UNIVERSIDADE DE LISBOA

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

Práticas letivas promotoras da regulação da

aprendizagem matemática pelos alunos

Paulo Jorge Ribeiro Dias

DOUTORAMENTO EM EDUCAÇÃO

Didática da Matemática

2013

UNIVERSIDADE DE LISBOA

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

Práticas letivas promotoras da regulação da

aprendizagem matemática pelos alunos

Paulo Jorge Ribeiro Dias

DOUTORAMENTO EM EDUCAÇÃO

Didática da Matemática

Tese orientada

pela Professora Doutora Mª Leonor de Almeida Domingues dos Santos

2013

i

AGRADECIMENTOS

À Professora Doutora Leonor Santos, pela confiança, pela disponibilidade e pelo

interesse manifestados na orientação do estudo e pelo incentivo que me concedeu.

Aos professores e aos alunos participantes, pelo entusiasmo e disponibilidade

incondicional com que trabalharam.

À minha mulher e aos meus filhos, pelo estímulo e pela paciência com que

aceitaram a privação das nossas horas de convívio.

ii

iii

RESUMO O propósito deste estudo era compreender e aprofundar práticas avaliativas de

professores de Matemática do ensino secundário que contribuíssem para a promoção de

uma atitude autorreguladora do aluno, face à sua aprendizagem matemática. A atenção

dada à autorregulação da aprendizagem matemática justifica-se pela relevância que

apresenta na aprendizagem, em particular, no sucesso nas tarefas matemáticas que o

professor propõe. Para tal, foram formuladas as seguintes questões: Qual a natureza e as

características das práticas avaliativas de professores de Matemática, trabalhadas num

contexto de trabalho de natureza colaborativa, que procuram promover a autorregulação

da aprendizagem? De que forma os professores de Matemática procuram integrar as

práticas avaliativas para promover a autorregulação no quotidiano da sala de aula? De

que modo as práticas avaliativas desenvolvidas contribuem para promover a

autorregulação das aprendizagens matemáticas? Que constrangimentos encontram os

professores de Matemática para a promoção de atitudes autorreguladoras da

aprendizagem matemática? Como procuram ultrapassá-los? O contexto de trabalho de

natureza colaborativa, durante dois anos letivos, consistiu na planificação, concretização

e reflexão de duas práticas avaliativas: a interação professor – alunos na aula e o

relatório escrito em duas fases. Numa perspetiva interpretativa, a metodologia

qualitativa permitiu aceder à realidade observada, na qual participei. Foram estudados

dois professores de Matemática, como estudo de casos. A recolha de dados incluiu a

observação de sessões de trabalho e de aulas, a entrevista e a recolha documental. A

análise de dados decorreu de forma integrativa, analítica, criadora e intuitiva. Das

principais conclusões, destaco: nas práticas avaliativas verificam-se evoluções para uma

perspetiva de avaliação centrada no aluno, assumindo uma abrangência que ultrapassa a

autoavaliação; a autorregulação desenvolve-se ao longo do tempo através de práticas

avaliativas que privilegiam a avaliação formativa; não se identificam diferenças

significativas na promoção da autorregulação em Trigonometria, em Geometria ou em

Funções; os professores apresentam dificuldades na atribuição de feedback e na sua

diversificação; o recurso a uma tabela de descritores ajuda à responsabilização dos

alunos e favorece a atribuição de feedback.

Palavras-chave: práticas avaliativas; autorregulação; aprendizagem matemática; ensino

secundário e trabalho colaborativo.

iv

v

ABSTRACT The purpose of this study was to understand and deepen the assessment practices

of Mathematics teachers at a high school level that would contribute to the promotion of

an auto-regulatory attitude from students, when dealing with learning mathematics. The

focus on the development of self-regulation of learning mathematics is justified by the

relevance that has on learning, particularly in success in mathematical tasks that the

teacher proposes. This study was guided by questions: What is the nature and the

characteristics of the assessment practices of Mathematics teachers, crafted in a

collaborative nature project, seeking to promote self-regulated learning? In what way do

Mathematics teachers seek to integrate these assessment practices to promote self-

regulation daily in classrooms? In what way do, those assessment practices, contribute

to promote self-regulation in the learning of Mathematics? What sort of constraints do

Mathematics teachers find in promoting self-regulatory attitudes of Mathematics

learning? How can these be overcome? In a work context of collaborative nature, over

two years of teaching and consisting of planning, execution and reflection of two

assessment practices: the teacher - student interaction in class and in the two phased

written report. In an interpretative perspective, the qualitative methodology allowed

access to the observed reality, in which I took part in. Two Mathematics teachers were

used as case studies. Data collecting included observation, work sessions and classes,

interview and document gathering. The data analysis was held in an integrative,

analytic, creative and intuitive way. The main findings, highlight: in assessment

practices there are developments for a prospective student-centered assessment,

assuming a scope that goes beyond the self-assessment; not identify significant

differences in the promotion of self-regulation in Trigonometry, Geometry or Functions;

self-regulation develops up over time through assessment practices that focus on

formative assessment; teachers have difficulties in assigning feedback and

diversification; the use of a table of descriptors aid accountability and fosters students'

assignment feedback.

Key words: assessment practices; self-regulation; mathematics learning; secondary

school; collaborative work.

vi

vii

ÍNDICE AGRADECIMENTOS ................................................................................................... i RESUMO .................................................................................................................... iii ABSTRACT ................................................................................................................. v ÍNDICE ...................................................................................................................... vii ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................ xi ÍNDICE DE QUADROS ............................................................................................ xiii CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................... 1

Motivações pessoais .................................................................................................. 1

Problema e questões do estudo .................................................................................. 4

Enquadramento do problema ..................................................................................... 5

Organização do estudo .............................................................................................. 8

CAPÍTULO 2 – PRÁTICA LETIVA NO ENSINO DA MATEMÁTICA ................... 11

Planificação ............................................................................................................ 11

Propósitos na construção e/ou seleção das tarefas ................................................ 11

Seleção de estratégias de avaliação ...................................................................... 16

Síntese ................................................................................................................ 19

Concretização na sala de aula .................................................................................. 20

Comunicação na aula de Matemática ................................................................... 20

Métodos de trabalho ............................................................................................ 24

Processos na atividade da aula de Matemática ..................................................... 27

Avaliação integrada no processo ensino aprendizagem ........................................ 30

Síntese ................................................................................................................ 32

Prática reflexiva e colaboração ................................................................................ 33

O professor como praticante reflexivo ................................................................. 33

O conceito de colaboração ................................................................................... 36

Síntese ................................................................................................................ 39

CAPÍTULO 3 – A AVALIAÇÃO REGULADORA EM MATEMÁTICA .................. 41

O conceito de avaliação reguladora em Matemática ................................................ 41

Significado e adequação à aprendizagem ............................................................. 41

Natureza .............................................................................................................. 44

viii

Princípios e constrangimentos ............................................................................. 47

Funções ............................................................................................................... 51

Autorregulação .................................................................................................... 53

Avaliação, ensino e aprendizagem ....................................................................... 59

Síntese ................................................................................................................ 62

Práticas avaliativas na sala de aula .......................................................................... 63

A observação ...................................................................................................... 63

Explicitação/negociação dos critérios de avaliação .............................................. 64

Abordagem positiva do erro ................................................................................ 65

Interações professor – aluno ................................................................................ 66

Refletir antes de agir ........................................................................................... 68

Feedback ............................................................................................................. 69

Recurso a instrumentos alternativos para a avaliação ........................................... 72

Síntese ................................................................................................................ 73

CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA ............................................................................. 77

Opções Metodológicas ............................................................................................ 78

Natureza do estudo .............................................................................................. 78

Design do estudo ................................................................................................. 79

Papel do investigador .......................................................................................... 79

Contexto de trabalho de natureza colaborativa ..................................................... 81

Participantes ............................................................................................................ 84

A escola .............................................................................................................. 84

Os professores ..................................................................................................... 85

O professor José .............................................................................................. 86 A professora Maria .......................................................................................... 87

Os alunos ............................................................................................................ 88

Recolha de dados .................................................................................................... 90

Observação ......................................................................................................... 90

Entrevista ............................................................................................................ 94

Recolha documental ............................................................................................ 95

Análise de dados ..................................................................................................... 97

Procedimento ...................................................................................................... 97

Categorias ........................................................................................................... 98

ix

CAPÍTULO 5 – O TRABALHO DE NATUREZA COLABORATIVA ................... 105

O grupo ................................................................................................................. 105

Constituição ...................................................................................................... 105

Caracterização dos professores .......................................................................... 106

O trabalho do grupo .............................................................................................. 107

Motivação ......................................................................................................... 107

Organização e funcionamento ........................................................................... 108

Os temas tratados .............................................................................................. 111

O trabalho realizado .......................................................................................... 114

Reflexão do grupo sobre o projeto ..................................................................... 130

CAPÍTULO 6 – JOSÉ .............................................................................................. 135

Apresentação......................................................................................................... 135

Experiência profissional .................................................................................... 136

Práticas avaliativas ................................................................................................ 143

A interação professor - alunos na aula (IP-A) .................................................... 144

Antes da aula ................................................................................................. 144 Durante a aula ............................................................................................... 153 Depois da aula ............................................................................................... 176

O relatório escrito em duas fases (RE) ............................................................... 182

Antes da aula ................................................................................................. 182 Durante a aula ............................................................................................... 192 Depois da aula ............................................................................................... 214

Constrangimentos ................................................................................................. 219

Síntese .................................................................................................................. 222

CAPÍTULO 7 – MARIA .......................................................................................... 225

Apresentação......................................................................................................... 225

Experiência profissional .................................................................................... 226

Práticas avaliativas ................................................................................................ 233

A interação professor - alunos na aula (IP-A) .................................................... 234

Antes da aula ................................................................................................. 234 Durante a aula ............................................................................................... 242 Depois da aula ............................................................................................... 264

O relatório escrito em duas fases (RE) ............................................................... 271

Antes da aula ................................................................................................. 271 Durante a aula ............................................................................................... 278

x

Depois da aula ............................................................................................... 291 Constrangimentos ................................................................................................. 294

Síntese .................................................................................................................. 297

CAPÍTULO 8 – CONCLUSÕES .............................................................................. 299

Síntese do estudo................................................................................................... 299

Conclusões do estudo ............................................................................................ 302

Natureza e características das práticas avaliativas promotoras da autorregulação da

aprendizagem Matemática ................................................................................. 302

Integração ensino, aprendizagem e avaliação na aula de Matemática ................. 310

Comportamento autorregulado dos alunos em Matemática ................................ 314

Constrangimentos à promoção da autorregulação e formas de os ultrapassar ..... 318

Considerações finais.............................................................................................. 322

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 325 LEGISLAÇÃO REFERIDA ..................................................................................... 343 ANEXOS .................................................................................................................. 345

Anexo 01: Grelha de observação de aula ............................................................... 347

Anexo 02: Guião da primeira entrevista a professores ........................................... 350

Anexo 03: Guião da segunda entrevista a professores ............................................ 352

Anexo 04: Programação da 2.ª fase do trabalho de natureza colaborativa .............. 353

Anexo 05: Tarefa T1 – Triângulos ......................................................................... 354

Anexo 06: Tarefa T2 – Eratóstenes........................................................................ 355

Anexo 07: Tarefa T3 – Periélio (Terra) ................................................................. 356

Anexo 08: Tarefa T4 – Círculo trigonométrico ...................................................... 357

Anexo 09: Tarefa T5 – Cone ................................................................................. 358

Anexo 10: Tarefa T6 – A Maria vai sempre de Carro ............................................ 359

Anexo 11: Tarefa T7 – Escrever no computador .................................................... 360

Anexo 12: Tarefa T8 – Nódoa circular .................................................................. 361

Anexo 13: Guião analisado pelo grupo de trabalho colaborativo ............................ 362

xi

ÍNDICE DE FIGURAS FIGURA 1: JORNAL "PÚBLICO" DE 27/08/2001 .............................................................. 50

FIGURA 2: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T2 ..................................................... 192

FIGURA 3: 2.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T2 ..................................................... 193

FIGURA 4: 1.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T2 – ITEM 4. ...................................... 193

FIGURA 5: 2.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T2 – ITEM 4. ...................................... 194

FIGURA 6: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4 – ITEM 1.1., COM FEEDBACK .......... 196

FIGURA 7: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4 – ITENS 2.1. E 2.2., COM FEEDBACK 197

FIGURA 8: 2.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4 - ITENS 2.1. E 2.2. .......................... 197

FIGURA 9: 2.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4 - ITEM 1.1. .................................... 198

FIGURA 10: 1.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T7 ................................................... 198

FIGURA 11: 2.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T7 ................................................... 199

FIGURA 12: 1.ª FASE DO PRODUTO DE RUTE NA T7....................................................... 200

FIGURA 13: 2.ª FASE DO PRODUTO DE RUTE NA T7....................................................... 200

FIGURA 14: 1.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T2- ITEM 5. ...................................... 201

FIGURA 15: 2.ª FASE DO PRODUTO DE MAGDA NA T3 ................................................... 202

FIGURA 16: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T4, COM FEEDBACK ......................... 203

FIGURA 17: 1.ª FASE DO PRODUTO DE RUTE NA T2- ITEM 4. ......................................... 204

FIGURA 18: 2.ª FASE DO PRODUTO DE RUTE NA T2- ITEM 4. ......................................... 204

FIGURA 19: 1.ª FASE DO PRODUTO DE ALEXANDRE NA T4 ............................................ 205

FIGURA 20: 2.ª FASE DO PRODUTO DE ALEXANDRE NA T4 ............................................ 206

FIGURA 21: 1.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T7, COM FEEDBACK ......................... 207

FIGURA 22: 2.ª FASE DO PRODUTO DE DAVIDE NA T7 ................................................... 207

FIGURA 23: 1.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS E JOANA NA T1 ..................................... 263

FIGURA 24: 1.ª FASE DO PRODUTO DE ANDREIA E PATRÍCIA NA T1 ............................... 263

FIGURA 25: 1.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS E JOANA NA T6 ..................................... 263

FIGURA 26: 1.ª FASE DO PRODUTO DE ANDREIA NA T2 ................................................. 279

FIGURA 27: 1.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS NA T2 .................................................. 280

FIGURA 28: 2.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS NA T2 .................................................. 280

FIGURA 29: 1.ª FASE DO PRODUTO DE JOANA NA T3 ..................................................... 281

FIGURA 30: 1.ª FASE DO PRODUTO DE PATRÍCIA NA T6................................................. 282

FIGURA 31: 2.ª FASE DO PRODUTO DE PATRÍCIA NA T6................................................. 282

xii

FIGURA 32: 1.ª FASE DO PRODUTO DE ANDREIA NA T6 ................................................. 284

FIGURA 33: 2.ª FASE DO PRODUTO DE ANDREIA NA T6 ................................................. 284

FIGURA 34: 2.ª FASE DO PRODUTO DE JOANA NA T2 ..................................................... 285

FIGURA 35: 1.ª FASE DO PRODUTO DE CARLOS NA T3 .................................................. 286

FIGURA 36: 1.ª FASE DO PRODUTO DE PATRÍCIA NA T3................................................. 286

FIGURA 37: 2.ª FASE DO PRODUTO DE PATRÍCIA NA T3................................................. 287

xiii

ÍNDICE DE QUADROS

QUADRO 1: FUNÇÕES DA AVALIAÇÃO FORMATIVA ....................................................... 52

QUADRO 2: CARATERÍSTICAS DE UM MODELO AVALIATIVO CENTRADO NO ALUNO ......... 66

QUADRO 3: CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS PROFESSORES - CASOS ..................................... 87

QUADRO 4: CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS ALUNOS DO 10.º P ........................................... 89

QUADRO 5: CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS ALUNOS DO 10.º A .......................................... 90

QUADRO 6: CALENDARIZAÇÃO DAS AULAS OBSERVADAS .............................................. 91

QUADRO 7: AULAS ASSISTIDAS E ANALISADAS DE CADA PROFESSOR E RESPETIVAS

TAREFAS .............................................................................................................. 91

QUADRO 8: QUESTÕES DE INVESTIGAÇÃO E GRELHA DE OBSERVAÇÃO DE AULAS ........... 92

QUADRO 9: QUESTÕES DE INVESTIGAÇÃO E ASPETOS OBSERVADOS NAS SESSÕES DE

TRABALHO ........................................................................................................... 94

QUADRO 10: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO ANTES DA AULA ........................ 100

QUADRO 11: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO DURANTE A AULA (IP-A) ........... 102

QUADRO 12: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO DURANTE A AULA (RE) ............. 102

QUADRO 13: CATEGORIAS DE ANÁLISE DO MOMENTO DEPOIS DA AULA ....................... 103

QUADRO 14: TRABALHO DESENVOLVIDO PARA A 1.ª FASE DE TRABALHO DE NATUREZA

COLABORATIVA.................................................................................................. 110

QUADRO 15: TRABALHO DESENVOLVIDO PARA AS 2.ª E 3.ª FASES DE TRABALHO DE

NATUREZA COLABORATIVA ................................................................................ 112

QUADRO 16: CARATERIZAÇÃO DAS TAREFAS - IMPROVE .......................................... 121

QUADRO 17: RESUMO DA APLICAÇÃO DO MÉTODO IMPROVE ÀS TAREFAS ................. 122

QUADRO 18: CLASSIFICAÇÃO DAS TAREFAS QUANTO À SUA NATUREZA ....................... 124

QUADRO 19: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM IP-A (JOSÉ) .......... 153

QUADRO 20: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE JOSÉ PARA A AUTORREGULAÇÃO DA RESPOSTA

EM IP-A ............................................................................................................. 169

QUADRO 21: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE JOSÉ PARA A AUTORREGULAÇÃO DO

DESEMPENHO EM IP-A........................................................................................ 175

QUADRO 22: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA IP-A (JOSÉ) .......................... 181

QUADRO 23: RUBRICA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA NÃO

ESTRUTURADOS.................................................................................................. 185

QUADRO 24: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM RE (JOSÉ)............. 191

xiv

QUADRO 25: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE JOSÉ PARA A AUTORREGULAÇÃO DA RESPOSTA

EM RE ............................................................................................................... 208

QUADRO 26: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE JOSÉ PARA A AUTORREGULAÇÃO DO

DESEMPENHO EM RE ......................................................................................... 214

QUADRO 27: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA DE FEEDBACK ESCRITO DE JOSÉ

.......................................................................................................................... 218

QUADRO 28: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM IP-A (MARIA) ...... 242

QUADRO 29: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE MARIA PARA A AUTORREGULAÇÃO DA

RESPOSTA EM IP-A ............................................................................................. 256

QUADRO 30: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE MARIA PARA A AUTORREGULAÇÃO DO

DESEMPENHO EM IP-A........................................................................................ 264

QUADRO 31: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA IP-A (MARIA) ....................... 270

QUADRO 32: TAREFA/OBJETIVO GERAL/MÉTODO DE TRABALHO EM RE (MARIA) ......... 278

QUADRO 33: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE MARIA PARA A AUTORREGULAÇÃO DA

RESPOSTA EM RE ............................................................................................... 287

QUADRO 34: TIPO(S) DE INTERVENÇÃO DE MARIA PARA A AUTORREGULAÇÃO DO

DESEMPENHO EM RE .......................................................................................... 291

QUADRO 35: DIFICULDADES QUE AFETARAM A PRÁTICA DE FEEDBACK ESCRITO DE MARIA

.......................................................................................................................... 294

QUADRO 36: CARATERÍSTICAS DAS PRÁTICAS DE JOSÉ E MARIA EM IP-A (SÍNTESE)..... 305

QUADRO 37: CARATERÍSTICAS DAS PRÁTICAS DE JOSÉ E MARIA EM RE (SÍNTESE) ....... 308

1

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

Motivações pessoais

A minha inquietude acerca dos processos, recursos, erros e dificuldades com que

os alunos se confrontam no processo de aprendizagem e das consequências que as

mesmas têm para o seu percurso escolar, levaram-me a refletir sobre a avaliação no

ensino secundário, em Matemática, e a procurar aprofundar os meus conhecimentos

acerca desta problemática. Ao questionar a minha prática, como professor de

Matemática do ensino secundário, levou-me a procurar explicações e a refletir sobre a

natureza dos problemas para compreender e mudar. A minha necessidade de

conhecimento advém de procurar incluir na avaliação os progressos que verifico nos

alunos, ao nível das aprendizagens, a compreensão das dificuldades e dos raciocínios

erróneos com que os alunos se confrontam e a valorização dos conhecimentos,

capacidades e atitudes transversais que os alunos adquirem ao longo do seu percurso

escolar e de vida.

Enquadrando-me numa perspetiva de que o conhecimento sobre os diferentes

aspetos do processo de aprendizagem ajudam o aluno a tornar-se num elemento

autónomo e impulsionador do seu próprio conhecimento, procurei saber mais para

concretizar uma avaliação reguladora eficaz no favorecimento da aprendizagem. Mas,

para tal, era necessário investigar os processos e as interações que os alunos

desenvolvem quando se confrontam com as diferentes tarefas matemáticas. Reforçar o

papel do aluno na aula de Matemática passa, necessariamente, por ajustar as formas de

avaliação às experiências de aprendizagem.

Na investigação que realizei para obter o grau de mestre estudei os processos que

os alunos, do ensino secundário, usam como forma de dar resposta às dificuldades,

obstáculos e aos raciocínios erróneos com que se confrontam nas investigações

matemáticas. Nesse trabalho, relato os processos de interpretação, os processos de

desenvolvimento, os recursos, a função dos erros e a reflexão que os alunos do ensino

secundário desenvolvem quando se confrontam com investigações matemáticas, num

contexto de sala de aula. Esse estudo, proporcionou-me várias aprendizagens ao nível

do conhecimento das formas de enfrentar e analisar situações que se colocam na sala de

2

aula, dos contextos criados para a aprendizagem e avaliação, do caráter único, incerto e

de conflito do processo ensino aprendizagem e da necessidade de assumir valores,

opções e estratégias de ação com vista a resolver problemas. Ainda, considero que foi

uma oportunidade de contribuir para o conhecimento da problemática da avaliação e

para a compreensão de que os professores de Matemática, no desenvolvimento da sua

atividade, têm um papel determinante no seu próprio desenvolvimento profissional.

Na procura de um maior equilíbrio entre a avaliação com as funções de

certificação e de regulação, em 2005, preconizava o reforço do papel do aluno no

processo ensino aprendizagem e, necessariamente, o ajuste das formas de avaliação às

experiências de aprendizagem:

É sabido que o currículo português tem evoluído no sentido de valorizar a integração da avaliação no processo ensino aprendizagem, em particular da avaliação formativa, mas é necessário investigar para saber até que ponto as orientações curriculares emanadas pelos programas de Matemática A, Matemática B e Matemática Aplicada às Ciências Sociais, que entraram em vigor em setembro de 2004, estão a ser concretizadas. Sem compreender a forma como os professores percecionam as orientações curriculares, como as colocam em prática e como ultrapassam as dificuldades que surgem na concretização da avaliação reguladora não é possível intervir no processo ensino aprendizagem. (Dias, 2005, p. 225)

Partindo desse pressuposto, em que os alunos podem em qualquer momento

melhorar a sua eficácia matemática, e que esse processo passa por uma autoconsciência

de atuação do próprio aluno, preconizei a minha intervenção através do projeto AREA1,

que servisse a autorregulação das aprendizagens. Para capacitar os alunos é muito

importante a partilha de opiniões, e ouvir a opinião de professores exteriores mas no

mesmo contexto (Boavida, 2005; Stein & Smith, 1998). Essa foi uma das vantagens de

fazer parte da equipa do projeto AREA. Usufrui da possibilidade de contactar com

professores e investigadores dos vários níveis de ensino. Esse trabalho colaborativo

permitiu-me conhecer as dificuldades que os professores e os alunos sentem, numa faixa

etária diferente ou na mesma daquela em que leciono, e confrontar as dificuldades

desses professores com as que eu encontro. Também, procurei saber a opinião das

pessoas sobre as minhas dificuldades, o que me ajudou a renovar as metodologias que

podem contribuir para ajudar os alunos a ultrapassar dificuldades, obstáculos e

1 Avaliação Reguladora no Ensino e Aprendizagem: projeto financiado pela FCT, nº PTDC/CED/64970/2006.

3

raciocínios erróneos – a autorregularem-se. As opiniões diversificadas serviram para

aprofundar o meu conhecimento sobre os dilemas que enfrento e, também, para

compreender a natureza dos problemas dos professores e dos alunos na aula de

Matemática. Outras vertentes interessantes do projeto AREA foram a possibilidade que

os professores tinham de aceder a bibliografia sobre a temática da regulação da

aprendizagem e estudar a aplicação de práticas avaliativas. As atividades de reflexão e

investigação, em que me envolvi, podiam contemplar o saber teórico, mas para o

aprofundar e encontrar formas de o tornar operacional foi necessário equacionar o

retorno da sua aplicação no contexto da sala de aula.

Hoje, acredito de forma fundamentada que a avaliação reguladora fornece ao

professor e aos alunos o nível de concretização das aprendizagens e o que é necessário

fazer para corrigi-las ou melhorá-las. Permite conhecer os saberes, as capacidades e as

atitudes, fazendo o ponto da situação e tornando conscientes as diferenças entre os

desempenhos dos alunos e os critérios de avaliação, para que se possam aproximar

(Andrade & Valtcheva, 2009).

Levar à prática a concretização da avaliação reguladora, passa por ajustar de forma

mais sistemática e individualizada as intervenções do professor e as situações didáticas,

de forma a rentabilizar as aprendizagens. Isso exige que a avaliação usada durante o

processo ensino aprendizagem seja orientada para a regulação, na assunção de que todos

os alunos aprendem, embora de uma forma diferenciada. Privilegiando a vertente

formativa da avaliação, o conhecimento dos diversos processos que os alunos usam na

interpretação e desenvolvimento dos recursos que procuram quando sentem

dificuldades, a função que atribuem aos raciocínios erróneos e como refletem sobre a

aprendizagem matemática e reorientam o seu trabalho com vista ao sucesso,

autorregulando as aprendizagens, levou-me a procurar, nesta área, uma formação

aprofundada ao nível da investigação em educação.

Assim, tendo em conta as minhas reflexões, decidi, desenvolver em contexto de

trabalho colaborativo, este estudo para procurar compreender as práticas letivas dos

professores de Matemática e a forma como se relacionam com o desenvolvimento da

capacidade de autorregulação da aprendizagem da Matemática no 11.º ano, em

Trigonometria, Geometria e Funções. Um maior conhecimento nos modos de avaliação

autorreguladora das aprendizagens matemáticas contribui para um maior conhecimento

acerca da didática da Matemática, da prática letiva dos professores e da compreensão

das atitudes dos alunos.

4

Problema e questões do estudo

Com este estudo analiso para compreender práticas avaliativas de professores de

Matemática do ensino secundário que contribuam para a promoção de uma atitude

autorreguladora do aluno, face à sua aprendizagem Matemática. O enfoque no

desenvolvimento da autorregulação da aprendizagem matemática justifica-se pela

relevância que apresenta para a aprendizagem, em particular, no sucesso nas tarefas

matemáticas que o professor propõe (Santos, 2002; Schunk, 2005). Trata-se da

capacidade do aluno avaliar a execução de uma tarefa e fazer correções quando

necessário. É um conjunto de ações, que o aluno desenvolve, para efetuar a

monitorização do seu trabalho (Schunk & Zimmerman, 1998). Inclui a autoavaliação,

por ultrapassar uma apreciação realizada tendo em conta um conjunto de critérios

implícitos ou explícitos, e por dar atenção ao envolvimento do aluno nas tarefas, à

compreensão, à eficácia, e à busca de recursos para a melhoria das aprendizagens. Por

outras palavras, a autorregulação é todo o processo em que o aluno, após o

estabelecimento de metas que interagem com as suas expectativas, desenvolve as

estratégias necessárias para alcançá-las, criando condições para que a sua aprendizagem

se efetive (Bronson, 2000; Pintrich, 2000; Simão, 2002, 2005, 2006; Zimmerman,

2000).

Para essa promoção, dois professores (casos) e eu (investigador) envolvemo-nos

num contexto de trabalho de natureza colaborativa. A partir da seleção de tarefas e de

práticas avaliativas, que incluem a sua planificação, concretização e reflexão,

desenvolvi o estudo tendo em conta as seguintes questões orientadoras:

1. Qual a natureza e as características das práticas avaliativas de professores de

Matemática, trabalhadas num contexto de trabalho de natureza colaborativa, que

procuram promover a autorregulação da aprendizagem?

2. De que forma os professores de Matemática procuram integrar as práticas

avaliativas para promover a autorregulação no quotidiano da sala de aula?

3. De que modo as práticas avaliativas desenvolvidas contribuem para promover a

autorregulação das aprendizagens matemáticas?

4. Que constrangimentos encontram os professores de Matemática para a promoção de

atitudes autorreguladoras da aprendizagem matemática? Como procuram

ultrapassá-los?

5

Enquadramento do problema

Segundo Ponte (2002a) o ensino da Matemática desenvolve-se em torno de um

triângulo cujos vértices são a Matemática, o aluno e o professor. Este triângulo não é

estático nem existe no vazio. Existe num dado contexto social e institucional (a

sociedade, a comunidade a que o aluno pertence com a sua cultura própria, a instituição

escolar…) e tem a sua dinâmica associada aos objetivos curriculares visados pelo

professor. Por estes e outros fatores, o ensino da Matemática depende muito da prática

letiva que o professor promove e, em consequência disso, da postura do aluno perante a

aprendizagem da matemática. O professor interpreta o currículo, planifica a sua

concretização, pesquisa e constrói tarefas, implementa-as e avalia, à luz das suas

convicções e daquilo que são os seus atributos profissionais. Mas, na dinâmica da aula,

há outros fatores a considerar, entre eles, os que estão relacionados com os alunos, as

atitudes em relação à Matemática, os conhecimentos, as capacidades, as experiências de

trabalho matemático e as vontades de aprender Matemática.

O estudo da prática de ensino do professor de Matemática ganha relevância na

procura de entendimento para a sua atuação na sala de aula (Ponte & Chapman, 2006).

Para além dos conhecimentos e crenças, o conhecimento do sentido dado às decisões

que toma contribui para aprofundar a compreensão sobre o modo como o professor de

Matemática atua na sala de aula. As práticas de ensino da Matemática são descritas à luz

da tentativa de conciliação das abordagens de cunho cognitivista e de cunho

sociocultural, tendo em conta os motivos do professor, o contexto social e o contexto

educativo, o contexto turma, o conhecimento profissional do professor, o saber-fazer do

professor e a capacidade reflexiva do professor (Ponte, Quaresma & Branco, 2012).

Na prática de ensino desenvolvida pelo professor, a prática avaliativa assume

especial relevância. É através da avaliação que o professor recolhe a informação que lhe

permite apreciar o progresso dos alunos na disciplina e, em particular, diagnosticar

problemas e insuficiências no desenvolvimento da aprendizagem e no seu trabalho,

verificando da necessidade (ou não) de alterar a sua planificação e a sua ação didática

(Pinto & Santos, 2006). A avaliação deve, por isso, fornecer informações relevantes e

substantivas sobre o estado das aprendizagens dos alunos, no sentido de ajudar o

professor a gerir o processo ensino aprendizagem (Stiggins, 2004). Trata-se de uma

perspetiva de avaliação ao serviço da aprendizagem (Keitel, 2005; Santos, 2008), isto é,

6

uma avaliação que não se identificando com uma medida, seja sobretudo encarada como

uma interação social (Pinto & Santos, 2006).

A avaliação faz parte dos processos de regulação do ensino e da aprendizagem e,

por isso, denominada por avaliação reguladora, por fornecer ao professor e aos alunos

informação relevante sobre o nível de concretização das aprendizagens. Assim, a prática

avaliativa deverá melhorar o ensino e a aprendizagem de diversas maneiras: as tarefas

utilizadas na avaliação poderão transmitir aos alunos algumas informações sobre que

tipo de conhecimento e desempenho matemático é valorizado (processo de regulação);

os comentários às tarefas de avaliação ajudarão os alunos na determinação dos

objetivos, assumindo a responsabilidade da sua própria aprendizagem e aprendendo de

forma mais independente (processo de feedback); as discussões de turma, onde os

alunos apresentam e avaliam diferentes tipos de resolução de problemas complexos,

poderão estimular a sua perceção da diferença entre uma resposta excelente e uma

medíocre (processo de regulação); e através de tarefas adequadas e da discussão de

critérios de avaliação poderá ser desenvolvida a autoavaliação (processo de feedback)

(Lew et al., 2010; Santos, 2002; Rust, Price & Donovan, 2003; NCTM, 2007),

considerando a autoavaliação como uma reflexão sobre o trabalho desenvolvido,

baseada em critérios implícitos ou explícitos, e que toma em linha de conta os

referenciais envolvidos para a concretização da tarefa.

Nesse sentido, o aluno deve ser envolvido na sua própria avaliação como sujeito

ativo de forma a tornar-se consciente e a gerir a representação que tem dos

conhecimentos e capacidades a desenvolver. Não é suficiente avaliar se os alunos

dominam factos e algoritmos ou a listagem de atitudes, capacidades e conhecimentos

preconizadas nos currículos e programas. É necessário que a avaliação reflita o ensino e,

nesse sentido, as questões têm de ser construídas para que, quando se analisam as

respostas dos alunos se tenha uma ideia de como eles organizam a informação (Price et

al., 2010). A atribuição de uma maior visibilidade ao papel que o aluno tem na

construção do próprio conhecimento passa por o professor dar uma atenção especial aos

processos de feedback, de regulação, de autoavaliação e de autorregulação das

aprendizagens (Lew et al., 2010; Santos, 2002).

A regulação da aprendizagem nas tarefas matemáticas, entendida como

autorregulação quando é efetuada pelo próprio, refere-se ao envolvimento do aluno nas

tarefas, promovendo a compreensão, a eficácia, e a busca dos recursos necessários à

construção de respostas adequadas. Essas aprendizagens podem ser influenciadas por

7

fatores externos ao processo ensino aprendizagem. Em determinados contextos de

trabalho, os professores podem promover o desenvolvimento de estratégias de resposta,

estimular as condições metacognitivas do aluno, as habilidades e as motivações. Tanto a

metacognição, referida por Santos (2002), como a autorregulação, destacada por

Zimmerman (2000) e Schunk (2005), são processos que promovem a aprendizagem

matemática. Abrangem uma ação do aluno suscitada a partir das intenções e dos

objetivos da prática letiva, dos meios usados e do seu alcance.

Uma forma rica de a desenvolver é permitir que o aluno aperfeiçoe uma primeira

versão de um trabalho realizado, permitindo-lhe assim repensar a situação. Para que

esse trabalho possa ser mais formativo, o professor deverá comentar uma primeira

versão – feedback. Assim, o feedback é uma componente central para essa avaliação e

para a promoção da autorregulação das aprendizagens (Wiliam, 1999; Hattie &

Timperley, 2007; Semana & Santos, 2008; Santos et al., 2010). Mas, importa saber o

que caracteriza esse processo.

O professor tem um papel na criação de contextos que facilitem, nos seus alunos,

o desenvolvimento de atitudes de autorregulação (Santos, 2002). Para além do incentivo

à autorregulação (Brookhart et al., 2004), existem outras práticas que podem contribuir

para a concretização destas intenções (processos de regulação e de feedback): a

abordagem positiva do erro (Hadji, 1994); o questionamento (Mason, 2000; Santos,

2002; Roullier, 2004); a explicitação/negociação de critérios de avaliação (Alves, 2004;

Bobb-Wolff, 2002); o recurso a instrumentos alternativos de avaliação (Santos, 2005;

Santos & Menino, 2004); o feedback e a escrita avaliativa (Wiliam, 1999; Hattie &

Timperley, 2007; Semana & Santos, 2007); e o refletir antes de agir (Dias & Santos,

2008a).

Em Portugal, não existe uma grande tradição no desenvolvimento de estudos da

autorregulação das aprendizagens. Mas, existe evidência da importância que o processo

tem para a prática de ensino e aprendizagem (Simão, 2002; 2005; Santos et al.; 2010;

Rosário, Núñez, & González-Pienda, 2006). A literatura, quer portuguesa (Santos,

2002), quer estrangeira (Schunk, 2005), sugere que o sucesso nas tarefas que o

professor propõe passa, assim, pela capacidade de, usando os espaços formais e

informais de aprendizagem, promover nos alunos a autonomia, a eficácia e a capacidade

de trabalharem por si mesmos, por outras palavras, promover a aquisição, a utilização e

o desenvolvimento de estratégias de autorregulação da aprendizagem. Black e Wiliam

(1998), Gardner (2006) e Fernandes (2006a) referem que a avaliação pedagógica, em

8

que se destaca a preocupação com o funcionamento e a regulação dos processos de

interação pedagógica e de comunicação que se estabelecem nas salas de aula, é

determinante na melhoria dos resultados dos alunos.

A prática avaliativa inclui a ação do professor para a recolha de informação para

apreciar o desenvolvimento da aprendizagem, e para averiguar da existência de

problemas e insuficiências no seu trabalho. Essa prática inclui planificação,

concretização e reflexão por ser necessário recolher informação útil para o professor, e

para o aluno, e ser necessário equacionar alterações e adequações na ação didática. É

uma avaliação reguladora do ensino e da aprendizagem. Os professores podem usar

processos de regulação e de feedback. Para os processos de regulação contribui, por

exemplo, a seleção das tarefas, a organização de formas de trabalhos, o estímulo às

estratégias individuais e o apelo à articulação de ideias próprias pelos alunos. Dos

processos de feedback fazem parte os critérios de avaliação, as tabelas de descritores, o

questionamento, e a escrita avaliativa, entre outros. Mas, quando essa monitorização da

aprendizagem é concretizada pelo próprio aluno – autorregulação – inclui-se a reflexão

sobre o trabalho desenvolvido e as expectativas e estratégias desenvolvidas para alterar

um determinado estádio.

Organização do estudo

Para compreender as práticas avaliativas dos professores de Matemática que

procuram promover a autorregulação da aprendizagem matemática, dos alunos,

apresenta-se este trabalho organizado em oito capítulos.

Para além do capítulo 1, que introduz o estudo, no Capítulo 2, destacam-se os

pressupostos teóricos que suportam as práticas de ensino do professor de Matemática,

em que se descrevem os motivos do professor contextualizados na planificação, o

contexto, o conhecimento profissional, e o saber-fazer na concretização na sala de aula,

e a capacidade reflexiva na prática reflexiva e na reflexão.

No Capítulo 3, sobressaem o conceito de avaliação reguladora em Matemática e

possíveis formas de operacionalização – práticas avaliativas.

No Capítulo 4, descrevem-se as opções metodológicas e caracterizam-se os

participantes, a recolha e a análise de dados.

9

No Capítulo 5, contextualiza-se a dinâmica de trabalho de natureza colaborativa

que suportou este estudo. Em particular, caracterizam-se o grupo e o trabalho

desenvolvido.

Nos Capítulos 6 e 7, apresentam-se os professores casos. Depois da apresentação

de cada um dos casos, as duas práticas avaliativas concretizadas encontram-se descritas

tendo em conta os momentos antes da aula, durante a aula e depois da aula.

No capítulo 8, apresentam-se as conclusões do presente estudo.

10

11

CAPÍTULO 2 – PRÁTICA LETIVA NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Neste estudo, a prática de ensino de Matemática é descrita à luz da tentativa de

conciliação das abordagens de cunho cognitivista e de cunho sociocultural, tendo em

conta os motivos do professor, o contexto social e o contexto educativo, o contexto

turma, o conhecimento profissional do professor, o saber-fazer do professor e a

capacidade reflexiva do professor (Ponte, Quaresma & Branco, 2012). O estudo das

práticas do professor de Matemática ganha relevância na procura de entendimento para

a sua atuação na sala de aula (Ponte & Chapman, 2006). Para além dos conhecimentos e

crenças, este estudo contribui para aprofundar a compreensão sobre o modo como o

professor de Matemática atua na sala de aula. Os princípios e as normas para a

matemática escolar (NCTM, 2007) referem que o ambiente de aprendizagem da sala de

aula marca decisivamente a Matemática que os alunos aprendem, o que aprendem sobre

ela e a sua relação com a disciplina. A dinâmica da aula resulta de muitos fatores

(Giménez, Santos & Ponte, 2004). Depende, em primeiro lugar, das tarefas matemáticas

propostas pelo professor e dos materiais que o aluno utiliza para as resolver (Ponte,

Brocardo, & Oliveira, 2003). Outros fatores podem ainda ser acrescentados, o professor,

o seu conhecimento e competência profissional, e o modo como propõe as tarefas e

apoia os alunos (Scheerens, 2004). Também Even e Tirosh (2002) referem que a cultura

da sala de aula é inseparável da aprendizagem da Matemática, uma vez que a

aprendizagem ocorre sempre num contexto sociocultural específico.

Planificação

Propósitos na construção e/ou seleção das tarefas Para o ensino secundário, o Decreto – Lei nº 74/2004, de 26 de março, com as

alterações introduzidas pelo Decreto – Lei nº 24/2006, de 6 de fevereiro e atualizado

pelo n.º 139/2012, de 5 de julho, estabelece os princípios orientadores da organização e

da gestão do currículo, bem como da avaliação das aprendizagens. A par do combate ao

insucesso e abandono escolares, o documento refere como opção estratégica nacional

12

promover o aumento da qualidade das aprendizagens, indispensável à melhoria dos

níveis de desempenho e qualificação dos alunos e ao favorecimento da aprendizagem ao

longo da vida.

Assim, sobressai a importância das atividades a selecionar, as quais deverão

contribuir para o desenvolvimento do pensamento científico, levando o aluno a intuir,

conjeturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o reforço das atitudes de

autonomia e de cooperação (Ministério da Educação, 2001). Cabe ao professor, de

acordo com o contexto da turma, encontrar o equilíbrio entre o número de trabalhos

individuais, trabalhos de grupo, trabalhos de projeto e atividades investigativas, a

realizar dentro e fora da aula, assim como o espaço para a sua própria intervenção:

dinamizando, questionando, fazendo sínteses, e facultando informação. Para a

valorização desta vertente formativa da disciplina, é destacado o fomento de uma

atitude positiva do aluno face à Matemática e a adoção de estratégias que impliquem o

aluno na aprendizagem e desenvolvam a iniciativa (Ryve, Nilsson, & Mason, 2012).

É fundamental compreender o modo como o professor se relaciona com estes

documentos oficiais (Ponte, Quaresma & Branco, 2012) mas, quando se quer ter a

compreensão global da educação, eles estão longe de representar toda a realidade

curricular (Canavarro & Ponte, 2005). O professor tem de interpretar, gerir, planear e

pôr em prática as suas opções curriculares. Ao fazê-lo, faz intervir as suas conceções, o

seu saber e o seu conhecimento didático. A planificação é esse conjunto de opções

(curriculares) influenciado por aspetos inerentes à escola e ao professor:

Francisca viu-se perante uma situação incómoda de lidar com o desvirtuamento de uma sua ideia através da planificação coletiva realizada pelo grupo de colegas com que trabalha. Por um lado, custa-lhe não adotar a estratégia que acabaria por resultar do grupo, correspondente a uma face do currículo moldado coletivamente. Mas por outro lado, não consegue adaptá-la, pois a simples utilização do material elaborado por um dos colegas faz com que se perca aquilo que considera essencial: a possibilidade de os alunos descobrirem por eles próprios o conhecimento em causa. (Canavarro & Ponte, 2005, p. 85)

Canavarro e Ponte (2005) afirmam que é necessário dar atenção a todo o trabalho

de construção curricular em que se envolve o professor, nomeadamente o currículo em

ação, aquele que põe em prática na sala de aula, em interação com os alunos, para

compreender as suas ações.

Ponte (2005a) distingue dois níveis principais de planificação: nível macro,

planificação da prática letiva por ano, por período ou por unidade didática; nível micro,

13

que corresponde à realização na unidade letiva básica, a aula. A gestão curricular inclui

finalidades, objetivos de conteúdos, objetivos transversais, alunos, materiais, condições

e recursos e fatores de contexto escolar e social e pode ser feita de modo determinante

para toda a unidade ou então semana a semana ou mesmo aula a aula. Cada professor

escolhe o estilo que melhor se lhe adapta, filtrado pelo seu conhecimento profissional,

sendo certo que um protagonismo curricular efetivo exige uma atenção tanto ao nível

macro como micro, bastante planeamento e reflexão e ajustamentos em função do

desenvolvimento do trabalho (Ponte, 2005a). Para cada aula, o professor estabelece, de

modo explícito ou implícito, um plano de trabalho que concretiza alguns dos aspetos

previstos para a unidade.

A gestão curricular feita aula-a-aula não é uma simples atividade de aplicação e

concretização do trabalho de acordo com o plano estabelecido. O trabalho do professor

na preparação de cada aula é um trabalho criativo e ainda de gestão curricular, onde

explora as situações e as experiências que se desenvolvem, e reformula os objetivos e as

estratégias, em função dos acontecimentos (Ryve, Nilsson, & Mason, 2012).

No processo ensino aprendizagem, geralmente, são utilizadas tarefas

matemáticas para introduzir conceitos matemáticos e para envolver e desafiar

intelectualmente os alunos (Brunheira & Fonseca, 1996). As tarefas são as situações que

o professor propõe na sala de aula, a partir das quais a atividade se realiza. As tarefas

Matemáticas podem ser problemas, investigações, exercícios, projetos, construções,

jogos, apresentações orais, relatórios, composições escritas, etc…Constituem o ponto de

partida para o desenvolvimento da atividade Matemática do aluno (Christiansen &

Walther, 1986). A atividade do aluno, tanto física, como mental, diz respeito àquilo que

ele faz num dado contexto (Christiansen, 1997). Qualquer atividade inclui a execução

de numerosas ações. O objetivo da atividade é precisamente a tarefa, algo exterior ao

aluno. Uma tarefa tem de ser interpretada pelo aluno e pode dar origem a atividades

muito diversas, ou a nenhuma atividade, conforme a sua disposição e o ambiente de

aprendizagem da sala de aula.

A seleção de tarefas adequadas poderá despertar curiosidade e envolver os alunos

na Matemática. Tarefas significativas, só por si, não são suficientes para um ensino

eficaz. Os professores devem, também, ser capazes de responder adequadamente a

questões, tais como: determinar quais os aspetos a realçar numa dada tarefa? Como

organizar e orientar o trabalho dos alunos? Que perguntas fazer para desafiar os

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diversos níveis de competência dos alunos? Como apoiá-los, sem interferir no seu

processo de pensamento eliminando, desta forma, o desafio? (NCTM, 2007).

Em Portugal, vários estudos de natureza qualitativa dão indicações sobre as tarefas

e os materiais usados pelos professores de diversos níveis de ensino (Bandarra, 2006;

Dias, 2005; Pires, 2001; Rocha, 2002). Nos programas faz-se apelo às dimensões que

Ponte (2005a) sugere como características fundamentais nas tarefas, o grau de desafio e

o grau de estrutura. O grau de desafio matemático, que varia entre desafio reduzido e

elevado, relaciona-se com a perceção da dificuldade de uma questão e constitui uma

dimensão usada para graduar as questões que se propõem aos alunos, tanto na sala de

aula, como em momentos especiais de avaliação, como testes e exames. O grau de

estrutura, aberto ou fechado, é uma dimensão que comporta um grau de indeterminação

significativo no que é dado, no que é pedido, ou em ambas as coisas. Outras dimensões

a ter em conta, sugeridas pelo mesmo investigador, são a duração e o contexto.

Segundo Stein, Remillard, e Smith (2007), a seleção das tarefas é uma questão

central no ensino da Matemática. A aprendizagem da Matemática é sempre produto da

atividade, e se esta se reduz, por exemplo, à resolução repetitiva de exercícios para

aplicação de certas fórmulas, é exatamente isto que se aprende e vai perdurar, enquanto

ficar a memória das fórmulas. Do ponto de vista de Stein e Smith (1998), as tarefas que

envolvem os alunos na execução de um procedimento memorizado, de maneira

rotineira, representam um tipo de oportunidade para os alunos pensarem, tarefas que

exigem que os alunos pensem conceptualmente e os estimulem a estabelecer conexões

representam outro tipo diferente de oportunidade. O efeito cumulativo, dia após dia, de

exploração na sala de aula, de diferentes tipos de tarefas conduz ao desenvolvimento de

ideias implícitas nos alunos sobre a natureza da Matemática e sobre se a Matemática é

algo de que eles podem pessoalmente compreender o sentido e quão longa e arduamente

devem trabalhar para o conseguir.

Este é, por exemplo, o caso da resolução de problemas que desempenha um papel

essencial na aprendizagem dos conteúdos matemáticos em geral, e na Trigonometria, na

Geometria e nas Funções em particular, e ajuda os alunos a estabelecerem conexões

entre estes e os conteúdos das diversas disciplinas. Este tipo de abordagem aos

conteúdos revela a Matemática enquanto disciplina com sentido, pela via da

compreensão, em vez de uma disciplina composta por regras para exercícios, dadas pelo

professor, para serem memorizadas e usadas pelos alunos (Chapin, O'Connor &

Anderson, 2009; NCTM, 2007). Os problemas são geralmente apresentados na forma de

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uma sentença linguística. O aluno, para além da capacidade de ler e interpretar o texto

do problema para o resolver, deve ser capaz de relacionar a linguagem materna e a

linguagem matemática, distinguir o essencial do acessório e mobilizar os recursos

apropriados à resolução do mesmo. Na aplicação de problemas, o professor deverá,

também, ser reflexivo de modo a criar um ambiente no qual os alunos se sintam com

disposição para refletirem sobre o seu trabalho à medida que se envolvem nele.

Assim, a natureza das atividades a propor aos alunos e o papel do professor são

elementos vitais na construção do ambiente de aprendizagem, mas a estratégia a adotar

na organização do trabalho com os alunos também é fundamental (Godino, Batanero &

Font, 2004). Sendo importante considerar a diversidade de experiências de

aprendizagem que podem ser facultadas aos alunos, é necessário, também, dar atenção à

reflexão sobre a atividade desenvolvida. Os alunos aprendem não tanto a partir das

atividades práticas, mas a partir da reflexão que realizam sobre o que fizeram durante

essas atividades práticas (Ponte, 2005a). Também, Ertmer e Newby (1996) entendem

que a reflexão, nos processos de aprendizagem, é o ingrediente essencial para o

desenvolvimento dos alunos. Estes autores estudaram como os sujeitos utilizam o

conhecimento que têm sobre si próprios enquanto alunos, sobre as exigências das

tarefas e sobre os métodos utilizados conscientemente para selecionar, controlar e

monitorar as estratégias necessárias para alcançar uma aprendizagem significativa.

Baseados nesses estudos, estes autores criaram um modelo de aprendizagem que mostra

como o conhecimento metacognitivo das estratégias, consideradas cognitivas,

motivacionais e ambientais, é traduzido em termos de controlo autorregulador dos

processos de aprendizagem, por meio do pensamento reflexivo. O modelo de Ertmer e

Newby (1996) inclui os processos de planear, controlar e refletir, destacando, sobretudo

o caráter consciente desses processos. Na aprendizagem, o aluno estaria consciente de

um conhecimento específico, dos objetivos a alcançar, das estratégias necessárias para

alcançá-los, assim como do próprio processo no momento de seu acontecimento. Essa

atividade online, como muitos autores a caracterizam utilizando a metáfora

computacional (Santos, 2003a), traz como consequência o processo autorregulador. Os

indivíduos, hábeis meta-cognitivamente, teriam a capacidade de incorporar e aplicar

vários conhecimentos para aperfeiçoar o desempenho académico, transformando-se em

“bons alunos”. Seriam, por exemplo, capazes de saber o que sabem (conhecimento

declarativo), como utilizar o que sabem (conhecimento processual) e por que, onde e

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quando utilizar o que sabem (conhecimento condicional, contextual), aplicando as

estratégias relevantes ao objetivo da atividade cognitiva.

Seleção de estratégias de avaliação É através da avaliação que o professor recolhe a informação que lhe permite

apreciar o progresso dos alunos na disciplina e, em particular, diagnosticar problemas e

insuficiências na sua aprendizagem e no seu trabalho, verificando da necessidade (ou

não) de alterar a planificação e a ação didática. A avaliação deve, por isso, fornecer

informações relevantes e substantivas sobre o estado das aprendizagens dos alunos, no

sentido de ajudar o professor a gerir o processo ensino aprendizagem. Nesta perspetiva

avaliativa, de avaliação formativa (Allal, 1986; Abrecht, 1994; Perrenoud, 2004;

Shepard, 2001; Pinto & Santos, 2006), de regulação do processo ensino aprendizagem,

o professor deve envolver os alunos, auxiliando-os na análise do trabalho que realizam e

na tomada de decisões para melhorarem a sua aprendizagem (Wiliam et al., 2004).

No ensino secundário, em particular nos programas, avaliar os conhecimentos

matemáticos dos alunos significa reunir e analisar dados sobre o que estes sabem a

respeito de conceitos e métodos matemáticos. Estes dados devem ser utilizados, tanto

pelos professores, como pelos alunos. Os professores deverão utilizá-los para ajudar os

alunos a adquirir conhecimentos profundos e ideias claras sobre os conteúdos

matemáticos. Uma vez que a avaliação não se deve restringir a avaliar o produto final,

mas também o processo de aprendizagem, deve permitir que os alunos sejam elementos

ativos, reflexivos e responsáveis pela sua aprendizagem. As formas de avaliação não se

devem reduzir aos testes escritos (ME, 2001), pelo contrário devem focar-se numa

grande variedade de tarefas matemáticas e adotar uma visão holística da matemática, em

vez de focar capacidades específicas, e isoladas, organizadas numa matriz de conteúdos

/ objetivos comportamentais; e recorrer a vários métodos de avaliação, incluindo formas

escritas, orais e de demonstração (e algumas vezes ao uso de calculadoras,

computadores e materiais manipuláveis). Esta perspetiva permite ao professor verificar

a situação de aprendizagem em que se encontra o aluno, de forma a adequar as

metodologias e as atividades apresentadas às suas características.

Coerente com o sustentado por Rosales (1992), a avaliação não deve ocorrer

apenas no final de uma tarefa de aprendizagem, mas também no seu início ou em etapas

intermédias. O principal objetivo será o de verificar o nível de preparação do aluno,

permitindo ao professor antever as dificuldades dos alunos e adequar o seu método de

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ensino aos conhecimentos evidenciados, procurando a ligação entre os novos

conhecimentos e o que o aluno detém (Cobb & Bowers, 1999).

Internacionalmente, Black e Wiliam (1998) publicaram numa meta-análise em que

reviram cerca de 250 estudos e concluíram algumas vantagens para a adoção da

perspetiva formativa da avaliação. Segundo estes investigadores, a aprendizagem dos

alunos, incluindo a dos mais fracos, é geralmente melhor nas turmas em que os

professores dão atenção à avaliação formativa, fazendo juízos acerca do ensino e da

aprendizagem.

Segundo Santos (2005), respeitar o princípio da avaliação como parte integrante

do processo ensino aprendizagem, e simultaneamente desenvolver uma avaliação cujo

enfoque é o que hoje se entende por competência matemática, pode passar pela

aplicação de uma multiplicidade de processos avaliativos. Abrantes (2002), também,

destaca a necessidade de recurso a uma variedade de modos e instrumentos de

avaliação. Para estes investigadores, não há qualquer possibilidade de se progredir

significativamente numa perspetiva integrada de currículo e avaliação se os testes usuais

forem os instrumentos de avaliação usados em exclusivo ou considerados “os mais

importantes”. Nenhum instrumento isolado, só por si, poderá captar toda a informação

sobre as aprendizagens dos alunos. Será necessário recorrer a uma combinação de

práticas avaliativas, adequadas ao trabalho realizado e à natureza das diversas

aprendizagens (Santos, 2005). Só assim, poder-se-á caminhar para um processo de

integração entre o currículo e a avaliação:

Entender currículo e a avaliação como componentes integradas de um mesmo sistema e não como sistemas separados e a considerar que a avaliação envolve interpretação, reflexão, informação e decisão sobre os processos de ensino e aprendizagem, tendo como principal função ajudar a promover ou melhorar a formação dos alunos. (Abrantes, 2002, p. 10)

O recurso a diversos tipos de instrumentos é recorrente e transversal à perspetiva

de avaliação formativa (Pinto & Santos, 2006; Fernandes, 2005; Black et al., 2003).

Para Santos (2005), na seleção de um dado instrumento o professor deverá ter em conta

o que pretende saber (nomeadamente a adequabilidade para certos aspetos da

aprendizagem). O professor deverá garantir que todos os alunos terão oportunidade de

demonstrar clara e completamente o que sabem e o que são capazes de fazer:

Chama-se ainda a atenção para a necessidade de: (i) a avaliação ser um processo contínuo, recorrente, público, participado e dinâmico; (ii) os professores serem apoiados e ser reconhecida a sua competência profissional enquanto principais responsáveis pela avaliação; (iii) serem

18

utilizados instrumentos de avaliação múltiplos e complexos, tais como, tarefas de desempenho, projetos, trabalhos escritos, prestações orais e portefólios e (iv) os desempenhos dos alunos não serem comparados entre si, mas antes com critérios de avaliação pré-estabelecidos. (Santos, 2005, p. 171)

A diversificação e articulação de diversas estratégias de avaliação formativa

podem permitir a ultrapassagem das dificuldades, desde que os alunos se envolvam com

seriedade e responsabilidade (Buhagiar & Murphy, 2008). É uma tarefa exigente, para

professores e alunos, onde eles se têm de expor. Para tal, é preciso, por um lado, que lhe

reconheçam significado e, por outro, que haja um ambiente de confiança na interação

professor - aluno. O acréscimo de trabalho para o aluno e para o professor é enorme

(Santos & Pinto, 2010). É necessário dedicar aulas para esse trabalho, criar momentos

diversos de interação professor - aluno, de acompanhar e apoiar os alunos (Santos,

2005). É igualmente necessário, para o bom êxito dessa tarefa, uma certa predisposição

do professor, nomeadamente em aceitar que o aluno possa deter um elevado grau de

liberdade e decisão (Menino, 2004). Como Hadji (1994) e Santos & Pinto (2010)

referem, para realizar a sua função geral de ajudar a promover a aprendizagem, a

avaliação deve: envolver segurança, ajudar a consolidar a confiança do aluno em si

próprio; prestar assistência, marcar etapas, dar pontos de apoio para progredir através de

feedback, dar, o mais rapidamente possível, informação útil sobre as etapas vencidas e

as dificuldades encontradas; e promover um verdadeiro diálogo entre professor e aluno,

fundamentado em dados precisos.

Quando os professores usam práticas avaliativas como a observação, a interação e

o feedback aos relatórios escritos, os alunos tendem a aprender através do processo de

verbalização das suas ideias e de resposta às questões do professor (NCTM, 2007).

Nesse sentido, o aluno deve ser envolvido na sua própria avaliação como sujeito ativo

de forma a tornar-se consciente e a gerir a representação que tem dos conhecimentos e

capacidades a desenvolver. É necessário que a avaliação reflita o ensino e, nesse

sentido, as questões têm de ser construídas para que, quando se analisam as respostas

dos alunos, se tenha uma ideia de como eles organizam a informação (Price et al.,

2010). Só conhecendo os processos de pensamento do aluno é possível modificar o

ensino e criar novas situações didáticas com o fim de ajudar o aluno a aprender melhor.

19

Síntese A partir dos documentos curriculares, os professores podem discernir a

valorização que fazem dos diferentes conteúdos, formas de abordagem e modos de

avaliação. Mas, a interpretação não é feita da mesma forma por todos os professores e,

também, o que é transposto para os alunos não é aprendido da mesma forma. Na fase de

planificação, o professor efetua uma seleção de tarefas, estratégias e modos de fazer em

função do contexto turma, do seu conhecimento profissional e do seu saber-fazer

(Ponte, Quaresma & Branco, 2012). Os programas preconizam as finalidades do ensino

da Matemática e os modos de avaliação das aprendizagens. Em qualquer um dos

documentos existem indicações inequívocas do pressuposto de que o aluno é um agente

da sua própria aprendizagem e de que o professor deve proporcionar uma multiplicidade

de tarefas de aprendizagem e modos de avaliação diversificados. Entre eles destaca-se a

necessidade de resolver problemas, realizar atividades de investigação, desenvolver

projetos, usar as tecnologias, efetuar redações e composições, testes em duas fases e

portefólios.

A avaliação deve fornecer informações relevantes e substantivas sobre o estado

das aprendizagens dos alunos, no sentido de ajudar o professor a gerir o processo de

ensino e aprendizagem (Santos & Pinto, 2010). Por ser necessária uma avaliação

continuada de caráter formativo e regulador, esta deve atender à diversidade de

objetivos curriculares, fazer parte do processo ensino aprendizagem, identificar o que os

alunos não sabem para melhorar a sua aprendizagem, decorrer em clima de confiança,

ser transparente e os erros e as dificuldades encarados como pontos de partida para

novas aprendizagens (Wiliam et al., 2004). Deste modo, são necessários modos de

avaliação adequados àquilo que efetivamente se pretende avaliar e que atendam à

natureza das tarefas propostas.

Para promover a autorregulação - monitorização da aprendizagem efetuada pelo

próprio - a aprendizagem depende de como o aluno aprende a lidar com os processos de

ensino e de aprendizagem ao se confrontar com a necessidade de construir novos

conhecimentos. Ao professor cabe o papel de possibilitar aos alunos esse confronto e

promover a coerência entre as orientações curriculares e as práticas avaliativas. Tal

permite considerar que a avaliação engloba interpretação, reflexão, informação e

decisão sobre o processo ensino aprendizagem. A informação recolhida deverá produzir

efeito na melhoria da aprendizagem. Mas, justifica-se a necessidade de aprofundar o

20

conhecimento dessas ações do professor, compreendendo os significados que os

intervenientes atribuem ao que fazem (Ponte & Chapman, 2006).

Concretização na sala de aula

Comunicação na aula de Matemática A importância da comunicação, no contexto específico da sala de aula de

Matemática e nos vários níveis de ensino, tem sido amplamente reconhecida (NCTM,

2007; Brendefur & Frykholm, 2000; Guerreiro, 2011; Menezes, 2004; Ponte & Santos,

1998). A comunicação constitui um processo social onde os participantes interagem

trocando informações e influenciando-se mutuamente (Martinho & Ponte, 2005). De

facto, o fenómeno comunicação abrange o vasto conjunto de processos interativos

desencadeados na sala de aula, na diversidade dos contextos em que ocorrem, das

representações subjacentes e das formas de expressão. Esta perspetiva é suficientemente

abrangente para incluir no estudo da comunicação na aula de Matemática dois aspetos

essenciais claramente identificados na literatura: (i) a interação continuada entre os

intervenientes na sala de aula (Brendefur & Frykholm, 2000; Guerreiro, 2011); e (ii) a

negociação de significados enquanto modo como esses intervenientes partilham entre si

as formas como encaram os conceitos e processos matemáticos, os fazem evoluir e os

ajustam ao conhecimento configurado pelo currículo (Forman et al., 1998).

O professor enquanto facilitador de processos comunicativos na sala de aula tem

um papel fundamental, como é reconhecido na literatura (Menezes, 2004; Ponte et al.,

2007). Ferreira (2005), Menezes (2004) e Wood (1998) agrupam os padrões de

interação na sala de aula em categorias. Por exemplo, o modo tradicional de interação,

padrão de recitação, designado por iniciação-resposta-avaliação (IRA), em que o

professor dá início à interação através da colocação de uma questão, o aluno responde e,

de seguida, o professor avalia essa resposta, observando se está correta (Martinho &

Ponte, 2005); o padrão de discussão, em que os alunos resolvem a tarefa proposta pelo

professor, que solicita a apresentação e a justificação do processo utilizado e da solução

obtida (Lau, Singh & Hwa, 2009); e o padrão da matemática dirigida, em que o

professor apresenta aos alunos uma tarefa e pede para ser resolvida recorrendo a

diferentes abordagens ao nível da Matemática. Depois, reduz o número de

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possibilidades para um determinado modo de abordar a tarefa, forçando os alunos a

seguir a sua própria estratégia de resolução.

Stein (2001) valoriza, também, a comunicação na sala de aula no sentido de que o

professor estimula o interesse dos alunos para enriquecer as interações estabelecidas. Na

verdade, um dos seus papéis enquanto elemento impulsionador da comunicação na sala

de aula é criar oportunidades para a atividade de cada aluno através da interação

(Brendefur & Frykholm, 2000; Menezes, 2004; Guerreiro, 2011), partindo do seu

trabalho, ajudando-o a empenhar-se na própria aprendizagem e a ganhar autoconfiança.

Nas aulas de Matemática, a comunicação desenvolve-se sobretudo pela linguagem

oral, naturalmente complementada pela linguagem gestual. A comunicação pela

linguagem oral serve para que os alunos ouçam o que o professor tem a dizer, exprimam

as suas ideias e confrontem-nas com as ideias dos seus colegas. Segundo Ponte et al.

(2007), a linguagem oral (complementada pela linguagem corporal) serve de suporte ao

pensamento, sendo através dela que se desenvolve o essencial do processo ensino

aprendizagem da Matemática. No entanto, a linguagem escrita (incluindo todo o tipo de

registos escritos, simbólicos e representações icónicas) é uma forma de comunicação

que tem um papel complementar fundamental no processo ensino aprendizagem. A

linguagem escrita serve para que os alunos tenham a oportunidade de expressão das

ideias matemáticas através de registos, no quadro ou no caderno diário.

Segundo Ponte et al. (2007) quer a comunicação em geral, quer a comunicação

matemática em particular, podem ser entendidas segundo diferentes pontos de vista.

Estes autores referem os seguintes: a comunicação como organização e transmissão de

informações; e a comunicação como um processo de interação social.

A comunicação na sala de aula, também, está associada a uma perspetiva sobre a

Matemática e sobre o ensino da Matemática. Como referem Godino e Llinares (2000),

ou se considera a Matemática como um conjunto de verdades objetivas, como algo

existente e documentado de modo independente dos indivíduos (predomina na

perspetiva cognitivista), ou se veem as práticas de sala de aula como um processo de

matematização partilhada, guiadas por regras e normas que emergem da própria prática

(predomina na perspetiva sociocultural). Do mesmo modo, a ênfase na transmissão de

mensagens do professor para os alunos e entre os alunos ou nos processos de interação

professor - aluno sustentam diferentes posicionamentos em relação à comunicação na

sala de aula de Matemática:

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Se se considera que a Matemática é um conjunto de verdades objetivas, é natural que se entenda a comunicação como a transmissão de mensagens entre duas pessoas através de um processo linear e exterior aos indivíduos. (Ponte et al., 2007, p. 42)

A aplicação deste modelo ao contexto educativo centra a comunicação no diálogo

entre o professor e os alunos. Assume-se, então, que a preocupação do professor é

tornar as mensagens emitidas compreensíveis aos alunos, eliminando eventuais

interferências. O professor deve utilizar no seu discurso constantes redundâncias, como

forma de reforçar o conteúdo da mensagem, e assegurar-se dos processos de

transferência da mensagem através de feedback ou através de perguntas cujas respostas

possam evidenciar a aquisição dos conhecimentos transmitidos (Henning et al., 2012).

Trata-se de procurar fechar o fosso entre o que expectável que o aluno faça e aquilo que

efetivamente concretiza (Sadler, 1989). Neste modelo, tudo é redutível à precisão com

que se processa a transmissão de informação entre o professor e os alunos, apenas

limitada pela existência exterior do ruído perturbador da receção.

A valorização dos aspetos de natureza semântica da mensagem pode salientar as

representações simbólicas e os aspetos característicos da linguagem Matemática, cuja

aprendizagem é então encarada como a aquisição de uma organização complexa de

símbolos, signos e representações Matemáticas (Ponte et al., 2007).

Se a Matemática é vista como uma construção cultural partilhada pelos

intervenientes e as aulas são caracterizadas pelos processos de interação social entre o

professor e os alunos, a comunicação pode passar a ser entendida como um processo de

interação social de contextos múltiplos:

Os novos significados e as novas formas de compreensão são construídos e reconstruídos através de processos individuais de gerar sentido e processos sociais de interação das mensagens, das pessoas e dos contextos culturais da sala de aula. A aprendizagem converte-se, assim, num processo de interação e reflexão, onde o professor não se limita à transmissão de um conhecimento matemático estabelecido e objetivamente codificado, mas empenha-se na organização de um conjunto de tarefas diversificadas e não rotineiras que promovam uma variedade de estratégias de resolução de problemas pelos alunos e os levem a partilhar as suas ideias, com vista à negociação de conceitos matemáticos e à construção de novos conhecimentos. Nesta perspetiva, ganham grande importância as práticas discursivas que ocorrem na sala de aula, tendo de se questionar se são de facto promotoras da compreensão dos significados e da linguagem da Matemática (Ponte et al., 2007, p. 42 - 43)

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Finalmente, um último aspeto fundamental respeitante à comunicação, segundo

Ponte et al. (2007), é que esta tem um papel essencial para assistir os alunos no

desenvolvimento dos seus significados matemáticos e na sua compreensão dos

conceitos matemáticos. A construção de significados matemáticos evolui por etapas

sucessivas, através da sua publicitação de forma oral ou escrita por parte dos alunos,

regulados pelo professor. Porém, para que tal aconteça, é necessário que os alunos se

sintam à vontade para partici