UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS DE …

Aula 01 – Teoria das Tensões

Eng. Civil Augusto Romanini

Sinop - MT

2017/1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

CAMPUS DE SINOP

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

v1.3

Mecânica dos Sólidos II

Aula 01 – Teoria das Tensões

Aula 05 – Flambagem de Colunas

Aula 06 – Torção Simples/Pura

13/04/2017 2

AULAS

Aula 00 – Apresentação/Revisão

Aula 02 – Critérios de Resistência

Aula 04 – Teoria das Deformações

Aula 03 – Vasos de Pressão de Paredes Finas

Mecânica dos Sólidos II13/04/2017 3

Objetivos

Conceitos

Equações

Circulo de Mohr

Exemplos


Objetivos

Objetivo Geral: Apresentar a teoria das tensões aplicadas em estruturas civis usuais e afins.

Objetivo Especifico:

• Definir e aplicar o estado plano de tensões em quaisquer direções.

• Mostrar como transformar as componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em

componentes associadas a um sistema de orientação diferente.

• Estabelecer as equações de transformação e obter as tensões normal máxima e de cisalhamento máxima determinando a

orientação dos elementos sobre os quais atuam.


Conceitos

O conceito de tensão se origina do conceito elementar de pressão,

como, por exemplo, a hidrostática que consiste numa força normal por

unidade de área. Por tensão, entende-se uma extensão dessa ideia

para os casos em que a força por unidade de área pode não ser,

necessariamente, normal.

Definição (1) : A relação entre a força infinitesimal aplicada em uma

área infinitesimal é denominada tensão.

𝜎𝑎 =𝑅𝛼𝐴

𝜏𝑎 =𝑇𝛼𝐴

Definição (2) : Os esforços aplicados em uma massa infinitesimal

podem apresentar duas resultantes na direção normal (𝑅𝛼 ) e

Tangencial (𝑇𝛼 ), a partir das quais definem – se os estados de

tensões normais e cisalhante, 𝜎𝑎 e 𝜏𝑎.

Tensão


Conceitos Tensor de tensões

A partir das tensões obtidas da relação anterior pode – se definir “o estado de tensão em um ponto". O estado de tensão

de um ponto pode ser caracterizado a partir do conhecimento dos componentes normal e tangencial do vetor de tensão em

relação a três planos mutuamente ortogonais (geralmente são empregadas as direções do sistema de coordenadas de

referência do corpo).

Assim como foi feito para os esforços internos solicitantes,

define-se uma orientação desses componentes em relação à

porção do corpo analisada. Normalmente x,y e z. Os

componentes do vetor de tensão em relação aos três planos

mutuamente ortogonais serão organizados para formar o

denominado tensor de tensão.



Atenção: Apesar desta visão

volumétrica do estado de tensão, o

mesmo corresponde às informações

de um ponto do sólido analisado.

Índices dos componentes:

O 1º índice indica a direção normal à face de atuação

e o 2º índice indica a direção do componente.



Tensão Uniaxial Tensão bi-axial Tensão tri-axial



Estado Geral de Tensão Estado Plano de Tensão

𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑥

𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑦

𝜎𝑧𝑧 = 𝜎𝑧

Tensões Normais

Tensões Cisalhantes

𝜏𝑥𝑦; 𝜏𝑥𝑧 Plano YZ

𝜏𝑦𝑧; 𝜏𝑦𝑥 Plano XZ

𝜏𝑧𝑦; 𝜏𝑧𝑥 Plano XY

OBSERVAÇÃO: Conforme o teorema de Cauchy ( 1798 – 1857) , também conhecido como Teorema do Tetraedro

que a partir do equilíbrio de um elemento cúbico infinitesimal , tem – se que 𝝉𝒙𝒚 e 𝝉𝒚𝒙. O mesmo ocorre com os

outros planos que compõem o tensor de tensões.


Conceitos Convenção de sinalTensor de tensões

Tensão Normal Tensão Cisalhante Ângulo de rotação

Tração ( + )

Compressão ( - )

Vertical para cima face direita (+)

Vertical para baixo face direita (-)

Anti-horário (+)

Horário (-)


Conceitos Transformação de tensão

Definição (2) : O estado plano de tensão em um ponto é representado

exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento

que uma orientação especifica neste ponto.

Estado Plano de Tensão

Tensor de tensões

Definição (1) : O estado plano de

tensão em um ponto é representado

exclusivamente por três

componentes que agem sobre um

elemento que uma orientação

especifica neste ponto.

Importante(1): Para transformar as

tensões são necessários duas

condições. A primeira é que o equilíbrio

do elemento cúbico infinitesimal

naquele ponto e as tensões normais e

cisalhantes conhecidas.

Importante(2): A transformação dos

componentes de tensão é diferente pois

lembre – se que tensão leva em conta o

valor e a direção ( vetorização), além da

orientação da área sobre este

componente age.


Conceitos Transformação de tensãoTensor de tensões

Definição (3) : Estado plano de tensão ocorre em uma

placa fina submetida a forças que atuam no plano médio

da espessura da placa.

Definição (4) : O estado plano de tensão também ocorre na

superfície livre de um elemento estrutural ou componente

de máquina, ou seja, em qualquer ponto da superfície que

não esteja submetido a uma força externa.


Conceitos Transformação de tensãoTensor de tensões

senAsenAsen

AsenAAF

AsensenAsen

senAAAF

xyy

xyxyxy

xyy

xyxxx

cos

coscoscos0

cos

coscoscos0

Considerando as condições para o equilíbrio de um elemento prismático com faces

perpendicular aos eixos x, y, e x’.

2cos22

22cos22

22cos22

xyyx

yx

xyyxyx

y

xyyxyx

x

sen

sen

sen

As equações podem ser reescritas para produzir


Equações Tensor de tensões Transformação de tensão

𝜎𝑥′ =𝜎𝑥+𝜎𝑦

2+

𝜎𝑥−𝜎𝑦

2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (1)

𝜎𝑦′ =𝜎𝑥+𝜎𝑦

2−

𝜎𝑥−𝜎𝑦

2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (2)

𝜏𝑥𝑦′ =𝜎𝑥−𝜎𝑦

2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (4)

Equações Gerais de tensões

𝜏𝑥𝑦′ = −𝜎𝑥−𝜎𝑦

2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (3)


Tensor de tensões Transformação de tensão

Tensões (normais) Principais

𝜎1,2 =𝜎𝑥+𝜎𝑦

2±

𝜎𝑥−𝜎𝑦

2

2+ 𝜏𝑥𝑦

2 (5)

As tensões principais ocorrem nos planos principais e tem tensão

cisalhante igual a zero. Apresentam a maior e menor tensão normal

que atuam em determinado ponto de análise.

Planos Principais

𝑇𝑔2𝜃1,2 =2∙𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥−𝜎𝑦(6)

Importante:

• Sempre é valido: 𝝈𝟏 ≥ 𝝈𝟐• A soma das tensões é invariante entre si:𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 = 𝝈𝒙′ + 𝝈𝒚′• 𝜽𝟐 = 𝜽𝟏 + 𝟗𝟎º

Equações


Tensor de tensões Transformação de tensão

Tensões de cisalhamento máxima e mínima

Planos Principais

Importante:

• 𝜽𝟑 é o ângulo de inclinação da tensão normal

associada (𝝈𝒄) a tensão de cisalhamento máxima

• 𝜽𝟒 é o ângulo de inclinação da tensão normal

associada (𝝈𝒄) a tensão de cisalhamento mínima

• Aplicando os valores de 𝜽𝟑 e 𝜽𝟒 na equação (3)

pode – se encontrar o valor das cisalhantes

máximas e mínimas.

𝜏𝑚á𝑥,𝑚í𝑛 = ±𝜎𝑥−𝜎𝑦

2

2+ 𝜏𝑥𝑦

2 (7)

𝑇𝑔2𝜃3,4 = −𝜎𝑥−𝜎𝑦

2∙𝜏𝑥𝑦(8)

Os planos para tensão de cisalhamento máxima (mínima)

podem ser determinados orientando um elemento a 45º em

relação á posição de um elemento que define os planos da

tensão principal.

Tensão Associada

𝜎𝑐 =𝜎𝑥+𝜎𝑦

2(9)

Equações


Conceitos Tensor de tensões Transformação de tensão

Tração Pura Compressão Pura Cisalhante pura

Estado duplo Compressão Hidrostática

Estado tri-axial


Círculo de Mohr

Com o significado físico do círculo de Mohr para tensão

plana estabelecida, ele pode ser aplicado com simples

considerações geométricas. Valores críticos são estimados

graficamente ou calculados.


Círculo de Mohr

Círculo de Mohr para carga axial centrada:

0, xyyxA

P A

Pxyyx

2

Círculo de Mohr para carga torcional:

J

Tcxyyx 0 0 xyyx

J

Tc


Círculo de Mohr

I. Defina o eixo das tensões normais conforme o eixo

x(+) e eixo das tensões cisalhantes de acordo com o

eixo y(+) , vertical para cima.

II. A partir do sistema cartesiano definido, o primeiro

ponto, que é denominado POLO (P), utilizando o par

de tensões da face “direita” do EPT.

III. No mesmo sistema cartesiano, deve se plotar os

demais pontos que são 𝑻𝒙 , 𝑻𝒚𝟏 ,𝑻𝒚𝟐 . 𝑻𝒙 é por de

tensões da face esquerda; 𝑻𝒚𝟏 𝒆 𝑻𝒚𝟐 são os pares de

tensões nas faces superior e inferior do EPT.

IV. Unir os pontos opostos, 𝑻𝒙 𝒆 𝑻𝒚𝟐 , diretamente

opostos determinando o centro do círculo.

V. Determinar o raio do círculo. O raio pode ser

determinado ligando o centro determinado no item

anterior ao POLO.

VI. Extrair as informações do círculo que são as tensões

principais, tensões cisalhantes e planos de atuação.


Círculo de Mohr


Referências

GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução de Luiz Fernando de Castro Paiva, Revisão Técnica de Marco Lucio Bittencourt. 5 ed.

São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 689 p.

HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Tradução de Arlete Simille Marques; Revisão Técnica de S. S.da Cunha Junior.7 ed. São

Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 641 p.

Mecânica dos Sólidos II

Obrigado pela atenção.

Perguntas?

13/04/2017 23


Exemplos

Exemplo 01 – Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura

abaixo. Determine o que é solicitado.

a) Tensões Principais e os Planos Principais

b) Tensão de Cisalhamento máxima e Tensão associada.

c) Tensões normais e Tensão de Cisalhante para um plano orientado a +45,00º

EPT

𝜎𝑥 = 50,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜎𝑦

𝜎𝑥

𝜎𝑦 = −10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑥𝑦′ = 40,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²


Exemplos

Exemplo 02 – Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura

abaixo. Apresente o circulo de Mohr.

EPT

𝜎𝑥 = 50,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜎𝑦

𝜎𝑥

𝜎𝑦 = −10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑥𝑦′ = 40,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²


Exemplos

Exemplo 03 – Uma viga de madeira foi construída para vencer determinado vão e suportar um respectivo

carregamento. Deseja – se obter algumas informações sobre como se comporta o elemento estrutural e

sua seção, para que assim se possa determinar imposições executivas. A seção de análise está a 4,00

metros do apoio fixo. O ponto de análise da seção está indicado como “P”.

a) Tensões Normais Principais

b) Tensões Cisalhantes

c) Plano de atuação das tensões

d) Tensões atuantes no ponto , sabendo que as fibras da madeira

estão inclinadas com um ângulo de +23º, com a horizontal.

e) Círculo de Mohr para o EPT

45

15 15

12

38

10

P

cm


Exemplos

Exemplo 04 – A construção de uma passarela utilizara diversos elementos de aço. Devido ao tamanho do

vão a ser vencido será necessário soldar estes elementos para confeccionar a viga principal. A viga principal

será composta por duas vigas de 6,00 metros soldadas no meio do vão. Foi escolhido utilizar uma viga de

formato “T” robusta pois a mesa superior da viga já servirá como um tabuleiro. O plano de carregamento

ficará situado no meio da mesa. O esquema de carregamento e a seção geométrica são apresentadas

abaixo, assim como os pontos de análise. São solicitada duas seções de análise:

I. Seção no meio do vão ( 4,00 metros do apoio móvel)

II. Seção imediatamente a direita do apoio móvel

45

20 20

5

5 cm

A

B

.


Exemplos

Exemplo 04 – Solicita – se para a situação anterior.

a) EPT atuante no ponto

b) Tensões principais e plano de atuação.

c) Tensões cisalhante e plano de atuação.

d) Circulo de Mohr para cada EPT

e) Para a Seção “I” – Qual o EPT atuante para um plano inclinado a 30º

f) Para a Seção “II” – Qual o EPT atuante para um plano situado a 60º

g) Analise as características das tensões nos pontos e seções para o carregamento apresentado. Qual a

situação mais crítica?

Sugestão de Exercício Continuado: Analise a Seção imediatamente a esquerda do Apoio móvel. Analise a

seção imediatamente a direita do Apoio fixo.


Exercícios Sugeridos

Hibeller 7ed – Capitulo 9 – Pag.321 – Disponível na biblioteca.

9.10, 9.11, 9.16, 9.25, 9.26, 9.43, 9.77

James Gere – 5ed – Capitulo 7 – Pag.351 – Disponível na biblioteca

7.2-1; 7.2-2; 7.2-3; 7.2-4; 7.2-9; 7.3-9; 7.4-16 a 7.4-23

1,0 kN/cm² 1450,4 psi ou 1,0 N/cm² 1,45 psi


Circulo de Mohr Eixos


Circulo de Mohr Escala e Polo


Circulo de Mohr Tx e Ty’s


Circulo de Mohr Centro do Circulo


Circulo de Mohr Raio


Circulo de Mohr Traçar Circulo


Circulo de Mohr Tensões Principais


Circulo de Mohr Planos Principais

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