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Relatório de Física I/Instruções TEORIA DE ERROS São Paulo - 2014 Universidade de Mogi das Cruzes

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  • Relatório de Física I/Instruções

    TEORIA DE ERROS

    São Paulo - 2014

    Universidade de Mogi das Cruzes

  • INTRODUÇÃO

    As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas

    ou combinações de medidas, as quais têm uma incerteza intrínseca advinda

    dos métodos de medidas, das características dos aparelhos usados na sua

    determinação e mesmo do operador. A experiência mostra que, quando uma

    medida é repetida várias vezes, com as mesmas precauções, pelo mesmo

    observador ou por vários observadores, os resultados achados não são em

    geral idênticos.

    Ao fazemos a medida de uma grandeza física achamos um número que

    a caracteriza, cuja confiabilidade deve ser conhecida, ou seja toda medida

    física deve ser acompanhada de uma incerteza que deve ser expressa através

    de uma linguagem universal. Além disto, para combinar as incertezas dos

    diversos fatores que influenciam o resultado, não podemos usar quaisquer

    métodos. É a Teoria de Erros que fornece tratamento adequado para os

    dados experimentais.

    Algarismo Significativo

    Chamamos de “algarismos significativos” de uma medida aqueles que

    são corretos e o primeiro duvidoso. As medidas são sempre acompanhadas de

    uma incerteza que depende dos fatores acima mencionados. Quanto maior for

    a precisão do instrumento, maior será o número de algarismos significativos

    que podem e devem ser usados

    12,3cm 12,4cm 12,6cm

    Os valores obtidos para os últimos algarismos à direita da virgula

    diferem, pois suas avaliações dependem da pericia de cada observador.

    Portanto, não podemos saber qual é o resultado correto. Notamos, ainda, que

    todos os observadores não têm dúvida quanto aos algarismos que antecedem

    CORRETO

    DUVIDOSO

  • à virgula (1 e 2). Desta forma, 1 e2 são algarismos corretos e 3, 4 e 6são

    duvidosos. Portanto, temos 3 algarismos significativos.

    A quantidade de algarismos significativos não é alterada quando é feita

    uma transformação de unidade. Para o exemplo que segue, temos 3

    algarismos significativos, dos quais o 8 é duvidoso: AB = 12,8cm = 0,128 m =

    128mm.

    Regras de aproximação

    Quando eliminamos algarismos não significativos, ou mesmo quando,

    deliberamos, dispensamos alguns algarismos significativos, devemos usar as

    seguintes regras:

    I. Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não

    muda.

    II. Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o

    anterior é acrescido de uma unidade.

    Exemplo:

    a) 1,0234 arredondado 1,023

    b) 1,0235 arredondado 1,024

    c) 1,0236 arredondado 1,024

    Incerteza Absoluta

    A maneira mais correta de apresentarmos o valor de uma medida

    consiste em expressá-la com sua incerteza. A medida que segue é relativa ao

    comprimento de uma peça:

    L = l ± l = ( 13,4 ± 0,1 ) cm

    Onde l é o valor medido e l é a incerteza da medida.

    Neste exemplo, 1 e 3 são algarismos corretos e 4 é o duvidoso, o qual

    reside a incerteza da medida. Sendo assim, ± 0,1 cm é a amplitude da

    incerteza denominada incerteza absoluta. Portanto, não há um único valor

  • associado a medida, mas valores compreendidos entre 13,3 cm e 13,4 cm é o

    mais provável.

    O exemplo ilustra o caso em que a medida é obtida através de uma

    única leitura no instrumento. Entretanto, quando efetuamos várias medidas de

    uma grandeza, ela deve ser expressa através de seu valor médio, cuja

    incerteza é obtida através de método estatístico, conforme será visto.

    Incerteza Relativa

    A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a

    medida da grandeza, isto é:

    Incerteza Percentual

    A incerteza relativa expressa em termos percentuais é denominada

    incerteza percentual e é dada por:

    100

    Classificação dos Erros

    Quando medimos uma grandeza física, temos como objetivo alcançar o

    seu verdadeiro valor ou valor real. Atingir este objetivo é praticamente

    impossível. Podemos obter, entretanto, após uma séria de medidas, um valor

    que mais se aproxima do real. O erro absoluto de uma medida é definido como

    sendo a diferença entre o valor medido e o aceito como verdadeiro. O erro

    relativo é dado pela razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro, em

    módulo, isto é:

    Er =

    O erro relativo expresso em termos percentuais é denominado erro

    percentual e é dado por :

    E% = Er 100

    Dissemos, anteriormente, que as medidas têm incertezas intrínsecas

    que dependem do método, do operador e do instrumento de medida. São estas

  • incertezas que limitam a obtenção do verdadeiro valor da grandeza. Elas

    podem ser de origem sistemática e acidental e originam os erros sistemáticos e

    acidentais, abordados a seguir.

    Erro Sistemático

    São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas.

    São provenientes de falhas do método empregado, do operador ou do

    equipamento utilizado. Os erros sistemáticos, como o próprio nome sugere, são

    de amplitudes regulares e influenciam a medida sempre da mesma forma, ou

    para mais ou para menos.

    Erros Acidentais

    São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de

    forma variável.

    Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são:

    Imperícia do operador.

    Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na observação de

    uma mesma grandeza por vários observadores.

    Erro de paralaxe.

    Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um

    cronômetro).

    Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma

    escala, aplicação de um instrumento de medida a uma peça, em

    diferentes posições).

    Interesse do operador de obter medidas em situações diferentes a fim de

    conseguir um valor mais representativo.

    Os erros acidentais podem ser minimizados pela perícia do operador.

    Tratamento Estatístico para Análise dos Resultados Experimentais

    Conforme dissemos anteriormente, quando são feitas várias medidas de

    uma grandeza, devemos dar um tratamento estatístico para analisar os

    resultados experimentais. Passaremos a discuti-lo a seguir.

    Para terem sentido estatístico, as medidas e contagens devem ser

    limitadas a um certo grupo ou conjunto de objetos, denominado população.

  • Assim, a população pode estar relacionada ao número de habitantes de

    uma certa cidadde ou a uma série de medidas experimentais. A “amostra” é

    uma parte da população, selecionada aleatoriamente e usada para fazer

    estimativas e tirar conclusões com relação a uma população.

    Com os dados obtidos através de uma população ou amostra, podemos

    observar várias características importantes, como por exemplo, a freqüência

    com que um dado se repete. A distribuição de freqüências tem três

    características importantes: indica os valores mais prováveis e menos

    prováveis (probabilidade de ocorrência dos valores), a tendência que certos

    valores têm de se concentrarem em torno de um determinado valor, chamado

    valor médio da grandeza, e o intervalo no qual se encontra o valor da

    grandeza, ou seja, a sua dispersão.

    Média Aritmética

    Há várias formas para se mensurar o valor médio de um grandeza ou o

    mais provável. Normalmente utilizamos a média aritmética como o valor que

    melhor representa a grandeza observada, embora isto não se aplique em todos

    os casos. A média aritmética de um conjunto de medidas é dada por:

    , onde n é o número total de medidas e xi é o valor de cada

    medida.

    Cabe ressaltar que o valor médio de uma grandeza pode ser medido por

    outros parâmetros tais como mediana, moda, média geométrica e média

    harmônica. Neste módulo tais parâmetros não serão estudados. Desta forma ,

    quando for mencionado valor médio, estaremos nos referindo à média

    aritmética.

    Desvio

    Não podemos afirmar que o valor mais provável seja o valor real da

    grandeza. Desta forma, a diferença não é definida como erro. Quando

    se conhece o valor mais provável falamos em desvio: .

    Desvio é a diferença entre o valor medido e a média aritmética.

  • Dispersão

    A especificação do valor médio não é suficiente para caracterizar uma

    série de medidas . Precisamos saber de quanto as medidas individuais se

    afastam, em média, do valor médio. Em outras palavras, de que maneira as

    medidas xi se distribuem em torno do valor médio, isto é, qual a é dispersão

    das medidas. Para medir a dispersão utilizamos os parâmetros: desvio médio,

    variância e desvio padrão.

    Desvio Médio

    O desvio médio é uma medida de dispersão de uma grandeza com

    relação ao valor médio.

    Para um número n de medidas definimos desvio médio como sendo a

    média aritmética dos desvios:

    Se os valores medidos estiverem bem próximos da média aritmética,

    menor será a dispersão e portanto o desvio médio.

    Desvio Padrão

    Em uma população finita de medidas, definimos a variância como sendo

    a média aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da

    grandeza, com relação ao valor médio, isto é:

    n = número total de xi na população.

    O desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância:

  • Para uma distribuição normal de freqüência, isto é, próxima de uma

    gaussiana, conforme mostra a figura abaixo, temos.

    68% dos pontos estão no intervalo desvio padrão

    95% dos pontos estão no intervalo 2 desvio padrão

    99,7% dos pontos estão no intervalo 3 desvio padrão

    Freqüência

    Limite de Erro e Incerteza Sistemática Residual

    A incerteza sistemática residual ( ) é decorrente da acurácia dos

    instrumentos e do procedimento de medida, não existindo nenhum método

    adotado como padrão para sua determinação. Entretanto, pode-se considerar

    como uma boa estratégia relaciona: a incerteza sistemática residual com o

    limite de erro L, o qual é definido como sendo o valor máximo que o erro pode

    apresentar. Nesse sentido, como uma regra prática para instrumento ;

    analógicos considera-se que o limite de erro de calibração ( ) do

    equipamento corresponde à menor divisão da sua escala.

    Assim, a incerteza sistemática residual pode ser calculada por:

  • A Incerteza Padrão

    A incerteza padrão que afeta o resultado final de uma medida

    corresponde a um valor que associa o desvio padrão da média ( ) e a

    incerteza sistemática residual ( ), ou seja, a incerteza padrão incorpora as

    incertezas estatísticas com as incertezas provenientes dos instrumentos de

    medidas e dos procedimentos de medição. Dessa forma, a incerteza padrão

    pode ser calculada através das variâncias da seguinte maneira (vuolo,

    1996):

    Portanto

    Paquímetro

    O paquímetro é um instrumento usado para medir as dimensões lineares

    internas, externas e de profundidade de uma peça. Consiste em uma régua

    graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor.

    1. orelha fixa 8. encosto fixo

    2. orelha móvel 9. encosto móvel

    3. nônio ou vernier (polegada) 10. bico móvel

    4. parafuso de trava 11. nônio ou vernier (milímetro)

    5. cursor 12. impulsor

    6. escala fixa de polegadas 13. escala fixa de milímetros

    7. bico fixo 14. haste de profundidade

  • O cursor ajusta-se à régua e permite sua livre movimentação, com um

    mínimo de folga. Ele é dotado de uma escala auxiliar, chamada nônio ou

    vernier.

    Essa escala permite a leitura de frações da menor divisão da escala fixa.

    O paquímetro é usado quando a quantidade de peças que se quer medir

    é pequena. Os instrumentos mais utilizados apresentam uma resolução de:

    0,05 mm, 0,02 mm, "128

    1ou .001"

    As superfícies do paquímetro são planas e polidas, e o instrumento

    geralmente é feito de aço inoxidável. Suas graduações são calibradas a 20ºC.

    O Paquímetro universal é utilizado em medições internas, externas, de

    profundidade e de ressaltos.

    Trata-se do tipo mais usado e que utilizaremos em nosso experimento.

  • Quando o paquímetro está fechado, o zero do nônio coincide com o zero

    da escala principal.

    As medidas com paquímetro são efetuadas da seguinte forma:

    A peça cujo comprimento desejamos medir é colocada entre as

    esperas.Tais esperas devem ficar completamente encostadas na peça.

    O comprimento da peça é dado pelo nº na escala principal corresponde

    à posição imediatamente inferior ao zero do nônio. Somamos a este

    número décimo do valor lido no nônio que melhor coincide com algum

    número da escala principal. A figura que segue ilustra o que foi

    explicado.

    Micrômetro

    Os micrômetros também são usados para medidas de pequenos

    comprimentos. Existem micrômetros de grande precisão baseados em medidas

    óticas. Descreveremos, entretanto, o micrômetro analógico constituído por

    parafuso micrométrico, que será usado no laboratório.

  • O instrumento é formado por 2 esperas, uma fixa e outra móvel, entre as

    quais é colocado o corpo cujo comprimento desejamos medir, duas escalas,

    sendo uma horizontal e a outra vertical, conforme a figura que segue.

    Leitura no micrômetro com resolução de 0,01 mm.

    1º passo - leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha.

    2º passo - leitura dos meios milímetros, também na escala da bainha.

    3º passo - leitura dos centésimos de milímetro na escala do tambor.

    Escala Horizontal

    Escala Vertical

  • Exemplo

  • OBJETIVO

    Familiarização com instrumentos de medida tais como régua, paquímetro e

    micrômetro.

    Uso da Teoria de Erros para análise dos dados experimentais.

    MATERIAIS

    Objetos diversos como: bolinha de gude, cubos, etc.

    Régua

    Paquímetro

    Micrômetro

    PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS

    De acordo com o material existente na bancada, siga o seguinte roteiro:

    1. Meça 10 vezes cada objeto em pontos diferentes utilizando todos os

    instrumentos de medidas fornecidos (régua, paquímetro e micrômetro), e

    anote os valores encontrados nas tabelas.

    2. Preencha o restante da tabela utilizando-se do formulário a seguir. Em

    caso de dúvidas leia novamente o resumo da teoria contido neste roteiro

    ou as referências indicadas, que apresentem uma abordagem mais

    completa.

  • RESULTADOS E DISCUSSOES

    Esfera

    Medidas com a Régua

    Ø Desvio

    Desvio Padrão

    Desvio Padrão

    da Média ( )

    Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual = __________

    Incerteza Padrão = _____

    Resultado final (régua): ____ __ Incerteza relativa Percentual = ____%

  • Medidas com Paquímetro

    Ø Desvio

    Desvio

    Padrão

    Desvio Padrão

    da Média ( )

    Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual = __________

    Incerteza Padrão = _____

    Resultado final (Paquímetro): __ __ Incerteza relativa Percentual = __ %

  • Medidas com Micrômetro

    Ø Desvio

    Desvio Padrão

    Desvio Padrão

    da Média ( )

    Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual = __________

    Incerteza Padrão = _____

    Resultado final (Micrômetro):__ __ Incerteza relativa Percentual = ___%

  • FORMULAS:

    BIBLIOGRAFIA

    VUOLO, José Henrique. Teoria de Erros. In: VUOLO, José Henrique.

    Fundamentos da Teoria de Erros. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda,

    1996.cap. 3, p. 49.

    ABNT. NBR 6393/1980: Paquímetros com leitura de 0,1 mm e 0,05 mm. S/i.

    ABNT. NBR 6670/1981: Micrômetros externos com leitura de 0,01 mm. S/i.