6.4. Alan Turing e o Colossus (1912-1954) ......................................................................................................... 108
4.6.5. Konrad Zuse (1910-1995) ............................................................................................................................. 110
4.6.6. Claude Elwood Shannon (1916-2001) .......................................................................................................... 111
4.6.7. Mark I – computador eletromecânico (Harvard/IBM) (1937-1944) ............................................................. 111
4.6.8. Geração de computadores ............................................................................................................................. 113
Computadores da 1.ª geração (1946-1954) ...................................................................................... 113
Computadores da 2.ª geração (1955-1964) ...................................................................................... 115
Computadores da 3.ª geração (1965-1977) ...................................................................................... 115
Computadores da 4.ª geração (1977-1991) ...................................................................................... 116
Computadores da 5.ª geração (1992 até hoje) .................................................................................. 117
4.6.9. Primeiros computadores no ensino ................................................................................................................ 118
4.6.10. Seymour Papert ............................................................................................................................................. 119
iii
5. Duas experiências de ensino/aprendizagem com recursos do passado e do presente ............... 121
O ábaco escolar e a adição de números inteiros relativos ...................................................................................... 123
Programar, utilizando a placa de microcontrolador – Micro:bit. ............................................................................ 132
Considerações finais ........................................................................................................................ 136
Lista de Figuras ................................................................................................................................ 137
Referências Bibliográficas ............................................................................................................... 140
1
Introdução
Objetivando a qualidade das aprendizagens na Educação Pré-escolar e com o objetivo de tornar
as Orientações Curriculares para a Educação Pré-Escolar (OCEPE) mais operacionais, o Ministério
da Educação e Ciência editou brochuras de apoio ao desenvolvimento do currículo, em alguns
domínios preconizados nas OCEPE: linguagem oral e abordagem à escrita, matemática, ciências
experimentais, expressão musical e expressão plástica, bem como outras publicações de apoio à
organização e ao desenvolvimento de boas práticas (DGE D. G., 2020). Salienta-se um dos recursos
disponibilizados, no que concerne aos textos de apoio para Educadores de Infância, “Sentido de
número e organização de dados” (Castro & Marina Rodrigues, 2008) onde é possível corroborar a
ideia subjacente à frase supracitada de Baruk (1996) no preâmbulo do recurso (p. 9), da autoria de
Lurdes Serrazina, “[…] o desenvolvimento matemático nos primeiros anos é fundamental,
dependendo o sucesso das aprendizagens futuras da qualidade das experiências proporcionadas às
crianças. […] o papel […] do educador de infância, é crucial no modo como as crianças vão
construindo a sua relação com a Matemática, nomeadamente quando prestam atenção à Matemática
presente nas brincadeiras das crianças e as questionam; as incentivam a resolver problemas e
encorajam a sua persistência;[…]; propõem tarefas de natureza investigativa; […]; combinam
experiências formais e informais e utilizam a linguagem própria da Matemática [...]. É importante
que o educador parta do que as crianças já sabem, tenha em conta as suas experiências anteriores e
aproveite as oportunidades que ocorrem naturalmente, considerando que a aprendizagem
Matemática mais significativa resulta das experiências e materiais que lhes interessam e, sobretudo,
que as levem a refletir sobre o que fizeram e porque o fizeram.”
De realçar ainda que de acordo com Serrazina (1990) as crianças precisam de modelos concretos
para a compreensão e construção de conceitos matemáticos e, segundo esta autora, investigações
realizadas têm verificado que as que utilizam materiais manipulativos conseguem alcançar melhores
resultados do que aquelas que não o fizeram. No entanto no processo ensino/aprendizagem não
interessa utilizar muitos materiais pois a quantidade não garante por si só uma aprendizagem
“…já que toda a criança nasce matemático, se não compreende as Matemáticas,
é porque elas lhe foram mal explicadas.”
Stella Baruk
2
significativa (Moreira & Salzano Masini, 1982)1. Se se pretende alcançar bons resultados deverá usar-
se cuidadosamente qualquer material onde caberá ao professor decidir como, quando e porquê.
Licenciada em Matemáticas Aplicadas, Ramo Educacional, no ano 2000, sem nunca ter
tropeçado em horários incompletos, a minha prática profissional abraça vinte anos de
intencionalidade de inclusão de uma constante reflexão introspetiva e prospetiva, tendo sempre como
pedra angular o acreditar que “o meu aluno” irá aprender matemática de forma significativa, com as
experiências proporcionadas nos moldes definidos por Serrazina (1990) quando refere que, «Mais
importante que os materiais com que está a trabalhar, a experiência que o aluno está a realizar deve
ser significativa para ele.»
Perante o exposto, proponho-me apresentar, ao longo desta dissertação, Ferramentas de Uso
Geral 2 , Tecnologias Especializadas 3 (Roberts, 2014) e ainda Tecnologias Móveis, largamente
utilizadas no ensino da matemática a nível mundial e, particularmente, em Portugal que poderão trazer
ao aluno experiências significativas na aprendizagem da mesma.
Uma delas é o ábaco, considerada a mais antiga ferramenta de cálculo, “uma obra prima de poder
e simplicidade” (CHM, 2020), outrora utilizada na educação matemática de vários países, até ter sido
ultrapassada pela calculadora, ainda fortemente utilizada nos países asiáticos quer ao nível do
comércio quer ao nível da educação e defendido, atualmente, o seu uso nas escolas, por alguns
autores, em reação ao sucesso dos alunos asiáticos a matemática (Roberts, 2014).
Outras delas estiveram ao serviço da sociedade e foram usadas posteriormente na educação
tendo sido ultrapassadas pelo aparecimento das novas tecnologias, nomeadamente, a tabela de
logaritmos, a régua de cálculo e os ossos de Napier.
Outras ainda evoluíram muito no propósito inicial para que foram concebidas, como é o caso
das calculadoras e computadores. Começaram como colossais ferramentas de cálculo, ao serviço de
1 “[Para Ausubel, aprendizagem significativa é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspeto relevante da estrutura de conhecimento do indivíduo. Ou seja, neste processo a nova informação interage com uma estrutura de conhecimento específica, a qual Ausubel define como conceitos subsunçores] …[existentes na estrutura cognitiva do indivíduo.]” (Moreira & Salzano Masini, 1982)
2 Roberts (2014) divide a tecnologia em dois grupos principais: Ferramentas de uso geral e Tecnologias Especializadas. As ferramentas de uso geral (traduzido do inglês “General-purpose tools”) de grande importância em muitas esferas da vida, fora das salas de aula, e posteriormente usadas num ambiente educativo. Exemplo: quadros negros e/ou brancos, retroprojetor, quadro interativo, materiais manipuláveis, calculadora e computador.
3 Tecnologias Especializadas (traduzido do inglês “Specialized techologies”) originadas fora da educação e usadas especificamente no comércio, ciência ou engenharia ou originadas no âmbito da educação (nomeadamente da educação Matemática) e posteriormente utilizadas fora dela. Exemplo: ferramentas de cálculo: ábaco e régua de cálculo.
3
alguns, fora da educação, para verdadeiros instrumentos tecnológicos de bolso, com capacidades
matemáticas adicionadas ao serviço de todos, da educação e da sociedade. Omnipresentes na
educação de hoje, quer pela presença numa sala de aula de qualquer escola (computador) quer pela
presença nos currículos do 3.º ciclo do ensino básico e do ensino secundário, vendo sempre o seu
lugar reservado em itens dos exames nacionais de final de ciclo (calculadoras).
Uma outra ferramenta é a tecnologia móvel suportada por um pequeno dispositivo digital, tal
como o smartphone, que incorpora em si uma calculadora e um computador e “que vem introduzir
alterações ao conceito tradicional de sala de aula e de ensino restrito a esse espaço” (Freitas & de
Souza Campos, 2016).
Estrutura
A dissertação está dividida em cinco capítulos.
No capítulo I pretende-se fazer um enquadramento do cálculo, da história, das novas tecnologias,
incluindo a tecnologia móvel, em educação matemática. O cálculo, nomeadamente a necessidade de
simplificação de cálculos laboriosos, esteve na génese da idealização da generalidade das ferramentas
de uso geral e tecnologias especializadas referidas nesta dissertação, abordadas numa perspetiva
histórica e, sempre que possível, introspetiva e prospetiva. O conhecimento que se tem acerca da
História da Matemática poderá ser relevante na possibilidade da sua aplicação em sala de aula, quer
seja como uma fonte motivadora para introduzir novos conceitos, quer seja para despertar o interesse
pelo conteúdo ou para entender os obstáculos epistemológicos enfrentados pelos alunos (Silva & A.C.
de Araújo, 2001). A presença das novas tecnologias no ensino e aprendizagem da matemática,
enquanto recursos essenciais para o desenvolvimento das aprendizagens, torna-se incontornável e na
sala de aula o desafio que se estabelece para o professor é o de se apropriar delas de forma a tornar
as suas aulas interessantes e desafiadoras de modo a incutir no aluno o gosto pela matemática. O
recurso às tecnologias de informação e comunicação enquadrada e planificada com os conteúdos a
abordar e com recurso a tecnologias móveis poderá trazer aprendizagens significativas para os alunos
pela praticidade e possibilidade de suprir deficiências relacionadas a laboratórios de informática nas
escolas obsoletos e pouco equipados, assim como, permitir que o aluno possa estudar em locais
diversos que não apenas a sala de aula.
4
O capítulo 2 refere-se à utilização de algumas Ferramentas de Uso Geral, Tecnologias
Especializadas e Tecnologia Móvel usadas no ensino da matemática em Portugal desde os anos 40
do século passado.
O capítulo 3 é dedicado à evolução histórica do ábaco desde o século V a.C. até ao ábaco europeu
com referência a Napier (ossos, logaritmos e ábaco) onde foi dada maior ênfase aos ábacos romano e
japonês pelo interesse despertado aquando a investigação realizada.
O capítulo 4 pretende dar a conhecer os percursores cujos trabalhos contribuíram de forma
significativa para o aparecimento dos primeiros computadores e mostrar as diferentes fases de
evolução das calculadoras, do computador e das tecnologias de informação e comunicação, ao mesmo
tempo que se tenta estabelecer a ponte com a educação matemática, sempre que possível.
No capítulo 5 relatam-se duas experiências em sala de aula com uma tecnologia de ontem (ábaco)
e outra de hoje (programação por blocos usando um computador ou tecnologia móvel). A primeira
experiência diz respeito à priorização do uso do ábaco Europeu para a aprendizagem não consolidada
da adição dos números inteiros relativos pelo facto de ser uma fragilidade ainda apresentada por
alguns alunos do 9.º ano de escolaridade. A segunda experiência é respeitante à programação por
blocos utilizando a placa de microcontrolador – Micro:bit que pretende o desenvolvimento do
raciocínio lógico ao mesmo tempo que desperta o interesse dos alunos para a matemática.
Ao longo da dissertação são feitas referências a projetos, ferramentas, aplicações e plataformas
que poderão servir de inspiração de cenários, histórias e atividades a implementar em sala de aula.
Algumas delas utilizo atualmente como ferramenta de ensino/aprendizagem, outras nunca utilizei em
sala de aula, mas tenciono fazê-lo logo que a sua aplicação se justifique, quer pelo conteúdo
programático quer pelo interesse manifestado pelo aluno.
5
1. Enquadramento
Cálculo em Educação Matemática
A palavra cálculo provém do latim calculus (plural: calculi) e significa “pedra”. Constituindo
um derivado de calx, calcis, o próprio termo latino é um empréstimo do grego antigo khaliks, que
significava “pedra” ou ainda “pedra de cal”. Essa etimologia não explica apenas a aceção médica
atual dos “cálculos” biliares e renais, aponta também a origem comum das palavras francesas chaux
[cal] e calcaire [calcário]. “Como os gregos e os romanos ensinavam os seus filhos a contar e a
efetuar cálculos com o auxílio de pedrinhas, bolas, fichas, peões e até mesmo pedras de cal, a palavra
veio a designar qualquer uma das operações aritméticas elementares” (Ifrah, 1997, p. 191). Na
língua grega: “a expressão pséphos tithénai significa “colocar pedras” e, portanto, “fazer uma
conta”, enquanto pséphos significa ao mesmo tempo “número” e “pedra” (Ifrah, 1997, p. 192). Na
língua árabe, a palavra “haswa” quer dizer “pedra”, possui o mesmo radical que ihsâ, que significa
“ao um só tempo”, “enumeração” e “estatística” (Ifrah, 1997, p. 192).
É destas atividades com pedras, bolas, fichas, entre outros objetos concretos, e que envolvem
a exploração de situações da vida do quotidiano que nascem as representações mentais mais
primitivas dos números e das operações e é nelas que se enraíza o sentido do número. Para o seu
desenvolvimento cabe ao professor “criar condições que permitam às crianças desenvolver, elas
próprias e desde o início da escolaridade, os instrumentos que lhes permitam inventar, formalizar e
flexibilizar progressivamente métodos e técnicas de cálculo adequados à resolução dos problemas
colocados pela vida de todos os dias” (Brocado, Serrazina, & Kraemer, 2003).
Deste modo, no itinerário da investigação realizada para concretizar esta dissertação surgiram
ideias de tarefas apresentadas como meras sugestões de trabalho para a sala de aula, sem avaliação
do impacto na aprendizagem da matemática por não terem sido implementadas, aquando o
desenvolvimento desta dissertação. Todas as tarefas apresentadas assentam no desenvolvimento de
competências de cálculo mental e do desenvolvimento do sentido do número. Podem ser
implementadas nos três ciclos do ensino básico e apoiam-se no preconizado em “Princípios e Normas
para a Matemática Escolar” e em Janeiro (2007, p. 27) que descreve “13 ideias sobre o cálculo
mental”. A seguir são elencadas algumas dessas ideias, pela ordem que o autor as apresenta no artigo
da revista Educação e Matemática:
1. “O cálculo mental não deve ser encarado como uma forma de cálculo que é todo feito
mentalmente. Mais do que ser o cálculo de cabeça, deve ser entendido como o cálculo com a
cabeça.”
6
2. “O cálculo mental é simultaneamente: o oposto do cálculo algorítmico escrito, feito com papel
e lápis, aplicando o algoritmo conhecido que é usado tradicionalmente; o cálculo flexível, em
que diferentes pessoas podem, com rapidez e eficiência, utilizar estratégias diferentes.”
3. “Muito frequentemente o cálculo mental é utilizado, não para calcular o resultado exato, mas
sim para determinar a sua ordem de grandeza ou para fazer uma estimativa de um resultado.”
4. “O cálculo mental é uma competência essencial e o seu desenvolvimento deve ser um objetivo
na aprendizagem da Matemática.
• Porque tem uma importância prática no dia-a-dia;
• Porque tem um valor pessoal, individual;
• Porque tem um valor matemático;
• Porque pode ser um pré-requisito de muitas outras aprendizagens, dentro e fora da
Matemática.”
5. “Existem diversas estratégias de cálculo mental. Os alunos devem conhecê-las, compreendê-
las e aplicá-las, com alguma rapidez e eficiência. Faz, portanto, sentido que os alunos realizem
testes de cálculo mental com tempo limitado.”
6. “Ao calcular de cabeça, em pensamento, imaginando a execução do algoritmo não no papel
mas sim “no teto”, estamos a fazer um cálculo mentalmente sem que se trate verdadeiramente
de cálculo mental.”
7. “O objetivo do cálculo é resolver problemas e a competência em realizar cálculos com papel e
lápis não pode continuar a dominar o currículo de Matemática. Na era tecnológica em que
vivemos, é importante ensinar uma variedade de formas de calcular, entre as quais as que
recorrem a calculadoras e computadores. Porém, o cálculo mental é, pelo menos, tão
importante como as restantes. Para avaliar a plausibilidade dos resultados obtidos numa
calculadora e controlar erros de digitação, o cálculo mental e a estimação são essenciais e
devem merecer uma ênfase especial quando os alunos usam calculadoras.”
8. “Saber a tabuada elementar da multiplicação é, indiscutivelmente, uma componente essencial
da fluência no cálculo mental. Mas saber a tabuada não é só memorização e recitação de factos.
Assim, o professor deve ajudar e incentivar as crianças a desenvolver estratégias para aprender
a tabuada, pois isso habilita-as a compreender relações numéricas úteis e a raciocinar
matematicamente.”
7
História em Educação Matemática
Ao longo da dissertação são referidos aspetos históricos das Ferramentas de uso Geral e
Tecnologias Especializadas por se considerar que o conhecimento que se tem sobre a evolução
histórica da matemática poderá ser encarado como mais uma estratégia passível de despertar o
interesse e curiosidade dos alunos. Quando estes perguntam: Para que serve a matemática? E o
professor responde: “Para levar o Homem à Lua”. Poderá ajudar cada aluno a desenvolver o mais
possível tanto o gosto e o prazer da matemática pela matemática como a compreensão do papel que
esta tem desempenhado e continuará a desempenhar no desenvolvimento científico e tecnológico da
nossa civilização. Em História da Matemática, cadernos do GTHEM (Grupo de Trabalho sobre
História e Ensino da Matemática) da Associação de Professores de Matemática (APM), poderá ler-se
na p.17 um artigo de Fauvel (1991), “A utilização da História em Educação Matemática”, onde o
autor refere “algumas razões que têm sido apresentadas para defender o uso da história no ensino
da Matemática”
• “Ajuda a aumentar a motivação para aprender”
• “Humaniza a Matemática”
• “O desenvolvimento histórico ajuda a ordenar a apresentação dos assuntos no currículo”
• “Mostrar aos alunos como os conceitos se desenvolveram ajuda-os na sua compreensão”
• “Muda a perceção que os alunos têm da Matemática”
• “Comparar o antigo e o moderno valoriza as técnicas modernas”
• “Ajuda a desenvolver uma aproximação multicultural”
• “Proporciona oportunidades para realizar investigações”
• “Os obstáculos ao desenvolvimento no passado ajudam a explicar aquilo que os alunos de hoje
acham difícil”
• “Os alunos sentem-se melhor ao perceberem que não são os únicos a terem dificuldades”
• “Encoraja os bons alunos a ir mais longe”
“A Matemática não se reduz a ciência isolada platonicamente de tudo o resto.
É também um instrumento ao serviço do homem nos mais variados ramos da
ciência e da técnica. O professor deve sempre ter presente este facto e tentar
estabelecer, sempre que possível, as conexões da Matemática com outros
domínios do pensamento, atendendo a que muitos dos seus alunos irão ser
físicos, químicos, biólogos, geólogos, engenheiros, economistas, agrónomos ou
médicos.”
J. Sebastião e Silva, 1975
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• “Ajuda a explicar o papel da Matemática na sociedade”
• “Torna a Matemática menos assustadora”
• “Explorar a história ajuda a manter o nosso interesse e entusiasmo pela Matemática”
• “Fornece a oportunidade de realização de trabalhos inter-curriculares com outros professores
ou disciplinas”
Novas Tecnologias em Educação Matemática
De acordo com Ponte e Canavarro (1997) “Os anos 80 assistiram a um grande interesse pela
exploração do uso do computador no ensino da Matemática.” O aparecimento de computadores com
preços acessíveis ao grande público aliado ao aparecimento de ferramentas informáticas de uso geral
(ex.: folha de cálculo; programas de processamento de texto e de gráficos) levaram à sua vulgarização
na sociedade e em alguns países como França, Inglaterra e Espanha, tornou-se possível promover
projetos em grande escala com vista à utilização educativa do computador (Ponte, 1994).
Em Portugal, em 1985, surge o projeto MINERVA (Meios Informáticos Na Educação,
Racionalização, Valorização, Atualização) 4 e com ele surgem as primeiras experiências de utilização
das tecnologias no processo ensino/aprendizagem. Nesta altura os currículos não previam a utilização
das tecnologias, mas os docentes começam a considerar, por experiência, que é uma mais valia na
forma como podem abordar alguns dos conteúdos programáticos, recorrendo a outras representações
4 “Projeto do Ministério da Educação português, gerido pelo Gabinete de Estudos e Planeamento e Departamento de Programação e Gestão Financeira, que vigorou entre 1985 e 1994. O seu propósito consistia na introdução das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), nas escolas do ensino básico e secundário. O professor António Dias Figueiredo foi o seu mentor e principal proponente, tendo coordenado nacionalmente o mesmo projeto durante a sua fase piloto, entre Outubro de 1985 e Outubro de 1988. Os grandes pilares do Projeto MINERVA foram os seus pólos, sediados em instituições do ensino superior, compostos por docentes dessas instituições e por professores de diversos graus de ensino na situação de destacamento”. (Wikipédia, 2019)
“As novas tecnologias surgem como suportes do processamento de informação e
como meios de comunicação. Daí as duas designações mais correntes por que são
conhecidas:
• Novas Tecnologias de Informação (NTI)
• Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC)”
João Pedro da Ponte e Ana Paula Canavarro
9
que não as dos livros de texto e manuais escolares (Domingos, 2016, pp. 2-5). A difusão das
metodologias de ensino preconizadas com as tecnologias leva a que muitos professores de matemática
criem Laboratórios de Matemática nas suas escolas com recurso a software (algum dele, desenvolvido
pelos Pólos do Projeto MINERVA) para ensinarem conteúdos da disciplina. Exemplo: “Trinca
Espinhas”, o “Estimatempo” ou o “Funções (Domingos, 2016, pp. 2-5). Seguiram-se outros
programas com vista à introdução das tecnologias na escola, como o Nónio-Século XXI, Internet na
Escola, CRIE ou PTE. As escolas passaram a ter mais computadores, os softwares foram-se
desenvolvendo e apareceram aplicações específicas (applets) para o ensino da Matemática
(Domingos, 2016, pp. 2-5). A evolução da tecnologia tem mantido um desenvolvimento permanente
e a democratização do acesso à internet tem permitido o aparecimento de outras ferramentas
(Domingos, 2016, pp. 2-5): plataformas de ensino, applets, vídeos educativos, ambientes de
programação, ambientes exploratórios, etc.
Em 2007, com os Princípios e Normas para a Matemática Escolar, é referido na p. 11 como um
dos seis princípios para a Matemática Escolar o princípio da Tecnologia mencionando que esta “é
essencial no ensino e na aprendizagem da Matemática; influencia a Matemática que é ensinada e
melhora a aprendizagem dos alunos.”
As tecnologias de informação e comunicação são presença assídua e indispensável no nosso dia-
a-dia pois vivemos numa sociedade que está com “o mundo da informação nas mãos” através de
smartphones, tablets, computadores portáteis, entre outros, e por onde nos deslocamos há cada vez
mais locais que favorecem a sua utilização com rede wireless aberta para todos. Os alunos de hoje
não são como os de há vinte anos atrás. Hoje temos alunos “tecnológicos”, alunos que estão sempre
“conectados”, os chamados de “nativos digitais” por diversos autores. Sendo assim, como professora
sou desafiada constantemente para a implementação de práticas tecnológicas interessantes e
inovadoras passíveis de prender os alunos na aprendizagem da matemática. No entanto, até ao
momento desta dissertação ainda não me tinha apropriado de práticas inovadoras como desejaria por
sentir que me faltava o conhecimento dado pela frequência de formação e o incentivo para que tal
acontecesse. Este sentimento que considerava só meu não o é, pois de acordo com (OCDE, 2010, pp.
14-15)5, há uma qualidade substancial de literatura que aponta razões pelas quais a maioria dos
professores é ainda incapaz de encontrar formas de usar a tecnologia para promover mudanças
pedagógicas. Para o justificar, a OCDE (Organização para a Cooperação e Desenvolvimento
Económico) aponta três razões: Base do conhecimento, Formação Docente e Incentivos. Debruçando-
5 Publicação da Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Económico (OCDE) – Inspirados pela tecnologia, norteados pela pedagogia. Uma abordagem sistêmica das inovações educacionais de base tecnológica.
10
me em pesquisas científicas de vários autores sobre o uso de tecnologias em contexto escolar deparei-
me com inúmeras publicações desde artigos de revistas de educação, teses de mestrado, teses de
doutoramento, livros, publicações na internet a estudos apresentados por várias
entidades/organizações nacionais e internacionais: as publicações da OCDE, PISA (Programme for
International Student Assessment) 6, CNE (Conselho Nacional de Educação) e DGE (Direção Geral
da Educação). No relatório “Estado da Educação 2018”, edição 2019, do CNE, encontra-se uma
seção dirigida às tecnologias nas escolas: “As Tecnologias nas Escolas: (requerem) novas
ferramentas, novos espaços e novas dinâmicas” de Pedro e Matos (Estado da Educação 2018, 2019),
em que são detalhados pelos autores seis princípios de ação no setor das tecnologias nas escolas.
O primeiro princípio de ação – “O assegurar de escolas tecnologicamente equipadas” - refere-
se à necessidade de as escolas estarem tecnologicamente bem equipadas em qualidade e quantidade.
O segundo princípio de ação - “Um corpo docente capacitado (numa perspetiva longitudinal de
desenvolvimento, profissional e profissionalidade docente)” - os professores têm de construir uma
visão informada, dinâmica e reflexiva das oportunidades de aprendizagem que devem proporcionar
aos seus alunos.
O terceiro princípio de ação – “A quadratura tecnologia-espaço-metodologia-avaliação”
- “Num quadro pedagógico em que os métodos ativos são cada vez mais trazidos como relevantes, é
importante considerar tanto professores como alunos na edificação de novos espaços e no elencar
das múltiplas oportunidades oferecidas pelo edificar de novos layouts para a sala de aula e mesmo
de novas conceções de sala de aula”.
Quarto princípio de ação – “Lideranças escolares digitalmente proficientes e tecnologicamente
orientadas” - Os diretores escolares devem apresentar os desejados níveis de proficiência digital para
“perspetivar o valor educativo que as tecnologias e os ambientes digitais podem trazer ao processo
de ensino-aprendizagem bem como à gestão, comunicação e colaboração no seio escolar e
extraescolar”.
Quinto princípio de ação – “Tecnologias como currículo, não somente ao serviço do currículo”
– “É, neste quadro, que o conceito de ‘tecnologia móvel’ entra nos meios escolares e na investigação
em educação, associando a mobilidade das pessoas à portabilidade das tecnologias digitais. E tal
6 “O PISA é o Programa de Avaliação Internacional de Estudantes da OCDE. O PISA mede a capacidade de crianças de 15 anos de usar seus conhecimentos e habilidades de leitura, Matemática e ciências para enfrentar os desafios da vida real.”. (OECD, 2020)
11
como aconteceu no passado com os livros (também eles, então, artefactos de grande portabilidade),
as tecnologias digitais foram sendo equacionadas na educação como instrumentos ao serviço do
currículo escolar. Contudo, se momentos históricos houve onde as TIC poderiam ser advogadas
como devendo estar transversalmente ao serviço do currículo, tais momentos expiraram há muito.
Hoje o saber atuar com e sobre as tecnologias, o deter competência digital, é em si um saber a
adquirir e que precisa ter espaço específico no currículo, sendo isso preconizado por múltiplos
currículos internacionais, pelas competências-chave elencadas pela União Europeia (Comissão
Europeia, 2018b) e pelo Perfil do aluno nacionalmente em vigor (Martins, 2017).”
Princípio de ação 6: “Tecnologia como linguagem da Ciência e da Sociedade” – “Se atualmente
as tecnologias digitais constituem quer um veículo quer um constituinte da comunicação no coletivo
social, na área da ciência estas têm vindo a possibilitar esbater fronteiras e criar dimensões inter e
transdisciplinares, nomeadamente entre áreas tradicionalmente entrincheiradas, como sejam a
Matemática, a engenharia e as artes.”
A acrescentar aos princípios preconizados no relatório do CNE temos ainda o “O Perfil dos
Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória” homologado pelo despacho n.º 6478/2017, 26 de julho
(DGE, 2017). Afirma-se como referencial para as decisões a adotar por decisores e atores educativos
ao nível dos estabelecimentos de educação e ensino e dos organismos responsáveis pelas políticas
educativas. Constitui uma matriz comum para todas as escolas e ofertas educativas no âmbito da
escolaridade obrigatória, designadamente ao nível curricular, no planeamento, na realização e na
avaliação interna e externa do ensino e da aprendizagem. A Figura 1 é um esquema concetual do
Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória. As áreas de competência apresentadas são
complementares. Nenhuma delas corresponde a uma área curricular específica. Em cada área
curricular estão “[envolvidas múltiplas competências, teóricas e práticas. Pressupõem o
desenvolvimento de literacias múltiplas, tais como a leitura e a escrita, a numeracia e a utilização
das tecnologias de informação e comunicação, que são alicerces para aprender e continuar a
aprender ao longo da vida.]” (DGE, 2017, p. 20).
12
“[As competências na área de Saber científico, técnico e tecnológico dizem respeito à
mobilização da compreensão de fenómenos científicos e técnicos e da sua aplicação para dar
resposta aos desejos e necessidades humanos, com consciência das consequências éticas, sociais,
económicas e ecológicas. As competências associadas ao Saber científico, técnico e tecnológico
implicam que os alunos sejam capazes de:
• compreender processos e fenómenos científicos que permitam a tomada de decisão e a
participação em fóruns de cidadania;
• manipular e manusear materiais e instrumentos diversificados para controlar, utilizar,
transformar, imaginar e criar produtos e sistemas;
• executar operações técnicas, segundo uma metodologia de trabalho adequada, para atingir
um objetivo ou chegar a uma decisão ou conclusão fundamentada, adequando os meios
materiais e técnicos à ideia ou intenção expressa;
• adequar a ação de transformação e criação de produtos aos diferentes contextos naturais,
tecnológicos e socioculturais, em atividades experimentais, projetos e aplicações práticas
desenvolvidos em ambientes físicos e digitais.]” (DGE, 2017, p. 29)
O desenvolvimento e a massificação das tecnologias abriram caminho a novos empregos nas áreas
STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics) (Santos, Correia, & Carmo, 2019). De
acordo com indicadores da União Europeia a taxa de emprego em profissões STEM deverá aumentar
significativamente até 2025, tornando-se necessário a captação de indivíduos nessas áreas. Deste
modo a escola desempenha um papel importante no que diz respeito à criação de condições que
Figura 1 - Esquema concetual do Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória (DGE, 2017, p. 11)
13
estimulem os jovens a seguir estas áreas. Diversos autores têm destacado a integração da programação
e da robótica em sala de aula com o objetivo de promover as aprendizagens nas áreas STEM, desde
o pré-escolar. Segundo (Santos, Correia, & Carmo, 2019) “para além das vantagens da robótica na
promoção de competências de lógica, de resolução de problemas, de pensamento crítico, da
criatividade, da interdisciplinaridade e do interesse dos alunos, esta permite a articulação com as
Artes e com a aprendizagem da língua.”
Transversalmente ao já exposto, segundo Lagarto & Marques (2015) foram já realizados
vários trabalhos de investigação que procuram perceber se há ou não impacto positivo nas tecnologias
de informação e comunicação nas aprendizagens dos alunos. A literatura sustenta que existe um maior
envolvimento e motivação dos alunos e docentes quando se utiliza as TIC havendo uma “tendência
positiva, mas não absoluta” na aprendizagem significativa através delas. No entanto, estão em maioria
o número de estudos que mostram nitidamente que “as TIC, integradas na educação, favorecem as
aprendizagens, para além do desenvolvimento de competências que ultrapassam as cognitivas, sendo
consideradas como uma das oportunidades chave para melhorar e inovar a educação e a
aprendizagem”.
Tecnologia Móvel: m-learning em Educação
Freitas & de Souza (2016) definem o Mobile Learning ou m-learning como “o conceito que
representa a aprendizagem entregue ou suportada por meio de dispositivos de mão, tais como PDAs
(Personal Digital Assistant), smartphones, iPods, tablets e outros pequenos dispositivos digitais que
carregam ou manipulam informações”. Esta modalidade de aprendizagem preconiza um avanço nos
modelos pedagógicos, descentrados na atuação do professor, para processos de aprendizagem em que
“sob a orientação dos docentes, os alunos sejam corresponsáveis pela compreensão da realidade
que os cerca e pela elaboração de conhecimento”. Deste modo consegue-se perceber o potencial das
tecnologias móveis como complemento das práticas de aprendizagem “permitindo a ampliação do
espaço educacional para a sociedade como um todo”.
Segundo Batista (2012) “m - learning é uma área, ainda emergente e em rápida expansão, de
pesquisa e prática educacional em instituições de ensino e em locais de trabalho e, também, no
âmbito na educação informal”.
14
Segundo Freitas & de Souza (2016), citando os autores Cobcroft, Towers, Smith e Bruns (2006),
“as instituições de ensino devem reavaliar constantemente as suas escolhas pedagógicas, devido ao
avanço tecnológico, à facilidade de acesso a novas ferramentas e ainda, à mudança de perfil dos
aprendizes, que possuem uma fluência cada vez maior em ferramentas digitais. Percebe-se mesmo
uma contradição na adoção dos recursos digitais nas escolas, uma vez que, apesar de os estudantes
possuírem o hábito de utilizar uma série de ferramentas digitais, são impedidos, em grande parte, de
utilizá-las dentro das escolas.” Hoje em dia o smartphone não serve unicamente o propósito de
realizar ligações telefónicas, ele inclui cada vez mais novas funcionalidades e caraterísticas
multifuncionais “convergindo para si as inovações das indústrias de microchips, da informática, do
audiovisual, da comunicação via satélite”. Essas inovações possibilitaram a consolidação de muitas
ferramentas permitindo novas formas de interação com conteúdos, pessoas e ambientes. Pelas
ferramentas associadas a um smartphone e pela sua rápida disseminação, este tem-se mostrado como
o dispositivo mais favorável à utilização do Mobile Learning.
Freitas & de Souza (2016) citando Sharples, Taylor e Vavoula (2005) indicam uma lista das
descobertas realizadas por pesquisadores do projeto MOBIlearn European7, que serve de base para o
desenvolvimento de novos métodos para o Mobile Learning. Nomeadamente:
“(a) é o aprendiz que é móvel, e não a tecnologia;
(b) a aprendizagem está entrelaçada com outras atividades como parte do dia-a-dia;
(c) aprender pode gerar tanto quanto satisfazer metas;
(d) o controle e gestão da aprendizagem pode ser distribuída;
(e) o contexto é construído pelos aprendizes por meio das interações;
(f) o mobile learning pode tanto complementar como conflitar com a educação formal;
(g) o mobile learning traz à tona profundas questões éticas sobre privacidade e propriedade.”
Batista (2012) refere que “ignorar as possibilidades que as tecnologias móveis podem
oferecer, em termos educacionais, seria como tentar manter a educação fora do contexto atual de
mudanças”.
7 Em julho de 2002, foi lançado o projeto MOBIlearn, sob a liderança de países europeus, mas incluindo países de outros continentes, como Estados Unidos e Austrália. O referido projeto visava estudar requisitos para o desenvolvimento de ambientes para dispositivos móveis, tendo em vista atender às necessidades dos estudantes. O MOBIlearn foi, oficialmente, concluído em 2005.
15
2. Ensino da matemática em Portugal e a tecnologia
Em Portugal, os anos 40 e 50, do século passado, foram marcados pela memorização e
mecanização na disciplina de matemática (Ponte, 2002). Era necessário que o aluno soubesse de cor
demonstrações de teoremas geométricos e praticasse listas infindáveis de exercícios, por exemplo, os
dos livros de Palma Fernandes, que, de acordo com Tavares (Problemas e Teoremas, 2008) “São
livros de exercícios resolvidos e por resolver, todos com respostas. Com mais de 200 páginas cada,
para todos os sete anos do antigo liceu, quem os resolvesse a todos teria uma prática acumulada que
superava os 10 000, incluindo os chamados Pontos de Revisão nos três anos com exame: 2.º, 5.º e
7.º. Não substituíam os livros de Matemática normais, todos eles igualmente com muitos problemas
e exercícios, mas complementavam-nos.” A Figura 2 apresenta um dos livros de exercícios de Palma
Fernandes de Álgebra e Geometria para o 5.º ano8 dos liceus.
Os resultados deste ensino mecanicista não eram brilhantes. Segundo (Ponte, 2002) existem
disso vários testemunhos. Por exemplo Maria Teodora Alves (1947), publicou na Gazeta de
Matemática um estudo sobre a competência em cálculo numérico dos alunos do 2º ano do liceu (atual
6º ano de escolaridade) onde a autora conclui que os alunos revelam “graves deficiências” na técnica
de cálculo. Em 1958, publicado nos Cadernos de Psicologia e Pedagogia, verifica-se que a disciplina
de matemática é a que apresenta o maior número de notas negativas. “Ainda nos anos 40, num
pequeno artigo de opinião, em que analisa o desempenho dos candidatos às provas de admissão à
universidade, Bento Jesus Caraça (1943) afirma que muitos deles manifestam “certos hábitos e
vícios de raciocínio (...) altamente perniciosos”, destacando erros persistentes em questões de
matemática elementar como operações aritméticas e cálculo de áreas e volumes.” (Ponte, 2002)
8 Atual 9.º ano de escolaridade do terceiro ciclo do ensino básico.
Figura 2 - livro de Palma Fernandes: exercícios de álgebra e geometria (5.º ano dos liceus) (Problemas e Teoremas, 2008)
16
Sublinha-se os anos 60 pelo movimento internacional da Matemática Moderna que, segundo
Ponte (2002), Portugal foi um dos participantes com a iniciativa nos liceus da responsabilidade de
José Sebastião e Silva (1914-1972) “[… que redigiu manuais para os alunos e livros para o professor,
do que seriam hoje os 10º e 11º anos de escolaridade, contemplando novas matérias que se
pretendiam introduzir (Iniciação à Lógica, Estruturas Algébricas, Álgebra Linear, Probabilidades e
Estatística...) e articulando-as com as matérias tradicionais (Iniciação à Análise Infinitesimal,
Trigonometria, Cálculo Algébrico, Geometria Analítica)]” para além de revelar ainda uma
significativa preocupação com a renovação dos métodos de ensino, criticando o método expositivo
tradicional, referindo que:
“A modernização do ensino da Matemática terá de ser feita não só quanto a programas, mas
também quanto a métodos de ensino. O professor deve abandonar, tanto quanto possível, o método
expositivo tradicional, em que o papel dos alunos é quase cem por cento passivo, e procurar, pelo
contrário, seguir o método ativo, estabelecendo diálogo com os alunos e estimulando a imaginação
destes, de modo a conduzi-los, sempre que possível, à redescoberta”. (Ponte, 2002)
No início dos anos 70 foram introduzidos em todos os níveis de ensino novos programas no
âmbito do espírito preconizado pela Matemática Moderna em que José Sebastião e Silva já não
participou e que segundo Ponte (2002), “Nesta generalização salientou-se o que era abstrato e
formal, sem perder de vista o cálculo. Tudo o que remetia para o desenvolvimento da intuição, base
da compreensão das ideias matemáticas, foi deixado para segundo plano. Os maus resultados dos
alunos continuavam, bem como a insatisfação dos matemáticos.”
Associada à reorganização dos planos curriculares, em consequência da reforma introduzida
pela Lei de Bases do Sistema Educativo de 1986, o Ministério da Educação empreendeu, no final dos
anos 80, uma reformulação geral dos programas da responsabilidade de equipas por si nomeadas e
que, segundo Ponte (2002, p. 9) “eram maioritariamente formadas por professores ligados às
orientações do período anterior (Matemática Moderna)”. Estas equipas permitiram admitir “nos
programas o uso das novas tecnologias quando possível e necessário” (Ponte, 2002, p. 9). Os estudos
realizados para avaliação destes novos programas orientaram-se na sua maioria para “os processos
de implementação e para a reação dos professores e não para os resultados dos alunos”. A avaliação
das aprendizagens foi, na sua generalidade, “feita de forma indireta” com vários estudos
internacionais indicando a existência de deficiências significativas no âmbito das aprendizagens dos
alunos (Ponte, 2002, p. 9).
Em 1990 (1.º ciclo) e 1991 foram introduzidos os novos programas de Matemática do ensino
básico (2º e 3º ciclos) e do ensino secundário redigidos pela mesma equipa que elaborou os programas
17
da disciplina para os 2.º e 3.º ciclos, “justificando esta opção com a procura de unidade e coerência
do conjunto da programação, que se concretizou através da homogeneidade formal dos textos
programáticos e da subordinação ao mesmo corpo de princípios pedagógicos” (Canavarro, et al.,
2019). No respeitante aos recursos a implementar com estes novos programas destaca-se: ao nível do
2.º ciclo, a manipulação de materiais variados (objetos de uso corrente, modelos de sólidos
geométricos, Geoplano, puzzles, …) e quando possível, programas para o computador. É também
assumido que a calculadora “será então usada não só como instrumento de cálculo, mas também
para experimentação e pesquisa”, não deixando de “considerar-se indispensável que os alunos
efetuem cálculos com papel e lápis” (Canavarro, et al., 2019). No 3.º ciclo o programa recomenda
diversos recursos, com a justificação de “um programa que se pretende ligado à experiência e
intuição pressupõe a possibilidade de largo uso de materiais diversificados”. As calculadoras são
consideradas como “instrumentos fundamentais para o desenvolvimento de aptidões ligadas ao
cálculo” e “A sua utilização faz parte integrante deste programa”. O computador, cujo uso se
recomenda “sempre que oportuno e possível”, é visto como uma ferramenta com potencialidades para
recuperação e desenvolvimento, nomeadamente para realizar atividades de exploração e de pesquisa
(Canavarro, et al., 2019). Em 1991 o ensino secundário passou a ser considerado uma “sequência
curricular de três anos” (10º, 11º e 12º anos), de frequência não obrigatória e a calculadora, em
particular a científica, é considerada de uso obrigatório, sendo destacado que esta, para além de servir
o cálculo, deve constituir-se como meio incentivador do espírito de pesquisa. É também aconselhado
o uso do computador, nomeadamente pelas suas potencialidades ao nível da “representação gráfica
de funções e simulação” (Canavarro, et al., 2019). O Ajustamento do Programa de Matemática do
ensino secundário foi elaborado em 1995 na sequência de uma discussão, em que pela primeira vez,
participaram intensamente professores de todos os níveis de ensino assim como professores de outras
disciplinas, nomeadamente professores de Físico-Química do Ensino Secundário e professores de
Engenharia do Ensino Superior. O programa ajustado começou a ser aplicado em 1997/1998 no 10º
ano, 1998/1999 no 11º ano e 1999/2000 no 12ºano e foi aplicado pela última vez em 2002/2003 no
10ºano e deste modo surge um programa que “dá continuidade à tradição de privilegiar a iniciação
à Análise Infinitesimal, sem esquecer o Cálculo Algébrico e a Trigonometria, e reserva um lugar
significativo à Geometria, à Estatística e às Probabilidades. O seu aspeto mais inovador é a ênfase
no uso das calculadoras gráficas”, (Ponte, 2002) sublinhando que o uso destas calculadoras deve
prestar apoio ao desenvolvimento do espírito de pesquisa dos alunos descrevendo algumas atividades
matemáticas que devem ser explorados com elas. Relativamente ao uso de computadores, o programa
sugere que a sua utilização deverá considerar-se obrigatória, seja em contexto de salas devidamente
equipadas, seja em sala de aula normal com o recurso a um datashow (projetor) para demonstração.
18
Um novo movimento de renovação curricular do ensino básico iniciou-se em 1996/1997 com
o Projeto de Reflexão Participada sobre os Currículos do Ensino Básico, lançado pelo Ministério da
Educação, na tentativa de responder “à dificuldade em promover o cumprimento de uma escolaridade
obrigatória de nove anos bem-sucedida”. No seguimento, foram introduzidas medidas de combate à
exclusão no âmbito do Ensino Básico e foi criado o Projeto de Gestão Flexível do Currículo
culminando com a publicação, no início do ano letivo de 2001/2002, do Currículo Nacional do Ensino
Básico: Competências essenciais. (Ponte, 2002). Este currículo “contempla o desenvolvimento de
competências matemáticas através de experiências de aprendizagem com recurso a materiais
manipuláveis e às tecnologias. Atribui ao professor o papel de construtor do currículo, deixando
para trás o conceito de professor como aplicador ou executor de orientações curriculares.” (Borralho
& Neutel, 2011). No contexto dos números e operações refere-se sobretudo o uso da calculadora
(desde as simples às gráficas) e de materiais manipuláveis como os cubos de encaixar, o Material
Multibásico ou o ábaco, usados como “um meio e não um fim”. Para além da valorização da
calculadora como tecnologia é ainda salientado o uso do “computador associado a programas de
apoios ao trabalho com diferentes domínios da Matemática e ainda para utilizar as potencialidades
educativas da Internet” (referida pela primeira vez esta possibilidade) (Canavarro, et al., 2019). A
opção do uso da calculadora foi criticada tanto ao nível da opinião pública como ao nível, por
exemplo, da Comissão para a Promoção do Estudo da Matemática e das Ciências que, em 2003,
recomendou a limitação do seu uso em todos os níveis de ensino (Brocardo, Delgado, Mendes, Rocha,
& Serrazina, 2006).
Em setembro de 2003 entra em vigor o novo programa de Matemática A para o Ensino
Secundário e em setembro de 2004 entram em vigor os programas das disciplinas de Matemática B e
Matemática Aplicada às Ciências Sociais (MACS) em que é reforçado o papel da tecnologia.
Nomeadamente, as calculadoras gráficas, entendidas não só como “instrumentos de cálculo mas
também como meios incentivadores do espírito de pesquisa”, continuam de uso obrigatório, assim
como o computador, introduzindo-se duas novidades: “a recomendação de uso de sensores para a
recolha de dados acoplados a calculadoras gráficas ou computadores, nomeadamente para apoiar
a realização de modelação, e a recomendação do uso da Internet, que entretanto ficou disponível
nas escolas, sendo sublinhado o seu papel relativo à comunicação com comunidades e projetos que
favoreçam a criação de uma boa imagem da Matemática”. (Canavarro, et al., 2019).
Em 2007 devido à necessidade de articulação entre os programas dos três ciclos do ensino
básico procedeu-se a um reajustamento dos programas existentes e deste modo à publicação do
Programa de Matemática do Ensino Básico em 2008/2009 (PMEB2007). Embora tratando-se de um
reajustamento houve mudanças significativas e introdução de novos aspetos tais como as finalidades
19
e objetivos gerais para o ensino da matemática, capacidades transversais a toda a aprendizagem
(resolução de problemas, raciocínio matemático e a comunicação matemática) e gestão dos temas
matemáticos por ciclo (Ponte, et al., 2007). No que respeita aos recursos, o programa refere a
importância da utilização de materiais manipuláveis na aprendizagem de diversos conceitos,
principalmente no 1.º Ciclo e recomenda o uso de calculadoras e computadores, alertando que “não
devem ser usados para a realização de cálculos imediatos ou em substituição de cálculo mental”
(Canavarro, et al., 2019). Este programa terminou a sua aplicação em 2013/2014 altura em que
começou a ser substituído pelo Novo Programa de Matemática do Ensino Básico (PMEB2013).
A implementação do PMEB2013 “visava melhorar a qualidade do ensino e da aprendizagem,
através de uma cultura de rigor e de excelência desde o Ensino Básico” (Bivar, Grosso, Oliveira, &
Timóteo, 2013) e surge na sequência de uma revisão da estrutura curricular nos ensinos básico e
secundário e da consequente alteração do programa curricular para matemática ao nível do ensino
básico, nos dois ciclos de ensino, em paralelo ao programa curricular em que é dado a conhecer um
conjunto de metas curriculares. Tratava-se de elencar as aprendizagens que se consideram essenciais
desenvolver no âmbito de cada nível, esclarecendo-se, também, desempenhos distintos para um
mesmo tópico (Bivar, Grosso, Oliveira, & Timóteo, 2013). O documento Programa e Metas
Curriculares de Matemática A, Ensino Secundário surge na sequência da mudança curricular que se
verificou no Ensino Básico, com a publicação das Metas Curriculares para a Matemática no Ensino
Básico. Estes dois programas não foram amplamente aceites por professores de matemática e
associações de matemática pelo facto de se considerar que ambos evidenciavam dificuldades de
implementação e execução pela sua extensão, excesso de formalismo, desadequação de grande parte
dos seus conteúdos às faixas etárias e aos ciclos de ensino a que se destinam e pela importância dada
à memorização pondo quase de parte a utilização da calculadora. De realçar que no Ensino Secundário
o programa reportava-se em exclusivo à tecnologia, mas em termos bastante cautelosos, considerando
para o 10.º e 11.º anos que esta “pode condicionar e comprometer gravemente a aprendizagem e a
avaliação” da Matemática. Assim, permite que a tecnologia seja usada com critérios, em
determinadas situações muito específicas, sem que fique comprometido o domínio manual dos
procedimentos algébricos ou a produção de representações gráficas, que o programa considera
elementares, justificando que “apenas a memorização e a compreensão cumulativa de conceitos,
técnicas e relações matemáticas permitem alcançar conhecimentos progressivamente mais
complexos e resolver problemas progressivamente mais exigentes.” Apenas no 12.º ano é
recomendado a utilização da calculadora gráfica de forma explícita, mantendo-se o registo de cautela
o que representa uma regressão relativamente ao uso deste instrumento: (...) “considera-se que no
Ensino Secundário a tecnologia, e mais especificamente a calculadora gráfica, deve ser utilizada em
sala de aula e consequentemente em certos instrumentos de avaliação (na resolução de problemas
20
requerendo cálculos de valores aproximados de soluções de determinado tipo de equações ou de
funções envolvendo, por exemplo, razões trigonométricas, logaritmos, ou exponenciais) mas que se
deve evitar a sua utilização em outras provas de avaliação em que os conteúdos e capacidades
envolvidas claramente o não justifiquem ou mesmo o desaconselhem”. (Canavarro, et al., 2019). Em
agosto de 2016, foram publicadas orientações de Gestão Curricular para o Programa e Metas
Curriculares de Matemática A, abrangendo os três anos de escolaridade do Ensino Secundário que
retomam a referência à tecnologia, ampliando as referências, ainda que com limitações, a software de
geometria dinâmica, mas continuando na lógica preferencial de ilustração: “Os programas de
geometria dinâmica constituem recursos preciosos para as aulas, nomeadamente para a
identificação de numerosas situações que ilustrem relações a analisar posteriormente de forma mais
criteriosa”. Relativamente à calculadora gráfica, esclarecem as dúvidas causadas no Programa e
Metas Curriculares quanto à sua utilização, afirmando que “deve entender-se que é obrigatório que
os alunos do ensino secundário, em particular, saibam utilizar uma calculadora gráfica”, embora
tenha permanecido a indefinição sobre o trabalho a realizar com ela na aula. (Canavarro, et al., 2019)
Em 2018, na sequência da publicação do Perfil dos Alunos à Saída do Ensino Obrigatório, o
Ministério da Educação publica novos documentos curriculares, as Aprendizagens Essenciais
dirigidas a diversas disciplinas, incluindo a disciplina de Matemática do ensino básico e a Matemática
A do Ensino Secundário, que entraram em vigor em 2018/2019. Estas aprendizagens em consonância
com o Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória preconizam a implementação de
metodologias de ensino-aprendizagem diversificadas assim como o recurso às tecnologias de modo
a que todos os alunos desenvolvam as competências necessárias para uma cidadania integral. Deste
modo, todos os professores deverão a (re)pensar as suas práticas de modo a concretizarem práticas
pedagógicas inclusivas, darem respostas educativas adequadas ao contexto e às necessidades de todos
e de cada aluno adequando a ação de transformação e criação de produtos aos diferentes contextos
naturais, tecnológicos e socioculturais, em atividades experimentais, projetos e aplicações práticas
desenvolvidos em ambientes físicos e digitais, organizando o ensino, prevendo a utilização crítica de
fontes de informação diversas e das tecnologias da informação e comunicação (DGE, 2017). Para
isso cada escola, de acordo com o seu projeto educativo e tendo em conta as características das turmas
e dos alunos, estabelece prioridades na gestão do currículo tornando-se as escolas e os professores os
autores das soluções mais adequadas a contextos que são necessariamente diferentes, nomeadamente
quanto aos recursos a mobilizar ou a criar (Ferreira N. , 2019).
21
O Ábaco
De acordo com Reis (2012), em Portugal, no programa curricular da disciplina de matemática,
em 1919, era recomendado no âmbito dos materiais manipuláveis, o uso de materiais para contagem
tais como botões, pedrinhas ou feijões. Quarenta anos seguiram-se e poucas ou nenhumas inovações
ocorreram em termos de materiais usados para auxiliar o cálculo. Com o aparecimento do Movimento
da Matemática moderna, nos anos 60, houve mudanças nos métodos e materiais utilizados dando-se
prioridade ao ensino por descoberta em que as escolas recorriam cada vez mais ao uso de materiais
manipuláveis, tais como os Dons de Froebel (Figura 3), o Material Cuisenaire (Figura 4), o Material
Multibásico de Dienes (Figura 5), o ábaco (Figura 6) ou o Calculador Multibásico (Figura 7), “como
forma de auxiliar contagens e/ou para efetuar cálculos simples” (Reis, 2012).
Figura 7 - Calculador Multibásico (http://www.apm.pt/pic/_TB020018_G_4649cc2dd69f2.jpg)
Figura 3 - Dons de Froebel (Reis, 2012) Figura 4 - Material Cuisenaire (Reis, 2012)
Figura 6 - ábaco aberto (https://produto.mercadolivre.com.br/) Figura 5 - Material Multibásico de Dienes (fotografia tirada pela autora)
22
2.1.1. O Calculador Multibásico
João António Nabais (1915 – 1990) foi padre e professor em Évora e Elvas tendo concluído, em
1948, o curso superior de Pedagogia e Psicologia Aplicada à Educação na Universidade Católica de
Lovaina, Bélgica. Em 1953 dedicou-se ao ensino e à investigação psicopedagógica. De modo a
aumentar a capacidade de resposta do Gabinete de Psicologia Aplicada à Educação, por si criado,
fundou, em 4 de outubro de 1959, o Colégio Vasco da Gama, em Meleças, Sintra. Para além de ter
aplicado no colégio as metodologias da moderna pedagogia, implementou um ensino personalizado,
centrado no estudante e apoiado em novas tecnologias e materiais, que respondesse às dificuldades
de aprendizagem de cada aluno. O colégio tornou-se uma instituição educacional pioneira no domínio
da inovação tecnológica e utilização das novas tecnologias da educação (Candeias, Revista
Quadrante, 2008). Dos materiais que construiu para o ensino/aprendizagem da Matemática destaco o
Calculador Multibásico já referido anteriormente pelo facto de, segundo (Candeias & Monteiro,
Educação e Matemática - APM, 2016) “o ábaco parece estar na origem do seu desenvolvimento”
uma vez que segundo Candeias (2008), citando Nabais, “o material não é um simples ábaco embora
permita realizar, com vantagem, todas as operações e manipulações dos ábacos tradicionais”. É
constituído por três placas, com cinco orifícios cada uma e 50 elementos em seis cores diferentes: 10
amarelas, 13 verdes, 13 encarnadas, 10 azuis, 2 cor de rosa e 2 cor de lilás. Estes 50 elementos
encaixam uns nos outros e nos orifícios das placas (Figura 8).
Em 1966 é experimentado no ensino primário, no Colégio Vasco da Gama, o Calculador
Multibásico. Em 1967, a experiência desenvolvida por Nabais desperta o interesse da imprensa e na
revista Notícia de 29 de julho, é publicado um artigo sobre o desenvolvimento do ensino da
Figura 8 - Calculador Multibásico (https://www.lapiscompanhia.com/calculador-multibasico)
“Quanto mais bem apetrechado fôr o arsenal da experiência pessoal da criança,
mais rica e segura será a sua abstracção. Para voar é preciso ter asas e ter onde
firmar-se para levantar vôo.”
J.A. Nabais (À descoberta da Matemática com o Calculador Multibásico, coleção “Constrói a
tua Matemática”)
23
Matemática no Colégio Vasco da Gama e o desenvolvimento e utilização de materiais didáticos no
ensino desta disciplina no Colégio. Neste artigo é destacado o caráter inovador da experiência
desenvolvida por Nabais, no contexto da Matemática Moderna, e o contributo português para o
desenvolvimento da pedagogia e do ensino da Matemática (Candeias, 2008).
Na Figura 9 pode ler-se: “Num colégio
dos arredores de Lisboa está a efetuar-se
uma verdadeira renovação no ensino da
Matemática infantil, adaptando os
métodos mais recentes da Matemática
moderna às nossas circunstâncias, um
professor, o padre Dr. João A. Nabais,
consegue uma das experiências mais
maravilhosas que no campo da instrução
se tem realizado em Portugal, e cujas
consequências, de tão vastas, nos
ultrapassam.”
Com o Calculador Multibásico muitas são as competências que o professor pode desenvolver
nos seus alunos. Nomeadamente, ordens e classes de números; sistema de numeração (base 10 ou
outras bases); Contagem; Ordenação; Operações aritméticas, entre outras. Os princípios deste são
muito parecidos com o ábaco aberto que a seguir se apresenta.
Figura 9 - Primeira página do artigo publicado na revista Notícia (29/07/1967) sobre o ensino da matemática no Colégio Vasco da Gama (Candeias, 2008)
24
2.1.2. O ábaco aberto
O ábaco aberto está ilustrado na Figura 5 e é o modelo de ábaco utilizado no ensino da
matemática em Portugal a alunos do 1.º ciclo. Percorrendo os vários manuais de ensino em vigor para
o 1.º ciclo deparamo-nos com atividades em todos os anos de ensino com recurso a este ábaco. No
entanto no 4.º ano devido aos conteúdos abordados o recurso a este é menos acentuado do que nos
restantes anos de escolaridade. A seguir apresenta-se um exemplo da utilização do ábaco no processo
ensino/aprendizagem por ano de escolaridade, retirados da Escola Virtual da Porto Editora do 1.º ao
4.º ano de escolaridade.
1.º ano: Números e Operações – leitura de números e sua representação no sistema decimal
até 100 e identificar o valor posicional de um número (Figura 10). (Mota, et al., 2020, p. 90)
2.º ano: Números e Operações – leitura de números e sua representação no sistema decimal
até 100 e identificar o valor posicional de um número (Figura 11). (Mota, et al., 2020, p. 91)
Figura 10 - exercício com recurso ao ábaco aberto – 1.º ano (Mota, et al., 2020, p. 90)
Figura 11 - exercício com recurso ao ábaco aberto – 2.º ano (Mota, et al., 2020, p. 91)
25
3.º ano: Números e Operações – adição e subtração – algoritmo da subtração ( Figura 12).
(Lima, Barrigão, Santos, & Pedroso, 2020, p. 46)
4.º ano: Números e Operações – Leitura e representação de números no sistema de numeração
decimal até ao milhão, identificar o valor posicional de um algarismo e relacionar os valores das
diferentes ordens e classes (Figura 13). (Lima, Barrigão, Pedroso, & da Rocha, 2020, p. 14)
Figura 12 - exercício com recurso ao ábaco aberto – 3.º ano (Lima, Barrigão, Santos, & Pedroso, 2020, p. 46).
Figura 13 - exercício com recurso ao ábaco aberto – 4.º ano - (Lima, Barrigão, Pedroso, & da Rocha, 2020, p. 14)
26
Tábuas de logaritmos
Em março de 1911, João Barros e João de Deus Ramos elaboraram a primeira reforma do
ensino da primeira república, chamada de reforma de 1911, cujo objetivo era o de diminuir o
analfabetismo e valorizar a formação intelectual, física e moral do indivíduo. Para isso promulgou-se
um ensino obrigatório e gratuito entre os 7 e os 10 anos de idade. No que concerne ao Ensino
Secundário, a primeira medida surge em 1914 com a apresentação de 20 instruções para o ensino em
classe referentes aos métodos e processos de ensino que os professores teriam de utilizar. Das
instruções definidas pela Portaria nº 230 de 21 de setembro de 1914 há a salientar a número 15,
instruções para o ensino em classe, representada pela Figura 14, devido à valorização dada às tábuas
de logaritmos como indispensável para a nítida compreensão da matéria. (Ministério, 1914)
Em 1942, altura em que a matemática assentava num ensino expositivo que visava
essencialmente a memorização de regras e factos, José Sebastião e Silva escreve um artigo na revista
Gazeta de Matemática da Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM) intitulado “Pedagogia Porquê?
…” (Silva & de Jesus Caraça, 1942) onde contraria e questiona aspetos ligados ao ensino da
matemática da altura tais como a possibilidade da construção de uma tabela de logaritmos pelos
alunos, para efetiva compreensão dos mesmos, com recurso às extrações sucessivas de raízes
quadradas (Figura 15).
Figura 14 - 15ª instrução para o ensino em classe, Portaria n.º 230 de 21/09/1914 (Ministério, 1914)
Figura 15 - gazeta da matemática n.º 11, página 5, pedagogia (Silva & de Jesus Caraça, 1942)(a)
27
Nesse mesmo artigo Bento de Jesus Caraça (1901-1948) manifesta discordância em relação à
construção pelos alunos da tabela de logaritmos questionando e desvalorizando a vantagem para o
processo ensino/aprendizagem dessa mesma construção em prol da rentabilização do tempo com a
utilização da régua de cálculo e da calculadora (Figura 16).
Com a introdução da calculadora estas tábuas ou tabelas de logaritmos, assim como as tabelas
trigonométricas, deixaram de ser utilizadas no ensino e na sociedade.
Régua de Cálculo
Como já foi analisado na seção anterior, já na década de 1940, Bento de Jesus Caraça
desvalorizava o uso das tábuas de logaritmos considerando-as ultrapassadas para as tecnologias mais
desenvolvidas tais como as réguas de cálculo e a calculadora. Este matemático entendia ainda que a
manutenção das tábuas de logaritmos “[era um exemplo de tiraniazinha sobre a pobre massa
académica.]”, Ponte, (2002), citando Bento de Jesus Caraça (Silva & de Jesus Caraça, 1942):
“Cada época cria e usa os seus instrumentos de trabalho conforme o que a técnica lhe
permite; a técnica do século XX é muito diferente da do século XVI, quando os logaritmos
apareceram como necessários para efetuar certos cálculos. O ensino do liceu que é, ou deve ser,
para todos, deve ser orientado no sentido de proporcionar a todos o manejo do instrumento que a
técnica nova permite.” (Silva J. C., 2003)
Em Portugal, muitas são as referências ao uso da régua de cálculo no ensino da matemática,
sobretudo ao nível da lecionação de conteúdos em que esta surge como auxiliar de ensino. Em 1968,
o Ministério da Educação Nacional com a portaria 23 181 estabelece que na cadeira de matemática
dos institutos industriais se recorra sistematicamente à régua de cálculo pois considerava-se
Figura 16 - gazeta da matemática n.º 11, página 5, pedagogia (Silva & de Jesus Caraça, 1942)(b)
28
“indispensável o treino sistemático no cálculo numérico e gráfico e o desenvolvimento do sentido das
aproximações e da sensibilidade à ordem de grandeza” (Ministério da Educação Nacional, 1968).
Em 1975 o uso da régua de cálculo foi indicado como recurso pedagógico em sala de aula,
por José Sebastião e Silva (Silva J. S., 1975, p. 133). Este autor sugere mesmo a construção em
cartolina, pelo aluno, de uma régua de cálculo, conforme se pode ler na Figura 17.
A Figura 18 ilustra uma régua de cálculo de bolso em cartolina, construída a partir de um
modelo disponível na Internet. A construção de réguas de cálculo em papel ou cartolina a partir de
modelos (templates) disponíveis na Internet é uma atividade interessante nas disciplinas de
matemática das escolas secundárias quer como curiosidade histórica quer como forma de explicar aos
alunos a utilidade dos logaritmos, ou ainda para desenvolver sensibilidade e sentido crítico na
realização de cálculos (Lemos, 2012, pp. 81-82).
Em https://static.scientificamerican.com/sciam/assets/media/pdf/Slide_rule.pdf é possível
encontrar um template de uma régua de cálculo para construção em cartolina.
Figura 18 - régua de cálculo construída em cartolina (Lemos, 2012)
Figura 17 - Excerto de “Observação 13, capítulo VI (observação ao capítulo V)” (Silva J. S., 1975, p. 133)
29
A Calculadora
A calculadora surge em Portugal nos anos 70 dando “origem a um grande debate sobre o seu
papel no ensino da matemática” (Ponte & Canavarro, 1997, p. 95). O baixo custo, a facilidade de
utilização e a progressiva acessibilidade tornou-as em instrumentos cada vez mais vulgares, usados
por muitas pessoas na sua atividade profissional e no dia-a-dia. No entanto, a sua utilização na aula
de matemática começou por ser vista com bastante desconfiança tanto pelos pais como pelos
professores, provocando durante muito tempo fortes reações de rejeição. Subjacente a essas reações
estava a conceção de que os alunos não desenvolveriam devidamente as destrezas de cálculo
comprometendo, deste modo, a aprendizagem da matemática. Assim, em muitas situações a
calculadora começou a ser permitida na aula apenas para fazer a verificação dos resultados do cálculo
após este ter sido realizado pelo aluno pelos algoritmos tradicionais, com papel e lápis.
As calculadoras gráficas que hoje se usam no ensino secundário em Portugal chegaram ao
mercado originalmente em 1985, introduzidas pela Casio, e constando das orientações metodológicas
dos programas desde 1990/1991. Com a introdução destas calculadoras nos programas do ensino
secundário surgiram as muitas reflexões em torno da forma como esta é utilizada no processo
ensino/aprendizagem pelos professores e alunos, como descreve Rocha em “A utilização que os
alunos fazem da calculadora gráfica nas aulas de Matemática” (2002, p. 3), “com algumas
características semelhantes às do computador e sem alguns dos inconvenientes que pareciam obstar
à divulgação destes, as calculadoras gráficas surgiram então como uma nova esperança. Contudo,
ninguém acredita que a calculadora tenha efeitos mágicos sobre os alunos, ou seja, não é razoável
esperar que os alunos usem e compreendam os gráficos instintivamente, apenas porque dispõem
duma calculadora gráfica. Torna-se assim fundamental dar atenção, entre outros aspetos, à forma
como esta é utilizada.” Estudos realizados indicam que os alunos têm tendência a utilizar as
potencialidades existentes nas calculadoras gráficas ao nível do cálculo de forma similar à que
utilizavam nas calculadoras científicas para efeitos de substituição do cálculo mental e de “métodos
escritos que seriam indiscutivelmente mais complexos e morosos”. No respeitante às potencialidades
gráficas, quando os alunos começam a utilizar uma calculadora gráfica, eles vêem-na como uma
forma automática de realizar um conjunto limitado de procedimentos, tais como determinar valores
de uma função ou representá-la graficamente. O aumento de confiança na sua utilização pode, no
entanto, dar origem a novas utilizações, a mais prometedora das quais é o recurso ao método de
tentativa e erro. Embora “este método tenha limitações, constitui uma forma de os alunos abordarem
problemas que de outro modo estariam para além das suas possibilidades”. Segundo ainda Rocha
(2002, p. 6) um problema geral com as calculadoras gráficas parece estar relacionado com a utilização
30
destas por parte de alguns professores que encaram o tempo despendido a ensinar a trabalhar com as
máquinas como mal empregue, sem se aperceberem que a utilização adequada da calculadora por
parte dos alunos mobiliza a apreensão de mais conhecimentos matemáticos do que pode fazer parecer
à primeira vista. “Desprezar a forma como a tecnologia é utilizada, é quase como desprezar o
processo e valorizar apenas o resultado alcançado. Não auxiliar os alunos a evoluir para utilizações
mais eficientes, é negar-lhes a possibilidade de aprofundar os seus conhecimentos matemáticos.”
À semelhança de Rocha (2002), Romano, Mercê & da Ponte (Investigación en educación
matemática XII, 2008) referem que investigação recente mostra que alguns professores do secundário
restringem o mais possível o seu uso pelos alunos, levando-os a privilegiar uma abordagem analítica
às questões, usando a calculadora gráfica apenas para confirmação de resultados. Do mesmo modo,
no ensino básico, muito professores aceitam que o aluno use a calculadora na sala de aula, mas
incentivam-nos a tomá-la sobretudo para confirmação de resultados.
Não obstante o exposto a utilização da calculadora é uma tecnologia que atualmente assume um
papel importante no ensino da matemática em Portugal (Romano, Mercê, & da Ponte, 2008) e segundo
Ponte & Canavarro (1997) “nos últimos anos, muitos professores começaram a tirar um melhor
partido da calculadora na aula de matemática. A destacar há as utilizações deste instrumento como
uma ferramenta de trabalho em atividades de natureza investigativa, na resolução de problemas, na
introdução de conceitos matemáticos e em jogos que desenvolvem o cálculo mental. Pode-se hoje
afirmar que o uso da calculadora facilita a criação duma melhor relação dos alunos com a
matemática, ajuda a compreender melhor alguns conceitos matemáticos e assiste o desenvolvimento
da capacidade de resolução de problemas, sem produzir os temidos efeitos perversos nas capacidades
básicas de cálculo dos alunos. Desta forma, as calculadoras não são apenas poderosos instrumentos
de cálculo. Elas são também materiais com muitas potencialidades para promover uma melhor
aprendizagem da matemática.”
Hoje em dia, tanto no ensino básico como no secundário uso da calculadora é de caráter
obrigatório e no ensino secundário, há uma questão no exame nacional do 12.º ano que requer uma
resolução gráfica com o recurso à calculadora gráfica e na prova nacional do 9.º ano o primeiro
caderno é realizado com recurso à calculadora científica.
31
Atualmente, com os programas em vigor o recurso à calculadora para desenvolvimento de
competências surge já no 1.º ciclo. Como exemplo serve o da Figura 19, no âmbito de números e
operações, sequências e regularidades (Lima, Barrigão, Santos, & Pedroso, 2020, p. 33).
Figura 19 - exercício de 3.º ano com recurso à calculadora (Lima, Barrigão, Santos, & Pedroso, 2020, p. 33)
32
Computador
O computador é utilizado em educação matemática em todo o mundo contudo o seu objetivo
final na educação é ainda pouco claro uma vez que a sua utilidade em sala de aula pode passar apenas
pelo uso trivial de fornecimento de feedback aos alunos sobre os problemas que estão a resolver, não
diferindo do uso do livro didático onde se poderão encontrar as respostas no final do mesmo. Ao
contrário do livro a utilização do computador na educação não se perde na linha do tempo estando
perfeitamente na memória viva de qualquer um.
2.5.1. Primeiro computador em Portugal – NCR ELLIOT 803-B – 1961
No site do Museu Virtual de Informática é disponibilizada uma seção que descreve de forma
elaborada a evolução tecnológica levada a cabo pelo Homem ao longo dos tempos. Entre 1960 e 1969
encontram-se os computadores da segunda geração e, consequentemente, o NCR Elliot 803-B (Figura
20) que foi o primeiro computador a ser instalado em Portugal, em 1961, na casa bancária Pinto de
Magalhães Banqueiros, no Porto para fazer o registo de contas correntes e controlo das letras
(Informática, 2020).
Figura 20 - NCR Elliot 803-B (http://piano.dsi.uminho.pt/museuv/)
33
2.5.2. Primeiro computador em investigação – NCR ELLIOTT 4100 – 1967
O Professor Rogério Nunes9, em virtude de um período de estágio no ano letivo 1963/1964
no Mathematical Laboratory da Universidade de Cambridge em Inglaterra, contactou com modernos
dispositivos de computação o que o levou a perceber a importância da universidade portuguesa ter
acesso à nova realidade da computação digital. Deste modo trabalhou na mobilização de vontades
que tornou possível a compra, em 1967, do primeiro computador para uma universidade portuguesa,
o NRC Elliott 4100 de 16 KB (24 bits), (Figura 21). No dia 15 de fevereiro de 1968 o computador foi
apresentado publicamente numa cerimónia que contou com a presença do ministro da Educação,
Inocêncio Galvão Teles, ocasião para inaugurar o LACA - Laboratório de Cálculo Automático da
FCUP (Faculdade de Ciências da Universidade do Porto), uma unidade com cerca de 15
colaboradores que dava apoio técnico e administrativo aos utilizadores do computador (FCUP, 2018).
Segundo FCUP (2018), o NCR Elliott 4100 foi instalado no rés-do-chão da Biblioteca Geral,
no atual edifício da Reitoria da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Serviu a Faculdade
de Ciências, toda a Universidade do Porto, outras universidades e entidades particulares. Em 1974,
permitiu a iniciação na informática de cerca de dois mil alunos, durante pelo menos um semestre.
“[Muitos investigadores utilizaram este computador, desde os membros do Grupo de Matemática
Aplicada até físicos, biólogos e médicos.]” … “[à luz dos padrões atuais, a máquina caraterizava-se
por um funcionamento complexo, pela lentidão no processamento de dados e pelas limitações da
memória. Era pouco mais do que uma máquina de calcular…]” … “[o computador ganhou, entre os
seus utilizadores, um epíteto feminino, “Hermengarda”, devido ao seu comportamento
temperamental. Ou seja, a máquina por vezes empancava e os seus processos rudimentares,
vagarosos e complicados punham os nervos em franja a muitos utilizadores.]”
9 Professor Catedrático da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e investigador na área da Matemática Aplicada (falecido em 2000).
Figura 21 - O computador NRC Elliott 4100 de 16 KB (24 bits) (FCUP, 2018)
34
O Elliott 4100 funcionou ininterruptamente durante 15 anos (de 1967 a 1982), tendo resistido
a um incêndio que consumiu parte do Edifício Histórico da Universidade do Porto (atual Reitoria), a
19 de abril de 1974, e que levaria a sua transferência para novas instalações na Rua das Taipas. Em
1982 foi substituído por um novo modelo, o Cyber 170-720, mais potente e que utilizava linguagens
mais evoluídas para a época (Porto, 2011).
2.5.3. José Sebastião e Silva e o computador ao serviço do ensino da Matemática
“Sebastião e Silva teve um papel fundamental na racionalização e atualização do ensino da
Matemática em Portugal. A nível universitário deve-se-lhe a renovação do ensino da Análise, com
profundos reflexos na formação de novos professores e investigadores. No ensino secundário,
publicou textos didáticos para o 3º Ciclo Liceal (atual 3º Ciclo do Ensino Básico) e para os Cursos
Complementares (atual Ensino Secundário). Tendo sentido necessidade de se modificarem os
programas e os métodos de ensino da Matemática, concebeu e orientou experiências pedagógicas
efetuadas a partir de 1963 nos liceus e redigiu compêndios para alunos e docentes e realizou cursos
orientados para a formação de professores.” (Camões, 2003). Dos compêndios redigidos destaco o
“Compêndio de Matemática” elaborado para o curso complementar do ensino secundário, publicado
em 1975/76 pelo Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação e Cultura, devido
ao facto de já nesta altura Sebastião e Silva pensar nos computadores para o ensino da matemática
(Silva J. C., s.d.):
Figura 22 - José Sebastião e Silva (1914-1972)
(https://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/SebastiaoSilva-J)
José Sebastião e Silva (Figura 22) “matemático de grande
notoriedade internacional. É reconhecido em Portugal como estando
entre os grandes matemáticos portugueses do século XX, tendo-se
igualmente distinguido pelo grande investimento no ensino da
Matemática e pelo seu envolvimento na melhoria e modernização
desse ensino nos diversos níveis. Em particular, no que diz respeito ao
ensino pré-universitário, foi por sua mão que, em meados dos anos
sessenta do século passado, chega a Portugal a “Matemática
Moderna”, movimento de reforma curricular, que se veio a estender
por muitos países europeus e de fora da Europa, de que foi o grande
mentor, impulsionador e um dos principais protagonistas.” (SPM,
2016, p. 71)
35
(Silva J. S., Compêndio de Matemática, 1976): Capítulo I: Introdução à Lógica Matemática.
12. As operações lógicas e as máquinas de calcular (página 26).
Capítulo 11: a lógica em termos de conjuntos.
17. Sequências. Conceitos gerais de produto cartesiano e de relação (página 121).
Pode-se sintetizar um pouco as ideias de Sebastião e Silva, com algumas frases tiradas de uma
entrevista que concedeu ao "Diário de Notícias" em 23-01-1968: (Silva J. C., s.d.)
(...) “a educação, na era científica, não pode continuar, de modo nenhum, a ser feita segundo os
moldes do passado. Em todas as escolas o ensino das ciências tem que ser intensificado e remodelado
desde as suas bases, não só quanto a programas, mas ainda quanto a métodos. Uma vez que a
máquina vem substituir o homem progressivamente em trabalhos de rotina, não compete à escola
produzir homens máquinas, mas, pelo contrário, formar seres pensantes, dotados de imaginação
criadora e de capacidade de adaptação em grau cada vez mais elevado”.
De acordo com Ponte & Canavarro (1997, p. 95) nos anos 60, no mundo, diversos projetos
pioneiros tais como os de José Sebastião e Silva procuram colocar o computador ao serviço do ensino
da matemática. “Era o período do Ensino Assistido por Computador perspetiva que viria, durante
algum tempo, a ser objeto de diversas experiências e a provocar acesa discussão.” Segundo estes
autores neste tipo de ensino o computador é colocado a desempenhar funções de um «professor
eletrónico» com o objetivo de transmitir aos alunos conhecimentos matemáticos pré-definidos e
proporcionar o desenvolvimento de destrezas básicas. De referir os programas tutoriais (“procuram
explicar nova matéria e proporcionar novos conhecimentos, funcionando como um livro onde as
“O funcionamento dos modernos computadores eletrónicos baseia-se em grande parte na lógica
Matemática. Vamos apresentar os esquemas de circuitos elétricos que efetuam as operações de conjunção,
disjunção e negação, em máquinas de tipo simples, com base em eletroímanes (nas máquinas eletrónicas,
muito mais rápidas, a ideia é essencialmente a mesma, sendo os eletroímanes substituídos por válvulas
eletrónicas).”
“Tal como os conceitos de elemento e de conjunto, o conceito de sequência faz parte da própria estrutura
da linguagem e, portanto, do pensamento. Toda a palavra, toda a frase e todo o discurso são constituídos
por uma sequência de sons elementares (no tempo) ou de letras (no espaço). Com as vinte e poucas letras
do alfabeto têm sido compostas as mais belas obras de literatura e muitas das mais importantes obras
da ciência. Com um limitado sistema de símbolos musicais, têm sido construídas as mais prodigiosas
sequências de sons ou de conjuntos de sons, desde as polifonias da Idade Média às grandes sinfonias da
música romântica ou moderna. E apenas com base nos dois valores lógicos os computadores eletrónicos
elaboram extensíssimas sequências, que traduzem os mais complicados cálculos e raciocínios da ciência
contemporânea, de acordo com programas preestabelecidos.”
36
páginas de papel são substituídas por sucessivos ecrãs de computador”) e os programas de prática
(“procuram treinar os alunos na resolução repetitiva de conjuntos de exercícios adequados à matéria
estudada. Esses exercícios têm progressivos níveis de dificuldade ou complexidade e cada aluno pode
progredir para um nível mais avançado se for bem-sucedido no nível anterior. Caso contrário, volta
a ter acesso às explicações que o programa contém”). Após algum tempo de aplicação concluiu-se
que a modalidade do uso do computador não estava a surtir o efeito desejado a nível de transmissão
de conhecimentos e treino de capacidades específicas e apresentava-se desenquadrada dos novos
objetivos do ensino da matemática formulados nos anos 80, em que se começa a valorizar a resolução
de problemas (problem solving)10, raciocínio e comunicação.
Em 1986, o Colégio Vasco da Gama era notícia na China, pelos avanços tecnológicos
implementados em contexto de sala de aula, no que diz respeito à utilização do computador em sala
de aula para fins educativos (Gama, 2017). Na Figura 23 apresenta-se a notícia onde se poderá ler
como o colégio operacionalizava a utilização do computador em sala de aula e que “Utilizando este
meio de ensino escolar podem obter-se melhores resultados.” Para além do ensino este colégio
também usava o computador para a administração e gestão da escola.
10 Nos primeiros passos dos anos 80, a resolução de problemas como uma das orientações curriculares centrais para o ensino da Matemática chegava a Portugal. Alguns autores designaram a resolução de problemas como o problem solving.
Figura 23 - colégio Vasco da Gama é notícia na China (https://www.colegiovascodagama.pt/em-1986-ja-eramos-noticia-na-china/)
37
Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC)
Reiterando o exposto na seção 1.3., nos anos 80, em Portugal, o primeiro projeto criado para a
introdução das novas tecnologias de informação e comunicação (TIC), nas escolas do ensino básico
e do ensino secundário, foi o desenvolvimento do Projeto MINERVA, entre 1985 e 1994 (Figueiredo,
2016) cuja concretização efetuada foi “nas vertentes da formação de professores e de formadores, na
exploração e desenvolvimento de materiais (incluindo documentação e software educativo),
investigação, apoio direto ao trabalho dos professores nas escolas, e na criação de condições
logísticas para a instalação e utilização destes meios (nomeadamente através da criação de Centros
de Apoio Local e Centros Escolares Minerva), com o objetivo último e amplo de renovar o sistema
educativo”. (Wikipedia, 2019)
“Os grandes pilares do Projeto MINERVA foram os seus pólos, sediados em instituições do
ensino superior, compostos por docentes dessas instituições e por professores de diversos graus de
ensino na situação de destacamento. O projeto MINERVA na sua fase final (1993/1994) atingiu mais
de 140 escolas de todos os níveis de ensino, cerca de 40 centros de apoio local e 15 pólos do projeto
Minerva, num total estimado de mais de 2000 utilizadores distribuídos pelo continente, Açores,
Madeira e Macau de uma comunidade viva e dinâmica composta por alunos, professores,
formadores, investigadores, e outros agentes educativos, apoiada nos computadores e nas
telecomunicações.” (Wikipedia, 2019)
De acordo com Ponte (1994, p. 42) este projeto (…) “proporcionou a afirmação de conceitos
educativos importantes como a noção de utilização crítica da informação, o trabalho de projeto, a
colaboração interdisciplinar, a integração das tecnologias de informação nas disciplinas existentes
e o papel dos centros de recursos nas organizações escolares”.
Em Portugal e outros países, ainda nos anos 80 o computador começou a ser usado em
contexto extraletivo com grupos de alunos que aprendiam linguagens de programação. Primeiramente
usada o BASIC (linguagem acessível que permite a construção de pequenos programas para a
resolução de problemas matemáticos) e posteriormente a programação em LOGO. De acordo com
Ponte e Canavarro (1997, p. 96) a última foi a que mais sucesso teve nas escolas. O recurso ao
computador para programação esteve na origem da formação de Clubes de informática ou de
matemática, geralmente dinamizados por pequenos grupos de professores que se interessavam pela
exploração da utilização do computador no “trabalho matemático com os alunos”. “Estas
experiências de utilização dos computadores mostraram que, na maior parte dos casos, os alunos
envolvidos nas atividades melhoravam a sua relação com a disciplina de matemática e criavam uma
maior predisposição para a aprendizagem dentro da sala de aula, mesmo quando eram alunos
38
considerados problemáticos. Esta foi talvez a influência mais significativa que tal tipo de utilização
teve no ensino da matemática.” Ponte e Canavarro (1997, p. 96)
No final dos anos 80 as novas tecnologias começam a entrar de modo mais direto na aula de
matemática devido à generalização da utilização educativa de ferramentas gerais especificamente
adequadas para a aprendizagem da matemática: a folha de cálculo e o desenvolvimento de software
específico para o ensino da matemática. Segundo Ponte e Canavarro (1997, p. 96), “Este software
tornou acessível a um grande número de pessoas a utilização do computador, nomeadamente àqueles
que não se sentiam atraídos pela programação.” Além disso, facilitou a compatibilização com os
conteúdos do currículo e tornou menos dispendiosa, em termos de tempo, a familiarização do
professor e dos alunos com cada programa.
A par do Projeto Minerva, outras iniciativas surgiram como o projeto IVA (Informática para
a Vida Ativa), entre 1989 e 1992, que objetivava a equiparação das escolas secundárias, formação de
professores e preparação dos alunos para a vida ativa pela utilização de laboratórios de informática.
Na avaliação deste projeto foi constatada a necessidade de se proporcionar mais formação aos
professores, tendo isso resultado na constituição de um outro projeto, o FORJA (Fornecimento de
Equipamentos, Suportes Lógicos e Ações de Formação de Professores) em 1992/1993. O FORJA
surge integrado no FOCO (Formação Contínua de Professores) e foi considerado como “um primeiro
passo para o desenvolvimento sistemático de uma estrutura de formação em serviço” (Rodrigues J.
A., 2016, p. 180). Após o término do projeto Minerva, em 1994, surgiu, passados dois anos, o
programa NÓNIO século XXI – Programa de Tecnologias da Informação e da Comunicação na
Educação, precedido por uma proposta do Ministério da Educação, em 1995, designada EDUTIC
(Educação para as Tecnologias da Informação e Comunicação) (Rodrigues J. A., 2016, pp. 179-180).
“O Programa Nónio século XXI destinava-se em termos globais à produção, aplicação e utilização
das TIC no sistema educativo, tendo por objetivos gerais: a melhoria das condições de funcionamento
da escola e o sucesso do processo de ensino/aprendizagem; a qualidade e a modernização da
administração do sistema educativo; o desenvolvimento do mercado nacional de criação e edição de
software para educação com finalidades pedagógico-didáticas e de gestão; a contribuição do sistema
educativo para o desenvolvimento de uma sociedade de informação mais reflexiva e participada.”
(Rodrigues J. A., 2016, p. 181)
Na sequência do programa Nónio século XXI surge a EDUTIC cujos objetivos gerais eram:
“[o apoio à produção e edição de software educativo; o apoio à formação de professores; o apoio à
criação de "centros de excelência" que acompanhassem o desenvolvimento de projetos educativos
da escola e o financiamento à escola destes projetos educativos; a promoção da cooperação
internacional]” … “[o apoio à investigação tecnológica, tecnologias para o ensino especial, para o
39
ensino à distância, realidade virtual, etc.; e o apoio à disseminação da informação de interesse para
a educação, apoio à produção e disponibilidade de informação para divulgar na Internet.]
(Rodrigues J. A., 2016, p. 181). Em julho de 2005, foram transferidas todas as competências exercidas
pela EDUTIC para a CRIE (Equipa de Missão Computadores, Redes e Internet na Escola). (Rodrigues
J. A., 2016, p. 182)
Em 1997 o Ministério da Ciência e da Tecnologia lança o Programa Internet nas Escolas com
o objetivo de assegurar a instalação de um computador multimédia e a sua ligação à Internet na
biblioteca/mediateca de cada escola do ensino básico e secundário. Nesse mesmo ano foram ligadas
à Internet todas as escolas do ensino público e privado do 5º ano ao 12º ano de escolaridade e algumas
escolas do 1º ciclo. Em finais de 2001 todas as escolas do 1º Ciclo estavam ligadas à Internet.
(Rodrigues J. A., 2016, p. 182)
Tecnologia Móvel – m-learning em Educação Matemática
As experiências com o uso das Tecnologias Digitais Móveis (TDM) nas escolas ainda são
recentes, no entanto vão existindo evidências de pesquisas nesse âmbito em Portugal e um número
sempre a aumentar de docentes a implementar nas suas aulas o m-learning como estratégia de
ensino/aprendizagem. Como exemplo pode-se considerar o projeto piloto ManEEle “Manuais
Escolares Eletrónicos”, uma iniciativa promovida pela Direção de Serviços do Alentejo da DGESTE,
Ministério da Educação e Ciência, que decorreu no Agrupamento de Escolas de Cuba desde o ano
letivo 2013/2014 até ao final do ano letivo de 2015/2016. O projeto desenvolveu-se num ambiente
1:1, em que cada aluno e professor possuíam um tablet11 o que lhes permitia o acesso aos manuais
digitais e a uma plataforma de recursos educativos digitais (Escola Virtual), bem como alguns
conteúdos educativos em versão offline. O principal desiderato do projeto foi a desmaterialização do
manual escolar. Lagarto J., Marques, Mata, & Martins (2017), acompanharam o projeto, e referem a
utilização dos tablets e dos manuais digitais na criação de ambientes inovadores e tecnologicamente
enriquecidos, promotores de uma aprendizagem ativa e de metodologias e cenários de diferenciação
pedagógica.
11 Híbrido com Windows 8 com possível conexão a outros dispositivos, nomeadamente ao computador portátil, com um ecrã que possibilita a introdução de dados com caneta ou com o dedo.
40
O projeto “LEARN+, Building Communities of Teachers Producers to Implement Personalized
Learning of Mathematics Supported by Machine Learning and Block Chain to Assess
Competence” 12 , surge com o objetivo de melhorar o desempenho dos alunos na disciplina de
matemática. Como ponto de partida do projeto surge a plataforma MILAGE13 APRENDER+14,
gratuita, que já está a ser implementada em muitas escolas, em Portugal. Na escola onde leciono, a
APP Milage Aprender+ foi implementada com duas turmas de 9.º ano e alargada a todas as restantes
turmas através da partilha de materiais com os colegas da escola, disponibilizados na ação de
formação que frequentei em janeiro de 2020, promovida pela APM. A plataforma MILAGE
APRENDER+ é uma prática inovadora que potencia a aprendizagem móvel com recurso aos
smartphones dentro e fora da sala de aula (podem ser utilizados outros dispositivos móveis como
tablets desde que possuam uma câmara). É um sistema de aprendizagem misto (blended-learning)
que combina aulas presenciais com aulas online. É um modelo pedagógico, que inclui a
gamificação,15 criado para: motivar os alunos; promover uma aprendizagem mais interativa, ativa,
atrativa, envolvente e adaptada aos alunos do século XXI; estimular a autonomia de um processo de
autoavaliação e de avaliação dos pares; assegurar que todos os alunos acedam a uma base comum de
conhecimento e de qualidade. “É uma ferramenta de apoio aos alunos na resolução autónoma de
fichas de exercícios e de apoio ao professor na gestão do seu tempo na sala de aula, na medida em
que este não tem de resolver na sala de aula os exercícios que constam nas fichas integradas
na app MILAGE Aprender+. De modo a estimular e apoiar a realização das várias atividades
propostas, a interface da app MILAGE Aprender+ incorpora características de gamificação, com
diferentes níveis de dificuldade de exercícios, para apoiar alunos com maiores dificuldades de
aprendizagem Matemática e incluir também alunos mais avançados. Esta preocupação em incluir
no processo todos os alunos reflete-se também quando a app apresenta vídeos detalhados, com a
resolução dos exercícios para aqueles alunos com mais dificuldades poderem perceber passo a passo
a sua resolução, e vídeos concisos com os passos essenciais na resolução de um exercício. Para além
disso, a app MILAGE Aprender+ inclui ainda um esquema de autoavaliação e de avaliação pelos
12 O Learn + é financiado através do programa ERASMUS da União Europeia. Além da Universidade do Algarve, tem ainda como parceiros a Universidade de Heidelberg e as Associações de Professores de Matemática de Portugal, Espanha, Alemanha e Chipre.
13 Interactive Mathematics by implementing a Blended-Learning model with Augmented Reality and Game books
14 A Direção Geral de Educação (DGE) e a Universidade do Algarve assinaram um protocolo para colaborarem a nível técnico, pedagógico e logístico, para promover a divulgação e a utilização da aplicação MILAGE APRENDER+, junto dos Agrupamentos de Escolas e Escolas Não Agrupadas.
15 “Uso de técnicas características de videojogos em situações do mundo real, aplicadas em variados campos de atividade, tais como a educação, saúde, política e desporto, com o objetivo de resolver problemas práticos ou consciencializar ou motivar um público específico para um determinado assunto; ludificação”. (Porto E. , 2003-2020)
41
pares que visa estimular o trabalho autónomo do aluno, a revisitação dos conteúdos para o
armazenamento do conhecimento na memória de longa duração e a identificação dos passos
fundamentais na resolução de exercícios.” (Algarve, 2020). Alguns dos exercícios disponibilizados
na aplicação são da autoria de professores, chamados de “Professores Autores” e da autoria de alunos,
designados de “Alunos Autores”. Os restantes exercícios são introduzidos pelos docentes
responsáveis pela App e docentes com formação na sua utilização. A App percorre atualmente todos
os níveis de ensino desde o primeiro ciclo e está alargada a todas as disciplinas. Brevemente estará
aberta a sua utilização ao nível do pré-escolar.
Uma plataforma que começa a ter visibilidade na sala de aula dos professores em Portugal é o
Kahoot16. Trata-se de uma plataforma de aprendizagem baseada em jogos, usada como tecnologia
educacional em escolas e que pode ser usada com o objetivo de potenciar atividades interativas entre
professor e aluno. Os professores podem usar as tarefas já disponíveis na plataforma ou criar as suas
próprias. Os alunos acedem às tarefas e realizam as atividades através de smartphone, tablet ou
computador. No Kahoot, através do quiz de perguntas e respostas, é gerada uma determinada
pontuação conforme o desempenho do aluno, criando deste modo, uma competição saudável. A
plataforma permite obter um feedback em tempo real logo após o término da atividade proposta.
Além disso ainda gera um relatório de informação sobre o desempenho de cada aluno (kahoot, 2020).
A editora portuguesa, Raiz Editora começou desde já a criar tarefas no Kahoot, disponibilizadas aos
docentes via correio eletrónico.
16 “Fundada em 2012 por Morten Versvik, Johan Brand e Jamie Brooker que num projeto conjunto com a Universidade Norueguesa de Tecnologia e Ciência (NTNU), formaram uma parceria com o professor Alf Inge Wang e mais tarde se juntaram ao empresário norueguês Åsmund Furuseth. Foi lançado na versão beta privada em março de 2013 no SXSWedu. Em setembro de 2013, a versão beta foi aberta ao público” (kahoot, 2020)
42
3. O ábaco: um dos mais antigos instrumentos de cálculo
O ábaco
“Cada civilização tem as suas tecnologias próprias, que utiliza para as mais variadas tarefas,
desde a produção de alimentos e vestuário à realização de registos e cálculos.” (Ponte & Canavarro,
1997, p. 41). Não obstante as tecnologias próprias de cada civilização a mão humana como “máquina
de contar e de calcular” foi utilizada por todas as civilizações em algum momento da sua história. A
mão humana, com os seus cinco dedos, é uma das primeiras calculadoras que se conhece, natural na
sua constituição e na sua natureza. (Ifrah, 1997, pp. XIX, 42, 43, 91, 92). No entanto, como a
necessidade de executar operações aritméticas ultrapassa o número de dedos de uma mão de um ser
humano, o recurso a elementos da natureza tais como pedras, conchas do mar, galhos, entre outros,
tornou-se uma necessidade. O cálculo com recurso a pedras introduziu algum tipo elementar de
abstração, mas o homem gradualmente percebeu que esse método não era eficaz para satisfazer as
necessidades verificadas em torno do registo e do controlo comercial de bens alimentares, gado e
terras e da organização dos impostos. Para contar até 1000, por exemplo, teria de reunir mil pedras,
o que era um trabalho demorado e, algumas vezes, ineficiente. Deste modo, compreendido o princípio
da base numérica, as pedras usuais foram substituídas por pedras de vários tamanhos, às quais foram
atribuídas diferentes ordens de unidades. Por exemplo, se o sistema decimal fosse usado, o número 1
poderia ser representado por uma pedra pequena, 10 por uma pedra maior, 100 por uma pedra ainda
maior e assim sucessivamente (CHM, Abacus, 2019). “Tratava-se de um método prático, mas
insuficiente: como encontrar duas pedras exatamente do mesmo tamanho?” (Ifrah, 1997, p. 192)
Segundo Ifrah (1997, p. 249), há algumas gerações atrás, os soldados de Madagáscar
utilizavam uma forma peculiar de contarem os seus homens. A estes era pedido para desfilarem em
“fila indiana” por uma passagem muito estreita. Cada vez que um deles saía dela, depositavam uma
pedra numa trincheira cavada na superfície do solo. Com a passagem do décimo homem, as dez pedras
dessa trincheira eram substituídas por uma pedra que por sua vez era colocada noutra trincheira,
reservada às dezenas. Quando na primeira trincheira se chegava ao vigésimo homem era colocada
outra pedra na trincheira das dezenas. Quando esta chegava às dez pedras colocava-se uma pedra na
terceira trincheira destinada às centenas. E assim sucessivamente até ser contabilizado o último
“Seguir a evolução dos instrumentos de cálculo é uma aventura apaixonante.” Ana Eliete Reis
43
homem. Segundo o autor Ifrah (1997, p. 249) sem o saber esses malgaxes tinham inventado um
instrumento de cálculo: o ábaco de pedras.
De acordo com Ifrah (1997, p. 249) dispositivos semelhantes ao dos malgaxes “foram
inventados desde a noite dos tempos por numerosos povos da terra”. Certas sociedades africanas
utilizaram varas, ao longo das quais faziam correr pedras furadas. A cada vara correspondia uma
ordem de unidades. Entre outros povos (como os apaches, os maidu, os miwok, os walapai e os
havasupai da América do Norte, assim como no Havai e em várias ilhas do Pacífico) enfiavam pérolas
e conchas em fios de cores diferentes. Outros povos como os incas da América do Sul “deslocavam
pedras, feijões ou grãos de milho em diversas casas, munidas de buracos, de uma espécie de travessa
feita de pedra, terracota, madeira ou simplesmente preparada sobre o solo móvel”. Os gregos,
etruscos e romanos colocavam pequenas fichas de osso, marfim ou metal em mesas ou pranchas,
feitas de madeira ou mármore, dividas em colunas. Outras civilizações foram mais além substituindo
as diversas colunas do ábaco por ranhuras ou hastes paralelas e cada pedra ou ficha por um botão
móvel ou uma bola furada, pronta para correr ao longo de cada espeto criando, deste modo, “o muito
prático e formidável instrumento conhecido pelo nome de ábaco-contador”. (Ifrah, 1997, p. 249)
Segundo vários autores, a palavra ábaco deriva etimologicamente do latim abacus que viria do
grego abakos. Esta era um derivado da forma genitiva abax (tábua de cálculo). Abax tinha também o
sentido de tábua polvilhada com terra ou pó, utilizada para fazer figuras geométricas. Alguns
linguistas especulam que tenha vindo de uma língua semítica (o púnico abak, areia, ou o hebreu ābāq
(pronunciado a-vak), areia) (Wikipedia, Ábaco, 2020).
Existem três formas básicas de ábaco: a primeira é uma mesa coberta de pó ou areia para registos
escritos com os dedos, chamados por alguns de ábacos de areia ou ábacos de pó ou “ábaco de
sandboard”; a segunda, uma mesa com fichas soltas, designadas por tabuleiros de contagem ou
“countingboards” e a terceira, uma tábua com contas presas em varetas de arame ou outro material
semelhante. A primeira forma básica de ábaco, a mesa de pó, foi um simples instrumento de registo.
Em relação ao ábaco de mesa com fichas soltas segundo Ibiapinal (2018) são os primeiros ábacos
verdadeiros. Estes são constituídos basicamente por uma mesa ou prancha de madeira com várias
colunas verticais, nas quais cada uma representa uma ordem de classe que geralmente está em
potências de base dez. Para a representação do zero, não há uma maneira especial, basta deixar a
coluna vazia, pois a ausência de fichas numa coluna faz o papel do zero na notação posicional.
Para efetuar as operações aritméticas, os gregos, etruscos e romanos usaram ábacos de mesas com
fichas soltas. (Ifrah, 1997, p. 424). As evidências do uso do ábaco surgem em textos dos escritores
gregos antigos. Por exemplo, Demóstenes (384 − 322 a. C.) escreveu sobre a necessidade do uso de
pedras para a realização de cálculos considerados difíceis de se realizarem mentalmente. Num excerto
44
das anotações de Heródoto (484 − 425 a.C.), há referência ao ábaco: "Os que moram no Egito
movem as suas mãos da direita para a esquerda enquanto que os que vivem na Grécia movimentam
da esquerda para a direita, quando calculam." Ifrah (1997, p. 424) refere que é ao ábaco que aludiu
o historiador grego Políbio (210-128 a.C.) pondo as seguintes palavras na boca de Sólon (que viveu
no fim do século VII e início do VI a.C.), “Os que vivem na corte dos reis são exatamente como as
peças de uma mesa de contar. É a vontade do calculador que lhes faz valer um khalkos ou um
talento17.” No entanto, as descrições do uso do ábaco grego não são feitas apenas pelo texto, mas
também pela imagem. O Vaso de Dário (Figura 24), segundo Ifrah (1997, p. 424), é o exemplo mais
célebre.
O vaso de Dário (Darius Painter) é um vaso famoso que foi pintado por um pintor grego anónimo.
É proveniente de Canossa, na Itália do Sul (outrora colónia grega). Foi descoberto em 1851 e
encontra-se, atualmente, em exposição no Museu Arqueológico Nacional de Nápoles. Segundo
(Ifrah, 1997), o vaso é datado de 350 a.C. Ifrah (1997, p. 424) supõe que as diversas pinturas que
ornam o vaso descrevem as atividades de Dario durante as suas expedições militares.
Por toda a superfície do vaso (desde a parte de cima até à base do vaso) estão registadas várias
inscrições figurativas e várias temáticas. Uma das temáticas está indiretamente ligada ao uso do ábaco
e foi chamada de “A arrecadação de impostos” (Wikimedia, 2019). Aparece na parte que fica junto
à base do vaso como mostram as Figuras 25 e 26.
17 O talento e o khalkos eram, respetivamente, a mais forte e a mais fraca das unidades monetárias da Grécia antiga.
Figura 24 - vaso de Dário no Museu Arqueológico de Nápoles (Museu de Napoli de file: Museu de Napoli do vaso de Dario sem background.jpg)
45
O ábaco apresenta-se como elemento de cálculo em diversas culturas, tendo sido introduzido
e reinventado de acordo com as necessidades de cada uma delas no momento histórico vivenciado
(Albuquerque, Costa Pereira, & Batista Alves, 2018). A seguir apresenta-se uma breve descrição da
generalidade dos ábacos introduzidos e/ou reinventados ao longo dos tempos numa perspetiva
histórica, evolutiva e com possíveis aplicações em educação matemática.
Figura 25 - Vaso de Dario – A arrecadação de impostosa) (Museu de Napoli de file: Darius vaso Tax collection.jpg)
Figura 26 - Vaso de Dario – A arrecadação de impostosb) (Museu de Napoli de file: Darius Vase abacus.jpg)
Explicação sumária da arrecadação de impostos no
vaso de Darius:
Um cobrador de impostos está a receber
pagamentos. Numa mesa efetua os cálculos com
pequenos seixos. A placa contém várias letras gregas
com correspondência a ordens e classes de números,
por exemplo: M (= 10.000), Ψ (= 1000), H (= 100),
Δ (= 10) e Γ (= 5). De acordo com o número que se
deseja representar são colocados seixos brancos ao
lado de cada letra. Na mesa aparecem ainda uns
símbolos usados na altura para representar as
moedas gregas: O, C e T. Estes três símbolos
assemelham-se aos do Salamis tablet (Wikimedia,
2019).
46
3.1.1. Ábaco Mesopotâmico
Talvez o ábaco tenha tido a sua origem na Mesopotâmia18, há mais de 5500 anos. Este ábaco
consistia numa pedra/tábua lisa de argila coberta com areia, pó, serragem ou cal para permitir que se
desenhasse sobre ela com um bastão. Para ajudar nos cálculos eram usadas bolas de pedra que
deslizavam por orifícios desenhados sobre a pedra. (Soares & Souza Albuquerque, 2017) e
(Wikipedia, Ábaco, 2020). A Figura 27 ilustra um ábaco Mesopotâmico.
3.1.2. Ábaco Grego
O mais antigo ábaco descoberto até agora é a tábua de Salamina,
designada em inglês por “Salamis Tablet” (Figura 28). Foi descoberta na
ilha grega de Salamina em 1846, daí a designação de mesa de Salamina.
Vários autores referem que poderá ter sido usada pelos babilónios. Servia
para registar somas de dinheiro e para tabuleiro de jogo. É de mármore,
com cerca de 149 × 75 × 4,5 𝑐𝑐𝑐𝑐, e encontra-se no Museu Epigráfico
de Atenas. É conhecido como o ábaco grego (300 a.C.) (CHM, Abacus,
2019).
18 A Mesopotâmia era a palavra que os gregos utilizavam para indicar as terras entre os rios Tigre e Eufrates. Atualmente, corresponde aos territórios do norte da Síria e grande parte do Iraque, terminando no Golfo Pérsico.
Figura 28 - Salamis Tablet (CHM, Abacus, 2019)
Figura 27 - Ábaco Mesopotâmico (2700 – 2300 a.C.) (Wikipedia, Ábaco, 2020)
47
No Salamis Tablet (Figura 28) estão representados dois conjuntos de segmentos de reta paralelos.
O conjunto representado abaixo, na tábua, é constituído por onze segmentos de reta paralelos. O
conjunto representado acima, na tábua, é formado por cinco segmentos de reta paralelos. Os dois
conjuntos de segmentos de reta paralelos estão divididos, pelo ponto médio de cada segmento de reta,
por um segmento de reta perpendicular. O terceiro, sexto e nono segmento de reta, dos onze, estão
marcados por uma cruz no ponto de interseção dos segmentos de reta paralelos e do segmento de reta
perpendicular. Os caracteres gregos que se encontram gravados nos três lados da tábua servem para
registar somas de dinheiro no sistema monetário grego (a unidade básica é dracma, mas também
existem duas unidades menores – óbolos e khalkois, e duas maiores, minas e talentos19). Os quatro
primeiros segmentos de reta do grupo dos cinco segmentos de reta representados dizem respeito a
frações do dracma: o primeiro correspondendo a um khalkoi (148� de um dracma), o segundo a um
quarto de óbolos (124� de um dracma), o terceiro, a um semi-óbolos (1
12� de um dracma) e o quarto
a um óbolo (16� de um dracma). Os cinco primeiros segmentos de reta do grupo dos onze estão
associados a múltiplos do dracma: o primeiro diz respeito às unidades, o segundo às dezenas, o
terceiro às centenas e assim sucessivamente. Os últimos cinco segmentos de reta do grupo dos onze
dizem respeito aos talentos, unidade de talento, dezenas de talentos, centenas de talento e assim
sucessivamente (CHM, Abacus, 2019). As pedras ou as peças que eram depositadas no ábaco valiam,
cada uma, uma unidade simples, mas mudavam de valor, de acordo com o lugar que ocupassem.
(Ifrah, 1997, p. 427)
A Figura 29 é uma representação de 17 talentos, 1173 dracmas, 3 óbolos, 1 semi-óbolo, 1
quarto de óbolo e 1 khalkoi no Salamis Tablet (Ifrah, 1997, p. 427).
19 1 talento = 60 minas; 1 mina = 100 dracmas; 1 talento = 6000 dracmas.
Figura 29 - representação de números (sistema numérico Grego) (Ifrah, 1997, p. 427)
48
3.1.3. Ábaco Romano
Calculi
Segundo (Ifrah, 1997, p. 427) os etruscos e os seus sucessores romanos adotaram também
ábacos de peças ou fichas. Para os romanos há vários testemunhos escritos do ábaco romano de
calculi. Por exemplo, o curto extrato das Sátiras de Juvenal: Computat, et ceuet. Ponatur calculus,
adsint cum tabula pueri; numeras sestertia quinque omnibus in rebus; numerentur deinde labores.
(“Calcula e desloca para trás. Que se ponham aí as pedras [= calculus], que os escravos venham com
a mesa [de contar]; tu encontras cinco mil sestércios em tudo. Faz agora o total de meus trabalhos.”).
O ábaco romano calculi ilustrado na Figura 30, consistia numa mesa na qual divisões em
linhas paralelas (colunas), traçadas preliminarmente, separavam as diferentes ordens de unidades da
numeração latina. Cada uma das colunas traçadas representava, geralmente, uma potência de base 10.
Partindo da direita para a esquerda, a primeira coluna correspondia às unidades, a seguinte, às
dezenas, a terceira, às centenas, a quarta, às unidades de milhar e assim sucessivamente. Para
representar os números bastaria colocar tantas pedras ou fichas (com valor de uma unidade simples)
quantas fossem necessárias (Ifrah, 1997, p. 429). “Essas peças de contagem foram chamadas pséphoi
pelos gregos (literalmente, “pedra”, “número”) e calculi (singular: calculus) pelos romanos.”
(Ifrah, 1997, p. 430)
Para representar, por exemplo, o número 3765 nas
colunas do ábaco, era necessário colocar em cada coluna um
número de fichas igual a quantas unidades houvesse em cada
ordem em questão, ou seja, 5 peças na primeira, 6 na segunda,
sete na terceira e 3 na quarta. Se o zero ocupasse alguma ordem
nessa coluna não se colocava nada. Quando se atingiam as dez
fichas numa coluna estas eram substituídas por uma ficha na
coluna de grandeza imediatamente superior. (Mateus, Silva , &
Rebola, 2004) (Figura 31).
𝑪𝑪� 𝐗𝐗� M C X I
3 7 6 5
Figura 30 - um ábaco romano calculi (reconstituição) (Ifrah, 1997, p. 429)
Figura 31 - O princípio do ábaco romano de calculi (Mateus, Silva , & Rebola, 2004)
49
Para simplificar, os romanos, subdividiram cada uma
das colunas da Figura 30 em duas partes. Uma peça na parte de
baixo designa uma unidade de ordem correspondente enquanto
que uma peça da parte de cima vale metade da ordem
imediatamente superior (5 para a parte superior da primeira
coluna, 50 para a da segunda, 500 para a terceira, etc.). (Ifrah,
1997, p. 430) ( Figura 32).
“Graças a essas divisões e a um jogo sutil de peças
(acrescentando, subtraindo ou colocando uma ou várias dentre
elas de uma coluna para a outra), chegava-se, portanto, a
efetuar cálculos.” (Ifrah, 1997, p. 431)
Ábaco de Cera
Outro tipo de instrumento de cálculo usado pelos romanos era o ábaco de cera. “Verdadeira
“calculadora” portátil que se pendurava no ombro, esse ábaco consistia numa pequena prancheta
de osso ou madeira, untada de uma fina camada de cera negra em que se delimitavam colunas
sucessivas e em que se traçavam os algarismos mediante um estilete de ferro (e cuja ponteira
circular, numa das extremidades, servia para apagar por pressão na superfície da cera).” (Ifrah,
1997, p. 438)
Segundo escreve Ifrah (1997, p. 439), Horácio (65 - 8 a.C.) 20 fazia referência ao ábaco de
cera no primeiro livro de Sátiras:
“… causa fuit pater his, qui macro pauper agello noluit in Flavi ludum me mittere, magni quo
pueri magnis e centurionibus orti laevo suspensi lóculos tabulanque lacerte ibant octonos referentes
Idibus aeris…”. “(… devo a meu pai que, pobre de um magro pequeno bem, não quis me enviar à
escola de Flavíus, em que as crianças nobres, originárias de nobres centuriões, com sua caixa de
escaninho e sua prancheta [= tabulanque] penduradas no ombro esquerdo, iam pagando aos Idos
oito escudos de bronze …)”
20 Um dos maiores poetas da Roma Antiga, Quinto Horácio Flaco, em latim Quintus Horatius Flaccus (65 a.C. — 8 a.C.), seguia a forma de pensar do filósofo grego Epicuro. Destacando a importância de se aproveitar o presente sem demonstrar muita preocupação com o futuro, criou a expressão Carpe Diem – frase em latim de um de seus poemas traduzida como "aproveite o momento". Em Sátiras, Horácio retrata com ironia os costumes de seu tempo, ao criticar a sociedade romana e discutir questões éticas.
𝑪𝑪� 𝐗𝐗� M C X I
3 7 6 5
Figura 32 - Simplificação do ábaco de fichas (Ifrah, 1997, p. 430)
50
A primeira “calculadora” de bolso
O ábaco romano de “bolso” (Figura 33) (Ifrah, 1997, p. 443) consiste numa tábua de metal
com nove colunas de ranhuras paralelas. Fazendo uma leitura da Figura 33, da esquerda para a direita:
• as primeiras oito colunas têm duas ranhuras cada uma, ranhuras superiores e inferiores.
• a última coluna é diferente pois tem três ranhuras.
• cada ranhura corresponde a uma ordem de números e nela deslizam os calculis.
• as sete colunas de ranhuras da esquerda representam as potências de 10 e as restantes duas colunas
da direita, serviam para marcar as unidades monetárias e as suas subdivisões.
No ábaco da Figura 33 pode ler-se, em numeração romana, da direita para a esquerda, a
ranhura que diz respeito às unidades, a que diz respeito às dezenas, a que diz respeito às centenas e
por aí em diante até à última ranhura das unidades de milhão (marcadas com I, X, C, ...). As contas
nas ranhuras superiores mais curtas representam múltiplos de cinco: cinco unidades, cinco
dezenas, etc. As ranhuras superiores contêm uma única conta, enquanto que as ranhuras inferiores
contêm quatro contas. As únicas exceções são as duas últimas colunas (leitura da esquerda para a
direita). As duas primeiras colunas (leitura da direita para a esquerda) representam frações. A coluna
marcada com Ө com cinco contas permitia a contagem de 1/12 21 de uma unidade inteira
chamada uncia (da qual as palavras em inglês polegada e onça são derivadas). A primeira coluna, a
contar da direita para a esquerda, está dividida em três ranhuras. A ranhura de cima, marcada com S,
serve para marcar meia uncia; a ranhura do meio regista um quarto de uncia e a ranhura restante serve
para indicar um terço de uncia ou um duella (CHM, Abacus, 2019).
21 Os romanos usavam o sistema duodecimal (base 12) para números fracionários apesar do seu sistema de contagem ser decimal.
Figura 33 - Ábaco Romano de "bolso" (em bronze) – início da era cristã (http://romanmath.edgemoor.com/)
51
Na Figura 34 seguem-se exemplos de representações de números racionais positivos no ábaco
romano de “bolso” (Mallon, 2008).
1 10 112
5
12
5 50 612
1112
12
14
34
=12
+14
13
Figura 34 - representação de números racionais positivos - ábaco romano de “bolso" (Mallon, 2008)
No Museu de Arqueologia D. Diogo de Sousa, em Braga, encontra-se exposta a reconstituição
de um ábaco romano com três contas encontradas em escavações em Bracara Augusta e no território
em seu redor (Figura 35).
Figura 35 - reconstituição de um ábaco romano – Bracara Augusta
52
3.1.4. Ábaco de Gerbert/ Ábaco de Silvestre
Durante a chamada “Idade das Trevas” (Idade Média22) na Europa Ocidental, a arte de contar
com o ábaco foi mais ou menos esquecida assim como, a produção e transmissão de conhecimentos
científicos, tendo sido considerada por Boyer (1974, p. 182) a “idade das trevas da ciência”,
fortemente influenciada pelo poder da Igreja Católica. Um dos primeiros cientistas, a contrariar “o
clima matemático” da altura, foi Gerbert de Aurillac (Figura 36), papa da igreja Católica matemático23
(999 d.C. a 1003 d.C.), Silvestre II (CHM, Abacus, 2019).
Gerbert de Aurillac nasceu em França, perto de Aurillac, não havendo certezas absolutas da
localidade onde nasceu e que, segundo Ferreira (2008), alguns historiadores dizem ter sido em
Auvergne e outros em Belliac. Foi educado nos estudos teológicos no mosteiro beneditino de Saint-
Géraud de Aurillac e mais tarde, acompanhado pelo conde Borrel de Barcelona, foi para Espanha
para se instruir em ciências nas escolas muçulmanas (Eves, 2011). Em 970 foi para Roma
surpreendendo o papa João VIII e o imperador da Alemanha e Itália, Otto I, com os seus
conhecimentos matemáticos que o levaram a ensinar matemáticas na corte do imperador. Em 972
partiu para Reims como professor e nessa altura criou o seu ábaco de calcular. Até 999 exerceu outras
funções para além do ensino tais como o de arcebispo de Reims e arcebispo de Ravenna. Foi amigo
e tutor de Otto III24 que em 999 favoreceu a sua eleição ao papado (Boyer, 1974). Gerbert escreveu
várias obras matemáticas tais como: Regula de Abaco Computi, Libellus de numerorum divisione, de
Geometria, Liber ábacos e Libellus de rationali et ratione uti. No âmbito da matemática escreveu
ainda uma carta a Adelbold sobre o cálculo da área dos triângulos e várias cartas a Constantin sobre
assuntos diversos entre os quais se encontram a esfera e o Regula de Abaco Computi, mencionado na
carta número 160, segundo afirma Ferreira (2008). Foi ainda autor de várias obras de filosofia e
teologia. Escreveu algumas poesias, algumas atas relativas à sua administração como arcebispo de
22 O seu início é marcado pela tomada de Roma pelos germanos em 476 e o seu fim é assinalado pelo ataque de Constantinopla, capital do Império Romano do Oriente, tomada pelos turcos em 1453.
23 João XXI ( Pedro Hispano), Papa (20/09/1276 até à data da sua morte), português do século XIII, tendo sido também um matemático.
24 Oto III foi imperador do Sacro Império Romano-Germânico, com apenas 16 anos, de 996 até 1002 e rei da Alemanha de 983 até 1002.
Figura 36 - Gerbert de Aurillac (946 − 1003) (Basilica of Saint Paul Outside the Walls, Rome)
53
Ravenna, várias bulas papais e uma grande quantidade de cartas para além das mencionadas no âmbito
da matemática (Ferreira E. S., 2008).
De acordo com Ferreira (2008) e Eves (2011) é a Gerbert que se deve a introdução na Europa
Cristã dos numerais hindu-arábicos (sem o zero) quando escreveu o seu tratado do uso do ábaco,
Regula de Abaco Computi. Pelo facto de utilizar uma simbologia própria para cada quantidade, os
algarismos hindu-arábicos e a representação deles no ábaco, foram pouco compreendidos e
divulgados na época por introduzirem entes abstratos ao sistema concreto e manipulável do ábaco
(Albuquerque, Costa Pereira, & Batista Alves, 2018). Segundo Eves (2011, p. 290) atribui-se também
a este matemático a construção de globos terrestres, um relógio e, talvez, um órgão. Estes feitos
somados à construção de ábacos por Gerbert corroboraram em alguns dos seus contemporâneos a
suspeita de que tinha vendido a alma ao demónio. Deste modo, após a sua morte (em 1003), quatro
anos após ter sido eleito papa, o seu corpo foi arrastado pela multidão para um pátio, mutilado e em
seguida esquartejado pelos cardeais.
Apesar da contribuição dada por Gerbert na difusão dos numerais hindu-arábicos, só a partir
do século XIII, com a publicação do livro Liber Abaci (ou livro do ábaco), em 1202, de Leonardo de
Pisa (1170-1250) (conhecido também por Fibonacci) é que se torna conhecido em toda a Europa
cristã o sistema numérico que utilizamos até hoje, já com a inclusão do zero. Segundo (Boyer, 1974)
o livro Liber Abaci tem um título enganador pois não aborda o ábaco. “Trata-se de um tratado muito
completo sobre métodos e problemas algébricos em que o uso de numerais indo-arábicos é
fortemente recomendado”.
O ábaco de Gerbert era composto por 27 arcos ou colunas (Figura 37). Na primeira coluna
está representada a unidade, na segunda coluna o número 10 (10 vezes a unidade), na terceira coluna
o número 100 (10 vezes o número da coluna anterior), na quarta coluna o número 1000 (10 vezes o
número da coluna anterior) e assim sucessivamente (Albuquerque & Costa Pereira, 2018).
Figura 37 - representação do Ábaco medieval utilizado por volta do século XI (Albuquerque & Costa Pereira, 2018)
54
As colunas possuem uma inscrição superior em algarismos romanos, sendo I para a unidade,
X para a dezena, C para a centena e assim sucessivamente. A diferença entre o ábaco de Gerbert e o
ábaco romano (Figura 30) residia na existência de nove algarismos representados por símbolos (
Figura 37) que eram movimentados nas colunas, assumindo valor posicional, facto que facilitava a
realização de cálculos. Estes símbolos eram confecionados com materiais disponíveis na época, como
pedras, chifres de bois, metais, entre outros. O desenho deles consta no início da cópia manuscrita
do tratado Regula de Abaco Computi de Gerbert e estão ilustrados na Figura 38 (Albuquerque &
Costa Pereira, 2018).
Figura 38 - Símbolos arábicos: representar as quantidades no ábaco (Albuquerque & Costa Pereira, 2018)
De acordo com Ferreira (2008) estes nove símbolos são denominados por Gerbert de igin,
andras, ormis, arbas, quimas, calcus, zenis, temenias e celentis, que correspondem, respetivamente a
um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito e nove.
Na Figura 39 pode-se ver a representação do número 3765 no ábaco de Gerbert com recurso
a estes símbolos (número já representado nesta dissertação, no ábaco romano calculis, seção 3.1.3.1.).
Figura 39 - representação do número 3765 - ábaco de Gerbert
Segundo Boyer (1974, p. 182) a “Europa antes e durante o tempo de Gerbert ainda não estava
preparada para o desenvolvimento da matemática” pois baseava-se na produção de textos
eclesiásticos sem grandes criações matemáticas. No entanto, fora da Europa, ainda na época de
Gerbert produzia-se considerável conhecimento científico muçulmano, mas que devido ao
desconhecimento da língua árabe os estudiosos latinos contemporâneos não conseguiram apreciar.
No início do séc. XII a barreira da língua árabe fora ultrapassada e iniciou-se o período de traduções
de várias obras, inicialmente e exclusivamente, do árabe para o latim. Posteriormente no séc. XIII
existiam já muitas variantes de traduções, do árabe para o espanhol, do árabe para o hebraico, do
grego para o latim ou combinações tais como do árabe para o hebraico para o latim. Precisamente
durante o período de traduções dos séculos XII e XIII surgiu a palavra “algoritmo” por confusão de
5 unidades 7 centenas
6 dezenas
3 unidades de milhar
M C X I
55
tradução em relação ao nome do matemático e astrónomo Al-Khowarismi e começaram a surgir
exposições sobre os numerais hindu-arábicos. Já no séc. XIII autores de várias classes sociais
ajudaram na popularização do “algorismo” tais como Alexandre de Villedieu (por volta de 1225),
John de Halifax, conhecido por Sacrobosco (1200-1256) e como já foi referido Leonardo de Pisa mas
só no séc. XVI é que prevalece o cálculo por algoritmos. De notar a rivalidade existente entre
“abacistas” e “algoristas” durante séculos até ao triunfo destes últimos, no XVI. Na xilogravura de
Margarita Philosophica25 de Gregorius Reisch representada na Figura 40 pode ser observada essa
rivalidade em que a senhora "Arithmetica" (simbolizada pela mulher de pé no centro da gravura)
assiste a um duelo entre os matemáticos Pitágoras e Boécio. Para operar com números Pitágoras
manipula o ábaco e o matemático Boécio realiza operações matemáticas utilizando algarismos hindu-
arábicos. “O ábaco é apresentado nessa ilustração como um mecanismo de aplicação prática, com
o qual os números podem ser manipulados de forma concreta.” (Albuquerque, Costa Pereira, &
Batista Alves, 2018).
Mais um século e os abacistas haviam sido quase esquecidos, sendo que perto do século XVIII
não restava mais nenhum traço do ábaco na europa Ocidental. Seu reaparecimento deveu-se ao
geómetra francês Poncelet, que levou um exemplar para a França depois de ter sido libertado como
prisioneiro de guerra na Rússia (Eves, 2011, p. 40).
25 Gregor Reisch (1467-1525) é o autor da obra Margarita Philosophica (Pérola Filosófica): título de uma enciclopédia do início do século XVI que espelha o saber enciclopédico do seu tempo, o curriculum universitário de então e o estado do conhecimento científico dos finais do século XV e inícios do século XVI. Como num manual de catecismo, a exposição do texto segue o esquema de pergunta/resposta. O estudante coloca as questões e o mestre responde. Deste seu carácter didático resulta outra das particularidades da obra que é a abundância de gravuras com que cada livro é ilustrado. Gravuras essas sobre gramática, anatomia, cosmografia, matemática, música, ótica e meteorologia. “Graças à sua brevidade e graciosidade, a Margarita Philosophica tornou-se muito popular e veio a ser livro de texto em muitos Colégios e Universidades (especialmente na tradição alemã), tendo contribuído para a difusão do conhecimento, durante cerca de meio século.” A Biblioteca Geral da Universidade de Coimbra possui cinco exemplares desta obra.” (Miranda, 2008)
Figura 40 - xilogravura de Margarita Philosophica de Gregor Reisch publicada em Freiburg em 1503 (Science & Society Picture Library)
56
3.1.5. Ábaco Egípcio
Um dos registos mais antigos do uso do ábaco no antigo Egipto foi documentado no séc. V a.
C. por Heródoto (484 a.C. - 425 a.C. )26 em “As histórias de Heródoto” no Livro II, Euterpe, XXXVI:
“ Os Gregos escrevem e calculam com tentos, manejando-os da esquerda para a direita; os Egípcios,
ao contrário, manejam-nos da direita para a esquerda, mas afirmam que escrevem e calculam para
a direita, e os Gregos, para a esquerda.” (Broca, 2006)
Segundo Soares & Sousa Albuquerque (2017) o uso do ábaco no antigo Egito foi também
referido pelo historiador grego Crabertotous27 quando escreve “sobre a forma do uso de discos
(ábacos) pelos egípcios, que era oposta na direção quando comparada com o método grego”.
Soares & Sousa Albuquerque (2017) referem que foram encontrados discos antigos de vários
tamanhos, por arqueólogos, que terão sido usados como material de cálculo pelos antigos egípcios. É
ainda referido por estes autores que persistem dúvidas sobre a intenção do uso do ábaco pelos antigos
egípcios pelo facto de não terem sido encontrados, até ao momento, registos da forma de utilização
do ábaco. A Figura 41 ilustra a representação do número 6302715408 no ábaco Egípcio. (Wikipedia,
Ábaco, 2020)
3.1.6. Ábaco Chinês
26 Heródoto foi um geógrafo e historiador grego, autor da história da invasão persa da Grécia nos princípios do século V a.C., conhecida como “As histórias de Heródoto”. 27 Da pesquisa efetuada não foi possível obter informações sobre a vida de Crabertotous.
Figura 42 - ábaco chinês: suan pan (modelo atual)
Figura 41 - Ábaco Egípcio - com a representação do número 6302715408 (Wikipedia, Ábaco, 2020)
57
A menção mais antiga a um ábaco chinês conhecido como suan pan (Figura 42) é encontrada
num livro do século I da Dinastia Han Oriental, “Notas Suplementares na Arte das Figuras”, escrito
por Xu Yue. Suan pan significa “prato de cálculo” (Pombo, 2003) e com ele é possível realizar
operações que mobilizam a multiplicação, a divisão, a adição, a subtração, a raiz quadrada e a raiz
cúbica de forma rápida (Wikipedia, Ábaco, 2020). À semelhança do ábaco Egípcio, este ábaco tem 2
contas em cada vareta superior e 5 contas nas varetas inferiores, razão pela qual este tipo de ábaco é
também designado como o ábaco 2 5⁄ .
Segundo Ifrah (1997, p. 598), na República Popular da China o suan pan é utilizado pelo
mercador ambulante que não sabe ler nem escrever, pelo comerciante, banqueiro, hoteleiro,
matemático ou astrónomo. O manuseamento do suan pan está tão ancorado nas tradições do Extremo
Oriente que mesmo os chineses e os vietnamitas “ocidentalizados” de Bangkok, Singapura, Taiwan,
Polinésia da Europa e América (que têm a possibilidade de utilizarem muito facilmente calculadoras
e computadores) continuam a realizar cálculos com este instrumento.
A Figura 43 diz respeito a Wong Mon Tong, fundador do primeiro restaurante
chinês em Boston (Hong Far Low), em 1879, e pretende corroborar a ideia do
enraizamento do uso do suan pan pelos chineses. Em vez da utilização da calculadora
para efetuar os cálculos os funcionários do restaurante optaram pelo uso do ábaco
durante décadas (CHM, Abacus, 2019).
3.1.7. Ábaco Japonês
Segundo Tejón (2007, p. 7), o ábaco japonês, designado por soroban, tem a sua origem no século
XVI. Inicialmente tinha uma disposição de contas 2 5⁄ como o suan pan chinês mas foi eliminada uma
das contas superiores, ficando com a disposição 1/5. No início do século XX perdeu uma das contas
inferiores ficando com a atual disposição 1/4 que é a mais adequada ao sistema decimal usado
atualmente (Figura 44). “As contas do soroban são pequenas, finas e têm as bordas afiladas. Com
este formato melhora-se notavelmente a rapidez nos movimentos, e como consequência a dos
Figura 43 - Retrato de Wong Mon Tong (CHM, Abacus, 2019)
Figura 44 - ábaco Japonês: Soroban (modelo atual) – propriedade da autora
58
cálculos. Sem dúvida, o soroban é o ábaco mais evoluído e com o qual se realizam os cálculos com
maior rapidez.” (Tejón, 2007, p. 7)
A destreza dos que aprendem a utilizar o ábaco permite-lhes cálculos muito complexos num
curtíssimo espaço de tempo. Como demonstração desta eficiência referem-se dois concursos
utilizando o ábaco, o primeiro realizado em 1946, em Tokyo e o segundo em 2006 no Brasil.
Sob o patrocínio do The Stars and Stripes (jornal do U. S. Army) realizou-se em Tokyo (no
teatro Ernie Pyle), a 12 de Novembro de 1946, um concurso entre um ábaco e uma calculadora
eletromecânica. O representante da calculadora eletromecânica foi Thomas Nathan Wood, soldado
da segunda classe da 240ª seção financeira do quartel general das forças americanas no Japão, que
tinha sido designado como o “maior especialista em calculadora eletromecânica do exército
americano no Japão”, e o representante do ábaco foi Kiyoshi Matsuzaki, campeão de soroban do
Ministério Japonês de Comunicações. (Ifrah, 1997, p. 600), (Tejón, 2007, p. 8) e (Pombo, 2003).
A competição envolveu disputas de velocidade e precisão dos resultados em cinco categorias (soma,
subtração, multiplicação, divisão e as quatro operações numa expressão numérica). A calculadora
elétrica ganhou apenas nas provas de multiplicação. O soroban ganhou em todas as outras. As Figuras
45 à 48 ilustram momentos do concurso realizado. (Nagano, 2018)
Figura 45 - concurso ábaco e calculadora – 12/11/1946(a) Figura 46 - concurso ábaco e calculadora – 12/11/1946(b)
Figura 48 - concurso ábaco e calculadora – 12/11/1946(d) Figura 47 - concurso ábaco e calculadora – 12/11/1946(c)
59
De acordo com Nagano (2018) a calculadora usada no concurso (Figuras 46 e 47) terá sido
uma Friden modelo ST ou ST-10 (o modelo mais avançado da sua época e que era conhecido como
a “Cadillac das calculadoras”).
No Brasil, a 21 de julho de 2006, para testar a velocidade do Soroban, o canal Made in Japan28
promoveu um desafio entre o Soroban e uma calculadora. Os concorrentes foram a analista financeira
Fátima Miazato usando a calculadora e o campeão brasileiro de Soroban na categoria Ditado, Mario
Yokota, utilizando o ábaco japonês. O desafio foi dividido em duas etapas. A primeira etapa consistiu
num ditado (designação dada pelos utilizadores de soroban e que é usada para medir a velocidade na
execução de cálculos), a segunda etapa consistiu na leitura e execução dos cálculos. Ambas as etapas
diziam respeito à adição de números. A professora Kátia Sayuri do Centro Paulistano de Soroban
ditou um conjunto de números que os concorrentes tiveram que adicionar:
725.194.083 + 947.381.562 + 592.743.610 + 134.206.958 + 680.537.241 + 398.670.154 +
810.725.936 + 549.036.278 + 281.547.609 + 402.368.917 = 5.522.412.348
Yokota, com o soroban, foi o mais rápido, obtendo o resultado pretendido em 32 segundos. Com
a calculadora não foi possível Fátima Miazto acompanhar o ditado devido à quantidade de dígitos
que teria de digitar.
A segunda etapa consistiu na leitura e execução da seguinte operação:
380.629.574 + 751.402.698 + 179.354.086 + 937.268.150 + 642.381.709 + 105.429.837 +
476.215.903 + 813.594.672 + 296.031.458 + 562.470.381= 5.144.778.468
A calculadora resolveu a operação em 31 segundos, enquanto que o ábaco fez a operação em 26 segundos (Japan, 2006).
O soroban realiza cálculos baseados no sistema decimal e tem um número variável de hastes
ou varetas (KETA) pelas quais deslizam as contas, geralmente treze hastes são suficientes para
operações comuns de soma e subtração, mas pode ficar pequeno para multiplicações e divisões
com números grandes (Tejón, 2007, p. 9).
28 “Made in Japan é um canal de conteúdo especializado em cultura japonesa que desvenda temas variados sobre cultura, tradições, moda, turismo, tecnologia e tudo que se conecta com as peculiaridades do Japão. Integrado na rede de conteúdos da Editora JBC, o canal também resgata as principais reportagens das edições da revista Made in Japan, que esteve em circulação entre 1997 e 2009 em formato impresso.” (JBC, 2020)
60
Nesta dissertação descreve-se um soroban com 17 varetas de acordo com o da Figura 49
(adquirido pela autora desta dissertação).
Atendendo ao facto de que a leitura do soroban se faz da direita para a esquerda, cada KETA
representa uma unidade, uma dezena, uma centena e assim sucessivamente e divide-se em duas
partes por uma barra divisória fixa horizontal (HARI). Quando todas as contas estão afastadas da
HARI o soroban mostra o algarismo zero em cada haste (diz-se que se encontra zerado), para a leitura
dos números é necessário considerar as contas que foram empurradas para a HARI. Deste modo,
as contas só têm valor quando se encontram apoiadas na barra divisória fixa horizontal. Na
parte superior há uma conta com o valor de cinco unidades (GODAMA), enquanto que na parte
inferior há quatro contas com o valor de uma unidade cada uma (ICHIDAMA). A Figura 50
ilustra a representação dos algarismos de 0 a nove no soroban e o sentido das setas indica a
movimentação das contas que se deve proceder para a obtenção desses algarismos. Ou seja,
quando movimentamos uma ICHIDAMA para cima, temos o número 1 , ao movermos duas
ICHIDAMA para cima, temos o número 2, e assim por diante. Para representarmos o número 5,
basta movermos uma GODAMA para baixo. Para formar o número 6, (5 + 1), deve-se mover uma
GODAMA para baixo e empurrar uma ICHIDAMA para cima (Silva A. L., 2005) e (Kajiwara, 2020).
Figura 49 - constituição de Soroban com 17 hastes
61
Figura 50 - representação dos algarismos de 0 a 9 no soroban (Bellos, 2010, p. 70)
Para marcar os diferentes algarismos deve-se colocar o soroban numa superfície horizontal e,
enquanto se prende o soroban com a mão esquerda, anotam-se os algarismos que compõem o número
com o qual se deseja fazer um cálculo utilizando-se a mão direita. As ICHIDAMAS são aproximadas
da HARI com o dedo polegar. Com o dedo indicador afastam-se da HARI as ICHIDAMAS e fazem-
se todos os movimentos das GODAMAS. Se é preciso de uma só vez aproximar da HARI ou afastar
dela a GODAMA e algumas ICHIDAMAS usam-se ambos os dedos simultaneamente, o polegar para
as ICHIDAMAS e o indicador para a GODAMA.
A Figura 51 ilustra a representação do número 9 876 543 210 utilizando o soroban virtual
disponível em http://www.alcula.com/soroban.php?number=34541213.
Figura 51 - Representação do número 9 876 543 210 no soroban
62
No site do jornal inglês The Guardian é possível ler-se um artigo da autoria de Alex Bellos29
na secção de ciências do jornal, Alex Adventures in Numberland, de 25 de outubro de 2012, com o
título “Abacus adds up to number joy in Japan. The Far East flies high when it comes to numeracy
while the West flounders. Is the abacus the secret of their success?”30 (Bellos, 2012). A primeira
fotografia que aparece no artigo é a da Figura 52 que, segundo Alex Bellos, ilustra a presença do
ábaco na cultura Japonesa e que é vendido em lojas ao lado de calculadoras eletrónicas.
Alex Bellos refere no seu artigo que se tinha dirigido ao Japão para fazer um
documentário para a BBC Radio 4 sobre a cultura numérica japonesa. Para esse efeito recorreu
a um dos 20 000 clubes de ábaco existentes no país, a Academia Urawa Soroban, onde se
deparou com crianças de apenas cinco anos de idade a realizarem cálculos incrivelmente
rápidos. Questionado sobre a importância da realização de cálculos rápidos num mundo em que,
segundo Alex Bellos, não é necessário o recurso ao ábaco o diretor da academia Chie Takayanag
justificou que no passado o recurso ao ábaco apenas tinha como finalidade a prática do cálculo,
atualmente o recurso ao ábaco é no sentido da promoção da concentração e memorização. Chie
Takayanag refere ainda que, encarado como um desporto, o cálculo com o ábaco é divertido. Quando
se alcança certos níveis de proficiência são concedidos Dans à semelhança das artes marciais31.
Os níveis de proficiência em soroban seguem o padrão das artes marciais e iniciam-se por
níveis decrescentes de Kyu (palavra que significa classe), variando desde o 15º Kyu até ao 1º Kyu,
29 Alex Bellos escreve sobre matemática para o jornal The Guardian e é autor do livro, Alex’s Adventures in Numberland, citado nesta dissertação.
30 Tradução para português: Ábaco soma alegria no Japão. O extremo oriente voa alto quando se trata de aritmética, enquanto o ocidente se atrapalha. Será o ábaco o segredo do sucesso deles?
31 “Nas artes marciais japonesas há diferentes níveis, ou dan, usualmente progredindo do primeiro até ao nono ou décimo dan. Os níveis mais baixos normalmente podem ser atingidos através de exames ou competições; os mais altos, entretanto, requerem décadas de experiência e contribuição para a arte, por intermédio de atividades de instrução, pesquisa ou a publicação de trabalhos escritos. Essas graduações só podem ser conferidas pelos representantes hierarquicamente mais elevados de um determinado estilo ou organização.” (Dan (artes marciais), 2018)
Figura 52 - No Japão, o ábaco ainda é vendido em lojas ao lado de calculadoras eletrónicas (25/10/2012)
63
que seria como que um faixa preta em soroban. Para conquistar cada classe, o aluno deve passar num
teste com limite de tempo. No caso do primeiro Kyu é suficiente saber realizar adições e subtrações
simples. Depois de chegar ao 1.º Kyu o praticante que desejar um nível maior de proficiência deverá
obter o Dan (palavra que significa grau), que varia do 1.º ao 10.º. Quanto maior o Dan maior o grau
de proficiência.
No Japão existe um número significativo de associações organizadas e que disputam
acirradamente campeonatos locais, nacionais e internacionais, produzindo verdadeiros campeões e
ídolos. Segundo Kelly Kajiwara (2020) “Os especialistas afirmam que depois de dois ou três anos,
os praticantes de soroban conseguem fazer os cálculos de forma totalmente mental e sem o uso do
instrumento.” A essa técnica chama-se “Flash Anzan”. Kelly Kajiwara (2020) refere que “a forma
mais impressionante de Flash Anzan é testada no campeonato nacional anual de cálculo mental o
All-Japan National Soroban Championship”. A Figura 53 mostra o 38º campeonato de soroban que
decorreu no dia 30 de julho de 2019.
Neste campeonato participaram 800 concorrentes do Japão e alguns da Coreia do Sul. O mais
jovem tinha 8 anos e o mais velho 69 anos. “Multiplicando e dividindo números com até 16 dígitos,
eles enviaram cliques rápidos e rápidos através da sala como uma chuva de verão”. (Rich, 2019). Na
categoria 32 do Flash Anzan 15 números entre 100 e 999 aparecem consecutivamente e muito
rapidamente no ecrã gigante, o objetivo é somá-los no menor tempo possível.
32 Exemplo de outras categorias: Fundamental I (8 a 10 anos), prova de Ditado Cálculo Mental, categoria única (9 a 18 anos).
Figura 53 - All-Japan Abacus Championship no Kyoto International Conference Center, no Japão (Rich, 2019)
64
Segundo Rich Motoko (2019) cerca de 43 000 estudantes japoneses têm aulas avançadas de
soroban em escolas particulares no Japão, de acordo com estimativas do governo, embora as
associações de soroban afirmem que o número é maior. Os estudantes que se destacam pela obtenção
do Kyu e/ou Dan competem em torneios, por exemplo, o do All-Japan Abacus Championship.
De acordo com Rich Motoko (2019), até ao início dos anos 1970 às crianças do ensino básico
em todo o Japão eram ensinadas as técnicas de cálculo no soroban. No final dos anos 70, o Ministério
da Educação para reforçar as capacidades científicas e tecnológicas da população japonesa reduziu
significativamente o tempo dedicado ao uso do soroban nas escolas. Em 1989 o Ministério da
Educação reconheceu o valor das técnicas de cálculo com o soroban no ensino dos conceitos básicos
de matemática e reformulou o currículo do ensino básico de modo a incluir o estudo soroban não
apenas no terceiro ano, mas também no quarto ano. No entanto os livros didáticos desses dois anos
incluem apenas algumas páginas dedicadas à aprendizagem do soroban traduzindo-se apenas em duas
horas por ano letivo no terceiro e quarto anos de escolaridade. A Figura 54 ilustra uma aula de ensino
básico do uso do ábaco numa escola pública de Tóquio.
O soroban é também usado em escolas de outros países para além do Japão e até ao ano 201433
existiam mais de vinte países a usar o ábaco (Association, 2014).
33 Hungria, E.U.A., Brasil, China, Taiwan, Coreia, Tonga, Malásia, Tailândia, Singapura, Indonésia, Nova Zelândia, Vietname, Fiji, México, Índia, Filipinas, Canadá, Austrália, Samoa, Venezuela, Camboja, Laos, Gana, Brunei, Lituânia, Jordânia e Paquistão.
Figura 54 - uma aula de ensino básico do uso do ábaco numa escola pública de Tóquio
65
Nos acervos de sites da Internet encontramos várias escolas privadas ligadas à prática de
soroban e preparação para campeonatos. Nomeadamente, o Anzan Mega Arithmetic, Aloha Mental
Arithmetic e rede de escolas Supera (as duas últimas escolas funcionam em Portugal).
Anzan Mega Arithmetic34 é dirigido a jovens entre os 5 e os 12 anos. Programa de treino
cujo objetivo principal é o de ajudar as crianças a melhorar a sua inteligência, capacidade de memória,
pensamento e concentração. Tornar as operações mais rápidas é um subproduto do programa, pois a
aritmética e os números são usados como meio de treino neste sistema. O Programa de treino tem a
duração de dois anos, divididos em quatro módulos, é paralelo aos programas escolares e prepara as
crianças em competições. Em (Anzan, 2020) tem-se acesso aos programas de treino e à descrição
completa de cada um deles.
O Aloha Mental Arithmetic, nascido na Malásia em 1993, consiste num programa de
desenvolvimento mental, desenhado para crianças dos 5 aos 13 anos de idade com recurso à utilização
do ábaco, sem utilização da calculadora, papel e lápis. Atualmente é aplicado em mais de 30 países
dos cinco continentes.
“É um modelo com base num instrumento do passado, mas com os olhos postos no futuro. O
programa ajuda a desenvolver diferentes competências que acompanham as crianças ao longo da
vida ao melhorar a atenção e concentração, a orientação espacial, a memória fotográfica, a
criatividade, a imaginação, a visualização. No final do programa, as crianças são capazes de fazer
cálculos que envolvam até 17 algarismos sem utilizarem calculadora, nem lápis ou papel. No final,
o aluno será capaz de chegar ao resultado da operação (25 + 368 + 670 − 847) × 48 ÷ 16 +
7396 só com cálculo mental, só com ajuda do cérebro. O Aloha Mental Arithmetic está em Portugal
em vários centros de estudo e colégios do distrito do Porto. A estreia deste modelo aconteceu em
2014/2015 e abrangeu perto de 100 crianças dessa região. Há dois ciclos definidos conforme as
idades: o primeiro dos 5 aos 7 anos, o segundo dos 8 aos 13. No primeiro, os alunos aprendem os
fundamentos do cálculo com o ábaco e a aritmética mental. Em dois anos e quatro níveis desenvolvem
capacidades em matérias que dizem respeito a números. No segundo ciclo, desenvolve-se a prática
de cálculo mental e estimula-se, ao máximo, as capacidades intelectuais” (Porto Editora, 2015).
34 É um franchising distribuído por 12 países: Turquia, Cazaquistão, Emirados Árabes Unidos, Azerbaijão, Mongólia, Quirguistão, Colômbia, Usbequistão, Holanda, Vietnam, México e Turquemenistão.
66
No site oficial da Aloha Mental (http://www.alohaportugal.com/) é possível conhecer melhor o
programa da Aloha Mental Arithmetic em Portugal, as escolas, colégios, academias e centros de
estudo que trabalham com o programa assim como campeonatos que irão decorrer ao longo do ano.
São várias as referências que se encontram relativamente ao uso do ábaco no processo
ensino/aprendizagem. Tejón (Manual para uso do ábaco japonês Soroban, 2007, p. 7) refere que “[…
em pleno século XXI o ábaco, longe de ser um obsoleto instrumento de cálculo, apresenta
inumeráveis vantagens: seu uso habitual fomenta a habilidade numérica, melhora a capacidade de
concentração, de raciocínio lógico, a memória, a agilidade mental, o processamento da informação
de forma ordenada e a atenção visual. Poderia considerar-se que o uso do ábaco é uma excelente
forma de exercitar o cérebro, mantendo-o ativo e ágil em qualquer idade.]”. Soares &Sousa
Albuquerque (Matemática e Soroban, 2017) refere que: “Trabalhar a Matemática utilizando o
soroban desde a infância é um método que só visa a ajudar na aprendizagem, pois, se inserido desde
as séries iniciais, os alunos terão um melhor desempenho durante todo percurso escolar, podendo
ser utilizado por toda a sua vida. No início, o aluno pode sentir um pouco de dificuldade. Mas, com
o passar do tempo e o treino, ele passa a adquirir mais habilidade, tornando assim o cálculo mais
fácil e agradável.
Ao utilizar o soroban, o professor estará estimulando o raciocínio lógico matemático da criança,
capacitando-a na elaboração de novas estratégias de jogos e na resolução de problemas, ajudando
a desenvolver sua mente, a refletir e compreender tais conceitos, proporcionando uma forma
divertida e prazerosa de aprender Matemática, além de buscar relacionar a Matemática com
situações cotidianas e mostrar que ela está presente em quase todas as situações.
De facto, aprender Matemática não é tarefa fácil, mas é necessário criar e buscar métodos para
inovar o ensino e, assim, mostrar a real importância dessa área do conhecimento no dia-a-dia. Para
que isso aconteça, a mediação do professor é fundamental para que não ocorra apenas uma
aprendizagem de momento, e sim, uma reflexão sobre o que se está aprendendo, e levar esse
conhecimento sempre adiante.”
Entre 1978 e 1985, a Sharp fabricou vários modelos de um híbrido de calculadora eletrónica com
soroban para cativar um mercado ainda fiel ao ábaco: o “sorocal” Sharp ELSI MATE (SOROban +
CALculator). Fabricado na Coreia do Sul, com quatro modelos conhecidos (EL-8148, EL-8048, EL-
428 e EL- 429) tratava-se de uma calculadora de bolso alimentada por pilhas pequenas ou baterias.
O último modelo, EL-429, funcionava com energia solar com mostrador de cristal líquido e um
soroban à direita do teclado e encontra-se representado na Figura 55 (Nikeypedia, 2010).
67
Uma das vantagens apresentadas era a realização de cálculos de adição e subtração no soroban
deixando para a calculadora outros cálculos mais complexos como multiplicar, dividir, calcular
percentagens, raízes, etc. (CHM, Calculators, 2020).
3.1.8. Ábaco Russo
O ábaco Russo apresentado na Figura 56 é chamado de Schoty (счёты) e foi inventado no
século XVII. É habitualmente utilizado na vertical com as hastes na posição horizontal e opera de
forma ligeiramente diferente dos ábacos orientais. As contas movem-se da esquerda para a direita em
hastes ligeiramente curvadas e o seu desenho é baseado na fisionomia das mãos humanas. Ou seja,
colocam-se ambas as mãos sobre o ábaco, as contas brancas correspondem aos polegares das mãos
(os polegares devem estar sobre estas contas) e as restantes contas movem-se com 4 ou 2 dedos. O
valor de cada haste está representado na Figura 56 em que a primeira haste, a contar de baixo,
representa as unidades, a seguinte as dezenas e assim sucessivamente. Para mais fácil visualização
foi convencionado que a conta mais à esquerda da haste dos milhares (e dos milhões, se existir) estará
identificada com cor diferente das restantes contas da respetiva haste, neste caso, considerando a
Figura 56, a cor da conta respetiva é a branca (Pombo, 2003).
O ábaco russo era usado em todas as lojas e mercados da Ex-União Soviética e fazia parte do
currículo escolar até aos anos 90. Hoje é visto como algo arcaico. (Wikipedia, Ábaco, 2020)
Figura 55 - Soroban com calculadora eletrónica, Sharp EL-429 – sorocal (CHM, Calculators, 2020)
Figura 56 - ábaco russo (modelo atual)
68
3.1.9. Ábaco Azteca
Segundo Olga Pombo (Ábaco, 2003) o ábaco Azteca (Nepohualtzitzin), ilustrado na Figura
57 terá surgido entre 900 - 1000 d.C. As contas eram feitas de grãos de milho atravessadas por
cordéis montados numa armação de madeira. Este ábaco é composto por 7 linhas e 13 colunas. Os
números 7 e 13 são números muito importantes na civilização asteca: o número 7 é sagrado e o
número 13 corresponde à contagem do tempo em períodos de 13 dias. Este ábaco utilizava um
sistema de base 20 com 5 dígitos, em que cada uma das quatro contas tem valores iguais a 1, 2, 3 e 4
e cada uma das três contas valores 5, 10 e 15. Permite efetuar cálculos com potências e raízes
quadradas, para além das quatro operações básicas.
3.1.10. Ábaco do Império Inca35
Na ótica de Ifrah (1997, p. 135) e já mencionado neste capítulo, na era do “homem-sabendo-
contar”, a mão foi o primeiro suporte concreto da contagem e do cálculo. Esta respondia bem à
representação visual dos números, no entanto não permitia o registo dos mesmos não respondendo,
por isso, à necessidade de memorização de registo de números. Com a intensificação das
comunicações entre as diversas sociedades e devido ao desenvolvimento do comércio e do artesanato
o homem não sabendo ainda escrever e tendo necessidade de efetuar registos das suas atividades
económicas viu-se confrontado com um novo problema, “o de guardar duradouramente a lembrança
das suas enumerações”.
De acordo com Ifrah (1997, p. 135) quando no início do século XVI, os conquistadores
espanhóis desembarcaram na América do Sul depararam-se com um vasto império. Nessa época, a
civilização dos incas (cujas origens remontam ao início do século XII) tinha atingido o seu apogeu.
Os Incas eram detentores de arquivos precisos graças à utilização de um sistema de cordões com nós
chamados de quipu (da palavra inca que significa “nó”). “O quipu consistia num cordão principal,
35 “Império Inca. foi um Estado criado pela civilização inca, resultado de uma sucessão de civilizações andinas e que se tornou o maior império da América pré-colombiana.” (Wikipédia, 2019)
Figura 57 - Ábaco azteca
69
de cerca de 60 centímetros de comprimento, ao qual eram atados barbantes multicoloridos, muito
finos e reunidos em vários grupos, sendo esses barbantes ligados em intervalos regulares por
diferentes espécies de nós”. (1997, p. 135). A Figura 58 ilustra um exemplo de um quipu Inca.
De acordo com Ifrah (1997, p. 136), por vezes os quipus são classificados erroneamente de
ábacos. Estes, mais do que um sistema de escrita numérica, consistiam num instrumento de registo
de informações (dados estatísticos, contabilidade tributária, registos económicos e de produção,
informações históricas, recenseamento da população, poemas e canções, genealogias, entre outras)
ou até mesmo como um calendário. A algumas cores dos cordões eram atribuídos significados, ou
seja, o cordão branco simbolizava o dinheiro ou a paz; o amarelo, o ouro; o vermelho, o sangue ou a
guerra). A cor dos barbantes, o número e a posição relativa dos nós, a grossura dos grupos
correspondentes, o espaçamento entre os nós tinham significados numéricos precisos. Serviam para
representar os resultados das enumerações mais diversas efetuadas seguindo um sistema decimal de
numeração.
Ifrah (1997, p. 136) refere que este sistema de uso de nós não é exclusivo dos incas e das
populações da América do Sul. O emprego dos cordões com nós encontra-se desde a Alta Antiguidade
nas diferentes regiões. Por exemplo, “Heródoto (485-425 a. C.) conta como Dario I36, rei da Pérsia
(522-486 a. C.), quando de uma das suas expedições militares, confiou a soldados gregos aliados a
guarda de uma ponte de importância estratégica vital para as suas defesas. Enviou-lhes uma correia
com sessenta nós e deu-lhes a ordem de desfazer um nó a cada dia, dizendo:
- Se eu não estiver de volta uma vez que tenhais desfeito o último nó, retomai vossos navios e
retornai a vossa casa!”
Contudo, o quipu dos incas era inoperante em matéria de cálculo deste modo viram-se
obrigados a inventar um instrumento de cálculo para poder efetuar suas operações aritméticas, o
ábaco.
36 Dario I aparece representado no vaso de Dario na parte de cima deste.
Figura 58 - quipu Inca
70
Citando Ifrah (1997, p. 638) foi encontrado um ábaco entre os incas da América do Sul. De
acordo com P. Reichen, citado por Ifrah (1997, p. 638) os incas “tinham inventado um verdadeiro
ábaco, e os espanhóis maravilharam-se da celeridade com a qual resolviam operações complicadas,
deslocando, segundo uma técnica que parecia dominarem perfeitamente, grãos de milho, feijões ou
pedras nas vinte casas, cavadas com buracos (cinco sequências de quatro) de uma espécie de
plataforma que podia ser de pedra, terracota, madeira ou simplesmente preparada sobre o solo
móvel” (Figura 59).
3.1.11. Ábaco Cranmer
Helen Keller adaptou o ábaco para ser utilizado por deficientes visuais (Figura 60). Este
instrumento foi designado por ábaco de Cranmer e é constituído por um pedaço de borracha ou outro
material suave colocado por detrás das bolas para que não se movam inadvertidamente quando os
utilizadores as sentem ou manipulam para realizarem as operações pretendidas (multiplicação,
divisão, adição, subtração, raiz quadrada e raiz cúbica). (Almeida & Duarte Freitas, 2011). No
endereço https://www.youtube.com/watch?v=OpBeOJocJRU pode-se visionar o modo de operar
com o ábaco de Cranmer.
Figura 59 - Um quipucamayoc a manipular um quipu e à sua direita o ábaco
Figura 60 - Ábaco Cranmer
71
3.1.12. Ábaco Europeu
O ábaco ilustrado na Figura 61 é um ábaco escolar ou europeu. Todos os ábacos escolares
possuem 10 filas, cada uma com 10 contas. Este tipo de ábaco permite representar números até 100,
com grupos de contas posicionadas vertical ou horizontalmente. O ábaco escolar possibilita também
o trabalho em torno da adição e subtração e uma abordagem informal à multiplicação e divisão. O
ábaco ou ábaco escolar é um material manipulável ainda utilizado como recurso para o trabalho de
Matemática no desenvolvimento de atividades que envolvem o Sistema de Numeração Decimal,
incluindo as quatro operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão.
Applets e Apps simuladores de ábacos
Segundo (Duarte, 2012) os applets são ferramentas de simples utilização e apropriados para
apoiarem objetivos específicos de aprendizagem que exigem, na sua generalidade, uma ligação à
Internet, pois funcionam on-line numa página web. No entanto existem alguns sites que permitem
instalar as aplicações no computador e/ou outro dispositivo e funcionar com elas de forma autónoma.
Os applets são largamente utilizados na aula de matemática favorecendo oportunidades de
aprendizagem significativas, reflexão e partilha de descobertas.
Os applets que se seguem estão disponíveis online simulam cálculos com ábacos.
• soroban virtual: disponível em www.alcula.com/soroban.php - facilita a aprendizagem
da representação de números no ábaco japonês.
Figura 61 - ábaco europeu ou escolar (propriedade da autora)
“Se uma imagem vale por mil palavras um applet vale por mil imagens.”
Olga Pombo
72
• suan pan virtual disponível em http://www.alcula.com/suanpan.php e
https://www.mathematik.unimarburg.de/~thormae/lectures/ti1/code/abacus/sanpan.html
- facilitam a aprendizagem da representação de números no ábaco chinês.
Com os avanços tecnológicos e a pensar na tecnologia móvel surgiram as Apps (application).
Nos dias de hoje o número de Apps à disposição da educação são imensas e variadas. Algumas dessas
Apps foram criadas para a aprendizagem e prática de cálculo com o ábaco. Destaca-se:
• simple Soroban: disponível em
https://play.google.com/store/apps/details?id=br.net.btco.soroban&hl=pt,
possui dois modos, um para utilização livre do soroban o outro é um modo "desafio" com
quatro operações (soma, subtração, multiplicação de 1 e 2 dígitos e divisão) e três níveis
de dificuldade (fácil, médio, difícil).
• Know Abacus: disponível em
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.lookkidsw.KnowAbacus&hl=pt,
permite operar com as quatro operações básicas (até 2 dígitos).
• Sorocalc: disponível em
http://www.sorobanbrasil.com.br/produtos/38-sorocalc-2-versao-gratuita,
é um software que permite a aprendizagem e o treino com um soroban virtual. Fácil de
usar, com opções intuitivas de utilização. A versão 2.0 é gratuita e pode ser instalada num
computador ou tecnologia móvel. Para se fazer o download da versão gratuita pode-se
aceder ao site brasileiro.
Napier: ossos, logaritmo e ábaco
John Napier (1550-1617) teólogo, matemático e astrónomo, foi
imortalizado pela inovação no cálculo aritmético com a invenção do logaritmo
(Lemos, 2012) (Figura 62). A sua preocupação com o problema da simplificação
de cálculos aritméticos levou-o a desenvolver o conceito de logaritmo
transformando as multiplicações em adições. Do trabalho realizado por Napier
destaca-se, nesta dissertação, pelo contributo que deu e poderá dar ao processo
ensino/aprendizagem, o método mecânico de simplificação de multiplicações e
divisões através de um conjunto de barras numeradas conhecidas por “Ossos de
Figura 62 - John Napier (1550 - 1617)
73
Napier”37; o método de cálculo, com recurso a um simples tabuleiro de xadrez, (ábaco de Napier) e a
régua de cálculo.
3.3.1. Ossos de Napier
Napier inventou um dispositivo mecânico de cálculo construído com hastes de marfim
chamado de Ossos de Napier (“Napier’s Bones”) e descrito na sua obra “Rabdologiae” (1617) (Silva
J. N., 2011). Consiste em barras retangulares contendo, cada uma a inscrição de um número de 0 a 9.
Dispostas lado a lado e seguindo determinadas regras tornam possível efetuar multiplicações, divisões
e extrações de raízes quadradas de modo semimecânico (Figura 63).
Cada barra é dividida em 10 quadrados, nos quais, exceto no primeiro, é traçada uma diagonal
do canto superior direito para o inferior esquerdo. No primeiro quadrado superior é colocado um dos
números de 0 a 9. Do segundo quadrado em diante são inscritos em sequência os múltiplos do número
colocado no primeiro quadrado; no triângulo inferior de cada quadrado é colocado o algarismo que
representa as unidades e no triângulo superior o algarismo que representa as dezenas. Utilizando estas
barras a multiplicação reduz-se a várias adições. A seguir apresentam-se alguns exemplos de
multiplicações através dos ossos de Napier.
37 Também conhecidos por barras ou bastões de Napier.
Figura 63 - Ossos/Barras de Napier construídos pela autora
74
O primeiro exemplo (Figura 64) refere-se ao produto entre os números 73421 e 6
(73421 × 6 = 440526).
O segundo exemplo (Figura 65) refere-se ao produto entre os números 89432 e 763
(89432 × 763 = 68236616).
Os ossos de Napier como recurso pedagógico em sala de aula poderá constituir mais uma
oportunidade de enriquecimento do processo ensino/aprendizagem. Este poderá ser abordado numa
perspetiva histórica de complemento a outros métodos de ensino da multiplicação, consolidação de
conhecimentos, trabalho de projeto, etc. A importância do conhecimento basilar de qualquer questão
matemática por muito simples que seja é importante para o professor. Do contacto estabelecido com
professores do 1.º ciclo Soares & Sousa Nunes (2006, p. 252) refere que “existem hoje professores
que se sentem confortáveis com justificações do tipo “… é assim porque… é assim” quando deparados
com a possível explicação do algoritmo da multiplicação.
Figura 64 - ossos de Napier: 73421 × 6 = 440526
Figura 65 - ossos de Napier: 89432 × 763 = 68236616
75
3.3.2. Logaritmos
A necessidade de simplificação de cálculos laboriosos por parte do desenvolvimento da
Astronomia e da expansão do comércio, causada pelas grandes navegações, tornou imperativo o
estabelecimento do conceito de logaritmo. A palavra "logaritmo" é composta por duas palavras gregas
(Logos-razão, Arthmos-números) e significa "razão entre os números" foi criada por John Napier
(1614) depois de ter usado inicialmente a expressão número artificial (Eves, 2011). Os logaritmos
permitiam transformar complexas operações de multiplicação e divisão em simples operações de
adição e subtração. (Conway & Guy, 1999, p. 266)
Definição de Logaritmo de um número numa dada base (Neves & Sena Neves, 2001)
De acordo com (Costa, de Fátima Silva de Oliveira, & Beirigo Lopes, 2017) é incerta a autoria
e descoberta do número 𝑒𝑒 sendo que lim𝑛𝑛→∞
�1 + 1𝑛𝑛�𝑛𝑛
= 𝒆𝒆
Segundo Lemos (2012, p. 70), Napier publicou a primeira tabela de logaritmos em 1614, na
sua obra “Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos” (Mirifici Logarithmorum Canonis
Descriptio) que consumiu vinte anos da sua vida.
Para construir a sua primeira tabela de logaritmos, Napier partiu da construção de uma
progressão geométrica da forma 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛, com 𝑎𝑎 = 107 e 𝑏𝑏 = 1 − 10−7. Como 𝑏𝑏 toma um valor
muito próximo de 1 (0,9999999) os termos da progressão variam muito lentamente. Multiplicar 𝑏𝑏
por 107 evita trabalhar com muitas casas decimais (processo adotado por Napier). A primeira tabela
de logaritmos de Napier tinha 101 elementos. Designando-se os logaritmos de Napier por 𝑁𝑁𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑥𝑥
(Lemos, 2012, p. 73) na tabela seguinte temos a representação dos quatro primeiros e o último
logaritmo de Napier.
Se 𝒂𝒂 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼+ e 𝒃𝒃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼+ ∖ {1}, chama-se logaritmo de 𝒂𝒂 na base 𝒃𝒃 e designa-se por
𝑙𝑙𝑁𝑁𝑁𝑁𝒃𝒃𝒂𝒂, ao número a que é necessário elevar a base 𝒃𝒃 para se obter 𝒂𝒂.
Tem-se, então: 𝑙𝑙𝑁𝑁𝑁𝑁𝒃𝒃𝒂𝒂 = 𝑥𝑥 ⟺ 𝒃𝒃𝑥𝑥 = 𝒂𝒂
Quando a base do logaritmo é 10 designa-se por logaritmo decimal e representa-se por log.
Quando a base do logaritmo é 𝒆𝒆 designa-se por logaritmo natural e representa-se por ln.
𝒆𝒆 - número de Neper 𝑒𝑒 = 2,7182818284590452353602874 …
“Ao diminuir os cálculos, os logaritmos duplicam a vida dos astrónomos”
Simon de Laplace
76
𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛
107(1− 10−7)𝑛𝑛
107 × 𝑁𝑁𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑥𝑥
O cálculo dos termos da progressão pode ser feito de forma eficiente subtraindo a cada termo 10−7 do seu valor: (Lemos, 2012, p. 73)
𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 × (1 − 10−7)
0 10 000 000 107 107 × 𝑁𝑁𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 107 = 0 𝑥𝑥0 = 107 × (1 − 10−7)0 = 107
1
9 999 999
107(1− 10−7)
107 × 𝑁𝑁𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 (107 − 1) = 1
𝑥𝑥1 = 107 × (1− 10−7)1 =
= 107 − 100 = 107 − 1
= 10 000 000 × (1 − 10−7)
= 9 999 999
2
9 999 998
107(1− 10−7)2
107 × 𝑁𝑁𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 9 999 998 = 2
𝑥𝑥2 = 107 × (1 − 10−7)2 =
= 107 × (1− 10−7) × (1 − 10−7)
= 9 999 999 × (1 − 10−7)
= 9 999 998
3
9 999 997
107(1− 10−7)3
107 × 𝑁𝑁𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 9 999 997 = 3
𝑥𝑥2 = 107 × (1 − 10−7)3 =
= 107 × (1− 10−7)2 × (1 − 10−7)
= 9 999 998 × (1 − 10−7)
= 9 999 997
… … … … …
100
9 999 900
107(1− 10−7)100
107 × 𝑁𝑁𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 9 999 900 = 100
𝑥𝑥100 = 107 × (1− 10−7)100 =
= 107 × (1− 10−7)99 × (1− 10−7)
= 9 999 901 × (1 − 10−7)
= 9 999 900
Exemplo do cálculo da multiplicação de dois números com recurso à tabela de Napier.
Exemplo: Produto entre 9 999 999 e 9 999 998.
A estes dois números correspondem as ordens 1 e 2 na coluna 𝑛𝑛. Deste modo, procede-se à adição de
1 com 2 obtendo-se o número 3. Na linha que diz respeito à ordem 3, temos o número 9 999 997.
Multiplicando 9 999 997 por 107 obtém-se o número que resulta do produto dos dois números
considerados (9,999997 × 1013).
Os logaritmos calculados por Napier não coincidem com o que atualmente se designa por
logaritmo natural ou de base 𝒆𝒆 (Napier não conhecia o número 𝒆𝒆). Estão relacionados com os
logaritmos na base 1𝑒𝑒, facto que pode ser demonstrado tendo em consideração que:
𝑥𝑥𝑛𝑛 = 107 �1 − 1107�𝑛𝑛
= 107 �1 − 1107�107� 𝑛𝑛
107�
= 107 �1𝑒𝑒�
𝑛𝑛107
77
Considerando 𝑥𝑥 e 𝑛𝑛 variáveis contínuas e designando por 𝑛𝑛 uma aproximação da função
𝑁𝑁𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑥𝑥, tem-se: 𝑛𝑛 ≅ 107𝑙𝑙𝑁𝑁𝑁𝑁1𝑒𝑒� 𝑥𝑥107� = 107𝑙𝑙𝑛𝑛 �10
7
𝑥𝑥� pelo que a fórmula NapLog 𝑥𝑥 = 107𝑙𝑙𝑛𝑛 �10
7
𝑥𝑥�
estabelece a relação entre os logaritmos de Napier e os logaritmos naturais.
Este resultado pode ser obtido de outra forma, com recurso ao cálculo diferencial e integral.
Considerando novamente 𝑥𝑥 e 𝑛𝑛 variáveis contínuas, a fórmula de recorrência usada por Napier pode
ser expressa por: (Lemos, 2012, p. 75)
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑛𝑛
= − 𝑥𝑥107
, por integração obtém-se ln𝑥𝑥 = − 𝑛𝑛107
+ 𝐶𝐶, como 𝑛𝑛 = 0 corresponde a 𝑥𝑥 = 107,
fica 𝑛𝑛 = −107ln𝑥𝑥 + 107ln(107) = 107ln �107
𝑥𝑥� = NapLog 𝑥𝑥
Segundo Lemos (2012, p. 75) Napier na sua obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio,
apresenta uma “definição cinemática” dos seus logaritmos que pode ser analisada recorrendo ao
cálculo diferencial e integral.
Napier considerou dois pontos, P e Q. O Ponto P a mover-se num segmento de reta de
comprimento 𝑟𝑟 com velocidade proporcional à distância de P à extremidade do segmento. O ponto Q
a mover-se com uma velocidade constante ao longo de uma semirreta. Os dois pontos partem da
origem com a mesma velocidade (Figura 66). Nestas condições, Napier definiu a distância do ponto
Q à origem (𝑥𝑥) como sendo o logaritmo da distância de P à extremidade do segmento (𝑦𝑦). Deste
modo, as equações que descrevem o movimento dos pontos P e Q são, respetivamente: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑎𝑎(𝑟𝑟 − 𝑧𝑧) e 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑎𝑎𝑟𝑟 com as condições iniciais: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝑑𝑑=0
= 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑�𝑑𝑑=0
= 𝑎𝑎𝑟𝑟 , sendo 𝑎𝑎 uma
constante de proporcionalidade tal que 𝑎𝑎𝑟𝑟 define a velocidade inicial de dois pontos.
Integrando as equações do movimento em ordem a 𝑡𝑡 tem-se:
− ln(𝑟𝑟 − 𝑧𝑧) = 𝑎𝑎𝑡𝑡 + 𝐶𝐶1, 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2
Como ambos os pontos partem da origem, as constantes de integração são 𝐶𝐶1 = −𝑙𝑙𝑛𝑛𝑟𝑟 e 𝐶𝐶2 = 0.
Deste modo obtém-se sucessivamente:
𝑙𝑙𝑛𝑛𝑟𝑟 − ln(𝑟𝑟 − 𝑧𝑧) = 𝑎𝑎𝑡𝑡
𝑙𝑙𝑛𝑛 �𝑟𝑟
𝑟𝑟 − 𝑧𝑧� =
𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎𝑟𝑟
Figura 66 - definição dos logaritmos segundo Napier: estabelecendo uma correspondência entre duas variáveis contínuas: 𝑦𝑦 = NapLog𝑥𝑥
78
𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛 �𝑟𝑟
𝑟𝑟 − 𝑧𝑧� = 𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛 �
𝑟𝑟𝑦𝑦�
Tomando 𝑟𝑟 = 107 obtém-se a relação 𝑥𝑥 = NapLog 𝑦𝑦.
Segundo Lemos (2012, p. 78), “[Henry Briggs (1561-1630) visitou Napier em 1616, para
discutir a ideia de introduzir um sistema de logaritmos decimais que, na sua opinião, teria muitas
vantagens adicionais sobre os logaritmos de Napier. Por morte deste último, Briggs prosseguiu o
trabalho e em 1624 publicou a sua obra Arithmetica Logarithmica, que continha uma tabela com os
logaritmos decimais dos números inteiros de 1 a 20 000 e de 90 001 a 100 000 com uma precisão de
14 casas decimais, e a descrição do método de cálculo.]” … “[Briggs construiu o seu sistema de
modo a que log 1 = 0 e log 10 = 1, e verificasse assim as propriedades:]”
𝑙𝑙𝑁𝑁𝑁𝑁(𝑥𝑥𝑦𝑦) = 𝑙𝑙𝑁𝑁𝑁𝑁𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑁𝑁𝑁𝑁𝑦𝑦 e 𝑙𝑙𝑁𝑁𝑁𝑁 �𝑥𝑥𝑦𝑦� = 𝑙𝑙𝑁𝑁𝑁𝑁𝑥𝑥 − 𝑙𝑙𝑁𝑁𝑁𝑁𝑦𝑦
“[Introduziu também as definições de característica (parte inteira do logaritmo) e mantissa
(parte fracionária do logaritmo) para demonstrar a conveniência do sistema de logaritmos de base
10.]”
A Figura 67 traduz um exemplo de uma tabela de logaritmos decimais:
TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS
n.º log n.º log n.º log n.º log n.º Log
1 0 21 1,322219295 41 1,612783857 61 1,785329835 81 1,908485019 2 0,3010299957 22 1,342422681 42 1,62324929 62 1,792391689 82 1,913813852 3 0,4771212547 23 1,361727836 43 1,633468456 63 1,799340549 83 1,919078092 4 0,6020599913 24 1,380211242 44 1,643452676 64 1,806179974 84 1,924279286 5 0,6989700043 25 1,397940009 45 1,65321251444
65 1,812913357 85 1,929518926 6 0,7781512504 26 1,414973348 46 1,662757832 66 1,819543936 86 1,934498451 7 0,84509804 27 1,431363764 47 1,672097858 67 1,826074803 87 1,939519253 8 0,903089987 28 1,447158031 48 1,681241237 68 1,832508913 88 1,944482672 9 0,9542425094 29 1,462397998 49 1,69019608 69 1,838849091 89 1,949390007
10 1 30 1,477121255 50 1,698970004 70 1,84509804 90 1,954242509 11 1,041392685 31 1,491361694 51 1,707570176 71 1,851258349 91 1,959041392 12 1,079181246 32 1,505149978 52 1,716003344 72 1,857332496 92 1,963787827 13 1,113943352 33 1,51851394 53 1,72427587 73 1,86332286 93 1,968482949 14 1,146128036 34 1,531478917 54 1,73239376 74 1,86923172 94 1,973127854 15 1,176091259 35 1,544068044 55 1,740362689 75 1,875061263 95 1,977723605 16 1,204119983 36 1,556302501 56 1,748188027 76 1,880813592 96 1,982271233 17 1,230448921 37 1,568201724 57 1,755874856 77 1,886490725 97 1,986771734 18 1,255272505 38 1,579783597 58 1,763427994 78 1,892094603 98 1,991226076 19 1,278753601 39 1,591064607 59 1,770852012 79 1,897627091 99 1,995635195 20 1,301029996 40 1,602059991 60 1,77815125 80 1,903089987 100 2
Figura 67 - tabela de logaritmos decimais
79
3.3.3. Ábaco de Napier
De acordo com Silva J. N. (2011, p. 7) na obra “Rabdologiae” quando Napier descreve
os Ossos de Napier “descreve também como se pode usar um tabuleiro de xadrez e algumas
peças para efetuar somas, subtrações, multiplicações, divisões e extrações de raízes
quadradas.” (Figura 68)
Em Silva J. N. (2011, p. 8) é apresentado um exemplo para calcular a soma 11 + 23 + 54 +
81. Em cada uma das linhas inferiores do tabuleiro representam-se os números a adicionar na base 2.
Por exemplo: 81 = 1 × 26 + 0 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 2 + 1 × 20. 81 na base 2 é
1010001
No tabuleiro da Figura 69 encontram-se representadas as notações binária dos números 11, 23,
54 e 81.
81
54
23
11
128 64 32 16 8 4 2 1
Figura 68 - Rabdologiae – ábaco de Napier
Figura 69 - soma com o ábaco de Napier (passo1)
80
Baixar todas as peças em cada coluna (Figura 70).
11 + 23 + 54 + 81 = 64 + 32 + 3 × 16 + 8 + 2 × 4 + 3 × 2 + 3 × 1
Da direita para a esquerda, substitui-se cada par de peças numa casa por uma peça na casa
imediatamente à esquerda (correspondente a “e vai um” em binário), obtendo-se a resposta na
primeira linha. Interpretação na base 2 (Figura 71).
11 + 23 + 54 + 81 = 169 = 27 × 1 + 26 × 0 + 25 × 1 + 24 × 0 + 23 × 1 + 23 × 0 + 21 × 0 + 20 × 1
Esta atividade pode ser utilizada em sala de aula para ilustrar as operações em linguagem
binária no 7.º ano de escolaridade ou no 8.º ano de escolaridade no tema Números e Operações e
conteúdo programático Números Inteiros.
81
54
23
11
128 64 32 16 8 4 2 1
81
54
23
11
128 64 32 16 8 4 2 1
Figura 70 - soma com o ábaco de Napier (passo2)
Figura 71 - soma com o ábaco de Napier (passo3)
81
4. Da régua de cálculo ao smartphone
Durante centenas de anos, realizar cálculos complexos foi uma tarefa laboriosa, demorada e, por
vezes, acompanhada de erros. A invenção da Régua de Cálculo, com as suas duas superfícies
deslizantes, que se fazia valer de escalas logarítmicas para fazer multiplicações e divisões como se
fossem somas e subtrações, veio simplificar algum desse trabalho tendo sido, até aos anos 1970, as
calculadoras de bolso de milhares de estudantes do ensino secundário, universitários e cientistas. Na
primeira metade do século XX, impulsionadas pela revolução industrial, surgem inúmeras empresas,
principalmente na Alemanha e nos EUA, a fabricar milhões de calculadoras mecânicas, caixas
registadoras, máquinas de contabilidade, etc. Depois de 1960 as calculadoras mecânicas começaram
a sua jornada inevitável para as coleções de museus com o aparecimento das calculadoras eletrónicas
de mesa. Com o desenvolvimento dos circuitos eletrónicos integrados que passaram a congregar
numa única peça centenas ou milhares de transístores38 miniaturizados surge a primeira calculadora
de bolso com um protótipo da Texas Instruments a Cal Tech, comercializado alguns anos mais tarde
pela Canon, com o nome de Pocketronic. Em 1971 surge uma calculadora da responsabilidade da
empresa japonesa Buiscom, a Buiscom "Handy LE" que trazia a novidade de um mostrador com LED
mas a um preço elevado de 395 dólares (hoje equivalentes a cerca de 1700 euros). Em 1972, surgiu a
primeira calculadora portátil científica, a HP-35, da Hewlett Packcard e com ela a régua de cálculo
testemunhou o seu fim. Em 1973, a Sharp inovava com um mostrador de cristal líquido (LCD), em
1974 já era contabilizada a venda de mais de 10 milhões de unidades de calculadoras e em 1980 eram
100 milhões. Daí por diante, as calculadoras passaram a estar presentes em relógios, agendas de mesa,
porta-canetas, e tudo o mais que pudesse ser usado numa mesa de trabalho ou mesa de sala de aula.
Um artigo de 1976 da revista norte-americana Mosaic, da Fundação Nacional de Ciência, cita que,
em 1975, 18% das escolas do estado de Ohio já empregavam calculadoras no secundário. (Garcia,
2013) O sucesso da calculadora de bolso foi crescendo cada vez mais nos anos seguintes e entre as
décadas de 80 e 90, o mundo foi invadido pelas “agendas eletrónicas”, misto de calculadora,
calendário e organizador de contatos e de compromissos. Em 31 de dezembro de 2006, a Casio
comemorou a venda da sua bilionésima calculadora. Paralelamente ao desenvolvimento das
calculadoras estiveram os computadores inicialmente mainframes que ocupavam uma sala inteira,
construídos para servirem propósitos militares e que impulsionados pela substituição de válvulas
pelos transístores e destes pelos microchips evoluíram para minicomputadores e mais tarde
computadores pessoais. De realçar que segundo Ponte & Canavarro (1997) não existe uma separação
38 Dispositivo eletrónico que serve para retificar e ampliar os impulsos elétricos.
82
muito nítida entre o computador e a calculadora, pelo contrário, a tendência da evolução tecnológica
com os computadores cada vez mais pequenos e as calculadoras com capacidades cada vez mais
sofisticadas leva-os a tornarem-se progressivamente mais próximos um do outro.
Paralelamente ao desenvolvimento da primeira calculadora científica surge a 3 de abril de 1973
o primeiro telemóvel do mundo de Martin Cooper, diretor de pesquisa e desenvolvimento da
Motorola, modelo DynaTAC tendo revolucionado a forma como se comunicava na altura. Foram
precisos 10 anos para que a empresa conseguisse aperfeiçoar o protótipo e colocar no
mercado o telemóvel, sendo posto à venda como Motorola DynaTAC 8000X (Figura
72). Media 33 centímetros de comprimento, 12 centímetros de largura e outros sete de
espessura. O peso rondava os 2,5 kg, a bateria durava menos de 10 horas em standby e
o tempo máximo das chamadas que o utilizador podia realizar era de uma hora. O preço
era de 4000 dólares, na época, que correspondem, atualmente, a cerca de 22 mil dólares
(quase 21 mil euros) (Rodrigues M. V., 2017)
Durante os primeiros anos da ascensão dos telemóveis as suas principais capacidades eram
realizar chamadas, enviar SMS e tirar fotografias de baixíssima qualidade, tudo isso começou a mudar
com uma aproximação entre telefones e computação em 1992 com o primeiro smartphone,
o IBM Simon e nos anos 2000, nomeadamente, a partir de 2007, quando o lançamento do primeiro
iPhone, com o sistema operativo iOS 39, deu protagonismo às capacidades dos telemóveis mais
avançados e inteligentes sendo lançado no ano seguinte o primeiro telefone com sistema Android, da
Google.
Atualmente os smartphones são verdadeiros microcomputadores, devido às suas possibilidades
de recursos, armazenamento e interface oferecendo muitas possibilidades de utilização para fins
educativos.
39 iOS é um sistema operacional móvel da Apple desenvolvido originalmente para o iPhone, também é usado em iPod touch e iPad..
Figura 72 - Motorola DynaTac 8000X
83
Régua de cálculo
“[Por volta de 1632, William Oughtred (1574 -1660) inventou a régua de cálculo, composta
por duas escalas logarítmicas que deslizam uma relativamente à outra e permitem multiplicar ou
dividir adicionando ou subtraindo comprimentos. A régua de cálculo é uma “tabela de logaritmos
mecânica” que permite realizar multiplicações, divisões e outros cálculos (extração de raízes
quadradas e cúbicas, cálculo dos valores das funções trigonométricas, etc.), com uma precisão de
três dígitos significativos. Durante 350 anos, até ao aparecimento das primeiras calculadoras
eletrónicas portáteis, as réguas de cálculo foram os instrumentos dos engenheiros e cientistas].”
(Lemos, 2012, pp. 81-82)
Para se operar com a régua de cálculo não é necessário ter conhecimentos sobre os logaritmos,
no entanto são eles o alicerce para que a régua não induza em erro quem a manuseia para efeitos de
cálculos.
A régua de cálculo é composta de três partes: o corpo, a lingueta e o cursor (slide). No corpo
e na lingueta encontram-se as escalas, nomeadas segundo um padrão. As escalas mais comuns são:
A, D, L e K fixas no corpo e B, C, CI, S e T móveis na lingueta (Figura 73).
Figura 73 - escalas mais comuns da régua de cálculo. Modelo Aristo (Lemos, 2012)
Cada ciclo de 1 a 10 na escala é chamado de década. Cada escala possui um número
determinado de décadas inteiras (potência de base 10), com exceção da escala linear L. Deste modo,
cada escala possui certa proporcionalidade relativa a outra, permitindo assim que se realizem cálculos
de potências. Para as operações de multiplicação e divisão apenas são necessárias as escalas C e D.
84
A Figura 74 ilustra a utilização da régua de cálculo no produto entre os números 1,6 e 4 (Museum C. H., 2020).
Para multiplicarmos 1,6 por 4 temos de mover a lingueta de modo que o número 1 na escala
C fique alinhado com o número 1,6 na escala D. De seguida encontra-se o número 4 na escala C e
movimenta-se o cursor até este, alinhado com o número 4. Na escala D faz-se a leitura do produto
obtido (6,4).
Durante décadas a régua de cálculo foi utilizada por diversos profissionais tendo sido
construídos modelos de grandes dimensões de modo a permitir que os alunos numa sala de aula
visualizassem a explicação que o professor ia dando enquanto a manuseava. Atualmente, na internet
são vários os sites dedicados à explicação do manuseamento de réguas de cálculo. Por exemplo, para
se perceber o manuseamento da régua de cálculo Pickett N909-ES pode-se aceder ao link
http://www.antiquark.com/sliderule/sim/n909es/virtual-n909-es.html.
A régua de cálculo desempenhou um papel fundamental na
evolução da ciência. A Apollo 11, a primeira nave espacial que levou
o homem à Lua em julho de 1969, levou a bordo réguas de cálculo,
modelo Pickett N600-ES, como ilustrado na Figura 75 em que
Michael Collins transporta uma régua de cálculo num bolso frontal
do seu fato junto de Neil Armstrong e Edwin Aldrin (Pastore, 2020).
Figura 74 - multiplicação de números com a Régua de Cálculo (Museum C. H., 2020)
Figura 75 - Michael Collins no meio dos dois colegas com a régua de cálculo (Pastore, 2020)
85
Norman Chaffee, que trabalhou no sistema de propulsão das naves Apolo, declarou: “Fomos
à lua com réguas de cálculo… Apenas tive a minha primeira calculadora, das mais avançadas, em
1972.” (Boyle, 2004).
Nos EUA, no estado do Colorado, existe uma associação sem fins lucrativos, o International
Slide Rule Museum (ISRM), membro da Associação Americana de Museus e da Associação dos
Museus Northern Front Range, fundado em 2003. Trata-se do maior repositório digital gratuito do
mundo relacionado com a régua de cálculo e outros artefatos matemáticos, dedicado aos estudantes,
educadores, cientistas, engenheiros do passado e engenheiros do presente cujo objetivo é o de
promover a arte perdida da numeracia, fornecendo recursos e regras para a educação e outras
instituições históricas. Nas galerias e bibliotecas do ISRM pode-se encontrar mais de 7000 imagens
ou PDFs e no site é possível ter acesso a formação (alunos, professores, outros) de Régua de Cálculo
através de materiais criados para o efeito. Os professores podem requisitar ao museu Réguas de
Cálculo para uso temporário pelos seus alunos para introdução dos Logaritmos (ISRM, 2020).
Exemplo de aulas com recurso à régua de cálculo (Figura 76).
Figura 76 - College André-Grasset, Montreal, Canadá
A ISRM promove o International Slide Rule Championship (ISRC) que é uma competição de
Réguas de Cálculo. Estão abertos à implementação do Programa da régua de Cálculo em qualquer
país desde que sejam seguidas as regras definidas na página oficial. Pela pesquisa efetuada não foi
possível concluir se estudantes portugueses entram ou já entraram no International Slide Rule
Championship.
Entre os anos de 1960 a 1970 deu-se uma revolução eletrónica, na linha da frente do avanço
da tecnologia que levou ao desuso da régua de cálculo em prol da calculadora.
86
Os pioneiros
Até ao final do século XVII vários foram os projetos elaborados para a conceção de
instrumentos de mecanização do cálculo. Estiveram envolvidos nesses projetos famosos cientistas,
considerados como os pioneiros na mecanização do cálculo aritmético, tais como Leonardo da Vinci
(1493), Wilhelm Schickard (1623) com o relógio de cálculo, Blaise Pascal (1642) com a Pascalina,
Tito Livio Burattini (1659) com o ciclógrafo, Samuel Morland (1669), Claude Perrault (por volta de
1670) com o Abaque Rhabdologique, Gottfried Wilhelm Leibniz (1672), René Grillet de Roven
(1673) e Thomas de Colmar (1820) com o seu Aritmómetro (History-Computer, 2019). Para a
conceção desses projetos foi importante o conhecimento adquirido por estes cientistas sobre
engrenagens, rodas dentadas, alavancas, funcionamento de um relógio, etc. Entre a introdução da
primeira calculadora mecânica, Rechenuhr de Schickard, e a primeira máquina de produção em larga
escala e de baixo custo, o Aritmómetro de Thomas de Colmar, produzido em série a partir da década
de 1850, mais de dois séculos se passaram devido, ao facto de não existirem mercados recetivos à
construção de calculadoras mecânicas até à segunda metade do século XIX (History-Computer,
2019).
4.2.1. Leonardo da Vinci (1452-1519)
Em fevereiro de 1965 foram descobertos uns
manuscritos de Leonardo da Vinci, os Manuscritos de
Madrid também designados por Codex Madrid I e Codex
Madrid II. No Codex Madrid I encontra-se um esboço de
um mecanismo que provavelmente terá sido projetado para
fins de cálculo (Figura 77) (History-Computer, 2019).
Roberto A. Guatelli (1904 − 1993), engenheiro
italiano, especializado na construção de réplicas de
projetos de Leonardo da Vinci, construiu uma réplica da
máquina de calcular de Da Vinci, exposta em 1968 numa
exposição da IBM (International Business Machines)
(Figura 78). Figura 78 - A réplica da hipotética máquina de Leonardo Da Vinci, construída por Roberto A. Guatelli (1968)
Figura 77 - esboço da “máquina de calcular” de Leonardo Da Vinci (Codex Madrid I)
87
Após um ano de crescente controvérsia sobre a réplica de Guatelli, esta foi retirada da
exposição e enviada à Universidade de Massachusetts para a realização de testes para comprovar a
autenticidade do modelo. Os opositores de Guatelli alegaram que o desenho de Leonardo não era de
uma calculadora, mas representava uma máquina de redução – uma volta da primeira engrenagem
faria a segunda engrenagem girar dez vezes, a segunda engrenagem faria a terceira girar 10 × 10 =
102 vezes, a terceira engrenagem faria a quarta girar 103 vezes e assim sucessivamente até se chegar
à última engrenagem a girar 1013 vezes. Sendo assim esta máquina não poderia ser construída,
argumentaram os especialistas, devido à enorme fricção que seria gerada por estarem associadas todas
as engrenagens (Fernandes, 2014).
4.2.2. Wilhelm Schickard (1592-1635)
Wilhelm Schickard foi um cientista universal com enfoque na astronomia, matemática e
agrimensura e professor de línguas bíblicas (aramaico e hebraico) e astronomia na universidade de
Tübingen na Alemanha que em 1623 construiu uma máquina de calcular denominada "Calculating
Clock" (Relógio de Calcular) que permitia somar, subtrair, multiplicar e dividir. Apenas três
documentos sobre esta máquina foram encontrados até hoje - duas cartas de Schickard ao seu amigo
Johann (Johannes) Kepler40 e um esboço da máquina (Figura 79) com instruções para o mecânico
(History-Computer, 2019).
Na primeira carta de Wilhelm Schickard a Kepler - em Linz (Áustria), datada de 20 de
setembro de 1623, pode ler-se: "O que você fez através do cálculo, tentei por meio da
mecânica. Concebi uma máquina que consiste numa série de onze rodas dentadas completas e seis
incompletas. Realiza cálculos instantânea e automaticamente a partir dos números fornecidos,
podendo adicionar, subtrair, multiplicar e dividir.” (History-Computer, 2019)
40 Kepler era um grande admirador dos logaritmos de Napier. Quando, em 1617 viu pela primeira vez uma cópia do livro de Napier sobre logaritmos não os entendeu completamente e escreveu a Wilhelm Schickard dizendo que um nobre escocês tinha uma maneira de transformar todas as multiplicações e divisões em adições e subtrações, que na sua opinião duvidava que funcionasse corretamente. Cerca de um ano depois reconsiderou o conceito e ficou tão entusiasmado que escreveu para Napier que já tinha falecido (History-Computer, 2019).
Figura 79 - Esboço da máquina de calcular na segunda carta a Kepler (History-Computer, 2019)
88
Em 1960 Bruno v. Freytag Löringhoff, professor de filosofia da Universidade de Tübingen,
criou a primeira réplica da máquina de Schickard (Figura 80).
Provavelmente, apenas duas máquinas foram produzidas: o protótipo, mencionado na primeira
carta e que desapareceu após a sua morte e a segunda, enviado para Kepler e que foi destruída durante
um incêndio. Durante muitos anos nada se soube sobre a máquina de Schickard por isso, até 1950
atribuía-se a Blaise Pascal a construção da primeira máquina calculadora (a Pascalina ou La
Pascaline) (History-Computer, 2019).
4.2.3. Blaise Pascal (1623-1662)
De acordo com Fernandes (2014), Blaise Pascal foi um notável matemático, filósofo, físico,
teólogo e cientista. Segundo a sua irmã mais velha e biógrafa, Gilberte Périer, Pascal revelou
precocemente possuir um espírito investigativo e perspicaz, não somente pelas respostas dadas a
certas questões, mas principalmente pelas questões que ele próprio propunha sobre a natureza
das coisas. Pascal possuía um talento natural na área da matemática que ficou evidente desde a sua
infância, pela facilidade natural que tinha em ajudar o seu pai nos cálculos dos impostos. Aos doze
anos Blaise Pascal encontrou na mesa de trabalho do seu pai um exemplar do livro “Elementos de
Euclides” e de forma autodidata aprendeu sozinho geometria e aos dezasseis anos concluiu um ensaio
sobre geometria das seções cónicas, o “Tratado Sobre as Cónicas”. Nessa altura já Pascal se
correspondia com René Descartes e Pierre de Fermat trocando informações e experiências,
principalmente sobre temas ligados à matemática. Aos 19 anos, com o objetivo de ajudar o seu pai,
que gastava um tempo considerável a calcular impostos, Pascal desenvolveu um equipamento com
capacidade de realizar operações de adição e subtração até 5 dígitos, com segurança infalível, mesmo
para quem não conhecesse qualquer regra de aritmética. “A “Pascaline”, foi construída com um
mecanismo de várias rodas dentadas, de 10 dentes cada, sendo uma para representar as unidades,
outra para as dezenas, uma para as centenas e assim sucessivamente, e utilizava uma manivela para
posicionar cada uma destas rodas no dígito desejado. Pascal, sucedendo a Schickard, conseguiu
resolver o problema do transporte de resultados intermediários, questão que atormentou seus
Figura 80 - réplica da máquina de Schickard, criada por Bruno v. Freytag Löringhoff em 1960 (© Universität Tübingen)
89
predecessores, sendo este, talvez, o maior mérito de sua máquina, sob o ponto de vista da ciência da
computação.”
De acordo com History-Computer (2019) e Fernandes (2014), apesar da relativa facilidade
para projetar a Pascaline, a sua construção mostrou-se muito complicada pelo facto de ter que
trabalhar com artesãos e explicar-lhes constantemente de forma a que entendessem o funcionamento
da máquina. Segundo a sua irmã Gilberte Périer o esforço de Pascal em fazer com que os artesãos
entendessem a sua máquina levou-o à exaustão e à perturbação da sua mente.
De acordo com Fernandes (2014) Pascal, chegou a fabricar cerca de 50 unidades da sua
máquina de calcular, mas comercializou apenas uma pequena parte deste total (entre 10 a 15
unidades). A Pascalina, apesar da sua utilidade, não obteve aceitação comercial devido ao seu alto
custo de produção. Assim, por falta de interessados em 1652 a sua manufaturação foi interrompida.
Das 50 Pascalinas construídas, apenas 8 ou 9 sobreviveram até aos dias de hoje. Uma delas encontra-
se em Paris no museu de Artes e Métiers (Figura 81). Por volta de 1650 Pascal doou cópias da
Pascalina à rainha Christina da Suécia e a Maria Luísa Gonzaga, rainha da Polônia.
Em sala de aula muitas são as oportunidades que surgem ao professor para explicar algo do
interesse dos alunos e que nem sempre está diretamente ligado ao conteúdo que se está a lecionar no
momento. Se o professor não tiver os conhecimentos necessários sobre a evolução histórica dos
instrumentos de cálculo não poderá no imediato atender à curiosidade dos seus alunos, por essa razão,
o professor terá de ser constantemente um estudante curioso e autodidata, como Pascal,
preferencialmente munido de estratégias de ensino que passem pelas novas tecnologias para assim
prender os seus alunos ao processo ensino/aprendizagem. Deste modo o conhecimento de vídeos
explicativos do funcionamento da Pascalina poderá servir de complemento a uma explicação do
professor suscitada por um aluno mais curioso. No youtube são vários os vídeos ilustrativos do
funcionamento da Pascalina que permitem perceber um pouco do funcionamento da mesma (por
exemplo: How the Pascaline Works (Computing, 2012); How does the Pascaline calculator work?
(Tribe, 2019)). No site francês “Un provincial nommé Blaise Pascal” da responsabilidade de
Clermont Auvergne Métropole Réseau des Bibliothèques et Médiathèques pode-se visionar dois
Figura 81 - Pascalina de 1652 (© Museu de Artes e Métiers, Paris)
90
vídeos explicativos da soma e subtração de números com a Pascalina, percorrer toda a vida de Pascal,
conhecer todas as suas contribuições para o desenvolvimento da matemática e outras ciências e ainda
ter acesso a um modelo da Pascalina para impressão e construção em papel ou outro material,
(Métropole, 2020), como ilustrado na Figura 82.
4.2.4. Tito Livio Burattini (1617-1681)
Tito Livio Burattini foi um inventor e fabricante de instrumentos, arquiteto, egiptólogo,
cientista, viajante, engenheiro e nobre que estudou nas universidades de Pádua e Veneza onde obteve
amplo conhecimento de matemática, ciências físicas e arquitetura. Nasceu em Agordo (Itália) e viveu
em vários países tais como Egito, Alemanha e Polónia (Cracóvia), onde faleceu. Entre os vários
trabalhos produzidos destaca-se o dispositivo de cálculo chamado de ciclografo, na década de 1650.
Em Cracóvia, Burattini frequentou a corte polonesa e dessa forma teve oportunidade de observar a
Pascalina, doada por Pascal à rainha Maria Luísa Gonzaga da Polónia, decidindo desse modo
construir um dispositivo de cálculo semelhante, o ciclografo, doado posteriormente por si a Fernando
II de Médici, Grão-Duque da Toscana, grande entusiasta da ciência. Este ciclografo perdeu-se no
tempo pelo que a máquina que se encontra atualmente no Instituto e Museu de História da Ciência
em Florença, Itália é uma produção posterior à época de Burattini construída por um fabricante
desconhecido (Figura 83). (History-Computer, 2019)
A máquina de calcular de Burattini permitia realizar adições e subtrações de forma manual e
consistia numa caixa de madeira forrada com uma fina folha de latão com 20 cm de comprimento na
qual estão montados dezoito discos, em que os discos maiores estão conectados aos menores, dois a
Figura 83 - A máquina de calcular (Ciclografo) de Tito Livio Burattini de 1658 (© Museo Galileo, Firenze)
Figura 82 - Pascalina em papel construída pela autora
91
dois (maior e menor) de forma a que o transporte de números seja feito de um disco maior para um
menor.
4.2.5. Samuel Morland (1625-1695)
Samuel Morland foi um académico inglês, diplomata, espião, matemático e inventor que
desenvolveu trabalhos no âmbito da computação, hidráulica e energia a vapor. Na década de 1660
criou três máquinas de calcular, uma para multiplicação e divisão (1662), outra para trigonometria
(1663) e uma outra para adição e subtração (1666). Em 1673 publicou um livro “The description and
use of two arithmetick instruments” onde descreveu dois dispositivos de cálculo que funcionam
“without charging the memory, disturbing the mind, or exposing the operations to any uncertainty”41.
Este foi o primeiro livro sobre uma calculadora, escrito em inglês e o primeiro trabalho só dedicado
à calculadora depois da Rabdologiae de Napier. O livro também pode ser considerado o primeiro
livro abrangente da literatura computacional, pois Blaise Pascal não publicou nada sobre sua própria
máquina, exceto um panfleto de 18 páginas em 1644. A máquina de adição e subtração, com as
dimensões (122 × 71 × 8)𝑐𝑐𝑐𝑐, encontra-se ilustrada na Figura 84 e é semelhante
ao Ciclografo do italiano Tito Livio Burattini, produzido no final da década de 1650 (History-
Computer, 2019). A máquina não possui um mecanismo de transporte de dezenas, o que a tornou
inútil para necessidades práticas, e em 1668, Morland publicou uma breve descrição num jornal de
Londres tentando comercializá-la, mas sem sucesso.
41 Traduzido para português: “carregar a memória, perturbar a mente ou expor as operações a qualquer incerteza”
Figura 84 - Máquina de adição de Samuel Morland, feito por Humphrey Adamson (History-Computer, 2019)
92
A chamada máquina de multiplicação está ilustrada na Figura 85 e baseia-se no princípio dos
ossos de Napier. Foi descrita no livro de Morland (The description and use of two arithmetick
instruments) sob o nome Cyclologica (History-Computer, 2019).
Para além da calculadora de adição e subtração e da calculadora de multiplicações e divisões,
em 1663, Morland inventou uma terceira que podia ser usada para cálculos trigonométricos, à qual
chamou Maccina Cyclologica Trigonometrica (Figura 86). (History-Computer, 2019)
Apesar do excelente acabamento das calculadoras de Morland estas foram consideradas pouco
práticas, como referem Samuel Pepys (ex-tutor de Morland em Cambridge) “is very pretty, but not
very useful (muito bonita, mas não muito útil) e Robert Hooke no seu diário “Saw Sir S. Morland's
Arithmetic engine Very Silly” (Vi o engenho aritmético de Sir S. Morland muito ridículo) (History-
Computer, 2019).
4.2.6. Claude Perrault (1613-1688)
Claude Perrault foi um médico francês anatomista e arquiteto que participou no desenho
da fachada leste do Louvre em Paris, conhecida como Colunata. Para além do dispositivo de cálculo
que desenvolveu projetou vários outros dispositivos mecânicos tais como um relógio de água
controlado por um pêndulo e um sistema de roldanas para girar o espelho de um telescópio refletor.
Onze anos após a sua morte (em 1700) foi publicado um pequeno livro de sua autoria, “Recueil de
Figura 85 - A máquina de multiplicação de Morland (© Instituto e Museu de História da Ciência, Florença)
Figura 86 - Morland - Maccina Cyclologica Trigonometrica (Mechanical Calculators: Wilhelm
93
plusieurs machines, de nouvelle invention...” (Compêndio de várias máquinas recém-inventadas...)
onde são descritas nove invenções suas estando entre elas um dispositivo de cálculo chamado Abaque
Rhabdologique. Em 1701 a revista francesa Le Journal des sçavans publicou um artigo dedicado à
descrição da Abaque Rhabdologique onde explica que o nome da máquina deriva da prática
matemática dos antigos que usavam ábacos para realizar operações aritméticas empregando pequenas
hastes marcadas com dígitos (rabdologia) (History-Computer, 2019).
O Abaque Rhabdologique é uma pequena placa de metal (30 𝑐𝑐𝑐𝑐 ×
12 𝑐𝑐𝑐𝑐 × 0,7 𝑐𝑐𝑐𝑐) com espessura de um dedo e peso 1,15 kg. Foi projetado
provavelmente entre 1666 e 1675, altura em que Perrault estava envolvido
em projetos de arquitetura e precisaria de ferramentas de cálculo (Figura 87).
Em https://www.youtube.com/watch?v=1vOpaLmz6HE é possível visionar
o funcionamento da calculadora.
4.2.7. Gottfried Leibniz (1646-1716)
Gottfried Leibniz foi um filósofo alemão, matemático e consultor político, importante tanto
como metafísico quanto como lógico, distinguido pela invenção independente do cálculo diferencial
e integral. Trinta anos após a invenção da Pascalina, em 1672, Leibniz mudou-se para Paris onde
teve acesso aos escritos não publicados de Pascal e Descartes onde se terá familiarizado com
a Pascalina. Desenvolve então uma máquina, conhecida por Stepped Reckoner (Figura 88) capaz de
realizar as quatro operações aritméticas, não apenas a adição e subtração como a Pascalina e mais
fácil de operar (History-Computer, 2019).
Figura 87 - Uma réplica do dispositivo de cálculo da Perrault (© Musée des Arts et Métiers)
Figura 88 - Stepped Reckoner em exibição no museu Technische Sammlungen em Dresden, Alemanha (Wikipédia, 2020)
94
Em 1675, durante a demonstração da máquina na Academia Francesa de Ciências, um dos
cientistas notou que "... usando a máquina de Leibniz, até uma criança pode executar os cálculos
mais complicados!". Em 1764, quarenta e oito anos após a morte de Leibniz, um Stepped Reckoner
foi entregue a um relojoeiro em Göttingen para que fosse reparado, contudo, o trabalho não foi
concluído e a máquina foi arquivada no sótão da Universidade de Göttingen tendo sido redescoberta
apenas em 1879. Quatorze anos mais tarde, a Universidade entregou a máquina a Arthur
Burkhardt Company, um dos principais fabricantes de calculadoras do país, para reparação e
análise. No seu relatório Burkhardt afirma que a máquina havia sido projetada incorretamente,
contudo, não foi possível concluir se a falha era específica daquela máquina em concreto ou do projeto
de Leibniz (History-Computer, 2019).
4.2.8. René Grillet de Roven (1672)
Em 1673, o mecânico e relojoeiro parisiense ao serviço do rei Luís XIV, René Grillet42 de
Roven publicou um pequeno livro onde descreve várias invenções, com enfoque num dispositivo
simples de cálculo, a máquina aritmética. Cinco anos depois, em 1678, na primeira revista científica
publicada na Europa (Le Journal des Sçavans) apareceu uma descrição curta do dispositivo chamado
de “nouvelle machine d'arithmétique” representado na Figura 89 (History-Computer, 2019).
René Grillet estava tão obcecado em manter o projeto da sua máquina em segredo, que faz
muito pouco para esclarecer o seu modo de funcionamento. Depois de dizer a seus leitores que a ideia
para a máquina surgiu de Napier, mencionando que Pascal havia inventado uma máquina admirável
para fazer aritmética, e que Petit 43 havia nos dado uma arte cilíndrica, Grillet afirmou que seu
42 Viveu no século XVII desconhecendo-se a data de nascimento e falecimento.
43 Pierre Petit criou no início dos anos 1650 uma espécie de ossos de Napier gravados num cilindro.
Figura 89 - A máquina de calcular de René Grillet de Roven (© CNAM, Paris)
95
dispositivo combina as rodas de Pascal com o cilindro de Petit, a fim de fornecer uma máquina
maravilhosa, que executaria todas as operações aritméticas. O motivo do esforço de Grillet para
manter em segredo o modo de funcionamento e a estrutura interna da sua calculadora pode ser
entendido pelo facto de que ele tentou ganhar dinheiro com a sua máquina, expondo-a nas feiras e
cobrando uma moeda de prata às pessoas que queriam ver o seu modo de funcionamento. Grillet
tentou produzir a sua máquina em série e vendê-la, mas não teve grande sucesso no mercado, apenas
duas cópias da sua máquina sobreviveram até aos dias atuais, ambas expostas na coleção do Musée
des Arts et Métiers em Paris (History-Computer, 2019).
4.2.9. Thomas de Colmar (1785-1870)
Charles Xavier Thomas, conhecido como Thomas de Colmar foi um matemático e inventor
francês que projetou e patenteou uma das primeiras calculadoras, o aritmómetro (Arithmomètre),
tornado público em 1820, com base no desenho de Leibniz, que podia somar, subtrair e multiplicar,
permitindo também dividir com alguma ajuda do operador (Sobral, 2015). Após várias melhorias,
começou a produzi-la em série a partir de 1851 até 1914 num total de, aproximadamente, 5000
calculadoras vendidas em França (cerca de 40% da produção) e exportadas para outros países do
mundo inteiro. Era uma máquina que media 70 cm de comprimento por 18 cm de largura e 10 cm de
altura, considerada por Sobral (2015) “um passo importante para o avanço das calculadoras e
primeiros computadores.” Foi a primeira máquina de calcular que obteve sucesso comercial e tinha
reputação de confiabilidade e robustez tendo sido considerada a primeira máquina de escritório,
precursora das máquinas mecânicas e eletrónicas do século seguinte. A produção do aritmómetro
parou em 1915, durante a Primeira Guerra Mundial (History-Computer, 2019). Alphonse Darras, que
tinha adquirido o negócio em 1915, foi incapaz de reiniciar a sua produção após a guerra por causa
das muitas carências e falta de trabalhadores qualificados. Na Figura 90 o aritmómetro representado
foi construído em 1914 com quase 100 anos de melhorias (Wikipedia, 2020).
Figura 90 - aritmómetro de Thomas de Colmar construído em 1914 (Wikipedia, 2020)
96
Calculadora eletrónica
O surgimento das calculadoras eletrónicas está firmemente relacionado com o surgimento dos
computadores que utilizavam os transístores em substituição das válvulas a vácuo que caraterizavam
os computadores mainframes. A invenção do transístor decorreu em 1947 pelos engenheiros William
Shockley, John Bardeen e Walter Brattain (todos do Bell Labs) e com ela foi dado o passo
fundamental para o lançamento em 1961 da Anita Mk (modelos VII e VIII), a primeira calculadora
eletrónica de mesa, criada pelo engenheiro Jack St. Clair Kilby (1923-2005), da Texas Instruments,
prémio Nobel da Física em 2000 pela invenção do circuito integrado em 1958, ao lado de Bob Noyce
(1927-1990), um dos fundadores da Intel em 1968 (Sobral, 2015).
4.3.1. A calculadora eletrónica de mesa (1961)
De acordo com o Vintage Calculators Web Museum (2020) as primeiras calculadoras
eletrónicas de mesa do mundo foram a ANITA44 Mk 7 (Figura 91) e a ANITA Mk 8 (Figura 92),
lançadas em simultâneo em outubro de 1961 pela Bell Punch Company Ltd. Utilizavam tubos de
vácuo, 12 tubos de cátodo frio e dekatrons45 nos seus circuitos.
A ANITA Mk 7 foi vendida na Europa, especialmente na Alemanha, Holanda e Bélgica e a
ANITA Mk 8 foi lançada na Grã-Bretanha, uma semana antes do lançamento da Mk 7 na Alemanha,
na Business Efficiency Exhibition de 1961. O modelo Mk VII tinha um design ligeiramente antiquado
e o seu modo de multiplicação era mais complicado, por isso, logo foi abandonado e trocado pelo
modelo Mk VIII, que mostrava uma versão mais simples e descomplicada. Deste modo a ANITA Mk
8 teve muito sucesso e foi única no mercado de calculadoras eletrónicas durante dois anos (desde o
44 A New Inspiration To Arithmetic/Accounting traduzido para português, “uma nova inspiração para a aritmética/contabilidade.
45 Tubos cheios de gás néon.
Figura 92 - ANITA Mk 8 Figura 91 - ANITA Mk 7
97
início de 1962 até ao início de 1964), sem nenhuma concorrência séria. Era uma calculadora pesada
com cerca de 13 kg e com aproximadamente 45 cm x 38 cm x 25 cm e foi utilizada em bancos e
empresas para efeitos de contabilidade tal como o departamento de contas da Selfridges Ltd., Londres
(Museum V. C., 2020). Em 1964 surge no Japão a calculadora Sharp Compet CS-10ª, nos EUA as
calculadoras modelos Friden 130 e 132, na Itália o IME 84, fabricado por uma empresa do grupo
Edison, que vêm concorrer com a Anita MK (Museum V. C., 2020).
Devido ao desenvolvimento de componentes eletrónicos para os programas espaciais, de
mísseis e de semicondutores para computadores, no final dos anos 1960 os fabricantes de
semicondutores dos EUA lideravam o mundo no desenvolvimento de circuitos integrados em que
milhares de transístores e condensadores são encaixados numa caixa de dimensões reduzidas (chips)
permitindo a invenção da calculadora de bolso eletrónica.
4.3.2. A calculadora eletrónica de bolso (1967)
Em 1967 a Texas Instruments inventa a primeira calculadora de bolso, um protótipo com,
aproximadamente, 1,3 kg chamado "Cal Tech" ("Cal culator Tech nology ")
que se encontra exposta no museu Smithsonian (Figura 93). O protótipo
conseguia realizar quatro funções básicas: adição, subtração, multiplicação e
divisão, no entanto com 20 cm de comprimento e 10 cm de largura não cabia
ainda num bolso (Museum V. C., 2020).
O termo “calculadora” ainda não estava em uso, daí que o primeiro
nome genérico para este protótipo foi “computador de réguas de cálculo”. Uma versão comercial da
calculadora, com sistema de impressão foi denominada Pocketronic da Canon e comercializada em
1970 (Museum V. C., 2020).
A Canon Pocketronic (1970), (Figura 94) é uma calculadora
histórica, sendo a primeira calculadora eletrónica de impressão "portátil"
alimentada por bateria. O Pocketronic também foi uma das primeiras
calculadoras a usar circuitos integrados de grande escala (LSI) para fornecer
os 'cérebros' da calculadora, tornando-a pequena o suficiente para ser
transportada facilmente, em oposição a outras calculadoras de impressão da
altura que eram verdadeiras gigantes de mesa (Museum V. C., 2020).
Figura 93 - Cal Tech - 1967
Figura 94 - Canon Pocketronic
98
A primeira calculadora verdadeiramente de bolso foi a Busicom LE-
120A, conhecida por HANDY-LE, colocada à venda em fevereiro de 1971. Foi
a primeira calculadora a usar uma tela de LED (Light Emitting Diode (exibia um
display de 12 dígitos em LED vermelho) e a usar um circuito integrado. Como a
calculadora era muito cara (395 dólares, hoje equivalentes a cerca de 1700 euros)
veio com uma pulseira presa na base para evitar que caísse (Figura 95) (Museum
V. C., 2020).
Calculadora Científica (1972)
As calculadoras científicas são caraterizadas por representarem quaisquer números em
notação científica, ou seja, na forma de um produto de um valor entre 1 e 10 por uma potência de
base dez. Têm ainda a possibilidade de calcular com grande precisão valores das principais funções
matemáticas, tornando obsoletas as tabelas de senos e de logaritmos utilizadas até ao seu
aparecimento. (Ponte & Canavarro, 1997)
A primeira calculadora incluindo funções científicas desenvolvida pela Hewlett-Packard (HP)
foi a HP-35 que surgiu em 1972 e cujo nome foi dado por Bill Hewlett por apresentar 35 teclas a
controlar mais de 80 operações. Com ela deu-se o início do fim da Régua de Cálculo. A Figura 96
apresenta um artigo do jornal The Michigan Daily, de novembro de 1972, onde é referido que os
alunos chamam à calculadora HP-35 a “Super Slide Rule”) (Museum V. C., 2020).
Figura 96 - HP-35 a “Super Slide Rule”
Figura 95 - Busicom LE-120A "HANDY-LE"
99
A HP-35 (Figura 97) foi apresentada como um “Computador Pessoal” que permitia que os
usuários comprassem programas em cartões pré-programados ou gravassem programas com até 100
linhas e os gravassem em cartões em branco. Apesar do preço inicial elevado, engenheiros e
estudantes de engenharia correram às lojas para comprá-la (à semelhança do que acontece hoje em
dia com os smartphones). Contam-se histórias de estudantes que venderam os seus carros para
poderem comprar uma calculadora. No entanto, como o seu custo era elevado para cerca de 90% da
população em geral, a Régua de Cálculo continuou a sua popularidade e utilidade por mais quatro
anos. Segundo International Slide Rule Museum (ISRM), a data oficial da “morte” da Régua de
Cálculo ocorreu em 13 de junho de 1976, quando a Texas Instruments introduziu a calculadora TI-30
de chip único, cujo preço estava abaixo do preço de uma Régua de Cálculo comparável.
Coincidentemente, apenas um mês depois, em 11 de julho de 1976, a Kueffel & Esser, a maior e mais
antiga fabricante de réguas nos Estados Unidos, produziu a sua última régua. Em agosto de 1976, a
Pickett Industries seguiu o exemplo, interrompendo toda a produção das suas réguas de cálculo
(ISRM, 2020). Em 1975, durante o primeiro voo espacial conjunto EUA-Soviético, tornou-se a
primeira calculadora portátil no espaço sideral (Calculators, 2020).
Calculadora Gráfica (1985)
Atualmente as calculadoras gráficas apresentam um nível de desenvolvimento e de sofisticação
que lhes permite competir com o computador. É possível encontrar numa mesma unidade portátil uma
calculadora científica, um programa de traçado de gráficos, um software de geometria dinâmica, uma
folha de cálculo, um programa de representação e análise de dados, bem como a capacidade de
recolher dados reais quando ligada a sensores apropriados. (Domingos, 2016)
No quadro representado na Figura 98 indicam-se algumas fases de evolução da calculadora
gráfica desde 1985 até aos nossos dias.
Figura 97 - HP - 35
100
Ano Tipologia Inventor Modelo Fonte Breve descrição
1985
Primeira calculadora gráfica
Casio
Casio fx-7000G
(History, 2020)
(Museum D. C., 2020)
A Casio fx-7000G foi desenvolvida com 422 bytes de memória e pode armazenar até dez programas em 10 slots de programa. Oferecia 82 funções científicas e a sua tela podia alternar entre 8 linhas de 16 caracteres cada uma ou uma tela gráfica de matriz de pontos de 64 × 96.
2003
Primeira calculadora gráfica com funcionalidade de toque
Sharp
Sharp EL-9650
(Calculators, 2020)
Primeira calculadora gráfica baseada em escrita com caneta.
2010
Primeira calculadora gráfica de cores
Casio
Casio PRIZM
(CASIO, 2020)
Embora o mundo dos dispositivos móveis tenha mudado rapidamente para telas coloridas no início dos anos 2000, demorou um pouco para as calculadoras gráficas se atualizarem. A calculadora PRIZM da Casio, com sua avançada tela colorida de resolução 216 × 384, estreou no final de 2010. A Texas Instruments logo seguiu com sua própria calculadora colorida, a TI-NSpire Cx, no início de 2011. Os estudantes finalmente poderiam se despedir das telas monocromáticas e com pouco pixel dos últimos anos.
2019
Funcionalidade gráfica avançada Visor colorido retroiluminado recarregável
TI
Computador de mão TI-Nspire ™ CX CAS
(TI, 2020)
A calculadora gráfica TI-Nspire ™ CX CAS oferece capacidade algébrica para resolver simbolicamente equações, fatorar e expandir expressões variáveis, completar o quadrado, encontrar anti derivativos, limites de computador e soluções exatas em formas irracionais, tornando-a uma ferramenta robusta de aprendizagem desde o ensino secundário até ao universitário.
2019
A calculadora gráfica com CAS (Computer-Algebra-System) e ecrã tátil a cores de alta resolução.
Casio
ClassPad II, FX-CP40
(CASIO, 2020)
A calculadora gráfica com CAS (Computer-Algebra-System) e ecrã tátil a cores de alta resolução. É o último modelo da serie ClassPad vem com uma forma rápida e intuitiva de aprender.
Figura 98 - fases de evolução da calculadora eletrónica. De 1971 a 2019
101
Computador
“A História da Computação está marcada por interrupções repentinas, por mudanças
inesperadas e imprevistas, tornando-se difícil a visão da evolução dos computadores mediante uma
enumeração linear de invenções-nomes-datas” (Filho, 2007). A necessidade de conhecer as marcas
deixadas no tempo pelo trabalho de determinados homens vem acompanhada da tentativa de
compreensão do peso desses atos na história da educação matemática. Encontrar uma compreensão
dos fatos através dos acontecimentos que os precederam é um dos principais objetivos que estará
presente neste ponto que aborda de forma sucinta a História da Computação.
A História da Computação poderá servir de projeto interdisciplinar no terceiro ciclo uma vez
que possibilita a articulação de todas as disciplinas do currículo, o trabalho colaborativo dos docentes
e os valores de cidadania necessários para o desenvolvimento das competências definidas no Perfil
dos Alunos (conforme Figura 1, CAP 1). Ao mesmo tempo a História da Computação poderá permitir
o cumprimento dos objetivos do currículo em cenários de aprendizagem ativa, integrada e/ou
invertida assente nas Aprendizagens Essenciais de cada disciplina. No contexto de aprendizagem
invertida muitos são os sites que o aluno pode pesquisar. Em Computer History Museum pode-se
aceder a uma coleção imensa e interessante no âmbito da computação atenta nos pormenores,
cronológica, com testemunhos reais inspiradores, disparadores reflexivos com possibilidade de
download, entre outros.
Seja em contexto de projeto interdisciplinar ou noutro contexto explicar aos alunos que a
capacidade de cálculo do computador permitiu chegar à solução de problemas inatingível com recurso
a lápis e papel poderá ser mais uma estratégia preconizada para motivar os alunos para a
aprendizagem da matemática. Como é exemplo, o MANIAC que em 1958 foi programado por Dana
S. Scott para procurar todas as soluções de um problema que consistia em juntar 12 pentaminós de
modo a formar um quadrado oito por oito com um quadrado vazio dois por dois no seu centro. Depois
de operar por, aproximadamente, 3,5 horas, o computador forneceu uma lista completa de 36 soluções
distintas e tais que nenhuma delas resultava de uma outra por rotações e reflexões (Eves, 2011). Um
triunfo matemático retumbante dos computadores foi a resolução, em 1976, do problema das quatro
cores da topologia (a secular conjetura afirmava que é possível pintar qualquer mapa plano ou sobre
a superfície de uma esfera sem que se usem mais do que quatro cores) em que desde a sua formulação,
por volta de 1850, muitos foram os esforços de vários matemáticos para comprová-la sem que
chegassem a uma conclusão. Em 1976, Kenneth Appel e Wolfgang Haken, da Universidade de
Illinois, chegaram à demonstração da conjetura por via computacional, após mais de mil horas de
cálculos computacionais e com várias centenas de páginas de detalhes complexos (Eves, 2011).
102
Para que não se atribua a invenção do primeiro computador a um determinado homem é
necessário conhecer-se alguns cientistas que contribuíram para o nascimento e desenvolvimento da
computação em diferentes lugares e diferentes alturas. Na computação foi o esforço de todos e não
de um só que contribuiu para o computador como hoje o conhecemos. Um disparador reflexivo que
poderá despertar a curiosidade dos alunos para o desenvolvimento de um trabalho de projeto
encontra-se no site do Computer History Museum, com o nome “Who Invented the Computer?”
(CHM, 2020).
De salientar que no desenvolvimento e investigação dos computadores e da computação três
universidades estiveram na linha dianteira, a Universidade de Harvard, o Massachusetts Institute of
Technologiy (MIT) e a Universidade da Pensilvânia (Brandão, 2018) e (Sobral, 2015).
4.6.1. Charles Babbage (1791-1871)
De todos os inventores que deram o seu contributo para o desenvolvimento da computação,
Charles Babbage foi o primeiro que quase chegou a criar um computador. Daí que seja conhecido
como o “Pai do computador” (Figura 99). Naquela época o número de erros que se cometiam em
cálculos laboriosos era elevado e o tempo destinado para os mesmos não era economizado. Deste
modo, dando asas à sua imaginação Charles Babbage começou a pensar numa forma eficaz de
mecanizar esse tipo de tarefa, eliminando as falhas e economizando o tempo das pessoas. Nesse
sentido, por volta de 1820 ou 1821, Charles Babbage iniciou o seu trabalho no desenvolvimento de
uma máquina de calcular de impressão. No final de 1822 acabou por construir um modelo dessa
máquina, “a máquina das diferenças” ou “máquina diferencial”. Trata-se de uma máquina capaz de
resolver equações polinomiais através das diferenças entre números, e consequentemente, de efetuar
os cálculos necessários para construir tabelas de logaritmos sem erros, contrárias às que apareciam
na época e que deixavam Babbage impaciente. A máquina tinha a capacidade de receber dados,
processá-los, armazená-los e exibi-los. Com esta máquina, Charles Babbage calculou com sucesso os
Figura 99 - Charles Babbage. Retrato do Illustrated London News, 4 de novembro de 1871
103
trinta primeiros valores, decorrentes da fórmula 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 41, que era um dos seus exemplos favoritos
por gerar números primos (History-Computer, 2019).
Num encontro realizado entre Babbage e o chanceler do Tesouro, em 1823, foi feito um
acordo verbal bastante vago, segundo o qual o governo concederia fundos no valor de 1500 libras,
para a empresa de Babbage construir a máquina de calcular, com um tempo previsto para a sua
construção de 3 anos. Todo o projeto de construção da máquina estava a demorar mais tempo que o
previsto e a ficar muito mais caro do que as 1500 libras disponibilizadas. Após nove anos de trabalho
foi concluída uma parte respeitante ao mecanismo de cálculo, contudo, a parte respeitante à impressão
ainda não estava concluída. Até então, o governo havia gasto 17.000 libras e Babbage gastou cerca
de seis mil libras em dinheiro próprio. Deste modo, pelo tempo e dinheiros despendidos o trabalho
do projeto foi interrompido no início de 1833. Uma parte do mecanismo de cálculo foi montada em
1832 para demonstrar a um comitê da Royal Society e ao Parlamento que o projeto estava em processo
satisfatório, mas, no entanto, ainda limitado. A máquina inteira deveria conter cerca de 25 000 peças
e pesar mais de 2 toneladas, com dimensões de aproximadamente 260 cm de altura, 230 cm de largura
e 100 cm de profundidade, contudo, naquela época o protótipo ainda só contemplava cerca de um
terço da altura e metade da largura, ou seja, cerca de um sétimo de todo o mecanismo de cálculo e
continha cerca de 2000 peças de bronze e aço (Figura 100) (History-Computer, 2019).
No final da década de 1860, Babbage afirmou que: "Eu não terminei [Mecanismo de
diferença] porque, ao trabalhar com ele, tive a ideia de um mecanismo analítico, que faria tudo o
que era capaz de fazer e muito mais. Na verdade, a ideia era tão muito mais simples que seria
necessário mais trabalho para concluir a máquina de calcular do que projetar e construir a outra
em sua totalidade, então voltei a minha atenção para a Máquina Analítica.”
Figura 100 - Uma parte do motor da máquina das diferenças, montada em 1832 (History-Computer, 2019)
104
O trabalho em torno da construção da máquina de calcular com o mecanismo da diferença foi
interrompido em 10 de abril de 1833 e o primeiro desenho do Mecanismo Analítico é datado de
setembro de 1834. De acordo com o filho mais novo de Charles Babbage, Henry Babbage, o
Mecanismo Analítico: “É uma máquina para calcular o valor ou valores numéricos de qualquer
fórmula ou função da qual o matemático possa indicar o método de solução. É executar as regras
comuns da aritmética em qualquer ordem previamente estabelecida pelo matemático, e qualquer
número de vezes e em quantidades. É para ser absolutamente automático, o escravo do matemático,
cumprindo suas ordens e liberando-o da labuta da computação. Ele deve imprimir os resultados ou
qualquer resultado intermediário alcançado.” (History-Computer, 2019)
A Máquina Analítica funcionaria com base nas instruções de cartões perfurados e mover-se-
ia a vapor. O projeto ainda possuía uma unidade central de processamento e memória expansível
separados um do outro. De tão avançados e complicados que seus projetos eram, Babbage nunca teve
a oportunidade de construir, de facto, nenhuma de suas invenções. A inexistência de equipamentos
adequados e a falta de verba fizeram com que o cientista construísse apenas protótipos do que poderia
ter sido a maior revolução tecnológica da época. (History-Computer, 2019). Na Figura 101 encontra-
se a máquina de diferenças n.º 2, de Babbage, construída pelo museu de ciência de londres.
Nestes temas teve importante participação, Augusta Ada King,
Condessa de Lovelace (1815-1852), conhecida como Ada Lovelace (Figura
102), Matemática e escritora inglesa, a primeira efetiva programadora de
computadores. Reconhecida hoje em dia principalmente por ter escrito o
primeiro algoritmo a ser processado pela máquina analítica de Charles
Babbage (Wikipédia, 2020). Na juventude, os seus talentos matemáticos
levaram-na a uma relação de trabalho e amizade com o colega Charles
Babbage e, em particular, o seu trabalho sobre a Máquina Analítica. Entre 1842
e 1843, Ada Lovelace traduziu um artigo do engenheiro militar italiano Luigi
Figura 101 - máquina de diferenças n.º 2, de Babbage, construída pelo museu de ciência de londres
Figura 102 - Ada Lovelace
105
Federico Menabrea sobre a máquina e complementou-o com Anotações (chamadas assim por Ada
Lovelace) de sua autoria. Nessas anotações encontra-se um algoritmo criado por si para ser
processado por máquinas. Pode ler-se em Wikipédia (Ada Lovelace, 2020) que “Ada Lovelace
também desenvolveu uma visão sobre a capacidade dos computadores de irem além do mero cálculo
ou processamento de números. Sua mentalidade da "ciência poética" levou-a a fazer perguntas sobre
a Máquina Analítica e a examinar como os indivíduos e a sociedade se relacionam com a tecnologia
como uma ferramenta de colaboração.”
A linguagem de programação Ada 46 foi criada em homenagem à Ada Lovelace
pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos. A documentação da linguagem foi aprovada em
10/12/1980, dia de nascimento de Ada Lovelace.
Em 1981, a Associação de Mulheres de Computação criou o Prémio Ada Lovelace. Em 1998,
a Associação Britânica de Computação criou a Medalha Lovelace e patrocina o BCS Women
Lovelace Colloquium (desde 2008) que é uma conferência anual de um dia para mulheres estudantes
de Computação e assuntos relacionados.
O ADA National College for Digital Skilles situa-se em Broad Lane, Londres e “É uma
universidade especializada que inspira os alunos de hoje a se tornarem os pioneiros digitais de
amanhã.” Os cursos têm a duração de 3 anos e os estudantes passam 80% do tempo no local de
trabalho e 20% na sala de aula (Skilles, 2020)
Desde 2009, na segunda terça-feira do mês de outubro, é comemorado o Dia da Ada Lovelace,
que tem como objetivo “dar destaque às mulheres na ciência, tecnologia, engenharia e Matemática”
além de “criar novos modelos para meninas e mulheres”. Entre os eventos estão a Maratona de
edição da Wikipédia, com o objetivo de aumentar a representação das mulheres na Wikipédia em
termos de artigos e editores e, deste modo, reduzir preconceitos de género (Wikipédia, 2020).
O método das diferenças de Charles Babbage poderá ser considerado pelo professor como
uma oportunidade de introdução do conteúdo de aprendizagem Equações do 2.º grau completas
lecionado no 9.º ano de escolaridade. Pensado e planificado para uma turma com alunos com
diferentes ritmos de aprendizagem, motivações e interesses poderá constituir uma oportunidade de
46 Ada é uma linguagem de programação de alto nível, imperativa, tipicamente compilada e baseada em Pascal, que foi criada através de um concurso realizado pelo U. S. Departament of Defense, sendo o principal projetista o francês Jean Ichbiah. A linguagem foi primeiramente padronizada em 1983 pelo ANSI e em 1985 pela ISO (Organização Internacional de Padronização) e em 1995 a ISO padronizou uma versão melhorada conhecida como Ada 95 (Wikipédia, 2019).
106
maior empatia relativamente ao conteúdo, que deixa de ser expositivo na sua abordagem e passa a ser
investigativo. Para isso o professor antes da aula destinada à aprendizagem do conteúdo poderá
solicitar aos alunos que façam uma pesquisa sobre Charles Babbage (em sala de aula e/ou em casa)
para ser apresentada em sala de aula com recurso às novas tecnologias (Padlet, Kahott, Milage, entre
outros), em grupos de trabalho ou individualmente (de acordo com as caraterísticas da turma). De
seguida apresentar aos alunos o polinómio x2 + x + 41 e pedir o cálculo dos seis primeiros valores
inteiros não negativos promovendo a discussão em grupo turma sobre os números gerados por ele,
concluindo, desta forma, que são todos números primos. De seguida o professor poderá explicar que
Charles Babbage com este polinómio e a sua máquina das diferenças conseguiu produzir resultados
corretos na taxa de 33 dígitos por minuto. Para melhor compreensão da máquina das diferenças
explicar o método recorrendo, por exemplo à Figura 103 em que o professor irá questionar os alunos
levando-os a refletir sobre as colunas D e D2 pedindo-lhes para continuarem a tabela até aos dez
primeiros termos. Em grupo turma os alunos deverão concluir que:
• D corresponde, na tabela, à primeira coluna das diferenças –
primeiras diferenças - diferença entre um termo de T e um seu
antecedente (exemplo: 43 − 41 = 2; 47 − 43 = 4 e assim
sucessivamente).
• D2 corresponde, na tabela, à segunda coluna das diferenças
chamada da diferença da diferença - diferença entre um termo de
D e um seu antecedente (exemplo: 4 − 2 = 2; 6 − 4 = 2; 8 −
6 = 2 e assim sucessivamente). Realçar que a diferença da
diferença é constante e igual a 2.
De seguida explicar que este processo pode ser generalizado.
Ou seja, neste exemplo, a segunda diferença é constante porque a
função T é quadrática. Se a função T fosse cúbica, como T = x 3, a
segunda diferença iria variar, mas a terceira diferença, a diferença
entre as segundas diferenças sucessivas, seria constante. Em geral, um
polinómio de grau n terá uma n − ésima diferença constante e cada
novo valor sucessivo da função pode ser obtido por n adições simples.
Figura 103 - método das diferenças
𝑫𝑫𝟐𝟐 D T
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 41
𝒙𝒙
2
2
2
2
2
2
4
6
8
10
12
41
0
43
1
47
2
53
3
61
4
71
5
83
6
Para concluir a aula mostrar um disparador reflexivo do
funcionamento da máquina diferencial de Charles Babbage do
Science Museum, construída a partir do projeto de Babbage.
Babbage's Difference Engine No. 2 (Wired, 2008)
107
4.6.2. Hermann Hollerith (1860-1929)
O recenseamento de uma população envolve operações de cálculo significativas em volume
e dificuldade, a título de exemplo, em 1880 foi feito o censo da população dos EUA e os dados
demoraram sete anos e meio para serem compilados. Em 1890 o Departamento de Estatística dos
EUA abre um concurso para a realização do recenseamento da população e Hermann Hollerith
consegue os resultados em dois anos e meio (CHM, 2020).
Hermann Hollerith era funcionário do United States Census Bureau e inventou, em 1880, uma
máquina para processar os dados do recenseamento da população baseada na leitura de cartões
de papel perfurados em código BCD (Binary Coded Decimal) e que efetuava contagens da
informação referente à perfuração respetiva, pioneira na utilização de eletricidade para separação,
contagem e tabulação dos cartões. Em 1896 Hermann Hollerith juntou-se a Thomas Watson e
fundaram a Tabulating Machine Company (TMC) que em 1916 se torna a International Business
Machine (IBM) (Sobral, 2015).
Os 60 milhões de cartões perfurados no censo de 1890 nos Estados Unidos foram alimentados
manualmente em máquinas como a da Figura 104 para processamento. Os mostradores contavam o
número de cartões com orifícios numa posição específica. O classificador à direita seria ativado por
determinadas combinações de furos, permitindo a geração de estatísticas detalhadas (por exemplo, o
número de agricultores casados com mais de 40 anos de idade). Um operador médio pode processar
cerca de 7000 cartões por dia, pelo menos dez vezes mais rápido que os métodos manuais (CHM,
2020).
Figura 104 - máquina - censo de 1890 nos Estados Unidos (CHM, 2020).
108
4.6.3. George Boole e os fundamentos da Lógica Matemática e da Computação (1815-1864)
De acordo com Sobral (2015) a influência dos trabalhos de lógica simbólica realizados por
De Morgan e a tendência formalista dos matemáticos ingleses levaram George Boole a escrever em
1854 “An Investigation of the Laws of Thought” e, baseado neste trabalho em 1854, a álgebra
booleana com especial interesse para a Computação, devido à sua conceção acerca de um sistema
matemático baseado em duas quantidades, o ‘Universo’ e o ‘Nada’, representados por ‘1’ e ‘0’ que o
levou a inventar um sistema de dois estados para a quantificação lógica em 1847. Uma das
características importantes da álgebra de Boole é que as operações lógicas podem ser colocadas juntas
e formar novas operações, com um sistema completo que permitia a construção de modelos
matemáticos para o processamento computacional. As álgebras booleanas acabaram por ter
aplicações na eletrónica, alguns anos depois com os interruptores (relés) posteriormente
transformados em bits, no século XX, por Claude Shannon. Segundo Filho (2007, p. 56) George
Boole é considerado o fundador da Lógica Simbólica.
4.6.4. Alan Turing e o Colossus (1912-1954)
Segundo Filho (2007, p. 74) a “revolução do computador começou efetivamente a realizar-
se no ano de 1935, numa tarde de verão em Inglaterra, quando Alan Mathison Turing (1912 - 1954),
estudante do King’s College, Cambridge tomou conhecimento do Entscheidungsproblem de Hilbert”.
Alan Turing foi influente no desenvolvimento da ciência da computação e na formalização do
conceito de algoritmo e computação com a máquina de Turing, desempenhando um papel importante
na criação do computador moderno. Foi também pioneiro na inteligência artificial e na ciência da
computação. É conhecido como o pai da computação.
A Máquina de Turing é um dispositivo teórico conhecido como máquina universal, muitos
anos antes de existirem os modernos computadores digitais. É um modelo abstrato de
um computador, que se restringe apenas aos aspetos lógicos do seu funcionamento (memória, estados
e transições) e não à sua implementação física. Numa máquina de Turing pode-se modelar qualquer
computador digital. Uma visão geral da máquina de Turing e dos seus componentes pode ser
visionada em http://aturingmachine.com/ ou, utilizando um kit Lego Mindstorms (feito como parte
de um projeto em ciência da computação na Universidade de Aarhus) em
https://www.youtube.com/watch?v=cYw2ewoO6c4.
109
Segundo Filho (2007, p. 77), em 1940, durante a segunda guerra mundial, Alan Turing fez
parte de uma equipa de brilhantes mentes responsável por decifrar mensagens codificadas do inimigo
alemão através de uma máquina chamada “Enigma”. Para isso Turing e a sua equipa tentaram
construir réplicas da máquina “Enigma” incorporando nelas as suas ideias abstratas. A sua ideia
principal era verificar todos os ajustes possíveis da Enigma até que o código fosse descoberto. As
máquinas britânicas construídas tinham dois metros de altura e eram significativamente largas e
possuíam relés (interruptor) eletromecânicos para verificar todos os ajustes possíveis da Enigma. O
constante tiquetaquear das máquinas deu-lhes o apelido de bombas (Figura 105). Apesar da sua
velocidade, era impossível que as bombas verificassem cada um dos 150 trilhões de ajustes possíveis
da Enigma dentro de um tempo razoável. Por isso a equipe de Turing teve de procurar meios de
reduzir significativamente o número de permutações extraindo toda a informação que pudesse das
mensagens enviadas.
Quando a guerra terminou, Turing tinha ajudado a construir um computador, o Colossus, uma
máquina inteiramente eletrónica com 1500 válvulas que eram muito mais rápidas do que os relés
eletromecânicos usados nas bombas. O Colossus era um computador que tinha memória, podia
processar informação e os estados dentro do computador assemelhavam-se aos estados da mente.
Turing tinha transformado sua máquina imaginária no primeiro computador legítimo. O Colossus
acabou por não ter sido dado a conhecer na sua época devido a duas razões: a primeira é não ter sido
ele um computador para uso geral, mas sim projetado especialmente para decodificar mensagens
secretas; a segunda: a existência desta máquina só foi revelada a partir de 1970. Estima-se que terá
sido responsável por encurtar a segunda guerra mundial em dois anos tendo, deste modo, poupado
milhões de vidas. No site do Computer History Museum é possível fazer o download ou visionar um
pequeno disparador reflexivo (Colossus: Breaking the Code) que de forma resumida mostra o impacto
que o Colossus teve na história da humanidade (Museum H. C., 2020). O filme “The Imitation Game”,
baseado no livro biográfico Alan Turing: The Enigma, de Andrew Hodges é uma ferramenta que
pode ser aplicada em sala de aula no âmbito de um projeto interdisciplinar e/ou de uma disciplina.
Figura 105 - Réplica da bomba de Turing, exposta no Museu Nacional da Computação, em Bletchley Park
110
Ainda na Inglaterra, após o fim da guerra, Turing uniu-se ao centro de pesquisas do National
Physical Laboratory, onde rapidamente elaborou o projeto básico do Automatic Computing Engine
(ACE), que iniciou operações em 1950.
4.6.5. Konrad Zuse (1910-1995)
Segundo Filho (2007, p. 101), Konrad Zuse (1910 - 1995), um engenheiro civil alemão foi o
primeiro a desenvolver máquinas de cálculo controladas automaticamente. Zuse concluiu que ao se
efetuarem longos cálculos com dispositivos mecânicos podia-se guardar os resultados intermediários
dos mesmos para usá-los apropriadamente nos passos seguintes. Em 1934, depois de várias ideias e
tentativas, Zuse concluiu que um calculador automático apenas precisaria de três unidades básicas:
uma controladora, uma memória e um dispositivo de cálculo para a aritmética. Deste modo em 1936
desenvolve o seu Z1, um computador construído inteiramente com peças mecânicas e que usava uma
fita de película cinematográfica para as instruções que controlavam a máquina. Em 1938, antes
mesmo de terminar o Z1, um aluno de Zuse, Helmut Schreyer, construiu uma parte do Z1 usando
válvulas. Em função da situação de pré-guerra, Zuse teve de abandonar essa linha de
desenvolvimento – seriam necessárias 1000 válvulas, o que era impossível naquele momento – e
continuou o Z2 usando tecnologia baseada em relés. Em 1941 terminou o Z3, um modelo de
computador totalmente operacional e que, como a maioria das máquinas dessa primeira geração,
usava dois mecanismos separados para as funções aritméticas e tinha uma unidade especial para
conversão de números na notação decimal para a binária. Este computador executava três a quatro
adições por segundo e multiplicava dois números em quatro ou cinco segundos. Nunca chegou a ser
usado para grandes problemas em função de possuir uma memória de tamanho limitado. Foi
destruído, junto com a casa de Zuse, por um bombardeio em 1944 (Filho, 2007, p. 101). O Z4
começou a ser desenvolvido quase em simultâneo com o trabalho final do Z3. Era essencialmente a
mesma máquina mas com maior capacidade de memória e mais rápida. Por causa do avanço das
tropas aliadas, o trabalho do Z4 foi interrompido e ficou escondido numa pequena cidade da Bavária
(Filho, 2007, p. 101). Em 1950, na Suíça, Zuse reconstruiu o seu Z4, e fundou uma empresa de
computadores, comprada posteriormente pela Siemens. As máquinas de Zuse tiveram pouco impacto
no desenvolvimento geral da Computação pelo absoluto desconhecimento delas até um pouco depois
da guerra (Filho, 2007, p. 102).
111
4.6.6. Claude Elwood Shannon (1916-2001)
Segundo Filho (2007, p. 98) o engenheiro Claude E. Shannon47 com apenas 22 anos, deu uma
grande contribuição à área da Computação. Em 1937 estabeleceu uma ligação entre os circuitos
elétricos e o formalismo lógico mostrando um caminho para projetar máquinas baseadas na lógica
algébrica descrita um século antes por George Boole, aquela em que só havia dois valores no sistema
de cálculo lógico: 1 e 0. Se um valor é verdadeiro, ele pode ser representado pelo valor 1 e, se falso,
pelo 0. Nesse sistema, uma tabela de verdade descreveria os vários estados lógicos possíveis. “Claude
Shannon percebeu que a mesma álgebra poderia descrever o comportamento de circuitos elétricos
chaveados. Igualmente importante foi o modo como estas combinações entre operações lógicas e
aritméticas poderiam ser usadas para se construir uma “operação de memória”. A álgebra booleana
torna possível a construção de um dispositivo de “estado” que pode armazenar qualquer informação
específica, seja um dado ou uma operação. E se um circuito elétrico pode executar operações
matemáticas e lógicas, e pode também armazenar os resultados de tais operações, então os
computadores digitais podem ser construídos.” Em 1940, durante a Segunda Guerra Mundial,
Shannon começou a desenvolver uma descrição matemática da informação, dando origem a um ramo
de estudos conhecido como Teoria da Informação. Deu ainda importantes contribuições na área da
Inteligência Artificial.
4.6.7. Mark I – computador eletromecânico (Harvard/IBM) (1937-1944)
Segundo Filho (2007, p. 102) por volta de 1937, enquanto Alan Turing desenvolvia a sua
noção de “Máquina Universal" e formalizava o conceito do que é computar e do que é um algoritmo,
nos Estados Unidos dois outros matemáticos também consideravam o problema da computação:
Howard Aiken, em Harvard, cujo trabalho daria os seus frutos em 1944, e George Stibitz, nos
laboratórios da Bell Telephones. Os dois procuravam componentes eletromecânicos que pudessem
ser usados na computação de cálculos.
George Stibitz demonstrou que para executar operações aritméticas se podia recorrer aos relés
e com isso procedeu à construção dos seus modelos de computadores (do modelo I ao modelo VI, de
1939 até 1961) de código binário baseados em relés.
47 Mestre em Engenharia Elétrica e Doutor (PhD) em Matemática pelo Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT), Cambridge, MA.
112
Nos Laboratórios de Computação de Harvard, Howard Aiken e alguns engenheiros da IBM,
em 1943 terminavam a primeira versão do IBM Automatic Sequence Controlled Calculator (Harvard
Mark I ou ASCC)48, o primeiro descendente direto da máquina analítica de Babbage, que media cerca
de 15 metros de comprimento por 2,5 metros de altura, tinha nada menos que 750 000 componentes
ligados por aproximadamente 80 400 metros de fio e pesava cerca de cinco toneladas (Eves, 2011).
Este computador modificava instruções dinamicamente baseando-se nos resultados obtidos durante
o processamento, possuía unidades para decidir qual o melhor algoritmo para execução de um cálculo
através do argumento de uma função, testava o conteúdo de registradores, etc. Diferenciava-se
fundamentalmente das máquinas anteriores por usar memórias separadas para instruções e dados, o
que ficou denominado como arquitetura de Harvard. Quando terminado em 1944 (dois anos após o
Z3 de Konrad Zuse), foi imediatamente adotado pela marinha americana para fins militares e novas
versões foram produzidas até 1952. Em termos de velocidade este computador era comparável ao Z3
de Konrad Zuse.
O primeiro “bug” (inseto, em inglês) de computador ocorreu em 1945 numa máquina Harvard
Mark II e foi provocado por uma traça que entrou na máquina e parou todo o sistema. Este incidente
aconteceu a Grace Hoper, que inicialmente não conseguia descobrir a razão pela qual o computador
estava com uma avaria, até que encontrou a traça nos contatos de um relé. Este facto deu origem ao
termo bug para designar erro na linguagem dos computadores. Grace teve que tirar o inseto com uma
pinça afirmando que “estava a tirar o bug da máquina”. De seguida, colou a traça no seu caderno de
anotações com fita adesiva e registou ao lado do inseto “primeiro caso de bug realmente encontrado”
(Figura 106).
48 "Calculadora Automática de Sequência Controlada", foi a primeira calculadora eletromecânica automática produzida em larga escala desenvolvida nos Estados Unidos.
Figura 106 - primeiro bug num computador
113
4.6.8. Geração de computadores
Nesta seção são apresentadas de forma sucinta as cinco gerações de computadores
classificadas cronologicamente segundo Sobral (2015).
Computadores da 1.ª geração (1946-1954)
A primeira geração dos computadores é caraterizada pela utilização de válvulas eletrónicas
(Figura 107). A válvula é um tubo de vidro, semelhante a uma lâmpada fechada sem ar no seu interior,
ou seja, um ambiente fechado a vácuo, e contendo elétrodos, cuja finalidade é controlar o fluxo de
eletrões. “As válvulas aqueciam bastante e costumavam queimar com facilidade” (Farias, 2020).
Os computadores da primeira geração que, de forma, sintetizada se apresentam nesta
dissertação são o ENIAC e o UNIVAC.
Segundo Filho (2007, p. 104), no início da Segunda Guerra Mundial foi criado, na Moore
School of Electrical Engineering, da Universidade da Pensilvânia (Filadelfia, EUA), um grupo de
pesquisa para o desenvolvimento de projetos eletrónicos para fins militares. Este grupo constituído
por figuras intelectuais de renome acabaram por ser os principais protagonistas na construção do
primeiro computador de uso geral que realmente funcionou como tal, o ENIAC (Electronic Numerical
Integrator and Computer) que acabou por ser o grande salto no desenvolvimento dos computadores
eletrónicos. O formato do computador era em U, dezoito metros de comprimento por dois metros e
meio de largura, pesava trinta toneladas, possuía 18000 válvulas, capacidade para reter em memória
setenta e quatro números de vinte e três algarismos, 5000 adições ou 300 multiplicações por segundo
e mil vezes mais rápido que o Mark I e encontra-se atualmente como peça de museu, no Smithsonian
Institution, em Washington D.C. (Eves, 2011). A sua programação era feita manualmente, através de
fios e chaves e os dados a serem processados entravam via cartão perfurado. Os programas típicos do
ENIAC demoravam entre meia hora a um dia inteiro para serem elaborados e executados (Figura
Figura 107 - Válvulas - computadores 1.ª geração
114
108). “O primeiro problema a ser resolvido pelo ENIAC foi um ensaio de cálculo para a bomba de
hidrogênio, então sendo projetada.” (Filho, 2007, p. 119)
De acordo com Filho (2007, p. 104), em 1944 John von Neumann49 ingressou como consultor na
equipa da Universidade da Pensilvânia. “Os responsáveis pelo projeto estavam interessados em
melhorar a maneira como os programas eram desenvolvidos e iniciaram discussões a respeito do
armazenamento de programas na forma de números. Iniciaram assim um trabalho sobre projetos de
computadores que foi fundamental nos 40 anos que se seguiram”. Em 1945 Neumann escreveu First
Draft of a Report on the EDVAC (Eletronic Discrete Variable Automatic Computerum),
relatório que sugere a utilização da linguagem binária e que os programas e outros dados devem estar
na memória interna do computador. Deste modo, com ele foi introduzida a noção de “programação
por software” ao colocar um programa na memória do ENIAC, utilizando pela primeira vez a
linguagem binária. O primeiro computador construído comercialmente, o UNIVAC
(de UNIVersal Automatic Computer), foi colocado no Departamento de Estatística do governo dos
EUA em 1951 para efeitos de recenseamento. A General Electric foi o primeiro utilizador industrial
do computador (1954).
49 Conheceu Kurt Gödel (que como ele, naturalizou-se americano durante a 2ª guerra mundial) e Church, orientador, naquela época, da tese de doutoramento de Turing. Tomou conhecimento da publicação deste, On Computable Numbers with an Application to the Entscheidungs problem, e convidou-o para trabalhar como seu assistente, pois estava interessado nas suas ideias que envolviam os conceitos de um projeto lógico para uma máquina universal. Turing, no entanto, preferiu retornar a Cambridge e, um ano mais tarde, envolvendo-se na construção do computador Colossus, em Bletchley Park, na Inglaterra (Filho, 2007).
Figura 108 - ENIAC - Computador da 1.ª geração (1946)
115
Computadores da 2.ª geração (1955-1964)
Os computadores da segunda geração foram impulsionados pela invenção do transístor que
substituiu a válvula e cujo tamanho é 100 vezes menor que esta. Comparados com os da primeira
geração eram mais rápidos, mais pequenos e com custos de produção mais baixos. Eram alocados em
salas especialmente preparadas com sistema de refrigeração, com apoio de operadores profissionais
e apenas grandes companhias, agências governamentais, ou universidades, dispunham de condições
para pagar um preço elevadíssimo por essas máquinas (Sobral, 2015). Por volta de 1956 apareceram
também os modernos dispositivos, tais como as impressoras, as fitas magnéticas, os discos para
armazenamento, etc. Os computadores passaram a ter um desenvolvimento rápido, impulsionados
principalmente por dois fatores essenciais: os sistemas operacionais e as linguagens de programação
(a substituição de válvulas por transístores possibilitou a criação de linguagens tipo Assembly). A
Figura 109 apresenta um computador da segunda geração, o PDP-1 (Programmed Data Processor-1,
1959). Foi o Hardware original usado para jogar o primeiro videojogo na história
dos minicomputadores, “Steve Russell's Spacewar!” em 1962. Este jogo mostrou que a diversão pode
ser uma força motora no avanço da tecnologia da computação o que influenciou várias empresas na
criação de um novo meio de entretenimento poderoso que se tornaria uma indústria multibilionária.
Computadores da 3.ª geração (1965-1977)
O uso de transístores passou a ser substituído pelo de circuitos integrados (CI), unidades de
encapsulamento semicondutoras que agrupam transístores, resistores, díodos e outros componentes
elétricos interligados numa pastilha de Silício e Germânio e que passaram a ser conhecidos como
chips. As duas variedades de circuitos integrados da terceira geração eram o SSI (Small Scale
Integration – Circuitos de pequena escala) com cerca de 10 transístores por chip e os MSI (Medium
Scale Integration - Circuitos de média escala) com cerca de 100 transístores por chip. Essa
compactação nos componentes possibilitou a diminuição do tamanho dos computadores, do
Figura 109 - Computador da 2.º geração - PDP – 1- 1959
116
aquecimento e do consumo de energia. Estas caraterísticas permitiram o aumento da velocidade de
processamento dos computadores, o aumento do número de operações simultâneas e o surgimento
das primeiras linguagens de programação, tais como COBOL, FORTRAN e ALGOL. Nos anos 60
muitos fabricantes de computadores tinham duas linhas de produto totalmente incompatíveis e
dispendiosas em que, por um lado, existiam os computadores científicos (exemplo, o modelo 7094,
usado para cálculos numéricos em ciência e engenharia) por outro lado, existiam os computadores
comerciais (exemplo, o modelo 1401, usado por bancos e companhias de seguros). A IBM, no intuito
de resolver estes problemas de incompatibilidade e custo elevado introduziu o sistema 360 (IBM
System/360 (S/360)) (Figura 110) que consistia numa série ou família de máquinas compatíveis em
termos de software e que variavam de tamanho, preço e performance (capacidade de memória,
velocidade do processador, número de periféricos I/O permitidos, etc) de acordo com o modelo (1401
até ao mais potente, o modelo 7094). Foi o primeiro a apresentar o conceito de modularidade em que
o comprador poderia comprar as peças (módulos) à medida da sua necessidade, (Farias, 2020) e a
primeira linha de computadores com fim comercial a usar (em pequena escala) circuitos integrados
(Sobral, 2015).
Computadores da 4.ª geração (1977-1991)
Com um aperfeiçoamento da tecnologia existente, proporcionando uma otimização da máquina
para os problemas do usuário, maior grau de miniaturização, confiabilidade e maior velocidade, já da
ordem de nanossegundos (bilionésima parte do segundo) surgem os computadores da quarta geração.
Esta geração surgiu com o decorrer da tecnologia dos circuitos integrados LSI (Large Scale
Integration), chips com milhares de transístores num centímetro quadrado de silício e VLSI (Very
Figura 110 - IBM Series 360 - computador da 3.ª geração (Farias, 2020)
117
Large Scale Integration) (Farias, 2020). Enquanto que o minicomputador da terceira geração tornou
possível um departamento de uma companhia ou uma universidade possuir o seu próprio computador,
os computadores com microprocessador em chip, com capacidade de computação altamente
interativa, com excelentes facilidades gráficas, tornaram possível a uma só pessoa ter o seu próprio
computador (computador pessoal) e, deste modo, fizeram crescer a indústria de produção de software
para computadores pessoais. Muitos desses softwares eram “amigáveis ao usuário”, pois tinham sido
projetados para usuários que não tinham quaisquer conhecimentos sobre computadores com a única
intenção de orientá-los no uso do computador. Dois sistemas operacionais dominaram a utilização do
computador pessoal, o MSDOS, escrito pela Microsoft para o IBM PC e para outras máquinas que
usavam a CPU Intel 8088 e seus sucessores, e UNIX, predominante em máquinas que usam a CPU
da família Motorola 68000 (Sobral, 2015). A Figura 111 é um exemplo de um computador da 4.ª
geração, o Apple II, lançado em 1976, por Steve Jobs e Steve Wozniak (fundadores da Apple
Corporation). Foi o primeiro microcomputador pessoal a ter sucesso comercial.
Computadores da 5.ª geração (1992 até hoje)
Os computadores da quinta geração são caraterizados pela escala de integração ULSI (Ultra
Large Scale Integration), arquiteturas de 64 bits, processadores que utilizam tecnologias RISC
(Reduced Instruction Set Computer) e CISC (Complex Instruction Set Computer), a utilização da
inteligência artificial (reconhecimento de voz, sistemas inteligentes, redes neurais, robótica) e a
conetividade proporcionada pelas redes de alta velocidade (Sobral, 2015).
Sobral (2015) considera ainda uma sexta geração de computadores que é a atual, caraterizada
pela “nuvem computacional, ao mesmo tempo com a computação móvel, pervasiva e ubíqua”.
Figura 111 - Computador da 4.ª geração - Apple II - 1976
118
4.6.9. Primeiros computadores no ensino
O ensino através da informática tem as suas raízes no ensino através das máquinas
preconizado por Sidney Pressey em 1924 quando inventou uma máquina capaz de corrigir testes de
escolha múltipla. Em 1950 B.F. Skinner, professor de psicologia na universidade de Harvard, propôs
uma máquina para ensinar usando o conceito de Instrução Programada e que consistia em dividir o
conteúdo programático a ser ensinado aos alunos em pequenos módulos logicamente encadeados em
que cada módulo termina com uma questão que os alunos devem responder preenchendo os espaços
em branco ou escolhendo a resposta certa de entre as diversas alternativas apresentadas. Se os alunos
respondessem corretamente podiam passar para o próximo módulo se respondessem erradamente a
resposta certa podia ser fornecida pela máquina ou em alternativa o aluno é convidado a rever
módulos anteriores ou, ainda, a realizar outros módulos, cujo objetivo é remediar o processo de ensino
(Figura 112). A máquina de ensinar de Skinner foi descrita na sua obra “A Ciência da Aprendizagem
e a Arte de Ensinar” e publicada em 1954 na Harvard Educational Review e em Current Trends in
Psychology and the Behavioral Sciences, University of Pittsburgh Press. Muitas críticas foram
direcionadas para este modelo mecanizado de educação, chamado de “Ensino Programado”,
resultando na rejeição ao uso da máquina que não chegou a ser utilizada de modo sistemático nas
escolas americanas (Valente, 2011).
Em https://www.youtube.com/watch?v=vmRmBgKQq20 é possível visionar o modo de
funcionamento de uma máquina de ensinar de Skinner explicado pelo próprio assim como as
vantagens do seu uso. De acordo com o próprio Skinner a utilização de uma máquina de ensinar
possibilita que o estudante fique livre de indecisão ou ansiedade sobre o seu sucesso ou insucesso
escolar, leva a comportamentos corretos e a um trabalho prazeroso sem necessidade de forçar o
estudo, fornece no imediato um relatório ao aluno sobre a resposta dada, o aluno aprende ao seu ritmo,
cada estudante segue um programa devidamente planeado, etc.
Com o advento do computador os módulos que compunham um determinado conteúdo
programático poderiam ser apresentados pelo computador com grande flexibilidade. Assim, durante
Figura 112 - Máquina de ensinar de Skinner. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/Skinner_teaching_machine_01.jpg
119
o início dos anos 60 diversos programas de instrução programada foram implementados no
computador contribuindo para o nascimento da instrução auxiliada por computador ou "Computer
Assisted Instruction" (CAI). Diversas empresas de computadores como a IBM, RCA e Digital
investiram na produção de CAI para serem comercializados, no entanto, os computadores ainda eram
muito caros para serem adquiridos pelas escolas pelo que apenas as universidades elaboravam e
disseminavam o CAI. Em 1963 a Universidade de Stanford na Califórnia, através do Institute for
Mathematical Studies in the Social Sciences, desenvolveu cursos de matemática e leitura para alunos
do 4.º ano que iam das suas escolas para a universidade para terem as suas aulas (Valente, 2011) e
(Crochik, 1998). A partir de 1975, com a criação dos microcomputadores deu-se a disseminação do
CAI pelas escolas do ensino básico e do ensino secundário o que permitiu um maior e diversificado
tipos de CAI, como tutoriais, programas de demonstração, exercício-e-prática, jogos educativos,
simulação, entre outros. Paralelamente a isso a conceção de ensino pelo computador permitiu a
elaboração de outras abordagens, onde o computador é usado como ferramenta no auxílio de
resolução de problemas, na produção de textos, manipulação de banco de dados e controle de
processos em tempo real. Segundo Valente (2011) estudos feitos pelo "The Educational Products
Information Exchange Institute (EPIE) " uma organização do "Teachers College", Columbia, E.U.A.,
foram identificados em 1983 mais de 7000 pacotes de software educacionais no mercado que cobriam
essencialmente as áreas da matemática, ciências, leitura, artes e estudos sociais. Em 1990 com a
criação da internet foram criados programas com possibilidades gráficas, nomeadamente linguagens
de programação para crianças.
4.6.10. Seymour Papert
Seymour Papert com formação em matemática, filosofia e psicologia na África do Sul (onde
nasceu) e no Reino Unido, lecionou no Massachusetts Institute of Technology (MIT) (Teodoro,
The understanding of learning must be genetic. It must refer to the genesis of
knowledge. What an individual can learn, and how he learns it, depends on what
models he has available. This raises, recursively, the question of how he learned
these models. Thus the ‘laws of learning’ must be about how intellectual
structures grow out of one another and about how, in the process, they acquire
both logical and emotional form.
(Papert 1980, p. vii)
120
2016). Considerado um pioneiro em Inteligência Artificial e, fundamentado nos estudos de Jean
Piaget (Papert foi aluno de Piaget), cria um Ambiente Computacional Interativo totalmente voltado
para a educação, o LOGO entre 1967 e 1968. Na educação Papert cunhou o
termo construcionismo como sendo a abordagem do construtivismo que permite ao educando
construir o seu próprio conhecimento por intermédio de alguma ferramenta, como o computador, por
exemplo. O uso do computador é defendido como auxiliar no processo de construção de
conhecimentos, uma poderosa ferramenta educacional, adaptando os princípios do construtivismo
cognitivo de Jean Piaget a fim de melhor aproveitar-se o uso de tecnologias. Em plena década de
1960, Papert afirmava que toda a criança deveria ter um computador em sala de aula defendendo que
“as crianças podem aprender naturalmente muitos conceitos e ideias matemáticas se trabalharem de
forma autónoma num ambiente rico e propício à livre exploração, no qual se sintam estimuladas e
desafiadas” (Ponte & Canavarro, 1997, p. 279). Mas a comunidade pedagógica só passou a
incorporar as ideias de Papert a partir de 1980, quando foi lançado um livro seu o Mindstorms:
Children, Computers and Powerful Ideas – no qual mostrava caminhos para a utilização dos
computadores no ensino.
Segundo Teodoro (2016) o “principal objetivo do LOGO era permitir às crianças “pensar
computacionalmente”, ou seja, analisar situações problemáticas utilizando ideias e modelos
matemáticos e implementar computacionalmente e testar as respetivas soluções”. Segundo Ponte &
Canavarro (1997, p. 279) uma das suas caraterísticas fundamentais é a capacidade de controlar uma
pequena tartaruga cibernética que em resposta às instruções recebidas movimenta-se no ecrã,
deixando (ou não) registado o rasto por onde passa. “Uma outra possibilidade é o controlo do
movimento de uma tartaruga -robot que, cumprindo as instruções dadas, se desloca no chão, sobre
uma folha de papel gigante, desenhando com uma caneta a trajetória que percorre”.
Segundo Teodoro (2016) o LOGO deu origem a um “movimento educacional” que atingiu o
seu auge entre 1985 e 1995, amenizado com o aparecimento da Internet. “Mas as sementes da
mudança mantiveram-se ativas, graças a Papert e a líderes educacionais como Mitchel Resnick que,
colaborando com educadores, artistas e ativistas cívicos, com o apoio da fundação LEGO e de outros
financiadores como a Google levaram ao reconhecimento da importância do pensamento
computacional na educação integral de crianças e jovens”.
A ênfase que se dá atualmente à utilização educativa de ambientes de programação deve-se à
Linguagem LOGO. Dos muitos ambientes que atualmente existem os que são do meu conhecimento
são o Scratch e a linguagem de programação utilizando a placa de microcontrolador- Micro:bit.
121
5. Duas experiências de ensino/aprendizagem com recursos do passado e do presente
Neste capítulo são tratadas duas experiências de ensino/aprendizagem implementadas em
duas turmas de 9.º ano na escola onde leciono. Trata-se de um agrupamento de escolas de ensino
público, do pré-escolar ao 9º ano de escolaridade, pertencente ao concelho e distrito do Porto. As
freguesias que abarcam os alunos do agrupamento apresentam um contexto residencial e social muito
heterogéneo, com grupos populacionais com níveis académicos e culturais muito diferenciados. Na
escola básica do 2.º e 3.º ciclos os alunos pertencem maioritariamente a grupos sociais mais
desfavorecidos e onde se regista um número elevado de desempregados e de beneficiários de
Rendimento Social de Inserção. Nesta escola a generalidade dos Encarregados de Educação tem
habilitação literária até ao 6º ou 9º anos e são muito poucos os que possuem habilitação académica
superior. Os resultados das Provas Finais de Matemática do 9.º ano ficam aquém do desejado com
uma taxa de níveis negativos bastante elevada. Estes resultados justificam-se em parte pelo facto de
muitos alunos abandonarem precocemente o estudo da matemática por considerarem difícil e pouco
interessante, investindo nas restantes.
A primeira experiência tratada nesta dissertação surgiu naturalmente à medida que a ia
desenvolvendo. O objetivo desta é o impacto na compreensão e apreensão da adição dos números
inteiros relativos com recurso ao ábaco escolar. Nada tecnológico no seu funcionamento, rudimentar
no seu aspeto, manipulável na sua utilização. Dos diferentes “modelos” de ábacos existentes e que
refiro ao longo desta dissertação optou-se pelo ábaco escolar, comprado no IKEA, pelos seguintes
motivos: as contas aparecem em várias cores (permitem a distinção visual entre números inteiros
positivos e números inteiros negativos); tamanho adequado a um grupo turma; conhecimento deste
ábaco pela generalidade dos alunos devido ao facto de ter servido o propósito de brinquedo na infância
e/ou devido à sua utilização no pré-escolar e/ou 1.º ciclo. A segunda experiência tem como objetivo
familiarizar os alunos com a linguagem de programação utilizando a placa de microcontrolador-
Micro:bit.
“É pois possível falar hoje de «matemática de hoje», chegar mesmo a
garantir que ela é «boa» ou melhor que a de ontem, continuando no
entanto, hoje como ontem, a tratar o insucesso no modo único da
inadaptação.”
Stella Baruk, Insucesso e Matemáticas
122
São estas duas experiências de ensino/aprendizagem tão diferentes e tão iguais entre si.
Diferentes na complexidade física de cada uma e iguais no fim a que se destinam: o desenvolvimento
de competências essenciais para a aprendizagem da matemática. A primeira experiência conduz-nos
ao passado, aos primórdios da utilização do ábaco, a segunda conduz-nos ao presente ao mesmo
tempo que abre uma porta para um futuro próximo que poderá ser um ensino exclusivamente
tecnológico.
A avaliação do impacto das duas experiências no processo ensino/aprendizagem deu-se ao
nível da observação em sala de aula num espaço temporal inferior ao planificado devido à situação
de confinamento provocado pelo aparecimento do novo coronavírus em Portugal, com prejuízo de
aulas presenciais a partir de 16 de março de 2020 e até ao término do terceiro período. A avaliação
destas duas experiências de aprendizagem estava pensada para ser realizada pelos alunos através de
um breve questionário, no entanto, uma vez que um grupo considerável de alunos não possuía meios
tecnológicos de comunicação e a logística de fazer chegar a casa dos discentes os questionários em
papel era complexa, optei por uma descrição da reação dos alunos aquando a implementação das duas
experiências em sala de aula.
Em circunstância igual à avaliação das duas experiências no processo ensino/aprendizagem
esteve o seu desenvolvimento, em sala de aula, que foi igualmente travado pela situação de
confinamento provocado pelo novo coronavírus, ficando aquém do previsto o número de aulas
destinado para o efeito.
123
O ábaco escolar e a adição de números inteiros relativos
Ao longo desta experiência consideram-se os Números Inteiros, com a representação usual dada
por Cantor introduzido no sexto-ano de escolaridade e retomado no 7.º ano:
ℤ = {… ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
De acordo com Pommer (2010) enquanto que, no conjunto dos Números Naturais as
operações matemáticas decorreram “naturalmente” da ação humana sobre objetos, o conjunto dos
Números Inteiros sofreu uma evolução lenta e de difícil aceitação. Para percebermos os motivos dos
obstáculos que apareceram durante a evolução do conhecimento acerca dos Números Inteiros, uma
análise sobre o percurso histórico revela que a:
“(...) palavra ‘negativo’ tem o significado de negação; isto quer dizer que se trata de ‘não-
números’, e esta expressão é a mais adequada para mostrar as dificuldades que se opunham ao
espírito humano na conquista de novos domínios no reino dos números”.
A origem histórica dos números negativos é dúbia. Há referência aos números negativos na obra
chinesa “Nove Capítulos sobre a Arte Matemática”, por volta de 200 a.C. De acordo com vários
autores, não se sabe como os chineses lidaram com o conceito de número negativo. Há autores que
afirmam que o conceito de número negativo passou da China para a Índia. Na Índia o conceito de
número negativo era usado para explicitar relações económicas associadas a saldos negativos.
O número zero foi criado necessariamente para referir o saldo não negativo nem positivo e pensa-
se que foram os indianos que, a partir do século VI d.C., começaram a referir a existência deste
número, considerando que correspondia ao “vazio”.
Fazendo uma leitura da Operacionalização das Aprendizagens Essenciais para o 7.º ano de
escolaridade (DGA, 2018), no que diz respeito ao tema, Números e Operações, retiramos a
importância da utilização de materiais manipuláveis e tecnologia digital para a aprendizagem deste
tema (Figura 113).
“Não podem existir números menores que nada”
(René Descartes)
124
TEMA:
Números e Operações
AE: OBJETIVOS ESSENCIAIS DE APRENDIZAGEM CONHECIMENTOS,
CAPACIDADES E ATITUDES
Recorrendo a situações e contextos variados, incluindo a utilização de materiais diversificados e tecnologia, os alunos devem resolver tarefas que requeiram a resolução de problemas, o raciocínio e a comunicação matemáticos, por forma a que sejam capazes de:
PRÁTICAS ESSENCIAIS DE APRENDIZAGEM
Devem ser criadas condições de aprendizagem para que os alunos, em experiências individuais e de grupo, tenham oportunidade de:
DESCRITORES DO PERFIL DOS
ALUNOS
Conteúdos de
aprendizagem:
Números
inteiros
Números
racionais
Resolução de
problemas
Raciocínio
matemático
Comunicação
matemática
- Reconhecer números inteiros e racionais nas suas diferentes representações, incluindo a notação científica com expoente natural, em contextos matemáticos e não matemáticos.
- Comparar números inteiros e racionais, em contextos diversos, com e sem recurso à reta real.
- Calcular com e sem calculadora, com números inteiros (multiplicação, divisão e potenciação de expoente natural) e racionais (adição, subtração, multiplicação e divisão) recorrendo a valores exatos e aproximados e em diferentes representações, avaliar os efeitos das operações e fazer estimativas plausíveis.
- Identificar a raiz quadrada de quadrados perfeitos e relacionar potências e raízes nestes casos.
- Resolver problemas com números racionais em contextos matemáticos e não matemáticos, concebendo e aplicando estratégias de resolução, incluindo a utilização de tecnologia, e avaliando a plausibilidade dos resultados.
- Desenvolver a capacidade de abstração e de generalização, e de compreender e construir argumentos matemáticos e raciocínios lógicos.
- Exprimir oralmente e por escrito ideias matemáticas, com precisão e rigor, para justificar raciocínios, procedimentos e conclusões, recorrendo ao vocabulário e linguagem próprios da matemática (convenções, notações, terminologia e simbologia).
- Desenvolver interesse pela Matemática e valorizar o seu papel no desenvolvimento das outras ciências e domínios da atividade humana e social.
- Desenvolver confiança nas suas capacidades e conhecimentos matemáticos, e a capacidade de analisar o próprio trabalho e regular a sua aprendizagem.
- Desenvolver persistência, autonomia e à-vontade em lidar com situações que envolvam a Matemática no seu percurso escolar e na vida em sociedade.
- Explorar, analisar e interpretar situações de contextos variados que favoreçam e apoiem uma aprendizagem matemática com sentido (dos conceitos, propriedades, operações e procedimentos matemáticos).
- Realizar tarefas de natureza diversificada (projetos, explorações, investigações, resolução de problemas, exercícios, jogos).
- Utilizar materiais manipuláveis e outros recursos, incluindo os de tecnologia digital e a calculadora, na resolução de problemas e em outras tarefas de aprendizagem.
- Utilizar as propriedades e as regras das operações em Q e usá-las no cálculo mental e escrito.
- Interpretar, usar e relacionar diferentes representações das ideias matemáticas, em contextos diversos.
- Reconhecer relações entre as ideias matemáticas no campo numérico e aplicar essas ideias em outros domínios matemáticos e não matemáticos.
- Resolver problemas que requeiram a aplicação de conhecimentos já aprendidos e apoiem a aprendizagem de novos conhecimentos.
- Resolver e formular problemas, analisar estratégias variadas de resolução e apreciar os resultados obtidos.
- Abstrair e generalizar, e reconhecer e elaborar raciocínios lógicos e outros argumentos matemáticos, discutindo e criticando argumentos de outros.
- Comunicar utilizando linguagem matemática, oralmente e por escrito, para descrever, explicar e justificar raciocínios, procedimentos e conclusões.
- Analisar o próprio trabalho para identificar progressos, lacunas e dificuldades na sua aprendizagem.
Conhecedor/ sabedor/ culto/ informado (A, B, G, I, J)
Criativo (A, C, D, J)
Crítico/Analítico (A, B, C, D, G)
Indagador/ Investigador (C, D, F, H, I)
Respeitador da diferença/ do outro (A, B, E, F, H)
Sistematizador/ organizador (A, B, C, I, J)
Questionador (A, F, G, I, J)
Comunicador (A, B, D, E, H)
Autoavaliador (transversal às áreas)
Participativo/ colaborador (B, C, D, E, F)
Responsável/ autónomo (C, D, E, F, G, I, J)
Cuidador de si e do outro (B, E, F, G)
Figura 113 - Operacionalização das Aprendizagens Essenciais a matemática – 7.º ano – Números e Operações
Pela partilha de ideias, conhecimentos e estratégias de ensino entre colegas constata-se que
muitas são as estratégias implementadas pelos docentes no que diz respeito à aprendizagem
significativa pelos alunos da adição de números inteiros relativos. Quando esta não é apreendida
transporta dificuldades de aprendizagem para a multiplicação e/ou divisão destes números com
consequências futuras na simplificação de expressões que mobilizam esta competência (expressões
125
algébricas, equações, funções, etc). Para introdução dos números negativos muitos são os exemplos
do dia-a-dia dados aos alunos e/ou por eles considerados: notícias associadas à meteorologia:
temperaturas negativas, elevadores nos prédios onde se lê os pisos representados por números
negativos, orçamento familiar - “devo tanto” e “débito”, altitude negativa, entre outros exemplos que
vão surgindo em sala de aula. Posteriormente, para a introdução da adição de números inteiros
relativos o professor considera os exemplos dados para os números negativos e, relacionando a teoria
com a prática, tenta levar o aluno a raciocinar para que com compreensão consiga operar corretamente
com números inteiros relativos e mais tarde com números racionais. A seguir seguem-se alguns
exemplos de métodos de ensino da adição de números inteiros relativos que sempre foram
considerados nas minhas aulas, que aparecem nos livros didáticos ou que são apresentados por vários
autores:
- Problemas associados à meteorologia: temperaturas acima ou abaixo do ponto de congelação da
água. Exemplo de problema está ilustrado na Figura 114 (Costa, Rodrigues, & Pais Andrade, 2017):
- Elevadores nos prédios – piso zero, pisos representados por números positivos e outros pisos
representados por números negativos. Exemplo de problema:
“O senhor Alberto é ascensorista num hotel e começou o seu dia de trabalho no piso –1. Os
primeiros hóspedes pediram-lhe para os levar para três pisos acima. Neste piso, entraram mais
hóspedes que subiram outros três pisos. Aqui, apanhou um casal de namorados que desceu oito pisos.
No final do dia, para se desfardar, o senhor Alberto teve que subir quatro pisos e, por último para ir
para casa teve que descer dois pisos. No final do dia o senhor Alberto estava no mesmo piso onde
começou o dia pela manhã?” (Branco & Galrinho, 2015)
Figura 114 - adição de números inteiros relativos – “meteorologia” (Costa, Rodrigues, & Pais Andrade, 2017)
126
- Orçamento familiar: “tenho um valor e devo tanto, se pagar fico com quanto?”, “débito ou crédito”.
Exemplo de problema ilustrado na Figura 115: (Faria, Guerreiro, & Rocha Almeida, 2017)
- O modelo concebido por Jacckie Sip (Oliveira, 1994) - os números são representados por
segmentos de reta orientados, traduzindo assim a ideia de movimento. Escolhem-se duas direções
orientadas, a saber, horizontal e vertical, cada uma tendo um sentido positivo e negativo (para cima
e para a direita; para baixo e para a esquerda, respetivamente), conforme Figura 116.
Então a adição de dois números inteiros relativos representa-se por dois movimentos sucessivos,
segundo a mesma direção, isto é, pela adjunção dos segmentos que sugerem os movimentos.
Exemplo ilustrado na Figura 117. Onde a adição de (−4 ) com (+3) corresponde a um
"movimento" de A para B. O "corpo" em movimento situa-se na posição −1 relativamente ao ponto
de partida A.
Figura 115 - adição de números inteiros relativos – “orçamento familiar” (Faria, Guerreiro, & Rocha Almeida, 2017)
Figura 116 - modelo Jacckie Sip(a) (Oliveira, 1994)
Figura 117 - modelo Jacckie Sip(b) (Oliveira, 1994)
127
- Recurso ao ábaco aberto (Alves, 2011) – exemplo de representação de números negativos (Figura
118).
Uma das possíveis
representações do
zero.
Exemplos de representação de
−6.
Exemplos de representações de −2.
Figura 118 - ábaco aberto - exemplo de representação de números negativos (Alves, 2011)
Com o intuito de favorecer a aprendizagem significativa da adição dos números inteiros
relativos surge a ideia do recurso ao ábaco escolar que não teria imergido da minha imaginação se
não estivesse a frequentar um mestrado para professores com investigação no ábaco como tecnologia
educacional.
Este ano letivo leciono apenas nono ano e nas duas turmas de que sou docente titular há alunos
que, por causa da não compreensão da adição de números inteiros relativos não conseguem obter a
classificação máxima ou até mesmo parcial ou total na resolução de equações, quer do 1.º grau quer
do 2.º grau por estas mobilizarem essa competência.
Deste modo, introduzi, informalmente o ábaco escolar nas minhas aulas, num ambiente
natural de aprendizagem, recorrendo a ele sempre que algum aluno manifestava dificuldades em
adicionar números inteiros. Com esta atuação pretendo perceber a relação entre a construção do
conhecimento acerca da adição dos números inteiros relativos e a utilização de um material
manipulável com história.
O ábaco escolar ou Europeu utilizado nas aulas foi já referenciado na seção 3.1.12. desta
dissertação. De modo a reunir as condições para explicar aos alunos a adição de números inteiros
relativos foram marcadas no ábaco as hastes respeitantes aos números positivos (duas primeiras hastes
marcadas a cor de rosa) e as que dizem respeito aos números negativos (duas hastes marcadas a
amarelo). Cada haste como contém 10 argolas são, desta forma, representados no ábaco números até
20 (negativos ou positivos). As restantes hastes serviram para o propósito para que este ábaco foi
concebido e permitiu que aos alunos fosse explicado a soma e subtração de números com recurso ao
ábaco escolar (Figura 119).
128
O diálogo com os alunos sobre o ábaco escolar e suas oportunidades de cálculo foi o ponto de
partida de utilização do ábaco em sala de aula (Figuras 120 e 121).
De seguida foi feito um enquadramento histórico do ábaco enriquecido pelos conhecimentos
adquiridos no âmbito desta dissertação. Deste modo outros ábacos foram apresentados aos alunos,
nomeadamente o ábaco romano, o suan pan e o soroban. Talvez pelo entusiasmo que transmiti aos
alunos quando abordei o soroban este foi de longe o que mais despertou a sua atenção. O recurso a
um applet para o apresentar em sala de aula e um vídeo do youtube alusivo a competições com o
ábaco para que propositadamente caísse nas graças do interesse matemático dos meus alunos prendeu-
os à aula de tal forma que alguns deles, de forma autónoma, aguçados pelo entusiasmo que lhes
consegui passar, pesquisaram sobre o ábaco em casa chegando à aula seguinte com observações
entusiastas acerca da rapidez de cálculo dos japoneses quando utilizam esta ferramenta.
Figura 119 - representação de números inteiros relativos no ábaco escolar (propriedade da autora)
Figura 120 - explicação aos alunos ábaco escolar(a)
Figura 121 - explicação aos alunos ábaco escolar (b)
129
Aproveitando a “boleia” do entusiasmo dos alunos apresentei-lhes novamente o ábaco com o
objetivo de explicar a adição de números inteiros relativos. Esta iniciou-se em grupo turma passando
depois para grupos de alunos já identificados por apresentarem lacunas nesta competência. A
explicação passou primeiro pelas diferentes formas de obter o ábaco zerado revendo e consolidando
com isso a adição de números simétricos. A Figura 122 ilustra um exemplo de ábaco zerado a que
recorri na sala de aula.
O passo seguinte foi a explicação da adição de números inteiros relativos com recurso ao
ábaco (Figuras 123 e 124).
De forma a criar oportunidades de aprendizagens significativas, depois de abordar a adição
de números inteiros relativos simétricos, abordei a adição de números inteiros relativos com o mesmo
sinal através do questionamento dos alunos e o recurso ao ábaco. Não foi necessário recorrer a muitos
exemplos devido ao facto de o ábaco fornecer ao aluno a visualização dos números que está a somar
representados pela mesma cor facilitando, deste modo a apreensão com compreensão de que a soma
de números inteiros relativos com o mesmo sinal é o número racional com o mesmo sinal e de valor
absoluto igual à soma dos valores absolutos das parcelas. A Figura 125 apresenta um dos exemplos
abordados com os alunos.
Figura 122 - exemplo de ábaco zerado (adição de números inteiros relativos)
Figura 123 - ábaco e os inteiros relativos(a)
Figura 124 - ábaco e os inteiros relativos(b)
130
O passo seguinte consistiu na adição de números inteiros relativos com sinais contrários. As
Figuras 126 e 127 apresentam exemplos de adições de números inteiros relativos com sinais
contrários.
Pretende-se com vários exemplos em torno da adição dos números inteiros relativos que os
alunos concluam que esta soma é o número inteiro relativo em que o sinal é igual ao da parcela de
maior valor absoluto, sendo o valor absoluto da soma igual à diferença entre o maior e o menor dos
valores absolutos das parcelas.
Figura 125 - adição de números com o mesmo sinal (exemplo)
Figura 126 - adição de números com sinais contrários (exemplo 1)
Figura 127 - adição de números com sinais contrários (exemplo 2)
131
Ao contrário da adição de números inteiros relativos com o mesmo sinal aqui os exemplos
foram muitos de modo a desconstruir a conceção errónea que alguns alunos tinham adquirido desde
o 6.º ano de escolaridade sobre a adição de números inteiros relativos posta em causa aquando a
apreensão da multiplicação dos mesmos números, em que a “regra dos sinais” começou a ser lei para
cumprir independentemente da operação a realizar. Devido às dificuldades apresentadas por alguns
alunos a matemática, a utilização do ábaco para adição de números inteiros relativos não se limitou
apenas a esta aula e à anterior e passou a fazer parte das aulas de matemática, intervindo, como se de
uma vulgar calculadora se tratasse, sempre que um aluno apresentava sinais de dificuldades. O ábaco
passou a fazer parte do material que o aluno colocava em cima da sua mesa para trabalhar matemática
(Figura 128).
As duas turmas de 9.º ano em que o recurso ao ábaco foi implementado são constituídas por
alunos com diferentes formas de pensar, de interpretar, de interesses e motivações, de compreender
os conceitos e de aprender. O recurso ao ábaco permitiu a criação de momentos de diversificação
pedagógica em que a matemática foi para cada um ao invés de para todos, num contexto de educação
inclusiva. O recurso ao ábaco permitiu a criação de situações individuais que permitiram ao aluno
ultrapassar aquela sua dificuldade e desenvolver competências que até então não tinha desenvolvido
e que se lhe apresentava como um obstáculo na aprendizagem de outros conceitos. Com o ábaco os
alunos envolveram-se mais na disciplina de matemática, talvez pelo entusiasmo trazido pelo soroban
ou talvez pelo facto de, depois compreendido o erro, o aluno se tenha sentido mais confiante e com
mais “autoestima matemática”.
Figura 128 - ábaco em sala de aula
132
Programar, utilizando a placa de microcontrolador – Micro:bit.
Segundo Teodoro (2016) dos ambientes educativos que estão à disposição dos professores o
mais conhecido será o Scratch. No entanto existe um que se chama Micro:bit que por recorrer a uma
placa programável torna-se, na minha opinião, ainda mais interessante que o Scratch.
O Micro:bit é um projeto desenvolvido em parceria com a BBC (a televisão pública britânica)
que consiste numa pequena placa programável (um computador do tamanho da metade de um cartão
multibanco) desenvolvida para projetos de robótica e programação desde o 2.º ciclo. Dispõe de
múltiplos componentes integrados: Display, Acelerómetro, Bússola, Botões de pressão, Pinos
Entrada/Saída, Micro USB, Antena Bluetooth, processador ARM Cortex-MO e Entrada para bateria
externa (Figura 129).
Pode-se programar, personalizar e controlar o Micro:bit de qualquer lugar assim como criar
robôs e instrumentos musicais. É também um esforço para ampliar a faixa de alcance de público da
educação em ciência da computação e STEM. É uma placa de desenvolvimento aberta que funciona
em sincronia com outros componentes de hardware para que se possa começar no caminho da
programação de hardware (Microsoft, 2020). A maneira mais fácil de programar o Micro:bit é através
do MakeCode da Microsoft que funciona diretamente na maioria dos navegadores. No entanto pode
ser programado através do browser por Blocos, em JavaScript, Python, Scratch,… Não é necessário
software específico (Figura 130).
Figura 129 - Micro:bit
Figura 130 - Programação Micro:bit (Blocos ou JavaScript)
133
Em https://microbit.org/projects/make-it-code-it/ estão disponíveis mais de 200 atividades e
recursos para experimentar no site, desde projetos simples a desafios de programação criativos. O
Micro:bit é muito utilizado em escolas por todo o mundo, desde a Finlândia e Islândia a Singapura e
Sri Lanka. Em https://microbit.org/lessons/ é possível aceder a muitas atividades criativas e planos
de aula criados para apoiar na realização dos projetos.
No contexto de familiarização dos alunos com a programação com recurso a uma placa de
microcontrolador – Micro:bit foi criado um grupo de alunos de 9.º ano (17 alunos voluntários) das
minhas duas turmas com base no interesse demonstrado por estes em relação à linguagem de
programação. Os alunos já conheciam a linguagem de programação Scratch devido ao facto de esta
ter sido lecionada no 8.º ano no âmbito da disciplina de TIC. O grupo de alunos criado para iniciar a
experiência teve como Mentor da mesma um profissional da ATEC50 responsável pela planificação
e concretização de todo o trabalho desenvolvido pelos alunos. Em sala de aula o meu papel foi o de
monitorização do trabalho desenvolvido pelos alunos e apoio nas atividades desenvolvidas. A
programação com recurso a uma placa de microcontrolador – Micro:bit era para mim familiar devido
a ter realizado uma formação nesse contexto.
A primeira aula teve como objetivo familiarizar os alunos para o ambiente do Micro:bit de
programação por blocos. Para isso serviu a explicação aos alunos dos vários menus (do menu Básico
ao Avançado) que se apresentam no ambiente de programação com discussão coletiva sobre o que
cada um representa. No final da aula os alunos tiveram oportunidade de livremente programarem e
muito rapidamente, de forma intuitiva, alguns chegaram mesmo a conseguir programar a placa de
forma a serem produzidos sons musicais (Figura 131).
50 “ATEC – Academia de Formação, é um projeto idealizado e promovido pela Volkswagen Autoeuropa, Siemens, Bosch Termotecnologia e Câmara de Comércio e Indústria Luso- Alemã, que se materializou em dezembro de 2003 como uma Associação de Formação para a Indústria. Nasceu da fusão das estruturas de formação em que participava a Volkswagen Autoeuropa (FORMAUTO) e a Siemens, S.A. (ANFEI – Associação Nacional de Formação Eletrónica Industrial), para dar cumprimento às seguintes premissas: Expandir a formação orientada para a prática; Transferência e partilha de conhecimento; Qualificar para o mercado, nomeadamente para a indústria em geral; Fortalecer a indústria, especialmente os clusters automóvel e eletrónico.” (ATEC, 2018)
Figura 131 - Micro:bit - sons musicais
134
Nas duas aulas seguintes os alunos tiveram oportunidade de programar o Micro:bit, orientados
pelo Mentor da ATEC em projetos com grau de dificuldade crescente de uma aula para outra. O
primeiro projeto consistiu na programação na placa de “Botões Sorridentes” passando depois para
um “Flashing Heart”, à medição da temperatura na sala de aula até ao jogo “Pedra, Papel, Tesoura”.
Este último projeto envolve o agitar da placa que por sua vez irá mostrar de forma aleatória papel,
pedra ou tesoura. O jogo é para ser jogado entre duas pessoas e é o movimento de agitação da placa
que decide quem é o vencedor. Neste jogo as regras são as que se seguem: Pedra ganha à tesoura
(amassa e parte); a Tesoura ganha ao papel (corta); o papel ganha à pedra (embrulha). No caso de
empate joga-se novamente até se decidir quem é o vencedor segundo as regras do jogo (Figura 132).
Figura 132 – agitar a placa Micro:bit no jogo “pedra, papel e tesoura”
135
Este projeto suscitou nos alunos ainda mais interesse pela programação pelo facto de apelar ao
movimento da placa e do jogo entre duas pessoas. Para a consecução do projeto é necessário cumprir
com a programação em blocos identificados por cores (o que facilita uma melhor compreensão das
etapas a cumprir) e cujos passos encontram-se identificados na Figura 133.
Durante as aulas em que os alunos puderam experimentar a programação com recurso ao
Micro:bit foi constatado que esta favorece a autonomia e a criatividade dos alunos; troca de ideias;
partilha de saberes; testa a resiliência de cada um (necessária para enfrentar os desafios postos à prova
pela programação) e mobiliza conceitos matemáticos (sequência, variáveis, lógica, números
aleatórios). Nestas aulas alguns alunos deram ainda mais sentido à matemática que aprenderam em
sala de aula. Outros alunos viram nesta experiência o futuro no que diz respeito à prossecução de
estudos no ramo da Informática para o ensino secundário.
Figura 133 - Micro:bit – Projeto: “Pedra, Papel, tesoura”
136
Considerações finais
Equiparo a investigação desenvolvida com esta dissertação a uma viagem enriquecedora pelo
mundo da tecnologia pois ajudou-me a compreender melhor a do passado ao mesmo tempo que me
permitiu refletir e projetar a utilização dela ao serviço do ensino e aprendizagem da matemática de
hoje e do futuro. A tecnologia do passado apresentada ao longo desta dissertação não é a mesma da
do presente, mas toda ela é dinâmica, possibilita a interação e poderá ser forte aliada na construção
de aprendizagens significativas a matemática no âmbito de uma educação inclusiva. No quadro da
gestão autónoma e flexível do currículo a tecnologia apresentada poderá ainda servir de trabalho
interdisciplinar permitindo ampliar aprendizagens, naturalmente mobilizadas, se pensadas em
conjunto num trabalho colaborativo entre os professores das várias disciplinas.
Como foi possível apresentar, antes do advento da época digital, muitas foram as tecnologias
utilizadas para a aprendizagem da matemática. De todas elas a que me despertou mais interesse e
curiosidade foi o ábaco japonês, o soroban. Pela pesquisa efetuada constatei que em Portugal o
recurso a ele no processo ensino/aprendizagem da matemática não está enraizado, como acontece
noutros países, pelo que o impacto do seu uso para a aprendizagem da matemática carece de especial
atenção e de investigação nesse âmbito, de forma a servir de base para uma possível aplicação nas
escolas portuguesas e quem sabe do currículo.
Apontando para o futuro, a exploração do smartphone enquanto recurso tecnológico para a
aprendizagem da matemática está a assumir uma crescente relevância na educação. Nos acervos da
internet pouca é a literatura nesse âmbito. Sendo assim, a necessidade de existir literatura científica
escrita por investigadores e professores com experiência no recurso ao smartphone, traduzida em
atividades inovadoras e testemunhos, está a assumir, do meu ponto de vista, relevância cada vez maior
para todos aqueles professores que acompanham os tempos e as motivações dos seus alunos.
137
Lista de Figuras Figura 1 - Esquema concetual do Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória (DGE, 2017, p. 11) ............... 12 Figura 2 - livro de Palma Fernandes: exercícios de álgebra e geometria (5.º ano dos liceus) (Problemas e Teoremas, 2008) ................................................................................................................................................................................. 15 Figura 3 - Dons de Froebel (Reis, 2012)........................................................................................................................... 21 Figura 4 - Material Cuisenaire (Reis, 2012) ..................................................................................................................... 21 Figura 5 - Material Multibásico de Dienes (fotografia tirada pela autora) ....................................................................... 21 Figura 6 - ábaco aberto (https://produto.mercadolivre.com.br/) ....................................................................................... 21 Figura 7 - Calculador Multibásico (http://www.apm.pt/pic/_TB020018_G_4649cc2dd69f2.jpg) ................................... 21 Figura 8 - Calculador Multibásico (https://www.lapiscompanhia.com/calculador-multibasico) ...................................... 22 Figura 9 - Primeira página do artigo publicado na revista Notícia (29/07/1967) sobre o ensino da matemática no Colégio Vasco da Gama (Candeias, 2008) ..................................................................................................................................... 23 Figura 10 - exercício com recurso ao ábaco aberto – 1.º ano (Mota, et al., 2020, p. 90) .................................................. 24 Figura 11 - exercício com recurso ao ábaco aberto – 2.º ano (Mota, et al., 2020, p. 91) .................................................. 24 Figura 12 - exercício com recurso ao ábaco aberto – 3.º ano (Lima, Barrigão, Santos, & Pedroso, 2020, p. 46)............. 25 Figura 13 - exercício com recurso ao ábaco aberto – 4.º ano - (Lima, Barrigão, Pedroso, & da Rocha, 2020, p. 14) ...... 25 Figura 14 - 15ª instrução para o ensino em classe, Portaria n.º 230 de 21/09/1914 (Ministério, 1914) ............................ 26 Figura 15 - gazeta da matemática n.º 11, página 5, pedagogia (Silva & de Jesus Caraça, 1942)(a) .................................. 26 Figura 16 - gazeta da matemática n.º 11, página 5, pedagogia (Silva & de Jesus Caraça, 1942)(b) .................................. 27 Figura 17 - Excerto de “Observação 13, capítulo VI (observação ao capítulo V)” (Silva J. S., 1975, p. 133) ................. 28 Figura 18 - régua de cálculo construída em cartolina (Lemos, 2012) ............................................................................... 28 Figura 19 - exercício de 3.º ano com recurso à calculadora (Lima, Barrigão, Santos, & Pedroso, 2020, p. 33)............... 31 Figura 20 - NCR Elliot 803-B (http://piano.dsi.uminho.pt/museuv/) ............................................................................... 32 Figura 21 - O computador NRC Elliott 4100 de 16 KB (24 bits) (FCUP, 2018) .............................................................. 33 Figura 22 - José Sebastião e Silva (1914-1972) ................................................................................................................ 34 Figura 23 - colégio Vasco da Gama é notícia na China (https://www.colegiovascodagama.pt/em-1986-ja-eramos-noticia-na-china/) .............................................................................................................................................................. 36 Figura 24 - vaso de Dário no Museu Arqueológico de Nápoles (Museu de Napoli de file: Museu de Napoli do vaso de Dario sem background.jpg)............................................................................................................................................... 44 Figura 25 - Vaso de Dario – A arrecadação de impostosa) (Museu de Napoli de file: Darius vaso Tax collection.jpg) ... 45 Figura 26 - Vaso de Dario – A arrecadação de impostosb) (Museu de Napoli de file: Darius Vase abacus.jpg) ............... 45 Figura 27 - Ábaco Mesopotâmico (2700 – 2300 a.C.) (Wikipedia, Ábaco, 2020) ........................................................... 46 Figura 28 - Salamis Tablet (CHM, Abacus, 2019) ........................................................................................................... 46 Figura 29 - representação de números (sistema numérico Grego) (Ifrah, 1997, p. 427) ................................................... 47 Figura 30 - um ábaco romano calculi (reconstituição) (Ifrah, 1997, p. 429) .................................................................... 48 Figura 31 - O princípio do ábaco romano de calculi (Mateus, Silva , & Rebola, 2004) ................................................... 48 Figura 32 - Simplificação do ábaco de fichas (Ifrah, 1997, p. 430) .................................................................................. 49 Figura 33 - Ábaco Romano de "bolso" (em bronze) – início da era cristã (http://romanmath.edgemoor.com/) ............... 50 Figura 34 - representação de números racionais positivos - ábaco romano de “bolso" (Mallon, 2008) ........................... 51 Figura 35 - reconstituição de um ábaco romano – Bracara Augusta ................................................................................ 51 Figura 36 - Gerbert de Aurillac (946 − 1003) (Basilica of Saint Paul Outside the Walls, Rome) .................................. 52 Figura 37 - representação do Ábaco medieval utilizado por volta do século XI (Albuquerque & Costa Pereira, 2018) .. 53 Figura 38 - Símbolos arábicos: representar as quantidades no ábaco (Albuquerque & Costa Pereira, 2018) .................. 54 Figura 39 - representação do número 3765 - ábaco de Gerbert ........................................................................................ 54 Figura 40 - xilogravura de Margarita Philosophica de Gregor Reisch publicada em Freiburg em 1503 (Science & Society Picture Library) .................................................................................................................................................... 55 Figura 41 - Ábaco Egípcio - com a representação do número 6302715408 (Wikipedia, Ábaco, 2020) ......................... 56 Figura 42 - ábaco chinês: suan pan (modelo atual) ........................................................................................................... 56 Figura 43 - Retrato de Wong Mon Tong (CHM, Abacus, 2019) ...................................................................................... 57 Figura 44 - ábaco Japonês: Soroban (modelo atual) – propriedade da autora .................................................................. 57 Figura 45 - concurso ábaco e calculadora – 12/11/1946(a) ................................................................................................ 58
138
Figura 46 - concurso ábaco e calculadora – 12/11/1946(b) ................................................................................................ 58 Figura 47 - concurso ábaco e calculadora – 12/11/1946(c) ................................................................................................ 58 Figura 48 - concurso ábaco e calculadora – 12/11/1946(d) ................................................................................................ 58 Figura 49 - constituição de Soroban com 17 hastes .......................................................................................................... 60 Figura 50 - representação dos algarismos de 0 a 9 no soroban (Bellos, 2010, p. 70) ....................................................... 61 Figura 51 - Representação do número 9 876 543 210 no soroban ................................................................................. 61 Figura 52 - No Japão, o ábaco ainda é vendido em lojas ao lado de calculadoras eletrónicas (25/10/2012) .................... 62 Figura 53 - All-Japan Abacus Championship no Kyoto International Conference Center, no Japão (Rich, 2019) .......... 63 Figura 54 - uma aula de ensino básico do uso do ábaco numa escola pública de Tóquio ................................................ 64 Figura 55 - Soroban com calculadora eletrónica, Sharp EL-429 – sorocal (CHM, Calculators, 2020) ............................ 67 Figura 56 - ábaco russo (modelo atual) ............................................................................................................................. 67 Figura 57 - Ábaco azteca .................................................................................................................................................. 68 Figura 58 - quipu Inca ....................................................................................................................................................... 69 Figura 59 - Um quipucamayoc a manipular um quipu e à sua direita o ábaco ................................................................. 70 Figura 60 - Ábaco Cranmer .............................................................................................................................................. 70 Figura 61 - ábaco europeu ou escolar (propriedade da autora) ......................................................................................... 71 Figura 62 - John Napier (1550 - 1617) ............................................................................................................................. 72 Figura 63 - Ossos/Barras de Napier construídos pela autora ............................................................................................ 73 Figura 64 - ossos de Napier: 73421 × 6 = 440526 ........................................................................................................ 74 Figura 65 - ossos de Napier: 89432 × 763 = 68236616 ............................................................................................... 74 Figura 66 - definição dos logaritmos segundo Napier: estabelecendo uma correspondência entre duas variáveis contínuas: 𝑦𝑦 = NapLog𝑥𝑥 .................................................................................................................................................. 77 Figura 67 - tabela de logaritmos decimais ........................................................................................................................ 78 Figura 68 - Rabdologiae – ábaco de Napier .................................................................................................................. 79 Figura 69 - soma com o ábaco de Napier (passo1) ........................................................................................................... 79 Figura 70 - soma com o ábaco de Napier (passo2) ........................................................................................................... 80 Figura 71 - soma com o ábaco de Napier (passo3) ........................................................................................................... 80 Figura 72 - Motorola DynaTac 8000X ............................................................................................................................. 82 Figura 73 - escalas mais comuns da régua de cálculo. Modelo Aristo (Lemos, 2012) ..................................................... 83 Figura 74 - multiplicação de números com a Régua de Cálculo (Museum C. H., 2020) .................................................. 84 Figura 75 - Michael Collins no meio dos dois colegas com a régua de cálculo (Pastore, 2020) ...................................... 84 Figura 76 - College André-Grasset, Montreal, Canadá .................................................................................................... 85 Figura 77 - esboço da “máquina de calcular” de Leonardo Da Vinci (Codex Madrid I) .................................................. 86 Figura 78 - A réplica da hipotética máquina de Leonardo Da Vinci, construída por Roberto A. Guatelli (1968) ............ 86 Figura 79 - Esboço da máquina de calcular na segunda carta a Kepler (History-Computer, 2019) ................................. 87 Figura 80 - réplica da máquina de Schickard, criada por Bruno v. Freytag Löringhoff em 1960 (© Universität Tübingen) .......................................................................................................................................................................................... 88 Figura 81 - Pascalina de 1652 (© Museu de Artes e Métiers, Paris) ................................................................................ 89 Figura 82 - Pascalina em papel construída pela autora ..................................................................................................... 90 Figura 83 - A máquina de calcular (Ciclografo) de Tito Livio Burattini de 1658 (© Museo Galileo, Firenze) ............... 90 Figura 84 - Máquina de adição de Samuel Morland, feito por Humphrey Adamson (History-Computer, 2019) ............. 91 Figura 85 - A máquina de multiplicação de Morland (© Instituto e Museu de História da Ciência, Florença)................ 92 Figura 86 - Morland - Maccina Cyclologica Trigonometrica (Mechanical Calculators: Wilhelm Schickard, 2019) ....... 92 Figura 87 - Uma réplica do dispositivo de cálculo da Perrault (© Musée des Arts et Métiers) ........................................ 93 Figura 88 - Stepped Reckoner em exibição no museu Technische Sammlungen em Dresden, Alemanha (Wikipédia, 2020) ................................................................................................................................................................................. 93 Figura 89 - A máquina de calcular de René Grillet de Roven (© CNAM, Paris) ............................................................. 94 Figura 90 - aritmómetro de Thomas de Colmar construído em 1914 (Wikipedia, 2020) ................................................. 95 Figura 91 - ANITA Mk 7 .................................................................................................................................................. 96 Figura 92 - ANITA Mk 8 .................................................................................................................................................. 96 Figura 93 - Cal Tech - 1967 .............................................................................................................................................. 97 Figura 94 - Canon Pocketronic ......................................................................................................................................... 97
139
Figura 95 - Busicom LE-120A "HANDY-LE" ................................................................................................................... 98 Figura 96 - HP-35 a “Super Slide Rule” ........................................................................................................................... 98 Figura 97 - HP - 35 ........................................................................................................................................................... 99 Figura 98 - fases de evolução da calculadora eletrónica. De 1971 a 2019...................................................................... 100 Figura 99 - Charles Babbage. Retrato do Illustrated London News, 4 de novembro de 1871 ........................................ 102 Figura 100 - Uma parte do motor da máquina das diferenças, montada em 1832 (History-Computer, 2019) ............... 103 Figura 101 - máquina de diferenças n.º 2, de Babbage, construída pelo museu de ciência de londres ........................... 104 Figura 102 - Ada Lovelace ............................................................................................................................................. 104 Figura 103 - método das diferenças ................................................................................................................................ 106 Figura 104 - máquina - censo de 1890 nos Estados Unidos (CHM, 2020). .................................................................... 107 Figura 105 - Réplica da bomba de Turing, exposta no Museu Nacional da Computação, em Bletchley Park ............... 109 Figura 106 - primeiro bug num computador ................................................................................................................... 112 Figura 107 - Válvulas - computadores 1.ª geração ......................................................................................................... 113 Figura 108 - ENIAC - Computador da 1.ª geração (1946) ............................................................................................. 114 Figura 109 - Computador da 2.º geração - PDP – 1- 1959.............................................................................................. 115 Figura 110 - IBM Series 360 - computador da 3.ª geração (Farias, 2020) ...................................................................... 116 Figura 111 - Computador da 4.ª geração - Apple II - 1976 ............................................................................................. 117 Figura 112 - Máquina de ensinar de Skinner. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/Skinner_teaching_machine_01.jpg ........................................ 118 Figura 113 - Operacionalização das Aprendizagens Essenciais a matemática – 7.º ano – Números e Operações ......... 124 Figura 114 - adição de números inteiros relativos – “meteorologia” (Costa, Rodrigues, & Pais Andrade, 2017) ......... 125 Figura 115 - adição de números inteiros relativos – “orçamento familiar” (Faria, Guerreiro, & Rocha Almeida, 2017) ........................................................................................................................................................................................ 126 Figura 116 - modelo Jacckie Sip(a) (Oliveira, 1994) ....................................................................................................... 126 Figura 117 - modelo Jacckie Sip(b) (Oliveira, 1994) ....................................................................................................... 126 Figura 118 - ábaco aberto - exemplo de representação de números negativos (Alves, 2011) ........................................ 127 Figura 119 - representação de números inteiros relativos no ábaco escolar (propriedade da autora) ............................. 128 Figura 120 - explicação aos alunos ábaco escolar(a) ....................................................................................................... 128 Figura 121 - explicação aos alunos ábaco escolar (b) ...................................................................................................... 128 Figura 122 - exemplo de ábaco zerado (adição de números inteiros relativos) .............................................................. 129 Figura 123 - ábaco e os inteiros relativos(a)..................................................................................................................... 129 Figura 124 - ábaco e os inteiros relativos(b) .................................................................................................................... 129 Figura 125 - adição de números com o mesmo sinal (exemplo) ..................................................................................... 130 Figura 126 - adição de números com sinais contrários (exemplo 1) ............................................................................... 130 Figura 127 - adição de números com sinais contrários (exemplo 2) ............................................................................... 130 Figura 128 - ábaco em sala de aula ................................................................................................................................. 131 Figura 129 - Micro:bit .................................................................................................................................................... 132 Figura 130 - Programação Micro:bit (Blocos ou JavaScript) ......................................................................................... 132 Figura 131 - Micro:bit - sons musicais ........................................................................................................................... 133 Figura 132 – agitar a placa Micro:bit no jogo “pedra, papel e tesoura”.......................................................................... 134 Figura 133 - Micro:bit – Projeto: “Pedra, Papel, tesoura” .............................................................................................. 135
140
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