UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE FlsICA E QUIMICA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE FlsICA E CItNCIA DOS MATERIAIS

Modelos Eletrônicos do atrito seco,

sistemas biestáveis e colisões elás

ticas e inelásticas.

Luiz Gonçalves Neto

Dissertação apresentada ao Instituto de

Física e Química de são Carlos,USP p~

ra obteção do título de Mestre em Físi­

ca Aplicada.

Orientador:Prof.Dr.Robert Lee Zimmerman

são Carlos - são Paulo

1990

UNIVERSIDADE DE SÃo PAULOINSTITUTO DE FfslCA E aUfMICA DE SÃO CARlOS

~EMBROS DA COMISSAO JULGADORA DA DISSERTACAO DE ~ESTRADO DE LUI: GONCALVES NETO APRESENTADA AO

INSTITUTO DE FISICA E QUIMICA DE SAO CARLOS~DA UNIVERSIDADE DE SAO PAULO~EM 03 DE 0EZE~BRO DE1990~

CJ~ISSAO ~ULGADGPA:

/~=-----v~~~~t-------------~---­Prof 1Dr' ~Car 1Ü':· ~t1r'" j qt~E: de Br i tG Crt~z

Cx. Postal, 369 - FONE (0162) 71-1016 - CEP 13.560- São Carlos - SP - Telex 162374- FOSC - BR - BRASI L

2

AGRADEC If'1ENTüS

Ao Prof. Robert Lee Zlmmermam,

amizade.

A minha família pelo apoio.

pela orientaQáo.incentivo e

Ao Prof. Heitor Cury Basso. pelas sugestóes valiosas e

infraestrutura para a reallzaQaO deste trabalho.

Ao Prof. Sérgio Selaschi, pelas sugestões e discussões.

Ao Prof. Jocelyn Freitas Benaton, pelos conceitos

sobre mOdelos, e sugestóes sobre trabalho.

iniciais

Ao Prof. Davilson Lucato. Pela amizade e incentivo.

Ao Eng. Matteo, pelo suporte técnico.

A Secretária lvone. pela atenQao e dedicaQáo.

Ao meus colegas Flávio Roberto Filho, Celso

Paulo Eduardo Casal Garcia e muitos outros,

incentivo e amizade.·

Ao CNPQ por parte do apoio financeiro.

'I

Luiz

pelas

Franzotti,

sugestões,

3

RESUMO

Aplica-se o conceito de analogias para para modelar-se quatro

sistemas:

1.0scilador Harmónico na presença de Atrito Viscoso e

Seco.

2.Sistemas Dinâmicos Biestáveis.

3.Partícula em Caixa.

4.Partícula em mesa vibratória.

Atrito

característica

modelarmos

No caso (1.) utilizamos a

tensão) de diodos de silício para

osciladores.

o

IxV (corrente

atrito seco

x

em

No caso (2.) utilizamos a característica IxV

germânio para projetarmos um circuito que modele

biestável. Exemplificamos que este circuito pode

para a verificação da Teoria de Transiçâo de Fase de

materiais ferromagnéticos próximo ao ponto crítico.

de diodos de

um potencial

ser utilizado

Landau para

No caso (3.) utilizamos a característica IxV de diodos de

silício para modelarmos uma caixa onde dentro existe uma

partícula. As colisóes desta partícula com as paredes desta êaixa

sâo elásticas.

No caso (4.) utilizamos a característica em modelar choques

de diodos de sIlício para modelarmos os cnoques inelásticos de uma

partícula em uma mesa vibratÓria.

descrever seus movimentos, observamos,

eletronicos, uma dinâmica extremamente

caótico.

Apesar destes sistemas pOSSUIrem equaçóes

utilizando

complexa e

simples para

estes modelos

comportamento

4

ABSTRACT

We applied the concepts of analogy to model four sistems:

1.The harmonic oscillator in the presence of viscous damping

and dry friction.

2.A two-well oscillator potencial.

3.A particle in a boxe

4.A particle on a vibrational table.

In case

characteristic

oscillators.

(1. )of

we applied the IxV (current

silicon "diodes to model dry

x voltage)

friction ln

In case (2.) we applied the IxV characteristic of germanium

diodes to make a circuit with a two-well potencial. We showed that

this circuit could be used to verify the Landau Phase Transition

Theory in ferroeletric materiaIs near the critical pOlnt.

In case (3.) we applied the IxV characteristic of silicon

diodes to model a box with a particle inside. The particle

collisions with the box walls are elastic.

In case (4.) we

silicon diodes to model

vibrational table.

applied the colision characteristic af

inelastic collisions of a particle on a

Althought those sistems have simple equations to describe

their motion, we observed, using those eletronics models, a very

extremlly complex dynamic and a caotic behavior.

5

SU/vltlRIO

Introdução. 8

1. Caos Em Sistemas Deterministicos. 14

2. Consideracóes Fundamentais Sobre Sistemas Dinámicos. 22

3. Modelos e Analogias. 38

4. Oscilador Harmonico com Atrito Viscoso e Atrito Seco.

4.1. Análises Básicas 54

4.2. Modelos e Analogias 61

4.3. Normalização 68

4.4. Resultados 70

5. Sistemas Biestáveis.

5.1. Análises Básicas

5.2. Modelos e Analogias

5.3. Normalizaçào

5.4. Resultados

6. Partícula em Caixa.

6.1. Análises Básicas

6.2. Modelos e Analogias

6.3. Normalização

6.4. Resultados

7. Paticula em Mesa VibratOria.

6.1. Análises Básicas

6.2. Modelos e Analogias

6.3. Normalizacão

6.4. Resultados

Conclusões.

7988

9193

99

105

107109

118

121123

125

131

Apêndices.

Referências Bibliográficas.

b

133

151

Há uma anedota segundo a qual o

teórico do quantum Werner Heisenberg, em

seu leito de morte, teria dito que faria

duas pergunta a Deus: por que a

relatividade. e por que a turbulência?

E teria concluido: "Eu realmente acho que Ele

deve ter uma boa resposta para a

primeira pergunta."

INTRODUÇ~O

Introdução

MODELOS E ANALOGIAS EM SISTEMAS DIN~MICOS

Desde as prim6rdios a ser humana tem feita o usa das mais

diversas tipos de modelos para poder estudar e compreender os

fatos e fenomenos que o cercam na natureza e nas áreas das

ciências exatas, humanas e biológicas.

Na física define-se modelo como o conjunto de hipóteses sobre

a estrutura ou comportamento de um sistema físico pelo qual se

procuram explicar ou prever, dentro de uma teoria científica, as

propriedades do sistema. Também podemos definir modelo como um

objeto destinado a ser reproduzido por imitação, ou a

representaçào em pequena escala de algo que se pretende executar

em grande. Neste contexto, entendemos que a palavra modelar

significa: fazer o modelo de; representar por meio de modelos.

Uma grande variedade de fenomenos exibe um comportamento

complicado, imprevisível e aleat6rio. Exemplos comuns incluem o

[I2J, os turbilhoes formados quando misturamos vagarosamente

fluxo turbulenta de uma corredeira [llJ, as mudanc;;as no tempo

dois

corantes diferentes [13J. o comportamento complexo e irregular na

dinâmica de moléculas e átomos em um gás e

em um plásma [14J.

partículas carregadas

Apesar da física ter feito grandes avanços nos últimos cem

anos. nao foi possível alcançar descric;;óes teorlcas desses

fenonenos complexos. A dificuldade está no caráter não linear das

equações matemáticas que modelam os sistemas (nos exemplos dados,

a equação de Navier-Stokes para fluxo de fluidos e a equaçao de

Newton para três ou mais particulas que se interagem). Desde que

estas equaçóes geralmente náo admitem soluc;;óesanalíticas de forma

fechada. tem-se demonstrado extremamente difícil construir teorias

úteis que possam prever. por exemplo. arrasto asa

aeroplano ou até que ponto são válidos os resultados

estatística.

da mecânica

TodaVIa, nos ultimas anos, um progresso considelavel tem sido

r'~t. ~ VI( ~\';--"~I"-f'~~-7'..', 't' "" í.. ' -!., l~I

".' --..-•.•....• -- .•..•.•..•.•.•.. -.

Introducao

feito utilizando-se a síntese da simulacao numérica e da

aproximaçao analítica. A chave para o recente progresso tem sido o

uso de computadores digitais de alta velocidade~ e em particular,

a computaçao gráfica de alta resoluçao, que permite ao matemático

'''experimental'' construir modelos matemáticos e numéricos para

identificar e explorar o comportamento do sistema estudado.

Hexperimentosd numéricos

com

Esta nova aproximação,

análises matemáticas.

que combina

tem feito surgIr um novo campo

interdiciplinar chamado dinâmica nao linear. Ü trabalho feito

neste campo tem sido aplicado não apenas em física mas tambem a

uma grande variedade de problemas não lineares em outros campos,

como a evoluçao de reaçoes qUimicas [15], o controle r-ealimentado

de circuitos elétricos [15], a interacao de populacões biológicas

[16J, a resposta de células cardíacas a impulsos elétricos [17J, a

queda e o aumento de preços na economia [I8J, etc ..

Além da simulaçao numérica e da aproximaçao analitica para a

abordagem de sistemas determinísticos nao lineares de baixa ordem.

é possível, em certos casos. valer-se das "analogias" do sistema

para modelá-Ia.

qual pode existir entre um fenômeno

entre um acústico e um eletrico, etc ..

podem

entreDefine-se analogia

físicos distintos que

matemático idêntico, o

elétrico e outro mecânico,

como a

ser

relaçao

descritos por

dois

um

feno menos

formalismo

confirmados,

pode ser

lesul tados

A utilizaçao destas analogias

imprescindível em situações onde os

numérica ou analítica preCIsam ser

fundamental

obtidos por

neceSSItamos

VIa

de

uma rápida varredura nos espaços de parâmetros para observarmos

qualitativamente a dinâmica do sistema e náo possuimos acesso a um

computador digital de grande velocidade. quando queremos dar

ênfase ao ensino de sistemas dinâmicos nao lineares; etc ..

Este trabalho irá utilizar diodos de silício e germânio de

baixo custo para a modelagem do atrito seco, que surge em vários

sistemas mecânicos; de sistemas biestáveis, que podem ser

Introduçao

utilizados para vários estudos em transição de fase; e do

elástico e inelástico, que está presente em vários

mecânicos.

11

choque

sistemas

figura Il: Oscilador Harmônico com atrito viscoso e seco.

p ()()

fIgura 12: Sistema dInâmico biestável.

Introduc;:ao

figura 13: Particula em caixa.

Abordaremos quatro sistemas:

12

1.0 oscilador harmonico na presenc;:a de atrito viscoso e

atrito seco (figura 11):

2.5istemas dinâmicos biestáveis (figura I2).

3.Particula em caixa (figura 13).

4.Particula em mesa vibratória (figura 14).

o caPltulo I introduzil-á o conceito de "caos" em sistemas não

lineares, mostrando como exemplo a dinâmica do mapa logistico.

o capitulo II apresentará algumas consideracões fundamentais

sobre sistemas dinâmicos. abordando a ....I '. - ••'..Jlnamlca doharmonico.

o capitulo III introduzirá o conceito de modelos, analogiase normalizac;:ao de equac;:ões diferenciais, exempllficando estaabordagem com o oscilador harmonico e o pêndulo simples.

Introduc;;ao 13

Os capítulos IV a VII abordarão os sistemas mencionados nos

itens 1 a 4, verificando a validade dos resultados obtidos nos

modelos eletronicos, mostrando que, apesar de possuirem equações

simples, apresentam um comportamento extremamente complexo ecaótico.

Xlt)x·(t.)

h(t)

figura 14: Partícula em mesa vibratória.

CAPITULO I

Cap.l

CAOS EM SISTEMAS DETERMIN~STICOS

Estudiosos em dinâmica não linear usam a palavra "Caos"

15

como

um termo técnico com um preciso significado matemático para se

referir á irregularidade e ao comportamento imprevisível de

sistemas deterministicos nào lineares [1.1],

Contrário ao que Isaac Newton acreditava, as equaçoes

deterministicas da mecânica clássica náo implicavam em um universo

regular e ordenado. Apesar dos fíSICOS modernos saberem que

sistemas dinâmicos com grande número de graus de liberdade, como a

atmosfera, pode exibir um comportamento aleatório para todos os

propósitos práticos, a real ':5urpresa é que sistemas

determinísticos com apenas um ou dois graus de liberdade podem ser

ca6ticos.

Tradicionalmente, o problema fundamental associado com a

origem do caos em fluxos turbulentos, os fundamentos microscópicos

da mecânica estatística e o surgimento de um comportamento

aleatório em vários outros campos tem sido evitado usando-se o

argumento que muitas

envolvidos, tornando

partículas

r-,uma namen te

e graus de

impossível

liberdade

desc 1- ever

estavam

estes

fenõmenos através dos princípios básicos. fOda',;ia, com o

descobrimento de sistemas maIS simples que possam exibir um

comportamento caótico, uma pequena esperança surgiu para a soluçáo

destes problemas [1.2J.

Talvez o mais simples exemplo de um sistema determinístico

com dinâmica não linear seja o

descrito pela equaçao

mapa logistico. Este sistema é

Xn+~ = A Xn (1 - XnJ

que determina em i(ltervalos discretos de tempo (segundos,

meses, anos, etcJ o valor futuro de uma variável Xn+~

variável Xn (n inteiro e positivo).

dPartir da

Cap.l 16

T =

O••Xo

n = O

••"T"=l~T =+Xl = f(Xo),

n =

1••T = 2t.T••X2= f (Xi )

n = 2

••T = 3~T=+X3= f (X2)

A evolução da sequenciade Xn gerada por esta simples equacão

algébrica, exibe uma extraordinária transição da ordem para o caos

a medida que o parâmetroAH é aumentado.

Para prop6sitos ilustrativos, vamos examinar o uso do mapa

logistico como um modelo para a evolução anual (LT = 1 ano) de uma

população de insetos Xn [1.3J.

Escrevendo a equação 1.1 da forma2­

Xn+l=AXn-AXn , vemos que

esta é uma simples equação quadrática, com o primeiro termo linear

e o segundo termo nao linear. Quando a população inicial xo épequena (muito menOr que 1 numa escala normalizada), o

linear pode ser desprezado, e a população ap6s um ano

termo

(n=l)

não

será

aproximadamente igual a AXo. Se A>l, a população aumentará. Se

A<l, a populacão decrescerá.

equacão 1.1 pode ser

Desta

interpretado

forma,

como

o

uma

termo

taxa

linear

Iinear

da

de

crescimento ou morte, o qual pode levar a um c,-escimento ou

decaimento populacional exponencial. Se A>I, a populacão

crescer para um valor grande o suficiente para que o termo não

linear, -AXn2, torne-se importante. Desde que este termo énegativo, ele representa uma taxa não linear de morte, que

predomina quando a populacão torna-se muito grande.

A dinàmica deste ,napa e sua dependência com ,-el acao ao

parâmetro A, que mede a dimensão do termo e não linear.

pode ser melhor compreendida utilizando-se aná I i '=es '~,-aficas.

Considere os mapas de Xn+l versus Xn (chamados mapas retorno)

mostrados na figura 1.1 para quatro diferentes de ~.equação 1.1 define uma parábola invertida que intercepta o eixo Xn

em O e 1 e que possui seu máximo em Xn=O.5. Usando estes mapas de

retorno, podemos ter uma compreensão qualitativa da dinâmica do

mapa logístico sem desenvolver nenhum cálculo. Os valores

Cap.1 17

lOr

~ •. O/~S

/11A::: .2.,'1

0.8

I i/0.6

/ I 'I

~I

I

I I

04 r

I

.' I ' I

i '

. I

,

I

I

0.2 r

,

ol

1.0 I

A': 3,'z;

0.8 L

)'1A~I.i,O

t

06~

0.4

I

0.2

O

O

0.20.4060.8-

l.CO0.20.40.60.81.0

figura 1.1: Mapas de retorno.

sucessivos de população podem ser simplesmente determinados

tracando-se linhas neste grárico. Começa-se no valor inicial XO e

move-se verticalmente até a parábola para obter-se Xl. Deste ponto

retorna-se o eIXO horizontal para j-epetir-se este

procedimento. usando-se o valor de x~ para obter-se )(2. Podemos

utilizar uma retao .

inclinada a 45 com relacáo à horizontal e que

passa pela origem para facilitar esta operacão ífig 1.1).

Esta análise 'iOS que. se populacâo

normalizada comeca com um valer de Xú>l. esta ira imediatamente

valores negativos. tornando-se extinta em uma intera~áo. Da mesma

forma, se A>4. o pico da parábola irá exceder a 1. o que fará com

que populações iniciais próximas a 0,5 tornem-se extintas em duas

interacóes. Desta forma, Iremos restringir nossas análises para

Cap.l 18

valores de A entre O e 4 e valores de Xo entre O e 1.

Para valores de A~l. a populaçao sempre decresce para O, como

é mostrado para A=O,95 na figura 1.1. A intersecçao da parábolao

com a reta a 45 em Xn=O representa um ponto fixo estável no mapa.

Pela teoria das perturbações podemos verificar que toda populaçâo

inicial é atraida para este ponto fixo tornando-se extinta.

Todavia. para A>l este ponto torna-se instável (isto pode ser

verificado traçando-se as dinâmicas no segundo gráfico ou

aplicando-se uma perturbaçáo local. considerando-se a teoria das

perturbaçóes). Agora. a parábola irá interceptar a reta a

X=(A-1)/A, a qual corresponde a um novo ponto fixo.

em

Para valores de A entre 1 e 3, todos 05 valores de

populaçoes (exceto O e 1) tendem a este ponto. Em seguida, quandO

A é aumentado para valores entre 3 e 4. a dinâmica muda de forma

marcante. Primeiro, o ponto fixo torna-se instável e a populaçáo

tende a um estado dinâmico que é alternado entre uma populaçáo

grande e pequena. Esta sequencia convergindo para este ciclo com

periodo 2 é mostrada na figura 1.1 para A=3,2: a populaçao oscila

entre dois pontos na parabola, ~(n~D, 5 e Xn~.8. em anos

alternados. Para valores maiores de A este ciclo de período

torna-se instável e é trocado por um ciclo de periodo 4 no qual a

população alterna-se entre valores altos e baixos. ,-etornando pal-a

seu valor original a cada 4 interações. medida em que A éau~entado, a dinâmica converge para ciclos de periodo 8, 16, 32.

64. ... , finalmente acumulando para um ciclo de período infinito

em A:::.G.57.

Esta sequencia de "bifurcaçoes com dobl-amento de per~odo" ao

longo do tempo do mapa log~stico mostrado na 1. 2. o

gráfico mostra 05 valores de população, após 05 t r-a n s i t Ó r- i os,

funçao de ri entre 3 e 4. Para apenas um único estado

=stados

equilíbrio, depois quatro, oito, etc .. Cada bifurcaçáo Ila

1.2 representa um dobrame~to do número de estados de equilíbrio e

um dobramento no período.

SE RVIÇODEfrC·;.· ..i7·'7';~~·~·"<:'", ....•. ::.'.)Tv.:cTo-:-lFosC}! j.j' i..../\

Cap.l

o intervalo de A onde os ciclos sâo estáveis, decrescE

19

rapidamente a medida que o período dos ciclos aumenta, o que leva

a uma rápida acumulação dos ciclos com períodos cada vez

De fato, observando esta sequ~ncia de dobramento de per-iodos em

experimentos numéricos, Feiguenbaum [1.4] provou que o

no qual um ciclo é estável decresce na geométr- ica de

4,66926016. o tremendo significado deste trabalho e que a razão

E outr-as propriedades de sequ~cias com bifur-caçao e dobj-amento de

periodo sào universais, considerando que aparecem na di nârTlica de

qualquer sistema que pode ser aproximadamente modelado por um

mapa não linear com um quadr-át ico [1.5J. A teoria de

Feigenbaum está sendo conf ij-mada em uma gr-ande variedade de

sistemas físicos como fluidos turbulentos, quí.micas

oscilantes, circuitos elétricos não lineares, lasers em anel, etc

[1.6].

Para muitos valores de A>3,57 o di agr-ama de b ifUi-caçoes

mostra que o comportamento da população ao longo do tempo éaperiódico <caótico) e varia continuamente em intervalos de

--t-------------------- ~o

figura 1.2: Dinâmica do mapa logistico

x.

Cap. i

evolução de populaçôes neste i il t e,-vaIo é ind is tingu í 'v'!? 1

2(1

de

p~ocessos aleatÓ~ios, mesmo sendo o mapa l09istico totalmente

deterministico, no sentido de que nao

agindo.

existem fon:as ,-and"Omicas

Todavia, tambem encont~amos janelas com c:ompo\-tamento

periÓdico entre o \-eg 1me caótico. A janela (fia I S

corresponde a um ciclo de 3 A::z3,63 no Clual

popu 1ação cresce em do is anos sucess ivos e deCl-esce

Da mesma forma, a medida q~e A é aumentado dentro desta janela de

estabilidade, o ciclo de pe,-iodo 3 também pode exibir bifu~caçóes

com dobramento de periodo para ciclos de periodo 6, 12, 24 ...•

Apesar das janelas de estabilidade para a maioria dos ciclos de

maior ordem serem muito estreitas para serem vistas na figura 1.2,

os ciclos de periodo 5 e 6 podem ser observados.

Outra informaçào obtida no diagrama de bifurcação através

dos riscos escuros que marcam as regiões superiores e inferiores e

que cruzam o domínio caótico. Os riscos escur-os representam

x que sao ,úa1s e viSItado'=' '::0;11

frequincia durante a evoluçáo ca6tica. Estas estruturas ordenadas

foram descobertas exper iílrentalmente" gráficos de alta

resaluçào, como na figura 1.2.

A cascata infinita de dobramentos de pel-iodos é um dos

caminhos por onde o comportamento pode Existe(fi

também outras duas rotas possiveis para o caos exemplificado

figura 1.2. Estas sáo as r"otas por

crises.

intermit~ncia rota

Intei-mit"er,cia: Consider-e a figur-a 1.2. Para A UJlI pouco ac i Ifla

;::::ai-a. ri Uil1 PI~UCG~.- - .. ;

=:1U.::i.i r\W n(l

surge um comportamento ca6tico. entender o desta

aba i xo de Ao. O compor tamento parece ser- o de um c i c 1a de periodo

3 um longo de tempo, após o qual e~-<iste a

manifestação repentina de um comportamento caótico, seguido por um

outra longa lntervalo de tempo por um quase ciclo de periado 3 e

Cap.l 21

aSSIm por diante. A medida que A se aproxima de Ao por baixo, a

duracão média dos longos intervalos entre manifestacoes caóticas

tornam-se cada vez maiores. Desta maneira o ciclo de periodo tres

puro aparece em A=Ao. De outro modo, podemos dizer que o ciclo de

periodo 3 é convertido em um comportamento caótico a medida que üparâmetro A é diminuido abaixo do valor critico Ao. Devemos frizar

que, apesar de nosso exemplo de transicão para o caos pelo caminho

da intermitincia estar associado com um ciclo de periodo 3 do mapa

logistico da equação 1.1, este fenameno (assim como o dobramento

de periodo em cascata e crises) é bem geral; em outros sistemas

ele pode ocorrer para outros oeriodos (pel-iodo 1 por exemplo).

Crises: Pela figura 1.2 vemos que existe Uin compo,-ta,-nento

caótico para A~4, mas nenhum comportamento ca6tico para A>~.

Inversamente, a medida que A é diminuído em relacáo a 4 surge um

comportamento ca6tico. Note que em A=4 a variacáo populacional

ocupa o intervalo O<X<l. Se A é ligeiramente maior que 4, uma

populacão com condições iniciais no intervalo O<X<l ira seguir um

comportamento ca6tico em um tempo finito, tendendo para fora do

intervalo O<X<l, alcançando grandes valores negativos e tendendo a

menos infinito. Estas súbitas mudanças qualitativas da dinâmica

caó tica quando um par âme !;r-o é var iado é chamado de "cr i se" .

Fenômenos assoc iados a cr ises inc 1uem mudan.;;;a ,-epent ina da

dinâmica caótica ~ surgimento j-epentino do comportamento caótico

(uma rota poss íve 1 para o caos); e .jesaparec imellto ,-EPen tino da

dinâmica caótica.

Outra importante observaçáo em relaçáo a dinâmica de sistemas

caóticos. é a sua extrema dependência e sensibilidade a condiçoes

iniciais ou a pequenas pertubaç5es. Tal fato foi descoberto por

Lorenz em seus trabalhos cioneiros sobre metereologia [1.7].

CAPíTULO 11

,.

, • ..J .·.A. (lili(~

Cap.2

CONSIDERAÇOOES FUNDAMENTAIS SOBRE SISTEMAS DIN~MICOS

Das rela~ões básicas de um sistema, podemos, a tr-avés do

cálculo diferencial, obter seu modelo matemático [2.1J.

Vamos considerar o sistema massa-mola mostrado na figura 2.1:

figura o=, 1.'-a •• Sistema massa mola.

Este sistema massa-mola sem nenhum atrito \oscilador-

harmônico) possui a seguinte equacao de movimento:

~m dX-/dt + kx = O 2. 1

onde m é a massa do sistema a consta.rlte de tllola.

Considerando que I.'.lo;=-Yklmé a ft-equªcia angular natural do sistema,

~btemos a segUi0te equacão:

d 2 :-=.: / ij t 2 4- ~.i}(l:< = O 2.2

Cap.2

Podemos estudar o movimento do oscilador harmonico e de uma

infinidade de outros sistemas no plano >< -y , onde e y são

coordenadas ortogonais cartesianas. Cada estado do sistema, isto

é, cada valor do par de coordenadas x-y corresponde a um ponto no

plano x-y. O plano x-y é chamado plano dos estados, ou plano ..l-u\:

fase. Cada novo estado do sistema corresponde a um novo ponto no

plano de fase. Desta maneira a variaç;ão do estado ,jo sistema

corresponde ao movimento de um ponto neste plano de fase (chamado

ponto representativo), criando um caminho que é chamado Caminho de

Fase.

Fazendo dx/dt=y e obtendo-se a solucao da equaçao diferencial

analiticamente ou numericamente, quando não é posslvel fazê-Ia,

podemos obter a representacao dos caminhos de

fase.

fase :10 plano de

Para o oscilador harmonico temos as segUlntes equal;:oes

paramétricas do caminho de fase:

;, = kcos «(.,,;oút+ü)

Eliminando-se o tempo destas equaç;oes temos:

2 2: 2: 2 2x/k +y/k".::.o =1

2.3

2.,+

Esta equacào representa a curva de vár- ias eIipses no plano

x-y, para cada valor dE k e ~~. Neste caso todo o plano x-y épreenchido por eIipses, exceto no ponto x=O e y=O, onde a e1 ipse

que "c:; assa" neste pon to e degener ada em um pon to (figur-a 2.2).

Todas estas elipses representam caminhos no plano de fase,

que representam a trajetbria de movimento de uln ponto IlEste plano.

~ fácil observar que pela direcão escolhida estas

coordenadas os caminhos de fase correm sempi-e no sentido horá,io.

Transformando a equacao 2.1 em duas equacões de primeira

Cap.2

ordem podemos obter as seguintes relacões:

.x

figura 2.2: Elipses geradas pela eq. 2.~.

dx/dt = '::J dy/dt = 2.5

dividindo uma pela out~a obtemos:

d'::J/dx =2

,~.c) :~./ l-d

Pela equacao 2.6 podemos obter a InclInaçáo das curvas da

figura 2.2, e como neste caso as equações sáo i'ltegráveis, podemos

determinar as familias de curvas do plano de fase da

que também sao chamadas de Curvas Integrais.

2.2,

fase a tangente das curvas integrais, exceto no ponto ><.=0, i::J=O,

onde a direc~o da tangente i nd e t e;- ,To i ri ad a . Tais pontos

onde a direcão da tangente torna-se indeterminada são chamados de

Pentos Singulaj-es. lo~o caso do oscIladol hal°ínOnlCO, f-ior este ponto

Cap.2

singular não é possível passar nenhuma curva. Tais pontos isolados

envolvidos por curvas integrais são chamados de Centro.

Podemos observar neste caso que todos os caminhos de fase

(exceto para x=O e y=O, onde o caminho é degenerado em um ponto)

corresponde a um movimento periódico, pois L1ITI ponto descy-evendo

este caminho retorna à mesma posic;;ao com a mesma velocIdade em um

tempo finito, gerando uma curva chamada CamInho de FaSE Fechado.

E: fácil mostrar que o "tempo de recon--encia ou o PEI1.oda do

movimento é finito, pois 1...J comprimento de caminhos

fase fechados (elipses) sao finitos.

Por outro lado, o caminho degenerado ou ponto singular x=O e y=O

corresponde a um estado de equilíbrio. De fato, se o sistema

encontra-se neste estado. ai

alguma pertubaç:ao.

irá permanecer, salvo a aç:âo de

De uma forma geral, para estados de equilíbrio de um si s te,na

dirlâmico existem em co,-respondência ,·,0 p la"o fase pontos

singulares, ou seja, pontos singulares correspondem a

equilíbrio.

estados de

Podemos visualizar intuitivamente o significado das palavras

"estabilidade dos estados de equilíbrio". Entretanto, esta noç:ào

intuitiva é insuficiente e deve ser acrescida de conceitos Inals

r1gorosos,

qualquer sistema.

nos possibilitem de ma,leIra concl-eta

Vamos considerar para nossas análiSES

eXEmplos:

um dos simples

Imagine um pêndulo ideal sem atrito (figura 2.3) E evidente

e:-..:isteiT! dois es:adcs dE equilíb:-io possí·.,.,elS: t 1.

é colocado na Dosic;;áo inferior (a) , (2) quando o pêndulo

Tambem evidente estaposiç:ão inferior ia) é estável, e que a superIor (b) é

Cap.2

uma pequena pel-turbaçao firlita desta posicac

27

de

equilíbrio, o pêndulo irá iniciar um pequeno movimento oscilatório

em torno da posiçáo (a),' e tenderia a esta posiçao caso houvesse a

presença de alguma dissipaçáo de energia. Se o pêndulo se encontra

a

figura 2.3: Estados de equilibrlo do pindulü.

na posiçâo (b), uma pequena perturbaçáo finita faria com que elese movesse com uma velocidade crescente para longe dO ponte (b) I e

caso houvesse a presença

tenderia para o ponto (a).

de dissipaçáo de energIa, o pêndulo

Considerando o plano de fase temos que um ponto de equilibr-io

e estável quando, para uma pequena pertubaçao finita, o ponto que

desc,-eve o caminho de fase nunca se mova para "longe" deste ponto.

ponto i ns t á -.,..."e 1

quando o ponto que descreve o caminrlO de fase se mOva pal"a "longe"

Tal critério é ainda vago, pois não

suficientemente bem definida. Para darmos uma noçao mais

à estabilidade temos a seguinte definiçao (figura 2.~):

Cap.2

um estado de equilíbrio é estável se, para qualquer

28

demarcada como um possível resultado a perturba~ões do estado de

equilíbrio (regiáo s), n6s podemos indicar uma regláa 6(&),

figura 2.4: Definiçao de estabilidade.

contendo o estado de equilíb~io tendo proPI-iedade de qi...l8

nenhum movimento, começando dentro de 6, nunca cruze o contorno da

região ~. Por outro lado, um estado de equilíb~io é instável, seexistindo a regiao ~, nao existe a regiao ó(&} contendo o estado

de equilíbrio e tendo a p,-oPr-iedade de que um movirflento, começando

em Ó, nunca cruze o contorno da regiao

Podemos esta - . , --c1ef 1"nlt;;ao establlldade

linguagem de inequações matemáticas, levando

coordenadas x-~ do plajlO de fase. UfO estado de

e (fi ccnsideraçao

'2':::iLlll iOi 10

as

que,

~=dx/dt=O do plano de fase é considerado estável

se para t=O:

havendo u(i1

~ ...,L... ~.

~-1-.,;. ')',,,, \

CaP1l2

2.8

Chamamos este critério de estabilidade como critério de

estabilidade de Liapunov [2.2J.

A figura 2.5 mostra graficamente o resultado obtido para o

oscilador harm6nico para o ponto singular [x,O):

figUI-a 2.5: Cl-itél-io de Liapunov aplicado ao Osc i1ador-

Este estado de equilibrio é estável pais satisfaz

classificamos este ponto como Centro.

(2.8) ~ e

Cons i der ando agor a o osc i1adoi- harmon i co na pj-esenç:a de um

atrito dissipativo, que -..- .•.. :-.'=~ L.'=' seja à

velocidade, obtemos a seguinte equaç:ào diferencial:

Z 2m d x/dt ~ b dxídt + kx = O 2.9

- -f • -_::"'". -....i:-Q~.i-

onde b (b > O) é o coeficiente de atrito.

~Introduzindo a notaçao blin=2h, k!iTI='''_>O~,podemos

equaçâo 2.9 para uma forma mais usual:

converter a

~ , ~d -;>( / d t~ + 2h dx/d t + I.,)Q ~ X = O 2.10

ri soluçâo desta

t-l z =(~)Qz

o caso

onde Ai e AZ sao as ia~zes da equacao quadra.tica

c a c a c te i- í s t i c a :

? z_?-._~ . + 2h:h. +(00 = ()

chamada

2.11

equacao

2.12

P z z _ ~ _ara h)wo estas raIzes sao reaIs e paraz z· .~h (t,)Q sao complexas.

Desta maneira, dependendo do sinal de vamos obter dois

tipos de soluçao e dois di fererltes Píocessos: um

processo oscilat6rio amortecido e

oscilatório amortecido.

para- 2

h":' >!..!.)O tliTi processo não

Para o processo oscilatório amortecido temos o de

fase mostrado na figura 2.6. Todas os estados de todos os caminhos

de fase tendem para a posiçao de equilibrio (x=o e y=ú), e todos

os caminhos de fase sao espirais. Isto obviamente significa que o

processo é amortecido e os valore~ máximos de ~ e

cada volta. E tambéril que ,-, ponto ;.-;=iJ e

corresponde a um estado de equilibrio.

Os i-esu 1tados c::b t i dos .~ -..-t--,~::'

movimento no plano de fase podem fonnu 1ados da seguinte

rnar,e i r a: dafld I:} q ua 1qt.12\- 1= GCidi ç:áo i II i c i a 1 ~ j-jossa si s t 2fna fj es8r-i /w 1 :e

um movimento oscilatório ao redor da posiçáo de equilibria A=O

y=o~ exceto quatldG as condicdes illiciais

ao estado de equilíbrio.

e:<<:atarilente

Lap.2 31

No caso considerado temos apenas um ponto singular no sistema

y

.x

figUi-a 2.6:- Pi-ocesso oscilator-io amor-tecido.

de curvas integrais, sendo um porl to assintótico todas as

curvas integrais. Um ponto singular, que é Ufil ponto assintótico

para todas as curvas integrais, tendo a forma de espirais fechadas

uma na outra, é chamado de Foco.

Podemos notar pelo critério de estabilidade de Liapunov que o

sistema é estável, pois pOdemos escolher uma regiáo deque o ponto representativo nao deixe

w

ponto singular é um Foco Est~yel.

Um ponto singular do tipo foco pode ser estável ou instável

(em contraste com o ponto singular do tipo que é semp,-e

está'-/el). f\les t e e :-~emp Ia o .; .- .. - =-.I Wt-w é estável desde que a p au- t e í e a 1 de

À1 e ÀZ em 2.11 seja negativa. O significado fisico desta condi~áo

de estabilidade é claro: o

movimento.

dissipati'-~-o, ao

figura 2.7: Estabilidade de um foco pelo critério de Liapunov.

Para o processa amortecida não ascilatório temas o diagrama de

fase mostrada na figura 2.8:

y

Processa iidO 10.

Cap.c

Podemos notar primeiramente que, para toda condição inicial o

movimento é amortecido, desde que Ài e Àz sao números reais

negativos, e que para t~oo, Como da equaçao

característica 2.12 não possuem I.:)

Dscilatório é impossível e temos um pr-ocesso ape"!- i ód í co. Temos

apenas um ponto s istefTla, !'::OfTIO (ieS te caso é

impossível termos um processo oscilat6rio, este ponto

E fácil observar que o estado de .~-4 .-.I.•••.C' um nÓ

estdvel no critério de Liapunov desde que o ponto (ep j- esenta t 1 \iO

move-se ao longo das curvas integrais em ,j ire.;;ão das

coo~denadas. Desta inanEli ~ i-i estado

correspondendo a um N6Estável. Um nÓ também pode instável,

bastando para isso que expoentes \1 e ~l.-.z de 2. 11

positivos. Como no caso do foco, o signlficado fisicQ é que se o

estado de equilíbrio em um sistema sem atrito e

liberdade é estável, logo, a adição de um atrito

pode criar um distúrbio na estabilidade.

CUITI l..lfrJ

dissipativ'o

de

nao

a equa~ao diferencial possui a soluçao:

:; (A+Et) e::-\p (-qt) 2.13

e do ponto de vista do comportamento das do

tipo de ponto singular, este caso limite POSSUl um cOiTIPortamento

atribuido

tipo r··J6.

.,. .,.

ao caso h->0,.Xl-, onde temos um ponto singular estável do

Ass 1 iTi CWil1Ü no case .-1.-.'-''-' DSC i 1adOr- pOd8rflOS

obter a inclinaçao dos caminhos de fase através da equação 2.14:

Zd\d=-2hy-',-'O ;~dx '::I

Para considerarmos os casos onde eXIste a aeão de uma

2.1<+

"constante de mola negativa":

,~--.dP.2

2 2m d x!dt - kx = Q

podemos modificar esta equacáo para:

34

2.15

2d :'(/d t 2

'..c:·u i.) 2.16

reduzindo o sistema a

temos:

equacoes difereflCiais de primeira

d:.;/dt = ':I d ':;I / d t = + "~;o.•.:~

eliminando-se o tempo obtemos uma equacão de prImeira ordem

conectando x com y:

. 2di-d/dx = + i";":.(J ;.{./t~ 2.18

o estado de neste sistema \detei-minado pela

condicão dx/dt=O e dy/dt=O) é o ponto x=O e y=O. Como podemos

integral- a equacào 2.18. temos a seguinte equacào pai-a

integrais:

as curvas

L.Y

2 2ú"'ú 7.' = C 2.19

que nos dá o seguinte plano de fase da figura 2.9. A orIgem das

coordenadas é o único ponto singular da familia de curvas

inte-grais. Todas as cUr-vas integr-ais, exceto y=wo-t;Z e '-j=-;;"~-IX~ são

hipérboles que passam pela das coor-denadas. Tal p':ln to

singular~ por onde passam apenas duas curvas ir1tegrais~ quaIs

são ass1ntotas para todas as

chamado ponto do tipo Sela.

cUí\,·as é

Pelo critério de estabilidade de Liapunov, o estado

equilibrio é instável desde que não podemos escolhe, Uina

6(&) de maneira que o ponto representativo, estando nesta região

no instante inicial~ náo ultrapasse o contorno da região s dada.

~.-- ." ....I wl llld.

Todas as equações até aqui abm-dadas equac:óes

x

figura 2.9: Hipérboles descritas cela eq. 2.lq.

C::>:JinO obser-vamos, podemos Db ter as i nc 1i nacóes das cu, ...õ.S l i-i tegr aIs

pela relação:

dy.l d;, = f (x , '-:l .\ ,I Y :::l C1t-. .• :-....•.

Esta equaçáo nos leva õ. tirar duas importantes ela~óes a rEspeito

das curvas integrais para sistemas homog~neos de segunda ordem:

9C°.::om ,-elaçâo a este ,,/álido par-a sistemas (;ác; i-"~írlo'';~i-'EC;S)

espaço de f3.se ..

:....,;..:3.d;e!-~~,-'

nós e f':lCOS es t á v'e i 5 são exemplos 5 i IlÍp 1est- .- .:? -!"~ =l ,- ~_:: --.:-.1 .-- -4- - l- .-.,•..- 1; ,-,-,i t-=

· --:: .­'-- ,-r- .•"--

estável. Um ciclo limite ~ uma

--, .--..J;""';

ilisoladalt, no ::er,tido ::::...ie Ciellh Uíllo. t d{Ilb éfi1

fechada (os caminhos de fase fechados do oscilado~- h2~mOnlCQ, por

exemplo, sáo obviamente náo isoladosl .

Ciclos , - . +-J.. 1rfll '-'es , os ·:Juals existem apeC!2S .= i s ternas

dissipativos náo lineaces, sáo de

[ 2 ..3 J. Ca ro 5u as 11 b a c i a:: Ij e a t r- a çã o 11 nCJ espaco cicIes

limite estáveis, assim como um nó está\iel eu uni foco est,=,"/el, sao

independentes de condiç6es

pacâmetros da equacão.

1 fI i c i a i s , são peles

Em muitas aplicac6es físicas difícil

e o amol-tec imento. Como

considerar o .-e16gio de pÊ,;'tdulo. Neste exerllp I(},controlam a cotacao da de escape tamb~m contl-ibuem com

impulsos pel-i6dicos. O aumento das oscilações do pêii;julo aumentam

até que o atrito faz com uma situaçao eql...li 1 ibr ia

:.:iclo linllte 6 i. dlPLi1 :05

pactida e é estável contra pequenas pertubacóes (como ocorre, QOi

exemp 10, quando D re 1óg i o é mo\!i do de '....llii I ugaju pal- a ·":;u ti e) .

Outr-o e:~:emplo é pr-ovido pela equacão de \,Jan Der- Poi C=:.'-'-J:

~ ~ -

d<";{/dt'" .•..b (x""-l) d;~idt-+ tI ··i I

I I.1-, I -' a'-l to-

-excitado quando Ixl~l. H equação 2.22 é equivalente

i-:;Z, dy2./dt = -b(':li~-l) 'dz - \::Jl. E;-<iste IJiTl pcnlto rl;~O 2iTI

pelo critério de estabilidade de Liapunov ,'erf!OS que este pontl~

um foco instável. Tr-ajetórias na espaço de fase P~O:<linas da origem

tendem p ar- a tora, para

,-.0

\ >, I·d

espaco

Uill

:.::on!ji~=oesiniciais:

!:ap ..2

CAP:tTULü rrr

r-"-~<-~~~-~"-... -

IS~RVIÇOL'I:.Clül.,,- r',u,, I I ~-'I ~._ l \._--_.,..~..•. ,.''''~ ~ _~'-'.,- --.-.~,._.. , _ ~-, .."-

r:ap.3

MODELOS E ANALOGIAS

~ possível a um sistema possuir vários modelos e analogias.

Vamos considerar novamente o sistema cnassa -iTIO 1a , inas

de 1...1i11 atrito \f 1 SCOSO ,elocldade

pertubado por uma força e~terna Fe (figura 3.1

figura 3.1: Sistema massa-mola com atrito viscoso e força externa.

Considerando a somato,-ia de forças n _rq ci ~'==- d.

temos a seguinte equação di ferencial que descl-e'ie o IlIoviinento:

- ~íii d'Xidt<- -+- b dx/dt -+- k = Fel, t j .3.1

à velocidade, k a constante de Inala e ~e(t) a ::ue

Este sistema possui um modelo matematico equivale!-,te

menos três outros sistemas:

pelo

;:2;:' ,,3

-circuito elétrico

série (RLC série).

com inrjutâ-ncia

-circuito elétrico CQiIJ j- es i s t ênc i a , indutância e capacitância

paralelo (RLC paralelo).

-circuito elétrico com amplificadores operacionais, capac itânc i asf- es i:= t ênc i as (AI!lP lJp}.

Para visualizarffiOs Q

aba i .:,0:

circuito RLC Sél- ie 'I ternos a

(SJ

Circuito RLC série.

neste

I..) e ( t).

Cil-cuitc temos , es i s tE- nc i a L

zero, c que nos leva à seguinte relacáo:

'·jR + \JL + I)..::; = l./e ( t )

·je'/e

~ •.c.

Cap.2

para as tensoes e cOrrentes em um resistor~ indutor

temos as seguintes relacóes~

capacitar,

VR = RI \/L = L dI/dt Q = C'v'c 3.3

I J,...,...; '-- temos:

~ -RC d\)C/dt -+- LC d""-.)c/dt'"+ I·."C = ')e(t) 3.4

considerando VC=Q/C e

carga Q do capacitor:

,.eari- anjando fatoles! temos em ;-e 1aeâo

~ ?L d'Q/dt- -+- R dQ/dt -+- Q/C = VeltJ

figura 3.3:

R~-i';'vVv'Wa---

L--~._----'

c

coIe.

~ ...~; ,~- ...••

.:.."-;:! '-1.1 .=t-' -" .

neste circuito temos a 1- e s i s t ê n c 1a p.. , a L!~ em par3.1elo sendo alImentadas ':Jnte de

,~'_ap.3

corrente Ie(t).Sabemos que a somatória das correntes

ser igual a zero; o que nos da a seguinte relacáo:

IR + IL + Ie = Ie ( t)

~ ~L dIL/dt + IL + CL d....IL /dt" = Ie':t)

um nÓ deve

3.6

3.7

cons ider ando IL=j:;/L, onlje f é o fI u:..;omagné t ico do i ildu tor ~ temos,

rearranjando as fatores:

3.8

Podemos obter o mesmo modelo

operacionais, como e mostrado na figura 3.4.

Este circuito nada maIS é que o cil-cuito RLC pal~alelo, onde a

c..~

R.ac.-.V

B

-V.~

V

figura 3.4: Circuitos com amplificadores opet-acionais.

Para afTiP 1i f i cadoies oper3cionais utilizando '-25 i stores ecapacitares, temos as relac6es básicas mostradas nas figuras

e 3.5b [3.1J.

I-'j c::~.....;. ~-

I-VJ..

I = I.) i. / Ri. = - 1'·/2 / P2 .3. ,=;.

1-V, R.

c.

I = VI/R = - C dV2idt

figura 3.5b: Circuito integj-ador lllVEi-sor.

3.1(1

Considerando que a somat6ria das correntes no

ser igual a zero. temos:

IRF + IR& + Ic& + le = 0

Donto 8 ,jeva

3. 11

le-··/arldo 9!TI conta as r"elac6es

t·/A ....F'i + ,jl 1A -L l.le R;::: =

como VA=R2C2dV/dt temos:

2dt

Cap.3

e rearranjando os fatores:

2 2;j '··)/dt ;j'-/!dt -l- V/A:" = - \Ii:: /~

As equacôes 3.8 e 3. 14 sao equac:oes diferenciais

lineares nao homogêneas. Estas equac:6es possuem 3 mesma Forma POIS

representam sistemas analogos.

Notamos também que estas equacoes possuem-/ar ias paràmetros.

- que alguns deles sao 1'-idependentes. D:3.ra -1S'....1a1izarmos

esta afirmacao, vamos utiliz:3.r o recurso d:3.normalizacao,

mostrado a seguir.

Vamos considerar a seguinte equacao d1ferencIal:

;2

a d z/dt + b dZ/dt -l- c z = P(t)

dividindo toda equac:ào por c temos:

-.,

a dc..z-b

dz-

+

dt'cdt+.:.

=P( t)c

-+'::r-ansformandoo tempo t em um tempo T seftld imensÔes:

t = kT

como

3.15

3.16

3.17

,-e 1ac:áo :3. 17 i::'!tl

a !j" Z bdz- -l-- -- ...:::c ;2 2CkdTk d-r P(kT)

c 3.18

vamos atribuir um valor a k~

para que k4(c/a)=1:

L-2 = :3. .•',-

~ ~fncs

2 2. -,d z/dr + bi~ac dz/dr -l- z = P'kT)/C 3.20

L. . _. ~ "_.•_: i í..:::.ll'-:W '- ;, - •.. - .- - - -

L ==:'!iiL!=:

......, .-.!_ap ;;..,j

~ .,.

d'z/dT- + l/Q dz/dT + z = p(T)

onde Q é o fator de qualidade do sistema:.

Observando a equaQáo 3.21 que Esta POSSUI .-':•• _. t- _- .-.'4LJ.C1L,õ W

parâmetros náo dimensionais independentes. O fato~ de qualidade Q

Pai-a si s ternas analogas

oscilador hamdnico com atrito viscoso, podemos montar

tabela (tabela 3.1):

a seguinte

Eq.Base ["!assa-f'lo I aT

iRLC Pa,a1elo Amp. OP.

z Posicao.;.r,

Carga CapoO

Fluxorf; Ind. ,!TenSãO pt.A

, Iv

dz/dt Velocidadedx/dt

COIi-ente II=dO/dt

Tensão VV=drf;/dt

i Pl-0POI • a Vc III.JC=R2C2dV1dt,

!

a

b

["lassa!Ti

Const.AtritoViscoso: (~

L

ResistêncIaR

Capacltâncla,C I

IAdmit.Reslst.l/R

Ci.R2C2

R2C2/Rl

cz Forca Restit.MoI a: k x

Tensão Capo'.jc=Q/C Corrente I nd o 'I C01-oReal im oIL=rp,L IRF=V/RF

c Consto Rest.rIo Ia: k 'Admito icapaco iAdmit. ,ReslS.liAd.Res,oReal.,1,C I l/R 1,RF

! I

P(t)Fo·,-ca.. APlic_II,Tensão APliC.I,COI" APlicada1cm.A.Pl. lcada,'F\t! V(tl I(tl I -VElt!/REI

Freq.f'Jat.

I ,~-:;.()=..;c;aIT Amort.I ta=b/cLFator de

QU:lid~delQ-Yac'/ bI

Yk,' m ' ;ll/LC

PC

-/C/c/ R

tabela 3.1

;l1/U.:':'

I :c

-1.·-'· 2

(C1.R2C2Rfl

R:2t'::2RF/Ri

Cap.3

Outro exemplo que podemos mostrar como um sistema que

vários modelos equivale~tes é o pêndulo.

possui

Como um modelo simplIficado para o pêndulo "",'amos considerar

uma massa pontual m fixa em uma das extremidades de uma haste

de peso desp,eZivel e comPi i iTIeclto 1.L , sendo a

extremidade fixa em uma referência inercial, permitindo movimentos

rotacionais, estando tOdO u sistema ':;uJelto i...lil) campo

gravitacional constante g.

A figura 3.6 mostra o sistema com maIores detalhes. o

deslocamento s é igual a ~l, onde em adi3l!os. As

for~as que agem na massa m é a tensao T e a g'a·/itaclona!

mg, que é representada pelas componentes tangencial e

perpendicular. A componente tangencial possui o valor -mgsen8 pois

esta em oposi~ào a dire~áo de

Newton temos:

refei-énc ia. Pela segunda lei de

mgsen$2 , 2

= m d sjdt = ml2_ 2

d f::! i,jt 3.2()

Este sistema é não linear deVIdo ao termo senti.

Vamos considerar agora que neste sistema exista a p,esença de

atrito viscoso, cuja magnitude é proporcional .elccidade

massa m. a presença de uma força externa que atua soC,-e o SIstema.

Desta maneira temos:

mgsen8 RI d&/dt + F(t) 1 :2 - :2= m d f::!/dt .3.21

rearranjando os fatores e multiplicando todos

temos:

os por I

:2 2.:2 :2_m1 ,j &/dt -4- Rl '~/dt

;:onsiderando Que:

3.22

:2 :2m 1 = a. R 1 = b, mg 1 = c, 1F (t) = r (t ), temos:

C:ap.3

figura 3.6: Pêndulo.

~ ~a d~9idtW + b d9/dt + c sen8 = r(tí

Que é a equaçao do pêndulo fOr-çado em U{íi ineio 'ilSCOSC;.

do ângulo e.

3.23

Outros fenômenos fisicas possuem comPDr- tamen to

andologo: Junçao ]osephson [3.2J, r'laIrlas rase

(~ase-Lacked-LooP) [3.3J e as Máquinas Sincronas [3.4J.

]oseprlson

shunte,j junction" [3.5J. Se C é = a

resistência de estado nOrmal, e V a diferença de potencial através

faSE de

seguintes equaodes:

C' d·,,-jt.: + ',} R + !.:- =ef1-'i-~' = ttl.F cos.'''!::

dp·/dt = 2e/h v

, :::luj • !--

3.25

Cap.3

onde I~ é a supercorre~te critica e IRF a amplitude do campo de

microondas na frequência de oscilacao G. T,ocando o potencial na

equacão 3.24 por sua exoressao em termos da equacão (Jbtemos

a equacao diferencial não linear para p, análoga ao pendulo:

Par a mos trar o compor t amento ,je u,na fila 1ha ,je de

fase utilizaremos o circuito proposto pl=,r HumIei-es, Beasley,

Huberman e Libchaber mostrado

figura 3.7:

bá.S1CC} da

IoIIXER

+ L.P.

FILTER

R _ REFERENtE

VI COS("'sl-';o)

c,...---"HRc............J

I.'R

VE(')~

RE

. 1

8+\ Vo cos ht+k!vU')dt']

o '

•&..' I vco

VUl

figura 3.7: Malha de Sincronismo de Fase.

No cirtuito, o sinal de sa1da do osc li auo,

tensáo (\leo) é misturado com o sinal pellódicc

sinal resultante e filtrado \filtl-0 passa baixa) em segUIda

,ealimentado para ~IT!P 1ificado;aoerac ional. 2 o capacitor ealimentacâo

do amplificador operacional promovem a inércia e amortecimento

do "loop". A mistura e a filtragem sao acopladas pelo uso de um

( C:Lj:. _I" • é

V1sen(w~t~~), a saída do circuito SH tomada como amostra no tempo

Tn~1, a entrada vet) do VCO é dada por:

c d\J/dt + \.J/·R + \/t./R:; ser!('~'';'-;-Tn+4"o) - '-)E ( t j ./hE 3.27

o tempo de coleta Tn~1 é relacionado para Tn e para a

~!CO por:

-Tn+1

entrada do

(T"r't--r1 - T:'"'l + k l' .3.28

temos:

8n = (2 fi + 1) rI :3.29

en-H. = 8" +

8nH. = 8n + k ,j

(Tn-H

-Tn-r1

\)<t) dt

Tn )

3.30

',n

Se W~ é maior que a maior frequéncia de veti durante o tempo Tn

,n~, Vet) pode ser considerado como constante e escrito:

r-r 11'j( t)

=LIITIl&l91"1+ t

-~ jj

,je iJt'1"1"1+1

-~~= 3.31('.)-::~(1)

-h

Desta maneil-a, se podemos ,-,egligenciar- o tei"flpO ent;-e '='

,joS! / d t = k ') ( t )

C ,j\j/dt + '//R + \.!t/R~ senl9 = -\/E (t); RE

ou

tOITlada de

3.32

3.33

~ ~C/k d"'ei,jt':" + likR ,j"3idt + './l/R=, sere = -"/Eít! RE

onde V1 é a amplitude de P1CO da referência.

3.3-+

Cap.3 se

Para modelarmos a máquina sincrona (figura 3.8), =bordaremos

o caso mais simples de uma máquina ligada a um barramento de

tensáo e frequência constantes. No termInal mecânIco, al~m dO

conjugado gerado na rotacao sincrona (conjugado s~ncrono), existem

o conjugado de inducao ou de amortecimento TD, o conjugado de

carga TL e o conjugado de inércia. Assim:

figura 3.8: MáqUIna ~1ncrona

Ts + Tv = TL + J ,j'.l/dt

o conjugado sincrono gerado é:

Ts = -f (:5)

3.35

onde f é uma funcão do 6.ngUID

amortecimentD gerado TD é:

Tv ~ - kt. d6 / d t 3.37

Cap.~

A funcão f(6) para a máquina sincrona de p610s lisos é:

SI

3.38

Exprimindo a velocIdade G em funcáo do ângulo de

temos:

'9 = 80 + Oot + 2/p Ô

d8/dt = n = 00 + 2.p dÔ:dt

3.39

potêncIa

3.4()

portanto:

2. 2d ,-)(,jt 3.42

?J/p 2 _. 2d -:;J ... ,jt + k1 dÓ /d t 311 4~.3

Para normalizarmos as equacóes do pêndulo. vamos considerar a

equacão:

2 2a d z/dt + b dz/dt + c senz = P(tl

Dividindo toda a equacào por c obtemos:

3.23

a/c :2 2d z j ,jt + b / C d z / d t + se;1 Z 3.44

transformando o tempo t em kT. temos:

2 2d z/dT + l/Q dz/dT + senz = p\T!

onde Q = Yac';b e P(T) = P(kT)/C.

Podemos também montar uma tabela para melhor ~isuali2armos a

c!e~1:e~

Eq.Base Pêndulo J.JuncionIi f'láQ. Si nC,"Onc3 !["talha5.Fase!

z Posic::ao Ang.8 Dif.FaseQuantlAngulo Poten. IDif.de Fase

o I ~ I ~" I '-' ! '~

dz/dt

a

b

csenz

c

'v'e 1 . Hi-,g LI 1d. r­

d8/dt

r"10i"TI. I r1~!-c i a.L.

ml

Const.AtritD'-j iscoso: .~lz

Torque RestitmglsenB

mgl

2eV/h

h/2eR

Cor.JosephsonIcsen;p

Cor.CríticaIc

I' i 1" ,,- ',~e .Hng3rut.d6.dt

["10m. I 'ler' c 1a2J/p

Const.Amort.Gerado: kt

Potencla FOín~k2senÓ I

Potência Max.I,.~~~

"Je 1 . ..=4ngu 1arde! d t=k',}

C/k

l/kR

C.Oi" • Pea 11 m •IFB

I.) 1/Rs:

P(t) Torque Aplie.T( t)

Cai-rente Ex t.IRF(t) Conj.de cargalcor.APlicada,-TL( t) I -"/E( t) IRE

Freq.Nat.

I 0.)0=-ICIàt Amort .

ta=b/e

Fator de

iQualidadeI í]=-i'i2/b

•~/mq

'::l I 'h '", 1/2(L-e Ci feL) ,

Ili2eRlc

tabela

-/pk 2: /21'-1/2

(k"J 1 /RsC)

RS/kRV1

1 ....;22: I

kVtCR i IRs j

CAP1:TULO IV

Cap.<+

OSCILADOR COM ATRITO SECO

4.1 Análises Básicas.

Um sistema massa-mola na ausência de atrito. POSSUl sua

dinâmica descrita pela equaQao do oscilador harmonico:

222d X/dt + ~u x = O

2onde ~~ é a frequência angular natural do sistema, k a

linear de mola e m a massa do corpo.

A lei linear assumida para atrito viscoso [<+.lJ é

4.1.1

constante

totalmente

inadequada para representar as características do atrito seco

(fricQão> entre duas superficies sólidas não lubrificadas. As

características básicas deste tipo de atrito são muito bem

modeladas considerando-se em pequenas velocidades um atrito

constante. Este atrito I'constante" é constante em amplitude mas

nao em direçâo. desde que a direcão da força de atrito é sempre

oposta a direcão da velocidade. Esta dependência da forca de

atrito f em função da velocidade pode ser observada na fig.4.1.1.

r

l-;-fo

Ijx

J • v:: clt

-fo '-,---

-.x

figura <+.1.1: Característica do atrito seco.

Cap.4 55

Observe que para v=O f pode assumir, dependendo do valor de outras

forGas que estejam agindo no sistema, qualquer valor entre +fo e

-fo. A massa m sofre forGas de atrito e das molas (-k x ) • Esta

massa mantem-se em repouso (dx/dt=O) se a forQa de restituiQão das

molas não excede fo em módulo. Desta maneira, todas as posiQões do

oscilador com coordenadas -fo/k S x S fo/k podem ser posiQões de

repouso. Todavia, se Ikxl>fO o oscilador esta em movimento. Quando

o oscilador está em movimento, a forca de fricQão é f = +fo para

dx/dt<O e f = -f~ para dX/dt>O.

Desta maneira. podemos descrever o atrito de fricGão pelas

equacoes:

+fo p/ dx/dt < O

f=

+fo p/ dx/dt = O

+kx pl dx/dt = O e Ikxl S fo+

-fo pl dx/dt = O

-fo p/ dx/dt > O

'+.1.2

(A forQa de atrito seco é desta maneira uma funGão descontinua. e

portanto, nâo linear, dependendo nâo apenas da velocidade dx/dt.

mas tambem da coordenada x do oscilador ).

A equacão diferencial nào linear do movimento do oscilador

torna-se:

2 2m d xídt - ~ + k x = O

que pode ser escrita considerando-se o sistema lineal

da seguinte maneira:

4.1.3

2 2m d x í d t + fo + k x = O

2 2m d x / d t - fo + k x = O

(dx/dt.>O)

(dx/dt<O)

'+.1.4

4. 1 .5

Suponha que, para um instante inicial de tempo, d;.Udt<O. o

movimento do sistema é descrito por 4.1.5. A velocidade decresce

até t=t1, x=xt, onde a velocidade do sistema reduz-se a zero.

Assumindo que ikx!>fo. a velocidade muda o seu sinal e o sistema

Cap.4 56

descrito pelairá mover-se na direcão oposta. O movimento

equacão 4.1.4, onde as condicões iniciais sâo

será

a coordenada a

velocidade (x~.O). Este processo ira continuar até que o corpo de

massa m finalmente alcance uma condicâo de repouso. Vamos2: 2:

considerar as seguintes modificações: k/m=wo e fúím=a~~ onde

a=fú/k. As equacões de movimento tornam-se (sgn(a) = sinal a):

2: 2: 2:d x/dt + ~o x =

2:

sgn(dxidt) a r.••.•'ú 4.1.6

Vamos fazer E~=x-a. quando dx/dt<O e E2:=x+a. quando dx/dt>O.22:2:

d E-i/ d t +(00 E~=0Desta manelra2: 2 2

d E2 / d t +'......0 E2=0

teremos

(para dE2/dt>O), com

(para

variáveis

dE-i/dt<O)

referidas

e

diferentes origens. Desta maneira o movimento do sistema é obtido

combinando-se duas metades de oscilações harmonicas centradas em

duas diferentes posições de equilíbrio distantes +a e -a do ponto

x=O. A troca de um modo para outro se da

igual a zero e Ixl>a.

quando a velocidade é

Para encontrar-se a função de x com relaçao ao tempo tproceda da seguinte maneira (fig.4.1.2):

Xo,' -

t

figura 4.1.2: Gráfico de x(t).

Cap.4

Para uma posição inicial xo~~ com XO:i. positivo e dxO:i./dt=O. a

velocidade será primeiramente negativa. com a origem do movimento

em +a, (na fig.4.1.2 por "a" acima do eixo do tempo). Finalmente o

sistema chega ao mínimo negativo X02. onde IX021=lxo:i.I-2a.

Depois para dx/dt>O a segunda equaçao torna-se -·v'álida e

consequentemente~ haverá oscilacões com a posiçâo de equilíbrio

disposta em "-a". isto é. pela quantidade "a" abaixo do eIXO do

tempo. No fim desta meia oscilação o sistema chegará a outro

máximo local x03. onde IX03j=j x021-2a=1 XO:i.1-4a. Desta maneIra.

módulo inicial de de x irá decrescer em cada meia oscilação o

valor absoluto 2a, e em cada duas meIas oscilações o valor 4a. Ê

claro que esta progressào consiste em um n~mero finito de termos e

o movimento irá cessar após um finito número de oscilaçÓes. De

fato, o movimento subsequente ao máximo x03 na fig.4.1.2. fará com

que o sistema fique parado entre as linhas +a

parado pois nesta região Ikxl~fO.

e -a. Ele ficará

Neste oscilador o máximo inicial nào decresce de acordo com

uma !:lrogressâo geométrica como no oscilador harmonico com

amortecimento viscoso. mas sim de acordo com uma progressáo

aritimética. O intervalo de tempo entre dois máximos nâo depende.

no caso de atrito "constante"~ do valor desta forca. e seu período

é igual ao do oscilador harmonico. Mas. é facilmente verificado

examinando-se a figura 4.1.2. que o intervalo de tempo entre um

máximo (em m6dulo) e um zero é maior que o intervalo de tempo

entre um zero e seu máximo subsequente. Finalmente. existe outra

diferença entre sistemas que possuem um amortecimento "constante"~

pois neste caso. a divisão entre um processo oscilat6rio

(sub-amortecidol e um processo nio oscilatorio (super-amortecido)

perde seu significado~ desde que para um atrito "constante"

arbitrário é sempre possível escolher uma condicáo inicial

suficientemente grande de forma que o sistema desenvolva um certa

n~mero de oscilacões antes de parar. O significadO fiSico desta

fica particulaimente claro quando é analisado o

balanço de energia.

Iniciando seu movimento em XCi com velocidade Inicial igual a

Cap.4-

zero. a energia inicial é a energia potencial \1i. = k

58

o

trabalho A gasto para opor a forca de atrito nao depende da

velocidade mas apenas do deslocamento (desde que a forca de atrito

é constante), de maneira que durante o

trabalho é:primeiro meio período o

Ai.=( I X01.1+I X021 )fo

enquanto

aenel-giaem;..;=;.:02é:

, I~

2V~

=k;.:02/2

desde

queVi.-V2=AJ. • temos:

kí2

22

I ;-;01.11;>(021\fo( xOi.-;-;02 )=( +} 4.1.7

4. 1.8

4.1.9

ouI x011 IX021 = 2 foik = 2a 4.1.10

Ai. = 2 fo 1;':0:11 a 4.1.11

A:1 varia linearmente. enquanto V:1 varia com o :-( .Consequentemente, para um valor suficientemente grande de há

uma suficiente reserva de energia no sistema no fim do primeiro

meio período. de maneira que

oscilat6rio.

o sistema desenvolve U,ll processo

Considerando agora o movimento

dx/dt=y:

no plano de fase. fazendo

dy/dx =

cujas integrais sao:

:2 . ) II_.~-.o \ x - a /y

2'-'_'U ,-..( -r d. i,; '::l

p/ y<O

p,' l=i/1.)

4.1.12

4 . .i. • .1.3

.2:2X

-a) '"I

+=1

zz~

Ri.,

Ri ~oo

p/ y(O 4.1.14

Cap.4

.22" +a) l~"

+=i

Rz

.: zZR1

.t))O

59

Lt.l.15

onde Ri e Rz sao constantes de integraçao. As equaçóes 4.1.14 e4.1.i5 definem uma familia de semi elipses nos pontos

(a, O) e· (-a, O) A fig.5.1.3 mostra os caminhos

!J

de fase

x

for-mados

figura ~.1.3: Espaço de fase fOrmado par semi-elipses.

par estas semi-elipses. O movimento é em tOrno do segm8nto 010Z. o

qual é o geoff1.:;tricodos estados de Desta

maneira, as oscilações diminuem sua amplitude, e param ap6s um

finito numera de oscilações, o que depende ,jas condiçoes iniciais.

No caso particular quando uma condiçâo inicial cOrr-esponde a

5~;~!-i-!-=11 ~,= ;..JiG2"

Neste segmento, tOdavia, o sistema possui um certo t; ipo de

ponte::;

+x~ e de uma velocidade inicial ± y1. DepOis como é mostrado nafig.4.1.4, o ponto representativo (ponto cujo o movimento descreve

ponta do segmento

Cap.4

010Z diferente da condição inicial.

Figura 4.1.4: Instabilidade local do sistema.

6()

61

4.2 Modelo Equivalente.

Vamos considerar novamente o sistema massa-mola com atrito

seco (fig.4.l.l), onde sua dinâmica é descrita pela equacão:

onde

22_m d x/dt - f(dx/dt) + kx = V

+f·:!.pix<O

+

f':1-P/A= ü

f(dx/dt)

=Ikx

P/.;(=(J

.t-f<:\. P/A=O

f<:1.

P/X,.O

4.2.1

4.2.2

A~bordagem de um sistema mecânico para a compreensão da

dinâmica desta equacio esbarra na dificuldade de sua construcão e

na dificuldade de monitoracão de seus estados. üutra alternativa éa simulacão numérica, que muitas v~zes torna-se trabalhosa, ou a

utilizacão de um modelo equivalente de fácil

abor-dagem.

Considere o sistema elétrico/eletronico da figura 4.2.1.

Sabemos que as características de corrente ~ tensão de um diodo

são descritas pela equacao:

I = IQ [ exp 1 ] 4.2.3

onde Vo é igual a KT/e (k - constante de Soltzmam; T - temperatura

em kelvin; e - carga elementar do elétron) e Io a corrente r-eversado diodo.

- -.. ~.-.--.-o,=,w_,--, .- ç.: ....•

seguinte curva de corrente x tensao (fig,~,2.2) para a temperatura

ambi ente (t~OOk). onde ·.jd é a '. tensáo de di spa,o do ,j iodo '•.

Se associarmos dois diodos contrapostos em paralelo, como éusado no circuito da fig.4.2.1, teremos a seguinte caracteristica

~-.-~ - -~--_._---~~QI a a d~~W~~Q~QU.

Lap.4

I = 2Io senh VIVo

figura 4.2.1: Circuito LCD série.

1

v

figura 4.2.2: Curva IxV do diodo IN 4148.

4.2.4

Para o arranjo com dois diodos

temes a seguinte curva de corrent2 x

IN4148~-.-.- '.:;....-.:""<=1 ;~ow

usados

,~

no circuito,

Cap.L+

ambiente (fig 4.2.3): I

v

figura 4.2.3: Curva IxV para o arranjo de diodos.

Sabemos que a somatória de tensoes em uma malha deve ser

zero. o que nos leva a seguinte relacao:

\/L + \/D + 1V'C = () 4.2.5

Pela equacão 4.2.4 temos que a queda de tensão VD

diodos é:no arranjo de

VD = VO arcsenh 1/210 4.2.6

Para as tenscies em um indutcr e um capacitar temos as relac5es:

como I = dQ/dt temos:

'v'L = L dI;' d t \/c = Q/C 4.2.7

2 ~L d Qídt4 + ~~ arcsenh [(dQ/dt)/2Io] + Q/C = O 4.2.8

A equacao 4.2.6 possui a seguinte curva de tensao A corrente (VxI)

para os diodos IN4148 (fig.4.2.4).

Corno ;:Jodemos ,~bse:\/a: , Oí-:)SS'-.! 1 certa

v

L

figura 4.2.4: Curva VxI para o arranjo de diodos.

v·

1

figura 4.2.5: Curva do arranjo de diodos a ~ 77 K.

04

Cap.4 65

semelhanca com as características de atrito seco mostradas na

equação 4.2.2. Esta curva pode ainda ser mais aproximada para as

características de atrito seco se mergulharmos o arranjO de diodos

em um recipiente contendo nitrogênio liquido. diminuindo a

temperatura T para aproximadamente 77K. conforme é mostrado na

figura 4.2.5.

Como podemos observar através da figura 4.2.5. dois diodos

contrapostos em paralelo pode ser uma razoavel analogia para o

atrito seco em sistemas macânicos.

Podemos obter o mesmo modelo para o sistema da equaçao 4.2.1

através de amplificadores operacionais. como é mostrado na

fig.4.2.6:

R.

R&-

V+VO

o

i '

figura 4.2.6: Circuito com amp. OP .•

Considere que a somatbria de correntes no ponto D deva ser

igual a zero:

4.2.9

Cap.4 ~i...WL..I

levando em conta as características de amplificadores operacionais

temos:

z z _- ( V + VD ) / RY - o.RzO d V! d t = l) 4.2.10

5 R. D R

R.

figura 4.2.7: Circuto análogo ao sistema mecânico

com atrito seco e viscoso.

rearranjando os fatores temos:

:2 :2Ci.R2C2 d /dt + \t>/Rõ' + V/A:' = O

considerando a relação 4.2.6 e que 10 = C2 dVidt:

4.2.11

:2 2d ')/dt + \.0 /~ arcsenh [CCZ dV/dt)/2Ia] + '.,I/R" = t) 4.2.12

Se acrescentarmos um resistor Ri. em paralelo com o

Ci e tambem considerarmos a existência de uma pertubaçáo

capac i tore:,.; terna.

conforme é mostrado no circuito da figura 4.2.7.

seguinte. equação para esta situação:

iremos ter a

f-·--.~....~...,".="",I SU!ViCO l:L C'irl' i.I----""-.,.~-,.,"'",.- fi

"~~'.l1

.. " ., "0' " •.•• ~'''' i---.~-..~._.-._-~

Cap.4

2 2C1R2C2 d Vidt + RzC2 iA. dVidt + \b IR" arcsenh[ (~ dV/dt)/2J:i] +

67

V/RF = VlL/R&: 4.2.13

Obtemos o mesmo resultado para o circuito da figura 4.2.1 se

acrescentarmos um resistor em série com os elementos deste

circuito, e se alimentarmos o sistema com uma fonte de tensão V:

2 2L d Q/dt + R dQ/dt + VU arcsenh[(dQ/dt)/2Iu] + Q/C = V 4.2.14

Cap.4

4.3 Normalização.

Vamos ionsiderar a equação diferencial:

Z za d y/dt + b dy/dt - f(dy/dt) + d y = P(t)

+c p/ dy/dt< O

+c p/ dy/dt = Of(dy/dt)

=Id y - PE p/ dyJdt = O

.•.

-c pí dy/dt = (i-c p/ dy/dt

> O

dividindo a equaçao 4.3.1 por c teremos:

68

4.3.1

4.3.2

. di: i:ale y/dt + b/c dy/dt - f(dy/dt) /c + d/c y.=

assumindo que d/c y = z:

P(t}/c 4.3.3

. z z .a/d d z/dt + b/d dz/dt - f(c/d dz/dt)/c + z = P(t)/c

transformando o tempo t em um tempo T sem dimensões:

t = kT

substituindo na equação 4.3.3:

4.3.4

4.3.5

.,.

a d~z---d kZdTZ

b d2+ ---d kdT

4.3.6

.,.

se atribuirmos a k~ o valor a/d:

z z ..d z/dT + l/Q dz/dT - s(dz/dT) + Z = p~T!

onde:

4.3.7

Cap.4

1+1pídz/dT<O

+1

p/dz/dT= O

s(dz/dT)

="-- PEp/dz/dT= O4-

-1 p/dz/dT= O

-1

pldzidT"-O/

'::"0iJ ~.

4.3.8

Par-a file I t-Ior visualizarmos os sistemas analogos, poC1efrtOs

montar- a tabela a seguir:

III

II

EquaçãoBaselvlassa-t10IaRLCDSérie!

Ciie.Amp.Op.I ,

PosiçãoCarga

Lapaeit. jTenSaO pt.

FI y Q V

, XI

dy/dt

'.je Ioe idadeLorrenteIProporcional a

dx/dt

T= dQ/dtJ. "v'c=-R2C2dV/dt

Massa

IndutânciaIa

IC1R2C2m

LI Ib

Const.AtritoResistênciaR2C2/R1!Viscoso:

k R

I

eyForça Restit.

Tensao no Capo Icor.Realiment. IMola:

kx Q/C ViRF

I

ConstaRest.Admit.Capae.

iAd.Res.Realim·ie 11"10Ia:

k l/C l/RFI

I i

If(dy/dt)

Força AtritoTensãoDiodo

[Lor.deVido

aISeco:f(dx/dt)

VIlVn: Vn/RF

PE(t)

Força Ext.Apl.TensáoExt.Apl.Cor.Ext.Aplie.F (t)

V (t)IRE=-VE(t)/RE

Frequencia Natural-Iklm'1/-ILc'

_ ..•• JI'"

!....:.ü

=-leia'II (C iR2C2RF)4 / ~ II

i-Tempo

Amortecimentoklm I

1ta. = b/c

RCR2C2RFiRt

IIFator deQualidade I :1/21

I

Q=-fãC íb Yffik" ík -y'["jf íRIRtlCl/RFR2C2) Ii

Cap.-4

4.4.Resultados.

1'0

Todas as figuras deste item, salva alguma outra meneáo, foram

obtidas par fotografia da tela de um osciloscbpio que monitora os

estadas do sistema que desejamos observar. Nao nos preocupamos em

mencionar as escalas das figuras pois estamos interessados apenas

nos resultados qualitativos obtidos com este modelo eletronico.

Para verificai- a validade deste modelo eletronlco vamos

considerá-lo sem a presenca de dissipaeão viscosa (líQ = O) e sem

a aeão de forcas externas (p(T) = O) • Desta manElra temos a

equacáo diferencial homogênea 4.4.1:

22_dz Idt + f(dz/dt) + z = V 4.'+.1

Como vimos no item "-!-.2, se o arranjo dos dois diodos

realmente descreve as características do atrito seco~ devemos ter

para uma condicão inicial ZO~ (zO~ suficientemente grande para que

o sistema realize várias oscilacões) um decrescimo

entre os máximos da curva Z~T) x T. formando uma reta entre os

máximos. Observando a figura 4.4.1, que é o resultado do espaco x

tempo do modelo eletr5nico para uma condicão inicial

Figura 4.4.1: Posicao ~ tempo para o sistema

s~m a presenca de forcas viscosas.

em oscllaeão livre

Cap.4

züi. verificamos que estas condições sao satisfeitas.

A figura 4.4.2 mostra a velocidade x tempo SImultaneamente

com o espaço x tempo para o modelo

equação 4.4.1.

iJ

eletronico

-,.

nas condições da

Figura 4.4.2: Posição e velocidade x tempo para o sistema em

oscilação livre sem a presença de forças viscosas.

As curvas da figura 4.4.2 são alguns dos possiveis pares de

equações paramétricas do espaço de fase (fig.l+.l.3J da equacão

4.4.1 modelada eletronicamente. Neste caso em estas

curvas do espaço e da velocidade em função do tempo mostram que as

curvas do espaço de fase não se cruzam. e sao perpendiculares ao

eixo horizontal quando a velocidade e igual a zero, satisfazendo

algumas das observações sobre espaços de fase de sistemas

homogêneos de segunda ordem citados no caPitulo II <estas

observaçoes podem parecer triviais, mas muitos em modelos

eletronicos. numéricos. etc., podem ser detectados

consideraçao).

levando-as em

Desta maneira. apesar destas

Julgar nosso rnodelo satis"fatbrio_

poucas consideracóes. podemos

Para a existência de um comportamento mais complexo neste. c_

!::' /\ I" t:::'l 110 = • GL.i.

Cap.,+

nâo a presença de dissipaçao viscosa.

72

Alguns trabalhos foram publicados [4.4.1-4.4.2] explorando o

fato deste sistema ser linear por partes, mas apesar desta

característica, existe a necessidade de se resolver equaçóes-.------------- ..---- - ----~-.--

---.------.- .. ----.- .•..--.--.

Figura 4.4.3: Espaços de fase para l/Q = 0, pt = 5,0 e a assumindo

os seguintes valores: 0,03; u,08; 0,15; 0,25; 0,29; 0,36.

Cap.4 73

•J,

--..•• ti' \.

l,~

II

;

l.,_ •• !~.•. ~I .•••.•.,-.

.II

\'. i'ri

;'.

'\ --,,,

,,

nf ~

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I··1 .. · ..·•

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,,/

t\

~.--- I ,-

"- \\--i)

//

//'/'

Figura 4.~.4: Espacos de fase obtidos numérlcamente para os dadosda figura 4.4.3.

algébricas transcendentais, tornando esta abordagem extremamentecomplExa.

"74

S.W.Shaw [4.4.3J obteve resultados valiosos em sua abordagem a

frequencias

de forcas

este sistema, mas incompletos para baixas

pode ser menor que zero quando analizamos a presenca

•••0<0 (Q

aerodinâmicas em pás de turbinas). Muitas outras dúvidas foram

levantadas para l/Q = "v. e baixas frequências. inclusive a

possibilidade da existência de um comportamento caótico na

dinâmica do sistema.

Neste contexto. a grande vantagem de nosso modelo eletrÔnico

é que com uma simples variacão de potenc iOmetl-os, podemos obter

uma varredura nas regiões dos espacos de parâmetros de difícil

abordagem numérica e analítica. possibilitando conclusÕes arespeito de sua dinâmica.

Para exemplificar vamos observar a dinâmica deste sistema sem

a presenca de disslpacào VIscosa, sofrendo a acao de um

ex terno seno idaI (p (Y) =p:isenuy ), onde vaí-iamos apenas a frequênc i adeste termo. Os resultados são mostrados nas figuras 4.4.3. Estas

imagens são espacos de fase do sistema onde na ve,- t i ca I temos a

velocidade (dz/dt) e na horizontal a posic::ao \z).

8(:" :al

-~Ü\MJJ\A-4f-~-6~

-8 L-I _---'- __ ~ _80 100 120 .~~ 160

I

Figura 4.4.5: Movimento com periodo dois com Uffiaparada por ciclo.para Q = -5. pJ. = 3,0. (2 = t). 55. (Referencia 4.4.3).

estes com =-s

Cap.4

resultados numéricos da firura obtidos pelo método

previsor-corretor descrito no apêndice A. Podemos verificar que

qualitativamente sao os mesmos. refor~ando ainda mais

deste modelo.

a validade

Conforme resultados obtidas na [<+.4.3J. existe

para certos parâmetros um movimento periodo dois como émostrado na figura 4.4.5. reproduzida desta referêncla.

üb t i"'/emos o mesmo ,-esultado coril nosso cir-cuito como émostrado nas figuras 4.4.6 e 4.4.7. (Para obtermos um valor de Q<O

acrescentamos um capacitar no esquema da figura 4.2.1 como émostrado através dos pontilhados desta figura).

Figura 4.4.6: Posi~áo em fun~áo da tempo para as dados

4.4.5.

da fi gUI- a

Cap.y.

B.F.Feeny e F.C.Moon [4.4.4] abordaram

sistema semelhante a este aqui apresentado,

de um comportamento caótico em seu sistema.

76

em seu trabalho um

e afirmam a existªncla

Encontramos um comportamento cabtico em duas situações como émostrado nos espaços de fase obtidos do circuito conforme émostrado nas figuras 4.4.8 e 4.~.9, situados na região de baixa

frequência não abordada em [4.4.3].

-::'I; c; _

Figura 4.4.8: Comportamento caótico em Q=-5; pt=8,6; 0=0,371

Cap.4

Com os resultados obtidos, concluimos que

eletr3nico é satisfatorio, sendo extremamente útil

regioes no espaço de parâmetros de difícil abordagem

analitica.

nosso modelo

o a j- a \i a r r e j-

numérica e

Apesar deste comportamento satisfatório, temos uma limitação

que é a incapacidade de nossos amplificadores operacionais

simularem para esta configura~áo do modelo eletr3nico grandes

valores para o deslocamento.

CAPiTULO V

.,."

Cap.5

S. SISTEMAS BIESTAVEIS.

S.l.Análises Basicas.

79

Vamos considerar o sistema descrIto pela equa~aG dIferEnCIal

7 7m d-x,dt- + dP(XJldx = O

onde PlXJ e a funçáo que descreve a energIa potencIal do

5.1.1

sistema

com rela~ão a x, POSSUIndo

(fig.5.1.U:a mostl-ada na abaIXO

\

\\~--+-­

iI

•

- ~

-----.---------.--..;..--.-------------.-.-

figura 5.1.1: GráfICO de PIX).

Para a força de restItuIÇáü FIM) temos a seguInte relaçao:

5.1.2

resultando na curva mostrada na fIgUra 5.1.2.

Cap.5

Obser---.;andoa- .t u"ncao no t arno~· ;.:Jj.....1.2 es t 3. POSSLil

dois mínimos, um em x = a e outra em ~ = -3.. POSSUI t .3 iTiO em Ui'n

máxime local em ~ = Oz Estes ffiinimos correspondem a ijOl S estados

de equilibrio estável~ e o máxima local corresPo}lde a Uín estado de

equilíbrio instável, conforme mostraremos a pOSSL11C

dois estados de equilíbrio

biestáv'el.

2stáv21S, este sistefoa de

Para WIIl sistema corn

! F(x.)

car-acteristicas,

\.\ ~______ I

~ \

.----.-.-----------------.------------

figl...li-a 5.1.2: Gr"áfico i.:Je r- (A) '"

::..J c i r-eu i to CDffi diodos de i.. f ig. 5.1.3)

ponto D, temos 3 eQuaçáo diferencial homogªnea:

senh '.);\0 5.1.3

COfi1pai-ar-Ido a eql..lacão 5.1.3 COill a eQuacao 5 ..1.1. c:ci"rlclLlirflGS qi..le P(l ..})

e F(V) sáa descritos pelas relaçSes:

2RF' + 2 I (! \/(1 ..: osh ~)-' \.)(1 5.1.,+

Cap.5

F ( \,)) \/ /RF 2Io senh \"}./\/o

81

5.1.5

--- ..----- --

-.--.-- - --- -- --, ..-

---- ------ .. --- .. -----.-.,.-______ •• n •• ._ •• ~ __ . •• _

_ n 0'"' __ " '" . __ . ,_----+--.----- ..--_._~-.__ .._._--~------

.:gl~~: _ --c::: n p __ ---= :~_: _- __ '0 _

figu~a 5.1.3: Caracteristica I

em,paralelo e contrapostos.

V para o arranjo de diodcs

~U.JOS gráficos sác mostl-ados para l/RF 2Io/\.!l:l na figura 5.1.5.

R

• I. I.IJIl.......

-v

R

figura Ll(CUltO COjli dlOdos de g e f 'ÍI d. li 1o •

Cap.5

I H':.IJ

82

,

i\f \\

~

\ i Ft-i)\

\\\,\

\\.v

·, ..L~figura 5.1.5: Gráficos de P<V) e FIV).

Fazendo dV/dt = Y obtemos sistema EQLlaG:oes

diferenciais homogêneas de primeIra ordem:

í dV/dt='JI

"

I ld"/·-lt=+

C1RFRzCz. 1./ U

2 I Q sent-i i) / '.jQ

C1RzCz

Dividindo a segunda equacão pela prlmelr3 CJbteiTiOS

,-t\.:/r1\/ = ...•... ':enl i '. .1 t/,Ci

5.1.

Pearranjando 05 fatores da equacáo 5.1.

seguinte equacão para as curvas do caminho de

fase:

-fase plano de

Cap.5 83

Ci.R2C2....,c.

v'".~L

\)

2RF- 2IoVo cosh ViVo = C <:;;1 i:l

....;. J. • W

resultando no seguinte plano de fase (f19.5.1.6J:

,- ,."..........• .. _.,. ' ..,.

, .

.... ......•......••...... '

, -' .

'. ----'..~:~:;- .•...::::..-- _o. / " .

.---' .•",-- ..--.,."

". _._ •.•. _ •..•..• ' .•.•. ,.. M,_ ..•..•.• A_ ••• •• ••• 0'0'"

---------------.--.--...-----------.-

figura 5.1.6: Espaco de Fase do sistema 5.1.6.

Pela equaçáo 5.1.7 podemos determinar a incllna~áG das curvas

do plano de fase da figura 5.1.5, exceto em V = ± a e v = :) , quesáo pontos singulares deste nosso sisterna'l se.)a 'I pontos deequilíbrio.

Pelo critério de estabilidade de Llapunov concluímos

pontos de equilibrio em V = a e V =

1!IStá'vEl

os

tipo

pelo

que

doesta'vE1Sa sao

depontoumtemosCentro. Em V = O

critério de Liapunov, e do tipo Cela.

o tempo de !9corlênci3, ou período dos cami~hos de são

finitos, e:~ceto oara aquele ;~ue passa no PO"lito '..1 ..:.. l:J e = 1), CUJO

período é infinito. O caminho de fase fechado PO,

Vamos variar agora o valor de RF e observar acontece

com o sistema. Se diminuIrmos o valor de RF. rar2mos com qUE os

Cap.5 84

dois pontos estáveis se afastem do ponto instável central. como émostrado na figura 5.1.7.

--,.,- ".'--

-'''vo..""•...•;._, ..•..__ .•.•,••..••- R-··-' .

.•..---.- ...--

'1_ ••.• ' .• _ •

•r" .JI" •• ---- •.••••." '

,

.- ...•-'_ ..,~.....•... ,.,..- .•.....•..•.._, ... --,.-

,,

.-------------------- ------.------- ..---.-.-

f4umentando o valol de HF" de maneira que LRF" <. 210/',,'0. Iremos

obter C) potencial mostl"aOO na figura 5.1.8:

--- T---\ .\\. I

-----.------------------------------\

,I

' -..--.-.- ------.------.---.-.-- -- -----.- --.•..•.- -

fi9ura 5.1.8: PoteflClal obtido com liRF < 2Io/',)ü.

Cap.5

.-- -.•.. -- .•....-.- -.-- - ..-

.....-" - -- ,,- --- ..

.....• .......•........ - -.

~-_.__ ..---.• ---".----_._----------'-'~ -.-----~ J/

85

...•..

.-'.................................

• ,0-~ -- ..-- -- .•.-- --- ..• --'

- ---"--.- .. -._~.,.•..• -- .•-- ..-

.-

..------------ •...----- -.-----..-.- -.------ ..--•..

figura 5.1.9: Espaço de fase para o potencial da fig.5.1.g.

j-esultando em um espaço de fase com um ponto slngula., do tipocentro, como é mostrado na figura 5.1.9:

Nesta variacão dos va.lores de RF eX1ste uma situação crJ.tica

quando l/RF = 210/1)0. Observando novamente equaçao 5.1.'-+,

notamos que para pequenos valores de V, FtVl ~ Ü,

potencial mostrado na figura 5.1.10.

I-esultando no

Esta situaçáo aprox i(nadaniente a. i..lfÜa poslçao dee."1ste ele f,::,rças

restauradoras ou de dispersáo agindo soCre o sistenla. Proxifflo a

v=o este ponto e instável pelo Cf lterlo de Llapunov.

açáo dlssipati;a

(obtemos esta situaçáo aCI-escentandO Ulf,resisto,-

segullltecom o capacitoi- Co. Desta maneira temos a

Rt em

equacão

regendo a dinàmica:

-'"~':~-;FCA E 1• o •• ' I ".__ ?"""

) :

Cap.5

PCv)

86

,n ._. ' _'.f

'----------- ------~---------

figUl-a 5.1.10: Potencial pa(a l/RF = 2Io/vn

C z Z \' ., •.•. _,:1RzCz d V/dt + RZCZ /R. dV/dt - V/R'" + 2p senh -1/ ...,." ::: V 5.1.9Linearizando esta equa~áo em torno C10S PO"ltOS de equ 11 :i. br 10

CiRze:: dZ~/dt~ + RzCZ /R. dl /dt - (l/R'" + 2JJ /',n cosh \A /'j:) ) 6 = o

5.1.10

consider-ando os r-esultados obtidos r'la equação 2.10 temos:

1RFCiRzLZ

1/R1C1 = 2 h

+ 210" L- R L---h" 7'.1') i ,ZLz U'=> '.iA/I)O::: ,,;0'

5.1.11

5" 1. 12

P hz. z . '1" dara i .> ~-,.!Q temos um processo nao OSCl attli-lo a.mo,-tecl o. com um

ponto Singular do tipo NO Estavel elD V = VA e -VA,

P hz z .. 'dara ~ ~~ temas um processa oscilatárlo amortecl a com umponto singular do tipo Foco Estável em V = VA e - VA, e um ponto

singular do tipo Cela em V = O, como é mostrado llaTlgura 5.1.12.

Cap.5 87

.,;c--.•...

". -.....''I,.. -"'_ ,

l--·~~'~.

~-------;:---I Iiii

·lI"

It

I'J

1·I' .

figura 5.1.i~: NO estável e sela.

Podemos obter os mesmos resultados se 1 i RF2Io/Vo.

iI

·1..J .••••• - ••.•• - •• -- •• _ ••

IY:~1 -'"-,) l.--~-- '~~'~'j

;'~";" 4~'

-- u __ ••__•••• ~

figura 5.1.12: Foco estável e sela.

1:ap.5 88

5.2.Modelos e analogias.

1- .••.•..••.. ,

: 7~

figura 5.2.1: Pêndulo invertido.

Vários sistemas possuem seu potencIal semelhante ao da figura

5.1.1. Um sistema bem cDnl"'ecido por ,-,Osé o pén,julc lf,':e,-tldo CD!T!

uma mola que prOinO ...../2 U.1TI de ,-estitUIG;aO igual a(fig .5.2.1).

A equacão diferencial nao linear

dinâmica do sistema POSSUI a forma:

que descreve a

l. 2 --"'" - 1-I- ,,,: 1 ,~ I d t - mg sere + 1;:-.::1 -1 __ = tJ 5.2.1

Para mgl ~. podemos ter o potencial da figura 5.2.2 p, -2rr < e <

2rr, que é descrito pela equacáo:

Outro sistema eu..]adl,--,ainleapode sei- rjeSeiulta PCJ,· uma equacà.o

id~ntica 'a equaG;ao 5.2.1 eCJ pendulo magnetico mosclado na fi gur-a

5.2.3. Este sistema eor,siste e ,Ti um imâ com ii"lOmeilto!Tiagnético r'l que

sofre a aeão de um eamQO constante uniforme B e a acao de uma

Cap.5

P(9)

figura 5.2.2: Curva potencial para mgl > ~.

M

figur-a 5.2.3: llltáSOu a a~áo de UlfIcalTlpolIIagn~tIco.

89

mola que promove um k8. equac:ao

diferencial homoginea que descreve a dInâmIca do sIstema possui a

forma:

i:ap.5

~ ~I d·S!dt· ~ K d9/dt -EM senS + kS = Q

9(,

,-.-- =Ld.~.-.....J

5~3.Normalizaçâo.

Vamos considerar a equaçâo náo linear forcada:

.Z 2a d z/dt + b dz/dt + c senh z - ez = P(t)

91

5.3.1

dividindo toda a equaçáo POI- c, t~ansforniando o te,np1.:J i::'iii

tempo T sem dimensões It=kTJ2

e atrlbuiildo a k o v310r a!'c temos:

1 ..~ ôjz./,jt: -+- sEnh DI 6.3.2

onde Q = ~zlaCJ Ib, M = e/c e p(T) = PlkT).,C.

entre os parâmetros destes sistemas <tabela 5.3.1).

J

c,.."-,,,·~<·· .. ,'C- =''''lIOTECA E 1-";;"":'1 ~ 'I' j ••••.••••••,.) L.·,....:. L....• '--.•. - .INFOr=(lj t"çJ5,. C)

,..'_-=lP.5

em A

dv/dt

P2C.2/Ri.

TensaD

CliC.AiTiP.Op.

1

l<:

Vel.

A-"gu 1ar

8AngularVelo

AITlor t. 1.) ise asa

Posic:ao1C>;=;nrlt'l~ T'-"'I=>-, +-id"I!PS'1.-!"i,~ fvt;:<~np+:, __ u ·_ ,'~_ ....}, ,-;.~I_ ..•._' ·,,-.-:J.l_'--

ii C> . - .; r, .- I --I' os 1'_;:,0 .>-1,lgU dio 1'-1

l-iII d8/dtIiIIiI AfTIOr t .\)i scos-oI!

a

Base

b

dz/dt

1

rorQUe Restlt. iCo,.Realiment.. . I ./

-BI-"tSElltJ + ~{.e 121(Jserlh\//'..)Ú-~i ,..,F

rar"po Cytpr~oIL-u~-, ~yterlla_., ,-,-_ .. I . -" .

8(t) i -VE/RE

csenz + ez

P (t)i

Fator Qualidade

.J-'Q = raclb

Restit .-mglsen8 + k&

Ti !-'), v ,

m-yg7Tk

( lEI") i-' 2

1<..

i ~IoCi 1/2IRi{~2C2VO}j

Tabela 5.3.1

Cap.5

5.4.Resultados.

93

Todas as figuras deste item, salvo alguma outra Inencáo, foram

obtidas por fotografia da tela de UID osciloscbpio que monltora os

estados do sistema que desejamos observar. Nao nos preocupamos em

mencionar as escalas das figuras pois estamos interessados apenas

nos resultados Qualitativos obtidos com este modelo eletronico.

Este modelo eletrônico foi montado com a r'inalidade de

verificar a teoria de transicao de fase de Landau [5.4.1J,simulando esta transiçáo proxima ao ponto critico.

Muitos outros trabalhos utilizaram modelos inecClnIcos para

simular esta transic:ao [5.4.2-5.~.3J, mas, como corno mostrou a

prática. o modelo eletr6nico apresentou uma nitida vantagem para a

coleta de dados e a realizacao de medidas.

Como expusemos nas análises básicas. nosso intuito era

um sistema que apresentasse o potencIal inosti-adona figura

criar

5.1.1,onde existem dois pontos de equilíbrio estável e 1..Jm ponto de

equilíbrio instável, e que fosse possivel através da variaçao de

algum parametro (rEsistor RF)~ realizar uma transic:âo :=ara

situacao onde na curva do potencial exitisse apellas

equilíbrio estável.

um ponto de

Todos os resultados l-el at i vos a transic:ao ije fase estao

expostos no apêndice B. Neste Item ap ,-esen t aremos alguns

resultados relativos a dinâmica do SIstema para sltuacao de=otenci31 biestà\-'el ~ r a 1 fato ,us ti f I c::Ju-se

complexidade do sistema. pois conforme a üerturbacao e:.:terna.

poss1vel termos CInco ou maIS parâmetros independentes.

Vamos considerar '-10vamente equacao ondeD!'r)=P1SEn(~)T) :

2 :.;: _.d z/dt ~ l/Q dZ/dt ~ senh z • M z = p\f 5.3.1

Cap.5

Como podemos observar, neste caso

independentes (Q, w, Y1, Q) • Mesmo

temos

neste

quatro

caso,

parâmetros

torna-se

extremamente complexo a análise e o mapeamento do comportamento do

sistema no espaço de parâmetros. Apesar desta complexidade, aversatilidade de nosso modelo eletrônico faz

abordar algumas regioes com extrema facilidade.

com que possamos

Vamos observar o comportamen~o do sistema para Q=O,707; M=20;

Y1=245 e Q=0,703; com o respectivo espaço de fase mostrado nafigura 5.~.1:

.•••_•..•'"-~II..• ,"~-

figura 5.4.1: Espaço de fase para Q=0,707; M=20; y1=245 e Q =0,703

Nesta situação, a perturbaçao externa faz com que o ponto

representativo do espaço de fase mova-se de um ponto estável para

o outro, oscilando ao redor deste com velocidades bem pr6ximas de

zero, até que a perturbaçao externa faça com que este realize amesma dinâmica ao redor do outro ponto estdvel. Como podemos

observar por esta figura, estes dois pontos de equilibrio sãoestáveis e do tipo Foco.

Percebemos ainda mais a existência destes pontos estdveisobservando a

tela do oscilosc6pio quandO nenhuma perturbaçao

externa age no modelo. O ponto representativo pOde estar situado

no ponto de equilíbrio estável do lado direito ou do lado esquerdodo espaco de fase. ~o aplicarmos uma perturbação o ponto

L"~3.p.5

rEPrEsentativo irá mover-se no espaco de fase, tendendo a qualquer

de e~istir, permanecendo nesta posição at~ a presenca de uma 'nova

Corn i..J porlto

E -,.'identes os pontos est d'ie i s do si stema ~ como é iriaS t-j- ado na fi gUl- a

-1!I ••••• ooJlll."".."....,lIo.• 0.0 """0:~

figura 5.4.2: EspaQo de fase f~ao

01=245 e Q=2.810.

si fnét f- 1 C o pala fJ=~)" '/(J7 :

Aumentando ainda mais ~

bifurcac-oes de peciodO, CO.tl

comPD1-tamentD caótico di nâiTI i C.3. COiTI periodo CDmo

exemplificado no capitulo I.

Ef"fi iTlll i tos c Li t 'f- C}S s i s t e rTIa s [ "3~3 J t a rilb éco f o i G b s e f './ 3.d o :~ue

bifurcac6es sáo o~2cedlda5 !-' '~i

·~o- -

DITui-cacoes

dobramento de periodD;- . -

a j-eTer-2(iC Ia

(Tl.·.

rJ··,tI

Ur-,

01'

~.-

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r.J

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111

E':'11

'-1'0

O..

,:1rJ111

'- 1.11

IJ(fJ

OJ

TI'1:1 111

\JC1.':!I

+:,

1,f1

rl''!• :<111

,ti

'....•U'<11

'I- ....•

I:::I]U

(1']

O··

['.(T]

(TI

lf1..{J

r.rJ

([I(T

l

(1..1

0..1

11

c'".••!'

'-),'1..1

Il[,...

'::'1:"'"

111

1,0

otI

otI

1:1

lU'- ,tQI11

...•

'1IJJ

D '.•... -<.:::­

11

Cl111

I]U({1

U.

I.fl

LU 111

(T1

;:t.U1U1

otI

\­J(fI.rl1,,-.,

~1.:.~.ll

,\'1

~' ~~~

·1..1

(lCL

'TI

LJ

Ir!

.-. I:Lap •....J

5.4.5 .

.....••.~•... ­,.. .•..~ ""=.

-:."....~

figura 5.4.4: Sequência de guebra de simetria, b ifUI-caçoes e

comportamento caótico para Q=O,707; 1'-1=20; p1=245 e n=10,950;'7', 132.

Cap.5 - 98

figura 5.4.5: Sequªncia de quebra de simetria, bifurcaç6es e

comportamento caótico ao redor de um dos panos de equllibrio para

Q=O,707; M=20; p1=245 e Q=54,792; 35,123; 32,313; 32,032.

Como conseguimos obter um modelo eletr&nico de

biestável que simulasse uma transiçáo de fase pr6ximo

critica como é mostrado no apêndice E, consideramos

modelo satisfatÓrio.

um sistema

ao ponto

este nosso

CAP:tTULO ') I

Cap.ó

6. PART~CULA EM CAIXA.

6.1 Análises Básicas.

Considere o sistema da figura abaixo (fig.6.1.1J:

lU!)

,..

o.,. .,

figura 6.1.1: Particula em caIxa.

Este sistema consiste de uma particula pontual de massa m dentro

de uma caixa unidimensional de comprimento 21 [ó.1.1J. Esta

partícula pode chocar-se contra a parede e este choque é elástico.

Vamos considerar a situação em que

agindo no sistema e que não ewiste

não ha forças externas

forçasdissipativas. Nestas condiçóes obtemos segullite equação

diferencial homogênea

z zm d x/dt + f(x) = O 6.1 . 1

< x <..

= -1onde f (X)

r~r'",'1 1"""\./ ·u· - ,I . ~ .- ... -. - ;I .-

=10 pl -1

i _," iL·lJ P.' .-,

1

1 ;-; 1....'-' .•.

6.1.2

A não linearidade deste sistema consiste nos ChOqUES

elásticos em x = 1 e x = -1. que provoca

conportamento da velocidade.

uma descorl t inu Idade no

Em -1 <: x < ,1. , f (><)

: ~= O. mostrando qUE d~x/dt- = o. que se

qualquer instante to a part1cula POSUlí uma felocldade

Dermanecera constante em ·/a 1or absoluto. mudando sentIdO

apenas em cada choque que eall:::a com a equacoes ecn

funcão do tempo. no intervalo -1 ( x

do sistema são as que se seguem:

;><: = V t

1. que dEscrE~Em a dinâmica

6.1.3

l~ = d x / d t = \)

A equação 6.1.4 representa a curva de varias ,-e t as

6. 1 .4

oaralelas

eixo x para cada valor de './.Podemos const,·uii o p 1ai It::' :je rase:-

representando O caminho de fase dos estados do sistema p a,--:3.

estes diversos valores (fig.b.l.2)

,

I Y

I

II

,.

-Q.

I

:~

I

."

.•

! X

"~

Figura 6.1.2: Plano de fase do sistema 6.1.1.

Cap.6 102

Como podemos observar. os caminhos de fase do plano de fase saltam

instantaneamente do semi-plano superior (y > o) para o semi-plano

inferior (y < O) em x = 1 , e do semi-p1ano inferIor para o

superior em x = -1. Tal situacao ocorre os aqUI

envolvidos sao totalmente elásticos. A representacao destes saltos

instantâneos é feita pelas lInhas pontilhadas em ~ = 1 e x = - 1 •

Neste caso. podemos considerar cada caminho fase como sendo

fechado. e o periodo para cada caminho é obtIdo pela lelacao:

-r _1 - (4 6.1.5

a estados de equilíbrio no plano de fase. I'!as, deixarmos a.

particula de massá m em repouso entre o Intervalo -1 :-< ,~ 1, es t a

irá permanecer em repouso, salvo a aeao de alguma pertubacão.

Desta maneira, pelo critérIO de Liapunov, todos os pontos entre o

intervalo citado sao instáveis.

Vamos agora inclinar a caixa de um ângulo E!1i ,elacao a

horizontal e obser"/aj- a dillamica do sistema (fig.6.1.3J:

0«/

1='ígura 6.1.3: Caixa liKlIi-,ada de um allu10

l:ap .6 103

Nesta situacao existe uma forca constante agindo sobre a partícula

de massa m ,jevido a aceleracao da g',-a\tidade g. equaçao

diferencial não homogênea que descreve esta situaçao é a seguinte:

6.1.6

com f(x) descrito em 1~ , = (J, o nos

possibilita montar o seguinte sistema de equacóes dIferenCIais de

primeira ordem:

Eliminando o tempo t e

ob tel- :

fdx/dt = y

ld\didt = 9

integrando equaçao j-esultante

6.1.7

1r-emos

':I = :.t Y 2gsen'':-tx

Considerando que em x = 1 e x = -1 há um choque eldstico,

6.1.8

podemos

construir o seguinte plano de fase mostrada na fIgura 6.1.~.

y

Figura 6.1.4: Espaco de fase para o sistema 6.1.6.

- -----_._~--'-_.__ ..__ ._~-----------------------

Cap.6

Para esta condieao possuimos um ponto de equ.llibrlO

104

estável

em x = 1 (um ponto de mínimo na curva do potencial), pois, estando

a partícula em repouso neste ponto. esta em torno

deste caso sofra a aeão de alguma pertubacao. satisfazendo

critério de estabilidade de Liapunov.

Vamos conside1ar que no sistema da Figura 6.1.3 exista

presenea de uma forca dissipativa viscosa. e que d1nâm1ca do

sistema é descrita pela equacao diferencial homogênea:

<li d2~.;/dt2 4- j.;,. d:-<f,jt -l- fix) = m g sen '1 6.1.9

com f(x) descrito por b.l.2. EITI -1 1 pode,nos

~eguinte sistema de equac6es diferenCIais de primeira ordem:

fdx/dt = yLdy/dt = - ?./m x + 9 sen_

6.1.10

Considerando os choques elásticos em x = 1 e x = -1. e os diversos

pai-âmetros da equação 6.1. 1(;! podemos cons t j- Li i j- i~

mostrada na figura 6.1.5.

de fase

Nesta condic~o o ponto com coordenadas \1,0) e

satisfaz o critério de Llapunov.

y

estd.vel POIS

x

Figu~a 6~1.5: Espaco de fase de SIstema 6.1.10.

1(15

6.2.Sistemas Com Modelo Equivalente.

\.lamas Clbsei-~./aJ- agoca o (íiodelo eletl-dnicc inosti-adCl , lCl

e

-V

R A•V

Figura 6.2.1~ Circuito com amplificadores operacionais.

e utilizar os diodos de silício· If\l4148. Se

considerarmos a somatória de correntes em l-elacão ao ponto

temos a seguinte equaçáo diferencial náo nomogêneai

6.2. 1

liquido~

=omo foi feito QU2)ldo simulamos o atrito seco~ 1 "iE:T10S

mostrado novamente na figura 6.2.2:

-.----- ------------

rI

J..

l=iguca 6.2.2: Diados IN41~8 K.

!. i Ili = C •• :' i ;HJ talHOS

ai-ranjo de diodos CCffioor-ta-se como a

L i ,:)'...-t •••• L.. • Sendo assim, temas para nosso sistema a seguinte equação.

também análoga à equaçáo 6.1.9 forçada~

::- ?C1RZC~ d~\j/dtL+ RzCZ/RL dV/dt + Iv (~/) = - \E /~ 6.2.2

r+ -- i' I + I ir.i '.xl p, \( = '.,..•

10-(\/);: It) p/ - \.-'0 {" t.) (

I .. IJ _ \;9"'"I--'U p.' 'J - - 'J •••

\Jü 6.2.3

Cap.6

6.3 !'!ormalizacao

Vamos considerar a equacáo diferencial:

2 :2a d z/dt ~ b dz/dt + ~(Z! = Pit)

r+'"TI D./ ..,. = + ,-I .. ,. - -

fez) = 10 P! - C V +_iiL-':;I) p I Z = -

107

6.3.1

6.3.2

te!TIOS:

- ,ac d~Yidt' + bc dy/dt ~ f(yl = PCt) 6.3.3

í+<:t) p/':I

=+1

f(y)

=1° pl

-1<y<+1 6.3.4

I -'X' P"

u=-1L .. ~

transformando o tempo t em um tempo r sem dimens~es i t = kTJ

. 2 Z 2aC/k d y/dT + bc/k dY/dT + f(y, = PikT) 6.3.5

:2ac/k = bc/k t2(T!OS:

k = alb

e obtemos:

6.3.b

,~.3.7

multiplicando todos os membros por:2

a/b

2como aib c f(y) = f(y)

- .......•.-,b.=,b

Cap.6 108

22.d u/dT + dy/dT ~ f(~) = p(·r) 6.3.9

<:Jilde f<y) =r+'X! p/I "-1 0/iI _.-,-! W /L .

,~ =+1

iyt-1

'.,j

=-i..

a: n&..l-

P( kT'

6.3. ir.)

6.3. 11

que esta POSSUl

indeoendentes apenas no ter-mo O(TJ.

Para melhor visualizarmos os sistemas atlálogos 30 sIstema com

Equacao Base Cl~CUlto Amp. OP.

Posicao: x VÃ = ')

d:z/dt \)elocidade:dx/dt IP1-0P. a 'v'C=R2C2dV/dt II

I1iI

~

CíR2C2

1 f

ITensáoDisp.Diodo:VD II I!Cor.Diodo To = f(v) Ii i!Cor.~plicada:-VE/RE II

['lassa: m!I Const.Atrit: kl!Metade Caixa: 1I

IForca Rest.: f(x)+'Fon:a Ex t. : F ( t )1

a

c

b

p ( t )

f ( z )

íabela 6.3.1

Cap.6

6.4.Resultados.

109

Todas as figuras deste item, salvo alguma outra menção, foram

obtidas por fotografia da tela de um osciloscbpio que monitora os

estados do sistema que desejamos observar. !~ao nos preocupamos em

mencionar as escalas das fIguras pois estamos Iiltei-essados apenas

nos resultados qualitativos obtidos com este modelo eletronico.

Para verificar a deste modelo ""amas

observar seu comportamento quando o ângulo a da figura 6.1.3 varia

conforme a função descrita na figura 6.4.1:

t

6.4.1: Funcão que descreve a variação do ângulo :,~-J-': .

Nesta ~ituacão. a equacão diferencial que descreve a dinâmica

deste sistema é descrita a seguIr:

Temos dois parâmetros Independentes. pl e ~.

a ~or suficientemente baixa para que 3 part1cula

sucessivos em cada canto da caixa até parar. deveremos obter em

nosso modelo eletronico um espaco de fase equivalente ao da figura

6.4.2. que foi obtido numer-lcamente pelo método p,-eV1501' <.:wiTetor.

descrito no apêndice "­- .

1 1!)

..----------.---------,----·---..--·--------t

_----.---- _-1.--.-.- .. , - .. -- ---.'---

I

--"---..••.••.._ •.••.__ ._•••._ .•.•..•.i ..- ..-- •.-

~igura 6.4.2: Espaco de fase para equacão 6.4-.1 em

frequencia (simulacao numérica).

Com o modelo eletronico descrito na figura 6.2.2, obtivemos o

espaco de fase mostrado na figura 6.4.3:

~

Figura 6.4.3: Espaco de fase para

modelo eletr6nico da figur-a 6~2.2~Dbtido ceio

Como pOdemos observar analizando as figuras b.4.2 e 6.4.3,

o espaco de fase do modelo eletrônICO difere qualitatIvamente do

espaço de fase obtido numericamente. ~ diferenca está nos choques

,-' -.r-l. L'_-ü!-,. ,_,

cCJntra a "oarede" dCJ modelo eletronice, aue Dossui UiTl

111

coeficiente

de restituicão maior aue 1, eu se.ja , a particul:3 ganha energIa

durante o choque. Esta situacão é indesej~vel POIS queremos uma

condicáo onde o choque com a parede seja ~lástico Icoe~lclente de

restituiçáo igual a 1).

Conforme a referência [3.1J possí.vel para CErtas

f'eauencias DcallEr ati:3S0 de 'fase CCiC'Iente dos

amplificadores operacionais, Dcasionando uma realimentac:ão

corrente que fornece energia para o sistema. Se um atraso de Fase

na corrente de nossos amplificadores operacionais acarreta UiTla

situacáo onde é fornecido energia, c~eve(j10= >3.diantar

~ara obtermos uma situac::3.o onde é Pela

referrªncia [3.1J para obtermos esta sItuac~o devemoS 3ci-escentar

um capacitor e um resistor em nosso modelo eletroi,lco Dara

ob~ermos um adiantamento na corrente, e ajustai'mos o SIstema para

um coeficiente de restituic:ão onde os choques sao elástIcOS. Desta

maneira, temos o circuito da figura 6.4.~,

ajustados para esta situação:

onde RF

c.J, R.

-um choque elástico.

Com esta modificac:ão obtemos o espaço de fase

f~bt"!.do

Cap.6

com a simulaçao numerica.

-

112

Figura 6.4.5: Espaço de fase obtido do modelo da ·tig.6.,+.4 pa.-a

baixa frequência; p~=3.09; 0= O.Ob3.

Podemos tambem observa. as curvas do espaço e da

em funçáo do tempo na flgu,a 0.4.0:-•

.~

,I

~

i )-r.l~';;

velocidade

Figura 6.4.6: Espaco e velocidade x tempo para os dados da

[\loresultado IlumerlCO consIderamos que o cI,oque e elástICo, e

tempo de duracão do choque é diferente de zero.

r\JI~ ::osso

elástico,

C:3P", c

que o tempo de dura~ao do choque

eletronico obtemos esta situa~âo onde

zero.

o choque éDU seJa,

modelo

mas o

existe

deformação no choque. ,nas ,-,aoexiste dissipacão de ene,-gia.

Vamos agora dar alguns exemplos da

eletronico. Observe nas figuras 6.4.7 O

dinâmica do sistema cuando aumentamos ainda

que

deste

acontece

modelo

com a

'~.'

figuras 6.4.7: Espa~o de fase para pl = 3,09 e O =0547.

(J , 5(J~3; (i 1 5()4:

Com o aumento da Fiequêilcia. a pa,-t~cula "ao possue tempo

suficiente pa,-a 03i-31- ;,as pa;-edes da '=al."a. [\Iotamc)s tambem uma

pequena quebra de simetr-ia tiO espaço de rase, CCqTI (J=Ur-~lríieilto ~je

Aumentando frequencia para valor-es :nu i to E 1E'/ados. a

pa.rticula nâo POSSUI telTlPCl par-a ,ja

Cap.6

caixa. formando c espaco de fase da figura 6.4.8:

L 14

Diminuindo a freqUªnCla para valores abaIXO .dos ",alores da

figura 6.6.8. a partícula começa a apresentar condiçoes de choque

contra uma das paredes. apresentando um cOITiPortamento caotico

devido a estes choques, conforme é mostrado na figura 6.~.9:

•transiciona para uma situação onde desaparece o comportamento

caotico, ~ esta eal12d ~.s

Cap20

Figura 6.4.10: Espaco de fase pai-a p1.=3,C9 e (2=3,7'7.

115

conta a amplitude máxima de deslocamento da D a j- t 1c u 1a • a

o-i a j- 1 a c:::::3"I~ (2. Esta

eanalisando-se o espaco de fase deste modelo 00 osciloscÓP10.

Encontramos neste modelo uma \-egiao no espa~o

onde existem quebra de simetria do espaco de fase, blfurcaç3es com

dobramento de peciodo, surgimento de compol t ame" to caótico ejanela de estabilidade com período três. Toda esta. sequência

mostrada na página seguinte na figura 6.~.11

Observamos também neste ,nodelo a existência ,je 1,-,te,,,, i tênc i a

"nodelD

'-:Jue este '-1 1TI a

Cap.b 116

Figura 6.4 • .1:1: Espaç;:;o de rase pa.-a ,:!l=3.'.J9 e \.2=1,8''1;

1,43; 1,41; 1,40; 1,24; 1.18.

i ç: I •j, .• ...J.L ! 1. '+5 ;

CAP:!TULO VII

F~~=n .••.~~~==_..~.~,_~_~.~"~~-,~".~..~..•...."..w"""===~

SERViÇO DÉ8 j[::I~'; (.1-r-i:;=;\ E-':'HO;;'t:1 ;\Ç X ó _ IFÔSCFiSIC,t.

----., •• .,.~'''"'." ••• , ••••••••• '''-~ ••• _",.,., •• " •• '-.,-, ••• < ",.-.,~".,~ •• _",--- •• _. __ •

~ap.7

ry Partícula em mesa vibrat6ria.

7.1. Análises básicas.

118

Vamos considerar uma partícula de dimens6es eiTIassam [7.1.1], que se choca contr-a o topo de uma ,>lesa massa

infinita que oscila conforme uma funcáo h(t), como éfigura 7.1.2 íBouncing 8al1) [7.1.2-7.1.3J .

.-----tI

I

f! h (t)

mostrado fia

Figura 7.1.1: Partícula em mesa vibratória.

A partícula move-se no vácuo em apenas uma dImensão (eixo

vertical) e os choques da bola com a mesa podem ser elásticos einelásticos. \Js lTIO\/irneq-it(;S da rnesa (h(t» esão descritos em re1acão a uma referencia fixa.

seguinte equacão diferencIal nio homogênea para uma 31tuacão

c. choque é perfeitamente elástico:

c.nde

/ d t~ + r{x = - mg 7.1.1

Cap.7

..f(x )

..x = x(t) - h(t)

=l r+w p/ :.= OO pi x > O

119

7.1.2

7.1.3

com a relação 7.1.2 temos:

2 .2.m d x Idt + F{x(t> - h(t» = - mg 7.1.4

Se considerarmos agora a situação onde os choques sâo

inelásticos, temos a seguinte funçâo para descrever o sistema:

2 2m d x /dt + F(x(t) - h(t» = - mg

F garantindo a relação:

IVa i - VW i I = k I VBf - \1M fi

7.1.5

7.7.6

onde IVai - VWil é o valor absoluto da velocidade relativa entre

a bola e a mesa antes do choque, k o coeficiente de restituiçâo do

choque, e IVaf VMfl o valor absoluto da velocidade relativa

entre a bola e a mesa ap6s o choque.

Considerando h(t) = A sen(w t),

mostrado na figura 7.1.2:podemos ter o movimento

figura 7.1.2: Movimento da bola e da mesa em fun~ao do tempo.

o método

como este

Dbter 3

I~,-,ap.7

Para solucionar este sistema podemos aplicar

orevisor corretor. como fizemos no capítulo VI. Mas.

sistema é nao linear apenas durante os choques. podemos

soluc:áo algébrica da ti-ajetb'-la da pa.rtícula ,ju,ante o ···/00. eposteriormente calcula, para que valor de tempo eXIste choque

entre a partícula e a mesa. A 0nica dificuldade para o cálculo do

exato tempo em que ocorre o choque está em solucinar equacões

algébricas trancendentais. que não chega a ser um grande problema.

pois sabemos em que intervalo de variáveis está a solucão.

Cap.7

7.2. Modelo Equivalente.

Vamos observar o modelo eletronico da figura 7.2.1:

121

D

C.z

B

-v

R

R

Figura 7.2.1: Modelo eletronico para partícula em mesa vibrat6ria.

Este modelo difere do modelo para partícula em caixa apenas

por não possuir um dos diodos, não considerar a presença de

dissipação viscosa, e a maneira como introduzimos a perturbação

externa. Considerando a somat6ria de correntes em relação ao ponto

D temos a equação diferencial:

2 2C1R2C2 d V/dt + Io{exp[(V - \.~2)/\};'] - 1} = -1J;:J./A;::i 7.2.1

Introduzindo o diodo no nitrogênio líquido iremos tornar seu

comportamento de corrente em funçao da tensão mais abrupto,

correspondendo a uma situação próxima a da funçâo 7.1.3, onde:

2 2Ct R2 C2 d V/ d t + 10 ('v' - \.i;:2) = _1J;:J. I Fl:J. 7.2.2

•Io(V )

== ~/ - \/E2

,.

= r+00 p / ~ = VOLO P/ 'v < 'vo

7.2.3

7.2.4

,~-- ,....,:_.d.~ •.... 122

acr-escentamos '-I.m caoacitor

(PF) no circuito para controlarmos o coeficiente de

que era malor que 1. ,jevido possíveis atrasos de -Fase

amplificadores operaciol:aiswi···~esteenode1otambémtemos

acrescentar

estecapacitareesteresistorparaobtermos

cQeficiente

de)-estituicãoigual·3.I ?QUDU tI-O\falar

desejarmos. Desta maneira temos o circuito da figura 7.2.2:

R

aue

um

que

B

-v R

~igura 7.2.2: Modificacão no circuito da figura 7.2.1

controle no coeficiente de restituicão.

haver

fS8,/~(,'é:)-l"" l~~T;" .~.:

7.3.1 Normalizacão.

Vamos considerar a equacão diferencIal:

123

2 . 2 .•3. .j z !dt +- fiz = 7.3.1

= z(t) - s(t)

considerando s(t)

r+-,-:(; p I;li'

•I .-' I'""=

CJ

'+:(z

)=I •LOp/

,O.:..

Pi se~\wt) temos:

7.3.3

2 . 2a d z (dt +- fiz - Ptsen(wtl1 = - ab

como na função f nos interessamos apenas quando esta val

temos a relacão:

.::= Ptsen(wt)

a

7.3.4

zero,

7.3.5

onde Z/P1 = sen(wt) 7.3.6

substituindo Z/Pt por y em 7.3.6, t=kT em 7.3.4 e dl~idindo

os fatores de 7.3.4 por ab temos:

todos

Pt--·2bk

2d '"l

2/ ,jt +- 1 f(ya b

7.3.7

atribuindo a k o valor:

temos:7.3.8

1

-~-2P 1v.J

b

2d '"l

2(dt; +- 1 r(y

.=, b

2sen \ 1='1 w T ) ) = - 1 7.3.9

Cap,,7 L24

·1...

.•-~1 7.3.10

••'.,! =,~ - sen (çn:- ) 7.3.11

7.3.12

••y =-r+(1) P'/

- \ • o.- .. " ", uL ,o, ,",,' --. ••r_.1 ;-: _

'*f ( '-:!

Considerando uma situacáo de Choque elAsticG~ temos apenas ~m

- t .. t .pardffie ·ro neste Sls.ema (~)~

Se considerarmos agora um coeficiente de ~estltulcáo menor

Para melhor visualizarmos os sistemas analog05 a particula em

mesa vibratória, podemos montar a seguinte tabela:

Equacão!

IBasePartlculaemr"lesaICircuIto;:':;!1lP.I]P.

1I!

~ posicáo: ',)8=_I.) I"-

"Idz/dt

',)e 1oc idade:dx/dtPro.a\)c=R2C2dlJ/dtliI

a m Ci.R2C2

b Gravidade: 9'*f (z ) Forç:a de choque Corrente do diodo

s (t ) Posicáo da mesa Corrente Aplic.VE2/RE21

C3.p.7

7.4 Resultados.

125

To das as f iguras de s t-e i tem, sa Ivoa 1guma ,=,u.t ,~ ;1"1er,,=á o, f or :3.!1l

obtidas por fotografia da tela de um osclloscÓPI0 que monitora os

estados do sistema que desejamos observar. !~ao nos preocupamos em

mencionar as escalas das fIguras pois estamos interessados apenas

nos resultados qualitativos obtidos com este modelo eletronico.

,jeste '.'amos

observar seu comportamento quando a mesa está em reOOi)SI:) ~ ;;<3.0

e~iste a oresenca de dlssip5Cào r:i:3' tlc~,!!a

choques inelásticos contra a mesa, '3 e ,""'do coe-ficientEi

restituiçáo do cho~ue igu31 a 0,8 (flgur-a ~.~.l):

--------_._---_ .. _~._- -----

Figura 7.4.1: Altura e ·/elocidade >< temco partícula

realizando choques contra uma mesa que esta carada; l = (1,8.

Como podemos observar nesta figura, a 1::lneada

cara cima a p a r t i r- d a <fiesa COill ielocidade , ,',i ~ momento

do chOque com uma velocidade -V. partindo logo em seguida com

velocidade O,8V, e sucess 1'··amente. Este de

restituicao igual a 0.8 é ':Jbtidoempir-icamente 3tr3 es ,j':J '-eslsto,-

RF e do capacitor CF. A figura 7.4.2 mostra O espaco de Fase

os resultados da figura 7.4.1:

para

Cap.7 126

Figura 7.4.2: Espaco de fase para os resultados da fIgura 7.4.1.

Os resultados por nÓs obtidos sao compat~·/els com os

resultados das referências [7.1.2-7.1.3J. Estes trabalhos

abordaram sistemas mecânicos onde a dificuldade encontrada era

coletar os dados referentes a posicão e velocidade da partícula e

da mesa. Com nosso modelo eletronico temos fácil acesso a estas

medidas~ como é mostrado nas figuras a seguir.

Çiqura 7.4.3 °articula oscIlando com a mesa para k=O.8 e ~=O,76.

~Cap. ;

Vamos considerar aue em mossa modelo a mesa comece

senoidalmente, mas de maneira que a partícula náo tenha

127

a vibrar

condic::âo

de levantar '150. coma é mostrado na figura 7.4 ..3.

Neste caso, o parâmetro a n~o é suficientemente grande pa~a

que a partícula decole e com~ce a realizar choques contra a mesa.

Se aumentarmos o parâmetro 0, a partícula comecai-a a vibrar contra

a mesa. Notamos neste aumento de parâmetro ~ uma histerese na

regiào do espaco de parâmetros, pois ao diminulr,nos este parâmetro

ao valor onde antes a partícula oscilava com a :ijes a. ., esta ainda

continua a realizar seus voes ~ choques

mostrado na figura 7.4.4.

-como

~igura 7.4.4: Posic::ãa da partícula

~espectivo espaco de fase para k=O.8 e

e da

·:::1.=0,76.

"latamos

"deformac::ãa"

na Imagem das DOS100e5

na superfície da mesa durante o

1:'. eiÍlPI.J que

Chl~qu.e •

hd

senda

uma

este

Aumentando o parâmetro a, comecam a

dobramento de período. coma é mostrado nas

sug 1 ,-

imagens da Dosic::áo da

figura7.4.5:

seus esp -3:.i':CJS de fase na

··Cap.7 - 128

••

--

~_._._,.~-----~------------------------------

Figura ~.4.5: Resultados para k=0,8 e ü=0,99; 1,03; 1,06.

oossivel. em

de eouilibíio

Cap.7

Conforme a referência [7.1.2] ésituações. coexistirem duas condicões

oarâmetro. como é mostrado na figura 7.4.6:

129

determinadas

::lara o mesmo

•

e c:t=().99 •

Observamos com este 111odelo a e.,<istencia e

descritas nas referênCIas [7.1.2-~. 1.3J.

crisesoutras

em '/ál- i as

situacões

do espac:o pa,·· ã!llE t '""":':'s , aSSIm como

Pelos resultados

satisfatóri':J.

obtidos podemos CO(1side!~:3i este modela

CONCLUSÁO

Conclusao 131

Baseado nas referências bibliográficas deste trabalho e em

seus resultados, podemos considerá-Io safisfatOrlO com relacáo a

sua proposta, que foi criar os modelos eletronicos para os

seguintes sistemas:

Oscilador Harmonico na Dresenca

atrito seco.

Sistemas dinâmicos biestáveis.

Partícula em caixa.

Partícula em mesa vibratória.

de disslpacáo .'iscosa e

Outro Donto alcancado por este trabalho fOI crIar um

material farto e ainda náo explorado que Dode ser aplicado em

cursos de dinâmica não linear, suprindo uma grande quantIdade de

experiências que ajudam a compreender consideracoes a respeito

desta dinâmica.

Ainda com relação ao ensino, estes modelos

utilizados para desenvolver o interesse do aluno em

sistemas não lineares, além de desenvolver a habilidade

desenvolver modelos e analogias.

podem ser

relacao a

de criar e

aqui usados sào e~tremamente

Por

circutos

último, pOdemos citar o economIa.

eCOnOlTIlCOS.

DOIS os

APêNDICE

Apêndice

APENDICE A

133

A grande maioria das equações dIferencIaIs encontradas na

pr~tica nio podem ser solucionadas analiticamente, ou possuem

outros inconvenientes que tornam este trabalho extremamente

complexo. O recurso que dispomos é o emprego de metodos numericos,

que nos possibilita obter soluções bem preCIsas.

Para SolUCIonar

iremos utilizar o

descrito a seguir.

as equacóes que apalEcem

m~todo do TrapezIo, CUJO algoíl.timo ser~

Dada uma equacáo diferencial náo homogénea de segunaa ordem

que possua coordenadas x e Y do plano de fase, onde dX/dt = y,

temos que este sistema pOde ser descrito pelas segUIntes equações:

dX/dt = y

dy/dt = f(x,y,t)

Podemos aproximar a integral de uma

intervalo de tempo À, onde ~ = tn~

trapéZiO, como é mostrado na figura 1:

f(t)

1

funcáo dY/dt = i(t) em um

tn, pela ~rea de um

figura 1 -

.•.L

Desta maneira temos que:

tnT1

f f(t) dt ~ Atn

1.34

2

mas como A = (t n..•.1. - tn) ( f ( tr•..•.·1") -4- f í tn )\ 3

(tr,+1 - tn) = c.. e .r f ( t) d t = Fi t) .•..c temas:

t. r.+ 1.j' f ( t) d t = F ( t n+1.) - F ( I;n) ~ L / 2 (f ( I;n+1.! .•.. f ( tr. :.)

tn

precisão de nosso resultado.

Podemos utilizar este algoritimo para a funcao

xtn+1 e ytn+:I. do sistema 2 como é mostrado a seguir:

tn+:I..1 dx/dt ,jt = xl.',+1

tn5

~n""1

J' dY/dt dt = yt-n+1 - ytn ;;;,ü,/2(f(xt-n+1..yt.n+1.l:n+t.i+frxl.n.'J,n.!rI)6

r-eorganizando os fatores temes:

7

8

Quando o sistema é 11 ne3r- ou 1inear (tomando

certos cuidados quando linear por partes), podemos üesac:oplar :.s

equacóes e agrupar todos os termos que '-'0

l:.do Dest3 -f ~c 11

determinarmos a solucao do sistema POIS sempre temos c:onrlecimento

Para sistemas náo lineares, nao POdemos agrupa~ os termos que

possuem val-iáveis '.~k,""1e yf.n+1. no lado esquerdo das equacões 7 e8, tornando im~ossivel o cálculo destes ·,/alore5. Para

estes problemas. usamos o artifício de prever

variáveis, como é mostrado a seguir:

os o/alares

1':j<=....• ....J

destas

";~ tn+:I. :: xt.n + Á ,jx / d t ( tn) = xi,n + A '~n

o _ o .•• o •

y I,n+1 = ytn + il d'::I1 d t (tn) = ':!lr, + il f ( ~or •• I.,}.n , lj".

desta maneira temos:

10

x t· n+ 1 ::: "( '::It n+1 -\-1::1 t r. ) 11

ytn+:I. -- ytno O

+ A l' 2 ( f ()(ln+ 1 • yt. n+ 1 • tn+1 ) +f (X tn • y tn , !rl+1 12

f\lovamente,quanto menor for o valor de serd a precisao denosso método •

.Oscilador com Atrito seco

simularmos numér"icamente a equacao 5.3.7, vamos

reduzi-Ia a um sistema de duas equacdes diferencials

ordem:

dz/dT = v

dv/dT = -l/Q v - s(V) Z + PE13

Poderiamos obter di l-etamente a solucào analítlca desta

equacao pois esta é linear por partes. A dificuldade deste método

está em resol~er equac6es trigonometricas t,- anscendent a 15 qUando

dz/dt = O. Tal fato levou-nos a 6ptar por um método 0umérico para

solucionarmos esta equacao.

Pela regra do trapézio, obtemos a seguinte solucão

para este sistema considel-ando inte,'valos discretos Ije t2l1"1i=lr::l Ar:

~1r21""n+11r

rz1""n1r··· .•./4'C1

I

cE (To.+1 ) 0)\" II

, I=i1'1 +(-2s (V1""nJ+oE (1""n .l+

JL LVTn J I ".,',=, ILv1""n+1 J

L~O '- J

14

onde C1 =1

136

1

2+ ilT/2Q + Cor /4

[ 1

2L-r

1+ üT/2Q - &:l'r /4-Ie

M =-Ar

1- ur /2Q - ó.r2 / y.J

Nesta simulacão devemos apenas nos pi-eocupar-qUandO o pi-oduto

VTn.vTn~<O, OU seja, que houve o cruzamento do elXO

mostrado na figura 2:

Z 1 como

(z~,.,, V"t;..,.)\\\

-\\,

•z.

\

figura 2

Quando tal fato ocorre, devemos calcular o valol- de zTn~ tal que

vTnTt seja igual a zero. e o intervalo de tempo cOi-respondente.

Assumindo que uma reta passa pelos dois pontos da figura 2 temos aequacáo:

15Assumindo vTn.~ = O temos que:

16

Apêndice

e o intervalo de tempo aproximado para este ponto:

137

~T' = t::..r í· I v'T"n 11' I ""..~. I·· .. vETn-t-t.! ) 17

A seguir é mostrado o programa utilizado para esta simulaçáo em um

microcomputador Apple.

5 !EH INEERI~ C'HC'CS

:~ ?~:U; "'ElfrnE C';~ Q,? ..WJJ

i: I~~PUT ),r.,U

~~ PF. ~!:T liE?fTF.t :>;~: r'.'. 7M

~5 :~lr~JT:, \' ,T3C OT = :~5: ~r.:)1 ::lTERIJAlC DE 7E

MP,)

3~ OZ = 20:0',' = j;}: Wf DrI1E)lS';O

DA TELA

38 REM D~F!NIC~OD~ Tr~ri

40 HGP. : HCOLOR= 3

4~ HFLCT~,0TO ~6~.~TO ~60.1~STO ~.158 TO e.e

5~ YPLOT~,;rTe ~$0.7~:HPLjT2~,~70 ~3C.1~8

58 ~E~ OE!=n!rC';O rE ',',;n;':EIS60 D = C~ ! ~:C1= ~ I 0::2 = o :

3;~ = t + c: + C1

S 5 Di = -:~ •. C2 - Ci,} I' :3: O~ = o

i t C3:C3 = - r-T " C3:N =

(1 - C~ - Ci) .' C3

7~ Ai = 130:~~= 79

~~ STOP : R~ F~R~DA P~r.ACO~TR

OLE OE 'J~~r ';'J\: 1 S

-:'3 REli R[~?ESE?IT:' po~no N:' m.A

81 !F')) ': ~ lHEII GOT'j 34: RElili':"!':.!"". ~':' ~tC'! ~,.,:,!:":••,!:",!" -­"'-~.I.wn ".,_ ",-,- ••...•'._cC.,~!! •. '.'

82 DF = F:4 SI~l (tJ :f r; - z: r:=

~as {DF) < = 1 7H8~ Gero

~~~: RE~ ~;Er.!F:C;~ CC~~D!:~~

~E DE5l:~Crl~E}~iC

33 H: SGN (C..F;: ~CT':; S~

34 H = 3Glt ';'.')

3S PI : F f ( SIM lU l T' ~ Z!~(W * (~ ~ DT1J) - 2 li H

90 :n = c1 * Z + O~ :f •..•~ + :1 • ~I

S OE Z E: \'

~3 'm = D3 11 Z + 04 * I) !o o li PI

9~ !r v I ~~( ~T~E~ OOT:~~~:REM ~ltRIF!Cri C;'UZ~.~tUTO DO

EIXC Z

'?s : " ZN:'.' = :Jrl: ml ATU;'~I::; ':

,~p.:tj'JEI5

13a ; = T + ~T: Rt~ ATUhLl:~ ·r:H

?~

t ~5 G:iC: 33: REM REIN1C:.; :!0':~C;'L:ULO

j 13 ~E~ Ci;LC::LjDe :~~~:,~.~\EN7~'~c E!X~:

_ .• ",.=- '·'\1',.- •••1)· •••• ,. ~ •

: = r:f~ * !J - Z * ~}Il) i [V -

"'''..1.,1

• •••~ ,. - .,. l.. .•••,'!.':"4 , - I , l,,; j

130 GCT:j30

Aoêndice 138

.Sistemas Biestáveis

Para simularmos a equacâo 6.3.2 temos que nos valer apenas de

métodos numéricos, pois esta é uma equacao dífer"ellCIal "ao - linear

e não homogênea.

Vamos reduzir esta equacão a um sistema de duas equacões

diferenciais de primeira ordem:

dy/dt = \(

dx/dt = -l/Q x - senh u + M y + P(T)18

cela regra de trapézlO obtemos as SegUIntes solucáo numérIca para

intervalos discretos de tempo ~T:

19+ p\rn) + p\Tn+J.))

':I'T n~i.= Y'Tn+~'T' /2(xTn;<TnTt.=

X1"n+tJ.1"/2(-l/Qo -rn-+-:1 )

+ r"1(yTn+':I

üy Tn'H = y'rn + tJ.·T ;-:Tn

o ...x Tn-Ti.= XTn + t:.:T (-l/Q xTn - senh yTn + 1"1 yTn + p\Tn!)

Ü+ x Tn~t.)Ü Ü

(xTn + x Tn~ t) - senh yTrl - senh ':1n~t +

A seguir é mostrado o programa utilizado para esta simulacio:

1 It Zi

: ~~ ZN : ~ .;. D * 1') t i.'e l

~0::~!P= ( ~X~':~,- ~YF"'!'l\\\ "';'\" l ~

- :.~/ 1 - ~.~~T'W~ (14 li 7) '"?: ~

Q0 :~ = : ~ ~7 * V

92 SH!F : ( E'~~ r:) - EXe\ ''1.I ! '"

~~ ;0 = ~ T :T ~ l

6~ H~L:7 ~39-e -~ ~:?,1~8: ~PLOr~:' ~~. 7:· :;:73,:-9

50 HG~ :.MC:L~R~ 2,,~."

~u.r.~ 1"'1

_"'4.' '-

(z. ~~ ~ ~1 ~ ~ s:~;(U ~ T

) ~ r~ ~U " (7 ~ or)~~:~i:: : Z;J:'.' -::

.••..•••." _ f\~ .,'t. ~~- V I ••

~~sT = T + 07

Apêndice

.Partícula em Caixa

L39

equac:ão pois esta é linear por partes. H dlficuldade deste

Poderíamos obter diretamente a saluc:ão analítica desta

metodo

está em resolver equac:ôes trigonométricas t,anscendentais quando ~

= O. Tal fato levou-nos

solucionarmos esta equacao.

optar Dor um metado numerlCO para

Pela regra do trapézio. obtemos a segulnte soluc::âo '-'umerica

para este sistema considerando intervalos discretos de tempo Lr:

r~TnHl

rru·T"~.1-., -IlM

' -'" I !.l~/41I

= Cl I .+(pli: (Tn )+ cE ('1""'-·Ti. j' j I

l;~TnJ

.' •••. , IILx Tr ..,.1J

l·"!;:J II•.•.' - j J

20

onde1

Ci =1 + ~T/2

r 1+'::"T/2 :"'r,l2le

M=I I(I

1- "::'.•/2IL J

Para calcularmos o ponto onde a part1cula choca-se contra a

parede, consideramos o cruzamento das retas mostradas na figura 3:

figura 3

Apêndice

A seguir é mostrado o programa utilizado para esta simulação:

1"+0

'::1~JT ;}:~rr~E:-~~F .:1"

:~~U-;~..)!~~:"T f'8rr~E::~~: ~'.1, I:·~~t~Z ~!.,1 _ i

33 ~r = ,~f3S :Z : :~~:C~ = 3J

45 H~LCT ~-~ ~j ~~e.3~O 2éO,i59

Tj :J. ::.J 7~ ~.~50 r.PLO~ ~.71T~ ~t~_7~: HPLOT ~

3~ • 3 : O t:~.t 53••~~ O : 07 ' Z:C~ : DT I 07

.~.A".:. •• L,,&.: i + li

~5 Ct = 1:C~ : D ' C1:C3 : 0=D4 =.'.( - ~~

....,, •• lJi

'.~

i8 ~1 : !3a:~~ : ;~"'S STOP

30 HPLCi:: ~ ~!~Al.~~ - ~ f OV

(!I\.,81 !F ~;S CZ~:

(Z): 3GNiHEIl If' SGN

- "•

as ?! = P li .; SOU ( :.:;1

~:m: -:!i! (~ f (T

:-~ :lI : ~~ * ~ ~ O~ I !} T

! • "r?3 :t Z + tl~» V

Ir- ~a3 (':~D = ~ "-HEJl

i00 T = T .;.DT

30~O

1=~.:~ = !1 (::1 I! '.I - : t !}~!' + i':ij - IJ~ * sm~ (:m),' '::N-

,_ ..•. ,~:L:T :: * :.z ~ ~t.~~- ~c fJ~j!"'\n

..:-.,.,., IF :.~ = ~ rHE~' :.;- 1\-> •• - ".,~23 : = :r;:~=

_ qr".~ _ ~ _ ~~"'"., - • oj.

1\10caso de uma

C.Pt:=NDICE B

I;r arís I ceio ,je de segunda o'' dem. uma

transicao magnética. por exemplo. temos um ÚnICO da

parãmetro que ca,-acterlza o sistema lmagnetlzacão} para

temperaturas acima da temperatura de transicão. e dois valores

para este mesmo parãmetro abaixo da transicão.

sendo seu comportamento em funcao da temperatura

relacao:

j';! ,':1 (T e - T:'

sendo esta relacáo válIda para T ~ Te.

dada cela pela

1

Se um externo H ap 11cada ao sIstema. a

suscetibilidade é dada por:

= X = (T - TC)-Y

-y(T - TC) •

Pi T,>Te

Ci

T",Te

3

E na transicao (T = Te) temos:

SeL' certas condicões sobre o potencIal termod 1 ilâ.TI i co são

respeitadas lessencIalmente qUE o potenCIal sela "tiôlii:lCO). os

coeficientes acima citados são racionals. condicoes oue

modelo de Landau.

levam ao

No caso simulado Dor nosso sistema biestàvel. ~St3S candic6es

se observam. levando em conta os coeficientes teoricos:

-",~ =

,.-

=

t'

=I-:;.

=3

Apêndice 142

Os valores experimentais foram obtidos da analise das

curvas V x VE para baixas frequências. onde V representa M, l/E

representa H. A variacao da temperatura foi obtida por RF, onde a

condicão crítica é:

PF = Vi)/PF 5

A suscetibilidade (no caso, o obtIda

derivando-se graficamente as curvas. nos pontos VE = O. obtendo-se

r:::l V- .

o valor de ~ também fOI obtido dos pontos VE = 0. para vários

·ia lares de RF.

Finalmente. para RF = ~~/2Io. com valores de ~ü e 10

das curvas. mediu~se H x M para a obtencáo de 5.

As figuras a seguir mostraráo todos estes resultados.

obtidos

..:

---' ..

~--

_1._

+

t_

==:i=nu '-'l.

;:-:::-.::::~ --iU •

:.:.==:.:.;' .-

___ o~

_u-----.--~----~-_.-. - ~-_. ---

._------ .----- ...----- .-----.--____ • __ 4 _

_.-. ---­-- - ---~-H:---....::'":

, 'T~==.--~~~~~r-=

•-,.,....,...•. ~._::~=:- --~:-:

-~~=;~.:..-.....:,.. __ O--.- .. -

__ o _

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m--c#:..::-..::;'_- '--7~

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~~:.:-::..:::--.-

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