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1 Prof. Paulo S. Varoto SEM 5766 – Análise Modal de Estruturas

SEM 5766 – ANÁLISE MODAL DE ESTRUTURAS

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Aula # 1 – Revisão de Conceitos – 01 GDL


As Rotas da Análise Modal

Modos de vibrar

Níveis de resposta

Modelo Espacial

Modelo Modal

Modelo de Resposta

[M] [C] [K] ωr [Φ] αjk(ω) h(t)

ANÁLISE MODAL TEÓRICA

Descrição da estrutura

Medidas da resposta

Modos de vibrar

Modelo estrutural

Modelo de Resposta

αjk(ω) h(t)

Modelo Modal

ωr [Φ]

Modelo Espacial

[M] [C] [K]

ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL


Objetivos

Objetivo principal desta aula é realizar uma revisão de conceitos básicos da teoria de vibrações mecânicas relacionados com sistemas de 01 Grau de Liberdade (01 GDL). Serão cobertos os seguintes principais tópicos: •  Resposta livre •  Determinação experimental do fator de amortecimento modal •  Resposta forçada harmônica – conceito de FRF •  Propriedades da FRF •  Excitação sísmica – conceito de transmissibilidade

Bibliografia:


PARTE I

SISTEMAS COM 01 GDL

RESPOSTA LIVRE


Revisão – Sistemas com 01 GDL

Modelo de 01 GDL com amortecimento viscoso:

m

k

c

//\\//\\ //\\//\\

//\\//

\\ //\

\//\\

p (t)

u (t)

Equação de movimento: 2a de Newton

F =mu∑


Obtém-se então a seguinte equação diferencial do movimento:

0u0u =)(

Onde:

•  é o termo de inércia

•  é a força de amortecimento viscoso

•  é a força de mola

•  é a força de excitação externa

uc

)(tp

ku

um

Eq. 1

A Eq. 1 admite as seguintes condições iniciais

0u0u =)(

Posição em t = 0

Velocidade em t = 0

)(tpkuucum =++

Cont. ...


A Eq. 1 pode ser reescrita em função dos chamados parâmetros modais:

)(22

2 tpk

uuu nnn ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=++

ωωςω

mk

n =2ω

crcc

=ς

kmkmcn

ncr 222 ===ω

ω

Onde :

Freqüência natural não amortecida do sistema em rad/s

Fator ou razão de amortecimento viscoso (admensional)

Constante de amortecimento crítico em Ns/m

(Propriedade do sistema que depende somente da massa e rigidez e não é função da excitação)

(Propriedade mensurável do sistema que exprime dissipação de energia)

Eq. 2

Cont. ...


)()()( tututu cp +=

A solução da Eq. 2 é dada pela soma das soluções particular e complementar:

Eq. 3

Onde: •  up(t) é a solução permanente ou de regime e depende somente da excitação p(t)

•  uc(t) é a solução complementar ou homogênea e depende das CIs

02 2 =++ uuu nn ωςω

tseCtu =)(

0)2( 22 =++ tsnn eCss ωςω

Para o caso da vibração livre, consideramos p(t) = 0 e então

Eq. 4

E a solução geral da Eq. 4 é dada por:

Eq. 5

Substituindo, vem :

Eq. 6

01 GDL – Resposta Livre


Desta última Eq. 6 obtemos a Equação Característica do Sistema Amortecido, que é dada por

0s2s 2nn

2 =++ ωςω Eq. 7

Esta última Eq. 7 é de fundamental importância nos estudos da vibração livre e também no controle da vibração. Conforme será visto, suas raízes fornecem informação importante sobre características físicas do sistema. Na teoria de controle clássico tais raízes são denominadas pólos do sistema e fornecem informações sobre a estabilidade do sistema. Estas raízes são geralmente complexas e possuem parte real negativa para sistemas estáveis !

Re

Im

Pólos do sistema

Cont. ...


Resposta Livre Não Amortecida

Neste caso fazemos ζ = 0 na Eq. 4, obtendo assim

02 =+ uu nω

022 =+ ns ω

n21 is ω±=,

E a correspondente equação característica não amortecida é a seguinte

Eq. 8

Cujas raízes são dadas por: 1i −=

E recordando que

mk

n =ω

As raízes da eq. característica do sistema são complexas conjugadas e imaginárias puras. Elas são também dadas em função da frequência natural não amortecida do sistema !

Eq. 11

k m

u

Eq. 9

Eq. 10


Eq. 12

Então, uma vez que temos duas raízes complexas e conjugadas, a solução da Eq. 8 que é a Eq. 5 é reescrita como

ti2

ti1 nn eCeCtu ωω −+=)(

θθθ senicose i ±=±

tAtAtu n2n1 ωω sencos)( +=

n20

10Au0uAu0uω==

==

)()(

Onde C1 e C2 são constantes de integração e dependem das condições iniciais.

A solução para u(t) pode ser reescrita como:

Esta é na verdade uc(t) de u(t) = uc(t) + up(t)

Eq. 13

Onde a Eq. 13 foi obtida com o auxílio das Relações de Euler

Eq. 14

Agora, as constantes A1 e A2 são dadas por:

Eq. 15

Cont. ...


Então, em função dos parâmetros físicos temos:

u(t) = u0 cosωnt +u0ωn

!

"#

$

%&senωnt Eq. 16

Um exemplo gráfico

nn2Tωπ

=

πω2T

1n

n

nf ==

u(t) =U cos(ωnt −α) =U cosωn t − αωn

"

#$

%

&'

Outra forma da solução

Período natural não amortecido [s]

Frequência natural não amortecida [Hz]

Eq. 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

10

5

5

10

Des

loca

men

to

Tempo Tn

0u

U 0u nωα /

U = A1

2 + A22( )1/2

Módulo

α ângulo de fase

O sistema vibra na sua freqüência natural não

amortecida !

Eq. 17

Eq. 18

Eq. 19

Cont. ...


Resposta Livre Amortecida

tseCtu =)(

0)2( 22 =++ tsnn eCss ωςω

0s2s 2nn

2 =++ ωςω

02 2 =++ uuu nn ωςω

Neste caso, a equação de movimento livre é dada por

Eq. 21

E como no caso não amortecido assumimos a solução como

Eq. 22

Substituindo-se a Eq. 22 na Eq. 21 temos

Eq. 23

De onde obtemos a equação característica do sistema amortecido

Eq. 24


Neste caso, a equação característica do sistema, Eq. 24 possui duas raízes complexas conjugadas da seguinte forma

1s 2nn2,1 −±−= ςωςω Eq. 25

O valor do fator de amortecimento ζ define três casos possíveis:

•  Sub Amortecido:

•  Criticamente Amort.:

•  Sobre Amortecido:

10 ≤≤ ς

1=ς

1>ς

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

0.5

0

0.5

1

1<ς

1=ς

1>ς

Veremos cada um destes casos individualmente em seguida

Cont. ...


a) Sistema sub amortecido ζ < 1

Neste caso, escrevemos as raízes da equação característica como:

dn21 is ωςω ±−=,

2nd 1 ςωω −=

dd

2Tωπ

=

Onde neste caso, a constante ωd é frequencia natural amortecida (rad.s-1) do sistema:

E o período natural amortecido Td é dado por

Eq. 26

Deve-se notar que este caso (ζ < 1) é o caso mais importante sob o ponto de vista experimental e prático. As grandezas ωd e Td são as grandezas mensuráveis nos problemas reais.

Eq. 27

Eq. 28

Para a Análise Modal

o mais importante !

Cont. ...


A solução para a vibração livre é então escrita como (Eq. 22):

Eq. 29 ( )tAtAetu d2d1tn ωωως sencos)( += −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++= − tuutuetu d

d

0n0d0

tn ωωςω

ωςω sencos)( Eq. 30

Ou então em função das CIs

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1

Tempo (s)

u c

e n t−ςω

e n t−ςω

Td

Td

O sistema vibra na freqüência natural

Amortecida !

Cont. ...


Outra forma de escrevermos a solução seria:

Eq. 31 )cos()( αωως −= − tUetu dtn

Com: 2

d0n02

02 uuuU ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

ωςω

0d

0n0uuutg

ωςω

α+

=

Eq. 32

Eq. 33

Magnitude

Ângulo de fase

Cont. ...


a) Sistema criticamente amortecido ζ = 1

ns ςω−=

t21 netCCtu ςω−+= )()(

t0n0 netuutu ςωςω −+= ])([)(

As raízes da equação característica são dadas por

Eq. 34

E a solução fica:

Eq. 35

Ou em função das condições iniciais

Eq. 36

b) Sistema sobre amortecido ζ > 1

12n −= ςωω*

Definimos: freqüência natural amortecida

para ζ > 1 Eq. 37

Cont. ...


)senhcosh()( ** tCtCetu 21tn ωωςω += − Eq. 38

E a solução é então dada por

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

ζ = 1

ζ = 1,5

ζ = 2,0

Tempo [s]

Am

plitu

de [m

m]

Exemplos

Cont. ...


Determinação Experimental do Amortecimento

Consiste em utilizar a resposta livre amortecida do sistema de 01 para se obter estimativas do fator de amortecimento modal ζ. Denomina-se de Método do decaimento logarítmico.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1

Tempo (s)

u c

t0 t1

uP uQ

e n t−ςω

e n t−ςω


Eq. 39

Toma-se as amplitudes do movimento no início e no final de um ciclo, uP e uQ, respectivamente. Então, temos com base na Eq. 31

)cos()( αωως −= − tUetu dtn

)cos()( αωως −= − tUetu dt

P Pn

)cos()( αωως−=

− tUetu dt

QQn Eq. 40

Agora: dnT

Q

P euu ςω= Eq. 41

O decremento log é então definido por

dnQ

P Tuu

ςωδ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ln 2

nd

1

2Tςω

π

−= Eq. 42

Cont. ...


Então, das Eqs. 28 e 42 obtemos

2dn1

2Tς

πςςωδ

−==

De onde obtemos o valor de ζ. Para valores de ζ < 0,2

Eq. 43

πςδ 2≅Que é equivalente a

Eq. 44

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅

Q

Puu

21 lnπ

ς Eq. 45

Cont. ...


PARTE II

SISTEMAS COM 01 GDL

RESPOSTA FORÇADA

•  Resposta harmônica – conceito de FRF •  Resposta à excitação qualquer – Laplace, Fourier Duhamel

mu + c u + ku =

•  senoidal •  impulso •  aleatória •  pseudo-aleatória •  chirp •  degrau •  rampa •  acústica


DOMÍNIO DO

TEMPO

DOMÍNIO DA

FREQUÊNCIA

DOMÍNIO DE

LAPLACE L

L-1

F

F -1

s = iω

Função Transferência FT

Função Resposta em Freqüência

FRF

Equações Diferenciais

Tranformada de Fourier

Relação entre Domínios


Resposta Harmônica

Será considerado inicialmente o modelo com amortecimento viscoso:

m

k

c

//\\//\\ //\\//\\

//\\//

\\ //\

\//\\

p (t)

u (t)

Com o seguinte modelo de excitação:

tj0eptp ω=)(

•  p0 – amplitude da força •  ω – freqüência do distúrbio harmônico

Eq. 46


A equação de movimento é escrita como:

mu + c u + ku = p0e jω t

u + 2ςωn u +ωn

2u =ωn2

k

#

$%%

&

'((

p0e jωt

Ou em função dos parâmetros modais:

Baseado na hipótese de linearidade do sistema, assumimos uma solução da forma

u(t) =U0e jω t

A qual quando substituída na Eq. 34 fornece a solução para a amplitude U0

U0 =

p0k − mω 2 + jcω

U0 =

p0k

1− ωωn

#

$%&

'(

2

+ j2ζ ωωn

#

$%&

'(

Estudaremos o caso onde ζ < 1 !

Eq. 47

Eq. 48

Eq. 49

Eq. 51 Eq. 52

Cont. ...


De onde extraímos a FRF do sistema

r2jr11

UUH 20 ςωω

+−== )()(

Onde r = ω/ωn é denominada razão admensional de freqüências

A última expressão também pode ser expressa em termos dos parâmetros físicos do sistema

)()()(

ωω

ωωω

DN

jcmk1H 2 =+−

=

Eq. 53

Eq. 54

Cont. ...


Conforme mostra a última expressão, a FRF agora representa um quociente de dois polinômios complexos, sendo eles N(ω) e D(ω). Para o caso do polinômio do denominador, temos

)()()( ωωω IjRD +=

onde 2mkD ωω −=)(

ωω cI =)(

Sua raiz fornece ωn !

Relacionado com o amortecimento do sistema !

Já o polinômio do numerador é uma constante para o caso do sistema com 01 GDL !

Eq. 55

Cont. ...


Portanto, quando escrevemos a excitação do sistema na forma de uma exponencial complexa, a solução para a FRF do sistema é essencialmente a mesma, com exceção de que agora H(ω) é uma função complexa da freqüência de excitação.

ωωω

jcmk1H 2 +−

=)(

2222 cmk

1Hωω

ω+−

=)(

)(

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−= −

21

mkctan)(ω

ωωα

Eq. 56

Eq. 57

Vejamos a ilustração gráficas destas duas últimas expressões em função de ω !

Cont. ...


0 0.5 1 1.5 20

5

10

15

20

25

30Gráficos de H(ω)

0 0.5 1 1.5 20

50

100

150

200

Magnitude

Ângulo de Fase

r

ζ = 0,1

ζ = 0,6

ζ = 0,1

ζ = 0,6

222 r2r1k1H

)()(/)(

ςω

+−=

2r1r2

−=

ςαtan

Mais comentários adiante !


0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

1

0

1

2

Tempo [s]

Des

loca

men

to [m

]

A solução de regime permanente do sistema assume tj

02p epjcmk

1tu ω

ωω +−=)(

up (t,ω ) = H (ω ) p0 e jωt

Eq. 58

E a solução completa fica então

u(t) = e−ςωnt u0 cosωdt +u0 +ςωnu0

ωd

"

#$

%

&'senωdt

(

)*

+

,-+ p0H (ω)e

jω tEq. 59

Cont. ...


0 20 40 60 80 100 1201

0.5

0

0.5

1

Fenômeno interessante: Batimento Ocorre quando ω ωd na Eq. 25

0 50 100 150 200 250 3001

0.5

0

0.5

1

Tempo [s]

Des

loca

men

to [m

]

≅

O Fenômeno do Batimento (“Beating”)


A condição de ressonância é atingida quando a freqüência de excitação iguala-se à freqüência natural do sistema, ou seja,

ςω

21H 1r ==)(

( ) 0Hr

rpico =∂∂

= )(ω

O valor de r para o qual a FRF atinge seu valor máximo (valor de pico) é obtido a partir de

Esta derivada fornece

Eq. 60

Eq. 61

d

n2 2

1

12

1Hωω

ςςςω =

−=max)(

Eq. 63

2pico 21r ς−=

E

!1rpico ≠ Eq. 62

Resposta Ressonante


0 2 4 6 8 1050

0

50

0 1 2 3 4 510

5

0

5

10

Tempo [s]

Des

loca

men

to [m

]

Não Amortecido

Amortecido

Eq. 32

Eq. 31

π

ς21

Tempo [s]

Des

loca

men

to [m

]

Cont. ...


)()()()( αωω ωω −== tj0

tj0 epHepHtu

22 r1r2

mkctg

−=

−=

ς

ω

ωα

αωωωωω je)(H)(Hj)(Y ==

Como visto antes, a resposta de regime à entrada harmônica pode ser escrita

Eq. 64

Sendo o ângulo de fase dado por

Eq. 65

Duas outras FRF comumente usadas são as FRF de mobilidade e acelerância:

•  Mobilidade: A variável de saída é a velocidade V = jωU

•  Acelerância: A variável de saída é a aceleração A = (jω)2U

)(H)(Yj)(A 2 ωωωωω −==

Eq. 66

Eq. 67

Propriedades Importantes da FRF


É uma representação gráfica da amplitude e fase da FRF como função da frequência de excitação.

Equação da FRF: Hk m j c

( )ωω ω

=− +

12

a) Quando ω <<< ωn :

b) Quando ω >>> ωn :

Hk

( )ω ≈1

( )log log1k

k⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ = −

Hm

( )ωω

≈12 log log( ) log( )1 22m

mω

ω⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = − −

c) Quando ω = ωn : Hc

( )ωω

=1

log log( ) log( )1c

cω

ω⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = − −

linear logarítmica

Eq. 70

Eq. 69

Eq. 68

Diagrama de Bode


10 100 1 1031 10 7

1 10 6

1 10 5

1 10 4|H

( ω )|

(m/N

)

Frequência [rad/s]

massa

rigidez

amortecimento

A

B

Exemplo 1: 01 GDL viscoso - FRF Receptância

Cont. ...


Exemplo 2: 01 GDL viscoso - FRF Mobilidade

|Y( ω

)| (m

/s/N

)

Frequência [rad/s] 10 100 1 103

1 10 5

1 10 4

0.001

0.01

massa

rigidez

amortecimento

A

B

Cont. ...


10 100 1 1030.001

0.01

0.1

1

Exemplo 3: 01 GDL viscoso - FRF Acelerância

|H( ω

)| (m

/s2 /N

)

Frequência [rad/s]

massa

rigidez amortecimento

A

B

Cont. ...


Exemplo 4: Real/Imaginário - Receptância R

eal [

m/N

]

Frequência [rad/s] 10 100 1 103

5 10 5

0

5 10 5

10 100 1 1030.0001

0

0.0001

Frequência [rad/s]

Imag

inár

io [m

/N]

Cont. ...


Exemplo 5: Diagrama de Nyquist - viscoso

4 10 52 10 5 0 2 10 54 10 58 10 5

6 10 5

4 10 5

2 10 5

0

Real

Im

A

B C

D

O

Receptância

0 0.002 0.004 0.006 0.0080.004

0.002

0

0.002

0.004

Real

A=D

B

C

Im

Mobilidade

Cont. ...


O modelo de amortecimento histerético (estrutural) é aquele onde a força de amortecimento é proporcional ao deslocamento mas em fase com a velocidade:

uuukfD

ς=Eq. 71

Logo a Equação de movimento para o sistema de 01 GDL fica

)(tpkuuuukum =++

ς Eq. 72

Outra maneira de escrever a equação de movimento é usando o conceito de rigidez complexa

)()( tukjtfD η= Eq. 73

01 GDL – Amortecimento Histerético ou Estrutural


Assim temos a nova equação de movimento para excitação harmônica

tj0 epuj1kum ωη =++ )( Eq. 74

tj0 eUtu ω=)(

02n

20

0 Fj1

k1jkmk

pUηωωηω +−

=+−

=)/(/

ηωωω

j1k1H 2n +−

=)/(/)(

Assumindo uma solução da forma

Temos como solução para a amplitude de vibração

E a FRF do sistema com amortecimento histerético é

Eq. 75

Eq. 76

Eq. 77 Importante: a parte imaginária

de H(ω) não depende de ω !

Cont. ...


0 50 100 150 200 2500.001

0.01

0.1

1

0 50 100 150 200 250100

50

0

η1 = 0.01

η4 = 0.25

Frequência [Hz]

Gráfico:

ηωωω

j1k1H 2n +−

=)/(/)(

Cont. ...


Neste caso o modelo é o seguinte

m

k

c

//\\//\\ //\\//\\

//\\//\\ //\\//\\

u (t) x (t)

umuxcuxk =−+− )()(

Definindo agora o deslocamento relativo ente a base e a massa:

uxz −=

Eq. 78

E a equação de movimento é a seguinte:

Eq. 79

A entrada é o movimento via suporte, típico em

problemas de isolação !

Excitação Sísmica – Isolação de Vibração


xckxkuucum +=++

Eq. 80

Temos então que a equação de movimento no deslocamento relativo é:

)(tpkzzczm eff=++

xmtpeff −=)(

O lado direito da Eq. 80 é o carregamento efetivo que é dado por:

Eq. 81

Observem que esta ¨força efetiva¨ é na verdade uma pseudo força de inércia, pois é dada pelo produto da aceleração da base pela massa m ! E portanto, a massa responde à esta força como sendo a fonte de distúrbio do sistema. De forma alternativa, podemos expressar a equação de movimento, Eq. 80 em função do deslocamento absoluto da massa m. Neste caso temos:

Eq. 82

Cont. ...


xckxkuucum +=++)(tpkzzczm eff=++

Comparando-se os dois modelos acima descritos, Eq. 80 e Eq. 81, temos:

•  Descrita em termos do deslocamento absoluto u. •  Experimentalmente requer que apenas u seja medido •  A excitação é dada pela soma de parte das forças de mola e amortecedor !

•  Descrita em termos do deslocamento relativo z. •  Experimentalmente requer que x e u sejam medidos e então z calculado ! •  A excitação é dada pela pseudo força de inércia

Veremos em seguida a solução de ambos os modelos para entradas harmônicas. Inicialmente, consideramos o modelo descrito pela Eq. 83, definimos

Eq. 83 Eq. 84

tj0eff emXtp ω−=)( Eq. 85

Agora, substituindo-se a Eq. 85 nas Eqs. 83 e 84 e rearranjando temos

Cont. ...


tj0eXjckkuucum ωω)( +=++ tj

02 eXmkzzczm ωω−=++

Assumindo agora soluções harmônicas em z e u

tj0eZtz ω=)( tj

0eUtu ω=)(

Substituição das Eqs. 88 e 89 nas Eqs. 86 e 87 fornecem as amplitudes

02

20 X

jcmkmZ

ωω

ω

+−

−= 020 X

jcmkjckU

ωω

ω

+−

+=

)(

Reparem que a equação característica nos dois modelos é a mesma !

Eq. 86 Eq. 87

Eq. 88 Eq. 89

Eq.90 Eq. 91

Cont. ...


ωω

ωωω

jcmkm

XZTRr 2

2

0

0+−

−== )()(

ωω

ωωω

jcmkjck

XUTRa 20

0+−

+== )()(

Com base nas Eqs. 74 e 75, podemos definir a Função de Resposta em Freqüência de Transmissibilidade de Movimento, ou simplesmente Transmissibilidade

Eq. 92 Eq. 93

As FRF definidas pelas Eqs. 92 e 93 são importantíssimas no estudo da isolação de vibração pois elas definem a quantidade de movimento transmitida pela base para a massa m por unidade de movimento de entrada no suporte. São grandezas adimensionais. A Eq. 92 define a transmissibilidade relativa pois a variável de saída é o movimento relativo (z = x - u) entre a base e a massa m. A Eq. 93 define a transmissibilidade absoluta, pois é definida em termos do deslocamento absoluto da massa m. Em função da razão de freqüências r = ω /ωn temos :

Vejamos agora os gráficos das duas TR(ω)

r2jr1r2j1TRa 2 ς

ςω

+−

+=)(

r2jr1rTRr 2

2

ςω

+−

−=)( Eq. 94 Eq. 95

Cont. ...


TRr

r 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

1

2

3

4

5

6

r2jr1rTRr 2

2

ςω

+−

−=)(

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

50

100

150

200

Transmissibilidade Relativa


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

2r =

TRa

r

ωω

ωω

jcmkjck

XU

20

0+−

+=)(

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

50

100

150

200

Transmissibilidade Absoluta


O Método da Transformada de Laplace A transformada de Laplace de uma função real e contínua por partes é dada por

( )[ ] ( ) ( ) 0tdtetfsFtf0

st >== ∫∞

−L Eq. 1

Onde s = σ + jω é denominada variável de Laplace, possuindo partes real e imaginária. O operador L é denominado operador de Laplace. Algumas características desta transformada na solução de EDOs são:

•  Transforma a EDO em uma equação algébrica ! • Solução completa incluindo as CIs é obtida em um único passo •  Não existe dúvida de quais CIs deveriam ser usadas, já que a transformada as requer automaticamente •  A transformada de Laplace lida com entradas não contínuas de forma mais simplificada

Domínio do Tempo => t

Domínio de Laplace => s

Transformação


( ) ( )[ ] ( ) ( )sFasFatfatfa 22112211 +=+L

( ) ( )0fssFdtdf

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡L

( ) ( ) ( )0dtdf0sfsFs

dtfd 22

2−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡L

•  Propriedade da Linearidade

•  Diferenciação

( ) ( ) ( ) ( )0dt

fd0dtdfs0fssFs

dtfd

1n

1n2n1nn

n

n

−

−−− −−−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡…L

Eq. 2

Eq. 3

Eq. 4

Eq. 5

Propriedades Importantes


L f t( )dt∫"# $% =

F s( )s

+f −1 0( )

s

•  Integração

Eq. 6

L f t − a( )µ t − a( )"# $% = e−asF s( )

•  Teorema do atraso no tempo

Eq. 7

a t

f(t)

a t

µ(t)

Cont. ...


1 1 δ(t)

F(s) f(t)

s1/1nt

1n1 −

− )!( ns1

atsen 22 ass+

atcos 22 asa+

ate− as1+

t2s1

Algumas transformadas úteis são dadas abaixo

Cont. ...


Neste caso a excitação é dada por:

)()( tptp 0µ=

Onde p0 é a amplitude e µ(t) é o degrau unitário que tem por definição

⎩⎨⎧

≥

<=

0t10t0

t)(µ

a t

µ(t)

1 µ(t) µ(t-a)

Eq. 8

Então a equação de movimento é a seguinte

00

0u0uu0utpkuucum

==

=++

)(;)()(µ

Eq. 9

Eq. 10

Resposta ao Degrau Unitário


Ilustraremos o processo de solução usando as duas técnicas conhecidas. Inicialmente, pelo método clássico a solução da EDO, Eq. 10 é dada por

)()()( tututu PH += Eq. 12

A solução homogênea uH(t) é obtida a partir da solução da EDO homogênea associada, como visto anteriormente fazendo-se p(t) = 0. Temos para ζ < 1

( )tAtAetu d2d1t

H n ωωως sencos)( += −

A Eq. 10 pode ainda ser rescrita como:

)(tpk

uu2u 0

2n2

nn µω

ωςω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=++ Eq. 11

Eq. 13

Onde A1 e A2 dependem das condições iniciais (ainda não usadas !)

Cont. ...


Já a solução de regime permanente segue a forma da excitação, ou seja:

kptu 0

P =)( Eq. 14

E então a solução completa é

( )kptAtAetu 0

d2d1tn ++= − ωωως sencos)( Eq. 15

Agora usamos as condições iniciais do problema para determinar as constantes de integração A1 e A2

kpuA 0

01 −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+=

kpu

1

uA 002d

02

ς

ςω

Eq. 16

Eq. 17

Cont. ...


Cont. ...

Usando agora a transformada de Laplace, voltamos à Eq. 11

L u + 2ςωn u +ωn

2u( ) = Lωn2

k

#

$%%

&

'((

p0µ t( ))

*

++

,

-

.

.Eq. 18

Usando as propriedades previamente definidas e a tabela fornecida obtemos

s2U (s)− su0 − u0( ) + 2ςωn sU (s)− u0( ) +ωn

2U (s) =ωn2

k

$

%&&

'

())

p01s

Eq. 19

Repare então que a Eq. 19

•  é agora uma equação algébrica na transformada U(s) de u(t)

•  contém de imediato todas as condições iniciais do problema !

Agora podemos então resolver a Eq. 19 para U(s) algebricamente !


Rearranjando os termos na Eq. 19 temos

s2 + 2ςωn s +ωn

2( )U (s) =ωn2

k

#

$%%

&

'((

p01s+ s + 2ςωn( )u0 + u0

Eq. característica

E podemos então resolver a Eq. 20 para U(s)

Eq. 20

( )2nn

20

02nn

2n

0

2n

2nn

2 s2suu

s2s2sp

ks2ss1sU

ωςωωςω

ςωω

ωςω +++

++

++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

)()(

A solução completa no tempo pode então ser obtida calculando-se a transformada inversa de cada um dos termos do lado direito da Eq. 21. Embora existam tabelas extensas com muitas transformadas, uma forma simples de calcular as inversas é reduzindo os polinômios quadráticos do denominador em monômios usando-se para tanto a técnica das frações parciais !

Eq. 21

Cont. ...


Cont. ...

Por exemplo, se assumirmos que o sistema é sub-amortecido, (ζ < 1) então

))(( 212nn

2 sssss2s −−=++ ωςω Eq. 22

Onde:

dn21 is ωςω ±−=, Eq. 23

2nd 1 ςωω −=

São as raízes da equação característica do sistema sub-amortecido e

Eq. 24

Então a Eq. 21 pode ser escrita como

( )))(())(())((

)(21

00

21

n0

2n

21 ssssuu

ssss2sp

ksssss1sU

−−+

−−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

ςωωEq. 25


Cont. ... E então podemos expandir cada um dos termos em frações parciais, por exemplo

)()())(( 2121 ssB

ssA

ssss1

−+

−=

−−Eq. 26

))(()()(

)()())(( 21

21

2121 ssssAsBssBA

ssB

ssA

ssss1

−−+−+

=−

+−

=−−

Eq. 27

Em seguida procedemos a igualdade dos coeficientes do numerador das expressões indicadas acima na Eq. 27

0BA =+

1AsBs 21 =+− )(

De onde obtemos

Eq. 28

Eq. 29

d2i1Bω−

=

d2i1Aω

=

Eq. 30

Eq. 31


Cont. ... E a principal vantagem de reduzir a frações parciais é que :

( ) ( )tsts

21

1 21 BeAessB

ssA

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−−L Eq. 32

Então expandindo todos os termos da Eq. 25 em frações parciais e calculando a transformada inversa de cada um deles obtém-se a solução mostrada na Eq. 15 e cujo gráfico está mostrado abaixo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

1

0

1

2

3

t

u(t)

ate−as1+

L

L -1


Resposta à Rampa Unitária


)()( ttptp 0 µ= Eq. 33

E a presença da função degrau unitário na Eq. 33 serve apenas para indicar que a excitação é válida apenas para t > 0 ! Então a equação de movimento é

p(t)

t

00

0u0uu0uttpkuucum

==

=++

)(;)()(µ

Eq. 34

tpk

uu2u 0

2n2

nn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=++

ωωςω

Esta última Eq. 34 também pode ser escrita como:

Eq. 35


Cont. ... O processo de solução é similar ao caso anterior, podemos resolver pelo método clássico ou Transformada de Laplace. Neste último caso, temos que calcular a transformada da função rampa, dada pela tabela em anexo

20spsP =)( Eq. 35

Aplicando então a transformada de Laplace à Eq. 34 temos

Aplicando a mesma técnica usada no caso do degrau (frações parciais) achamos A solução para condições iniciais nulas é

Eq. 36

u(t) =ωn2

kp0t −

2ςωn2 p0

k1− e−ςωnt

2ς 1−ς 2sen ωn 1−ς 2 t +ϕ%

&'()*

+

,

--

.

/

00 Eq. 37

(s2 + 2ςωn s +ωn

2 )U (s) =ωn2

k

#

$%%

&

'((

p01s2+ s + 2ςωn( )u0 + u0


Onde φ é o ângulo de fase

1212tg 2

2

−

−=

ς

ςςφ Eq. 38

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410

0

10

20

30

40

t

u(t)

Cont. ...


Resposta ao Impulso Unitário


)()( ttp δ=

Eq. 40

p(t)

t

δ(t) δ(t-a)

a

A equação de movimento é então

)(tk

uu2u2n2

nn δω

ωςω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=++

Eq. 39

Assumindo condições iniciais nulas, a transformada de Laplace fica

ksUs2s

2n2

nn2 ω

ωςω =++ )()( Eq. 41


E a solução é

2nn

2

2n

s2s1

ksU

ωςω

ω

++=)( Eq. 42

Ou ainda

))(()(

21

2n

ssss1

ksU

−−=ω

Eq. 43

Calculando a transformada inversa temos a solução no tempo ao impulso unitário com condições iniciais nulas

u(t) = h(t) =

ωn2

kAes1t + Bes2t( ) Eq. 44

Cont. ...


d2i1Bω−

=

d2i1Aω

=

Com Eq. 45

Eq. 46

dn21 is ωςω ±−=,

Eq. 47

0 1 2 3 4 5 60.1

0.05

0

0.05

0.1

t

u(t) tem1th d

t

dn ω

ωςω sen)( −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

tm1th nn

ωω

sen)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Eq. 48

Eq. 49

Para ζ = 0

Cont. ...


A Integral de Duhamel

O método de obtenção da resposta baseado na Integral de Duhamel pode ser desenvolvido a partir da resposta ao impulso unitário discutida no caso anterior. Esta técnica é baseada no princípio da superposição, válido apenas para sistemas lineares. Veja a figura abaixo

p(t)

t

τ dτ

dI = p(τ)dτ

Impulso de duração dτ A resposta ao impulso de duração dτ é:

)(sen)( τωω

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= tmdItdu nn

Eq. 50

E a resposta total será a soma de todas as respostas incrementais, ou seja:

ττωτω

dtp1tut

0n

n∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )(sen)()( Eq. 51


Cont. ...

τττ dthptut

0∫ −= )()()( Eq. 52

Ou simplesmente

E para o sistema de 01 GDL amortecido temos

∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

t

0d

t

ddtep

m1tu n ττωτω

τςω )(sen)()( )( Eq. 53

Estas duas últimas expressões são denominadas Integrais de Duhamel sendo que a Eq. 52 é uma integral de convolução. As Eqs. 52 e 53 se prestam à obtenção da resposta do sistema de 01 GDL à entradas gerais e condições iniciais nulas.


Resposta à Excitação Periódica Geral – Séries de Fourier

x(t)

t

T

)()( txTtx =+

Veremos uma ferramenta muito útil na obtenção da resposta forçada do sistema de 01 GDL a excitações periódicas: as Séries de Fourier !

Seja o sinal abaixo, periódico e de período igual a T

Então Eq. 57

Periódico !

T2

0π

ω =

Freqüência Fundamental:

Eq. 56


0 1 2 3 45

0

5

Tempo [s]

x(t)

0 1 2 3 41

0

1

Tempo [s]

x1(t)

0 1 2 3 42

0

2

Tempo [s]

x2(t)

0 1 2 3 41

0

1

Tempo [s]

x3(t)

=

+

Idéia central: compor o sinal periódico Através de sinais conhecidos !

Estes sinais conhecidos são na verdade senos e cossenos cuja freqüência seja múltipla da freqüência fundamental do sinal periódico !

Sinal Periódico

Har

môn

icas

x1(t)

x2(t)

xN(t)

…++

++≅

)cos()sen()cos()sen()(tBtAtBtAtx

2222

1111ωω

ωω

01 1ωω =

02 2ωω =

0N Nωω =


Um sinal que seja periódico e contínuo por partes, satisfazendo a Eq. 57 pode ser expandido em séries de Fourier de acordo com a seguinte expressão

∑ ∑∞

=

∞

=

++=1p 1p

0p0p0 tpbtpa2atx )sen()cos()( ωω

Onde ω0 é a freqüência fundamental do sinal, conforme definido pela Eq. 56 e Os coeficientes a0, ap e bp são denominados coeficientes da série de Fourier, E são definidos de acordo com as seguintes expressões

∫+

=0T

T2

0 dttxaτ

τ

)(

∫+

=0T

0T2

p dttptxaτ

τ

ω )cos()(

∫+

=0T

0T2

p dttptxbτ

τ

ω )sen()(

Eq. 58

Eq. 59

Eq. 60

Eq. 61

Cont. ...


Resposta do Sistema

Determinaremos agora a resposta do sistema de 01 GDL à uma entrada periódica qualquer usando as Séries de Fourier. Lembrando que

)(tpkuucum =++ Eq. 62

Onde p(t) é um sinal de força periódico geral. Realizando a expansão por Fourier e substituindo-se o resultado na Eq. 62 temos

∑∑∞

=

∞

=

++=++1p

0p1p

0p0 tpbtpa2pkuucum ωω sencos Eq. 63

A Eq. 63 é equivalente a

2pkuucum 0=++

tpakuucum 0p ωcos=++

tpbkuucum 0p ωsen=++

Eq. 64

Eq. 65

Eq. 66


Já são sabidas as soluções de regime das Eqs. 64, 65 e 66

k2atu 0

1 =)(

)cos()()(

)( p2222ka

2 tppr2rp1

tup

φως

−+−

=

)sen()()(

)( p2222kb

3 tppr2rp1

tup

φως

−+−

=

Com

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= −

221

prp1pr2ς

φ tan

Eq. 67

Eq.687

Eq. 69

Eq. 70

Cont. ...


E então a solução completa fica sendo

∑∞

=

+−+−

+=1p

p2222ka

0 tppr2rp1k2

atup

)cos()()(

)( φως

∑∞

=

−+−

+1p

p2222kb

tppr2rp1

p

)sen()()(

φως

Eq. 71

Note que a Eq. 71 representa apenas a solução de regime permanente da resposta do sistema de 01 GDL. Se as condições iniciais são nulas, então a solução transiente é nula e a Eq. 71 é a resposta total do sistema.

Cont. ...


cos pω0t = 1

2e jpω0t + e− jpω0t#$%

&'(

sen pω0t = 1

2e jpω0t − e− jpω0t#$%

&'(

A base das Séries de Fourier complexas estão nas seguintes relações

Eq. 72

Eq. 73

Elas são definidas pela seguinte expressão

tpj

pp 0eXtx ω∑

∞

−∞=

=)( Eq. 74

A Eq. 74 estabelece que um sinal periódico e contínuo por partes pode ser expandido como a soma de exponenciais complexas cada uma delas numa freqüência múltipla inteira da freqüência fundamental do sinal !

Séries de Fourier Complexas


Os coeficientes Xp representam coeficientes de correlação entre o sinal x(t) e as exponenciais complexas, e são dados pela integral de Fourier

∫ −=T

0

tpjp 0etxT1X ω)( Eq. 75

O par de equações dado pelas Eqs. 74 e 75 é freqüentemente chamado de par de transformada de Fourier para sinais periódicos

)(,,,,)()(

1N210petxN1X N

p2j1N

1iip −=≅

−−

=∑ …

π

Na prática, quando dispõe-se de uma amostra do sinal periódico, os Xp podem ser calculados a partir da seguinte expressão

Eq. 76

Cont. ...


∫∞

∞−

= ωωπ

ω deX21tx tj)()(

∫∞

∞−

−= dtetxX tjωω )()(

Eq. 77

Eq. 78

Cont. ...

Para um sinal não periódico as relações de Fourier são as seguintes


Resposta ao Impulso vs Resposta em Freqüência

Lembramos que a resposta ao impulso de um sistema de 01 GDL com Amortecimento viscoso (ζ < 1) é dada por

tem1th d

t

dn ω

ωςω sen)( −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Eq. 79

Usando a Eq. 78 podemos calcular a transformada de Fourier da Eq. 79

1dtetem1dtetxX tj

dt

d

tj n === −∞

∞−

−∞

∞−

− ∫∫ ωςωω ωω

ω sen)()( Eq. 80

Desta forma, através das definições acima é possível concluirmos que

∫∞

∞−

= ωωπ

ω deH21th tj)()( Eq. 81

Ou seja, a resposta ao impulso é a transformada inversa de Fourier da resposta em Freqüência e vice-versa !


Cont. ...

0 1 2 3 4 50.01

0.005

0

0.005

0.01

Tempo [s]

h(t)

0 5 10 15 20 25 301 10 6

1 10 5

1 10 4

0.001

Frequencia [Hz]

|H(w

)|

TRA

NSF

OR

MA

DA

DIR

ETA

TRA

NSF

OR

MA

DA

INV

ER

SA


Entrada - f (t)

h (t)

Saída - x (t)

F (ω)

H (ω)

X (ω)

TFP

TFT

TFIT

TFT

TFP

TFIT

convolução multiplicação

TEMPO FREQUÊNCIA

DOMÍNIO

Fechando a idéia !

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA … · SEM 5766 – Análise Modal de Estruturas 1...

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