Relatório de Física I/Instruções

TEORIA DE ERROS

São Paulo - 2014

Universidade de Mogi das Cruzes

INTRODUÇÃO

As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas

ou combinações de medidas, as quais têm uma incerteza intrínseca advinda

dos métodos de medidas, das características dos aparelhos usados na sua

determinação e mesmo do operador. A experiência mostra que, quando uma

medida é repetida várias vezes, com as mesmas precauções, pelo mesmo

observador ou por vários observadores, os resultados achados não são em

geral idênticos.

Ao fazemos a medida de uma grandeza física achamos um número que

a caracteriza, cuja confiabilidade deve ser conhecida, ou seja toda medida

física deve ser acompanhada de uma incerteza que deve ser expressa através

de uma linguagem universal. Além disto, para combinar as incertezas dos

diversos fatores que influenciam o resultado, não podemos usar quaisquer

métodos. É a Teoria de Erros que fornece tratamento adequado para os

dados experimentais.

Algarismo Significativo

Chamamos de “algarismos significativos” de uma medida aqueles que

são corretos e o primeiro duvidoso. As medidas são sempre acompanhadas de

uma incerteza que depende dos fatores acima mencionados. Quanto maior for

a precisão do instrumento, maior será o número de algarismos significativos

que podem e devem ser usados

12,3cm 12,4cm 12,6cm

Os valores obtidos para os últimos algarismos à direita da virgula

diferem, pois suas avaliações dependem da pericia de cada observador.

Portanto, não podemos saber qual é o resultado correto. Notamos, ainda, que

todos os observadores não têm dúvida quanto aos algarismos que antecedem

CORRETO

DUVIDOSO

à virgula (1 e 2). Desta forma, 1 e2 são algarismos corretos e 3, 4 e 6são

duvidosos. Portanto, temos 3 algarismos significativos.

A quantidade de algarismos significativos não é alterada quando é feita

uma transformação de unidade. Para o exemplo que segue, temos 3

algarismos significativos, dos quais o 8 é duvidoso: AB = 12,8cm = 0,128 m =

128mm.

Regras de aproximação

Quando eliminamos algarismos não significativos, ou mesmo quando,

deliberamos, dispensamos alguns algarismos significativos, devemos usar as

seguintes regras:

I. Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não

muda.

II. Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o

anterior é acrescido de uma unidade.

Exemplo:

a) 1,0234 arredondado 1,023

b) 1,0235 arredondado 1,024

c) 1,0236 arredondado 1,024

Incerteza Absoluta

A maneira mais correta de apresentarmos o valor de uma medida

consiste em expressá-la com sua incerteza. A medida que segue é relativa ao

comprimento de uma peça:

L = l ± l = ( 13,4 ± 0,1 ) cm

Onde l é o valor medido e l é a incerteza da medida.

Neste exemplo, 1 e 3 são algarismos corretos e 4 é o duvidoso, o qual

reside a incerteza da medida. Sendo assim, ± 0,1 cm é a amplitude da

incerteza denominada incerteza absoluta. Portanto, não há um único valor

associado a medida, mas valores compreendidos entre 13,3 cm e 13,4 cm é o

mais provável.

O exemplo ilustra o caso em que a medida é obtida através de uma

única leitura no instrumento. Entretanto, quando efetuamos várias medidas de

uma grandeza, ela deve ser expressa através de seu valor médio, cuja

incerteza é obtida através de método estatístico, conforme será visto.

Incerteza Relativa

A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a

medida da grandeza, isto é:

Incerteza Percentual

A incerteza relativa expressa em termos percentuais é denominada

incerteza percentual e é dada por:

100

Classificação dos Erros

Quando medimos uma grandeza física, temos como objetivo alcançar o

seu verdadeiro valor ou valor real. Atingir este objetivo é praticamente

impossível. Podemos obter, entretanto, após uma séria de medidas, um valor

que mais se aproxima do real. O erro absoluto de uma medida é definido como

sendo a diferença entre o valor medido e o aceito como verdadeiro. O erro

relativo é dado pela razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro, em

módulo, isto é:

Er =

O erro relativo expresso em termos percentuais é denominado erro

percentual e é dado por :

E% = Er 100

Dissemos, anteriormente, que as medidas têm incertezas intrínsecas

que dependem do método, do operador e do instrumento de medida. São estas

incertezas que limitam a obtenção do verdadeiro valor da grandeza. Elas

podem ser de origem sistemática e acidental e originam os erros sistemáticos e

acidentais, abordados a seguir.

Erro Sistemático

São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas.

São provenientes de falhas do método empregado, do operador ou do

equipamento utilizado. Os erros sistemáticos, como o próprio nome sugere, são

de amplitudes regulares e influenciam a medida sempre da mesma forma, ou

para mais ou para menos.

Erros Acidentais

São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de

forma variável.

Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são:

Imperícia do operador.

Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na observação de

uma mesma grandeza por vários observadores.

Erro de paralaxe.

Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um

cronômetro).

Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma

escala, aplicação de um instrumento de medida a uma peça, em

diferentes posições).

Interesse do operador de obter medidas em situações diferentes a fim de

conseguir um valor mais representativo.

Os erros acidentais podem ser minimizados pela perícia do operador.

Tratamento Estatístico para Análise dos Resultados Experimentais

Conforme dissemos anteriormente, quando são feitas várias medidas de

uma grandeza, devemos dar um tratamento estatístico para analisar os

resultados experimentais. Passaremos a discuti-lo a seguir.

Para terem sentido estatístico, as medidas e contagens devem ser

limitadas a um certo grupo ou conjunto de objetos, denominado população.

Assim, a população pode estar relacionada ao número de habitantes de

uma certa cidadde ou a uma série de medidas experimentais. A “amostra” é

uma parte da população, selecionada aleatoriamente e usada para fazer

estimativas e tirar conclusões com relação a uma população.

Com os dados obtidos através de uma população ou amostra, podemos

observar várias características importantes, como por exemplo, a freqüência

com que um dado se repete. A distribuição de freqüências tem três

características importantes: indica os valores mais prováveis e menos

prováveis (probabilidade de ocorrência dos valores), a tendência que certos

valores têm de se concentrarem em torno de um determinado valor, chamado

valor médio da grandeza, e o intervalo no qual se encontra o valor da

grandeza, ou seja, a sua dispersão.

Média Aritmética

Há várias formas para se mensurar o valor médio de um grandeza ou o

mais provável. Normalmente utilizamos a média aritmética como o valor que

melhor representa a grandeza observada, embora isto não se aplique em todos

os casos. A média aritmética de um conjunto de medidas é dada por:

, onde n é o número total de medidas e xi é o valor de cada

medida.

Cabe ressaltar que o valor médio de uma grandeza pode ser medido por

outros parâmetros tais como mediana, moda, média geométrica e média

harmônica. Neste módulo tais parâmetros não serão estudados. Desta forma ,

quando for mencionado valor médio, estaremos nos referindo à média

aritmética.

Desvio

Não podemos afirmar que o valor mais provável seja o valor real da

grandeza. Desta forma, a diferença não é definida como erro. Quando

se conhece o valor mais provável falamos em desvio: .

Desvio é a diferença entre o valor medido e a média aritmética.

Dispersão

A especificação do valor médio não é suficiente para caracterizar uma

série de medidas . Precisamos saber de quanto as medidas individuais se

afastam, em média, do valor médio. Em outras palavras, de que maneira as

medidas xi se distribuem em torno do valor médio, isto é, qual a é dispersão

das medidas. Para medir a dispersão utilizamos os parâmetros: desvio médio,

variância e desvio padrão.

Desvio Médio

O desvio médio é uma medida de dispersão de uma grandeza com

relação ao valor médio.

Para um número n de medidas definimos desvio médio como sendo a

média aritmética dos desvios:

Se os valores medidos estiverem bem próximos da média aritmética,

menor será a dispersão e portanto o desvio médio.

Desvio Padrão

Em uma população finita de medidas, definimos a variância como sendo

a média aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da

grandeza, com relação ao valor médio, isto é:

n = número total de xi na população.

O desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância:

Para uma distribuição normal de freqüência, isto é, próxima de uma

gaussiana, conforme mostra a figura abaixo, temos.

68% dos pontos estão no intervalo desvio padrão

95% dos pontos estão no intervalo 2 desvio padrão

99,7% dos pontos estão no intervalo 3 desvio padrão

Freqüência

Limite de Erro e Incerteza Sistemática Residual

A incerteza sistemática residual ( ) é decorrente da acurácia dos

instrumentos e do procedimento de medida, não existindo nenhum método

adotado como padrão para sua determinação. Entretanto, pode-se considerar

como uma boa estratégia relaciona: a incerteza sistemática residual com o

limite de erro L, o qual é definido como sendo o valor máximo que o erro pode

apresentar. Nesse sentido, como uma regra prática para instrumento ;

analógicos considera-se que o limite de erro de calibração ( ) do

equipamento corresponde à menor divisão da sua escala.

Assim, a incerteza sistemática residual pode ser calculada por:

A Incerteza Padrão

A incerteza padrão que afeta o resultado final de uma medida

corresponde a um valor que associa o desvio padrão da média ( ) e a

incerteza sistemática residual ( ), ou seja, a incerteza padrão incorpora as

incertezas estatísticas com as incertezas provenientes dos instrumentos de

medidas e dos procedimentos de medição. Dessa forma, a incerteza padrão

pode ser calculada através das variâncias da seguinte maneira (vuolo,

1996):

Portanto

Paquímetro

O paquímetro é um instrumento usado para medir as dimensões lineares

internas, externas e de profundidade de uma peça. Consiste em uma régua

graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor.

1. orelha fixa 8. encosto fixo

2. orelha móvel 9. encosto móvel

3. nônio ou vernier (polegada) 10. bico móvel

4. parafuso de trava 11. nônio ou vernier (milímetro)

5. cursor 12. impulsor

6. escala fixa de polegadas 13. escala fixa de milímetros

7. bico fixo 14. haste de profundidade

O cursor ajusta-se à régua e permite sua livre movimentação, com um

mínimo de folga. Ele é dotado de uma escala auxiliar, chamada nônio ou

vernier.

Essa escala permite a leitura de frações da menor divisão da escala fixa.

O paquímetro é usado quando a quantidade de peças que se quer medir

é pequena. Os instrumentos mais utilizados apresentam uma resolução de:

0,05 mm, 0,02 mm, "128

1ou .001"

As superfícies do paquímetro são planas e polidas, e o instrumento

geralmente é feito de aço inoxidável. Suas graduações são calibradas a 20ºC.

O Paquímetro universal é utilizado em medições internas, externas, de

profundidade e de ressaltos.

Trata-se do tipo mais usado e que utilizaremos em nosso experimento.

Quando o paquímetro está fechado, o zero do nônio coincide com o zero

da escala principal.

As medidas com paquímetro são efetuadas da seguinte forma:

A peça cujo comprimento desejamos medir é colocada entre as

esperas.Tais esperas devem ficar completamente encostadas na peça.

O comprimento da peça é dado pelo nº na escala principal corresponde

à posição imediatamente inferior ao zero do nônio. Somamos a este

número décimo do valor lido no nônio que melhor coincide com algum

número da escala principal. A figura que segue ilustra o que foi

explicado.

Micrômetro

Os micrômetros também são usados para medidas de pequenos

comprimentos. Existem micrômetros de grande precisão baseados em medidas

óticas. Descreveremos, entretanto, o micrômetro analógico constituído por

parafuso micrométrico, que será usado no laboratório.

O instrumento é formado por 2 esperas, uma fixa e outra móvel, entre as

quais é colocado o corpo cujo comprimento desejamos medir, duas escalas,

sendo uma horizontal e a outra vertical, conforme a figura que segue.

Leitura no micrômetro com resolução de 0,01 mm.

1º passo - leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha.

2º passo - leitura dos meios milímetros, também na escala da bainha.

3º passo - leitura dos centésimos de milímetro na escala do tambor.

Escala Horizontal

Escala Vertical

Exemplo

OBJETIVO

Familiarização com instrumentos de medida tais como régua, paquímetro e

micrômetro.

Uso da Teoria de Erros para análise dos dados experimentais.

MATERIAIS

Objetos diversos como: bolinha de gude, cubos, etc.

Régua

Paquímetro

Micrômetro

PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS

De acordo com o material existente na bancada, siga o seguinte roteiro:

1. Meça 10 vezes cada objeto em pontos diferentes utilizando todos os

instrumentos de medidas fornecidos (régua, paquímetro e micrômetro), e

anote os valores encontrados nas tabelas.

2. Preencha o restante da tabela utilizando-se do formulário a seguir. Em

caso de dúvidas leia novamente o resumo da teoria contido neste roteiro

ou as referências indicadas, que apresentem uma abordagem mais

completa.

RESULTADOS E DISCUSSOES

Esfera

Medidas com a Régua

Ø Desvio

Desvio Padrão

Desvio Padrão

da Média ( )

Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual = __________

Incerteza Padrão = _____

Resultado final (régua): ____ __ Incerteza relativa Percentual = ____%

Medidas com Paquímetro

Ø Desvio

Desvio

Padrão

Desvio Padrão

da Média ( )

Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual = __________

Incerteza Padrão = _____

Resultado final (Paquímetro): __ __ Incerteza relativa Percentual = __ %

Medidas com Micrômetro

Ø Desvio

Desvio Padrão

Desvio Padrão

da Média ( )

Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual = __________

Incerteza Padrão = _____

Resultado final (Micrômetro):__ __ Incerteza relativa Percentual = ___%

FORMULAS:

BIBLIOGRAFIA

VUOLO, José Henrique. Teoria de Erros. In: VUOLO, José Henrique.

Fundamentos da Teoria de Erros. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda,

1996.cap. 3, p. 49.

ABNT. NBR 6393/1980: Paquímetros com leitura de 0,1 mm e 0,05 mm. S/i.

ABNT. NBR 6670/1981: Micrômetros externos com leitura de 0,01 mm. S/i.