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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

O MÉTODO DOS OPERADORES DISCRETOS APLICADO À

ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL

JONAS PINHEIRO BORGES FILHO

ORIENTADOR: ATHAIL RANGEL PULINO FILHO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS PUBLICAÇÃO: E.DM 015A/01

BRASÍLIA/DF: AGOSTO DE 2001

iii

FICHA CATALOGRÁFICA

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA BORGES FILHO, J. P. (2001). O Método dos Operadores Discretos Aplicado à Elasticidade

Bidimensional. Dissertação de Mestrado, Publicação E.DM 015A/01, Departamento de

Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 113 p.

CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Jonas Pinheiro Borges Filho.

TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: O Método dos Operadores Discretos

Aplicado à Elasticidade Bidimensional.

GRAU/ANO: Mestre/2001

É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de

mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de

mestrado pode ser reproduzida sem sua autorização por escrito do autor.

__________________________________ Jonas Pinheiro Borges Filho SHIN QI 11 Conjunto 05 Casa 14 71515-750 - Brasília-DF e-mail: [email protected]

BORGES FILHO, JONAS PINHEIRO O Método dos Operadores Discretos Aplicado à Elasticidade Bidimensional xv, 113 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas, 2001) Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 1. Elasticidade 2. Operadores Discretos 3. Métodos Computacionais 4. Estado Plano I. ENC/FT/UnB II – Título (série)

iv

Aos meus pais, Jonas e Maria Lúcia,

e minha família.

v

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador Athail Rangel Pulino Filho pela colaboração, dedicação e incentivo.

Ao Prof. Eduardo Machado Gonçalves pelas idéias, sugestões, críticas e atenção.

A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da

Universidade de Brasília (UnB).

Aos colegas e amigos do mestrado da UnB, especialmente, os do centro de moradia.

Ao meu irmão André e às minhas irmãs Analúcia, Janiana e Luciana, que sempre foram muito

importantes em minha vida.

Ao CNPq, pelo apoio financeiro.

A Deus, o nosso criador.

vi

RESUMO

Esta dissertação de mestrado apresenta o Método dos Operadores Discretos (MOD) aplicado à

solução de problemas de elasticidade bidimensional. O trabalho busca fornecer ao engenheiro,

uma poderosa ferramenta para aproximação numérica de problemas físicos. O MOD é

introduzido através de um exemplo simples de potencial, um problema de valor de contorno

em regime permanente regido pela equação de Laplace. O trabalho apresenta uma breve

revisão sobre a teoria da elasticidade, que parte dos conceitos elementares de tensão e

deformação e chega à dedução das equações de Navier (estado plano de deformações) e

equações de equilíbrio no contorno. Então, trata-se da aplicação do MOD a problemas de

elasticidade. Para cada caso, contorno ou domínio, mostra-se a obtenção das formas discretas

dos operadores diferenciais e a discretização das equações que governam o problema. A

questão do erro de aproximação numérica é tratada com base numa estimativa para o erro de

truncamento da série de Taylor e na fórmula do resto de Lagrange. Assim, propõe-se uma

estimativa para o erro de truncamento das equações governantes, que possibilita localizar

regiões críticas do domínio, isto é, regiões mais suscetíveis a erros de aproximação numérica.

Por fim, a validação do método é feita através de quatro exemplos clássicos que abordam

diferentes aspectos da formulação de operadores discretos.

vii

ABSTRACT This work presents the Discrete Operators Method (DOM) applied to solve two-dimensional

elasticity problems. Its major goal is to offer for the engineer a powerful tool for numerical

approximation of physical problems. The DOM is introduced through a simple potential

example, a steady-state field problem governed by Laplace equation. It presents a brief review

about the theory of elasticity, in which the Navier equations (plane strain) and boundary

equilibrium equations are deduced. Then, the DOM is applied to solve two-dimensional

elasticity problems. For each case, inner domain or boundary points, it is shown how to obtain

the discrete form of the differential operators from the governing equations. Based on an

estimate for the remainder term of the Taylor series and on the Lagrange’s form of the

remainder term, the issue of numerical approximation error is considered. The truncation error

on the discrete governing equations is used to locate critical regions in the domain, in other

words, regions where numerical approximation errors are most likely to be found. Finally, the

validation of the method is made through four classical examples, and different aspects of the

DOM are explored on each of them.

viii

ÍNDICE Capítulo Página

1 – INTRODUÇÃO 1

1.1 – MOTIVAÇÃO DO ESTUDO 1

1.2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2

1.3 – OBJETIVOS DESTE TRABALHO 6

1.4 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO 6

2 – O MOD APLICADO A UM PROBLEMA DE POTENCIAL 9

2.1 – INTRODUÇÃO 9

2.2 – PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA 9

2.3 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DE CAMPO NO DOMÍNIO 10

2.3.1 – Discretização dos operadores diferenciais até a 2a ordem 10

2.3.2 – Moléculas para o interior do domínio (6 pontos) 12

2.4 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO CAMPO NO CONTORNO 13

2.4.1 – Discretização dos operadores diferenciais até a 2a ordem 13

2.4.2 – Moléculas para o contorno (5 pontos) 14

2.5 – CONTRIBUIÇÕES PARA O SISTEMA GLOBAL 15

2.5.1 – Contribuição da molécula no interior do Domínio 16

2.5.2 – Contribuição da molécula em contorno do tipo Dirichlet 17

2.5.3 – Contribuição da molécula em contorno do tipo Neuman 17

2.6 – PROGRAMA DE POTENCIAL 18

2.7 – SOLUÇÃO DO PROBLEMA 19

3 – TEORIA DA ELASTICIDADE 21


3.2 – MATERIAIS 21

3.3 – FORÇAS 22

3.4 – COMPONENTES DA TENSÃO 22

3.5 – COMPONENTES DA DEFORMAÇÃO 24

3.6 – LEI DE HOOKE 26

3.7 – ESTADO PLANO DE TENSÕES 27

3.8 – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES 28

3.9 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO EQUILÍBRIO (CASO BIDIMENSIONAL) 31

3.10 – CONDIÇÕES DE CONTORNO (CASO BIDIMENSIONAL) 34

ix

4 – APLICAÇÃO DO MÉTODO À ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL 37


4.2 – MOLÉCULAS PARA O INTERIOR DO DOMÍNIO 37

4.2.1 – Discretização dos operadores diferenciais 38

4.2.2 – Discretização das equações de campo 41

4.3 - MOLÉCULAS PARA O CONTORNO 43

4.3.1 – Discretização dos operadores diferenciais 44

4.3.2 – Discretização das equações de contorno 46

5 – DISCUSSÃO SOBRE ERROS 49


5.2 – ERRO PARA A MOLÉCULA DE DOMÍNIO DE 6 PONTOS 51

5.3 – ERRO PARA A MOLÉCULA DE CONTORNO DE 5 PONTOS (POTENCIAL) 53

5.4 - ERRO PARA A MOLÉCULA PONDERADA DE DOMÍNIO DE m PONTOS 54

5.5 - ERRO PARA A MOLÉCULA DE CONTORNO DE 5 PONTOS (ELASTICIDADE) 57

6 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO À ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL 59


6.2 – FUNCIONAMENTO DO PROGRAMA ELAST_2D 59

6.3 – EXEMPLO 1: BARRAGEM SOB PRESSÃO HIDROSTÁTICA 61

6.3.1 – Proposição do problema 61

6.3.2 – Resultados obtidos 62

6.3.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 1 63 6.3.4 – Melhoramento das aproximações através de considerações quanto ao erro de truncamento cometido 64

6.4 – EXEMPLO 2: TUBO DE PAREDE ESPESSA COM PRESSÃO INTERNA 66



6.4.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 2 70

6.4.4 – Avaliação da convergência do MOD 70

6.5 – EXEMPLO 3: CHAPA QUADRADA COM FURO NO CENTRO 74




6.6 – EXEMPLO 3: CHAPA EM “L” 78




6.6.4 – Localização de regiões críticas no domínio 81

x

7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES 83


7.2 – CONCLUSÕES 84

7.3 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 86

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 87

APÊNDICE A – SÉRIE DE TAYLOR 89

A.1 – INTRODUÇÃO 89

A.2 – SÉRIE DE TAYLOR PARA FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 89

A.3 – SÉRIE DE TAYLOR PARA FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 93

APÊNDICE B – COMPLEMENTOS DO PROBLEMA DE POTENCIAL 95

B.1 – ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS 95

B.2 – ARQUIVO DE SAÍDA 96

B.3 – O PROGRAMA POTENCIAL.CPP 96

APÊNDICE C – COMPLEMETOS DOS EXEMPLOS DE ELASTICIDADE 97

C.1 – COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 1 97




APÊNCIDE D – FUNCIONAMENTO DO PROGRAMA ELAST_2D.CPP 109

D.1 – ESTRUTURA DO PROGRAMA 109

D.2 – ESTRUTURA DO ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS 112

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela Página

2.1: Dados do arquivo de saída do programa para o problema de potencial 20

6.1: Variação do erro DPM para as tensões com diferentes discretizações 72

C1: Comparação das tensões na seção com y = -1 m, sem “melhoramento” 97

C2: Comparação das tensões na seção com y = -0,5 m, sem “melhoramento” 98

C3: Comparação das tensões na seção com y = 0 m, sem “melhoramento” 98

C4: Comparação das tensões na seção com y = 0,5 m, sem “melhoramento” 99

C5: Comparação das tensões na seção com y = 1 m, sem “melhoramento” 99

C6: Comparação das tensões na seção com y = -1 m, com e sem “melhoramento” 100

C7: Comparação das tensões na seção com y = -0,5 m, com e sem “melhoramento” 100

C8: Comparação das tensões na seção com y = 0, com e sem “melhoramento” 101

C9: Comparação das tensões na seção com y = 0,5 m, com e sem “melhoramento” 101

C10: Comparação das tensões na seção com y = 1 m, com e sem “melhoramento” 102

C11: Comparação das tensões na seção com r = 25 mm 103







C18: Comparação das tensões na seção com r = 5,45 mm 105

C19: Comparação das tensões na seção com y = 0 106

C20: Comparação das tensões na seção com x = 0 106

C21: Comparação das tensões na seção com x = 40mm 107




D1: Significado de Val1 e Val2 em função do tipo da molécula 113

xii

LISTA DE FIGURAS

Tabela Página

1.1: Evolução das redes arbitrárias de pontos (modificado – Liska e Orkisz, 1980) 3

1.2: Moléculas de diferenças finitas: a) Molécula convencional; e b) Molécula arbitrária. 3

1.3: Seleção de pontos proposta por Perrone e Kao, 1975 (modificado – Perrone e Kao, 1975) 4

2.1: Problema de valor de contorno (PVC) 10

2.2: Molécula de 6 pontos para o interior do domínio 13

2.3: Molécula de 5 pontos para o contorno 15

2.4: Discretização do domínio para o problema proposto 16

2.5: Fluxograma simplificado do programa de potencial 18

2.6: Superfície produzida pela solução do problema 19

3.1: Componentes da tensão (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988) 23

3.2: Elemento qualquer de um corpo solicitado(modificado – Timoshenko e Goodier, 1988) 24

3.3: Distorção angular no plano xy (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988) 25

3.4: Esquema de um estado plano de tensões (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988) 27

3.5: Exemplos de estado plano de tensões: (a) Seção transversal de uma barragem; e (b) Seção transversal de um tubo de parede espessa submetido à pressão interna 29

3.6: Equilíbrio de um pequeno bloco retangular 31

3.7: Equilíbrio no contorno (caso bidimensional) 34

3.8: Rotação das trações de superfície 35

4.1: Forma gráfica da primeira equação de Navier para: ( )( ) XE

νν 2112 −+− 42

4.2: Forma gráfica da segunda equação de Navier para: ( )( )YE

νν 2112 −+− 43

4.3: Molécula da 1a eq. de contorno para: ( )( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )[ ]61047103212104110321

6547532125415321

2112

2112

acacccacacccYE

acacccacacccXE

+++++−++

+++++−+

νν

νν 47

4.4: Molécula da 2a eq. de contorno para: ( )( ) [ ]

( )( ) [ ]2106110571056106

256155755656

acacacacYE

2112

acacacacXE

2112

+−+−++

+−+−+

νν

νν

48

6.1: Exemplo 1- (a) Ilustração do problema; e (b) discretização empregada 61

6.2: Comparação das tensões em seções verticais da barragem do exemplo 1 63

6.3: Comparação dos resultados de operadores discretos considerando possível melhora com aproximação do erro de truncamento para o exemplo 1 65

xiii

6.4: Exemplo 2 - (a) Seção transversal do tubo; e (b) discretização empregada 66

6.5: Componentes da tensão em coordenadas polares atuando sobre um elemento. (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988). 67

6.6: Comparação das tensões em seções de raio constante do tubo do exemplo 2. 69

6.7: Seções utilizadas para comparação dos resultados. 69

6.8: Discretizações do tubo para verificação da convergência 70

6.9: Variações da tensão ao longo das seções r = 10 mm e r = 17,5mm do exemplo 2 71

6.10: Convergência do MOD para a solução exata do exemplo 2 73

6.11: Exemplo 3 – Chapa quadrada com furo no centro submetida à tração 74

6.12: Discretizações empregadas para operadores discretos e elementos finitos 75

6.13: Seções de comparação de resultados do exemplo 3 76

6.14: Comparação dos resultados numéricos e analíticos do exemplo 3 76

6.15: Exemplo 4 – Chapa em “L” com singularidade de tensão 78

6.16: Discretização usada por operadores discretos para o exemplo 4 79

6.17: Discretizações usadas para elementos finitos para o Exemplo 4 79

6.18: Variação das tensões ao longo das seções verticais com x = 0, x = 40 mm, x = 80 mm, x = 120mm e x = 160mm do exemplo 4 80

6.19: Superfície formada pela soma dos valores absolutos da aproximação do erro de truncamento das equações discretizadas em cada ponto 82

6.20: Curvas de nível da superfície formada pela soma dos valores absolutos da aproximação do erro de truncamento das equações discretizadas em cada ponto 82

A.1: Convergência da série de Taylor para f(x) = ex com o aumento do número de termos considerados 92

xiv

LISTA DE SIMBOLOS E ABREVIAÇÕES Símbolo Significado aij elemento genérico de uma matriz, na linha i e coluna j

E módulo de Young ou módulo de elasticidade do material

E m x m matriz de ponderação dos pontos satélites da molécula

EA erro de arredondamento

ES erro na solução

ET erro de truncamento

e vetor do erro, diferenças entre os operadores diferenciais e suas aproximações

fi valor da função f(x,y) no ponto i de coordenadas (xi, yi)

f0 valor da função f(x,y) no ponto de referência de coordenadas (xo, yo)

G módulo de elasticidade transversal do material

hi distância entre o ponto satélite “i” e o ponto de origem da molécula

i e j sub-índices de referência

l e m co-senos diretores da normal externa ao contorno

n número de pontos em que o domínio é discretizado

N normal externa ao contorno

m número de pontos satélites da molécula

r e θ eixos do sistema de referência polar

iR3 resto resultante do truncamento da série de Taylor no termo de segunda ordem que busca aproximar a função no ponto i

R3 vetor que contém os restos resultantes do truncamento da série de Taylor (iR3) nos termos de segunda ordem

R3 orig vetor dos restos avaliado sobre o ponto de origem da expansão da série de Taylor

R3 sat vetor dos restos avaliado sobre os pontos satélites da molécula

u, v e w componentes do deslocamento na direção dos eixos x, y e z, respectivamente

x, y e z eixos coordenados do sistema de referência cartesiano

X, Y e Z componentes das forças de corpo na direção dos eixos x, y e z, respectivamente

X , Y e Z componentes das trações de superfície na direção dos eixos x, y e z, respectivamente

α ângulo entre a normal externa ao contorno e a direção positiva do eixo x

∂ derivada parcial

f∂ vetor com os operadores diferenciais da função

uv∂ vetor com os operadores diferenciais das funções de deslocamento

Δ matriz das diferenças de coordenadas 1−Δ inversa da matriz de diferenças

TΔ matriz de diferenças transposta

Δf vetor das diferenças de função

∆fi diferença entre o valor da função no ponto satélite i e no ponto de origem (fi - fo)

Δuv vetor das diferenças das funções de deslocamento e constantes das equações de campo

xv

∆xi diferença entre a coordenada x do ponto satélite “i” e a do ponto de origem

∆yi diferença entre a coordenada y do ponto satélite “i” e a do ponto de origem

εx, εy e εz deformações específicas nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente

γ peso específico da água

γxy deformação de cisalhamento entre os planos xz e yz

γxz deformação de cisalhamento entre os planos xy e yy

γyz deformação de cisalhamento entre os planos xy e xz

Γ1 contorno do tipo Dirichlet (valor da função é prescrito)

Γ2 contorno do tipo Neuman (derivada da função na direção normal é conhecida)

ν coeficiente de Poison

σ tensão normal

σn tração de superfície na direção normal ao contorno

σr e σθ tensões normais nas direções de r e θ no sistema de referência polar

σx , σy e σz tensões normais nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente

σx i e σy i tensões normais nas direções dos eixos x e y, respectivamente, no ponto i

iyix ˆeˆ σσ aproximações das tensões normais nas direções dos eixos x e y, respectivamente, no ponto i

τ tensão de cisalhamento

τij tensão de cisalhamento no plano normal ao eixo i e na direção do eixo j

τrθ tensão de cisalhamento no sistema polar de referência

τt tração de superfície na direção tangente ao contorno

τxy i tensão de cisalhamento no ponto i no caso bidimensional

ixyτ aproximação da ensão de cisalhamento no ponto i no caso bidimensional

Ω domínio do problema

Abreviação Significado DPM desvio padrão da variância média do erro nas tensões aproximadas

Eq. equação

Fig. figura

MDF Método das Diferenças Finitas

MEF Método dos Elementos Finitos

MOD Método dos Operadores Discretos

PVC Problema de Valor de Contorno

Tab. tabela

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 – MOTIVAÇÃO DO ESTUDO

A modelagem matemática da maioria dos problemas naturais que envolvem taxas de variação

com relação a duas ou mais variáveis independentes, geralmente relacionadas a tempo,

comprimento ou ângulo, conduzem a uma equação diferencial parcial ou a um conjunto de

tais equações diferenciais. As equações diferenciais de 2a ordem do tipo apresentado na Eq.

1.1 ocorrem com maior freqüência que as demais, pois geralmente são a forma matemática

dos princípios físicos de conservação.

0gfy

ex

dy

cyx

bx

a 2

22

2

2

=+⋅+∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂ φφφφφφ (1.1)

Onde: a, b, c, d, e, f e g - podem ser função das variáveis independentes x e y; e

φ - variável dependente.

Apesar da solução analítica ser a melhor e mais eficiente solução para os problemas

encontrados na engenharia, ela se limita a problemas de geometria elementar e condições de

contorno simples. Assim, com o auxílio dos avanços tecnológicos na área computacional, os

métodos numéricos ganharam grande importância, uma vez que se aplicam aos mais diversos

problemas, mesmo aos mais complexos, encontrando as soluções de forma rápida e com

precisão controlada.

Existem diversos métodos numéricos para a solução de equações diferenciais parciais, mas

segundo Perrone e Kao (1975), parecem se dividir em dois caminhos principais: técnicas

variacionais usadas em conjunto com formulações de energia; e a solução direta das equações

diferenciais que governam o problema em estudo. No grupo das técnicas variacionais,

destaca-se o Método dos Elementos Finitos (MEF) e, no da solução direta, destacam-se os

métodos baseados na formulação clássica do Método das Diferenças Finitas (MDF).

2

Com o rápido desenvolvimento do MEF, os outros métodos, especialmente o MDF, foram

relegados a um segundo plano. Isso aconteceu porque quando comparado à formulação

clássica do MDF, o MEF se mostra muito mais eficiente no tratamento de condições de

contorno e adensamento localizado da malha em regiões onde o gradiente da solução varia de

forma acentuada. Mas o MDF se desenvolveu bastante desde sua formulação inicial e as

limitações de sua formulação clássica foram superadas. O Método dos Operadores Discretos

(MOD) é uma variação do MDF. Da mesma forma que o MDF, o MOD busca formas

discretas dos operadores diferenciais presentes na equação que governa o problema, mas ao

contrário do MDF, não é necessário discretizar o domínio de forma regular para se obter

moléculas padronizadas. Isso permite o adensamento localizado da rede pontos que compõem

o domínio discreto e, assim, o adequado tratamento de contornos irregulares. Além do

adensamento localizado, o MOD ainda conta com recursos como o uso de pontos gêmeos e

moléculas de fronteira. A técnica de pontos gêmeos permite que nas mesmas coordenadas

sejam colocados dois pontos com propriedades diferentes. Em geral, essa técnica é empregada

em pontos onde ocorre mudança do tipo de contorno ou pontos salientes e reentrantes do

contorno, onde se verifica uma abrupta mudança da normal externa. As moléculas de fronteira

são usadas em regiões do domínio onde ocorre mudança de material ou das propriedades do

mesmo material. Elas permitem obter formas discretas dos operadores diferenciais levando-se

em conta as diferentes propriedades dos materiais na zona de transição, mas neste trabalho, as

moléculas de fronteira não serão abordadas.

A simplicidade, versatilidade e precisão do MOD são as características que motivaram este

trabalho, cujo desenvolvimento é feito através da aplicação do MOD à solução de problemas

de elasticidade bidimensional.

1.2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Apesar da idéia de se utilizar malhas com geometria arbitrária para a discretização de

domínios contínuos não ser nova, a possibilidade de cálculos práticos era dependente do

desenvolvimento da tecnologia computacional. Segundo Liszka e Orkisz (1980), a evolução

das redes arbitrárias de pontos parte de uma rede parcialmente regular em subdomínios,

Fig.1.1(a); depois irregular, mas com restrições topológicas, Fig. 1.1(b); e, por fim, as redes

arbitrárias de pontos, Fig.1.1 (c).

3

Figura 1.1: Evolução das redes arbitrárias de pontos (modificado – Liska e Orkisz, 1980).

Segundo Pulino (1989), parece ter sido MacNeal (1953) o primeiro a empregar malhas

triangulares para a obtenção de soluções aproximadas de equações diferenciais de segunda

ordem. Ele estudava o fluxo de corrente em uma chapa metálica delgada. Usando uma

analogia com circuitos elétricos, MacNeal desenvolveu uma formulação que permite associar

uma área elementar a cada nó da malha discreta, com significado físico definido e que

descrevem exatamente o domínio em estudo.

A base do MDF para malhas arbitrárias foi apresentada no começo da década de 70 por

Jensen (1972). Ele propunha o uso de uma molécula de 6 pontos, Fig. 1.2(b), no lugar da

molécula convencional de 5 pontos, Fig. 1.2(a), além disso, ele usava a série de Taylor para

obter as fórmulas de diferenças finitas para a discretização dos operadores diferenciais

parciais até a segunda ordem. Isso permitia que sua molécula pudesse ter pontos

arbitrariamente localizados, mas com certa limitação. As eventuais singularidades ou mau

condicionamento das matrizes de diferenças geradas pelas moléculas eram a principal

desvantagem de sua abordagem (Liska e Orkisz, 1980).

Figura 1.2: Moléculas de diferenças finitas:

a) Molécula convencional; e b) Molécula arbitrária.

4

Vários pesquisadores tentaram desenvolver esquemas automáticos para seleção de pontos que

evitassem as moléculas mal condicionadas ou singulares e, com isso, melhoravam a precisão

do método. Perrone e Kao (1975) sugeriram que pontos adicionais fossem atribuídos às

moléculas e que um processo de médias fosse empregado para obtenção dos coeficientes das

fórmulas de diferenças finitas. Bons resultados foram obtidos graças a um bom critério

geométrico para escolha de pontos, este critério de seleção é ilustrado a seguir na Fig. 1.3

(Liska e Orkisz, 1980).

Figura 1.3: Seleção de pontos proposta por Perrone e Kao, 1975

(modificado – Perrone e Kao, 1975).

De acordo com Liszka e Orkisz (1980), Kurowski e Szmelter foram os primeiros a fazer a

triangularização de todo o domínio e montar as moléculas usando os vértices de todos os

triângulos com um ponto em comum.

Um enfoque diferente foi proposto por Frey (1977). Empregando o conceito de elementos

isoparamétricos, ele introduziu uma molécula de forma arbitrária que era mapeada em um

domínio de malhas retangulares regulares.

Em 1981, Almeida, sob orientação do Prof. Eduardo M. Gonçalves, apresentou uma técnica

bastante útil para o tratamento das condições de contorno, que facilita a elaboração de dados

de entrada para programas de cálculo automático por computador.

Para evitar a singularidade da matriz de diferenças da molécula e melhorar a precisão do

método, Liska e Orkisz (1980) propuseram selecionar um número de pontos tal que o número

de equações fosse maior que o de incógnitas, assim, o sistema deixou de ter solução única e o

5

erro pôde ser minimizado através da técnica dos mínimos quadrados. Os mesmos autores

propuseram, ainda, que uma função de ponderação fosse introduzida para conferir maior peso

aos pontos localizados mais próximos ao ponto de origem da molécula.

De acordo com Liszka et al (1996), até então, o método não era reconhecido como sem malha

(meshless). Finalmente, a idéia básica do método foi interpretada como um método de

aproximação em duas publicações semelhantes: Lancaster e Salkauskas (1981) e Liszka

(1984). Segundo Cocchi (2000), na análise numérica de diversos problemas que envolvem

equações diferenciais parciais, o método das diferenças finitas para discretizações arbitrárias

pode ser considerado o primeiro caminho no desenvolvimento dos métodos sem malhas.

Segundo Duarte (1995) vários problemas de importância prática, como propagação de

fissuras, fragmentação e grandes deformações, são caracterizados por contínuas mudanças na

geometria do domínio em questão. A análise desta classe de problemas por elementos finitos

ou diferenças finitas convencionais pode se tornar uma tarefa complicada e cara. Por exemplo,

a análise de problemas com grandes deformações através do método dos elementos finitos

convencional pode requerer contínuos relançamentos das malhas para evitar o colapso dos

cálculos devido à distorção excessiva da malha. Mesmo em problemas onde apenas algumas

malhas são necessárias, sua geração pode consumir mais tempo e se tornar mais cara que a

construção e solução do sistema de equações lineares produzidas pela discretização do

problema. Assim, os métodos ditos “sem malha” proporcionam uma alternativa atrativa para a

análise desta classe de problemas.

Recentemente, a tecnologia que não usa malha foi redescoberta principalmente devido ao

lento progresso na geração de malhas e muitos métodos sem malhas para solução de equações

diferenciais parciais foram desenvolvidos (Liszka el al, 1996).

6

1.3 – OBJETIVOS DESTE TRABALHO

Esta dissertação tem os seguintes objetivos:

1. Apresentar o método dos operadores discretos e oferecer uma ferramenta versátil e de

fácil adaptação para solução de diversos tipos de problemas práticos enfrentados pelo

engenheiro;

2. Mostrar a aplicação do método em problemas de elasticidade bidimensional e discutir uma

possível forma de avaliação do erro cometido com base no erro de truncamento da série de

Taylor; e

3. Implementar um código computacional capaz de resolver problemas de elasticidade

bidimensional e apontar regiões do domínio mais suscetíveis a erro de aproximação.

1.4 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

Esta dissertação é composta de 7 capítulos e 4 apêndices.

No capítulo 2, o método dos operadores discretos é introduzido através de sua aplicação,

passo a passo, na solução de um simples problema de potencial. Trata-se de um problema de

valor de contorno em regime permanente regido pela equação de Laplace. As moléculas

usadas para discretização da equação diferencial são bastante simples e não empregam

qualquer técnica de ponderação. No interior do domínio elas têm 6 pontos e no contorno, 5

pontos.

O terceiro capítulo apresenta um resumo da teoria da elasticidade com especial ênfase aos

casos bidimensionais, a saber, estado plano de tensões e estado plano de deformações. Nele

são deduzidas as equações de campo do problema, que são as equações de Navier para o

estado plano de deformações, e as equações de contorno, obtidas a partir de relações de

equilíbrio do tensor tensão com as trações de superfície no contorno.

7

No capítulo 4, descreve-se a forma discreta das equações que governam o problema da

elasticidade bidimensional. No interior do domínio, apenas as equações de Navier são

discretizadas. Para isso, são usadas moléculas ponderadas com mais de seis pontos. No

contorno, tanto as equações de Navier quanto as equações de contorno devem ser satisfeitas.

Assim, cria-se uma discretização que inclui as equações de Navier e estas são empregadas

para discretizar as equações de contorno. A molécula de contorno tem apenas 5 pontos, mas é

mais complexa que a usada no segundo capítulo.

Duas formulações para a estimativa do erro na solução aproximada são propostas no quinto

capítulo: na primeira, o valor da função é suposto conhecido de antemão; e na segunda, os

operadores são empregados para aproximar o valor da função. No primeiro caso, a fórmula do

resto de Lagrange é empregada para estimar o erro e, assim, a aproximação das derivadas tem

limites inferior e superior entre os quais se encontra o valor exato. No segundo, a avaliação

dos termos do resto, resultante do truncamento da série de Taylor, permite localizar as regiões

do domínio em que o valor da função erro é mais significativo (regiões em que se sugere o

adensamento do domínio discreto).

O sexto capítulo apresenta exemplos de aplicação do método. Nele, os resultados obtidos pelo

programa de operadores discretos são comparados aos resultados obtidos por elementos

finitos e às soluções analíticas, quando estas existirem.

Finalmente, as conclusões deste trabalho e sugestões para sua continuidade são apresentadas

no oitavo capítulo.

O Apêndice A traz um resumo sobre a série de Taylor e como o erro pode ser limitado através

da fórmula do resto de Lagrange.

Os arquivos de entrada e saída do exemplo de potencial tratado no capítulo 2 podem ser

encontrados no Apêndice B. A listagem do programa Potencial.cpp, usado para resolver o

exemplo do capítulo 2, se encontra no CD que acompanha este trabalho.

8

O Apêndice C trás as tabelas comparativas dos resultados dos exemplos desenvolvidos no

capítulo 6. Os arquivos de entrada e de saída para os mesmos exemplos se encontram no CD

que acompanha esta dissertação.

Finalmente, o Apêndice D traz comentários sobre o funcionamento do programa que trata o

caso da elasticidade bidimensional, Elast_2D.cpp, e sua listagem se encontra no CD que

acompanha este trabalho.

9

CAPÍTULO 2

O MOD APLICADO A UM PROBLEMA DE POTENCIAL

2.1 – INTRODUÇÃO

Neste capítulo, a formulação básica do Método dos Operadores Discretos será apresentada

através do desenvolvimento de um problema simples de potencial adaptado de Brebbia e

Dominguez (1989). Trata-se de um problema de valor de contorno em regime permanente

governado pela equação de Laplace, com condições de contorno mistas: tipo Dirichlet, onde o

valor da função potencial é prescrito; e Neuman, onde se conhece o valor da derivada da

função potencial na direção da normal externa ao contorno.

Inicialmente, no item 2.2, tem-se a proposição do problema seguida, no item 2.3, da

discretização da equação de campo que produz a molécula de 6 pontos para o interior do

domínio. No 2.4, trata-se da discretização da equação de campo no contorno com a introdução

da equação de contorno na discretização dos operadores diferenciais. Esta discretização

produz a molécula de 5 pontos para pontos no contorno. No item 2.5 são mostradas as

contribuições dos diferentes tipos de moléculas para o sistema global do problema; nele são

consideradas as contribuições de moléculas no interior do domínio, em pontos no contorno do

tipo Neuman e em pontos no contorno tipo Dirichlet. Em 2.6, apresenta-se um fluxograma

simplificado que ilustra os principais blocos do código computacional para resolução do

problema proposto. Finalmente, no item 2.7, são comparados à solução analítica, os

resultados obtidos com o programa de computador desenvolvido para solução de problemas

de potencial em regime permanente regidos pela equação de Laplace (Potencial.cpp).

2.2 – PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA

Supondo que a chapa apresentada na Fig. 2.1 esteja submetida a um regime de fluxo

permanente de temperatura com as condições de contorno indicadas, deseja-se conhecer a

distribuição de temperaturas no domínio e os fluxos de temperatura nos contornos do tipo

Dirichlet (Γ1). As equações de campo e de contorno são apresentadas nas Eq. 2.1 e Eq. 2.2,

respectivamente.

10

Figura 2.1: Problema de valor de contorno (PVC)

Equação de campo: 0yu

xu

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂ (2.1)

Equação do contorno: yusin

xucos

nu

∂∂+

∂∂=

∂∂ θθ (2.2)

Onde: θ - ângulo formado entre o eixo x e a normal ao contorno;

u - a função que representa a distribuição de temperatura no domínio;

un - derivada da função na direção normal ao contorno ( )nu

∂∂ ;

Ω - representa o domínio do problema;

Γ1 - Contorno do tipo Dirichlet (valor da função conhecido); e

Γ2 - Contorno do tipo Neuman (derivada da função na direção normal conhecida).

2.3 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DE CAMPO NO DOMÍNIO

2.3.1 – Discretização dos operadores diferenciais até a 2a ordem

Se o valor de uma função de duas variáveis e o de todas as suas derivadas existentes forem

conhecidos em um determinado ponto 0 ∈ Ω, os valores da função podem ser calculados na

vizinhança deste ponto através da série de Taylor apresentada a seguir:

11

( ) ( )( ) ( ) 32

02

2

0

22

02

2

000i Ry

yf

21yx

yxfx

xf

21y

yfx

xfff +∆

∂∂+∆∆

∂∂

∂+∆

∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+=

Onde: if - valor da função no ponto i, ou seja, ( )ii y,xf ;

0f - valor da função no ponto 0, ou seja, ( )00 y,xf ;

0i xxx −=∆ ;

0i yyy −=∆ ;

3R - resto resultante do truncamento da série nos termos de 2a ordem.

Supondo que os pontos onde se deseja calcular os valores da função estejam suficientemente

próximos de tal forma que os termos R3 possam ser desprezados, os valores da função em 5

pontos na vizinhança do ponto 0 podem ser colocados na seguinte forma matricial:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0y

f

yxf

xf

yf

xf

2555

2555

2444

2444

2333

2333

2222

2222

2111

2111

5

4

3

2

1

22

2

22

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

fffff

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

≈

∆∆∆∆∆

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.3)

Onde: 0ii fff −=∆ , com i =1, 2, 3, 4, 5;

0ii xxx −=∆ , com i =1, 2, 3, 4, 5; e

0ii yyy −=∆ , com i =1, 2, 3, 4, 5.

Em notação matricial, a equação anterior fica:

fΔΔf ∂⋅≈ (2.4)

Se a matriz de diferenças, Δ , da equação anterior não for singular, então pode ser invertida e

a discretização dos operadores diferenciais pode ser obtida de:

ΔfΔf ⋅≈∂ −1 (2.5)

12

Chamando de aij os elementos de 1Δ− , a equação anterior rescrita em forma expandida fica:

∆∆∆∆∆

≈

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

5

4

3

2

1

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

0yf

yxf

xf

yf

xf

fffff

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

22

2

22

(2.6)

A Eq. 2.6 tem a forma discreta dos operadores diferenciais parciais de ordem igual ou inferior

a 2, a saber:

( )

( )

( )

( )

( )0i

5

1ii5i

5

1ii52

2

0i

5

1ii4i

5

1ii4

2

0i

5

1ii3i

5

1ii32

2

0i

5

1ii2i

5

1ii2

0i

5

1ii1i

5

1ii1

ffafay

f

ffafayxf

ffafax

f

ffafayf

ffafaxf

−=∆≈∂∂

−=∆≈∂∂

∂

−=∆≈∂∂

−=∆≈∂∂

−=∆≈∂∂

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

==

==

(2.7)

2.3.2 – Moléculas para o interior do domínio (6 pontos)

A equação que governa o problema, Eq. 2.1, é:

0yu

xu

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂

Substituindo os operadores diferenciais da equação anterior pela respectiva forma discreta

dada nas Eqs. 2.7, tem-se:

( ) ( ) 0ffaffa 0i

5

1ii50i

5

1ii3 =−+− ∑∑

==

(2.8)

13

Separando os termos do ponto de origem (ponto 0) dos pontos satélites, chega-se a:

( ) 0faafaa 0i5

5

1ii3i

5

1ii5i3 =

+−+ ∑∑

==

(2.9)

A Eq. 2.9 é usada em pontos no interior do domínio e corresponde a uma equação algébrica

do sistema linear discreto, uma vez que se trata de uma aproximação da equação diferencial

que deve ser satisfeita em seu ponto de origem (ponto 0). A Fig. 2.2 apresenta o esquema da

molécula correspondente à Eq. 2.9.

( ) 0

5

153 faa

iii

+− ∑

=

( ) 15131 faa +( ) 25232 faa +

( ) 35333 faa +

( ) 45434 faa +

( ) 55535 faa +

( ) 0

5

153 faa

iii

+− ∑

=

( ) 15131 faa +( ) 25232 faa +

( ) 35333 faa +

( ) 45434 faa +

( ) 55535 faa +

( ) 0

5

153 faa

iii

+− ∑

=

( ) 15131 faa +( ) 25232 faa +

( ) 35333 faa +

( ) 45434 faa +

( ) 55535 faa +

Figura 2.2: Molécula de 6 pontos para o interior do domínio.

2.4 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO CAMPO NO CONTORNO

2.4.1 – Discretização dos operadores diferenciais até a 2a ordem

No contorno, além da equação de campo, a de contorno também precisa ser satisfeita.

Segundo Almeida (1981), uma forma de se conseguir que ambas sejam satisfeitas, é introduzir

a equação de contorno na discretização dos operadores diferenciais e empregar estas

discretizações para aproximar a equação de campo. Esse procedimento é ilustrado a seguir:

Colocando a Eq. 2.2 no lugar do ponto 5 da Eq. 2.3, tem-se:

14

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0yf

yxf

xf

yf

xf

2444

2444

2333

2333

2222

2222

2111

2111

0nf

4

3

2

1

22

2

22

000sincosy2

1yxx21yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

ffff

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

≈

∆∆∆∆

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

θθ

(2.10)

Então, desde que a matriz de diferenças (∆∆∆∆) não seja singular, ela pode ser invertida e as

formas discretas dos operadores diferenciais podem ser obtidas de:

( )

∆∆∆∆

≈

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

0nf

4

3

2

1

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

0yf

yxf

xf

yf

xf

ffff

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

22

2

22

(2.11)

Da Eq. 2.11, as formas discretas dos operadores diferenciais são:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0550i

4

1ii5055i

4

1ii52

2

0450i

4

1ii4045i

4

1ii4

2

0350i

4

1ii3035i

4

1ii32

2

0250i

4

1ii2025i

4

1ii2

0150i

4

1ii1015i

4

1ii1

nfaffan

fafay

f

nfaffan

fafayxf

nfaffan

fafax

f

nfaffan

fafayf

nfaffan

fafaxf

∂∂+

−=∂

∂+

∆≈

∂∂

∂∂+

−=∂

∂+

∆≈

∂∂∂

∂∂+

−=∂

∂+

∆≈

∂∂

∂∂+

−=∂

∂+

∆≈

∂∂

∂∂+

−=∂

∂+

∆≈

∂∂

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

==

==

(2.12)

2.4.2 – Moléculas para o contorno (5 pontos)

De forma semelhante ao item 2.3.2, mas usando as Eqs. 2.12 para discretizar a equação de

campo (Eq. 2.1), tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) 0nfaffan

faffa0550i

4

1ii50350i

4

1ii3 =∂

∂+

−+∂

∂+

− ∑∑

==

(2.13)

15

Agrupando os termos satélites, obtém-se:

( ) ( ) ( ) 00

35550

4

153

4

153 =

∂∂++

+−

+ ∑∑

==n

faafaafaai

iiii

ii (2.14)

A Eq. 2.14 representa uma linha do sistema global de equações para pontos no contorno. Para

estes pontos ou o valor da função é prescrito (contorno do tipo Dirichlet) ou o de sua derivada

na direção normal (contorno do tipo Neuman), neste caso, o termo com valor conhecido passa

para o segundo membro da equação com sinal trocado. A representação gráfica da molécula

produzida pela Eq. 2.14 é ilustrada na Fig. 2.3 a seguir:

( )

( )0

5535

0

4

153

∂

∂++

+− ∑

=

nfaa

faai

ii

( ) 15131 faa + ( ) 25232 faa +

( ) 35333 faa +( ) 45434 faa +

( )

( )0

5535

0

4

153

∂

∂++

+− ∑

=

nfaa

faai

ii

( ) 15131 faa + ( ) 25232 faa +

( ) 35333 faa +( ) 45434 faa +

Figura 2.3: Molécula de 5 pontos para o contorno.

2.5 – CONTRIBUIÇÕES PARA O SISTEMA GLOBAL

A discretização adotada para o domínio contínuo é apresentada a seguir na Fig. 2.4, em

seguida a montagem do sistema global é ilustrada mostrando-se as contribuições de três tipos

diferentes de molécula.

16

Figura 2.4: Discretização do domínio para o problema proposto.

Neste caso, para simplificar o programa computacional, as conectividades das moléculas

foram fornecidas em um arquivo de dados, mas uma rotina para seleção automática de pontos

poderia ser implementada com maior facilidade que, por exemplo, em elementos finitos, uma

vez que no MOD, os pontos são fornecidos sem qualquer ordem específica. Além disso, as

moléculas foram construídas com o menor número possível de pontos.

Cabe notar ainda que nos pontos onde há mudança do tipo de contorno, empregou-se a técnica

dos pontos gêmeos, isto é, duas moléculas foram colocadas no mesmo ponto, uma para cada

contorno diferente.

2.5.1 – Contribuição da molécula no interior do domínio

Para a molécula centrada no ponto 7, foi atribuída a seguinte conectividade: 3, 4, 6, 8 e 10,

nesta ordem. A partir das coordenadas destes pontos, monta-se sua matriz de diferenças ∆∆∆∆

segundo a Eq. 2.3 e, chamando aij os termos de sua inversa, a equação que vai para o sistema

global é:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

5

3 5 7 31 51 3 32 52 4 35 55 101

33 53 6 34 54 8

i ii

a a u a a u a a u a a u

a a u a a u=

− + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = − + ⋅ − + ⋅

∑

17

Os termos correspondentes aos valores da função nos pontos 6 e 8 aparecem no segundo

membro da equação porque nestes pontos, os valores da função são conhecidos (contorno do

tipo Dirichlet).

2.5.2 – Contribuição da molécula em contorno do tipo Dirichlet

Para a molécula centrada no ponto 6, foi atribuída a seguinte conectividade: 2, 3, 7 e 9, nesta

ordem. A partir das coordenadas destes pontos, monta-se sua matriz de diferenças (∆∆∆∆)

segundo Eq. 2.10 e, chamando aij os termos de sua inversa, a equação que vai para o sistema

global é:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

35 55 31 51 2 32 52 3 33 53 76

4

3 5 6 34 54 91

i ii

ua a a a u a a u a a un

a a u a a u=

∂ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = ∂ + ⋅ − + ⋅ ∑

Neste caso, para a molécula centrada no ponto 6, a incógnita é a derivada da função na

direção da normal externa ao contorno então, ela e seu coeficiente permanecem no primeiro

membro da equação enquanto que o valor da função, que é conhecido, passa para o segundo

membro multiplicado pelo respectivo coeficiente de sinal trocado. Para os pontos satélites,

como no item anterior, se o valor da função for conhecido (Dirichlet), então ele passa para o

segundo membro com coeficiente de sinal trocado, do contrário, permanece no primeiro

membro da equação.

2.5.3 – Contribuição da molécula em contorno do tipo Neuman

Para a molécula centrada no ponto 3, foi atribuída a seguinte conectividade: 2, 4, 7 e 8, nesta

ordem. A partir das coordenadas destes pontos, monta-se sua matriz de diferenças (∆∆∆∆)

segundo a Eq. 2.10 e, chamando aij os termos de sua inversa, a equação que vai para o sistema

global é:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4

3 5 3 31 51 2 32 52 4 33 53 71

35 55 34 54 83

i ii

a a u a a u a a u a a u

ua a a a un

=

− + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ∂ = − + ⋅ − + ⋅ ∂

∑

18

Ao contrário do item anterior, neste caso, a incógnita é o valor da função, que permanece no

primeiro membro da equação, enquanto o termo que contém sua devida na direção normal,

que é prescrito (Neuman), é passado para o segundo membro. Quanto aos pontos satélites, o

procedimento é o mesmo que foi adotado nos itens 2.5.1 e 2.5.2.

2.6 – PROGRAMA DE POTENCIAL

No Apêndice B, encontram-se os arquivos de entrada e saída para o problema em questão. O

código computacional chamado Potencial.cpp foi implementado em linguagem C++ e se

encontra listado no CD que acompanha esta dissertação. A seguir, na Fig. 2.5, tem-se um

fluxograma simplificado que ilustra a estrutura básica do programa:

Figura 2.5: Fluxograma simplificado do programa de potencial.

não sim

Ler do arquivo de entrada de dados o número (n) de graus de liberdade da discretização e fazer a alocação dinâmica dos vetores para armazenamento de dados e

da matriz do sistema global do problema.

Ler as coordenadas, tipo, valor e ângulo da normal para cada molécula e armazená-los nos devidos

vetores criados anteriormente.

Ler a conectividade da i-ésima molécula e fazer

i = i + 1

Montar a matriz de diferenças ∆∆∆∆ de acordo com o tipo

da molécula e invertê-la.

Colocar a contribuição da molécula no sistema global

i > n

Resolver o sistema global do problema

Escrever o arquivo de saída de dados

19

2.7 – SOLUÇÃO DO PROBLEMA

A partir das condições de contorno a solução analítica é óbvia A solução do problema é a

equação de um plano dada por 300x50)y,x(u +−= , pois esta função obedece tanto às

condições de contorno quanto à equação de campo. A superfície produzida pela solução do

problema é ilustrada a seguir na Fig. 2.6:

Figura 2.6: Superfície produzida pela solução do problema.

A Tab. 2.1 apresentada a seguir mostra os dados de saída do programa. Pode-se observar que

o resultado numérico é praticamente igual à solução analítica. No arquivo de saída de

resultados, colocado no Apêndice B, percebe-se que a precisão da solução numérica foi até a

13a casa decimal, tanto para o valor da função quanto para o de sua derivada na direção

normal ao contorno.

20

Tabela 2.1: Dados do arquivo de saída do programa para o problema de potencial.

Ponto X Y Tipo u(x,y) un(x,y)1 0.0 6.0 Dirichlet 300.0000000 50.00000002 0.0 6.0 Neuman 300.0000000 0.00000003 2.0 6.0 Neuman 200.0000000 0.00000004 4.0 6.0 Neuman 100.0000000 0.00000005 4.0 6.0 Dirichlet 100.0000000 -50.00000006 0.0 4.0 Dirichlet 300.0000000 50.00000007 2.0 4.0 Interna 200.00000008 4.0 4.0 Dirichlet 100.0000000 -50.00000009 0.0 2.0 Dirichlet 300.0000000 50.0000000

10 2.0 2.0 Interna 200.000000011 4.0 2.0 Dirichlet 100.0000000 -50.000000012 4.0 2.0 Neuman 100.0000000 0.000000013 6.0 2.0 Neuman 0.0000000 0.000000014 6.0 2.0 Dirichlet 0.0000000 -50.000000015 0.0 0.0 Dirichlet 300.0000000 50.000000016 0.0 0.0 Neuman 300.0000000 0.000000017 2.0 0.0 Neuman 200.0000000 0.000000018 4.0 0.0 Neuman 100.0000000 0.000000019 6.0 0.0 Neuman 0.0000000 0.000000020 6.0 0.0 Dirichlet 0.0000000 -50.0000000

21

CAPÍTULO 3

TEORIA DA ELASTICIDADE


Neste capítulo apresenta-se um resumo da teoria clássica da elasticidade linear, como descrita

em Timoshenko e Goodiear (1988) e Shames (1964).

O objetivo é fixar a notação utilizada, reduzir a formulação geral ao problema da elasticidade

bidimensional (equações de Navier) e apresentar uma nova forma de imposição das condições

de contorno, bastante adequada para elaboração dos dados de entrada para programas de

computador, no sentido de facilitar o fornecimento de valores no contorno.

3.2 – MATERIAIS

Praticamente todos os materiais empregados em engenharia possuem a propriedade de

elasticidade até certo ponto. Se as forças externas que provocam as deformações não

ultrapassam certo limite, conhecido como limite de elasticidade, o corpo volta à sua

configuração original com a remoção dessas forças externas. Se, mesmo com a remoção das

forças externas, uma deformação residual persistir, diz-se que o limite de elasticidade foi

ultrapassado e essa deformação é chamada deformação plástica residual. Neste trabalho, todos

os materiais serão considerados perfeitamente elásticos, ou seja, todos os corpos retornam a

sua forma original com a remoção das forças externas.

Será assumido que o material que compõem o corpo elástico é homogêneo e continuamente

distribuído por todo seu volume. Assim, o menor elemento retirado do corpo possui ainda as

mesmas propriedades físicas do resto do corpo. Para simplificar a formulação teórica, todos os

materiais serão considerados isotrópicos, isto é, que eles possuem as mesmas propriedades em

todas as direções.

22

3.3 – FORÇAS

Existem dois tipos de força que podem atuar em um corpo: forças de corpo e trações de

superfície.

Trações de superfície são forças distribuídas sobre a superfície do corpo e, como exemplo,

tem-se a pressão hidrostática ou a pressão que um corpo exerce sobre o outro. As trações de

superfície serão decompostas em três componentes X , Y e Z paralelas aos eixos cartesianos

do sistema de referência x, y e z, respectivamente.

As forças de corpo são forças distribuídas no volume do corpo. Como exemplos, têm-se as

forças gravitacionais, magnéticas ou de inércia (no caso do corpo estar em movimento). As

forças de corpo serão decompostas nas componentes X, Y e Z paralelas aos eixos x, y e z,

respectivamente.

3.4 – COMPONENTES DA TENSÃO

Forças externas atuando sobre um corpo em equilíbrio provocam o surgimento de forças

internas que se distribuem por todo seu volume. A tensão é definida pela razão entre a força

resultante e a área sobre a qual atua a força. Como, em geral, a tensão resultante em um ponto

qualquer não é perpendicular ou paralela aos planos formados pelos eixos do sistema de

referência, para facilitar seu estudo, a tensão é decomposta em componentes de maneira

conveniente. A componente perpendicular à área é chamada tensão normal e designada por

σσσσ, a componente que atua no mesmo plano da área é chamada tensão de cisalhamento e

designada por ττττ. Em geral, no estudo da distribuição das tensões, são considerados elementos

com faces paralelas ou perpendiculares aos planos formados pelos eixos do sistema de

referência. Assim, a tensão de cisalhamento, que atua no plano da área elementar, é ainda

decomposta em duas outras componentes nas direções dos eixos de referência, que são

paralelos ao plano que contém a área elementar. A Fig. 3.1 apresenta um cubo elementar, de

lados paralelos aos eixos do sistema de referência, retirado de um ponto qualquer de um corpo

solicitado. A figura mostra as componentes da tensão atuando nas direções que serão adotadas

como positivas e a notação que será usada para designá-las.

23

Figura 3.1: Componentes da tensão (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988).

Assim, no caso mais geral, as tensões são representadas, por nove componentes: três normais

(σσσσx, σσσσy e σσσσz ) e seis de cisalhamento (ττττxy, ττττxz, ττττyx, ττττyz, ττττzx e ττττzy). No entanto, por uma questão de

equilíbrio, tem-se que:

ττττxy = ττττyx, ττττxz = ττττzx e ττττyz = ττττzy (3.1)

As seis grandezas (σσσσx, σσσσy, σσσσz , ττττxy = ττττyx, ττττxz = ττττzx e ττττyz = ττττzy) são, portanto, suficientes para

descrever a tensão em um ponto qualquer do corpo e são chamadas componentes da tensão no

ponto.

24

3.5 – COMPONENTES DA DEFORMAÇÃO

Na discussão das deformações em um corpo elástico, será considerado que o corpo tenha um

suficiente número de apoios que impeçam seu movimento como corpo rígido. Desta forma,

todos os deslocamentos verificados são resultados exclusivamente das deformações.

Aqui serão consideradas apenas pequenas deformações como as que ocorrem nas estruturas

na prática da engenharia. Os deslocamentos em um ponto qualquer serão dados pelas

componentes u, v e w paralelas aos eixos x, y e z, respectivamente. Será assumido que as

componentes da deformação são grandezas muito pequenas e que variam continuamente por

todo o volume do corpo.

Considere um pequeno elemento de dimensões dx, dy e dz retirado de um corpo solicitado

como na Fig. 3.2 a seguir:

Figura 3.2: Elemento qualquer de um corpo solicitado

(modificado – Timoshenko e Goodier, 1988).

Se o corpo sofre deformações e u, v e w são as componentes do deslocamento no ponto P, o

deslocamento na direção x de um ponto A, adjacente a P, é dado por:

dxxuuu A ∂

∂+= (3.2)

25

Assim, a variação do comprimento do segmento PA devido à deformação é: (∂u / ∂x) dx.

Portanto, a deformação específica na direção x no ponto P, denotada por εx, é dada por: εx =

(∂u / ∂x). Relações semelhantes podem ser obtidas para as deformações específicas nas

direções y e z. Representando-as por εy e εz, respectivamente, obtém-se: εy = (∂v / ∂y); e εz =

(∂w / ∂z).

Quanto à distorção angular entre os segmentos PA e PB, apresentada na Fig. 3.3, se u e v são

as componentes do deslocamento do ponto P nas direções x e y, respectivamente, o

deslocamento do ponto A na direção y (vA) e o de B na direção x (uB) são dados por:

dyyuuu e dx

xvvv BA ∂

∂+=∂∂+= (3.3)

Figura 3.3: Distorção angular no plano xy (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988).

Percebe-se que o segmento PA assume uma nova posição P’A’ com uma inclinação de um

ângulo (∂v / ∂x) com relação a sua posição original. Da mesma forma, o segmento PB assume

uma nova posição com uma inclinação de (∂u / ∂y) com relação à sua posição inicial. Assim,

a distorção total sofrida pelo ângulo BPA , conhecida como deformação de cisalhamento

entre os planos xz e yz, designada γxy, é dada pela soma (∂v / ∂x) + (∂u / ∂y). De forma

semelhante podem ser obtidas as deformações de cisalhamento entre os planos xy e xz (γyz) e

entre os planos yx e yz (γxz).

Então, as componentes da deformação podem ser colocadas em termos das de deslocamento

da seguinte forma:

26

zv

yw

zu

xw

yu

xv

zw

yv

xu

yzxzxy

zyx

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂=

γγγ

εεε (3.4)

3.6 – LEI DE HOOKE

Relações lineares entre as componentes de tensão e as de deformação são genericamente

conhecidas como lei de Hooke. Em sua forma generalizada, esta lei é dada por:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]yxzz

zxyy

zyxx

E1E1E1

σσνσε

σσνσε

σσνσε

+−=

+−=

+−=

(3.5)

yzyzxzxzxyxy G1

G1

G1 τγτγτγ === (3.6)

Onde: E - módulo de elasticidade do material ou módulo de Young;

ν - coeficiente de Poisson; e

G - módulo de elasticidade transversal.

As três constantes elásticas (E, ν e G) representam características de deformabilidade do

material e estão relacionadas entre si por:

( )ν+=

12EG (3.7)

As deformações, Eqs. 3.5, e distorções, Eqs. 3.6, são independentes umas das outras, mas o

caso geral de deformação, produzido por três tensões normais e três de cisalhamento, pode ser

resolvido pela superposição dessas equações.

27

As Eqs. 3.5 e Eqs. 3.6 fornecem as componentes de deformação em termos das de tensão, mas

algumas vezes é preciso o contrário, isto é, as componentes de tensão em função das de

deformação. Para o caso das Eqs. 3.6 isto é obtido facilmente operando-as algebricamente. No

caso das Eqs. 3.5, resolvendo-as para σx, σy e σz, chega-se a:

( )( )

( )( )

( )( ) zz

yy

xx

1Ee

211E

1Ee

211E

1Ee

211E

εννν

νσ

εννν

νσ

εννν

νσ

++

−+=

++

−+=

++

−+=

(3.8)

Onde: e = εx + εy + εz .

3.7 – ESTADO PLANO DE TENSÕES

Se uma chapa de pequena espessura é carregada com forças aplicadas no contorno, paralelas

ao plano da chapa, e distribuídas uniformemente ao longo de sua espessura, como ilustrado na

Fig. 3.4, as componentes da tensão σz, τxz e τyz são nulas em ambas as faces da chapa e podem

ser consideradas nulas também em seu interior. Esse estado de tensão, definido

exclusivamente por σx, σy e τxy , é chamando estado plano de tensões. Se a chapa for

suficientemente fina, pode ser considerado também que as três componentes são

independentes de z, isto é, elas não variam no sentido da espessura.

Figura 3.4: Esquema de um estado plano de tensões


28

Aplicando as condições do estado plano de tensões (σz = τxz = τyz = 0) nas Eqs. 3.5 e Eqs. 3.6

as componentes da deformação ficam sendo dadas por:

[ ]

[ ]

( )( )

xyxyxy

yxz

xyy

yxx

E12

G1E

E1E1

τντγ

σσνε

νσσε

νσσε

+==

+−=

−=

−=

(3.9)

Nota-se que a componente da deformação εz não depende de σz, que é nula, mas apenas das

tensões normais nas direções x e y. Colocando as Eqs. 3.9 em forma matricial:

( )

+−

−=

xy

y

x

xy

y

x

12000101

E1

τσσ

νν

ν

γεε

(3.10)

A equação anterior pode ser invertida de forma que as componentes de tensão fiquem em

termos das de deformação da seguinte forma:

( )

−−=

xy

y

x

2

xy

y

x

2100

0101

1E

γεε

νν

ν

ντσσ

(3.11)

3.8 – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

Se um corpo cilíndrico ou prismático de grande comprimento, com seção transversal

constante ao longo do comprimento, estiver submetido a um carregamento constante e

perpendicular a seus elementos longitudinais, pode-se considerar que todas as seções estão

submetidas às mesmas condições. O mais simples é supor que os deslocamentos

29

longitudinais, em geral, na direção do eixo z, são restringidos por superfícies lisas e rígidas

localizadas nos extremos do corpo. O estado plano de deformações se verifica, por exemplo,

em barragens, Fig. 3.5(a) e tubos de parede espessa com pressão interna, Fig. 3.5(b). Desde

que não ocorram deslocamentos axiais nas extremidades, por simetria, também não ocorrem

deslocamentos na seção central, assim, pode-se assumir que deslocamentos axiais são

restringidos em todas as seções.

Figura 3.5: Exemplos de estado plano de tensões: (a) Seção transversal de uma barragem; e

(b) Seção transversal de um tubo de parede espessa submetido à pressão interna.

Como as condições para todas as seções são as mesmas, para a solução desses problemas, é

suficiente considerar apenas uma fatia do corpo entre duas seções com distância unitária entre

elas. As componentes do deslocamento u e v são dadas exclusivamente em função de x e y,

portanto, independentes de z. Assim, como as deformações longitudinais em w são nulas, o

estado plano de deformações é caracterizado por: εz = γxz = γyz = 0.

Como εz = 0, a lei de Hooke apresentada na Eq. 3.5 permite obter σz em termos de σx e σy da

seguinte forma:

( )[ ]

( )[ ] ( )yxzyxz

yxzz

E10

E1

σσνσσσνσ

σσνσε

+=⇒+−=

+−=

( )yxz σσνσ += (3.12)

30

Aplicando a relação apresentada na Eq. 3.12 e as propriedades do estado plano de

deformações (εz = γxz = γyz = 0) na lei de Hooke apresentada nas Eqs. 3.5 e Eqs. 3.6, as

componentes de deformação podem ser colocadas em termos das de tensão da seguinte forma:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )xyxyxy

xy2

y

yx2

x

E12

G1

11E1

11E1

τντγ

σννσνε

σννσνε

+==

+−−=

+−−=

(3.13)

Colocando as Eqs. 3.13 em forma matricial:

( )

−

−−

−−

−=

xy

y

x2

xy

y

x

1200

011

01

1

E1

τσσ

ν

νν

νν

ν

γεε

(3.14)

Assim como no estado plano de tensões, a equação anterior pode ser invertida para se obter as

componentes de tensão em termos das de deformação da seguinte forma:

( )( )

( )( )

−−

−

−+=

xy

y

x

xy

y

x

22100

0101

211E

γεε

ννν

νν

νντσσ

(3.15)

31

3.9 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO EQUILÍBRIO (CASO BIDIMENSIONAL)

A Fig. 3.6 mostra um elemento, tomado do interior de um corpo, em forma de um bloco

retangular com lados dx, dy e espessura unitária. As tensões atuantes nas faces 1, 2, 3 e 4,

estão representadas em suas direções positivas. Observa-se que ocorre variação da tensão ao

longo do bloco, por exemplo, o valor de σx não é exatamente o mesmo nas faces 2 e 4.

Assim, as tensões nos lados 3 e 4 são obtidas através da série de Taylor limitada a dois termos

e com origem no meio dos lados 1 e 2, respectivamente.

Figura 3.6: Equilíbrio de um pequeno bloco retangular.

Como as faces são muito pequenas, as forças correspondentes são obtidas por meio da

multiplicação das tensões pela área onde atuam. As forças de corpo, que são ignoradas

quando se discute o equilíbrio no contorno por se tratarem de uma pequena quantidade de

ordem superior, neste caso, devem ser consideradas por serem da mesma ordem de grandeza

das variações de tensão ao longo do elemento. Se X e Y denotam as componentes das forças

de corpo por unidade de volume, o equilíbrio de forças na direção x se dá com:

0dydxXdxdxdyy

dydydxx xy

4

xyxyx

xx =⋅⋅+⋅−

∂

∂++⋅−

∂∂+ τ

ττσσσ (3.16)

32

Simplificando a Eq. 3.16, tem-se:

0dydxXdydxy

dxdyx

xyx =⋅⋅+∂

∂+

∂∂ τσ (3.17)

Finalmente, dividindo-se a Eq. 3.17 membro a membro por (dx.dy) e procedendo-se de forma

semelhante para obtenção da equação de equilíbrio na direção y, as equações diferenciais do

equilíbrio para problemas bidimensionais são:

0Yxy

0Xyx

xyy

xyx

=+∂

∂+

∂∂

=+∂

∂+

∂∂

τσ

τσ

(3.18)

Para colocar as equações anteriores em termos das componentes de deformação, pode-se, por

exemplo, substituir nas Eqs. 3.18, as relações apresentadas na Eq. 3.15 para o estado plano de

deformações, obtendo-se as seguintes expressões:

( )( ) ( )[ ] ( )

( )( ) ( )[ ] ( ) 0Y12E

x1

211E

y

0X12E

y1

211E

x

xyxy

xyyx

=+

+∂∂+

+−

−+∂∂

=+

+∂∂+

+−

−+∂∂

γν

νεεννν

γν

νεεννν

(3.19)

Utilizando as relações entre as componentes de deformação e deslocamento apresentadas nas

Eqs. 3.4, as equações anteriores, Eqs. 3.19, podem ser colocadas em termos das componentes

do deslocamento da seguinte forma:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) 0Yxv

yu

12E

xxu

yv1

211E

y

0Xxv

yu

12E

yyv

xu1

211E

x

=+

∂∂+

∂∂

+∂∂+

∂∂+

∂∂−

−+∂∂

=+

∂∂+

∂∂

+∂∂+

∂∂+

∂∂−

−+∂∂

ννν

νν

ννν

νν (3.20)

33

Arranjando os termos das Eqs. 3.20 de maneira conveniente, obtém-se as equações de Navier

apresentadas nas Eqs. 3.21 a seguir:

( )( )

( )( ) 0Y

E12

yv

xu

y211v

yx

0XE

12yv

xu

x211u

yx

2

2

2

2

2

2

2

2

=++

∂∂+

∂∂

∂∂

−+

∂∂+

∂∂

=++

∂∂+

∂∂

∂∂

−+

∂∂+

∂∂

νν

νν

(3.21)

As Eqs. 3.21 são válidas para o estado plano de deformações, pois as componentes da tensão

foram substituídas pelas de deformação usando as relações válidas para o estado plano de

deformações, mas com uma simples substituição das constantes elásticas, as Eqs. 3.21 se

tornam válidas também para o estado plano de tensões. A substituição referida é E e ν por E’

e ν’ dadas pelas relações apresentadas nas Eqs. 3.22 a seguir:

( )ν

ννν+

=−=1

'eE1'E 2 (3.22)

34

3.10 – CONDIÇÕES DE CONTORNO (CASO BIDIMENSIONAL)

As equações diferenciais do equilíbrio, Eqs. 3.18, devem ser satisfeitas em todo o volume do

corpo. As tensões variam ao longo da chapa e, no contorno, devem estar em equilíbrio com as

trações de superfície que nele atuam. Tomando-se um pequeno prisma triangular de vértices

ABC, ilustrado na Fig. 3.7 a seguir, e representando as componentes das trações de superfície

por X e Y , as equações a serem satisfeitas no contorno são:

xyy

xyx

lmY

mlX

τσ

τσ

+=

+= (3.23)

Onde: l e m são os co-senos diretores da normal N, externa ao contorno.

Figura 3.7: Equilíbrio no contorno (caso bidimensional).

Nas equações de contorno, Eqs. 3.23, as trações de superfície foram colocadas em termos de

sua componente na direção do eixo x ( X ) e de sua componente na direção do eixo y ( Y ).

Para facilitar a entrada de dados para programas computacionais é mais conveniente que as

trações de superfície sejam colocadas em termos de uma componente normal ao contorno (σn)

e outra tangente (τt) conforme mostra a Fig. 3.8. Este procedimento foi proposto por Almeida

(1981):

35

Figura 3.8: Rotação das trações de superfície

Para se obter as equações de contorno com as trações de superfície em termos de uma

componente normal e outra tangente ao contorno basta fazer:

( ) ( )

−+−

++=

+

+

−

=

−

=

xyxy22

y2

xyx2

xyy

xyx

t

n

lmmlmlm2l

lmml

lmml

YX

lmml

σστστσ

τστσ

τσ

Assim, as equações de contorno passam a ser:

( ) ( )xyxy22

t

y2

xyx2

n

lmml

mlm2l

σσττ

στσσ

−+−=

++= (3.24)

Da mesma forma que para as equações de campo (Navier, Eqs. 3.21), deseja-se colocar as

equações de contorno anteriores, Eqs. 3.24, em termos das componentes do deslocamento,

mas para isso, primeiro é necessário colocá-las em termos das componentes de deformação

através das relações da Eq. 3.15, válidas para o estado plano de deformações, assim, tem-se:

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] yxxyxy22

t

xy2

xyyx2

n

11211

Elm12Eml

1211

Em12Elm21

211El

νεεννεεννν

γν

τ

νεεννν

γν

νεεννν

σ

+−−+−−+

++

−=

+−−+

++

++−−+

= (3.25)

36

Substituindo as componentes da deformação pelas de deslocamento através das relações das

Eqs. 3.4, as equações anteriores ficam:

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )

∂∂−

∂∂

+⋅⋅+

∂∂+

∂∂

+−=

∂∂

−+

∂∂

−+−+

∂∂+

∂∂

+⋅⋅+

∂∂

−+

∂∂

−+−=

xu

yv

1Eml

xv

yu

12Eml

xu

1yv

211E1m

xv

yu

1Eml

yv

1xu

211E1l

22

t

22

n

νντ

νν

ννν

ννν

νννσ

(3.26)

As Eqs. 3.26 são válidas para o estado plano de deformações, mas para torná-las válidas para

o estado plano de tensões, basta substituir as constantes elásticas E e ν por E’ e ν’ dadas pela

Eq. 3.22.

37

CAPÍTULO 4

APLICAÇÃO DO MÉTODO À ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL


Neste capítulo, descreve-se a aplicação do Método dos Operadores Discretos (MOD) a

problemas de elasticidade bidimensional. No item 4.2, mostra-se a discretização das equações

de Navier que produzem as moléculas utilizadas no interior do domínio. No item 4.3,

desenvolve-se a formulação de uma molécula de contorno, onde as equações de Navier são

introduzidas na discretização dos operadores e estas discretizações, por sua vez, são

empregadas para obtenção da forma discreta das equações de contorno.

4.2 – MOLÉCULAS PARA O INTERIOR DO DOMÍNIO

Como visto no item 3.8, que trata das equações diferenciais do equilíbrio para pontos no

interior do domínio de um problema sob o estado plano de deformações, as equações de

Navier apresentadas na Eqs. 3.21, e reproduzidas a seguir, devem ser simultaneamente

satisfeitas.

( )

( ) 0YE

12yv

xu

y211v

yx

0XE

12yv

xu

x211u

yx

2

2

2

2

2

2

2

2

=++

∂∂+

∂∂

∂∂

−+

∂∂+

∂∂

=++

∂∂+

∂∂

∂∂

−+

∂∂+

∂∂

νν

νν

Estas equações são válidas apenas para o estado plano de deformações, mas podem ser

transformadas para o estado plano de tensões substituindo-se as constantes elásticas E e ν por

E’ e ν’, dadas pelas Eqs. 3.22 e apresentadas novamente a seguir:

( )ν

ννν+

=−=1

'eE1'E 2

38

4.2.1 – Discretização dos operadores diferenciais

No caso de elasticidade, as moléculas empregadas precisam ser mais sofisticadas que as

usadas para o problema de potencial. As moléculas de seis pontos apresentadas no item 2.3,

propostas por Jensen (1972), quando empregadas em domínios com discretização regular, não

oferecem boa aproximação para o operador diferencial misto de segunda ordem ( )yx2

∂∂∂ , pois os

pesos dados aos pontos satélites, para aproximar este operador, produzem uma molécula

desbalanceada. Uma solução para este caso é o emprego da molécula ponderada de m pontos

(m>5), proposta por Liszka e Orkisz (1980), de maneira que a aproximação do operador misto

seja feita por meio de uma molécula mais balanceada.

Desde que o valor de uma função f(x,y) e o de todas as suas derivadas existentes sejam

conhecidos em um determinado ponto 0, os valores da mesma função podem ser calculados

em m pontos na vizinhança deste ponto 0 via série de Taylor da seguinte forma:

( ) ( )( ) ( ) 32

02

2

0

22

02

2

000i Ry

yf

21yx

yxfx

xf

21y

yfx

xfff +∆

∂∂+∆∆

∂∂

∂+∆

∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+=

Onde: if - valor da função no ponto i, ou seja, ( )ii y,xf ;

0f - valor da função no ponto 0, ou seja, ( )00 y,xf ;

0i xxx −=∆ ;

0i yyy −=∆ ; e

3R - resto resultante do truncamento da série nos termos de 2a ordem.

Supondo que os pontos onde se deseja calcular os valores da função estejam suficientemente

próximos do ponto 0, de tal forma que os termos R3 possam ser desprezados, os valores da

função nos m pontos (m>5) podem ser obtidos via série de Taylor na seguinte forma

matricial:

39

0yy

xy

xx

y

x

2mmm

2mmm

2555

2555

2444

2444

2333

2333

2222

2222

2111

2111

m

5

4

3

2

1

fffff

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

f

fffff

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

≈

∆

∆∆∆∆∆

!!!!!!

(4.1)

Onde: )y,x(f)y,x(ff 00iii −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4,…, m;

0ii xxx −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4,…, m; e

0ii yyy −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4,…, m.

A mesma Eq. 4.1, rescrita em notação matricial, fica:

1x55mx1mx fΔΔfi ∂⋅≈ (4.2)

O sistema algébrico da Eq. 4.2 não possui solução única, uma vez que o número de equações

é maior que o número de incógnitas. Seguindo o procedimento adotado por Pulino (1989) e

proposto por Liszka e Orkisz (1980), é possível empregar a técnica dos mínimos quadrados

para obter uma solução com minimização do erro dado por:

1m155m1m ×××× −∂⋅= iΔffΔe (4.3)

Então, fazendo:

01mT

m1T015

=∂∂

∂××

×

eef

0m11m155m

Tm11m155mT

015

=−∂⋅−∂⋅∂∂

∂××××××××

×ii ΔffΔΔffΔ

f

01m1m155mT

m5 =−∂⋅ ××××× iΔffΔΔ

01mT

m5155mT

m5 =−∂⋅ ××××× iΔfΔfΔΔ

40

Chega-se a:

( ) 1mT

m51

5mT

m515 ××−

××× =∂ iΔfΔΔΔf (4.4)

Percebe-se que a técnica dos mínimos quadrados leva a um dos casos mais simples de inversa

generalizada que é a inversa esquerda. Como já foi dito, este sistema não possui solução única

e, ainda segundo Pulino (1989), não apresenta bons resultados quando aplicado a problemas

de potencial. A qualidade dos resultados pode ser melhorada aplicando uma técnica de

ponderação, isto é, introduzindo-se uma função de ponderação que dê maior peso aos pontos

localizados mais próximos ao ponto de origem. Sendo hi a distância de cada ponto satélite ao

ponto de origem da molécula, a função de ponderação empregada será o inverso do cubo

desta distância hi. Essa ponderação é feita com a introdução da matriz [E] da seguinte forma:

( ) 1mimmT

m51

5mmmT

m515 ×××−

×××× ⋅⋅⋅≈∂ ΔfEΔΔEΔf (4.5)

Onde:

≠=

=ji se 0ji se /1 3

ihE , com i = 1, 2, 3, 4,…, m.

A discretização dos operadores diferenciais é obtida da Eq. 4.5. Para melhor visualização, a

mesma equação será rescrita a seguir em forma expandida. O resultado da operação

( ) mmT

m51

5mmmT

m5 ××−

××× ⋅⋅⋅ EΔΔEΔ é uma matriz (5 x m) e, denotando os termos de tal matriz por

aij, a Eq. 4.5 pode ser colocada da seguinte forma:

∆

∆∆∆∆∆

≈

m

5

4

3

2

1

m55554535251

m44544434241

m33534333231

m22524232221

m11514131211

0yy

xy

xx

y

x

f

fffff

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

fffff

!"""""

(4.6)

Da Eq. 4.6, as formas discretas dos operadores diferenciais são obtidas diretamente:

41

( )

( )

( )

( )

( )0i

m

1ii5i

m

1ii52

2

0i

m

1ii4i

m

1ii4

2

0i

m

1ii3i

m

1ii32

2

0i

m

1ii2i

m

1ii2

0i

m

1ii1i

m

1ii1

ffafay

f

ffafayxf

ffafax

f

ffafayf

ffafaxf

−=∆≈∂∂

−=∆≈∂∂

∂

−=∆≈∂∂

−=∆≈∂∂

−=∆≈∂∂

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

==

==

(4.7)

4.2.2 – Discretização das equações de campo

Trabalhando a primeira equação de Navier, apresentada nas Eqs. 3.21, tem-se:

( ) 0XE

12yv

xu

x211u

yx 2

2

2

2

=++

∂∂+

∂∂

∂∂

−+

∂∂+

∂∂ ν

ν

( ) 0XE

12yxv

211

xu

211

yu

xu 2

2

2

2

2

2

2

=++∂∂

∂−

+∂∂

−+

∂∂+

∂∂ ν

νν

( ) 0XE

12yxv

211

xu

2122

yu 2

2

2

2

2

=++∂∂

∂−

+∂∂

−−+

∂∂ ν

ννν

Multiplicando-se esta última equação membro a membro por ( )ν21− (para evitar a

possibilidade de divisão por 0 quando 5,0=ν ), vem:

( ) ( ) ( )( )XE

2112yxv

yu21

xu12

2

2

2

2

2 νννν −+−=∂∂

∂+∂∂−+

∂∂− (4.8)

Substituindo os operadores diferenciais da Eq. 4.8 pelas respectivas formas discretas dadas

nas Eqs. 4.7, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )XE

2112vvauua21uua12n

1i0ii4

n

1i0ii5

n

1i0ii3

νννν −+−=−+−−+−− ∑∑∑===

42

Arranjando a equação anterior para isolar os termos do ponto central dos pontos satélites, tem-

se a forma discreta da 1a equação de Navier pronta para sua inserção no sistema global:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )XE

2112vaua21a12vaua21a12 i

n

1ii4

n

1iii5i30

n

1ii40

n

1ii5

n

1ii3

νννννν −+−=+−+−+

−

−+−− ∑∑∑∑∑

=====

(4.9)

O esquema da molécula produzida pela Eq. 4.9 é apresentado a seguir na Fig. 4.1:

( ) ( ) 01

401

51

3 2112 vauaan

ii

n

ii

n

ii

−

−+−− ∑∑∑

===

νν

( ) ( )[ ] [ ] 14115131 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 24225232 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 34335333 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 44445434 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] nnnnn vauaa 453 2112 +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 54555535 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( ) 01

401

51

3 2112 vauaan

ii

n

ii

n

ii

−

−+−− ∑∑∑

===

νν

( ) ( )[ ] [ ] 14115131 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 24225232 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 34335333 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 44445434 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] nnnnn vauaa 453 2112 +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 54555535 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( ) 01

401

51

3 2112 vauaan

ii

n

ii

n

ii

−

−+−− ∑∑∑

===

νν

( ) ( )[ ] [ ] 14115131 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 24225232 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 34335333 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 44445434 2112 vauaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] nnnnn vauaa 453 2112 +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 54555535 2112 vauaa +−+− νν

Figura 4.1: Forma gráfica da primeira equação de Navier para: ( )( ) XE

νν 2112 −+−

Trabalhando a segunda equação de Navier, Eqs. 3.21, de forma semelhante à primeira, chega-

se a sua forma discreta apresentada na Eq. 4.10 a seguir e, na Fig. 4.2, tem-se o esquema da

respectiva molécula:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )YE

2112uava12a21uava12a21 i

n

1ii4

n

1iii5i30

n

1ii40

n

1ii5

n

1ii3

νννννν −+−=+−+−+

−

−+−− ∑∑∑∑∑

=====

(4.10)

43

( ) ( ) 01

401

51

3 1221 uavaan

ii

n

ii

n

ii

−

−+−− ∑∑∑

===

νν

( ) ( )[ ] [ ] 14115131 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 24225232 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 34335333 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 44445434 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] nnnnn uavaa 453 1221 +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 54555535 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( ) 01

401

51

3 1221 uavaan

ii

n

ii

n

ii

−

−+−− ∑∑∑

===

νν

( ) ( )[ ] [ ] 14115131 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 24225232 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 34335333 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 44445434 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] nnnnn uavaa 453 1221 +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 54555535 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( ) 01

401

51

3 1221 uavaan

ii

n

ii

n

ii

−

−+−− ∑∑∑

===

νν

( ) ( )[ ] [ ] 14115131 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 24225232 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 34335333 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 44445434 1221 uavaa +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] nnnnn uavaa 453 1221 +−+− νν

( ) ( )[ ] [ ] 54555535 1221 uavaa +−+− νν

Figura 4.2: Forma gráfica da segunda equação de Navier para: ( )( )YE

νν 2112 −+−

As moléculas anteriores são válidas apenas para o estado plano de deformações, mas podem

ser transformadas para o estado plano de tensões substituindo as constantes elásticas E e ν

por E’ e ν’ dadas pelas Eqs. 3.22.

4.3 - MOLÉCULAS PARA O CONTORNO

No contorno, tanto as equações de campo (Navier), apresentadas nas Eqs. 3.21, quanto as

equações de contorno, Eqs. 3.26, devem ser satisfeitas. Assim, primeiro será criada uma

discretização de operadores que inclua as equações de campo, em seguida, as equações de

contorno serão discretizadas usando estes operadores discretos.

As equações de contorno são:

( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

∂∂−

∂∂

+⋅⋅+

∂∂+

∂∂

+−=

∂∂+

∂∂

+⋅⋅+

∂∂

−+

∂∂

−+−+

∂∂

−+

∂∂

−+−=

xu

yv

1Eml

xv

yu

12mlE

xv

yu

1Eml

xu

11

yv

211E1m

yv

11

xu

211E1l

22

t

22

n

νντ

ννννν

ννννσ

E as equações de campo, que são as mesmas equações de Navier para o estado plano de

deformações, são:

44

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )Y

E2112

yxu

yv12

xv21

XE

2112yxv

yu21

xu12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

νννν

νννν

−+−=∂∂

∂+∂∂−+

∂∂−

−+−=∂∂

∂+∂∂−+

∂∂−

(4.11)

Para se obter as equações equivalentes para o estado plano de tensões, basta substituir as

constates elásticas E e ν por E’ e ν’ dadas nas Eqs. 3.22.

4.3.1 – Discretização dos operadores diferenciais

A série de Taylor sobre um ponto 0 pode ser empregada para aproximar os valores das

funções de deslocamento u(x,y) e v(x,y) em pontos na vizinhança deste ponto 0. Supondo que

os pontos onde se deseja aproximar as funções estejam suficientemente próximos de maneira

que os termos de terceira ordem em diante da série de Taylor possam ser desprezados, esta

série pode ser colocada na forma matricial da Eq. 4.12.

Usando a série de Taylor da 1a a 4a linhas para aproximar u(x,y), da 6a a 9a linhas para

aproximar v(x,y) e reservando a 5a e 10a linhas para escrever as equações de campo na forma

apresentada nas Eqs. 4.11, tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

−−∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆

−−∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆

≈

⋅∆∆∆∆

⋅∆∆∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

yy

xy

xx

y

x

yy

xy

xx

y

x

2y

442x

44

2y

332x

33

2y

222x

22

2y

112x

11

2y

442x

44

2y

332x

33

2y

222x

22

2y

112x

11

4

3

2

1

4

3

2

1

vvvvvuuuuu

120210001000yxyx00000yxyx00000yxyx00000yxyx00000

01000210120000000yxyx00000yxyx00000yxyx00000yxyx

YCvvvvXC

uuuu

24

24

23

23

22

22

21

21

24

24

23

23

22

22

21

21

νν

νν

(4.12)

45

Onde: X e Y são as componentes da força de corpo na direção dos eixos x e y,

respectivamente;

E e ν são o módulo de elasticidade e o coeficiente do Poisson, respectivamente;

0ii uuu −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4;

0ii vvv −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4; e

( )( )E

2112 C νν −+−=

Se a matriz das diferenças de coordenadas e coeficientes das equações de Navier da Eq. 4.12

puder ser invertida e, se os termos desta inversa forem chamados aij, as formas discretas dos

operadores diferenciais contendo as equações de campo podem ser diretamente obtidas de:

∆∆∆∆

∆∆∆∆

≈

CYvvvv

CXuuuu

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

vvvvvuuuuu

4

3

2

1

4

3

2

1

10,109,108,107,106,105,104,103,102,101,10

10,9999897969594939291

10,8898887868584838281

10,7797877767574737271

10,6696867666564636261

10,5595857565554535251

10,4494847464544434241

10,3393837363534333231

10,2292827262524232221

10,1191817161514131211

yy

xy

xx

y

x

yy

xy

xx

y

x

(4.13)

A seguir, nas Eqs. 4.14, tem-se a forma discreta dos operadores diferenciais com as equações

de campo (Navier) nelas inseridas:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) CYavaCXauav

CYavaCXauav

CYavaCXauau

CYavaCXauau

CYavaCXauau

10,10

4

1ii5i,105,10

4

1iii,10yy

10,6

4

1ii5i665

4

1iii6x

10,5

4

1ii5i555

4

1iii5yy

10,2

4

1ii5i225

4

1iii2y

10,1

4

1ii5i115

4

1iii1x

⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈

⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈

⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈

⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈

⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

=+

=

=+

=

=+

=

=+

=

=+

=

!

! (4.14)

46

4.3.2 – Discretização das equações de contorno

Para obtenção das moléculas de contorno onde os deslocamentos são prescritos (apoio do 2o

gênero) ou para o contorno livre (com ou sem carregamento aplicado), basta usar a forma

discreta dos operadores diferenciais dadas nas Eqs. 4.14 para discretizar as equações de

contorno dadas nas Eqs. 3.26. Assim, aplicando a forma discreta dos operadores em:

( )( )( )

( )( )( ) ( )

∂∂+

∂∂

+⋅⋅+

∂∂

−+

∂∂

−+−+

∂∂

−+

∂∂

−+−=

xv

yuEml

xu

yvEm

yv

xuEl

n ννννν

ννννσ

111

2111

11

2111 22

,

a seguinte equação discretizada é obtida:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑=

++++=

+++++++++++4

1ii5i645i73215i245i1321

4

1iii64i7321i24i1321 vacacccacacccuacacccacaccc

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n0

9

6i

9

6ii64

9

6ii7321i24

9

6ii13210

4

1i

4

1ii64

4

1ii7321i24

4

1ii1321 21vacacccacacccuacacccacaccc σν−−

+++++−

+++++− ∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑

= ==== ===

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ]610471032121041103216547532125415321 acacccacacccYE

2112acacccacacccXE

2112 +++++−+++++++−+= νννν

(4.15)

Onde: E e ν são o módulo de elasticidade e o coeficiente do Poisson, respectivamente;

l e m são os co-senos diretores da normal ao contorno; e

( )( )ν

ν+−=

1E1lc

2

1

( )νν−

=1

c2 ( )

( )νν

+−=

1E1mc

2

3 ( )

( )νν

+−=

1E21lmc4

.

A Eq. 4.15 é a forma discreta da primeira equação de contorno usando uma discretização que

já inclui as duas equações de campo. Assim, para pontos no contorno, a Eq. 4.15

corresponderá a uma equação no sistema linear de equações algébricas gerado pela

discretização do problema. O esquema da molécula produzida por esta equação é apresentado

na Fig. 4.3 a seguir:

47

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 16647632126416321

16147132121411321

vacacccacacccuacacccacaccc

++++++++++

( ) ( )

( ) ( )

( ) n

0

9

6i

9

6ii64

9

6ii7321i24

9

6ii1321

0

4

1i

4

1ii64

4

1ii7321i24

4

1ii1321

21

vacacccacaccc

uacacccacaccc

σν−−

+++++−

+++++−

∑ ∑∑∑

∑ ∑∑∑

= ===

= ===

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 46947932129419321

46447432124414321


++++++++++ ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] 36847832128418321

36347332123413321


++++++++++

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 26747732127417321

26247232122412321


++++++++++

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 16647632126416321

16147132121411321


++++++++++

( ) ( )

( ) ( )

( ) n

0

9

6i

9

6ii64

9

6ii7321i24

9

6ii1321

0

4

1i

4

1ii64

4

1ii7321i24

4

1ii1321

21

vacacccacaccc

uacacccacaccc

σν−−

+++++−

+++++−

∑ ∑∑∑

∑ ∑∑∑

= ===

= ===

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 46947932129419321

46447432124414321


++++++++++ ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] 36847832128418321

36347332123413321


++++++++++

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 26747732127417321

26247232122412321


++++++++++

Figura 4.3: Molécula da 1a eq. de contorno para: ( )( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )[ ]61047103212104110321

6547532125415321

2112

2112

acacccacacccYE

acacccacacccXE

+++++−+

+

+++++−+

νν

νν

Da mesma forma que para a primeira equação de contorno, para se obter a forma discreta da

segunda equação de contorno, basta substituir seus operadores diferenciais por suas

respectivas formas discretas dadas pelas Eqs. 4.14. A segunda equação de contorno é:

( )( ) ( )

∂∂−

∂∂

+⋅⋅+

∂∂+

∂∂

+−=

xu

yv

1Eml

xv

yu

12mlE 22

t νντ

Substituindo seus operadores diferenciais pelas respectivas formas discretas, obtém-se:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∑∑=

+++++=

+−+++−+4

1i5i5i265i155i755i66

4

1iii26i15i75i66 vacacacacuacacacac

t0

9

6ii26

9

6ii15

9

6ii75

9

6ii660

4

1ii26

4

1ii15

4

1ii75

4

1ii66 vacacacacuacacacac τ−

+−+−

+−+− ∑∑∑∑∑∑∑∑

========

( )( ) [ ] ( )( ) [ ]2106110571056106256155755656 acacacacYE

2112acacacacXE

2112 +−+−+++−+−+= νννν

(4.16)

Onde: E e ν são o módulo de elasticidade e o coeficiente do Poisson, respectivamente;

l e m são os co-senos diretores da normal ao contorno; e

( )ν+

=1Elmc5

( )( )ν−

−=1

mlEc22

6.

48

O esquema da molécula produzida pela Eq. 4.16, correspondente à segunda equação de

contorno, é apresentado na Fig. 4.4 a seguir:

[ ][ ] 1266165765666

1216115715616

vacacacacuacacacac

+−++−+

t

0

9

6ii26

9

6ii15

9

6ii75

9

6ii66

0

4

1ii26

4

1ii15

4

1ii75

4

1ii66

vacacacac

uacacacac

τ−

+−+−

+−+−

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

[ ][ ] 4296195795696

4246145745646

vacacacacuacacacac

+−++−+

[ ][ ] 3286185785686

3236135735636

vacacacacuacacacac

+−++−+

[ ][ ] 2276175775676

2226125725626

vacacacacuacacacac

+−++−+

[ ][ ] 1266165765666

1216115715616

vacacacacuacacacac

+−++−+

t

0

9

6ii26

9

6ii15

9

6ii75

9

6ii66

0

4

1ii26

4

1ii15

4

1ii75

4

1ii66

vacacacac

uacacacac

τ−

+−+−

+−+−

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

[ ][ ] 4296195795696

4246145745646

vacacacacuacacacac

+−++−+

[ ][ ] 3286185785686

3236135735636

vacacacacuacacacac

+−++−+

[ ][ ] 2276175775676

2226125725626

vacacacacuacacacac

+−++−+

[ ][ ] 1266165765666

1216115715616

vacacacacuacacacac

+−++−+

t

0

9

6ii26

9

6ii15

9

6ii75

9

6ii66

0

4

1ii26

4

1ii15

4

1ii75

4

1ii66

vacacacac

uacacacac

τ−

+−+−

+−+−

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

[ ][ ] 4296195795696

4246145745646

vacacacacuacacacac

+−++−+

[ ][ ] 3286185785686

3236135735636

vacacacacuacacacac

+−++−+

[ ][ ] 2276175775676

2226125725626

vacacacacuacacacac

+−++−+

Figura 4.4: Molécula da 2a eq. de contorno para: ( )( ) [ ]

( )( ) [ ]2106110571056106

256155755656

acacacacYE

2112

acacacacXE

2112

+−+−++

+−+−+

νν

νν

As duas formas discretas das equações de contorno, Eq. 4.15 e Eq. 4.16, são usadas para dois

casos de condição de contorno:

i) Superfície livre, com ou sem carregamento externo; e

ii) Apoio do 2o gênero (com deslocamentos em u e v prescritos).

É preciso ainda definir as condições que precisam ser satisfeitas para o caso de apoio do 1o

gênero, onde o deslocamento na direção normal ao contorno (un) é prescrito e livre na direção

tangencial. Assim, as condições que precisam ser satisfeitas são:

atrito) (sem 0=⋅+⋅=

t

n mvluuτ

(4.17)

Onde l e m são os co-senos diretores da normal ao contorno.

Para introduzir estas condições no sistema global, procede-se da seguinte forma:

i) mvluun ⋅+⋅= é colocada diretamente no sistema global; e

ii) atrito) (sem 0=tτ é introduzida usando a molécula da Eq. 4.16 ou Fig. 4.4.

49

CAPÍTULO 5

DISCUSSÃO SOBRE ERROS


Os métodos numéricos para solução direta de equações diferenciais envolvem a substituição

da equação contínua por uma forma discreta. No processo de discretização, os operadores

diferenciais da equação que governa o problema são substituídos por aproximações discretas,

calculadas em pontos específicos do domínio. Inevitavelmente, essa substituição do domínio

contínuo por uma forma discreta introduz erros no cômputo das derivadas e, por conseguinte,

na solução computacional do problema (Arad et al, 1998).

Em geral, deseja-se ter pelo menos uma idéia do erro na solução numérica encontrada, isto é,

ter uma idéia da diferença entre a solução exata e a solução aproximada do problema. Mas o

erro na solução (ES) é resultado da combinação de dois outros erros de diferentes origens: o

erro de truncamento (ET); e o erro de arredondamento (EA). Assim, pode-se considerar que o

erro na solução é resultado da soma dos erros de truncamento e de arredondamento conforme

apresentado na Eq. 5.1 a seguir:

Es = Solução Exata – Solução Aproximada = ET + EA (5.1)

Segundo Spotz e Carey (1996), o erro de arredondamento decorre do fato do computador ser

incapaz de realizar infinitas operações aritméticas com precisão absoluta, mas precisar

arredondar os valores em certo número de casas decimais. Esse erro se manifesta

principalmente na solução do sistema de equações lineares produzido pela discretização do

problema. Ele pode ser minimizado com o emprego de máquinas mais poderosas, unidades de

medida convenientes ou com métodos de solução de sistemas lineares que requeiram menor

quantidade de operações aritméticas.

O erro de truncamento (ET) resulta da diferença entre a equação do problema e sua forma

discreta, geralmente, decorrente do truncamento da série de Taylor (Spotz e Carey, 1996).

Segundo Arad et al (1998), este erro pode ser reduzido usando-se mais termos da série de

50

Taylor, mas isso provoca a necessidade de se empregar mais pontos na formação das

moléculas, o que dificulta a aplicação do método em regiões próximas ao contorno. Outra

possibilidade para a redução do erro de truncamento é o refinamento da discretização,

aumentando o número de pontos em que o domínio é discretizado. Mas, por outro lado, esta

medida aumenta o número de equações lineares produzidas pela discretização do problema e,

assim, aumenta o erro de arredondamento.

Então, cabe ao pesquisador procurar minimizar principalmente o erro de truncamento uma vez

que ele depende muito mais da abordagem adotada para a solução do problema que o erro de

arredondamento.

Até aqui, supôs-se que todos os pontos satélites da molécula estavam suficientemente

próximos do ponto central, de tal forma, que os termos de terceira ordem em diante da série

de Taylor poderiam ser desprezados. Agora, as deduções das moléculas serão novamente

apresentadas, mas desta vez o resto resultante do truncamento da série será considerado. E

justamente a grandeza do termo do resto permitirá a avaliação do erro cometido.

A questão do erro será discutida considerando duas situações distintas. O primeiro caso

permite uma verdadeira avaliação do erro e fornece limite inferior e superior para as

aproximações. Trata-se do caso em que os valores exatos da função são conhecidos em todos

os pontos onde o domínio foi discretizado. Essa situação se verifica em casos em que a

resposta procurada não é propriamente a função, mas relações envolvendo suas derivadas. Um

exemplo seria o caso em que se deseja investigar a torção livre de hastes através da analogia

com uma membrana, onde uma membrana é fixada em uma fôrma vazada com a mesma

forma da seção transversal da haste, uma pressão interna é aplicada e os deslocamentos

provocados na membrana são medidos. Os deslocamentos não possuem significado físico

relevante, mas a derivada da superfície produzida pela membrana deformada permite a

avaliação da distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal da haste. O segundo

caso é mais freqüente, mas não se trata de uma estimativa propriamente dita para o erro

cometido. Nele, faz-se apenas uma indicação da região do domínio onde a função erro

provavelmente assume seus valores mais significativos. Esse caso acontece, por exemplo, em

problemas de valor de contorno (PVC), onde o valor da função só é conhecido em pontos do

contorno do tipo Dirichlet e os operadores discretos são usados para aproximar a função nos

demais pontos.

51

Inicialmente será discutida a influência do resto resultante do truncamento da série para as

moléculas usadas no Capítulo 2, que trata de um problema de potencial e, em seguida, para as

moléculas usadas no Capítulo 4, que trata do caso da elasticidade bidimensional.

5.2 – ERRO PARA A MOLÉCULA DE DOMÍNIO DE 6 PONTOS

Empregando-se a série de Taylor sobre o ponto 0, em forma matricial, para aproximar uma

função f(x,y) nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5, tem-se:

Onde: )y,x(f)y,x(ff 00iii −=∆ ;

0ii xxx −=∆ ;

0ii yyy −=∆ ; e

3

i R é o resto resultante do truncamento da série de Taylor no termo de segunda

ordem para aproximar o valor da função no ponto i.

A expressão anterior, em forma sintética, fica:

3RfΔΔf +∂⋅=

Para obter a forma discreta dos operadores diferenciais que considera o termo resultante do

truncamento da série, basta fazer:

( )31 RΔfΔf −⋅=∂ − (5.1)

+

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

=

∆∆∆∆∆

35

34

33

32

31

0yy

xy

xx

y

x

2555

2555

2444

2444

2333

2333

2222

2222

2111

2111

5

4

3

2

1

RRRRR

fffff

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

fffff

52

Os termos do vetor contendo os restos resultantes do truncamento (R3) podem ser

aproximados pela soma dos termos de terceira e quarta ordem da série de Taylor, como

apresentado na Eq. 5.2 a seguir:

4i

00yyyy3ii

00xyyy2i

2i

00xxyy

i3

i00xxxy4

i00xxxx3

i00yyy

2ii

00xyyi

2i

00xxy3i

00xxx3

i

y24

)y,x(fyx

6)y,x(f

yx4

)y,x(f

yx6

)y,x(fx

24)y,x(f

y6

)y,x(f

yx3

)y,x(fyx

3)y,x(f

x6

)y,x(fR

∆⋅+∆⋅∆⋅+∆⋅∆⋅

+∆⋅∆⋅+∆⋅+∆⋅

+∆⋅∆⋅+∆⋅∆⋅+∆⋅=

(5.2)

Neste caso, as derivadas de terceira e quarta ordem da função são obtidas da seguinte forma:

1. As aproximações para as derivadas de primeira e segunda ordem da função são obtidas da

maneira já apresentada nos Capítulos 2 e 4 desta dissertação, ou seja, calculando-se a

matriz de diferenças (∆∆∆∆), invertendo-a e multiplicando-a pelo vetor das diferenças de

função (∆∆∆∆fi);

2. Conhecidas aproximações para os operadores diferenciais até a segunda ordem em todos

os pontos onde o domínio foi discretizado, aproximações para os operadores fxxx, fxxy,

fxxxx, fxxxy e fxxyy podem ser obtidas multiplicando-se a inversa de ∆∆∆∆ pelo vetor ∆∆∆∆fxx, cujos

termos são dados pela diferença entre fxx nos pontos satélites e fxx no ponto central, ou

seja, 0xxixx ff − ; e

3. Aproximações para fyyx, fyyy, fyyxx, fyyyx e fyyyy são obtidas de forma semelhante ao caso

anterior, sendo que a inversa de ∆∆∆∆ é multiplicada pelo vetor ∆∆∆∆fyy, cujos termos são dados

pela diferença entre fyy nos pontos satélites e no ponto central, ou seja, fyy i – fyy o;

Considerando o primeiro caso em que o valor da função já é conhecido em todos os pontos

onde o domínio foi discretizado, a fórmula do resto de Lagrange (ver Apêndice A) pode ser

usada para limitar o termo R3 e, assim, limitar o erro na discretização dos operadores

diferenciais, ou seja, seria então possível conhecer o limite inferior e superior para o erro

cometido em cada discretização dos operadores diferenciais e, assim, estimar o erro cometido.

A fórmula do resto de Lagrange será empregada com base na Eq. 5.2, mas desprezando os

53

termos de quarta ordem. Então, criando um vetor com a fórmula do resto de Lagrange

avaliada sobre o ponto de origem (R3orig) para cada expansão de Taylor e outro vetor com o

resto avaliado nos pontos satélites (R3sat), o valor exato do operador deve ficar entre os

valores ( )3orig1 RΔfΔ −⋅− e ( )3sat

1 RΔfΔ −⋅− . Cabe lembrar que a limitação é garantida

apenas se a distância entre a origem e cada ponto satélite for pequena o suficiente, de maneira

que os valores extremos da fórmula do resto de Lagrange, avaliada no intervalo entre a

origem e o ponto satélite, encontrem-se nos extremos deste intervalo.

Considerando situações mais freqüentes, onde o método dos operadores é usado para

aproximar o valor da função em pontos do domínio fora do contorno Dirichlet, uma indicação

da localização das regiões do domínio mais suscetíveis a erro pode ser obtida a partir da

avaliação do vetor dos restos computado sobre o ponto de origem conforme a Eq. 5.2. Quanto

melhor a aproximação, mais próximos de zero são os termos do vetor dos restos e menor é sua

influência sobre as forma discreta dos operadores. Cabe notar que, para moléculas de 6

pontos, uma melhora na aproximação dos operadores diferenciais pode ser obtida através da

Eq. 5.1.

5.3 – ERRO PARA A MOLÉCULA DE CONTORNO DE 5 PONTOS (POTENCIAL)

Este caso é semelhante ao anterior, mas a forma discreta dos operadores que considera o

termo dos restos resultantes do truncamento da série é obtida conforme se segue.

Escrevendo-se a série de Taylor sobre o ponto 0 para aproximar o valor da função f(x,y) em

quatro pontos de sua vizinhança e reservando a quinta linha para a equação de contorno, em

forma matricial, tem-se:

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

+

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

∆∆⋅∆∆∆∆

=

∆∆∆∆

∂∂ 0

RRRR

fffff

000sincosy2

1yxx21yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

ffff

34

33

32

31

0yy

xy

xx

y

x

2444

2444

2333

2333

2222

2222

2111

2111

0nf

4

3

2

1

θθ

A expressão anterior, em notação matricial, fica:

54

3RfΔΔf +∂⋅= (5.3)

Para se obter a forma discreta dos operadores diferenciais considerando o termo restante do

truncamento da série, basta fazer:

( )31 RΔfΔf −⋅=∂ − (5.4)

Os termos não nulos do vetor dos restos resultante do truncamento da série são estimados

através da Eq. 5.2 e, com isso, a Eq. 5.4 passa a ser uma aproximação. Quanto ao erro

cometido, as mesmas observações apresentadas no item 5.2 são válidas para este caso, exceto

que aqui, não faz sentido limitar a aproximação através da fórmula do resto de Lagrange, pois

como esta molécula foi criada para tratar de problemas de valor de contorno, não se conhece

de antemão o valor da função em todos os pontos onde o domínio foi discretizado e, assim,

não se pode limitar o erro a partir de dados obtidos por aproximação numérica. Por fim, vale

lembrar que, para moléculas de contorno de 5 pontos para problemas de potencial,

aproximações melhores são obtidas através da Eq. 5.4.

5.4 – ERRO PARA A MOLÉCULA PONDERADA DE DOMÍNIO DE m PONTOS

Utilizando-se a série de Taylor com origem no ponto 0 para aproximar o valor da função

f(x,y) em m pontos em sua vizinhança, tem-se:

+

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

=

∆

∆∆∆∆∆

3m

35

34

33

32

31

0yy

xy

xx

y

x

2mmm

2mmm

2555

2555

2444

2444

2333

2333

2222

2222

2111

2111

m

5

4

3

2

1

R

RRRRR

fffff

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

y21yxx2

1yx

f

fffff

!!!!!!!

A equação anterior, em de notação sintética, se torna:

55

1m155m1m ×××× +∂⋅= 3RfΔΔf

Passando o termo do resto para o primeiro membro, tem-se:

155m1m ××× ∂⋅=− fΔRΔf 3

Da mesma forma que no item 4.2.1, o sistema anterior possui mais equações que incógnitas

(m>5), e, portanto, não possui solução única. Então, pode-se aplicar a técnica dos mínimos

quadrados para minimizar o erro dado por:

1m155m1m ×××× −−∂⋅= 3RΔffΔe (5.5)

Assim, fazendo: 01mT

m1T015

=∂∂

∂××

×

eef

0m11m155m

Tm11m155mT

015

=−−∂⋅−−∂⋅∂∂

∂××××××××

×33 RΔffΔRΔffΔ

f

01m1m155mT

m5 =−−∂⋅ ××××× 3RΔffΔΔ

01mT

m5155mT

m5 =−−∂⋅ ××××× 3RΔfΔfΔΔ

Para a molécula de m pontos, uma forma discreta para os operadores diferenciais que

considera o resto resultante do truncamento da série é obtida de:

( ) 1mT

m51

5mT

m515 ××−

××× −=∂ 3RΔfΔΔΔf (5.6)

Novamente, a técnica dos mínimos quadrados levou a um dos casos mais simples de inversas

generalizadas que é a inversa esquerda. Como já foi dito que este sistema não possui solução

única, então, uma melhora na precisão dos operadores discretos pode ser obtida aplicando-se

uma técnica de ponderação, isto é, dando maior peso aos pontos localizados mais próximos ao

ponto de origem. O fator de ponderação aplicado será novamente o inverso do cubo da

distância entre cada ponto satélite e o ponto de origem. A ponderação é feita com a introdução

da matriz [E] da seguinte forma:

56

( ) 1mmmT

m51

5mmmT

m515 ×××−

×××× −⋅⋅⋅≈∂ 3RΔfEΔΔEΔf (5.7)

Onde:

≠=

=ji se 0ji se h/1 3

iE , com i = 1, 2, 3, 4,…, m;

O vetor contendo os termos do resto resultante do truncamento da série de Taylor (R3)

novamente são aproximados através da Eq. 5.2, segundo procedimentos sugeridos no item 5.2

e, por isso, a Eq. 5.7 é uma aproximação numérica.

No caso em que a função é conhecida em todos os pontos onde o domínio foi discretizado, o

erro pode ser estimado através da fórmula do resto de Lagrange. Se a função for suave o

suficiente na região que contém os pontos da molécula, de maneira que o resto resultante do

truncamento possa ser limitado, através da fórmula do resto de Lagrange, com o cômputo do

vetor dos restos sobre o ponto central (R3orig) e pontos satélites (R3sat), o valor analítico das

derivadas da função no ponto de origem da molécula fica limitado entre os valores de:

( ) 1nnn

Tn5

15nnn

Tn5 ×××

−××× −⋅⋅⋅ 3origRΔfEΔΔEΔ e ( ) 1nnn

Tn5

15nnn

Tn5 ×××

−××× −⋅⋅⋅ 3satRΔfEΔΔEΔ .

Na situação mais geral, onde o método dos operadores é empregado para se obter

aproximações da função, uma indicação das regiões do domínio onde a função erro assume

seus valores mais significativos pode ser obtida da mesma forma apresentada no item 5.2, ou

seja, através da avaliação do vetor resto calculado sobre o ponto de origem (R3orig). Quanto

menores forem termos do vetor resto, menor será a influência deste vetor na discretização dos

operadores e menor será o erro de truncamento, ou seja, a equação discreta se aproxima mais

da equação governante. Cabe lembrar ainda, que para moléculas de m pontos, uma melhora na

aproximação dos operadores diferenciais pode ser obtida através da Eq. 5.7.

57

5.5 - ERRO PARA A MOLÉCULA DE CONTORNO DE 5 PONTOS

(ELASTICIDADE)

Para problemas de elasticidade bidimensional, a discretização dos operadores diferenciais

usada para criação da molécula de contorno é obtida a partir de:

( ) ( )

( ) ( )

+

−−∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆

−−∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆

=

⋅∆∆∆∆⋅

∆∆∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

0RRRR0RRRR

vvvvvuuuuu

120210001000yxyx00000yxyx00000yxyx00000yxyx00000

01000210120000000yxyx00000yxyx00000yxyx00000yxyx

YCvvvvXC

uuuu

34v

33v

32v

31v

34u

33u

32u

31u

yy

xy

xx

y

x

yy

xy

xx

y

x

2y

442x

44

2y

332x

33

2y

222x

22

2y

112x

11

2y

442x

44

2y

332x

33

2y

222x

22

2y

112x

11

4

3

2

1

4

3

2

1

24

24

23

23

22

22

21

21

24

24

23

23

22

22

21

21

νν

νν

Onde: X e Y são as componentes da força de corpo na direção dos eixos x e y,

respectivamente;

E e ν são o módulo de elasticidade e o coeficiente do Poisson, respectivamente;

0ii uuu −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4;

0ii vvv −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4; e

( )( )E

2112 C νν −+−=

Na equação anterior, a série de Taylor é usada para aproximar o valor dos deslocamentos em

u e v em quatros pontos na vizinhança de um ponto 0, além disso, inclui as equações de

Navier na 5a e 10a linhas. Os termos uiR3 e viR3 representam o resto resultante do truncamento

da série de Taylor para as aproximações dos deslocamentos em u e v, respectivamente. Os

termos não nulos do vetor dos restos (R3) são aproximados pela Eq. 5.2.

Em notação matricial, a equação anterior fica:

3RuvΔΔuv +∂⋅= (5.8)

58

Da mesma maneira que nos itens anteriores, a forma discreta dos operadores diferenciais que

considera os termos resultantes do truncamento da série, é obtida de:

( )3RΔuvΔuv −⋅=∂ −1 (5.9)

Quanto à análise de erro, como esta molécula foi criada especificamente para o caso do

problema da elasticidade bidimensional, que é um problema de valor de contorno, não cabe

procurar limitar o erro usando a fórmula do resto de Lagrange como no item anterior. Mas é

possível a localização de regiões do domínio onde a função erro provavelmente assume seus

valores mais significativos, isso é feito a partir da avaliação do vetor dos restos computado

sobre o ponto de origem. Quanto melhor a aproximação, mais próximos de zero são os termos

do vetor R3 e menor é sua influência sobre a forma discreta dos operadores. Cabe lembrar

que, para a molécula de 5 pontos usada no contorno de problemas de elasticidade, uma

melhora na aproximação dos operadores diferenciais pode ser obtida através da Eq. 5.9.

59

CAPÍTULO 6

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO À ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL


Este capítulo começa com uma breve explicação sobre o funcionamento do programa

Elast_2D, que foi desenvolvido para solução de problemas de elasticidade bidimensional via

operadores discretos. Ele foi implementado em linguagem C++ e seu funcionamento é

comentado no Apêndice D.

Em seguida, com o exclusivo objetivo de validar o Método dos Operadores Discretos, quatro

exemplos acadêmicos clássicos são apresentados. Dois deles estão submetidos ao estado

plano de tensões e os outros dois, ao estado plano de deformações. Em todos eles, com

finalidade didática, as forças de corpo foram desconsideradas. Em cada exemplo, a solução

obtida pelo MOD é comparada à solução analítica, quando esta é conhecida, e à solução

obtida por elementos finitos através do programa SAP 2000. Neste capítulo, os resultados são

comparados exclusivamente através de gráficos, mas as tabelas utilizadas para produzi-los

podem ser encontradas no Apêndice C.

Os arquivos de entrada e saída, bem como o código fonte do programa Elast_2D, seguem no

CD que acompanha este trabalho.

6.2 – FUNCIONAMENTO DO PROGRAMA ELAST_2D

O programa Elast_2D foi empregado para a solução via operadores discretos de todos os

exemplos abordados neste Capítulo. Seu funcionamento geral pode ser descrito nos seguintes

passos:

i. Inicialmente, o programa recebe, do arquivo de entrada de dados, parâmetros gerais como

o tipo de análise a ser efetuada (estado plano de tensões ou deformações), número de

pontos empregados na discretização do domínio, propriedades do material e componentes

das forças de corpo;

60

ii. Em seguida, o programa armazena na memória, as propriedades de todos os pontos como

localização, tipo (contorno ou domínio) e, caso o ponto seja de contorno, armazena

também os valores de carregamentos, deslocamentos e ângulo da normal;

iii. Então, começa a montagem do sistema global. Para cada ponto, o programa recebe do

arquivo de entrada, o número de pontos satélites da molécula e sua “conectividade”, ou

seja, os próprios pontos satélites. Então, monta a molécula adequada, de contorno ou de

domínio, e coloca-a na linha correspondente do sistema global;

iv. Neste passo, o programa resolve o sistema global e obtém aproximações para as funções

de deslocamento, u(x,y) e v(x,y), em todos os pontos onde o domínio foi discretizado;

v. Então, as discretizações dos operadores diferenciais através da Eq. 4.5, são empregadas

para aproximar todos os operadores diferenciais até a segunda ordem, que são

armazenados na memória de massa. Neste ponto, tendo-se aproximações para os

operadores diferenciais de primeira ordem, o programa fornece estimativas para os

deslocamentos e tensões sem considerações quanto ao erro cometido;

vi. Usando novamente a Eq. 4.5 para obter formas discretas dos operadores diferenciais, mas

substituindo os valores das funções de deslocamento, u(x,y) e v(x,y), pelas respectivas

aproximações dos operadores diferenciais de segunda ordem, exceto pelo operador misto,

obtém-se aproximações para todos os operadores diferenciais de terceira e quarta ordem;

vii. As aproximações dos operadores diferenciais de terceira e quarta ordem permitem

aproximar os termos de terceira e quarta ordem da série de Taylor, cuja soma é tomada

como uma estimativa para o erro de truncamento da série; e

viii. Conhecida uma estimativa para erro de truncamento, melhores aproximações para os

operadores diferenciais de primeira e segunda ordem são obtidas através da Eq. 5.7, e

novamente, o programa fornece aproximações para as tensões em todos os pontos onde o

domínio foi discretizado. Mas desta vez, além das tensões, estima-se o erro de

truncamento de cada equação discretizada no ponto. Este erro permite avaliar,

comparativamente, a qualidade das aproximações em cada ponto.

61

6.3 – EXEMPLO 1: BARRAGEM SOB PRESSÃO HIDROSTÁTICA

6.3.1 – Proposição do problema

Baseado em Timoshenko e Goodier (1988), o exemplo em questão é ilustrado na Fig. 6.1(a).

Trata-se de um exemplo puramente acadêmico e, assim, pode ser imaginado como uma

barragem de um reservatório completamente cheio submetido à pressão hidrostática. Supondo

que as deformações na direção longitudinal da barragem sejam restringidas, todas as seções

transversais da barragem estariam submetidas às mesmas condições e o estado plano de

deformações estaria configurado. Assim, o problema em questão pode ser resolvido

considerando apenas uma seção transversal de espessura unitária da barragem. O peso

específico da água é denotado por γ e, desta forma, a carga hidráulica a uma profundidade x é

dada pelo produto γ.x.

Figura 6.1: Exemplo 1- (a) Ilustração do problema; e (b) discretização empregada.

A solução analítica para o campo de tensões deste problema, obtida com base na solução geral

fornecida por de Timoshenko e Goodier (1988), é apresentada nas Eqs. 6.1, mas esta solução

foi obtida considerando-se apenas as condições de contorno nos lados paralelos ao eixo x. No

extremo livre da barragem, apenas a condição de σx(0,y) = 0 é atendida, a condição de

τxy(0,y) = 0 não é observada, no entanto, apesar da tensão de cisalhamento não ser nula no

62

extremo, sua variação apresenta valores bem pequenos e sua resultante é nula. Assim, as

condições de contorno no extremo da barragem se aproximam do caso de um extremo livre.

No engaste, nenhuma das condições de restrição de deslocamento foi considerada. Assim,

pelo princípio de Saint-Venant, a solução apresentada se aproxima da verdadeira numa região

distante do engaste, em geral, a uma distância igual à largura da própria barragem.

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )2422xy

3y

33x

y1203y1

81y1x

83y,x

x21yx

43yx

41y,x

yx206yx

21yx

41y,x

−+−−−⋅=

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=

γγγτ

γγγσ

γγγσ

(6.1)

6.3.2 – Resultados obtidos

Os gráficos apresentados a seguir, na Fig. 6.2, permitem comparar os resultados analíticos, os

de operadores discretos (MOD) e os de elementos finitos (SAP 2000).

A discretização do domínio para o MOD é apresentada na Fig. 6.1(b). Vale observar que nos

cantos da barragem, pontos onde há mudança do contorno, adotou-se a técnica dos pontos

gêmeos, isto é, foram colocados dois pontos, um para cada do contorno diferente. A

discretização empregada para o MEF é semelhante à que foi adotada para o MOD, exceto que

não existem os pontos gêmeos. Assim, há 178 graus de liberdade no modelo usado pelo MOD

e 170 no usado pelo MEF.

O resultado com elementos finitos foi obtido através do programa SAP 2000 com o domínio

discretizado em elementos retangulares de quatro nós, tipo “shell”, a carga hidráulica foi

introduzida considerando a resultante das forças em cada nó e as tensões resultantes foram

obtidas da média das tensões fornecidas por todos os elementos com o nó em comum.

63

σσσσx p/ y = - 1,0 m

-1600

-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσx (

KN

/m²) Analít

MODSAP2000

σσσσy p/ y = - 1,0 m

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσy

(KN

/m²) Analít

MODSAP2000

ττττxy p/ y = - 1,0 m

-50

0

50

100

150

200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)

τ τττxy

(KN

/m²)

Analít

MODSAP2000


-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσx (

KN

/m²) Analít

MODSAP2000

σσσσx p/ y = 0,0 m

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσx

(KN

/m²)

Analít

MODSAP2000


-100

0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσx (

KN

/m²)

Analít

MODSAP2000


-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)

σ σσσx (

KN

/m²)

Analít

MODSAP2000

σσσσy p/ y = -0,5 m

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

200,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσy

(KN

/m²) Analít

MODSAP2000

σσσσy p/ y = 0,0 m

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσy

(KN

/m²) Analít

MODSAP2000


-100

-50

0

50

100

150

200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσy

(KN

/m²)

Analít

MODSAP2000


-150-100

-500

50

100150

200250300350400

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)

σ σσσy

(KN

/m²)

Analít

MODSAP2000


-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

τ τττxy

(KN

/m²)

Analít

MODSAP2000

ττττxy p/ y = 0,0 m

-50,0

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)

τ τττxy

(KN

/m²)

Analít

MODSAP2000


-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

τ τττxy

(KN

/m²)

Analít

MODSAP2000


-50

0

50

100

150

200

250

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)

τ τττxy

(KN

/m²)

Analít

MODSAP2000

Figura 6.2: Comparação das tensões em seções verticais da barragem do exemplo 1.

6.3.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 1

Com relação aos resultados obtidos sem qualquer consideração quanto ao erro cometido,

apresentados nos gráficos da Fig. 6.2, percebe-se que, no geral, houve uma boa concordância

entre os resultados fornecidos por operadores discretos, elementos finitos e a solução analítica

do problema. As maiores discrepâncias entre as soluções numéricas e analíticas são

observadas na região próxima ao engaste, pois como já foi comentado, a solução analítica não

é válida nesta região. As tensões normais na direção x (σx) fornecidas por operadores

64

discretos são semelhantes às fornecidas por elementos finitos em todos os casos. Algo

semelhante acontece com as tensões normais na direção y (σy), mas há uma pequena

peculiaridade neste caso, nas regiões próximas ao contorno ( y =-1 e y = 1), observa-se que

os resultados fornecidos por operadores discretos se aproximam um pouco mais da solução

analítica que os resultados fornecidos por elementos finitos. No caso da tensão de

cisalhamento (τxy), é curioso notar que, na região próxima ao contorno ( y =-1 e y = 1), os

resultados fornecidos por operadores discretos se aproximam mais do resultado analítico, mas

a situação se inverte no interior do domínio, onde os resultados de elementos finitos se tornam

melhores.

6.3.4 – Melhoramento das aproximações através de considerações quanto ao erro de

truncamento cometido

Os resultados anteriores foram obtidos sem qualquer consideração quanto ao erro de

truncamento, mas uma aproximação deste erro pode fornecer melhores aproximações dos

operadores diferenciais através da Eq. 5.7. Os gráficos da Fig. 6.3 mostram os mesmos

resultados dos gráficos da Fig. 6.2, exceto que os resultados de elementos finitos foram

substituídos pelos de operadores discretos com o possível “melhoramento” através da

aproximação do erro de truncamento.

65


-1800

-1600

-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσx (

KN

/m²) Analít.

s/ Melhor.c/ Melhor.

σσσσy p/ y = - 1,0 m

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσy

(KN

/m²)

Analít.



-15

-10

-5

0

5

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)

τ τττxy (

N/m

m²)

Analít.



-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσx (

KN

/m²) Analít.



-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)

σ σσσx

(KN

/m²)

Analít.



-100

0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσx (

KN

/m²)

Analít.



-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)σ σσσx (

KN

/m²)

Analít.


σσσσy p/ y = -0,5 m

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

00,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσy

(KN

/m²)

Analít.



-45,0

-40,0

-35,0

-30,0

-25,0

-20,0

-15,0

-10,0

-5,0

0,0

5,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσy

(KN

/m²) Analít.



-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσy

(KN

/m²)

Analít.



-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

σ σσσy

(KN

/m²)

Analít.



-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

τ τττxy

(N/m

m²) Analít.



-50

0

50

100

150

200

250

300

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

τ τττxy

(N/m

m²) Analít.



-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

x (m)

τ τττxy

(N/m

m²) Analít.



-15

-10

-5

0

5

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)

τ τττxy

(N/m

m²)

Analít.


Figura 6.3: Comparação dos resultados de operadores discretos considerando possível

melhora com aproximação do erro de truncamento para o exemplo 1.

Quanto aos gráficos da Fig. 6.3, com relação às tensões normais na direção x e y (σx e σy),

como houve pouca diferença entre os resultados, a suposta melhora da aproximação que leva

em consideração a influência do erro de truncamento nos operadores foi pequena. Mas uma

melhora significativa é observada no caso da aproximação da tensão de cisalhamento (τxy) em

todas as seções.

66

6.4 – EXEMPLO 2: TUBO DE PAREDE ESPESSA COM PRESSÃO INTERNA


Outro exemplo clássico é ilustrado na Fig. 6.4 (a), trata-se de um tubo de parede espessa

submetido a uma pressão interna Pi com restrição de deslocamento na direção z. Assim,

configura-se o estado plano de deformações e uma seção transversal distante dos extremos de

espessura unitária é suficiente para analisar o campo de tensões no tubo. Devido à simetria do

problema, para simplificar os estudos e reduzir o trabalho computacional, pode-se considerar

apenas um setor de 90o. A Fig. 6.4 (b) mostra o setor e a discretização adotada para o MOD.

Figura 6.4: Exemplo 2 - (a) Seção transversal do tubo; e (b) discretização empregada.

Em virtude da geometria do problema, costuma-se tratá-lo em coordenadas polares. A Fig. 6.5

mostra as componentes da tensão atuando no sentido positivo sobre um elemento qualquer de

um corpo neste sistema de referência.

67

Figura 6.5: Componentes da tensão em coordenadas polares atuando sobre um elemento.


As Eqs. 6.2 relacionam o sistema de coordenadas polares ao sistema cartesiano e as Eqs. 6.3

permitem obter as componentes da tensão no sistema cartesiano a partir das componentes no

sistema polar.

θθ

senrycosrx

⋅=⋅=

(6.2)

( ) ( )θθτθθσστ

θθτθσθσσθθτθσθσσ

θθ

θθ

θθ

22rrxy

r22

ry

r22

rx

sencoscossen

cossen2cossen

cossen2sencos

−+⋅−=

⋅⋅⋅+⋅+⋅=

⋅⋅⋅−⋅+⋅=

(6.3)

A solução analítica para esse problema, desprezando-se as forças de corpo, é conhecida e

pode ser facilmente encontrada em livros que tratam da teoria da elasticidade. Aplicando-se

tanto a solução de Shames (1964) quanto a de Timoshenko e Goodier (1988) para este

problema, a solução analítica resulta nas Eqs. 6.4.

0r

251102510100

r251

102510100

r

2

2

22

2

2

2

22

2

r

=

+

−⋅=

−

−⋅=

θ

θ

τ

σ

σ

(6.4)

68


Como nem o programa de operadores discretos nem o de elementos finitos fornecem

resultados em coordenadas polares, para comparar seus resultados com a solução analítica,

estas são obtidas através das Eqs. 6.4 e transformadas para o sistema cartesiano através das

Eqs. 6.2 e Eqs. 6.3.

A discretização do domínio para o MOD é apresentada na Fig. 6.4 (b). Vale notar que nos

cantos, assim como no caso da barragem, adotou-se a técnica dos pontos gêmeos, ou seja, um

ponto para cada contorno. Novamente, a discretização empregada para o MEF é semelhante à

que foi adotada para o MOD, exceto que não existem os pontos gêmeos, assim, há 128 graus

de liberdade para o MOD e 120 para o MEF.

No caso de elementos finitos, o resultado foi obtido através do programa SAP 2000 com o

domínio discretizado em elementos retangulares de quatro nós, tipo “shell”. Para a introdução

da pressão interna foi considerada a resultante das forças em cada nó decomposta em

componentes nas direções dos eixos x e y. As tensões resultantes em cada nó foram obtidas da

média das tensões fornecidas por todos os elementos com o nó em comum.

Os gráficos apresentados a seguir, na Fig. 6.6, permitem comparar os resultados analíticos, os

de operadores discretos (MOD64) e os de elementos finitos (SAP60) ao longo de seções de

raio constante apresentadas na Fig. 6.7.

69

σσσσx p/ r = 25 mm

-10

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)

σ σσσx (N

/mm

²)

Analít.MOD64

SAP60

σσσσy p/ r = 25 mm

-10

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)

σ σσσy (N

/mm

²)

Analít.MOD64

SAP60

ττττxy p/ r = 25 mm

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

τ τττxy

(N/m

m²)

Analít.MOD64

SAP60


-10

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)

σ σσσx (N

/mm

²)

Analít.MOD64SAP60


-40

-20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

σ σσσx (N

/mm

²)

Analít.MOD64

SAP60


-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

σ σσσx (N

/mm

²)

Analít.MOD64SAP60


-100

-50

0

50

100

150

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

σ σσσx (N

/mm

²) Analít.MOD64

SAP60


-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

σ σσσx (N

/mm

²)

Analít.MOD64SAP60


-10

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)

σ σσσy (N

/mm

²)

Analít.MOD64SAP60


-40

-20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

σ σσσy (N

/mm

²)

Analít.MOD64

SAP60


-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

σ σσσy (N

/mm

²)

Analít.MOD64SAP60


-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

σ σσσy (N

/mm

²)

Analít.MOD64SAP60


-100

-50

0

50

100

150

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

σ σσσy (N

/mm

²)

Analít.MOD64

SAP60


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

τ τττxy

(N/m

m²)

Analít.MOD64SAP60


-40

-30

-20

-10

0

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

τ τττxy

(N/m

m²)

Analít.MOD64SAP60


-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ θ θ θ (graus)

τ τττxy

(N/m

m²)

Analít.MOD64SAP60


-90-80-70-60-50-40-30-20-10

010

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)

τ τττxy

(N/m

m²)

Analít.MOD64SAP60


-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

00 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)

τ τττxy

(N/m

m²)

Analít.MOD64SAP60

Figura 6.6: Comparação das tensões em seções de raio constante do tubo do exemplo 2.

Figura 6.7: Seções utilizadas para comparação dos resultados.

70


Na análise comparativa dos resultados apresentados nos gráficos da Fig. 6.6, percebe-se que o

MOD forneceu, no geral, bons resultados para o problema do tubo de parede espessa. Tanto

as tensões normais, σx e σy, obtidas por operadores discretos quanto as obtidas por elementos

finitos ficaram próximas da solução analítica. No caso da tensão de cisalhamento τxy, as

repostas de elementos finitos, no geral, foram melhores que as de operadores discretos, mas

observa-se que as repostas de operadores discretos melhoram nas regiões próximas ao

contorno. No caso da seção com r = 10 mm percebe-se uma queda na precisão dos resultados

obtidos por elementos finitos, mas provavelmente isso se deve à forma como o carregamento

foi introduzido, isto é, não se aplicou a pressão interna ao longo dos lados dos elementos, mas

sua resultante nos nós, decomposta na direção dos eixos x e y.

6.4.4 – Avaliação da convergência do MOD

Uma vez que a solução analítica para este problema é válida para todo o domínio, ele será

usado para verificar a convergência do método dos operadores. Para isso, o mesmo exemplo

será rodado com diversas discretizações (ver Fig. 6.8) e todas são comparadas à solução

analítica, então, observa-se como o resultado numérico converge para o analítico com o

refinamento da discretização. A Fig. 6.9 mostra os resultados da tensão ao longo das seções

de r = 10mm e r = 17,5mm, mas no caso de r = 17,5 mm, os resultados da discretização com

128 graus de liberdade não são mostrados, pois essa seção não existe nesta discretização.

Figura 6.8: Discretizações do tubo para verificação da convergência.

71

Convergência de σσσσx para r = 10 mm

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θθθθ (graus)

σ σσσ x (N

/mm

²)

AnalíticoMOD98MOD128MOD190MOD314MOD470

Convergência de σσσσy para r = 10 mm

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θθθθ (graus)

σ σσσ y (N

/mm

²)


Convergência de ττττ xy para r = 10 mm

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θθθθ (graus)

τ τττ xy

(N/m

m²)


Convergência de σσσσx para r = 17,5 mm

-40

-20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θθθθ (graus)

σ σσσ x (N

/mm

²)

AnalíticoMOD98MOD170MOD314MOD470

Convergência de σσσσy para r = 17,5 mm

-40

-20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θθθθ (graus)

σ σσσy (N

/mm

²)AnalíticoMOD98MOD170MOD314MOD470

Convergência de ττττxy para r = 17,5 mm

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θθθθ (graus)

τ τττxy

(N/m

m²)

AnalíticoMOD98MOD170MOD314MOD470

Figura 6.9: Variações da tensão ao longo das seções r = 10 mm e r = 17,5mm do exemplo 2.

72

Então, como esperado, percebe-se a convergência do método dos operadores para a resposta

exata, isto é, à medida que a discretização é refinada, as respostas fornecidas pelo método se

aproximam cada vez mais da solução exata. Mas para realmente visualizar essa convergência,

seria conveniente encontrar uma forma de avaliar a precisão da aproximação através de um

único número, isto é, um número que permita ter uma idéia da qualidade da aproximação.

Procura-se, então, uma ferramenta semelhante ao erro RMS (root mean square) das tensões

em elementos finitos, como proposto por Zienkiewicz e Taylor (1997). Sem qualquer

pretensão de encontrar um significado físico coerente, propõe-se calcular, então, o desvio

padrão da variância média do erro nas tensões, que será referido como erro DPM, dada a

semelhança na fórmula deste com o a do erro RMS de elementos finitos. Assim, a qualidade

da aproximação de cada discretização será medida através do erro DPM das tensões dado pela

Eq. 6.5 a seguir:

2

n

1i

2

ixyixy

2

iyiy

2

ixix

nDPM

∑=

∧∧∧

−+

−+

−

=

ττσσσσ (6.5)

Onde: ixyiyix e,∧∧∧τσσ são os valores numéricos das componentes da tensão no ponto i;

ixyiyix e, τσσ são os valores analíticos das componentes da tensão no ponto i; e

n - é o número de pontos no qual do domínio contínuo foi discretizado.

Assim, quanto menor o erro DPM, melhor a aproximação. A Tab. 6.1 permite avaliar a

variação do erro DPM com as diferentes discretizações que foram empregadas para obtenção

da solução numérica.

Tabela 6.1: Variação do erro DPM para as tensões com diferentes discretizações. Graus de Liberdade Erro DPM

98 25.15128 16.76190 13.05314 7.11470 4.72

73

O gráfico apresentado na Fig. 6.10 permite visualizar os dados da Tab.6.1.

Convergência para o exemplo 2 (tubo de parede espessa)

98

128

190

314470

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

0 100 200 300 400 500Número de graus de liberdade da discretização

Erro

DPM

das

tens

ões

Figura 6.10: Convergência do MOD para a solução exata do exemplo 2.

Com base nos gráficos das Fig. 6.9, percebe-se a convergência consistente do método dos

operadores para a resposta exata, isto é, à medida que a discretização é refinada, mais próxima

da solução exata são as respostas fornecidas pelo método. Quanto ao gráfico da Fig. 6.10,

como já era esperado, a queda no erro DPM com o aumento do número de graus de liberdade

confirma a convergência do MOD para a solução exata com discretizações mais refinadas.

Além disso, percebe-se uma melhora mais acentuada na precisão da aproximação entre as

discretizações mais grosseiras, que se torna mais suave à medida que as discretizações se

tornam mais refinadas.

74

6.5 – EXEMPLO 3: CHAPA QUADRADA COM FURO NO CENTRO


Este exemplo investiga a perturbação no campo de tensões provocada por um furo circular no

centro de uma fina chapa quadrada submetida à tração como mostra a Fig. 6.11, assim, o

problema está submetido ao estado plano de tensões.

Se não existisse o furo na chapa, ter-se-ia um campo de tensões uniforme com σy = 100

N/mm2 e τxy = σx = 0. A presença do furo provoca uma perturbação no campo de tensões em

sua vizinhança que, pelo princípio de Saint-Venant, desaparece a medida que se afasta do

furo, fazendo com que o campo de tensões se aproxime daquele uniforme mencionado

anteriormente.

Figura 6.11: Exemplo 3 – Chapa quadrada com furo no centro submetida à tração.

A solução para este problema é conhecida e, assim como no caso do exemplo anterior, é

facilmente encontrada em livros que tratam da teoria da elasticidade. Shames (1964) fornece

uma solução geral que, para os dados específicos do problema em vista, podem ser colocada

na forma dada pelas Eqs. 6.6.

75

( )

( )

( ) θθτ

θθσ

θθσ

θ

θ

2senr3

r21

2100,r

2cosr31

r11

2100,r

2cos1r3

r4

r11

2100,r

42r

42

422r

−+=

++

+=

−−+

−=

(6.6)


Da mesma forma que no caso do exemplo 2, as respostas obtidas pelas Eqs. 6.6 podem ser

transformadas para o sistema cartesiano através das Eqs. 6.2 e Eqs. 6.3.

Devido à simetria do problema, sua análise pode ser feita com a avaliação de apenas ¼ (um

quarto) de seu domínio. A Fig. 6.12 apresenta a discretização adotada para a solução via

operadores discretos e elementos finitos.

No caso de elementos finitos, o programa utilizado foi o SAP 2000 com uma discretização do

domínio em elementos de quatro nós, tipo “shell”. O carregamento é introduzido

computando-se a força resultante das tensões de tração em cada nó. E as tensões resultantes

foram obtidas da média das tensões fornecidas por todos os elementos com o nó em comum.

Para operadores discretos, a discretização também é apresentada na Fig. 6.12 e novamente

conta com pontos gêmeos em todos os cantos onde há mudança das condições de contorno.

Figura 6.12: Discretizações empregadas para operadores discretos e elementos finitos.

76

Os resultados numéricos e analíticos, ao longo das seções mostradas na Fig. 6.13, podem ser

comparados nos gráficos da Fig. 6.14. Nela, o resultado de operadores discretos é denotado

por MOD174, pois sua discretização conta com 174 pontos (348 graus de liberdade), já a

discretização de elementos finitos possui 169 nós (338 graus de liberdade) e é denotada por

SAP169, pois foi utilizado o programa SAP 2000 para obtê-la.

Figura 6.13: Seções de comparação de resultados do exemplo 3.


-150

-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90

θθθθ (graus)

σ σσσx (N

/mm

²)

AnalíticoMOD174

SAP169


-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90θθθθ (graus)

σ σσσy (N

/mm

²) AnalíticoMOD174SAP169


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90

θθθθ (graus)

τ τττxy

(N/m

m²)

AnalíticoMOD174SAP169

σσσσx p/ r = 5,45 mm

-5-4-3-2-10123456

0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90θθθθ (graus)

σ σσσx (N

/mm


σσσσy p/ r = 5,45 mm

90

92

94

96

98

100

102

104

106

108

0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90θθθθ (graus)

σ σσσy (N

/mm


ττττxy p/ r = 5,45 mm

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90

θθθθ (graus)τ τττxy

(N/m

m²)


σσσσx p/ y = 0 mm

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10x (mm)

σ σσσx (N

/mm

²) AnalíticoMOD174

SAP169

σσσσy p/ y = 0 mm

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10x (mm)

σ σσσy (N

/mm

²)


ττττxy p/ y = 0 mm

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10x (mm)

τ τττxy

(N/m

m²)


Figura 6.14: Comparação dos resultados numéricos e analíticos do exemplo 3.

77


Da análise dos gráficos da Fig. 6.14, percebe-se bons resultados no geral, mas por uma

pequena diferença, os resultados de elementos finitos foram melhores. Mas uma melhora na

precisão dos dois resultados certamente seria obtida por meio de um discretização um pouco

mais refinada.

A perturbação do campo de tensões na região próxima ao furo é facilmente notada a partir da

observação dos gráficos na seção com y = 0, à medida que se afasta do furo o campo de

tensões se aproxima daquele campo uniforme que se formaria se o furo não existisse, isto é,

um campo de tensões com σy = 100 N/mm2 e τxy = σx = 0.

Vale ressaltar que, neste exemplo, diversas moléculas irregulares foram empregadas na região

de transição entre a malha retangular e a polar, mas moléculas irregulares já foram

empregadas no exemplo anterior, uma vez que o programa de operadores discretos resolve o

problema em coordenadas cartesianas e sua discretização só é regular para o sistema de

referência polar.

78

6.6 – EXEMPLO 3: CHAPA EM “L”


Este problema é baseado em Zienkiewicz e Taylor (1997) e , como bem se sabe, apresenta

singularidade de tensão no canto reentrante. O problema é apresentado na Fig. 6.15, trata-se

de uma chapa em forma de “L” submetida a um estado plano de tensões.

Figura 6.15: Exemplo 4 – Chapa em “L” com singularidade de tensão.


A solução analítica para este problema não é conhecida. Então, a análise dos resultados de

operadores discretos será feita com base na comparação com resultados de dois modelos em

elementos finitos e, se for o caso, também com base nas condições de contorno da seção

considerada. Um dos modelos em elementos finitos tem sua discretização bem mais refinada

que a dos demais, o outro modelo em elementos finitos conta com aproximadamente a mesma

quantidade de graus de liberdade que o de operadores discretos, mas no caso de operadores, o

modelo conta com alguns graus de liberdade a mais, pois são empregados pontos gêmeos nos

cantos, pontos onde ocorre mudança das condições de contorno.

79

A discretização utilizada por operadores discretos é apresentada na Fig. 6.16. Vale observar

que em todos os cantos vivos e no canto reentrante foram colocados pontos gêmeos.

Figura 6.16: Discretização usada por operadores discretos para o exemplo 4.

Figura 6.17: Discretizações usadas para elementos finitos para o Exemplo 4.

No caso de elementos finitos, as discretizações empregadas são mostradas na Fig. 6.17. O

programa utilizado foi o SAP 2000 com elemento de quatro nós do tipo “shell”. O

80

carregamento foi introduzido através do cômputo da força resultante das tensões de tração em

cada nó. E a tensão final resultante em cada nó foi computada como a média das tensões de

todos elementos com nó em comum.

Os gráficos da Fig. 6.18 mostram a variação das tensões ao logo de seções verticais da chapa

e permitem avaliar os resultados obtidos.

σσσσx p/ x = 80,0 mm

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

-160-140-120-100-80-60-40-200

y (mm)

σ σσσx (

N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833

ττττxy p/ x = 80,0 mm

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

-160-140-120-100-80-60-40-200y (mm)

τ τττxy

(N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833

σσσσy p/ x = 80,0 mm

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

-160-140-120-100-80-60-40-200 y (mm)

σ σσσy (

N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833


0

1020

3040

50

6070

8090

-16-14-12-10-8-6-4-20y (mm)

σ σσσx

(N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833


-16-14-12-10-8-6-4-20246

-16-14-12-10-8-6-4-20

y (mm)σ σσσy (

N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833


-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

-16-14-12-10-8-6-4-20y (mm)

τ τττxy

(N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833

σσσσx p/ x = 0,0

49

50

51

52

53

54

55

-160-140-120-100-80-60-40-200y (mm)

σ σσσx (

N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833

σσσσy p/ x = 0,0

-50

0

50

100

150

200

250

-160-140-120-100-80-60-40-200y (mm)

σ σσσy (N

/mm

²) MOD231 SAP225SAP833

ττττxy p/ x = 0,0

-12,0

-10,0

-8,0

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

-160-140-120-100-80-60-40-200y (mm)

τ τττxy (N

/mm

²)

MOD231

SAP225SAP833


-50

0

50

100

150

200

250

-160-140-120-100-80 y (mm)

σ σσσx (

N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-160-140-120-100-80

Y

σ σσσy (N

/mm

²)

MOD231 SAP225SAP833


-3

-2

-1

0

1

2

3

-160-140-120-100-80 y (mm)

τ τττxy (

N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833


-50

0

50

100

150

200

250

-160-140-120-100-80 y (mm)

σ σσσx (

N/m

m²)

MOD231

SAP225SAP833


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-160-140-120-100-80 y (mm)

σ σσσy (

N/m

m²)

MOD231

SAP225SAP833


-0,10,00,10,20,30,40,50,60,70,8

-160-140-120-100-80 y (mm)

τ τττxy (

N/m

m²)

MOD231 SAP225SAP833

Figura 6.18: Variação das tensões ao longo das seções verticais com x = 0, x = 40 mm,

x = 80 mm, x = 120mm e x = 160mm do exemplo 4.

81


Da observação dos gráficos da Fig. 6.18, nota-se que os resultados de operadores discretos

foram muito bons, em geral, equivalentes ou melhores que os de elementos finitos,

especialmente no contorno. Na seção com x = 0, onde o carregamento é aplicado, pelas

condições de contorno, σx = 50 N/mm2 e τxy = 0 e, em ambos, os resultados de operadores

ficaram mais próximos dos resultados esperados. Na seção com x = 80 mm, no trecho com y

entre 0 e –80mm, as condições de contorno são: σx = 0 e τxy = 0; e novamente o resultado de

operadores discretos foi o que mais se aproximou desses valores. O mesmo padrão se repete

na seção com x = 160 mm onde, pelas condições de contorno, τxy = 0.

6.6.4 – Localização de regiões críticas no domínio

A questão a localização de regiões do domínio mais propensas a existência de erros na

aproximação da função ainda não foi abordada, mas é possível fazê-lo através da estimativa

para o erro de truncamento das equações que governam o problema no ponto em questão. Se o

ponto for de contorno, os erros de truncamento das equações de contorno devem ser

estimados. Da mesma forma, se o ponto em questão se localizar no interior do domínio, os

erros de truncamento estimados devem ser os das equações de Navier. A estimativa para o

erro de truncamento da equação é obtida a partir da aproximação do erro de truncamento na

discretização dos operadores diferenciais, que é feita da maneira apresentada no Exemplo 1.

Assim, os erros de truncamento das equações discretizadas, seja ela de campo ou de contorno,

são facilmente obtidos colocando-se na equação, ao invés da forma discreta dos operadores

diferenciais, o respectivo erro de truncamento do operador.

O programa Elsat_2D estima o erro de truncamento da maneira citada e, para o problema

proposto neste exemplo, a soma dos valores absolutos dos erros de truncamento das duas

equações discretizadas produz a superfície apresentada na Fig. 6.19, que também pode ser

observada no gráfico de curvas de nível da Fig. 6.20.

82

Figura 6.19: Superfície formada pela soma dos valores absolutos da aproximação do erro de

truncamento das equações discretizadas em cada ponto.

Figura 6.20: Curvas de nível da superfície formada pela soma dos valores absolutos da

aproximação do erro de truncamento das equações discretizadas em cada ponto.

Quanto à localização do erro, como já se esperava, as Fig. 6.19 e Fig. 6.20 mostram que o

canto reentrante é a região mais propensa a erro, onde se verifica a singularidade no campo de

tensões.

83

CAPÍTULO 7

CONCLUSÕES E SUGESTÕES


Esta dissertação de mestrado apresentou o Método dos Operadores Discretos aplicado à

solução de problemas de elasticidade bidimensional. O trabalho busca fornecer ao engenheiro,

uma poderosa ferramenta para aproximação numérica de problemas físicos encontrados em

seu cotidiano.

Inicialmente, o MOD é introduzido através do desenvolvimento de um exemplo simples de

potencial, um problema de valor de contorno em regime permanente regido pela equação de

Laplace.

Em seguida, apresenta-se uma breve revisão sobre teoria da elasticidade. Esta revisão parte

dos conceitos elementares de tensão e deformação e vai até a obtenção das equações de

Navier, para o caso bidimensional, em termos das componentes do deslocamento. As

equações de contorno são obtidas do equilíbrio do tensor tensão com as trações de superfície

colocadas em termos de uma componente normal e outra tangente ao contorno, além disso, as

equações de contorno são colocadas em função das componentes do deslocamento.

Então, abordada-se a aplicação do método dos operadores a problemas de elasticidade. Para

cada caso, contorno ou domínio, mostra-se a obtenção das formas discretas dos operadores

diferencias e a discretização das equações que governam o problema, que produzem as

moléculas utilizadas pelo método.

Baseada numa estimativa para o erro de truncamento da série de Taylor e na fórmula do resto

de Lagrange, a questão do erro de aproximação numérica e sua influência nas discretizações

são abordadas.

A validação do método é feita através de quatro exemplos clássicos que abordam diferentes

aspectos da formulação de operadores discretos.

84

7.2 – CONCLUSÕES

O Método dos Operadores Discretos (MOD) forneceu excelentes resultados, especialmente no

caso do problema de potencial, onde a precisão alcançada foi quase a precisão limite da

máquina. No caso de elasticidade, com números de graus de liberdade semelhantes, em geral,

os resultados obtidos por operadores discretos foram equivalentes aos obtidos pelo Método

dos Elementos Finitos (MEF). Pode-se argumentar que esta comparação foi feita com base

nos resultados de um dos elementos mais rudimentares do MEF, o elemento linear de quatro

nós, mas os estudos em operadores discretos ainda se encontram em uma fase inicial e muito

progresso é esperado neste campo.

Uma indiscutível vantagem do método dos operadores sobre elementos finitos está na forma

como o domínio contínuo é discretizado. No caso de operadores, a discretização é bem mais

simples, ela é feita exclusivamente por meio de uma rede de pontos. Para elementos finitos,

além da rede de pontos, ainda é necessário definir uma conectividade para formação dos

elementos e geração da malha. E a etapa mais dispendiosa e demorada no processo de geração

automática de malhas é, justamente, a definição das conectividades.

Atualmente, considera-se que o método dos operadores discretos se enquadra num grupo de

métodos denominados “sem malha” (meshless methods), isso porque, lançada uma rede de

pontos, é muito simples, se comparado a elementos finitos, a implementação de rotinas para

seleção eficiente de pontos satélites para cada molécula. Mas apesar disso, o programa

implementado requer que sejam fornecidas as “conectividades” das moléculas no arquivo de

entrada de dados, pois o enfoque do trabalho é a avaliação do método em problemas de

elasticidade bidimensional e não, a geração automática de discretizações.

A grande vantagem do MOD sobre o Método das Diferenças Finitas (MDF), é que a

formulação do MOD permite moléculas arbitrárias e, assim, possibilita o tratamento adequado

de domínios irregulares. No entanto, apesar de admitir moléculas arbitrárias, a precisão destas

moléculas é, aparentemente, inferior à de moléculas regulares.

No método dos operadores, a qualidade da aproximação numérica das moléculas está

fortemente relacionada à escolha de seus pontos satélites. Assim, para uma boa precisão da

aproximação, é importante que as moléculas tenham seus pontos satélites bem distribuídos

85

por toda sua volta, de maneira que a molécula fique bem balanceada e seu “centro de

gravidade” recaia próximo a seu ponto de origem. Então, recomenda-se que as moléculas

próximas ao contorno não possuam muitos pontos satélites, pois quanto mais pontos, mais

desbalanceadas se tornam. Desta forma, para o tratamento de problemas com contornos

irregulares, recomenda-se que uma discretização regular seja empregada no interior do

domínio e que o uso de moléculas de configuração arbitrária, com a menor quantidade

possível de pontos satélites, seja restrito à região na vizinhança do contorno.

Apesar do estudo do erro ter sido apenas superficial, ele mostrou que sua avaliação

proporciona uma melhora considerável na precisão das discretizações dos operadores

diferenciais, mas há um certo acréscimo no trabalho e tempo computacionais. Cabe lembrar

que além da melhora na qualidade das aproximações, a avaliação do erro nos operadores

discretos permite, ainda, uma estimativa do erro de truncamento nas equações que governam

o problema, que, por sua vez, possibilita localizar as regiões críticas do domínio, isto é,

regiões onde a função erro encontra, provavelmente, seus valores mais significativos. A

possibilidade de localização de áreas mais sensíveis é de fundamental importância para o

desenvolvimento da capacidade de auto-adensamento localizado das discretizações no

método, isto é, que o método tenha a possibilidade de localizar as regiões críticas do domínio

e, ali, criar uma rede mais refinada de pontos.

A convergência do método foi avaliada no segundo exemplo do capítulo 6 e se mostrou

consistente, mas faltou uma análise das taxas de convergência. A ferramenta proposta para

avaliação da convergência, o erro DPM das tensões, estaria para o método dos operadores

assim como o erro RMS está para elementos finitos, mas ainda carece de estudos mais

aprofundados que lhe confiram significado físico coerente.

86

7.3 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Este trabalho é a continuação de uma linha de pesquisa do método dos operadores discretos

aplicado à solução de problemas de elasticidade no contexto acadêmico. Com isso em mente,

entre outras sugestões, recomenda-se:

− Tentar aplicar o método ao caso tridimensional da elasticidade e, com isso, criar um

programa computacional capaz de resolver uma gama maior de problemas;

− Aprofundar os estudos sobre os erros de aproximação numérica, de maneira que se tenha

uma idéia da grandeza real do mesmo. Isso permitiria não só melhorar a qualidade da

aproximação, mas também encontrar facilmente a mais simples discretização que já atende

às necessidades específicas do problema em vista;

− Procurar aumentar a ordem da discretização dos operadores em esquemas compactos de

molécula. Isso possibilitaria o tratamento do caso da elasticidade bidimensional através da

função de Airy, que reduziria a dimensão do sistema global à metade. Esse aumento na

ordem da discretização permitiria ainda a aplicação do método a problemas de ordem

superior;

− Estudar a geração automática da discretização e a capacidade de auto-adensamento. Isso

proporcionaria a criação de poderosos programas com interface amigável para o usuário,

neste aspecto, o programa elaborado neste trabalho deixou muito a desejar; e

− Aplicar o método dos operadores a problemas como propagação de ondas, mantos

flexíveis, transiente de temperatura, placas espessas segundo as equações de Reissner-

Mindlin e a problemas de escoamento associado ao método das características.

87

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Zienkiewicz, O.C. e Taylor, R.L. The Finite Element Method. 4.ed., vol. 1, MacGraw-Hill, Inglaterra, 1997.

89

APÊNDICE A

SÉRIE DE TAYLOR

A.1 - INTRODUÇÃO

A base de muitos métodos que envolvem discretização de operadores diferenciais, inclusive a

do método utilizado neste trabalho, está diretamente relacionada à série de Taylor. Ela permite

representar qualquer função como uma combinação linear de infinitas funções racionais.

Desta forma, a série de Taylor permite a substituição de uma função complexa por uma

aproximação polinomial equivalente, desde que o valor da função e o de todas as suas

derivadas existentes sejam conhecidos num determinado ponto.

A.2 – SÉRIE DE TAYLOR PARA FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

Dada uma função f(x), sua expressão na forma da série de Taylor sobre o ponto x0 é dada pela

Eq. A.1 a seguir:

( ) ( ) ( ))x(f

!nxx

...)x(f!2xx

)x(fxx)x(f)x(f 0)n(

n0

0)2(

20

0)1(

00−

++−

+−+=

ou seja, ( )∑

∞

=

−+=1n

0)n(

n0

0 )x(f!nxx)x(f)x(f (A.1)

A aproximação será tão melhor quanto maior for o número de termos considerados e quanto

menor for a distância entre o ponto de origem (onde a função e suas derivadas são

conhecidas) e o ponto onde se deseja estimar o valor da função, ou seja, quanto menor for a

distância (x-x0) e quanto maior for n.

Em geral, como não é possível calcular os infinitos termos da série, ela só é calculada até um

certo termo a partir do qual, o erro cometido por seu truncamento deixa de ser relevante.

Assim, a representação da função f(x) até termo de segunda ordem é dada pela Eq. A.2 a

seguir:

90

( ) ( )30

)2(2

00

)1(00 R)x(f

!2xx

)x(fxx)x(f)x(f +−

+−+= (A.2)

Na equação anterior, R3 representa o somatório dos demais termos da série e, portanto,

representa o erro resultante do truncamento da série em seu termo de segunda ordem. Este

resto pode ser estimado pela fórmula do resto de Lagrange que será apresentada em seguida.

Segundo Al-Khafaji e Tooley (1986) e vários outros autores, se f(x) possui n + 1 derivadas

num intervalo I, que contém a origem da série (x0), então existe um ponto z estritamente entre

x0 e x de tal forma que o resto resultante do truncamento é dado por:

( )( ) )z(f

!1nxx

)x(R )1n(1n

0n

++

+−

= (A.3)

Em geral, deseja-se conhecer a diferença entre f(x) e sua aproximação Tn(x). Para facilitar a

estimativa desta diferença, considere a grandeza En(x) dada na Eq. A.4:

)x(Tn)x(f)x(En −= (A.4)

Chamando os valores máximo e mínimo de f(n+1)(t) de Fmax e Fmin , respectivamente, sendo t

um ponto pertencente ao intervalo [x0, x] (ou [x,x0] se x < x0). Então, se for possível

determinar Fmax e Fmin de tal forma que Fmin ≤ f(n+1)(t) ≤ Fmax, pode-se determinar os limites

superior (Rsup) e inferior (Rinf) para o erro cometido na estimativa de f(x).

Se x > x0 ou se x < x0 e n for impar, então:

( )( )

( )( )!1n

xxF)x(En

!1nxx

F1n

0max

1n0

min +−

≤≤+

− ++

(A.5)

Mas se x < x0 e n for par, então é necessário trocar a posição de Fmax e Fmin na Eq. A.5, e ela

se torna:

91

( )( )

( )( )!1n

xxF)x(En

!1nxx

F1n

0min

1n0

max +−

≤≤+

− ++

(A.6)

De qualquer forma, o valor de En(x) fica entre ( )

( )!1nxx

F1n

0min +

− +

e ( )

( )!1nxx

F1n

0max +

− +

Em seguida, tem-se um exemplo sobre o que foi apresentado neste item. Deseja-se obter uma

estimativa do valor 2e através da série de Taylor para a função f(x) = ex com origem no

ponto x = 0. Assim, a série de Taylor (T8(x)) que aproxima f(x) até o termo de oitava ordem e

a expressão do resto para este caso são:

98

8765432

8

R(x)Tf(x)!8

x!7

x!6

x!5

x!4

x!3

x!2

xx1(x)T

+=

++++++++=

( ) .2z0come!9

)02(zR )z(9

9 ≤≤−=

Então, 387301,7!8

2!7

2!6

2!5

2!4

2!3

2!2

221)2(T8765432

8 =++++++++=

Como e(x) é uma função estritamente crescente no intervalo de 0 a 2, os limites para o erro

cometido são:

Rinf = R9(0) = 1,410935 x 10-3 e Rsup = R9(2) = 1,042548 x 10-2.

Assim, o valor de f(2)=e2 deve estar no intervalo:

397727,7e388712,710042548,1387301,7e10410935,1387301,7

2

223

≤≤

⋅+≤≤⋅+ −−

Como e2 = 7,3890560990 e realmente ficou dentro do intervalo estimado, os limites para o

erro cometido são verdadeiros.

92

O gráfico apresentado na Fig. A1 permite ver que a aproximação da função é tão melhor

quanto maior o número de termos da série e quanto menor for a distância ente o ponto de

origem e o ponto onde se deseja estimar o valor da função.

Convergência da Série de Taylor

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 0.5 1 1.5 2 2.5x

y

Analítico3 Termos4 Termos5 Termos

Figura A.1: Convergência da série de Taylor para f(x) = ex com o aumento do número de

termos considerados.

93

A.3 – SÉRIE DE TAYLOR PARA FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Para funções de duas variáveis, a série de Taylor pode ser colocada na forma da Eq.A.7

apresentada a seguir:

( ) ( ) ( )[ ]( )00 y,x

n

1n0000 y,xfyy

yxx

x!n1)y,x(f)y,x(f ∑

∞

=

−

∂∂+−

∂∂+= (A.7)

De maneira semelhante ao caso da série de Taylor para funções de uma variável, a fórmula do

resto de Lagrange para funções de duas variáveis é dada pela Eq. A.8 a seguir.

( ) ( )

( ) )z,z(f!1n

yyy

xxx

)y,x(R yx

1n

00

n +

−

∂∂+−

∂∂

=

+

(A.8)

Neste caso, z é considerado um ponto de coordenadas (zx, zy), localizado no segmento de reta

entre o ponto de origem da série (x0, y0) e o ponto onde se deseja estimar o valor da função, ou

seja, (zx, zy) pertence ao segmento de reta entre os pontos (x0, y0) e (x, y).

Da mesma forma que no caso unidimensional, a Eq. A.8 pode ser empregada para limitar o

erro na aproximação da função. Assim, o erro de truncamento da série de Taylor, para o caso

bidimensional, fica limitado entre os valores:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) )z(f!1n

yyy

xxx

e)z(f!1n

yyy

xxx

máx

1n

00

mín

1n

00

+

−

∂∂+−

∂∂

+

−

∂∂+−

∂∂

++

(A.9)

Onde: fmín(z) e fmáx(z) são, respectivamente, os valores mínimos e máximos das n-ésimas

derivadas da função f(x,y) no intervalo entre a origem (x0, y0) e o ponto onde se

deseja estimar o valor da função (x,y).

94

Se a função f(x,y) for suave o suficiente, de maneira que os valores máximo e mínimo das n-

ésimas derivadas de f(x,y) ocorram nos extremos do intervalo entre a origem (x0, y0) e o ponto

(x,y) onde se deseja aproximar o valor da função, pode-se limitar o erro da aproximação

considerando a função avaliada em (x0, y0) e (x,y) no lugar de fmín(z) e fmáx(z) da Eq. A.9.

95

APÊNDICE B

COMPLEMENTOS DO PROBLEMA DE POTENCIAL

B.1 – ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS

Segue o arquivo de entrada de dados utilizado para o problema de potencial do capítulo 2:

SIZE 20 PROPERTIES Molec# X Y Type Val Teta 1 0.0 6.0 1 300 180 2 0.0 6.0 2 0 90 3 2.0 6.0 2 0 90 4 4.0 6.0 2 0 90 5 4.0 6.0 1 100 0 6 0.0 4.0 1 300 180 7 2.0 4.0 0 0 0 8 4.0 4.0 1 100 0 9 0.0 2.0 1 300 180 10 2.0 2.0 0 0 0 11 4.0 2.0 1 100 0 12 4.0 2.0 2 0 90 13 6.0 2.0 2 0 90 14 6.0 2.0 1 0 0 15 0.0 0.0 1 300 180 16 0.0 0.0 2 0 270 17 2.0 0.0 2 0 270 18 4.0 0.0 2 0 270 19 6.0 0.0 2 0 270 20 6.0 0.0 1 0 0 CONECTIVITY J0 J1 J2 J3 J4 J5 1 3 6 7 9 0 2 3 4 6 7 0 3 2 4 7 8 0 4 2 3 7 8 0 5 3 7 8 11 0 6 2 3 7 9 0 7 3 4 6 8 10 8 3 4 7 11 0 9 6 10 16 17 0 10 7 8 9 12 17 11 7 8 10 18 0 12 10 13 18 19 0 13 10 12 18 19 0 14 12 18 19 8 0 15 6 9 10 17 0 16 9 10 17 18 0 17 9 10 16 18 0 18 12 13 17 19 0 19 17 18 12 14 0 20 8 12 14 18 0

96

B.2 – ARQUIVO DE SAÍDA

As respostas do programa Potencial.cpp são apresentadas na reprodução do arquivo de saída a

seguir:

Program : Potencial.cpp Input-file : L20ND.dat Output-file: L20ND_sci.out J X Y Type Fi dfdn 1 0.00 6.00 1 3.00000000000000e+002 4.99999999999999e+001 2 0.00 6.00 2 3.00000000000000e+002 0.00000000000000e+000 3 2.00 6.00 2 2.00000000000000e+002 0.00000000000000e+000 4 4.00 6.00 2 1.00000000000000e+002 0.00000000000000e+000 5 4.00 6.00 1 1.00000000000000e+002 -5.00000000000001e+001 6 0.00 4.00 1 3.00000000000000e+002 4.99999999999999e+001 7 2.00 4.00 0 2.00000000000000e+002 8 4.00 4.00 1 1.00000000000000e+002 -5.00000000000001e+001 9 0.00 2.00 1 3.00000000000000e+002 5.00000000000002e+001 10 2.00 2.00 0 2.00000000000000e+002 11 4.00 2.00 1 1.00000000000000e+002 -4.99999999999997e+001 12 4.00 2.00 2 9.99999999999997e+001 0.00000000000000e+000 13 6.00 2.00 2 7.34533322629852e-014 0.00000000000000e+000 14 6.00 2.00 1 0.00000000000000e+000 -4.99999999999998e+001 15 0.00 0.00 1 3.00000000000000e+002 5.00000000000003e+001 16 0.00 0.00 2 3.00000000000000e+002 0.00000000000000e+000 17 2.00 0.00 2 1.99999999999999e+002 0.00000000000000e+000 18 4.00 0.00 2 9.99999999999994e+001 0.00000000000000e+000 19 6.00 0.00 2 -3.15703890045566e-013 0.00000000000000e+000 20 6.00 0.00 1 0.00000000000000e+000 -4.99999999999997e+001

B.3 – O PROGRAMA POTENCIAL.CPP

O programa implementado usa um pacote de álgebra linear chamado Template Numerical

Toolkit (TNT). Esse pacote permite o armazenamento de dados com alocação dinâmica de

memória e, além disso, traz rotinas que permitem a inversão de matrizes por fatoração LU e a

solução de sistemas de equações lineares. Ele pode ser obtido pela internet gratuitamente no

endereço:

http://math.nist.gov/tnt/

O código fonte do programa é apresentado no arquivo Potencial.cpp do CD que acompanha

este trabalho, dentro do diretório:

D:\Exemplo de Potencial\

Onde D representa a unidade de CD-ROM utilizada para leitura.

97

APÊNDICE C

COMPLEMETOS DOS EXEMPLOS DE ELASTICIDADE

C.1 – COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 1

O arquivo de entrada de dados para o exemplo da barragem é chamado Dam89M.dat e o que

contém os resultados fornecidos pelo programa, Dam89M.out. Ambos se encontram no CD

que acompanha o trabalho, mais especificamente, no diretório:

D:\Exemplo1_Barragem\


As tabelas apresentadas a seguir foram utilizadas para a produção dos gráficos da Fig. 6.2.

Elas comparam os resultados analíticos, os de elementos finitos e os de operadores discretos

sem o melhoramento da precisão com a consideração da estimava para o erro de truncamento.

Tabela C1 – Comparação das tensões na seção com y = -1 m, sem “melhoramento”.

X (m) Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000

0,0 0,00 0,00 0,19 0,00 0,00 0,23 0,00 0,00 -0,08

0,5 0,69 1,40 -0,24 0,00 0,05 -0,41 0,00 -0,01 0,22

1,0 -0,50 0,15 -2,29 0,00 0,17 -0,87 0,00 0,04 1,16

1,5 -5,44 -4,48 -8,17 0,00 0,28 -1,63 0,00 0,19 2,80

2,0 -16,00 -14,66 -19,77 0,00 0,38 -2,71 0,00 0,41 5,04

2,5 -34,06 -32,25 -39,01 0,00 0,47 -4,39 0,00 0,70 7,95

3,0 -61,50 -59,10 -67,74 0,00 0,57 -6,56 0,00 1,04 11,48

3,5 -100,19 -97,07 -107,92 0,00 0,66 -9,64 0,00 1,46 15,684,0 -152,00 -148,00 -161,38 0,00 0,76 -13,41 0,00 1,93 20,49

4,5 -218,81 -213,77 -230,09 0,00 0,85 -18,35 0,00 2,47 25,96

5,0 -302,50 -296,24 -315,93 0,00 0,95 -24,32 0,00 3,07 32,10

5,5 -404,94 -397,38 -420,90 0,00 1,06 -31,47 0,00 3,74 38,91

6,0 -528,00 -519,42 -548,66 0,00 1,07 -41,61 0,00 4,52 46,82

6,5 -673,56 -660,93 -697,63 0,00 1,46 -48,79 0,00 4,81 56,30

7,0 -843,50 -832,73 -866,65 0,00 -3,28 -62,95 0,00 7,28 54,35

7,5 -1039,69 -962,86 -1096,66 0,00 -4,99 -59,60 0,00 4,08 89,628,0 -1264,00 -1469,20 -1307,33 0,00 0,00 -326,83 0,00 0,00 182,78

σx (N/mm²) para y = -1,0 m σy (N/mm²) para y = -1,0 m τxy (N/mm²) para y = -1,0 m

98

Tabela C2 – Comparação das tensões na seção com y = -0,5 m, sem “melhoramento”.


0,0 0,00 0,42 -0,22 0,00 -0,13 0,13 -0,05 -0,07 0,08

0,5 -0,59 -0,48 -1,03 -0,78 -1,35 -1,22 0,66 0,83 0,70

1,0 -2,13 -1,75 -3,01 -1,56 -2,65 -2,40 2,77 2,30 2,59

1,5 -5,53 -4,96 -6,88 -2,34 -3,97 -3,59 6,28 4,82 5,71

2,0 -11,75 -10,95 -13,55 -3,13 -5,29 -4,79 11,20 8,34 10,11

2,5 -21,72 -20,65 -23,96 -3,91 -6,61 -5,99 17,53 12,88 15,73

3,0 -36,38 -34,98 -39,05 -4,69 -7,93 -7,19 25,27 18,42 22,64

3,5 -56,66 -54,87 -59,76 -5,47 -9,26 -8,38 34,41 24,97 30,77

4,0 -83,50 -81,24 -87,03 -6,25 -10,58 -9,58 44,95 32,53 40,17

4,5 -117,84 -115,04 -121,79 -7,03 -11,92 -10,77 56,91 41,10 50,81

5,0 -160,63 -157,18 -164,99 -7,81 -13,27 -12,01 70,27 50,70 62,71

5,5 -212,78 -208,61 -217,55 -8,59 -14,66 -13,31 85,03 61,34 76,02

6,0 -275,25 -270,32 -279,88 -9,38 -16,05 -14,93 101,20 73,00 90,71

6,5 -348,97 -343,37 -355,61 -10,16 -17,28 -17,05 118,78 85,63 107,13

7,0 -434,88 -426,47 -447,49 -10,94 -19,52 -11,98 137,77 98,43 125,42

7,5 -533,91 -494,95 -488,80 -11,72 -45,55 -4,17 158,16 100,16 127,048,0 -647,00 -504,66 -511,70 -12,50 -53,77 -127,93 179,95 62,21 154,50


Tabela C3 – Comparação das tensões na seção com y = 0 m, sem “melhoramento”.


0,0 0,00 0,00 0,33 0,00 0,00 0,08 0,25 -0,13 0,22

0,5 0,00 0,00 0,00 -2,50 -2,50 -2,50 1,19 1,22 1,19

1,0 0,00 0,00 0,00 -5,00 -5,00 -5,00 4,00 3,38 3,94

1,5 0,00 0,00 0,00 -7,50 -7,50 -7,50 8,69 7,06 8,54

2,0 0,00 0,00 0,00 -10,00 -10,00 -10,00 15,25 12,21 14,96

2,5 0,00 0,00 0,00 -12,50 -12,50 -12,50 23,69 18,83 23,25

3,0 0,00 0,00 0,00 -15,00 -15,00 -15,00 34,00 26,92 33,35

3,5 0,00 0,00 0,00 -17,50 -17,50 -17,50 46,19 36,48 45,31

4,0 0,00 0,00 -0,02 -20,00 -20,00 -19,99 60,25 47,51 59,08

4,5 0,00 0,01 -0,04 -22,50 -22,52 -22,49 76,19 60,02 74,73

5,0 0,00 0,05 -0,02 -25,00 -25,06 -25,01 94,00 73,99 92,18

5,5 0,00 0,18 0,21 -27,50 -27,63 -27,71 113,69 89,44 111,50

6,0 0,00 0,49 0,94 -30,00 -30,15 -30,58 135,25 106,38 132,56

6,5 0,00 0,96 2,79 -32,50 -32,09 -33,60 158,69 124,84 154,69

7,0 0,00 0,65 1,86 -35,00 -31,10 -35,27 184,00 141,31 192,10

7,5 0,00 -2,17 -2,23 -37,50 -21,56 -24,11 211,19 129,90 173,718,0 0,00 -5,16 -0,90 -40,00 -1,72 -0,22 240,25 86,81 148,64

σx (N/mm²) para y = 0 σy (N/mm²) para y = 0 τxy (N/mm²) para y = 0

99

Tabela C4 – Comparação das tensões na seção com y = 0,5 m, sem “melhoramento”.


0,0 0,00 -0,42 0,88 0,00 0,13 0,02 -0,05 -0,07 0,14

0,5 0,59 0,48 1,03 -4,22 -3,65 -3,78 0,66 0,83 0,75

1,0 2,13 1,75 3,01 -8,44 -7,35 -7,60 2,77 2,30 2,64

1,5 5,53 4,96 6,88 -12,66 -11,03 -11,41 6,28 4,82 5,76

2,0 11,75 10,95 13,55 -16,88 -14,71 -15,21 11,20 8,34 10,16

2,5 21,72 20,65 23,96 -21,09 -18,39 -19,01 17,53 12,88 15,79

3,0 36,38 34,98 39,05 -25,31 -22,07 -22,81 25,27 18,42 22,69

3,5 56,66 54,87 59,76 -29,53 -25,74 -26,61 34,41 24,97 30,82

4,0 83,50 81,25 87,02 -33,75 -29,43 -30,41 44,95 32,53 40,25

4,5 117,84 115,03 121,77 -37,97 -33,11 -34,20 56,91 41,09 50,87

5,0 160,63 157,16 164,95 -42,19 -36,82 -38,05 70,27 50,63 62,83

5,5 212,78 208,52 217,47 -46,41 -40,54 -41,98 85,03 61,14 75,76

6,0 275,25 270,02 280,11 -50,63 -44,13 -46,14 101,20 72,52 90,05

6,5 348,97 342,60 356,35 -54,84 -46,83 -49,60 118,78 85,00 104,21

7,0 434,88 424,93 452,09 -59,06 -43,96 -56,25 137,77 99,38 123,63

7,5 533,91 490,83 485,18 -63,28 -2,76 -57,45 158,16 107,01 137,228,0 647,00 485,22 591,30 -67,50 26,59 147,77 179,95 71,68 143,02

σx (N/mm²) para y = 0,5 m σy (N/mm²) para y = 0,5 m τxy (N/mm²) para y = 0,5 m

Tabela C5 – Comparação das tensões na seção com y = 1 m, sem “melhoramento”.

As tabelas apresentadas a seguir foram usadas para construir os gráficos da Fig. 6.3. Elas

permitem comparar os resultados analíticos e os de operadores discretos, com e sem o

melhoramento das aproximações através da estimativa do erro de truncamento.


0,0 0,00 0,00 0,48 0,00 0,00 -0,07 0,00 0,00 -0,21

0,5 -0,69 -1,40 0,24 -5,00 -5,05 -4,59 0,00 -0,01 0,09

1,0 0,50 -0,15 2,29 -10,00 -10,17 -9,13 0,00 0,04 1,03

1,5 5,44 4,48 8,17 -15,00 -15,28 -13,37 0,00 0,19 2,67

2,0 16,00 14,66 19,77 -20,00 -20,38 -17,29 0,00 0,41 4,91

2,5 34,06 32,25 39,01 -25,00 -25,47 -20,61 0,00 0,70 7,82

3,0 61,50 59,10 67,73 -30,00 -30,57 -23,44 0,00 1,05 11,35

3,5 100,19 97,07 107,93 -35,00 -35,66 -25,35 0,00 1,46 15,56

4,0 152,00 148,02 161,42 -40,00 -40,76 -26,59 0,00 1,93 20,37

4,5 218,81 213,80 230,23 -45,00 -45,85 -26,58 0,00 2,47 25,89

5,0 302,50 296,19 316,09 -50,00 -50,94 -25,74 0,00 3,06 31,92

5,5 404,94 396,82 420,81 -55,00 -56,00 -23,58 0,00 3,69 38,78

6,0 528,00 516,88 546,26 -60,00 -60,83 -19,61 0,00 4,31 45,43

6,5 673,56 652,16 689,72 -65,00 -65,94 -18,27 0,00 4,20 54,55

7,0 843,50 814,75 850,74 -70,00 -65,12 -8,30 0,00 6,82 49,51

7,5 1039,69 930,01 1094,47 -75,00 -68,18 -15,28 0,00 4,02 101,58

8,0 1264,00 1524,33 1344,85 -80,00 -80,00 336,21 0,00 0,00 221,45


100

Tabela C6 – Comparação das tensões na seção com y = -1 m, com e sem “melhoramento”.

X (m) Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor.

0,0 0,00 0,00 -0,47 0,00 0,00 -0,10 0,00 0,00 0,12

0,5 0,69 1,40 1,55 0,00 0,05 -0,01 0,00 -0,01 -0,06

1,0 -0,50 0,15 0,68 0,00 0,17 0,11 0,00 0,04 -0,14

1,5 -5,44 -4,48 -3,62 0,00 0,28 0,20 0,00 0,19 -0,11

2,0 -16,00 -14,66 -13,52 0,00 0,38 0,27 0,00 0,41 -0,07

2,5 -34,06 -32,25 -30,82 0,00 0,47 0,34 0,00 0,70 -0,02

3,0 -61,50 -59,10 -57,38 0,00 0,57 0,41 0,00 1,04 0,05

3,5 -100,19 -97,07 -95,06 0,00 0,66 0,48 0,00 1,46 0,134,0 -152,00 -148,00 -145,71 0,00 0,76 0,55 0,00 1,93 0,21

4,5 -218,81 -213,77 -211,19 0,00 0,85 0,62 0,00 2,47 0,31

5,0 -302,50 -296,24 -293,36 0,00 0,95 0,70 0,00 3,07 0,43

5,5 -404,94 -397,38 -394,14 0,00 1,06 0,81 0,00 3,74 0,55

6,0 -528,00 -519,42 -516,41 0,00 1,07 0,66 0,00 4,52 0,75

6,5 -673,56 -660,93 -656,47 0,00 1,46 1,47 0,00 4,81 -0,17

7,0 -843,50 -832,73 -839,71 0,00 -3,28 -4,14 0,00 7,28 3,41

7,5 -1039,69 -962,86 -970,09 0,00 -4,99 1,26 0,00 4,08 -0,548,0 -1264,00 -1469,20 -1525,89 0,00 0,00 24,27 0,00 0,00 -10,92


Tabela C7 – Comparação das tensões na seção com y = -0,5 m, com e sem “melhoramento”.


0,0 0,00 0,42 0,00 0,00 -0,13 -0,26 -0,05 -0,07 -0,01

0,5 -0,59 -0,48 -0,62 -0,78 -1,35 -1,36 0,66 0,83 0,81

1,0 -2,13 -1,75 -1,81 -1,56 -2,65 -2,60 2,77 2,30 2,34

1,5 -5,53 -4,96 -5,06 -2,34 -3,97 -3,90 6,28 4,82 5,11

2,0 -11,75 -10,95 -11,08 -3,13 -5,29 -5,21 11,20 8,34 8,98

2,5 -21,72 -20,65 -20,81 -3,91 -6,61 -6,51 17,53 12,88 13,96

3,0 -36,38 -34,98 -35,18 -4,69 -7,93 -7,81 25,27 18,42 20,05

3,5 -56,66 -54,87 -55,10 -5,47 -9,26 -9,11 34,41 24,97 27,24

4,0 -83,50 -81,24 -81,51 -6,25 -10,58 -10,42 44,95 32,53 35,54

4,5 -117,84 -115,04 -115,34 -7,03 -11,92 -11,73 56,91 41,10 44,95

5,0 -160,63 -157,18 -157,51 -7,81 -13,27 -13,07 70,27 50,70 55,48

5,5 -212,78 -208,61 -208,96 -8,59 -14,66 -14,44 85,03 61,34 67,19

6,0 -275,25 -270,32 -270,75 -9,38 -16,05 -15,85 101,20 73,00 80,01

6,5 -348,97 -343,37 -344,30 -10,16 -17,28 -17,05 118,78 85,63 94,04

7,0 -434,88 -426,47 -431,82 -10,94 -19,52 -19,96 137,77 98,43 110,53

7,5 -533,91 -494,95 -497,04 -11,72 -45,55 -47,06 158,16 100,16 110,698,0 -647,00 -504,66 -501,19 -12,50 -53,77 -70,74 179,95 62,21 64,56


101

Tabela C8 – Comparação das tensões na seção com y = 0, com e sem “melhoramento”.


0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 -0,13 -0,09

0,5 0,00 0,00 0,00 -2,50 -2,50 -2,50 1,19 1,22 1,21

1,0 0,00 0,00 0,00 -5,00 -5,00 -5,00 4,00 3,38 3,53

1,5 0,00 0,00 0,00 -7,50 -7,50 -7,50 8,69 7,06 7,64

2,0 0,00 0,00 0,00 -10,00 -10,00 -10,00 15,25 12,21 13,38

2,5 0,00 0,00 0,00 -12,50 -12,50 -12,50 23,69 18,83 20,77

3,0 0,00 0,00 0,00 -15,00 -15,00 -15,00 34,00 26,92 29,79

3,5 0,00 0,00 0,00 -17,50 -17,50 -17,50 46,19 36,48 40,46

4,0 0,00 0,00 0,00 -20,00 -20,00 -20,00 60,25 47,51 52,76

4,5 0,00 0,01 0,01 -22,50 -22,52 -22,52 76,19 60,02 66,71

5,0 0,00 0,05 0,05 -25,00 -25,06 -25,06 94,00 73,99 82,30

5,5 0,00 0,18 0,20 -27,50 -27,63 -27,66 113,69 89,44 99,54

6,0 0,00 0,49 0,61 -30,00 -30,15 -30,26 135,25 106,38 118,45

6,5 0,00 0,96 1,38 -32,50 -32,09 -32,39 158,69 124,84 139,54

7,0 0,00 0,65 1,52 -35,00 -31,10 -31,61 184,00 141,31 161,02

7,5 0,00 -2,17 -1,43 -37,50 -21,56 -21,47 211,19 129,90 146,808,0 0,00 -5,16 -4,53 -40,00 -1,72 1,73 240,25 86,81 90,73

σx (N/mm²) para y = 0 σy (N/mm²) para y = 0 τxy (N/mm²) para y = 0

Tabela C9 – Comparação das tensões na seção com y = 0,5 m, com e sem “melhoramento”.


0,0 0,00 -0,42 0,00 0,00 0,13 0,26 -0,05 -0,07 -0,01

0,5 0,59 0,48 0,62 -4,22 -3,65 -3,64 0,66 0,83 0,81

1,0 2,13 1,75 1,81 -8,44 -7,35 -7,40 2,77 2,30 2,34

1,5 5,53 4,96 5,06 -12,66 -11,03 -11,10 6,28 4,82 5,11

2,0 11,75 10,95 11,08 -16,88 -14,71 -14,79 11,20 8,34 8,98

2,5 21,72 20,65 20,81 -21,09 -18,39 -18,49 17,53 12,88 13,96

3,0 36,38 34,98 35,18 -25,31 -22,07 -22,19 25,27 18,42 20,05

3,5 56,66 54,87 55,10 -29,53 -25,74 -25,89 34,41 24,97 27,24

4,0 83,50 81,25 81,51 -33,75 -29,43 -29,59 44,95 32,53 35,53

4,5 117,84 115,03 115,33 -37,97 -33,11 -33,30 56,91 41,09 44,93

5,0 160,63 157,16 157,49 -42,19 -36,82 -37,03 70,27 50,63 55,41

5,5 212,78 208,52 208,92 -46,41 -40,54 -40,79 85,03 61,14 66,94

6,0 275,25 270,02 270,70 -50,63 -44,13 -44,47 101,20 72,52 79,36

6,5 348,97 342,60 344,34 -54,84 -46,83 -47,44 118,78 85,00 92,94

7,0 434,88 424,93 432,50 -59,06 -43,96 -44,12 137,77 99,38 111,22

7,5 533,91 490,83 495,58 -63,28 -2,76 -1,37 158,16 107,01 118,408,0 647,00 485,22 485,44 -67,50 26,59 48,24 179,95 71,68 77,18


102

Tabela C10 – Comparação das tensões na seção com y = 1 m, com e sem “melhoramento”.


0,0 0,00 0,00 0,47 0,00 0,00 0,10 0,00 0,00 0,12

0,5 -0,69 -1,40 -1,55 -5,00 -5,05 -4,99 0,00 -0,01 -0,06

1,0 0,50 -0,15 -0,68 -10,00 -10,17 -10,11 0,00 0,04 -0,14

1,5 5,44 4,48 3,62 -15,00 -15,28 -15,20 0,00 0,19 -0,11

2,0 16,00 14,66 13,52 -20,00 -20,38 -20,27 0,00 0,41 -0,07

2,5 34,06 32,25 30,82 -25,00 -25,47 -25,34 0,00 0,70 -0,02

3,0 61,50 59,10 57,38 -30,00 -30,57 -30,41 0,00 1,05 0,05

3,5 100,19 97,07 95,07 -35,00 -35,66 -35,48 0,00 1,46 0,13

4,0 152,00 148,02 145,74 -40,00 -40,76 -40,55 0,00 1,93 0,22

4,5 218,81 213,80 211,23 -45,00 -45,85 -45,61 0,00 2,47 0,32

5,0 302,50 296,19 293,39 -50,00 -50,94 -50,66 0,00 3,06 0,43

5,5 404,94 396,82 393,84 -55,00 -56,00 -55,67 0,00 3,69 0,51

6,0 528,00 516,88 514,58 -60,00 -60,83 -60,24 0,00 4,31 0,55

6,5 673,56 652,16 648,21 -65,00 -65,94 -65,96 0,00 4,20 -1,03

7,0 843,50 814,75 822,49 -70,00 -65,12 -64,86 0,00 6,82 2,52

7,5 1039,69 930,01 937,42 -75,00 -68,18 -76,66 0,00 4,02 -1,38

8,0 1264,00 1524,33 1596,65 -80,00 -80,00 -108,98 0,00 0,00 -12,40



Os arquivos de entrada de dados e os de saída, para o exemplo do tubo de parede espessa com

pressão interna, se encontram no CD que acompanha este trabalho, dentro do diretório:

D:\Exemplo2_Tubo\

Onde D é a unidade de CD-ROM utilizada para leitura.

A descrição de cada arquivo é apresentada a seguir:

− Tubo49M.dat / Tubo49M.out: Arquivos de entrada e saída, respectivamente, para uma

discretização em 98 graus de liberdade, apresentada na Fig. 6.8;







103

As tabelas apresentadas a seguir foram utilizadas para a produção dos gráficos da Fig. 6.6,

que comparam os resultados analíticos e de elementos finitos aos resultados de operadores

discretos sem o melhoramento da precisão com a consideração da estimativa para o erro de

truncamento.

Tabela C11 – Comparação das tensões na seção com r = 25 mm.

R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6025 90 38,0952381 41,198846 36,74438 1,42951E-31 -0,347377 -4,50675 -2,3336E-15 0,58645 -2,62728425 80 36,94652611 37,867473 35,95275 1,148711985 1,05339 -2,0491953 -6,5146694 -6,675217 -6,77362625 70 33,63894177 35,202365 32,390505 4,456296322 4,528333 1,18382495 -12,2435735 -12,865587 -12,8565725 60 28,57142857 30,227752 26,76879 9,523809524 9,969415 6,8945925 -16,495722 -17,538733 -17,6077125 50 22,35520338 23,766751 20,53103 15,74003471 16,68601 13,114955 -18,7582429 -20,072813 -19,87372525 40 15,74003471 16,68601 13,11496 22,35520338 23,766751 20,53103 -18,7582429 -20,072813 -19,87372525 30 9,523809524 9,969415 6,8945935 28,57142857 30,227752 26,768795 -16,495722 -17,538733 -17,6077125 20 4,456296322 4,528333 1,18382525 33,63894177 35,202365 32,390505 -12,2435735 -12,865587 -12,85657525 10 1,148711985 1,05339 -2,04919545 36,94652611 37,867473 35,95275 -6,5146694 -6,675217 -6,773626525 0 0 -0,347377 -4,50675 38,0952381 41,198846 36,74439 0 0,58645 -2,627285

σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)


R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6022 90 43,64423455 49,504656 43,19026 -5,54899646 -6,658068 -4,9966807 -3,0135E-15 0,563737 -2,898394522 80 42,16087713 43,965458 41,696425 -4,06563904 -6,385126 -4,6340057 -8,41253796 -8,785242 -8,1255267522 70 37,88971968 39,735628 37,4943025 0,20551842 -1,91027 -0,37287175 -15,8103997 -17,046823 -15,818407522 60 31,3459268 32,733607 30,831195 6,749311295 5,281878 6,28773125 -21,3012939 -23,353553 -21,3788422 50 23,31877651 23,854864 22,898695 14,77646159 14,274011 14,223265 -24,2229376 -26,752661 -24,2709522 40 14,77646159 14,274011 14,223268 23,31877651 23,854864 22,898695 -24,2229376 -26,752661 -24,2709522 30 6,749311295 5,281878 6,28773225 31,3459268 32,733607 30,831195 -21,3012939 -23,353553 -21,378842522 20 0,20551842 -1,91027 -0,37287125 37,88971968 39,735628 37,4943075 -15,8103997 -17,046823 -15,8184122 10 -4,06563904 -6,385126 -4,6340065 42,16087713 43,965458 41,69643 -8,41253796 -8,785242 -8,1255272522 0 -5,54899646 -6,658068 -4,99668165 43,64423455 49,504656 43,190265 0 0,563737 -2,8983955



R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6019 90 52,02479884 60,189442 50,984805 -13,9295607 -16,38523 -15,872186 -4,0402E-15 0,842433 -4,26358819 80 50,03603155 52,527046 49,589935 -11,9407935 -16,024717 -13,0297613 -11,2788598 -11,661458 -10,732113319 70 44,30960438 46,436443 43,4299625 -6,21436628 -10,139057 -7,14017328 -21,1973226 -22,917267 -21,38599519 60 35,53620894 36,711495 34,778575 2,559029152 -0,505982 1,551337 -28,5590754 -31,430464 -28,642977519 50 24,77404622 24,571083 23,8614625 13,32119187 11,602506 12,457003 -32,4761823 -35,993116 -32,6169619 40 13,32119187 11,602506 12,45700425 24,77404622 24,571083 23,86146 -32,4761823 -35,993116 -32,6169619 30 2,559029152 -0,505982 1,551341275 35,53620894 36,711495 34,778575 -28,5590754 -31,430464 -28,6429819 20 -6,21436628 -10,139057 -7,14017318 44,30960438 46,436443 43,4299625 -21,1973226 -22,917267 -21,385997519 10 -11,9407935 -16,024717 -13,0297643 50,03603155 52,527046 49,5899375 -11,2788598 -11,661458 -10,732116319 0 -13,9295607 -16,38523 -15,8721865 52,02479884 60,189442 50,984805 0 0,842433 -4,2635885


104


R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6016 90 65,55059524 76,968662 63,98153 -27,4553571 -31,725675 -28,13056 -5,6973E-15 1,15235 -4,965544516 80 62,74612262 66,014062 61,1268425 -24,6508845 -31,653656 -26,91888 -15,9049546 -16,78666 -15,564852516 70 54,67096555 57,092145 53,1604825 -16,5757275 -23,446654 -18,6125235 -29,8915369 -32,723277 -30,081567516 60 42,29910714 43,001749 40,63232 -4,20386905 -9,769525 -6,1339485 -40,2727587 -44,706239 -40,56937516 50 27,12277612 25,702238 25,43464 10,97246198 7,349471 9,101174 -45,7964915 -51,080795 -46,1067716 40 10,97246198 7,349471 9,1011775 27,12277612 25,702238 25,434635 -45,7964915 -51,080795 -46,106772516 30 -4,20386905 -9,769525 -6,1339475 42,29910714 43,001749 40,632315 -40,2727587 -44,706239 -40,569382516 20 -16,5757275 -23,446654 -18,612524 54,67096555 57,092145 53,1604825 -29,8915369 -32,723277 -30,0815716 10 -24,6508845 -31,653656 -26,9188825 62,74612262 66,014062 61,1268425 -15,9049546 -16,78666 -15,564857516 0 -27,4553571 -31,725675 -28,13056 65,55059524 76,968662 63,98153 0 1,15235 -4,965545



R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6013 90 89,48999718 106,188688 85,976355 -51,3947591 -60,688258 -57,50174 -8,6302E-15 1,697874 -8,53820413 80 85,24180197 89,662674 82,45006 -47,1465639 -59,263368 -52,10318 -24,0927123 -26,021038 -23,70320513 70 73,00961138 75,279672 69,4023825 -34,9143733 -46,617928 -39,696135 -45,2794879 -50,379771 -45,929762513 60 54,26880811 53,740385 50,57406 -16,17357 -25,87816 -20,7779338 -61,004889 -68,217184 -61,71384513 50 31,27980964 27,587585 27,21061625 6,815428454 -0,0578 2,5381505 -69,3722001 -77,685524 -70,19492513 40 6,815428454 -0,0578 2,53815725 31,27980964 27,587585 27,21060925 -69,3722001 -77,685524 -70,19492513 30 -16,17357 -25,87816 -20,7779333 54,26880811 53,740385 50,5740525 -61,004889 -68,217184 -61,7138513 20 -34,9143733 -46,617928 -39,6961375 73,00961138 75,279672 69,402375 -45,2794879 -50,379771 -45,929762513 10 -47,1465639 -59,263368 -52,10318 85,24180197 89,662674 82,45006 -24,0927123 -26,021038 -23,703207513 0 -51,3947591 -60,688258 -57,501765 89,48999718 106,188688 85,976355 0 1,697874 -8,5382105



R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6010 90 138,0952381 153,319705 142,6333 -100 -98,460814 -62,18792 -1,4585E-14 -0,455694 -10,1893610 80 130,9157882 147,810178 136,9716 -92,8205501 -68,446929 -56,55593 -40,7166837 -40,560188 -34,56566510 70 110,2433861 130,280666 119,45425 -72,148148 -48,550479 -39,685685 -76,5223345 -75,06242 -66,259210 60 78,57142857 98,889527 91,32289 -40,4761905 -18,000457 -10,8534605 -103,098262 -101,352053 -89,75861510 50 39,72002115 60,719526 58,723365 -1,62478306 19,963327 21,502585 -117,239018 -115,185095 -101,6993510 40 -1,62478306 19,963327 21,50259 39,72002115 60,719526 58,72335 -117,239018 -115,185095 -101,6993510 30 -40,4761905 -18,000457 -10,8534645 78,57142857 98,889527 91,322865 -103,098262 -101,352053 -89,75862510 20 -72,148148 -48,550479 -39,68568 110,2433861 130,280666 119,45425 -76,5223345 -75,06242 -66,259210 10 -92,8205501 -68,446929 -56,555925 130,9157882 147,810178 136,9716 -40,7166837 -40,560188 -34,56567510 0 -100 -98,460814 -62,18796 138,0952381 153,319705 142,6333 0 -0,455694 -10,18938


105


O arquivo de entrada de dados para o exemplo da chapa quadrada com furo no centro foi

chamado TracH174M.dat e o de saída, TracH174M.out. Ambos podem ser encontrados CD

que acompanha este trabalho, dentro do diretório:

D:\Exemplo3_Chapa com Furo\

Onde D é a unidade de CD-ROM utilizada para leitura.

As tabelas apresentadas a seguir foram empregadas para na produção dos gráficos da Fig.

6.14, onde os resultados de operadores discretos, sem considerações quanto ao erro cometido,

são comparados aos resultados analíticos e aos de elementos finitos.


R (mm) θ (graus) Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP1691 90 -100 -132,258318 -96,2144 0 -12,490103 -9,787157 0 -3,182524 -1,4607351 78,75 -81,5493157 -85,509191 -81,96352 -3,22659082 -11,543431 -6,9901835 16,22116744 11,390388 3,43839651 67,5 -35,3553391 -48,964059 -47,30861 -6,06601718 -3,950361 7,2678685 14,64466094 21,324188 -2,72454651 56,25 16,22116744 -14,204434 -5,7481 7,242146086 18,750224 37,03589 -10,8386376 -8,797848 -20,86854551 45 50 39,716246 27,934245 50 70,309877 88,16477 -50 -47,360805 -44,482141 33,75 54,48951068 55,568898 45,1171 122,0471758 162,869497 156,01035 -81,5493157 -78,831377 -61,240771 22,5 35,35533906 47,106983 45,97814 206,0660172 223,134961 226,26445 -85,3553391 -89,901992 -60,375931 11,25 10,83863757 34,728936 40,91984 273,9372689 283,118942 280,71585 -54,4895107 -45,720148 -35,936531 0 0 15,688698 37,34814 300 356,113128 300,7094 0 5,290703 -9,765828


Tabela C18 – Comparação das tensões na seção com r = 5,45 mm.

R (mm) θ (graus) Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP1695,45 90 1,513337936 2,999482 1,487112 91,75322212 95,970242 92,4572 0 0,333768 -1,1277065,45 78,75 0,705184941 0,869913 0,65061958 93,07392771 95,972059 93,9539325 -2,90460076 -2,331997 -2,57272655,45 67,5 -1,19031526 -0,813901 -1,47154953 96,42905422 98,367615 97,42315 -4,38701318 -3,784259 -4,1025715,45 56,25 -2,90460076 -2,349097 -3,3254862 100,3278248 101,454307 101,65384 -3,81562862 -3,35129 -3,32493265,45 45 -3,19669792 -3,017615 -3,7668595 103,1966979 103,721112 104,5821 -1,68335999 -1,668946 -1,519222985,45 33,75 -1,6162128 -2,014262 -2,1890592 104,1929887 104,231328 105,33472 0,705184941 0,279822 0,737980845,45 22,5 1,190315262 0,130249 0,5009899 103,5709458 103,725748 104,80775 2,006382661 1,457723 2,1534495,45 11,25 3,815628616 2,007297 2,88376325 102,4052587 102,754379 103,5705 1,616212801 1,130502 1,60936685,45 0 4,880057909 2,160406 3,9408635 101,853382 101,593509 102,9772 0 -0,202506 0,7610208


106

Tabela C19 – Comparação das tensões na seção com y = 0.

x (mm) y (mm) Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP1691 0 0 15,688698 37,34814 300 356,113128 300,7094 0 5,290703 -9,765828

1,25 0 34,56 5,000861 24,5431465 193,44 236,4162 187,8288 0 4,034411 -3,38589811,55 0 36,44746573 13,642648 34,31001 146,7991524 160,927349 146,7356 0 4,823159 2,949731,95 0 29,07357482 24,387197 28,12381 123,5234009 126,072306 125,16275 0 0,173353 3,23820152,45 0 20,82639106 16,929077 20,647075 112,4930592 111,768663 114,78465 0 -0,110235 2,8639423,05 0 14,39132516 11,870015 13,780205 107,1082717 106,090534 109,3234 0 -0,601118 2,04352553,75 0 9,908148148 7,426046 9,2384595 104,3140741 103,667285 106,28745 0 -0,208115 1,4959624,55 0 6,89551978 4,76684 5,8375565 102,7651492 102,435617 104,3363 0 -0,410166 1,040567255,45 0 4,880057909 2,160406 3,9408635 101,853382 101,593509 102,9772 0 -0,202506 0,7610208

6 0 4,050925926 1,71613 1,6715585 101,5046296 101,452713 101,19765 0 0,00022 0,41367617 0 2,998750521 1,10336 2,745773 101,0828821 100,696304 102,30615 0 0,012697 0,607679758 0 2,307128906 0,56969 0,83088415 100,8178711 99,820002 100,0979 0 0,006725 0,27749399 0 1,828989483 0,233093 0,33957785 100,6401463 98,762772 98,856485 0 0,00254 0,175730110 0 1,485 -0,045896 -0,09065188 100,515 97,43334 97,1246 0 0 0,1154517


C.4– COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 4

O arquivo de entrada de dados para o exemplo da chapa em forma de “L” foi chamado

L231.dat e o de saída, L231.out. Ambos podem ser encontrados no CD que acompanha este

trabalho, dentro diretório: D:\Exemplo4_Chapa em L\

Onde D é a unidade de CD-ROM utilizada para a leitura.

As tabelas apresentadas a seguir foram empregadas para a produção dos gráficos da Fig. 6.18,

onde os resultados de operadores discretos, sem considerações quanto ao erro cometido, são

comparados aos resultados de dois modelos em elementos finitos.

Tabela C20 – Comparação das tensões na seção com x = 0.

x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP8330 0 50,658 54,156 53,440 186,809 188,983 191,309 0,000 -2,113 -0,9700 -10 50,229 54,202 53,381 181,549 186,150 188,471 -0,100 -1,377 -1,0360 -20 50,245 53,815 53,217 173,501 177,624 180,144 -0,247 -4,069 -2,0140 -30 50,248 53,572 52,936 159,807 163,736 166,282 -0,378 -5,837 -2,9990 -40 50,238 52,996 52,557 140,813 144,683 147,153 -0,504 -7,641 -3,9050 -50 50,190 52,790 52,105 117,213 121,492 123,471 -0,605 -8,846 -4,6240 -60 50,081 52,257 51,617 90,448 95,533 96,653 -0,656 -9,564 -5,0150 -70 49,914 52,266 51,135 62,801 69,032 68,878 -0,637 -9,331 -4,9550 -80 49,740 51,806 50,696 37,095 44,194 42,817 -0,546 -8,314 -4,4010 -90 49,642 51,816 50,327 15,987 23,359 21,019 -0,397 -6,575 -3,4420 -100 49,642 51,259 50,052 1,194 7,875 5,231 -0,218 -4,429 -2,2710 -110 49,711 51,098 49,885 -6,926 -1,577 -4,024 -0,046 -2,363 -1,1230 -120 49,814 50,525 49,822 -9,280 -5,655 -7,441 0,084 -0,554 -0,1940 -130 49,933 50,302 49,839 -7,653 -5,593 -6,607 0,150 0,531 0,3960 -140 50,060 49,832 49,883 -4,465 -3,452 -3,613 0,107 0,990 0,5880 -150 50,479 49,501 49,865 -1,994 -1,288 -0,817 0,023 0,560 0,3530 -160 52,519 49,556 50,006 0,000 -0,447 0,005 0,000 0,259 0,007


107

Tabela C21 – Comparação das tensões na seção com x = 40mm.

x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP8334 0 23,126 23,131 23,140 -1,556 1,908 1,812 0,012 -4,368 -2,2914 -1 23,309 23,109 23,162 -1,075 2,254 2,059 -8,673 -8,478 -9,4714 -2 23,650 23,270 23,363 -0,529 2,931 2,728 -17,492 -18,911 -18,9004 -3 24,662 23,963 24,201 0,240 3,965 3,672 -26,356 -28,257 -28,4624 -4 27,205 26,213 26,593 0,853 4,431 4,455 -35,172 -38,270 -38,0454 -5 32,673 31,957 32,028 0,560 3,594 4,191 -43,472 -47,040 -47,1404 -6 42,717 42,580 42,132 -1,629 0,794 1,745 -49,825 -53,611 -54,1044 -7 57,676 57,467 56,811 -5,941 -3,797 -3,178 -51,312 -54,553 -55,9124 -8 73,470 72,366 72,101 -10,590 -8,420 -8,865 -45,063 -48,613 -50,0554 -9 82,201 81,943 81,941 -13,227 -11,634 -12,497 -32,646 -36,940 -37,5934 -10 82,368 83,521 83,421 -12,810 -12,145 -12,711 -19,052 -22,925 -22,9484 -11 76,734 78,484 78,324 -10,410 -10,474 -10,433 -7,724 -10,555 -10,2534 -12 68,357 69,916 69,947 -7,434 -7,633 -7,337 0,158 -1,290 -1,2394 -13 59,211 60,475 60,608 -4,707 -4,709 -4,475 4,555 3,812 4,0014 -14 50,368 51,369 51,515 -2,563 -2,432 -2,219 5,700 5,668 5,7904 -15 42,527 43,226 43,393 -1,174 -0,963 -0,704 3,745 3,886 4,4054 -16 36,331 36,578 36,880 0,077 -1,102 -0,507 0,228 2,046 1,058



x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP83380 0 -0,456 -4,906 -3,639 -196,275 -193,418 -195,406 0,000 -1,677 -0,88980 -10 -0,153 -4,693 -3,635 -192,780 -191,453 -193,488 -0,029 -0,908 -0,69380 -20 -0,134 -5,004 -3,641 -187,648 -186,134 -188,009 -0,055 -2,484 -1,31480 -30 -0,085 -4,354 -3,660 -179,346 -177,250 -179,114 -0,038 -4,171 -1,90980 -40 0,013 -5,244 -3,767 -168,613 -165,727 -167,146 0,079 -4,335 -2,43980 -50 0,543 -4,183 -4,099 -156,190 -150,635 -152,376 0,308 -8,100 -2,91280 -60 -0,824 -2,440 -4,767 -154,274 -131,714 -134,295 2,552 -3,214 -3,29680 -70 24,236 -6,438 -0,924 -68,481 -70,515 -104,675 -11,926 -42,763 -1,72880 -80 255,969 227,150 288,825 55,946 35,017 85,095 -80,092 -52,857 -73,11080 -90 174,334 165,353 171,850 25,370 22,098 26,884 -20,091 -13,833 -7,65480 -100 131,464 133,765 134,484 16,652 11,127 12,337 0,362 2,862 1,68580 -110 104,656 108,256 108,812 10,204 6,148 7,292 6,594 6,752 7,04380 -120 82,684 86,487 86,684 6,381 3,939 4,623 9,475 10,230 10,03180 -130 62,522 65,986 66,067 3,877 2,446 2,832 10,216 11,049 11,03680 -140 42,922 46,144 46,031 2,107 1,314 1,473 8,904 10,039 9,99180 -150 23,018 26,207 25,870 0,968 0,559 0,495 5,221 6,004 6,55980 -160 1,938 5,103 4,403 -0,088 -2,047 -1,372 0,250 2,926 1,521



x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833120 -80 204,236 219,855 218,679 -0,005 3,047 1,799 0,010 -0,495 -0,339120 -90 177,858 190,632 189,674 1,310 1,270 1,040 -1,300 -2,225 -1,987120 -100 149,188 158,813 158,484 2,387 2,789 2,726 -1,795 -2,656 -2,606120 -110 120,263 127,194 127,395 3,259 3,782 3,912 -1,016 -1,585 -1,413120 -120 92,280 97,213 97,799 3,328 4,061 3,938 0,319 0,247 0,450120 -130 65,250 69,123 69,537 2,659 3,272 3,026 1,355 2,100 1,851120 -140 38,579 41,541 41,818 1,661 1,966 1,726 1,619 2,391 2,239120 -150 11,475 13,546 13,712 0,815 0,866 0,590 1,035 1,618 1,531120 -160 -16,828 -16,529 -16,265 -0,036 -2,805 -1,910 0,025 0,703 0,322


108


x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833160 -80 203,597 217,274 216,649 0,004 2,924 1,896 0,000 0,700 0,381160 -90 176,472 188,048 187,569 0,044 0,061 0,049 0,003 0,503 0,369160 -100 149,228 159,027 158,693 0,108 0,161 0,174 0,005 0,632 0,353160 -110 121,781 129,834 129,560 0,199 0,264 0,327 0,003 0,543 0,357160 -120 94,138 100,331 100,301 0,248 0,326 0,400 -0,001 0,630 0,379160 -130 66,330 70,765 70,994 0,216 0,347 0,342 -0,004 0,544 0,402160 -140 38,357 41,269 41,595 0,131 0,182 0,195 -0,005 0,663 0,411160 -150 10,208 11,492 11,987 0,057 0,082 0,057 -0,003 0,717 0,401160 -160 -18,065 -19,325 -18,408 -0,001 -3,144 -1,994 0,000 0,614 0,385


109

APÊNDICE D

FUNCIONAMENTO DO PROGRAMA ELAST_2D.CPP

D.1 – ESTRUTURA DO PROGRAMA

O programa usa um pacote de álgebra linear chamado Template Numerical Toolkit (TNT).

Esse pacote permite o armazenamento de dados com alocação dinâmica de memória e, além

disso, traz rotinas que permitem a inversão de matrizes por fatoração LU e a solução de

sistemas de equações lineares. Ele pode ser obtido pela internet gratuitamente no endereço:

http://math.nist.gov/tnt/

O código fonte do programa é chamado Elast_2D.cpp e pode ser encontrado no CD que

acompanha este trabalho, dentro do diretório: D:\Programa\


O funcionamento do programa é ilustrado no fluxograma que se segue:

Ler do arquivo de entrada, o número de pontos (N) em que o domínio foi discretizado e as propriedades do material

Fazer a alocação dinâmica de memória para o armazenamento dos dados

Fazer i = 1, N

Ler e armazenar todas as propriedades no ponto “ï” (cord. X, coord. Y, tipo, valor 1, valor 2 e ângulo da normal)

Início

110

Ler o tipo da molécula, armazenar o número de pontos satélites (NS) e a conectividade da molécula

Fazer i = 1, N

Tipo da moléc. “i” = Domínio

Montar matriz de diferenças (∆) para molécula de domínio

Montar matriz de diferenças (∆) para molécula de contorno

Inverter a matriz de diferenças (∆) e colocar os coeficientes nas linhas (2i) e ( 2i-1) do sistema global

Resolver o sistema global obtendo as componente do deslocamento u e v em todos os pontos do domínio

Para i = 1, N

Ler a conectividade da molécula “i” e montar a matriz de diferenças (∆) para m pontos da Eq. 4.1

Inverter ∆, aproximar todos os operadores diferenciais até a segunda ordem e armazená-los na memória de massa

Calcular e imprimir no arquivo de saída, os deslocamentose as tensões (sem consideração quanto ao erro)

sim não

111

Para i = 1, N

Ler a conectividade da molécula “i” e a matriz de diferenças (∆)

Inverter ∆ e, usando as aproximações para os operadores diferenciais de segunda ordem (calculados no Loop

anterior) no lugar das componente u e v, aproximar todos os operadores diferenciais de terceira e quarta ordem

Estimar o erro de truncamento da série de Taylor, considerando que ele seja aproximadamente a soma dos

termos de terceira e quarta ordem da série de Taylor

Estimar o erro de truncamento no operador provocado peloerro de truncamento da série de Taylor

Melhorar a aproximação dos operadores de primeira ordem através da Eq. 5.4 com a estimativa para o E.T.

Estimar o erro de truncamento em cada equação com base no erro de truncamento dos operadores e armazená-los

Para i = 1, N

Recalcular as tensões com os operadores “melhorados”

Imprimir deslocamentos, tensões e os erros de truncamento de cada equação.

FIM

112

D.2 – ESTRUTURA DO ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS

O programa requer que a entrada de dados seja feita por meio de um arquivo de texto e, para

ajudar a localizar possíveis erros, ele testa uma palavra do cabeçalho em diversas partes do

programa para verificar se os dados estão entrando na ordem correta. Desta forma, muita

atenção é necessária na produção dos arquivos de entrada de dados.

As peculiaridades do arquivo de entrada de dados são descritas a seguir:

− A primeira palavra, que define o tipo de análise a ser realizada, só pode ser: Plane_Stress,

para o estado plano de tensões; ou Plane_Strain, para o estado plano de deformações;

− Em seguida, devem vir a palavra “SIZE” e número de pontos em que o domínio foi

discretizado, isto é, o número de moléculas utilizadas no modelo;

− A declaração das propriedades do material é a próxima entrada, a palavra “MATERIAL”

deve vir primeiro e, na linha seguinte, um cabeçalho que indique nesta ordem: o módulo

de elasticidade (E), o coeficiente de Poisson (Ni) e as componentes das forças de corpo

nas direções x e y (BF_X e BF_Y, respectivamente). E em baixo do cabeçalho, os

respectivos valores;

− Então, vem as propriedades das moléculas que devem ser precedidas pelo seguinte

cabeçalho: “PROPERTIES

Mol# X Y Tipo Val1 Val2 Teta”

Onde: Mol# é o número de referência da molécula (inteiro);

X é a coordenada x do ponto (real);

Y é a coordenada y do ponto (real);

Tipo, descreve a situação do ponto de acordo com o seguinte código: Ponto no

interior do domínio (0); Apoio de primeiro gênero (1); apoio do segundo

gênero (2); e contorto submetido à trações de superfície (3) (as trações podem

ser nulas); e

113

Val1 e Val2 representam os valores do carregamento ou deslocamento para

pontos no contorno, assim, seu significado varia em função do tipo de

molécula de acordo com a Tab. D1 a seguir:

Tabela D1: Significado de Val1 e Val2 em função do tipo da molécula

Val1 Val2

Tipo 0 (domínio) Nada Nada

Tipo 1 (apoio 1o gênero) Deslocamento na direção normal

Tração de superfície na direção tangente ao contorno

Tipo 2 (apoio 2o gênero) Deslocamento na direção normal ao contorno

Deslocamento na direção tangente ao contorno

Tipo 3 (contorno livre) Tração de superfície na direção normal ao contorno

Tração de superfície na direção tangente ao contorno

A tração de superfície na direção normal é positiva quando aponta para fora do

domínio e a tração na direção tangencial é positiva quando, num sistema de

referência dextrógiro, provoca uma rotação em sentido anti-horário no corpo

onde atua; e

Teta é o ângulo entre a normal ao contorno e a direção positiva do eixo x de

referência

− No final do arquivo, são fornecidas as conectividades das moléculas, que devem aparecer

abaixo do seguinte cabeçalho: “CONECTIVITY

J0 NS J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8”

Onde: J0 é o ponto central das moléculas;

NS é o número de pontos satélites; e

Ji – com i = 1, 2,...,8, é o número de referência do i-ésimo ponto satélite.

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